Windsurfen@speed - University of Groningenveldman/Scripties/TeVelde-BachelorTechWisk.pdf · - De...

Windsurfen@speed

R.H. te Velde

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Juni 2010

Windsurfen@speed

Samenvatting

Windsurfen@speed. Dit zal allerlei vragen oproepen. Hoe behaalt een windsurfer zijn maxi-male snelheid? Wat is deze maximale snelheid ongeveer? Hoe ziet de ideale windsurfer erdan uit? Dit gaan we onderzoeken door gebruik te maken van stromingsleer: hydro- en aero-dynamica. Ook gebruiken we vleugeltheorie, want stromingen rond een zeil en zelfs rond eenvin kunnen we modelleren met behulp van een vleugel. Uiteindelijk verkrijgen we met behulpvan allerlei formules twee krachtenevenwichten: een snelheidsevenwicht van voorwaartse enweerstandskrachten in de vaarrichting en een stabiliteitsevenwicht in zijwaartse richting. Metdeze twee evenwichten gaan we op zoek naar de maximale snelheid die een windsurfer kanhalen. Het wereldrecord windsurfen ligt nog altijd onder de 50 knopen. Dit is ongeveer eensnelheid van 91 km/h. De vraag is: welke snelheid krijgen wij uit ons model?

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Auteur: R.H. te Velde

Begeleiders: A.E.P. Veldman, J.A. Helder

Datum: Juni 2010

Instituut voor Wiskunde en Informatica

Postbus 407

9700 AK Groningen

Inhoudsopgave

1 Introductie 1

1.1 Introductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Vraagstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Een voorbeeldsituatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Mogelijke surfkoersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Het mathematische model 7

2.1 Introductie van het model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Definities van de variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Vooruitblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Aerodynamische krachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Circulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 De uitdrukking voor de 2D-liftkracht: Fl . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Eindige hoogte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Tipwervels en downwash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.5 3D-potentiaaltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.6 Uitdrukkingen voor Di, CDi en FL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Hydrodynamische krachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Onze hydrodynamisch krachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Het getal van Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.3 Planeren en het getal van Froude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4 De uitdrukking voor FLf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Krachten & momenten 21

3.1 Het ontbinden van FL en FLf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Het snelheidsevenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Het stabiliteitsevenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 Het momentenevenwicht: de krachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 Het momentenevenwicht: de armen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.3 Het krachtenevenwicht: drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 De numerieke uitwerking van het model 29

4.1 Samenvattende formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 De uitwerking van ons model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 De Newton-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.1 De werking van de Newton-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iii

iv INHOUDSOPGAVE

4.3.2 Een voorbeeld van de Newton-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.3 Onze Newton-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Een voorbeeld van de werking van ons model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Parameterstudie 395.1 Variatie van het gewicht en de lengte van de surfer bij harde wind . . . . . . 395.2 Variatie van zeilgroottes bij harde wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Variatie van zeilgroottes bij een normaal persoon en normale wind . . . . . . 455.4 Variatie van zeilvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Samenvatting en conclusie 51

A Het bewijs van∫ π

0cos (θ)

cos (φ)−cos (θ)dθ = −π 53

B Het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil 55

C Ons programma SurfSimu 57C.1 Deel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57C.2 Deel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60C.3 Samengevat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63C.4 Newton 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64C.5 Newton 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65C.6 Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66C.7 Afgeleide momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67C.8 Speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68C.9 Afgeleide Speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69C.10 Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69C.11 Afgeleide circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Hoofdstuk 1

Introductie

1.1 Introductie

In het algemeen zijn surfers erg stoer en zien ze er goed uit. Ze houden er van om vrouwen teimponeren. Er zijn twee mogelijkheden waarmee ze dit kunnen bereiken. Ze kunnen de hoog-ste golven onder ogen zien of ze kunnen een zo hoog mogelijke snelheid behalen. Wij willeneen kijkje nemen naar de snelheid. Geoefende surfers kunnen een dermate hoge snelheid be-reiken dat ze gaan ”planeren”. Dit is te vergelijken met wat er gebeurt als je een platte steenvlak over het water gooit met een goede worp. Iedereen heeft dit vast wel eens gedaan. Wegaan er in deze thesis vanuit dat een surfer een optimale surftechniek heeft en dat het gewichtvan de surfer op een unieke manier de kracht bepaalt waarmee hij het zeil kan vasthouden.Het huidige wereldrecord werd gehaald met de volgende parameters en bijbehorende waarden:

- Een surfboard van 220 cm- Een vin van 28 cm- Een zeil van 4 m2

- Een surfer van 100 kg en 185 cm

Deze waarden voor het surfboard, de vin, het zeil en de surfer zijn ook gebruikt in eenDuits onderzoek (zie [1]). Wij gaan deze waarden gebruiken, maar met hele andere formules,om tot een conclusie te komen.

Het wereldrecord staat op dit moment op naam van een 36 jarige Fransman: Antoine Al-beau. Hij behaalde in maart 2008 met bovenstaande parameters een snelheid van ongeveer90.91 km/h. Albeau deed 19.8 seconden over 500 meter. Het was zwaar weer, koud, metsoms windstoten tot 65 knopen. Albeau is 1.85 m lang en heeft een gewicht van 100 kg. Deallerhoogste snelheid die tot nu toe door een windsurfer gehaald is, werd bereikt door eenNederlander in december 2007: Martin van Meurs. Hij haalde 94.67 km/h over 2 seconden.Helaas is dit geen officieel record, die worden alleen gehaald over 500 meter. Van Meurs wasover 500 meter gezien langzamer dan Albeau. De jacht naar de magische grens van 50 kno-pen door een windsurfer over 500 meter is nog steeds gaande ([2]). Inmiddels is de 50-knopenbarrierre al wel gebroken door kite-surfers (surfen met een soort parachute). Dit record staatnu op naam van een andere Fransman, Alex Caizergues, en is gesurft op 4 oktober 2008. Hetrecord is 93.66 km/h.

1

2 HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE

Een hele interessante vraag die we ons kunnen stellen is de volgende:

Onder welke omstandigheden hebben de windsurfers de records kunnen bereiken?

Om extreem hoge snelheden te halen wordt er gesurft in een geul van ongeveer 30 meterbreed en niet erg diep, waardoor er niet echt golven kunnen ontstaan. Verder doen windsur-fers pas een recordpoging wanneer het zeer zwaar weer is, met harde windstoten. De surfersgebruikten allemaal ”slechts” een zeiltje van rond de 4 m2 omdat ze hem anders qua krachtniet kunnen houden. Als er niet zoveel wind staat wordt er meestal gesurft met grotere zei-len. Ze hebben wel allemaal een lichaamsgewicht van rond de 100 kilo, vooral dankzij hungrote spiermassa. De condities in deze geul zijn optimaal voor windsurfen@speed, en niet tevergelijken met de condities op open zee.

Neem een kijkje naar de wereldrecordwaarden en denk aan het volgende feit: Hoe groterhet surfboard, hoe stabieler, maar ook langzamer. Dit komt omdat grotere boards meer vo-lume hebben zodat het geheel (inclusief surfer) niet zomaar om kan vallen. Dat een groterboard langzamer gaat, komt doordat dit board meer wrijving met het water maakt.

We komen nu tot de conclusie dat een surfer graag een board wil gebruiken dat zo kleinmogelijk is, maar niet te klein, want hij wil nog wel op zijn surfplank blijven staan. We ziendat voor ons oude wereldrecord geldt dat de surfer een board van rond de 220 cm lengtenodig heeft voor zijn stabiliteit. Het is daarom dat buiten een geul een surfboard nog langerdan 220 cm moet zijn. Ook zien we dat er een surfer van rond de 100 kg voor nodig is omhet wereldrecord te surfen. Dit betekent dat je een zwaar persoon nodig hebt om het zeilvast te houden. Natuurlijk heb je ook een groot zeil nodig om de maximale wind te vangenvoor extra snelheid. Bij hoge windsnelheden blijkt dat er maar een zeil van rond de 4 m2

gebruikt kan worden, anders kan een zware windsurfer hem al niet meer houden. Er moetdus een tussenweg gevonden worden tussen een zo groot mogelijk zeil en een houdbaar zeilqua gewicht. Verder hebben we een optimale vin nodig om stabiliteit te krijgen en om hetsurfboard in de goede vaarrichting te laten gaan.

Wat gebeurt er als er niet in een tunnel gesurft wordt?

Als we kijken naar het surfen op open zee komen we tot de volgende conclusie: hier moetensurfers beginnen met een beginnersstart: het zeil optrekken vanaf de plank. Je kunt helaasniet starten met een droog zeil vanaf de kant op open zee. Zo’n soort start kun je wel makenvanaf de rand van een meer of in het bovengenoemde ondiepe geval: met het zeil in je handstap je op het surfboard zonder dat je dit zeil uit het water hoeft te vissen. De verschillendesoorten starts laten we verder in deze thesis buiten beschouwing. Wel zullen we gaan uitzoe-ken of de vorm van een zeil belangrijk is.

1.2. EEN VOORBEELDSITUATIE 3

1.1.1 Vraagstelling

Een surfer wil gaan planeren. Hier gaan we in deze thesis vanuit. Wat voor surfer, zeil, vinen board heb je daarbij nodig en wat is de hoogst haalbare snelheid ongeveer? Wat zijn deoptimale windcondities? Dit soort vragen hopen we in deze thesis beantwoord te krijgen.

We gaan deze vragen beantwoorden met de volgende variabelen:

- De grootte en de vorm van het zeil.- De windkracht- Het gewicht en de lengte van de surfer.

Uiteindelijk moeten we een model maken van de beweging van de surfer om zijn snelheidte berekenen bij gegeven waarden van deze 5 variabelen. Maar eerst bekijken we een voor-beeldsituatie en leggen het hoe en wat van het surfen uit aan de hand hiervan. Daarna gaanwe door naar het mathematische model.

1.2 Een voorbeeldsituatie

Voordat we beginnen doen we eerst een aantal aannames. We gaan er van uit dat de variabe-len in 1.1.1 zijn gegeven en gaan uit van de eerder genoemde surfer met een perfecte techniek.Als we naar de luchtstroom kijken, nemen we de volgende aannames:

1. De aankomende luchtstroom rond de surfer en het zeil blijft constant vanuit de zelfderichting stromen.2. De lucht is onsamendrukbaar.3. De lucht heeft geen viscositeit (stroperigheid).

Nu gaan we kijken naar een voorbeeld situatie:

Figuur 1.1: Het voorbeeld


Figuur 1.1 is een surfplank met een zeil van bovenaf gezien met de daarbij behorende krachtenop het zeil. In principe draait het allemaal om de FL: de zogeheten liftkracht die loodrechtop de aankomende windrichting staat. Deze liftkracht is de motor van het surfen, en ontstaatdoor de wind in het zeil. De surfplank in deze afbeelding zeilt bijna tegen de wind in. Zobehaal je nooit je maximum snelheid. We zullen later zien waarom. Naast liftkracht veroor-zaakt de wind ook nog een weerstand genaamd FW . Zoals te zien in de afbeelding vormende liftkracht en de weerstand van de wind gezamenlijk de resulterende kracht FRes. Dit isde totale kracht die in werkelijkheid op het zeil werkt. De krachten zijn getekend vanuit hetaangrijpingspunt van het zeil.

Als we nog eens een kijkje nemen naar figuur 1.1 zien we dat de resulterende kracht nietin de richting van de surfkoers gaat. Daarom delen we de resulterende kracht weer op in tweedelen: de hellende kracht FH en de voorwaartse kracht F voorwaarts. Hierbij is de voorwaartsekracht de kracht die de surfer vooruit duwt en mag de hellende kracht niet zo groot zijn datde surfer wordt omgegooid.

Ook geldt dat een surfer niet helemaal in de richting gaat waar de plank naar toe wijst.Dit komt door de liftkracht die loodrecht op de aankomende windrichting staat en niet in derichting van de verplaatsing van onze surfplank. Hierdoor gaat een surfer in de richting vande koers in figuur 1.1 in plaats van in de richting van de punt van de surfplank. De hoektussen beide richtingen heet de drifthoek (zie de γ in het model). De voorwaartse kracht (endus de koers) worden, zoals we hebben gezien, uiteindelijk bepaald door de ligging van desurfplank, de snelheid die de surfer op dat moment heeft en de grootte en richting van dewind.

1.3 Mogelijke surfkoersen

Om te kunnen verklaren waarom je met de koers van de surfer in ons voorbeeld nooit jemaximum snelheid haalt gaan we kijken naar de mogelijke koersen van windsurfers en boten.Je kunt boten onderverdelen in twee soorten: dwarsgetuigde boten en langsgetuigde boten.Dwarsgetuigd betekent dat de zeilen zijn bevestigd aan een ra (of spier) die dwarsscheepsaan de mast of steng zijn bevestigd. Langsgetuigd betekent dat de zeilen in de lengte zijnbevestigd aan de mast, al dan niet met behulp van bijvoorbeeld een giek. Een windsurferkunnen we zien als een langsgetuigd bootje. We gaan kijken naar onze eerste koers, in dewind:

Figuur 1.2: In-de-windse koers

1.3. MOGELIJKE SURFKOERSEN 5

In de wind ligt een schip wanneer de wind (praktisch) recht van voren komt. Dit gebiedbeslaat voor langsgetuigde schepen ongeveer 30-45 graden van voren gezien. Geen enkel zeil-schip haalt natuurlijk zo zijn maximum snelheid. Ieder schip moet een zig-zag koers varenom tegen de wind in te komen. De tweede koers is dan ook aan de wind:

Figuur 1.3: Aan-de-windse koers

Met aan de wind wordt een koers aangeduid waarbij de wind niet recht van voren maar dwarsinkomt. De lengte-as van de boot maakt dan met de windrichting een hoek tussen de 45en 90 graden. Langsgetuigde schepen kunnen een hoek bereiken van circa 45 graden met dewindrichting om nog vooruit te komen. Zo kunnen ze de zig-zag koers tegen de wind in varen.Dit is de koers die de surfer in figuur 1.1 surft en ook hiermee haalt hij niet zijn hoogstesnelheid. Veel mensen denken dat een surfer zijn hoogste snelheid haalt als hij voor de windsurft. We zullen zien. Koers drie is voor de wind:

Figuur 1.4: Voor-de-windse koers

Wanneer men voor de wind vaart, komt de wind van achteren binnen (tussen de 170 en 190graden). Op de fiets zou het ”wind mee” heten. Voor langsgetuigde schepen is voor de windvaren lang niet de snelste van alle windkoersen. Dit komt vooral doordat de wind in dezelfderichting waait als de boot vaart. De relatieve windsnelheid (de windsnelheid gemeten vanafde boot) is dan lager dan bij andere koersen en een snelheid groter dan die van de wind isonmogelijk. We gaan nu kijken naar ruime wind:

Figuur 1.5: Ruimwindse koers

Bij een ruimwindse koers komt de wind schuin van achteren. De wind komt binnen met eenhoek tussen ongeveer 100 en 170 graden met de lengteas van de boot, dit kan over beideboegen. Uit de praktijk blijkt dat voor dwarsgetuigde schepen de ruimwindse koers de meestoptimale koers is, dan werd de hoogste snelheid gehaald. Als laatste werpen we een blik ophalve wind varen:


Figuur 1.6: Halfwindse koers

Bij een halfwindse koers komt de wind recht van opzij. De wind komt binnen met een hoektussen de 80 en 100 graden op de lengteas van de boot. Voor veel langsgetuigde schepen blijktuit de praktijk dat dit de snelste koers is die ze kunnen varen. We zullen gaan zien of ditvoor een windsurfer ook geldt.

