KWANTUMMECHANICA 1
HOOFDSTUK 3
J. Ryckebusch
Universiteit Gent
Academiejaar 2019-2020, 1e semester
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 1 / 47
Handboek
B.H. Bransden and C.J.
Joachain, “Quantum
Mechanics”, Second
Edition, ISBN 0582-35691-1
Hoofdstuk 1: Het ontstaan van de
kwantumtheorie
Hoofdstuk 2: De golffunctie en het
onzekerheidsbeginsel
Hoofdstuk 3: De
Schrodingervergelijking
Hoofdstuk 4: Een-dimensionale
voorbeelden
Hoofdstuk 5: Het formalisme van de
kwantummechanica
Appendix A: Fourierintegralen en de
Dirac deltafunctie
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 2 / 47
Hoofdstuk 3: De Schrodingervergelijking
3.1 De tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking
3.2 Behoud van waarschijnlijkheid
3.3 Verwachtingswaarden en operatoren
3.4 Transitie van kwantummechanica naar klassieke mechanica. Het
Ehrenfest theorema
3.5 De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking. Stationaire
toestanden
3.6 Energiekwantisatie
3.7 Eigenschappen van de energieeigenfuncties
3.8 Algemene oplossing van tijdsonafhankelijke
Schrodingervergelijking voor tijdsonafhankelijke potentiaal
3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 3 / 47
Erwin Schrodinger (1887-1961)
NOBELPRIJS FYSICA in 1933 voor zijn contributies tot de
ontwikkeling van de kwantummechanica
Contributies tot de kwantummmechanica
1 1926: afleiding van golfvergelijking en
berekening energieniveaus van
waterstofatoom (tijdsonafhankelijke
processen)
2 1927: kwantum harmonische oscillator,
“rigid rotor” en diatomische molecule
3 1927: Starkeffect en equivalentie met
Heisenberg’s formulering van
kwantummechanica
4 1927: formalisme voor tijdsafhankelijke
processen
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 4 / 47
3.1 Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (1)
laat toe de golffunctie van het systeem Ψ(~r , t) te berekenen uit de
kennis van een uitdrukking voor de energie in termen van(~r , ~p, t
)
(bijvoorbeeld, E(~r , ~p, t
)=
~p2
2m + V (~r , t))
is enkel van toepassing op NIET-RELATIVISTISCHE en
GESLOTEN systemen
kan NIET formeel afgeleid worden (analoog aan de wetten van
Newton)
kan WEL plausibel gemaakt worden
het bewijs, de evidentie??? ... voorspellingen op basis van de
Schrodingervergelijking waren/zijn conform met de resultaten van
ontzaglijk veel experimenten
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 5 / 47
Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking voor de beweging vaneen vrij deeltje (=deeltje met vaste impuls) in een dimensie
i~∂
∂tΨ(x , t) = −
~2
2m
∂2
∂x2Ψ(x , t)
EopΨ(x , t) =1
2m
[(px)op
]2Ψ(x , t)
Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking voor de beweging vaneen vrij deeltje (=deeltje met vaste impuls) in drie dimensies
i~∂
∂tΨ(~r , t) = −
~2
2m
[∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
]Ψ(~r , t)
EopΨ(~r , t) =1
2m
[(~p)
op
]2Ψ(~r , t)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 6 / 47
3.1 Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (2)
Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking voor de beweging vandeeltje in drie dimensies onder de invloed van een potentiaal
i~∂
∂tΨ(~r , t) =
[−
~2
2m∇2 + V
(~r , t
)]Ψ(~r , t)
EopΨ(~r , t) =
[1
2m
