UNIVERSITÉ D’ANTANANARIVO FACULTÉ DES SCIENCES …

A

UNIVERSITÉ D’ANTANANARIVO FACULTÉ DES SCIENCES

FORMATION DOCTORALE EN PHYSIQUE

DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE

Laboratoire de Thermodynamique, Thermique et Combustion

MEMOIRE

Pour l’obtention du :

DIPLOME D’ETUDES APPROFONDIES EN PHYSIQUE

Option : Énergétique

MODELISATION ET ANALYSE DE SENSIBILITE GLOBALE

D’UN TOIT VERT

Présenté le 14 Mars 2014 par

RAJAONAHY Michard Rockson

Devant la commission d’examen composée de :

Président : Mme RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo Professeur Titulaire Rapporteur: M. RAKOTONDRAMIARANA HeryTiana Maître de conférences Examinateurs : M. RAKOTOMALALA Minoson Professeur Titulaire M. RASAMIMANANA François De Salle Maître de conférences

B

UNIVERSITÉ D’ANTANANARIVO FACULTÉ DES SCIENCES

FORMATION DOCTORALE EN PHYSIQUE

DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE

Laboratoire de Thermodynamique, Thermique et Combustion

MEMOIRE

Pour l’obtention du :

DIPLOME D’ETUDES APPROFONDIES EN PHYSIQUE

Option : Énergétique

MODELISATION ET ANALYSE DE SENSIBILITE GLOBALE

D’UN TOIT VERT

Présenté le 14 Mars 2014 par

RAJAONAHY Michard Rockson

Devant la commission d’examen composée de :

Président : Mme RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo Professeur Titulaire Rapporteur: M. RAKOTONDRAMIARANA HeryTiana Maître de conférences Examinateurs : M. RAKOTOMALALA Minoson Professeur Titulaire M. RASAMIMANANA François De Salle Maître de conférences

D

REMERCIEMENTS

Mes remerciements vont en premier lieu à Monsieur le Professeur RAHERIMANDIMBY Marson, Doyen de la Faculté des Sciences, de m’avoir permis de suivre une formation doctorale en Physique au sein de la Faculté des Sciences de l’Université d’Antananarivo et d’avoir autorisé la soutenance de ce mémoire.

Mes sincères remerciements s’adressent à l’égard de Monsieur RAKOTONDRAMANANA Hery Tiana, Maître de conférences et Chef de Département de Physique à l’Université d’Antananarivo pour sa sympathie et ses encouragements à mener à bien mes études au sein de son Département.

Mes vifs remerciements vont également à Monsieur le Professeur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina, Directeur de l’Institut pour la Maîtrise de l’Énergie, pour m’avoir non seulement donné une chance de faire partie de son équipe de chercheurs mais également d’examiner ce travail.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Monsieur RAKOTONDRAMIARANA Hery Tiana, Maître de conférences à l'Université d’Antananarivo, sans qui rien n’aurait pu prendre forme. Je lui remercie pour sa pédagogie, ses précieux conseils, son encadrement droit et précis ainsi que sa manière de trancher dans le vif. Je souhaite en particulier lui remercier pour l’ambiance amicale et scientifique dans laquelle baigna ce mémoire. Et je ne peux que lui encourager à encadrer de nouveaux des futurs chercheurs dans les mêmes conditions.

Je tiens à remercier sincèrement Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo, Professeur émérite à l'Université d’Antananarivo qui a bien voulu présider mon jury d’examen et ce malgré ces nombreuses occupations.

Monsieur RASAMIMANANA François de Salles, Maître de conférences à l'Université d’Antananarivo, m’a fait l'honneur d'examiner ce mémoire et de participer à mon jury d’examen. Qu’il trouve ici l’expression de mes meilleures reconnaissances.

Je dois un grand merci à Ludovic et Landry qui m’ont beaucoup aidé durant la réalisation de ce mémoire. Notre collaboration m'a permis de faire de grands pas dans l'exploitation de mes résultats. Je leur adresse toute ma reconnaissance pour leur amitié.

Je ne saurais terminer sans partager mes affections envers toute ma famille spécialement mes parents pour les sacrifices qu’ils ont consentis pour me permettre de poursuivre les études à ce niveau.

i

TABLE DES MATIERES

LISTE DES ABREVIATIONS, SIGLES ET ACRONYMES ...................................................III

LISTE DES FIGURES .............................................................................................................. XII

LISTE DES TABLEAUX ......................................................................................................... XV

INTRODUCTION .........................................................................................................................1

Chapitre I : LES INTERETS D’UN TOIT VERT ........................................................................2

I.2- LES TOITURES VEGETALISEES ET LEURS IMPORTANCES ......................................5

I.2.1- Types de toitures végétales et composantes ....................................................................5

I.2.2- Caractéristiques des différents types de toitures végétalisées .........................................7

I.2.3- Les divers éléments composant une toiture verte ...........................................................7

I.2.4- Les atouts d’un toit vert ..................................................................................................9

I.2.4.1- Le toit vert, un facteur de rétention des eaux pluviales ......................................10

I.2.4.2- Modération de l’effet d’ilot thermique urbain (urban heat island effect) ...........11

I.2.4.3- Le toit vert, un atout pour la qualité de l’air urbain ............................................12

I.2.4.4- Le toit vert, un isolant phonique .........................................................................13

I.2.4.5- Le toit vert, un isolant thermique ........................................................................13

I.2.4.6- Le toit vert, un facteur d’allongement de la durée de vie pour les toits ..............14

Chapitre II : MODELE MATHEMATIQUE ASSOCIE AU TOIT VERT ................................15

II.1- MODELE DE LA TOITURE VEGETALISEE ..................................................................17

II.1.1- Hypothèses simplificatrices du modèle de la toiture végétalisée ................................17

II.1.2- Modèle mathématique associé au sol de croissance des végétaux ..............................17

II.1.3- Modèle mathématique associé la canopée ..................................................................19

II.1.3.1- Flux net de radiation thermique .........................................................................21

II.1.3.2- Flux net de radiation solaire ..............................................................................23

ii

II.1.3.3- Transfert thermique par convection entre les feuilles et l’air ............................25

II.1.3.4- Flux de transpiration ..........................................................................................26

II.1.3.5- Flux de chaleur et de vapeur entre surface du sol et l'air...................................28

II.1.3.6- Transferts de chaleur et de vapeur entre l’air de la canopée et l’air ambiant ....28

II.1.4- Modèle mathématique associé au support ...................................................................29

II.2- ADIMENSIONALISATION DES EQUATIONS OBTENUES ........................................35

II.3-Modele du toit de reference ..................................................................................................39

II.3.1-Equations de bilan thermique : .....................................................................................42

II.3.2- Modèle des coefficients d'échange thermique .............................................................42

II.3.2.1-Echange par conduction au niveau de la toiture .................................................42

II.3.2.2-Echange par rayonnement entre la voute céleste et la toiture ............................42

II.3.2.3-Echange par convection ......................................................................................43

II.3.3-Apport solaire au système .............................................................................................43

II.4-ANALYSE DE SENSIBILITE PARAMETRIQUE DU MODELE ...................................44

II.5- DONNEES METEOROLOGIQUES ..................................................................................48

Chapitre III : SIMULATION ET RÉSULTATS .........................................................................50

III.1-ESTIMATION DE LA PERFORMANCE ENERGETIQUE ............................................50

III.2-RESULTATS ET DISCUSSION .......................................................................................51

III.3- RESULTATS DE L’ANALYSE DE SENSIBILITE ........................................................54

III.3.1-Résultats de l’analyse de sensibilité du flux de chaleur traversant le toit vert en

période diurne ..............................................................................................................................54


période nocturne ..........................................................................................................................65

CONCLUSION ...........................................................................................................................71

BIBLIOGRAPHIE ET WEBOGRAPHIE ..................................................................................73

iii

LISTE DES ABRÉVIATIONS, SIGLES ET ACRONYMES

Alphabets latins :

� Angle d’inclinaison du toit par rapport à l’horizontale [°] ou [rad]

�� Albédo du sol [ ]

�� Azimut du soleil [°] ou [rad]

�� Azimut du toit [°] ou [rad]

�� Rayonnement de Courte Longueur d’Onde [ ]

� Concentration de CO2dans l’air de la canopée [ppmv]

�� Vitesse de la lumière dans le vide [m.s-1]

� Coefficient de diffusion de vapeur dans l’air [m2.s-1]

Épaisseur moyenne des feuilles [m]

�� Coefficient de diffusion de vapeur dans l’air libre [m2.s-1]

D�� Coefficient de diffusivité non isotherme de vapeur [kg.m2.s-1.K-1]

�� Pression de vapeur dans l’air de la canopée [Pa]

�� Pression de vapeur sur la surface du sol [Pa]

�� Pression de vapeur sur la surface des feuilles [Pa]

�� Pression caractéristique [Pa]

��∗ Variable adimensionnelle correspondant à la pression

de vapeur dans l’air de la canopée

[ ]

� Coefficient pour permettre de représenter qu’une

canopée s’évapore plus (f<1) ou moins (f>1) par rapport

à une culture de tomate.

[ ]

iv

�� Facteur d’émissivité [ ]

�� Facteur de forme géométrique entre les feuilles et le sol. [ ]

�� Facteur de forme géométrique entre la toiture et la voute

céleste

[ ]

�� Facteur de forme géométrique entre la face supérieure

de la toiture ordinaire et la voute céleste

[ ]

� Accélération de la pesanteur terrestre [m.s-2]

�� Rayonnement de Grande Longueur d’Onde

� !"#,� Coefficient d’échange par conduction à travers la

couche du sol

[W.m-2.K-1]

� !"#,� Coefficient d’échange par conduction à travers la

couche du support (ou de la toiture ordinaire)

[W.m-2.K-1]

� !"%,�� Coefficient d’échange convectif entre l’air de la

canopée et la face supérieure du sol

[W.m-2.K-1]

� !"%,��& Coefficient d’échange convectif entre l’air de la

canopée et l’air ambiant

[W.m-2.K-1]


canopée et les feuilles

[W.m-2.K-1]

� !"%,�� Coefficient d'échange convectif entre l'air extérieur et la

face supérieure de la toiture ordinaire.

[W.m-2.K-1]


canopée et la face supérieure du sol (h(�)*= h(�*))

[W.m-2.K-1]

� !"%,�+�, Coefficient d’échange convectif entre la face inférieure

du support (ou toiture ordinaire) et l’air intérieur du

bâtiment

[W.m-2.K-1]

v

� !"%,�� Coefficient d’échange convectif entre le feuillage et

l’air de la canopée (h(�-* =h(�*- )

[W.m-2.K-1]

�#,.,��, Coefficient d’échange par diffusion non isotherme de

vapeur à travers la couche inférieure du sol

[W.m-2.K-1]

�#,.,�� Coefficient d’échange par diffusion non isotherme de

vapeur à travers la couche supérieure du sol

[W.m-2.K-1]

�/ Coefficient d’échange radiatif [W.m-2.K-1]

�/,�� Coefficient d’échange radiatif entre la face supérieure

du sol et le feuillage

[W.m-2.K-1]

�/,�� Coefficient d’échange radiatif entre les feuilles et la

face supérieure sol

[W.m-2.K-1]

�/,�� Coefficient d’échange radiatif entre les feuilles et la

voûte céleste

[W.m-2.K-1]

�/,�� Coefficient d'échange radiatif entre la voute céleste et la

face supérieure de la toiture ordinaire

[W.m-2.K-1]

�� Hauteur du soleil [°] ou [rad]

��/�"�,�� Coefficient de transpiration [W.m-2.Pa-1]

01 Coefficient d’extinction moyenne des feuilles pour le

rayonnement de grande longueur d’onde

[ ]

0� Coefficient d’extinction moyenne des feuilles pour le

rayonnement de courte longueur d’onde

[ ]

�23 Indice de surface foliaire (Leaf Area Index) [ ]

� Épaisseur de la canopée [m]

�� Épaisseur du sol [m]

vi

�� Épaisseur du support [m]

4 Pression totale [Pa]

4� Pression de vapeur saturante [Pa]

4% Pression partielle de vapeur dans le sol [Pa]

5 Taux d’échange d’air [s-1]

5#,. Densité de flux du rayonnement solaire diffus arrivant

au sommet de la canopée

[W.m-2]

5#,.6 Rayonnement solaire diffus sur une surface horizontale [W.m-2]

5#,/ Densité de flux du rayonnement solaire direct arrivant

au sommet de la canopée

[W.m-2]

5#,/6 Rayonnement solaire direct sur une surface horizontale [W.m-2]

5�6 Résistance thermique du support de la toiture 7K. m. ;�1< =� Résistance externe de la canopée [s.m-1]

=, Résistance globale stomatale [s.m-1]

=̃, Fonctions sans dimensions supérieures à l’unité

évaluant quantitativement l’accroissement relatif de la

résistance interne

[ ]

=?@," Résistance possible minimale, dont l’ampleur a une

origine purement physiologique

[s.m-1]

5% Constante de gaz de la vapeur d’eau [J.kg-1.K-1]

A Surface du toit considéré [m2]

B Temps [s]

B Temps caractéristique [s]

vii

B∗ Variable adimensionnelle correspondant au temps [ ]

C� Température au niveau de l’air dans la canopée [K]

C�� Température au niveau de la face supérieure du sol [K]

C," Température au niveau de la pièce interne du bâtiment [K]

C� Température au niveau du feuillage [K]

C�+ Température au niveau de la face inférieure du support

de la toiture

[K]

C�� Température au niveau de la face supérieure du support

de la toiture

[K]

C�� Température de la voûte céleste [K]

C �/ Température caractéristique [K]

C@ Température à l’extérieur du bâtiment [K]

C�∗ Variable adimensionnelle correspondant à la

température du feuillage

[ ]

C�∗ Variable adimensionnelle correspondant à la

température de l’air de la canopée

[ ]

C��∗ Variable adimensionnelle correspondant à la

température du sol

[ ]

C��∗ Variable adimensionnelle correspondant à la

température de la face supérieure du support de la

toiture

[ ]

C�+∗ Variable adimensionnelle correspondant à la

température de la face inférieure du support de la toiture

[ ]

D Vitesse du vent à l’air libre [m.s-1]

viii

E Vitesse du vent dans la canopée [m.s-1]

;F� Flux d’énergie émis par un corps noir [W.m-2]

ix

Alphabets grecs

α Valeur adimensionnelle constante [ ]

α1 Angle moyenne d’inclinaison des feuilles par rapport à

l’horizontal

[°]

H Constante psychrométrique thermodynamique [Pa.K-1]

I Porosité du sol [ ]

I� Émissivité du sol [ ]

I� Émissivité du feuillage de la canopée [ ]

I�� Émissivité de la toiture ordinaire [ ]

J1 Angle d’incidence du rayonnement solaire direct sur un

toit incliné

[rad]

J� Humidité spécifique moyenne de l’air de la canopée [kg.kg-1]

∆ Chaleur latente de vaporisation [J.kg-1]

∆B Pas de temps [s]

LMCN Chaleur latente de vaporisation à la température T [J.kg-1]

P� Conductivité thermique effective du sol [W.m-1.K-1]

P� Conductivité thermique du support [W.m-1.K-1]

Q Densité apparente du sol [kg.m-3]

Q& Réflectance d’une canopée dense [ ]

Q� Masse volumique de l’air [kg.m-3]

Q� Réflectance du sol [ ]

Q� Gravité spécifique des particules [kg.m-3]

x

Q� Réflectance du tissu des feuilles [ ]

MQ�N� Capacité calorifique spécifique de l’air [J.m-3.K-1]

MQ�N� Capacité calorifique spécifique du sol [J.m-3.K-1]

MQ�N� Capacité calorifique spécifique des feuilles [J.m-3.K-1]

MQ�N� Capacité calorifique spécifique du support [J.m-3.K-1]

σ Constante de Stefan-Boltzmann [J.m-3.K-1]

R� Facteur de transmission ou transmittance du tissu des

feuilles

[ ]

τs Facteur de transmission ou transmittance d’ondes courtes [ ]

S�� Facteur de forme gris pour l’échange radiatif entre les

feuilles et le sol.

