8/18/2019 Bab6_GEM ok
1/82
FISIKA DASAR 2
PERSAMAAN MAXWELL
8/18/2019 Bab6_GEM ok
2/82
Persamaan Maxwell
Pandu Gelombang
Pemantulan dan Pembiasan GelombangElektromagnetik
Gelombang Elektromagnetik dalam Medium
Persamaan Gelombang ElektromagnetikTransversalitas Gelombang Elektromagnetik
Vektor Poynting dan Kekekalan Energi
Gelombang dalam Medium Konduktif
Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma
Hukum SnelliusPersamaan Fresnel
Pandu Gelombang dengan Penamang Segi Emat
Pandu Gelombang !alur Transmisi Koaksial
8/18/2019 Bab6_GEM ok
3/82
Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawaoleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalarmelalui vakum.
Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yangberosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalamsuatu antene pemancar radio.
Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubahdengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dansebaliknya. eterkaitan antara E dan B dituangkan dalampersamaan Ma!well yang mendasari teori medan magnetik.
A. PENDAHULUAN
8/18/2019 Bab6_GEM ok
4/82
B. PERSAMAAN MAXWELL
"ersamaan Ma!well dirumuskan dalam besaran medan
listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan
Ma!well terdiri dari # persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medandan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupunsumber arus.
8/18/2019 Bab6_GEM ok
5/82
t
D J xH b∂
∂+=∇
→
→
"ersamaan-persamaan Ma!well
0. =∇ B
0. =∇ E
t
B xE
∂∂
−=∇
t
E xB o ∂
∂=∇ 0ε µ
VakumMedium
b D ρ =∇ →
.
0. =∇ B
t
B xE
∂∂
−=∇
"#
$#
%#
'li(k angka untuk mengeta)ui enurunan rumus masing*masing
ersamaan di atas
8/18/2019 Bab6_GEM ok
6/82
Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari
hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:
“ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang
dilingkupi permukaan tersebut.”
Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:
∫ ∑=∧→o
qdAn E ε
..
∫ ∫ =
∧→
dqdAn E
oε
1..
∫ ∫ =• ∧→
dV dAn E o
ρ ε
1.
8/18/2019 Bab6_GEM ok
7/82
( )∫ ∫ +=∧→
dV dAn E b f o
ρ ρ ε
1..
( )∫ ∫ +•∇−=• ∧→ dV P dAn E bo
ρ ε
1.
∫ ∫ =
•∇+
•∇
→→
dV dv P E bo ρ ε
D E P E o ==+ →→→ε ε
b D ρ =•∇ →
"ersamaan Ma!well $%& dalam Medium
( )∫ ∫ +•∇−=•∇ dV P dV E b
o ρ ε
1
'ari teorema divergensi ∫ ∫ •∇=• ∧→
dV E dAn E .
8/18/2019 Bab6_GEM ok
8/82
Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka0= ρ
sehingga(
0ε
ρ b E =•∇
0=•∇ →
E
"ersamaan Ma!well $%& untuk ruang vakum,
tanpa sumber muatan
8/18/2019 Bab6_GEM ok
9/82
Persamaan Maxwell kedua merupakan )ukum *aussmagnetik, yang menyatakan +luks medan magnetik yangmenembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol,
tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik. taudengan kata lain, garis gaya medan magnet selalutertutup, tidak ada muatan magnet monopole.
Melalui teorema *auss, persamaan Ma!well kedua dapat
dituliskan dalam bentuk integral(
∫ == ∧→
0. dAn B Bφ
'ari teorema divergensi dV BdAn B∫ ∫ →∧→
∇= .. maka
∫ =∇ →
0. BdV
0. =∇ →
B "ersamaan Ma!well $/& dalam medium dan vakum
8/18/2019 Bab6_GEM ok
10/82
Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan )ukum0araday-1en2, yang menyatakan bahwa +pengaruh medanmagnet yang berubah dengan waktu.
Secara matematis dituliskan(
t ∂∂
−= φ
ε
dAn Bt
dl E ∧→→
∫ ∫ ∂∂
−= ..
'ari teorema Stokes ∫ ∫
∧→→
∇= dAn E xdl E ..∫ ∫
∧→∧→
∂∂
−=∇ dAn Bt
dAn E x ..
t
B E x
∂
∂−=∇
→
→ "ersamaan Ma!well $3& dalam medium
'an vakum.
∫ ∧→
= dAn B .φ dengan
karena dl E .
∫
→
=ε maka
8/18/2019 Bab6_GEM ok
11/82
Persamaan Maxwell keemat merupakan )ukum mpere(
∫ =→
I dl B µ .
∫ = I dl H .dAn J J dl H f b ..
