Wetenschap & Onderwijs · puin op asteroïde De vrouw eist, de man negeert, maar waarom? School is...
1
Wetenschap & Onderwijs nrc handelsblad adres Redactie Wetenschappen Postbus 8987 3009 TH Rotterdam 010 4066351 [email protected] Zate rdag 21 april & Zonda g 22 april 2007 pagina 45 Trillingen sorteren het puin op asteroïde De vrouw eist, de man negeert, maar waarom? School is helemaal geen Studiehuis geworden Natuur beheren met kansberekening PAGINA 46 PAGINA 47 PAGINA 49 PAGINA 51 VO R M G E V I N G HENRY CANNON Een wiskundig genie zo- als er geen tweede is, dat is Terence Tao. Hij onder- zoekt even makkelijk de theorie van priemgetal- len als die van Fourier- analyses. Margriet van der Heijden EEN SPIJKERBROEK, grote witte gympen en een gestreept shirt. Wie toe- vallig binnen zou lopen, zou gemakke- lijk kunnen denken dat de frêle figuur voor het schoolbord in het Leidse Gorla- euslaboratorium een student was, of een promovendus misschien. Maar daarvoor drinkt de volle zaal net iets te eerbiedig zijn woorden op. De man met het jonge gezicht, prof. dr. Terence Tao van de University of California in Los Angeles, is dan ook een veel gelauwerd wiskundige. Vorig jaar ontving de 31- jarige Tao zelfs de hoogste onderschei- ding die er in zijn vak te halen valt: de Fields-medaille, ook wel de Nobelprijs van de wiskunde genoemd. Deze week is Tao in Nederland om sa- men met zijn collega, de al even jonge Britse mathematicus Ben Green, de Os- trowski-prijs in ontvangst te nemen. Die tweejaarlijkse prijs ter nagedachte- nis van de wiskundige Alexander Os- trowski (1893-1986) wordt om en om uitgereikt in Zwitserland, Denemar- ken, Israël, België en Nederland. De uit- reiking, in Leiden, valt samen met het jaarlijkse mathematisch congres van het Koninklijk Wiskundig Genoot- schap, en het lokale ontvangstcomité is danig onder de indruk van prof. dr. Tao ’s komst. “Weet je wat het is”, zegt het Nederlands jurylid van de Ostrows- kiprijs, de Leidse hoogleraar Rob Tijde- man, op samenzweerderige toon, ter- wijl Tao op de foto gaat, “in de wiskun- de zijn de kwaliteitsverschillen zo groot, en zo zichtbaar. Dat zie je toch ge- loof ik nergens anders.” Tao en Green krijgen de Ostrowskiprijs vanwege hun werk aan priemgetallen (zie kader ‘Rijen in de priem’), maar Tao ’s werk beslaat veel meer deelgebie- den van de wiskunde. De superioriteit waarmee hij zich binnen de kortste ke- ren nieuwe gebieden van de wiskunde eigen maakt, verbaast zijn collega’s. “Alsof een Britse schrijver zomaar in- eens de ultieme Russische roman schrijft ”, zo wordt dat wel gekarakteri- seerd. Vanwege het gemak waarmee Tao zich door de wiskunde beweegt én om- dat zijn genie al vroeg aan het licht kwam, wordt hij bovendien de ‘Mozart van de wiskunde’ genoemd. Maar Tao is óók een wiskundige ‘nieu- we stijl’, die als kind met getallen ken- nismaakte via Sesamstraat, die liever sa- men dan in afzondering werkt, die ideeën krijgt als hij zijn zoontje van de peuterspeelzaal ophaalt en die met de buitenwereld communiceert via een weblog. En die, ondanks een behoedza- me omgang met de pers, gelukkig toch een interview geeft aan deze krant. schoonheid We beginnen het ge- sprek met Tao’s laatste weblog. Die gaat over de beroemde violist Josh Bell, die onlangs op zijn Stradivarius in een me- trostation speelde, en daar door de ge- haaste voorbijgangers amper werd op- gemerkt. Waarom juist dit onderwerp gekozen? “Ik las erover in The Washing- ton Post. Het stuk was goed geschreven”, zegt Tao aarzelend. “En het stemde me een beetje droevig.” Droevig, omdat mensen zoveel van wat om hen heen ge- beurt missen: ze hebben het te druk, of ze herkennen de kwaliteit niet. “En nee, je kunt de lijn niet zomaar doortrekken, maar er is ook verschrik- kelijk mooie wiskunde – die je pas kunt waarderen na veel scholing. En daar deinzen de meeste mensen al helemaal voor terug.” Het ligt voor de hand te veronderstellen dat Tao zelf de schoonheid van de wis- kunde al vroeg onderkende. Toen hij nog net geen twee jaar was merkten zijn vader, een kinderarts, en zijn moeder, een wis- en natuurkundige, bij toeval dat hun zoon al woordjes kon lezen en sommetjes kon maken. Waarschijnlijk dankzij Sesamstraat, aldus zijn vader die Tao’s opvoeding in 1985 in een lang artikel beschreef. Daarin valt ook te le- zen hoe het jongetje zich vooral op het terrein van die getallen razendsnel ont- wikkelde. Op zijn zesde schreef Tao zijn eerste computerprogramma’s in Basic. Toen hij acht was volgde zijn eerste pu- blicatie, over een programma om zoge- heten volmaakte getallen te berekenen, en vlak daarna