Bab6_GEM ok

download Bab6_GEM ok

of 82

Transcript of Bab6_GEM ok

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    1/82

    FISIKA DASAR 2

    PERSAMAAN MAXWELL

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    2/82

    Persamaan Maxwell

    Pandu Gelombang

    Pemantulan dan Pembiasan GelombangElektromagnetik

    Gelombang Elektromagnetik dalam Medium

    Persamaan Gelombang ElektromagnetikTransversalitas Gelombang Elektromagnetik

    Vektor Poynting dan Kekekalan Energi

    Gelombang dalam Medium Konduktif

    Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma

    Hukum SnelliusPersamaan Fresnel

    Pandu Gelombang dengan Penamang Segi Emat

    Pandu Gelombang !alur Transmisi Koaksial

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    3/82

    Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawaoleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalarmelalui vakum.

    Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yangberosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalamsuatu antene pemancar radio.

    Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubahdengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dansebaliknya. eterkaitan antara E dan B dituangkan dalampersamaan Ma!well yang mendasari teori medan magnetik.

     

    A. PENDAHULUAN

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    4/82

    B. PERSAMAAN MAXWELL

    "ersamaan Ma!well dirumuskan dalam besaran medan

    listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan

    Ma!well terdiri dari # persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medandan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupunsumber arus.

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    5/82

     D J  xH    b∂

    ∂+=∇

    "ersamaan-persamaan Ma!well

    0.   =∇ B

    0.   =∇ E 

     B xE 

    ∂∂

    −=∇

     E  xB o ∂

    ∂=∇   0ε  µ 

    VakumMedium

    b D   ρ =∇  →

    .

    0.   =∇ B

     B xE 

    ∂∂

    −=∇

    "#

    $#

    %#

    'li(k angka untuk mengeta)ui enurunan rumus masing*masing

     ersamaan di atas 

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    6/82

    Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari

    hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:

    “ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu

    permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang

    dilingkupi permukaan tersebut.”

    Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:

    ∫    ∑=∧→o

    qdAn E ε 

    ..

    ∫ ∫ =

    ∧→

    dqdAn E 

    oε 

    1..

    ∫ ∫ =• ∧→

    dV dAn E o

     ρ ε 

    1.

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    7/82

    ( )∫ ∫    +=∧→

    dV dAn E  b f  o

     ρ  ρ ε 

    1..

    ( )∫ ∫    +•∇−=• ∧→ dV  P dAn E  bo

     ρ ε 

    1.

    ∫ ∫ =   

     

      •∇+   

      •∇

      →→

    dV dv P  E  bo   ρ ε 

     D E  P  E o   ==+  →→→ε ε 

    b D   ρ =•∇  →

    "ersamaan Ma!well $%& dalam Medium

    ( )∫ ∫    +•∇−=•∇   dV  P dV  E b

    o ρ ε 

      1

    'ari teorema divergensi ∫ ∫    •∇=• ∧→

    dV  E dAn E .

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    8/82

    Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka0= ρ 

    sehingga(

    0ε 

     ρ b E  =•∇ 

    0=•∇  →

     E 

    "ersamaan Ma!well $%& untuk ruang vakum,

    tanpa sumber muatan

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    9/82

    Persamaan Maxwell kedua  merupakan )ukum *aussmagnetik, yang menyatakan +luks medan magnetik yangmenembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol,

    tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik. taudengan kata lain, garis gaya medan magnet selalutertutup, tidak ada muatan magnet monopole.

    Melalui teorema *auss, persamaan Ma!well kedua dapat

    dituliskan dalam bentuk integral(

    ∫    ==  ∧→

    0.   dAn B Bφ 

    'ari teorema divergensi   dV  BdAn B∫ ∫   →∧→

    ∇=   .. maka

    ∫    =∇  →

    0. BdV 

    0.   =∇  →

     B "ersamaan Ma!well $/& dalam medium dan vakum

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    10/82

    Persamaan Maxwell ketiga  merupakan ungkapan )ukum0araday-1en2, yang menyatakan bahwa +pengaruh medanmagnet yang berubah dengan waktu.

    Secara matematis dituliskan(

    t ∂∂

    −=  φ 

    ε 

    dAn Bt 

    dl  E ∧→→

    ∫ ∫    ∂∂

    −=   ..

    'ari teorema Stokes ∫ ∫ 

      ∧→→

    ∇=   dAn E  xdl  E    ..∫ ∫ 

      ∧→∧→

    ∂∂

    −=∇   dAn Bt 

    dAn E  x   ..

     B E  x

    ∂−=∇

    → "ersamaan Ma!well $3& dalam medium

    'an vakum.

    ∫   ∧→

    =   dAn B .φ dengan

    karena   dl  E .

    ∫ 

    =ε  maka

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    11/82

    Persamaan Maxwell keemat  merupakan )ukum mpere(

    ∫    =→

     I dl  B   µ .

    ∫    = I dl  H .dAn J  J dl  H   f  b   ..

    ∫ ∫    

     

     

     

     +=

     

    ( )   dAnt 

     E  J dAn xH  b   ..

