Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 145 -
Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de
2egraad met één onbekende
1. Instap (boek pag 107)
a. Van een rechthoek is de lengte driemaal zo groot als de breedte. De oppervlakte
bedraag 108 m2. Bepaal de beide afmetingen.
Oplossing: Formule : A = ........................................
Vergelijking: ............................................
Oplossing : ................................................................................................
................................................................................................
b. Bij onderstaande rechthoek en ruit staan de maatgetallen van de afmetingen
uitgedrukt in cm. Bepaal x zo dat de rechthoek en de ruit dezelfde oppervlakte
hebben.
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
Geg : lengte : l = x
Breedte : b = 3x
Oppervlakte : A = …………. Gevr : l = ? b = ?
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 146 -
Besluit: Zowel in het eerste als het tweede voorbeeld vinden we een vergelijking van
de ........................................................................................met één onbekende.
Een vierkantsvergelijking van de tweede graad met één onbekende noemen we ook
een vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.
We kunnen zo een vergelijking steeds herleiden naar de standaardvorm:
02=++ cbxax met ∈a |R0 en ∈cb, |R
Opmerking:
Als b= 0 of c = 0 dan spreken we van een onvolledige vierkantsvergelijking: Stel c = 0 dan krijg je volgende onvolledige vierkantsvergelijking : 02
=+ bxax Stel b = 0 : 02
=+ cax Stel b= 0 en c= 0 : 02
=ax 2. Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijkingen (boek pag 108)
02=ax met b = c = 0
Voorbeeld: 05 2=x
.............................⇔
.............................⇔
Algemene oplossingsmethode:
02=ax want 0≠a
02=⇔ x want 000 =∨=⇔=⋅ xxxx
0=⇔ x
}{0=Opl
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 147 -
02=+ cax met b = 0
Voorbeeld: 0322 2=−x
.............................⇔ .............................⇔ 0322 2
=+x
.............................⇔ .............................⇔ Algemene oplossingsmethode:
02=+ cax
a
cx
cax
−=⇔
−=⇔
2
2
Los op:
.....................................0753 2⇔=−x
....................................⇔ .....................................⇔ Opl = .......................
.....................................0753 2⇔=+x
....................................⇔ .....................................⇔ Opl = .......................
a
cx
a
cx
a
c −−=∨
−=>
−:0
noplossingegeen:0<−
a
c
−
−−
=a
c
a
cOpl ,
{ } ..............==Opl
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 148 -
002
==+ cmetbxax
Voorbeeld:
.............................................
.............................................
............................................053 2
⇔
⇔
⇔=− xx
.............................................
.............................................
............................................0147 2
⇔
⇔
⇔=− xx
Algemene oplossingsmethode:
( )
a
bxx
baxx
baxxbxax
−=∨=⇔
=+∨=⇔
=+⇔=+
0
00
002
Samenvatting
Opl = ………….
Opl = ………….
Opl =
−
0,a
b
Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijking:
02=ax 0=⇔ x }{0=Opl
02=+ cax
a
cx
−=⇔
2 0>−
a
c:
−
−−
=a
c
a
cOpl ,
0<−
a
c: { } ..............==Opl
a
bxxbxax
−=∨=⇔=+ 002
Opl =
−
0,a
b
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 149 -
Opgave pag 109 nr. 1
a. 053 2
=− xx
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔ Opl = …………………
Proef :
b. 025,02=−y
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
Opl = …………………
Proef :
c. 0492=+z
.............................................⇔
Opl = …………………
Proef :
d. 07 2=x
.............................................⇔
Opl = …………………
Proef :
e. 012181 2=−a
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
Opl = …………………
Proef :
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 150 -
f. x
x
36
5
4
2
=
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
Opl = …………………
Proef :
g. ( ) ( ) 7713 =++ xx
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔ Opl = …………………
Proef :
h. ( ) ( ) 6835 +=++ bbb
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔ Opl = …………………
Proef :
i. ( ) ( ) 0551 =++− yy
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔ Opl = …………………
Proef :
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 151 -
j. ( ) 42 2+=+ xx
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔ Opl = …………………
Proef :
k. ( ) ( ) ( ) ( )xxxx 212111 +−=+−
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔ Opl = …………………
Proef :
l. ( ) xx 122532 2−=−
.............................................⇔
.............................................⇔
.............................................⇔
Opl = …………………
Proef :