slaagde hij ook voor de toelatingsexamens voor een universi- taire studie wiskunde. “Maar het grappige is: als kind hield ik om heel andere redenen van wiskunde dan ik nu doe. Ik hield van patronen en ik vond het prettig dat er heldere regels waren en dat je altijd wist wanneer iets goed of fout was. Ik hield van die orde. Mijn slechtste vak op school was Engels waarin juist open vragen werden ge- steld. Zoals: schrijf een opstel over een zelf gekozen onderwerp. Sommige mensen zijn daar goed in, maar ik wilde graag precieze aanwijzingen hebben.” Het beeld dat hij destijds van een wis- kundige had, paste daarbij. “Als kind dacht ik dat wiskundige zijn betekende dat mensen je puzzels gaven om op te lossen. Pas toen ik ging promoveren ontdekte ik dat je zelf problemen moet bedenken. En dat die problemen hun waarde aan zichzelf ontlenen en niet aan het feit dat iemand ze aan je geeft. En ik ontdekte ook dat al die getallen en vergelijkingen echt iets beschreven. Het ontwerp van de circuits in jouw opna- meapparaat bijvoorbeeld, die ruis weg filteren zodat de stemmen over blijven: dat is een wiskundig probleem dat ruim dertig jaar geleden is opgelost. Maar ik had me al die jaren niet gerealiseerd dat wiskunde niet zomaar een spelletje is, maar dat je het ook kan gebruiken.” schok Op zijn zestiende begon Tao aan zijn promotieonderzoek. Het bete- kende dat hij moest emigreren: van zijn geboorteplaats Adelaide in Australië naar het prestigieuze Princeton Institu- te for Advanced Studies in de Verenigde Staten. Zijn vader kwam de eerste drie weken mee om hem ‘een paar basale za- ken’ te leren. “Zoals hoe je een bankre- kening opent en hoe je de was doet. Maar goed, dat moet iedereen leren”, zegt hij schouderophalend. Het belangrijkste verschil zat erin dat niet langer sprake was van huiswerk en examens. In Princeton werd van de pro- movendi verwacht dat ze zelfstandig studeerden – en Tao was verrast hoe hard ze moesten werken. Drie weken van te voren in de boeken duiken bleek onvoldoende voorbereiding op het mondelinge voortgangsexamen halver- wege het promotieonderzoek, en dat was een schok. “Het maakte me duide- lijk hoeveel ik nog moest leren.” Anders geformuleerd: “Als je aan een promotieonderzoek begint denk je dat je alles weet, en als je klaar bent, denk je dat je niets weet.” Het maakt beschei- den, zegt Tao. “En dat doet de wiskunde steeds. Er zijn zo ontzettend veel pro- blemen die niemand kan oplossen, hoe slim sommige wiskundigen ook zijn.” Er is ook geen weg of leerroute aan te ge- ven die het vinden van oplossingen ga- randeert. “Het is een kwestie van jaren en jaren hard werken, van geduld en van een beetje intelligentie, maar dat is niet eens het belangrijkste.” Is talent dan geen belangrijke voor- waarde? “Ja en nee”, vindt Tao. “Het is zoals in de muziek. Je kunt een gewel- dig talent hebben, maar iemand met een gemiddeld talent die tien jaar lang dag in dag uit keihard oefent kan toch net zo ver, of verder komen.” bang Tao ’s vader is wel eens bang ge- weest dat zijn zoon, ondanks zijn ta- lent, de wetenschap de rug zou toeke- ren. Juist daarom probeerden hij en zijn vrouw, zo schreef hij in 1985, om de jon- gen niet op te jagen, maar om hem een brede opleiding te geven. Ook al omdat zij dachten dat, voor wie echt de top wil bereiken, een brede basis belangrijker is dan verregaande specialisatie. In het egalitaire Australië waren des- tijds geen speciale scholen voor getalen- teerde kinderen, en dat was misschien maar goed ook, zo schreef zijn vader verder. Daardoor konden zij in overleg met docenten een programma maken dat helemaal op Tao toegesneden was. Al naar gelang zijn vorderingen, volgde Tao sommige vakken op de basisschool, andere op de middelbare school of, la- ter, op de universiteit. Zodat zijn zoon, aldus vader Tao, hopelijk niet op zijn ze- ventiende de wetenschap zou verruilen voor bijvoorbeeld rockmuziek. Tao moet een beetje lachen als hij met die opmerking geconfronteerd wordt. En eens even denken, ja, natuurlijk heeft hij wel eens getwijfeld. “Toen ik voor het eerst hoorde dat wiskundigen hun eigen problemen moeten beden- ken en zelf met ideeën moeten komen, kon niemand me vertellen hoe dat moest. Dat maakte me bang. En veel la- ter, tijdens de internetboom eind jaren negentig, hadden we het er met colle- ga’s wel eens over of ook wij niet ons ei- gen bedrijfje moesten beginnen.” Maar zulke twijfels waren kortstondig. Als een brede wiskundige, zo ken- schetst hij zichzelf nu. “Veel mensen be- perken zich tot één gebied van de wis- kunde dat ze dan heel goed begrijpen. Maar ik – ik weet ’t niet – ik word ruste- loos als ik te lang aan hetzelfde werk. En als het dan niet interessanter wordt, maar alleen maar diepgravender en diepgravender. Dan wil ik naar een an- der onderwerp overstappen, of met ie- mand anders samenwerken die aan een verwant onderwerp werkt.” Zoals een vogel, die over het landschap van de wiskunde scheert? “Ja, ja, ik ge- bruik vaak een zelfde soort analogie. Kijk, wiskunde lijkt op het zoeken van een weg van A naar B. Dat kun je doen vanaf de grond, door je gestaag een weg door het struikgewas te banen. Maar je kunt ook, al vliegend boven het land- schap, een weg proberen te ontwaren. “Je hebt beide manieren nodig”, zegt Tao. Als je alleen maar het grote over- zicht hebt, mis je details die cruciaal kunnen zijn. Maar wie zich verliest in details, ziet niet meer waar hij heen gaat. “En daarom houd ik ervan om sa- men te werken. Dan kan de een het overzicht houden, terwijl de ander de details onderzoekt.” Zo ontstond, bijna per ongeluk zegt Tao, ook de samenwerking met Ben Green. Hij besprak met hem een pro- bleem uit de harmonische analyse, toen ze zich realiseerden dat deze wiskunde gebruikt kon worden voor het later in- derdaad door hen bewezen vermoeden rond priemgetallen. Voor een onder- werp dus uit de getaltheorie, de leer waarmee de wiskunde ooit begon. Het is het vakgebied waar Tao als kind een zwak voor had, maar dat hij later ver- liet, zoals hij terloops zegt, ‘omdat de openstaande problemen in de getalthe- orie zo ontzettend moeilijk bleken’. De lezing die Tao in het Gorlaeuslab gaf, betrof resultaten uit een andere samen- werking: met Emmanuel Condès. Put- tend uit de harmonische analyse von- den zij een methode om met slimme Fourieranalyses uit wat in feite te wei- nig meetpunten lijken, toch de oor- spronkelijke functie te reconstrueren. Werk dat het bijvoorbeeld mogelijk kan maken om snel filmpjes op te nemen in een MRI-scanner in een ziekenhuis. En werk waarvan Tao en Condès telkens even de voortgang bespraken wanneer ze hun zoontjes, die op dezelfde peuter- speelzaal zaten, hadden afgezet of op- gehaald. toonladders Het is mooi om te zien hoe Tao telkens als hij zulk werk be- schrijft, een verband met de meer alle- daagse wereld legt. Door een toepassing te noemen, of door naar beelden te zoe- ken: in het gesprek draaien naalden en sterrenkijkers rond, worden diamanten verstuurd en kolkt water in afvoerput- jes. Grappig genoeg, zegt hij, was ik als kind juist slecht in het visualiseren van dingen. Hij vertelt dat hij bijvoorbeeld niet een bepaalde vorm in gedachten kon laten wentelen of transformeren. “Maar als je tegenwoordig in de wis- kunde een probleem wilt oplossen is het niet genoeg om allerlei formules op te schrijven. Je moet er een soort mentaal model bij bedenken. Je er een beeld bij vormen – en dat is het moeilijkst.” Met een beetje verlegen lach vertelt hij hoe zijn vader hem een keer ongemerkt gadesloeg terwijl hij, een kleine jongen nog, heen en weer zat te schudden. “Omdat ik wilde voelen hoe het is om een golf te zijn.” In een meer volwassen beeldspraak kun je zo’n mentaal model met het bureau- blad van een computer vergelijken, zegt Tao, en met de icoontjes en mappen en folders daarop. Die je in staat stellen om te werken zonder dat je je om de techni- sche details van de stromen nullen en enen hoeft te bekommeren. Met een in- terface dus? Ja, lacht hij: “Het interface van de wiskunde zelf is eigenlijk waar- deloos, dus moeten wiskundigen steeds weer zelf iets beters bedenken.” Soms levert dat prachtige beeldspraak op die de essentie van een wiskundig probleem wonderbaarlijk goed vangt, vindt Tao. En wiskundigen zouden juist die beelden meer moeten uitdragen, denkt hij. “Want dat daar vervolgens in- gewikkelde formules bij horen geloven mensen wel. Net zoals iedereen wel wil aannemen dat een pianist dagelijks toonladders moet oefenen.” Bij al die verwijzingen naar de muziek is het goed om nog te preciseren dat de schoonheid van muziek en van wiskun- de niet zomaar te vergelijken zijn. “De schoonheid van muziek schuilt toch vooral in de emoties die zij kan oproe- pen. De wiskunde is daarbij vergeleken eerder ‘elegant’: probeert met minimale middelen zoveel mogelijk te bereiken. De mooiste resultaten in de wiskunde bestaan daarom soms uit het vinden van een nieuw en veel eenvoudiger bewijs voor een oud resultaat. ” Tot slot: wiskundig genie Terence Tao houdt veel, maar niet alleen van klassie- ke muziek. Hij houdt ook van sommige makkelijk toegankelijke popmuziek, want: “niet alles in het leven hoeft een intellectuele uitdaging te