Una secuencia metodológica apoyada en el empleo deUna secuencia metodológica apoyada en el empleo de aplicaciones informáticas (CAS) como herramienta paraaplicaciones informáticas (CAS) como herramienta para

favorecer el desarrollo de las habilidades del pensamientofavorecer el desarrollo de las habilidades del pensamientoEl caso de la equivalencia del producto de binomios conjugados y laEl caso de la equivalencia del producto de binomios conjugados y la

diferencia de cuadradosdiferencia de cuadrados

Que presenta:

Josué Raúl García Soria Mondragón

Adscrito a la

Escuela Secundaria Oficial No. 0057“Héroes del 14 de Septiembre de 1857”

Villa Guerrero, Estado de México

Documento en el que se basó el ensayo:Documento en el que se basó el ensayo:Dauson, Adriana y Schifrin, Marina. Los Chicos, la Computadora y la Matemática, [en línea], San Carlos de Bariloche, Argentina, Contexto Educativo. Revista Digital de Educación y Nuevas Tecnologías, Mayo de 2000, [citado en 15/02/2010], Número 7, Formato html, Disponible en Internet: http://contexto-educativo.com.ar/2000/5/nota-7.htm

Nombre del ensayo:Nombre del ensayo:Una secuencia metodológica apoyada en el empleo de aplicaciones informáticas (CAS) como herramienta para favorecer el desarrollo de las habilidades del pensamiento. El caso de la equivalencia del producto de binomios conjugados y la diferencia de cuadrados

Motivo o índole del trabajo:Motivo o índole del trabajo:El autor tiene el interés de divulgar una secuencia metodológica basada en el uso de una aplicación informática denominada CAS (Computer Algebra System) para fomentar el desarrollo de las habilidades del pensamiento de alumnos del tercer grado de secundaria en la enseñanza y aprendizaje de contenidos algebraicos.

Resumen:Resumen:Propuesta metodológica apoyada en una herramienta informática (CAS) donde se evidencia que los alumnos desarrollan habilidades del pensamiento en el aprendizaje de factorización y productos notables.

Institución:Institución:Red Escolar

Escuela de adscripción:Escuela de adscripción:Secundaria Oficial No. 0057 “Héroes del 14 de Septiembre de 1857”, Clave Red Escolar 15SGM00747

Lugar y fecha:Lugar y fecha:Villa Guerrero, Estado de México, Marzo de 2010

Tabla de contenido

Introducción...........................................................................................................................1

Un preámbulo. Analogía entre las matemáticas de la escuela primaria y de la escuela secundaria.............................................................................................................................1

La importancia de aprender la equivalencia entre la diferencia de cuadrados y el producto de binomios conjugados........................................................................................................3

Los productos notables y la factorización. Un pretexto para ejercitar las habilidades intelectuales...........................................................................................................................4

CAS: una herramienta informática que favorece las habilidades de pensamiento................7

Descripción de la ficha de trabajo......................................................................................8

Resultados.............................................................................................................................9

Conclusiones.........................................................................................................................9

Fuentes de consulta.............................................................................................................10

Anexo 1. Hoja de trabajo para el alumno................................................................................i

Producto de binomios conjugados...................................................................................... i

Ejercicios........................................................................................................................... iii

Anexo 2. Evidencias.............................................................................................................. iv

Introducción

Caracterizar la importancia del estudio y enseñanza de las matemáticas no puede ser etiquetada con el carácter universal ya que ella depende de los valores, creencias y actitudes de la sociedad imperante. El sentido que otorga legitimidad al aprendizaje de las matemáticas en otro tiempo se basaba en la repetición de fórmulas acabadas y carentes de significados emitidas invariablemente por la autoridad de la cual siempre ha estado investido el maestro.

En la actualidad se sabe que la importancia de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas radica en que los procesos educativos deben alentar en los alumnos a experimentar desafíos de corte cognitivo, que si bien de entrada son difíciles, no son imposibles de alcanzar. Los desafíos consisten en animar al alumno a resolver problemáticas que él perciba como complicadas pero al mismo tiempo posibles de resolver, que le generen cierta tensión, que lo aventuren a reflexionar y experimentar sin el temor de fracasar, a explorar poniendo en juego el bagaje de conocimientos que ya posee en un marco social compartido con sus condiscípulos así como a plantear preguntas que fortalezcan una imagen valorizada de sí mismo.

