Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen aan ...Hoofdstuk 2 Elektronische bandenstructuur van...

Faculteit Wetenschappen

Departement Fysica

Academiejaar 2009–2010

Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen

aan Elektrostatische en Magnetische

Barrieres

Christophe De Beule

Promotor: Prof. dr. B. Partoens

Medebegeleider: M. Barbier

Theoretische scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van

Bachelor in de Fysica

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

1.1 Relativiteit in een potloodstreep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Doelstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Kristalstructuur van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Elektronische bandenstructuur van grafeen 5

2.1 Tight Binding model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Pi banden van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Bandenstructuur rond het Dirac punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrieres 12

3.1 Massaloze Dirac fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Algemene oplossing van de tijdsonafhankelijke Dirac vergelijking . . . . . 133.3 Continuıteitsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Potentiaalberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Potentiaalbarriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Transfermatrixmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrieres 28

4.1 Landau levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Magnetische berg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Magnetische barriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Besluit 37

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Relativiteit in een potloodstreep

Een potloodstreep is opgebouwd uit grafiet, een materiaal dat bestaat uit atomairelaagjes koolstofatomen. In 2004 is een groep van de Universiteit van Manchester onderleiding van Andre Geim erin geslaagd om individuele lagen grafiet, grafeen, te isolerendoor gebruik te maken van scotch tape1. Dit was op zich een grote doorbraak omdatgedacht werd dat tweedimensionale kristallen niet konden bestaan bij een temperatuurverschillend van nul omwille van thermische fluctuaties2–4. Samen met enkele anderentweedimensionale materialen (bv. boron nitride) is grafeen een van de eerste tweedimen-sionale kristallen geobserveerd in de natuur5. In Fig. 1.1 wordt (a) de aanpak van deManchester groep geıllustreerd en (b) een waarneming van grafeen onder een elektronenmicroscoop getoond. Dezelfde ploeg toonde in 2005 tegelijk met een andere groep, eensamenwerking tussen de Universiteiten van Columbia en Princeton geleid door PhilipKim en Horst Stormer, aan dat ladingsdragers in grafeen relativistisch gedrag verto-nen6,7. Sindsdien staat de experimentele en theoretische studie van grafeen sterk in debelangstelling van onderzoekers. De theoretische studie van grafeen en haar honing-raat kristalrooster bestaat echter al langer aangezien grafeen beschouwd kan wordenals de bouwblok van verscheidene grafiet-achtige materialen zoals nanobuizen en an-dere fullerenen. Naast het fundamenteel onderzoek is er ook interesse voor de mogelijketechnologische toepassingen van grafeen. Elektronica gebaseerd op grafeen zou aan dehand van ballistische transistoren de maximale miniaturisatie van computerchips kun-nen verbeteren en heeft voordelen tegenover dezelfde aanpak met nanotubes. De eerstecommerciele toepassing is mogelijk een LCD waar grafeen gebruikt wordt als elektrode8.

1.2 Doelstelling

Omdat de ladingsdragers in grafeen relativistisch gedrag vertonen kan men de effectenvan de Kwantumelektrodynamica experimenteel onderzoeken in het gewone labo. Zois er bijvoorbeeld de Klein paradox -perfecte tunneling van relativistische deeltjes door

1

Hoofdstuk 1. Inleiding 2

(a) (b)

Figuur 1.1: Zoeken naar een naald in een hooiberg. (a) De verschillende kleurenin deze optische waarneming (300 micron breed), wijzen op de aanwezigheid van grafietvlokken met verschillende dikte. Deze vlokken zijn afgepeld van bulk grafiet met behulpvan plakband en vervolgens aangebracht op een SiO2 substraat, dunnere en individuelelagen grafiet zijn te onderscheiden door hun transparantie. Na een ruwe selectie ge-bruikt men AFM om de de dikte van de kristallen te meten. (b) Transmissie elektronenmicroscoop beeld van grafeen hangend op een rekje van gouddraad9.

hoge potentiaalbarrieres- een van de meest exotische voorspellingen van de Kwantume-lektrodynamica die moeilijk waargenomen kan worden in de experimentele elementairedeeltjesfysica10,11. Het is bijgevolg zeer interessant om deze fenomenen theoretisch teonderzoeken en aan de hand van deze voorspellingen experimenten te sturen. In dezeuiteenzetting wordt de elektronische structuur van grafeen berekend aan de hand vanhet tight binding model en wordt de verstrooiing aan elektrostatische en magnetischebarrieres van ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen onderzocht. In het bijzon-der wordt de Klein paradox in grafeen aangetoond, en de analogie van de beschrijvingvan ladingsdragers in grafeen met de relativistische Kwantummechanica besproken. Inhet deel over magnetisme worden eerst de Landau levels in grafeen berekend vooraleerde verstrooiing aan magnetische barrieres onderzocht wordt. Om de bandenstructuur teberekenen moet er eerst gekeken worden naar de kristalstructuur van grafeen.

1.3 Kristalstructuur van grafeen

In Fig. 1.2 wordt het rooster en de eenheidscel van grafeen geıllustreerd. Het honingraatrooster is echter zelf geen Bravais rooster omdat twee naburige koolstofatomen, naastenaburen (nn) hebben in verschillende richtingen. Het rooster kan echter beschouwdworden als twee hexagonale Bravais subroosters, die onderling verschoven zijn over denn afstand a = 1.42A. Het Bravais rooster van grafeen is dus een hexagonaal rooster


x

y~a1

~a2

BA

~R2

~R1

~R3

a = 1.42A

Figuur 1.2: Het rooster van grafeen bestaat uit twee hexagonale subroosters (zwarten wit) verschoven over de nn afstand a. Het rooster kan beschouwd worden als eenhexagonaal rooster met een basis bestaande uit twee koolstofatomen A en B en primitieveroostervectoren ~ai (i = 1, 2). De eenheidscel is het gebied omsloten door de gestipte ruit.

met een basis bestaande uit de twee koolstofatomen A en B. In het coordinatenstelselvan Fig. 1.2 worden de primitieve roostervectoren ~a1 en ~a2 uitgedrukt als

~a1 =(

0,√3a, 0

)

, ~a2 =a

2

(

−3,√3, 0)

, (1.1)

waar a = |~a1| = |~a2| =√3a de roosterconstante van grafeen is. De oppervlakte van

de eenheidscel (gestipte ruit op Fig. 1.2) is gelijk aan Ac ≡ ~a1 · ~a2 × ~a3 =√3a2/2,

met ~a3 = (0, 0, 1). De corresponderende reciproke roostervectoren ~b1 en ~b2 met grootteb = 4π/3a worden gegeven door

~b1 =2π

3a

(

1,√3, 0)

, ~b2 =

(

−4π

3a, 0, 0

)

. (1.2)

De eerste Brillouin zone (BZ) wordt geconstrueerd aan de hand van de korste reciprokeroostervectoren. Dit zijn de volgende zes vectoren: ±~b1, ±~b2 en ±(~b1 +~b2). In Fig. 1.3wordt de eerste BZ van grafeen getoond. De punten met hoge symmetrie Γ, M en Kworden in het coordinatenstelsel van Fig. 1.3 uitgedrukt als

Γ = (0, 0) , M =π

3a

(

1,√3)

, K =

(

0,4π

3√3a

)

. (1.3)


kx

ky

K

Γ

M

−~b2

~b1~b1 +~b2

~b2

−~b1 −(~b1 +~b2)

Figuur 1.3: Het reciproke rooster van het hexagonaal rooster wordt geconstrueerd metde kortste zes reciproke roostervectoren: ±~b1, ±~b2 en ±(~b1 +~b2). Het grijze gebied plusde vette rand en zwarte punten stellen de eerste BZ voor met centrum Γ en de tweerandpunten M en K.

Hoofdstuk 2

Elektronische bandenstructuur

van grafeen

De koolstofatomen in grafeen zijn sp2-gebonden, dit betekent dat er drie sp2 orbitalenen een 2p orbitaal gevormd worden. De drie sp2 orbitalen overlappen met de anderesp2 orbitalen van de naaste naburen en vormen een σ binding. De 2p orbitalen vormeneen π binding en dit leidt samen tot een resonante structuur. De σ gebonden elektro-nen van grafeen zijn zo sterk gebonden dat ze bijna nooit meedoen aan elektronischtransport. Het zijn de minder sterk gebonden π elektronen in grafeen (en andere kool-stof materialen) die relevant zijn voor transport -en andere elektronische eigenschappen.Een eenvoudige tight binding berekening voor de π elektronen levert meteen veel inzichtin de elektronische structuur van de π banden van grafeen en andere grafiet-achtigematerialen.

