Paper Fuzzy Logic

Frederik De Gendt

Lennert De Wachter

Jonas Maes

Michaël Peeters

Tim Robberecht

2 | P a g i n a

Inhoudsopgave

1. Inleiding ................................................................................................................................. 3

2. Wat is vage logica? ................................................................................................................ 4

3. De grondlegger ....................................................................................................................... 5

4. Fuzzy Logic vs Probability .................................................................................................... 6

5. Vaagheid als logisch probleem .............................................................................................. 7

5.1 Vaagheid: wat is het? .................................................................................................................... 7

5.2 Benaderingen ................................................................................................................................. 7

5.3 Voorbeeld: de paradox van de kale man ....................................................................................... 8

6. Vage Logica ........................................................................................................................... 9

6.1 Vage Verzamelingen ..................................................................................................................... 9

6.2 Lidmaatschap tot een verzameling .............................................................................................. 10

6.2.1. Lidmaatschapfunctie............................................................................................................ 10

6.2.2. Voorbeeld ............................................................................................................................ 11

6.3 Logische operaties en vage operatoren ........................................................................................ 13

6.4 Fuzzificatie .................................................................................................................................. 15

6.4.1 Singleton Fuzzifier ............................................................................................................... 15

6.4.2 Gaussian Fuzzifier ................................................................................................................ 15

6.4.3 Trapeziumvormige / Driehoekige Fuzzifiers ........................................................................ 16

6.5 Fuzzy Rules & Fuzzy Rule Bases ............................................................................................... 19

6.5.1 Vage Implicatie Relaties....................................................................................................... 20

6.6 Defuzzificatie .............................................................................................................................. 21

7. Voorbeeld: Fuzzy-regeling van de kamertemperatuur ......................................................... 24

7.1 Inleiding....................................................................................................................................... 24

7.2 Definitie van linguïstische begrippen .......................................................................................... 24

7.3 De regelkring en de instelregels .................................................................................................. 26

7.3.1 De regel-matrix ..................................................................................................................... 26

7.4 De werking van de regelaar ......................................................................................................... 27

7.4.1 Fuzzyficatie-stap .................................................................................................................. 27

7.4.2 Berekenen van de uitgangsset .............................................................................................. 28

7.4.3 De defuzzyficatie stap .......................................................................................................... 30

3 | P a g i n a

1. Inleiding

De laatste paar jaren maakte fuzzy logic een heuse sprong vooruit qua bekendheid. In Japan is het

woord „fuzzy‟ een populair reclame-woord geworden, en de projecten worden er meer en meer

opgelost met behulp van de „Fuzzy Logic‟. Japan heeft bijgevolg ook een grote voorsprong op de rest

van de wereld in het onderzoeken en toepassen van deze vage theorie.

Het grootste probleem met deze vage vorm van rekenen, is dat alle mensen vertrouwd zijn met de

controversiële manier van rekenen en dat er weinigen bekend zijn met de vage logica en zijn vage

verzamelingen. De algebra hiervan is bijgevolg ook niet eenduidig vastgelegd, elke auteur moet zijn

verhaal beginnen met een uitleg van de theorie en de gebruikte regenregels.

Het doel van deze paper is de lezer een inzicht te geven in de manier waarop vage logica werkt, samen

met zijn vage verzamelingen en regels. We proberen iedereen uit te leggen wat fuzzy logic betekent,

welke elementen en regels er in verweven zitten. We zullen even praten over de grondlegger, en alles

uitleggen aan de hand van meerdere voorbeelden. Tenslotte bespreken we enkele toepassingen in ons

vakgebied.

4 | P a g i n a

2. Wat is vage logica?

Fuzzy logic is afgeleid van de fuzzy set theory (theorie van de vage verzamelingen), het gaat meer om

redeneren bij benadering in plaats van het klassieke precies uitrekenen door formules. Het kan bezien

worden als de applicatie-zijde van fuzzy set theory, dat gebruikt wordt voor de complexe „real world‟

expert-waarden voor een complex probleem te onderzoeken.

Waarheidsgraden (Degrees of Truth) worden veelal verward met waarschijnlijkheden, maar ze zijn

conceptueel te onderscheiden: fuzzy truth vertegenwoordigt een lidmaatschap van fuzzy sets, en geen

kans op een bepaalde gebeurtenis of toestand. Ter illustratie: Bob is in een huis met 2 aangrenzende

ruimtes, namelijk de keuken en de eetkamer. Bob‟s status binnen de set van “objecten in de keuken” is

ofwel waar of onwaar: ofwel staat hij in de keuken, ofwel staat hij niet in de keuken. Wat als Bob in

de deuropening staat? Dan kan hij beschouwd worden als “gedeeltelijk in de keuken”. We kunnen dit

uitdrukken in een fuzzy set lidmaatschap: wanneer zijn kleine teen in de eetkamer zou staan, dan is hij

99% in de keuken en 1% in de eetkamer. Zolang hij in de deuropening staat kan hij nooit 100% in de

keuken of eetkamer staan.

Fuzzy sets zijn gebaseerd op vage definities van sets, geen willekeur. Fuzzy logic laat het toe zijn

lidmaatschap in deze sets voor te stellen met een getal tussen 0 & 1, zwart-wit of een grijswaarde, met

woorden zoals “slightly”, “quite” en “very”. Bij het voorbeeld van hierboven kan je dus zeggen dat

Bob „slightly‟ in de keuken staat. Je kan dus ook een gedeeltelijke lidmaatschap hebben in een set. Dit

concept werd geïntroduceerd door Lotfi Zadeh aan de universiteit van California, Berkley.

5 | P a g i n a

3. De grondlegger

Lotfi Asker Zadeh werd geboren in Bakoe op 4 februari 1921 als Lofti Aliasggarzadeh. Hij is een

Amerikaans-Azerbeidzjaanse wiskundige en systeemanalist die wereldberoemd is geworden als

grondlegger van deze fuzzy logic. Zijn moeder was een Oekraïnse, en zijn vader kwam van de

Republiek Azerbeidzjan.

Zadeh was student aan de Universiteit van Teheran en studeerde er elektronica. Indien hij wiskunde

zou gekozen hebben, wachtte hem sowieso een job als docent aan een middelbare school. Alles

veranderde voor hem sinds de Tweede Wereldoorlog, waar zijn vader werkte voor het Amerikaanse

leger, en besloot met zijn gezin naar Amerika te gaan wonen.