El estudio de las matemáticas orientada de manera correcta, amén de ser el precursor del aprendizaje de los fundamentos de tal disciplina, también es un medio por excelencia para favorecer las habilidades de pensamiento tales como el conocimiento, la comprensión, la aplicación, el análisis, la síntesis y la evaluación1.

Con base en lo anterior y dada la experiencia ganada en una intervención didáctica del propio autor durante el Ciclo Escolar 2009-2010 con alumnos del tercer grado de la Escuela Secundaria Oficial No. 0057 “Héroes del 14 de Septiembre de 1857” de la Cabecera Municipal de Villa Guerrero, Estado de México, fue que se decidió hacer un análisis de corte cognitivo sobre una propuesta metodológica apoyada en el empleo de una herramienta informática conocida por sus siglas CAS (Computer Algebra System) que puso de manifiesto que los alumnos son capaces de experimentar cada una de las habilidades antes enunciadas en el aprendizaje de factorización y productos notables.

Un preámbulo. Analogía entre las matemáticas de la escuela primaria y de la escuela secundaria

De nuestra estancia en la secundaria y en el bachillerato, muchos de los lectores recordarán que en el currículo se incluían ciertas temáticas algebraicas. Una de las más áridas sin duda para la mayoría eran las dos siguientes: productos notables y factorización. Su enseñanza casi siempre se daba y aún sigue ocurriendo en ese orden de igual manera que primero se estudia la multiplicación y luego la división en la primaria.

El interés de la comunidad matemática en que se estudie los productos notables es de la misma naturaleza que se estudie la multiplicación. Seamos más específicos: la multiplicación

1 Véase TAXONOMÍA DE BLOOM DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO [documento en línea] en http://www.eduteka.org/TaxonomiaBloomCuadro.php3.

1

es una operación que resume una suma iterada, esto es, una suma donde aparece varias veces el mismo sumando. Tal resumen es deseable porque ahorra esfuerzos de cómputo a la par de tiempo: ¡imagínese que tuviéramos que sumar 755 veces el 8! ¿Cuánto tiempo nos llevaría tal cálculo y cuán grande podría ser la posibilidad de cometer un error aritmético? Comprendemos que es mucho mejor efectuar el producto2 755 por 8. Sin embargo, para poder multiplicar tales cantidades es preciso primero conocer y dominar las tablas de multiplicar, objetos matemáticos dignos de ser memorizados a cambio de la rapidez y precisión de sus resultados.

La premisa bajo la que se sustenta el aprender productos notables es la misma que se acaba de exponer: ellos se enseñan como un método rápido de efectuar productos algebraicos de manera rápida y precisa. Sin embargo, al momento de cursar la secundaria tales objetos matemáticos requieren ahora más que memorización un análisis sobre la manera en que interactúan cada uno de los factores algebraicos entre sí. Veamos un ejemplo:

sigue siendo ante todo una multiplicación y por ello se puede interpretar que hay x veces x y también hay x veces 3; no olvidemos también que hay 2 veces x y 2 veces 3. Al lector poco aficionado a las matemáticas esto le parecerá sumamente abstracto pero reflexione: cuando efectuamos 23 por 12 solemos hacer lo siguiente:

que es equivalente, en notación desarrollada a:

Como se nota cada uno de los dígitos del factor inferior se multiplicó por cada uno de los dígitos del factor superior. En conclusión podemos afirmar que:

Para abatir el esfuerzo computacional se inventan los productos notables que permiten sintetizar tal esfuerzo, por ejemplo, en la multiplicación (1.1) se podían haber evitado todos los cálculos al observar simplemente que 2 y 3 al multiplicarse dan 6 y al sumarse dan 5.