    →→

    ∫ ∫     

     

     

     

     

    ∂∂

    +=∇   ε 

     E  J  xH    b

    ∂∂+=∇

    →→

    ε 

     D J  xH    b

    ∂+=∇

    →→

    "ersamaan Ma!well $#& dalam medium

    →→

    = H  B

     µ dAn J  I  ∫ 

    →∧

    =   .dengan

     f  b   J  J  J →→→

    +=

    4

    dan

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    12/82

     I dl  B 0.   µ =∫ →

    dAn B xl d  B ∧→→ ∫ ∫    ∇=   ..

    dAn J dAn B x→→∧→

    ∫ ∫    =∇   .. 0 µ →→

    =∇   J  B x 0 µ 

     E  B x

    ∂∂

    =∇→

    00ε  µ 

    Untuk persamaan Ma!well $#& dalam vakum, yaitu(

    'ari teorema Stokes maka

    "ersamaan Ma!well $#& dalam 5akum,6anpa sumber muatan

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    13/82

     B E 

    ∂∂

    −=×∇

    →→

      

      

      ×∇

    ∂−= 

     

      

      ×∇×∇  →→

     B

     E 

    →→→

    ∇− 

     

     

     

     ∇∇= 

     

     

     

      ×∇×∇   E  E  E    2.

    B.1. PERSAMAAN GELOMBANG

    ELEKTROMAGNETIK 

    ME'7 18S698'ari persamaan Ma!well $3&(

    9uas kanan dan ruas kiri dideerensialkan denganoperasi rotasi, maka(

    'ari vektor identitas

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    14/82

    02

    2

    00

    2=

    ∂−∇

    →→

     E  E    ε  µ 

    2

    2

    00

    2

     E  E 

    ∂∂

    =∇→→

    ε  µ 

       

       ×∇

    ∂∂

    −=∇−   

      ∇∇

      →→→

     Bt 

     E  E    2.

    2

    2

    00

    2

     E  E 

    ∂∂

    −=∇−→

    ε  µ 

    Maka(

    'engan 0.   =∇  →

     E t 

     E  B

    ∂∂

    =×∇→→

    00ε  µ dan sehingga

    dengan00

    1

    ε  µ =c

    0

    12

    2

    2

    2

    =∂

    −∇

     E 

    c E 

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    15/82

    0

    12

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    ∂∂

    −∂∂

    +∂∂

    +∂∂   →

     x E t c z  y x

    01

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    ∂∂

    −∂∂

    +∂∂

    +∂∂   →

     y E t c z  y x

    01

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    ∂∂

    −∂∂

    +∂∂

    +∂∂   →

     z  E t c z  y x

    Sehingga persamaan gelombang medan listrikdalam bentuk dierensial(

    Solusi paling sederhana(

    ( ) ( )t kz  E t  z  E    ω −=  →→

    cos,   0

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    16/82

    ME'7 M*7E6 

    'ari persamaan Ma!well $#&(

     E 

     xB o ∂∂

    =∇   0ε  µ 

    →→→ ∇−   

      ∇∇= 

      

       ×∇×∇   B B B   2.

    (

     E  B B

    ∂×∇∂

    =∇−   

      ∇∇

    →→→ )

    . 002 ε  µ 

    0.   =∇  →

     Bt 

     B

     E  ∂

    −=×∇

    →→

     E 

     B ∂

    ×∇∂

    =  

     

     

     

    ×∇×∇

    →→ )(

    00ε  µ 

    'engan operasi rotasi(

    arena vektor identitas

    'an persamaan Ma!well $/& serta $3&(

    dan

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    17/82

    01

    2

    2

    2

    2 =∂

    ∂−∇

    →→

     B

    c B

    2

    2

    2

    2   1

     B

    c B

    ∂∂

    =∇→→

    2

    2

    00

    2

     B B

    ∂∂

    =∇

    →→

    ε  µ 

    Maka persamaan gelombang medan magnet dalambentuk dierensial(

    sehingga

    01

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    = ∂∂−∂∂+∂∂+∂∂  →

     x Bt c z  y x

    01

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    ∂∂

    −∂∂

    +∂∂

    +∂∂   →

     y Bt c z  y x

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    18/82

    01

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    ∂∂

    −∂∂

    +∂∂

    +∂∂   →

     z  Bt c z  y x

    Solusinya(   ( ) ( )t kz  Bt  z  B   ω −=  →→ cos,   0

    Solusi persamaan gelombang elektromagnet untukmedan 1istrik dan medan magnet merupakan contoh

    eksplisit dari gelombang datar $"lan :ave&)(   t kz  f     ω −

    k v   ω =

    Bentuk umum(

    ecepatan(

    Bentuk muka gelombangnyategak lurus vektor satuan k,maka(

    tan.   kons z k    =→∧

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    19/82

    Siat-siat gelombang datar(%. Mempunyai arah jalar tertentu $dalam persamaan,  arah 2&./. 6idak mempunyai komponen pada arah rambat.3. 6idak ada komponen E dan B yang bergantung pada  koordinat transversal $pada contoh, koordinat  transversalnya ! dan y&.

    Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi(

    ),(),(   t  z  E  jt  z  E i E   y x

    ∧∧→

    +=

    ),(),(   t  z  B jt  z  Bi B  y x∧∧→ +=

    ),(),(   t  x E k t  x E  j E   z  y

    ∧∧→

    +=

    ),(),(   t  x Bk t  x B j B  z  y∧∧→ +=

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    20/82

    B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBAN

      ELEKTROMAGNETIK 

     E  B

    ∂∂=×∇

    →→

    00ε  µ 

     E 

     y

     B

     x

     B z  z  y

    ∂=

    ∂−

    ∂  →→→

    00ε  µ  0),(

    =∂

    ∂  →

    t  z  E  z 

    ME'7 18S698Untuk membuktikan siat dari gelomabng datar yaitutransversalitas,dari persamaan Ma!well $%& dan $#&(

    E2 tidak bergantung pada 2 $sisi spatial&

    Sisi temporal

    0.   =∇  →

     E 

    0),(),(),( =

    ∂∂+

    ∂∂+

    ∂∂

      →→→

     z 

    t  z  E 

     y

    t  z  E 

     x

    t  z  E    z  y x

    0),(

    =∂

    ∂ →

     z 

    t  z  E  z 

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    21/82

    ;ang berarti E2 tidak bergantung pada t

    , yang berarti arah getardari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah

    rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyaikomponen-komponen pada arah yang tegak luruspada arah rambat.

    0.   =∇  →

     B

    0),(),(),( =∂∂+∂∂+∂∂

      →→→

     z t  z  B

     yt  z  B

     xt  z  B   z  y x

    0),(

    =∂

    ∂ →

     z 

    t  z  B z 

    ME'7 M*7E6 'ari persamaan Ma!well $/&(

    Sisi spatial, yang berarti B2 tidak bergantung

    pada 2.

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    22/82

     B E  x

    ∂∂

    −=∇

    →→

    t  z  B

     y

     E 

     x

     E  z  x y

    ∂∂

    =∂

    ∂−

    ∂∂   →→→ ),(

    0),(

    =∂

    ∂  →

    t  z  B z 

    'an dari persamaan Ma!well $3&(

    Sisi temporal, yang berarti B2tidak bergantung pada t.

    ;ang berarti arah getar gelombang medan magnet tegaklurus terhadap arah rambatnya.

    'engan demikian maka gelombangElektromagnetik merupakan gelombang transversal.

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    23/82

     y x   E  j E i E ∧∧→

    +=

    )cos()cos( 00   t kz  E  jt kz  E i E   y x   ω ω    −+−=

      ∧∧→

     y x   B j Bi B∧∧→

    +=

    )cos()cos( 00   t kz  B jt kz  Bi B  y x   ω ω    −+−=  ∧∧→

    t  B E  x∂

    ∂−=∇→

    +−−=

    −−

      ∧∧∧∧

     yoxoxoy   jB Bit kz  jE  E it kz k  0)sin()sin(   ω ω ω 

    +−= −  ∧∧∧∧

     yoxoxoy   jB Bi jE  E ik  0ω 

    ( )  →

    −=×−   B E k    ω 

     Bk 

     E   ω =   cB E  =

    )ubungan E dan B, misal menjalar dalam arah 2(

     B E  ⊥

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    24/82

    )ubungan vektor propogasi k, medan listrik E,dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar(

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    25/82

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    26/82

       

       ×∇•+ 

      

       ×∇−•=

      →→→→

     B E  E  Bdt 

    du

    00

    11

     µ  µ 

    ( )         ×∇•−      ×∇•=ו∇  →→→→

     B E  E  B B E 

       

       ×∇•− 

      

       ×∇•−=

      →→→

     B E  E  Bdt 

    du  

    0

    1

     µ 

    ( ) B E dt 

    du   ו∇−=

    0

    1

     µ   0=•∇+

      →

    S dt 

    du

    Sehingga

    'ari vektor identitas

    maka

    ( ) B E S 

    ×=→

    0

    1

     µ dengan disebut vektor poynting

    )ukum ekekalan Energi

    mengungkapkan besarnya energi persatuan

    waktu per satuan luas yang dibawa oleh

    medan elektromagnetik

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    27/82

    C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK 

      DALAM MEDIUM

     D J  H 

    t  B E 

     B

     D

    b

    b

    ∂∂

    +=×∇

    ∂∂−=×∇

    =∇=∇0.

    .   ρ 

    ersamaan!persamaan "a#well

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    28/82

    C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF

    'alam medium kondukti yang bebas sumber, dan dari hubungan B = ? ) dan ' = @ E, persamaan