Lotfi veranderde van naam na de emigratie, en meldde zich aan als student bij het MIT (Massachusetts

Institute of Technology) in 1944 en studeerde er 2 jaar later af in elektronica. Hij kreeg een job als

docent aan de Columbia-universiteit en in 1950 werd hij gepromoveerd tot assistent-hoogleraar. Wanneer hij in 1954 een thesis schreef met als titel „Systeemtheorie‟, bezorgde dit hem al wat faam in

zijn vakgebied. Onder andere door deze thesis werd hij in 1957 benoemd als hoogleraar in Columbia.

Hij kreeg het jaar nadien een uitnodiging voor de Universiteit van Berkley, waaraan hij eerst twijfelde.

In 1959 accepteerde hij de uitnodiging en in 1963 werd hij hoofd van de faculteit. In 1964 schreef hij zijn eerste artikel over fuzzy logic: hij beschreef hoe hij een theorie van vage

verzamelingen had ontwikkeld, en het handelde verder dan enkel de logica alleen. Het werk was

gebouwd op de verzamelingenleer, de filosofie van de vaagheid, de meerwaarde logica en Max Blacks

woordgebruikgrafieken.

Eerst had hij niet zoveel succes met zijn werk, want alles werd kritisch bekeken door zijn collega‟s. De

eerste grote positieve reactie kwam pas in 1967, wanneer Max Black zijn artikel onder ogen had

gekregen. Desondanks zijn steun heeft Lotfi nog jarenlang kritiek ontvangen van collega‟s. Zijn

theorie kreeg uiteindelijk meer en meer „volgelingen‟ uit Amerika, West- en Oost-Europa en Azië. Het

belangrijkste magazine op dit gebied heet Fuzzy Sets and Systems, en zag voor het eerst het daglicht

in 1978. In 1991 ging hij met emeritaat, maar bleef getuige van het opstarten van het Berkeley

Initiative in Soft Computing.

Fuzzy Logic is nog steeds controversieel in sommige kringen, ondanks het toch al wereldwijd

geaccepteerd en succesvol toegepast in een grote waaier aan toepassingen.

6 | P a g i n a

4. Fuzzy Logic vs Probability De beiden zijn zeer nauw gerelateerd, de basisconectiviteiten zoals operators en functies zijn zeer

gelijkaardig gedefinieerd. Het grote verschil zit in de betekenis, want de waarschijnlijkheidstheorie en

fuzzy logic zijn eerder complementair dan competitief. In de waarschijnlijkheid zijn er 2 grote

stromingen: namelijk de frequentisten en de Bayesians.

Frequentisten maken gebruik van de frequentietheorie (kans-rekenen en statistiek), namelijk de

oefeningen met steekproef, relatieve frequentie en absolute frequentie. Ze baseren hun op een

experiment, getest op de steekproef en dus het experiment verschillende malen (aantal elementen in de

steekproef) herhaald. Ze wanneer een gebeurtenis 120 keer voorkomt in een steekproef van 200 is de

waarschijnlijkheid 60%.

Het andere alternatief zijn de Bayesians: voor een Bayesian is het idee van een gebeurtenis die een

waarschijnlijkheid heeft niet van toepassing. Ze zijn eerder geïnteresseerd in het gebeuren van de

gebeurtenis, of het zal gebeuren of niet. Bijvoorbeeld: er is een virus verspreid over het internet, zal

mijn computer geïnfecteerd worden of niet? Er is dus geen waarschijnlijkheid, mijn computer wordt

geïnfecteerd of niet.

In beide gevallen praten we over gebeurtenissen, niet over feiten. Het zijn gebeurtenissen die kunnen

voorkomen, waarvan we niet weten of ze zullen voorkomen, en er is niets vaag over deze

gebeurtenissen.

In fuzzy logic proberen we de essentiële eigenschap van vaagheid vast te leggen. Wanneer ik zeg dat

een persoon 2 meter groot is, is dit een feit. Wanneer ik zeg dat een andere persoon 1,8 meter groot is

(wat nogaltijd een feit is), is dit minder waar dan bij het eerste experiment. Een persoon van 2 meter

kan de eigenschap groot bezitten, en een persoon van 1,8 meter ook. Maar de persoon van 1,8 meter

lijkt al minder groot dan die van 2 meter, dus uit het opzicht van de 1e persoon zou men ook kunnen

veronderstellen dat hij klein is. Ze bezitten beiden de eigenschap groot, maar in verschillende mate.

Fuzzy logic gebruikt grotendeels de zelfde werktuigen als de waarschijnlijkheids-theorie, maar ze

worden gebruikt om een volledig ander idee vast te leggen. Fuzzy logic behandelt vooral de mate

waarin iets waar of onwaar kan zijn, in termen van vaagheid en relatieve waarheden. De

waarschijnlijkheidstheorie is geïnteresseerd in voorspellingen maken over gebeurtenissen, maar zegt

niets over of een gebeurtenis volledig waar of onwaar is.

De waarschijnlijkheidstheorie zet de essentiële eigenschap van de betekenis (gedeeltelijke waarheid)

niet vast, wat het doel is van fuzzy logic. Fuzzy logic zet de essentiële eigenschap van de betekenis

(gedeeltelijke kennis) niet vast, wat het doel is van de waarschijnlijkheidstheorie.

Volgens Lotfi Zadeh zou de waarschijnlijkheidstheorie beter gebaseerd zijn op fuzzy logic, dan op het

klassieke wiskundige stelsel. Zijn mening is dat er zeer veel beperkingen zijn door de klassieke

bivalente logica waarop het gebaseerd is. Niettemin heeft het al een gigantisch success bereikt, maar

Zadeh vind dat het nog uitgebreid moet worden, omdat er nog een pak vragen zijn die niet door de

waarschijnlijkheid opgelost kunnen worden.

Bijvoorbeeld: we hebben de verzameling C, waarvan „u‟ een element van de verzameling kan zijn. Het

is dan enkel waar of onwaar dat „u‟ tot de verzameling behoort, of een instantie van het concept C is.

Er is dus geen gedeeltelijke waarheid mogelijk, en het probleem hiervan is dat het leidt tot

tegenstrijdigheden. Als we A en B kunnen beschouwen als aparte gebeurtenissen enkel en alleen als

P(A,B) = P(A) * P(B). Een gebeurtenis mag niet enkel een bivalent concept zijn, het moet graden van

waarheid bevatten. Wat we zien in de waarschijnlijkheidstheorie is in fundamenteel conflict met de

werkelijkheid, een realiteit waarin bijna niets zwart-wit is, maar alles schaduwen en grijswaarden

heeft. Het is deze realiteit dat fuzzy logic probeert vast te leggen.