Hoofdstuk 2

Het mathematische model

2.1 Introductie van het model

Aan de hand van de voorbeeldsituatie in paragraaf 1.2 maken we een wiskundig model. Hetuitgangspunt hierbij is figuur 1.1, maar om het voorbeeld te veralgemeniseren introducerenwe in figuur 2.1 een aantal extra variabelen:

Figuur 2.1: Het mathematische model

7

8 HOOFDSTUK 2. HET MATHEMATISCHE MODEL

2.1.1 Definities van de variabelen

In het plaatje is een surfer te zien die diagonaal van de wind af surft. Zoals in de figuur tezien is, komt de echte wind Wo recht van beneden. Het zeil staat in de richting van de vectors en de windsurfer lijkt te surfen in de schijnbare richting Va. Dankzij de dwarscomponentvan de wind surft de windsurfer niet helemaal in de schijnbare richting Va, maar door hetdriften in de richting van Vr met de in paragraaf 1.2 reeds geıntroduceerde drifthoek γ tussenVa en Vr. De schijnbare wind Wa krijgen we dan door de volgende formule, zie figuur 2.1:

−⇀Wa =

−⇀Wo −

−⇀Vr

Met de cosinusregel krijgen we het volgende:

|Wa| =√|Wo|2 + |Vr|2 − 2|Wo||Vr| cos (180◦ − α− γ) (2.1)

In het vervolg schrijven we de groottes van vectoren zonder absoluutstrepen. De schijnbarewind en de stand van het zeil maken een hoek δ met elkaar (de loslatingshoek van de wind inhet zeil). α is de hoek die de lengte-as van de plank maakt met Wo (α geeft de surfrichtingaan), β is de hoek tussen de plank en het zeil (β geeft de stand van het zeil aan), ε ligttussen de echte bewegingsrichting en de echte wind (ε = 180o − α − γ) en λ ligt tussen deechte bewegingsrichting en de schijnbare wind. Het algemene idee is nu om in dit hoofdstukeen uitdrukking te vinden voor alle relevante krachten, en deze in het volgende hoofdstukte ontbinden in componenten evenwijdig aan de bewegingsrichting Vr (voor de snelheid) encomponenten loodrecht op de bewegingsrichting (voor de stabiliteit). Hiermee gaan we eensnelheids-evenwicht en een stabiliteits-evenwicht creeren. Dit doen we met potentiaaltheorievoor vliegtuigvleugels (Kutta-Joukowski).

Hieronder volgt een samenvattende lijst met de variabelen uit het mathematisch model:

Wo = echte windWa = schijnbare windVa = schijnbare surfrichtingVr = echte surfrichtingFL = liftkrachtF// = component van de liftkracht evenwijdig aan de echte surfrichtingF⊥ = component van de liftkracht loodrecht op de surfrichtings = richting van het zeilFdb = wrijvingskracht op de plankFf = kracht op de vinα = hoek tussen de echte wind en de schijnbare surfrichtingβ = hoek tussen het zeil en de plankδ = hoek tussen het zeil en de schijnbare windγ = drifthoek (tussen de echte en de schijnbare surfrichting)

De kracht op de vin gaan we later net als de liftkracht op het zeil ontbinden in een com-ponent evenwijdig aan de echte surfrichting en een component loodrecht op de surfrichting.Dit laten we in de figuur buiten beschouwing om het niet al te verwarrend te maken.

2.2. AERODYNAMISCHE KRACHTEN 9

2.1.2 Vooruitblik

We gaan met onze krachten een evenwicht creeren in voorwaartse en zijwaartse richting. Weweten dat een surfer op snelheid is als de krachten in voorwaartse richting in evenwicht zijnmet de weerstandskrachten. Ook weten we dat het geheel niet omvalt als de surfer in staatis om de krachten in zijwaartse richting te compenseren. We beginnen met het evenwichtin voorwaartse richting. We introduceren de aerodynamische krachten en vertellen daarnade nodige zaken over circulatie. Hierna gaan we een uitdrukking vinden voor de liftkrachtzonder 3D-circulatie. De 3D-situatie gaan we onderzoeken in de paragrafen over 3D-effecten,tipwervels en downwash en 3D-potentiaaltheorie. Uiteindelijk komen we in de paragraaf 2.2tot een uitdrukking voor onze 3D-kracht. Hierna gaan we de hydrodynamische krachten onderde loep nemen. Als toevoeging hebben we het nog over de twee belangrijkste dimensielozegetallen in de hydrodynamica: Het getal van Reynolds en het getal van Froude en zijn relatietot planeren. We vinden een uitdrukking voor de weerstandskracht met behulp van het getalvan Reynolds.

2.2 Aerodynamische krachten

We hebben een aerdynamische kracht van de wind op het zeil die (volgens een resultaat uitde potentiaaltheorie: Kutta-Joukowski) loodrecht op de schijnbare windrichting staat. Dezekracht noemen we FL. We gaan deze kracht uiteindelijk ontbinden in twee componenten: F//en F⊥. We ontbinden FL zodanig dat de kracht F// evenwijdig loopt aan Vr (zie figuur 2.1voor verduidelijking). Wat we nu eerst gaan doen is FL benaderen met 2D-potentiaaltheorie.Deze benadering noemen we Fl. Hiervoor beschouwen we de stroming om het zeil als po-tentiaalstroming om een vleugel onder een invalshoek met circulatie (zie [3]). Met de juistetransformatie volgt hieruit de kracht op een vleugel en uiteindelijk de kracht op ons zeil.

Figuur 2.2: Een zeil en een vleugel

2.2.1 Circulatie

Voordat we het over krachten gaan hebben gaan we kijken naar circulatie. Circulatie is name-lijk van groot belang binnen de stromingsleer. Door de invalshoek van de wind ten opzichtevan het zeil, stroomt er, als we net beginnen met surfen, meer lucht naar de loefzijde (descheepszijde waar de wind in komt, de onderkant in de figuur), dan naar de lijzijde (zie figuur2.3).


Figuur 2.3: Beginsituatie voor de circulatie

Meer luchtstroom zorgt voor een snelheidsverhoging. De wind bereikt aan de loefzijde snellerhet achterste deel van het zeil dan aan de lijzijde. De wind krult hierdoor naar de lijzijde.Hierdoor moet de lucht als het ware een scherpe bocht nemen, wat nooit helemaal goed gaat.De lucht ”breekt af” en gaat aan de achterkant van het zeil rond bewegen. Dit veroorzaaktcirculatie: wervelingen. Deze wervelingen draaien linksom (zie figuur 2.4).

Figuur 2.4: Wervelingen

De aankomende luchtstroom zal door de wervelingen rechtsom worden afgewend. Dit kangezien worden als twee in elkaar draaiende tandwielen. Hierbij geldt: de totale circulatiemoet 0 blijven (afgeleid van de circulatiestelling van Kelvin). Het zorgt voor een potentielerechtsdraaiende circulatie (zie figuur 2.5). Deze circulatie zorgt namelijk met de luchtstroomzelf voor de uiteindelijke reele luchtstroom.

Figuur 2.5: Snelheidsverandering van lucht door wervelingen


De potentiele rechtsdraaiende circulatie heeft gevolgen voor de formules in ons model. Decirculerende luchtstroom zorgt voor een snelheidsverhoging van de lucht aan de lijzijde (metde circulatie mee) en voor een snelheidsverlaging van de lucht aan de loefzijde (tegen decirculatie in).

2.2.2 De uitdrukking voor de 2D-liftkracht: Fl

Noem de liftkracht Fl en de circulatie Γ, dan krijgen we de volgende formule voor Fl (volgensKutta Joukowski, zie [3]):

Fl = ρlWaΓ

met

Γ = 4πaW sin (δ) (2.2)

Hierin hebben we de volgende variabelen:

- ρl = De dichtheid van lucht- W = De inkomende wind- δ = De invalshoek tussen de inkomende wind en het zeil- 4a = De koorde van het vleugelprofiel

In ons geval wordt de uitdrukking voor Fl door middel van potentiaaltheorie onder een in-valshoek δ met circulatie de volgende:

Fl = ρlW2aπB sin (δ)

Met de breedte van een zeil gelijk aan B = 4a en onze schijnbare wind Wa.

Opmerking: deze formule geldt alleen voor kleine δ (15 graden of kleiner, zie figuur 2.1).Uit de praktijk blijkt dat je bij een δ groter dan ongeveer 15 graden loslating van de wind inhet zeil krijgt. Hier gaan we bij onze parameterstudie (hoofdstuk 5) rekening mee houden.

2.2.3 Eindige hoogte

De hierboven beschreven potentiaaltheorie is geldig voor een oneindig vleugelprofiel met con-stante breedte B. In ons geval hebben we echter een zeil met een eindige hoogte en de lengtevan de koorde (in ons geval de breedte van het zeil) is afhankelijk van de hoogte. De circulatiezal dus gaan varieren in de hoogte. In dit geval kunnen we de liftkracht uitrekenen met behulpvan de spiegelconditie op h = 0, zie [10]:

Fl = ρlWa

∫ l

0Γ(z)dz

Hierbij staat de z-richting in de hoogte en l is de hoogte van het zeil. Deze Γ(z) geeft detotale verdeling van de circulatie over een vleugelpaar. In de vleugeltheorie wordt een klassiekeoplossing voor Γ(z) gegeven door een elliptische verdeling, Γ0 is hierbij de circulatieverdelingin het symmetrievlak (zie figuur 2.6).


Figuur 2.6: Circulatie

Voor Γ(z) krijgen we nu:

Γ(z) = Γ0

√1− (

z

l)2

Voor de totale liftkracht berekenen we eerst onze integraal:∫ l

0Γ(z)dz =

∫ l

0Γ0

√1− (

z

l)2dz = Γ0

∫ l

0

√1− (

z

l)2dz

De laatste integraal geeft een kwart van de oppervlakte van een ellips weer, met de assen 1en l. We krijgen nu:∫ l

0Γ(z)dz = Γ0

∫ l

0

√1− (

z

l)2 = Γ0

π · l · 14

= Γ0πl

4

De totale draagkracht (liftkracht) op een vleugelhelft wordt nu gegeven door:

Fl = ρlWa

∫ l

0Γ(z)dz =

π

4ρlWalΓ0 (2.3)

Zonder circulatie hadden we: Fl = ρlWaΓ0l en met circulatie hebben we nu Fl = ρlWaΓ0lπ4 .

We zien dat de lifkracht met ”3D”-circulatie een factor π4 verschilt van de lifkracht met con-

stante circulatie.

Γ0 was de circulatieverdeling in het symmetrievlak. In ons geval is dat de circulatieverdelingter hoogte van de plank i.e. de circulatie rond het onderlijk, met (2.2):

Γ0 = πB0Wa sin (δ) (2.4)

Hierbij is B0 de breedte van het zeil op hoogte 0 (onderlijk). We krijgen nu voor Fl metbehulp van (2.3) de uiteindelijke formule:

Fl =π2

4ρlB0W

2a l sin (δ) (2.5)


2.2.4 Tipwervels en downwash

Onder een vleugel heerst overdruk en boven de vleugel heerst onderdruk, daarom verplaatstde lucht zich van onder naar boven de vleugel. Hierdoor onstaan tipwervels (zie figuur 2.7).Het in stand houden van deze tipwervels kost energie die aan het vliegtuig wordt onttrok-ken. Er ontstaat een weerstand met als gevolg een verlies in snelheid. Hoe sterker de wervel,hoe groter de luchtweerstand. Bij een zeil werken tipwervels net zo: een surfer wil zo minmogelijk tipwervels, want door tipwervels krijgt hij een verlies aan snelheid. Als de surfer zoveel mogelijk kracht naar voren wil hebben, moet hij zoveel mogelijk de wind naar achterenombuigen (zie figuur 2.8). Door toedoen van tipwervels wordt de stroming voor en achter eenvliegtuig naar beneden geduwd. Dit wordt ”downwash” genoemd. Met betrekking tot wind-surfen is het meer ”sidewash” dan downwash omdat een windsurfer zijn zeil verticaal heeftstaan in tegenstelling tot een horizontale vleugel. We zullen dit verschijnsel verder wel down-wash blijven noemen, want dit is de algemene benaming hiervoor. Nog even kort: downwashhoudt in dat de stroming achter de vleugel naar beneden wordt gedrukt door het ontstaanvan tipwervels aan de uiteinden van de vleugels. In afbeelding 2.9 is een schematische samen-vatting hiervan weergegeven. We zien dat de wind met snelheid V bij de vleugel komt. Deliftkracht staat hier loodrecht op. Door downwash wordt de aankomende stroming afgebogen(met Vdw de downwash snelheid). Hierdoor ontstaat een geınduceerde weerstand, want deuiteindelijke kracht op de vleugel staat loodrecht op de afgebogen stroming. In vergelijkingmet de 2D-potentiaaltheorie zorgt downwash voor een verandering van invalshoek. Noemenwe de 2D-invalshoek nog steeds δ, dan volgt voor de 3D-invalshoek δ3D dat:

δ3D = δ − δi

Hierbij is δi de zogeheten geınduceerde hoek, veroorzaakt door de invloed van de tipwervels.

Figuur 2.7: Tipwervels


Figuur 2.8: Zeilstanden van een surfer

Figuur 2.9: Schematische samenvatting downwash

2.2.5 3D-potentiaaltheorie

Met behulp van (2.4), (2.5) en (2.6) krijgen we voor Γ0 en daarmee voor de liftkracht hetvolgende:

Γ0 = πBoWa sin (δ − δi) (2.6)

Fl =π2

4ρlB0W

2a l sin (δ − δi) (2.7)

Hierin moeten we δi nog bepalen. Dit doen we met behulp van figuur 2.10 hieronder. Hierinzijn krachten en hoeken rond de inkomende wind op een vleugel te zien. De liftkracht staatnaar boven toe. δi is de hoek tussen de lifkracht met en zonder geınduceerde weerstand,tevens is δi de hoek tussen de schijnbare wind met en zonder downwash.


Figuur 2.10: Vleugel-meetkunde

In de figuur is te zien dat Fl evenwijdig is met Vdw. Hierdoor geldt:

δi = tan−1 (VdwWa

) (2.8)

We moeten de downwash-snelheid nog bepalen. Voor de downwash-snelheid geldt het volgende(zie [7] en [8]):

Vdw(z) =1

4π

∫ l

−l

dΓ(η)

dη

dη

z − η=

1

4π

∫ l

−l

−Γ0η

l2√

1− (ηl )2

dη

z − η

We kunnen nog een aantal termen naar voren halen zodat we krijgen:

Vdw(z) = − Γ0

4πl2

∫ l

−l

η√1− (ηl )

2(z − η)dη

Met − zl = cos (τ) en −η

l = cos (θ) volgen:

(1− (η

l)2)−

12 =

1

sin (θ)

en

dη = −dl cos (θ) = l sin (θ)dθ

zodat:

Vdw(z) = Vdw(θ) = − Γ0

4πl2

∫ π

0

1

sin (θ)

−l cos (θ)l sin (θ)dθ

−l(cos (τ)− cos (θ))


Dit wordt uiteindelijk (met∫ π

0cos (θ)

cos (τ)−cos (θ)dθ = −π, bijlage A):

Vdw(z) = − Γ0

4πl

∫ π

0

cos (θ)

cos (τ)− cos (θ)dθ =

Γ0

4l

Hiermee wordt δi met (2.8) het volgende:

δi = tan−1 (Γ0

4lWa) (2.9)

Dit geeft een impliciete vergelijking, want δi zit ook al in Γ0 via vergelijking (2.6). De waardenvan alle andere variabelen in δi en Γ0 zijn gegeven waarden. In ons model rekenen we hiermeeuit wat Γ0 is met behulp van de Newton-methode. De vergelijking voor δi kunnen we invullenin de formule voor Γ0 (2.6) en Fl (2.7). Met de uitdrukking voor δi krijgen we nu δ3D:

δ3D = δ − tan−1 (Γ0

4lWa)

En voor de liftkracht Fl krijgen we uiteindelijk:

Fl =π2

4ρlB0W

2a l sin (δ − tan−1(

Γ0

4lWa)) (2.10)

2.2.6 Uitdrukkingen voor Di, CDien FL

Met behulp van figuur 2.10 krijgen we de geınduceerde weerstand:

Di = Fl tan (δi) =ρlπΓ2

0

16

We gebruiken de gebruikelijke formule voor lift: Fl = CLρlW

2a

2 A om de bijbehorende geınduceerdeweerstandscoefficient te berekenen:

CDi = CL tan (δi) =FlΓ0

4ρlW 3aAl

(2.11)

Hierin is A de oppervlakte van het zeil en CL de lift-coefficient. Voor de 3D-kracht inclusiefgeınduceerde weerstand hebben we Fl en Di nodig. De uitdrukkingen hiervoor zijn (2.10) en(2.11). We krijgen dan voor onze uiteindelijke 3D-kracht (met geınduceerde weerstand):

FL =√F 2l +D2

i (2.12)

2.3. HYDRODYNAMISCHE KRACHTEN 17

2.3 Hydrodynamische krachten

2.3.1 Onze hydrodynamisch krachten

We hebben twee hydrodynamische krachten: de weerstand van het water langs de plank (Fdb)en de weerstand van het water langs de vin (Ff//). Hiermee gaan we later uitzoeken wanneereen surfer planeert. Wat betreft de weerstand op de vin: wat we weten is dat de hydrodynami-sche stroming recht vanuit de vaarrichting komt. Met potentiaaltheorie (Kutta-Jouwkowski)volgt dat de hydrodynamische kracht loodrecht op deze vaarrichting en de vin staat. Ookgelden dezelfde 3D-effecten als op het zeil, maar dan met betrekking tot de waterstroming inplaats van de luchtstroming: de hydrodynamische kracht staat niet precies loodrecht op devaarrichting en de vin waardoor er een drifhoek en een bijbehorende drift in het spel is. Omdeze reden moeten we deze kracht ook ontbinden in een component loodrecht op de vin eneen component evenwijdig aan de vin. De component evenwijdig aan de vaarrichting zal nietzo heel groot zijn, omdat de drifthoek niet zo heel groot wordt.

