Download - Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

1

Logica & Verzamelingen

Prof. Dr J.-J. Ch. MeyerICS - UU

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 2

Logica & Verzamelingen

� Logica:� Verplicht boek “The Essence of Logic” door

John Kelly, Prentice Hall

� Verzamelingen:� Verplicht boek “Set Theory and Related

Topics” door Seymour Lipschutz, Schaum’s Outlines, McGraw-Hill


Logica

� λογικη (logikè) = de logos (rede) betreffend� Definities van ‘logica’

� De kunst van het redeneren� Leer omtrent het opstellen van begripsoordelen en

het trekken van gevolgtrekkingen uit tweebijeenbehorende oordelen

� Denkleer� Leer van het juist redeneren


Raakvlakken

� Argumentatieleer� Kennisrepresentatie� Inferentie(systemen)� Cognitieve psychologie & AI

� descriptief gebruik van logica

� Normatieve wetten� prescriptief gebruik van logica


Geschiedenis van de logica

� Aristoteles syllogismen� Leibniz characteristica universalis,

ars combinatoria� Boole boole’se algebra

� Frege Begriffschrift� Peano axioma’s rekenkunde


Geschiedenis van de logica

� Russell & Principia MathematicaWhitehead

� Hilbert formalistische wiskunde� Gödel (on)volledigheidsstellingen

� Tarski semantiek� Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus

waarheidstafels

2


Correspondentie

� Syntax ↔ Semantiek (betekenis)

� taal ↔ wereld� propositie ↔ feit� prim. prop. ↔ stand van zaken� naam ↔ object

� Bewijsbaarh. ↔ Waarheid� Formalisme ↔ Model


Logica & (wiskundig) redeneren

� Contrapositie� Stelling: P ⇒ Q� Bewijs: bewijs ¬Q ⇒ ¬P

� Reductio ad absurdum (bewijs uit hetongerijmde)� Stelling: P� Bewijs: neem aan ¬P. Dan … :

contradictie. ∴ P


Logica & (wiskundig) redeneren

Voorbeeld contrapositie:� Stelling: even(n2) ⇒ even(n)� Bewijs: we bewijzen:� ¬even(n) ⇒ ¬even(n2)

� Bewijs: oneven(n) ⇒n = 2a + 1 (a ∈ N) ⇒n2 = 4a2 + 4a + 1 ⇒oneven(n2) Q.E.D.


Logica & (wiskundig) redenerenVoorbeeld Reductio ad absurdum� Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen

(P)� Bewijs: Stel ¬P: er zijn slechts eindig veel

priemgetallen: p1, …, pn.� Beschouw nu m = (p1• …• pn) + 1. Nu pi is

geen deler van m (voor alle i). Dus m is priem. Echter m ≠ pi (voor alle i) omdat m>pi(alle i). Contradictie. Dus P: er zijn oneindigveel priemgetallen. Q.E.D.


Logica & informatica

� Hardware poorten, circuits� Software programma’s

� i.h.b. logisch programmeren (PROLOG)

� Theorie wiskundig en logisch van aard

� i.h.b. programmacorrectheid

� Applicaties� Gegevens- en kennisbanken� Kunstmatige intelligentie en

kennisrepresentatie (expertsystemen)


Waarschuwing vooraf!

� Object van studie van de logica is hetredeneren, maar om erover te pratenredeneren we vaak ook in ‘meta-taal’.

� Soms gaan we zelfs op nog hogereniveaus praten: redeneren over eenmeta-notie…

� Dit kan soms verwarrend zijn. Houdaltijd het niveau goed in de gaten!

3

Basistheorie propositielogica

waarheidstafelslogische equivalentie

logisch gevolg

consistentie en geldigheidLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 14

Basisingrediënten logica

� Logische connectieven� ∧ en

� ∨ of

� ¬ niet

� → impliceert, als … dan …

� ↔ bi-impliceert, als en slechts als

� Proposities worden opgebouwd m.b.v. dezelogische connectieven (en atomen)


Waarheidswaarden

� Een propositie heeft eenwaarheidswaarde: waar (T) of onwaar(F)

� We schrijven v(A) voor de waarheidswaarde (‘value’) van A

� T en F worden soms ook welaangegeven met 1 resp. 0


Waarheidstafels

� Waarheidstafels geven een uitputtendeopsomming van waarheidswaarden van de constituerende proposities van eenlogische uitdrukking

� Bijv. voor de negatie geldt:� v(¬A) = T als v(A) = F� v(¬A) = F als v(A) = T


Waarheidstafel van ‘niet’

FT

TF

¬AA


Waarheidstafel voor ‘en’

TTT

FFT

FTF

FFF

A∧BBA

4


Waarheidstafel voor ‘of’

TTT

TFT

TTF

FFF

A∨BBA


Waarheidstafel voor ‘als-dan’

TTT

FFT

TTF

TFF

A→BBA


Waarheidstafel voor ‘aesa’

TTT

FFT

FTF

TFF

A↔BBA


Opmerking over implicatie� De implicatie in klassieke propositielogica

komt niet helemaal overeen met de ‘als …dan’ in natuurlijke taal!

� Vergelijk:� Als de maan van kaas is, dan zal het oppervlak

wel lekker smaken� Als de maan van kaas is, dan is 2 x 2 = 5

� Beide proposities zijn waar omdat de premisse onwaar is, maar de eerste lijkt veel‘zinniger’ dan de tweede!


Alternatieve representatie

� Boomvorm� Bijv. voor ‘en’:

A

B B

F

F F

T

TT

TFFF


Alternatieve beschrijvingwaarheidstafelsGegeven v: atomen → {F, T}, breid v uit op

complexe proposities:� v(¬A) = T ⇔ niet v(A) = T

� v(A ∧ B) = T ⇔ v(A) = T en v(B) = T

� v(A ∨ B) = T ⇔ v(A) = T of v(B) = T

� v(A → B) = T ⇔ als v(A) = T dan v(B) = T

� v(A ↔ B) = T ⇔ v(A) = T aesa v(B) = T

� v(0) = F

5


WaarheidstoekenningsfunctieGegeven valuatiefct v: atomen → {0,1}, breid v

uit tot complexe proposities als volgt:� v(¬A) = 1 − v(A)� v(A ∧ B) = min {v(A), v(B)}� v(A ∨ B) = max {v(A), v(B)}� v(A → B) = max {1 − v(A), v(B)}� v(A ↔ B) = min{ max {1 − v(A), v(B)},

max {1 − v(B), v(A)} }� v(0) = 0


Nog een alternatieve definitie

� Door i.p.v. v(A) = T te schrijven v ⊨ A (“v maakt A waar”), krijgen we de zgn. Tarskiaanse waarheidsdefinitie voorpropositielogica

� Tarskiaanse definities kunnen worden gegeneraliseerd tot de meer complexelogica’s die we later nog zullen zien(predicatenlogica en de logica’s in het vakLogica voor AI).


Waarheidsdefinitie à la Tarski� v ⊨ p ⇔ v(p) = T voor atoom p� v ⊨ ¬A ⇔ v ⊭ A� v ⊨ A ∧ B ⇔ v ⊨ A en v ⊨ B� v ⊨ A ∨ B ⇔ v ⊨ A of v ⊨ B� v ⊨ A → B ⇔ als v ⊨ A dan v ⊨ B� v ⊨ A ↔ B ⇔ v ⊨ A aesa v ⊨ B

� v ⊭ 0


Model van een bewering

� De waarheidswaarde van een beweringhangt af van de waarheidstoekenning aan deatomen die erin voorkomen.

� Een waarheidstoekenning aan de atomenzodanig dat v(A) = T wordt een model van de bewering A genoemd� [Met de Tarskiaanse waarheidsdefinitie (v ⊨ A) in

gedachten, kunnen we in feite dat model (die waarheidstoekenning) aanduiden met v zelf]


Model van een verzamelingbeweringen� Zij {A1, …, An} een verzameling

beweringen. � Een waarheidstoekenning aan atomen

is een model van de verzameling{A1, …, An} als geldt dat die waarheidstoekenning elke Ai waarmaakt, d.w.z. v(A1) = … = v(An) = Tonder die waarheidstoekenning.


