Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

Wiskunde waar Muziek in ZitOnderwerp voor profielwerkstuk VWO

G. Meinsma, M. Vellekoop

Waarom klinkt de piano zoals hij kinkt? Waarom heefteen piano 12 toetsen per octaaf en niet 10 of 11 of wat vooraantal dan ook? En waarom vind je in sommige volksmuziek5 tonen in een octaaf? Deze opdracht helpt je op deze vragenmet behulp van wiskunde zelf een antwoord te vinden. Endaarbij zul je ook leren dat elke moderne piano pas goedgestemd is als hij hardstikke vals is.

Bloed en valsheid

Dit alles heeft te maken met de enige wiskundige waar iedereen op de middelbare schoolwel eens van gehoord heeft: Pythagoras. Je kent hem van de beroemde stelling maar wat jewiskundeleraar je nog niet verteld heeft is dat in zijn opdracht een leerling (laten we zeggen,een middelbare schoolleerling) nogal bloedig vermoord is toen deze durfde te beweren dat dewortel uit 2 niet geschreven kan worden als een breuk van tweenatuurlijke getallen.

Opdracht 1. Zoek een bewijs (zoek op internet, bel iemand op een universiteit, leesoude afleveringen van ‘Pythagoras’ of ga lekker zelf knutselen) dat de wortel uit 2 nietgeschreven kan worden als een breuk van twee natuurlijke getallen. Laat het bewijs nietaan je leraar zien, want dat is dus gevaarlijk!

Het was de filosoof en wiskundige Pythagoras van Samos(569 voor Christus tot 475 voor Christus) die voor heteerst een relatie wist te leggen tussen reine tweeklankenen getalverhoudingen. Hij kwam erachter dat twee tonenvan frequentiesf1 en f2 mooi samenklinken alsf1 zich ver-houdt tot f2 als twee kleine gehele getallen. Dit is makkelijkexperimenteel te verifiren. Neem twee snaren op een gitaaren zorg ervoor dat ze dezelfde toon produceren, dat wilzeggen dat ze een gelijke spanning hebben. Als je nu eenvan de twee snaren precies in het midden afknijpt dan zalblijken dat de klanken van de lange en de afgeknepen snaarmooi samenklinken. Dit is een voorbeeld van een tweeklankwaar de frequenties zich verhouden als 1 staat tot 2.

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

Opdracht 2. Een toon met frequentief is te representeren met de grafiek van een sinus-functie, en wel de functie sin(2π f t), mett de tijd. Om nu te laten zien dat sommige tonensamen wel mooi harmoniren en andere niet ga je de grafieken vande volgende functiestekenen en opnemen in je werkstuk:

sin(2πt) − 0.8 sin(2π2t)

voor, zeg,t = 0 tot en mett = 25, en

sin(2πt) − 0.8 sin(2π 10051 t)

Wat valt je op? Bedenk nu zelf een samenstelling van twee sinussen met verschillendefrequenties die mooi harmonieert en laat zien dat dat niet meer zo is als je de verhoudingtussen de frequenties ook maar een beetje verandert.

Ik weenMet de monsterhit:

om deWiskunde

met jou

Zoals je gezienhebt zien som-mige tweeklankener (op papier in iedergeval) stukken har-monieuzer uit danandere. De niet zoharmonieuze com-binaties noemen we‘vals’. Denk bi-jvoorbeeld aan hetverschil tussen decombinatie MarcoBorsato en Sita ver-sus Frans Bauer enMarianne Weber!

Toonladders

Een piano heeftmaar een eindigaantal toetsen.

Opdracht 3. Ga dit na!,

We kunnen dus niet iedere frequentie reproduceren op de piano want daar zijn er oneindigveel van. Anders gezegd: een traploze toonladder kan gewoonniet op de piano. We moetendus bij het stemmen van de piano onze toevlucht nemen tot een eindige toonladder. Maar datis niet erg want volgens Pythagoras klinken verreweg de meeste frequenties niet mooi samen.

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

Het ligt nu dus voor de hand om de piano zo te stemmen dat we de meest reine tweeklankenwel kunnen vormen. De twee reinste tweeklanken zijn het octaaf, waar de frequenties zichverhouden als 1-staat-tot-2,

octaaf: f1 : f2 = 1 : 2

en de reinekwint waar de frequenties zich verhouden als 2-staat-tot-3,

kwint: f1 : f2 = 2 : 3.

De bekende toonladder van Pythagoras is nu een speciale toonladder die je verkrijgt door aande hand van een enkele frequentie steeds weer nieuwe kwintenen octaven aan de ladder toete voegen wat dus betekent dat je een zekere basisfrequentieherhaaldelijk met 2 of anderhalfvermenigvuldigt. De constructie van deze toonladder van Pythagoras is simpel: in eerstinstantie vergeet je octaven en vorm je elf veelvouden van dekwintverhouding anderhalf. Ditgeeft het rijtje frequentieverhoudingen

(1,32,

32

22 , . . .311

211 ).

Opdracht 4. Laat zien dat deze rij frequenties meer dan zes octaven bestrijken.