De weerstand door het water op de plank is gelijk aan (standaard formule voor drag, ziebijvoorbeeld [4]):

Fdb =1

2ρwV

2r AbCD (2.13)

Met de volgende variabelen:

- ρw = De dichtheid van water- Vr = De snelheid van de windsurfer (zie figuur 2.1)- Ab = Het wrijvingsoppervlak van het surfboard (wij nemen Ab = 0.5m2)- CD = De weerstandscoefficient van de plank

Hierbij geldt voor CD de volgende, empirisch bepaalde formule:

CD = 0.074(ρwlbVrµ

)−15 = 0.074Re−

15 (2.14)

waarin µ de dynamische viscositeit van water en lb de lengte van het surfboard is. Hiervoornemen wij lb = 1m. Deze formule is afgeleid van het Reynolds-getal Re (zie 2.3.2). Deconstante 0.074 en de −1

5 staan in allerlei bronnen vermeld zoals in [9].

2.3.2 Het getal van Reynolds

Om bij het getal van Reynolds te komen gaan we eerst weer even in op weerstand. Om deweerstandskracht af te leiden wordt een zeer algemeen gebruikte formule voor weerstand ge-bruikt. Deze weerstand (drag) is een kracht in de vloeistof dynamica die een (vast) voorwerpondervindt als hij zich voortbeweegt door, in ons geval, een vloeistof. Dit heet ook wel eenviskeuze kracht. De weerstands-vergelijking bij hoge snelheid in turbulente stromen berekentde kracht als ons voorwerp zich bij hoge snelheid door de vloeistof beweegt. Dit betekent dathet Reynolds getal Re relatief groot is: Re > 1000. Zie hieronder voor een voorbeeld vanweerstand. Dit laat een plaatje zien van een bol in een Stokes-stroming, dit betekent een laagReynoldsgetal:


Figuur 2.11: Weerstand

Het Reynoldsgetal wordt gegeven door de volgende formule:

Re =(ρwVw

2)/L

(µdVw)/L2=ρwVwL

µd=VwL

νk=

inertiaal krachten

viskeuze krachten


- Vw = Snelheid van het water- L = Karakteristieke lengte- µd = Dynamische water viscositeit- νk = Kinematische water viscositeit- ρw = Dichtheid van het water

We zien dat het Reynoldsgetal gaat over de ratio van inertiaal (traagheids) krachten (Vwρw)met viskeuze krachten (µd/L). Het laat zien hoe relatief belangrijk deze twee krachten zijn alser stromingscondities gegeven zijn. Hierbij is de inertie, ook wel traagheid genoemt, de naamvoor het verschijnsel dat er kracht nodig is om een voorwerp een verandering in snelheid tegeven. Hoe meer massa (dichtheid) het voorwerp heeft, hoe meer traagheid. De viscositeitis de ”dikte” van de vloeistof (de stroperigheid). Het getal van Reynolds wordt ook wel hetbelangrijkste dimensieloze getal genoemd in de vloeistof dynamica. In ons geval wordt hetgebruikt om te identificeren of een stroming laminair of turbulent is. In het algemeen is eenstroming laminair als het getal van Reynolds laag is, dus wanneer viskeuze krachten domi-nant zijn en turbulent wanneer het Reynoldsgetal hoog is, dus wanneer inertiaal krachtendominant zijn. Het Reynoldsgetal van een zeilboot rond zijn zeil van ongeveer 115 cm en eenschijnbare wind van 18 km/hr is ongeveer 5 miljoen! Dit betekent dat er duidelijk turbulentiein het spel is. Helaas is het omslagpunt tussen laminair en turbulent voor elke geometrie an-ders, maar in het water is de stroming bij zeilboten ook turbulent. Een grote vis heeft al eenReynolds getal van boven de 50000 en in water treedt er vaak al turbulentie op onder de 4000.

Onze weerstandsvergelijking (2.14) is een vergelijking die geldt voor turbulente stromingenlangs een surfboard met een hoge snelheid zodat we een hoog Reynoldsgetal hebben. Hierbijgeldt dat ieder object, dus ook iedere surfplank een andere weerstandscoefficient heeft.

2.3. HYDRODYNAMISCHE KRACHTEN 19

2.3.3 Planeren en het getal van Froude

Er zijn twee soorten golven: golven met golflengte λ veel groter dan de diepte van het water,de zogeheten lange golven en golven met λ veel kleiner dan de diepte van het water, de kortegolven. Rond een surfer bevinden zich kleine golven. In heel ondiep water zullen deze golvengroter zijn dan de diepte van het water, maar op zee zullen deze golven veel kleiner zijn dande diepte van het water. Golven rond een surfer zijn bijvoorbeeld golven op zee die ontstaanzijn door de windkracht of door hem zelf. De voortplantingssnelheid c van een korte golfhangt af van λ door middel van de volgende zeer goede benadering:(zie [5])

c =

√g

ktanh (kd)


- d = De diepte van het water- k = Het golfgetal van een golf- g = De zwaartekracht

Het golfgetal k heeft de volgende formule:

k =2π

λ

Nu krijgen we:

c =

√gλ

2πtanh (

2πd

λ)

In diep water, waar d ≥ 12λ, geldt: 2πd

λ ≥ π, dus de tangens hyperbolicus nadert naar 1:

c =

√gλ

2π

Dit betekent dat c ongeveer gelijk is aan 1.25√λ m/s met λ in m. Golven met verschillende

golflengtes reizen dus met verschillende snelheden. De snelste golven zijn tevens de langstegolven bij bijvoorbeeld een storm. Dit zijn de eerste golven die bij de kust arriveren.

William Froude bedacht een formule voor zijn Froude getal Fn. Hiermee kun je de weer-stand die een golf maakt op vaste voorwerpen met verschillende groottes en vormen zoalssurfplanken en boten met elkaar vergelijken. Het getal van Froude wordt vaak na het getalvan Reynolds genoemd als het op een na belangrijkste getal zonder dimensie in de vloeistof-dynamica. De formule voor het getal ziet er als volgt uit:

Fr =v√gL

waarin L de lengte en v de snelheid van de boot is. Als v >> c begint de boot met planeren:de boot komt over zijn eigen geproduceerde oppervlaktegolf heen. Dit kun je vergelijkenmet een supersonische vlucht van een vliegtuig, waarbij het vliegtuig sneller vliegt dan degeluidssnelheid. De langste golf die een boot en ook een windsurfer produceert is in lengte


maximaal gelijk aan het natte oppervlak (L = λ). Dit zorgt voor erg veel weerstand. Wekrijgen dan het volgende: (vul c in de plaats van v in, in de formule voor het Froude getal):

Fr =1√2π≈ 0, 4

Dit is zeer belangrijk voor de scheepvaart en ook voor windsurfers, want rond dit getal is ereen sterke stijging van de weerstand. Als een windsurfer wil planeren zal hij over zijn eigengolf heen moeten komen: λ moet groter zijn dan L. Er volgt ruim na Fr ≈ 0.4 een sterkedaling van golfweerstand omdat de windsurfer gaat planeren (zie figuur 2.12).

Figuur 2.12: Grafiek Froude-getal en weerstand

2.3.4 De uitdrukking voor FLf

De uitdrukking voor de 2D-liftkracht op de vin ontstaat hetzelfde als de 2D-liftkracht op hetzeil, maar dan met de waarden van het zeil (zie paragraaf 2.2):

Flf =π

4ρwVrlfΓ0f

Hierin is ρw de dichtheid van water, lf de lengte van de vin en Γ0f eenzelfde soort uitdrukkingvoor de circulatie als de Γ0 in paragraaf 2.2. De uitdrukking voor Γ0f is de volgende:

Γ0f = πBfVr sin (γ − γi)

Voor γi (geınduceerde drifthoek) hebben we eenzelfde soort uitdrukking als voor δi (zie ver-gelijking (2.9):

γi = tan−1(Γ0f

4lfVr)

De geınduceerde weerstand wordt de volgende:

Dif =ρwπΓ0f

16

Met behulp van deze geınduceerde weerstand komen we tot onze 3D-kracht:

FLf =√F 2lf +D2

if

Hoofdstuk 3

Krachten & momenten

Bij het modelleren in het vorige hoofdstuk hebben we alle krachten gezien die we nodig hebbenom onze evenwichten op te stellen. We willen een snelheidsevenwicht creeren: een evenwichtvan alle krachten in voor- en achterwaartse richting en we willen een stabiliteitsevenwichtcreeren: een evenwicht van alle krachten en momenten in de zijwaartse richtingen. Dit bete-kent dat we de krachten die niet in deze richtingen staan moeten gaan ontbinden zodat deontbonden componenten van deze krachten wel in de goede richtingen staan. Als eerste gaanwe de liftkracht op het zeil FL ontbinden in een component evenwijdig aan de vaarrichtingen een component hier loodrecht op. Op eenzelfde manier splitsen we de krachten op hetsurfboard en de vin uiteindelijk ook op in een kracht evenwijdig aan en een kracht loodrechtop de vaarrichting. Zo krijgen we voor zowel ons snelheids- (op het zeil, op de plank en op devin) als voor ons stabiliteitsevenwicht (op het zeil, op de vin en van de surfer) drie krachten.

3.1 Het ontbinden van FL en FLf

F// willen we gaan uitdrukken met behulp van de lifkrachtformule (2.12). Dit doen we alsvolgt:

We introduceren een nieuwe hoek * als de hoek tussen F⊥ en FL. Zie figuur 3.1:

Figuur 3.1: Hoek *

21

22 HOOFDSTUK 3. KRACHTEN & MOMENTEN

Door middel van elementaire meetkunde met behulp van figuur 2.1 en de cosinus krijgenwe dat hoek * gelijk is aan 90o − γ − β − δ3D. Tussen F// en F⊥ zit een rechte hoek. Met decosinus krijgen we dus:

F// = cos (90o − γ − β − δ3D)FL (3.1)

En voor F⊥ krijgen we met behulp van de stelling van Pythagoras:

F⊥ =√F 2L − F 2

// (3.2)

De kracht van vergelijking (2.12) kunnen we invullen in de formules voor F// en F⊥.

De kracht op de vin kunnen we ontbinden in Ff// en Ff⊥ met behulp van de cosinus ende sinus:

Ff// = FLf sin (γi) (3.3)

Ff⊥ = FLf cos (γi) (3.4)

3.2 Het snelheidsevenwicht

Als een surfer zijn maximale snelheid bereikt, betekent dit dat hij geen versnelling meer heeft.De som van alle krachten in voor- en achterwaartse richting is dan gelijk aan 0. In ons gevalmoet daarom het volgende gelden:

F// + Fdb + Ff// = 0 (3.5)

Uitdrukkingen hiervoor vinden we in (3.1), (2.13) en (3.3). We hebben hier te maken meteen impliciete vergelijking. Vr zit namelijk in Wa (zie (2.1)), die op zijn beurt weer in F// zit.Ook zit Vr in Fdb en in Ff//. In totaal hebben we gebruik gemaakt van vier hoeken: α, β,δ en γ. Kijk maar bij de samenvattende vergelijkingen van paragraaf 4.1. Hierin zijn alleenβ, δ en γ te vinden. α zit in de vergelijking voor Wa (2.1). De rest van de hoeken is uit tedrukken in deze vier hoeken. We willen uiteindelijk gaan rekenen met de vectoren, krachtenen hoeken uit hoofdstuk 2 voor een snelheidsevenwicht.

De hoeken die we gebruiken zijn zeer herkenbaar in de praktijk. We gebruiken hoek α diede vaarrichting aangeeft, hoek β die de zeilstand aangeeft, hoek δ die de loslatingshoek vande wind in het zeil aangeeft en de drifthoek γ. Zoals gezegd kunnen we alle andere hoekenterugbrengen tot deze vier. Zie ook figuur 2.1.

3.3. HET STABILITEITSEVENWICHT 23

3.3 Het stabiliteitsevenwicht

3.3.1 Het momentenevenwicht: de krachten

Voor de stabiliteit van onze windsurfer kijken we naar de componenten van de krachten lood-recht op de vaarrichting. We weten dat de momenten die F⊥ op het zeil en Ff⊥ op de vin methun armen maken gecompenseerd moeten worden door de surfer. Hierdoor valt het geheelniet om. We hebben zodanig drie krachten:

1. Een aerodynamische component op het zeil: F⊥.2. Een effectieve hydrodynamische component op de vin: Ff⊥.3. De kracht vanuit de surfer zelf: Fs.

De surfer zelf moet de momenten die component 1 en 2 maken compenseren tot een sta-biel geheel. Bij dit verhaal willen we natuurlijk weten wat het moment is dat de surfer zoumoeten leveren kan worden in bepaalde gevallen. Natuurlijk gaan we er ook over nadenkenwat het maximale moment is die een goede profsurfer kan creeren.

Uitdrukkingen voor F⊥ en Ff⊥ hebben wel: voor F⊥ hebben we vergelijking (3.2) en voorFf⊥ hebben we vergelijking (3.4).

De kracht die de surfer levert is gelijk aan de zwaartekracht vermenigvuldigd met zijn ge-wicht in kilogram:

Fs = g · surfermassa ≈ 9.81 · surfermassa

3.3.2 Het momentenevenwicht: de armen

Met behulp van figuur 3.2 zien we dat we naast krachten ook armen nodig hebben. De totaleformule voor het stabiliteitsevenwicht inclusief armen wordt nu de volgende:

Fs · arm(Fs) = F⊥ · arm(F⊥) + Ff⊥ · arm(Ff⊥) (3.6)

Figuur 3.2: De armen en krachten met daarnaast de werkelijkheid


De bijbehorende armen gaan we benaderen. We nemen aan dat het zwaartepunt van een mensongeveer bij zijn/haar navel zit. Staand is dit ongeveer op 60% van de lichaamslengte. Eensurfer neemt enigszins een zittende houding aan. Dus laten we zeggen dat het zwaartepunt indat geval op 50% van de lichaamslengte ligt. In de praktijk blijkt dat een surfer geen kleinerehoek met het wateroppervlak kan maken dan ongeveer 25 graden om zijn maximale snelheidte halen. Kijk maar eens naar figuur 3.2. Deze surfer hangt ook met ongeveer 25 graden tenopzichte van het wateroppervlak boven het water.

Met cos (25o) ≈ 0.91 krijgen we de volgende arm voor een windsurfer:

arm(Fs) ≈ 0.91 · 0.5 · surferlengte = 0.455 · surferlengte

Het totale moment van de surfer wordt dan:

Fs · arm(Fs) ≈ 4.46 · surfermassa · surferlengte (3.7)

Een surfer met een massa van 100 kilogram en een lengte van 1,85 meter kan dus een totaalmoment leveren van ongeveer 4.46 · 100 · 1.85 ≈ 825 Nm.