zijn.” De wiskunde streeft elegantie na, maar niet iedereen herkent die De Mozart van de wiskunde · Terence Tao, nu wel in pak vanwege de prijsuitreiking, in Leiden. foto freddy rikken Rijen in de priem Het werk waarvoor Terence Tao en Ben Green vorige week de Ostrows- kiprijs kregen, betreft priemgetallen. Deze getallen, die alleen deelbaar zijn door een en door zichzelf, staan al meer dan tweeduizend jaar in de belangstelling. Rond 300 voor Chris- tus liet de Griekse wiskundige Eucli- des met een elegant en eenvoudig be- wijs zien dat er oneindig veel priem- getallen bestaan. Wie vervolgens de priemgetallen pro- beert langs te lopen, van klein naar steeds groter, ziet dat ze wel steeds schaarser worden. In 1793 onder- zocht de toen 15-jarige Karl Friedrich Gauss welk verloop de telfunctie heeft die aangeeft hoe snel (of liever: langzaam) priemgetallen in aantal toenemen. Hij vermoedde dat de dichtheid van de priemgetallen rond een punt x omgekeerd evenredig is met de natuurlijke logaritme van x. De vraag die Green en Tao beant- woord hebben, werd eeuwen geleden al geformuleerd en betreft reken- kundige rijen: rijen van priemgetal- len die steeds een vast getal van el- kaar verschillen. De getallen 3,5,7 vormen bijvoorbeeld een rij van leng- te drie (verschil twee). De rij 5,17,29, 41,53 heeft lengte vijf (verschil 12). De langste tot dusver gevonden rij bevat 22 priemgetallen. De vraag luidt nu: zijn er nog langere rijen? En zijn er zelfs rekenkundige rijen van elke wil- lekeurige (eindige) lengte? De conventionele manier om dit pro- bleem te benaderen was door te pro- beren priemgetallen zo goed moge- lijk te doorgronden, vertelt Tao. Veel kennis over de priemgetallen zelf zou dan, zo was de hoop, ook tot in- zicht in de rijen leiden. Maar de filosofie van Tao en Green – eigenlijk die van Ben Green, bena- drukt Tao – was juist om niet te kij- ken naar de priemgetallen zelf, maar naar de verzameling die ze samen vormen. “En als je dan eerst probeert te begrijpen welke verzamelingen van getallen rekenkundige rijen be- vatten, kun je daarna bekijken of er ook verzamelingen met priemgetal- len bestaan die zulke rijen bevatten.” Het bewijs bestond er vervolgens uit om een verzameling te maken, waar- in de priemgetallen niet zo schaars zijn als in de verzameling van alle na- tuurlijke getallen (1,2,3,4,5,6, ...). En er bestaat inderdaad zo’n verzame- ling, zo toonden Green en Tao aan, waarin dan rekenkundige rijen van elke willekeurige lengte voorkomen. De Balans is het belangrijkst De ouders van Terence Tao, die in 1972 uit Hong Kong naar het Austra- lische Adelaide vertrokken gaven alle drie hun zoons een scholing op maat. De middelste is autistisch en een be- genadigd pianist, die ook de ingewik- keldste concerten naspeelt zodra hij ze één keer gehoord heeft. De jongste studeerde, op latere leeftijd dan Te- rence, wiskunde en economie en werkt bij Google, waar hij onder meer algoritmes ontwikkelt. Voor Terence, de oudste, werd steeds een programma opgesteld in overleg met docenten en hoogleraren van de universiteit. In het Australië van toen waren er geen scholen voor hoogbe- gaafden, zoals die er bijvoorbeeld in de Verenigde Staten wel zijn. “Ik denk wel dat het goed is dat zulke scholen bestaan. En dat het goed zou zijn als elk kind in elk geval een deel van de tijd kan bezig zijn met datge- ne waar hij of zij goed in is. Maar zul- ke dingen moeten nooit te extreem worden, balans is belangrijker”, vindt Tao. Zijn vrouw, een ingenieur bij NASA en hij, hebben juist daarom besloten hun eigen zoontje – ook al met veel talent voor wiskunde – naar een gewone school te sturen. “Omdat het ontwikkelen van sociale vaardig- heden nu belangrijker voor hem is.” Wat in elk geval verkeerd is, zegt Tao, “is het nastreven van kunstmatige doelen, zoals de hoogste score op een toets bereiken of de jongste zijn die voor een bepaald examen slaagt.” En de praktijk geeft hem daarin gelijk, hoe gering de statistiek ook is. Jay Luo, die in 1982 al op zijn twaalfde in de wiskunde afstudeerde, heeft daar- na in de wiskunde nooit meer echt iets bereikt. Terence Tao ‘Het is vooral hard werken’ · Werk van de Pools-Nederlandse kun- stenaar Eliza Kopec. Het schilderij (150x150 cm) is een matrix van de getal- len 1 tot 10.000 waarin alle priemgetallen worden vertegenwoordigd door donkere vierkantjes. De witte verticale banen zijn het logische gevolg van het ontbreken van even priemgetallen m.u.v. het getal 2. foto jØrgen krielen
Transcript of Wetenschap & Onderwijs · puin op asteroïde De vrouw eist, de man negeert, maar waarom? School is...