Sin duda uno de los mayores obstáculos para que los alumnos de secundaria aprendan la equivalencia entre los productos notables y la factorización radica en el pobre dominio que tienen sobre las tablas de multiplicar. El dominio pleno de tales objetos matemáticos implica que el alumno que sea competente de responder a dos tipos de cuestionamientos inversos y complementarios:

1. El poder manifestar el resultado de 9 por 4, habilidad que es fomentada en todas las intervenciones didácticas de profesores e incentivadas con esmero por los familiares

2 Recuerde que producto es sinónimo de multiplicación.

2

del alumno3 toda vez que solamente admite respuesta única; y

2. El poder enunciar los factores que generan cierta cantidad tal como 36, situación que en la mayoría de los casos admite generalmente al menos dos posibles soluciones (el 36 se puede obtener de 12 por 3, 9 por 4, 6 por 6 ó 36 por 1)

La factorización de expresiones algebraicas es un problema del segundo tipo de competencia antes citada, es decir, es una competencia que implica encontrar los factores que generan una expresión algebraica. Retomando el ejemplo anterior, factorizar equivale a encontrar un par de expresiones algebraicas cuya multiplicación dé tal cantidad; la factorización de es . Abundando, es preciso mencionar que tanto resolver un producto notable implica encontrar una expresión algebraica que sea equivalente al producto de dos factores como factorizar cierta expresión algebraica implica encontrar una multiplicación equivalente a la primera. Para un alumno de secundaria este concepto es difícil de abstraer porque la sociedad en la que él está inmiscuido no fomenta este tipo de relaciones de equivalencias entre las operaciones y sus resultados.

La importancia de aprender la equivalencia entre la diferencia de cuadrados y el producto de binomios conjugados4

La intención didáctica que se describirá líneas más adelante consistió en que los alumnos descubrieran la relación de equivalencia entre una diferencia de cuadrados y su correspondiente producto de dos binomios conjugados, temática que está ubicada en el Bloque I del programa del tercer grado de educación secundaria. La importancia de esta temática puede ser percibida por el docente desde las cinco dimensiones siguientes:

1. Instrumental aritmético: La relación entre ambas estructuras algebraicas establece un modo de efectuar mentalmente y con escasas operaciones el producto de ciertos números tales como 95 por 105 toda vez que tal producto se puede reescribir como

, esto es, se dota a los números de un sentido nuevo: la fragmentación conveniente. Se usa el término fragmentación porque el alumno podrá percibir que todo número es susceptible de ser expresado por múltiples combinaciones de distintas cantidades y sujetas a variadas operaciones (el 95 se puede calcular entre otras muchas formas como 94 más uno ó 19 por 5). La conveniencia radica en que el estudiante, haciendo uso del sentido numérico, debe seleccionar aquella combinación que hace factible la reducción de esfuerzo computacional en la resolución de cierta operación aritmética.

3 En este sentido reflexione sobre la siguiente situación cotidiana: A un tío se le menciona que su sobrina ya es capaz de multiplicar números de un dígito. Entonces le pregunta a la pequeña: ¿Cuánto es 5 por 7? Observe que él jamás cuestiona ¿qué números multiplicados dan 36? a pesar de que la alumna, que ya memorizó las tablas, está en condiciones de responder a tal cuestionamiento.

4 Recuerde que el producto notable se le denomina producto de binomios conjugados en

tanto que el resultado de tal multiplicación es que se le denomina diferencia de cuadrados. Finalmente reflexione que las dos anteriores estructuras algebraicas son equivalentes entre sí tal y como 56 es equivalente a 7 por 8.

3

2. Instrumental algebraica: La relación entre la diferencia de cuadrados y el producto de binomios conjugados, a nivel algebraico se torna elemento indispensable para la resolución de ecuaciones del tipo porque a través de la equivalencia de tales estructuras algebraicas se justifica el hecho de que tal ecuación se puede percibir de otra manera más conveniente: lo que a la postre conlleva a entender que, al ser cero el producto de ambos factores, uno o el otro deben ser cero. Esto sin duda tiene un valor cognitivo oculto, el aprendizaje de la factorización de binomios conjugados fomenta la remembranza y análisis de las propiedades del cero, temática que no está explícita en el currículo vigente.

3. Precursor de habilidades mentales del alumno y del docente. Esta óptica representa uno de los mayores retos didácticos pues implica que el docente este convencido que no es su responsabilidad dictar la relación que enlaza el producto de binomios conjugados con su correspondiente diferencia de cuadrados sino que, por el contrario, son los alumnos quienes tendrán que poner en juego sus habilidades mentales para observar regularidades, conjeturar, validar y comunicar mediante una generalización la relación comentada. Entonces ¿cuál es la labor del docente? Él debe vislumbrar y diseñar un espacio con cierta ambientación que propicie la puesta en juego de tales habilidades.