∧
∫ ∫
+=
( ) dAnt
E J dAn xH b ..
∧
→→
∧
∫ ∫
∂∂
+=∇ ε
t
E J xH b
∂∂+=∇
→→
ε
t
D J xH b
∂
∂+=∇
→→
"ersamaan Ma!well $#& dalam medium
→→
= H B
µ dAn J I ∫
→∧
= .dengan
f b J J J →→→
+=
4
dan
8/18/2019 Bab6_GEM ok
12/82
I dl B 0. µ =∫ →
dAn B xl d B ∧→→ ∫ ∫ ∇= ..
dAn J dAn B x→→∧→
∫ ∫ =∇ .. 0 µ →→
=∇ J B x 0 µ
t
E B x
∂∂
=∇→
→
00ε µ
Untuk persamaan Ma!well $#& dalam vakum, yaitu(
'ari teorema Stokes maka
"ersamaan Ma!well $#& dalam 5akum,6anpa sumber muatan
8/18/2019 Bab6_GEM ok
13/82
t
B E
∂∂
−=×∇
→→
×∇
∂
∂−=
×∇×∇ →→
B
t
E
→→→
∇−
∇∇=
×∇×∇ E E E 2.
B.1. PERSAMAAN GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK
ME'7 18S698'ari persamaan Ma!well $3&(
9uas kanan dan ruas kiri dideerensialkan denganoperasi rotasi, maka(
'ari vektor identitas
8/18/2019 Bab6_GEM ok
14/82
02
2
00
2=
∂
∂−∇
→→
t
E E ε µ
2
2
00
2
t
E E
∂∂
=∇→→
ε µ
×∇
∂∂
−=∇−
∇∇
→→→
Bt
E E 2.
2
2
00
2
t
E E
∂∂
−=∇−→
→
ε µ
Maka(
'engan 0. =∇ →
E t
E B
∂∂
=×∇→→
00ε µ dan sehingga
dengan00
1
ε µ =c
0
12
2
2
2
=∂
∂
−∇
→
→
t
E
c E
8/18/2019 Bab6_GEM ok
15/82
0
12
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
x E t c z y x
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
y E t c z y x
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
z E t c z y x
Sehingga persamaan gelombang medan listrikdalam bentuk dierensial(
Solusi paling sederhana(
( ) ( )t kz E t z E ω −= →→
cos, 0
8/18/2019 Bab6_GEM ok
16/82
ME'7 M*7E6
'ari persamaan Ma!well $#&(
t
E
xB o ∂∂
=∇ 0ε µ
→→→ ∇−
∇∇=
×∇×∇ B B B 2.
(
t
E B B
∂×∇∂
=∇−
∇∇
→→→ )
. 002 ε µ
0. =∇ →
Bt
B
E ∂
∂
−=×∇
→→
t
E
B ∂
×∇∂
=
×∇×∇
→→ )(
00ε µ
'engan operasi rotasi(
arena vektor identitas
'an persamaan Ma!well $/& serta $3&(
dan
8/18/2019 Bab6_GEM ok
17/82
01
2
2
2
2 =∂
∂−∇
→→
t
B
c B
2
2
2
2 1
t
B
c B
∂∂
=∇→→
2
2
00
2
t
B B
∂∂
=∇
→→
ε µ
Maka persamaan gelombang medan magnet dalambentuk dierensial(
sehingga
01
2
2
22
2
2
2
2
2
= ∂∂−∂∂+∂∂+∂∂ →
x Bt c z y x
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
y Bt c z y x
8/18/2019 Bab6_GEM ok
18/82
01
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂ →
z Bt c z y x
Solusinya( ( ) ( )t kz Bt z B ω −= →→ cos, 0
Solusi persamaan gelombang elektromagnet untukmedan 1istrik dan medan magnet merupakan contoh
eksplisit dari gelombang datar $"lan :ave&)( t kz f ω −
k v ω =
Bentuk umum(
ecepatan(
Bentuk muka gelombangnyategak lurus vektor satuan k,maka(
tan. kons z k =→∧
8/18/2019 Bab6_GEM ok
19/82
Siat-siat gelombang datar(%. Mempunyai arah jalar tertentu $dalam persamaan, arah 2&./. 6idak mempunyai komponen pada arah rambat.3. 6idak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal $pada contoh, koordinat transversalnya ! dan y&.
Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi(
),(),( t z E jt z E i E y x
∧∧→
+=
),(),( t z B jt z Bi B y x∧∧→ +=
),(),( t x E k t x E j E z y
∧∧→
+=
),(),( t x Bk t x B j B z y∧∧→ +=
8/18/2019 Bab6_GEM ok
20/82
B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBAN
ELEKTROMAGNETIK
t
E B
∂∂=×∇
→→
00ε µ
t
E
y
B
x
B z z y
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂ →→→
00ε µ 0),(
=∂
∂ →
t
t z E z
ME'7 18S698Untuk membuktikan siat dari gelomabng datar yaitutransversalitas,dari persamaan Ma!well $%& dan $#&(
E2 tidak bergantung pada 2 $sisi spatial&
Sisi temporal
0. =∇ →
E
0),(),(),( =
∂∂+
∂∂+
∂∂
→→→
z
t z E
y
t z E
x
t z E z y x
0),(
=∂
∂ →
z
t z E z
8/18/2019 Bab6_GEM ok
21/82
;ang berarti E2 tidak bergantung pada t
, yang berarti arah getardari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah
rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyaikomponen-komponen pada arah yang tegak luruspada arah rambat.
0. =∇ →
B
0),(),(),( =∂∂+∂∂+∂∂
→→→
z t z B
yt z B
xt z B z y x
0),(
=∂
∂ →
z
t z B z
ME'7 M*7E6 'ari persamaan Ma!well $/&(
Sisi spatial, yang berarti B2 tidak bergantung
pada 2.
8/18/2019 Bab6_GEM ok
22/82
t
B E x
∂∂
−=∇
→→
t
t z B
y
E
x
E z x y
∂∂
=∂
∂−
∂∂ →→→ ),(
0),(
=∂
∂ →
t
t z B z
'an dari persamaan Ma!well $3&(
Sisi temporal, yang berarti B2tidak bergantung pada t.
;ang berarti arah getar gelombang medan magnet tegaklurus terhadap arah rambatnya.
'engan demikian maka gelombangElektromagnetik merupakan gelombang transversal.
8/18/2019 Bab6_GEM ok
23/82
y x E j E i E ∧∧→
+=
)cos()cos( 00 t kz E jt kz E i E y x ω ω −+−=
∧∧→
y x B j Bi B∧∧→
+=
)cos()cos( 00 t kz B jt kz Bi B y x ω ω −+−= ∧∧→
t B E x∂
∂−=∇→
→
+−−=
−−
∧∧∧∧
yoxoxoy jB Bit kz jE E it kz k 0)sin()sin( ω ω ω
+−= − ∧∧∧∧
yoxoxoy jB Bi jE E ik 0ω
( ) →
−=×− B E k ω
Bk
E ω = cB E =
)ubungan E dan B, misal menjalar dalam arah 2(
B E ⊥
8/18/2019 Bab6_GEM ok
24/82
)ubungan vektor propogasi k, medan listrik E,dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar(
8/18/2019 Bab6_GEM ok
25/82
8/18/2019 Bab6_GEM ok
26/82
×∇•+
×∇−•=
→→→→
B E E Bdt
du
00
11
µ µ
( ) ×∇•− ×∇•=ו∇ →→→→
B E E B B E
×∇•−
×∇•−=
→→→
B E E Bdt
du
0
1
µ
( ) B E dt
du ו∇−=
0
1
µ 0=•∇+
→
S dt
du
Sehingga
'ari vektor identitas
maka
( ) B E S
×=→
0
1
µ dengan disebut vektor poynting
)ukum ekekalan Energi
mengungkapkan besarnya energi persatuan
waktu per satuan luas yang dibawa oleh
medan elektromagnetik
8/18/2019 Bab6_GEM ok
27/82
C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
DALAM MEDIUM
t
D J H
t B E
B
D
b
b
∂∂
+=×∇
∂∂−=×∇
=∇=∇0.