Wetenschap & Onderwijsnrc handelsblad
adresRe d a c t i e
We t e n s ch a p p e nPostbus 8987
3009 TH Rotterdam010 4066351
w e t e n s ch a p @ n r c . n l
Zate rdag21 a pri l
& Zonda g22 a pri l
2007pag i na 45
Trillingen sorteren hetpuin op asteroïde
De vrouw eist, de mannegeert, maar waarom?
School is helemaal geenStudiehuis geworden
Natuur beheren metkansberekening
P A G I N A 4 6 P A G I N A 4 7 P A G I N A 4 9 P A G I N A 5 1VO R M G E V I N G
HENRY C ANNON
Een wiskundig genie zo-
als er geen tweede is, dat
is Terence Tao. Hij onder-
zoekt even makkelijk de
theorie van priemgetal-
len als die van Fourier-
a n a l y s e s.
Margriet van der Heijden
EEN SPIJKERBROEK, grote wittegympen en een gestreept shirt. Wie toe-vallig binnen zou lopen, zou gemakke-lijk kunnen denken dat de frêle figuurvoor het schoolbord in het Leidse Gorla-euslaboratorium een student was, ofeen promovendus misschien. Maardaarvoor drinkt de volle zaal net iets teeerbiedig zijn woorden op. De man methet jonge gezicht, prof. dr. Terence Taovan de University of California in LosAngeles, is dan ook een veel gelauwerdwiskundige. Vorig jaar ontving de 31-jarige Tao zelfs de hoogste onderschei-ding die er in zijn vak te halen valt: deFields-medaille, ook wel de Nobelprijsvan de wiskunde genoemd.Deze week is Tao in Nederland om sa-men met zijn collega, de al even jongeBritse mathematicus Ben Green, de Os-trowski-prijs in ontvangst te nemen.Die tweejaarlijkse prijs ter nagedachte-nis van de wiskundige Alexander Os-trowski (1893-1986) wordt om en omuitgereikt in Zwitserland, Denemar-ken, Israël, België en Nederland. De uit-reiking, in Leiden, valt samen met hetjaarlijkse mathematisch congres vanhet Koninklijk Wiskundig Genoot-schap, en het lokale ontvangstcomité isdanig onder de indruk van prof. dr.Ta o ’s komst. “Weet je wat het is”, zegthet Nederlands jurylid van de Ostrows-kiprijs, de Leidse hoogleraar Rob Tijde-man, op samenzweerderige toon, ter-wijl Tao op de foto gaat, “in de wiskun-de zijn de kwaliteitsverschillen zogroot, en zo zichtbaar. Dat zie je toch ge-loof ik nergens anders.”Tao en Green krijgen de Ostrowskiprijsvanwege hun werk aan priemgetallen(zie kader ‘Rijen in de priem’), maarTa o ’s werk beslaat veel meer deelgebie-den van de wiskunde. De superioriteitwaarmee hij zich binnen de kortste ke-ren nieuwe gebieden van de wiskundeeigen maakt, verbaast zijn collega’s.“Alsof een Britse schrijver zomaar in-eens de ultieme Russische romans ch r ij f t ”, zo wordt dat wel gekarakteri-seerd. Vanwege het gemak waarmee Taozich door de wiskunde beweegt én om-dat zijn genie al vroeg aan het lichtkwam, wordt hij bovendien de ‘Mozartvan de wiskunde’ genoemd.Maar Tao is óók een wiskundige ‘nieu-we stijl’, die als kind met getallen ken-nismaakte via Sesamstraat, die liever sa-men dan in afzondering werkt, dieideeën krijgt als hij zijn zoontje van depeuterspeelzaal ophaalt en die met debuitenwereld communiceert via eenweblog. En die, ondanks een behoedza-me omgang met de pers, gelukkig tocheen interview geeft aan deze krant.