4. Plasticidad del conocimiento matemático y del pensamiento. Esta temática, si es orientada bajo las condiciones que posteriormente serán enumeradas, permite al alumno percibir que los conocimientos matemáticos no son rígidos ni tienen un origen oscuro y lejano de su propio actuar sino que en su conformación, en las distintas tentativas que él diseña, el conocimiento posee plasticidad que lo hace susceptible de refinamientos progresivos. En este sentido, de forma involuntaria pero patente se manifiesta una simbiosis donde el pensamiento y conocimiento matemático se moldean mutuamente en un crecimiento conjunto.

5. Transmutación del concepto matemático a herramienta matemática. Abundando en la noción plasticidad considérese la siguiente diferencia en la que n representa un número entero. Aplicando el concepto factorización se puede mostrar a los alumnos la regularidad siguiente: si n es par entonces tanto como son ambos impares5

y su producto también lo es; en cambio si n es non entonces 1n , y su producto son pares. Así, al ejercitar lo aprendido al servicio de este problema en particular, la noción factorización abandona su carácter puramente conceptual para transformarse en herramienta generadora de conocimiento de nivel superior, lo que a su vez abre la posibilidad de una nueva resignificación de dicha técnica: la comprensión de la factorización permite estudiar y resolver problemas de divisibilidad y teoría de números.

5 En efecto, si usted tiene un número par y ya sea que le reste o le sume una unidad, invariablemente obtendrá un número impar.

4

Los productos notables y la factorización. Un pretexto para ejercitar las habilidades intelectuales

Benjamín Bloom, Doctor en Educación de la Universidad de Chicago, organizó las habilidades intelectuales que todo individuo debidamente instruido debía dominar. En primera instancia identificó tres dominios de actividades educativas:

El Cognitivo

El Afectivo

El Psicomotor

El presente documento da especial preponderancia al dominio cognitivo pues si bien es cierto que las matemáticas se ven especialmente influenciadas por estados emocionales y psicomotores del docente y del alumno, el sentido de este documento es mostrar que una intervención didáctica es tanto más eficiente en la medida en que la cognición exitosa fomenta estados de ánimo positivos en el individuo que aprende.

Dentro del dominio cognitivo Bloom distinguió las seis siguientes habilidades del pensamiento caracterizadas por un conjunto de verbos mutuamente excluyentes:

Categoría Conocimiento recoger información

Comprensión confirmación

Aplicación hacer uso del conocimiento

Análisis (orden superior) pedir, desglosar

Sintetizar (orden superior) reunir, incorporar

Evaluar (orden superior) juzgar el resultado

Descripción: Las habilidades que se deben demostrar en este nivel son:

Observación y recordación de información; conocimiento de fechas, eventos, lugares; conocimiento de las ideas principales; dominio de la materia

Entender la información; captar el significado; trasladar el conocimiento a nuevos contextos; interpretar hechos; comparar, contrastar; ordenar, agrupar; inferir las causas predecir las consecuencias

Hacer uso de la información; utilizar métodos, conceptos, teorías, en situaciones nuevas; solucionar problemas usando habilidades o conocimientos

Encontrar patrones; organizar las partes; reconocer significados ocultos; identificar componentes

Utilizar ideas viejas para crear otras nuevas; generalizar a partir de datos suministrados; relacionar conocimiento de áreas dispersas; predecir conclusiones derivadas

Comparar y discriminar entre ideas; dar valor a la presentación de teorías; escoger basándose en argumentos razonados; verificar el valor de la evidencia; reconocer la subjetividad

Que Hace el Estudiante

El estudiante recuerda y reconoce información e ideas además de principios aproximadamente en misma forma

El estudiante esclarece, comprende, o interpreta información en base a conocimiento previo

El estudiante selecciona, transfiere, y utiliza datos y principios para completar una tarea o solucionar un

El estudiante diferencia, clasifica, y relaciona las conjeturas, hipótesis, evidencias, o estructuras de

El estudiante genera, integra y combina ideas en un producto, plan o propuesta nuevos para él

El estudiante valora, evalúa o critica en base a estándares y criterios específicos.