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 152 -
3. Oplossen van een volledige vierkantsvergelijking (boek pag 110):
Voorbeeld:
02142=−− xx
We vullen de eerste 2 termen aan zodat we een volkomen kwadraat krijgen
( ) 021..................222=−−+⋅−⇔ xx
( ) 0214........ 2=−−−⇔ x
( ) 25.......... 2=−⇔ x
( ) ( ) 525....... −=−∨=−⇔ xx
.................................. =∨=⇔ xx
Opl = { } Algemene methode:
02=++ cbxax
Omdat 0≠a krijgen we een gelijkwaardige vgl als we beide leden vermenigvuldigen met 4a
0444 22=++ acabxxa
We vullen de eerste 2 termen aan zodat we een volkomen kwadraat krijgen
( ) 04224 2222=+−+⋅+⇔ acbbabxxa
( ) ( ) 042 22=−−+⇔ acbbax
( ) acbbax 42 22−=+⇔
De uitdrukking acb 42− noemen we de discriminant van de
vierkantsvergelijking en stellen we voor door een D
( ) Dbax =+⇔22
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 153 -
Geval 1: D < 0
( ) 02 2<=+ Dbax Geen oplossingen in |R
Geval 2: D = 0
( ) 02 2==+ Dbax
( ) 02 2=+⇔ bax
02 =+⇔ bax
bax −=⇔ 2
a
bx
2
−=⇔ Één dubbele oplossing ( twee gelijke oplossingen) in |R
Geval 3: D > 0
( ) 02 2>=+ Dbax
DbaxDbax −=+∨+=+⇔ 22
DbaxDbax −−=∨+−=⇔ 22
a
Dbx
a
Dbx
22
−−=∨
+−=⇔ Twee oplossingen in |R
Uitgewerkt voorbeeld:
02142
=−− xx D = acb 42− = .................................
= .................................
=∨=⇔ 21 xx
........................... 21 =∨=⇔ xx
........................... 21 =∨=⇔ xx
........................... 21 =∨=⇔ xx Opl = { }
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 154 -
Opgave: boek pag 113 nr.2 : Los op in |R a. 02092
=+− xx acbD 42−=
= ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL Proef:
b. 0822=−− xx acbD 42
−= = ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 155 -
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL Proef:
c. 012=−− xx acbD 42
−= = ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL Proef:
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 156 -
d.
02832=−+ xx acbD 42
−= = ..................... = ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL Proef:
t. 122−= xx
.......................................⇔ .......................=D
= ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 157 -
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL
Proef:
u. 48192−= xx
.......................................⇔ .......................=D
= ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL Proef:
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 158 -
Opgave: boek pag 113 nr. 3 : Los op in |R . Gebruik hiervoor een ZRM en rond de eventuele wortels af op 0,001 a. 018,417,22
=−+ xx .......................=D = ..................... = .....................
............................
......................................
........................
.......................................21 =∨=⇔ xx
............................
...................................
........................
.....................................21 =∨=⇔ xx
.................................................................... 21 =∨=⇔ xx
................................................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }.............................=OPL Proef:
b. 022,084,05 2=−− aa .......................=D
= ..................... = .....................
............................
......................................
........................
.......................................21 =∨=⇔ xx
............................
...................................
........................
.....................................21 =∨=⇔ xx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 159 -
.................................................................... 21 =∨=⇔ xx
................................................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }..................................=OPL Proef:
Opgave: boek pag 116 nr. 18 : Los op in |R a. ( ) xx 9122 2
=+
..................................................⇔
..................................................⇔ .......................=D = ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL
Proef:
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 160 -
b. ( ) ( )22110 +=+ xxx
..................................................⇔
..................................................⇔ .......................=D = ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
.............................................. 21 =∨=⇔ xx
{ }................=OPL
Proef:
c. ( ) 5645 −=− yyy
..................................................⇔
..................................................⇔ .......................=D = ..................... = .....................
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ yy
............................
............................
........................