Tautologie en contradictie

� Als een logische expressie in allegevallen de waarheidswaarde T heeft, noemen we deze expressie eentautologie.

� Als een logische expressie in allegevallen de waarheidswaarde F heeft, noemen we deze expressie eencontradictie.

6

31

Voorbeeld: (A∧∧∧∧B)→→→→ (C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C))

TTTFFTTTT

TTTTFTFTTTTFFTFTFTTTTTTFFFTTTTFFFTTFTTTTFFFTFTTFFTFTFF

TTTTTFFFF

(A∧∧∧∧B)→→→→(C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C))

C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C)

¬B→→→→¬C¬C¬BA∧BCBA


Voorbeeld: P∧¬P

FFT

FTF

P∧¬P¬PP


N.B.

� Een contradictie A heeft geen modellen, d.w.z. geen waarheidstoekenning aande atomen zodat v(A) = T.


Logische equivalentie

� Twee logische expressies zijn logischequivalent als ze dezelfdewaarheidstafel hebben (d.w.z. bij elketoekenning van waarheidswaarden aande atomen dezelfde waarheidswaarde)

� Notatie: A ≡ B : A en B zijn logischequivalent


Voorbeeld

TTT

FFT

FTF

FFF

A∧BBA


Voorbeeld

TFFFTT

FTTFFT

FTFTTF

FTTTFF

¬(¬A∨¬B)¬A∨¬B¬B¬ABA

7


Voorbeeld

� Dus:

A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)


Stelling

A ≡ B

⇔

A ↔ B is een tautologie


Bewijs

A ≡ B ⇔

[voor alle v: v(A) = T ⇔ v(B) = T] ⇔

[voor alle v: v(A ↔ B ) = T] ⇔

A ↔ B is een tautologie


Nogmaals tautologie en contradictie

� We gebruiken het symbool 1 om eenpropositie aan te duiden die altijdwaarheidswaarde T (1) heeft.

� We gebruiken het symbool 0 om eenpropositie aan te duiden die altijdwaarheidswaarde F (0) heeft.

� Voor een tautologie A geldt dus A ≡ 1� En voor een contradictie A geldt A ≡ 0


Wetten van logischeequivalentie

� A ∧ 0 ≡ 0� A ∧ 1 ≡ A� A ∨ 0 ≡ A� A ∨ 1 ≡ 1� A ∧ A ≡ A� A ∨ A ≡ A


Wetten van logischeequivalentie� A ∧ 0 ≡ 0� A ∧ 1 ≡ A� A ∨ 0 ≡ A� A ∨ 1 ≡ 1� A ∧ A ≡ A� A ∨ A ≡ A� A ∧ ¬A ≡ 0� A ∨ ¬A ≡ 1� ¬¬A ≡ A

� A ∧ B ≡ B ∧ A� A ∨ B ≡ B ∨ A� A ∧ (A ∨ B) ≡ A� A ∨ (A ∧ B) ≡ A� A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B� A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B� (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ≡ A� A → B ≡ ¬A ∨ B� A → B ≡ ¬(A ∧ ¬B)

8


Wetten van logischeequivalentie (2)

� Distributiviteit� A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)� A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

� Wetten van De Morgan� ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B� ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

� Logische equivalentie voldoet aan de wetten van een Boole’se algebra.


Eliminatie van connectieven� We hebben gezien dat A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)

� Dat wil dus zeggen dat uitdrukkingen met ∧kunnen worden uitgedrukt in ¬ en ∨, en dus‘geëlimineerd’.

� Verder geldt: A → B ≡ ¬A ∨ B� En A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ (¬A ∨ B) ∧

(¬B ∨ A)� Dus we kunnen volstaan met de

connectievenverzameling {¬, ∨}


Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling

� {¬, ∨} heet een voldoende (in Kelly ‘sufficient’ genoemd) verzamelingconnectieven. Andere van zulkevoldoende connectievenverzamelingenzijn:

� {¬, ∧}� {→, 0}


Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling� {¬, ∧} is voldoende:

� A ∨ B ≡ ¬(¬A ∧ ¬B)� A → B ≡ ¬A ∨ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)� A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ …

� {→, 0} is voldoende:� ¬A ≡ A → 0� A ∨ B ≡ ¬(¬A) ∨ B ≡ ¬A → B ≡ (A → 0) → B� A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B) ≡ ¬(A → ¬B) ≡

(A → (B → 0)) → 0� A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ …


Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling

� {|}, waarbij ‘|’ de zgn ‘nand’ is� P | Q ≡ ¬(P ∧ Q)

� ¬P ≡ P | P� P ∧ Q ≡ ¬(P | Q) ≡ (P | Q) | (P | Q)

� {↓}, waarbij ‘↓’de zgn ‘nor’ is� P ↓ Q ≡ ¬(P ∨ Q)

� ¬P ≡ P ↓ P� P ∨ Q ≡ ¬(P ↓ Q) ≡ (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q)


Consistentie

� Een verzameling beweringen is consistent als ze alle tegelijk waarkunnen zijn; anders inconsistent

� Om de consistentie van {A1, …, An} te controleren maken we dus eenwaarheidstafel van de bewering A1∧ …∧ An en kijken of v(A1∧ … ∧ An) = T in de tafel ergens voorkomt.

9


Voorbeeld

� {P, ¬Q, Q →¬P} is consistent

� {P, Q, Q →¬P} is inconsistent

50

{P, ¬Q, Q →¬P} is consistent

F

F

T

T

¬P

FTFTF

FTTFF

FFFTT

TTTFT

P ∧¬Q ∧(Q→¬P)

Q →¬P¬QQP

51

{P, Q, Q →¬P} is inconsistent

F

F

T

T

¬P

FTTF

FTFF

FFTT

FTFT

P ∧ Q ∧(Q→¬P)

Q →¬PQP


N.B.

� We merken dus op dat geldt:

{A} is inconsistent ⇔ A ≡ 0

� Niet: {A} is consistent ⇔ A ≡ 1� (alleen ‘⇐’)


Argumenten: geldigheid

� Beschouw het argument:� Als het regent, dan worden de daken nat� Het regent� Dus: de daken worden nat

� In formele logica:� R → N� R� ∴∴∴∴ N


Checken van geldigheid

� Om de geldigheid van een argument te controleren moeten we nagaan of als de premissen waar zijn ook de conclusievan het argument waar is

� Formeler: bekijk argument A1, …, An ∴∴∴∴ B

� Dit is geldig als v(A1) = T en … en v(An) = T impliceert dat v(B) = T

10


Logisch gevolg

� Als de conditie� v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T

geldt, dan noemen we B een logischgevolg van A1, …, An

� Notatie: A1, …, An ⊨ B� Dus: als A1, …, An ⊨ B geldt dan is het

argument A1, …, An ∴∴∴∴ B geldig!!


Voorbeeld

� Het argument

R → N, R ∴∴∴∴ Nis geldig, omdat geldt dat

R → N, R ⊨ N(en dit kunnen we weer checken m.b.v. waarheidstafels.)


Voorbeeld

TTTTT

FFFFT

TFTTF

FFTFF

N(R → N) ∧ R

R → NNR


Voorbeeld

T

T

T

T

((R → N) ∧ R) → N

TTTT

FFFT

TFTF

FFFF

N(R → N) ∧ R

NR


Observatie

� We zien dus� Enerzijds:

R → N, R ⊨ N

� Anderzijds:

((R → N) ∧ R) → N is een tautologie

� Dit is niet toevallig


Stelling

A1, …, An ⊨ B

⇔

(A1 ∧ … ∧ An) → B is een tautologie

11


BewijsA1, …, An ⊨ B ⇔

[voor alle v: v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T] ⇔

[voor alle v: v(A1 ∧ … ∧ An) = T ⇒ v(B) = T] ⇔

[voor alle v: v(A1 ∧ … ∧ An → B ) = T] ⇔

(A1 ∧ … ∧ An) → B is een tautologieLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 62

Nogmaals logisch gevolg

� De conditie� v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T

zegt in feite dat een willekeurig model van {A1, …, An } ook een model van B is.

