WI VS 21. Meetkunde (deel 1)

Grondbegrippen

Begrippen waarvan er geen definitie wordt gegeven, deze worden gewoon aangenomen.

Bij begrippen horen notaties en voorstellingen.

Onderworpen aan regels die niet bewezen worden.

Axiomas / grondstellingen

Regels die niet bewezen worden.

Axiomas moeten voldoen aan eisen.

Niet strijdig

Onderling onafhankelijk

Er kunnen axiomas worden toegevoegd om een theorie te verfijnen.

Nieuwe begrippen

Kunnen worden gedefinieerd door ze equivalent te verklaren met goed omschreven uitspraken met behulp van vorige begrippen.

Nieuwe eigenschappen / stellingen

Moeten worden bewezen door te steunen op voorafgaande stellingen.

In een bewijs mogen enkel voorgaande elementen uit de theorie voorkomen.

Synthetische meetkunde

Het feit dat in een bewijs enkel voorgaande elementen uit de theorie mogen voorkomen.

Meten

Meten van een grootheid is deze vergelijken met een gelijksoortige grootheid.

Hiervoor bestaan standaard eenheden.

Maatgetallen

Getallen voor te meten.

Decimaal

Zestigdelig

1.1. Inleidende begrippen.

1.1.1. Grondbegrippen.

Grondbegrippen in vlakke meetkunde

Vlak

Punt

Rechte

Relaties tussen grondbegrippen

Ligt op

Gaat door

Negaties van deze relaties worden ook gebruikt.

Het vlak

Voorgesteld door blad papier of beeldscherm.

Een punt

Voorgesteld door een stip.

Notatie: grote letter.

Een rechte

Voorgesteld door lijn getekend met liniaal.

Notatie: kleine letter.

1.1.2. Axiomas.

Axioma 1: Het vlak is een oneindige verzameling van punten.

Axioma 2: Een rechte is een oneindige echte deelverzameling van het vlak.

Axioma 3: Een rechte is bepaald door twee verschillende punten van het vlak.

Axioma 4: Er bestaan minstens vier punten waarvan er geen drie op een zelfde rechte liggen.

Axioma 5: Door een punt gaat juist n rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Dit is het parallellenpostulaat van Euclides.

Concurrente rechten

Drie rechten die door het zelfde punt gaan.

Collineaire punten

Drie punten die op dezelfde rechte liggen.

Dualiteit (duale begrippen)

In de vlakke projectieve meetkunde verwijst het begrip dualiteit naar het feit dat alle stellingen een duale versie hebben die verkregen wordt door de woorden "punt" en "lijn" en hun acties te verwisselen. Het begrip is onafhankelijk van elkaar door Joseph Gergonne en Jean-Victor Poncelet gentroduceerd.[footnoteRef:2] [2: http://nl.wikipedia.org/wiki/Dualiteit_(meetkunde) ]

Duality

In the geometry of the projective plane, duality refers to geometric transformations that replace points by lines and lines by points while preserving incidence properties among the transformed objects. The existence of such transformations leads to a general principle, that any theorem about incidences between points and lines in the projective plane may be transformed into another theorem about lines and points, by a substitution of the appropriate words.[footnoteRef:3] [3: http://en.wikipedia.org/wiki/Duality_(projective_geometry) ]

Duale begrippen

punt en rechte

ligt op en gaat door

collineair en concurrent

Snijdende rechten

Rechten met juist n gemeenschappelijk punt.

Parallelle / evenwijdige rechten

Rechten die niet snijden, dit wil zeggen rechten die geen enkel of alle punten gemeenschappelijk hebben.

Om onderlinge ligging punten en rechten in het vlak te bestuderen

Zijn we genteresseerd in de gemeenschappelijke elementen van verzamelingen.

1.1.3. Halfrechte, lijnstuk en afstand. [endnoteRef:2] [2: Zie ook: http://www.heilig-graf.be/secundaironderwijs/infovoorELOV/wiskunde_1j/Oefeningen/Hoofdstuk2/Rechten.htm ]

Wat is een halfrechte?

Notatie: [AB

Voorstelling: [footnoteRef:4] [4: http://www.heilig-graf.be/secundaironderwijs/infovoorELOV/wiskunde_1j/Oefeningen/Hoofdstuk2/Prenten/Oefening3.jpg ]

Wat is een lijnstuk?

Notatie: [AB]

Voorstelling: [footnoteRef:5] [5: http://www.heilig-graf.be/secundaironderwijs/infovoorELOV/wiskunde_1j/Oefeningen/Hoofdstuk2/Prenten/Oefening1.jpg ]

Achtergrond: [footnoteRef:6] [6: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Segmento-definicion.png ]

Meetkundige definitie van lijnstuk.

Lijnstuk kunnen we meten. (def meten zie p1)

Afstand van A tot B = lengte van het lijnstuk.

Notatie: |AB|,

of m.b.v. de afstandsfunctie: d(A,B).

Afstand = positief reel getal.

Lengte gemeten met lengtematen. |AB| = 4 cm; 4 is het maatgetal, cm is de maat. Hebben twee lijnstukken dezelfde lengte dan noemen we ze even lang.

Lijnstuk heeft geen begin- en eindpunt.

1.1.4. Hoek.

Wat is een hoek?

Notatie: of BC of A

Hoek dikwijls met Griekse letter weergegeven.

Voorstelling: [footnoteRef:7] [7: http://img.sparknotes.com/content/testprep/bookimgs/newsat/0003/angle.gif ]

[AB en [AC zijn de benen van de hoek, A is het hoekpunt. We duiden de hoek aan met een boogje.

Hoek heeft geen beginbeen en geen eindbeen.

4