........................21 =∨=⇔ yy
.............................................. 21 =∨=⇔ yy
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 161 -
.............................................. 21 =∨=⇔ yy
{ }................=OPL
Proef:
Opgave: boek pag 116 nr. 19 : Los op in |R a. ( ) ( ) 24125 22
++=+ xx
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
{ }................=OPL
Proef:
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 162 -
b. ( ) ( )( )yyy 21211 2+−−−=−
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
{ }................=OPL
Proef:
Opgave: boek pag 116 nr. 22 : Los op in |R a. ( ) 553
2=−x
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
{ }................=OPL
Proef:
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 163 -
b. 03322=+− yy
..................................................⇔
..................................................⇔
..................................................⇔
{ }................=OPL
Proef:
Samenvatting
Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijking:
02=ax 0=⇔ x }{ .............=Opl
02=+ cax
a
cx
−=⇔
2 0>−
a
c: { }........................=Opl
0<−
a
c: { } ..............==Opl
a
bxxbxax
−=∨=⇔=+ 002
Opl = { }...............
Oplossen van een volledige vierkantsvergelijking
)1(02=++ cbxax .............................=D
........................................)1(:0 =< OplD
.......................................................)1(:0 =⇔= OplD
.....................................................)1(:0 =⇔> OplD
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 164 -
4. Som en Product van de wortels van een vierkantsvergelijking
∈=++ ametcbxax 02 |R0 ∈cben , |R
acba
Dbx
a
Dbx 4Dmet
222
21 −=+−
=∨−−
=⇔
Som van de wortels Product van de wortels
( )
a
b
a
b
a
DbDb
a
DbDb
a
Db
a
DbxxS
−=
−=
+−−−=
+−+−−=
+−+
−−=+=
2
2
2
2
2221
( ) ( )( ) ( )
( )
a
c
a
ac
a
acbb
a
acbb
a
Db
aa
DbDb
a
Db
a
DbxxP
=
=
+−=
−−=
−=
⋅
+−⋅−−=
+−
−−==
2
2
22
2
2
21
4
4
4
4
24
422
4
22
2.
2.
Besluit: Voor de vergelijking ∈=++ ametcbxax 02 |R0 ∈cben , |R en met wortels
21 xenx geldt:
a
cxxPen
a
bxxS =⋅=−=+= 2121
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 165 -
Oplossen van een tweedegraadsvergelijking met som en product van de wortels
Voorbeeld 1 :
{ }..........................
.............................................................
.....................
...............................
................:Product
..............................
................:Som
065
21
21
21
21
2
=
==⇔
==
===⋅=
=−=−=+=
=+−
Opl
xenx
xenx
a
cxxP
a
bxxS
xx
Voorbeeld 2 :
{ }..........................
.............................................................
.....................
...............................
................:Product
..............................
................:Som
0158
21
21
21
21
2
=
==⇔
==
===⋅=
=−=−=+=
=+−
Opl
xenx
xenx
a
cxxP
a
bxxS
xx
Voorbeeld 3:
{ }..........................
.............................................................
.....................
...............................
................:Product
..............................
................:Som
089
21
21
21
21
2
=
==⇔
==
===⋅=
=−=−=+=
=++
Opl
xenx
xenx
a
cxxP
a
bxxS
xx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 166 -
Toepassing: Bepaal de som en het product van de wortels zonder de wortels zelf te
berekenen:
1.
........................
.........:Product
.........................
..........:Som
049147
21
21
2
===⋅=
=−=−=+=
=−−
a
cxxP
a
bxxS
xx
2.
...........................
............:Product
.........................
...........:Som
032
21
21
2
===⋅=
=−=−=+=
=−−
a
cxxP
a
bxxS
xx
3.
..........................
............:Product
........................
..........:Som
........................................................
5,375,04
21
21
2
===⋅=
=−=−=+=
⇔
+=
a
cxxP
a
bxxS
xx
4.
( )
...............................
................:Product
..............................
................:Som
................................................................21212
21
21
2
===⋅=
==−=+=
⇔=−+−
a
cxxP
a
bxxS
xx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 167 -
Los op met som en product:
1.
{ }.........................
....................
.......
........
.......:Product
....................
.......
........
.......:Som
................................................................0145
21
21
2
=
====⋅=
==−=−=+=
⇔=−+
Opl
a
cxxP
a
bxxS
xx
2.
{ }.........................
....................
.......
........
.......:Product
....................
.......
........