� M.a.w. A1, …, An ⊨ B

zegt dat:“elk model van A1, …, An is ook ‘n model van B”


Ongeldige argumenten� Om te laten zien dat een argument

A1, …, An ∴∴∴∴ Bongeldig is, moeten we dus aantonen dat

A1, …, An ⊭ B.� D.w.z. dat er een model van {A1, …, An} is dat

geen model van B is!!!� M.a.w. we moeten in de waarheidstafel

zoeken naar een rij waar v(A1) = … = v(An) = T en v(B) = F.


Voorbeeld

� A, B → A ∴∴∴∴ B is geen geldig argument.

� Bewijs: we laten zien A, B → A ⊭ B

� M.a.w. dat er een model is van {A, B →A} dat geen model van B is

� M.a.w. dat er in de waarheidstafel eenrij is met v(A) = v(B → A) =T en v(B) = F.


Voorbeeld

TTTTT

FTTFT

TFFTF

FFTFF

B(B → A) ∧ A

B → ABA


Refutatiestrategie voorgeldigheid

� Om te zien of een argument A1, …, An∴∴∴∴ B geldig is moeten we dus nagaan of A1, …, An ⊨ B geldt.

� Hiervoor moeten we dus nagaan of elk model van {A1, …, An} ook een model van B is.

� We kunnen ook kijken of er een model van de verzameling {A1, …, An, ¬B} is.

12

67

Refutatiestrategie voorgeldigheid� Als dit niet het geval is (en dus de

verzameling {A1, …, An, ¬B} inconsistent is!), dan: voor alle waarheidstoekenningen v aanatomen geldt: � v(A1 ∧ …∧ An ∧ ¬B) = F, d.w.z. � v(A1 ∧ …∧ An ) = F of v(¬B) = F. D.w.z. � Als v(A1 ∧ …∧ An ) = T (≠ F) dan v(¬B) = F, dus

v(B) = T.

� D.w.z. elk model van {A1, …, An} is een model van B.


Refutatiestrategie voorgeldigheid

� Dus voor geldigheid van A1, …, An ∴∴∴∴ Bkun je ook laten zien dat de verzameling{A1, …, An, ¬B} inconsistent is!!!


Stelling

A1, …, An ⊨ B

⇔

{A1, …, An, ¬B} is inconsistent


Voorbeeld: R → N, R ∴∴∴∴ N:inconsistentie {R → N, R, ¬N}

FFTTT

FTFFT

FFTTF

FTTFF

(R → N) ∧R∧¬N

¬NR → NNR


Toepassing: logische circuits

∧

∧A

A

A

B

BA∧B

¬A

A∨B

¬


Van waarheidsfct naar circuit

� Gegeven een (waarheidstafel voor een) waarheidsfunctie R kunnen we op systematische manier een logischcircuit maken dat R realiseert:� Beschouw alle rijen waarvoor v(R) = T:

� Iedere rij levert een disjunct op die zelf bestaatuit een conjunctie van zgn literals.

� Vereenvoudig zo mogelijk mbv regels voor≡.

13

73

Voorbeeld

FTTTTFTTTTFTFFFTFTTF

TFTFFTFFFFFFR(A,B,C)CBA


Voorbeeld

� Deze procedure levert nu op voor R:(¬A ∧B ∧ ¬C) ∨(A ∧¬B ∧ C) ∨(A ∧ B ∧ ¬C)

� Een formule in zgn ‘Disjunctieve Normaalvorm’(DNF)

� Dit is logisch equivalent (≡) met:(B ∧ ¬C) ∨ (A ∧¬B ∧ C)

� Hiervoor circuit maken


Rechtvaardiging methode

� Beschouw tafel voor R uit het voorbeeld: uitdeze tafel blijkt: (voor alle v):� v(R) = T ⇔

(v(A) = F en v(B) = T en v(C) = F) of(v(A) = T en v(B) = F en v(C) = T) of

(v(A) = T en v(B) = T en v(C) = F) ⇔(v(¬A) = T en v(B) = T en v(¬C) = T) of(v(A) = T en v(¬B) = T en v(C) = T) of

(v(A) = T en v(B) = T en v(¬C) = T) ⇔


Rechtvaardiging methodev(¬A ∧ B ∧ ¬C) = T ofv(A ∧ ¬B ∧ C) = T ofv(A ∧ B ∧ ¬C) = T ⇔v((¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨(A ∧ ¬B ∧ C) ∨(A ∧ B ∧ ¬C))= T

� D.w.z.

R ≡ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C)


Functionele volledigheid� Gevolg: Elke waarheidsfunctie R (zoals

weergegeven door een waarheidstafel) is uitdrukbaar m.b.v. de logische connectieven¬, ∧ en ∨.

� Daarom heet een verzameling connectievenals {¬, ∧, ∨} ook wel functioneel volledig(functionally complete).

� Maar met wat we eerder hebben gezien zijndus ook verzamelingen als {¬, ∨}, {¬, ∧}, {→, 0}, {|} en {↓} functioneel volledig!


Alternatieve methoden om geldigheid formules te bepalen

� In de praktijk is het werken met waarheidstafels onhandig omdat ze erg grootworden in een beetje realistische toepassing: een waarheidstafel met n atomen heeft 2n

rijen.� Voor het vaststellen van geldigheid alle rijen

te bekijken: (te)veel werk.� Zoeken naar alternatieven: bijv. zgn.

semantische tableaux en (natuurlijke) deductie.

14

Semantische tableaux


Semantische tableaux� Een semantisch tableau is een (vertakkende)

sequentie van propositionele vormen, geconstrueerd volgens bepaalde regels, vaakgerepresenteerd in een boom

� Deze methode levert modellen voor eenformule als deze bestaan: ze geeft op systematische wijze aan welke atomen waarmoeten worden gemaakt om een formulewaar te maken, en geeft ook aan als dit nietkan!


Regels semantische tableaux

� Regel 1 (A ∧ B)

A ∧ BA

B



� Regel 2 (A ∨ B)

A ∨ B

A B



� Regel 3 (A → B)

A → B

¬A B



� Regel 4 (A ↔ B)

A ↔ B

A ∧ B ¬A ∧ ¬B

15



� Regel 5 (¬¬A)

¬¬AA



� Regel 6 (¬(A ∧ B))

¬(A ∧ B)

¬A ¬B



� Regel 7 (¬(A ∨ B))

¬(A ∨ B) ¬A

¬B



� Regel 8 (¬(A → B))

¬(A → B) A

¬B



� Regel 9 (¬(A ↔ B))

¬(A ↔ B)

A ∧ ¬B ¬A ∧ B



� Regel 0� Als een logische vorm A en z’n negatie ¬A

in een tak van tableau voorkomt is dezeinconsistent en wordt deze gesloten(‘closed’).

16


Voorbeeld: {¬(A → B), ¬A ∨ B} is inconsistent

¬(A → B)¬A ∨ B

¬A B

A A¬B ¬B

closed closed Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 92

Nogmaals en nu handiger

¬(A → B)¬A ∨ B

A¬B

¬A Bclosed closed


Wel of geen modellen?

� Als alle takken ‘sluiten’ dan is de verzameling proposities waar je meebegon inconsistent (d.w.z. heeft geenmodel)

� Als minstens een tak ‘open’ blijft, geeftdit een model voor de verzamelingproposities!