[(~p)
op
]2+ V
(~r , t
)]Ψ(~r , t)
De Laplaciaan
∇2 ≡∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (TDSE) is een lineaire
en homogene (geen constante term) partiele
differentiaalvergelijking (PDE)
Superpositiebeginsel wordt gerespecteerd: als Ψ1 en Ψ2
oplossing van TDSE, dan ook c1Ψ1 + c2Ψ2(c1, c2 ∈ C)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 7 / 47
3.1 Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (3)
TijdsafhankelijkeSchrodingervergelijking in vijf stappen
1 Bepaal de energie als functie van ~r , ~p, t :
E(~r , ~p, t
)
2 Vervang E door Eop = i~ ∂∂t
3 In E(~r , ~p, t
)vervang ~r , ~p door operatoren
~pop = −i~~∇ en, ~rop = ~r
4 Schrijf een partiele
differentiaalvergelijking (PDE)
EopΨ(~r , t
)= E
(~rop, ~pop, t
)Ψ(~r , t
)
5 Bepaal de oplossing Ψ(~r , t
)van de PDE
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 8 / 47
3.1 Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (4)
Klassiek: energie is een scalair en een functie van ~r , ~p, t
E(~r , ~p, t
)≡ Hcl
(~r , ~p, t
)
Hcl : Klassieke Hamiltoniaan van het deeltje
1 Vrij deeltje: Hcl =~p·~p2m
2 Harmonische oscillator: Hcl =~p·~p2m
+ 12k~r ·~r
Kwantummechanisch: de Hamiltoniaan wordt een operator
Eop
(~rop, ~pop, t
)≡ H
(~r ,−i~~∇, t
)
H: Kwantummechanische Hamiltoniaan = operator
1 Vrij deeltje: H = −~2
2m~∇ · ~∇
2 Harmonische oscillator: H = −~2
2m~∇ · ~∇+ 1
2k~r ·~r
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 9 / 47
3.1 Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (5)
In de tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (TDSE)
i~∂
∂tΨ(~r , t
)= H Ψ
(~r , t
)
werkt de kwantummechanische Hamiltoniaan H in op de
golffunctie
De werking van de operatoren:
~ropΨ(~r , t
)= ~r Ψ
(~r , t
)
~popΨ(~r , t
)= −i~~∇Ψ
(~r , t
)
= −i~
[∂Ψ
∂x~ex +
∂Ψ
∂y~ey +
∂Ψ
∂z~ez
]
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 10 / 47
3.2 Behoud van waarschijnlijkheid (1)
Voor een deeltje waarvoor de golffunctie Ψ(~r , t
)een oplossing
is van de tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking met een reele
potentiaal geldt
(d~r ≡ dxdydz
):
∂
∂t
∫
V
P(~r , t
)d~r =
∂
∂t
∫
V
Ψ∗(~r , t
)Ψ(~r , t
)d~r = −
∫
S
~j(~r , t
)· d~S
waarbij S het oppervlak is dat het volume V omsluit
1 P(~r , t
)= Ψ∗Ψ: positie waarschijnlijkheidsdichtheid
2 ~j(~r , t
): positie waarschijnlijkheidsstroomdichtheid (de “flux”)
~j(~r , t
)=
~
2mi
[Ψ∗
(~∇Ψ
)−
(~∇Ψ∗
)Ψ]= Re
{Ψ∗ ~
im~∇Ψ
}
3 zeer intuıtieve betekenis:
http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence theorem
3.2 Behoud van waarschijnlijkheid (2)Als potentiaal in Hamiltoniaan reeel is:
Continuıteitsvergelijking
~∇ ·~j(~r , t
)+∂
∂tP(~r , t
)= 0
Interpretatie: (verandering van de positie waarschijnlijkheid in een
welbepaald volume) = - (positie waarschijnlijkheidsstroom door
het oppervlak dat het volume omsluit)
Voor integratie over “de totale ruimte”
∂
∂t
∫P(~r , t
)d~r = 0 Behoud van waarschijnlijkheid
Behoud van waarschijnlijkheid = de normering van een golffunctie
Ψ(~r , t
)is geen functie van de tijd
(Of: eenmaal genormeerd, altijd genormeerd)
De Hamiltoniaan is hermitisch
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 12 / 47
3.2 Behoud van waarschijnlijkheid (3)
Hermiticiteit van de Hamiltoniaan