[ ]

S�� Facteur de forme gris pour l’échange radiatif entre les

feuilles et la voûte céleste

[ ]

T� Flux thermique absorbé [W.U�]

T/ Flux thermique réfléchi [W.U�]

T� Flux thermique transmis [W.U�]

T, Flux thermique incident [W.U�]

T/�#,FVW Flux radiatif de grande longueur d’onde [W.U�]

T/�#�!X Radiation solaire absorbée par les feuilles [W.U�]

T� Radiation solaire arrivant au sommet de la canopée [W.U�]

T�!X Radiation solaire arrivant au sommet de la toiture

ordinaire

[W.U�]

xi

T�/�"�,�_� Flux d’énergie dû à la transpiration des feuilles [W.U�]

T%��,�_� Flux de vapeur entre l’air de la canopée et la face

supérieure du sol [kg.m-2]

T%��,�_@ Flux de vapeur entre l’air de la canopée et l’air ambiant [kg.m-2]

T%��,�_� Flux de vapeur dû à la transpiration des feuilles [kg.m-2]

T#,Z/"� Flux de chaleur traversant la toiture en période diurne [W.U�]

T"! �Z/"� Flux de chaleur traversant la toiture en période nocturne [W.U�]

T∗ Flux de chaleur traversant la toiture ordinaire [W.U�]

T Flux de chaleur traversant la toiture végétalisée [W.U^M\2N]

^ Potentiel total d’eau en équilibre avec la vapeur [ ]

_ Humidité volumétrique du sol [ ]

_. Humidité volumétrique à la capacité du terrain [ ]

_`� Humidité volumétrique au point de fanaison [ ]

a�,/MCbN Pente de la courbe de pression de vapeur saturante 74�. c�1<

xii

LISTE DES FIGURES

Figure 1 : The Mountain Equipment Coop Store de Toronto, Canada. .................................................. 3

Figure2: Université des arts et de la culture de Shizuoka, Japon ........................................................... 3

Figure 3: Le toit vert ondulé de la California Academy of Sciences de San Francisco en période de

construction en 2007 ............................................................................................................................... 4

Figure 4: “L’Historial de la Vendée”, Nouveau Musée à l’Ouest de France ........................................ 5

Figure 5:Les deux types de toits verts. .................................................................................................... 5

Figure 6: Toit vert extensif ...................................................................................................................... 6

Figure 7 : Toit vert intensif ..................................................................................................................... 6

Figure 8:Schéma descriptif d’une toiture végétalisée extensive ............................................................. 7

Figure 9:Les nombreux atouts d’une toiture végétalisée ........................................................................ 9

Figure 10 Rétention des eaux de pluie par la toiture végétalisée. ........................................................ 10

Figure 11Ruissellement sur un toit plat conventionnel et un toit végétalisé extensif. ........................... 11

Figure 12: Effet d’ilot de chaleur urbain .............................................................................................. 11

Figure 13: Phénomène d’absorption du CO2 par la végétation ............................................................ 12

Figure 14 : Phénomène d’absorption des poussières par la végétation ............................................... 13

Figure 15 : La toiture végétalisée utilisée comme système d’isolation thermique ................................ 14

Figure 16 : Schéma descriptif des différents échanges thermiques et massique au niveau de la toiture

végétalisée ............................................................................................................................................. 15

Figure 17: Schéma électrique équivalent aux divers transferts thermiques et massique au niveau d’une

toiture végétalisée.................................................................................................................................. 16

Figure 18: Schéma descriptif des échanges thermiques au niveau d'un toit ordinaire ......................... 40

Figure 19:Schéma électrique équivalent aux transferts thermiques au niveau d'un toit ordinaire ..... 41

Figure 20 : Représentation schématique d’un modèle .......................................................................... 44

xiii

Figure 21 : Allure du rayonnement solaire atteignant le sommet de la canopée .................................. 51

Figure 22 : Allure du flux thermique traversant la toiture du bâtiment pour une période de 24h ....... 52

Figure 23: Comparaison de l’écart de température obtenu à l’Université de La Réunion .................. 53

Figure 24: Comparaison de l’énergie consommée par le toit vert et le toit ordinairet ........................ 54

Figure 25: Energie emmagasinée par la toiture d’un bâtiment ............................................................ 54

Figure 26 : Spectre des paramètres les plus influents........................................................................... 55

Figure 27 : 2ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du plan spectral

principal ................................................................................................................................................ 56

Figure 28 : 3ième plan spectral après éliminations des spectres identifiés du 2ième plan ........................ 56

Figure 29 : 4ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 3ième plan. ............ 57

Figure 30 : 5ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 4ième plan ............. 57



Figure 33: 8ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 7ième plan .............. 59


Figure 35 : 10ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 9ième plan ........... 60

Figure 36 : 11ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 10ième plan ......... 60

Figure 37 : 12ième et dernier plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 11ième

plan spectral .......................................................................................................................................... 61

Figure 38 : Ordre de prépondérance des paramètres les plus influents associés au modèle de flux

traversant le support de la toiture ......................................................................................................... 61

Figure 39 : Ordre de prépondérance des interactions double associées au modèle de flux diurne

traversant la toiture. .............................................................................................................................. 62

Figure 40: Comparaison de prédiction du métamodèle de sortie et du modèle original ...................... 62

xiv

Figure 41 : Précision de la prédiction modèle de flux diurne traversant la toiture par rapport au

modèle original...................................................................................................................................... 63

Figure 42: Spectre des paramètres influents du modèle de flux nocturne ............................................ 65

Figure 43: 2ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du plan spectral

principal (flux nocturne) ....................................................................................................................... 66

Figure 44 : 3ième et dernier plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 2ième plan

spectral (flux nocturne) ......................................................................................................................... 66

Figure 45 : Ordre de prépondérance des facteurs les plus influents du modèle de flux nocturne ........ 67

Figure 46 : Ordre de prépondérance des interactions double les plus influents .................................. 67

Figure 47 : Comparaison des prédictions du modèle original et du modèle associé au flux nocturne 68

Figure 48: Précision de la prédiction du flux nocturne par rapport au modèle original ..................... 68

xv

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 : Caractéristiques des différents types de toits verts .............................................................. 7

Tableau 2: Valeurs du coefficient d’extinction pour le rayonnement GLO, déduites de la littérature,

pour quelques distributions d'angle de feuille idéalisées ...................................................................... 22

Tableau 3: Constantes universelles ....................................................................................................... 45

Tableau 4: Paramètres géométriques et thermophysiques de la canopée et de l’air de la canopée ..... 45

Tableau 5 : paramètres issus de la culture de référence (tomate) ........................................................ 46

Tableau 6: Paramètres géométriques et thermophysique du sol .......................................................... 46

Tableau 7: Paramètres géométriques de la toiture .............................................................................. 47

Tableau 8 : paramètres géométriques et thermophysiques du support ................................................. 47

Tableau 9: Paramètres divers ............................................................................................................... 48

1

INTRODUCTION

La végétalisation des enveloppes des bâtiments est considérée comme l’une des

meilleures techniques pour améliorer les conditions interne et externe des constructions

urbaines. Comparée au toit ordinaire, le toit vert permet la gestion des eaux pluviales [1], [2], la

réduction de la pollution de l’air [3], [4] ou encore le bruit urbain[5]. La végétalisation des toits

urbains permet également d’augmenter la biodiversité animale et végétale en ville [6], [7] et de

convertir par photosynthèse le dioxyde de carbone en oxygène [4], [8]. Cette technique de

revêtement des bâtiments par des couches végétales améliore l’isolation thermique des

bâtiments en réduisant approximativement de 70 à 90% le gain de chaleur en été et de 10 à 30%

la perte de chaleur en hiver [9], réduit la consommation d’énergie et améliore la condition

interne en période de haute température. Beaucoup de travaux ont déjà été effectués concernant

les avantages des couvertures végétales installées sur les toits des bâtiments. Malgré les

nombreuses variétés de plantes endémiques pouvant être utilisées en terme de végétalisation

des toits des bâtiments, très peu d’études ont été effectuées et le potentiel du toit vert reste

encore un sujet de recherche ignoré à Madagascar.

Dans le présent travail, nous allons essayer de mettre en valeur l’importance thermique

de l’ajout d’une couche supplémentaire de végétaux au niveau d’un toit de bâtiment dont

l’objectif est axé sur l’étude de la consommation énergétique, l’énergie emmagasinée et le flux

de chaleur traversant une toiture végétalisée installée en zone tropicale humide telle que la

région de Mahajanga.

Étant donné l’abondance de travaux réalisés concernant le comportement thermique

d’une toiture végétalisée ou non végétalisée, le premier chapitre de ce travail sera consacré aux

principaux avantages d’une construction lorsque la toiture de cette dernière est couverte de

végétation.

Dans le second chapitre, après avoir bien choisi les différentes hypothèses concernant le

système végétatif, nous établissons les différentes équations mathématiques régissant le toit

vert. Pour faciliter la résolution numérique, nous utilisons dans ce travail la technique

d’adimensionalisation des équations ainsi obtenues.

Dans le troisième et dernier chapitre, nous allons présenter les résultats de simulation et

d’analyse de sensibilité paramétrique globale afin de relever les paramètres les plus influents à

l’égard du modèle choisi. Les résultats seront comparés à des résultats expérimentaux faits à

l’île de la Réunion pour ainsi être validés.

2

Chapitre I : LES INTÉRÊTS D’UN TOIT VERT

2

Chapitre I : Les intérêts d’un toit vert

I.1-HISTORIQUE DE LA TOITURE VEGETALISEE

Les toits verts également appelés toits écologiques ou toitures végétalisées ont un long siècle d’histoire. Les premiers types de tels toits verts célèbres remontent au jardin suspendu de Babylone (VIIIème siècle av. J.C) et ceux de Gênes (Italie). La technique de revêtement des toitures par des couches végétales se fait depuis toujours dans de nombreux pays scandinaves et de l’Europe. Depuis des millénaires, les amérindiens ont réalisé la végétalisation de leurs habitations en mélangeant les végétaux herbacés avec de terre dans le but d’obtenir une toiture isolée, assez étanche à l’air et aux pluies et qui peut même résister aux chocs extérieurs. L’inconvénient majeur des toits verts traditionnels est la surcharge apportée par la couche de terre qui exige de charpentes solides avec une couche supplémentaire de protection entre la charpente et la partie végétalisée pour éviter que les charpentes pourrissent. Pour cela, on utilisait souvent des tuiles de bois ou des plaques épaisses d’écorce déroulée des grands arbres comme le bouleau. Les techniques actuelles utilisent des systèmes étanches ou des bâches spéciales anti-racines.

En Allemagne

La technique de végétalisation des toits résidentiels a commencé avec la période de l’évolution

industrielle en Allemagne. Ce sont les allemands qui, depuis les années 1960, furent les

pionniers de cette technique. Entre 10 ans seulement (1995-2005), 10% des toits des nouvelles

constructions ont été végétalisées [10]. D’autre part, plusieurs villes comme Stuttgart ou

Hambourg ont encouragé les propriétaires des bâtiments à végétaliser leurs toitures en

remboursant le surcoût de ce produit. Actuellement, une surface de 10 000 000m² de nouveaux

toits sont en projet de construction chaque année dont trois quart sont extensives [10].

Au Canada

Bien que de nombreux travaux de recherche concernant les intérêts des toits verts ont été

réalisés, les projets incluant les toits écologiques sont encore peu nombreux. Les plus célèbres

toitures vertes du Canada sont le Mountain Equipment Coop (Toronto), la toiture de l’École

Polytechnique montréalais ou encore le Cépep de Rossemont (Montréal) [10]. On peut

également citer les résidences de la gendarmerie royale de Canada, la toiture terrasse de la

bibliothèque de Bromont et celle du Vancouver avec 1850m² de surface verte sur sa terrasse

que le paysagiste et architecte Oberland Conelia a conçue en 1995.

3

Figure 1 : The Mountain Equipment Coop Store de Toronto, Canada [10].

En Chine

Les chinois sont actuellement conscients des intérêts apportés par cette technique de revêtement

des bâtiments. La grande distinction par rapport aux autres pays repose sur le fait de

transformer les toitures des résidences urbaines en rizières [11].

Au Japon

Le Japon fait parmi les premiers pays orientaux possédant des grandes surfaces et résidences

couvertes de végétaux. Des lois sont appliquées dans la ville de Tokyo obligeant qu’au moins

20% des surfaces doivent être végétalisées pour les constructions occupant plus de 1000m²

[10]. On note par exemple la grande surface végétalisée de l’Université des arts et de la culture

de Shizuoka et encore plusieurs autres célèbres constructions couvertes de végétaux.

Figure2: Université des arts et de la culture de Shizuoka, Japon [10]

La ville de Köbe ainsi que de Kyoto ont suivi cette technique et d’autres villes japonaises sont

en phase d’adoption des lois similaires.

4

En Amérique

La technique de végétalisation des toitures devient de plus en plus populaire aux États-Unis.

L’une de plus grandes surfaces végétalisées est celle de l'usine du River Rouge Plant, à

Dearborn (Michigan) couvrant 42000m² [12], et conçue par l’architecte William Mc Donough.

Il y a également la toiture végétalisée de type intensive du Millenium Park Garage de Chicago

avec 99,000 m2 de surface. D’autres célèbres exemples incluent La City Hall Green Roof de

Chicago, le siège de Weyerhaeuser à Washington, le siège social de Gap de San Bruno ou

encore la toiture ondulée de l’Académie des Sciences de San Francisco (Californie) [13].

Environ 1000000m² de nouveaux toits verts ont été construits aux États-Unis en 2012

Figure 3: Le toit vert ondulé de la California Academy of Sciences de San Francisco en

période de construction en 2007[15].

En France

Malgré un certain retard en la filière, plusieurs millions de mettre carré de surface de toiture

sont actuellement végétalisées et plusieurs associations comme l’ADIVET [14] et la CSTB [14]

réalisent des projets d’installation de toit vert à grande échelle. Toute nouvelle construction doit

prévoir un taux suffisant de surface végétalisée au sol sinon le toit ou les murs des bâtiments

résidentiels doivent être végétalisés. Selon l’ADIVET, une surface totale d’environ 1,36

millions de mettre carré de toits a été couverte de végétation en 2011 et 22 millions de mettre

carré en 2012 pour la capitale française [14]. En fait, 70% de tel marché concernent surtout les

publics, 20% pour les grandes surfaces commerciales et locaux industriels, et seulement 10%

pour les bâtiments résidentiels individuels. Parmi les toitures vertes extensives les plus connues

de France, on cite le nouveau musée l’Historial de la Vendée, à l’Ouest du pays, avec une couverture

de 8000m² et celle de l’International School de Lyon avec la même couverture.

