KWANTUMMECHANICA 1 / HOOFDSTUK 5 · 2019. 10. 25. · Hoofdstuk 3: De Schrodingervergelijking¨ 3.1...

KWANTUMMECHANICA 1

HOOFDSTUK 3

J. Ryckebusch

Universiteit Gent

Academiejaar 2019-2020, 1e semester

(C002240: Kwantummechanica I) Hoofdstuk 3 2019-2020 1 / 47

Handboek

B.H. Bransden and C.J.

Joachain, “Quantum

Mechanics”, Second

Edition, ISBN 0582-35691-1

Hoofdstuk 1: Het ontstaan van de

kwantumtheorie

Hoofdstuk 2: De golffunctie en het

onzekerheidsbeginsel

Hoofdstuk 3: De

Schrodingervergelijking

Hoofdstuk 4: Een-dimensionale

voorbeelden

Hoofdstuk 5: Het formalisme van de

kwantummechanica

Appendix A: Fourierintegralen en de

Dirac deltafunctie


Hoofdstuk 3: De Schrodingervergelijking

3.1 De tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking

3.2 Behoud van waarschijnlijkheid

3.3 Verwachtingswaarden en operatoren

3.4 Transitie van kwantummechanica naar klassieke mechanica. Het

Ehrenfest theorema

3.5 De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking. Stationaire

toestanden

3.6 Energiekwantisatie

3.7 Eigenschappen van de energieeigenfuncties

3.8 Algemene oplossing van tijdsonafhankelijke

Schrodingervergelijking voor tijdsonafhankelijke potentiaal

3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte


Erwin Schrodinger (1887-1961)

NOBELPRIJS FYSICA in 1933 voor zijn contributies tot de

ontwikkeling van de kwantummechanica

Contributies tot de kwantummmechanica

1 1926: afleiding van golfvergelijking en

berekening energieniveaus van

waterstofatoom (tijdsonafhankelijke

processen)

2 1927: kwantum harmonische oscillator,

“rigid rotor” en diatomische molecule

3 1927: Starkeffect en equivalentie met

Heisenberg’s formulering van

kwantummechanica

4 1927: formalisme voor tijdsafhankelijke

processen


3.1 Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (1)

laat toe de golffunctie van het systeem Ψ(~r , t) te berekenen uit de

kennis van een uitdrukking voor de energie in termen van(~r , ~p, t

)

(bijvoorbeeld, E(~r , ~p, t

)=

~p2

2m + V (~r , t))

is enkel van toepassing op NIET-RELATIVISTISCHE en

GESLOTEN systemen

kan NIET formeel afgeleid worden (analoog aan de wetten van

Newton)

kan WEL plausibel gemaakt worden

het bewijs, de evidentie??? ... voorspellingen op basis van de

Schrodingervergelijking waren/zijn conform met de resultaten van

ontzaglijk veel experimenten


Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking voor de beweging vaneen vrij deeltje (=deeltje met vaste impuls) in een dimensie

i~∂

∂tΨ(x , t) = −

~2

2m

∂2

∂x2Ψ(x , t)

EopΨ(x , t) =1

2m

[(px)op

]2Ψ(x , t)

Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking voor de beweging vaneen vrij deeltje (=deeltje met vaste impuls) in drie dimensies

i~∂

∂tΨ(~r , t) = −

~2

2m

[∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

]Ψ(~r , t)

EopΨ(~r , t) =1

2m

[(~p)

op

]2Ψ(~r , t)



Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking voor de beweging vandeeltje in drie dimensies onder de invloed van een potentiaal

i~∂

∂tΨ(~r , t) =

[−

~2

2m∇2 + V

(~r , t

)]Ψ(~r , t)

EopΨ(~r , t) =

[1

2m

[(~p)

op

]2+ V

(~r , t

)]Ψ(~r , t)

De Laplaciaan

∇2 ≡∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (TDSE) is een lineaire

en homogene (geen constante term) partiele

differentiaalvergelijking (PDE)