7 | P a g i n a

5. Vaagheid als logisch probleem

5.1 Vaagheid: wat is het?

Logica is de wetenschap die zich bezighoudt met het onderzoeken van redeneringen. De meeste

redeneringen (buiten het grootste deel van de wiskunde) die we in het dagelijkse leven gebruiken zijn

allemaal vaag. Dit gaat van simpele begrippen zoals keuken, tot ingewikkelde terminologie zoals

Graphical Processing Unit. Als eerste voorbeeld zullen we de keuken nemen, die we zullen proberen

beschrijven: een kamer in je huis waar je kookt en eventueel eet, waar een vuur is om op te koken,

kasten met pannen, potten, bestek, eventueel een tafel met stoelen, een koelkast, een aanrecht en een

vuilbak. Wanneer we in een huis komen waar geen koelkast in de keuken staat, blijft die kamer wel

een keuken, of er nu een koelkast staat of niet. Hierdoor is het begrip keuken vaag, alsook het begrip

Graphical Processing Unit (= GPU = grafische kaart). Het is een onderdeel van een computer, waarin

het beeld gevormd wordt dat je op je scherm ziet. Het heeft één of meerdere beeldaansluitingen zoals

VGA, HDMI of DVI. Naargelang het model verschillen de aansluitingen in aantal en model. Hierdoor

is de GPU ook vaag. Je kan dus voor bijna geen enkel item uit het dagelijkse leven een volkomen

correcte definitie geven. Een keuken is een keuken omdat we dit weten en herkennen aan

componenten en onderdelen. Je hersens zijn hierop getraind en je gelooft dit als waarheid te zijn.

5.2 Benaderingen

In de loop der jaren hebben we deze vaagheid op 2 manieren benaderd: de eerste benadering was via

“precisificatie”. Dit betekent dat de geldigheid van een uitspraak enkel en alleen kan onderzocht

worden door de uitspraak ondubbelzinnig te maken. Hierna kan ze vertaald worden in één van de vele

kunsttalen die bestaat in de logica, waarin precieze definities van geldigheid bestaan. Wanneer de

redenering vertaald is kan men haar geldigheid bepalen aan de hand van rekenwerk, zolang ze

onvertaald is blijft het onduidelijk wat we ermee bedoelen, en kunnen we ze moeilijk geldig of

ongeldig noemen. Voor sommige redeneringen blijft het natuurlijk vaag of ze juist of onjuist is,

bijvoorbeeld als we het hebben over de mening van Elio Di Rupo betreffende de wet op de

werkloosheidsuitkering: dit is een mening en kan onmogelijk als waar of onwaar beschouwd worden.

De strategie van “precisificatie” is altijd de populairste geweest in de moderne formele logica. Eerst

was daartoe ook alle reden, namelijk de eerste moderne logici zoals Boole hielden zich bezig met de

bestudering van wiskundige redeneringen. In de eerste helft van de 20e eeuw begonnen de

wiskundigen zich te richten op de verheldering van taalgebruik dat niets met wiskunde te maken heeft,

en bijgevolg begon de strategie alsmaar minder en minder goed te werken. In 1937 kwam hierdoor een

nieuwe strategie op: men maakte van de vaagheid een begrip, en maakte hierbij een serie van formele

logische stelsels waarin vage zinnen kunnen opgenomen worden. Max Black was hiervan de

grondlegger, maar het werk werd pas populair wanneer Lotfi Zadeh hier ook dieper op inging.

8 | P a g i n a

5.3 Voorbeeld: de paradox van de kale man

Hierboven is het voorbeeld van vaagheid de keuken: ik kan een keuken binnenstappen, een naargelang

mijn zintuigen mij info geven, kan ik onderscheiden of een kamer een keuken is, een slaapkamer, een

eetkamer, een living, een badkamer, berging of garage is. Dit is in onze hersenen gelinkt met de

functie van de kamer: we zien objecten en onderdelen, en daardoor kunnen we onderscheiden tot

welke categorie een kamer hoort.

In de paradox van de kale man (of de paradox van de zandhoop) wordt dit nog verder uitgediept: men

kan zeggen dat iemand een weelderige haardos heeft. Hier kan je je iets bij voorstellen, maar de grens

tussen weelderig en niet-weelderig kan men niet vastleggen in gelijk welke taal. Je kan er wel in gelijk

welke taal over praten, maar er bestaat nergens een regel dat een weelderige haardos een aantal haren

moet bevatten. Wanneer een persoon een haardos heeft met 1000 haren op, zal hij nog steeds

weelderig zijn met één haartje minder. Wanneer je er honderd zal wegplukken, zal deze al minder

weelderig zijn, maar je weet nog altijd niet of hij nu weelderig is of niet weelderig.

Hetzelfde voorbeeld geldt met een zandhoop. Er staat nergens gedefinieerd dat een hoop zand een

aantal korrels moet bevatten. Bijvoorbeeld voor een kind kan een zandhoop een torentje zijn van 20

centimeter hoog, terwijl een volwassene maar denkt aan een hoop wanneer hij minstens tot een halve

meter reikt. Wanneer je een korrel wegneemt, blijft het een zandhoop. Hetzelfde geldt voor

intelligentie: men kan iemand slim noemen, maar je kan dit niet gaan meten aan de hand van het aantal

hersencellen. Eéntje meer of minder gaat het verschil niet maken. Wij proberen dit te classificeren aan

de hand van het IQ: dit wordt berekend aan de hand van een vaste lijst met vragen. Iemand met een

hoog IQ is slim, en iemand met een laag IQ is minder slim. Je hebt echter nog altijd geen grens waar je

iemand dom kan noemen. Het IQ is de vertaling van het begrip intelligentie in een wiskundige vorm,

en kan proberen een onderscheid te maken tussen mensen en ze te classificeren volgens hun kunnen en

kennen. Echter kan dit ook fout aflopen, want iemand die slim is kan een slechte dag hebben en

zodanig veel fouten maken dat hij als dom wordt beschouwd.

9 | P a g i n a

6. Vage Logica

6.1 Vage Verzamelingen

Vage verzamelingen zijn verzamelingen, waarvan de elementen graden van lidmaatschap kennen.

Lotfi A. Zadeh had vage verzamelingen geïntroduceerd als een soort van uitbreiding op het klassieke

begrip van een verzameling. In de klassieke leer van verzamelingen, wordt het lidmaatschap van de

elementen in binaire termen beoordeeld volgens een bivalentie principe waar een element hoort wel of

niet tot een verzameling. In contrast daarmee staat de vage verzamelingentheorie een geleidelijke

evaluatie toe van het lidmaatschap van elementen in een verzameling; dit wordt beschreven met

behulp van een lidmaatschapfunctie, die wordt gewaardeerd op het reële eenheidsinterval. Vage

verzamelingen veralgemenen de klassieke verzamelingen, aangezien de indicatorfuncties van de

klassieke verzamelingen speciale gevallen zijn van de lidmaatschapfuncties van de vage

verzamelingen, indien deze laatste alleen de waarden 0 of 1 kunnen aannemen.