. ρ
ersamaan!persamaan "a#well
8/18/2019 Bab6_GEM ok
28/82
C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF
'alam medium kondukti yang bebas sumber, dan dari hubungan B = ? ) dan ' = @ E, persamaan
Ma!well # dapat ditulis(
,)(
),()(
2
2
t
E
t
J E
t
B E dengan
t
E J
t
B
t
t
E J B
t
D J H b
∂∂
+∂∂
=×∇×∇−∂
∂−=×∇
∂
∂+
∂
∂=×∇
∂
∂∂∂
+=×∇∂
∂+=×∇
µε µ
εµ µ
εµ µ
8/18/2019 Bab6_GEM ok
29/82
maka
0
0
)).((
2
2
2
2
22
2
22
=∂∂−∂∂−∇
∂∂
+∂∂
=∇+
∂∂
+∂∂
=∇−∇∇−
t E
t E E
t
E
t
E E
t
E
t
E
E E
µσ µε
µε µσ
µε µσ
'engan solusi ( E$2, t& = E> cos $κ 2 - At&
tau dalam bentuk kompleks (E$2, t& = E> e
-i $κ 2 - At &
E J dan E E E σ =∇−∇∇=×∇×∇ 2).()(
8/18/2019 Bab6_GEM ok
30/82
Sehingga (
E e E it
E
E ie E it
E
t z i
t z i
2)(
0
22
2
2
)(
0
ω ω
ω ω
ω κ
ω κ
−==∂
∂
==∂
∂
−−
−−
E$2, t& = E> e-i $κ 2 - At & 0
2
22 =
∂∂
−∂∂
−∇t
E
t
E E µσ µε
( ) E e E ie E z
E t z it z i 2)(022)(
02
22 κ κ ω κ ω κ −==
∂∂
=∇ −−−−
-κ /E ?@A/E C ?DiAE = >
κ /E - ?@A/E ?DiAE = >
κ /
= ?@A/
C i?DA
8/18/2019 Bab6_GEM ok
31/82
Misal ( κ = a ib
κ / = $a ib&/ = a/ C b/ /abi
'ari pers κ /= ?@A/ C i?DA, maka (
a/ C b/ = ?@A/ dan /ab = - ?D $
222
222
)2(
)2
(
µεω
µσω
µεω µσω
=−
=−−
aa
aa a
b2
µσω −=
kalikan dengan #a/
#$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >
8/18/2019 Bab6_GEM ok
32/82
'engan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh (
2222
2,1
22222
2,1
2222
2
2,1
22222
2,1
)(12
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1)(
)()(2
1
2)(
8
))(4(4)4(4)(
εω
σ ε µω µεω
σ ω ε µω µεω
µσω µεω µεω
µσω µεω µεω
+±=
+±=
+±=
+−±=
a
a
a
a
#$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >
8/18/2019 Bab6_GEM ok
33/82
++=2
22 11)(2
1
εω
σ µεω a
arena a bilangan riil, maka a/ harus positisehingga dipilih(
2222
2,1 )(12
1)(
2
1)(
εω
σ ε µω µεω +±=a
+±=
2
22
2,1 11)(2
1
)( εω
σ
µεω a
8/18/2019 Bab6_GEM ok
34/82
++−=
++−=
−
++=
−
++=
222
2
22
2
22
2
2
22
112
12
1
2
1
1121
21
112
1
εω
σ µεω
εω
σ µεω
εω σ µεω
µεω εω
σ µεω
b
b
b
b
a/ C b/ = ?@A/
b/ = a/ - ?@A/
++=
2
22 11)(2
1
εω
σ µεω a
8/18/2019 Bab6_GEM ok
35/82
8/18/2019 Bab6_GEM ok
36/82
Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, + ,,maka
2
2
1
12
1
112
1
22
2
22
222
µσω
εω
σ µεω
εω
σ
µεω
εω
σ µεω
=
=
+=
++=
a
a
a
a
8/18/2019 Bab6_GEM ok
37/82
Sehingga (
2
22
2
µσω
µσω
µσω
µσω
−=
−=
−=
b
b
ab
8/18/2019 Bab6_GEM ok
38/82
8/18/2019 Bab6_GEM ok
39/82
Untuk medium yang konduktivitasnya rendah$konduktor buruk&, jauh lebih kecil dari ./. MakaSkin depthnya (
++= 2
22 )(11
2 εω
σ µεω a
'iuraikan dengan deret Maclaurin
+−−+−++=+ !3)2)(1(!2)1(1)1(
32 x
nnn
x
nnx x
n
8/18/2019 Bab6_GEM ok
40/82
jika 2)(εω
σ = x maka (
..........)12
1(
2
1.
!2
1
2
11)1( 22
1
+−++=+ x x x
........)(
2
11)(1
......))(21(
41)(
211)(1
22
1
2
422
1
2
−+=
+
+−++=
+
εω
σ
εω
σ
εω σ
εω σ
εω σ
12
8/18/2019 Bab6_GEM ok
41/82
8/18/2019 Bab6_GEM ok
42/82
'ari solusi persamaan gelombang pada mediumkondukti yaitu (
)(
0),(t
z i
z
ee E t z E ω
δ δ −−−
= yang dapat ditasirkan setelah menempuh jaraksebesar , maka amplitudo gelombang berkurang
menjadi dari amplitudo semula.e
1
8/18/2019 Bab6_GEM ok
43/82
8/18/2019 Bab6_GEM ok
44/82
2
1
2
22
2
22
2
)(112
)(11
2
)(112
++=
++=
++=
εω
σ
εω
σ
εω
σ µεω
k a
k a
a
dengan kv = ., dan karena a F k , maka kecepatan asepada medium kondukti G v di udaraHnon kondukti
ecepatan ase(
8/18/2019 Bab6_GEM ok
45/82
Besarnya vektor poynting untuk mediumkondukti, yaitu (
)(1 B E S
×= µ dengan E B ω κ =
= )(1
E E S
ω
κ
µ
21 E S κ
µω =
)(22
0)(1 t z ie E ibaS ω κ
µω −−+=
8/18/2019 Bab6_GEM ok
46/82
+−+−
+= 2)(2
2
0
22 θ ω
µω
t z ibai
e E ba
S
0aktor
merupakan aktor redaman dalam perambatan energi.