Voorbeeld: {P, Q, Q →¬P} is inconsistent

PQ

Q →¬P

¬Q ¬Pclosed closed


Voorbeeld: {P, ¬Q, Q →¬P} is consistent

P¬Q

Q →¬P

¬Q ¬P

closedModel: v(Q)=F, v(P)=T


Geldigheid van een formule

� Semantische tableaux leveren eensystematische manier om modellen van een propositie te vinden

� Als een propositie geen modellen heeft, is deze inconsistent

� Geldigheid is indirect te checken via:� A is geldig ⇔ ¬A is inconsistent

(contradictie)

17


Voorbeeld: A ∨ (¬B → ¬A) is geldig (tautologie)

¬(A ∨ (¬B → ¬A))¬A

¬(¬B → ¬A)¬B

¬¬AA

closedLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 98

Semantische tableaux en argumenten� We kunnen de semantische tableaux

methode ook gebruiken om te checken of argumenten geldig zijn

� Beschouw weer het argument:R → N, R ∴∴∴∴ N

� We hebben eerder gezien dat om de geldigheid hiervan aan te tonen hetvoldoende is om aan te tonen dat de verzameling {R → N, R, ¬N} inconsistent is, d.w.z. geen modellen heeft.


Semantische tableaux en argumenten� We doen dit nu met semant. tableaux:

R → NR

¬N

¬R Nclosed closed

� Dwz geen modellen: {R → N, R, ¬N} incon-sistent, dus argument R → N, R ∴∴∴∴ N geldig


Semantische tableaux en argumenten

� A, B → A ∴∴∴∴ B is geen geldig argument.� We laten met sem. tableaux zien dat de verzameling

{A, B → A, ¬B} consistent is, d.w.z. een model heeft:A

B → A¬B

¬B Anot closed not closed model v(A)=T, v(B)=F

Natuurlijke deductie

Gentzen systeemSequentencalculus


Deductie

� Tot nu toe voornamelijk ‘semantisch’naar logica gekeken:

� De noties waarheid, geldigheid, model, tautologie, logisch gevolg (⊨) stondencentraal

� Nu meer syntactisch (formeel in letterlijke zin): deductie of afleidbaarheidin een formeel systeem

18


Natuurlijke deductie

� Voorgesteld als ‘natuurlijk’ alternatiefvoor de Hilbert-stijl axiomatischesystemen van het volgend hoofdstuk

� Deductie zonder axioma’s maar loutermet regels

� Notatie: ⊥ = 0 (falsum)


Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (1): ∧I (∧-introductie)

A B

A ∧ B



� Regel (2): ∧E (∧-eliminatie)

A ∧ BA



� Regel (3): ∧E (∧-eliminatie)

A ∧ BB



� Regel (4): ∨I (∨-introductie)

A____A ∨ B



� Regel (5): ∨I (∨-introductie)

B____A ∨ B

19



� Regel (6): ∨E (∨-eliminatie)

A B. .

. .

A ∨ B C CC



� Regel (7): →I (→-introductie)A..

C_____A → C



� Regel (8): →E (→-eliminatie)

A A →CC



� Regel (9a): ⊥-introductie

A ¬A

⊥



� Regel (9): ⊥-eliminatie

⊥C



� Regel (10): RAA (Reductio Ad Absurdum)

¬A..⊥_____A

20



� Regel (10a): RAA (Reductio Ad Absurdum)

A..⊥_____

¬A



� Regel (11): Id (Identiteit)

A A


Natuurlijke deducties

� Deductie C uit assumpties A1, …, An

� Notatie: {A1, …, An} ⊢ C� Notatie: ⊢ C i.p.v. Ø ⊢ C

� L&V.natdeduct.ppt


Voorbeeld natuurlijke deductie

� {A∧B} ⊢ B ∧ A� Bewijs:

A∧B A∧BB A___________

B ∧ A


Voorbeeld natuurlijke deductie� ⊢ (A ∧ B) → (B ∧ A)� Bewijs:

A∧B A∧BB A___________

B ∧ A______________(A ∧ B) → (B ∧ A)


Voorbeeld natuurlijke deductie

� {B} ⊢ (A → B) � Bewijs:

AB_____B_____

A → B

21


{¬A} ⊢ (A → B)

� Bewijs:¬A A_____

⊥_____B_____

A → B


{A ∨ B, ¬B} ⊢ A

B ¬B______A ⊥_____

A∨B A A__________A


⊢ ¬¬A → A

� Bewijs:¬A1 ¬¬A2_______

⊥_______A_______

¬¬A → A


⊢ (¬B → ¬A) → (A → B)

¬B1 ¬B → ¬A3_____________

¬A A2_______

⊥____B_____

A → B__________________(¬B → ¬A) → (A → B)


Sequentencalculus

� De sequentencalculus combineert tweezaken:� De ‘natuurlijke’ wijze van bewijzen (zoals in

natuurlijke deductie)� Het gebruik van de strategie om een

tegenmodel te trachten te vinden (zoals bijsemantische tableaux)


Sequent

� Een sequent is een paar (L,R) waarbij L en R beide (evt. lege) rijen proposities zijn

� Notatie: L ⇒ R� Deze notatie is ingegeven door de

interpretatie van een sequent:� L ⇒ R betekent dat minstens één van de

proposities in L onwaar zijn of minstens één van de proposities in R waar zijn

22


Interpretatie van sequenten

� Bijv. A, B, C ⇒ D, E� (Equivalente) interpretaties:

� Als A en B en C waar dan D of E waar� A of B of C onwaar of D of E waar� Als D en E onwaar dan A of B of C onwaar

� Een sequent kan worden gezien als eenargument gecodeerd in een objecttaal


Onwaarheid van een sequent

� Bijv. de sequent

A, B, C ⇒ D, E� is onwaar als:� A en B en C waar en D en E onwaar

� [v(A) = v(B) = v(C) = T en v(D) = v(E) = F]


Deductie van sequenten

� We gaan in de calculus sequentenafleiden met behulp van regels

� Bewijzen zien er dus uit als:

L0 ⇒ R0

L1 ⇒ R1

.

Ln ⇒ Rn


Regels van de sequentencalculus

� Regel (1): R∧

Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2 ⇒ B, ∆2_______________________________

Γ1, Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1, ∆2


Rechtvaardiging Regel (1)

� We laten zien: als conclusie onwaar dan (minstens een) premisse onwaar.

� Stel dus Γ1, Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1, ∆2 onwaar.� Dan: v(Γ1) = v(Γ2) = T en v(A ∧ B) = v(∆1) =

v(∆2) = F� Notatie: v(∆) = T/F ⇔ v(D) = T/F voor alle D ∈ ∆.

� Dus v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en [v(A) = F of v(B) = F] en v(∆1) = F en v(∆2) = F


Rechtvaardiging Regel (1)� Dus:

� Of: [v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en v(A) = F en v(∆1) = Fen v(∆2) = F]

� Of: [v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en v(B) = F en v(∆1) = Fen v(∆2) = F]

� Dus:� Of: v(Γ1) = T en v(A) = v(∆1) = F� Of: v(Γ2) = T en v(B) = v(∆2) = F

� Dus Γ1 ⇒ A, ∆1 is onwaar of Γ2 ⇒ B, ∆2 is onwaar Q.E.D.