Superpositiebeginsel wordt gerespecteerd: als Ψ1 en Ψ2

oplossing van TDSE, dan ook c1Ψ1 + c2Ψ2(c1, c2 ∈ C)



TijdsafhankelijkeSchrodingervergelijking in vijf stappen

1 Bepaal de energie als functie van ~r , ~p, t :

E(~r , ~p, t

)

2 Vervang E door Eop = i~ ∂∂t

3 In E(~r , ~p, t

)vervang ~r , ~p door operatoren

~pop = −i~~∇ en, ~rop = ~r

4 Schrijf een partiele

differentiaalvergelijking (PDE)

EopΨ(~r , t

)= E

(~rop, ~pop, t

)Ψ(~r , t

)

5 Bepaal de oplossing Ψ(~r , t

)van de PDE



Klassiek: energie is een scalair en een functie van ~r , ~p, t

E(~r , ~p, t

)≡ Hcl

(~r , ~p, t

)

Hcl : Klassieke Hamiltoniaan van het deeltje

1 Vrij deeltje: Hcl =~p·~p2m

2 Harmonische oscillator: Hcl =~p·~p2m

+ 12k~r ·~r

Kwantummechanisch: de Hamiltoniaan wordt een operator

Eop

(~rop, ~pop, t

)≡ H

(~r ,−i~~∇, t

)

H: Kwantummechanische Hamiltoniaan = operator

1 Vrij deeltje: H = −~2

2m~∇ · ~∇

2 Harmonische oscillator: H = −~2

2m~∇ · ~∇+ 1

2k~r ·~r



In de tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (TDSE)

i~∂

∂tΨ(~r , t

)= H Ψ

(~r , t

)

werkt de kwantummechanische Hamiltoniaan H in op de

golffunctie

De werking van de operatoren:

~ropΨ(~r , t

)= ~r Ψ

(~r , t

)

~popΨ(~r , t

)= −i~~∇Ψ

(~r , t

)

= −i~

[∂Ψ

∂x~ex +

∂Ψ

∂y~ey +

∂Ψ

∂z~ez

]


3.2 Behoud van waarschijnlijkheid (1)

Voor een deeltje waarvoor de golffunctie Ψ(~r , t

)een oplossing

is van de tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking met een reele

potentiaal geldt

(d~r ≡ dxdydz

):

∂

∂t

∫

V

P(~r , t

)d~r =

∂

∂t

∫

V

Ψ∗(~r , t

)Ψ(~r , t

)d~r = −

∫

S

~j(~r , t

)· d~S

waarbij S het oppervlak is dat het volume V omsluit

1 P(~r , t

)= Ψ∗Ψ: positie waarschijnlijkheidsdichtheid

2 ~j(~r , t

): positie waarschijnlijkheidsstroomdichtheid (de “flux”)

~j(~r , t

)=

~

2mi

[Ψ∗

(~∇Ψ

)−

(~∇Ψ∗

)Ψ]= Re

{Ψ∗ ~

im~∇Ψ

}

3 zeer intuıtieve betekenis:

http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

3.2 Behoud van waarschijnlijkheid (2)Als potentiaal in Hamiltoniaan reeel is:

Continuıteitsvergelijking

~∇ ·~j(~r , t

)+∂

∂tP(~r , t

)= 0

Interpretatie: (verandering van de positie waarschijnlijkheid in een

welbepaald volume) = - (positie waarschijnlijkheidsstroom door

het oppervlak dat het volume omsluit)

Voor integratie over “de totale ruimte”

∂

∂t

∫P(~r , t

)d~r = 0 Behoud van waarschijnlijkheid

Behoud van waarschijnlijkheid = de normering van een golffunctie

Ψ(~r , t

)is geen functie van de tijd

(Of: eenmaal genormeerd, altijd genormeerd)