2.1 Tight Binding model

In dit model wordt de elektronische structuur van een kristal berekend aan de hand vaneen benaderende set golffuncties gebaseerd op een superpositie van atomaire golffuncties.Als een atoom in een kristal geplaatst wordt, overlapt zijn atomaire golffunctie metnaburige atomen, waardoor het geen echte eigenfunctie is van de kristal Hamiltioniaan.Als de elektronen echter sterk gebonden zijn is er minder overlap en is het een goedebenadering. Voor deze sectie werd er voornamelijk geput uit Saito et al. 12 . Een tightbinding golffunctie Φj(~k,~r) wordt als volgt geconstrueerd:

Φj(~k,~r) =1√N

N∑

~R

ei~k·~Rϕj(~r − ~R), (j = 1, . . . , n), (2.1)

waar ~R de positie is van het atoom dat correspondeert met de j-de toestand van hetatomaire orbitaal ϕj . Het totaal aantal orbitalen in een eenheidscel wordt gegeven door

n en er wordt gesommeerd over alle eenheidscellen N . De functie Φj(~k,~r) voldoet aan

5

Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen 6

het Bloch theorema en men heeft in totaal n basis Bloch functies per kristal golfvector~k. Periodische randvoorwaarden in elke richting ~aα geven

Φj(~k,~r +M~aα) = Φj(~k,~r), (α = 1, 2), (2.2)

waar M het aantal primitieve roostervectoren is in elke richting. Gebruik makend vanvgln. (2.1) en (2.2) volgt er dat exp{ikαMaα} = 1 met aα = |~aα| of

kα =2pπ

Maα, (p = 0, 1, . . . ,M − 1), (2.3)

waar de rij afgekapt wordt vanaf p =M omdat we stellen dat er M2 ≡ N onafhankelijkegolfvectoren bestaan in de eerste Brillouin zone. Aangezien voor een echt kristal N heelgroot is, kunnen we de kα beschouwen als continue variabelen. De eigenfuncties vande kristal Hamiltioniaan Ψi(~k,~r) (i = 1, . . . , n) worden vervolgens benaderd door eenlineaire combinatie van de basis Bloch functies Φj(~k,~r):

Ψi(~k,~r) =

n∑

j=1

Cij(~k)Φj(~k,~r), (2.4)

waar de complexe functies Cij(~k) te bepalen coefficienten zijn en de relatieve bijdragenvan de Bloch orbitalen uit vgl. (2.1) tot de golffunctie bepalen. Deze n n-componentsgolffuncties voldoen ook aan het Bloch theorema en beschrijven quasideeltjes. De eigen-waarden Ei(~k) worden gegeven door

Ei(~k) =〈Ψi|H|Ψi〉〈Ψi|Ψi〉

, (2.5)

met H de kristal Hamiltoniaan, die a priori onbekend is. Substitueren van vgl. (2.4) invgl. (2.5) geeft

Ei(~k) =

n∑

j,j′=1

C∗ijCij′

⟨

Φj|H|Φj′⟩

n∑

j,j′=1

C∗ijCij′

⟨

Φj|Φj′⟩

≡

n∑

j,j′=1

C∗ijCij′Hjj′(~k)

n∑

j,j′=1

C∗ijCij′Sjj′(~k)

, (2.6)

waar Hjj′(~k) ≡⟨

Φj|H|Φj′⟩

en Sjj′(~k) ≡⟨

Φj|Φj′⟩

(j, j′ = 1, . . . , n) respectievelijk detransfer -en overlapmatrices genoemd worden. Dit zijn de matrixrepresentaties van deHamiltoniaan en de eenheidsoperator in de basis van Bloch functies. De coefficientenC∗ij(~k) kan men optimaliseren door de energie te minimaliseren voor vaste ~k:

0 =∂Ei(~k)

∂C∗ij

=

n∑

j′=1

Cij′Hjj′(~k)

n∑

j,j′=1


−

n∑

j,j′=1

C∗ijCij′Hjj′(~k)

n∑

j,j′=1


2

n∑

j′=1

Cij′Sjj′(~k). (2.7)


Door vgl. (2.7) te vermenigvuldigen met

n∑

j,j′=1

C∗ijCij′Sjj′(~k) en de uitdrukking voor Ei(~k)

uit vgl. (2.6) hierin te substitueren, vindt men

n∑

j′=1

Cij′Hjj′(~k) = Ei(~k)

n∑

j,j′=1

Cij′Sjj′(~k). (2.8)

Als we de volgende kolomvector definieren, Ci = (Ci1, . . . , Cin)t, kunnen we vgl. (2.8)

herschrijven alsHCi = Ei(~k)SCi. (2.9)

Deze vergelijking heeft een oplossing verschillend van nul als

det(H− ES) = 0, (2.10)

de oplossing Ci = 0 betekent dat de golffunctie niet bestaat. vgl. (2.10) noemt men deseculiere vergelijking, een n-de graadsvegelijking voor zekere ~k waarvan de oplossingenalle n eigenwaarden Ei(~k) bepalen. Er zijn 2N onafhankelijke orbitalen per energiebandEi omwille van elektron spin en de periodische randvoorwaarden uit vgl. (2.3).

2.2 Pi banden van grafeen

De twee Bloch functies worden geconstrueerd uit de twee 2p orbitalen ϕj(~r − ~R) (j =A,B) van de twee koolstofatomen A en B in Fig. 1.2. Deze basisfuncties horen bij hetπ elektron van het subroosters A of B en worden expliciet gegeven door

Φj(~k,~r) =1√N

N∑

~R

ei~k·~Rϕj(~r − ~R), (2.11)

zoals gedefinieerd in vgl. (2.1). Door de definite van Hjj′ (j′ = A,B) uit vgl. (2.6) te

gebruiken en vgl. (2.11) hierin substitueren, krijgen we voor het matrix element HAA:

HAA =1

N

N∑

~R, ~R′

ei~k·(~R′−~R)

⟨

ϕA(~r − ~R)|H|ϕA(~r − ~R′)⟩

=1

N

N∑

~R′=~R

E2p (2.12)

+ (termen gelijk of verder dan ~R′ = ~R± ~a1,2 en ~R± (~a1 − ~a2))

≈ E2p.

In vgl. (2.12) komt de grootste bijdrage in de som van ~R′ = ~R, en dit geeft de energie

van het 2p orbitaal, E2p ≡⟨

ϕA(~r − ~R)|H|ϕA(~r − ~R)⟩

. Dit is echter niet de atomaire


energiewaarde omdat de Hamiltioniaan een kristal potentiaal bevat. De volgende naastenaburen en verder gelegen termen worden verwaarloosd voor de eenvoud. Gelijkaardigvinden we dat het matrix element HBB = HAA omdat atomen A en B identiek zijn.Voor het matrixelement HAB wordt de grootste bijdrage geleverd wanneer A en B naastenaburen zijn. In Fig. 1.2 wordt geıllustreerd dat er dan geldt dat ~R′ = ~R+ ~Rl (l = 1, 2, 3).In de sommatie over ~R′ beschouwen we enkel deze gevallen en verwaarlozen we bijdragenvan verder gelegen atomen:

HAB ≈ 1

N

N∑

~R

3∑

l=1

ei~k· ~Rl

⟨

ϕA(~r − ~R)|H|ϕA(~r − ~R− ~Rl)⟩

= t(ei~k·~R1 + ei

~k·~R2 + ei~k·~R3) (2.13)

≡ tf(~k),

waar t ≡⟨

ϕA(~r − ~R)|H|ϕA(~r − ~R− ~Rl)⟩

∀ l een fenomenologische parameter is met een

negatieve waarde. Het matrix element HBA = H∗AB opdat H hermitisch zou zijn. Als we

E2p gelijk aan nul stellen dan wordt de expliciete uitdrukking van de matrixrepresentatieH voor de Hamiltioniaan in de Bloch basis gegeven door

H(~k) =

(

0 tf(~k)

tf(~k)∗ 0

)

. (2.14)

In het coordinatenstelsel van Fig. 1.2 worden de vectoren ~Rl uitgedrukt als

~R1 = (−a, 0, 0) , ~R2 =a

2

(

1,−√3, 0)

, ~R3 =a

2

(

1,√3, 0)

. (2.15)

Uit vgl. (2.15) volgt dan voor f(~k):

f(~k) = e−ikxa + 2eikxa/2 cos

(

ky√3a

2

)

. (2.16)

De overlap matrix S, gedefinieerd in vgl. (2.6), wordt op een gelijkaardige wijze berekend.Ten eerste geldt dat SAA = SBB = 1 als we aannemen dat de Bloch golffuncties Φj

genormaliseerd zijn. We veronderstellen ook dat er geen overlap is tussen naburige

atomaire golffuncties zodat S = I2, aangezien⟨

ϕA(~r − ~R)|ϕA(~r − ~R− ~Rl)⟩

= 0 voor

alle l. Omdat de functie f(~k) uit vgl. (2.16) in het K punt, gegeven in vgl. (1.3), gelijkaan nul is, is deze benadering exact voor het K punt. De eigenwaarden E(~k) wordenbekomen uit het oplossen van de seculiere vergelijking det(H− ES) = 0:

E(~k) = −st|f(~k)| (2.17)

= s|t|

√

√

√

√1 + 4 cos2

(

ky√3a

2

)

+ 4cos

(

kx3a

2

)

cos

(

ky√3a

2

)

, (2.18)