5

Figure 4: “L’Historial de la Vendée”, Nouveau Musée à l’Ouest de France [15]

La surface la plus étendue de toit vert de la capitale française est la toiture du Centre commercial Beaugrenelle avec 7000m² de couverture végétale et qui a été inaugurée en avril 2013.

En Suisse

La Suisse est actuellement consciente de l’importance de l’intégration des végétaux sur les

toitures résidentiels ou locaux industriels surtout dans les grandes villes. Des lois sont imposées

pour toute nouvelle construction dans plusieurs villes. En 2013, 25 % des toits sont végétalisés

ce qui constitue un nouveau record mondial dans la filière.

I.2- LES TOITURES VEGETALISEES ET LEURS IMPORTANCES

I.2.1- Types de toitures végétales et composantes

On retrouve généralement deux types principaux de toits verts : le toit vert extensif et le toit

vert intensif (figure 5).

Figure 5:Les deux types de toits verts.

6

a- Toits verts extensifs

La végétation est extensive. Ce type de toit a l’avantage d’être bon marché si on veut

couvrir des toits de grande surface puisque les charges que la toiture va supporter sont plus

faibles (peu de terre), elle convient à des toitures pentées de 0 à 30°. Le choix des types de

plantes utilisées pour ce type de toit vert est restreint, on peut citer par exemple les plantes

herbacées, les plantes vivaces, les mousses, les sedums, les lichens et algues,… Ces plantes

sont très résistantes au froid et à la chaleur.

Figure 6: Toit vert extensif (a : végétation, b : substrat de croissance, c : support) [15]

b- Toits verts intensifs

Le toit vert intensif prévoit une couche de substrat importante. L’épaisseur minimale

requise est de 25cm. Par rapport à un toit vert de type extensif, son efficacité énergétique et sa

capacité à retenir les eaux de pluies sont plus élevées. Un large choix de plantes est possible, on

peut citer les plantes basses, arbustes, les arbres,…

Figure 7 : Toiture végétalisée de type intensive. (a: végétation, b: substrat de croissance, c: support) [15]

a

b

c

a

b

c

7

I.2.2- Caractéristiques des différents types de toitures végétalisées

Le tableau suivant donne les caractéristiques des toits verts extensif et intensif.

Tableau 1 : Caractéristiques des différents types de toits verts. Source : [16]

Végétalisation

extensive

Végétalisation semi-

intensive

Végétalisation

intensive

Épaisseur du substrat

[cm] 10 10 à 30 +30

Poids du complexe de

végétalisation [kg/m2] 100 150 à 350 600

Support admissible Béton, acier,

bois,… Béton, acier, bois,… Béton

Pente maximale [%] 30 20 5

Choix de végétation Restreint Large Très large

I.2.3- Les divers éléments composant une toiture verte

Les éléments composant un toit vert sont les mêmes que ce soit pour le type extensif

que ce soit pour le toit vert de type intensif. La seule différence réside sur l’épaisseur de la

couche de sol. Les toits verts sont en général composés d’une couche de canopée, du sol de

croissance des plantes, et d’une couche de drainage. La figure suivante donne un aspect

décrivant les éléments d’une toiture végétalisée de type extensive.

Figure 8:Schéma descriptif d’une toiture végétalisée extensive

8

I.2.3.1- Couche structurale ou support

La couche structurale est celle qui soutient le toit vert. Elle peut se composer de béton

armé ou pontage d'acier, comme dans le cas de bâtiments institutionnels ou bien de solives en

bois, de filtre, de drainage et de membrane isolante. Selon le type de toit vert réalisé, cette

structure aura une capacité plus ou moins grande en termes de charges. Dans l'étude de

l'efficacité énergétique des toits verts, cette couche est très souvent considérée comme

homogène et ayant des propriétés physico-thermiques stables, Palomo Del Barrio, 1998 [17].

I.2.3.2- Substrat de culture

Le substrat de culture sert de soutien à la couche végétale et lui fournit les éléments

nécessaires à la croissance et la multiplication des plantes. Selon le type de toit vert, l'épaisseur

de terre peut varier de 5cm à 150 cm pour un toit extensif et de 20cm à 60cm pour un toit

intensif. Les propriétés physico-thermiques de cette couche dépendent largement du type de

substrat mais aussi du degré d'humidité de la terre. Selon Lazzarin (2005) [18], les gains

énergétiques apportés par un toit vert sont plus grands lorsque le sol est humide. Plus le sol est

épais plus la résistance thermique est grande. Cette augmentation de résistance thermique se

fait de façon plus rapide pour un sol sec que pour un sol humide (40% humide). Cela s'explique

par le fait qu'un sol sec est moins conducteur à la chaleur. Aussi, plus l'épaisseur de terre est

grande, plus les plantes offrent de l'ombrage et meilleure est la protection thermique offerte par

la toiture végétale.

I.2.3.3- Couche des plantes

La couche des plantes est celle qui est directement exposée à la radiation solaire. Il

s'agit donc de la première barrière que le rayonnement solaire rencontre. Le choix des plantes

se fait dépendamment du type de toit vert. Un toit vert intensif permet une variété plus grande

de plantes et la grande épaisseur de terre permet d'avoir des plantes hautes avec un grand

feuillage. Un toit vert extensif, utilise le plus souvent des plantes très courtes et très résistantes

à la sécheresse. Le plus souvent, on utilise les différents types de sedum, de mousse, de gazon

ou de courtes graminées. Les propriétés physico-thermiques de la couche de plantes sont

dynamiques et dépendent de plusieurs paramètres tels que la température extérieure, l'humidité

relative, la vitesse du vent, etc.

9

Les nombreuses études au niveau du choix des plantes pour un toit vert mettent en lumière

deux paramètres fondamentaux en ce qui a trait à la caractérisation de la couche de plantes et

qui ont un effet direct sur la performance énergétique du toit vert :

- Le LAI (Leaf Area Index ou Indice de surface foliaire) qui représente le pourcentage

de surface ombragée par les plantes,

- Le TLT (Total Leaf Thickness) qui est l'épaisseur totale des feuilles des plantes

superposées en plusieurs couches.

I.2.4- Les atouts des toits verts

L’existence des végétaux à la surface d’une toiture d’un bâtiment offre plusieurs

avantages non seulement au niveau du bâtiment lui-même mais également à son

environnement. La figure suivante montre les principaux avantages de l’utilisation des toitures

végétales

Figure 9:Les nombreux atouts d’une toiture végétalisée. [19]

10

I.2.4.1- Le toit vert, un facteur de rétention des eaux pluviales

Les villes sont particulièrement concernées par les questions de maîtrise des eaux

pluviales et de contrôle des réseaux d’assainissement. Alors que les volumes importants d’eau

en période de pluie peuvent entraîner des débordements dans les milieux avoisinants, la

présence des toitures végétalisées permet de réduire l’écoulement des eaux de pluie dans les

égouts ou réseaux d’assainissement de 15 à 90%[14].Pour une unité de surface d’une couche

drainante de 8cm avec une porosité égale à 40%, en moyenne, un stockage de 30 litres d’eaux

pluviales est estimé mais cette valeur peut varier selon l’inclinaison de la toiture, les conditions

climatiques ou encore le type de culture utilisé[14]. L’eau stockée dans le système peut être soit

utilisée par la couche de plante, soit libérée par phénomène d’évapotranspiration et le reste

déversé vers les canalisations. Ce processus de gestion des eaux pluviales par les toits

végétalisés permet ainsi de faire limiter les forts débits d’eaux en période pluviale et à

l’engorgement des réseaux d’assainissement.

Figure 10 Rétention des eaux de pluie par la toiture végétalisée [15].

D’après les études faites au sein de l’ADIVET et du CSTB, une épaisseur de 6 à 10cm de toit

vert extensif peut retenir jusqu’à la moitié des précipitations annuelles entraînant ainsi une

diminution des coûts de gestion de l’eau d’environ 10% [14].

11

Figure 11Ruissellement sur un toit plat conventionnel et un toit végétalisé extensif [20].

I.2.4.2- Modération de l’effet d’ilot thermique urbain (Urban Heat Island effect)

L’effet d’ilot thermique urbain est un phénomène caractérisé par une élévation des températures dans les zones urbaines comparées aux zones rurales avoisinantes. Plusieurs facteurs entraînent ce phénomène mais d’une manière générale cela est causé par les activités humaines incessantes concentrées dans les villes et l’évolution de l’urbanisme. On peut citer par exemple la modification de la nature des territoires occupés en ville, l’utilisation massive des énergies domestiques, l’urbanisation qui fait de la ville un système absorbeur de calorie. Evidemment, l’installation des toits végétalisés que ce soit intensif ou extensif, contribuerait à équilibrer la température des villes avec leur périphérie.

Figure 12: Effet d’ilot de chaleur urbain [21].

12

I.2.4.3- Le toit vert, un atout pour la qualité de l’air urbain

Outre les problèmes liés avec les émissions de carbone dont les effets à l’échelle

climatique planétaire sont très connus, plusieurs autres facteurs sont responsables de la

pollution de l’air urbain. Parmi ces facteurs, on peut citer les activités urbaines, c'est-à-dire les

constructions, les industries, les voitures, les technologies modernes polluantes, qui entraînent

la formation de fortes concentrations d’ozone très nocives pour la santé. Les polluants sont

piégés en concentration importante dans les milieux où il y a beaucoup de monde et de trafics

routiers favorisant des risques sanitaires graves. En végétalisant les toits des bâtiments, les

plantes fixent le dioxyde de carbone ainsi que le carbone tout en produisant de l’oxygène par

procédé photosynthétique. Des travaux de recherche concernant l’intérêt sanitaire des toitures

vertes estiment qu’une surface de 1,5m² de telle toiture permet de couvrir les besoins en

oxygène d’une personne adulte.

Figure 13: Phénomène d’absorption du CO2 par la végétation. [15]

D’autre part, le principe d’évapotranspiration au sein des feuilles augmente le taux

d’humidité de l’air favorisant ainsi la création de rosées. Ces fines gouttelettes d’eau ont le rôle

de fixer pollens, poussières et notamment les particules polluantes comme le carbone, le plomb

ou même l’oxyde d’azote. Ces derniers sont par suite fixés dans le substrat ou nourrissent les

plantes, insectes et bactéries présents. D’après l’ADIVET et le CSTB [6] [10], la couche

supplémentaire de végétation sur les toits permet de réduire jusqu’à 90% des polluants comme

le monoxyde de carbone ou l’oxyde d’azote. Une unité de surface d’une toiture végétalisée de

type extensive capte environ 200g de particules en suspension dans l’air en une journée.

La végétalisation des

toitures permet de fixer le

dioxyde de carbone et de

produire de l’oxygène

13

Figure 14 : Phénomène d’absorption des poussières par la végétation. [15]

I.2.4.4- Le toit vert, un isolant phonique

Il est évident que les premières zones exposées à inconfort phonique se retrouvent dans

les grandes villes et les lieux de trafic. Les sources sont nombreuses tels que les trafics routiers

et les aéroports de grandes envergures. Il existe de nombreuses solutions pour atténuer le bruit

dans les bâtiments exposées. La végétalisation de l’enveloppe des bâtiments permet de réduire

jusqu’à moitié les nuisances sonores dans les villes. En effet, un système antibruit naturel

fonctionne grâce à la présence des végétations qui absorbent les ondes sonores de hautes

fréquences (les basses fréquences sont absorbées par le sol). Une couche de canopée

d’épaisseur de 12cm réduit de 40 à 50dB les nuisances sonores [22]. Bref, la couverture

végétale installée sur les toitures contribue à la diminution des bruits urbains.

I.2.4.5- Le toit vert, un isolant thermique

De manière générale, la surface des toitures ordinaires peut atteindre une température

allant jusqu’à 60 ou même 70°C en période de fortes chaleurs [14], et exposée à une

température très froide en période nocturne. Cela entraînerait, d’une part, une élévation du flux

de chaleur traversant la toiture et un réchauffement de l’enveloppe du bâtiment pendant la

journée augmentant ainsi le coût d’énergie nécessaire pour la climatisation interne, et, d’autre

part, un besoin de système de chauffage à coût élevé en période nocturne. A l’opposé, la

végétalisation des toitures des bâtiments permet d’obtenir des bénéfices importants soit pour le

bâtiment soit pour son environnement. En effet, les résultats des travaux de recherches menés

par les références [24], [25] concluent que le toit vert réduit les échanges de chaleur traversant

la toiture. L’isolation thermique apportée par la couche supplémentaire de végétation permet de

réduire significativement les gains de chaleur en période chaude et les pertes de chaleur en

période froide, diminuant ainsi la consommation énergétique utilisant les appareils modernes.

Les résultats expérimentaux réalisés en été en 2001 dans la région de Nice, France [24], a

14

permis de diminuer la chaleur totale pénétrant le bâtiment le jour d’environ 85% et celle qui

s’échappe du bâtiment d’environ 70% en période nocturne. Les résultats apportés par divers

travaux de recherches nord-américains [25] ont également estimé que couvrir par des végétaux

les 6% des toitures canadiennes offrirait une économie d’énergie supérieure à 5%. Tout cela

nous permet de dire que l’ajout d’une couche végétale sur la surface des toits offre une

condition thermique équilibrée et agréable.

Figure 15 : La toiture végétalisée utilisée comme système d’isolation thermique

I.2.4.6- Le toit vert, un facteur d’allongement de la durée de vie pour les toits

Selon les études menées par l’ADIVET et le CSTB [14], la végétalisation permet de

doubler leur durée de vie des toits des bâtiments notamment celle de l’étanchéité. La

végétalisation de la surface de 3ha d’une usine à Zürich [22] en 1914 confirme ces

considérations. En 2000, aucun autre travaux de réfection n’a encore été prévu sur le système

d’étanchéité du toit de l’usine. L’ajout des couches végétales sur la surface d’un toit contribue

ainsi à la longévité de ce dernier.

T1 T2

Rayonnement

solaire

Températures : T1 toit sans végétation T2 toit vert

Toit ordinaire

Sans isolation thermique

Toit vert

Isolation thermique du bâtiment

15

Chapitre II : MODÈLE MATHÉMATIQUE ASSOCIÉ

AU TOIT VERT

15

Chapitre II : Modèle mathématique associé au toit vert

Une description schématique des différents transferts thermiques et massique ayant lieu au

niveau de la toiture végétalisée est représentée par la figure 16 ; la figure 17, quant à elle,

représente le schéma électrique équivalent aux échanges de chaleur et de masse.

Figure 16 : Schéma descriptif des différents échanges thermiques et massique au niveau de la toiture

16

Figure 17: Schéma électrique équivalent aux transferts thermiques et massique au niveau d’une

toiture végétalisée

17

II.1- MODELE DE LA TOITURE VEGETALISEE

II.1.1- Hypothèses simplificatrices du modèle de la toiture végétalisée

Avant de présenter les différentes équations traduisant le comportement de la toiture

végétalisée, les hypothèses suivantes sont adoptées:

- Le toit est censé être suffisamment grand pour supposer l'homogénéité horizontale. On

suppose les flux de chaleur et de masse comme étant essentiellement verticaux, de

manière à utiliser des modèles unidimensionnels pour décrire le comportement

thermique des divers composants de la toiture;

- Le support de la toiture est supposé comme étant une couche homogène d'un matériau

solide ayant des propriétés thermophysiques constantes;

- La température interne du bâtiment est considérée comme constante.

