Hoofdstuk 1

Vectorregeling van een asynchrone machine

1.1 Controleren van een asynchrone motor

Door elektronische schakelingen toe te passen, kunnen we de snelheid en het koppel op de as van de motor wijzigen. De meeste elektronische schakelingen zullen enkel in staat zijn de motorfrequentie of slip te veranderen, zodat enkel de snelheid zal wijzigen. De complexere elektronische schakelingen zullen in staat zijn naast de snelheid eveneens het koppel van de motor te controleren. Regeltechnisch onderscheiden we twee mogelijkheden:

1. Sturen van de motorsnelheid2. Regelen van de snelheid en/of koppel van de inductiemotor

Het sturen van de motorsnelheid wordt ook de scalaire sturing genoemd. Hier zal dus enkel gebruik gemaakt worden van een elektronische convertor tussen het voedingsnet en de motor, met als doel enkel de snelheid van de motor te wijzigen. De voordelen van deze scalaire sturing is dat het relatief goedkoop is en dat er geen terugkoppeling nodig is. Hiernaast heb je wel het nadeel dat het koppel niet gecontroleerd wordt en het werkpunt van de motor ongekend is.Om dit probleem te verhelpen wordt gebruik gemaakt van vector controle of flux-vectorregeling. Bij dergelijke vectorregeling wordt naast de amplitude ook de fase van de flux geregeld. Een vectorregeling is dynamisch beter dan een scalaire sturing. Dit uit zich o.a. in een hogere snelheidsnauwkeurigheid, kortere

responsietijd, goede koppelregeling, enzovoort. Soms wordt de flux-vector-regeling in de literatuur ook nog “veldoriëntering” genoemd. Aangezien we met onze drive zowel kunnen sturen als regelen, worden beide in volgend onderdeel besproken. Aanvankelijk werd de drive geconfigureerd voor (de relatief eenvoudig in te stellen) U/f-regeling. In een later stadium werd overgeschakeld naar de dynamisch betere vectorcontrole.

1.1.1 Scalaire sturing van de motorsnelheid

Uit de formule van het toerental van de asynchrone motor,

n=60 . f Sp

.(1−s )[tr/min]

kunnen we afleiden dat de snelheid van de motor kan gewijzigd worden door de variabelen fS, s of p te beïnvloeden. Om een continue snelheidsregeling te bekomen, kunnen we de eerste twee variabelen veranderen, nl. de frequentie- of slipsturing. Aangezien de slipsturing in ons eindwerk niet gebruikt wordt en praktisch niet dikwijls wordt gebruikt, gaan we niet verder in op deze sturing. Indien we het aantal polen van de motor zouden veranderen (Dahlandermotor), dan komt dit neer op een discontinue snelheidsregeling. Dit valt eveneens buiten het bestek van ons eindwerk.

1.1.2 Vectorcontrole

I Inleiding

Naast de - traditionele - scalaire sturing, waarbij enkel de grootte van de motorflux en de frequentie wordt veranderd, bestaan er ook regelingen waarbij, naast de bepaling van de amplitude van de fluxvector, ook de fase wordt geregeld. Dit wordt de flux-vectorregeling of veldoriëntering genoemd. Het doel van vectorcontrole is de AC motor qua dynamiek vergelijkbaar te maken met die van de DC motor sturing (zie tabel 2). De “gewone” scalaire frequentieregelaar voldoet hierin slechts gedeeltelijk. Voor een goede dynamiek is het essentieel over zowel een snelheids- als koppelregeling te beschikken. Hiervoor is het noodzakelijk over te schakelen op vector controle. Vector controle eist echter van de DSP1 veel rekenkracht, die pakweg 30 jaar terug nog niet beschikbaar was. Dit is dan ook, ondanks de vele voordelen, de hoofdreden van de late opkomst van de AC motor en vectorcontrole in de industrie.

AC – Vector controle DC aandrijving

Snelheidsnauwkeurigheid < 0.5% < 0.5%

1 DSP, Digital Signal Processor : Dit is de naam die men geeft aan de microprocessor aanwezig in een drive systeem. Deze processor staat in voor de berekening van de passende fluxvector nodig om een zeker koppel te realiseren.

Koppelresponsietijd Max. 15ms Max. 10ms

Snelheidsresponsietijd Max. 60ms Max. 40ms

Algemeen kan men stellen dat een goed dynamisch systeem beschikt over een koppelregeling met goede besturingsmogelijkheden en korte responsietijden bij toepassing in de vier kwadranten. Vectorcontrole voldoet aan beide vereisten. We vinden vectorcontrole dan ook voornamelijk terug bij hijswerktuigen (kranen en liften) waar een grote dynamiek vereist is. De hoofdreden hiervan is dat ook bij kleine toerentallen veel koppel moet geleverd worden, daarnaast is een nauwkeurige snelheidsregeling onmisbaar.

II Schematisch

Aangezien de achterliggende theorie van vectorcontrole vooral een wiskundige aangelegenheid is, zullen we eerst het algemene principe ervan trachten te verduidelijken aan de hand van bijhorend schema. Heel kort omschreven kan men stellen dat bij vectorcontrole een omschakeling van een driefasig naar een tweefasig systeem wordt bepaald. Dit is nodig om vat te krijgen op de snelheid maar tevens op het koppel dat niet rechtstreeks kan gemanipuleerd worden in een driefasig systeem. De overschakeling naar het tweefasig systeem biedt hierbij een oplossing, maar heeft fysisch gezien geen enkele betekenis. Het is een zuiver mathematische omzetting om vat te krijgen op het driefasige systeem en zo uiteindelijk, aan de hand van enkele wiskundige transformaties, het koppel toch te kunnen manipuleren.

Op de volgende twee bladzijden vindt u de schematische voorstelling van vectorcontrole. Deze schema’s geven steeds de mathematische operaties weer om tot andere grootheden te komen. Vertrekkende van een 3-fasig systeem komt men tot een 2-fasig systeem. Verder, in deel III Theorie, gaan we heel wat dieper in op de opeenvolgende operaties.