De theorie van fuzzy logic gaat uit van de theorie van vage verzamelingen. Om een vage verzameling

dus te begrijpen, moet je ook eerst begrijpen wat een gewone verzameling is. Het kenmerk van een

gewone verzameling (in wiskundigentermen) is dat een element er inzit of er niet inzit. Een vage

verzameling is dus een eenvoudige uitbreiding van een gewone verzameling, waarbij een gedeelte in

een verzameling kan zitten.

Een gewone verzameling P kan beschreven worden m.b.v. een karakteristieke functie , die als

volgt is gedefinieerd:

Elk element uit het universum U (dat staat voor het domein) krijgt een lidmaatschapsgraad toegewezen

op het interval [0,1], dat geeft aan hoever het element tot de verzameling behoort. Dit is gedaan

volgens de vage verzameling theorie.

Het element u (uit domein U) heeft een lidmaatschapsgraad „x‟ dat men aanduidt met

. In een vage

verzameling genaamd „P‟ geldt het dus dat ieder element u (uit domein U) een lidmaatschapsgraad

genaamd xp(u) heeft:

Bij het specificeren van P worden de elementen waarvoor geldt: niet genoemd. Een voorbeeld van een vage verzameling is de verzameling A:

Het 'aardige' van deze verzameling is dat ze kan worden omschreven met het begrip 'ongeveer gelijk

aan 5' (zie voorbeeld).

10 | P a g i n a

6.2 Lidmaatschap tot een verzameling

Dit is een vage verzameling met een simpel voorbeeld. We zullen nu gaan verder redeneren aan de

hand van een ander voorbeeld:

Je hebt een linguïstische variabele of grootheid, namelijk leeftijd. De leeftijd kan een vaste waarde

aannemen, bijvoorbeeld een persoon in 21 jaar oud. Ook kan deze een linguïstische waarde aannemen:

een persoon is jong, of een persoon is oud. Aan deze begrippen hangt ook een dynamische range, hier

kan dit [0 - 120] jaar zijn. Niemand is jonger dan 0 jaar, en er zullen er weinigen zijn die ouder worden

dan 120 jaar.

Deze linguïstische waarden zijn vaag en kunnen op een subjectieve manier bekeken worden. Ik kan

zeggen dat mijn vader (met een leeftijd van 45 jaar) een oude man is, maar mijn grootvader

daarentegen kan spreken over mijn vader als een jonge man. Je kan het „jong‟ zijn schrijven in een

functie, namelijk de membership function die hierboven al deels uitgelegd staat. De membership

function van jong wordt geschreven als:

De betekenis in woorden van deze membership function is de volgende:

0,8/20 → een persoon die 20 jaar oud is, is 80% jong

0,6/30 → een persoon die 30 jaar oud is, is 60% jong

0,2/40 → een persoon die 40 jaar oud is, is 20% jong

0/50 → een persoon die 50 jaar oud is, is 0% jong

Mijn vader zal dus bijgevolg tussen 20% en 60% jong zijn.

Mijn grootvader zei gisteren tegen mij: “Je hebt geluk dat je nog zeer jong bent, want op mijn leeftijd

begin je toch al te voelen dat je lichaam aftakelt.” Ik begon me vragen te stellen over het deel “zeer

jong”: ik ben 21 jaar, en ik vind dat ik toch al een leeftijd bereikt hebt dat ik niet meer zeer jong kan

genoemd worden. We controleren dit en leiden de membership function van „zeer jong‟ af van de

membership function van „young‟:

Zo kan je ook andere afgeleide waarden van „young‟ gaan bepalen:

Strikt jong = jong1

Zeer jong = jong2

Min of meer jong = jong1/2

Ongeveer jong = jong1/3

6.2.1. Lidmaatschapfunctie

De lidmaatschap van een waarde tot een set wordt uitgedrukt in en berekend door een functie. De

uitkomst is een getal tussen 0 en 1, die uitdrukt in welke mate een waarde tot een set behoort. Hoe

kleiner het getal, hoe minder het met de set gerelateerd zal worden, en hoe groter het getal, hoe meer

dat het met de set gerelateerd zal worden. Voor deze functie, als voor alle bestaande functies, is er een

grafiek, waaruit men visueel het antwoord kan afleiden. Dit kan natuurlijk ook altijd via ingewikkelde

berekeningen, maar dit laten we voorlopig buiten beschouwing.

11 | P a g i n a

6.2.2. Voorbeeld

We beschouwen een fuzzy set, met de termen LP, MP, S, MN en LN als beschrijving van een getal:

GP = Groot Positief getal

MP = Medium Positief getal

K = Klein getal

MN = Medium Negatief getal

GN = Groot Negatief getal

We kunnen voor elk getal een functie opstellen, zodat het duidelijk wordt waar de grenzen liggen voor

wanneer het getal tot de juiste set behoort. Je kan de volgende functie als voorbeeld beschouwen:

is de mate waarin het getal 2 tot Medium Positieve getallen hoort. Deze waarde kan je

afleiden, indien je de lidmaatschapfunctie van Medium Positief kan raadplegen.

Zoals je hier kan zien loopt de range van MP van 0 tot 10 waarbij 0 en 10 net niet Medium Positief

zijn. Als je de voorbeeldfunctie van hierboven neemt, namelijk , dan zoeken we in welke mate

het getal 2 medium positief is. Dit kunnen we onderzoeken op de grafiek door een verticale hulplijn te

trekken waar 2 op de x-as gesitueerd is. Voor dit punt zoeken we vervolgens de Y-waarde, en dit doen

we door een horizontale lijn te trekken waar de verticale hulplijn de grafiek snijdt. In dit geval komen

we uit op 0.4, dus is het getal voor 40% medium positief, en zo kan je voor elk getal de

lidmaatschapwaarde uitrekenen.

12 | P a g i n a

Je kan natuurlijk ook voor een getal de lidmaatschap tot verschillende sets berekenen. Het is niet

omdat een getal Medium Positief is, dat het ook niet Groot Positief kan zijn en het kan ook evengoed

Klein zijn. We berekenen het resultaat van volgende functie aan de hand van de grafiek: :

Hier zie je dat een Klein getal reikt van -5 tot 5, en het getal 2 bijgevolg voor 60% Klein zal zijn.

De grafiek van de lidmaatschapfunctie van een Groot Positief getal ziet er als volgt uit:

Het getal 2 zal niet behoren tot de sets GP, MN en GN. Hierdoor kunnen we de lidmaatschap van het

getal 2 in alle sets uitdrukken:

13 | P a g i n a

6.3 Logische operaties en vage operatoren

In de vage logica kan je logische operaties uitvoeren, net als in de gewone logica. Vage logica is een

uitbreiding van gewone logica, of gewone logica een “speciaal geval” van vage logica.