II.1.2- Modèle mathématique associé au sol de croissance des végétaux

Un sol est un moyen poreux dans lequel trois phases peuvent être distinguées : la

matrice solide (des minéraux et la matière organique), la phase liquide (l’eau) et la phase

gazeuse (l’air et la vapeur d'eau). Qualitativement, nous pouvons dire que dans des sols non

saturés, la chaleur sera transférée dans ces trois phases. Les mécanismes dominants respectifs

sont : la conduction à travers les phases solides et liquides, la convection dans phases liquides

et gazeuses et le transfert thermique latent par diffusion de vapeur dans les pores. En outre, le

transfert thermique dépendra de la teneur en humidité et de la température. Ce qui conduit à

une dépendance mutuelle et à une redistribution continue de la chaleur et de l'humidité,

quantitativement décrite par un système d'équations non-linéaires couplées. La théorie

formelle de ces phénomènes a été établie en premier lieu par Philip et de Vries [27], de Vries

[27] et Luikov [28]. Depuis lors, un grand nombre de travaux théoriques et expérimentaux ont

été faits.

L’application de la loi des nœuds au schéma électrique équivalent de la figure 17 nous

permet d’écrire l’équation du bilan énergétique suivante relative au nœud C��: 1 ��MQdN� eFfge� h � !"%,��iC� \ C��j k �/,��iC� \ C��j k R1�/,��iC�� \ C�j k

i� !"#,� k �#,.,��jiC�� \ C��j k i1 \ Q�jR�T� k miC��jT%��,�� (II.1)

Avec

18

� !"%,�� : Coefficient convectif entre l’air de la canopée et le sol

�/,�� : Coefficient d’échange par rayonnement entre le sol et le feuillage

�/,�� : Coefficient d’échange par rayonnement entre la voûte céleste et le feuillage

� !"#,� : Coefficient d’échange par conduction de chaleur à travers le sol

�#,.,�� : Coefficient d’échange de chaleur par diffusion de vapeur dans le sol

T%��,�� : Flux d’échange de chaleur par vaporisation entre l’air de la canopée et le sol

(défini par la relation de la section modèle de la canopée) C� : Température du feuillage

C� : Température de l’air de la canopée C�� : Température de la face supérieure du sol

C�� : Température de la face supérieure du support de la toiture C�� : Température de la voûte céleste

�� : Epaisseur du sol

MQdN� : Capacité calorifique du sol

miC��j : Chaleur latente de vaporisation dans le sol

Q� : Réflectivité de la face supérieure du sol

T� : Flux de radiation solaire arrivant au sommet de la canopée R�Q�T� : Rayonnement solaire réfléchie par le sol

Pour une relation traduisant une convection mixte nous utilisons la relation donnée par

la référence [28] pour définir le coefficient d’échange convectif entre l’air de la canopée et la

surface du sol de croissance

� !"%,�� h Mo�Np1�qr s1,14uC� \ C��u�,r k 6,97D1,yz�,r (II.2)

�/,�� et �/,�� : coefficients d’échange par rayonnement définies qui seront définis

ultérieurement dans la section II.1. 3 traitant le modèle de la canopée.

Le coefficient � !"#,�sera défini par la relation (II.38) dans la section II.1.4 du modèle du

support de la toiture végétalisée.

Le coefficient d’échange de chaleur par diffusion de vapeur est défini d’après la

référence [17] par : �#,.,�� h ΛMC��N�%,Ffg (II.3)

19

Où ΛMC��Net �%,Ffg définissent respectivement la chaleur latente de vaporisation du sol à la

température T)~ [K] et le coefficient de diffusivité non isotherme de vapeur [kg. m. s�1. K�1].

Nous donnerons ultérieurement des équations similaires à ces paramètres dans la section

modèle du support.

II.1.3- Modèle mathématique associé la canopée

La canopée est composée par les feuilles et l'air dans la couverture de feuille. Les principaux

procédés contribuant à la définition de l'état thermique de la canopée sont:

- Radiation solaire absorbée par les feuilles;

- Échanges radiatifs de grandes longueurs d’ondes (GLO) entre les feuilles et la voûte

céleste, entre les feuilles et la surface du sol environnant et entre les feuilles elles-mêmes ;

- Transfert thermique par convention entre les feuilles et l'air de la canopée et entre la

surface du sol et l'air de la canopée ;

- Évapotranspiration dans les feuilles. Ce processus inclut trois phénomènes à savoir

l'évaporation d'eau à l'intérieur des feuilles, la diffusion de vapeur à la surface de feuilles et le

transport convectif de vapeur de la surface de feuilles à l'air ;

- Évaporation/condensation de vapeur d'eau dans la surface du sol et transfert

convectif de vapeur entre la surface du sol et l'air;

- Transfert thermique par convection et transfert convectif de vapeur entre l'air dans la

canopée et l'air libre.

La complexité d'une canopée en tant qu’un système de sources et de puits de chaleur et de

masse est telle qu'une description exacte de son comportement physique est presque

impossible. En essayant de comprendre une représentation plus simple (modèle) d'une

canopée, on fait face à deux types de problèmes. Le premier est la complexité et

l’inhomogénéité spatiale inhérente du feuillage. Cela implique que, pour une description

précise, le nombre d'équations simultanées à résoudre pourrait être cinq fois plus grand que le

nombre de feuilles dans la canopée. Le deuxième est la nature turbulente de l’écoulement d'air

au sein (et au-dessus) d’une canopée. Sa conséquence est que la direction et l'ampleur des flux

d'énergie et de masse varient à tout moment et ne peuvent pas être exactement prévues.

Malgré cela, dans beaucoup de littératures traitant le couplage des plantes avec leur

environnement, les transferts de chaleur et de masse entrant et sortant d'une canopée sont

décrits comme des flux verticaux le long d'un gradient de concentration à travers quelques

20

résistances typiques. Cependant, la supposition que le transfert a lieu le long d'une direction

verticale seulement, implique qu’on fait la moyenne des variations le long d'un plan

horizontal. D'autre part, les relations empiriques connues entre des flux et des gradients

garantissent la validité de cette approche seulement autant que les moyennes temporelles des

flux et des gradients sont concernées. On peut s’attendre à ce que les modèles

unidimensionnels d'une canopée soient seulement représentatifs à une échelle horizontale

suffisamment grande pour être considérée comme homogène, c'est-à-dire, beaucoup plus

grande que la dimension typique de n'importe quel élément de feuillage tels que feuilles,

branches, espacement d'inter-rangée ou largeur de rangée. Cependant, il y a un autre problème

d’isotropie : aucune canopée naturelle ne peut être considérée comme homogène dans la

direction verticale, les gradients verticaux des fonctions d'état ne peuvent pas être négligés. Il

est normal d’essayer, pour reproduire les profils de température et d'humidité dans une

canopée, de représenter celle-ci comme une pile de couches homogènes semi-transparentes et

semi-perméables. Le nombre de couches est décrit comme quelque chose entre un (par

exemple, [30]) et un continuum qui est discrétisé selon une procédure numérique [31].

Évidemment, seuls les modèles à plusieurs couches peuvent reproduire des profils de

température et de teneur en vapeur au sein de la canopée.

Dans cet article donc, une canopée sera considérée comme une couche homogène,

caractérisée par une valeur de températures de feuilles C�et une valeur de température C� et de

teneur en vapeur J� de l’air en son sein.

Conformément aux hypothèses précédentes et à la loi des nœuds relatives à la figure17 du

schéma électrique équivalent, les équations de bilan massique et du bilan thermique au sein de

la canopée peuvent être écrites comme suit :

�� . ��?MQdN� eF�e� h T/�#,�!X k T/�#,FVW k T !"%,�� k T�/�"�,�� MQdN� eFpe� h T !"%,��@ k T !"%,�� k T !"%,��Q�� e�pe� h T%��,�� k T%��,�� k T%��,��@

(II.4)

Où C� : Température des feuillages [K] C�: Température de l’air de la canopée [K] J� : Humidité spécifique de l’air de la canopée [kg.kg-1] MρcN� : Capacité calorifique spécifique des feuilles [J.m-3.K-1]

21

d : Épaisseur moyenne des feuilles [m] MρcN� : Capacité calorifique spécifique de l’air de la canopée [J.m-3.K-1] ρ� : Masse volumique de l’air [kg. m-3] � : Epaisseur de la couche de canopée [m]

T/�#,�!X: Flux de radiation solaire absorbée par les feuilles [W.m-2] T/�#,FVW Flux net de radiation thermique sur les feuilles [W.m-2] T !"%,�� Flux de chaleur sensible entre les feuillages et l’air de la canopée [W.m-2] T�/�"�,��: Flux d’énergie dû à la transpiration des feuilles [W.m-2] T !"%,��: Flux de chaleur convectif entre l’air de la canopée et le feuillage

M T !"%,�� h \T !"%,��N [W.m-2] T !"%,��: Flux de chaleur sensible entre l’air de la canopée et la surface du sol [W.m-2] T !"%,��@: Flux de chaleur sensible entre l’air de la canopée et l’air ambiant [W.m-2] T%��,�� : Flux de vapeur entre l’air de la canopée et la surface du sol [kg.m-2] T%��,��@ : Flux de vaporisation entre l’air de la canopée et l’air ambiant [kg.m-2]

Les équations ci-après sont écrites par unité de surface du sol. La surface totale de

feuille (une face uniquement) contenue dans un volume élémentaire de base est nommé Indice

de surface foliaire (LAI : Leaf Area Index)

II.1.3.1- Flux net de radiation thermique

Le transfert par rayonnement de grandes longueurs d’ondes(GLO), τl(LAI), d'une

canopée ayant l'indice de surface foliaire LAI est définie comme le quotient entre le flux

radiatif de grandes longueurs d’ondes entrant soit la surface supérieure soit celle inférieure

d'une section de la canopée et le flux sortant l'autre bout de cette section. C'est également

appelé transmittance d'une canopée de feuilles noires, du fait que, dans la gamme de grandes

longueurs d’ondes, la transmittance et la réflectance du tissu de feuille sont négligeables. La

canopée transmettra seulement la radiation qui n'est pas même une fois interceptée par une

feuille. On peut montrer [32] que pour la radiation diffuse de grandes longueurs d’ondes, la

transmittance R1M�23N est affectée seulement par les propriétés géométriques de la canopée.

En effet, sous un certain nombre de suppositions, les fonctions théoriques pour l'extinction de

radiation dans un milieu turbulent peuvent être appliquées à une canopée (par exemple, [33])

pour obtenir :

22

R1M�23N h exp M\01�23N (II.5)

Où kl représente le coefficient d'extinction des feuilles pour le rayonnement de grandes

longueurs d’ondes, qui peut être analytiquement calculé pour quelques distributions d'angle de

feuille idéalisées. Le Tableau I.5 en fournit quelques valeurs déduites de la littérature [24],

[30].

Tableau 2: Valeurs du coefficient d’extinction pour le rayonnement de grande longueur d’onde, déduites de la littérature, pour quelques distributions d'angle de feuille idéalisées

Distribution des feuilles Coefficient d’extinction k1

Horizontale [1 : 1.05]

Conique (α = 45°) 0.829

Verticale (α = 90°) 0.436

Sphérique [0.684 : 0.81]

Le symbole α représente l’angle que font les feuilles par rapport à un plan horizontal.

Une canopée absorbe une fraction égale à (1 – τl) du rayonnement de grandes

longueurs d’ondes qu'elle reçoit. Le flux thermique net de rayonnement dans une canopée

s’écrit ainsi :

T/�#,FVW h M1 \ R1N��C�q k �C��q \ 2�C�q� (II.6)

Ou bien

T/�#,FVW h h�*�,)�-iT) \ T-j k h�*�,��-MT�� \ T-N (II.7)

Avec h�,)�- : Coefficient d’échange par rayonnement entre les feuillages et le sol et qui est donné

par

h�,)�- h ε-σF-�)iT) k T-jMT- k T)N (II.8)

h�*�,��- : Coefficient d’échange radiatif entre la voûte céleste et les feuillages et est défini

par

23

h�,��- h ε-σF-��iT�� k T-jiT�� k T)j (II.9)

F-�� [ ] définit le facteur de forme géométrique entre la toiture et la voûte céleste et est

déterminé par la relation suivante

F-�� h 1 M1 k cos M�NN (II.10)

Où � 7°< ou 7rad< désigne l’angle d’inclinaison du toit, et I� [ ] l’émissivité du feuillage de la

canopée.

II.1.3.2- Flux net de radiation solaire

Le rayonnement de courtes longueurs d’ondes M��N transmise par une canopée est la

somme de la radiation non interceptée et la radiation qui est soit transmise soit reflétée vers le

bas (ou tous les deux) par n'importe quelle feuille au sein de la canopée. Le facteur de

transmission (ou la transmittance) d’ondes courtes τs(LAI) pour le rayonnement diffus de

courtes longueurs d’ondes d'une canopée avec un indice de surface foliaire M�23N, peut être

représentée [35], avec une précision raisonnable, selon une loi exponentielle :

R�M�23N h ��M\0��23N (II.11)

Le coefficient d'extinction ks, doit être une fonction des propriétés optiques des feuilles et est

calculé dans [36] par :

0� h 017M1 \ R�N \ Q�<� (II.12)

Où R� et Q� sont respectivement les facteurs de transmission et de réflexion (transmittance et

réflectance) du tissu de feuille. Pour une feuille verte moyenne, l'équation précédente résulte 0� h 0.74 01 [37]. Pour l'espèce avec des feuilles principalement horizontales, nous avons 0� ¢ 1.10 et pour l'espèce avec des feuilles principalement verticales nous obtenons une

valeur de0� ¢ 0.29.

La réflectance (ou facteur de transmission) d'une canopée est toujours inférieure à celle (ou

celui) des feuilles le composant. L’ombrage mutuel des feuilles et la dispersion multiple dans

la canopée résultent une sorte d’effet de cavité causant une absorption supplémentaire de

radiation. La canopée sera supposée comme dense [34] (lieu d'interception unitaire pour le

24

rayonnement diffus, ou couvrant complètement le sol) à l'égard de la fraction de la radiation

incidente qu'elle intercepte. Par conséquent :

Q�M�23N h 71 \ R1M�23N<Q£ (II.13)

Où ρ£est la réflectance d’une canopée dense.

Une canopée absorbe une fraction égale à (1 – R� \ Q�) du rayonnement de courtes longueurs

d’ondes (CLO) qu'elle reçoit. Le flux solaire net de radiation absorbé par une canopée est

alors écrit comme suit :

T/�#,�!X h 71 \ R� \ M1 \ R�NQ&<i1 k R�Q�jT� (II.14)

Où T� représente la radiation solaire arrivant au sommet de la canopée et R�Q�T� la radiation

solaire reflétée par le sol.

Le rayonnement global φ� [W.m-2] arrivant au sommet de la canopée est la somme du

rayonnement solaire direct 5#,/[W.m-2] et du rayonnement solaire diffus 5#,. [W.m-2].

φ� h 5#,/ k 5#,. (II.15)

Dans cette relation, la densité de flux de radiation solaire direct est définie par

5#,/ h 5#,/�¦cos MJ1N (II.16)

Où 5#,/�¦ représente la radiation solaire directe arrivant sur une surface horizontale (fournie

par les données météorologiques) tandis que θ1 définit l’angle d’incidence [°] ou [rad] du

rayonnement solaire direct sur un toit incliné donné par

d¬MJ1N h d¬M�� N?®M�N. d¬M�� – �� N k d¬M�N. ?®M�� N (II.17)

Avec �� : Hauteur du soleil [°] ou [rad] � : Inclinaison de la toiture par rapport à l’horizontale �� : Azimut du soleil [°] ou [rad] �� : Azimut du toit [°] ou [rad]

25

Les azimuts sont mesurés par rapport au Sud ; comptés positivement vers l’Ouest et

négativement vers l’Est.