schoonheid We beginnen het ge-sprek met Tao’s laatste weblog. Die gaatover de beroemde violist Josh Bell, dieonlangs op zijn Stradivarius in een me-trostation speelde, en daar door de ge-haaste voorbijgangers amper werd op-gemerkt. Waarom juist dit onderwerpgekozen? “Ik las erover in The Washing-ton Post. Het stuk was goed geschreven”,zegt Tao aarzelend. “En het stemde meeen beetje droevig.” Droevig, omdatmensen zoveel van wat om hen heen ge-beurt missen: ze hebben het te druk, ofze herkennen de kwaliteit niet.“En nee, je kunt de lijn niet zomaar
doortrekken, maar er is ook verschrik-kelijk mooie wiskunde – die je pas kuntwaarderen na veel scholing. En daardeinzen de meeste mensen al helemaalvoor terug.”Het ligt voor de hand te veronderstellendat Tao zelf de schoonheid van de wis-kunde al vroeg onderkende. Toen hijnog net geen twee jaar was merkten zijnvader, een kinderarts, en zijn moeder,een wis- en natuurkundige, bij toevaldat hun zoon al woordjes kon lezen ensommetjes kon maken. Waarschijnlijkdankzij Sesamstraat, aldus zijn vaderdie Tao’s opvoeding in 1985 in een langartikel beschreef. Daarin valt ook te le-zen hoe het jongetje zich vooral op hetterrein van die getallen razendsnel ont-
wikkelde. Op zijn zesde schreef Tao zijneerste computerprogramma’s in Basic.Toen hij acht was volgde zijn eerste pu-blicatie, over een programma om zoge-heten volmaakte getallen te berekenen,en vlak daarna slaagde hij ook voor detoelatingsexamens voor een universi-taire studie wiskunde.“Maar het grappige is: als kind hield ikom heel andere redenen van wiskundedan ik nu doe. Ik hield van patronen enik vond het prettig dat er heldere regelswaren en dat je altijd wist wanneer ietsgoed of fout was. Ik hield van die orde.Mijn slechtste vak op school was Engelswaarin juist open vragen werden ge-steld. Zoals: schrijf een opstel over eenzelf gekozen onderwerp. Sommigemensen zijn daar goed in, maar ik wildegraag precieze aanwijzingen hebben.”Het beeld dat hij destijds van een wis-kundige had, paste daarbij. “Als kinddacht ik dat wiskundige zijn betekendedat mensen je puzzels gaven om op telossen. Pas toen ik ging promoverenontdekte ik dat je zelf problemen moetbedenken. En dat die problemen hunwaarde aan zichzelf ontlenen en nietaan het feit dat iemand ze aan je geeft.En ik ontdekte ook dat al die getallen envergelijkingen echt iets beschreven. Hetontwerp van de circuits in jouw opna-meapparaat bijvoorbeeld, die ruis wegfilteren zodat de stemmen over blijven:dat is een wiskundig probleem dat ruimdertig jaar geleden is opgelost. Maar ikhad me al die jaren niet gerealiseerd datwiskunde niet zomaar een spelletje is,maar dat je het ook kan gebruiken.”
schok Op zijn zestiende begon Taoaan zijn promotieonderzoek. Het bete-kende dat hij moest emigreren: van zijngeboorteplaats Adelaide in Australiënaar het prestigieuze Princeton Institu-te for Advanced Studies in de VerenigdeStaten. Zijn vader kwam de eerste drieweken mee om hem ‘een paar basale za-ken’ te leren. “Zoals hoe je een bankre-kening opent en hoe je de was doet.Maar goed, dat moet iedereen leren”,zegt hij schouderophalend.Het belangrijkste verschil zat erin datniet langer sprake was van huiswerk enexamens. In Princeton werd van de pro-movendi verwacht dat ze zelfstandigstudeerden – en Tao was verrast hoe
hard ze moesten werken. Drie wekenvan te voren in de boeken duiken bleekonvoldoende voorbereiding op hetmondelinge voortgangsexamen halver-wege het promotieonderzoek, en datwas een schok. “Het maakte me duide-lijk hoeveel ik nog moest leren.”Anders geformuleerd: “Als je aan eenpromotieonderzoek begint denk je datje alles weet, en als je klaar bent, denk jedat je niets weet.” Het maakt beschei-den, zegt Tao. “En dat doet de wiskundesteeds. Er zijn zo ontzettend veel pro-
blemen die niemand kan oplossen, hoeslim sommige wiskundigen ook zijn.”Er is ook geen weg of leerroute aan te ge-ven die het vinden van oplossingen ga-randeert. “Het is een kwestie van jarenen jaren hard werken, van geduld envan een beetje intelligentie, maar dat isniet eens het belangrijkste.”Is talent dan geen belangrijke voor-waarde? “Ja en nee”, vindt Tao. “Het iszoals in de muziek. Je kunt een gewel-dig talent hebben, maar iemand meteen gemiddeld talent die tien jaar langdag in dag uit keihard oefent kan tochnet zo ver, of verder komen.”
bang Ta o ’s vader is wel eens bang ge-weest dat zijn zoon, ondanks zijn ta-lent, de wetenschap de rug zou toeke-ren. Juist daarom probeerden hij en zijnvrouw, zo schreef hij in 1985, om de jon-gen niet op te jagen, maar om hem eenbrede opleiding te geven. Ook al omdatzij dachten dat, voor wie echt de top wilbereiken, een brede basis belangrijker isdan verregaande specialisatie.In het egalitaire Australië waren des-tijds geen speciale scholen voor getalen-teerde kinderen, en dat was misschienmaar goed ook, zo schreef zijn vaderverder. Daardoor konden zij in overlegmet docenten een programma makendat helemaal op Tao toegesneden was.Al naar gelang zijn vorderingen, volgdeTao sommige vakken op de basisschool,andere op de middelbare school of, la-ter, op de universiteit. Zodat zijn zoon,aldus vader Tao, hopelijk niet op zijn ze-ventiende de wetenschap zou verruilenvoor bijvoorbeeld rockmuziek.Tao moet een beetje lachen als hij metdie opmerking geconfronteerd wordt.En eens even denken, ja, natuurlijkheeft hij wel eens getwijfeld. “Toen ikvoor het eerst hoorde dat wiskundigenhun eigen problemen moeten beden-ken en zelf met ideeën moeten komen,kon niemand me vertellen hoe datmoest. Dat maakte me bang. En veel la-ter, tijdens de internetboom eind jarennegentig, hadden we het er met colle-ga’s wel eens over of ook wij niet ons ei-gen bedrijfje moesten beginnen.” Maarzulke twijfels waren kortstondig.Als een brede wiskundige, zo ken-schetst hij zichzelf nu. “Veel mensen be-perken zich tot één gebied van de wis-