Een Hamiltoniaanoperator is hermitisch als aan de volgende
voorwaarde wordt voldaan∫
Ψ∗ (HΨ) d~r =
∫(HΨ)∗Ψd~r
waarbij Ψ een willekeurig element is van de functieruimte
(=verzameling van functies) waarop de operator H inwerkt
Opmerkingen
Integratie over “de volledige ruimte”:∫
d~r
Integratie over een gedeelte V van de ruimte:∫
Vd~r
Hamiltoniaan voor een deeltje in een reele potentiaal is
HERMITISCH
Hamiltoniaan voor een deeltje waarvoor ImV (~r , t) 6= 0 is NIET
HERMITISCH
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 13 / 47
3.3 Verwachtingswaarden en operatoren (1)
In de statistiek: eenmaal de WAARSCHIJNLIJKHEIDSDISTRIBUTIE
P(x , t) gekend kan de gemiddelde waarde 〈x〉 berekend worden
〈x〉 =
∫dx x P(x , t)
In de kwantummechanica: eenmaal de POSITIE
WAARSCHIJNLIJKHEIDSDICHTHEID P(~r , t) gekend kan de
verwachtingswaarde⟨~r⟩
berekend worden
⟨~r⟩=
∫d~r ~r P(~r , t) =
∫d~r Ψ∗(~r , t) ~r Ψ(~r , t)
Fysische interpretatie: de gemiddelde waarde die zal gevonden worden
na vele metingen van de positie ~r in een systeem
Verwachtingswaarde⟨f (~r , t)
⟩van een arbitraire functie f (~r , t)
⟨f (~r , t)
⟩~r=
∫d~r f (~r , t) P(~r , t) =
∫d~r Ψ∗(~r , t)f (~r , t)Ψ(~r , t)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 14 / 47
Verwachtingswaarde van de impuls? (1)
COORDINATENRUIMTE
Ψ(~r , t) golffunctie in de
coordinatenruimte
P(~r , t)d~r = Ψ∗(~r , t)Ψ(~r , t)d~r :
kans om bij meting van de
positie op het tijdstip t een
waarde te vinden in het
volumelement d~r rond ~r⟨~r⟩=
∫d~r ~r P(~r , t)
IMPULSRUIMTE
Φ(~p, t) golffunctie in de
impulsruimte
Π(~p, t)d~p = Φ∗(~p, t)Φ(~p, t)d~p:
kans om bij meting van impuls
op tijdstip t een waarde te
vinden in het volumelement d~p
rond ~p⟨~p⟩=
∫d~p ~p Π(~p, t)
Omdat Φ(~p, t) en Ψ(~r , t) met elkaar in verband staan via
Fouriertransformatie: in de coordinatenruimte
correspondeert met de impuls de operator ~pop = −i~~∇ .
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 15 / 47
Verwachtingswaarde van de impuls? (2)Stap 1: Verband tussen golffunctie in ~r en ~p ruimte
Ψ(~r , t) =1
(2π~)3/2
∫d~pΦ(~p, t) exp
(i
~~p ·~r
)
Φ(~p, t) =1
(2π~)3/2
∫d~rΨ(~r , t) exp
(−
i
~~p ·~r
)
Stap 2: Van de ~p naar de ~r ruimte
⟨~p⟩
=
∫d~p Φ∗(~p, t) ~p Φ(~p, t)
=
∫d~p
1
(2π~)3/2
∫d~rΨ∗(~r , t) exp
(+
i
~~p ·~r
)~p
×1
(2π~)3/2
∫d~r ′Ψ(~r ′, t) exp
(−
i
~~p ·~r ′
)
Verwachtingswaarde van de impuls? (3)Stap 3: Gebruik: i~~∇~r ′ exp
(− i
~~p ·~r ′
)= ~p exp
(− i
~~p ·~r ′
)
⟨~p⟩
=1
(2π~)3
∫d~p
∫d~r
∫d~r ′ exp
(+
i
~~p ·~r
)Ψ∗(~r , t)
×
[i~~∇~r ′ exp−
i
~~p ·~r ′
]Ψ(~r ′, t)
Stap 4: Partiele integratie in∫
d~r ′
⟨~p⟩
=1
(2π~)3
∫d~p
∫d~r
∫d~r ′ exp
(+
i
~~p ·
(~r −~r ′
))
×Ψ∗(~r , t)[−i~~∇~r ′Ψ(~r ′, t)
]
Stap 5: Gebruik: 1(2π~)3
∫d~p exp
(+ i
~~p ·
(~r −~r ′
))= δ(~r −~r ′)
⟨~p⟩
=
∫d~r
∫d~r ′δ
(~r −~r ′
)Ψ∗(~r , t)
[−i~~∇~r ′Ψ(~r ′, t)
]
=
∫d~rΨ∗(~r , t)
[−i~~∇~rΨ(~r , t)
]
Verwachtingswaarde van de energie?Energie: som van kinetische en potentiele energie
Verwachtingswaarde van de energie
〈E〉 =
⟨~p2
2m
⟩+ 〈V 〉
Kan herschreven worden als
⟨i~∂
∂t
⟩=
⟨−
~2
2m∇2
⟩+ 〈V 〉
Inderdaad: de puzzel klopt
〈E〉 =
∫d~r Ψ∗ i~
∂
∂tΨ =
∫d~r Ψ∗HΨ
=
∫d~r Ψ∗
(−~
2∇2
2m+ V
)Ψ
3.3 Verwachtingswaarden en operatoren (2)
Gegeven: Ψ(~r , t
)
Verwachtingswaarde
van een fysisch
observeerbare
grootheid?