De 'EN'-functie, aangeduid met ' ', moet voldoen aan:

Waarbij a, b, c en d, e [0,1].

Analoog zijn er eisen voor de 'OF'-functie, weergegeven met „ ‟:

De „¬‟-functie moet voldoen aan de involutie-eigenschap.

In principe zijn er heel veel mogelijkheden om de logische operaties te definiëren. De volgende regels

worden vaak gebruikt in de praktijk:

Deze rekenregels gelden ook wel voor de gewone, binaire, logica.

(0 1 = 0 ; 1 1 = 1 ; 1 0 = 1 ; „¬‟ ( 1 ) = 0, enz.).

Hieronder wordt de vage verzameling van ‟snel‟ gedefinieerd:

of met u element van de Natuurlijke getallen:

14 | P a g i n a

Een vage verzameling „langzaam‟ wordt gedefinieerd als:

Merk op dat „langzaam‟ niet gelijk is aan „ ¬snel)‟.

Het toepassen van een logische „EN‟-functie wordt gedemonstreerd aan de hand van het volgende

voorbeeld:

„normaal‟ = „snel‟ en „langzaam‟

Grafisch zijn deze verzamelingen weergegeven in de volgende afbeelding.

15 | P a g i n a

6.4 Fuzzificatie

De fuzzificatie van een crisp input-waarde wordt uitgevoerd aan de hand van de regels die vastgelegd

zijn in de lidmaatschapsfunctie. Om de uitkomst van de lidmaatschapsfunctie op een crisp input te

krijgen, maakt men gebruik van fuzzifiers. Er zijn geen vaste procedures voor de fuzzificatie van een

crisp input, want deze hangt altijd af van de lidmaatschapsfunctie en de bijpassende fuzzifier. De

afbakeningen van de sets worden dus vastgelegd in het opstellen van de lidmaatschapsfuncties.

Fuzzificatie is het proces van het wijzigen van een getalwaarde in een vage waarde, wat wordt bereikt

met de verschillende soorten fuzzifiers. Er zijn over het algemeen drie soorten fuzzifiers, die worden

gebruikt voor het fuzzificatieproces:

1. Singleton fuzzifier;

2. Gaussian fuzzifier;

3. Trapezium of driehoekige fuzzifier.

6.4.1 Singleton Fuzzifier

Deze vorm lijkt het meest op de klassieke logica. Deze wordt gebruikt wanneer de

lidmaatschapsfunctie van een bepaalde set een verticale lijn is. De lidmaatschapsfunctie van een set is

waar (en geeft dus een 1 als uitkomst) voor 1 bepaalde waarde. Voor alle andere waarden is de

uitkomst 0, en er bestaat geen waarde waarvoor de uitkomst tussen 0 en 1 ligt. Je kan deze fuzzifier

bijvoorbeeld gebruiken bij de set „is 12‟.

6.4.2 Gaussian Fuzzifier

De gaussian fuzzifier komt voor wanneer de lidmaatschapsfunctie van de vage verzameling de vorm

heeft van een bel. Deze is gelijkaardig aan de driehoekige fuzzifier, enkel dat er veel meer waarden

voor x tot de bepaalde set zullen horen. Een mooi voorbeeld hiervan is de lidmaatschapsfunctie van de

set „ligt dicht bij 12‟. Je kan hier zelf bepalen welke getallen dicht bij 12 liggen, en hoe verder men

weggaat van het getal 12, hoe lager de uitkomst van de membershipfunction zal liggen. Je kan

hiervoor ook een driehoekige fuzzifier gebruiken, en deze zal bijgevolg minder getallen toelaten tot de

set.

16 | P a g i n a

6.4.3 Trapeziumvormige / Driehoekige Fuzzifiers

De trapeziumvormige en driehoekige fuzzifiers komen het meeste voor. Ze kunnen apart voorkomen,

maar ook samen bij de verschillende lidmaatschapsfuncties van 1 bepaalde grootheid. Ze worden

gebruikt wanneer de lidmaatschapsfunctie de vorm heeft van een driehoek of een trapezium. De

fuzzificatie wordt uitgelegd aan de hand van volgend voorbeeld:

We nemen een klas met 10 studenten, en we gaan voor elke leerling apart hun lengte fuzzificeren. We

maken gebruik van volgende lidmaatschapsfuncites voor de lengte:

Hieruit kunnen we de uitkomsten berekenen van de lidmaatschapsfuncties:

Voor de set klein (= Short):

Alle waarden onder 5,2 feet behoren volledig tot de set klein

Alle waarden tussen 5,2 en 5,4 feet behoren voor een deel tot de set klein

Alle waarden boven 5,4 feet behoren niet tot de set klein

Voor de set medium

Alle waarden onder 5,3 feet en boven 5,7 feet behoren niet tot de set medium

Alle waarden tussen 5,3 en 5,7 behoren voor een deel tot de set medium

Hier wordt onderscheid gemaakt tussen waarden op de stijgende zijde van de driehoek, of waarden op

de dalende zijde van de driehoek. Het verschil tussen de 2 zijden zit hem in het berekenen van de

uitkomst van de lidmaatschapsfunctie.

17 | P a g i n a

Voor de set groot (= Tall)

We nemen als voorbeeld een student die 5,4 feet groot is. De resultaten na het berekenen van de

lidmaatschapsfuncties zijn de volgende:

μ s (5,4 ") = 0 μ m (5,4 ") = 0.5 μ t (5.4 ") = 0

Één en dezelfde student is dus niet klein, voor de helft medium en niet groot. Deze waarden zijn

bekomen na het maken van volgende berekeningen:

μ s: 5,4 >= 5,4 de uitkomst is 0

μ m: 5,4 ligt tussen 5,3 en 5,5 de uitkomst is ((5,4 – 5,3) / 0,2) = (0,1 / 0,2) = 0,5

μ t: 5,4 <= 5,6 de uitkomst is 0

We maken de berekeningen voor alle studenten:

Student Student

Naam Hoogte

(Voet) μkorte μmedium μhoog

1 John 5.4 0 0.5 0

2 Cathy 5.8 0 0 1

3 Lisa 6.0 0 0 1

4 Ajay 5.0 1 0 0

5 Ram 5.7 0 0 0.5

6 Edward 5.4 0 0.5 0

7 Peter 5.2 1 0 0

8 Victor 5.0 1 0 0

9 Chris 6.2 0 0 1

10 Sam 5.9 0 0 1

18 | P a g i n a

In het algemeen kunnen de uitkomsten van de diehoekige lidmaatschapsfuncties berekend worden aan

de hand van volgende formules:

Begrippen:

x = crisp input

L = linkersnijpunt met de x-as, laatste waarde voor de driehoek die 0 zal resulteren

R = rechtersnijpunt met de x-as, laatste waarde binnen de driehoek die geen 0 zal resulteren

C = centrale waarde waar de lidmaatschapsfunctie 1 is

Men heeft ook zo‟n formules voor de trapeziumvormige lidmaatschapsfunctie:

Volgende begrippen zijn nog niet gebruikt bij driehoekige lidmaatschapsfuncties:

L = linkersnijpunt met de x-as

U = rechtersnijpunt met de x-as

C = de centrale waarde, namelijk de x-waarde waar de spiegelas van het trapezium zou zijn.