23



� Regel (2): L∧

Γ, A ⇒ ∆________________

Γ, A ∧ B ⇒ ∆



� Regel (3): L∧

Γ, B ⇒ ∆________________

Γ, A ∧ B ⇒ ∆



� Regel (4): R∨

Γ ⇒ A, ∆________________

Γ ⇒ A ∨ B, ∆



� Regel (5): R∨

Γ ⇒ B, ∆________________

Γ ⇒ A ∨ B, ∆



� Regel (6): L∨

Γ1, A ⇒ ∆1 Γ2, B ⇒ ∆2_______________________________

Γ1, Γ2, A ∨ B ⇒ ∆1, ∆2



� Regel (7): R→

Γ, A ⇒ B, ∆__________________

Γ ⇒ A → B, ∆

24



� Regel (8): L→

Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2, B ⇒ ∆2_______________________________

Γ1, Γ2, A → B ⇒ ∆1, ∆2



� Regel (9): R¬

Γ, A ⇒ ∆______________

Γ ⇒ ¬A, ∆



� Regel (10): L¬

Γ ⇒ A, ∆______________

Γ, ¬A ⇒ ∆



� Regel (11): RT

Γ ⇒ ∆____________

Γ ⇒ A, ∆



� Regel (12): LT

Γ ⇒ ∆____________

Γ, A ⇒ ∆



� Regel (13): RC

Γ ⇒ A, A, ∆________________

Γ⇒ A, ∆

25



� Regel (14): RC

Γ, A, A ⇒ ∆________________

Γ, A ⇒ ∆



� Regel (15): RR

Γ ⇒ A, B, ∆________________

Γ⇒ B, A, ∆



� Regel (16): LR

Γ, A, B ⇒ ∆________________

Γ, B, A ⇒ ∆



� Regel (17): Cut

Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2, A ⇒ ∆2_______________________________

Γ1, Γ2 ⇒ ∆1, ∆2



� Regel (18): Id

A ⇒ A


Voorbeeld bewijssequentencalculus

� ⇒ A → (B → A)� Bewijs:

� A ⇒ A� A, B ⇒ A� A ⇒ B → A� ⇒ A → (B → A)

26


Voorbeeld bewijssequentencalculus

� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)� Bewijs:

� A ⇒ A B ⇒ B� ⇒ ¬A, A ¬B, B ⇒� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)


Bewijsstrategie

� Zo’n bewijs is i.h.a. nog best moeilijk te vinden

� Gelukkig is er een bewijsstrategie die ons kan helpen: nl. probeer de te bewijzen formule te falsificeren!

� Zet de formules die dan waar moeten zijnlinks en de formules die onwaar moeten zijnrechts, en ga dan door met het achterwaartsconstrueren van het bewijs


Bewijsstrategie� Ik moet bewijzen de sequent L ⇒ R� Stel L ⇒ R onwaar� Dan alle wff in L waar en alle wff in R onwaar� Analyse levert een nieuwe sequent L’ ⇒ R’

die dan ook onwaar is� Maar dan betekent als L’ ⇒ R’ waar dan ook

L ⇒ R waar (“contrapositie op metaniveau”)� Maar dan een stukje bewijs gevonden:

L’ ⇒ R’L ⇒ R Logica &

Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 154

Voorbeeld� We willen bewijzen:� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)� De rechtse formule (en dan ook de sequent)

is onwaar als:� (¬A → ¬B) waar en (B → A) onwaar� zet (¬A → ¬B) links en (B → A) rechts

� ¬A → ¬B ⇒ B → A� [als vorige sequent onwaar, ook deze onwaar; en

dus omgekeerd, als deze waar ook vorige waar!]


Voorbeeld

� Rechtse formule B → A is onwaar als� B waar en A onwaar� Zet B links en A rechts

� ¬A → ¬B, B ⇒ A� Linkse formule ¬A → ¬B is waar als

� ¬A onwaar of ¬B waar� Splitsing in 2 sequenten:

� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ ALogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 156

Voorbeeld

� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ A� Linker sequent ¬A onwaar maken, dus A

waar maken en links zetten� Rechter sequent ¬B waar maken, dus B

onwaar maken en rechts zetten

� A, B ⇒ A B ⇒ A, B� Deze volgen direct uit A ⇒ A en B ⇒ B via LT

en RT, en zijn dus niet onwaar te maken!

27


Voorbeeld

� Dus bewijs:� A ⇒ A B ⇒ B� A, B ⇒ A B ⇒ A, B� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ A� ¬A → ¬B, B, B ⇒ A, A� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)


Voorbeeld

� Bewijs te vereenvoudigen:� A ⇒ A B ⇒ B�

� ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒�

� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)

Axiomatische propositielogica

Hilbert systeem


Axiomatische systemen

� Een axiomatisch (Hilbert) systeembestaat uit:� Alfabet Σ van symbolen� Verzameling WF van welgevormde

formules (wff’s): WF ⊆ Σ*� Verzameling Ax van axioma’s: Ax ⊆ WF� Verzameling R van (afleidings)regels


Deductie (afleiding)

� Deductie in een axiomatisch systeem� Een rij van wff F1, F2, …, Fn, zdd. voor elke

i:� Fi is een axioma in Ax� Fi is een hypothese in H� Fi kan worden afgeleid uit voorgaande formules

m.b.v. de afleidingsregels

� Notatie: H ⊢⊢⊢⊢ Fn

� Notatie: ⊢⊢⊢⊢ Fn i.p.v. Ø ⊢⊢⊢⊢ Fn (Fn is theorema)


MIU systeem (Hofstadter)

� Σ = {M, I, U}� WF = {M, I, U}*� Ax = {MI}� R = {

}

xI___

xIU

Mx___

Mxx

xIIIy___

xUy

xUUy_____

xy

28


Alleidingen in MIU

� Eenvoudig volgende theorema’s te bewijzen:� ⊢ MUI� ⊢ MUIIU� ⊢ MIUU

� (Meta-)Stelling: ⊬⊬⊬⊬ MU


Een Hilbert systeem voorpropositielogica

� Systeem AL is gedefinieerd door:

� Σ = {¬, →, (, ), p0, p1, p2, …, pn, …}

� WF = {x ∈ Σ* | x = pi (voor i ∈ N)of x = ¬A (voor een A ∈ WF) of x = A → B (voor A, B ∈ WF)}


Systeem AL

� Axioma’s Ax:� A →→→→ (B →→→→ A)� (A →→→→ (B →→→→ C)) →→→→ ((A →→→→ B) →→→→ (A →→→→ C)) � (¬A →→→→ ¬B) →→→→ (B →→→→ A)

� Regels R:� Uit A, A →→→→ B is B afleidbaar (Modus Ponens)


Voorbeeld deductie

� ⊢((p2 → p3) → (p2 → p2))� Bewijs:1. p2 → (p3 → p2)2. (p2 → (p3 → p2)) → ((p2 → p3) → (p2 → p2))3. ((p2 → p3) → (p2 → p2))


Gezondheid van AL� Met behulp van het axiomatische systeem AL

kun je theorema’s afleiden� Wil het systeem AL nuttig zijn zou je

verwachten dat alle af te leiden theorema’stautologieen zijn!

� D.w.z. voor alle F ∈ WF geldt:⊢F ⇒ ⊨F

� Dit heet de gezondheid (‘soundness’) van AL� Stelling: AL is gezond.


Volledigheid van AL

� Nog mooier is het natuurlijk als ook hetomgekeerde geldt:

� Alle tautologieen zijn afleidbaar in AL, d.w.z. voor alle F ∈ WF geldt

⊨ F ⇒ ⊢ F� Dit heet de volledigheid

(‘completeness’) van AL� Stelling: AL is volledig.

29


Bewijzen van gezondheid en volledigheid

� De gezondheid van AL is eenvoudig te bewijzen met inductie naar de lengte van afleidingen:� Basis: bewijs: axioma’s zijn geldig (tautologieën)� Inductiestap: het toepassen van de regel MP

behoudt geldigheid: bewijs dat als ⊨ A en ⊨ A → B dan ⊨ B.

� Het bewijzen van de volledigheid van AL is veel moeilijker en vereist veel techniek.


Andere axiomatischesystemen� Er zijn naast AL vele andere gezonde en

volledige axiomatische systemen voor de propositielogica voorgesteld.