Verwachtingswaarde in vier stappen
1 Associeer met de fysische grootheid
een dynamische variabele als functie
van ~r , ~p, t : A(~r , ~p, t
)
2 in A(~r , ~p, t
)vervang ~r , ~p door
operatoren
~pop =~
i~∇ ~rop = ~r
3 Bereken de verwachtingswaarden
〈A〉 =
∫Ψ∗
(~r , t
)A
(~r ,
~
i~∇, t
)Ψ(~r , t
)d~r
4 Reele verwachtingswaarden
vergen hermitische operatoren!
〈A〉 = 〈A〉∗
3.3 Verwachtingswaarden en operatoren (2)
Gegeven: Ψ(~r , t
)
Verwachtingswaarde
van een fysisch
observeerbare
grootheid?
Sandwich A between Ψ∗
and Ψ
Verwachtingswaarde in vier stappen
1 Associeer met de fysische grootheid
een dynamische variabele als functie
van ~r , ~p, t : A(~r , ~p, t
)
2 in A(~r , ~p, t
)vervang ~r , ~p door
operatoren
~pop =~
i~∇ ~rop = ~r
3 Bereken de verwachtingswaarden
〈A〉 =
∫Ψ∗
(~r , t
)A
(~r ,
~
i~∇, t
)Ψ(~r , t
)d~r
4 Reele verwachtingswaarden
vergen hermitische operatoren!
〈A〉 = 〈A〉∗
Hermiticiteit en commutatoren (1)
xpx ≡ x(−i~ ∂
∂x
)is GEEN hermitische operator
∫dxΨ∗
[x
(−i~
∂
∂x
)Ψ
]6=
∫dx
[x
(−i~
∂
∂x
)Ψ
]∗Ψ
〈xpx〉 = 〈xpx〉∗ + i~
〈pxx〉 = 〈pxx〉∗ − i~(xpx+px x)
2 is een HERMITISCHE OPERATOR
⟨(xpx + pxx)
2
⟩=
⟨(xpx + pxx)
2
⟩∗
klassiek: xpx = pxx
kwantummechanisch: xpx 6= pxx : de volgorde van de
operatoren mag NIET altijd omgedraaid worden
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 20 / 47
Hermiticiteit en commutatoren (2)
Commutator van twee operatoren A en B
[A,B] = A B − BA
[x , xn] = 0
[x , px ] =[y , py
]= [z, pz ] = i~
Inderdaad:
〈[x , px ]〉 = 〈xpx − pxx〉 = 〈xpx〉 − 〈pxx〉
=
∫dx Ψ∗(x , t)
(−xi~
∂Ψ(x , t)
∂x
)
−
∫dx Ψ∗(x , t)
(−i~
∂xΨ(x , t)
∂x
)
=
∫dxΨ∗(x , t)i~Ψ(x , t) = 〈i~〉 = i~
[px , x ] = −i~
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 21 / 47
3.4 Overgang van kwantummechanica naar klassieke
mechanica: Theorema van Ehrenfest (1)
P. Ehrenfest - http://en.wikipedia.org/wiki/Paul Ehrenfest
Theorema van Ehrenfest (1927)
In de klassieke mechanica
d~r
dt=~p
m
d~p
dt= −~∇V
In de kwantummechanica
1
d⟨~r⟩
dt=
⟨~p⟩
m
d⟨~p⟩
dt= −
⟨~∇V
⟩
2
d 〈A〉
dt=
1
i~〈[A,H]〉+
⟨∂A
∂t
⟩
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 22 / 47
3.4 Overgang van kwantummechanica naar klassieke
mechanica: Theorema van Ehrenfest (2)
KLASSIEK
Determinis-
tische
beschrijving
van de
beweging van
een deeltje.