W = de breedte, het aantal waarden waarvoor de uitkomst van de lidmaatschapsfunctie 1 is

19 | P a g i n a

6.5 Fuzzy Rules & Fuzzy Rule Bases

Een rule base is een regel, die zich baseert op een linguïstische waarde, om een actie te laten uitvoeren.

Je kan hier het voorbeeld nemen van de linguïstische waarde „jong‟: je probeert na te gaan hoe „jong‟

dat het publiek in een café is. Elke geteste persoon geef je een drankje, aan de hand van zijn leeftijd.

De rule bases zijn altijd gebaseerd op een IF - THEN - structuur. Er is dus altijd een voorwaarde, IF p,

waarbij p een linguïstische waarde voorstelt. Uit deze voorwaarde volgt een actie, namelijk THEN p.

Deze rule base, , wordt ook geschreven als .

Aan de hand van het voorbeeld hierboven zullen we de rule bases opstellen:

IF leeftijd = zeer jong THEN drank = melk

IF jong THEN cola

IF gemiddeld THEN bier

IF oud THEN whisky

IF zeer oud THEN rum

Je kan dit ook toepassen op andere voorbeelden, namelijk de werking van een CPU-fan in de

computer. De tempratuur wordt gemeten en de actie van de fan volgt uit de tempratuur:

IF zeer koud THEN stop

IF koud THEN draai zeer traag

IF gemiddeld THEN draai traag

IF heet THEN draai snel

IF zeer heet THEN draai zeer snel

Naast acties die volgen uit de linguïstische waarde, kan men hier ook besluiten uit trekken. Je kan

bijvoorbeeld zeggen dat grote mensen sneller kunnen stappen dan kleine mensen. Zoals bij een fan uit

de tempratuur een actie wordt ondernomen, kunnen we hier uit de grootte van de persoon een besluit

trekken: als hij groot is zal hij wel snel kunnen stappen. Dit noteren we als volgt:

Wat zal er dus gebeuren indien we een kleine persoon onderzoeken? Indien hij niet groot is, zal hij

bijgevolg ook niet snel kunnen stappen. We leiden het volgende af uit het vorige statement:

Dit kunnen we berekenen aan de hand van de formule van de relationele matrix:

De waarde b‟ is ongekend en dus gevraagd. De andere 3 waarden zijn bekend, en we moeten een

formule zoeken om b‟ te berekenen. Dit is de formule van de relationele matrix (R): b‟ = a‟ v R

20 | P a g i n a

6.5.1 Vage Implicatie Relaties

Dienes-Rescher implicatie: Als men beschouwt, voor IF p THEN q, dat p waar is, terwijl q onmogelijk onwaar kan zijn, kan men

de relationele matrix berekenen aan de hand van een formule. We leiden dus af uit het voorbeeld dat

“p ^ NOT q” onwaar is (aangezien q nooit false kan zijn). We leiden af via de wet van Morgan:

p ^ NOT q = NOT p v q. De relationele matrix kan gevonden worden via volgende formule:

De maximum-functie gebruiken we omdat er een OR-functie gebruikt wordt. (NOT p OR q)

1 - … gebruiken we, omdat er een NOT gedefinieerd staat. (NOT p OR q)

Aan de hand van deze oplossing kunnen we b’ berekenen:

Mamdani implicatie: Als fuzzy IF-THEN rules lokaal waar zijn, dan is p waar en dan is q waar, of p onwaar en q onwaar.

Het gaat er dus om dat beiden p en q dezelfde uitkomst hebben. Voor p → q mogen we dan zeggen dat

p ^ q ook waar is. Een wijd toegepast voorbeeld is de fan: als de tempratuur koud is, moet de fan traag

draaien, als de tempratuur warm is, moet de fan snel draaien. Dit is vastgelegd per definitie en dus

gezamenlijk waar of onwaar. De fan zal nooit snel draaien als het koud is. De relationele matrix R kan

afgeleid worden uit volgende formule:

We gebruiken de minimum-functie, omdat er een EN-functie gebruikt wordt. (p AND q)

Aan de hand van deze oplossing kunnen we terug b‟ berekenen:

Zadeh implicatie: Dit komt voor wanneer p en q waar zijn ofwel wanneer p onwaar is. Omgezet in een functie geeft dit:

(p ^ q) v (NOT p). We kunnen deze structuur terug omzetten in een formule om de relationele matrix

te berekenen:

We gebruiken max, min en 1-... omdat

21 | P a g i n a

6.6 Defuzzificatie

Na de bewerking van relatie-regels, op basis van de momentele waarden van de verschillende

ingangsvariabelen, volgt één waarheidsgehalte voor elke linguïstische uitgangsvariabele.

Defuzzyficatie houdt de berekening in van één concreet uitgangssignaal. Dit op basis van de

verschillende waarheidsgehaltes.

Figuur 6.6.1: Lidmaatschapsfuncties voor de uitgang van de regelaar

De verwerking van de waarheidsgehaltes voor de uitgangsset in de lidmaatschapskrommen van de

uitgangsvariabelen kan op verschillende manieren. Men heeft het hier over de term inferentie, of

gevolgtrekking. De minimum-inferentie en de product-inferentie methoden zijn de meest gebruikte.

Onder de minimum-inferentie verstaan we de begrenzing van de lidmaatschapskromme op de

minimumwaarde. Figuur 6.6.2.a illustreert dit.

set = 0.8/klein + 0.4/medium + 0/groot

a) b)

Figuur 6.6.2: Voorbeelden van a) minimum-inferentie en b) product-inferentie

De product-inferentie methode daarentegen begrenst deze lidmaatschapskromme op een waarde. Deze

waarde bekomt men door het product uit te voeren van de waarheidsgraad en de oorspronkelijke

lidmaatschapsfunctie. Bovenstaande figuur 6.6.2 toont dit aan. Stel dat de uitgangsset overeenkomstig

de krommes uit figuur 6.6.1 gelijk is aan:

u = 0/NG + /NK + .2/ON + .8/PK + .4/PG.