Pour la densité de flux du rayonnement solaire diffus, on la définit par la relation

5#,. h 1¯(°� M�N 5#,/,¦ k �� 1�(°�M�N M5#,/,¦ sinM��N k 5#,/,¦) (II.18)

Où l’on a :

�� : Albédo du sol [ ] � ∶ angle d’inclinaison du toit par rapport à l’horizontale [ °] ou [rad]

Ainsi, le flux de rayonnement solaire arrivant au sommet de la canopée s’écrit

T� h 5#,/,¦ ²d¬MJ1N k 1¯ !�M�N k �� 1� !�M�N M1 k ?®��N³ (II.19)

II.1.3.3- Transfert thermique par convection entre les feuilles et l’air

Le transfert de chaleur par convection entre le feuillage et l'air au sein de la canopée

est régi par la loi de Newton de convection

T !"%,�� h \T !"%,�� h \2�23 Mo�N�/́ MC� \ C�N (II.20)

Où =�définit la résistance moyenne de la canopée au transfert de chaleur sensible, ou la

résistance externe de la canopée. Les données expérimentales disponibles dans la littérature ne

sont pas concluantes à propos d'une équation unique pour prédire la résistance externe des

feuilles exposées aux faibles vitesses du vent, en présence des sources externes de turbulence

et étant seulement quelques degrés plus chauds ou plus frais que l'air environnant. Nous

adopterons ici le modèle de corrélation proposé par [38], qui est basé sur un travail

expérimental complet :

=� h �XµiXuF��Fpu¯+Z j¶ �® U�1 (II.21)

Où l représente la longueur caractéristique des feuilles et D la vitesse du vent ; a, b, m et n

sont des coefficients empiriques (a = 1174, b=207, m = 0.5, n = 0.25 pour la culture de

tomate).

26

II.1.3.4- Flux de transpiration

Si la pression de vapeur est choisie comme une fonction de contrainte appropriée, le

flux d'énergie consommée pour laisser de l'eau s'évaporer dans des feuilles peut être

représenté selon une loi analogue à celle utilisée dans la Section c précédente :

T�/�"�,�� h \2�23 Mo�N�·M/́ ¯/¸N i�� \ ��j (II.22)

Où γ est la constante psychométrique thermodynamique [Pa K-1], �� B �� [Pa] sont

respectivement la pression de vapeur à la surface de feuille et celle dans l'air de la canopée, =�

est la résistance externe de la canopée [s.m-1], défini par l’équation (II.21) et =, la résistance

interne au transfert de vapeur de la canopée, ou résistance globale stomatale, qui est en fait,

définie par l’équation (II.23).

La résistance interne d'une canopée est connue pour être affectée par un certain nombre de

paramètres physiologiques et environnementaux. Seulement on considérera le dernier groupe

ici. Parmi les paramètres environnementaux, l'irradiance de courtes longueurs d’ondes (φs),

semble être la plus importante. La différence de pression de vapeurM�� \ ��N entre la feuille et

l’air, la température de surface de la feuille et la concentration de CO2 dans l'air, jouent aussi

un rôle important. Une discussion très intéressante de la signification physique de la

résistance interne ainsi que de ses relations fonctionnelles avec chaque variable de conduite,

peut être trouvée dans les références [38], [39] et [40]. Stahghellini [38] a démontré que le

comportement apparent de la résistance interne d'une canopée est presque exclusivement

déterminé par la résistance interne des feuilles le composant. En conséquence, le

comportement observé de la résistance interne de la canopée peut être représenté par un

modèle phénoménologique tout à fait semblable à celui suggéré pour la résistance interne

d'une feuille :

=, h =@,"=̃,MT�N=̃,MC�N=̃,M�0N=̃,M�� \ ��N (II.23)

Dans cette équation, =@,"[s.m-1] représente la résistance possible minimale, dont l'ampleur a

une origine purement physiologique. Les symboles =̃,représentent des fonctions sans

dimensions supérieures à l'unité, évaluant quantitativement l'accroissement relatif de la

résistance interne, chaque fois qu'un des paramètres limite le taux de transfert de vapeur d'eau.

On a proposé la fonction suivante pour représenter de tels effets :

27

��=̃,MT�N h ¹º»¯��¹º»¯� , �1 ¼ � �B T½� h ¹»¾¿V=̃,iC�j h 1 k �ÀiC� \ C@j

=̃,M�0N h 1 k �qM� \ 200N=̃,i�� \ ��j h 1 k �ri�� \ ��j

(II.24)

Pour une culture de tomate, la référence [38] propose les valeurs suivantes:

rÁÂÃ h 82 [s.m-1], C1 h 4.3, C h 0.54, TÁ h 24.5°C, CÀ h 2.3.10-2, Cq h 6.1 10-7 et

Cr h 4.3. 10�È. Autrement, la résistance interne d'une canopée correspondant à la culture de référence

(tomate) peut être représentée par :

=, h �=,,�!@�� (II.25)

Tel que le coefficient f permet de représenter une canopée s'évaporant plus M� É 1N ou

moinsM� ¼ 1N.

Pour des raisons de simplification de la résolution du problème, il est mieux de linéariser la

différence de pressions �� \ ��que la référence [41] définit

�� \ �� h a�,/MCbNiC� \ C�j k M��∗ \ ��N (II.26)

Avec :

a�,/MCbN : Pente de la courbe de pression de vapeur saturante (Pa.K-1) donnée par la relation

a�,/MCbN h r�q.1�ÊMFË¯ÀÈ,ÀN �� Ì 1È,È.FbFË¯ÀÈ,ÀÍ, avec C� É C′ É C� (II.27)

��∗ h 610,78exp Ì1È,ÈMFp�ÈÀ,1rNFp¯ÀÏ,À Í, où C�en [°C] (II.28)

On propose également la formule de Taylor pour linéariser la pression �� par :

�� h ��MJ�N k MJ \ J�N Ì#�p#� Í�Ð�Ñ h �� k J��b MJ�N \ J��b MJ�N (II.29)

28

II.1.3.5- Flux de chaleur et de vapeur entre surface du sol et l'air

Le transfert de chaleur sensible entre la surface du sol et l'air de la canopée est

représenté selon la loi de Newton de convection :

T !"%,�� h \T !"%,�� h \��iC� \ C�j (II.30)

Où :

C� : température de l’air de la canopée ;

C� : température de la surface du sol ;

�� : coefficient global d’échange de chaleur par convection [;. U�c�1]

Par analogie avec l’équation (II.30) précédente, le transfert de vapeur d'eau entre la surface du

sol et l'air de la canopée sera représenté par :

T%��,�� h \T%��,�� h \�Ò�i�� \ ��j (II.31)

Où :

�� : pression de vapeur dans l'air de la canopée [Pa] ;

�� : pression de vapeur à la surface du sol 74�< ; hÒ) : coefficient global de transfert convectif de vapeur [0�. �1. U�. 4��1] défini par :

�Ò� h 1Ó· �� (II.32)

Tel que γ définit la constante psychométrique thermodynamique 74�. c�1< et L la chaleur

latente de vaporisation7Ô. 0��1<. II.1.3.6- Transferts de chaleur et de vapeur entre l’air de la canopée et l’air

ambiant

Les flux de chaleur et de vapeur dus au transfert de masse entre l'air de la canopée et

l'air ambiant à l’extérieur de la frontière de la couche de la canopée sont respectivement

décrits par :

29

T !"%,��& h \��&MC� \ C&N (II.33)

� !"%,��& h 5� MQ�N� (II.34)

et

T%��,��& h \�Ò��&M�� \ �&N (II.35)

�Ò%��,��& h 1Ó· ��& (II.36)

Avec :

C& : température de l'air ambiant7c< �& : pression de vapeur de l’air ambiant74�<. � : hauteur de la canopée et R représente le taux d’échange d’air 7�1<. II.1.4- Modèle mathématique associé au support

Le support de la toiture est supposé comme étant une couche homogène d'un matériau solide

ayant des propriétés thermophysiques constantes. En utilisant la loi des nœuds à partir du

schéma électrique équivalent de la figure 17, les équations du bilan énergétique qui régissent

l'évolution de son état thermique (au niveau de sa face supérieure, nœud T�~, et de sa face

inférieure, nœudT�Õ) sont définies par les équations ci-après:

Ö1 iL)MρcN) k L�MρcN�j Ø�ÙÚØ~ h ih(°Ã�,) k h�ÂÛ,)�ÂjiT)~ \ T�~j k h(°Ã�,�MT�Õ \ T�~N1 L�MρcN� Ø�ÙÜØ~ h h(°Ã�,�MT�~ \ T�ÕN k h !"%,�+�,MTÂÃ \ T�ÕN (II.37)

Où : h(°Ã�,) : Coefficient d’échange par conduction à travers la couche du sol h(°Ã�,� : Coefficient d’échange par conduction à travers la couche du support h�ÂÛ,)�Â : Coefficient d’échange par diffusion de vapeur dans le sol h(°Ã�,�Õ�Â : Coefficient d’échange par convection entre l’intérieur du bâtiment et la face

inférieure du support. L) : Epaisseur du sol MρcN) : Capacité calorifique du sol

30

L� : Épaisseur du support MρcN� : Capacité calorifique du support de la toiture

On définit ci-après les coefficients d’échange cités dessus

h(°Ã�,) h 2 Ýf¾f (II.38)

Avec :

P� : conductivité thermique du sol, [;. U�1. c�1], qui est une variable de la teneur en

humidité. Elle est différente pour chaque type de sol et doit être spécifiquement déterminée.

Toutefois, nous pouvons proposer un modèle de corrélation pour l’évaluer

P�M_N10�È h Þ2,1 Ì o1��ÍM1,�ßN ��7\0,7Mà \ 0,2N< k Ì o1��ÍM�,Ï�ßNá MQ�N�MàN (II.39)

Nous retenons la formule similaire à l’équation (II.38) pour déterminer le coefficient

d’échange par conduction à travers la couche de support de la toitureh(°Ã�,� h(°Ã�,� h 2 Ý»¾» (II.40)

Pour le coefficient d’échange de chaleur par diffusion de vapeur, nous utilisons la formule

proposée par la référence [17]

h�ÂÛ h ΛMTND�,�MωN (II .41)

Tel que LMCNdésigne la chaleur latente de vaporisation [Ô. 0��1] à la température T[K]. On la

définit par la relation LMCN h 4186,9M597 \ 0,56MC \ 273,15NN (II.42)

D�,�MωN étant le coefficient de diffusivité non isotherme de vapeur [0�U. �1. c�1].Après

avoir considéré une série d’hypothèse, Palomo Del Bario [17] propose la relation suivante

pour déterminer ce coefficient :

�%,F h ãM�NäWå FÊ æ�åæ��å (II.43)

Où :

31

D : coefficient de diffusion de vapeur dans l’air [U. �1] ; 5% : constante de gaz de la vapeur d’eau [Ô. 0��1. c�1] ; 4 : pression totale [4�] ; �% : pression partielle de vapeur dans le sol [4�] et qui est déterminée par la relation qui

suit :

�% h ��exp M �çWåFN (II.44)

� : Accélération de la pesanteur [U. �] ; ^ : Potentiel d’eau en équilibre avec la vapeur ; �� : Pression de vapeur saturante [4�]. On utilise l’équation de Bertrand suivante pour la

calculer

�� h 10Ì1È,qqÀ� èéêë �À,ÏyÏ ì°)�Ñ FÍ (II.45)

La diffusion de vapeur dans un milieu poreux est évidemment plus lente que dans l’air libre.

On s’accorde ainsi à exprimer le coefficient de diffusion �comme fonction linéaire de la

porosité du milieu [17] par

� h íI�� (II.46)

í : valeur adimensionnelle constante comprise entre 0,58 et 0,67 ; I : porosité du milieu.

La porosité du sol est définie par :

I h o»�oo» (II.47)

Tels que Q etQ� [0�. U�À] définissent respectivement la densité apparente du sol et la gravité

spécifique des particules du sol.

Q h @�� #�� /�, ZX��%!XZ@� �!��X #Z �!/�� #,��/��"� (II.48)

Q� h @�� #�� /�, ZX�� è 6��%!XZ@� ! Z�é ��/ X�� 6�� !X,#�� (II.49)

D’une part, une quantité d’eau inférieure au point de fanaison rend le sol invivable pour les

plantes et d’autre part, une humidité du sol supérieure à la capacité du sol peut détruire la

32

racine par asphyxie. Nous considèrerons ainsi l’humidité comprise entre ces deux niveaux. Le

potentiel d’eau se définit comme son état de liaison au sol ou l’énergie qu’il faudrait fournir

pour l’extraire du sol. Le potentiel total d’eau ^7U< en équilibre avec la vapeur est évalué par

la relation fonctionnelle suivante [17]

^ h ^ß� k çïð�çñ�ßïð�ßñ� ià \ àß�j (II.50)

^ß� : potentiel d’eau au point de fanaison [U] ; ^. : potentiel d’eau à la capacité du sol [U] ; àß� : humidité volumétrique [ ] au point de fanaison ; à. : humidité volumétrique [ ] à la capacité du sol

La formule de Hottel et Woertz [24] est proposée pour déterminer le coefficient d’échange

convectif entre l’air intérieur du bâtiment et la face inférieure du support de la toiture (on

considère que le support est directement en contact avec l’air de l’intérieur du bâtiment)

h(°Ã�,�Õ�Â h 1,1yMr,�r�1,Àò�¯�,ÈÈ� N|F¸¶�F»ô|Ñ, ê (II.51)

�: angle d’inclinaison de la toiture [°] ou [rad] ; C," : température interne du bâtiment ; C�+ : température de la face inférieure du support de la toiture ;

En résumé, nous obtenons un système formé par les équations suivantes pour la toiture

végétalisée

B1 ��÷�~ h \BT- k BÀT* k Bqe* k BT) k Br (II.52)

K1 Ø�øØ~ h KT- \ KÀT* k KT) k Kq (II.53)

L1 ØùøØ~ h LT- \ LÀT* \ Lqe* k Lr (II.54)

�1 eFfge� h �C� k �ÀC� \ �qC�� k �rC�� k �y (II.55)

Ô1 eF»ge� h ÔC�� k ÔÀC�+ \ ÔqC�� (II.56)

33

ú1 eF»ôe� h úC�� \ úÀC�+ k úq (II.57)

Avec successivement :

- Coefficients des variables de l’équation thermique au niveau du nœud C�

B1 h MQ�N� �23 (II.58)

B h �/,�� k �/,�� k � !"%,�� k û1a�,/MCbN (II.59)

BÀ h � !"%,�� k û1a�,/MCbN (II.60)

Bq h û1 h 2�23 Mo�Np·M/́ ¯/¸N (II.61)

Br h 71 \ R� \ M1 \ R�NQ&<i1 k R�Q�jT� \ û1��∗ k �/,��C�� (II.62)

ü h �/,�� (II.63)

- Coefficients des variables de l’équation thermique au niveau du nœud C�

K1 h MQ�N�� (II.64)

K h � !"%,�� (II.65)

KÀ h � !"%,�� k �� k ��& (II.66)

Kq h ��&C& (II.67)

c h �� (II.68)

- Coefficients des variables de l’équation relative à la pression ��

L1 h op¾ðæý7þ�M1��N�pÑ< (II.69)

L h û1a�,/MCbN (II.70)

LÀ h � (II.71)

Lq h û1 k �Ò� k �Ò�& (II.72)

34

�r h û1��∗ k �Ò�� k �Ò�&�& (II.73)

- Coefficients des variables de l’équation thermique au niveau du nœud C�� 1 h 1 ��MQ�N� (II.74)

� h �/,�� \ R1�/,�� (II.75)

�À h � !"%,�� (II.76)

�q h � !"%,�� k �/,�� k � #� k �#,.�� (II.77)

�r h � !"#,� k �#,.�� (II.78)

�y h R1�/,��C�� k i1 \ Q�jR�T� k ∆MC��NT%��,�� (II.79)

- Coefficients des variables de l’équation thermique au niveau du nœud C�� Ô1 h 1 ��MQ�N� k ��MQ�N�� (II.80)

Ô h � !"#,� k �#,.�, (II.81)

ÔÀ h � !"#,� (II.82)

Ôq h � !"#,� k � !"#,� k �#,.�, (II.83)

- Coefficients des variables de l’équation thermique au niveau du nœud C�+

ú1 h 1 ��MQ�N� (II.84)

ú h � !"#,� (II .85)

úÀ h � !"#,� k � !"%,�+�, (II.86)

úq h � !"%,�+�,C," (II.87)

35

II.2- ADIMENSIONALISATION DES EQUATIONS OBTENUES

Plusieurs techniques d’adimensionalisation sont proposées par les ouvrages scientifiques mais

la technique proposée par la référence [42] sera utilisée dans ce travail vue son efficacité et

ses atouts. La technique d'adimensionalisation est une technique qui permet d'enlever

partiellement ou totalement les paramètres dimensionnels impliqués dans une équation en les

remplaçant par des variables sans dimension. Cette technique peut simplifier et paramétrer des

problèmes où les unités de mesure sont impliquées. Elle peut être relativement proche de

l’analyse dimensionnelle. On peut utiliser également la technique d’adimensionalisation pour

déterminer les propriétés caractérisant un système physique, le nombre de Reynold, par

exemple permet de caractériser l’écoulement d’un fluide. L’adimensionalisation est

essentiellement très utile pour des systèmes qui sont décrits par des équations différentielles.