−4−2

02

4

−4−2

02

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

kxa

KM

Γ

kya

|E t|

Figuur 2.1: De energie dispersie relatie van grafeen voor heel de eerste BZ. De π enπ∗ banden zijn symmetrisch rond E = 0 voor deze eenvoudige beschrijving. De energiewordt weergegeven in eenheden van t en de golfvectoren in eenheden van 1/a.

met s = sign(E). s = −1 in vgl. (2.17) geeft de bindings π energie band (valentieband),en s = 1 de anti-bindings π∗ energie band (conductieband). In Fig. 2.1 wordt de energiedispersie relatie geplot voor heel de eerste Brillouin zone, getoond in Fig. 1.3. De puntenΓ, M en K uit vgl. (1.3) hebben respectievelijk energiewaarden ±3t, ±t en 0. Omdater twee elektronen per eenheidcel zijn, is de π band helemaal gevuld is en ligt het Ferminiveau (voor T = 0 K) bij E = 0 en snijdt het de top van de valentieband en hetminimum van de conductieband in het K punt. Omdat we verondersteld hebben datde overlapmatrix de eenheidsmatrix is, wat wil zeggen dat er geen overlap is tussen deatomaire golffuncties van koolstofatomen A en B, is de energie dispersie symmetrischrond nul. Uit een berekening van de toestandsdichtheid volgt dat de toestandsdichtheidbij het Fermi niveau nul is13. In deze beschrijving is grafeen dus een halfgeleider meteen bandgap gelijk aan nul, wat een gevolg is van het feit dat de A en B atomen dezelfdesoort atomen zijn. Als dit niet het geval was (zoals bij boron nitride) dan waren dediagonaalelementen van de Hamiltoniaan verschillend geweest en zou de energie dispersieeen energiekloof tussen de banden tonen.


2.3 Bandenstructuur rond het Dirac punt

Elektronische excitaties met een lage energie zijn excitaties met een energie veel kleinerdan de bandbreedte 6|t|. Uit sectie 2.2 volgt dat als we deze excitaties willen beschrijven,we moeten kijken naar excitaties rond het Fermi niveau (≪ t). Uit de energie dispersie(Fig. 2.1) volgt dat zulke excitaties zich rond het K punt bevinden. Dit zijn ladingsdra-gers met een kristal golfvector ~k = ~K + d~k. Om de energie dispersie relatie rond het Kpunt te vinden, expanderen we de functie f(~k) uit vgl. (2.16) rond K =

(

0, 4π/3√3a)

.De meeste fundamentele eigenschappen van grafeen zitten bevat in het model verkre-gen uit een eerste orde Taylor expansie van f(~k). Hogere ordes worden verwaarloosdaangezien we reeds tijdens het opstellen van de tight binding Hamiltoniaan deze termenhebben laten vallen. Als we de oorsprong verplaatsen naar het K punt dan bekomen we

f(~k) ≈ f( ~K) + kx∂f(~k)

∂kx

∣

∣

∣

∣

∣

~k= ~K

+ ky∂f(~k)

∂ky

∣

∣

∣

∣

∣

~k= ~K

, (2.19)

met∂f(~k)

∂kx= ia

[

eikxa/2 cos

(

ky√3a

2

)

− e−ikxa

]

, (2.20)

en∂f(~k)

∂ky= −

√3aeikxa/2 sin

(

ky√3a

2

)

. (2.21)

Als we gebruik maken van sin(2π/3) =√

(3)/2, cos(2π/3) = −1/2 en f( ~K) = 0, watvolgt uit vgl. (2.16), dan bekomen we:

f(~k) ≈ −i3a2(kx − iky). (2.22)

Door vgl. (2.22) te substitueren in vgl. (2.17) vinden we een lineaire energie dispersierelatie rond het K punt:

E = s|t|3a2k, (2.23)

met s = sign(E) en waar we gebruik gemaakt hebben van k2 = k2x + k2y . De Fermisnelheidsvector wordt gegeven door

~vF =1

~∇~k

E = s|t|3a2~

(

cosφsinφ

)

, (2.24)

aangezien kx = k cosφ en ky = k sinφ met φ de hoek ingesloten door de golfvector ~k ende x-as. De Fermi snelheid wordt dan

vF = |t|3a2~. (2.25)

Substitueren van vgl. (2.25) in vgl. (2.23) geeft

E = s~vF k, (2.26)


−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1−0.0500.050.1−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

kxa

K

kya

E/t

Figuur 2.2: Het lineaire spectrum rond het Dirac punt. De energie wordt weergegevenin eenheden van t en de golfvectoren in eenheden van 1/a.

wat sterk lijkt op de relativistische energie voor een massaloos deeltje met impuls ~k(bv. een foton). Het enige verschil is dat de lichtsnelheid vervangen is met de Fermisnelheid. Dit is een eerste indicatie dat ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeenzich gedragen als massaloze relativistische deeltjes. De uitdrukking voor de energie uitvgl. 2.26 wordt geplot in Fig. 2.2. Als we vgl. (2.25) en vgl. (2.22) substitueren invgl. (2.14) bekomen we de Dirac-achtige Hamiltoniaan:

H0 = ~vF

(

0 i(kx − iky)−i(kx + iky) 0

)

. (2.27)

Omwille van deze gelijkenis noemt men het K punt, het Dirac punt. Het lineaire spec-trum is experimenteel bevestigd door het meten van de energie-afhankelijke cyclotronmassa6, de observatie van een relativistisch analogon van het integer kwantum Hall ef-fect7 en directe metingen van de dispersie met ARPES14. Een ruwe afschatting van deFermi snelheid, gedefinieerd in vgl. (2.25), geeft vF ≈ 106 ms−1, waar we de parametert ≈ −3eV gesteld hebben12. Dit is ongeveer een factor 300 kleiner dan de lichtsnelheiden ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen bewegen dus niet aan relativistischesnelheden, maar gedragen zich relativistisch omwille van de symmetrie van het rooster.

Hoofdstuk 3

Verstrooiing van Dirac deeltjes

aan elektrostatische barrieres

3.1 Massaloze Dirac fermionen

Uit sectie 2.3 volgde dat de ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen beschrevenworden door de Dirac-achtige Hamiltoniaan:

H0 = ~vF~σ · ~k, (3.1)

met de Fermi snelheid vF ≈ 106 ms−1 en de Pauli matrices ~σ = (σx, σy). De fase-factoren i en −i uit vgl. 2.27 worden in de componenten van de golffunctie gestoken.De analogie met het Dirac formalisme uit de relativistische Kwantummechanica kannog verder getrokken worden. Voor positieve energie (conductieband, zie Fig. 2.2) zijnde ladingsdragers elektron-achtig en negatief geladen. Als de energie negatief is ende valentieband niet helemaal opgevuld is, dan gedragen de onopgevulde toestandenzich als positief geladen quasideeltjes; deze holten zijn het analogon van positronen inde Kwantumelektrodynamica. In de klassieke Kwantummechanica zijn elektronen enholten niet met elkaar verbonden: ze worden door twee verschillende niet-gekoppeldeSchrodingervergelijkingen beschreven (verschillende effectieve massa), met een parabo-lisch energiespectrum. De componenten van de twee componentsfunctie Ψ ≡ (ΨA,ΨB),gedefinieerd in vgl. (2.4), geven weer wat de relatieve bijdrage is tot de golffunctie vanhet quasideeltje van de twee subroosters A en B (van de Bloch orbitalen). Deze beschrij-ving is gelijkaardig aan deze van spinor golffuncties, waar de spin vervangen wordt doorsubrooster of pseudospin σ. Nu kunnen we ook begrijpen waarom de Klein paradox voor-komt in grafeen. De Klein paradox in de Kwantumelektrodynamica kan geınterpreteerdworden door het feit dat voor een potentiaalbarriere die hoog genoeg is, de energie in depotentiaal voldoende negatief wordt om een positron te creeren. Dat positron tunneltvervolgens door de barriere en verschijnt terug als een elektron uit de barriere. Dit ismoeilijk waar te nemen in de elementaire deeltjesfysica, omdat de vereiste potentiaalvan de orde van de rustenergie van het positron moet zijn, wat zeer grote elektrischevelden oplevert. Omdat quasideeltjes in grafeen massaloos zijn, wat een gevolg is van

12

Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrieres 13

het lineaire energiespectrum, is er geen theoretische ondergrens voor de Klein paradox.In de volgende secties wordt de verstrooiing van ladingsdragers, beschreven door H0,aan een-dimensionale elektrostatische stappotentialen besproken. Ook de Klein paradoxwordt theoretisch aangetoond.