� Voorbeeld (Lukasiewicz):� Axioma’s:

� (¬A →→→→ A) →→→→ A� A →→→→ (¬A →→→→ B)� (A →→→→ B) →→→→ ((B →→→→ C) →→→→ (A →→→→ C))

� Regel� Modus ponens


Extreme voorbeelden� Meredith

� Axioma� [(((A →→→→ B) →→→→ (¬C →→→→ ¬D)) →→→→ C) →→→→ E] →→→→ [(E →→→→ A) →→→→ (D →→→→ A)]

� Regel� Modus ponens

� Nicod� Axioma

� (A | (B | C)) | {[D |(D | D)] | [(E | B) | ((A | F) | (A | F))]}

� Regel� Uit A en A | (B | C) kunnen we C afleiden

Resolutie in propositielogica

normaalvormenresolutie


Introductie

� Resolutie is een mechanischebewijsmethode ontwikkeld door Robinson in de zestiger jaren.

� Het vormt de basis voor een heel programmeerparadigma: het zgn. logisch programmeren (met alsbekendste voorbeeld PROLOG).


Normaalvormen

� Literal� Atoom of negatie van een atoom

� Conjunctieve normaalvorm (CNF)� Conjunctie van disjuncties van literals� Vb. (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ s ∨ t) ∧ (¬p ∨ r)

� Disjunctieve normaalvorm (DNF)� Disjunctie van conjuncties van literals� Vb. (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬q ∧ s ∧ t) ∨ (¬p ∧ r)

30


Clauses � Clause

� (Eindige) disjunctie van literals� Clause vaak als een verzameling literals

gerepresenteerd� N.B. De lege clause stelt dus een disjunctie met 0

disjuncten voor, d.w.z. ⊥ = 0!!

� Een wff in CNF is een conjunctie van clauses� Representatie: verzameling clauses� N.B. De lege verz. clauses is een conjunctie met 0

conjuncten en stelt 1 (true) voor!!


Converteren naar CNF

� Stappen:1. Elimineer ↔ dmv A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)2. Elimineer → dmv A → B ≡ ¬A ∨ B3. Zorg ervoor dat de negatietekens direct voor

atomen staan mbv De Morgan’s wetten¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B en ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

4. Elimineer dubbele negaties mbv ¬¬A ≡ A5. Gebruik de distributieve wet A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨

B) ∧ (A ∨ C)


Voorbeeld� (¬p ∧ (¬q → r)) ↔ s� ((¬p ∧ (¬q → r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (¬q → r)))� ((¬p ∧ (¬¬q ∨ r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (¬¬q ∨ r)))� ((¬p ∧ (q ∨ r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (q ∨ r)))� (¬(¬p ∧ (q ∨ r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� ((¬¬p ∨ ¬(q ∨ r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� ((p ∨ (¬q ∧ ¬r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� (((p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬r)) ∨ s) ∧ ((¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ (q ∨ r)))� (((p ∨ ¬q) ∨ s) ∧ ((p ∨ ¬r) ∨ s)) ∧ ((¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ (q ∨ r)))

� (p ∨ ¬q ∨ s) ∧ (p ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ q ∨ r)


Representatie van een CNF� Een formule in CNF is een conjunctie van

clauses, gerepresenteerd als verzamelingclausesBijv. Formule in CNF: � (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ s ∨ t) ∧ (¬p ∨ r)wordt gerepresenteerd als:� {(p ∨ q ∨ ¬r), (¬q ∨ s ∨ t), (¬p ∨ r)}En zelfs als verzameling van verzamelingen:� {{p, q, ¬r}, {¬q, s, t}, {¬p, r}}


Complementair paar, resolvent

� Literals p en ¬p heten eencomplementair paarZij C1 en C2 clauses die eencomplementair paar λ, ¬λ bevatten

� Resolvent van clauses C1 en C2:� res(C1, C2) = (C1 \ {λ}) ∪ (C2 \ {¬λ}) � Vb. res({p, ¬q}, {q, ¬r}) = {p, ¬r}


Resolutieprincipe� Stelling: C1 ∧ C2 ⊨ res(C1, C2)

� Bewijs: Zij C1= {p1, p2, …, pm, λ} en C2 = {q1, q2, …, qn, ¬λ}. Dan: res(C1, C2) = {p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}. Beschouw nu een valuatie v met v(C1) = v(C2) = T. Twee gevallen:

� v(λ) = F: dan v(pi) = T voor een i, omdat v(C1) = T. Dusdan ook v({p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}) = T. Dusv(res(C1, C2)) = T

� v(λ) = T: dan v(¬λ) = F, en dus v(qi) = T voor een i, omdat v(C2) = T. Dus ook v(res(C1, C2) )= v({p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}) = T.

Dus C1 ∧ C2 ⊨ res(C1, C2) q.e.d.

31


Resolutie-deductie

� Een resolutie-deductie van een clause C uit een verzameling S van clauses:� is ‘n eindige rij clauses C1, C2, …, Cn = C,

zdd. iedere Ci is:� Hetzij een element van S� Hetzij een resolvent van twee clauses uit S of

eerdere elementen uit de rij


Voorbeeld� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ⊨ (r ∨ s)� Afleiding (in boomrepresentatie):

{p, q, r} {¬q, s} {¬p, s}

{p, r, s}

{r, s}


Resolutie-refutatie

� Om S ⊨ C te bewijzen kunnen we ookrefutatie bewijzen van S ∧ ¬C, die we dan evt. eerst even in CNF moeten brengen. D.w.z. we bewijzen dan: S ∧ ¬C ⊨⊥.

� Voorbeeld: � (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ⊨ (r ∨ s)� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬(r ∨ s) ⊨⊥� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬r ∧ ¬s ⊨⊥


Voorbeeld (vervolg)� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬r ∧ ¬s ⊨⊥� Afleiding:{p, q, r} {¬q, s} {¬p, s} {¬r} {¬s}

{p, r, s}

{r, s}

{s}{ }


Geldigheid van een argument� We kunnen resolutie ook gebruiken voor het

checken van de geldigheid van een argument� We bezien weer het voorbeeld:

R → N, R ∴∴∴∴ N� We weten dat dit argument geldig is als

R → N, R ⊨ N� Equivalent: als

R → N, R, ¬N ⊨ ⊥Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 186

Geldigheid van een argument

� (R → N) ∧ R ∧ ¬NEerst omschrijven naar CNF:

� (¬R ∨ N) ∧ R ∧ ¬NGerepresenteerd als

� {(¬R ∨ N), R, ¬N} Of ook:� {{¬R, N}, {R}, {¬N}}

32


Geldigheid van een argument

� Afleiding:{¬R, N} {R} {¬N}

{N} {¬N}

{ }

Introductie predicatenlogica

objecten, predicaten, functieskwantoren

1e orde talen

substituties, interpretaties


Syllogistische redeneringen

� Syllogistische redeneringen zoals� Alle mensen zijn sterfelijk� Socrates is een mens∴∴∴∴ Socrates is sterfelijk

kunnen niet met propositielogicaworden geanalyseerd


Objecten, predicaten, kwantoren

� Nodig:� Objecten, zoals Socrates� Predicaten, zoals sterfelijk� Kwantoren, zoals ‘alle’

� Redenering wordt nu formeel:� ∀x : M(x) → S(x)� M(s)∴∴∴∴ S(s)


Kwantoren

� Universele kwantor� Notatie: ∀� “voor alle”� Bijv. “(∀x)M(x)” of “(x) M(x)” of “∀x : M(x)”

� Existentiële kwantor� Notatie: ∃� “er is een”� Bijv. “(∃x)M(x)” of “∃x : M(x)”


Belangrijke formules

� Alle A zijn B:� Voor alle x: als x is A dan x is B� (∀x)(A(x) → B(x))

� Sommige A zijn B:� Er is x: x is A en x is B� (∃x)(A(x) ∧ B(x))

33


N.B.