KLASSIEK KLASSIEK
Het deeltje volgt een
welgedefinieerd pad
in de ruimte
(“trajectory”) en op
elk ogenblik t kand~rdt =
~pm en
d~pdt = −~∇V berekend
worden!
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 23 / 47
3.4 Overgang van kwantummechanica naar klassieke
mechanica: Theorema van Ehrenfest (2)
KWANTUM
Statistische
beschrijving
van de
beweging van
een deeltje
vergt een
ander beeld
dan de
klassieke!!
KWANTUM KWANTUM
Welgedefinieerde
paden bestaan niet
en d~rdt en d~p
dt kunnen
NIET berekend
worden, WEL de
tijdsevolutie van de
verwachtingswaarded〈~r〉
dt =〈~p〉m en
d〈~p〉dt = −
⟨~∇V
⟩!
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 23 / 47
Bewijs vand〈x〉dt
= 〈px〉m
(1)
Stap 1: Het linkerlid wordt(〈x〉 =
∫d~rΨ∗xΨ
)
d 〈x〉
dt=
∫d~r
[(∂Ψ∗
∂t
)xΨ+Ψ∗x
(∂Ψ
∂t
)]
De operator x heeft geen explicitiete tijdsafhankelijkheid!
Stap 2: We maken gebruik van de TDSE
d 〈x〉
dt=
−i~
2m
∫d~r
[(∇2Ψ∗
)xΨ−Ψ∗x
(∇2Ψ
)]
Voor V = V ∗ vallen de twee termen in de potentiaal in het
rechterlid weg t.o.v. elkaar!
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 24 / 47
Bewijs vand〈x〉dt
= 〈px〉m
(2)
Stap 3: De eerste term tweemaal partieel integreren en gebruik maken
van het feit dat Ψ, ~∇Ψ · ~∇Ψ, ∇2Ψ verdwijnen op ±∞
d 〈x〉
dt=
−i~
2m
∫d~r
[Ψ∗
(∇2xΨ
)−Ψ∗x
(∇2Ψ
)]
Stap 4: Aangezien:(∇2xΨ
)= x
(∇2Ψ
)+ 2
(~∇x
)·(~∇Ψ
)
d 〈x〉
dt=
−i~
m
∫d~rΨ∗
(∂
∂xΨ
)=
〈px〉
m
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 25 / 47
3.5 Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (1)
TDSE is een partiele differentiaalvergelijking
i~∂
∂tΨ(~r , t) = H
(~r ,−i~~∇~r
)Ψ(~r , t)
Scheiding der variabelen: oplossingen van de vorm
Ψ(~r , t) ≡ f (t)ψ(~r)
TDSE kan herschreven worden:
ψ(~r)
(i~
df (t)
dt
)= f (t)
(H(~r ,−i~~∇~r
)ψ(~r)
)
Oplossingen van de TDSE:
E =i~
f (t)
df (t)
dt=
1
ψ(~r)
(H(~r ,−i~~∇~r
)ψ(~r)
)
Oplossing voor f (t): f (t) = exp− i~Et
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 26 / 47
3.5 Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (2)
Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking voor de bewegingvan deeltje in drie dimensies onder de invloed van eentijdsonafhankelijke potentiaal
[−
~2
2m∇2 + V
(~r)]ψ(~r) = Eψ(~r)
Als ψ(~r) oplossing is van de tijdsonafhankelijke
Schrodingervergelijking dan is
Ψ(~r , t) = ψ(~r) exp−i
~Et
oplossing van de tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking.
De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (TISE) heeft de
vorm van een eigenwaardevergelijking.
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 27 / 47
Eigenwaardevergelijkingen
Eigenwaardevergelijkingen zijn van het type
Aψn = anψn EIGENWAARDEVERGELIJKING ??an, ψn??