3.2 Algemene oplossing van de tijdsonafhankelijke Dirac

vergelijking

In de envelop functie benadering worden de ~k waarden in de tight binding HamiltoniaanH0 vervangen door operatoren −i∇. Als we werken in de positierepresentatie, geldt er

~k =

(

kxky

)

, (3.2)

kx = −i ∂∂x, (3.3)

ky = −i ∂∂y, (3.4)

zodat de Hamiltoniaan H0 gegeven wordt door

H0 = ~vF

(

0 kx − ikykx + iky 0

)

. (3.5)

Uit de tijdsonafhankelijke Dirac vergelijking H0ψ = EΨ volgt

ΨB =~vFE

(kx + iky)ΨA, (3.6)

en

(k2x + k2y)ΨA =

(

E

~vF

)2

ΨA, (3.7)

dit is een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde in x en y. Het oplossen vandeze vergelijking en de subsitutie van de oplossing ΨA in vgl. (3.6) geeft ons de envelopfuncties van de eigentoestanden van H0. Voor de studie van verstrooiing wordt er gekekennaar een-dimensionale barrieres in de x-richting. Daarom wordt er verondersteld dat hetquasideeltje vrij is in de y-richting. Omdat kx en ky gekoppeld worden de Hamiltoniaanzal de verstrooiing anisotroop zijn. Dit is een fundamenteel verschil met verstrooiingvan ladingsdragers beschreven door de Schrodingervergelijking. Door een scheiding vanveranderlijken Ψ(x, y) = ψ(x)eikyy toe te passen op vgl. (3.7) vindt men

ψ(x) = a

(

1seiφ

)

eikxx + b

(

1−se−iφ

)

e−ikxx, (3.8)

met (E/~vF )2 = k2x + k2y, kx = k cosφ, ky = k sinφ en −π/2 < φ < π/2. We zullen

ook altijd veronderstellen dat kx en ky reeel zijn tenzij expliciet vermeld. De complexe


coefficienten a en b kan men bepalen naargelang de fysische situatie. Omdat we dezecomponenten fysisch willen interpreteren als een rechts- en linkspropagerende golf, be-kijken we de groepssnelheid in de x-richting. Deze werd gegeven door vgl. (2.24):

vx = svF cosφ, (3.9)

waaruit volgt dat een holte (s = −1) in de tegengestelde zin beweegt dan een elektron(s = 1). Om de golffunctie juist te interpreteren moeten we ervoor zorgen dat de juistecoefficient bij de juiste component staat. Omdat voor een holte de componenten vanplaats verwisselen, vermenigvuldigen we kx met het teken van de energie s. De invalshoekwordt dan gegeven door

arctan

(

kyskx

)

= sφ. (3.10)

Dit is ook een oplossing van vgl. (3.7) en hieruit volgt samen met vgl. (3.6):

ψ(x) = a

(

1eisφ

)

eiskxx + b

(

1−e−isφ

)

e−iskxx. (3.11)

De Hamiltoniaan voor een quasideeltjes dat zich voortbeweegt in een potentiaal V wordtgegeven door H = H0 + V of expliciet

H = ~vF

(

V kx − ikykx + iky V

)

. (3.12)

De statische Dirac vergelijking Hψ = Eψ is exact oplosbaar voor een constante poten-tiaal V = V0. Om de oplossingen te bekomen voor een constante potentiaal in de x-richting, wordt er opgemerkt dat enkel de energieschaal veranderd is tegenover vgl. (3.7),E → E − V0. De golfvector in de potentiaal wordt gegeven door

q = s′E − V0~vF

, (3.13)

waar s′ = sign(E − V0). Omdat de potentiaal langs de x-richting ligt geldt er

q2 = q2x + k2y , (3.14)

waar qx de nieuwe x-component van de golfvector is. Uit vgl. (3.13) volgt dan

qx =

√

(

E − V0~vF

)2

− k2y , (3.15)

wat imaginair wordt als q2 − k2y < 0. De golffunctie in de potentiaal wordt dus gegevendoor vgl. (3.11) met kx ↔ qx, φ↔ θ en s↔ s′. Als qx reeel is, kunnen we de brekingshoek−π/2 < s′θ < π/2 definieren door

arctan

(

kys′qx

)

= s′θ. (3.16)


Aan de hand van de definite van ky in beide gebieden, krijgt men

k sinφ = q sin θ (3.17)

ofsk sin(sφ) = s′q sin(s′θ), (3.18)

met sφ en s′θ respectievelijk de invals -en brekingshoek. Deze vergelijking is een soortwet van Snellius voor breking aan een potentiaal V0 voor massaloze Dirac fermionen. Degrootte van de golfvector maal het teken van de energie neemt de rol van brekingsindexover. Grafeen kan dus bijgevolg rond het Fermi niveau, beschouwd worden als een metamateriaal, aangezien de brekingsindex negatief kan worden15.

3.3 Continuıteitsvergelijking

Om verstrooiing te onderzoeken, moeten de coefficienten van de golffunctie uit vgl. 3.11bepaald worden in functie van a. Hiervoor moet er een eis gesteld worden voor degolffunctie aan het begin van de barriere. De transmissie wordt dan berekend aan dehand van de stroomdichtheid, die bekomen wordt uit de continuıteitsvergelijking. Dewaarschijnlijkheidsverdeling ρ = |Ψ|2 wordt gegeven door

Ψ†Ψ = (Ψ∗A,Ψ

∗B)

(

ΨA

ΨB

)

= |ΨA|2 + |ΨB |2 = ρA + ρB , (3.19)

de lading wordt gegeven door −seρ met e de elementaire lading. We zoeken nu deuitdrukking voor de stroomdichtheid ~j door de continuıteitsvergelijking

∂ρ

∂t+∇ ·~j = 0, (3.20)

uit te werken. Gebruik makend van i~ ∂∂tΨ = HΨ, bekomen we

i~∂

∂tρA = −~vF

[

Ψ∗A

(

i∂

∂x+

∂

∂y

)

ΨB +ΨA

(

i∂

∂x− ∂

∂y

)

Ψ∗B

]

, (3.21)

i~∂

∂tρB = −~vF

[

ΨB

(

i∂

∂x+

∂

∂y

)

Ψ∗A +Ψ∗

B

(

i∂

∂x− ∂

∂y

)

ΨA

]

, (3.22)

wat geldig is voor al de Hamiltonianen die gebruikt worden in dit proefschrift. Omdatρ = ρA + ρB , volgt er uit de vorige vergelijkingen

∂ρ

∂t= −vF

[

∂

∂x(ΨAΨ

∗B +Ψ∗

AΨB) +∂

∂yi(ΨAΨ

∗B −Ψ∗

AΨB)

]

(3.23)

= −2vF

[

∂

∂xRe(Ψ∗

AΨB) +∂

∂yIm(Ψ∗

AΨB)

]

. (3.24)


Identificatie van vgl. (3.23) met vgl. (3.20) geeft voor de stroomdichtheid

~j = 2vF

(

Re(Ψ∗AΨB)

Im(Ψ∗AΨB)

)

. (3.25)

Om de voorwaarde aan een barriere in de x-richting op x = 0 te vinden, integreren weHΨ = EΨ tussen −ǫ en ǫ voor de limiet van ǫ → 0. Dit geeft voor het rechter -enlinkerlid respectievelijk:

limǫ→0

∫ ǫ

−ǫΨA dx = 0,

limǫ→0

∫ ǫ

−ǫkxΨB dx = −i lim

ǫ→0

∫ ǫ

−ǫ[ΨB(ǫ)−ΨB(−ǫ)], (3.26)

waaruit volgt

limǫ→0

∫ −ǫ

ǫ[ΨB(ǫ)−ΨB(−ǫ)] = 0. (3.27)

De voorwaarde gegeven in vgl. (3.27) is verschillend van de voorwaarde bekomen metde Schrodingervergelijking, waar niet enkel de golffunctie, maar ook de afgeleide van degolffunctie continu moet zijn.

0

V0

x

V (x)

Figuur 3.1: Potentiaalberg met hoogte V0.

3.4 Potentiaalberg

Beschouw de stappotentiaal (zie Fig. 3.1)

V (x) =

{

0 x < 0,V0 x > 0.

(3.28)

De golffunctie voor x < 0 wordt gegeven door vgl. (3.11):

ψ1(x) = a

(

1eisφ

)

eiskxx + b

(

1−e−isφ

)

e−iskxx, (3.29)


Voor de stroomdichtheid langs de x-richting j(x < 0), gedefinieerd in vgl. (3.25), vindtmen

j(x < 0) = 2vF (|a|2 − |b|2) cosφ= j+ − j−. (3.30)

Voor x > 0 moeten we twee situaties beschouwen afhankelijk van s = sign(q2 − k2y). Alss = −1 dan is qx imaginair, i.e. qx = i|qx|. Omdat de golffunctie eindig moet zijn voorx→ ∞ vindt men aan de hand van vgl. (3.6):

ψ2(x) = c

(

1

i ~vFE−V0

(|qx|+ ky)

)

e−|qx|x. (3.31)

De coefficienten b en c worden uitgedrukt in functie van a door te stellen dat de golffunctiecontinu moet zijn in x = 0 wat volgt uit vgl. (3.27). ψ1(0) = ψ2(0) geeft

a+ b = c,

aeisφ − be−isφ = c i~vF

E − V0(|qx|+ ky),

waaruit volgt

b =u

u∗a,

c =2cos φ

u∗a, (3.32)

met

u = eisφ − i~vF

E − V0(|qx|+ ky).