Nu reduceer je de twaalf frequenties uit bovenstaande formule met octaven (dat wil zeggen,je deelt de frequenties een aantal keer door twee) en dat doe je net zolang tot ze in het interval[3/4,3/2] komen te liggen. De keuze voor dit interval is tamelijk willekeurig, overigens.

Opdracht 5. Ga na welke 12 frequenties je dan krijgt en vul ze in op de 12 pianotoetsenvan onderstaand plaatje.

Dit is een ouderwetse manier om een piano te stemmen. De moderne piano is echter nietzo gestemd. Er is namelijk nog zoiets als transponeren en datbrengt roet in het reine eten enzorgt ervoor, zo zal blijken, dat je een moderne piano maar beter vals kan stemmen!

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

Transponeren en Logaritmen

Wanneer ervaren mensen twee liedjes als gelijk?Een liedje kun je opvatten als het achtereenvolgensspelen of afspelen van een rijtje frequenties,

( f1, f2, f3, . . . , fn ). (1)

We maken ons hier niet druk om ritmes en boven-tonen (dat doen Frans en Marianne tenslotte ookniet!). Als je nu dit liedje op een cassette op zounemen en versneld af zou spelen dan worden allefrequenties twee keer zo groot, en het versneldeliedje wordt dus gekarakteriseerd door het rijtjefrequenties

(2 f1, 2 f2, 2 f3, . . . , 2 fn ). (2)

Echter het versneld afgespeeld liedje ‘Als zige-unerogen tranen’ (de binnenkort op single uit te

brengen kraker van Marianne en Frans) herken je dan helaas nog steeds als zodanig en wenoemen de liedjes (1) en (2) dan ook gelijk. In het algemeen ishet zo dat we twee liedjes( f1, f2, . . .) en(g1, g2, . . .) als gelijk ervaren indien er eenλ > 0 bestaat waarvoor

( f1, f2, f3, . . .) = (λg1, λg2, λg3, . . .).

Dit gelijk-zijn laat zich mooi illustreren op een logaritmische schaal. Zo zijn de liedjes( f1, f2, f3) en(g1, g2, g3) van onderstaande figuur gelijk omdat ze op de logaritmische schaaleen constante verschillen.

f1 f2 f3 g1 g2 g3

y

f

y = 2log( f )

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

kam

frets

Opdracht 6. Zoek een gitaar en meet de afstanden tussen de kam en alle verschillendefrets (zie plaatje). Zet vervolgens deze afstanden uit (op de x-as het nummer van de fret,dus 1,2,3 etcetera en op dey-as de2log van de afstand tot de kam van die fret). Watvalt je op, en bedenk een wiskundige formulea(k) voor de afstand van de kam tot fretnummerk.

Een van de redenen dat de piano zo populair is is dat je er liedjes op elke gewenste toon-hoogte kunt inzetten. Is het liedje te laag voor de zanger—geen nood—dan zet de pianistgewoon wat hoger in. Dit hoger of lager spelen van de muziek waarbij ingezet kan worden opelke pianotoets heet het vrijelijk kunnentransponeren van de muziek. Het wiskundige modelhiervoor is (metfk de frequentie behorende bij toets nummerk):

Stelling 1 (Transponeren). Op een piano kan elk liedje vrijelijk worden getransponeerd danen slechts dan als de verhouding van opeenvolgende frequenties constant is:

fk+1

fk= γ

voor zekere γ > 1 onafhankelijk van k.

Opdracht 7. Bewijs dit!

Een stemming van muziekinstrumenten zodanig datfk+1/ fk constant is, heet eenevenredigzwevende stemming. Sinds ongeveer 100 jaar worden piano’s altijd evenredig zwevendgestemd. Blijkbaar is de behoefte om te kunnen transponerengroot.

In het geval dat je het octaaf in 12 tonen verdeelt—de ons bekende piano’s—krijg je devolgende frequentieverdeling:

20 2212 2

412 2

512 2

712 2

912 2

1112

2112 2

312 2

612 2

812 2

1012

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

Dat hier de verhouding van opeenvolgende frequenties 21/12 is volgt uit het feit dat we danna precies 12 tonen een octaaf verder zijn:(21/12)12 = 2. Merk overigens op dat dit betekentdat de eerste en de zevende toets precies een verhouding 26/12 =

√2 verschillen. Dusop de

piano kun je worteltrekken. Iets dat je natuurlijk altijd al hebt willen weten.Blijft over de kwestie waarom we een octaaf zo graag in 12 tonen verdelen en niet in 11 of

13 of wat dan ook. Een aardige verklaring is als volgt:

Daarom bestaat een octaaf uit 12 tonen!

De keuze van 12 komt voort uit de behoefte om reine octaven en kwinten te kunnen spelenop een evenredig zwevend gestemde piano. Helaas gaat dat niet zomaar. Als we bijvoorbeeldoctaven willen kunnen spelen op een zo’n piano, dan moet noodzakelijkerwijs gelden dat

fk+1

fk= 21/n

metn het aantal tonen per octaaf. Het gevolg hiervan is dat elk tweetal tonenfm en fm+k opde piano een frequentieverhouding moet hebben van

fm+k

fm= 2k/n.