5

Categoría Conocimiento recoger información

Comprensión confirmación

Aplicación hacer uso del conocimiento

Análisis (orden superior) pedir, desglosar

Sintetizar (orden superior) reunir, incorporar

Evaluar (orden superior) juzgar el resultado

en que los aprendió

problema una pregunta o aseveración

o ella.

Ejemplos de Palabras Indicadoras

DefineListaRotulaNombraIdentificaRepiteQuiénQuéCuandoDondeCuentaDescribeRecogeExaminaTabulaCita

PrediceAsociaEstimaDiferenciaExtiendeResumeDescribeInterpretaDiscuteExtiendeContrastaDistingueExplicaParafraseaIlustraCompara

AplicaDemuestraCompletaIlustraMuestraExaminaModificaRelataCambiaClasificaExperimentaDescubreUsaComputaResuelveConstruyeCalcula

SeparaOrdenaExplicaConectaPideComparaSeleccionaExplicaInfiereArreglaClasificaAnalizaCategorizaComparaContrastaSepara

CombinaIntegraReordenaSustituyePlaneaCreaDiseñaInventaQue pasa si?PreparaGeneralizaComponeModificaDiseñaPlantea hipótesisInventaDesarrollaFormulaReescribe

DecideEstablece gradaciónPruebaMideRecomiendaJuzgaExplicaComparaSumaValoraCriticaJustificaDiscriminaApoyaConvenceConcluyeSeleccionaEstablece rangosPrediceArgumenta

El sentido de este ensayo es dejar constancia de que es posible emplear la computadora como herramienta didáctica en una clase cuya finalidad cumpliera con los siguientes cometidos con respecto al descubrimiento de la equivalencia del producto de binomios conjugados y la diferencia de cuadrados:

1. Desarrollar en los alumnos las cinco dimensiones enunciadas en el título “Laimportancia de aprender la equivalencia entre la diferencia de cuadrados y el productode binomios conjugados”.

2. Que fomente en el alumno las siguientes habilidades de pensamiento:

a) Identificación de los componentes del producto de ambas estructuras algebraicas y de las regularidades que guardan entre sí.

b) Interpretación y análisis a nivel funcional de las relaciones algebraicas entre las dos estructuras con base en los conocimientos previos sobre estas temáticas.

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c) Predicción de las consecuencias de sus inferencias.

d) Elaboración de conclusiones que evidencien el ejercicio de un pensamiento sintético.

e) Evaluación objetiva de sus conclusiones en el plano personal y en el colectivo.

3. Que ponga en contacto al alumno con tecnologías digitales a la par de que lo torne en un usuario crítico de tales adelantos tecnológicos y de sí mismo en su interacción con las matemáticas.

CAS: una herramienta informática que favorece las habilidades de pensamiento

El avance de las tecnologías digitales ha dotado al docente y al estudiante de matemáticas de una herramienta denominada CAS que puede traducirse como Sistema de álgebra computacional.

La descripción de un CAS se puede abordar desde dos rubros:

1. Funcionalidades tecnológicas. Un sistema de cómputo algebraico (CAS) comúnmente tiene cuatro amplias áreas de funcionalidad:

a) Aritmética exacta en los números racionales, reales y complejos.

b) Grafica funciones, relaciones y superficies en dos y tres dimensiones.

c) Da soluciones numéricas.

d) Procesa álgebra simbólica para la manipulación (y solución) de expresiones algebraicas entre las que destacan la operatividad de términos algebraicos y la solución de ecuaciones.

2. Funcionalidades que fomentan la cognición. El CAS, al brindar la posibilidad de establecer una vinculación biunívoca entre una expresión algebraica y su resultado correspondiente, dejando de lado los aspectos operativos, permite que un alumno:

a) Observe los resultados de cierta operación algebraica, lo que abre la posibilidad didáctica de cuestionar por qué el resultado es como aparece en la pantalla.

b) Elabore conjeturas (predicción) fundadas en los conocimientos previos que ya posee y posteriormente las valide haciendo uso del CAS (comprobación).