.......:Som
................................................................0103
21
21
2
=
====⋅=
==−=−=+=
⇔=−−
Opl
a
cxxP
a
bxxS
xx
3. ( )
{ }.........................
....................
.......
........
.......:Product
....................
.......
........
.......:Som
................................................................0
21
21
2
=
===⋅=
==−=+=
⇔=−−−
Opl
xxP
xxS
abxbax
4. ( )
{ }.........................
....................
.......
........
.......:Product
....................
.......
........
.......:Som
................................................................033
21
21
2
=
===⋅=
==−=+=
⇔=+++
Opl
xxP
xxS
axax
5.
{ }.........................
.............:Product
........:Som
................................................................042
21
21
222
=
=⋅=
=+=
⇔=−+−
Opl
xxP
xxS
baaxx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 168 -
Van de volgende gedeeltelijke gegeven vierkantsvergelijkingen is een wortel x1
gegeven. Bepaal x2 :
1.
........
.......:Som
...........
.........................
.......:Product
........................408.........
21
2
221
212
−=+=
=⇒
=⋅⇒=⋅=
===−+
xxS
x
xxxP
xxxx
2.
........
.......:Som
...........
........................
.......:Product
........................206.........5
21
2
221
212
−=+=
=⇒
=⋅⇒=⋅=
===−+
xxS
x
xxxP
xxxx
Geef een vierkantsvergelijking als de wortels gekend zijn:
1.
0.........................
0.......................
..........................................
3
12
2
2
2121
21
=++⇔
=++
===−==+=
==
xx
xx
a
cxxPen
a
bxxS
xenx
2.
0.........................
0.......................
..........................................
3
7
7
3
2
2
2121
21
=++⇔
=++
===−==+=
==
xx
xx
a
cxxPen
a
bxxS
xenx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 169 -
Samenvatting
Bepaal som en product: Vergewis je er wel van of de vierkantswortel wel reeele wortels heeft: 1.
022)1( 22=+−+− aaxax
......................
...............................
................:Product
...................
................
................:Som
21
21
21
==
===⋅=
=
−=−=+=
xenx
a
cxxP
a
bxxS
2.
.........................
................
................:Product
................
................:Som
0121312
21
21
21
2
==
==⋅=
−=−=+=
=++
xenx
a
cxxP
a
bxxS
xx
3.
.....................
...............................
................:Product
..................
................
................:Som
0116
21
21
21
2
==
===⋅=
=
−=−=+=
=−
xenx
a
cxxP
a
bxxS
x
Voor de vergelijking 02=++ cbxax
∈amet |R0 ∈cben , |R en met wortels 21 xenx geldt:
a
cxxPen
a
bxxS =⋅=−=+= 2121
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 170 -
Los op in |R met som en product : 1.
........................................................
........................
.........:Product
.........................
..........:Som
02012
21
21
21
2
==⇔
===⋅=
=−=−=+=
=++
xenx
a
cxxP
a
bxxS
xx
2.
{ }........................
........................................................
........................
.........:Product
...........
..........:Som
01122123
21
21
21
2
=
==⇔
===⋅=
−=−=+=
=−−
Opl
xenx
a
cxxP
a
bxxS
xx
Geef een vierkantsvergelijking als de wortels gekend zijn:
1.
0.............................x
0.......................x
.......................................................................
....................................................................
3535
2
2
21
21
21
=+⇔
=++
====
−===+=
−=+=
x
x
a
cxxP
a
bxxS
xenx
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 171 -
Opgave (boek pag 113 nr. 2) Oplossing Evaluatie
e.
02292=−+ xx
{ }2,11−=Opl
f.
012=++ xx
{}=Opl
g.
0156 2=+− xx
=2
1,
3
1Opl
h.
0452=−+ xx
+−−−
=2
415,
2
415Opl
i.
0128 2=−+ xx
{ }25.0;5,0−=Opl
j.
022 2=−− xx
+−
=4
171,
4
171Opl
k.
02832=−− xx
{ }7,4−=Opl
l.
054249 2=+− xx
=7
5,
7
1Opl
m.
031415 2=++ xx
−−=3
1,
5
3Opl
n.
035122=−−− xx
{ }5,7 −−=Opl
o.
014133 2=+− xx
=3
7,2Opl
p.