Arm(F⊥) is de hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil. Om dezehoogte te benaderen hebben we eerst de mastlengte van het zeil nodig. De oppervlakte vanhet zeil As is gegeven. Als we hieruit de mastlengte van het zeil willen bepalen moeten wevoldoen aan de praktijk. We gebruiken een praktijktabel met de oppervlakte van het zeil ende mastlengte van een surfwebsite (zie [6]). De waarden uit deze tabellen zien er als volgt uit:

zeilgrootte (m2) maximale mastlengte (m)

4.7 3.88

5.1 4.08

5.5 4.18

5.9 4.38

6.3 4.47

6.6 4.66

7.0 4.73

7.6 4.83

8.4 5.04

9.2 5.25

10.0 5.36

11.0 5.62

12.0 5.83

Een lineaire formule die ongeveer voldoet aan deze waarden is de volgende:

l =1

4As + 3

Hiermee zitten we maximaal 7.1% af van de waarden uit de tabel. Een betere benaderingkunnen we krijgen als we de functie polyfit(x, y, n) in matlab gebruiken. Deze functie zoekteen functie f van graad n waarvoor geldt f(x) = y met x en y in ons geval de waarden van As


en l. Het maakt gebruik van de kleinste kwadraten methode. Met behulp van matlab komenwe zo op de volgende lineaire formule:

l = 0.2570As + 2.8297

Met deze formule zitten we maximaal 3.9% af van de waarden uit de tabel. Zie de grafiek infiguur 3.3. Het eerste punt geeft de grootste afwijking.

Figuur 3.3: Grafiek met punten uit de tabel en de benaderingslijn

We zouden betere benaderingen kunnen krijgen door een functie van hogere graad proberente vinden, maar met deze 3.9% zijn we tevreden. De laatste formule voor l gebruiken we dusin ons model. Voor het bepalen van de hoogte van het aangrijpingspunt van de windkrachtop het zeil hebben we ook nog een benadering voor de breedte aan het onderkant van het zeilB0 nodig als de taper ratio TR gegeven is. Dit doen we als volgt:

Zij de taper ratio TR (lengteverhouding tussen de onderkant en de bovenkant van het zeil)ook gegeven, dan wordt de breedte B0 op hoogte h = 0 gelijk aan:

B0 =2

1 + 1TR

Asl

Asl is de gemiddelde breedte van het zeil. Is de taper ratio 2, dan zijn de de breedtes van

het het zeil op hoogte h = 0 en h = l respectievelijk 4/3e en 2/3e deel van het gemiddelde(verhouding 2:1) met onze formule. Voor taper ratio 3 is dit logischerwijs 6/4e en 2/4e deelvan het gemiddelde met onze formule (verhouding 3:1).

De hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil Arm(F⊥) gaan we nubenaderen met een 2D-voorstelling van het zeil. Hiervoor gebruiken we vier parameters diehierboven al zijn gegeven of uitgerekend, namelijk: de breedte op hoogte h = 0: B0, de lengtevan het zeil l, de oppervlakte van het zeil As en de taper ratio TR. We hebben te maken methet volgende figuur:


Figuur 3.4: 2D-zeil

We willen een uitdrukking vinden voor de hoogte van het aangrijpingspunt van de wind-kracht op het zeil. We gaan er vanuit dat de kracht uniform verdeeld is in de hoogte. Ermoet dan gelden dat de oppervlakte van het zeil onder deze hoogte gelijk is aan de opper-vlakte boven deze hoogte, namelijk de helft van de oppervlakte van het zeil: 1

2As. Met dezeinformatie kunnen we door het gebruik van de abc-formule de gewenste uitdrukking vinden(zie bijlage B). Deze uitdrukking is de volgende:

Arm(F⊥) =−2B0 +

√(4B2

0 + 4As(B0TRl −

B0l )

2( B0TRl −

B0l )

Arm(F⊥) hangt dus af van het zeiloppervlak en de taper ratio van het zeil die we in ons modelgaan invoeren. Met behulp van de breuken in onze formule zien we dat hoe kleiner de taperratio, hoe groter de arm zal zijn.

Als laatste nemen we arm(Ff⊥) ≈ 0.21. Dit is ongeveer de afstand in meters tussen hetaangrijpingspunt van de aankomende stroming op de vin en het draaipunt (zie figuur 3.2) bijde vin die wij gekozen hebben. We krijgen dus Ff⊥ · arm(Ff⊥) ≈ 0.21 · Ff⊥.

Onder bepaalde hoeken en windsnelheden zal de surfer een te grote kracht moeten leve-ren. De hoge snelheden die je bij deze hoeken en windsnelheden zou kunnen halen wordendus niet bereikt. Het idee van ons model is nu om de hoogste snelheden te vinden met alsrestrictie een niet te groot moment voor de surfer.

3.3.3 Het krachtenevenwicht: drift

In deze paragraaf gaan we nog even kort in op drift. De drifthoek γ hangt namelijk af vande richting van de wind, de windkracht en de snelheid van de windsurfer. De richting van dewind is gegeven door middel van de hoek α (zie figuur 2.1), de windkracht Wo is ook gegeven,maar de snelheid van de windsurfer Vr willen we juist bepalen. Dit willen we gaan doen metbehulp van ons snelheidsevenwicht (3.5). Om de snelheid te bepalen zoeken we een nulpuntin ons snelheidsevenwicht. Helaas is het zo dat zowel de snelheid van de windsurfer Vr als dedrifthoek γ in de formule voor ons snelheidsevenwicht zitten (zie paragraaf 4.1) en variabelzijn. Omdat de drifthoek zelf ook afhangt van Vr zal het rekenkracht gaan kosten om dejuiste waarden voor deze variabelen te bepalen. We bepalen eerst de snelheid met een gokvoor de drifthoek en met deze snelheid bepalen we de echte drifthoek. Dit doen we net zolang tot we een juiste snelheid en drifthoek hebben gevonden die voldoen aan het nulpunt.


De uiteindelijke uitwerking van ons model wordt hierdoor wel aanzienlijk langzamer, wanthet kost behoorlijk wat rekenkracht. Wel wordt onze uitkomst veel preciezer. In de volgendeparagraaf geven we een samenvatting met alle formules die belangrijk voor ons model zijn.Hierin kunt u goed zien in welke formules de snelheid en de drifthoek zitten en waarom ermeerdere keren gebruik wordt gemaakt van dezelfde methode om een nulpunt te vinden.

Waar komt de drift vandaan uit onze formules?

In de afgelopen paragrafen over het stabiliteitsevenwicht hebben we kunnen zien dat hetmoment van de surfer de andere momenten moet compenseren. Als de momenten in balanszijn is er een resulterende kracht ontstaan. Hierin zorgt de drifthoek voor compensatie. Detwee zijwaartse krachten F⊥ en Ff⊥ uit figuur 3.2 stellen we aan elkaar gelijk en met behulpvan de Newton-methode krijgen we onze drifthoek.

Hoofdstuk 4

De numerieke uitwerking van hetmodel

In dit hoofdstuk geven we een korte uitleg over de numerieke uitwerking van ons model. Webeginnen met een paragraaf over alle belangrijke formules uit de voorgaande hoofdstukken.

4.1 Samenvattende formules

We zijn in paragraaf 2.1 begonnen met het introduceren van ons model. Hierin hebben welaten zien dat een uitdrukking voor de schijnbare wind wordt gegeven door:

Wa =√W 2o + V 2

r − 2WoVr cos (180◦ − α− γ)

In paragraaf 2.2 hebben we de aerodynamische krachten onder de loep genomen. Eerst heb-ben we een vergelijking bepaald voor de circulatie rond het onderlijk van ons zeil en voor de2D-liftkracht Fl. Door downwash moest in deze formules een geınduceerde hoek δi wordenverwerkt. Voor onze circulatie Γ0 krijgen we dan:

Γ0 = πB0Wa sin (δ − tan−1 ( Γ04lWa

))

Merk op dat Γ0 in zichzelf zit. Hier is al onze eerste Newton-methode voor nodig. Metbehulp van Γ0 krijgen we een uitdrukking voor de 2D-liftkracht Fl:

Fl = π2

4 ρlB0W2a l sin (δ − tan−1 ( Γ0

4lWa))

In 3D hadden we ook nog te maken met een geınduceerde weerstand. Onze 3D-kracht wordtdan:

FL =√F 2l (1 + tan2 (tan−1 ( Γ0

4lWa)))

Deze 3D-kracht hebben we in paragraaf 3.1 ontbonden in een component evenwijdig aanen een component loodrecht op de vaarrichting:

F// = cos (90o − γ − β − (δ − tan−1 ( Γ04lWa

)))FL

29

30 HOOFDSTUK 4. DE NUMERIEKE UITWERKING VAN HET MODEL

F⊥ =√F 2L − F 2

//

In paragraaf 2.3 kwamen we aan bij de hydrodynamische krachten. Door een empirischbepaalde weerstands-coefficient inclusief het getal van Reynolds in te vullen in de standaardformule voor weerstand van een nat oppervlak in water kwamen we op een formule voor deweerstand op de plank:

Fdb = 12ρwV

2r Ab0.074(ρwlbVrµ )−

15

Op eenzelfde manier als de liftkracht op het zeil hebben we de liftkracht op de vin bepaald,maar dan met waarden van water in plaats van lucht. Voor Γ0f , Flf en FLf krijgen we dan:

Γ0f = πBfVr sin (γ − tan−1 Γ0f

4lfVr)

Flf = π4ρwVrlfΓ0f

FLf =√F 2lf (1 + tan2 (tan−1 (

Γ0f

4lfVr)))

We zien dat deze Γ0f net als Γ0 in zichzelf zit. We maken weer gebruik van de Newton-methode. Dit doen we met een gok voor de drifthoek γ, want ook die bepalen we later met deNewton-methode. Op dezelfde manier als de krachten op het zeil hebben we de de liftkrachtin het water in paragraaf 3.1 ontbonden in een component evenwijdig aan en een componentloodrecht op de vaarrrichting:

Ff// = FLf sin (tan−1 (Γ0f

4lfVr))

Ff⊥ · arm(Ff⊥) = 0.21 · Ff⊥

Met deze formules kwamen we tot de volgende vergelijking voor on snelheidsevenwicht (3.5):

F// + Fdb + Ff// = 0 (4.1)

In deze drie krachten zit de snelheid Vr die we willen bepalen. Dit doen we met behulp vande Newton-methode met nog steeds een gok voor de drifthoek γ. In paragraaf 3.4 hebben wede armen bepaald voor ons stabiliteitsevenwicht. Hiermee kregen we voor het moment vande surfer de volgende uitdrukking:

Fs · arm(Fs) = 4, 46 · surfermassa · surferlengte

De zijwaartse momenten op het zeil en op de vin werden respectievelijk:

F⊥ · arm(F⊥) = F⊥ ·−2B0+

√(4B2

0+4As(B0TRl−B0

l)

2(B0TRl−B0

l)

Ff⊥ · arm(Ff⊥) = 0.21 · Ff⊥

Het moment dat de surfer moet compenseren moet gelijk zijn aan de andere zijwaartse mo-menten. We krijgen dan voor ons stabiliteitsevenwicht (3.6):

Fs · arm(Fs) = F⊥ · arm(F⊥) + Ff⊥ · arm(Ff⊥) (4.2)

Dit lossen we niet op! We kijken alleen hoe groot F⊥ · arm(F⊥) + Ff⊥ · arm(Ff⊥) is. Dezeuitdrukking moet dus kleiner of gelijk zijn aan het moment dat de surfer kan leveren. Uit het

4.2. DE UITWERKING VAN ONS MODEL 31

resulterende krachtenevenwicht in de dwarsrichting: F⊥ = Ff⊥ volgt de drifthoek. Alweermet behulp van de Newton-methode. In totaal gebruiken we dus vier Newton-methodes voorΓ0,Γ0f , γ en Vr. In de volgende paragrafen zullen we dieper ingaan op de werking hiervan.

4.2 De uitwerking van ons model

Ons model rekent met twee vergelijkingen: de eerste vergelijking heeft krachtcomponenten invoor- en achterwaartse richting (vergelijking (3.5), het snelheidsevenwicht):

F// + Fdb + Ff// = 0

Waarbij F// het krachtcomponent in voorwaartse richting van de 3D-kracht in het zeil is, Fdbis de weerstandskracht in achterwaartse richting van het surfboard en Ff// is de weerstands-kracht in achterwaartse richting van de vin. Hoe deze krachtcomponenten eruit zien kunt uteruglezen in de voorgaande paragraaf. Ook hebben we een vergelijking in zijwaartse richtingloodrecht op de voorwaartse richting (vergelijking (4.2), het stabiliteitsevenwicht):

Fs · arm(Fs) = F⊥ · arm(F⊥) + Ff⊥ · arm(Ff⊥)

Waarbij Fs de kracht is die de surfer levert, F⊥ is de krachtscomponent van de 3D-krachtop het zeil loodrecht op F en FLf is de liftkracht op de vin (die staat loodrecht op Ff//).Uitdrukkingen voor deze krachten en armen zijn wederom te vinden in paragraaf 4.1.

De vergelijkingen voor Γ0,Γ0f en de vergelijking voor ons snelheidsevenwicht (4.1) uit pa-ragraaf 4.1 zijn niet lineair. Daarom gebruiken we de Newton-methode om Γ0 en Γ0f tevinden en we gebruiken de Newton-methode om de drifthoek γ en de snelheid van de wind-surfer Vr te vinden (zie paragraaf 3.5). Alle variabelen uit paragraaf 4.1 zijn bekend, behalveγ en Vr. We geven α’s (de hoek die de vaarrrichting aangeeft) en β’s (de hoek die de zeilstandaangeeft) aan ons model mee en de vergelijking (4.1) wordt voor alle α’s en β’s opgelost. Alsγ en Vr eenmaal gevonden zijn kunnen we die invullen in de formule voor het stabiliteits-evenwicht (4.2) en onderzoeken of de momenten op het zeil en op de vin bij elkaar opgeteldgecompenseerd kunnen worden door het moment van de surfer. De snelheden waarbij de sur-fer de andere zijwaartse momenten niet kan compenseren kan de surfer natuurlijk niet halen.Dit kost teveel kracht. Als eerste letten we dus op de krachten bij de α’s, β′s en bijbehorendesnelheden. Als tweede kijken we naar de loslatingshoek van de wind in het zeil: δ. Ook ditis belangrijk, want als δ veel groter dan 15 graden wordt krijgen we loslating. Snelhedenwaarbij δ veel groter is dan 15o worden dus ook niet gehaald. Als derde kijken we naar desnelheden voor alle α′s en β’s zodat we kunnen zien wat voor snelheden we kunnen bereiken.Een uitleg met behulp van een voorbeeld hoe het allemaal in zijn werk gaat volgt later. Weleggen eerst uit hoe de Newton-methode in het algemeen en in ons geval werkt en hoe wedaarmee oplossingen voor onze vergelijking zoeken.


4.3 De Newton-methode

4.3.1 De werking van de Newton-methode

De Newton-methode is een numeriek algoritme om nulpunten van een functie te bepalen (inons geval willen we bijvoorbeeld weten wat de snelheid Vr wordt als we alle krachten met hunrichtingen bij elkaar opgeteld gelijk stellen aan 0). Het algoritme convergeert kwadratisch.Dit betekent: de fout na iteratie n+1 is evenredig met het kwadraat van de fout na iteratie n.Hierdoor convergeert het algoritme erg snel. Dit is erg nuttig voor ons programma aangezienwe de Newton-methode meerdere keren binnen elkaar gebruiken. Helaas wordt er van hetalgoritme vaak gezegd dat het niet erg robuust is. In ons geval hoeft het algoritme geen helemoeilijke dingen te doen waardoor het uitstekend werkt. We hebben het algoritme nodig,omdat onze vergelijkingen van paragraaf 4.1 niet allemaal lineair zijn. De vergelijkingen voorΓ0 en Γ0f zijn impliciet en met de hand of simpel rekenwerk lastig oplosbaar.

De Newton-methode gebruikt een functie en zijn afgeleide. Laten we deze f(x) en f ′(x)noemen. Zoals gezegd willen we het nulpunt van die functie zoeken. We starten vanaf eenbeginwaarde x0 en zoeken een waarde x1 die dichter bij het nulpunt ligt. Dit doet de Newton-methode als volgt: het berekent de raaklijn door f(x0) aan de kromme f(x). Het snijpuntvan de raaklijn met de x-as wordt de nieuwe waarde x1. Met de Newton-methode krijgen wedus:

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0)

We hebben dan de volgende situatie:

Figuur 4.1: Een eerste iteratie van de Newton-methode

Om verder te gaan gebruiken we nu de waarde x1 om een waarde x2 te vinden die dich-ter in het buurt van het nulpunt ligt. In het algemeen geldt dus:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

Zo laten we de Newton-methode net zo lang doorgaan totdat we binnen een vooraf ingesteldefoutmarge zitten. Voor de duidelijkheid behandelen we een voorbeeld:

4.3. DE NEWTON-METHODE 33

4.3.2 Een voorbeeld van de Newton-methode

We nemen de functie f(x) = x2 − 2 met als beginwaarde x0 = 2. We willen dus oplossenf(x) = 0 met als uitkomst x =

√2 ≈ 1.4142135623730951. Met de Newton-methode krijgen

we:

xn+1 = xn −x2n − 2

2xn

Dit resulteert in de volgende waarden:

x0 = 2x1 = 1.5 met fout 8.6 · 10−2

x2 = 1.41667 met fout 2.5 · 10−3

x3 = 1.4142156862745099 met fout 2.1 · 10−6

Bij deze eenvoudige functie wordt al na drie iteraties een goede benadering gegeven. Defout wordt per iteratie snel kleiner (zoals gezegd kwadratisch). Bij moeilijkere (impliciete)functies zoals in deze thesis zijn er meer iteraties nodig. We proberen een zo klein mogelijkefoutmarge te creeren en tegelijkertijd willen we de rekentijd ook niet te lang laten worden.