Beaucoup d’ouvrages illustrant l’adimensionalisation sont obtenues à partir des équations

différentielles simplifiées. Cela s’explique par le fait que la résolution des problèmes dans un

système physique est généralement obtenue par formulation du problème en termes

d’équations différentielles. Pour adimensionnaliser un système d’équation, nous procédons

par suivre les étapes suivantes :

- Identifier les variables indépendantes et dépendantes

- Remplacer chacune d’elles par des variables adimensionnelles et variables

caractéristiques

- Diviser ensuite l’équation obtenue par le coefficient du terme de plus haut degré de

l’ordre différentiel

- Choisir judicieusement la définition des paramètres caractéristiques pour que chaque

nouvelle variable adimensionnelle ne dépasse pas l’unité

- Enfin, réécrire le système d’équation avec les nouvelles variables qui sont maintenant

sans unité.

Les trois dernières étapes sont spécifiques pour les problèmes d’équations auxquelles la

technique d’adimensionalisation est appliquée. Cependant presque tous les systèmes exigent

les deux premiers pour être exécutés. Nous remarquons que la vitesse de convergence

souhaitée est plus rapide dans cette technique que dans les autres méthodes utilisant par

exemple la formule de différence de pas en arrière (ou Backward Difference Formula).

Pour illustrer la technique adimensionnelle, considérons l’équation différentielle à coefficients

constants suivant

36

� #�#� k �� h 2�MBN (II.88)

- Dans cette équation, la variable indépendante est le temps t, et la variable dépendante

est X.

- Soit alors le changement des variables

� h �� etB h RB (II.89)

Ceci entraîne

� �ð�ð#�#� k �� h 2�MRB N ≝ 2�MRN (II.90)

- Le coefficient du terme de très grand ordre dans cette équation est évidemment le

coefficient du terme dérivation. En divisant l’équation par ce coefficient, une nouvelle

équation adimensionnelle est obtenue

#�#� k +�ð� � h ¿�ð��ð �MRN (II.91)

- L’égalisation du coefficient devant la nouvelle variable � à l’unité nous conduit à

obtenir la formulation de la variable caractéristique B

B h �+ (II.92)

Par conséquent

¿�ð��ð h ¿+�ð h 1 ⇒ � h ¿+ (II.93)

L’équation finale adimensionnée dans le cas ici devient complètement indépendante des

paramètres dimensionnels et qui s’écrit

#�#� k � h �MRN (II.94)

Dans le cas de notre système de toit vert défini par les équations (II.52) à (II.57), nous

pouvons écrire

- Pour les températures des nœuds i

37

C, h C C,∗ (II.95)

- Pour le temps B h B B∗ (II.96)

- Pour la pression

�� h � ��∗ (II.97)

Les termes C , B et� définissent alors les variables caractéristiques tandis queC,∗, B∗et ��∗ les

variables adimensionnelles dont les valeurs sont positives et ne dépassent pas l’unité.

Les opérateurs de dérivation s’écrivent ainsi

eF¸e� h Fð�ðeF̧∗e�∗ (II.98)

Et

e�pe� h �ð�ðe�ð∗e�∗ (II.99)

L’insertion de ces paramètres dans le système d’équations (II.52) à (II.57) précédent permet

d’écrire

Ø�÷∗Ø~∗ h \ ~� T-∗ k Ê~

� T*∗ k ~� T)~∗ k �ù~

�� e*∗ k ê~�� (II.100)

Ø�ø∗Ø~∗ h � ~�� T-∗ \ �Ê~

�� T*∗ k �~�� T)~∗ k ��~

�� (II.101)

Øùø Ø~ h � �~��ù T-∗ \ �Ê�~

��ù T*∗ \ ��~�� e*∗ k �ê~

��ù (II.102)

Ø��Ú∗Ø~∗ h � ~

�� T-∗ k �Ê~�� T*∗ \ ��~

�� T)~∗ k �ê~�� T�~∗ k ��~

�� (II.103)

Ø�ÙÚ∗Ø~∗ h � ~

�� T)~∗ k �Ê~�� T�Õ∗ \ ��~

�� T�~∗ (II.104)

Ø�ÙÜ∗Ø~∗ h � ~

�� T�~∗ \ �Ê~�� T�Õ∗ k ��~

�� (II.105)

Pour la quatrième étape de la méthode, l’équation (II.102) de ce système permet d’écrire

��~�� h 1 (II.106)

38

Si bien que l’on a :

B h ¾�¾� (II.107)

Il s’en suit

�ê~��ù h 1et

�Ê�~��ù h 1 (II.108)

Ainsi

� h ¾ê¾� (II.109)

Et

C h ¾ê¾Ê h ¾ê¾ (car �À h � ) (II.110)

On obtient alors le nouveau système d’équations défini par les équations (II.112) à (II.117)

dont les variables sont toutes adimensionnées. Nous utilisons la technique de la formule de

différence de pas en arrière (Backward Difference Formula ou BDF) pour exprimer les termes

différentiels des équations obtenues

eF̧∗e�∗ → F̧∗M�∗N�F̧∗M~∗�∆~∗N∆�∗ (II.111)

�÷∗ M~∗N��÷∗ M~∗�∆~∗N∆~∗ h \BC1T-∗ k BÀC1T*∗ k BT)~∗ k BqC1e*∗ k ê� C1 (II.112)

�ø∗ M~∗N��ø∗ M~∗�∆~∗N∆~∗ h KCT-∗ \ KÀCT*∗ k KCT)~∗ k �� ê C (II.113)

ùø∗ M~∗N�ùø∗ M~∗�∆~∗N∆~∗ h T-∗ \ T*∗ \ e*∗ k 1 (II.114)

��Ú∗ M~∗N��Ú∗ M~∗�∆~∗N∆~∗ h FCÀT-∗ k FÀCÀT*∗ \ FqCÀT)~∗ k FrCÀT�~∗ k �� ê CÀ (II.115)

�ÙÚ∗ M~∗N��ÙÚ∗ M~∗�∆~∗N∆~∗ h JCqT)~∗ k JÀCqT�Õ∗ \ JqCqT�~∗ (II.116)

�ÙÜ∗ M~∗N��ÙÜ∗ M~∗�∆~∗N∆~∗ h MCrT�~∗ \ MÀCrT�Õ∗ k �� ê Cr (II.117)

39

II.3-MODELE DU TOIT DE REFERENCE

Le toit de référence ou toit ordinaire considéré est composé essentiellement du

support, c’est-à-dire la structure (en béton, en acier ou en bois) sur laquelle repose le toit vert.

Nous allons également utiliser le modèle correspondant à ce toit ordinaire pris comme

référence pour ainsi évaluer le comportement du toit végétalisé comparé à ce dernier.

Similairement au cas du système végétalisé précédent, une description schématique des

différents transferts thermiques ayant lieu au niveau du toit ordinaire est représentée par la

figure 18 et la figure 19 représentera le schéma électrique équivalent aux divers échanges

thermiques correspondant.

40

Figure 18: Schéma descriptif des échanges thermiques au niveau d'un toit en béton ordinaire

Voûte céleste Radiation solaire

Air ambiant

Toiture ordinaire

Air intérieur de la pièce

Air extérieur

Face supérieure de la toiture

Face inférieure de la toiture

Conduction

Convection

Rayonnement

Radiation Solaire

41

Figure 19:Schéma électrique équivalent aux transferts thermiques au niveau d'un toit en béton

ordinaire

C@

1/(S.� %��) 1/(S.�/��)

1/(S.� #�)

1/(S.� %,)

T�

12 ��. A. MQdN�

12 ��. A. MQdN�

C��

C�+∗

C,"

C��∗

42

II.3.1-Equations de bilan thermique :

En suivant l'analogie électrique, on peut écrire les équations aux dérivées partielles

suivantes pour traduire les échanges thermiques au niveau de la toiture de référence

considérée.

Au niveau de la face supérieure de la toiture (nœud C��∗ N

¾» MQdN� eF»g∗e� h � !"%,��MC@ \ C��∗ N k �/��iC�� \ C��∗ j k � #�MC�+∗ \ C��∗ N k T�!X (II.118)

Au niveau de la face inférieure de la toiture (nœud C�+∗ N

¾» MQdN� eF»ô∗e� h � #�MC��∗ \ C�+∗ N k � %,MC," \ C�+∗ N (II.119)

II.3.2- Modèle des coefficients d'échange thermique

II.3.2.1-Echange par conduction au niveau de la toiture

Le coefficient d'échange conductif � !"#,�au niveau de la toiture s'écrit:

� #� h 2 Ý»¾» (II.120)

P�: conductivité thermique de la toiture en béton [kg.U�1. c�1] ��: épaisseur de la toiture [m]

Tout en considérant l’homogénéité de l’ensemble des matériaux solides composant la toiture,

la conductivité thermique de cette couche reste constante.

II.3.2.2-Echange par rayonnement entre la voute céleste et la toiture

Le coefficient d'échange thermique radiatif s'écrit [33]:

�/�� h �. S�� . iC�� k C��∗j. MC�� k C��∗ N (II.121)

L’aire de la toiture par rapport à celle de la voûte céleste est pratiquement négligeable. De

plus, en considérant le ciel comme corps noir, nous obtenons le facteur de forme gris :

S�� h 1��»g�»g ¯ �

�»g»� (II.122)

43

��: facteur de forme géométrique entre la toiture et la voûte céleste [ ]

�� h 1¯(°� M�N (II.123)

�: angle d’inclinaison du toit [°] ou [rad] I�� : émissivité du matériau constituant la toiture

II.3.2.3-Echange par convection

- Échange par convection entre la face supérieure de la toiture et l'air extérieur :

D'après la référence [29], pour une relation traduisant une convection mixte nous avons

� %�� h Mo Np1�qr 71,14. M|C@ \ C��∗ |�.rN k 6,97. E1.y<�.r (II.124)

E: vitesse du vent [m.�1 ]

MQdN�MCN h 11ÈÀ,1∗À�À,1yF (II.125)

- Échange par convection entre la face inférieure de la toiture et l'air intérieur

La formule de Hottel et Woertz [29] est retenue pour déterminer le coefficient d’échange

convectif entre l’air intérieur de la pièce et la face inférieure de la toiture (on considère qu'elle

est en contact direct avec la pièce) :

� %, h 1,1yMr,�r�1,Àò.�¯�,ÈÈ.� N|F¸¶�F»ô∗ |Ñ. ê (II.126)

�: angle d’inclinaison du toit [°] ou [rad]

II.3.3-Apport solaire au système

Le flux solaire T�!Xabsorbé par le système s'écrit:

T�!X h I�� ∗ T� (II.127)

T� : Rayonnement global issue du soleil arrivant au sommet de la toiture.

Notons qu’un code de calcul simulant le comportement de la toiture ordinaire a déjà été fait

par [43]. Il ne nous est donc plus nécessaire de refaire une adimensionalisation des équations

correspondant à cette toiture de référence.

44

II.4-ANALYSE DE SENSIBILITE PARAMETRIQUE DU MODELE

Le but de l’analyse de sensibilité est de déterminer l’ordre d’influence des paramètres

d’entrée sur un modèle choisi. Il importe alors d’utiliser la technique d’analyse de sensibilité

globale afin de classer ces paramètres par ordre d’influence sur la sortie du modèle choisi.

Pour bien comprendre l’analyse de sensibilité utilisée dans ce travail, nous précisons ci-après

les définitions de quelques termes essentiels autour de la méthode proprement dite [43], [44].

- Un modèle est une équation mathématique traduisant un phénomène physique.

Généralement, cette équation est traduite en programme informatique à plusieurs variables

d’entrées (stimulus) qui fournit en réponse une ou plusieurs sorties quantitatives. Un modèle

nous permet de prévoir le comportement d’un fait physique sous l’effet d’un stimulus connu.

Figure 20 : Représentation schématique d’un modèle

y : sortie ou réponse du modèle

xi : variables d’entrée du modèle

On distingue deux types de variables d’entrées :

• les sollicitations qui varient en fonction du temps

• les constantes

Ces variables d’entrées peuvent prendre des valeurs continues ou discrètes

- On appelle facteurs ou facteurs d’entrée l’ensemble des variables d’entrée du modèle,

incluant les sollicitations et les constantes.

- L’analyse de sensibilité est une méthode qui permet d’identifier les facteurs

responsables de la variation de sortie d’un modèle.

La méthode d’analyse de sensibilité utilisée dans ce travail est une méthode dérivée de

la méthode FAST (Fourier Analysis Sensivity Test) dénommée GoSAT [45] ou (Global

Sensitivity Analysis Tool).Nous n’allons pas faire une description mathématique ce type

d’analyse de sensibilité globale mais nous allons les référer par [29] et[45]. Dans ce travail,

nous choisissons le flux de chaleur traversant la toiture végétalisée en période diurne et en

période nocturne comme sortie du modèle. Ainsi, pour la simulation du comportement des

Variables d’entrées

Sorties observées

Modèle

y = f(xi)

45

deux types de toiture et pour des fins d’analyse de sensibilité paramétrique de ce modèle, nous

utilisons les valeurs des paramètres listées dans les tableaux n°3 à n°9 selon la référence [43]

avec leurs gammes de variation.