3-fasig roterendvectorsysteem

2-fasig stilstaandvectorsysteem

2-fasig roterendvectorsysteem

2-fasig roterendvectorsysteem

stator

stator

32

1

2

3

.2

3

ss

s

uuu

uu

statorrotor

sin.cos.

sin.cos.

iii

iii

q

d

statorrotor

Regeling via PI(D) regelaar

PI(D)

Gewenste waarde

huidige waarde

Figuur 1: Schematisch overzicht van mathematische bewerkingen zoals gebruikt bij vectorcontrole

2-fasig stilstaandvectorsysteem

stator

uuu

uuu

uu

s

s

s

3

1

3

1

3

1

3

13

2

3

2

1

3-fasig roterendvectorsysteem

stator

cos.sin.

sin.cos.

qd

qd

iii

iii

driefasen meting

PBM signaal

Figuur 2: Schematisch overzicht van mathematische bewerkingen zoals gebruikt bij vectorcontrole

III Theorie

Clarck-transformatie: Overgang van een roterend, 3-fasig systeem naar een stilstaand, 2-fasig systeem

Veronderstellen we dat een driefasig systeem wordt aangelegd zoals afgebeeld in onderstaande figuur 3.

Figuur 3: Verloop van een driefasige wisselspanning in de tijd

Wanneer we de drie fasestromen i⃗S 1 ,

i⃗S 2 , i⃗S 3 op tijdstip t3 optekenen in

onderstaand vectordiagram en gebruik maken van de superpositiestelling, dan

bekomen we steeds een vector i⃗S=i⃗S1+ i⃗S 2+i⃗S 3 . We kunnen deze stroomvector

vervolgens projecteren op het assenstelsel α enβ , dat stilstaat in de tijd, om zo tot de bijhorende componenten i en i te komen. We proberen nu deze componenten uit te drukken in functie van is1, is2 en is3.

Figuur 4: Afleiding van de Clarck transformatie

Volgens de α -as:

iα=is1−(is2 . sin 30° )−( is3. sin 30 ° )

iα=is1−is

2+i s

3

2

met

is1+ is

2+is

3=0 (symmetrisch 3−fasig )

is2+ is3 =−is1

zodat

iα=32

.i s1

Volgens de β -as:

i β=is1 . cos90°+ ( is2. cos30 ° )−(i s3 . cos30 ° )i β=0+√3

2is2

−√32is3

i β=√32 (is2

−is3)

De formules gebruikt bij de Clarck-transformatie worden dan:

3-fasig 2-fasig 2-fasig 3-fasig

Stromen

iα=32

.i s1

iβ=√32 (is2

−is3)

is1=

23iα

is2=1

√3iβ−

13iα

is3=−1

√3iβ−

13iα

Spanningen

uα=32

.us1

uβ=√32 (us2

−us3)

us1=23uα

us2=1

√3uβ−

13uα

us3=−1

√3uβ−

13uα

Tabel: formules Clarck-transformatie

Omdat het assenstelsel α en β kan vastgekoppeld worden aan de stator (het draait niet mee met de rotor) wordt dit ook wel het statorcoördinatensysteem genoemd. We zullen veelvuldig gebruik maken van dit coördinatenstelsel in de volgende berekeningen. Bekijken we het ogenblikkelijke vermogen in beide stelsels dan merken we dat dit, op een constante factor na, gelijk is.

Figuur 5: Overgang van een driefasig naar een tweefasig systeem

De Clarck-transformatie kan gebruikt worden om in bovenstaande figuur 5 het driefasig systeem (ia, ib, ic ) om te rekenen naar een equivalent tweefasig

systeem. (iα ,VS en iβ ,VS ) De index “VS” staat hier voor “Vectoriële Som”. Men neemt namelijk eerst de vectoriële som van de fasestromen, vervolgens wordt

deze resultante geprojecteerd op de resp. -as. iα ,VS kan dus gelezen worden als ‘de projectie van de vectoriële som (van ia, ib, ic) op de -as’:

ia+ ib .cos (120° )+ic . cos (240 ° )=iα ,VSib . cos (30 ° )+ic .cos (150° )=iβ ,VS

Als we echter het ogenblikkelijk vermogen (p=u.i) berekenen uit de grootheden van het tweefasig systeem dan blijkt dit niet meer overeen te komen met het vermogen berekend uit de grootheden van het oorspronkelijk, driefasig, systeem:

P ( t )=ua . . ia+ub . . ib+uc . . ic≠uα ,VS . . iα ,VS+uβ ,VS . . iβ ,VS

Bij verdere uitwerking blijkt er een constante factor verschil te bestaan tussen de 2 verkregen vermogens:

met beginvoorwaarden :ua+ub+uc=0ia+ ib+ic=0

uα ,VS . . iα ,VS+uβ ,VS . . iβ ,VS=32ua

32ia+(√3

2ua+

√32ub)(√3

2ia+√3. ib)

uα ,VS . . iα ,VS+uβ ,VS . . iβ ,VS=32 [ua . ia+ub . ib+(−ua−ub ) (−ia−ib )]

uα ,VS . . iα ,VS+uβ ,VS . . iβ ,VS=32 [ua . .ia+ub . . ib+uc . . ic ]=

32

.P ( t )

Het factorverschil in beide vermogens kan men best wegwerken door zowel de

stroomoutput als de spanningoutput te verminderen, elk met een factor

√23 ,

zodat het product van spanning en stroom (dat het ogenblikkelijk vermogen

bepaald) met

23 daalt. In dergelijk geval kunnen de vermogens gelijk gesteld

worden. Dit resulteert dan in volgende stromen:

√23

. [ ia+ib . cos (120 ° )+ic .cos (240° ) ]=iα ,VS

√23 [ ia−ib2 −

−(−ia−ib )2 ]=√2

332ia=iα ,VS

iα ,VS=√32

.ia

en

√23

. [ ib .cos (30° )+ic . cos (150 ° )=iβ ,VS ]=iβ ,VS

√23 [√3

2ib−

√32

. (−ia−ib )]=iβ ,VSiβ ,VS=√1

2.ia+√2 . ib

In de praktijk zal men dus niet rechtstreeks de Clarck-transformatie gebruiken, maar houdt men ook nog rekening met het vermogen. De werkelijk gebruikte transformatie, in matrixvorm, gaat er dan als volgt uitzien:

[ iαiβ ]=[√ 32

0

1√2

√2 ] .[ iaib ]De inverse formule wordt dan:

[ iaib ]=[ √ 23

0

− 1√6

1√2

] .[iαiβ ]

Park-transformatie: Overgang van een stilstaand, 2-fasig systeem naar een roterend, 2-fasig systeem

Dankzij de Clarck-tranformatie beschikken we reeds over een tweefasig equivalent systeem, afgeleid vanuit de aangeboden driefasige wisselspanning aan de stator. We willen nu ook de invloed van dit tweefasig equivalent systeem op de rotor kennen. Het grote verschil tussen de rotor en stator is natuurlijk dat de rotor ronddraait en de stator stilstaat. De Park-transformatie biedt hier een verband tussen beide referentiestelsels. Gebruiken we achtereenvolgens de Clarck- en Park-transformatie, dan verkrijgen we een verband tussen de aangelegde driefasige wisselspanning aan de stator en de invloed hiervan, uitgedrukt in een tweefasig systeem, op de rotor.

Figuur 6: Park-transformatie

We veronderstellen dat het orthogonaal assenstelsel d - q meedraait met de

rotorfluxvector R, het assenstelsel α -β is nog steeds het ‘met de stator vast

verbonden’ assenstelsel. De fictieve spoelen α en β bouwen een tweefasig veld op dat equivalent is met het werkelijke, aangelegde, driefasig veld. Projectie zorgt zowel voor een stroomcomponent op de q-as (fluxvormende component), als een stroomcomponent op de d-as (koppelvormende component) van de draaiende rotor. Deze componenten kunnen meer bepaald geschreven worden als:

Voor iα :

idα=iα . cos λiqα=−iα . sin λ

Voor iβ :

idβ=iβ . sin λiqβ=iβ . cos λ

De stromeniα en

iβuit het coördinatensysteemα -β zorgen dus voor de stromen

id en iq in het assenstelsel d - q dat meedraait met de rotorflux R.

Verder geldt :

id=idα+idβiq=iqα+ iqβ

zodat :

id=iα . cos λ+iβ .sin λiq=i β . cos λ−iα . sin λ

Bovenstaande uitdrukkingen geven de uitdrukkingen voor de transformatie van statorcoördinaten naar veldcoördinaten weer. Men noemt dit de Parktransformatie.Mits wat eenvoudig rekenwerk kunnen we ook de inverse transformatie bepalen.

Hiervoor geldt :

iα=id . cos λ−iq . sin λiβ=id . sin λ+iq .cos λ

Regeling via een PI(D)-regelaar

Na toepassen van de twee voorgaande transformaties bekomen we nu uit een driefasig systeem, bekeken vanuit de stator, een equivalent tweefasig systeem, bekeken vanuit de rotor. Willen we nu een regeling verwezenlijken dan moeten we eerst het driefasig stelsel op complexe wijze omschrijven (zie verder). Hierna kan het verband worden gemaakt tussen de in het complexe stelsel gevonden formules (met een reëel en een imaginair gedeelte) en de stromen id en iq die als variabelen voorkomen.Willen we nu een gewenste waarde bereiken dan berekenen we eerst de huidige toestand door achtereenvolgens een Clarck- en Parktransformatie uit te voeren op de aangeboden driefasige wisselspanningen. Hierna wordt de nodige grootte van id

en iq berekend om de gewenste waarden van het koppel en het toerental te bereiken. Het verschil of de error wordt dan door de PI(D)-regelaar weggewerkt. Dit doet hij door, in functie van de tijd, de nodige groottes van de variabele stromen id en iq uit te sturen waarna deze door de inverse Clark- en

Parktransformaties opnieuw worden omgerekend naar de driefasige wisselspanning die door de pulsbreedtemodulatie (zie 3.4.1) moet worden uitgestuurd. Een vectorregeling is dus enkel mogelijk via een continue terugkoppeling van de huidige driefasige wisselspanning. Het is dus per definitie een closed-loop regeling.

Complexe voorstelling van stator- en rotorstromen

Figuur 7: voorstelling van de statorstroom is in het statorreferentiestelsel

Om de statorstroom complex voor te stellen, veronderstellen we dat:

i⃗ s=ias+aibs+a2 ics

Bovenstaande formule wijst erop dat we de statorstroom i⃗ s eerst gaan ontbinden

in drie componenten ias , ibs en ics die onderling in het vlak telkens een factor a =

120° verdraaid zijn:

ak=1 .ejk . 2 π3

zodat

a0=1

a1=1.ej1. 2 π3

a2=1.ej2. 2 π3

(a3=1 .ej3 . 2 π3 =1 )

Er bestaat een rechtstreeks verband tussen de stroom in een geleider en de magneetmotorische krachtverdeling rond deze geleider. De stroomvectoren

ias , aibs , a2 ics stellen evenzeer de ruimtelijke magneetmotorische

krachtverdeling (MMK) van de afzonderlijke fasen voor. De vector i⃗ s kan dus ook

gezien worden als de resulterende MMK-vector die ronddraait, bekeken vanuit het statorreferentiestelsel. Indien de motor constant belast wordt zal de norm van de

vector i⃗ s ongewijzigd blijven en zal de vector

i⃗ s ronddraaien met een constante hoeksnelheid waardoor zijn positie in functie van de tijd een sinusoïdaal verloop kent. Vanwege dit sinusoïdaal verloop is het bij het afleiden van onderstaande formules veroorloofd te werken met het equivalent schema van een inductiemachine.