ψn noemt men de eigenfunctie bij de eigenwaarde an van de
operator A
Een eigenwaarde an is ontaard als er verschillende lineair
onafhankelijke eigenfuncties ψn bij de eigenwaarde an zijn
Graad van ontaarding: het aantal lineair onafhankelijke
eigenfuncties ψn bij een eigenwaarde an
Voorbeeld: exp i~~p ·~r is een eigenfunctie met eigenwaarde ~p van
de operator −i~~∇~r want
(−i~~∇~r
)exp
i
~~p ·~r =
(~p)
expi
~~p ·~r
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 28 / 47
3.5 Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (3)
Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (TISE) kan
herschreven worden als
H ψ(~r) = Eψ(~r)
eigenfuncties(ψ(~r)
)en eigenwaarden (E) bij de operator H
Voor de oplossingen Ψ(~r , t
)= ψ(~r) exp− i
~Et geldt dat
〈E〉 =
∫d~rΨ∗
(~r , t
)HΨ
(~r , t
)=
∫d~rψ∗
(~r)
Hψ(~r)= E
Beschrijft een situatie waarbij meting van de energie altijd de
waarde E oplevert: STATIONAIRE TOESTAND
Ψ(~r , t
)= ψ(~r) exp− i
~Et STATIONAIRE TOESTAND
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 29 / 47
3.5 Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (3)
Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (TISE) kan
herschreven worden als
H ψ(~r) = Eψ(~r)
eigenfuncties(ψ(~r)
)en eigenwaarden (E) bij de operator H
Voor de oplossingen Ψ(~r , t
)= ψ(~r) exp− i
~Et geldt dat
〈E〉 =
∫d~rΨ∗
(~r , t
)HΨ
(~r , t
)=
∫d~rψ∗
(~r)
Hψ(~r)= E
Beschrijft een situatie waarbij meting van de energie altijd de
waarde E oplevert: STATIONAIRE TOESTAND
Ψ(~r , t
)= ψ(~r) exp− i
~Et STATIONAIRE TOESTAND
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 29 / 47
Eigenschappen van stationaire toestanden
1 positie waarschijnlijkheidsdichtheid (SCALAIR)
P(~r , t) = Ψ∗(~r , t
)Ψ(~r , t
)= ψ∗(~r)ψ(~r) = P(~r)
2 waarschijnlijkheidsstroomdichtheid (VECTOR)
~j(~r , t) =~
2mi
[ψ∗(~r)
(~∇ψ(~r)
)−(~∇ψ∗(~r)
)ψ(~r)
]=~j(~r)
3 ALGEMEEN: als een operator niet expliciet van de tijd afhangt
dan 〈A〉 =⟨
A(~r ,−i~~∇
)⟩tijdsonafhankelijk
4 als ψ(~r) oplossing van de TISE dan ook exp (iα)ψ(~r) (wordt niet
meegeteld bij de ontaarding)
5 eerder mathematisch hulpmiddel dan een echte fysische toestand
(want geen t-afhankelijkheid)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 30 / 47
3.6 Energiekwantisatie (1)
de tijdsonafhankelijke
Schrodingervergelijking (TISE) is een
eigenwaardevergelijking
fysisch aanvaardbare
energie-eigenfuncties ψ(~r) kunnen
enkel gevonden worden bij
welbepaalde waarden van de energie
E (niet alle energieen zijn
mogelijk, of de energie is
gekwantiseerd)
de globale eigenschappen van
energiekwantisatie volgen direct uit
de vorm van de TISE
Python toepassing:
SchrodingerEq AsEigenvalueEq.py
(op MINERVA)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 31 / 47
3.6 Energiekwantisatie (2)
Deeltje in een dimensie onder de invloed van een
potentiaal V (x)
De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (TISE)
−~
2
2m
d2ψ(x)
dx2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
In een meer handige vorm
d2ψ(x)
dx2=
2m
~2[V (x)− E ]ψ(x)
We zoeken naar oplossingen ψ(x)
1 die eindig en continu zijn in (−∞,+∞)
2 waarvoor ookdψ(x)
dxeindig en continu zijn in (−∞,+∞)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 32 / 47