4.3.3 Onze Newton-methode

We gebruiken de Newton-methode zoals we deze geımplementeerd hebben, deze ziet er alsvolgt uit:

(A, B) = Newton(functie, afgeleide van de functie, beginwaarde, tolerantie, aantal itera-ties, alle iteraties nodig ja/nee)

A en B zijn de variabelen die de Newton-methode teruggeeft. De methode berekent hetnulpunt van de functie met behulp van zijn afgeleide. Deze afgeleide maken we in ons modelals de functiewaarde in het punt x + 0.00001 - de functiewaarde in het punt x delen door destapgrootte 0.00001. Deze benadering is goed genoeg voor ons doel. De beginwaarde maaktniet zo heel veel uit. Deze stellen we in afhankelijk van waar we de Newton-methode voorgebruiken (bijvoorbeeld 30, 0.5 of 1). De tolerantie stellen we in op 1e-1 of 1e-2, afhankelijkvan hoe exact we de oplossing willen hebben. Het maximaal aantal iteraties stellen we in op50 en we gebruiken een 0 om aan te geven dat we niet alle iteraties per se nodig hebben.

We roepen de Newton-methode aan met een functie. Deze functie gebruikt de formules uitparagraaf 4.1. Hiermee wordt Vr berekend. In deze functie staat nog een Newton-methodeom de juiste drifthoek (γ) te vinden. Dit werkt op dezelfde manier. We gebruiken de Newton-methode in totaal vier keer: voor de circulaties Γ en Γ0f , want de uitdrukkingen hiervoorzijn niet lineair, en voor de snelheid (Vr) en de bijbehorende drifthoek (γ). Vandaar dat hetprogramma er een tijd over doet, want deze vier Newton-methodes worden uitgevoerd vooralle α en β tussen de eerder aangegeven grenzen.


4.4 Een voorbeeld van de werking van ons model

In deze paragraaf geven we een voorbeeld ter illustratie van ons model. De invoer van onsmodel is als volgt:

1. Het zeiloppervlak (S)2. De ”taper ratio” van het zeil (verhouding tussen de breedte aan de onderkant en aan debovenkant van het zeil)3. De lengte van de surfer4. Het gewicht van de surfer5. De windsnelheid6. De minimale hoek α, deze hoek geeft de koers aan (zie figuur 2.1)7. De maximale hoek α8. De minimale hoek β, deze hoek geeft de stand van het zeil aan (zie figuur 2.1)9. De maximale hoek β

In ons voorbeeld gebruiken we waarden die ongeveer bij het wereldrecord horen. We heb-ben dan de volgende invoer:

- Zeiloppervlakte (m2): 4.8- Zeil ratio: 4

- Surfer lengte (cm): 185- Surfer gewicht (kg): 100

- Ware windsnelheid (knopen): 40

- Minimale windhoek (α in graden): 0- Maximale windhoek (α in graden): 170- Minimale zeilhoek (β in graden): 0- Maximale zeilhoek (β in graden): 90

We laten α lopen van 0 tot 170 graden. Een α van 0 graden houdt in dat de wind rechtvan voren komt en een α van 180 graden betekent dat de wind recht van achteren komt.Omdat er geen sprake meer is van lift als de wind recht van achteren komt en je dus hele rarewaarden krijgt met ons model laten we α van 0 tot 170 graden lopen. De hoogste snelheid zaltoch niet behaald worden met een α van 180 graden. Een β van 0 graden houdt in dat hetzeil helemaal is dichtgetrokken (evenwijdig aan de plank) en een β van 90 graden betekentdat het zeil helemaal open is (haaks op de plank). In ons model zullen we α en β altijd tussendeze waarden laten lopen.

Na de invoer kunnen we meteen de zeilen de surfereigenschappen zien en het programmabegint met het rekenen aan de krachtenevenwichten. De zeilen surfereigenschappen zijn alsvolgt:

4.4. EEN VOORBEELD VAN DE WERKING VAN ONS MODEL 35

Zeil eigenschappen:

Mast lengte: 3.93 mHoogte van het zeil bij planeren: 3.54 mBreedte van het zeil op h = 0: 2.17 mBreedte van het zeil op h = l: 0.54 mHoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil: 1.28 mHoogte van het ellipisch profiel van het zeil: 1.41 m

Surfer eigenschappen

Maximale moment van de surfer: 826 Nm. Deze wordt door het model bepaald met be-hulp van vergelijking (3.7).

Na ongeveer 20 minuten rekenen met een Q6600-processor @2.4 GHz is matlab klaar, enproduceert het volgende plaatje:

Figuur 4.2: Zeil: 4.8 m2, ratio 4, surfer van 1.85 m en 100 kg, windsnelheid: 40 knopen


In figuur 4.3 zien we nog een keer ons model met daarin de hoeken α, β en δ. Deze hoekenzijn belangrijk in de figuren uit ons model.

Figuur 4.3: Ons model

Een grafiek die uit ons model rolt is in ons geval een figuur met een x-as en een y-as dierespectievelijk de α en β voorstellen uit ons model. Zoals ingevoerd loopt α van 0 tot 170graden en β loopt van 0 tot 90 graden. In het figuur zijn een drietal verschillende soortenlijnen te zien: een dikke lijn voor het maximale moment van de surfer, dunne lijntjes voorsnelheden en stippellijntjes voor de ”hoek van loslating” in ons model (δ). Laten we beginnenmet het maximale moment: onder deze dikke lijn wordt hoek β kleiner. Dit betekent dat desurfer zijn zeil verder dicht trekt, wat meer moment dan het maximaal haalbare kost. Wekunnen dus alleen snelheden halen die boven de dikke lijn liggen. Ook is de hoek van loslatingδ belangrijk. Dit zijn de stippellijnen in de figuur. Deze hoek van loslating mag niet veelgroter zijn dan een graad of 15 (de rode lijn), anders krijgen we loslating van de wind inons zeil. De lijn van 15 graden hebben we rood gemaakt. We moeten dus niet ver onderde lijn van 15 graden blijven om realistische snelheden te halen. We zien dat de snelhedenhoger worden naarmate we het zeil meer dicht trekken (β wordt kleiner). We willen dus vaakzo laag mogelijk kijken terwijl we nog wel aan onze randvoorwaarden voldoen voor een zohoog mogelijke realistische snelheid. Deze hoogste snelheid zal meestal behaald worden rondhet snijpunt van het maximale moment en de lijn van δ = 15 graden. Dit is niet altijd hetgeval. We zullen dit later gaan zien. In sommige gevallen is bijvoorbeeld het moment of deloslatingshoek helemaal niet belangrijk. Dan zal de hoogste snelheid op de andere lijn liggendie wel belangrijk is. Als het moment van belang is, dan wordt de hoogste snelheid gehaaldin het raakpunt tussen de dikke lijn en de hoogste snelheidslijn waarvoor er nog een raakpuntis. Hiernaar kunnen we gaan kijken of we voldoen aan de loslatingshoek van 15 graden. Zovinden we altijd de maximale snelheid.

In dit voorbeeld ligt de hoogste snelheid op het snijpunt (in het vierkantje). Dit kun je

4.4. EEN VOORBEELD VAN DE WERKING VAN ONS MODEL 37

goed zien als je de dunne snelheidslijn van 26 m/s volgt en er vanuit gaat dat je boven dedikke lijn en links van de stippelijn van δ is 15 graden moet blijven. Dan kom je in hetsnijpunt van deze twee lijnen het dichtst bij 26 m/s in de buurt. Het snijpunt ligt ongeveerbij α = 110 graden en bij β = 31 graden. Deze waarden voeren we in:

- Geef de windhoek (graden): 110- Geef de zeilhoek (graden): 31

Hierna komt het volgende uit ons model:

Characteristics

Maximum velocity = 25.3 m/s (49.1 knt)

Sail/board angle = 31 degreesApparent wind velocity = 26 m/s (51 knt)

Heading/apparent wind angle = 46.96 degreesSail/apparent wind angle (δ) = 15.24 degreesInduced wind angle = 8.32 degrees

Propellant air force = 470.73 NewtonPerpendicular air force = 588.70 NewtonTotal lift force sail = 753.76 Newton

Total drag force board = 390.49 NewtonFin/incoming water angle (γ) = 0.73 degreesInduced fin angle = 0.21 degreesDrag force fin = 2.21 NewtonPerpendicular force fin = 588.77 NewtonTotal lift force fin = 588.78 NewtonTotal momentum sail + fin = 822.99 Nm

We zien dat hoek δ ongeveer 15 graden is en dat onze ”total momentum” rond de 825 Nmligt die we mochten halen. De surfer haalt in dit geval zijn hoogste snelheid (25.3 m/s) als hijsurft onder een hoek van 110 graden en hij zijn zeil dichttrekt tot op 31 graden. We merkenop dat we dicht bij de wereldrecordsnelheid in de buurt zitten. Het wereldrecord ligt namelijkop ongeveer 25.2 m/s.

In onze paragraaf over mogelijk surfkoersen (paragraaf 1.3) trokken we de conclusie dat eenlangsgetuigd schip (dus ook een surfer) het snelst kon surfen op een halfwindse koers (αtussen de 80 en de 100 graden). Dit geldt bij koersen van boten. De snelste koers van eenwindsurfer bij een grote windkracht is meer een ruimwindse koers dan een half windse koers(in ons geval dus 110 graden). Dit komt doordat een windsurfer minder massa heeft dan eenschip. Hierdoor wordt de drifthoek bij een half windse koers best wel groot ten opzichte vaneen ruimwindse koers. Bij een ruimwindse koers zal een surfer dus sneller gaan. Hoe meereen surfer planeert, hoe meer wind een surfer van achter nodig heeft om het planeren vol te


kunnen houden.

Hoofdstuk 5

Parameterstudie

We gaan een parameterstudie doen waarbij we verschillende invoerwaarden varieren. Webeginnen met het varieren van het gewicht en de lengte van een surfer, daarna gaan wezeilgroottes varieren (zowel bij harde wind als bij normale wind). Tot slot gaan we zeilvormenvarieren. Hierbij vinden we door middel van onze plotjes steeds de maximale snelheden en debijbehorende α’s en β’s. Deze α’s en β’s proberen we steeds te verklaren.

5.1 Variatie van het gewicht en de lengte van de surfer bijharde wind

In deze paragraaf varieren we het gewicht en de lengte van de surfer. Het zeiloppervlakhouden we op 4.8 m2, de taper ratio op 4 en de windsnelheid houden we op 40 knopen. Erontstaat de volgende tabel: Het eerste geval is al uitgewerkt in het voorbeeld van het vorige

figuur 4.4 5.1 5.1

lengte(cm) 185 200 185

gewicht(kg) 100 100 120

α(o) 110 108 106

β(o) 31 30 28

max. snelheid (m/s) 25.5 25.6 26.4

maximale moment (Nm) 826 893 991

hoofdstuk. De figuren van de andere twee gevallen staan op de volgende pagina. We volgenweer de dunne snelheidslijn van 25 m/s en kijken hoe we daar het verst onder kunnen zittenals we boven de dikke lijn en links van de δ = 15 graden lijn moeten zitten. Hierdoor krijgenwe de waarden voor α en β en uiteindelijk de snelheden.

We zien dus het volgende: Hoe zwaarder en langer een surfer, des te sneller hij kan snelheids-windsurfen onder ideale omstandigheden. Hierbij zorgt een kleine verandering van gewichtvoor een hogere snelheidsverhoging dan een kleine verandering van lengte. Ook zien we dater een iets andere koers gevaren moet worden om de maximale snelheid te halen. Een lan-gere en/of zwaardere surfer kan het zeil net iets verder dichttrekken waardoor we een hogeresnelheid krijgen bij een lagere β. Ook surfen langere en/of zwaardere surfers iets meer tegen

39

40 HOOFDSTUK 5. PARAMETERSTUDIE

de wind in (natuurlijk hebben ze nog steeds de wind wel meer van achteren dan van voren)om een hogere snelheid te krijgen (hogere α). Dit kost ook meer kracht.



5.2. VARIATIE VAN ZEILGROOTTES BIJ HARDE WIND 41

5.2 Variatie van zeilgroottes bij harde wind

Als we de groottes van het zeil gaan varieren bij harde wind blijven de rest van de variabelenhetzelfde. We houden de taper ratio op 4, de lengte van de surfer op 1m85, het gewicht vande surfer op 100 kg en de windsnelheid houden we op 40 knopen. Het maximale moment vande surfer is dan overal hetzelfde, namelijk de bij een surfer van 1m85 en 100 kg horende 826Nm van de vorige paragraaf. Er ontstaat de volgende tabel:

figuur 5.4 5.5 4.4 5.6 5.7 5.8

zeiloppervlak (m2 2 3.8 4.8 6.8 8.8 15

α(o) 75 99 110 124 128 135

β(o) 23 28 31 35 38 46

max. snelheid (m/s) 19.8 24.6 25.3 25.3 25.3 24.5

Op dezelfde manier als in de vorige paragraaf hebben we de α’s en β’s met hun bijbehorendemaximale snelheden gevonden.

De resultaten met een zeil van 4.8 m2 staan bij het voorbeeld uit het vorige hoofdstuk.We zien meteen dat de isolijnen van de snelheid liggen bij ieder zeil anders. Hoe groter hetzeil, hoe hoger de snelheid ligt bij dezelfde α en β. Vergelijk bijvoorbeeld eens de figuren 5.4en 5.8 met elkaar. Helaas zorgt een groter zeil voor meer moment dus de isolijnen van desurfer gaan ook omhoog in het α-β-plaatje. Resultaat: beide isolijnen gaan omhoog dus dehoeken α en β veranderen.

Ook zien we dat bij zeilen van 4.8 m2 tot en met ongeveer 9 m2 ongeveer dezelfde maxi-male snelheden gehaald worden (25.3 m/s). Vanaf een zeilgrootte van 8.8 m2 begint desnelheid echt te dalen (zie de dikke lijn in figuur 5.3, de dunne lijn hoort bij de hoeken α).Een zeilgrootte onder de 4.8 m2 zorgt veel sneller voor een lagere maximale snelheid. Hoekleiner een zeil, hoe makkelijker windsurfen is. Als windsurfer is het een stuk fijner om al han-gend een kleiner zeil helemaal dicht te trekken dan moeite doen voor een groot zeil. Daaromkunnen windsurfers beter een kleiner zeil van rond de 4.8 m2 pakken om het snelheidsrecordte behalen.

Figuur 5.3: opp zeil en Vmax bij ratio 4, lsurfer 1m85, msurfer 100 kg en Wo 40 knopen

We zien ook dat hoe kleiner het zeil, hoe verder we het zeil dicht kunnen trekken (β is kleinerals het zeil kleiner is, zie figuren 5.4, 5.5 en 4.4). Ook moeten we een significant andere


koers varen bij het varieren van groottes van zeilen (α). Hoe groter het zeil, hoe meer eenwindsurfer voor de wind moet gaan varen om zijn maximale snelheid te behalen. Als eensurfer helemaal voor de wind vaart kan hij nooit sneller dan de wind zelf. Dit zal dus niet degunstigste koers zijn om een maximale snelheid te behalen. Bovendien is een heel groot zeilbij varierende windstoten erg moeilijk te houden.