De Hamiltoniaan is hermitisch


3.2 Behoud van waarschijnlijkheid (3)

Hermiticiteit van de Hamiltoniaan

Een Hamiltoniaanoperator is hermitisch als aan de volgende

voorwaarde wordt voldaan∫

Ψ∗ (HΨ) d~r =

∫(HΨ)∗Ψd~r

waarbij Ψ een willekeurig element is van de functieruimte

(=verzameling van functies) waarop de operator H inwerkt

Opmerkingen

Integratie over “de volledige ruimte”:∫

d~r

Integratie over een gedeelte V van de ruimte:∫

Vd~r

Hamiltoniaan voor een deeltje in een reele potentiaal is

HERMITISCH

Hamiltoniaan voor een deeltje waarvoor ImV (~r , t) 6= 0 is NIET

HERMITISCH


3.3 Verwachtingswaarden en operatoren (1)

In de statistiek: eenmaal de WAARSCHIJNLIJKHEIDSDISTRIBUTIE

P(x , t) gekend kan de gemiddelde waarde 〈x〉 berekend worden

〈x〉 =

∫dx x P(x , t)

In de kwantummechanica: eenmaal de POSITIE

WAARSCHIJNLIJKHEIDSDICHTHEID P(~r , t) gekend kan de

verwachtingswaarde⟨~r⟩

berekend worden

⟨~r⟩=

∫d~r ~r P(~r , t) =

∫d~r Ψ∗(~r , t) ~r Ψ(~r , t)

Fysische interpretatie: de gemiddelde waarde die zal gevonden worden

na vele metingen van de positie ~r in een systeem

Verwachtingswaarde⟨f (~r , t)

⟩van een arbitraire functie f (~r , t)

⟨f (~r , t)

⟩~r=

∫d~r f (~r , t) P(~r , t) =

∫d~r Ψ∗(~r , t)f (~r , t)Ψ(~r , t)


Verwachtingswaarde van de impuls? (1)

COORDINATENRUIMTE

Ψ(~r , t) golffunctie in de

coordinatenruimte

P(~r , t)d~r = Ψ∗(~r , t)Ψ(~r , t)d~r :

kans om bij meting van de

positie op het tijdstip t een

waarde te vinden in het

volumelement d~r rond ~r⟨~r⟩=

∫d~r ~r P(~r , t)

IMPULSRUIMTE

Φ(~p, t) golffunctie in de

impulsruimte

Π(~p, t)d~p = Φ∗(~p, t)Φ(~p, t)d~p:

kans om bij meting van impuls

op tijdstip t een waarde te

vinden in het volumelement d~p

rond ~p⟨~p⟩=

∫d~p ~p Π(~p, t)

Omdat Φ(~p, t) en Ψ(~r , t) met elkaar in verband staan via

Fouriertransformatie: in de coordinatenruimte

correspondeert met de impuls de operator ~pop = −i~~∇ .


Verwachtingswaarde van de impuls? (2)Stap 1: Verband tussen golffunctie in ~r en ~p ruimte

Ψ(~r , t) =1

(2π~)3/2

∫d~pΦ(~p, t) exp

(i

~~p ·~r

)

Φ(~p, t) =1

(2π~)3/2

∫d~rΨ(~r , t) exp

(−

i

~~p ·~r

)

Stap 2: Van de ~p naar de ~r ruimte

⟨~p⟩

=

∫d~p Φ∗(~p, t) ~p Φ(~p, t)

=

∫d~p

1

(2π~)3/2

∫d~rΨ∗(~r , t) exp

(+

i

~~p ·~r

)~p

×1

(2π~)3/2

∫d~r ′Ψ(~r ′, t) exp

(−

i

~~p ·~r ′

)

Verwachtingswaarde van de impuls? (3)Stap 3: Gebruik: i~~∇~r ′ exp

(− i

~~p ·~r ′

)= ~p exp

(− i

~~p ·~r ′

)

⟨~p⟩

=1

(2π~)3

∫d~p

∫d~r

∫d~r ′ exp

(+

i

~~p ·~r

)Ψ∗(~r , t)

×

[i~~∇~r ′ exp−

i

~~p ·~r ′

]Ψ(~r ′, t)