3.6 Energiekwantisatie (3)
V (x) < E : gebied waar klassieke
beweging mogelijk is
1d2ψ(x)
dx2 en ψ(x) hebben
tegengesteld teken
2 de oplossingen zijn
OSCILLATORISCH
V (x) > E : gebied waar klassieke
beweging onmogelijk is
1d2ψ(x)
dx2 en ψ(x) hebben hetzelfde
teken
2 fysisch aanvaardbare
oplossingen: ψ(x) → 0 naarmate
men verder doordringt in het
klassiek verboden gebied
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 33 / 47
3.6 Energiekwantisatie (4)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 34 / 47
3.6 Energiekwantisatie (5)
GEBONDEN TOESTANDEN ψ(x)
ψ(x → +∞) = 0 EN ψ(x → −∞) = 0
de energie-eigenfuncties corresponderen met discrete
energie-eigenwaarden
(x1, x2) interval waar klassieke beweging mogelijk is
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 35 / 47
3.6 Energiekwantisatie (6)
ONGEBONDEN - of VERSTROOIINGSTOESTANDEN ψ(x)
ψ(x → +∞) 6= 0 (EINDIG)
EN/OF ψ(x → −∞) 6= 0 (EINDIG)
de energie-eigenfuncties corresponderen met een continuum aan
energie-eigenwaarden
in geval (a) (−∞, x3) interval waar klassieke beweging mogelijk is in
geval (b) (−∞,+∞) interval waar klassieke beweging mogelijk is
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 36 / 47
3.7 Eigenschappen van de energie-eigenfuncties (1)
Als ψE(~r) een gebonden toestand en oplossing van
HψE(~r) = EψE(~r) met de Hamiltoniaan H hermitisch dan
De energie-eigenfuncties van een hermitische Hamiltoniaan
voldoen aan de orthonormaliteitsrelaties∫
d~rψ∗E ′(~r) ψE(~r) = δEE ′
De meest algemene oplossing van de tijdsafhankelijke
Schrodingervergelijking is
Ψ(~r , t) =∑
E
CE(t)ψE(~r) met,
CE ′(t) =
∫d~rψ∗
E ′(~r) Ψ(~r , t)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 37 / 47
3.7 Eigenschappen van de energie-eigenfuncties (2)
De laagste vier
energie-eigenwaarden voor de
oneindig diepe put met
breedte 2a
Het oscillatietheorema(eendimensionale systemen)
Beschouw:
energie-eigenwaarden (discreet!!!):
E1 < E2 < E3 < . . .
corresponderende
energie-eigenfuncties (gebonden
toestanden!!!): ψ1(x), ψ2(x), ψ3(x), . . .
Dan:
De nde energie-eigenfunctie ψn(x) heeft
(n − 1) “zeros” voor eindige waarden van
x . Een “zero” is een coordinaat x waar
ψn(x) = 0
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 38 / 47
3.8 Algemene oplossing van TDSE voor een
tijdsonafhankelijke potentiaal (1)
Algemene oplossing van TDSE: superpositiebeginsel
Ψ(~r , t) =∑
E
CE(t)ψE(~r)
=∑
E
CE(t0) exp
[−
i
~E (t − t0)
]ψE(~r)
=∑
E
cE exp
[−
i
~Et
]ψE(~r)
Met cE ≡ CE(t0) exp[
i~Et0
]
De fysische toestanden Ψ(~r , t) zijn een lineaire
superpositie van stationaire toestanden
Stationaire toestanden zijn eerder mathematisch hulpmiddel
3.8 Algemene oplossing van TDSE voor een
tijdsonafhankelijke potentiaal (2)
De coefficienten CE(t0) kunnen bepaald worden met de
beginvoorwaarden en de orthonormaliteitsrelaties voor de ψE(~r)
CE(t0) =
∫d~r ′ψ∗
E(~r′)Ψ(~r ′, t0)
Een PROPAGATOR K(~r , t ;~r ′, t0
)definieert hoe de golffunctie
propageert van (~r ′, t0) naar (~r , t)
Ψ(~r , t) =
∫d~r ′K
(~r , t ;~r ′, t0
)Ψ(~r ′, t0)
K(~r , t ;~r ′, t0
)=
∑
E
ψ∗E(~r
′)ψE(~r) exp
[−
i
~E (t − t0)
]
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 40 / 47