� Volgorde kwantoren essentieel:� Groot verschil:

� (∀x)(∃y)A(x,y)� Voor elke x is er een y zdd A(x,y)

� (∃y)(∀x)A(x,y)� Er is een y zdd voor elke x A(x,y)


Kwantoren en eindig domein

� Als het domein van kwantificatie eindigis, zeg {a1, …, an}, zijn de universele en existentiele kwantoren eigenlijk nietsmeer dan een afkorting van een eindigeconjunctie resp. disjunctie:� (∀x)A(x) = A(a1) ∧ … ∧ A(an) � (∃x)A(x) = A(a1) ∨ … ∨ A(an)


Verband tussen ∀ en ∃� (∃x)A(x) ↔ ¬(∀x)¬A(x)

� (∀x)A(x) ↔ ¬(∃x)¬A(x)


Functiesymbolen

� We kunnen in de predicatenlogicafuncties (of liever functiesymbolen) gebruiken om te verwijzen naarobjecten

� Voorbeeld: Moeder(a), Succ(n)


1e orde talen

� Een 1e orde taal L bevat de volgendeingrediënten:� Alfabet

� Termen

� Welgevormde formules (wff’s)


Alfabet

� Alfabet van L:� Constanten c1, …, cn, …� Variabelen x1, …, xn, …� Functiesymbolen f11, …, fn1

1, …, f12, …, fn22, …, f13,

…, fn33, …, …

� Predicaatsymbolen P11, …, Pm1

1, …, P12, …, Pm2

2, …, P1

3, …, Pm33, …, …

� Logische symbolen ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃� Punctuatiesymbolen (, ), ,

34


Ariteit

� Het superscript bij de predicaten- en functiesymbolen slaat op de zgn. ariteit, d.w.z. het aantal argumenten

� Bijv. P73(x, y, z)

� Bijv. f52(x, y)


Termen

� Termen worden recursief gedefinieerd:� Iedere constante is een term� Iedere variabele is een term� Als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is ook

fin(t1, t2, …, tn) een term� Niets anders is een term


Welgevormde formules

� Ook welgevormde formules (wff) worden recursief gedefinieerd:� Als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is

Pin(t1, t2, …, tn) een wff

� Als A en B wff’s zijn, dan zijn ook ¬A, A ∧ B, A ∨B, A → B en A ↔ B wff’s

� Als A een wff is, dan zijn ook (∀xi)A en (∃ xi)A wff’s

� Niets anders is een wff


Kwantoren: scope en binding

� Scope van een kwantor� In (∀x)A en (∃x)A is A de scope van de

betreffende kwantor

� Binding van voorkomens van variabelen� Als een variabele x voorkomt in de scope

van een kwantor (∀x) of (∃x), heet ditvoorkomen gebonden; anders vrij


Voorbeelden

� In (∃x)A(x,c) komt x gebonden voor� In (∃x)(A(x,c) ∧ B(y)) komt x gebonden

voor en y vrij

� In (∃x)(A(x,y) ∧ (∀y)B(y)) komt x gebonden voor en y zowel gebondenals vrij!!


Gesloten wff’s

� Een wff is gesloten als deze geen vrijevoorkomens van variabelen bevat

� Voorbeelden:� A(c1, f(c2)) gesloten� (∀x)(∀y) A(x, f(y)) gesloten� (∀x) A(x, f(y)) niet gesloten

35


Substitutie� Substitutie van term t voor variabele x in

formule A : � Vervang elk vrij voorkomen van x in A door t� Officiële notatie: A[t/x]� Kelly’s notatie: A(x) --substitutie t voor x--> A(t)

� Bij substitutie moeten we uitkijken dat we geen ongewenste verbanden tussenvariabelen aan brengen, bijv.� (∀x) A(y) --substitutie x voor y--> (∀x) A(x) !


Substitutie, vrij voor x

� We mogen alleen t voor x in A substitueren als t vrij is voor x in A.

� Een term t is vrij voor xi in een wff A� Als geen vrije voorkomens van xi binnen

de scope van (∀xk) of (∃xk) vallen, waarbijxk in t voorkomt

� Bijv. term x is niet vrij voor y in (∀x) A(y),want er is een vrij voorkomen van y binnende scope van (∀x)


Semantiek

� Tot nu toe hebben we het alleen gehadover de syntax van een 1e orde taal.

� Nu gaan we over naar de semantiek(betekenis).

� Hiertoe hebben we 2 dingen nodig:� Een niet-leeg domein D van objecten� Een interpretatie-functie I


Interpretaties

� Een interpretatie(functie) I interpreteert

� Constante ci: I(ci) = ci ∈ D� Functiesymbool fin : I(fin) = fin : Dn → D� Predicaatsymbool Pi

n: I(Pin) = Ri

n ⊆ Dn


Valuaties (bedelingen)

� Een valuatie (of bedeling) m.b.t. eeninterpretatie I is een functie v van de termen van L naar het domein D zdd.� v(ci) = I(ci) voor constante ci

� v(fin(t1, t2, …, tn)) = fin(v(t1), v(t2), …, v(tn))� v(xi) ∈ D, d.w.z. iedere variabele heeft een

waarde in D


Voorbeeld

� D = N (verz. natuurlijke getallen)� Gegeven I, v met

� I(S) = Succ, I(+) = +, I(0) = 0

� v(+(S(0), x)) =+(v(S(0)), v(x)) =+(Succ(v(0)), v(x)) =+(Succ(0), v(x)) =+(1, v(x)) = v(x) + 1

36


Varianten van valuaties� Gegeven een valuatie v� We definieren een relatie op valuaties

v’ =x v� “v’ is een x-variant van v” of “v’ is gelijk aan v, evt.

op x na” (Kelly spreekt van ‘x-equivalent’)� voor alle variabelen y ≠ x: v’(y) = v(y) (en voor alle

constanten, functie- en predicatensymbolen zijn v en v’ ook gelijk)

� M.a.w. v’ en v kunnen alleen in hun waarde voor x verschillen, dus niet noodzakelijk v(x) = v’(x)


Satisfactierelatie ⊨� Zij I een interpretatie van L, en v een valuatie

mbt I. Dan definieren we vervolgens v ⊨ A (vmaakt A waar, ‘v satisfies A’) zoals op de volgende slide.

� N.B. eigenlijk meer correcte notatie: I, v ⊨ A� Notatie: alhoewel v als functie eigenlijk alleen

op termen is gedefinieerd, schrijven we ookwel v(A) voor de waarheidswaarde van wff A:� v(A) = T ⇔ v ⊨ A


Satisfactie (Tarskiaansesemantiek)

� v ⊨ Pin(t1, t2, …, tn) ⇔ Ri

n(v(t1), v(t2), …, v(tn)) geldt� v ⊨ ¬A ⇔ v ⊭ A� v ⊨ A ∧ B ⇔ v ⊨ A en v ⊨ B� v ⊨ A ∨ B ⇔ v ⊨ A of v ⊨ B� v ⊨ A → B ⇔ als v ⊨ A dan v ⊨ B� v ⊨ A ↔ B ⇔ v ⊨ A aesa v ⊨ B� v ⊨ (∀xi)A ⇔ v’ ⊨ A voor alle v’ =xi v� v ⊨ (∃xi)A ⇔ v’ ⊨ A voor een v’ =xi v


Voorbeeld: Er is een even natuurlijk getal� D = N, geg. I, v met I(Even)= Even� v ⊨ (∃x) Even(x) ⇔� v’ ⊨ Even(x) voor een v’ met v’ =x v ⇔� er is v’ en m ∈ D : v’ ⊨ Even(x) en v’(x)=m en

v’(y) = v(y) voor alle y ≠ x ⇔� er is v’ en m ∈ D : Even(v’(x)) en v’(x)=m en

v’(y) = v(y) voor alle y ≠ x ⇔� er is een m ∈ D : Even(m) ⇔� true


Waarheid

� Een wff A is waar in een interpretatie I� Notatie: I ⊨ A� Als voor elke valuatie v mbt I geldt: v ⊨ A

� Een wff A is onwaar in een interpretatie� Als voor elke v mbt I geldt: v ⊭ A� N.B. Dit is niet hetzelfde als I ⊭ A