0437 2=+− xx
{}=Opl
q.
01 2=−− xx
+−−−
=2
51,
2
51Opl
Toets jezelf !!!
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 172 -
r.
15 2=+ xx
+−−−
=10
211,
10
211Opl
s.
6582=+ xx
{ }5,13−=Opl
Opgave (boek pag 113 nr. 3) Oplossing Evaluatie
c.
0042,07,25,0 2=++ xx
{ }016,0;384,5 −−=Opl
d. 082,078,43,2 2=++− yy
{ }238,2;159,0−=Opl
e. 0082,4222,53 2=−− xx
{ }326,2;585,0−=Opl
f.
0928,0778,25 2=++ bb
{}=Opl
g.
060242187,512 2=−− xx
{ }647,6;222,3−=Opl
h.
0072,154,1091,6 2=−−− zz
{ }110,0;416,1 −−=Opl
Opgave (boek pag 116 nr. 18) Oplossing Evaluatie
d.
( )277314 −=− yyy
032849 2=−+−⇔ yy
=7
3,
7
1Opl
e.
( )zzz −=+ 121
012 2=+−⇔ zz
{ }=Opl
f.
( )zzz −=− 43272
027124 2=−−⇔ zz
{ }5,4;5,1−=Opl
g.
( )1873 +=− aaa
0758 2=−−−⇔ aa
{ }=Opl
h.
( )aa 3131 −=
0139 2=+−⇔ aa
{ }=Opl
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 173 -
i.
( ) ( )bbb −=+ 36418
072182=+−⇔ bb
{ }12,6=Opl
021317 2=−+⇔ bb
j.
( ) 273120 2++=+ bbbb
+−−−
=34
30513,
34
30513Opl
k.
( ) 011 =−+ pp
012=++−⇔ pp
+−
=2
51,
2
51Opl
l.
02517814 2=−+− pp
025178142 =−+−⇔ pp
{ }=Opl
Opgave (boek pag 116 nr. 19) Oplossing Evaluatie
c.
( ) 251232 2+=+ xx
0164 2=−⇔ x
{ }2,2−=Opl
d.
( ) ( ) 9213 222+−=++− aaaa
0122=+−⇔ aa
{ }1=Opl
e.
( ) ( )( )42211 23++−=+− xxxx
01833 2=++−⇔ xx
{ }3,2−=Opl
f.
( ) ( )233 23 −+=+ zzz
023318 2=++⇔ zz
−−
= 1,8
23Opl
g.
( ) ( ) 20132222
++=+ xx
0124 2=−⇔ x
{ }3,3−=Opl
h.
( ) ( ) ( )233 412 +=−−+ bbb
078 2=−+⇔ bb
−=8
7,1Opl
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 174 -
5. Vraagstukken die leiden tot een vierkantsvergelijking
Voorbeeld 1 ( boek pag 113 )
Oplossingsmethode : Oplossing:
Lees de opgave aandachtig en onderlijn
het gegeven.
Noteer de gelijkheid.
Gelijkheid:
..................................................................
.................................................................
Kies de onbekende en noteer dit in de
2e kolom
Onbekende
........................................................
Onderlijn het gevraagde en stel de
vierkantsvergelijking op.
Noteer deze vierkantsvgl in de 2e kolom.
Vierkantsvergelijking:
..........................................................
Los de vierkantsvergelijking op :
Oplossen van de vierkantsvergelijking:
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
Formuleer het antwoord in de 2e kolom
..................................................................
Maak de proef (controleer steeds jezelf)
..................................................................
Het product van twee opeenvolgende getallen is 56.
Bepaal die twee getallen.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 175 -
Opgave : boek pag 115 nr. 4
Oplossingsmethode : Oplossing:
Lees de opgave aandachtig en onderlijn
het gegeven.
Noteer de gelijkheid.
Gelijkheid:
..................................................................
.................................................................
Kies de onbekende en noteer dit in de
2e kolom
Onbekende
........................................................
Onderlijn het gevraagde en stel de
vierkantsvergelijking op.
Noteer deze vierkantsvgl in de 2e kolom.
Vierkantsvergelijking:
..........................................................
Los de vierkantsvergelijking op :
Oplossen van de vierkantsvergelijking:
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
Formuleer het antwoord in de 2e kolom
..................................................................