    Ma!well # dapat ditulis(

    ,)(

    ),()(

    2

    2

     E 

     J  E 

     B E dengan

     E  J 

     B

     E  J  B

     D J  H  b

    ∂∂

    +∂∂

    =×∇×∇−∂

    ∂−=×∇

    ∂+

    ∂=×∇

    ∂∂∂

    +=×∇∂

    ∂+=×∇

     µε  µ 

    εµ  µ 

    εµ  µ 

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    29/82

    maka

    0

    0

    )).((

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    =∂∂−∂∂−∇

    ∂∂

    +∂∂

    =∇+

    ∂∂

    +∂∂

    =∇−∇∇−

    t  E 

    t  E  E 

     E 

     E  E 

     E 

     E 

     E  E 

     µσ  µε 

     µε  µσ 

     µε  µσ 

    'engan solusi ( E$2, t& = E> cos $κ 2 - At&

    tau dalam bentuk kompleks (E$2, t& = E> e

    -i $κ 2 - At & 

     E  J dan E  E  E    σ =∇−∇∇=×∇×∇   2).()(

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    30/82

    Sehingga (

     E e E it 

     E 

     E ie E it 

     E 

    t  z i

    t  z i

    2)(

    0

    22

    2

    2

    )(

    0

    ω ω 

    ω ω 

    ω κ 

    ω κ 

    −==∂

    ==∂

    −−

    −−

    E$2, t& = E> e-i $κ 2 - At &  0

    2

    22 =

    ∂∂

    −∂∂

    −∇t 

     E 

     E  E    µσ  µε 

    ( )   E e E ie E  z 

     E    t  z it  z i   2)(022)(

    02

    22 κ κ    ω κ ω κ  −==

    ∂∂

    =∇   −−−−

    -κ /E   ?@A/E  C ?DiAE  = >

    κ /E  - ?@A/E   ?DiAE  = >

    κ /

    = ?@A/

     C i?DA

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    31/82

    Misal ( κ  = a ib

    κ / = $a ib&/ = a/ C b/ /abi

    'ari pers κ /= ?@A/ C i?DA, maka (

    a/ C b/ = ?@A/ dan /ab = - ?D $

    222

    222

    )2(

    )2

    (

     µεω 

     µσω 

     µεω  µσω 

    =−

    =−−

    aa

    aa   a

    b2

     µσω −=

    kalikan dengan #a/

    #$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    32/82

    'engan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh (

    2222

    2,1

    22222

    2,1

    2222

    2

    2,1

    22222

    2,1

    )(12

    1)(

    2

    1)(

    2

    1)(

    2

    1)(

    )()(2

    1

    2)(

    8

    ))(4(4)4(4)(

    εω 

    σ ε  µω  µεω 

    σ ω ε  µω  µεω 

     µσω  µεω  µεω 

     µσω  µεω  µεω 

    +±=

    +±=

    +±=

    +−±=

    a

    a

    a

    a

    #$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    33/82

      

     

     

     ++=2

    22 11)(2

    1

    εω 

    σ  µεω a

    arena a bilangan riil, maka a/ harus positisehingga dipilih(

    2222

    2,1   )(12

    1)(

    2

    1)(

    εω 

    σ ε  µω  µεω    +±=a

       

      

    +±=

    2

    22

    2,1   11)(2

    1

    )( εω 

    σ 

     µεω a

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    34/82

       

      ++−=

      

      

     ++−=

    − 

      

      ++=

       

      ++=

    222

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    22

    112

    12

    1

    2

    1

    1121

    21

    112

    1

    εω 

    σ  µεω 

    εω 

    σ  µεω 

    εω σ  µεω 

     µεω εω 

    σ  µεω 

    b

    b

    b

    b

    a/ C b/ = ?@A/

    b/ = a/ - ?@A/ 

       

      ++=

    2

    22 11)(2

    1

    εω 

    σ  µεω a

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    35/82

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    36/82

    Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, + ,,maka 

    2

    2

    1

    12

    1

    112

    1

    22

    2

    22

    222

     µσω 

    εω 

    σ   µεω 

    εω 

    σ  

     µεω 

    εω 

    σ   µεω 

    =

       

      =

       

      

    +=

       

      ++=

    a

    a

    a

    a

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    37/82

    Sehingga (

    2

    22

    2

     µσω 

     µσω 

     µσω 

     µσω 

    −=

    −=

    −=

    b

    b

    ab

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    38/82

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    39/82

    Untuk medium yang konduktivitasnya rendah$konduktor buruk&, jauh lebih kecil dari ./. MakaSkin depthnya (

    ++=   2

    22 )(11

    2   εω 

    σ  µεω a

    'iuraikan dengan deret Maclaurin

    +−−+−++=+ !3)2)(1(!2)1(1)1(

    32 x

    nnn

     x

    nnx x

    n

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    40/82

     jika   2)(εω 

    σ = x maka (

    ..........)12

    1(

    2

    1.

    !2

    1

    2

    11)1(   22

    1

    +−++=+   x x x

    ........)(

    2

    11)(1

    ......))(21(

    41)(

    211)(1

    22

    1

    2

    422

    1

    2

    −+=

    +

    +−++=

    +

    εω 

    σ 

    εω 

    σ 

    εω σ 

    εω σ 

    εω σ 

    12

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    41/82

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    42/82

    'ari solusi persamaan gelombang pada mediumkondukti yaitu (

    )(

    0),(t 

     z i

     z 

    ee E t  z  E ω 

    δ δ −−−

    = yang dapat ditasirkan setelah menempuh jaraksebesar , maka amplitudo gelombang berkurang

    menjadi dari amplitudo semula.e

    1

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    43/82

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    44/82

    2

    1

    2

    22

    2

    22

    2

    )(112

    )(11

    2

    )(112

    ++=

    ++=

    ++=

    εω 

    σ 

    εω 

    σ 

    εω 

    σ  µεω 

    k a

    k a

    a

    dengan kv = ., dan karena a F k , maka kecepatan asepada medium kondukti G v di udaraHnon kondukti

    ecepatan ase(

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    45/82

    Besarnya vektor poynting untuk mediumkondukti, yaitu (

    )(1  B E S 

    ×=  µ  dengan  E  B ω κ  =

    =   )(1

     E  E S 

    ω 

    κ 

     µ 

    21 E S    κ  

     µω =

    )(22

    0)(1   t  z ie E ibaS    ω κ 

     µω −−+=

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    46/82

    +−+−

      +=   2)(2

    2

    0

    22   θ ω 

     µω 

    t  z ibai

    e E ba

    0aktor

    merupakan aktor redaman dalam perambatan energi.