Geldig en contradictoir

� Een wff A van een 1e orde taal L is logischgeldig (valid) � Notatie: ⊨ A� Als I ⊨ A voor elke interpretatie I, d.w.z. waar voor

elke valuatie v mbt elke I

� Een wff A van een 1e orde taal L is contradictoir� Als A onwaar is in elke interpretatie I, d.w.z.

onwaar voor voor elke valuatie mbt elke I

37


Geldige formules� ⊨(∀x)A ↔ ¬(∃x)¬A� ⊨(∃x)A ↔ ¬(∀x)¬A � ⊨(∀x)A → (∃x)A� ⊨(∀x)(∀y)A ↔ (∀y)(∀x)A� ⊨(∃x)(∃y)A ↔ (∃y)(∃x)A� ⊨(∃x)(∀y)A → (∀y)(∃x)A

� ⊨(∀x)A ↔ (∀y)A[y/x] als y niet in A voorkomt


Geldige formules

� ⊨(∀x)(A ∧ B) ↔ (∀x)A ∧ (∀x)B � ⊨(∃x)(A ∨ B) ↔ (∃x)A ∨ (∃x)B� ⊨(∀x)A ∨ (∀x)B → (∀x)(A ∨ B)� ⊨(∃x)(A ∧ B) → (∃x)A ∧ (∃x)B


Geldige formules

� ⊨(∀x)(A → B) → ((∀x)A → (∀x)B) � ⊨(∀x)(A → B) → ((∃x)A → (∃x)B)� ⊨(∀x)(A → B) ↔ (A → (∀x)B)

als x niet vrij voorkomt in A� ⊨(∀x)(A → B) ↔ ((∃x)A → B)

als x niet vrij voorkomt in B


Volledige (wiskundige) inductie� Stel we willen bewijzen:� ∀n ∈ N : P(n)� Dan is het voldoende te bewijzen:

� P(0) [inductiebasis]� ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N : P(n) →→→→ P(n+1) [inductiestap]

� Alternatief (equivalent!):� P(0) [inductiebasis]� ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N : (∀∀∀∀k ∈∈∈∈ N : 1≤k<n: P(k)) →→→→ P(n)

[inductiestap]


Volledige inductie

� Volledige inductie is een zeer krachtigmiddel om eigenschappen te bewijzenover oneindige domeinen (zoals de natuurlijke getallen, maar ook bijv. oneindige verzamelingen formules!)


Voorbeeld� P(n) ⇔ 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2� Claim: ∀n ∈ N+ : P(n)� Bewijs:

� Basis: Geldt P(1)? 1 = (1×2)/2 ok� Inductiestap: Stel P(n) voor n≥1. Dan te bew.

P(n+1): 1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) =(n(n+1) + 2(n+1))/2 =((n+1)(n+2))/2 ok

38


Voorbeeld: Elke term heefteen even aantal haakjes� P(t) ⇔ t bevat even aantal haakjes� Claim: P(t) voor alle termen t

� Basis: t heeft lengte 1: P(t) geldt voor alleconstanten c en variabelen x (aantal = 0: even) ok

� Inductiestap: bekijk het geval t = fin(t1, t2, …, tn) en stel dat P(t’) geldt voor alle termen met kleinerelengte dan t. Het aantal haakjes in t is 2 + de somvan de aantallen haakjes in t1 t/m tn. Ind.hyp: alle tihebben kleinere lengte dan t en hebben dus eeneven aantal haakjes. Maar dan heeft ook t eeneven aantal haakjes. ok


Stelling: verband substitutiesen valuaties mbt termen

� Termen t en s, valuatie v� Def. valuatie v{d/x} door:

� v{d/x}(x) = d� v{d/x}(y) = v(y) voor y ≠ x

� Dan geldt:v{v(s)/x}(t) = v(t[s/x])


Bewijs� Met inductie naar opbouw t:

� Basis:� t = x: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(x) = v(s) = v(x[s/x])

= v(t[s/x])� t = y ≠ x: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(y) = v(y) = v(y[s/x]) =

v(t[s/x])� t = c: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(c) = v(c) = v(c[s/x]) = v(t[s/x])

� Inductiestap:� t = f(t1,…tn): v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(f(t1,…,tn)) =

v{v(s)/x}(f)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) = v(f)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) = (IH:) v(f)(v(t1[s/x]),…, v(tn[s/x])) = v(f(t1[s/x],…tn[s/x])) = v(f(t1,…tn)[s/x]) =v(t[s/x])


Stelling: verband substitutiesen valuaties mbt formules

� A wff, s term die vrij is voor x in A� Dan geldt, voor alle v:

v{v(s)/x} ⊨ A(x) ⇔ v ⊨ A(s)� Officiele notatie:

v{v(s)/x} ⊨ A ⇔ v ⊨ A[s/x]ofwel

v{v(s)/x}(A) = v(A[s/x])


Bewijs

� Met inductie naar opbouw formule A:� Basis:

� A = Pi(t1,…, tn): v{v(s)/x} ⊨ Pi(t1,…, tn) ⇔v{v(s)/x}(Pi)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) ⇔v(Pi)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) ⇔ (stell.) v(Pi)(v(t1[s/x]),…, v(tn[s/x])) ⇔ v ⊨ Pi(t1[s/x], …, tn[s/x]) ⇔ v ⊨ Pi(t1, t2, …, tn)[s/x]


Bewijs� Inductiestap:

� A = ¬B: v{v(s)/x} ⊨ ¬B ⇔ v{v(s)/x} ⊭ B ⇔ (IH:) v ⊭ B[s/x] ⇔ v ⊨ ¬B[s/x]

� A = B ∧ B’, B ∨ B’, B → B’, B ↔ B’ analoog� A = (∀x)B: v{v(s)/x} ⊨ (∀x)B ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’ =x

v{v(s)/x} ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’ =x v ⇔ v ⊨ (∀x)B ⇔ v ⊨((∀x)B)[s/x]

� A = (∀y)B met y≠x: v{v(s)/x} ⊨ (∀y)B ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’=y v{v(s)/x} ⇔ (IH:) v” ⊨ B[s/x] voor alle v” =y v ⇔ v ⊨(∀y)B[s/x] ⇔ v ⊨ ((∀y)B)[s/x]

� A = (∃x)B, (∃y)B analoog

39


voor de predicatenlogica



� Ook voor de predicatenlogica kunnenwe werken met semantische tableaux

� In feite gebruiken we dezelfde regels alsvoor de propositielogica, aangevuld met een aantal regels voor de kwantoren.



� Regel 10 (∀)

(∀x)A(x)A(t)

waarbij t een (willekeurige) term is



� Regel 11 (∃)

(∃x)A(x)A(t)

waarbij t een term is die tot nu toe nogniet is gebruikt in de afleiding!!!



� Regel 12 (¬∀)

¬(∀x)A(x)(∃x)¬A(x)



� Regel 13 (¬∃)

¬(∃x)A(x)(∀x)¬A(x)

40


(∀x)A(x)→(∃y)A(y)

¬((∀x)A(x)→(∃y)A(y))(∀x)A(x)¬(∃y)A(y)(∀y)¬A(y)

¬A(a)A(a)

closed


Tot slot van het logica-deel� Dit was een inleiding in de logica en logische

technieken� Zoals we hebben gezien, zijn er vele logische

technieken, alleen al voor de klassiekepropositielogica (semantisch, bewijstheoretisch, computationeel)

� Belangrijk is die techniek(en) te gebruiken die voor de toepassing handig is en te allen tijdegoed in de gaten te houden waar je preciesmee bezig bent!!


Mixed Engineering Principle (MEP)

� Het door elkaar gebruiken van verschillendetechnieken is uiterst gevaarlijk (er spelen dan diverse noties en interpretaties van formulesdoor elkaar) en is alleen voorbehouden aangevorderden (als je meer dan 3 cursussen(voortgezette) logica achter de kiezen hebt en precies begrijpt wat je aan het doen bent)!

� Dus niet doen op het tentamen!