Noemen we nu r ≡ b/a de reflectiecoeficient en t ≡ c/a de transmisiecoeficient danvinden we voor de stroomdichteid j(x > 0) = jt = 0. De reflectiewaarschijnlijkheidR ≡ j−/j+ = |r|2 en de transmissiewaarschijnlijkheid T ≡ jt/j+ zijn dan respectievelijkgelijk aan 1 en 0 wat volgt uit vgln. (3.32) en (3.30). Er moet gelden dat R + T = 1(behoud van stroom) wat triviaal voldaan is. Voor s = 1 krijgen we voor de golffunctiena de stap, als we de golf van links laten invallen:

ψ2(x) = c

(

1

eis′θ

)

eis′qxx. (3.33)

Uit de continuıteitsvoorwaarde volgt

a+ b = c,

aeisφ − be−isφ = ceis′θ,


waaruit volgt

b =eisφ − eisθ

e−isφ + eisθa,

c =2cos φ

e−isφ + eisθa. (3.34)

Voor de stroomdichtheid jt bekomen we nu

jt = 2vF |c|2 cos θ, (3.35)

R en T worden dan

R =1− cos(sφ− s′θ)

1 + cos(sφ+ s′θ), (3.36)

T = |t|2 cos θcosφ

=2cosφ cos θ

1 + cos(sφ+ s′θ). (3.37)

Dit volgt uit vgln. (3.34) en er geldt ook dat R+T = 1. De transmissiewaarschijnlijkheidvoor de potentiaalberg wordt getoond in Fig. 3.2, voor (a) massaloze Dirac fermionen alsfunctie van E/~vF en φ, en (b) klassieke Schrodinger deeltjes als functie van E/V0. Uit(a) volgt dat het probleem, zoals men verwacht, symmetrisch is en dat er een knooppuntis bij de hoogte van de potentiaal. Men merkt ook op dat er altijd tunneling is rond φ = 0en aangezien het knooppunt opschuift naar rechts voor grotere potentialen, wordt de po-tentiaalberg transparanter met toenemende hoogte V0, wat beschouwd kan worden alseen voorbeeld van de Klein paradox. Voor E > V0 verandert T heel snel van nul naar eenvoor een bepaalde hoek, die groter wordt met toenemende energie. De verschillen metde transmissiewaarschijnlijkheid in (b), die men bekomt voor de Schrodingervergelijking,zijn de koppeling tussen kx en ky, en tussen holtes en elektronen. Voor (b) geldt ookdat voor E < V0, T altijd gelijk aan nul is en de golffunctie exponentieel afneemt achterde potentiaalberg16. Soortgelijke conclusies kunnen genomen worden uit de waarschijn-lijkheidsverdeling (evenredig met de lading) in functie van de hoek phi en de positie xvan de golffuncties uit vgln. (3.29) en (3.31) met coefficienten gegeven door vgln. (3.32)en (3.34), die geplot worden in Fig. 3.3 voor s′ = ±1. Deze plots zijn louter kwalita-tief (met dezelfde kleurschaling als Fig. 3.2), aangezien de waarschijnlijkheidsverdelinggenormaliseerd moet zijn en vlakke golven niet normaliseerbaar zijn (tenzij het systeemopgesloten wordt). Voor s′ = 1 valt er op dat er enkel tunneling is voor quasideeltjesdie ongeveer loodrecht invallen op de potentiaalberg, wat ook te zien is in de transmis-siewaarschijnlijkheid (a) van Fig. 3.2. Het gebied waar T ≈ 1 wordt plots nul vanaf eenbepaalde hoek en breidt zich uit naarmate de energie groter wordt. Als s′ = −1 is ertunneling rond φ = 0, die sterker wordt naarmate de berg hoger wordt (Klein paradox).De resonanties in het gebied voor de potentiaalberg zijn steeds te wijten aan interferentietussen de inkomende en gereflecteerde golf.


E/hvF

φ(r

ad)

−2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) Dirac

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

E/V0

T

(b) Schrodinger

Figuur 3.2: (a) De transmissiewaarschijnlijkheid T van quasideeltje beschreven metDirac-achtige Hamiltoniaan H voor een potentiaalberg van hoogte V0/~vF = 2 als functievan E/~vF en hoek φ. (b) T voor een Schrodinger deeltje in functie van E/V0.


x

φ(r

ad)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(a) E/~vF = 3, s′ = 1

x

φ(r

ad)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(b) E/~vF = 1, s′ = −1

Figuur 3.3: Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 voor een potentiaalberg van hoogteV0/~vF = 2 op x = 0 in functie van de hoek φ en positie x in lengte eenheden [~vF /E].


0

V0

D x

V (x)

Figuur 3.4: Potentiaalbarriere met hoogte V0 en breedte D.

3.5 Potentiaalbarriere

Beschouw de stappotentiaal (zie Fig. 3.4)

V (x) =

{

V0 0 < x < D,0 elders.

(3.38)

Gebruik makend van dezelfde methodiek als in de vorige sectie over de potentiaalberg,krijgen we voor de golffunctie:

ψ(x) =

a

(

1eisφ

)

eiskxx + b

(

1−e−isφ

)

e−iskxx x < 0,

c

(

1

eis′θ

)

eis′qxx + d

(

1

−e−is′θ

)

e−is′qxx 0 < x < D,

f

(

1eisφ

)

eiskxx x > 0,

als we golf van links laten invallen met a, b, c, d en f complexe coefficienten. Buitende barriere volgt de golffunctie uit vgl. (3.11), in de barriere 0 < x < D zijn beidecomponenten toegelaten omdat de golffunctie steeds normaliseerbaar is op een eindiginterval. Er moet dus niet meer expliciet gekeken worden naar de verschillende gevallenvoor s = ±1. De stroomdichtheid j(x) wordt gegeven door

j(x) = 2vF

(|a|2 − |b|2) cosφ = j+,1 − j−,1 x < 0,(|c|2 − |d|2) cos θ = j+,2 − j−,2 0 < x < D,|f |2 cosφ = jt x > 0.

(3.39)

Door de continuıteitsvoorwaarde op x = 0 en x = D, worden alle coefficienten uitgedruktin functie van a:

b = 2eisφ sin(qxD)[ss′ sinφ− sin θ]a/u,

c = ga,

d = ei2s′qxD eis

′θ − eisφ

e−is′θ + eisφga,

f = 2e−iskxD cosφ cos θa/u, (3.40)


met

u = e−is′qxD cos(sφ+ s′θ) + eis′qxD cos(sφ− s′θ)− 2is′ sin(qxD),

g = e−is′qxD cosφ(e−is′θ + eisφ)/u.

De reflectie -en tranmissiewaarschijnlijkheid worden respectievelijk gegeven door R =j+,1/j−,1 = |r|2 en T = j+,1/jt = |t|2, zoals vroeger gedefinieerd. Een expliciete vormwordt niet gegeven, omdat ze nogal ingewikkeld is en niet noodzakelijk is voor de in-terpretatie. De uitdrukking voor r stemt overeen met deze uit Katsnelson et al. 11 . Detransmissie voor de potentiaalbarriere wordt getoond in Fig. 3.5, voor (a) massalozeDirac fermionen en (b) klassieke Schrodinger deeltjes als functie van de energie. In (a)is de Klein paradox zichtbaar rond φ = 0 en treden er resonanties op voor qxD = nπ ,met n ∈ N. Uit vgl. (3.40) volgt dat dan r = 0 of T = 1. Voor (b) wordt de barrieretransparanter met toenemende energie en is T onafhankelijk van ky. De waarschijnlijk-heidsverdeling is geplot in Fig. 3.6 voor s′ = ±1. De verhoogde waarschijnlijkheid (a) inde barriere zelf, maken heeft te maken met interferentie in de barriere en exponentielebijdragen voor qx imaginair.


ED/hvF

φ(r

ad)

−4 −2 0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) Dirac V0D/~vF = 6

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ED22m/h2

T

(b) Schrodinger V0D22m/~2 = 25

Figuur 3.5: De transmissiewaarschijnlijkheid voor een potentiaalberg als functie van deenergie E en (a) hoek φ in energie eenheden van (a) D−1

~vF en (b) D22m/~2


x/D

φ(r

ad)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(a) ED/~vF = 3

x/D

φ(r

ad)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(b) ED/~vF = 7

Figuur 3.6: Waarschijnlijkheidsverdeling |ψ|2 voor een potentiaalbarriere van breedte Den hoogte V0D/~vF = 6 in functie van ψ en x/D.


3.6 Transfermatrixmethode

Voor een willekeurge stuksgewijze stappotentiaal, gebruikt men liever een numeriekemethode omdat de analytische berekeningen te lang en ingewikkeld worden. Deze me-thode noemt men de transfermatrixmethode. Beschouw een willekeurige stuksgewijzestappotentiaal

V (x) =

V1 x < x1,V2 x1 < x < x2,...