Figuur 8: Equivalent schema van een inductiemotor

Maken we gebruik van de formule van Euler (ejx=cos x+ jsin x ) om

i⃗ s complex

te schrijven, dan kan i⃗ s aan de hand van de volgende twee veranderlijken

omschreven worden:

i⃗ s=iαs+ jiβs

Nu rest ons nog het verband te formuleren tussen bovenstaande uitdrukking en de

vroeger gebruikte uitdrukking i⃗ s=ias+aibs+a2 ics :

[ iαsiβs ]=[1 −12

−12

0 √32

−√32

] .[ iasibsics ]Op analoge wijze kan ook de rotorstroomvector omschreven worden:

i⃗ r=iar+aibr+a2 icr

i⃗ r=iαr+ jiβr

De formule voor de transformatie tussen beide stelsels wordt dan:

[ iαri βr ]=[1 −12

−12

0 √32

−√32

] . [iaribricr ]

Deze stroomvector stelt de resulterende MMK voor. Ze heeft een sinusoïdaal verloop en wordt veroorzaakt door de stromen in de rotorfasen, bekeken vanuit het rotorreferentiestelsel.

Transformatie tussen stator- en rotorreferentiestelsel

Beide vectoren kunnen zowel vanuit stator- als rotorreferentiestelsel bekeken worden.

Figuur 9: Referentiestelsel transformatie

De bijhorende transformatie formules zijn dan:

Rotorstroom Statorstroom

i⃗ r=ir .ejα In rotorcoördinaten i⃗ s '=is .e

− jε

i⃗ r '=ir .ejα .e jε

i⃗ r '=ir .ej (α+ε ) In statorcoördinaten is

Figuur 10: Transformatieformules naar rotor- en statorcoördinaten

Algemeen kan men stellen dat, door een vector te vermenigvuldigen met ejε

, men transformeert van rotor- naar statorreferentiestelsel. Omgekeerd levert een

vermenigvuldiging met e− jε

de inverse transformatie, van stator- naar rotorreferentiestelsel. Zo kunnen we bijvoorbeeld de rotorstroomvector uitdrukken in statorcoördinaten. We komen, gebruik makend van de formule van Euler, tot de volgende uitdrukking:

i⃗ r '=iαr '+ jiβr '

¿ (iαr+ jiβr ) . (cosε+ j sin ε )

¿ iαr cos ε+ jiβr cos ε+ jiαr sin ε−iβr sin ε

met ε : de hoek tussen stator− en rotorreferentiestelsel (veranderlijke hoek )iαr en jiβr : de projectie van i⃗ r vo lgens het rotorreferentiestelsel

De transformatieformule wordt:

[ iαr 'iβr ' ]=[cosε −sin εsin ε cosε ] .[ iαriβr ]

Opstellen van de spannings- en koppelvergelijking

Dusver hebben we het gehad over hoe we het oorspronkelijk driefasig systeem, vertrekkend vanuit het fysisch model van de inductiemotor, kunnen transformeren naar een tweefasig systeem dat complex wordt voorgesteld. (i.e. bestaande uit een reëel en een imaginair gedeelte) Het is nu de bedoeling om zowel aan het reëel als imaginair gedeelte een werkelijke grootheid, die de dynamiek van de motor bepaalt, te koppelen.

① Bepalen van de spanningsvergelijking

Figuur 11: Voorstelling van de flux opgewekt door een stroomvoerende wikkeling

De flux Φ is evenredig met de fluxomwinding λ, er geldt meer bepaald:

λ=Nφ=Limet

L=Nφi

Ook hier kunnen we, net als bij de stroomvector, de fluxomwinding, evenzeer een vector, beschouwen per fase van de stator en rotor. Bijgevolg wordt de ruimtevector van de statorfluxomwinding als volgt voorgesteld:

λ⃗s=λas+aλbs+a2 λcs

Analoog kan de rotorfluxomwinding geschreven worden als:

λ⃗r=λar+aλbr+a2 λcr

Beide vectoren kunnen beschouwd worden als de resulterende flux in de luchtspleet, die een sinusoïdaal verloop kent in functie van de tijd. Ook zal er steeds een component aanwezig zijn tengevolge van het bijhorende lekveld.

Gebruik makend van de formule

λ=N .φ=L .i

⇒dλdt

=L.didt

kan het equivalent schema worden aangepast:

Figuur 12: Aangepast equivalent schema van een inductiemotor

Met: - us respectievelijk uas, ubs, ucs

- is respectievelijk ias, ibs, ics

- ur respectievelijk uar, ubr, ucr

- ir respectievelijk iar, ibr, icr

Uit het equivalent schema kunnen we vervolgens de vergelijkingen afleiden:

Statorspanningsvergelijking(volgens statorreferentiestelsel)

Rotorspanningsvergelijking(volgens rotorreferentiestelsel)

uas=Rs . ias+Ldiasdt

uar=0=Rr . iar+Ldiardt

ubs=R s . ibs+Ldibsdt

ubr=0=R r . ibr+Ldibrdt

ucs=Rs .ics+Ldicsdt

ucr=0=Rr .icr+Ldicrdt

Figuur 13: stator- en rotorspanningsvergelijkingen

! Opmerking: de gelijkstelling van ur aan nul is enkel geldig voor een kooiankermotor, waar de kooi in kortsluiting ligt en de spanning in de rotorfasen dus logischerwijze nul bedraagt.

Na het vermenigvuldigen van de drie fasen met respectievelijk 1, a en a² volgt uit hun superpositie een ruimtevector die enerzijds gekoppeld is aan het statorreferentiestelsel, anderzijds aan het rotorreferentiestelsel.

De statorspanningsvergelijking in het statorreferentiestelsel:

u⃗s=Rs . i⃗ s+Ld i⃗ sdt

De rotorspanningsvergelijking in het rotorreferentiestelsel:

u⃗r=0=Rr . i⃗ r+Ld i⃗ rdt

Gebruiken we opnieuw

λ=N .φ=L .i

⇒dλdt

=L.didt

dan kunnen deze spanningsvergelijkingen herschreven worden.