Tableau 3 : Constantes universelles

N° Symbole Description Gamme de

variation Valeur Unité

1 5% Constante spécifique de gaz

pour la vapeur d’eau 7460 : 462< 461.495 7Ô. 0��1. c�1< 2 5_�

Constante spécifique de gaz

pour l’air sec [285 : 288< 287.058 [Ô. 0��1. c�1]

3 �� Coefficient de diffusion de

vapeur dans l’air libre [0.6 :0.65]×10-4 0.6 � 10�q [U. �1]

4 í Valeur adimensionnelle

constante 70.58 : 0.67< 0.62 7 < 5 d�%

Chaleur spécifique de la

vapeur d’eau 71840: 1860< 1850 7Ô. c��1. c�1< 6 d��

Chaleur spécifique de l’air

sec 71000 : 1010< 1004 7Ô. c��1. c�1<

Tableau 4 : Paramètres géométriques et thermophysiques de la canopée et de l’air de la canopée


Variation valeur Unité

7 LAI Indice de surface foliaire

(leaf area index) 71 : 5< 3 7 < 8 � Longueur caractéristique des

Feuilles 70.05 : 0.3< 0.2 7U< 9 �

Coefficient d’évaporation par

rapport à la culture de tomate 70.5 : 2< 1 7 < 10 R� Facteur de transmission du

tissu des feuilles 70.1 : 0.4< 0.2 7 < 11 Q� Réflectivité du tissu des feuilles 70.1 : 0.4< 0.2 7 < 12 Lcan Épaisseur de la canopée 70.02 : 0.1< 0.1 7U<

46

13 01 Coefficient d’extinction

grande longueur d’onde 70.5 : 1.1< 1.1 7 <

14 d Épaisseur moyenne des

feuilles 70.001 : 0.004< 0.001 7U< 15 Q� Densité moyenne des feuilles 7750 : 850< 850 7c�. U�À< 16 d�

Chaleur spécifique des

feuilles 7600 : 1000< 800 7Ô. c��1. c�1< 17 Q&

Réflectivité d’une canopée

dense 70.15 : 0.3< 0.23 7 <

Tableau 5: paramètres issus de la culture de référence (tomate)


Variation valeur Unité

18 � Constante 71150 : 1180< 1174 7 < 19 � Constante 7200 : 210< 207 7 < 20 U Constante 70.2 : 0.9< 0.5 7 < 21 ® Constante 70.2 : 0.3< 0 . 25 7 < 22 =@," Résistance interne minimale 781 : 83< 82 7. U�1< 23 �1 Constante 74 : 4.5< 4.3 7 < 24 � Constante 70.5 : 0.6< 0.54 7 < 25 �À Constante 70.02 : 0.025< 0.023 7 < 26 �q Constante 76: 6.2< � 10�È 6.1� 10�È 7 < 27 �r Constante 74.1: 4.5< � 10�È 4.3� 10�È 7 <

Tableau 6: Paramètres géométriques et thermophysiques du sol


variation valeur Unité

28 �� Épaisseur du sol [0.1 :0.3] 0.1 [m]

47

29 Q Densité apparente du sol [1000 :1400] 1200 [Kg.m-3< 30 _ Humidité volumétrique du

sol [0.2 :0.4] 0.3 [ ]

31 I� Emissivité de la face

supérieure du sol [0.2 :0.9] 0.3 [ ]

32 Q� Gravité spécifique des

particules [2500 :3000] 2700 [Kg.m�À]

33 àß� Humidité volumétrique au

point de fanaison [0.1 :0.2] 0.15 [ ]

34 à. Humidité volumétrique à la

capacité du sol [0.2 :0.4] 0.3 [ ]

35 ^ß� Potentiel d’eau au point de

fanaison 7\10�y.: \10�y< \10�y.1r [m]

36 ^. Potentiel d’eau à la capacité

du sol [\10�r: \10�q,r] \10�q,È1 [m]

37 Q� Réflectivité du sol [0.1 :0.3] 0.2 [ ]

38 c) Chaleur spécifique du sol [750 :1000] 850 [J. Kg�1. K�1]

Tableau 7: Paramètres géométriques de la toiture


variation valeur Unité

39 � Altitude du toit 75 : 50< 10 7m< 40 ?®d�?® Inclinaison du toit 70 : 45< 20 7°< 41 �� Azimut du toit 781 : 99< 90 7°<

Tableau 8: paramètres géométriques et thermophysiques du support


variation Valeur Unité

42 P� Conductivité thermique du

support 71 : 3< 1.75 [W. m�1. K�1<

48

43 �� Epaisseur du support 70.05 : 0.2< 0 . 1 7m< 44 Q� Densité du support 72250 : 2750< 2500 7Kg. m�À< 45 �� Chaleur spécifique du support 7750 : 1000< 820 [J.kg�1.K�1]

46 I� Emissivité du support-toiture 70.5: 0.8< 0.63 7 <

Tableau 9: Paramètres divers


variation valeur

Unité

47 5 Taux d’échange d’air 70.033 : 0.25< 0.278 7s�1< 48 �� Coefficient de convection

globale (valeur adoptée) 71 : 3< 2 7W. m�. K�1< 49 C?® Température dans la chambre 715 : 30< 20 7°C< 50 4 Pression totale 7100311 : 111457< 101325 7Pa< 51 CO2 Concentration de CO2 7300 : 400< 330 7ppmv< II.5- DONNEES METEOROLOGIQUES

Une séquence de données météorologiques du mois de Janvier 2007 (période estivale)

de la province de Mahajanga a été utilisée pour simuler le comportement de la toiture

végétalisée. On remarque d’après ces données que le climat de cette région est caractérisé par

des journées et nuits chaudes .Les données météorologiques utilisées dans le cadre de ce

travail sont des données en évolution horaire composées de :

- La température de l’ambiance extérieure ;

- L’humidité relative ;

- La vitesse du vent ;

- Les rayonnements solaires (direct et diffus)

- La hauteur du soleil ;

49

- La température de la voute céleste ;

- L’azimut du soleil.

Ces données météorologiques horaires sont alors interpolées pour avoir des données

correspondant à chaque pas de temps de simulation choisi (ici 15min).

50

Chapitre III : SIMULATION et RÉSULTATS

50

Chapitre III : Simulation et résultats

III.1-ESTIMATION DE LA PERFORMANCE ENERGETIQUE

La consommation énergétique par unité de surface d’un système de chauffage ou de

climatisation peut être évaluée par des calculs pratiques. Elle est proportionnelle au flux de

chaleur gagné ou perdu par le support de la toiture qui est défini pour les deux types de toiture

par :

Ö T h 1Wg� MC�� \ C,"NT∗ h 1Wg� MC��∗ \ C,"N (III.1)

Où

5�6 représente la résistance thermique 7K. m. ;�1< du support de la toiture donnée par :

5�6 h ¾»Ý» k 16ð ¶å,»ô�¸ (III.2)

T : flux thermique 7W. m�< traversant la toiture végétalisée

T∗ : flux thermique 7W. m�< traversant la toiture de référence

C," : température interne du bâtiment

C�� : température du support de la toiture végétalisée

C��∗ : température du support de la toiture ordinaire

� !"%,�+�, : Coefficient d’échange convectif entre la face inférieure du support de la toiture

ordinaire et l’air de l’intérieur du bâtiment.

Pour définir la quantité énergétique nécessaire pour atténuer le flux de chaleur

traversant le toit du bâtiment, nous supposons qu’un système de climatisation ou de chauffage

consommera le même nombre de kilowattheure entrant ou sortant le bâtiment à travers sa

toiture pour assurer une température constante de l’intérieur [46]. Cela signifie que si le

bâtiment consomme en une journée 2kWh d’énergie à travers le toit, alors nous supposerions

que 2kWh d’énergie sont dépensés par un système climatisant la même journée pour retenir

constante sa température interne. Similairement, si 2,5kWh d’énergie sont perdus à travers la

toiture alors 2,5kWh sont également dépensés par un système de chauffage pour maintenir

51

l’intérieur du bâtiment à une température stable. En d’autre terme, si on peut calculer le flux

entrant ou sortant la toiture à chaque pas de temps alors le nombre de kWh d’énergie

journalier entrant ou sortant par unité de surface à travers la toiture peut être obtenu par

intégration du flux de chaleur en fonction du temps. La différence entre les quantités

d’énergie consommées par la toiture ordinaire et la toiture végétalisée définira ensuite

l’énergie emmagasinée par le bâtiment à travers sa toiture.

III.2-RESULTATS ET DISCUSSION

Les résultats de simulation suivants représentent respectivement la densité de

rayonnement solaire (figure21) parvenant au sommet de la canopée et la comparaison des flux

de chaleur traversant un toit végétal et un toit de référence en béton (figure22).La figure 22

montre que le toit ordinaire est directement exposé au rayonnement solaire ce qui permet

d’obtenir une valeur élevée du flux traversant le support de la toiture ordinaire ; le flux

thermique est atténué de manière par l’ajout de couche végétale sur la surface du toit. On

remarque deux cas de valeur pour le flux qui traverse le support du toit. En effet, une valeur

positive de flux de chaleur représente une entrée de chaleur à travers le toit nécessitant ainsi

une climatisation de l’intérieur du bâtiment alors qu'une valeur négative de flux de thermique

représente une perte de chaleur à travers le toit nécessitant l’utilisation d’un système de

chauffage interne.

Figure 21 : Allure du rayonnement solaire atteignant le sommet de la canopée

0 3 6 9 12 15 18 21 0 3 6 9 12 15 18 21 0 3 6 9 12 15 18 21 00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000Flux de radiation solaire arrivant au sommet de la canopée

Heure légale [h]

Rad

iatio

n so

laire

[W

.m-2

]

52

Figure 22 : Allure du flux thermique traversant la toiture du bâtiment pour une période de

24heures

La figure 23 donne une allure de l’évolution de l’écart de température ∆C h C��∗ \ C�� entre la

température C��∗ de la face supérieure de la toiture de référence et la température C�� de la face

supérieure de la toiture végétalisée. La figure présente deux résultats : un résultat obtenu par

simulation pour la région de Mahajanga et un résultat obtenu par des valeurs expérimentales

obtenues au Laboratoire PIMENT de l’Université de La Réunion [46]. La figure montre deux

cas de valeur : ∆C É 0et ∆C ¼ 0. En effet, l’écart ∆C ¼ 0 signifie que la température du

support de la toiture ordinaire est supérieure à celle du support de la toiture végétalisée et

cette phase est observée entre 8:30 et 18:30 pour la simulation. Dans les autres heures, on

observe une valeur négative de ∆C. On voit bien dans cette figure que la courbe obtenue par

simulation épouse bien celle obtenue expérimentalement. Ainsi, on peut dire que la présence

d’une couche végétale réduit de manière significative le flux thermique traversant la toiture en

période diurne et détient la chaleur accumulée en période nocturne.

0 3 6 9 12 15 18 21 0 3 6 9 12 15 18 21 0 3 6 9 12 15 18 21 0-5

0

5

10

15

20

25

Temps [h]

Flu

x d'

ener

gie

entr

ant

(W.m

-2)

Toiture vegetalisée

Toiture ordinaire

53

Figure 23: Comparaison de l’écart de température obtenu à l’Université de La Réunion

Pour la performance énergétique du toit vert et du toit de référence, on a choisi de faire

varier la température de la pièce interne du bâtiment entre 14°C et 30 °C et on a pu obtenir les

résultats présentés par les figures 24 et 25 qui donnent une comparaison de la performance

énergétique des deux toitures considérées et l’énergie qui est emmagasinée. Les résultats de la

figure24 montrent que la toiture ordinaire consomme plus d’énergie que la toiture végétalisée.

La toiture ordinaire exige alors plus de climatisation que la toiture verte. Ceci est du fait que

le gain d’énergie dépend du flux de chaleur traversant la toiture du bâtiment qui est plus

important pour la toiture ordinaire que pour la toiture végétalisée d’après la figure 21.

minuit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 midi 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 minuit-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

Heure légale [h]

Eca

rt d

e te

mpé

ratu

re [

°C]

Simulation

Expérimentation

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Température interne Tin du bâtiment[°C]

Ene

rgie

con

som

mée

[kW

h.m

-2]

Toiture végétalisée

Toiture de référence

54

Figure 24: Comparaison de l’énergie consommée par la toiture végétalisée et la toiture ordinaire du bâtiment

Ainsi, la différence entre l’énergie consommée par le toit ordinaire et le toit végétalisé nous permet d’obtenir l’allure de l’énergie emmagasinée par la toiture représentée par la figure 25.

Figure 25: Énergie emmagasinée par la toiture du bâtiment

III.3- RESULTATS DE L’ANALYSE DE SENSIBILITE

L’utilisation des valeurs décrites dans les tableaux précédents nous amène à une analyse de sensibilité paramétrique du modèle du flux thermique traversant la couche de support d’une toiture végétalisée. Nous avons choisi dans ce travail de faire une analyse de sensibilité globale pour le flux thermique en période diurne et en période nocturne et avons obtenu les résultats présentés dans les sections qui suivent :


période diurne

La première figure que l’outil GoSAT nous donne représente un plan spectral caractérisé par les facteurs influant sur le modèle de flux à travers le toit végétalisé. Ces spectres sont obtenus par l’utilisation de la méthode FAST sur le système étudié. Les spectres repérés sont éliminés au fur et à mesure que l’on a un nouveau plan afin de mettre en évidence les spectres de moindres ampleurs.

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

Température interne Tin du bâtiment [°C]

Ene

rgie

em

mag

asin

née

[kW

h.m

-2]

55

Figure 26 : Spectre des paramètres les plus influents

La figure 26 donne l’identification de la forme du modèle approchant le flux qui

traverse le support de la toiture en période diurne en fonction des paramètres les plus

influents. L'analyse des spectres obtenus par GoSAT [43] nous donne l'expression du

métamodèle approchant ce flux thermique.

0 500 1000 15000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Frequence

|Am

plit

ud

e d

e F

ou

rier|

Analyse de sensibilité du modèle Flux de chaleur diurne - Methode FASTSpectres des fréquences associées aux paramètres les plus influents - Figure principale

31= fq (m)47= fq (Ls)

53= fq (λs)

127= fq (k1)201= fq (Tin)

223= fq (LAI)229= fq (Lcan)

307= fq (Lg)53 = |fq(k1) -2*fq( n)|

201 = |fq(k1) + 2*fq(n)|

201 = |fq(λs) - 2*fq(k1)|307 = |fq(λs) + 2*fq(k1)|

223

30753

31127

201

47

229

MIII. 3N

T#,Z/"� = 1.0033+0.0092047<m>-0.12221<Ls>+0.065562<λs>-0.022235<k1>-0.0084887<Tin> -

0.080704<LAI>+0.0079758<Lcan>\0.068836<Lg>-0.0057726<eL>+0.0051617<RdirH>+

0.0075876<RdifH> \0.0073095<ρs>+0.0041974<n>+ 0.003841<Vv>+0.0027116<W> \0.001994<ρg>\0.0032093<ρG>+0.0011655<Tsky>-0.00068755<Thp>-0.0005729<ρ∞> +

0.011677<Ls><Ls>+0.0094964<LAI><Ls>-0.00021305<ρsp><ρsp>+0.007771<LAI><LAI> \0.0082834<Ls><λs>+0.0096801<Lg><Ls>+0.0066891<LAI><Lg>-0.0052814<LAI><λs>-

0.00044476<k1><k1>+0.0024945<k1><Ls>\0.0043743<Lg><λs>+0.00016297<n><n>+

0.0013108<k1><λs>+0.0020614<LAI><k1>k0.0019165<k1><Lg>+0.0016564<Tin><Ls>\0.0

010868<LAI><RdifH>+0.00090541<W><Lg>+ 0.00096788<LAI><RdirH>\0.00074831 <Lg>

<Lg> -0.00019515<eL><eL>-0.00093741<ρp><Thp>-1.6825e-005<k1><m><m> -4.1767

*10-7<λs><k1><k1>+…

56

Figure 27 : 2ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du plan spectral

principal

Figure 28 : 3ième plan spectral après éliminations des spectres identifiés du 2ième plan

0 500 1000 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 10-3

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|

Analyse de sensibilité du modèle Flux de chaleur diurne - Methode FASTSpectres des fréquences associées aux paramètres les plus influents -2ème figure

5 = fq (eL) 61 = fq (Rdirh)107 = fq (Rdifh)147 = fq (ρs) 94 = 2*fq (Ls)176 = fq(LAI)- fq (Ls)270 = fq(LAI)+ fq (Ls)

5 61

147

107

94

176270

0 500 1000 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10-3

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


37= fq (n)89= fq (ωs)6= 2*fq (ρsp

)

446= 2*fq (LAI)6 = fq(Ls)- fq (λs)100 = fq(L

s)+ fq (λs

)260 = fq(Lg)- fq (Ls)354 = fq(Lg)+ fq (Ls)

446

354260

89

100

637

57

Figure 29 : 4ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 3ième plan.