Stap 4: Partiele integratie in∫

d~r ′

⟨~p⟩

=1

(2π~)3

∫d~p

∫d~r

∫d~r ′ exp

(+

i

~~p ·

(~r −~r ′

))

×Ψ∗(~r , t)[−i~~∇~r ′Ψ(~r ′, t)

]

Stap 5: Gebruik: 1(2π~)3

∫d~p exp

(+ i

~~p ·

(~r −~r ′

))= δ(~r −~r ′)

⟨~p⟩

=

∫d~r

∫d~r ′δ

(~r −~r ′

)Ψ∗(~r , t)

[−i~~∇~r ′Ψ(~r ′, t)

]

=

∫d~rΨ∗(~r , t)

[−i~~∇~rΨ(~r , t)

]

Verwachtingswaarde van de energie?Energie: som van kinetische en potentiele energie

Verwachtingswaarde van de energie

〈E〉 =

⟨~p2

2m

⟩+ 〈V 〉

Kan herschreven worden als

⟨i~∂

∂t

⟩=

⟨−

~2

2m∇2

⟩+ 〈V 〉

Inderdaad: de puzzel klopt

〈E〉 =

∫d~r Ψ∗ i~

∂

∂tΨ =

∫d~r Ψ∗HΨ

=

∫d~r Ψ∗

(−~

2∇2

2m+ V

)Ψ


Gegeven: Ψ(~r , t

)

Verwachtingswaarde

van een fysisch

observeerbare

grootheid?

Verwachtingswaarde in vier stappen

1 Associeer met de fysische grootheid

een dynamische variabele als functie

van ~r , ~p, t : A(~r , ~p, t

)

2 in A(~r , ~p, t

)vervang ~r , ~p door

operatoren

~pop =~

i~∇ ~rop = ~r

3 Bereken de verwachtingswaarden

〈A〉 =

∫Ψ∗

(~r , t

)A

(~r ,

~

i~∇, t

)Ψ(~r , t

)d~r

4 Reele verwachtingswaarden

vergen hermitische operatoren!

〈A〉 = 〈A〉∗


Gegeven: Ψ(~r , t

)

Verwachtingswaarde

van een fysisch

observeerbare

grootheid?

Sandwich A between Ψ∗

and Ψ

Verwachtingswaarde in vier stappen

1 Associeer met de fysische grootheid

een dynamische variabele als functie

van ~r , ~p, t : A(~r , ~p, t

)

2 in A(~r , ~p, t

)vervang ~r , ~p door

operatoren

~pop =~

i~∇ ~rop = ~r

3 Bereken de verwachtingswaarden

〈A〉 =

∫Ψ∗

(~r , t

)A

(~r ,

~

i~∇, t

)Ψ(~r , t

)d~r

4 Reele verwachtingswaarden

vergen hermitische operatoren!

〈A〉 = 〈A〉∗

Hermiticiteit en commutatoren (1)

xpx ≡ x(−i~ ∂

∂x

)is GEEN hermitische operator

∫dxΨ∗

[x

(−i~

∂

∂x

)Ψ

]6=

∫dx

[x

(−i~

∂

∂x

)Ψ

]∗Ψ

〈xpx〉 = 〈xpx〉∗ + i~

〈pxx〉 = 〈pxx〉∗ − i~(xpx+px x)

2 is een HERMITISCHE OPERATOR

⟨(xpx + pxx)

2

⟩=

⟨(xpx + pxx)

2

⟩∗

klassiek: xpx = pxx

kwantummechanisch: xpx 6= pxx : de volgorde van de

operatoren mag NIET altijd omgedraaid worden


Hermiticiteit en commutatoren (2)

Commutator van twee operatoren A en B

[A,B] = A B − BA

[x , xn] = 0

[x , px ] =[y , py

]= [z, pz ] = i~

Inderdaad:

〈[x , px ]〉 = 〈xpx − pxx〉 = 〈xpx〉 − 〈pxx〉

=

∫dx Ψ∗(x , t)