Door toepassing van de minimum-inferentie regel, komen we aan het uiteindelijke resultaat zoals in

figuur 6.6.3. Deze figuur toont namelijk aan dat een kleine positieve uitgang de hoogste

waarheidsgraad kent. Een logische gevolgtrekking kan bijvoorbeeld zijn dat de uitgang ongeveer

gelijk moet zijn aan 40. Daarentegen kunnen niets doen (ON) en sterk aansturen (PG) ook scoren.

22 | P a g i n a

Figuur 6.6.3: Voorbeeld: bepaling van de uitgang van de regelaar

Uiteraard moet men deze waarden in de berekening van de effectieve uitgang meenemen. Het totaal

gearceerde oppervlak moet bijgevolg maatgevend zijn voor de regelaarsuitgang. De methode die het

meest wordt toegepast is dan ook de zwaartelijn- of de zwaartepuntmethode. De gezochte of

enkelvoudige uitgang is de ligging van deze zwaartelijn, of het zwaartepunt van het totaal gearceerde

oppervlak.

Maar, indien we de zwaartepuntmethode nu toepassen, krijgen we al snel te maken met problemen aan

de boven- en ondergrens van onze uitgangsvariabele. Laten we hiervoor bijvoorbeeld kijken naar de

driehoeksvorm PG, uit bovenstaande figuur. We nemen de lidmaatschapsgraad voor PG gelijk aan

100%. Het zwaartepunt van deze driehoek ligt dan echter niet in 100, maar rond 80. We stelden

nochtans vast dat alle lidmaatschapsgraden gelijk waren aan 0, behalve die van PG. Bekijk figuur

6.6.4 a.

Figuur 6.6.4 : a) maximale uitgang is niet bereikbaar en b) correctie volgens uitgebreide

zwaartelijnmethode

23 | P a g i n a

We stellen met andere woorden vast dat de maximale uitgang (100) nooit bereikt kan worden. Dit

wordt echter gecorrigeerd door de uitgebreide zwaartepuntmethode. Deze spiegelt namelijk de

lidmaatschapskrommes die uiterst links en rechts liggen bij de zwaartelijnberekening. In figuur 6.6.4

.b ziet u nu dat het zwaartepunt wel in 100 ligt.

Defuzzificatie zorgt voor heel wat rekentijd. Men zoekt daarom naar vereenvoudigingen die het

regelresultaat amper beïnvloeden, maar de berekeningen sneller laten verlopen. Bij de zwaartelijn

bepaling moet het oppervlak worden bepaald van de omhullende kromme van alle

lidmaatschapscurves van de uitgangsvariabele. Dit oppervlak kent overlappingen. Deze overlappingen

worden dubbel gerekend door uit te gaan van de afzonderlijke figuren bij de berekening van het totale

oppervlak. De berekening echter is een pak eenvoudiger en wordt de vereenvoudigde zwaartelijn

methode genoemd.

Een derde vereenvoudiging of aanpassing kan voorkomen onder de lidmaatschapsfuncties voor de

linguïstische uitgangsvariabelen te definiëren als singletons. Men bekomt vervolgens de uiteindelijke

uitgang door het gewogen gemiddelde te nemen van de fuzzy-uitgangsset volgens:

Dit is de singletonmethode. We nemen het voorbeeld uit figuur 6.6.3. Indien we de uitgangsbegrippen

gaan herdefinieren als singletons (zoals weergegeven in figuur 6.6.5), krijgen we als uitgangswaarde

of zwaartepunt:

fuzzy set = 0/NG + 0/NK + .4/ON + .8/PK + .2/PG

Figuur 6.6.5: Voorbeeld – Singleton methode

24 | P a g i n a

7. Voorbeeld: Fuzzy-regeling van de

kamertemperatuur

7.1 Inleiding

In dit voorbeeld gaan we de werking beschrijven van een fuzzy regelaar die de kamertemperatuur gaat

regelen. De output van het proces (de te controleren grootheid) is de temperatuur. De input van het

proces of de uitgang van de regelaar is de knopstand van de verwarming.

We beginnen met eerst de menselijke, vage begrippen als “warm”, “goed” of “koud” te geven. Dankzij

deze begrippen kunne we de instelregels gemakkelijk opsommen. Dan gaan we verder met de werking

van de regelaar aan de hand van enkele voorbeelden aan bod. En uiteindelijk geven we een

simulatiemodel met enkele resultaten en een bespreking.

7.2 Definitie van linguïstische begrippen

In figuur 7.1 definieer de begrippen “warm", “goed” en “koud” door aan te geven in welke mate een

gegeven (constante) temperatuur inderdaad “koud”, “goed” of “warm” is. Deze begrippen zijn

absoluut. Dit wil zeggen dat de gewenste temperatuur (die hier 22°C is) vastgelegd zit in de

waarheidsfunctie. Het is eigenlijk beter om te werken met relatieve definities, zoals er aangetoond

wordt in figuur 7.2. Dit laat de instelling van een variabele setwaarde of gewenste waarde toe. Sowieso

starten we de oefening met de absolute definities. Het simulatiemodel op het einde van dit hoofdstuk

gebruikt wel de relatieve definities.

Als uitgangsbegrippen van de fuzzy-regelaar wordt meer verkozen voor singletons. Dit laat een

eenvoudige defuzzificatie toe. Figuur 7.3 definieert de knopstanden “dicht”, “half” en “open”. De

stand van de verwarmingsknop kan constant variëren van 0 tot 5. In stand 0 is de verwarming volledig

toe, in stand 5 volledig open.

Figuur 7.1: Definitie van de constante ingangsbegrippen “koud”, “goed” en “warm”.

25 | P a g i n a

Figuur 7.2: Definitie van de relatieve ingangsbegrippen “te warm”, “goed”en “te koud”.

Figuur 7.3: Definitie van de uitgangsbegrippen “dicht”, “half” en “open” als singletons.

Merk op dat de definities volgens figuren 7.1 tot en met 7.3 niet de enige zijn die mogelijk zijn. Er zijn

nog meerdere mogelijkheden. De keuze van de waarheidsgraden is eerder willekeurig. Er bestaat geen

regel voor een optimale keuze van de waarheidsfuncties. Andere definities dan deze uit figuren 7.1 tot

en met 7.3 kunnen ook goede resultaten opleveren.

26 | P a g i n a

7.3 De regelkring en de instelregels

Figuur 7.4 geeft in grote lijnen de regelkring weer. De regelmatrix volgt uit enkele onwillekeurige

regels. Met betrekking tot een temperatuurregeling kunnen we steeds het volgende stellen: “Indien het

koud is, zet de verwarming dan open.”, of korter “Als koud, dan open”.

