PORTFOLIO 12

DEEL II HOOFDSTUK 2 FORMULES VAN DE GONIOMETRIE (2)

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klas: . . . . . . . . . . . . . . . Nr.: . . . . .

2 Formules van de goniometrie Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.3 Verdubbelingsformules2.4 Formules van Carnot en halveringsformules2.5 t-formules

2627

262728

2629

262830

2631

2632

3334

35

2.7 Som-naar-product formules (Simpson)2.8 Som-naar-product formules(omgekeerdeSimpson)

363738

36383940

364142

364344

454647

37484950

Oefeningen bij §2.3, §2.4 en §2.5Oefening 26. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a) 8 cos(4α) cos(2α) cosα sinα = sin(8α)

B (b) cos4 α− sin4 α = cos(2α)

B (c) cotα− 2 cot(2α) = tanα

B? (d)cosα+ sinα

cosα− sinα=

cos(2α)

1− sin(2α)

B? (e) sinα =2 cot

(α2

)

1 + cot2(α2

)

B? (f) cosα =cot2

(α2

)− 1

cot2(α2

)+ 1

B?? (g) tan4 α =sin2(2α)− 4 sin2 α

sin2(2α) + 4 sin2 α− 4

V (h)cos3 α+ sin3 α

cosα+ sinα= 1− 1

2sin(2α)

V? (i) tan(3α)− tan(2α)− tanα = tan(3α) tan(2α) tanα

V?? (j) tan(π

6+ α

)tan

(π6− α

)=

2 cos(2α)− 1

2 cos(2α) + 1

Oefening 27. Schrijf de volgende uitdrukkingen als een rationale vorm en vereenvoudig.

B (a)1

2 + sinα

B (b)cosα

1 + cosα

B? (c)1

3 sinα− 2 cosα+ 2

Po-59

Oefening 28. Zij x een hoekwaarde van de hoek in het vierde kwadrant waarvoor cosx = 2/3. Bereken zondergrafische rekenmachine

B? (a) sin(x

2

)

B? (b) cos(x

2

)

V (c) tan(x

2

)

B?? Oefening 29. Zij α de hoek in het vierde kwadrant waarvoor tanα = −3/4. Bereken zonder grafische rekenmachinede exacte waarde van de volgende goniometrische getallen.

(a) sin(2α)

(b) cos(2α)

(c) tan(2α)

(d) sin(4α)

V Oefening 30. Bepaal tan(π

8

)zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

V? Oefening 31. In een driehoek ABC geldt 3a = 7c en 3b = 8c. Bepaal tan2(α

2

)zonder (de helften van) de hoek α

te berekenen.

V?? Oefening 32. Bereken algebraısch

(sin 1◦)(sin 3◦)(sin 5◦) . . . (sin 177◦)(sin 179◦)

U Oefening 33 (verdubbelingsformule voor cotangens).Bewijs de volgende verdubbelingsformule voor cotangens:

cot(2α) =cot2 α− 1

2 cotα

Abraham de Moivre(1667-1754)

U Oefening 34 (formules voor drievoudige hoek).Toon de volgende formules1voor de drievoudige hoek aan.

sin(3α) = 3 sinα− 4 sin3 α

cos(3α) = 4 cos3 α− 3 cosα

tan(3α) =3 tanα− tan3 α

1− 3 tan2 α

U? Oefening 35 (halveringsformule voor tangens).Bewijs de volgende halveringsformule voor tangens:

tan(a

2

)=

sin a

1 + cos a=

1− cos a

sin a

Oefeningen bij §2.7 en §2.8Oefening 36. Ontbind telkens de gegeven uitdrukking in factoren.

B (a) sin(7a) + sin(3a) B? (d) sin a+ sin(2a) + sin(3a)

B (b) cos(5a)− cos a B?? (e) cos(4a) + cos(5a) + cos(6a)

B? (c) cos a+ sin a V (f) tan a+ sin a

Oefening 37. Bereken telkens zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven enexacte waarde noteren).