In ons model zit er niet echt een onder- of bovengrens aan de grootte van het zeil. Welis het zo dat plaatjes bij hele kleine zeilen (onder de 2 m2) niet echt realistisch meer zijn. Desnelheden worden dan namelijk zo laag dat er geen sprake meer is van planeren. Iets waarwij wel vanuit gaan in ons model. Verder merken we op dat het moment er niet toe doet inhet figuur bij een zeiloppervlak van 2 m2 (figuur 5.4). In dit geval hoeven we alleen maarrekening te houden met de loslatingshoek. Bij een zeil van 2 m2 surft een windsurfer redelijktegen de wind in om met het dichttrekken van zijn zeil zoveel mogelijk liftkracht om te zettenin snelheid. Bij een zeil van 15 m2 (figuur 5.8) zien we dat een surfer zijn zeil totaal niet meerdicht kan krijgen (grote β), wel surft hij ongeveer net zo ver voor de wind als bij een zeil van8.5 m2 (α). Ook zien we dat de maximale snelheid niet meer gehaald wordt in het snijpuntvan de loslatingshoek en het moment, net zoals bij een zeil van 2 m2, alleen de loslatingshoekis hier voor het behalen van de maximale snelheid niet belangrijk. Bij zeilen groter dan 15m2 is β nog groter.


5.2. VARIATIE VAN ZEILGROOTTES BIJ HARDE WIND 43



5.3. VARIATIE VAN ZEILGROOTTES BIJ EEN NORMAAL PERSOON ENNORMALEWIND45

5.3 Variatie van zeilgroottes bij een normaal persoon en nor-male wind

We gaan nu kijken wat er gebeurt als we de groottes van het zeil varieren bij een pittigewindsnelheid voor een normale surfer. Hierbij stellen we de windsnelheid in op 20 knopen(windkracht 5). We gebruiken een normaal persoon van 1m80 en 75 kg. De taper ratio blijf4: We hebben de figuren op de volgende pagina’s. Wat zien we nu? In het figuur 5.9 zien

figuur 5.9 5.10 5.11

zeiloppervlak (m2 4 7.5 15

α(o) 80 105 123

β(o) 20 21 31

max. snelheid (m/s) 12.3 15.6 15.4

we nog net een dikke lijn van het maximale moment van de surfer. In principe kan de surferdus qua kracht het zeil helemaal dichttrekken onder bijna iedere hoek die hij surft. In iedergeval de hoeken die haalbaar zijn met betrekking tot de loslatingshoek. We hebben dus nogsteeds te maken met de lijn van de loslatingshoek. De snelheid van de surfer is hiervan afhan-kelijk. Als we de lijn van δ = 15 graden volgen zien we dat de surfer een maximale snelheidkan halen van tussen de 10 en de 15 m/s. Hij komt het dichtste bij in α = 80 en β = 20 graden.

Als we kijken naar een zeil van 7.5 m2, dan zien we dat een surfer sneller kan gaan. Infiguur 5.10 zien we dat het maximale moment al meer invloed begint te krijgen. Om dehoogste snelheid te meten hebben we dit keer het snijpunt nodig van het moment en deloslatingshoek. Door de grootte van het zeil liggen de snelheden in onze grafiek wel hogerwaardoor we ook een hogere snelheid behalen (15.6 m/s). In figuur 5.11 is het moment zobelangrijk geworden dat de surfer het zeil niet meer kan houden onder bepaalde hoeken. Hijkan dus een iets minder hoge snelheid halen (15.4 m/s). Ook is het maar de vraag of eensurfer zo’n groot zeil uit het water kan trekken.

De grote verschillen per figuur zijn vooral de snelheidslijnen. Hoe groter een zeil, hoe ho-ger de snelheid die we onder dezelfde hoek kunnen halen. Wel is het zo dat de kracht die desurfer moet hebben om het zeil te houden ook mee omhoog gaat. Er komt dus eigenlijk eenextra voorwaarde bij (het maximale moment) waaraan we moeten voldoen bij grotere zeilen.Zo zien we, dat bij een te groot zeil, we een minder hoge snelheid kunnen halen door hetmaximale moment dan bij een vergelijkbaar kleiner zeil.

De conclusie is dat de grootte van het zeil die je wilt gebruiken om de hoogste snelheidte halen zeer afhankelijk is van de windsnelheid, je gewicht en je lengte. Voor iedere com-binatie van surfer en windsnelheid zal er een ander ”perfect” snelheidszeil zijn. Ook is hetgewicht en de lengte minder belangrijk bij een lagere snelheid. Een surfer heeft namelijkminder moment nodig om het zeil omhoog te houden. Als laatste geven we de opmerking dateen surfer onder windkracht 3 niet kan planeren. Dit geldt bij 7 tot 10 knopen. Ook wordtde situatie al heel anders in een race waarin bochten gemaakt moeten worden. Dan hebbende surfer vaak wel grote zeilen omdat de windkracht niet al te hoog ligt, maar een te grootzeil is niet handig. Laveren is namelijk erg zwaar met een heel groot zeil.

5.4. VARIATIE VAN ZEILVORM 47


5.4 Variatie van zeilvorm

Als laatste kijken we wat er gebeurt als we de vorm van het zeil aanpassen. We nemen eenrechthoekig zeil (ratio 1.1), een normaal zeil (ratio 4) en een driehoekig zeil (ratio 1000). Deandere variabelen houden we gelijk. We nemen een zeiloppervlak van 4.8 m2, een surferlengtevan 1m85, een surfergewicht van 100 kg en een ware windsnelheid van 40 knopen. We krijgende volgende tabel: Met de bijbehorende figuren komen we al gauw tot de conclusie dat een

figuur 5.13 4.4 5.12

taper ratio 1000 4 1.1

α(o) 89 110 128

β(o) 25 31 36

max. snelheid (m/s) 23.7 25.3 25.5

rechthoekig zeil beter is dan een driehoekig zeil. We zien zelfs dat we met een rechthoekigzeil een net iets hogere maximum snelheid halen dan met een zeil van taper ratio 4. Waaromgebruiken surfers dan geen rechthoekige zeilen? Dat heeft te maken met het materiaal. Hetzeil moet ook bovenin goed strak blijven om de windkracht zo goed mogelijk te verdelen.Als we een rechthoekig zeil gebruiken is het erg moeilijk om het zeil aan de bovenkant strakte houden met behulp van het gebruikte materiaal. Daarom gebruiken windsurfers een niethelemaal rechthoekig zeil. Gelukkig wordt de kwaliteit van het materiaal steeds beter, waar-door windsurfers steeds meer naar een rechthoekiger zeil gaan om een hogere snelheid te halen.

Verder zien we dat de verschillen in snelheden niet zo groot zijn als in de vorige paragra-


fen. Het gaat hier dus echt om het finetunen. Met beter materiaal kunnen surfers eenrechthoekiger zeil gebruiken om een iets hogere snelheid te halen. Een driehoekig zeil moetenze niet gebruiken. Verder zien we dat we ons zeil verder dicht moeten trekken naarmate weeen driehoekiger zeil gebruiken. Ook zien we dat hoe rechthoekiger het zeil, hoe meer we voorde wind moeten gaan varen. Met een rechthoekig zeil maken surfers meer gebruik van hunkracht en de wind, wat resulteert in een hogere snelheid.

Figuur 5.12: Zeil: 4.8 m2, ratio 1.1, surfer van 1.85 m en 100 kg, windsnelheid: 40 knopen

5.4. VARIATIE VAN ZEILVORM 49


Hoofdstuk 6

Samenvatting en conclusie

De aanleiding van deze thesis was een klein Duits onderzoek naar het behalen van het we-reldrecord bij windsurfen ([1]). We kwamen er achter dat het onderzoek naar het behalenvan een zo hoog mogelijke windsurfsnelheid nauwkeuriger kon. Hierbij hebben we gebruikgemaakt van potentiaaltheorie, vleugeltheorie en ingenieursformules. We zijn begonnen methet nemen van een kijkje naar het echte wereldrecord surfen en de factoren die hierbij eenrol spelen. Daarna hebben we een voorbeeldsituatie toegelicht waardoor het goed duidelijkwerd welke krachten en hoeken er allemaal een belangrijke rol spelen binnen het windsurfen.Op grond van deze voorbeeldsituatie hebben we ons eigen mathematisch model gecreeerd.Voordat we dit deden hebben we gekeken welke surfkoersen er zijn en welke surfkoersen goeden minder goed zijn voor het behalen van een hoge topsnelheid bij schepen. Later kwamenwe er achter welke koersen bij het windsurfen het beste zijn. Om hierover iets te concluderenis ons onderzoek als volgt gegaan:

We begonnen met het definieren van de variabelen in ons model waarna we een kijkje namennaar de aerodynamische krachten. Hierin speelt de circulatie een grote rol. We vonden eenformule voor de 2D-liftkracht met behulp van circulatie, met in ons achterhoofd dat een zeileen eindige hoogte heeft. Uiteindelijk verkregen we een formule voor de 3D-kracht met behulpvan het bekijken van tipwervels en downwash inclusief de bijbehorende 3D-potentiaaltheorie:er ontstond een geınduceerde hoek δi tussen de 2D en de 3D-kracht en een geınduceerdeweerstand. Hierna konden we verder gaan met de hydrodynamische krachten. We gebruik-ten de standaardformule voor drag voor de wrijving op het surfboard waarin een (empirischbepaalde) weerstandscoefficient van de plank zit waar op zijn beurt het getal van Reynoldsin zit. Dat is de reden dat we hierna een stukje over het getal van Reynolds en het getal vanFroude schreven: de twee belangrijkste dimensieloze getallen uit de stromingsleer. Het getalvan Reynolds wordt gebruikt om te bepalen of een stroming laminair is of turbulent. Het getalvan Froude wordt gebruikt voor het beschrijven van het gedrag van vloeistofoppervlakken.We concludeerden de paragraaf over hydrodynamische krachten met een uitdrukking voor de3D-liftkracht op de vin (dit is ongeveer dezelfde uitdrukking als de 3D-liftkracht op het zeil,maar dan met variabelen die betrekking hebben op de waterstroming in plaats van op deluchtstroming).

51

52 HOOFDSTUK 6. SAMENVATTING EN CONCLUSIE

Er begon een nieuw hoofdstuk over krachten en momenten. Hierin hebben we zowel de3D-aerodynamische kracht en de 3D-hydrodynamische kracht ontbonden in een componentevenwijdig aan de vaarrichting en een component hier loodrecht op waardoor we respectieve-lijk een snelheids en een stabiliteitsevenwicht verkregen. Bij het snelheidsevenwicht moet desom van alle krachten in voor- en achterwaartse richting (de krachten op het zeil, het board ende vin) gelijk zijn aan 0. Het stabiliteitsevenwicht is een momentenevenwicht met de krach-ten loodrecht op de vaarrichting en hun bijbehorende armen. Deze krachten moeten wordengecompenseerd door de kracht van de surfer en zijn arm. Aan het einde van dit hoofdstukgingen we nog even kort in op de drift. Deze drift hangt namelijk af van de snelheid en wordtin ons programma bepaald met behulp van de Newton-methode.

Nu kregen we een hoofdstuk over de numerieke uitwerking van ons model waarin we wat ver-der in gingen op deze Newton-methode. De formules voor de circulaties zijn niet lineair. Hierwordt de Newton-methode dus ook bij gebruikt. Verder gebruiken we de Newton-methodeom zowel de snelheid als de drifthoek te bepalen zodanig dat we uiteindelijk tot een evenwichtkomen. We begonnen dit hoofdstuk met alle samenvattende formules die we hiervoor nodighadden en we eindigden dit hoofdstuk met de uitwerking van een voorbeeld van de werkingvan ons numerieke model. Hierna kon het hoofdstuk ”parameterstudie” beginnen.

Met behulp van deze parameterstudie hebben we gezien dat er allerlei factoren een rol spelenom de maximale snelheid te halen bij het windsurfen. Hier gaat het alleen nog maar omhoge snelheden te halen als de windsurfer rechtdoor surft. Bij wedstrijden waarbij bochtengemaakt moeten worden zal de conclusie anders zijn. Hieronder volgt een korte samenvattingvan de resultaten uit ons model met een kritische blik.

We hebben gezien dat hoe groter en zwaarder de windsurfer, hoe hoger de snelheid is diede windsurfer kan halen. Hierbij hebben we geen rekening gehouden met het feit dat dewrijvingskracht van de plank groter wordt omdat de plank dieper in het water komt te liggendoor de zwaardere en grotere surfer. Zelfs bij planeren zou dit een beetje verschil moetenmaken.

Ook hebben we gezien dat bij wereldrecord wind, we liever een niet zo groot zeil willenhebben om het wereldrecord te surfen, anders kan de windsurfer het zeil niet meer houden.Bij een normaal persoon en normale wind is dit heel anders. Dan heeft een groot zeil devoorkeur om veel wind te vangen voor het behalen van de hogere snelheid. De kracht dienodig is om het zeil overeind te houden is hier minder van belang.

Als laatste hebben we gezien dat het ongunstigste zeil een driehoekig zeil is. Een recht-hoekig zeil is het gunstigste zeil. Toch gebruiken windsurfers een wat minder rechthoekig zeilomdat het erg lastig blijkt om het zeil bovenaan strak te houden met het oog op de sterkteen de flexibiliteit van het materiaal.

Bijlage A

Het bewijs van∫ π0

cos (θ)cos (φ)−cos (θ)dθ = −π

We starten het bewijs met de linkerkant:∫ π

0

cos (θ)

cos (φ)− cos (θ)dθ

We halen een sin (φ) binnen de integraal en vermenigvuldigen daarom de integraal met 1sin (φ)

zodat we krijgen:

=1

sin (φ)

∫ π

0

cos (θ) sin (φ)

cos (φ)− cos (θ)dθ

Met sin (φ)cos (φ)−cos (θ) = −1

2(cot (φ−θ2 ) + cot (φ+θ2 )) door middel van goniometrie: de formules van

Simpson en cot (α) = cos (α)sin (α) krijgen we dan:

= − 1

2 sin (φ)

∫ π

0cos (θ)(cot (

φ− θ2

) + cot (φ+ θ

2))dθ

Dit is hetzelfde als de integraal van −π tot π met alleen de cot (φ+θ2 ):

= − 1

2 sin (φ)

∫ π

−πcos (θ) cot (

φ+ θ

2)dθ

Met een coordinatentransformatie x = φ+ θ, dus θ = x− φ krijgen we:

= − 1

2 sin (φ)

∫ π

−πcos (x− φ) cot (

x

2)d(x− φ)

Met ddx(x− φ) = 1, dus d(x− φ) = dx en cos (x− φ) = cos (x) cos (φ) + sin (x) sin (φ) krijgen

we het volgende:

= − 1

2 sin (φ)

∫ π

−π(cos (x) cos (φ) + sin (x) sin (φ)) cot (

x

2)dx

cos (φ) en sin (φ) buiten de integraal halen en de integraal splitsen geeft:

= − cos (φ)

2 sin (φ)

∫ π

−πcos (x) cot (

x

2)dx− 1

2

∫ π

−πsin (x) cot (

x

2)dx

53

54 BIJLAGE A. HET BEWIJS VAN∫ π

0COS (θ)

COS (φ)−COS (θ)Dθ = −π

f(x) = cos (x) cot (x2 ) is een oneven functie. Dat wil zeggen: f(−x) = −f(x). Daarom is deintegraal over deze functie van −a tot +a voor alle a gelijk aan 0. Zo krijgen we:

= −1

2

∫ π

−πsin (x) cot (

x

2)dx

Met goniometrie: sin (2α) = 2 sin (α) cos (α) en de definitie van de cotangens krijgen we:

= −1

2

∫ π

−π2 cos2 (

x

2)dx

De goniometrie-regel cos2 (α) = 1+cos (2α)2 geeft:

= −1

2

∫ π

−π1 + cos (x)dx

Als laatste rekenen we deze integraal uit:

= −1

2· 2π = −π

Bijlage B

Het aangrijpingspunt van dewindkracht op het zeil

In deze bijlage bepalen we een uitdrukking voor de hoogte H van het aangrijpingspunt vande windkracht op het zeil bij de volgende vier gegeven waarden:

- De oppervlakte van het zeil As (area sail).- De taper-ratio van het zeil TR.- De breedte aan het onderkant van het zeil op hoogte h = 0: B0.- De mastlengte van het zeil l (van lengte).