De statorspanningsvergelijking in het statorreferentiestelsel wordt:

u⃗s=R s . i⃗ s+d λ⃗sdt (1)

De rotorspanningsvergelijking in het rotorreferentiestelsel wordt:

u⃗r=Rr . i⃗ r+d λ⃗rdt (2)

De totale statorfluxomwinding λ⃗s bestaat echter uit twee delen: een component

afkomstig van de stroomvector die de inductantie in de statorwikkeling veroorzaakt en een gedeelte afkomstig van de mutuele inductie tussen stator- en rotorwikkeling.

Hierdoor kunnen we de statorfluxomwinding in het statorreferentiestelsel herschrijven als:

λ⃗s=Ls . i⃗ s+M i⃗ r .ejε

Dit geldt ook voor de rotorfluxomwinding in het rotorreferentiestelsel:

λ⃗r=Lr . i⃗ r+M i⃗ s .e− jε

Met: M = de mutuele inductie2 tussen stator- en rotorfaseLs = de zelfinductiecoëfficiënt van de statorfaseLr = de zelfinductiecoëfficiënt van de rotorfase

De spanningsvergelijkingen (1) en (2) kunnen opnieuw herschreven worden.

De statorspanningsvergelijking in het statorreferentiestelsel:

u⃗s=Rs . i⃗ s+Ls .d i⃗ sdt

+Md ( i⃗ r .e jε )dt (3)

De rotorspanningsvergelijking in het rotorreferentiestelsel:

u⃗r=0=Rr . i⃗ r+Lr .d i⃗ rdt

+Md ( i⃗ s .e− jε )

dt (4)

2 Een grootheid die de mate van koppeling tussen twee magnetische systemen bepaalt, Symbool: M, Eenheid: Henry [H]. Als men door een spoel L1 een veranderlijke stroom stuurt, dan zal er rond deze spoel een veranderlijk magnetisch veld worden opgewekt. Dit veld wekt in een tweede nabije spoel L2 in een bepaalde mate inductiespanning op. Het is nu die ‘bepaalde mate’ die door de grootheid 'mutuele inductie' wordt gedefinieerd. Men spreekt van een mutuele inductie van 1 H als een stroomvariatie van 1 A/s in de eerste spoel in de tweede spoel een spanning van 1 V genereert.

waarbij i⃗ r .ejε

(resp. i⃗ s .e− jε

) kan gelezen worden als de “naar de stator (rotor) getransformeerde rotorstroom (statorstroom)”. Deze stroom veroorzaakt via de mutuele inductie een spanning in de stator (rotor)”.

② Bepalen van het elektromechanisch koppel

Nu we de fluxomwindingsvector λ⃗s=Ls . i⃗ s+M i⃗ r .e

jεkennen evenals de

stroomvector i⃗ s=ias+aibs+a2 ics (of ook

i⃗ s=iαs+ jiβs ), zijn we in staat het elektromechanisch koppel te bepalen.

De formule voor het elektromechanisch wordt gegeven door :

T=23p ( λ⃗s× i⃗ s)

Na invullen wordt dit:

T=23p((Ls . i⃗ s+M . i⃗ r .e

jε )× i⃗ s)Gezien het vectorieel product van twee gelijke vectoren steeds nul is, kunnen we dit verder vereenvoudigen tot:

T=23pM (( i⃗ r .e jε )× i⃗ s)

Dit kan ook geschreven worden als:

T=23pM Im { i⃗ s . ( i⃗ r .e jε )¿ }

(Het vectorieel product van complexe vector1 met complexe vector2 = Het imaginair gedeelte van het scalair product van het complement van complexe vector1 met complexe vector2)

③ Bepalen van de bewegingsvergelijking

We weten dat:

T−T L=J .dωmdt

Met T = Aandrijvend koppelTL = LastkoppelJ = Massatraagheidsmomentm = Hoeksnelheid van de motor

Vervangen we nu T door de hiervoor bekomen vergelijking dan verkrijgen we:

J .dωmdt

=T−T L=23pM Im { i⃗ s .( i⃗ r .e jε )¿ }−T L

Veldoriëntering

Door gebruik te maken van de bewegingsvergelijking trachten we nu vat te krijgen op de dynamiek van de motor. Dit is mogelijk indien we de variabele parameter

i⃗ r .ejε

(die niet rechtstreeks meetbaar is) uit de vorige bewegingsvergelijking in de praktijk toch proberen te bepalen. Hiervoor zijn er verschillende technieken mogelijk waarvan de volgende worden besproken:

- Luchtspleetflux-georiënteerd systeem- Statorflux-georiënteerd systeem- Rotorflux-geörienteerd systeem

① Luchtspleetflux-georiënteerd systeem

Bij deze techniek wordt gebruik gemaakt van het Hall-effect3. Men plaatst hiertoe een Hallsensor in de luchtspleet van de motor. Vanwege de heersende flux zal dan door het Hall-effect een spanningverschil opgewekt worden dat evenredig is met de heersende flux. Onderstaande figuur 14 tracht dit te verduidelijken:

Figuur 14: Hall-effect

Er wordt een gekende stroomsterkte I aangebracht die door het plaatje loopt in loodrechte richting op het geïnduceerde veld B. Als gevolg van de Lorentz4-krachten die inwerken op de elektronen(stroom) zal er een potentiaalverschil ontstaan tussen de punten M1 en M2 op de figuur. Dit potentiaalverschil is evenredig met de sterkte van het veld. De Hallspanning is namelijk rechtevenredig met de stroom alsook met de grootte van het veld en omgekeerd evenredig met de dikte van het plaatje. Aangezien zowel de dikte van het plaatje als de stroomsterkte I constant en dus gekend zijn, kunnen we stellen dat de gemeten spanning nog enkel afhankelijk is van het magnetisch veld. Het wordt nu mogelijk om de dynamiek van de motor te achterhalen door gebruik te maken van deze Hallsensor. We weten reeds:

λ⃗s=Ls . i⃗ s+M i⃗ r .ejε

Indien we veronderstellen dat het aantal wikkelingen van de stator en de rotor

hetzelfde bedraagt, kunnen we de lekcoëfficiënten van stator en rotor(σs ,σ r )voorstellen door volgende vergelijkingen:

3 Hall-effect, voor verdere verduidelijking zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Hall-effect 4 Lorentz-kracht, voor verdere verduidelijking zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Lorentzkracht

Ls=(1+σs ) .MLr=(1+σr ) .M

De totale lekfactor is gelijk aan :

σ=1− M 2

Ls . Lr=1− 1

(1+σ s) . (1+σ r)

We kunnen nu schrijven:

λ⃗s=Ls . i⃗ s+M i⃗ r .ejε

λ⃗s=(1+σs ) .M . i⃗ s+M i⃗ r .e jε

λ⃗s=σ s .M . i⃗ s+M ( i⃗ s+ i⃗ r .e jε )

λ⃗s= λ⃗σs+ λ⃗ l

λ⃗s= Lekflux +Luchtspleetflux

Hieruit volgt: λ⃗ l=M ( i⃗ s+ i⃗ r .e jε) (5)

Met de Hallsensor bepalen we dus de luchtspleetflux λ⃗ l . Om deze luchtspleetflux

op te bouwen, is er een zekere magnetiseringsstroom im vereist.

Met de formule

λ=N .φ=L .i

kan de luchtspleetflux ook in functie van de magnetiseringsstroom im geschreven worden:

λ⃗ l=M . i⃗ m (6)

Stellen we vervolgens (5) en (6) aan elkaar gelijk:

λ⃗ l=M . i⃗ m=M ( i⃗ s+ i⃗ r .e jε)i⃗ m= i⃗ s+ i⃗ r .e

jε

Dan volgt hieruit: i⃗ r .ejε= i⃗ m− i⃗ s

Zowel deze magnetiseringsstroom als de statorstroom zijn twee meetbare grootheden. Het is om uiteindelijk de magnetiseringsstroom te achterhalen dat we dus gebruik maken van een Hallsensor.

② Statorflux-georiënteerd systeem

Ook hier is het de bedoeling om de term i⃗ r .ejε

te achterhalen. Hiertoe wordt er nu gebruikt gemaakt van een op de stator gerichte meettechniek. We proberen

namelijk de statormagnetiseringsstroom i⃗ ms te achterhalen uitgaande van de

statorfluxomwinding λ⃗s . De werkwijze wordt verduidelijkt door volgende formule:

λ⃗s=Ls . i⃗ s+M i⃗ r .ejε met :Ls=(1+σs ) .M

zodat :

λ⃗s=M [ (1+σ s ) i⃗ s+ i⃗ r .e jε]

Men kan de statormagnetiseringsstroom i⃗ ms gelijk stellen aan:

i⃗ ms=(1+σ s) i⃗ s+ i⃗ r .e jε

Zodat we uiteindelijk bekomen:

i⃗ r .ejε= i⃗ ms−(1+σs ) i⃗ s

Wil men nu de statormagnetiseringsstroom achterhalen, dan moet men de

statorfluxomwinding λ⃗s bepalen en tevens de mutuele inductie M kennen. Men

kan de statorfluxomwinding λ⃗s bepalen uit de meting van statorspanning en

statorstroom:

u⃗s=Rs . i⃗ s+d λ⃗sdt

d λ⃗sdt

=u⃗s−Rs . i⃗ s

⇒ λ⃗s=∫ ( u⃗s−Rs . i⃗ s )dt

! Opmerking: Gezien de werking van de motor temparatuursafhankelijk is en gezien het feit dat elke werkende motor een onbepaald deel van het aangeboden vermogen in warmte dissipeert, (en dus opwarmt) valt te besluiten dat een correcte bepaling van de dynamiek via meting van statorspanning en –stroom niet mogelijk is. Om hieraan tegemoet te komen, bestaat er echter wel een alternatieve meettechniek die gebruik maakt van “sense”-spoelen die de

geïnduceerde spanning e⃗s meten:

d λ⃗sdt

= e⃗s=u⃗s

λ⃗s=∫ e⃗s .dt=∫ u⃗s .dt

Maar gezien het grote nadeel van de statorflux-systemen, men kan geen gebruik maken van standaardmotoren, blijft het bijgevolg een (te) dure aangelegenheid.

③ Rotorflux-georiënteerd systeem

Zoals in voorgaande gevallen, is het eveneens de bedoeling om de variabele

parameter i⃗ r .ejε

te bepalen. Bij een rotorflux-georiënteerd systeem wordt daartoe

de rotormagnetiseringsstroom i⃗ mr bepaald, bekeken vanuit (het referentiestelsel

van) de stator. We vertrekken hiervoor van de formule voor de rotormagnetiseringsstroom, bekeken vanuit het rotorreferentiestelsel:

λ⃗r=Lr . i⃗ r+M . i⃗ s .e− jε

λ⃗r=M (1+σ r) i⃗ r+M . i⃗ s .e− jε

en λ⃗r=M . i⃗ mr '

stellen we beide leden gelijk aan elkaar :

λ⃗r=M . i⃗ mr '=M (1+σr ) i⃗ r+M . i⃗ s .e− jε

zodat :

i⃗ mr '=(1+σr ) i⃗ r+ i⃗ s.e− jε

Transformeren we bovenstaande formule naar het statorreferentiestelsel, dan bekomen we:

i⃗ mr= i⃗ mr ' .ejε

i⃗ mr=[(1+σr ) i⃗ r+ i⃗ s .e− jε ] .e jεi⃗ mr=(1+σ r ) i⃗ r .e jε+ i⃗ s

Uiteindelijk vinden we hieruit onze variabele parameter terug:

i⃗ r .ejε=

i⃗ mr− i⃗ s(1+σr ) (7)