[ ]t z ibaie E iba
S ω
µω
−+−+= )(220)(
Untuk medium kondukti
δ
1=−= ba
+−−−
+= 2
222
0
22 θ ω δ δ
µω
t z
i z
ee E ba
S
maka
δ
z
e2−
8/18/2019 Bab6_GEM ok
47/82
C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM
KONDUKTOR
DAN PLASMA
Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikatpada atom dan molekul sehingga dapat digunakanpersamaan Ma!well 3, yaitu (
t
B E
∂
∂−=×∇
t
J
t
E E
∂∂
−∂∂
−=∇− 022
00
2 µ ε µ
-
002
2
00
2 =∂
∂−
∂
∂−∇
t
J
t
E E µ ε µ $%&
8/18/2019 Bab6_GEM ok
48/82
8/18/2019 Bab6_GEM ok
49/82
Sehingga (
0)(
2
02
2
00
2 =−∂∂
−∇ E !
q "
t
E E e µ ε µ
dan )(0),( t kz ie E t z E
ω −−=
E k e E k i E t kz i 2)(0222 −==∇ −− ω
E ie E it
E t kz iω ω
ω ==
∂
∂ −− )(0
E e E it
E t kzi 2)(0
22
2
2
ω ω ω −==∂
∂ −−maka,
8/18/2019 Bab6_GEM ok
50/82
0)(
)(2
0
2
00
2=−+− E
!
q " E E k e µ ω ε µ
!
q " k e
2)(0
2
00
2 µ ω ε µ −=
2
0
2
2
00
2 )(1
ω ε ω ε µ !
q " k e−=
karena00
2 1ε µ =
c dan22
2
1v
k =ω
2
0
2
2
2
00
)(1
1
ω ε ω ε µ !
q " k e−= dengan 22)(
#e
!
q " ω
ε =
−=
2
2
2
2
1
ω
ω #
v
cmaka
8/18/2019 Bab6_GEM ok
51/82
Berdasarkan deinisi indeks bias (v
cn =
−=
2
2
2 1ω
ω #n
2
2
1ω
ω #n −= 8ndeks Bias "lasma
8/18/2019 Bab6_GEM ok
52/82
Bila ω
8/18/2019 Bab6_GEM ok
53/82
D.1 HUKUM SNELLIUS
6injau untuk kasus 6ransverse Electric $6E&
D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
E1 k1
B1
E2
k2B2
E3
k3
B3
Med1
Med2
μ2ε2
μ1ε11α 2α
3α
x
x
x
8/18/2019 Bab6_GEM ok
54/82
'ari gambar tersebut diperoleh persamaanuntuk gelombang medan magnet
)(
011011
1
)cos(),(
t k i
e Bt k Bt B
ω
ω
−•
=−•=)(
0220222)cos(),(
t k ie Bt k Bt B
ω ω −•=−•=
)(
033033
3)cos(),( t k i
e Bt k Bt B ω ω −•=−•=
dengan
k% = k% J i sin $K%& C j cos $K%&L
k/ = k/ J i sin $K/& j cos $K/&Lk3 = k3 J i sin $K3& C j cos $K3&L
"ersamaan %
"ersamaan /
b k
8/18/2019 Bab6_GEM ok
55/82
])cos()sin([
011111),( t y xk ie Bt B ω α α −−=
])cos()sin([
033333),( t y xk ie Bt B ω α α −−=
])cos()sin([
022222),(
t y xk ie Bt B ω α α −+= "ersamaan 3
Syarat batas di y = > 4 maka
B%! C B/! = B3!
B% cos K% C B/ cos K/ = B3 cos K3
'an persamaan 3 menjadi (
)sin(
303
)sin(
202
)sin(
101332211 .cos.cos.cos
α α α α α α xk i xk i xk i e Be Be B =−
Substitusi persamaan % ke persamaan /(
"ersamaan
8/18/2019 Bab6_GEM ok
56/82
"ersamaan
dapat dipandang sebagai ea! Beb! = ec!
dengan menggunakan deret eksponensial(
++++
++++
+++ .....
!21.....
!21.....
!21
222222 xccx$
xbbx B
xaax A
dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh (
B =
a! Bb! = c!
a! Bb! = $ B& c!