(−xi~

∂Ψ(x , t)

∂x

)

−

∫dx Ψ∗(x , t)

(−i~

∂xΨ(x , t)

∂x

)

=

∫dxΨ∗(x , t)i~Ψ(x , t) = 〈i~〉 = i~

[px , x ] = −i~


3.4 Overgang van kwantummechanica naar klassieke

mechanica: Theorema van Ehrenfest (1)

P. Ehrenfest - http://en.wikipedia.org/wiki/Paul Ehrenfest

Theorema van Ehrenfest (1927)

In de klassieke mechanica

d~r

dt=~p

m

d~p

dt= −~∇V

In de kwantummechanica

1

d⟨~r⟩

dt=

⟨~p⟩

m

d⟨~p⟩

dt= −

⟨~∇V

⟩

2

d 〈A〉

dt=

1

i~〈[A,H]〉+

⟨∂A

∂t

⟩


http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Ehrenfest



KLASSIEK

Determinis-

tische

beschrijving

van de

beweging van

een deeltje.

KLASSIEK KLASSIEK

Het deeltje volgt een

welgedefinieerd pad

in de ruimte

(“trajectory”) en op

elk ogenblik t kand~rdt =

~pm en

d~pdt = −~∇V berekend

worden!




KWANTUM

Statistische

beschrijving

van de

beweging van

een deeltje

vergt een

ander beeld

dan de

klassieke!!

KWANTUM KWANTUM

Welgedefinieerde

paden bestaan niet

en d~rdt en d~p

dt kunnen

NIET berekend

worden, WEL de

tijdsevolutie van de

verwachtingswaarded〈~r〉

dt =〈~p〉m en

d〈~p〉dt = −

⟨~∇V

⟩!


Bewijs vand〈x〉dt

= 〈px〉m

(1)

Stap 1: Het linkerlid wordt(〈x〉 =

∫d~rΨ∗xΨ

)

d 〈x〉

dt=

∫d~r

[(∂Ψ∗

∂t

)xΨ+Ψ∗x

(∂Ψ

∂t

)]

De operator x heeft geen explicitiete tijdsafhankelijkheid!

Stap 2: We maken gebruik van de TDSE

d 〈x〉

dt=

−i~

2m

∫d~r

[(∇2Ψ∗

)xΨ−Ψ∗x

(∇2Ψ

)]

Voor V = V ∗ vallen de twee termen in de potentiaal in het

rechterlid weg t.o.v. elkaar!


Bewijs vand〈x〉dt

= 〈px〉m

(2)

Stap 3: De eerste term tweemaal partieel integreren en gebruik maken

van het feit dat Ψ, ~∇Ψ · ~∇Ψ, ∇2Ψ verdwijnen op ±∞

d 〈x〉

dt=

−i~

2m

∫d~r

[Ψ∗

(∇2xΨ

)−Ψ∗x

(∇2Ψ

)]

Stap 4: Aangezien:(∇2xΨ

)= x

(∇2Ψ

)+ 2

(~∇x

)·(~∇Ψ

)

d 〈x〉

dt=

−i~

m

∫d~rΨ∗

(∂

∂xΨ

)=

〈px〉

m


3.5 Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (1)

TDSE is een partiele differentiaalvergelijking

i~∂

∂tΨ(~r , t) = H

(~r ,−i~~∇~r

)Ψ(~r , t)

Scheiding der variabelen: oplossingen van de vorm

Ψ(~r , t) ≡ f (t)ψ(~r)

TDSE kan herschreven worden:

ψ(~r)

(i~

df (t)

dt

)= f (t)

(H(~r ,−i~~∇~r

)ψ(~r)

)

Oplossingen van de TDSE:

E =i~

f (t)

df (t)

dt=

1

ψ(~r)

(H(~r ,−i~~∇~r

)ψ(~r)

)

Oplossing voor f (t): f (t) = exp− i~Et



Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking voor de bewegingvan deeltje in drie dimensies onder de invloed van eentijdsonafhankelijke potentiaal

[−

~2

2m∇2 + V

(~r)]ψ(~r) = Eψ(~r)

Als ψ(~r) oplossing is van de tijdsonafhankelijke

Schrodingervergelijking dan is

Ψ(~r , t) = ψ(~r) exp−i

~Et

oplossing van de tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking.