kunde dat ze dan heel goed begrijpen.Maar ik – ik weet ’t niet – ik word ruste-loos als ik te lang aan hetzelfde werk. Enals het dan niet interessanter wordt,maar alleen maar diepgravender endiepgravender. Dan wil ik naar een an-der onderwerp overstappen, of met ie-mand anders samenwerken die aan eenverwant onderwerp werkt.”Zoals een vogel, die over het landschapvan de wiskunde scheert? “Ja, ja, ik ge-bruik vaak een zelfde soort analogie.Kijk, wiskunde lijkt op het zoeken vaneen weg van A naar B. Dat kun je doenvanaf de grond, door je gestaag een wegdoor het struikgewas te banen. Maar jekunt ook, al vliegend boven het land-schap, een weg proberen te ontwaren.“Je hebt beide manieren nodig”, zegtTao. Als je alleen maar het grote over-zicht hebt, mis je details die cruciaalkunnen zijn. Maar wie zich verliest indetails, ziet niet meer waar hij heengaat. “En daarom houd ik ervan om sa-men te werken. Dan kan de een hetoverzicht houden, terwijl de ander dedetails onderzoekt.”Zo ontstond, bijna per ongeluk zegt
Tao, ook de samenwerking met BenGreen. Hij besprak met hem een pro-bleem uit de harmonische analyse, toenze zich realiseerden dat deze wiskundegebruikt kon worden voor het later in-derdaad door hen bewezen vermoedenrond priemgetallen. Voor een onder-werp dus uit de getaltheorie, de leerwaarmee de wiskunde ooit begon. Hetis het vakgebied waar Tao als kind eenzwak voor had, maar dat hij later ver-liet, zoals hij terloops zegt, ‘omdat deopenstaande problemen in de getalthe-orie zo ontzettend moeilijk bleken’.De lezing die Tao in het Gorlaeuslab gaf,betrof resultaten uit een andere samen-werking: met Emmanuel Condès. Put-tend uit de harmonische analyse von-den zij een methode om met slimmeFourieranalyses uit wat in feite te wei-nig meetpunten lijken, toch de oor-spronkelijke functie te reconstrueren.Werk dat het bijvoorbeeld mogelijk kanmaken om snel filmpjes op te nemen ineen MRI-scanner in een ziekenhuis. Enwerk waarvan Tao en Condès telkenseven de voortgang bespraken wanneerze hun zoontjes, die op dezelfde peuter-speelzaal zaten, hadden afgezet of op-gehaald.
toonladders Het is mooi om te zienhoe Tao telkens als hij zulk werk be-schrijft, een verband met de meer alle-daagse wereld legt. Door een toepassingte noemen, of door naar beelden te zoe-ken: in het gesprek draaien naalden ensterrenkijkers rond, worden diamantenverstuurd en kolkt water in afvoerput-jes. Grappig genoeg, zegt hij, was ik alskind juist slecht in het visualiseren vandingen. Hij vertelt dat hij bijvoorbeeldniet een bepaalde vorm in gedachtenkon laten wentelen of transformeren.“Maar als je tegenwoordig in de wis-kunde een probleem wilt oplossen is hetniet genoeg om allerlei formules op teschrijven. Je moet er een soort mentaalmodel bij bedenken. Je er een beeld bijvormen – en dat is het moeilijkst.”Met een beetje verlegen lach vertelt hijhoe zijn vader hem een keer ongemerktgadesloeg terwijl hij, een kleine jongennog, heen en weer zat te schudden.“Omdat ik wilde voelen hoe het is omeen golf te zijn.”In een meer volwassen beeldspraak kunje zo’n mentaal model met het bureau-blad van een computer vergelijken, zegtTao, en met de icoontjes en mappen enfolders daarop. Die je in staat stellen omte werken zonder dat je je om de techni-sche details van de stromen nullen enenen hoeft te bekommeren. Met een in-terface dus? Ja, lacht hij: “Het interfacevan de wiskunde zelf is eigenlijk waar-deloos, dus moeten wiskundigen steedsweer zelf iets beters bedenken.”Soms levert dat prachtige beeldspraakop die de essentie van een wiskundigprobleem wonderbaarlijk goed vangt,vindt Tao. En wiskundigen zouden juistdie beelden meer moeten uitdragen,denkt hij. “Want dat daar vervolgens in-gewikkelde formules bij horen gelovenmensen wel. Net zoals iedereen wel wilaannemen dat een pianist dagelijkstoonladders moet oefenen.”Bij al die verwijzingen naar de muziekis het goed om nog te preciseren dat deschoonheid van muziek en van wiskun-de niet zomaar te vergelijken zijn. “Deschoonheid van muziek schuilt tochvooral in de emoties die zij kan oproe-pen. De wiskunde is daarbij vergelekeneerder ‘elegant’: probeert met minimalemiddelen zoveel mogelijk te bereiken.De mooiste resultaten in de wiskundebestaan daarom soms uit het vinden vaneen nieuw en veel eenvoudiger bewijsvoor een oud resultaat. ”Tot slot: wiskundig genie Terence Taohoudt veel, maar niet alleen van klassie-ke muziek. Hij houdt ook van sommigemakkelijk toegankelijke popmuziek,want: “niet alles in het leven hoeft eenintellectuele uitdaging te zijn.”