...VN x > xN−1,

(3.41)

die bestaat uitN verschillende deelgebieden. De golffuncties in deze deelgebieden wordengegeven door

ψ(x) =

a1

(

1eis1φ1

)

eis1kx,1x + b1

(

1−e−is1φ1

)

e−is1kx,1x x < x1,

a2

(

1eis2φ2

)

eis2kx,2x + b2

(

1−e−is2φ2

)

e−is2kx,2x x1 < x < x2,

......

aN

(

1eisNφN

)

eisNkx,Nx + bN

(

1−e−isNφN

)

e−isNkx,Nx x > xN−1,

(3.42)

waar we bN gelijk aan nul stellen als we de golf van links laten invallen. De stroomdicht-heid wordt dan

j(x) = 2vF

(|a1|2 − |b1|2) cosφ1 = j+,1 − j−,1 x < x1,(|a2|2 − |b2|2) cosφ2 = j+,2 − j−,2 x1 < x < x2,...

...|aN |2 cosφN = jt x > xN−1.

(3.43)

Hiernaast geldt ook dat

kj = sjE − Vj~vF

, (3.44)

kx,j =

√

(

E − Vj~vF

)2

− k2y , (3.45)

φj = arctan

(

kykx,j

)

, (3.46)

met (j = 1, . . . , N), sj = sign(E − Vj) en s1φ1 de invalshoek. De coeficienten a2 en b2worden uitgedrukt in functie van a1 en b1, door de continuıteitsvoorwaarde in x = x1:(

a2b2

)

=1

2 cos φ2× (3.47)

(

eix1(s1k1−s2k2)(e−is2φ2 + eis1φ1) e−ix1(s1k1+s2k2)(e−is2φ2 − e−is1φ1)

eix1(s1k1+s2k2)(eis2φ2 − eis1φ1) e−ix1(s1k1−s2k2)(eis2φ2 + e−is1φ1)

)(

a1b1

)

.


We noemen de matrix uit vgl. (3.47) T (1), en samen met uj = (aj, bj)t kunnen we

schrijvenuN = T (N−1) . . . T (2)T (1)u1 =Mu1, (3.48)

waar weM de transfermatrix noemen. We vinden zo een uitdrukking voor de coeficientenb1 en aN in functie van a1:

(

aN0

)

=

(

M11 M12

M21 M22

)(

a1b1

)

, (3.49)

waaruit volgt dat

b1 = −M21

M22a1, (3.50)

aN =

(

M11 −M21

M22M12

)

a1. (3.51)

Uit vgl. (3.43) volgt dan voor de reflectie-en transmissiewaarschijnlijkheid

R =

∣

∣

∣

∣

M21

M22

∣

∣

∣

∣

2

, (3.52)

T =

∣

∣

∣

∣

M11 −M21

M22M12

∣

∣

∣

∣

2 cosφNcosφ1

. (3.53)

De juistheid van deze methode en de numerieke implementatie werd aangetoond door tekijken naar de resultaten voor de potentiaalberg en potentiaalbarriere. De transmissie-waarschijnlijkheiden voor de potentiaal gegeven in Fig. 3.7, samen met een potentieel diebestaat uit dezelfde stappotentiaal gevolgd door de omgekeerde van de eerste, wordengetoond in Fig. 3.8. De eenheden zijn hetzelfde als in het deel over de potentiaalberg.In Fig. 3.8 (a,b) zijn er resonanties en de Klein paradox rond φ = 0. (b) Omdat holtenen elektronen dezelfde potentiaal zien, maar in omgekeerde volgorde, is T symmetrischrond nul.

0

0.5

V0/~vF = 3

0.5. . .

2.5 3.5. . .

6

x

Figuur 3.7: Potentiaal die gebruikt werd in de transfermatrixmethode.


E/hvF

φ(r

ad)

−2 −1 0 1 2 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a)

E/hvF

φ(r

ad)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(b)

Figuur 3.8: Transmissiewaarschijnlijkheid T , numeriek berekend met de beschreventransfermatrixmethode voor (a) de stappotentiaal gegeven in Fig. 3.7 en (b) dezelfdestappotentiaal gevolgd door de omgekeerde van de eerste. De energie wordt gegeven ineenheden van ~vF .

Hoofdstuk 4

Verstrooiing van Dirac deeltjes

aan magnetische barrieres

We beschouwen een magnetisch veld langs de z-richting, beschreven door de vectorpo-tentiaal ~A met ijk

~A = (0, B0x, 0) , (4.1)

en dus ~B = ∇× ~A = (0, 0, B0). De Hamiltoniaan voor een Dirac deeltje in dit magnetischveld wordt gegeven door H0 waar ~k → ~k − q ~A/~:

H = ~vF~σ ·(

~k − q

~

~A)

, (4.2)

met q = −se de lading van het quasideeltje. De Landau levels worden nu berekend uitde statische Dirac vergelijking HΨ = EΨ.

4.1 Landau levels

De Hamiltoniaan H voor een magneetveld uit vgl. (4.2) waar we de ijk uit vgl. (4.1)gebruiken, wordt expliciet gegeven door

H = ~vF

(

0 kx − i(ky + γ e|B0|~x)

kx + i(ky + γ e|B0|~x) 0

)

, (4.3)

met γ = sign(−qB0). Omdat [H, ky] = 0 wordt de operator ky vervangen door zijnverwachtingswaarde en krijgen we voor de eigentoestand Ψ = ψ(x)eikyy. Om de verge-lijkingen uit Hψ = Eψ te ontkoppelen, nemen we het kwadraat van H:

H2 = ~2v2F

(

k2x + (ky + γ e|B0|~x)2 + ~e|B0| 0

0 k2x + (ky +e|B0|~x)2 − ~e|B0|

)

, (4.4)

waar er gebruik gemaakt wordt van de commutator [kx, x] = −i. We definieren nu

α =

√

2e|B0|~

=√2l−1

B , (4.5)

28

Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrieres 29

met lB de magnetische lengte. Substitutie van vgl. (4.5) in vgl. (4.4) geeft voor H2ψ =E2ψ:

[

k2x + (ky + γα2

2x)2]

ψA =

[

(

E

~vF

)2

− γα2

2

]

ψA, (4.6)

[

k2x + (ky + γα2

2x)2]

ψB =

[

(

E

~vF

)2

+ γα2

2

]

ψB, (4.7)

Deze vergelijkingen stellen het analogon voor van de kwantum harmonische oscillator uitde klassieke Kwantummechanica. Het magneetveld zorgt voor een ’Dirac’ harmonischeopsluiting rond −γkyl2B . We voeren nu enkele dimensieloze grootheden in:

E′ =E

α~vF,

x′ = αx, (4.8)

k′y =kyα,

zodat

k′x = −i ∂

∂(αx)=kxα. (4.9)

Als we de accenten weglaten krijgen we voor vgln. (4.6) en (4.7):[

k2x +1

4(x− x0)

2

]

ψA =[

E2 − γ

2

]

ψA, (4.10)

[

k2x +1

4(x− x0)

2

]

ψB =[

E2 +γ

2

]

ψB , (4.11)

met x0 = −2γky. Stellen we nu x′ = x− x0 en

λA = −(

E2 − γ

2

)

, (4.12)

λB = −(

E2 +γ

2

)

, (4.13)

dan krijgen we uiteindelijk (als we de accenten weer laten vallen)(

k2x +1

4x2)

ψA = −λAψA, (4.14)

(

k2x +1

4x2)

ψB = −λBψB. (4.15)

of

∂2

∂x2ψA − (

1

4x2 + λA)ψA = 0, (4.16)

∂2

∂x2ψB − (

1

4x2 + λB)ψB = 0. (4.17)


Deze differentiaalvergelijkingen worden Weber vergelijkingen genoemd. De oplossingenvoor x ∈ R, worden gegeven door de Hermite polynomen ×e−x2

met eigenwaardenλ = −

(

n+ 12

)

waarbij n ∈ N+16. Uit vgln. (4.12) en (4.13) volgt dan dat de Landau

levels gegeven worden door

E2 =

{

n+ 1+γ2 ,

n+ 1−γ2 ,

(4.18)

of E2 = n, aangezien n ∈ N+ en γ = ±1. Als we terug overgaan naar normale eenheden

krijgen we:

E = s√

2ne~|B0|v2F , (4.19)

met s = sign(E). Uit deze uitdrukking volgt dat de grondtoestand gegeven wordt doorE = 0 en dat er negatieve Landau levels zijn (holtes).

0 x

Ay(x)

Figuur 4.1: Magnetische berg voor een magneetveld B0. De stippellijn stelt de y-component van de vectorpotentiaal voor.

4.2 Magnetische berg

Beschouw de stuksgewijze vectorpotentiaal (zie Fig. 4.1)

~A(x) =

{

(0, 0, 0) x < 0,(0, B0x, 0) x > 0.