De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (TISE) heeft de

vorm van een eigenwaardevergelijking.


Eigenwaardevergelijkingen

Eigenwaardevergelijkingen zijn van het type

Aψn = anψn EIGENWAARDEVERGELIJKING ??an, ψn??

ψn noemt men de eigenfunctie bij de eigenwaarde an van de

operator A

Een eigenwaarde an is ontaard als er verschillende lineair

onafhankelijke eigenfuncties ψn bij de eigenwaarde an zijn

Graad van ontaarding: het aantal lineair onafhankelijke

eigenfuncties ψn bij een eigenwaarde an

Voorbeeld: exp i~~p ·~r is een eigenfunctie met eigenwaarde ~p van

de operator −i~~∇~r want

(−i~~∇~r

)exp

i

~~p ·~r =

(~p)

expi

~~p ·~r



Tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (TISE) kan

herschreven worden als

H ψ(~r) = Eψ(~r)

eigenfuncties(ψ(~r)

)en eigenwaarden (E) bij de operator H

Voor de oplossingen Ψ(~r , t

)= ψ(~r) exp− i

~Et geldt dat

〈E〉 =

∫d~rΨ∗

(~r , t

)HΨ

(~r , t

)=

∫d~rψ∗

(~r)

Hψ(~r)= E

Beschrijft een situatie waarbij meting van de energie altijd de

waarde E oplevert: STATIONAIRE TOESTAND

Ψ(~r , t

)= ψ(~r) exp− i

~Et STATIONAIRE TOESTAND


Eigenschappen van stationaire toestanden

1 positie waarschijnlijkheidsdichtheid (SCALAIR)

P(~r , t) = Ψ∗(~r , t

)Ψ(~r , t

)= ψ∗(~r)ψ(~r) = P(~r)

2 waarschijnlijkheidsstroomdichtheid (VECTOR)

~j(~r , t) =~

2mi

[ψ∗(~r)

(~∇ψ(~r)

)−(~∇ψ∗(~r)

)ψ(~r)

]=~j(~r)

3 ALGEMEEN: als een operator niet expliciet van de tijd afhangt

dan 〈A〉 =⟨

A(~r ,−i~~∇

)⟩tijdsonafhankelijk

4 als ψ(~r) oplossing van de TISE dan ook exp (iα)ψ(~r) (wordt niet

meegeteld bij de ontaarding)

5 eerder mathematisch hulpmiddel dan een echte fysische toestand

(want geen t-afhankelijkheid)


3.6 Energiekwantisatie (1)

de tijdsonafhankelijke

Schrodingervergelijking (TISE) is een

eigenwaardevergelijking

fysisch aanvaardbare

energie-eigenfuncties ψ(~r) kunnen

enkel gevonden worden bij

welbepaalde waarden van de energie

E (niet alle energieen zijn

mogelijk, of de energie is

gekwantiseerd)

de globale eigenschappen van

energiekwantisatie volgen direct uit

de vorm van de TISE

Python toepassing:

SchrodingerEq AsEigenvalueEq.py

(op MINERVA)



Deeltje in een dimensie onder de invloed van een

potentiaal V (x)

De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking (TISE)

−~

2

2m

d2ψ(x)

dx2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)

In een meer handige vorm

d2ψ(x)

dx2=

2m

~2[V (x)− E ]ψ(x)

We zoeken naar oplossingen ψ(x)

1 die eindig en continu zijn in (−∞,+∞)

2 waarvoor ookdψ(x)

dxeindig en continu zijn in (−∞,+∞)