La secuencia metodológica que sugiere el presente trabajo (y que fue la estructura del Anexo 1) consiste en:

Exploración. Se somete al alumno a un proceso de reconocimiento de las funcionalidades del CAS que tengan que ver con el objeto matemático que está plasmado en la intención didáctica de la planeación.

Observación previa. El alumno introducirá al CAS ciertas operaciones de interés (que están plasmadas en una ficha de trabajo) para posteriormente anotar las respuestas que entrega el sistema algebraico. En esta etapa el

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alumno pone en juego las habilidades de pensamiento denominadas conocimiento y análisis pues él trata de encontrar patrones numéricos y organizarlos coherentemente.

Elaboración de conjeturas. El alumno debe examinar los resultados que arroja el CAS y con base en ellos debe encontrar un mecanismo predictivo que responda el por qué las respuestas son como las entregó el Sistema de Álgebra Computacional. Las habilidades de pensamiento del alumno que se hacen evidentes son: comprensión en el sentido de que él infiere las consecuencias del producto de los binomios y síntesis toda vez que él generaliza los resultados a partir de la respuesta de la computadora.

Comprobación de conjeturas. Acto seguido el alumno efectuará operaciones similares a las que introdujo en la computadora pero esta vez de manera autónoma para posteriormente transcribirlas en el CAS y contrastar sus resultados. En esta etapa el alumno pone en juego las habilidades de pensamiento evaluación y comprensión.

Reinicio. Cuando derivado de la etapa de comprobación el alumno percibe que sus respuestas no son acordes con lo que entrega el CAS entonces se reinicia el proceso anterior a partir de la etapa observación previa con miras al perfeccionamiento del concepto matemático.

Consolidación. Esta etapa se pone en marcha si y sólo si la comprobación de conjeturas ha sido exitoso. Tiene como fin que el alumno experimente la sensación de triunfo por poder percibir que es capaz de entender la razón de las causas. La habilidad de pensamiento puesta en acción corresponde a la aplicación.

El CAS que se empleó al inicio del ciclo escolar 2009-2010 con 126 alumnos del tercer grado de la Escuela Secundaria Oficial No. 0057 “Héroes del 14 de Septiembre de 1857” fue Derive 5.0 aún cuando en la actualidad el autor del presente trabajo recomienda a Máxima por ser software libre.

Descripción de la ficha de trabajoLa actividad diseñada se muestra en el Anexo 1 y se desarrolló en una sesión de 50 minutos. Su diseño atendió la secuencia didáctica enunciada líneas arriba:

1. Exploración. Las actividades de esta etapa están incluidas en la primera página de la ficha.

2. Observación previa. Están ubicadas en el primer tercio de la segunda página.

3. Elaboración de conjeturas. Este apartado corre a partir del renglón que inicia con el enunciado “Examina los resultado anteriores”

4. Comprobación. Está ubicada en el segundo tercio de la segunda página.

5. Consolidación. Está ubicada en el capítulo denominado Ejercicios. Éstos fueron elaborados atendiendo al criterio de que es importante que el alumno se someta al pensamiento reversible, esto es que se puede calcular la diferencia de cuadrados a partir del producto de binomios conjugados pero también a la inversa.

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Resultados

Los resultados se muestran en el anexo 2 donde se incluyen copias fieles de las fichas de trabajo de los alumnos. En este sentido se pone especial énfasis en la elaboración de las conjeturas donde se percibe lo siguiente:Situación Habilidad del conocimiento

evidenciada

Las alumnas Azalea, Cristy y en menor grado Bárbara son capaces de reconocer que los binomios no son estructuras indivisibles sino que están integradas por partes denominadas términos con los cuales se puede operar.

Análisis

La alumna Yarisbeth reconoce en primera instancia la existencia de dos distintas modalidades del producto de binomios conjugados pero sobre todo reconoce que el encontrar una regla de equivalencia entre las dos estructuras algebraicas simplifica el esfuerzo operatorio.

Evaluar

La alumna Rosa reconoce que tanto las literales como los números son susceptibles de participar en operaciones algebraicas con lo cual las variables asumen las mismas propiedades operatorias de los números salvo la especificidad de su magnitud.

Sintetizar y aplicación

Todas las alumnas excepto Yarisbeth enuncian con mayor o menor precisión la regla de equivalencia entre ambas estructuras algebraicas. En este sentido, las alumnas enuncian el reconocimiento de las partes y se exalta el papel fundamental de la organización y el orden de la notación al momento de ejecutar las operaciones.