)sin(
303
)sin(
202
)sin(
101332211 .cos.cos.cos
α α α α α α xk i xk i xk i e Be Be B =−
'alam bentuk matriks (
8/18/2019 Bab6_GEM ok
57/82
[ ] [ ]
=
cx
cx B A
bx
ax B A
diperoleh a = b = c
maka k% sin K% = k/ sin K/
arena gelombang datang dan gelombang pantul
berada dalam medium yang sama yaitu medium %maka ( k% = k/
sehingga K% = K/
k% sin K% = k3 sin K3'ari a = c maka
'alam bentuk matriks (
ccω
8/18/2019 Bab6_GEM ok
58/82
n
cv
v
cn
vk =⇒=⇒=
ω
nk c
n
n
ck ≈⇒==
ω ω
maka k% dan k3 sebanding dengan n% dan n3
sehingga n% sin K% = n/ sin K3
Persamaan Snellius
D 2 PERSAMAAN FRESNELL
8/18/2019 Bab6_GEM ok
59/82
D.2. PERSAMAAN FRESNELL
Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnyaakan ditunjukkan perbandingan mplitudo gelombangpantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombangdatang yang disebut dengan persamaan 0resnell
asus 6ransverse Magnetik $6M&
B1 k1
E1 k2B2
B3*
k3
E3
1
2μ2ε2
μ1ε1
xE/
α α
θ
⋅•
•
'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&
8/18/2019 Bab6_GEM ok
60/82
'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&
Untuk medan listrik (
E 1x + E 2x = E 3x
( ) ( ) ( )θ α coscos 321 E E E =+
Untuk medan magnet (
B1 – B2 = B3
( ) 32
21
1
11 E
v E E
v=−
'engan B=EHc di 5akum atau B= EHv di medium
sehingga dan n=cHv maka %Hv N n
maka n% $E%-E/& = n/ E3
( )
2
2113
n
E E n E
−=
OOO %
OOO /.%
OOO /./
"ersamaan /./ disubstitusikan kedalam
8/18/2019 Bab6_GEM ok
61/82
m mpersamaan %,maka akan diperoleh (
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−=
+
−=+
α θ θ α
θ α
coscoscoscos
coscos
2
11
2
12
21
2
121
n
n E
n
n E
E E n
n E E
Maka diperoleh koeisien releksi yaitu
perbandingan antara medan pantul terhadap medandatang $E/HE%&.
dikali n/
maka
( ) ( )
( ) ( )α θ
α θ
coscos
coscos
2
1
2
1
1
2
+
−==
n
n
n
n
E
E %&
( ) ( )
( ) ( )α θ α θ
coscos
coscos
21
21
1
2
nn
nn
E
E %& +
−== OOO 3
'ari persamaan /.% kita peroleh persamaan$E E & E
8/18/2019 Bab6_GEM ok
62/82
n% $E%-E/& = n/ E3
1
32112
n
E n E n E
−= OO #
"ersamaan # disubstitusikan ke persamaan %, maka (
( ) ( )
( ) ( ) ( )θ α α
θ α
coscoscos2
coscos
33
1
21
3
1
32111
E E nn E
E n
E n E n E
=−
=
−+
dikali n%
maka ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )α θ α
θ α α
coscoscos2
coscoscos2
21311
313211
nn E E n
E n E n E n
+==−
'ari persamaan diatas dapat dicari koeisien transmisi,;aitu perbandingan antara E3HE%
( )
( ) ( )α θ α
coscos
cos2
21
1
1
3
nn
n
E
E t %& +
==
8/18/2019 Bab6_GEM ok
63/82
Untuk medan listrik
8/18/2019 Bab6_GEM ok
64/82
E 1 + E 2 = E 3
'ari hubungan E Bω
κ = B E
κ
ω =
κ
ω =v
v
cn =
maka
v1 (B1 + B2 ) = v2 B3 v N %Hn
....... /.%
( )21
1
2
3
B Bn
n B += ....... /./
( ) 32
21
1
11 B
n B B
n=+
%
% % %
E 1 + E 2 = E 3
"ersamaan /./ disubstitusikan ke pesamaan %
8/18/2019 Bab6_GEM ok
65/82
θ α
θ α
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
nn
n
B B %E
+
−
==θ α θ α
coscoscoscos
21
21
nnnn %E +−=
( ) ( )
α θ θ α
θ α
coscoscoscos
coscos
1
21
1
22
21
1
221
−
=
+−
+=−
n
n B
n
n B
B B
n
n B B
θ α
α θ
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
B
B '%E
+
−
=−=
p
Sehingga diperoleh (
maka
'ari persamaan /.% kita peroleh
8/18/2019 Bab6_GEM ok
66/82
p p
( ) 32
21
11 B
n B B
n=+
13
2
12 B B
n
n B −= ....... 3
"ersamaan 3 disubstitusi ke persamaan %
θ α α
θ α
coscoscos2
coscos
33
2
11
313
2
11
B B
n
n B
B B Bn
n B
=−
=
−−
( )θ α α coscoscoscos2 21312 nn B Bn +=
θ α
α
coscos
cos2
21
2
1
3
nn
n
B
Bt %E +
==
pabila sudut bias 090 maka,
8/18/2019 Bab6_GEM ok
67/82
pa a su ut as maka,
'ari hukum Snellius diperoleh hubungan
1
21
211
3211
sin
90sinsin
sinsin
n
n
nn
nn
o
=
=
=
α
α
α α
Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 090
sudut kritis
Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,maka terjadi pemantulan total.