V (x) < E : gebied waar klassieke

beweging mogelijk is

1d2ψ(x)

dx2 en ψ(x) hebben

tegengesteld teken

2 de oplossingen zijn

OSCILLATORISCH

V (x) > E : gebied waar klassieke

beweging onmogelijk is

1d2ψ(x)

dx2 en ψ(x) hebben hetzelfde

teken

2 fysisch aanvaardbare

oplossingen: ψ(x) → 0 naarmate

men verder doordringt in het

klassiek verboden gebied



GEBONDEN TOESTANDEN ψ(x)

ψ(x → +∞) = 0 EN ψ(x → −∞) = 0

de energie-eigenfuncties corresponderen met discrete

energie-eigenwaarden

(x1, x2) interval waar klassieke beweging mogelijk is



ONGEBONDEN - of VERSTROOIINGSTOESTANDEN ψ(x)

ψ(x → +∞) 6= 0 (EINDIG)

EN/OF ψ(x → −∞) 6= 0 (EINDIG)

de energie-eigenfuncties corresponderen met een continuum aan

energie-eigenwaarden

in geval (a) (−∞, x3) interval waar klassieke beweging mogelijk is in

geval (b) (−∞,+∞) interval waar klassieke beweging mogelijk is


3.7 Eigenschappen van de energie-eigenfuncties (1)

Als ψE(~r) een gebonden toestand en oplossing van

HψE(~r) = EψE(~r) met de Hamiltoniaan H hermitisch dan

De energie-eigenfuncties van een hermitische Hamiltoniaan

voldoen aan de orthonormaliteitsrelaties∫

d~rψ∗E ′(~r) ψE(~r) = δEE ′

De meest algemene oplossing van de tijdsafhankelijke

Schrodingervergelijking is

Ψ(~r , t) =∑

E

CE(t)ψE(~r) met,

CE ′(t) =

∫d~rψ∗

E ′(~r) Ψ(~r , t)


3.7 Eigenschappen van de energie-eigenfuncties (2)

De laagste vier

energie-eigenwaarden voor de

oneindig diepe put met

breedte 2a

Het oscillatietheorema(eendimensionale systemen)

Beschouw:

energie-eigenwaarden (discreet!!!):

E1 < E2 < E3 < . . .

corresponderende

energie-eigenfuncties (gebonden

toestanden!!!): ψ1(x), ψ2(x), ψ3(x), . . .

Dan:

De nde energie-eigenfunctie ψn(x) heeft

(n − 1) “zeros” voor eindige waarden van

x . Een “zero” is een coordinaat x waar

ψn(x) = 0


3.8 Algemene oplossing van TDSE voor een

tijdsonafhankelijke potentiaal (1)

Algemene oplossing van TDSE: superpositiebeginsel

Ψ(~r , t) =∑

E

CE(t)ψE(~r)

=∑

E

CE(t0) exp

[−

i

~E (t − t0)

]ψE(~r)

=∑

E

cE exp

[−

i

~Et

]ψE(~r)

Met cE ≡ CE(t0) exp[

i~Et0

]

De fysische toestanden Ψ(~r , t) zijn een lineaire

superpositie van stationaire toestanden

Stationaire toestanden zijn eerder mathematisch hulpmiddel



De coefficienten CE(t0) kunnen bepaald worden met de

beginvoorwaarden en de orthonormaliteitsrelaties voor de ψE(~r)

CE(t0) =

∫d~r ′ψ∗

E(~r′)Ψ(~r ′, t0)

Een PROPAGATOR K(~r , t ;~r ′, t0

)definieert hoe de golffunctie

propageert van (~r ′, t0) naar (~r , t)

Ψ(~r , t) =

∫d~r ′K

(~r , t ;~r ′, t0

)Ψ(~r ′, t0)

K(~r , t ;~r ′, t0

)=

∑

E

ψ∗E(~r

′)ψE(~r) exp

[−

i

~E (t − t0)

]




Ψ(~r , t

)=

∑

E

cE exp

[−

i

~Et

]ψE(~r)