    [ ]t  z ibaie E iba

    S    ω 

     µω 

    −+−+=   )(220)(

    Untuk medium kondukti

    δ 

    1=−=   ba

    +−−−

      +=   2

    222

    0

    22   θ ω δ δ 

     µω 

    t  z 

    i z 

    ee E ba

    maka 

    δ 

     z 

    e2−

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    47/82

    C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM

    KONDUKTOR

    DAN PLASMA

    Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikatpada atom dan molekul sehingga dapat digunakanpersamaan Ma!well 3, yaitu (

     B E 

    ∂−=×∇

     J 

     E  E 

    ∂∂

    −∂∂

    −=∇−   022

    00

    2  µ ε  µ 

    002

    2

    00

    2 =∂

    ∂−

    ∂−∇

     J 

     E  E    µ ε  µ   $%&

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    48/82

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    49/82

    Sehingga (

    0)(

      2

    02

    2

    00

    2 =−∂∂

    −∇   E !

    q " 

     E  E    e µ ε  µ 

    dan  )(0),(  t kz ie E t  z  E 

      ω −−=

     E k e E k i E    t kz i   2)(0222 −==∇   −−   ω 

     E ie E it 

     E    t kz iω ω 

      ω ==

    ∂   −−   )(0

     E e E it 

     E    t kzi   2)(0

    22

    2

    2

    ω ω    ω  −==∂

    ∂   −−maka,

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    50/82

    0)(

    )(2

    0

    2

    00

    2=−+−   E 

    !

    q "  E  E k    e µ ω ε  µ  

    !

    q " k    e

    2)(0

    2

    00

    2  µ ω ε  µ    −=

    2

    0

    2

    2

    00

    2 )(1

    ω ε ω ε  µ    !

    q " k  e−=

    karena00

    2   1ε  µ =

    c dan22

    2

    1v

    k  =ω 

    2

    0

    2

    2

    2

    00

    )(1

    1

    ω ε ω ε  µ    !

    q " k  e−= dengan   22)(

     #e

    !

    q " ω 

    ε =

     

     

     

     

     

     −=

    2

    2

    2

    2

    1

    ω 

    ω  #

    v

    cmaka

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    51/82

    Berdasarkan deinisi indeks bias (v

    cn =

       

      

     −=

    2

    2

    2 1ω 

    ω  #n

    2

    2

    1ω 

    ω  #n   −= 8ndeks Bias "lasma 

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    52/82

    Bila ω

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    53/82

    D.1 HUKUM SNELLIUS

    6injau untuk kasus 6ransverse Electric $6E&

     

    D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN

    GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK 

    E1 k1

    B1

     E2

    k2B2

    E3

    k3

    B3

    Med1

    Med2

    μ2ε2

    μ1ε11α  2α 

    3α 

    x

    x

    x

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    54/82

    'ari gambar tersebut diperoleh persamaanuntuk gelombang medan magnet

    )(

    011011

    1

    )cos(),(

      t  k i

    e Bt  k  Bt   B

      ω 

    ω 

      −•

    =−•=)(

    0220222)cos(),(

      t  k ie Bt  k  Bt   B

      ω ω    −•=−•=

    )(

    033033

    3)cos(),(  t  k i

    e Bt  k  Bt   B  ω ω    −•=−•=

    dengan

    k% = k% J i sin $K%& C j cos $K%&L

    k/ = k/ J i sin $K/& j cos $K/&Lk3 = k3 J i sin $K3& C j cos $K3&L

    "ersamaan %

    "ersamaan /

    b k

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    55/82

    ])cos()sin([

    011111),(   t  y xk ie Bt   B   ω α α    −−=

    ])cos()sin([

    033333),(   t  y xk ie Bt   B   ω α α    −−=

    ])cos()sin([

    022222),(

      t  y xk ie Bt   B   ω α α    −+= "ersamaan 3

    Syarat batas di y = > 4 maka

    B%! C B/! = B3!

    B% cos K% C B/ cos K/ = B3 cos K3 

    'an persamaan 3 menjadi (

    )sin(

    303

    )sin(

    202

    )sin(

    101332211 .cos.cos.cos

      α α α  α α α    xk i xk i xk i e Be Be B   =−

    Substitusi persamaan % ke persamaan /(

    "ersamaan

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    56/82

    "ersamaan

    dapat dipandang sebagai ea!  Beb! = ec!

    dengan menggunakan deret eksponensial(

    ++++

    ++++

    +++   .....

    !21.....

    !21.....

    !21

    222222  xccx$ 

     xbbx B

     xaax A

    dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh (

    B =

    a! Bb! = c!

    a! Bb! = $ B& c!