(4.20)

De golffunctie voor x < 0 wordt gegeven door vgl. (3.11). Voor x ∈ R+ worden de oplos-

singen van de differentiaalvergelijking uit vgln. (4.16) en (4.17) gegeven door parabolischecilinder functies of Weber functies17. Er bestaan twee onafhankelijke oplossingen of We-ber functies, die functie zijn van de eigenwaarde λ en x− x0, waar x gedefinieerd werdin vgln. (4.8). Om verwarring te vermijden zullen we deze coordinaat vanaf nu x noe-men. De andere grootheden blijven ook dimensieloos, zoals gedefinieerd in vgln. (4.8).We noteren deze oplossingen als U(λ, x) en V (λ, x). De oplossingen voor ψA en ψB

in het magneetveld kunnen uit vgln. (4.16) en (4.17) bekomen worden. We gebruikenechter alleen vgl. (4.16) voor ψA, omdat er anders onvoldoende informatie is om hetverstrooiingsprobleem op te lossen. We zouden dan een stelsel bekomen met meer daneen parameter (de enige parameter is de coefficient a uit het vorig hoofdstuk). ψB wordt


zoals in het deel over elektrostatische barrieres bepaald uit door Hψ = Eψ, waar Hgegeven wordt in vgl. (4.3):

ψB =1

E

(

kx + iγx

2

)

ψA, (4.21)

waar we meteen alles dimensieloos geschreven hebben. ψA wordt zelf gegeven door

ψA = cU(λA, x) + dV (λA, x), (4.22)

met c en d complexe coefficienten. Door gebruik te maken van verschillende recursiere-laties voor U en V 17, krijgen we voor de golffunctie in de barriere:

ψ2(x) = c

(

U(λA, x)iξU(λB , x)

)

+ d

(

V (λA, x)iµV (λB , x)

)

, (4.23)

waar ξ en µ gedefinieerd zijn als

2ξ = E(γ − 1) +(γ + 1)

E, (4.24)

2µ = E(γ + 1) +(γ − 1)

E. (4.25)

Het asymptotisch gedrag in x2 van U is exponentieel dalend en van V exponentieelstijgend17. Voor de magnetische berg stellen we dus d = 0, zodat de golffunctie nietdivergeert voor x → ∞. De golffunctie voor de magnetische berg wordt dus gegevendoor

ψ(x) =

a

(

1eisφ

)

eiskxx + b

(

1−e−isφ

)

e−iskxx x < 0,

c

(

U(λA, x)ξU(λB , x)

)

x > 0.(4.26)

Uit de continuiteitsvoorwaarde ψ1(0) = ψ2(0) volgt met

b =u

u∗a, (4.27)

c = (u

u∗+ 1)/U(λA,−x0), (4.28)

met

u = eisφ − iξU(λB ,−x0)U(λA,−x0)

, (4.29)

omdat voor x = 0 geldt dat x = −x0 = 2γky. De reflectiewaarschijnlijkheid R = |r|2 metr = b/a, de reflectiecoefficient, is dus gelijk aan een. Dit volgt uit vgl. (4.27). Uit hetbehoud van stroom R + T = 1, vinden we dat de transmissiewaarschijnlijkheid T gelijkis aan nul. Voor de magnetische stap berekenen we ook de gelokaliseerde toestandenvoor het geval dat kx imaginair is, zodat de golffunctie voor de stap gegeven wordt door

ψ1(x) = b

(

1i(−|kx|+ ky)

)

e|kx|x (4.30)


ky

√

h/2e|B0|

E/√

hv2 Fe|

B0|

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

ky

√

h/2e|B0|

E/√

hv2 Fe|

B0|

−1.8 −1.7 −1.6 −1.5 −1.4 −1.31.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

Figuur 4.2: (a) De numerieke oplossingen van vgl. (4.33). Er zijn enkel oplossingenvoor kx imaginair of E2 < k2y. De energie staat in eenheden van (e~|B0|v2F )1/2 en ky in

eenheden van (~/2e|B0|)1/2. Uit vgl. (4.19) en de energie eenheden volgt dat de Landaulevels zich op de plot bevinden bij (2n)1/2. (b) een zoom op overgang naar het lineairspectrum.

Enkel deze component wordt genomen omdat de golffunctie anders divergeert voorx → −∞. Omdat kx = (E2 − k2y)

1/2 geldt er voor dit geval steeds E2 < k2y . Decontinuıteitvoorwaarde levert dan het volgende stelsel:

(

1 −U(λA,−x0)i(−|kx|+ky)

E −iξU(λB ,−x0)

)

(

bc

)

=

(

00

)

, (4.31)

dat een oplossing verschillend van nul heeft als en slechts als∣

∣

∣

∣

∣

1 −U(λA,−x0)i(−|kx|+ky)

E −iξU(λB ,−x0)

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (4.32)

Dit levert een vergelijking in E en ky:

ξU(λB ,−x0) + (√

|E2 − k2y | − ky)U(λA,−x0)

E= 0. (4.33)

Dit stelsel werd numeriek opgelost, met behulp van implementaties van de U (en V ) We-ber functies door Cojocaru 17 . De resultaten worden getoond in Fig. 4.2; (b) het lineairespectrum wordt als het ware gemengd met de Landau levels. Des te groter |ky| wordt,des te meer de energie de Landau levels benadert. De norm kwadraat van de golffunctieuit vgl. (4.26) met coefficienten gegeven in vgln. (4.27) en (4.28), wordt geplot in Fig. 4.3.Het magneetveld breekt de symmetrie tussen positieve en negatieve hoek φ. De reflec-tiewaarschijnlijkheid is nul, maar de golffunctie penetreert de barriere. De golffunctiewordt getoond voor E > 0 en γ = sign(−qB0) = 1 zodat q = −e en sign(B0) = 1. Hetmagneetveld wijst dus in de positieve z-richting en uit de Lorenztkracht volgt dat eennegatief geladen quasideeltje dat langs links invalt met snelheid vF afgebogen wordt naarlinks. De plaatsen in de magnetische berg met hoge waarschijnlijkheid zijn magnetischevallen, waar een geladen deeltje gevangen wordt in een harmonische opsluiting.


x√

2e|B0|/h

φ(r

ad)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figuur 4.3: Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 voor een magnetische berg met γ = 1 voorE = (2e~|B0|v2F )1/2 in functie van de hoek φ en positie x in eenheden (~/2e|B0|)1/2.

4.3 Magnetische barriere

Beschouw de stuksgewijze vectorpotentiaal (zie Fig. 4.4)

~A(x) =

(0, 0, 0) x < 0,(0, B0x, 0) 0 < x < D,(0, B0D, 0) x > D.

(4.34)

De golffunctie wordt gegeven door

ψ(x) =

a

(

1eisφ

)

eiskxx + b

(

1−e−isφ

)

e−iskxx x < 0,

c

(

U(λA, x)iξU(λB , x)

)

+ d

(

V (λA, x)iµV (λB , x)

)

0 < x < D,

f

(

1eisχ

)

eisqxx x > 0,

(4.35)

als we golf van links laten invallen met a, b, c, d en f complexe coefficienten. Dit volgtuit de vorige secties voor x < 0 en 0 < x < D, waar V nu wel toegelaten is omdat degolffunctie steeds normaliseerbaar is op een eindig interval. Voor x > 0 wordt is de y-component van de vectorpotentiaal een constante B0D. Uit de vergelijking H2Ψ = E2Ψin deze regio, vindt men (dimensieloos) voor Ψ = ψ(x)eikyy:

[

k2x +

(

ky + γD

2

)2]

ψA = E2ψA. (4.36)


D x

B0D

Ay(x)

Figuur 4.4: Magnetische barriere voor een magneetveld B0 met breedte D. De stippellijnstelt de y-component van de vectorpotentiaal voor.

Hieruit volgt de fysische oplossing

ψA = feisqx, (4.37)

met

qx =

√

E2 −(

ky + γD

2

)2

. (4.38)

We definieren de uitvalshoek sχ door

arctan

(

ky + γD2

sqx

)

= sχ. (4.39)

Uit de continuıteitsvoorwaarden volgt

b = [gU(λA,−x0) + ugV (λA,−x0)− 1]a,

c = ga,

d = uga,

f = [gU(λA, z) + ugV (λA, z)]e−isqxDa, (4.40)

waarbij

u =iξU(λB , z) − eisχU(λA, z)

−iµV (λB , z) + eisχV (λA, z),

g = 2cos φ/[U(λA,−x0)e−isφ + iξU(λB ,−x0) + g(V (λA,−x0)e−isφ + iµV (λB ,−x0))],z = D − x0.

waar ξ en µ gedefinieerd zijn in vgln. (4.24) en (4.25). De reflectiewaarschijnlijkheid R =|r|2 en de transmissie wordt bepaald uit het behoud van stroom T = 1−R. De transmissiewordt getoond in Fig. 4.5 voor (a) Dirac deeltjes en (b) Schrodinger deeltjes als functievan de energie en φ. In beide gevallen heeft T relatief weinig structuur en verandert zeersnel van waarde voor bepaalde hoeken en energieen. De waarschijnlijkheidsverdeling van


ky

√

h/2e|B0|

φ(r

ad)

−3 −2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) Dirac

Em/he|B0|

φ(r

ad)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(b) Schrodinger

Figuur 4.5: (a) De transmissiewaarschijnlijkheid T voor een magnetische barriere metbreedte D = lB , zie vgl. (4.5), en γ = 1 als functie van φ met energie eenheden(2e~|B0|v2F )1/2 en sign(B0) = 1. (b) Idem maar voor de Schrodingervergelijking, deenergie is in eenheden (~e|B0|)/m.

de golffunctie uit vgl. (4.35) met coefficienten gegeven in vgln. (4.40), wordt geplot inFig. 4.6 (a). Het magneetveld breekt wederom de symmetrie en de golffunctie penetreertde barriere tot een bepaalde hoek, daarna wordt de golffunctie geblokkeerd, zie Fig. 4.5(a). De uitvalshoek χ wordt ook geplot (b) voor dezelfde energie en barriere. Vanafeen bepaalde hoek φ is er geen penetratie meer van de barriere (zie ook (a)): er is eenmaximale waarde voor χ.


x√

2e|B0|/h

φ(r

ad)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

1

2

3

4

5

6

7

(a)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

φ (rad)

χ(r

ad)

(b)

Figuur 4.6: (a) Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 met γ = 1 voor een magnetischebarriere met breedte D = lB en E = (2e~|B0|v2F )1/2 in functie van de hoek φ en positiex in eenheden (~/2e|B0|)1/2 (de barriere ligt tussen x = 0 en x = 1). (b) Plot van dehoek χ in functie van φ voor dezelfde energiewaarde als (a).