Maak de proef (controleer steeds jezelf)
..................................................................
De som van een reëel getal en zijn kwadraat is 20. Bepaal dit getal.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 176 -
Opgave ( boek pag 115) Oplossing Evaluatie
5. Bepaal twee reële getallen met som 2,5
en product 1,5.
:x 1ste reëel getal
y: 2de reëel getal
x + y = 2,5 -> y = 2,5 - x
x . y = 1,5
x . (2,5 - x) = 1,5 ⇔
- x² + 2,5x - 1,5 = 0 ⇔
x = 1 en y = 1,5
6. De som van twee reële getallen is 10;
de som van hun kwadraten is 68.
Bepaal die getallen.
:x 1ste reëel getal
y: 2de reëel getal
x + y = 10
x² + y² = 68
x² + (10 - x)² - 68 = 0 ⇔
2x² - 20x + 32 =0 ⇔
x = 2 en y = 8
7. Bepaal de afmetingen van een
rechthoek met een omtrek van 14 cm
en een oppervlakte van 10 cm² .
:x lengte rechthoek
y: breedte rechthoek
x + y = 14 : 2
x . y = 10
x . (7 - x) = 10 ⇔
-x² + 7x - 10 = 0 ⇔
x = 2 en y = 5
8. Een balk met een vierkant als
grondvlak heeft een inhoud van 1014
cm³ en is 24 cm hoog. Bereken de
lengte van een zijde van het grondvlak.
:x zijde grondvlak
24x² = 1014 ⇔
x = 6,5
Toets jezelf !!!!! :
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 177 -
9. Van een rechthoek is de lengte
driemaal zo groot als de breedte. We
verminderen de lengte met 3m en we
verdubbelen de breedte. Nu is de
oppervlakte 10,23m² groter geworden.
Bepaal de oorspronkelijke afmetingen.
:x lengte
y: breedte
x = 3 y
(3y - 3) . (2y) = y . 3y + 10,23 ⇔
3y² - 6y - 10,23 = 0 ⇔
y = 3,1 en x = 9,3
10. Op onderstaande figuur zijn de
maatgetallen gegeven van de lengten
van de zijden uitgedrukt in cm. De
oppervlakte van de figuur bedraagt
128, 25 cm². Bereken x ?
:x zie tekening
(x+2)² - 4 =128,25 ⇔
x² + 4x - 128,25 = 0 ⇔
x = 9,5
11. In een rechthoekige driehoek is de
schuine zijde 1 cm langer dan de ene
rechthoekzijde en 18 cm langer dan de
andere. Bepaal de lengten van de
zijden.
:x lengte schuine zijde
x² = (x - 1)² + (x - 18)² ⇔
x² - 38x + 325 = 0 ⇔
x = 25
Antw: 25, 24, 7
13. Geef twee opeenvolgende gehele
getallen waarvoor de som van de
kwadraten gelijk is aan de vierdemacht
van 13.
x: eerste getal
y: tweede getal
x² + (x + 1)² = 134 ⇔
2x² + 2x - 28560 = 0 ⇔
x = 119 en y = 120
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende
Naam: ……………………………………….…
- 178 -
14. De som van de kwadraten van drie
opeenvolgende getallen natuurlijke
getallen is 2189. Bepaal deze getallen.
:x eerste getal
x² + (x+1)² + (x+2)² = 2189 ⇔
3x² + 6x -2184 = 0 ⇔
x = 26
Antw: 26, 27, 28
15. Voor vier opeenvolgende gehele
getallen is het product van de laatste
drie 126 meer dan het product van de
eerste drie. Bepaal die getallen.
:x eerste getal
x . (x+1) . (x+2)+126=(x+1) . (x+2)
. (x+3)
⇔ 3x² + 9x -120 = 0
⇔ x = 5 en x = -8
Antw: -8, -7, -6, -5 of 5, 6, 7, 8
17. Michiel is 3 jaar ouder dan Rubben.
Het verschil van de derdemachten van
hun leeftijden is 1647. Bepaal die
leeftijden.
:x leeftijd Rubben
(x+3)³ - x³ = 1647 ⇔
x² + 3x -180 = 0
x = 12
Antw: 12, 15
Top Related