    )sin(

    303

    )sin(

    202

    )sin(

    101332211 .cos.cos.cos

      α α α  α α α    xk i xk i xk i e Be Be B   =−

    'alam bentuk matriks (

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    57/82

    [ ] [ ]  

    =

    cx

    cx B A

    bx

    ax B A

    diperoleh a = b = c

    maka k% sin K% = k/ sin K/

    arena gelombang datang dan gelombang pantul

    berada dalam medium yang sama yaitu medium %maka ( k% = k/

    sehingga K% = K/

     

    k% sin K% = k3 sin K3'ari a = c maka

    'alam bentuk matriks (

    ccω

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    58/82

    n

    cv

    v

    cn

    vk    =⇒=⇒=

     ω 

    nk c

    n

    n

    ck    ≈⇒==

      ω ω 

    maka k% dan k3 sebanding dengan n% dan n3 

    sehingga n% sin K% = n/ sin K3

    Persamaan Snellius

    D 2 PERSAMAAN FRESNELL

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    59/82

    D.2. PERSAMAAN FRESNELL

    Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnyaakan ditunjukkan perbandingan mplitudo gelombangpantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombangdatang yang disebut dengan persamaan 0resnell

    asus 6ransverse Magnetik $6M&

    B1 k1

    E1 k2B2

    B3*

    k3

    E3

    1

    2μ2ε2

    μ1ε1

    xE/

    α α 

    θ 

    ⋅•

    'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    60/82

    'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&

    Untuk medan listrik (

     E 1x  + E 2x  = E 3x 

    ( ) ( ) ( )θ α    coscos 321   E  E  E    =+

    Untuk medan magnet (

     B1 – B2 = B3

    ( )   32

    21

    1

    11 E 

    v E  E 

    v=−

    'engan B=EHc di 5akum atau B= EHv di medium

    sehingga dan n=cHv maka %Hv N n

    maka n% $E%-E/& = n/ E3

    ( )

    2

    2113

    n

     E  E n E 

      −=

    OOO %

    OOO /.%

    OOO /./

    "ersamaan /./ disubstitusikan kedalam

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    61/82

    m mpersamaan %,maka akan diperoleh (

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )   

      

     −=  

     

      

     +

    −=+

    α θ θ α 

    θ α 

    coscoscoscos

    coscos

    2

    11

    2

    12

    21

    2

    121

    n

    n E 

    n

    n E 

     E  E n

    n E  E 

    Maka diperoleh koeisien releksi yaitu

    perbandingan antara medan pantul terhadap medandatang $E/HE%&.

    dikali n/

    maka

    ( ) ( )

    ( ) ( )α θ 

    α θ 

    coscos

    coscos

    2

    1

    2

    1

    1

    2

    +

    −==

    n

    n

    n

    n

     E 

     E  %& 

    ( ) ( )

    ( ) ( )α θ α θ 

    coscos

    coscos

    21

    21

    1

    2

    nn

    nn

     E 

     E  %&  +

    −== OOO 3

    'ari persamaan /.% kita peroleh persamaan$E E & E

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    62/82

      n% $E%-E/& = n/ E3

    1

    32112

    n

     E n E n E 

      −= OO #

    "ersamaan # disubstitusikan ke persamaan %, maka (

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )θ α α 

    θ α 

    coscoscos2

    coscos

    33

    1

    21

    3

    1

    32111

     E  E nn E 

     E n

     E n E n E 

    =−

    =   

      

        −+

    dikali n%

    maka ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )α θ α 

    θ α α 

    coscoscos2

    coscoscos2

    21311

    313211

    nn E  E n

     E n E n E n

    +==−

    'ari persamaan diatas dapat dicari koeisien transmisi,;aitu perbandingan antara E3HE%

    ( )

    ( ) ( )α θ α 

    coscos

    cos2

    21

    1

    1

    3

    nn

    n

     E 

     E t %&  +

    ==

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    63/82

    Untuk medan listrik

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    64/82

     E 1 + E 2 = E 3

    'ari hubungan   E  Bω 

    κ =   B E 

    κ 

    ω =

    κ 

    ω =v

    v

    cn =

     

    maka

    v1 (B1 + B2 ) = v2 B3 v N %Hn

    ....... /.%

    ( )21

    1

    2

    3

      B Bn

    n B   += ....... /./

    ( )   32

    21

    1

    11 B

    n B B

    n=+

    %

    % % %

     E 1 + E 2 = E 3

    "ersamaan /./ disubstitusikan ke pesamaan %

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    65/82

    θ α 

    θ α 

    coscos

    coscos

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    n

    nn

    n

     B B %E 

    +

    ==θ α θ α 

    coscoscoscos

    21

    21

    nnnn %E  +−=

    ( ) ( )

    α θ θ α 

    θ α 

    coscoscoscos

    coscos

    1

    21

    1

    22

    21

    1

    221

    −   

      

     =  

     

      

     +−

    +=−

    n

    n B

    n

    n B

     B B

    n

    n B B

    θ α 

    α θ 

    coscos

    coscos

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    n

    n

    n

    n

     B

     B '%E 

    +

    =−=

    p

    Sehingga diperoleh (

    maka

    'ari persamaan /.% kita peroleh

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    66/82

    p p

    ( )   32

    21

    11 B

    n B B

    n=+

    13

    2

    12   B B

    n

    n B   −= ....... 3

    "ersamaan 3 disubstitusi ke persamaan %

    θ α α 

    θ α 

    coscoscos2

    coscos

    33

    2

    11

    313

    2

    11

     B B

    n

    n B

     B B Bn

    n B

    =−

    =    

      

        