Besluit

In deze theoretische bachelorproef over grafeen werd eerst een beschrijving afgeleid voorladingsdragers in grafeen met de tight binding benadering. In het bijzonder werd ergekeken naar de bandenstructuur rond het K punt of Dirac punt op de grens van deeerste Brillouin zone. De energie dispersie rond dit punt bleek lineair te zijn. Het lineairspectrum

E = s~vF k, (4.41)

rond hetK punt, waar het Fermi niveau de banden snijdt, lijkt sterk op de relativistischeenergie van een massaloos deeltje met impuls ~k, waar de lichtsnelheid vervangen is doorde Fermi snelheid vF ≈ 106ms−1. Bijgevolg kunnen de ladingsdragers rond het Ferminiveau in grafeen beschouwd worden als massaloze Dirac fermionen. Voor positieveenergie zijn deze quasideeltjes elektron-achtig en voor negatieve energie holte-achtig;de koppeling van elektron -en holte-achtige quasideeltjes kan vergeleken worden metde ladingsconjugatie tussen deeltje en anti-deeltje in de Kwantumelektrodynamica. Deanalogie met de relativistische Kwantummechanica wordt nog het meest geaccentueerddoor de Dirac-achtige Hamiltoniaan

H0 = ~vF~σ · ~k, (4.42)

die de ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen beschrijft, met ~σ = (σx, σy)de Pauli matrices. Bovendien zijn de eigentoestanden van deze Hamiltoniaan, twee-componentsgolffuncties die sterk lijken op spinor golffuncties uit de Kwantumelektrody-namica. De componenten van deze golffuncties bepalen de relatieve bijdrage van de tweesubroosters of Bloch orbitalen A en B tot de opbouw van het quasideeltje. In plaats vanspin, kan men dan ook een nieuw kwantumgetal pseudospin definieren, dat overeenkomtmet het subrooster waartoe het quasideeltje behoort. Men kan nog andere concepten, diehier niet vernoemd werden, uit de relativistische Kwantummechanica introduceren, omde analogie nog sterker te benadrukken. Het belangrijkste deel van deze bachelorproefwas echter de studie van de verstrooiing aan elektrostatische en magnetische barrieresvan deze Dirac fermionen aan de hand van de envelop functie benadering. Deze verstrooi-ing is in principe van toepassing voor ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen,maar is ook heel interessant vanuit puur theoretisch standpunt omdat massaloze fermio-nen geen doordeweekse deeltjes zijn. Aan de hand van eendimensionale elektrostatischestappotentialen, waarvoor de vergelijkingen exact oplosbaar zijn, werd de Klein paradox

37

Hoofdstuk 4. Besluit 38

aangetoond voor verscheidene problemen. Een algemene tendens bleek de perfecte trans-missie van quasideeltjes, die loodrecht op de barriere invallen. Er werd ook telkens eenvergelijking gemaakt met de oplossingen uit de Schrodingervergelijking van de klassiekeKwantummechanica. De grote verschillen met de Dirac beschrijving, zijn de koppelingtussen kx en ky in de Dirac Hamiltoniaan, en de link tussen positief -en negatief geladenquasideeltjes, die gelegd wordt door de lineaire energie dispersie. De anisotropie vande verstrooiing was een direct gevolg van deze koppeling tussen kx en ky. Uiteindelijkwerden deze eendimensionale problemen veralgemeend tot willekeurige eendimensionaleelektrostatische potentialen, met behulp van de transfermatrixmethode. Verder werd deverstrooiing aan magnetische barrieres onderzocht, nadat eerst de Landau levels

E = s√

2ne~|B0|v2F , (4.43)

voor Dirac fermionen berekend werden. Wat opvalt is dat er geen grondtoestand bestaat,zoals in de Schrodingerbeschrijving en dat de Landau levels negatief kunnen worden (hol-ten). Dit deel was over het algemeen iets technischer en meer summier dan de voorgaandesecties omdat er parabolische cilinder functies of Weber functies aan te pas kwamen. Deimplementaties van deze functies zijn te danken aan Cojocaru 17 . Dankzij deze imple-mentatie konden er eenvoudige verstrooiingsproblemen aan de hand van stuksgewijzevectorpotentialen besproken worden. Massaloze Dirac fermionen zijn exotische deeltjesmet zeer intrigerende eigenschappen. Het feit dat deze deeltjes daadwerkelijk bestaanrond het Fermi niveau in grafeen, een materiaal dat zich in elk potlood bevindt, is haastniet te geloven. Grafeen is een ongelooflijk materiaal dat veel technologische toekomst-mogelijkheden en nieuwe fysica te bieden heeft. Het vormt een brug tussen de theorievan de gecondenseerde materie en de elementaire deeltjesfysica; dankzij grafeen is hetmogelijk om exotische processen, voorspelt door de Kwantumelektrodynamica, zoals deKlein paradox, waar te nemen in het ’gewone’ labo.

Bibliografie

[1] K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V.Grigorieva, and A.A. Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films.Science, 306:666–669, 2004.

[2] R.E. Peierls. Quelques proprietes typiques des corpes solides. Ann. I.H.Poincare,5:177–222, 1935.

[3] L.D. Landau. Zur Theorie der Phasenumwandlungen II. Phys. Z. Sowjetunion, 11:26–35, 1937.

[4] N.D. Mermin. Crystalline order in two dimensions. Phys. Rev., 176:250–254, 1968.

[5] K.S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin, T. Booth, V.V. Khotkevich, S.V. Morozov,and A.K. Geim. Two-dimensional atomic crystals. PNAS, 102:10451–10453, 2005.

[6] K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V.Morozov, D.Jiang, M.I.Katsnelson, I.V.Grigorieva,S.V.Dubonos, and A.A.Firsov. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions ingraphene. Nature, 438:197–200, 2005.

[7] Y. Zhang, J.W. Tan, H.L. Stormer, and P. Kim. Experimental observation of thequantum Hall effec and Berry’s phase in graphene. Nature, 438:201–204, 2005.

[8] Peter Blake, Paul D. Brimicombe, Rahul R. Nair, Tim J. Booth, Da Jiang, FredSchedin, Leonid A. Ponomarenko, Sergey V. Morozov, Helen F. Gleeson, Ernie W.Hill, Andre K. Geim, and Kostya S. Novoselov. Graphene-based liquid crystaldevice. Nano Lett., 8:1704–1708, 2008.

[9] Jannik C. Meyer, A. K. Geim, M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, T. J. Booth, andS. Roth. The structure of suspended graphene sheets. Nature, 446:60–63, 2007.

[10] O. Klein. Die reflexion von elektronen an einem potentialsprung nach der relaitvis-tischen dynamik von dirac. Z. Phys., 53:157–165, 1929.

[11] M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov, and A.K. Geim. Chiral tunnelling and the Kleinparadox in graphene. Nature Physics, 2:620–625, 2006.

[12] R. Saito, G. Dresslhaus, and M. Dresselhaus. Physical Properties of Carbon Nano-

tubes. Imperial College Press, London, 2000.

39

Bibliografie 40

[13] Roeland Juchtmans. Elektronische structuur van periodisch gemoduleerd grafeen.Bachelorproef TGM, 2010.

[14] Thomas Seyller K. Horn Aaron Bostwick, Taisuke Ohta and Eli Rotenberg. Expe-rimental determination of the spectral function of Graphene. arXiv, pages cond–mat/0609660, 2006.

[15] Vladimir Fal’ko Vadim V. Cheianov and B. L. Altshuler. The focusing of electronflow and a veselago lens in graphene p-n junctions. Science, 315:1152–1255, 2007.

[16] B. Partoens and F. Peeters. Inleiding tot de kwantummechanica. UA cursus 2BA-FYS.

[17] E. Cojocaru. Parabolic cylinder functions. Department of Theoretical Physics,Horia Hulubei National Institute of Physics and Nuclear Engineering, Magurele-Bucharest P.O.Box MG-6, 077125 Romania.

Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen aan ...Hoofdstuk 2 Elektronische bandenstructuur van...

Documents

Transcript of Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen aan ...Hoofdstuk 2 Elektronische bandenstructuur van...