Hierbij hoort het volgende figuur (met het zeil in het zwart):

Figuur B.1: Een zeil met bijbehorende gegeven waarden

We hebben aangenomen dat de kracht uniform verdeeld is over de hoogte. We moeten dusde hoogte H in dit figuur bepalen waarbij geldt dat oppervlakte(I) = oppervlakte(II) = As

2 .Dit gaan we doen met behulp van oppervlakte II. Een uitdrukking voor oppervlakte II is als

55

56 BIJLAGE B. HET AANGRIJPINGSPUNT VAN DE WINDKRACHT OP HET ZEIL

volgt (zwarte + rode deel - rode deel = rechthoek - driehoek):

oppervlakte II = B0H −1

2x(H)H

Waarbij x(H) de lengte van x op hoogte H is. Nu hebben we nog een uitdrukking voor xnodig. Een uitdrukking voor x op hoogte h gaat als volgt: de schuine zijde van de driehoekis een rechte lijn. Onderaan heeft de driehoek breedte 0 en bovenaan is de driehoek B0 − B0

TR

breed. Met andere woorden: x(0) = 0 en x(l) = B0 − B0TR . We komen dan op de volgende

uitdrukking voor x(h):

x(h) = h(B0 − B0

TR

l)

x(H) wordt dan vanzelfsprekend dezelfde uitdrukking maar dan met een H op de plaats vanh. Ondertussen werken we de haakjes weg:

x(H) =B0H

l− B0H

TRl

Deze vullen we in de uitdrukking voor oppervlakte II in:


2(B0H

l− B0H

TRl)H

Haakjes wegwerken geeft:


2

B0H2

l+

1

2

B0H2

TRl

Gelijkstellen aan de helft van het oppervlakte van het zeil 12As en het opvolgorde zetten van

de termen voor de abc-formule geeft ons nu uiteindelijk:

1

2(B0

TRl− B0

l)H2 +B0H −

1

2As = 0

Na het vermenigvuldigen van alle termen met 2 gebruiken we de abc-formule (alleen de posi-tieve kant):

H =−b+

√b2 − 4ac

2a

We hebben de volgende termen voor a, b en c:

a = B0TRl −

B0l

b = 2B0

c = −As

We krijgen nu met de abc-formule tot slot:

H =−2B0 +

√(4B2

0 + 4As(B0TRl −

B0l )

2 B0TRl −

B0l )

Bijlage C

Ons programma SurfSimu

C.1 Deel 1

Hieronder is het eerste deel van ons programma weergegeven.

clear all;

% PARAMETERS MEDIA:

5 rho_l = 1.184;rho_w = 1000;mu = 0.001003;knoop = 0.51444;

10 % PARAMETERS PLANK:

A_b = 1*.5;l_b = 1;

15 % PARAMETERS FIN:

l_f = 0.28;B_f = 0.15;fin_area = 0.035;

20

fprintf(’\n’)fprintf(’ ******************************************************\n’)%fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * surf model variables: *\n’)

25 %fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ ******************************************************\n’)fprintf(’\n’)sail_area = input(’ - enter sail area (m2) : ’);ratio = input(’ - enter sail taper ratio : ’);

30 fprintf(’\n’)lengtesurfer = input(’ - enter surfer length (cm) : ’);gewichtsurfer = input(’ - enter surfer weight (kg) : ’);fprintf(’\n’)wo = input(’ - enter true windspeed (knts) : ’);

35 fprintf(’\n’)amax = 180 - input(’ - enter min. true wind angle (dgr) : ’);amin = 180 - input(’ - enter max. true wind angle (dgr) : ’);fprintf(’\n’)bmin = input(’ - enter min. sail angle (dgr) : ’);

40 bmax = input(’ - enter max. sail angle (dgr) : ’);

57

58 BIJLAGE C. ONS PROGRAMMA SURFSIMU

Zoals u kunt zien is het eerste commando ’clear all’ zodat we iedere keer met een schone leibeginnen als we onze file aanroepen. Hierna definieren we een aantal parameters met hunbijbehorende waarden zoals de dichtheid van lucht, de dichtheid van water, de lengte van hetnatte oppervlak van het surfboard, het uiterlijk van de vin etc. Na de vaste parameters volgtde input die een negental parameters beslaat:

1. Het zeiloppervlak (S).2. De ”taper ratio” van het zeil. Dit is de verhouding tussen de breedte van de onderkantvan het zeil en de breedte van de bovenkant van het zeil. Een ”taper ratio” van 4 betekentdat de onderkant van het zeil 4 keer zo breed is als de bovenkant.

Met bovenstaande twee punten berekent het model ongeveer hoe het zeil eruit ziet. Bij-voorbeeld: Hoe lang het zeil is, hoe hoog het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeilligt en hoe het elliptisch ”vleugel”-profiel eruit ziet (We gebruiken immers de vleugeltheoriein onze berekeningen).

3. De lengte van de surfer.4. Het gewicht van de surfer.

Met deze twee punten berekent het model het maximale moment die de surfer kan leve-ren met zijn gewicht en lengte (met betrekking tot zijn zwaartepunt).

5. De ware windsnelheid.6 en 7. De minimale en de maximale hoek die de koers van de surfer aangeeft ten opzichtevan de ware wind (α).8 en 9. De minimale en de maximale hoek tussen het zeil en de koers (β).

Nu worden er wat eigenschappen uitgeprint:

% PARAMETERS ZEIL:

lsail=(.2570*sail_area + 2.8297)*0.87; % 0.87 is ongeveer cos 30 gradenB = (2/(1+1/ratio))*sail_area/lsail; % breedte op l=0. Gelijk aan 4a (Zie stromingsleer dictaat).

5 COM_sail= (-2*B + sqrt(4*Bˆ2 + 4*sail_area*(B / (ratio * lsail) - B / lsail))) / (2*(B /(ratio * lsail) - B / lsail)) ;l=2*sail_area/(pi*B);

% MAXIMALE DRAAIMOMENT SURFER:

10 % Zwaartepunt ligt ongeveer bij je navel (staand is dat op 60 % totale% lengte).% Surfend is enigszins zittend, dus zeg nu op 50 % totale lengte.% Maximale hoek is ca 25 graden, cos(25 graden) = 0.9,% dus bij een gewicht van 100 kg en lengte van 1.85 m is het maximale draaimoment:

15 % Fz*arm = 100*9.81*0.9*1.85*0.5 = 816 Newton

maxmoment=gewichtsurfer*9.81*0.91*lengtesurfer*0.5/100;

fprintf(’\n\n’)20 fprintf(’ ******************************************************\n’)

fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * sail characteristics: *\n’)fprintf(’ * ----------------------- *\n’)fprintf(’ * *\n’)

25 fprintf(’ * mast length : %6.2f m *\n’,lsail/0.9)

C.1. DEEL 1 59

fprintf(’ * planing hight sail : %6.2f m *\n’,lsail)fprintf(’ * sail width at h=0 : %6.2f m *\n’,B)fprintf(’ * sail width at top : %6.2f m *\n’,B/ratio)fprintf(’ * sail center of mass : %6.2f m *\n’,COM_sail)

30 fprintf(’ * sail hight elliptic profile : %6.2f m *\n’,l)fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * surfer characteristics: *\n’)fprintf(’ * ------------------------- *\n’)fprintf(’ * *\n’)

35 fprintf(’ * maximum momentum surfer : %6.2f Nm *\n’,maxmoment)fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ ******************************************************\n\n’)

matrix1(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0;40 matrix2(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0;

matrix3(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0;matrixdelta(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0;W_o = wo * knoop;

45 fprintf(’Calculating max. velocities for alpha and beta range... \n’)

tic;

Zoals we hierboven kunnen zien zijn de eigenschappen van het zeil en het maximale momentvan de surfer al bekend voordat het programma echt begint met rekenen. Deze formules zijnte vinden in hoofdstuk 3. Verder printen we de zeileigenschappen en het maximale momentvan de surfer alvast uit zodat we daar een kijkje naar kunnen nemen als het programma aanhet rekenen slaat. We stellen drie nulmatrices op, we rekenen Wo om van knopen naar m/s,we printen een regel zodat we kunnen zien dat matlab bezig is en we gebruiken het commando”tic” die later met ”toc” wordt afgesloten om te zien hoe lang matlab over de rekenpartij doet.Hierna begint matlab met rekenen:

for a = amin:amaxfor b = bmin:bmax

% GIVEN ANGLES5

alpha = (a / 360) * 2 * pi;beta = (b / 360) * 2 * pi;

[g,V_r] = Newton2(@(x)func_momentum(x,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment),10 @(x)dfunc_momentum(x,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment), .5, 1e-1, 50, 0);

gamma = g /(360) * 2*pi;

% DRAG BOARD

15 C_d = 0.074 * ((rho_w * l_b * V_r) / mu)ˆ(-(1/5));F_w = (1 / 2) * rho_w * C_d * A_b * V_rˆ2;

% APPARENT WIND SPEED AND ANGLES

20 W_a = sqrt(W_oˆ2 + V_rˆ2 - 2 * W_o * V_r * cos(alpha - gamma));lambda = asin((W_o * sin(alpha - gamma))/W_a);delta = lambda - gamma - beta;hoekster=asin((V_r * sin(alpha - gamma))/W_a); % De hoek tussen de schijnbare wind en de ware wind.

25 if hoekster<lambdadelta = pi-hoekster-alpha-beta; % De hoek tussen de schijnbare wind en het zeil.

end

% SAIL CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES30


Gamma_0 = Newton(@(x)func_circulation(x,B,W_a,delta,l),@(x)dfunc_circulation(x,B,W_a,delta,l), 10, 1e-1, 50, 0);F_l = (pi / 4) * rho_l * W_a * l * Gamma_0;D_i = rho_l * pi * Gamma_0ˆ2 / 16;

35 delta_i = atan(Gamma_0/(4 * l * W_a));F_L = sqrt(F_lˆ2 + D_iˆ2);F_evenwijdig = cos((1 / 2) * pi - gamma - beta - delta + delta_i) * F_L;F_loodrecht = sqrt(F_Lˆ2 - F_evenwijdigˆ2);

40 % FIN CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES

Gamma_0f = Newton(@(x)func_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f),@(x)dfunc_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), 1, 1e-2, 50, 0) ;F_lf = (pi / 4) * rho_w * V_r * l_f * Gamma_0f;

45 D_i2 = rho_w * pi * Gamma_0fˆ2 / 16;Gamma_i = atan(Gamma_0f/(4 * l_f * V_r));F_Lf = sqrt(F_lfˆ2 + D_i2ˆ2);F_f_loodrecht = F_Lf * cos(gamma_i);F_f_evenwijdig = F_Lf * sin(gamma_i);

50

% FILL MATRICES FOR COUNTOUR PLOTS

if delta >= 0matrix1(b-bmin+1,a-amin+1) = V_r;

55 matrix2(b-bmin+1,a-amin+1) = F_loodrecht;matrix3(b-bmin+1,a-amin+1) = F_f_loodrecht;endmatrixdelta(b-bmin+1,a-amin+1) = delta/(2*pi)*360;

end60 end

fprintf(’\n’)tocsound(sin(0:1:10000))

65 fprintf(’\n’)

We zien hierboven dat we α en β laten lopen van minimale naar maximale waarden. Hoegroter we deze waarden kiezen, hoe langer matlab logischerwijs moet rekenen. Voor matlabrekenen we de hoeken om naar radialen. Hierna roepen we de Newton-methode aan die eennulpunt zoekt die hoort bij ons krachtenevenwicht uit hoofdstuk 2 (F//+Fdb+Ff// = 0). DezeNewton-methode geeft een drifthoek γ en een snelheid Vr terug (horende bij de juiste α en β).Hier komen we zometeen op terug. Na de Newton-methode zien we alle belangrijke formulesuit de voorgaande hoofdstukken voorbijkomen. Uiteindelijk vullen we de matrices die we eerstop 0 hadden gesteld met de waarden van Vr (matrix 1), F⊥ (matrix 2), FLf (matrix 3) ende hoek δ (matrix 4). In deze matrices staan dus de waarden van deze parameters voor alleα en β. Als laatste printen we de tijd uit die aangeeft hoe lang matlab er over heeft gedaanmet het commando ”toc”. Ook krijgen we een geluid dat aangeeft dat matlab klaar is metrekenen.

C.2 Deel 2

Hieronder staat de rest van het programma.

plotcolor = input(’ - enter plotcolor :’,’s’);fprintf(’\n’)fprintf(’Making plot... \n’)fprintf(’\n’)

5

C.2. DEEL 2 61

% CONTOUR PLOTS (TWICE)

figure(1);

10 [C1,h1] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrix1,[5 5;10 10;15 15;18 18;1919;20 20;21 21;22 22;23 23;24 24;25 25;26 26;27 27;28 28;29 29;30 30; 35 35;40 40],plotcolor);text_handle = clabel(C1,h1);

hold on15 grid on

[C2,h2] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,COM_sail*matrix2+.12*matrix3,[maxmoment maxmoment],plotcolor,’LineWidth’,4);

20 [C3,h3] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrixdelta,[0 0;5 5;10 10;1515;20 20;30 30;40 40],plotcolor,’LineStyle’,’:’,’LineWidth’,2);text_handle = clabel(C3,h3);

xlabel(’Alpha’,’FontSize’,14);25 ylabel(’Beta’,’FontSize’,14);

bla=legend(’surfer velocity’,’surfer momentum’,’sail angle of attack’);set(bla, ’FontSize’, 14)title([’@ true windspeed ’,num2str(wo),’ knots, max. mom. ’,num2str(maxmoment,’%5.1f’),’ Nm, sail area ’,num2str(sail_area,’%3.1f’), ’ m2, taper ratio ’,num2str(ratio)],’Fontsize’,14)

30

figure(2);

[C1,h1] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrix1,[5 5;10 10;15 15;18 18;1919;20 20;21 21;22 22;23 23;24 24;25 25;26 26;27 27;28 28;29 29;30 30; 35 35;40 40],plotcolor);

35 text_handle = clabel(C1,h1);

hold ongrid on

40 [C2,h2] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,COM_sail*matrix2+.12*matrix3,[maxmoment maxmoment],plotcolor,’LineWidth’,4);

[C3,h3] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrixdelta,[0 0;5 5;10 10;1515;20 20;30 30;40 40],plotcolor,’LineStyle’,’:’,’LineWidth’,2);

45 text_handle = clabel(C3,h3);

xlabel(’Alpha’,’FontSize’,14);ylabel(’Beta’,’FontSize’,14);bla=legend(’surfer velocity’,’surfer momentum’,’sail angle of attack’);

50 set(bla, ’FontSize’, 14)title([’@ true windspeed ’,num2str(wo),’ knots, max. mom. ’,num2str(maxmoment,’%5.1f’),

’ Nm, sail area ’,num2str(sail_area,’%3.1f’), ’ m2, taper ratio ’,num2str(ratio)],’Fontsize’,14)

Zoals u ziet kunnen we een plotkleur opgeven (b voor blauw, g voor groen etc.). Daarnaprint het programma ’Making plot...’ en worden de contourplots gemaakt waar het al-lemaal om draait! In principe printen we twee keer hetzelfde, maar we kunnen dus detweede contourplot naar eigen wens aanpassen. We krijgen twee α-β-plaatjes met daarinde volgende contourlijnen: snelheidslijnen (uit matrix 1), een dikke lijn die aangeeft wanneerF⊥ · arm(F⊥) + FLf · arm(FLf ) gelijk is aan het maximale moment van de surfer en hoek δ-lijnen die de loslatingshoek van de luchtstroom in het zeil aangeeft (deze mag niet groter zijndan ongeveer 15 graden). Met de snelheidslijnen en de restricties kunnen we dan bepalen watonze maximale snelheid bij de ingevoerde condities wordt. Aan het eind worden de plotjesnetjes gelabeled. Om alle waarden bij de maximale snelheid uit te printen kun je hierna noglosse waarden voor α en β invoeren:


while 1˜=0

fprintf(’ ******************************************************\n’)%fprintf(’ * *\n’)

5 fprintf(’ * more info for specific alpha & beta (0 to stop): *\n’)%fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ ******************************************************\n’)fprintf(’\n’)

10 refa = 180 - input(’ - enter true wind angle (dgr) : ’);

if refa==0fprintf(’\n’)fprintf(’Program terminated...\n’)

15 fprintf(’\n’)break

end

refb = input(’ - enter sail angle beta (dgr) : ’);20 fprintf(’\n’)

for a = refafor b = refb

fprintf(’ ******************************************************\n’)fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * maximum velocity = %5.1f m/s (%5.1f knt) *\n’,V_r,V_r/0.514444)fprintf(’ * ------------------------------------------- *\n’)

5 fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * sail/board angle = %7.2f degrees *\n’,b)fprintf(’ * apparent wind velocity = %2.0f m/s (%2.0f knt) *\n’,W_a, W_a/0.514444)fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * heading/apprnt.wind angle = %7.2f degrees *\n’,(lambda)/(2*pi)*360)

10 fprintf(’ * sail/apprnt.wind angle (delta) = %7.2f degrees *\n’,(delta)/(2*pi)*360)fprintf(’ * induced wind angle = %7.2f degrees *\n’,delta_i*360/(2*pi))fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * propellant air force = %7.2f Newton *\n’,F_evenwijdig)fprintf(’ * perpendicular air force = %7.2f Newton *\n’,F_loodrecht)

15 fprintf(’ * total lift force sail = %7.2f Newton *\n’,F_L)fprintf(’ * *\n’)fprintf(’ * total drag force board = %7.2f Newton *\n’,F_w)fprintf(’ * fin/incoming water angle (gamma) = %7.2f degrees *\n’,(gamma)/(2*pi)*360)fprintf(’ * induced fin angle = %7.2f degrees *\n’,gamma_i*360/(2*pi))

20 fprintf(’ * drag force fin = %7.2f Newton *\n’,F_f_evenwijdig)fprintf(’ * perpendicular force fin = %7.2f Newton *\n’,F_f_loodrecht)fprintf(’ * total lift force fin = %7.2f Newton *\n’,F_Lf)fprintf(’ * total momentum sail + fin = %7.2f Nm *\n’,F_f_loodrecht*.12+F_loodrecht*COM_sail)fprintf(’ * *\n’)

25 fprintf(’ ******************************************************\n\n’)

endend

end

Hierboven kun je zien dat je een losse α en β in kan voeren. Als je een 0 invoert stopt hetprogramma. Tussendoor worden alle formules uit de vorige hoofdstukken weer gebruikt enuiteindelijk krijgen we uitvoer.