B (a) cos 75◦ cos 15◦

B (b) sin 15◦ sin 105◦

V?? (c) sin 20◦ sin 40◦ sin 60◦ sin 80◦

1Algemene formules voor sin(nα) en cos(nα) met n ∈ N werden gevonden door De Moivre 1730. Deze formules komen ook aan bod inDeel Complexe getallen.

Po-60

Oefening 38. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a)cos(2a) + cos(2b)

sin(2a) + sin(2b)= cot(a+ b)

B? (b) sin a+ sin

(a+

2π

3

)+ sin

(a+

4π

3

)= 0 B?? (c) sin a+ sin b− sin(a+ b) = 4 sin

(a2

)sin

(b

2

)sin

(a+ b

2

)

B? Oefening 39. Bereken algebraıschsin 13◦ + sin 47◦ + sin 73◦ + sin 107◦

cos 17◦

B? Oefening 40. Vereenvoudig de uitdrukking

sin(5a)− sin(3a) + sin(7a)− sin a

cos(5a)− cos(3a) + cos(7a)− cos a

B?? Oefening 41. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan:

(a) cosα+ cosβ + cos γ − 1 = 4 sin(α

2

)sin

(β

2

)sin(γ

2

)

(b) sin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4 sinα sinβ sin γ

(c) cos(2α) + cos(2β) + cos(2γ) = −1− 4 cosα cosβ cos γ

(d) sin2 α+ sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cosα cosβ cos γ

B?? Oefening 42 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985).Bewijs de volgende identiteit:

sin θ cos4 θ =1

16(sin(5θ) + 3 sin(3θ) + 2 sin θ)

V Oefening 43. Bereken zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine:

cos3 15◦ + sin3 15◦

cos 15◦ + sin 15◦

V Oefening 44. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

(a) sin2(2a)− sin2 a = sin(3a) sin a

(b)sin(a+ b)

sin a+ sin b=

cos(a+b2

)

cos(a−b2

)

V? Oefening 45. Vereenvoudig zoveel als mogelijk de uitdrukking

cos(4a)− 1

sin a− sin(3a)

V? Oefening 46. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan dat

cosα

sinβ sin γ+

cosβ

sin γ sinα+

cos γ

sinα sinβ= 2

V? Oefening 47. Zij α, β en γ de hoeken van een driehoek. Toon aan

∆ABC is een rechthoekige driehoek ⇔ sin(4α) + sin(4β) + sin(4γ) = 0

V?? Oefening 48. Bereken algebraısch

cos 1◦ + cos 2◦ + cos 3◦ + . . .+ cos 43◦ + cos 44◦

sin 1◦ + sin 2◦ + sin 3◦ + . . .+ sin 43◦ + sin 44◦

V?? Oefening 49. Zij x ∈ R. Bepaal a, b ∈ R zodat(

cos(x

2

)+ cos(2x) + cos

(7x

2

)+ cos(5x)

)sin

(3x

4

)= sin(ax) cos(bx)

V?? Oefening 50. Zij a, b en c hoekenwaarden van de (binnen)hoeken van een driehoek. Er is gegeven dat een van dehoekwaarden het gemiddelde van de twee andere hoekwaarden is. Toon aan dat

sin a+ sin b+ sin c

cos a+ cos b+ cos c

onafhankelijk van a, b en c is.

Po-61

ReflectieVul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je

• leerproces,

• efficientie van werken,

• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.

Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.

vb.

datum

oefeningafgew

erkt

oefeningnummer

oefeningverbeterd?(kruisje)

Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?

• voldoende tijd besteed?

• opgave goed gelezen?

• nauwkeurig gewerkt?

• modelvoorbeelden bekeken?

• opgave begrepen?

• leerstof voldoende begrepen?

Welke fouten heb ik gemaakt?

• notatiefout (NF)

• eenheden (EF)

• grafisch rekenmachine (GF)

• rekenfout (RF)

• interpretatie van de opgave (IF)

• denkfout (DF)

verder

oefenen

nodig?(kruisje)

31/12 99a X gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden EF, NF