maka n% F n/
8/18/2019 Bab6_GEM ok
68/82
pabila o
90=+θ α dari hukum Snellius diperoleh hubungan(
( )1
2tannn=α
Sudut datang yang menghasilkano90=+θ α
Sudut Brewster
α α
α α
θ α
cossin
)90sin(sin
sinsin
1
2
21
21
n
n
nn
nn
o
=
−=
=
E. PANDU GELOMBANG
8/18/2019 Bab6_GEM ok
69/82
Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnyadibatasi oleh permukaan disebut rongga $cavity&.
Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasioleh permukaan disebut dengan pandu gelombang
'iasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benarkonduktor sempurna Sehingga bahan material
8/18/2019 Bab6_GEM ok
70/82
konduktor sempurna, Sehingga bahan materialtersebut berlaku E = > 'an B = >
Misalkan gelombang elektromagnetik merambat denganBentuk ungsi sebagai berikut (
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t kxio
t kxi
o
e z y Bt z y x B
e z y E t z y x E
ω
ω
−
−
=
=
,,,,
,,,,
"ersamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Ma!well 3dan # ,Maka akan diperoleh (
x
y z Bi
z
E
z
E ω =
∂
∂−
∂
∂
y z x BiikE z
E ω =−
∂∂
z y x BiikE y
E ω −=−
∂
∂
x
y z E c
i
z
B
y
B2
ω −=
∂
∂−
∂∂
OOO %
OOO /./ OOO /.#
OOO /.3OOO /.%
x Ei
ikB B ω
−=−∂
/ P
8/18/2019 Bab6_GEM ok
71/82
y z E c
ikB z
2−=−
∂
z y
x E c
iikB
y
B
2
ω =−
∂
∂
'ari persamaan /.%, /./, /.3, /.#, /.P, /.Q, akan menghasilkanSolusi Untuk E y, E2, B y, dan B2 sebagai berikut
( )
∂
∂+∂
∂
−= z B
y
E k
k c
i E x x y ω
ω 22/
( )
∂∂
−∂
∂−
= y
B
z
E k
k c
i E x x z ω
ω 22/
( )
∂∂−∂∂−= z
E c y
Bk k c
i B x x y 222/ω
ω
( )
∂
∂+
∂∂
−=
y
E
c z
Bk
k c
i B x x z 222
/
ω
ω
OOO /.P
OOO /.Q
OOO 3.%
OOO 3./
OOO 3.3
OOO 3.#
'ari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen1 i di l E d B dik h i k k
8/18/2019 Bab6_GEM ok
72/82
1ongitudinal E! dan B! diketahui, maka komponen
lainnya dapat diketahui.