Bepalen van het elektromechanisch koppel

In dit gedeelte gaan we het elektromechanisch koppel bepalen, aan de hand van het rotorflux-georiënteerd systeem voor veldoriëntatie. Er werd reeds vroeger (zie deel ‘Opstellen van de spannings- en koppelvergelijking’) aangetoond dat de koppelvergelijking (met T het elektromechanisch koppel) kon geschreven worden als:

T em=23pM Im { i⃗ s . ( i⃗ r .e jε)¿}

Wanneer we hierin vergelijking (7) van voorgaande bladzijde invullen:

T em=23

pM

(1+σr )Im { i⃗ s .( i⃗ mr− i⃗ s)

¿}

Omdat er geldt dat het imaginair gedeelte van het scalair product van twee

complex toegevoegde vectoren steeds nul is, Im { i⃗ s . i⃗ s¿ }=0

, kan deze vergelijking ook als volgt herschreven worden:

T em=23

pM

(1+σr )Im { i⃗ s . i⃗ mr ¿}

Figuur 15: Vectordiagram met de stromen kenmerkend voor een inductiemotor

De rotormagnetiseringsstroomi⃗ mrkan, gebruik makend van bovenstaand

vectordiagram, als volgt geschreven worden:

i⃗ mr=imr .ejρ

(met ρ de hoek tussen rotor en statorreferentiestelsel)

De formule voor het elektromechanisch koppel, T em , kan nu herschreven worden

als:

T em=23pM

(1+σ r)Im { i⃗ s . i⃗ mr ¿}

T em=23pM

(1+σ r)Im { i⃗ s .( imr .e jρ)¿}

T em=23pM

(1+σ r).imr . Im { i⃗ s . (e jρ )¿}

T em=23pM

(1+σ r).imr . Im { i⃗ s .e− jρ}

Factor Im { i⃗ s .e− jρ } kan hierin gelezen worden als ‘het imaginaire gedeelte van de statorstroom, bekeken in het rotorreferentiestelsel’. Uit figuur 15 kunnen we

besluiten dat deze beschrijving overeenstemt met component iqs .

Vervangen we factor Im { i⃗ s .e− jρ } in onze koppelformule nu door

iqs :

T em=23

pM

(1+σr )imr .iqs

Of, anders geformuleerd:Tem=k . imr . iqs

met k=23pM

(1+σ r)

Vervolgens maken we gebruik van de formule van Euler om de statorstroom, bekeken vanuit het rotorreferentiestelsel, op te delen in een imaginair respectievelijk reëel deel:

iqs=Im { i⃗ s .e− jρ }=i ssin δ

ids=Re { i⃗ s .e− jρ}=is . cos δ

Hieruit kunnen we besluiten:

-iqs , het imaginair deel van de statorstroom, is de koppelvormende

component. Dit volgt rechtstreeks uit de bekomen koppelformule waaruit blijkt dat het koppel lineair evenredig is met deze stroom.

- ids , het reëel deel van de statorstroom, valt samen met de rotorfluxas en stelt bijgevolg ook de fluxvormende component voor.

Praktijk: herwerken van de spanningsvergelijking

In de voorgaande paragraaf werd besloten dat het imaginaire gedeelte van de statorstroom, bekeken vanuit het rotorreferentiestelsel, eveneens de koppelvormende component van deze statorstroom voorstelt. We proberen dit nu te koppelen aan het equivalent schema van een drieasige inductiemotor. Op die manier kunnen we tot een verband komen tussen de ‘theoretisch bepaalde stromen’ en de ‘in de praktijk beïnvloedbare variabelen’.

Hiertoe vertrekken we vanuit de spanningsvergelijking: (zie ‘Opstellen van de spannings- en koppelvergelijking’)

u⃗r=0=Rr . i⃗ r+Lr .d i⃗ rdt

+Md ( i⃗ s .e− jε )

dt

Om verder redeneren te vergemakkelijken, rekenen we deze vergelijking eerst om

naar het statorreferentiestelsel door alle leden te vermenigvuldiging met ejε

:

0 .e jε=Rr . i⃗ r .e jε+Lr .d i⃗ rdt

.e jε+Md ( i⃗ s .e− jε )

dt.e jε

We maken gebruiken van de volgende formule, afgeleid uit figuur 25, en herwerken ze tot een bruikbare vorm wordt verkregen:

d i⃗ r .ejε

dt=e jε .

d i⃗ rdt

+ jdεdti⃗ r .e

jε

e jε .d i⃗ rdt

=d i⃗ r .e jε

dt− j dεdti⃗ r .e

jε

d (( i⃗ s .e− jε ) .e jε )dt

=d ( i⃗ s .e− jε )dt

.e jε+ i⃗ s .e− jε . j .

dεdt

.e jε

d ( i⃗ s .e− jε)dt

.e jε=d (( i⃗ s .e− jε ) .e jε )dt

− i⃗ s.e− jε . j .

dεdt

.e jε

metdεdt

=ωm

De spanningsvergelijking kan verder aangepast worden:

0=Rr . i⃗ r .ejε+Lr .

d i⃗ r .e jε

dt−Lr jωm i⃗ r .e

jε+Md ( i⃗ s .e− jε ) .e jε

dt−M i⃗ s .e

− jε . jωm .e jε

Stellen we nu τ r=

LrR r en werken we uit:

0=Rr . i⃗ r .ejε+Lr .

d i⃗ r .ejε

dt−Lr jωm i⃗ r .e

jε+Md ( i⃗ s .e− jε ) .e jεdt

−M i⃗ s .e− jε . jωm .e jε

0=1Rr

(R r . i⃗ r .e jε+ Lr .d i⃗ r .e jε

dt−Lr jωm i⃗ r .e jε+M

d ( i⃗ s .e− jε) .e jε

dt−M i⃗ s .e

− jε . jωm .e jε)0= i⃗ r .e

jε+τ r .d i⃗ r .e jε

dt−τ r jωm i⃗ r .e

jε+MRr

d ( i⃗ s )dt

−MRri⃗ s . jωm

We gaan vervolgens onze rotorlekcoëfficiënten in rekening brengen, door gebruik te maken van de eerder verkregen formules: (zie ‘Veldoriëntering’)