       −−

    ( )θ α α    coscoscoscos2 21312   nn B Bn   +=

    θ α 

    α 

    coscos

    cos2

    21

    2

    1

    3

    nn

    n

     B

     Bt %E  +

    ==

    pabila sudut bias 090 maka,

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    67/82

    pa a su ut as maka,

    'ari hukum Snellius diperoleh hubungan

    1

    21

    211

    3211

    sin

    90sinsin

    sinsin

    n

    n

    nn

    nn

    o

    =

    =

    =

    α 

    α 

    α α 

    Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 090

    sudut kritis

    Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,maka terjadi pemantulan total.

    maka n% F n/ 

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    68/82

    pabila  o

    90=+θ α dari hukum Snellius diperoleh hubungan(

    ( )1

    2tannn=α 

    Sudut datang yang menghasilkano90=+θ α 

    Sudut Brewster

    α α 

    α α 

    θ α 

    cossin

    )90sin(sin

    sinsin

    1

    2

    21

    21

    n

    n

    nn

    nn

    o

    =

    −=

    =

    E. PANDU GELOMBANG

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    69/82

    Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnyadibatasi oleh permukaan disebut rongga $cavity&.

    Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasioleh permukaan disebut dengan pandu gelombang

    'iasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benarkonduktor sempurna Sehingga bahan material

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    70/82

    konduktor sempurna, Sehingga bahan materialtersebut berlaku E = > 'an B = >

    Misalkan gelombang elektromagnetik merambat denganBentuk ungsi sebagai berikut (

    ( ) ( )   ( )

    ( ) ( )   ( )t kxio

    t kxi

    o

    e z  y Bt  z  y x B

    e z  y E t  z  y x E 

    ω 

    ω 

    =

    =

    ,,,,

    ,,,,

    "ersamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Ma!well 3dan # ,Maka akan diperoleh (

     x

     y z   Bi

     z 

     E 

     z 

     E ω =

    ∂−

     y z  x  BiikE  z 

     E ω =−

    ∂∂

     z  y x  BiikE  y

     E ω −=−

     x

     y z   E c

    i

     z 

     B

     y

     B2

    ω −=

    ∂−

    ∂∂

    OOO %

    OOO /./ OOO /.#

    OOO /.3OOO /.%

     x Ei

    ikB B ω 

    −=−∂

    / P

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    71/82

     y z   E c

    ikB z 

    2−=−

     z  y

     x  E c

    iikB

     y

     B

    2

    ω =−

    'ari persamaan /.%, /./, /.3, /.#, /.P, /.Q, akan menghasilkanSolusi Untuk E y, E2, B y, dan B2 sebagai berikut

    ( )       

     

     ∂

    ∂+∂

    −=  z  B

     y

     E k 

    k c

    i E    x x y   ω 

    ω    22/

    ( )      

      

     ∂∂

    −∂

    ∂−

    = y

     B

     z 

     E k 

    k c

    i E    x x z    ω 

    ω    22/

    ( )       

       ∂∂−∂∂−=  z 

     E c y

     Bk k c

    i B   x x y   222/ω 

    ω 

    ( )      

      

     ∂

    ∂+

    ∂∂

    −=

     y

     E 

    c z 

     Bk 

    k c

    i B   x x z    222

    /

    ω 

    ω 

    OOO /.P

    OOO /.Q

    OOO 3.%

    OOO 3./

    OOO 3.3

    OOO 3.#

    'ari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen1 i di l E d B dik h i k k

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    72/82

    1ongitudinal E! dan B! diketahui, maka komponen

    lainnya dapat diketahui.

    'engan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam"ersamaan Ma!well, kita akan peroleh persamaan'ierensial dari komponen longitudinal sebagaiBerikut (

    022

    2

    2

    2

    2

    =

    − 

      

      +

    ∂∂+

    ∂∂  x E k 

    c z  yω 

    022

    2

    2

    2

    2

    =

    − 

     

     

     

     +

    ∂+

    ∂ x Bk 

    c z  y

    ω 

    0ˆ   =⋅ Bn   0ˆ   =× Bn

    OOO #.%

    OOO #./

    OOO P

    &engan menggunakan syarat batas pada permukaan

     konduktor sempurna, yaitu :

    'engan n̂ adalah vektor satuan normal pada

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    73/82

    konduktor, maka akan kita peroleh

     E  x  = 0 'i permukaan

    0=∂∂n

     B x 'i permukaan

    Bila E! = >, disebut gelombang 6E $6ransverse elektrik

    Bila B! = >, disebut gelombang6M $6ransverse Mgnetik&,'an E! = > dan B! = >, disebut gelombang 6EM $6ransverse

    Electric Magnetik&"ada pandu gelombang yang terselubung, kasus 6EM tidak

    pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut (Bila E! = >, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum

    0=

    ∂+

     z 

     E 

     y

     E  z  y

    OOO Q.%

    OOO Q./

    OOO R

    'an bila B! = >, maka menurut hukum 0araday

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    74/82

    yBerlaku hubungan

    0=∂

    ∂−

     z 

     E 

     y

     E    y x

    arena E = > di permukaan logam, maka potensial listrik5 = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum *ausstau persamaan 1aplace untuk 5, berlaku pula 5 = konstan