C.3. SAMENGEVAT 63

C.3 Samengevat

De werking nog even kort samengevat:

We geven onze standaardvariabelen een waarde en laten de gebruiker van het model de ge-gevens invoeren (grootte van het zeil, gewicht van de surfer etc.). De eigenschappen van hetzeil en het maximale moment worden al berekend voordat matlab echt begint met rekenen.Hiervoor gebruiken we een aantal formules voor het berekenen van de breedte op h = 0 enbovenaan het zeil, de lengte van het zeil onder het planeren, de gewone lengte van het zeilen de hoogte van het elliptisch profiel waarmee we ons zeil simuleren (vleugeltheorie). Hetmaximale moment willen we later ook plotten in ons α-β-vlak zodat het zichtbaar is welkeα′s en welke β′s gecombineerd haalbaar zijn. We printen de eigenschappen van het zeil uiten matlab gaat beginnen met rekenen.

Het idee is dat matlab grafieken gaat maken. De assen van deze grafieken zijn α en β.Voor iedere α en β gebruiken we een Newton-methode om een juiste drifthoek te vinden eneen een Newton-methode om de juiste snelheid hier bij te vinden (Matlab gaat het nulpuntvinden van de voorwaartse kracht - de wrijvingskracht). Hierdoor kost het een paar minutentijd om resultaten te behalen. Uiteindelijk maken we contourplotten van snelheden, krachtenen loslatingshoeken in het α-β-vlak.

Als matlab klaar is met rekenen krijgen we dus 3 soorten lijnen. Na het bestuderen vande plot kunnen we een α- en een β-waarde invullen om allerlei eigenschappen te verkijgendie bij deze waardes horen (We kunnen het punt van de maximale snelheid invullen, maarook een willekeurig ander punt op de grafiek om te kijken wat er gebeurt). Eigenschappenzijn bijvoorbeeld windhoeken, drifthoeken, wrijvingskrachten, loslatingshoeken, liftkrachtenen momenten. Vanaf de volgende pagina’s is de rest van de matlabcode te zien.


C.4 Newton 1

function r = newton(fun, funder, xinit, tol, nmax, verbose)

% newton Uses Newton’s method to find a root% of the equation fun(x) = 0

5 % starting at xinit as an initial approximation%% Input: fun = the function whose zero we are searching% funder = the derivative of the function fun% xinit = the value from which we start the search

10 % tol = x tolerance% nmax = maximum number of iterations% verbose = 1 in case all iterations are needed,% 0 otherwise%

15 % Output: r = the root of fun(x) = 0 with the desired tolerance

if tol < 3*eps % The tolerance is too smallwarning(sprintf(’the tolerance is too small\n’));return;

20 end

if verbose == 1 % Printing the headingsfprintf([’\niters x x-xold’ ...

’ log_10(|x-xold|)\n\n’]);25 end

% The main part of the program starts here

xold = xinit;30

for i = 1:nmaxfx = feval(fun,xold); % fx = fun(xold)dfdx = feval(funder,xold); % dfdx = fun’(xold)

35 x = xold - fx/dfdx; % Main step in Newton’s method

if verbose == 1 % Printing all iterationsfprintf(’%3d %18.14f %18.14f %10.5f\n’, ...

i, x, x-xold,log(abs(x-xold))/log(10.) );40 end

if abs(x-xold) < tolr = x; return; % We found the root

end45

xold = x;

end

50 %warning(sprintf(’root not found within tol after %d steps\n’,i));r=0;

C.5. NEWTON 2 65

C.5 Newton 2

function [value1,value2] = newton2(fun, funder, xinit, tol, nmax, verbose)

% newton Uses Newton’s method to find a root% of the equation fun(x) = 0

5 % starting at xinit as an initial approximation%% Input: fun = the function whose zero we are searching% funder = the derivative of the function fun% xinit = the value from which we start the search

10 % tol = x tolerance% nmax = maximum number of iterations% verbose = 1 in case all iterations are needed,% 0 otherwise%

15 % Output: r = the root of fun(x) = 0 with the desired tolerance

if tol < 3*eps % The tolerance is too smallwarning(sprintf(’the tolerance is too small\n’));return;

20 end

if verbose == 1 % Printing the headingsfprintf([’\niters x x-xold’ ...

’ log_10(|x-xold|)\n\n’]);25 end

% The main part of the program starts here

xold = xinit;30

for i = 1:nmax[fx,fx2] = feval(fun,xold); % fx = fun(xold)dfdx = feval(funder,xold); % dfdx = fun’(xold)

35 x = xold - fx/dfdx; % Main step in Newton’s method

if verbose == 1 % Printing all iterationsfprintf(’%3d %18.14f %18.14f %10.5f\n’, ...

i, x, x-xold,log(abs(x-xold))/log(10.) );40 end

if abs(x-xold) < tol || abs(fx) < tolvalue1 = x;value2 = fx2;

45 % fprintf(’******** i = %6d ********\n’,i)return; % We found the root

end

xold = x;50

end

%warning(sprintf(’root not found within tol after %d steps\n’,i));value1=0;

55 value2=fx2;


C.6 Momentum

function [resulting_momentum,V_r] = func_momentum(g,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment)

% PARAMETERS:

5 rho_l = 1.184; % Dichtheid lucht.rho_w = 1000; % Dichtheid water.mu = 0.001003; % Dynamische viscositeit van water.knoop = 0.51444; % 1 knoop = 0.51444 m/s.

10 A_b = 1*.6; % Wrijvingsoppervlak Surfboard.l_b = 1; % Lengte board.

l_f = 0.28; % Lengte van de vin.B_f = 0.15; % Gemiddelde breedte van de vin.

15

W_o = wo * knoop; % Originele windsnelheid.

alpha = (a / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de originele windsnelheid en de plank.beta = (b / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de plank en het zeil.

20 gamma = (g / 360) * 2 * pi; % Drifthoek.

V_r = 1000;

V_rhulp = Newton(@(x)func_speed(x,a,b,wo,g,COM_sail,sail_area,ratio,l,B),25 @(x)dfunc_speed(x,a,b,wo,g,COM_sail,sail_area,ratio,l,B), 30, 1e-1, 50, 0);

if (imag(V_rhulp) == 0 && V_rhulp ˜= 0 )V_r = V_rhulp;end

30 if V_r==1000%warning(sprintf(’\n No maximum velocity found for beta = %2d degrees:%V_r set to zero.. \n’,b));

V_r=0;resulting_momentum = 0;

35

else

% DRAG BOARD

40 C_d = 0.074 * ((rho_w * l_b * V_r) / mu)ˆ(-(1/5));F_w = (1 / 2) * rho_w * C_d * A_b * V_rˆ2;

% APPARENT WIND SPEED AND ANGLES

45 W_a = sqrt(W_oˆ2 + V_rˆ2 - 2 * W_o * V_r * cos(alpha - gamma));lambda = asin((W_o * sin(alpha - gamma))/W_a);delta = lambda - gamma - beta;

hoekster=asin((V_r * sin(alpha - gamma))/W_a); %Hoek schijnbare wind, ware wind50 if hoekster<lambda

delta = pi-hoekster-alpha-beta; % Hoek schijnbare wind en zeilend

% SAIL CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES55

Gamma_0 = Newton(@(x)func_circulation(x,B,W_a,delta,l),@(x)dfunc_circulation(x,B,W_a,delta,l), 10, 1e-1, 50, 0);

F_l = (pi / 4) * rho_l * W_a * l * Gamma_0;60

D_i = rho_l * pi * Gamma_0ˆ2 / 16;

delta_i = atan(Gamma_0/(4 * l * W_a));

C.7. AFGELEIDE MOMENTUM 67

65 F_L = sqrt(F_lˆ2 + D_iˆ2);

F_evenwijdig = cos((1 / 2) * pi - gamma - beta - delta + delta_i) * F_L;

F_loodrecht = sqrt(F_Lˆ2 - F_evenwijdigˆ2);70

% FIN CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES

Gamma_0f = Newton(@(x)func_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f),@(x)dfunc_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), 1, 1e-3, 50, 0) ;

75

F_lf = (pi / 4) * rho_w * V_r * l_f * Gamma_0f;

D_i2 = rho_w * pi * Gamma_0fˆ2 / 16;

80 gamma_i = atan(Gamma_0f/(4 * l_f * V_r));

F_Lf = sqrt(F_lfˆ2 + D_i2ˆ2);

F_f_loodrecht = F_Lf * cos(gamma_i);85

F_f_evenwijdig = F_Lf * sin(gamma_i);

resulting_momentum = F_f_loodrecht-F_loodrecht;

90 end

C.7 Afgeleide momentum

function dfunc_value = dfunc_momentum(r,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment)

[value1,bla]=func_momentum(r+0.00001,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment);[value2,bla]=func_momentum(r,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment);

5

dfunc_value = (value1-value2)/0.00001;


C.8 Speed

function func_value = func_speed(V_r,getal1,getal2,getal3,getal4,COM_sail,sail_area,ratio,l,B)

% PARAMETERS:rho_l = 1.184; % Dichtheid lucht.

5 rho_w = 1000; % Dichtheid water.mu = 0.001003; % Dynamische viscositeit van water.knoop = 0.51444; % 1 knoop = 0.51444 m/s.

A_b = 1*.6; % Wrijvingsoppervlak Surfboard.10 l_b = 1; % Lengte board.

l_f = 0.28; % Lengte van de vin.B_f = 0.15; % Gemiddelde breedte van de vin.

15 W_o = getal3 * knoop; % Originele windsnelheid.

alpha = (getal1 / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de originele windsnelheid en de plank.beta = (getal2 / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de plank en het zeil.gamma = (getal4 / 360) * 2 * pi; % Drifthoek.

20

% WEERSTAND PLANK:C_d = 0.074 * ((rho_w * l_b * V_r) / mu)ˆ(-(1/5));F_w = (1 / 2) * rho_w * C_d * A_b * V_rˆ2; % De wrijvingskracht.

25 % HOEKEN:W_a = sqrt(W_oˆ2 + V_rˆ2 - 2 * W_o * V_r * cos(alpha - gamma)); % De schijnbare wind.lambda = asin((W_o * sin(alpha - gamma))/W_a); % De hoek tussen de schijnbare wind en de snelheidsrichting.delta = lambda - gamma - beta; % De hoek tussen de schijnbare wind en het zeil.hoekster=asin((V_r * sin(alpha - gamma))/W_a); % De hoek tussen de schijnbare wind en de ware wind.

30

if hoekster < lambdadelta = pi-hoekster-alpha-beta; % De hoek tussen de schijnbare wind en het zeil.

end

35 % KRACHTEN ZEIL:Gamma_0 = Newton(@(x)func_circulation(x,B,W_a,delta,l), @(x)dfunc_circulation(x,B,W_a,delta,l), 10, 1e-1, 50, 0);F_l = (pi / 4) * rho_l * W_a * l * Gamma_0;D_i = rho_l * pi * Gamma_0ˆ2 / 16;delta_i = atan(Gamma_0/(4 * l * W_a));

40 F_L = sqrt(F_lˆ2 + D_iˆ2);F_evenwijdig = cos((1 / 2) * pi - gamma - beta - delta + delta_i) * F_L;F_loodrecht = sqrt(F_Lˆ2 - F_evenwijdigˆ2);

% KRACHTEN FIN:45 Gamma_0f = Newton(@(x)func_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), @(x)dfunc_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), 1, 1e-2, 50, 0);

F_lf = (pi / 4) * rho_w * V_r * l_f * Gamma_0f;D_i2 = rho_w * pi * Gamma_0fˆ2 / 16;gamma_i = atan(Gamma_0f/(4 * l_f * V_r));F_Lf = sqrt(F_lfˆ2 + D_i2ˆ2);

50 F_f_evenwijdig = F_Lf * sin(gamma_i);F_f_loodrecht = F_Lf * cos(gamma_i);

% UITKOMST FUNCTIE:if delta-delta_i >= 0

55 func_value = F_evenwijdig - F_w - F_f_evenwijdig;else

func_value =-F_evenwijdig - F_w - F_f_evenwijdig;end

60

C.9. AFGELEIDE SPEED 69

C.9 Afgeleide Speed

function dfunc_value = dfunc_speed(r,a,b,c,d,COM_sail,sail_area,ratio,l,B)dfunc_value = (func_speed(r+0.00001,a,b,c,d,COM_sail,sail_area,ratio,l,B)-func_speed(r,a,b,c,d,COM_sail,sail_area,ratio,l,B))/0.00001;

C.10 Circulation

function func_value = func_circulation(waardegamma0,B,Wa,delta,l)

func_value=waardegamma0-pi*B*Wa*sin(delta-atan(waardegamma0/(4*l*Wa)));

C.11 Afgeleide circulation

function dfunc_value = dfunc_circulation(waardegamma0,B,Wa,delta,l)

dfunc_value = (func_circulation(waardegamma0+0.00001,B,Wa,delta,l)-func_circulation(waardegamma0,B,Wa,delta,l))/0.00001;

Bibliografie

[1] Kunoth A., Schlichtenmayer M., Schneider C. Speed windsurfing: modeling and numerics,International journal of numerical analysis and modeling, volume 4, number 3-4, pages548-558: 2007.

[2] http://www.50-knots.com

[3] http://www.math.rug.nl/∼veldman/Colleges/stromingsleer/Stromingsleer.pdf

[4] http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/drageq.html

[5] Holthuijsen, L.H., Waves in oceanic and coastal waters, Cambridge University Press,Cambridge, 2007

[6] http://www.mauisails.com

[7] Richard Von Mises, Theory of flight, Peter Smith Publisher, Incorporated, 1979

[8] Louis Melville Milne-Thomson, Theoretical Aerodynamics, Dover publications Inc, 1973

[9] David W. Taylor, Naval hydrodynamics, United States Office of Naval Research, 1976

[10] Czeslaw A. Marchaj, Aero-hydrodynamics of sailing, Tiller, 2001

[11] Odd M. Faltinsen, Hydrodynamics of high-speed marine vehicles, Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2005

[12] Piere Gutelle, Design of sailing yachts, Warsash Publishing, 1979

71

Windsurfen@speed - University of Groningenveldman/Scripties/TeVelde-BachelorTechWisk.pdf · - De...

Documents

Transcript of Windsurfen@speed - University of Groningenveldman/Scripties/TeVelde-BachelorTechWisk.pdf · - De...