De wiskunde streeft elegantie na , maar niet iedereen herkent die
De Mozart van de wiskunde· Terence Tao, nu wel in pak vanwegede prijsuitreiking, in Leiden.
foto freddy rikken
Rijen in de priem
Het werk waarvoor Terence Tao enBen Green vorige week de Ostrows-kiprijs kregen, betreft priemgetallen.Deze getallen, die alleen deelbaarzijn door een en door zichzelf, staanal meer dan tweeduizend jaar in debelangstelling. Rond 300 voor Chris-tus liet de Griekse wiskundige Eucli-des met een elegant en eenvoudig be-wijs zien dat er oneindig veel priem-getallen bestaan.Wie vervolgens de priemgetallen pro-beert langs te lopen, van klein naarsteeds groter, ziet dat ze wel steedsschaarser worden. In 1793 onder-zocht de toen 15-jarige Karl FriedrichGauss welk verloop de telfunctieheeft die aangeeft hoe snel (of liever:langzaam) priemgetallen in aantaltoenemen. Hij vermoedde dat dedichtheid van de priemgetallen rondeen punt x omgekeerd evenredig ismet de natuurlijke logaritme van x.De vraag die Green en Tao beant-woord hebben, werd eeuwen geledenal geformuleerd en betreft reken-kundige rijen: rijen van priemgetal-len die steeds een vast getal van el-kaar verschillen. De getallen 3,5,7vormen bijvoorbeeld een rij van leng-te drie (verschil twee). De rij 5,17,29,41,53 heeft lengte vijf (verschil 12). De
langste tot dusver gevonden rij bevat22 priemgetallen. De vraag luidt nu:zijn er nog langere rijen? En zijn erzelfs rekenkundige rijen van elke wil-lekeurige (eindige) lengte?De conventionele manier om dit pro-bleem te benaderen was door te pro-beren priemgetallen zo goed moge-lijk te doorgronden, vertelt Tao. Veelkennis over de priemgetallen zelfzou dan, zo was de hoop, ook tot in-zicht in de rijen leiden.Maar de filosofie van Tao en Green –eigenlijk die van Ben Green, bena-drukt Tao – was juist om niet te kij-ken naar de priemgetallen zelf, maarnaar de verzameling die ze samenvormen. “En als je dan eerst probeertte begrijpen welke verzamelingenvan getallen rekenkundige rijen be-vatten, kun je daarna bekijken of erook verzamelingen met priemgetal-len bestaan die zulke rijen bevatten.”Het bewijs bestond er vervolgens uitom een verzameling te maken, waar-in de priemgetallen niet zo schaarszijn als in de verzameling van alle na-tuurlijke getallen (1,2,3,4,5,6, ...). Ener bestaat inderdaad zo’n verzame-ling, zo toonden Green en Tao aan,waarin dan rekenkundige rijen vanelke willekeurige lengte voorkomen.
De Balans is het belangrijkst
De ouders van Terence Tao, die in1972 uit Hong Kong naar het Austra-lische Adelaide vertrokken gaven alledrie hun zoons een scholing op maat.De middelste is autistisch en een be-genadigd pianist, die ook de ingewik-keldste concerten naspeelt zodra hijze één keer gehoord heeft. De jongstestudeerde, op latere leeftijd dan Te-rence, wiskunde en economie enwerkt bij Google, waar hij ondermeer algoritmes ontwikkelt.Voor Terence, de oudste, werd steedseen programma opgesteld in overlegmet docenten en hoogleraren van deuniversiteit. In het Australië van toenwaren er geen scholen voor hoogbe-gaafden, zoals die er bijvoorbeeld inde Verenigde Staten wel zijn.“Ik denk wel dat het goed is dat zulkescholen bestaan. En dat het goed zouzijn als elk kind in elk geval een deel
van de tijd kan bezig zijn met datge-ne waar hij of zij goed in is. Maar zul-ke dingen moeten nooit te extreemworden, balans is belangrijker”,vindt Tao. Zijn vrouw, een ingenieurbij NASA en hij, hebben juist daarombesloten hun eigen zoontje – ook almet veel talent voor wiskunde – naareen gewone school te sturen. “Omdathet ontwikkelen van sociale vaardig-heden nu belangrijker voor hem is.”Wat in elk geval verkeerd is, zegt Tao,“is het nastreven van kunstmatigedoelen, zoals de hoogste score op eentoets bereiken of de jongste zijn dievoor een bepaald examen slaagt.” Ende praktijk geeft hem daarin gelijk,hoe gering de statistiek ook is. JayLuo, die in 1982 al op zijn twaalfde inde wiskunde afstudeerde, heeft daar-na in de wiskunde nooit meer echtiets bereikt.
Terence Tao
‘Het is vooral
hard werken’
· Werk van de Pools-Nederlandse kun-stenaar Eliza Kopec. Het schilderij(150x150 cm) is een matrix van de getal-len 1 tot 10.000 waarin alle priemgetallenworden vertegenwoordigd door donkerevierkantjes. De witte verticale banen zijnhet logische gevolg van het ontbreken vaneven priemgetallen m.u.v. het getal 2.
foto jØrgen krielen