LrRr

=(1+σ r) .MRr

MRr

=τ r

(1+σ r)

Na aanpassen van de spanningsvergelijking en verder uitwerken:

0=LrM ( i⃗ r .e jε+τ r .d i⃗ r .e jε

dt−τ r jωm i⃗ r .e

jε+MRr

d ( i⃗ s)dt

−MRri⃗ s . jωm)

0=LrM

. i⃗ r .ejε+LrM

. τ r .d i⃗ r .e

jε

dt−LrMτ r jωm i⃗ r .e

jε+LrMMR r

d ( i⃗ s)dt

−LrMMRri⃗ s . jωm

0=(1+σ r) . i⃗ r .e jε+(1+σr ) . τ r .d i⃗ r .e

jε

dt−(1+σr ) τ r jωm i⃗ r .e jε+

(1+σr )τ r(1+σr )

d ( i⃗ s)dt

−(1+σr )τ r(1+σ r )

i⃗ s . jωm

0=(1+σ r) . i⃗ r .e jε+(1+σr ) . τ r .d i⃗ r .e

jε

dt−(1+σr ) τ r jωm i⃗ r .e jε+τ r

d ( i⃗ s )dt

−τ r i⃗ s . jωm

0=τ rddt [ (1+σ r) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s ]−( jωm τ r ) . [(1+σr ) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s]+(1+σr ) . i⃗ r .e jε

Tellen we nu bij beide leden term i⃗ s op:

i⃗ s=τ rddt [(1+σr ) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s]−( jωmτ r) . [(1+σr ) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s]+ (1+σ r) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s

i⃗ s=τ rddt [(1+σr ) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s]+(1− jωmτ r) [ (1+σ r) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s ]

met i⃗ mr=[(1+σr ) . i⃗ r .e jε+ i⃗ s]i⃗ s =τ r

d i⃗ mrdt

+(1− jωm τ r ) i⃗ mr

De bekomen vergelijking kan naar rotorfluxcoördinaten getransformeerd worden

door te vermenigvuldigen met e− jρ

:

i⃗ s .e− jρ=τ r

d i⃗ mrdt

.e− jρ+ (1− jωm τ r ) i⃗ mr .e− jρ

metd ( i⃗ mr .e− jρ )dt

=d i⃗ mrdt

.e− jρ− jdρdte− jρ . i⃗ mr

d i⃗ mrdt

.e− jρ=d ( i⃗ mr .e− jρ )dt

+ j dρdte− jρ . i⃗ mr

i⃗ s .e− jρ=τ r

d ( i⃗ mr .e− jρ)dt

+ jτ rdρdte− jρ . i⃗ mr+(1− jωm τ r ) i⃗ mr .e− jρ

De rotormagnetiseringsstroom i⃗ mr kan anders (in statorcoördinaten) geschreven

worden:

i⃗ mr=imr .ejρ of i⃗ mr .e

− jρ=imr

Door hiervan gebruik te maken in onze vergelijking:

[ Reëel deel ] + j [ Imaginair deel ]

metdρdt

=ωmr

Uit bovenstaande formule kunnen we besluiten dat de statorstroom die

getransformeerd wordt naar rotorfluxcoördinaten, i⃗ s .e− jρ

, steeds bestaat uit een reëel deel en een imaginair deel dat nader bepaald wordt door de formules:

ids=τ rd (imr )dt

+imr⇔ids . L=L(τ r d (imr )dt

+imr)=τ r d (φr )dt

+φr

iqs=ωm τ r . imr+τ rωmr imr=imr . τ r (ωm−ωmr )

i⃗ s .e− jρ=τ r

d (imr )dt

+ jτrdρdtimr+(1− jωm τ r ) imr

i⃗ s .e− jρ=τ r

d (imr )dt

+imr+ jωm τ r . imr+ jτrdρdtimr

i⃗ s .e− jρ=[τ r d (imr )

dt+imr ]+ j [ωm τ r . imr+τ r dρdt imr ]

i⃗ s .e− jρ=

Formules

Een overzicht van de afgeleide formules ziet er als volgt uit:

⇒T=k .imr . iqs [ k=23pM

(1+σr )]

⇒ids .L=τ rd (φr )dt

+φr

⇒iqs= imr . τ r (ωm−ωmr )

We zijn vertrokken vanuit een driefasig systeem (de aangelegde driefasige stromen) met de bedoeling een verband te vinden tussen dit driefasig systeem en het bijhorend opgewekt koppel. Daartoe werd het driefasig systeem eerst omgezet naar een tweefasig systeem, weliswaar getransformeerd naar een ander coördinatenstelsel. Vervolgens werd het verband gelegd tussen de aldus verkregen, tweefasige stromen en het elektromechanisch koppel. Uiteindelijk werd zowel het reëel als imaginair gedeelte gekoppeld aan werkelijke grootheden, die de dynamiek van de motor bepalen. Met behulp van de bovenstaande formules wordt het, door het regelen van de statorstroomcomponenten, mogelijk om de inductiemotor op elk ogenblik op een soortgelijke wijze te regelen als bij de gelijkstroommotor.

Blokschema van de vectorregeling

Onderstaand blokschema geeft een (vereenvoudigde) voorstelling van het vectorregelingsmodel. Hierop valt goed te zien hoe het koppel en de flux twee afzonderlijke grootheden worden binnen de regeling. Dit heeft het grote voordeel dat de snelheids- en koppelregeling onafhankelijk van elkaar te controleren zijn.

Figuur 16: Modellering van de vectorregeling

Uit het blokschema van figuur 16 zien we eveneens hoe de Park- en Clarck-transformatie in de regeling vervat zitten om een overgang te bieden tussen het

theoretisch tweefasig systeem en het werkelijke driefasig systeem, waaruit de koppelregeling niet rechtstreeks terug te vinden is.