Stelling 1 (valse kwinten). Op geen enkele evenredig zwevend gestemde piano met octavenzijn reine kwinten te vormen.

Opdracht 8. Bewijs dit!

Dit is slecht nieuws. Het zegt dat moderne piano’sinherent vals zijn! We kunnen reine kwinten op z’nbestbenaderen op moderne piano’s. Voor zo’n be-nadering zoeken wek en n zodanig dat 2k/n ≈ 3/2.

Anders gezegd we zoekenk, n ∈ N waarvoor

kn

≈ 2log(

3/2)

= 0,584962500721156...

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

Opdracht 9. Bereken met behulp van je casio de breukenk/n voor allek en n tussen1 en 100. Vergelijk deze (automatisch: je kunt toch programmeren op die casio?) met2log(3/2) en schrijf de beste 10 benaderingen op. Hoeveel toetsen moetje per octaafhebben voor de beste benadering? En voor de tweede, derde? Tiende?

Hardstikke leuk dat je nu wat goede breuken gevonden hebt maar wiskundigen houden nietzo van ‘zomaar proberen’. Daarom gaan we nu over naar het stukdat Marianne en Frank altijdzo moeilijk vonden maar wat jij met de wiskundekennis die je al hebt goed kunt begrijpen.Om geschiktek enn te vinden is het slim om2log(3/2) te ontwikkelen in een zogenaamdekettingbreuk. Een kettingbreuk van een getalx ≥ 0 is een representatie van dat getal als eenrepeterende breuk van de vorm

x = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 + · · ·

,

met n0 een geheel getal, en alle anderen1, n2, . . . strict positieve gehele getallen. Een ket-tingbreuk kan eindig zijn (in welk gevalx een rationaal getal is) maar kan ook oneindig zijn(alsx niet rationaal is). Nu is het zo dat de getallenn j makkelijk te vinden zijn, watx ook is.Ga maar na: omdat het rechter lid van

x − n0 =1

n1 +1

n2 +1

n3 + · · ·

(3)

hoogstens 1 is (wantn1 ≥ 1) kiezen we voorn0 de afronding vanx naar het beneden (notatie:n0 = bxc). Nu n0 bekend is, kennen we dus het linker lid van (3) maar daarmee ook zijninversex1,

(1

x − n0

)

︸ ︷︷ ︸

x1

= n1 +1

n2 +1

n3 + · · ·

Net zo volgt nu datn1 = bx1c. Zo doorgaand krijgen we

n0 = bxc, x1 =1

x − n0,

n1 = bx1c, x2 =1

x1 − n1,

n2 = bx2c, x3 =1

x2 − n2etcetera.

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

Opdracht 10. Bepaal de eerste 5 termenn j van de kettingbreuken van

1. x = 2/7

2. x = π

3. x = 12 + 1

2

√5

4. x = 2log(3/2)

Het derde getal in dit rijtje heet degulden snede (Engels: golden section) een getalberoemd om zijn esthetische geometrische interpretatie. De Grieken waren er gek op.Kun je aangeven waarom de kettingbreuk van de gulden snede repeteert?

Kettingbreuken gaan in de regel oneindig lang door.Door nu simpelweg kettingbreuken af te breken na eenaantal termen, krijg je rationale benaderingen vanx. Bi-jvoorbeeld na drie termen,

x ≈ n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3︸ ︷︷ ︸

rationale benadering

Nu kan men aantonen dat dergelijke benaderingen heelgoed zijn. Zo geldt er:

Stelling 2. |x − k/n| ≤ 1/n2 voor elke afgebroken kettingbreuk k/n van x.

Opdracht 11. Laat zien dat dat inderdaad klopt voor je benaderingen vanπ en de guldensnede.

Opdracht 12. Bereken de eerste 6 afgebroken kettingbreuken van2log(3/2) en schrijfze als rationale getallen. Komen deze rationale getallen inje lijst van opdracht 9 voor?

Opdracht 13. Beschrijf in eigen bewoordingen waarom de keuze voor 12 toetsen peroctaaf een geschikte keuze is (en dus dat 11 of 13 of wat dan ookminder geschikt is).

Ten slotte merken we nog op dat de keuze voor 12 echt eenkeuze is en dat in sommigevolksmuziek (met name Aziatische) men soms met 5 tonen per octaaf werkt. Het is ookdenkbaar om het octaaf in veel meer stukken te verdelen dan 12, maar dan moet het toet-senbord wel heel breed worden, of de toetsen moeten heel smalworden of worden gecombi-neerd (met een soort ’shift’-toets). Nu denk je natuurlijk dat niemand zoiets ooit geprobeerd

Profielwerkstukken Wiskunde Universiteit Twente

heeft. Nou, dat heb je dan mooi mis. Zo vervaardigde de fransman Bosanquet in 1876 eenharmonium met 53 toetsen per octaaf! Ga er maar aanstaan:

Bosanquet’s harmonium (1876)met zijn 53 toetsen per octaaf