    'idalam rongga. 8ni berarti E = > didalam rongga. 'ari"ersamaan

     E t 

     B×∇=

    ∂∂

    Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidakada gelombang didalam rongga

    OOO

    E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    75/82

    PENAMPANG SEGI EMPAT

    "ersamaan dierensial dari komponen longitudinal

    022

    2

    2

    2

    2

    =

    − 

      

      +

    ∂∂

    +∂∂

     x Bk c z  y

    ω OOO %

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    76/82

    Syarat batas 0=dy

    d) di y = > dan di y = a

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    77/82

    dy

    > = ky , maka = >( ) ( ) yk  yBk  yk  Ak dyd) 

     y y y y   sincos   −=

    ( )ak  Bk  y y

      sin0

     = maka,   π !ak  y   = dengan m = >, %, /,O.atau

    a

    !k  y

    π =

    Untuk solusi  z k  z 

     ( 

     ( 

    2

    2

    21−=

    ∂∂

     yaitu ( ) ( ) ( k  B ( k  A (   z  z    cossin   +=

    Syarat batas   0=dz 

    d(  di 2 = >, 2 = b

    ( ) ( ) ( k  Bk  ( k  Ak dz 

    d(  z  z  z  z    sincos   −=maka untuk   ( )

     Ak 

     ( k  Ak dz 

    d( 

     z 

     z  z 

    =

    =

    0

    cos

    ( )   0cos   ≠ ( k  z Untuk   ( ) ( k  Bk dz d( 

     z  z    sin=   0≠ Bk  z  dan k22 = >

    Sin k22 = >

    b

    n

    nbk 

    n z k 

     z 

     z 

     z 

    π 

    π 

    π 

    =

    =

    =maka dengan n = >, %, /, O.2=b

    maka untuk( ) ( )+ (kB(kA( cossin

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    78/82

         =

       

      +=

    +=

    a

     y! B

     ya

    ! B

    ) k  B) k  A)   y y

    π 

    π 

    cos

    cos0

    cossin   ( ) ( )

       

      

    =

       

      +=

    +=

    b

     z n

     B

    b

     z n B

     ( k  B ( k  A (   z  z 

    π 

    π 

    cos

    cos0

    cossin

    Sehingga   ( )      

      ⋅ 

      

      =

    b

     z n B

    a

     y! B z  y B x

    π π coscos,

    Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari

    persamaan yang sudah didapat02

    2

    2 =−   

      +−−   k c

     ( k ) k   ω  dengan

    a

    !k  y

    π = b

    nk  z 

    π =dan

    maka

    222

    2222

    2

    222

    0

       

      − 

      

      − 

      

      =

       

      − 

      

      − 

      

      =

    =−   

      + 

      

      − 

      

      −

    b

    n

    a

    !

    ck 

    b

    n

    a

    !

    ck 

    k cb

    n

    a

    !

    π π ω 

    π π ω 

    ω π π 

    !!ck 

      221

    ω ω   −=

    22

       

      + 

      

      =

    b

    n

    a

    !c!!   π ω 

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    79/82

    E.2 PANDU GELOMBANG JALUR

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    80/82

    TRANSMISI KOAKSIAL

    'ari persamaan Ma!well 3 dan # diperoleh (

     y z  x  E 

    c

    iikB

     z 

     B2

    ω −=−

    ∂∂

    *ambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur trandmisi koaksial $coa!ial& transmition line&,terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktorsilinder. awat panjang itu terletak pada sumbu silinder

     z  y x  E 

    c

    iikB

     y

     B2

    ω =−

    ∂∂

    Untuk medan listrik ( Untuk medan magnet (

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    81/82

    0=∂

    ∂+

     z 

     B

     y

     B z  y

    0=∂

    ∂−∂

    ∂ z 

     B

     y

     B   y x

    Maka cB2 = E y dan cB y = -E2

    0=∂

    ∂+

     z 

     E 

     y

     E  z  y

    0=∂

    ∂−∂

    ∂ z 

     E 

     y

     E    y x

    Solusi dengan menggunakan koordinat silinder  

     E  E  oo   ˆ1

    = dan   Φ=   ˆ1

     c

     E  B   oo

    'iasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar

    konduktor sempurna, berlaku E = > dan B = >Sehingga ungsi gelombangnya

    ( ) ( )   ( )

    ( ) ( )   ( )t kxio

    t kxi

    o

    e z  y Bt  z  y x B

    e z  y E t  z  y x E 

    ω 

    ω 

    =

    =

    ,,,,

    ,,,,

    Untuk persamaan (

  • 8/18/2019 Bab6_GEM ok

    82/82

    ( ) ( )   ( )t kxio   e z  y E t  z  y x E   ω −=   ,,,,

    ( ) ( )t kx E it kx E  oo   ω ω    −+−=   cosˆcos

    Substitusikan   

     E  E  oo   ˆ1=

    diperoleh   ( ) t kx 

     E  E    o ˆcos   ω −=

    Untuk persamaan

    ( ) ( )   ( )t kxio   e z  y Bt  z  y x B  ω −=   ,,,,

    ( ) ( )t kx Bit kx B oo   ω ω    −+−=   cosˆcos

     yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi

    Φ=   ˆ1

     c

     E  B   oo maka

      ( )Φ

    −=   ˆ

    cos

     

    t kx

    c

     E  B   o

      ω