'engan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam"ersamaan Ma!well, kita akan peroleh persamaan'ierensial dari komponen longitudinal sebagaiBerikut (
022
2
2
2
2
=
−
+
∂∂+
∂∂ x E k
c z yω
022
2
2
2
2
=
−
+
∂
∂+
∂
∂ x Bk
c z y
ω
0ˆ =⋅ Bn 0ˆ =× Bn
OOO #.%
OOO #./
OOO P
&engan menggunakan syarat batas pada permukaan
konduktor sempurna, yaitu :
'engan n̂ adalah vektor satuan normal pada
8/18/2019 Bab6_GEM ok
73/82
konduktor, maka akan kita peroleh
E x = 0 'i permukaan
0=∂∂n
B x 'i permukaan
Bila E! = >, disebut gelombang 6E $6ransverse elektrik
Bila B! = >, disebut gelombang6M $6ransverse Mgnetik&,'an E! = > dan B! = >, disebut gelombang 6EM $6ransverse
Electric Magnetik&"ada pandu gelombang yang terselubung, kasus 6EM tidak
pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut (Bila E! = >, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum
0=
∂
∂+
∂
∂
z
E
y
E z y
OOO Q.%
OOO Q./
OOO R
'an bila B! = >, maka menurut hukum 0araday
8/18/2019 Bab6_GEM ok
74/82
yBerlaku hubungan
0=∂
∂−
∂
∂
z
E
y
E y x
arena E = > di permukaan logam, maka potensial listrik5 = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum *ausstau persamaan 1aplace untuk 5, berlaku pula 5 = konstan
'idalam rongga. 8ni berarti E = > didalam rongga. 'ari"ersamaan
E t
B×∇=
∂∂
−
Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidakada gelombang didalam rongga
OOO
E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN
8/18/2019 Bab6_GEM ok
75/82
PENAMPANG SEGI EMPAT
"ersamaan dierensial dari komponen longitudinal
022
2
2
2
2
=
−
+
∂∂
+∂∂
x Bk c z y
ω OOO %
8/18/2019 Bab6_GEM ok
76/82
Syarat batas 0=dy
d) di y = > dan di y = a
8/18/2019 Bab6_GEM ok
77/82
dy
> = ky , maka = >( ) ( ) yk yBk yk Ak dyd)
y y y y sincos −=
( )ak Bk y y
sin0
= maka, π !ak y = dengan m = >, %, /,O.atau
a
!k y
π =
Untuk solusi z k z
(
(
2
2
21−=
∂∂
yaitu ( ) ( ) ( k B ( k A ( z z cossin +=
Syarat batas 0=dz
d( di 2 = >, 2 = b
( ) ( ) ( k Bk ( k Ak dz
d( z z z z sincos −=maka untuk ( )
Ak
( k Ak dz
d(
z
z z
=
=
0
cos
( ) 0cos ≠ ( k z Untuk ( ) ( k Bk dz d(
z z sin= 0≠ Bk z dan k22 = >
Sin k22 = >
b
n
k
nbk
n z k
z
z
z
π
π
π
=
=
=maka dengan n = >, %, /, O.2=b
maka untuk( ) ( )+ (kB(kA( cossin
8/18/2019 Bab6_GEM ok
78/82
=
+=
+=
a
y! B
ya
! B
) k B) k A) y y
π
π
cos
cos0
cossin ( ) ( )
=
+=
+=
b
z n
B
b
z n B
( k B ( k A ( z z
π
π
cos
cos0
cossin
Sehingga ( )
⋅
=
b
z n B
a
y! B z y B x
π π coscos,
Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari
persamaan yang sudah didapat02
2
2 =−
+−− k c
( k ) k ω dengan
a
!k y
π = b
nk z
π =dan
maka
222
2222
2
222
0
−
−
=
−
−
=
=−
+
−
−
b
n
a
!
ck
b
n
a
!
ck
k cb
n
a
!
π π ω
π π ω
ω π π
!!ck
221
ω ω −=
22
+
=
b
n
a
!c!! π ω
8/18/2019 Bab6_GEM ok
79/82
E.2 PANDU GELOMBANG JALUR
8/18/2019 Bab6_GEM ok
80/82
TRANSMISI KOAKSIAL
'ari persamaan Ma!well 3 dan # diperoleh (
y z x E
c
iikB
z
B2
ω −=−
∂∂
*ambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur trandmisi koaksial $coa!ial& transmition line&,terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktorsilinder. awat panjang itu terletak pada sumbu silinder
z y x E
c
iikB
y
B2
ω =−
∂∂
Untuk medan listrik ( Untuk medan magnet (
8/18/2019 Bab6_GEM ok
81/82
0=∂
∂+
∂
∂
z
B
y
B z y
0=∂
∂−∂
∂ z
B
y
B y x
Maka cB2 = E y dan cB y = -E2
0=∂
∂+
∂
∂
z
E
y
E z y
0=∂
∂−∂
∂ z
E
y
E y x
Solusi dengan menggunakan koordinat silinder
E E oo ˆ1
= dan Φ= ˆ1
c
E B oo
'iasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, berlaku E = > dan B = >Sehingga ungsi gelombangnya
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t kxio
t kxi
o
e z y Bt z y x B
e z y E t z y x E
ω
ω
−
−
=
=
,,,,
,,,,
Untuk persamaan (
8/18/2019 Bab6_GEM ok
82/82
( ) ( ) ( )t kxio e z y E t z y x E ω −= ,,,,
( ) ( )t kx E it kx E oo ω ω −+−= cosˆcos
Substitusikan
E E oo ˆ1=
diperoleh ( ) t kx
E E o ˆcos ω −=
Untuk persamaan
( ) ( ) ( )t kxio e z y Bt z y x B ω −= ,,,,
( ) ( )t kx Bit kx B oo ω ω −+−= cosˆcos
yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi
Φ= ˆ1
c
E B oo maka
( )Φ
−= ˆ
cos
t kx
c
E B o
ω