Normeringsvoorwaarde:∫

Ψ∗(~r , t) Ψ(~r , t) d~r = 1 =∑

E

|cE |2

Positie waarschijnlijkheidsdichtheid

P(~r , t

)= Ψ∗(~r , t) Ψ(~r , t) =

∑

E

|cE |2∣∣ψE(~r)

∣∣2

+∑

E 6=E ′

c∗E ′cE exp

[−

i

~

(E − E ′

)t

]ψ∗

E ′(~r) ψE(~r)

Niet-diagonale termen introduceren t-afhankelijkheid




Verwachtingswaarde van de energie: 〈E〉 =∑

E |cE |2 E

1 Totale energie is tijdsonafhankelijk

2 De coefficienten |cE |2

zijn de waarschijnlijkheidsamplitudes en

bepalen de waarschijnlijkheid dat meting van de totale energie de

waarde E oplevert

Voorbeeld: resultaat 100 metingen van energie op t = 0

〈E〉 = 30E1+50E2+20E3

100

De golffunctie: Ψ(x , t)

=

√3

10e− i

~E1tψE1

(x)

+

√5

10e− i

~E2tψE2

(x)

+

√2

10e− i

~E3tψE3

(x)

Expertsysteem kwantummechanica


3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte (1)

Tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking (TDSE) in deimpulsruimte voor de beweging van deeltje in drie dimensiesonder de invloed van een potentiaal V

(~r , t

)

i~∂

∂tΦ(~p, t) =

~p2

2mΦ(~p, t) +

∫V(~p − ~p ′, t

)Φ(~p ′, t)d~p ′

V(~p − ~p ′, t

)=

1

(2π~)3

∫e− i

~(~p−~p ′)·~r V

(~r , t

)d~r

=1

(2π~)32

V(~p − ~p ′, t

)



De Schrodingervergelijking in de impulsruimte

1 is een integro-differentiaalvergelijking

2 meestal moeilijker op te lossen dan TDSE in de coordinatenruimte

3 direct te bekomen uit TDSE in de coordinatenruimte via

convolutietheorema (A.53) en (A.54)

(FT = Fourier Transform)

F(~r)=

∫d ~Rf1

(~R)

f2

(~r − ~R

)DAN: G

(~k)= (2π)3/2 g1

(~k)

g2

(~k)

[G(~k), g1

(~k), g2

(~k)]

: FT van

[F(~r), f1

(~r), f2

(~r)]



Verwachtingswaarde van de impuls

⟨~p⟩=

∫d~pΦ∗(~p, t)~pΦ(~p, t)

Verwachtingswaarde van de positie

⟨~r⟩=

∫d~pΦ∗(~p, t)

[i~~∇~pΦ(~p, t)

]

Verwachtingswaarde van dynamische variabele A(~r , ~p, t

):

vervang ~r , ~p door operatoren

〈A〉 =

∫Φ∗

(~p, t

)A(

i~~∇~p, ~p, t)Φ(~p, t

)d~p


Hoofdstuk 3: De Schrodingervergelijking

(EXAMENSTOF)

3.1 De tijdsafhankelijke Schrodingervergelijking

3.2 Behoud van waarschijnlijkheid

3.3 Verwachtingswaarden en operatoren

3.4 Transitie van kwantummechanica naar klassieke mechanica. Het

Ehrenfest theorema

3.5 De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking. Stationaire toestanden

3.6 Energiekwantisatie (NIET: Oneindige potentiele energie (p113))

3.7 Eigenschappen van de energieeigenfuncties (NIET: Schmidt procedure

(p117-p118))

3.8 Algemene oplossing van tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking

voor tijdsonafhankelijke potentiaal

3.9 De Schrodingervergelijking in de impulsruimte


KWANTUMMECHANICA 1 / HOOFDSTUK 5 · 2019. 10. 25. · Hoofdstuk 3: De Schrodingervergelijking¨ 3.1...

Documents

Transcript of KWANTUMMECHANICA 1 / HOOFDSTUK 5 · 2019. 10. 25. · Hoofdstuk 3: De Schrodingervergelijking¨ 3.1...