Mogelijke regels zijn dan:

R1 : Als koud, dan open.

R2 : Als goed, dan half.

R3 : Als warm, dan dicht.

R4 : Als warm en half open, dan dicht

R5 : Als koud en half open, dan open.

Figuur 7.4: De regelkring

De regels van R1, R2 en R3 spreken voor zich. De regels van R4 en R5 gebruiken twee

ingangswaarden die een verschillende eenheid hebben. De EN-functie komt overeen met de minimum-

operator. De kleinste waarheidsgraad moet hier behouden blijven. Om de oefening eenvoudig te

houden, verwerpen we deze regels. Het is logisch dat de regelaar de temperatuur naar “goed” moet

regelen. De omschrijving van “goed” geeft aan dat dit 22°C is. Anderzijds zegt regel R2 dat “goed”

overeenkomt met de stand “half” dat volgens de omschrijving met de knopstand van 2,5 overeenkomt.

Dit veronderstelt dat de procesgegevens zodanig zijn dat voor de stand 2,5 de temperatuur in de kamer

uiteindelijk naar 22°C gaat. Indien dit niet zo is, dan zijn de regel fout opgedeeld.

7.3.1 De regel-matrix

Uit de eenvoudige keuzes en definities van de begrippen en uit het vermijden van samengestelde

regels bekomen we de bovenstaande matrix van de regelaar.

27 | P a g i n a

7.4 De werking van de regelaar

7.4.1 Fuzzyficatie-stap

Stel dat de temperatuur in een kamer 23°C is. Deze waarde moet eerst in de correcte “termen”

schrijven. We moeten de waarde dus fuzzy maken. Dit kan gebeuren volgens figuur 7.5.

Figuur 7.5: Fuzzificatie

Alle mogelijke (constante) temperaturen stemmen overeen met een waarheidsgraden die horen bij

“warm", “goed” en “koud”.

Voor 23°C is dit : 23 = 0 (koud) + 0,5 (goed) + 0,5 (warm).

Voor 20,5°C is dit: 20,5 = 0,75 (koud) + 0,25 (goed) + 0 (warm)

Dit levert de waarheidsgraden van de ingangsset voor de beschouwde constante temperatuur op. In

figuur 7.5 werden de oppervlakten bij de definities die van toepassing zijn ingekleurd met als hoogte

de waarheidsgraad.

28 | P a g i n a

7.4.2 Berekenen van de uitgangsset

Laten we nu de regels R1, R2 en R3 toepassen op deze ingangsset van waarheidsgraden. Dan kunnen

we zo de bijbehorende uitgangsset (waarheidsgraden bij de mogelijke knopstanden) bekomen.

Als er een temperatuur gelijk aan 23°C is, zijn de regels: “Als goed, dan half” en “Als warm, dan

dicht” van toepassing. Omdat beide regels voor de helft waar zijn, zijn ook de overeenkomstige

uitgangswaarden voor de helft waar. Dit wordt weergegeven in figuren 7.6a en 7.6b.

"Als goed, dan half "

Figuur 7.6a: Waarheidsgraden en toepassing van de regels bij 23°C

"Als warm, dan dicht"

Figuur 7.6b: Waarheidsgraden en toepassing van de regels bij 23°C

29 | P a g i n a

Als er een samengestelde regel is of als er meerdere input-signalen zijn, moeten de regels

gecombineerd worden. Dit kan gebeuren met een EN-functie of een OF-functie. Sowieso zijn er in

beide gevallen meerdere regels van toepassing voor dezelfde uitgangswaarde.

We nemen als voorbeeld de volgende samengestelde regel:

R6: Als warm, maar niet zeer warm, dan half.

Om R6 toe te kunnen passen, moet de curve van de fuzzyficatie “niet zeer warm” worden opgesteld.

Dit gebeurt door de definitie van warm eerst te kwadrateren en daarna te inverteren. Zie figuur 7.7.

De regel R6 vereist twee voorwaarden voor de uitgang “half”. Namelijk de EN-functie “warm”

MAAR/EN “niet zeer warm”.

De minimum toebehoringsgraad van de gegeven temperatuur volgens de definities “warm” en “niet

zeer warm” geldt als toebehoringsgraad voor de knopstand “half”.

Voor 23,5°C is de waarheidsgraad voor “half” = 0,438 (Zie figuur 7.7)

Om de OF-functie te illustreren nemen we terug regel R3 samen met regel R6. Dit doen we omdat

beide regels aangeven wat de waarheidsgraad van de definitie “half” zal worden. Deze twee regels

kunnen we combineren tot een gemeenschappelijke regel dan zegt:

Als warm en niet zeer warm OF als goed, dan half.

"Als warm, maar niet zeer warm dan half"

Figuur 7.7: Voorbeeld van de samengestelde regel

30 | P a g i n a

De OF-functie wordt omgezet in het maximum van de overeenkomstige waarheidsgraden. Figuur 7.8

toont een voorbeeld voor een ingangstemperatuur gelijk aan 23,5°C.

"Als goed, dan half"

"Als warm, maar niet zeer warm dan half"

Figuur 7.8: Toepassing van maximum bij meerdere regels voor 1 uitgang

De totale uitgangsset wordt hier (met R6 inbegrepen): 0,75 (dicht) + 0,438 (half) + 0 (open).

In de volgende paragrafen wordt R6 niet meer meegerekend.

De figuren 7.6a, 7.6b, 7.7 en 7.8 tonen een grafische afleiding van de toebehorende graden voor de

uitgangset. Als het aantal regels net zoals het aantal combinaties toeneemt, wordt deze grafische

procedure onhandig. De manier van werken via een regel-matrix is dan meer toegewezen.

7.4.3 De defuzzyficatie stap

Tenslotte moet de uitgangset tot één welbepaalde uitgangswaarde omgevormd worden. We moeten de

uitgangsset defuzzyfieëren volgens een van de in hoofdstuk 1 aangegeven methodes. Omwille van de

eenvoud verkiezen we de singleton methode boven de zwaartepuntmethode. Bij een temperatuur van

23°C hoort de uitgangsset 0,5 (dicht) + 0,5 (half) + 0 (open). Bij de singleton methode wordt deze set

herleid tot één enkele knopstand volgens de regel van het gewogen gemiddelde:

Voor de gegeven waarden is dit:

Bij 23°C bedraagt de uitgangswaarde 1,25. Reken zelf eens uit wat de knopstand zal worden bij een

gemeten temperatuur gelijk aan 22,5°C?

Antwoord: 1,875.