3.8 Algemene oplossing van TDSE voor een
tijdsonafhankelijke potentiaal (3)
Ψ(~r , t
)=
∑
E
cE exp
[−
i
~Et
]ψE(~r)
Normeringsvoorwaarde:∫
Ψ∗(~r , t) Ψ(~r , t) d~r = 1 =∑
E
|cE |2
Positie waarschijnlijkheidsdichtheid
P(~r , t
)= Ψ∗(~r , t) Ψ(~r , t) =
∑
E
|cE |2∣∣ψE(~r)
∣∣2
+∑
E 6=E ′
c∗E ′cE exp
[−
i
~
(E − E ′
)t
]ψ∗
E ′(~r) ψE(~r)
Niet-diagonale termen introduceren t-afhankelijkheid
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 41 / 47
3.8 Algemene oplossing van TDSE voor een
tijdsonafhankelijke potentiaal (4)
Verwachtingswaarde van de energie: 〈E〉 =∑
E |cE |2 E
1 Totale energie is tijdsonafhankelijk
2 De coefficienten |cE |2
zijn de waarschijnlijkheidsamplitudes en
bepalen de waarschijnlijkheid dat meting van de totale energie de
waarde E oplevert
Voorbeeld: resultaat 100 metingen van energie op t = 0
〈E〉 = 30E1+50E2+20E3
100
De golffunctie: Ψ(x , t)
=
√3
10e− i
~E1tψE1
(x)
+
√5
10e− i
~E2tψE2
(x)
+
√2
10e− i
~E3tψE3
(x)
Expertsysteem kwantummechanica
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 43 / 47
3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte (1)
Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (TDSE) in deimpulsruimte voor de beweging van deeltje in drie dimensiesonder de invloed van een potentiaal V
(~r , t
)
i~∂
∂tΦ(~p, t) =
~p2
2mΦ(~p, t) +
∫V(~p − ~p ′, t
)Φ(~p ′, t)d~p ′
V(~p − ~p ′, t
)=
1
(2π~)3
∫e− i
~(~p−~p ′)·~r V
(~r , t
)d~r
=1
(2π~)32
V(~p − ~p ′, t
)
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 44 / 47
3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte (2)
De Schrodingervergelijking in de impulsruimte
1 is een integro-differentiaalvergelijking
2 meestal moeilijker op te lossen dan TDSE in de coordinatenruimte
3 direct te bekomen uit TDSE in de coordinatenruimte via
convolutietheorema (A.53) en (A.54)
(FT = Fourier Transform)
F(~r)=
∫d ~Rf1
(~R)
f2
(~r − ~R
)DAN: G
(~k)= (2π)3/2 g1
(~k)
g2
(~k)
[G(~k), g1
(~k), g2
(~k)]
: FT van
[F(~r), f1
(~r), f2
(~r)]
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 45 / 47
3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte (3)
Verwachtingswaarde van de impuls
⟨~p⟩=
∫d~pΦ∗(~p, t)~pΦ(~p, t)
Verwachtingswaarde van de positie
⟨~r⟩=
∫d~pΦ∗(~p, t)
[i~~∇~pΦ(~p, t)
]
Verwachtingswaarde van dynamische variabele A(~r , ~p, t
):
vervang ~r , ~p door operatoren
〈A〉 =
∫Φ∗
(~p, t
)A(
i~~∇~p, ~p, t)Φ(~p, t
)d~p
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 46 / 47
Hoofdstuk 3: De Schrodingervergelijking
(EXAMENSTOF)
3.1 De tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking
3.2 Behoud van waarschijnlijkheid
3.3 Verwachtingswaarden en operatoren
3.4 Transitie van kwantummechanica naar klassieke mechanica. Het
Ehrenfest theorema
3.5 De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking. Stationaire toestanden
3.6 Energiekwantisatie (NIET: Oneindige potentiele energie (p113))
3.7 Eigenschappen van de energieeigenfuncties (NIET: Schmidt procedure
(p117-p118))
3.8 Algemene oplossing van tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking
voor tijdsonafhankelijke potentiaal
3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte
(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 47 / 47
Top Related