Comprensión

Azalea, Rosa y Cristy reconocen los conocimientos previos aritméticos al establecer que es importante tener en cuenta la regla de los signos al momento de efectuar el producto.

Conocimiento

Conclusiones

Las evidencias adjuntas muestran con claridad que el uso de la secuencia metodológica expuesta, apoyada en el uso del software denominado CAS, favorece el desarrollo y la manifestación de las habilidades del pensamiento por parte del estudiante en el aprendizaje del producto de binomios conjugados y su correspondencia con la diferencia de cuadrados. Amén de lo anterior y como complemento se percibe que la modalidad de trabajo expuesta tiene un triple valor:

Sirve como eje rector en el diseño de las actividades de enseñanza y de ejecución al momento del aprendizaje

Los resultados obtenidos se tornan implícitamente en evidencia de procesos cognitivos que incluso pueden convertirse en insumos que perfilen pautas y líneas de investigación o publicación.

Abre la posibilidad de experimentar con otras temáticas del currículo para valorar su pertinencia didáctica.

Fuentes de consulta

Dauson, A. y Schifrin, M. Los Chicos, la Computadora y la Matemática, [en línea], San Carlos de Bariloche, Argentina, Contexto Educativo. Revista Digital de Educación y Nuevas Tecnologías, Mayo de 2000, [citado en 15/02/2010], Número 7, Formato html, Disponible en Internet: http://contexto-educativo.com.ar/2000/5/nota-7.htm

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Eduteka. La taxonomía de Bloom y sus dos actualizaciones, [en línea], Fundación Gabriel Piedrahita Uribe, Cali, Colombia.Documento , [citado en 18/02/2010] Disponible en Internet: http://www.eduteka.org/TaxonomiaBloomCuadro.php3

Sadovsky. Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Secretaría de Educación Pública. México. 2005.

SEP. Programa de Estudio 2006. Matemáticas. Educación Básica. Secundaria. Secretaría de Educación Pública. México. 2006

Chevallar, Yves, et. al. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Biblioteca del Normalista. SEP. México. 1997

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Anexo 1. Hoja de trabajo para el alumno

Producto de binomios conjugados

Hola. ¿Sabías que hablar de binomios conjugados significa hablar de dos binomios? ¡Sí! Dos binomios son conjugados cuando se parecen mucho entre sí. Lo único que los hace diferentes es un signo. Por ejemplo, (x+2) y (x-2) son dos binomios conjugados porque los dos tienen x y 2 pero el signo del primero es + y el del segundo es -

Otro ejemplo (-2+x) y (+2+x) también son dos binomios conjugados porque lo que los hace diferentes es solamente los signos - y + de cada uno de ellos.

Ahora aprendamos como ordenarle a Derive que haga algunas multiplicaciones. Para ello efectuemos la multiplicación .

Lo primero que debemos hacer es escribir esa expresión en la barra de fórmulas como se observa en la siguiente figura. No olvides oprimir Enter

Luego haz clic en el menú simplificar y selecciona la opción Expandir (ve la siguiente figura):

i

Finalmente haz clic en el botón “Expandir”

¡Felicidades! Haz resuelto tu primer producto de binomios conjugados

Ahora calcula los siguientes productos de binomios conjugados y anota delante de ellos el resultado que Derive entregue:

3 3

4 4

3 4 3 4

2 4 2 43 5 3 5

x x

y y

z z

x y x y

x x

Examina los resultados anteriores y busca una forma rápida en que podrías efectuar esas multiplicaciones sin la necesidad de emplear Derive. Escribe la forma rápida que acabas de encontrar:

_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Ahora resuelve a mano las siguientes multiplicaciones y cuando las hayas acabado compruébalas en Derive:

5 5

5 5

2.5 2.5

3 2 3 27 5 7 5

a a

x x

m m

x y x y

ii

Ejercicios

A continuación anota los resultados que hacen falta. Puedes usar Derive:

2

2 2

2

2

4 499 362.25 10000

x a x a

y y m

r h

x

x

iii

Anexo 2. Evidencias

iv

v

vi

vii

viii