Figure 30 : 5ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 4ième plan

0 500 1000 15000

0.5

1

1.5

2

x 10-3

Frequence

|Am

plit

ud

e d

e F

ou

rie

r|


331 530

283

239276

170

84

239= fq (ω)283= fq (ρg)331= fq (ρinf)84 = fq(LAI)- fq (Lg)530 = fq(LAI)+ fq (L

g)

170 = fq(LAI)- fq (λs)

276 = fq(LAI)+ fq (λs)

0 500 1000 15000

0.5

1

1.5x 10

-3

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


83

80174

254360

83= fq (Tsky

)254= 2*fq (k

1)

80 = fq(k1)- fq (L

s)

174 = fq(k1)+ fq (L

s)

254 = fq(Lg)- fq (λs

)360 = fq(L

g)+ fq (λs

)

58



0 500 1000 15000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 10-3

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


774

96

180

350434

7= fq (Thp)74= 2*fq (n)74 = fq(k1)- fq (λs)180 = fq(k1)+ fq (λs)96 = fq(LAI)- fq (k1)350 = fq(LAI)+ fq (k1)180 = fq(k1)- fq (Lg)434 = fq(k1)+ fq (Lg)

0 500 1000 15000

1

2

3

4

5

6

7

x 10-4

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


154

248 347347= fq (ρ inf)154 = fq(Tin)- fq (Ls)248 = fq(Tin)+ fq (Ls)

59

Figure 33: 8ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 7ième plan


0 500 1000 15000

1

2

3

4

x 10-4

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


116

330

116 = fq(LAI)- fq (Rdifh)

330 = fq(LAI)+ fq (Rdifh)

0 500 1000 15000

1

2

3

4

x 10-4

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


68 = fq(ω)- fq (Lg)

546 = fq(ω)+ fq (Lg)

68

546

60



0 500 1000 15000

1

2

3

4

x 10-4

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


162

162 = fq(LAI)- fq (Rdirh)

284 = fq(LAI)+ fq (Rdirh)

284

0 500 1000 15000

1

2

3

4x 10

-4

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


614614= 2*fq (Lg)

61

Figure 37 : 12ième et dernier plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 11ième

plan spectral

L’outil GoSAT [43] compare les coefficients des termes linéaires et les termes

d'interaction double (le cas échéant), dans le but de scruter l'ordre de prépondérance des

paramètres les plus influents du modèle. Les figures 38 et 39 ci-après résument les résultats.

Figure 38 : Ordre de prépondérance des paramètres les plus influents associés au modèle de flux

traversant le support de la toiture

0 500 1000 15000

1

2

3

4x 10

-4

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|


10= 2*fq (eL)10 = fq(ρp)- fq (Thp)24 = fq(ρp)+ fq (Thp)

24

10

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

2019181716151413121110987654321

Coefficient de regression du métamodèle

Ord

re d

écro

issa

nt d

'influ

ence

des

par

amèt

res

sur

la s

ortie

obs

ervé

e

Comparaison des coefficients de regression des paramètres les plus influents du modèle de flux de chaleur diurne observé

<Rdifh>-- (+)

<m>-- (+)

<Lcan>-- (+)

<n>-- (+)

<eL>-- (-)<ρs>-- (-)

<Rdirh>-- (+)

<ρinf>-- (-)<ωs>-- (+)

<Lg>-- (-)

<Ls>-- (-)

<Thp>-- (-)<ρinf>-- (-)

<Tsky>-- (+)<ρg>-- (-)

<ω>-- (+)

<LAI>-- (-)

<Tin>-- (-)

<λs>-- (+)<k1>-- (-)

(+) effet positif sur la sortiet(-) effet negatif sur la sortie

Sortie observée : Flux de chaleur en périodediurne

62

Figure 39 : Ordre de prépondérance des interactions double associées au modèle de flux diurne

traversant la toiture.

Figure 40: Comparaison de prédiction du métamodèle de sortie et du modèle original

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

22212019181716151413121110987654321


Ord

re d

écro

issa

nt d

'influ

ence

des

inte

ract

ions

su

r la

sor

tie o

bser

vée

Comparaison des coefficients de regression des interactions double les plus influents

<LAI>*<Rdirh

>-- (-)

<eL>*<eL>-- (-)<ρsp>*<ρsp>-- (-)

<Lg>*<Lg>-- (-)<k1>*<k1>-- (-)

<LAI>*<Rdifh>-- (-)

<ρp>*<Thp>-- (-)

<Tin>*<Ls> -- (+)

<LAI>*<k1> -- (+)

<Lg>*<λs>-- (-)

<LAI>*<Lg> -- (+)

<Ls>*<λs>-- (-)<LAI>*<LAI> -- (+)

<k1>*<Ls> -- (+)

<k1>*<Lg> -- (+)

<k1>*<λs>-- (-)

<LAI>*<Ls> -- (+)

<Ls>*<Ls> -- (+)<Lg>*<Ls> -- (+)

Én¼*Én¼ -- MkN

ÉLAI¼*Éλs¼-- M-N

<ω>*<Lg> -- (+)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Prediction du modèle orihinal du Flux de chaleur diurne

Pre

dict

ion

du m

étam

odèl

e as

soci

é au

mod

èle

Flu

x de

cha

leur

diu

rne

Comparaison de la sortie observée prédite par le métamodèle et le modèle original

63

Figure 41 : Précision de la prédiction modèle de flux diurne traversant la toiture par rapport au modèle original

Interprétation des résultats

D'après les résultats de la figure 38 qui donne l’ordre chronologique d’influence des

facteurs d’entrée du modèle de flux de chaleur en période diurne, on peut dire d’un côté que

l’épaisseur �� de la couche de support suivi de l’indice de surface foliaire�23, la conductivité

thermique P�(lams) du support et l’épaisseur �� de la couche de substrat sont les paramètres

les plus influents suivi du coefficient d’extinction 01 des feuilles comme paramètre important.

D’autre part, la constante U pour la culture de tomate, la température interneC,"du bâtiment,

l’épaisseur � de la couche de canopée, le rayonnement solaire diffus sur une surface

horizontale5#,.¦, la densité Q� du support, le rayonnement solaire direct arrivant sur une

surface horizontale 5#,/¦ et la longueur caractéristique �� des feuilles sont jugés peu influents

sur le modèle. La contribution des autres facteurs sont presque non significatives sur le flux

thermique en période diurne.

Les paramètres �� , �� et �23 présentent tous un effet négatif en vue de la sortie du

modèle. L’augmentation de la valeur de ces paramètres tend à faire diminuer le flux

thermique traversant le support de la toiture. En effet, l’augmentation de l’épaisseur d’une

couche de matériau entraîne une élévation de la résistance thermique et donc une diminution

de la valeur du flux thermique d’après les relations (III.1) et (III.2). Par ailleurs le paramètre �23 est un facteur atténuant de manière significative la radiation solaire traversant la couche

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Flux de chaleur diurne [W.m-2]

Rel

ativ

e er

ror

[%]

Erreur relative de la réponse du métamodèle par rapport au modèle Flux de chaleur diurne

64

de canopée le jour ainsi que les températures des éléments du toit vert favorisant la diminution

de l’écart de température entre le support de la toiture et la pièce interne du bâtiment et donc

le flux thermique à travers la couche structurale du support de la toiture. Tout comme le

paramètre�23, l’augmentation de la valeur du coefficient d’extinction des feuilles implique

une diminution du flux de chaleur le jour. Notons que ces paramètres dépendent des types de

culture choisie. Plusieurs travaux de recherche concernant la végétalisation des toitures

encouragent pour les types de culture d’utiliser les sédums741<. Ainsi, il est important d’opter

des valeurs adéquates pour l’épaisseur du sol ainsi que du substrat sans entraîner une

surcharge pondérale pour le bâtiment.

La conductivité thermique P� du support, quant à elle, présente un effet positif sur le

flux de chaleur. Ce résultat est affirmé par les équations (III.1) et (III.2) qui lient la

conductivité thermique P� du support avec la résistance thermique et évidemment le flux

traversant la couche de support. En effet, si la conductivité augmente, la résistance thermique

diminue et le flux augment puisque ces deux derniers sont des fonctions inversement

proportionnelles. Il est également conseillé d’utiliser un support de toiture à conductivité

thermique convenable pour atteindre un confort thermique agréable.

Aucune discussion ne peut être conclue concernant l’influence plusieurs paramètres à

savoir la température extérieureC��, le rayonnement solaire direct 5#,/¦ et diffus 5#,.¦arrivant sur une surface horizontale puisque ce sont des paramètres incontrôlables.

La figure 39 nous présente l’ordre de prépondérance des interactions double associées au

modèle de flux traversant la toiture verte en période diurne. Dans cette figure, on remarque que l’ordre

d’interaction double est caractérisé par les facteurs les plus influents cités précédemment à savoir

l’épaisseur �� du support, l’épaisseur ��du sol, l’indice de surface foliaire �23 et la conductivité

thermiqueP�.

Les nuages de points de la figure.40 formant une bissectrice et l’erreur relative du

métamodèle par rapport au modèle original inférieure à 5% (figure.41) nous prouvent que

pour un taux de variation de 5% autour de leurs valeurs nominales des facteurs, le

métamodèle présente une très bonne précision qui est ici inférieure à 1%.

65


période nocturne

Figure 42: Spectre des paramètres influents du modèle de flux nocturne

L'analyse des spectres de la figure42 par GoSAT [43] nous donne l'expression du

métamodèle approchant le flux thermique traversant le support de la toiture végétalisée en

période nocturne. Ce métamodèle approché s'écrit comme suit:

φnocturne= 0.45674\0.0026868<eL>+0.0043158<m>\0.059192<Ls>+0.029761<λs>+0.00179

<Vv>\0.0036908<ρs>\0.010587<Tin>+0.0035336<LAI>+0.0094163<Lcan>\0.022155<Lg>

+0.0018367<n>+0.0011404<Tsky>+0.00092661<W>\0.00058918<ρg>+0.0012506<Thp> \0.00057053<k1>k0.0003357<Cpp>k0.0056571<Ls><Ls>\0.00084085<ρsp><ρsp>\

0.0044949<Ls><λs>+0.0015473<Tin><Ls>\0.0012467<wtop><Vv>+0.0031716<Lg><Ls>+

0.00065851<k1><k1>\0.00032414<Tin><λs> +6.4027.10-8<Vv>\1.9934.10-5<k1>

<m><m>+6.7497.10-5<λs><λs>\3.66410-8<λs><k1><k1>+1.5438.10-9<Ls><hr>

+7.2536.10-6<k1>+…

(III.4)

0 500 1000 15000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|

Analyse de sensibilité du modèle Flux de chaleur nocturne - Methode FASTSpectres des fréquences associées aux paramètres les plus influents - Figure principale

89147

307

53

5

94

201

223

229

4753 = |fq(k

1) -2*fq( n)|

201 = |fq(k1) + 2*fq(n)|

89 = |fq(b) -2*fq( tm)|147 = |fq(b) + 2*fq(tm)|201 = |fq(λs) - 2*fq(k1)|307 = |fq(λs) +2*fq(k1)|147=fq(b)+fq(Ls)+fq(hr)5=|fq(b)+fq(Ls)-fq(hr)|53=|fq(b)-fq(Ls)+fq(hr)|89=|fq(b)-fq(Ls)-fq(hr)|

5= fq (eL)31= fq (m)47= fq (Ls)53= fq (λs)

89= fq (Vv)147= fq (ρs)201= fq (Tin)

223= fq (LAI)229= fq (Lcan)307= fq (Lg)94= 2*fq (Ls)

31 = |fq(Vv) - 2*fq(b)|147 = |fq(Vv)+2*fq(b)|

31

66

Figure 43: 2ième plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du plan spectral principal (flux nocturne)

Figure 44 : 3ième et dernier plan spectral obtenu après élimination des spectres identifiés du 2ième plan

spectral (flux nocturne)

0 500 1000 15000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x 10-3

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|

Analyse de sensibilité du modèle Flux de chaleur nocturne - Methode FASTSpectres des fréquences associées aux paramètres les plus influents -2

ème figure

154

360354

283

260

239248

182

37

6

100

83

37= fq (n)83= fq (Tsky)

239= fq (ω)283= fq (ρg)6= 2*fq (ρsp

)6 = fq(Ls)- fq (λs)100 = fq(L

s)+ fq (λs

)154 = fq(Tin)- fq (Ls)248 = fq(T

in)+ fq (L

s)

182 = fq(ωtop)- fq (Vv)360 = fq(ωtop

)+ fq (Vv)260 = fq(Lg)- fq (Ls)354 = fq(L

g)+ fq (L

s)

0 500 1000 15000

1

2

3

4

5

6

7

8

x 10-4

Frequence

|Am

plitu

de d

e F

ourie

r|

Analyse de sensibilité du modèle Night Heat Flux - Methode FASTSpectres des fréquences associées aux paramètres les plus influents -3ème figure

254

219

189

148

127

65

7= fq (Thp)127= fq (k

1)

219= fq (Cpp)254= 2*fq (k1)148 = fq(Tin)- fq (λs)254 = fq(Tin)+ fq (λs)65 = |fq(k

1) -2*fq( m)|

189 = |fq(k1) + 2*fq(m)|

7

67

L’outil GoSAT [43] permet de comparer les coefficients des termes linéaires et les

termes d'interaction double (le cas échéant) pour scruter l'ordre de prépondérance des

paramètres les plus influents du modèle. Les figures 45 et 46 ci-après résument les résultats.

Figure 45 : Ordre de prépondérance des facteurs les plus influents du modèle de flux nocturne

Figure 46 : Ordre de prépondérance des interactions double les plus influents

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Ord

re d

écro

issa

nt d

'influ

en

ce d

es p

aram

ètre

s s

ur

la s

ort

ie o

bse

rvée

Comparaison des coefficients de regression des paramètres les plus influents du modèle de flux nocturne observé

Sortie observée : Flux nocturne

(+) : Effet positif sur la sortie(-) : Effet négatif sur la sortie

<Ls>-- (-)<λs>-- (+)

<Lg>-- (-)<Tin>-- (-)

<Lcan>-- (+)<m>-- (+)

<ρs>-- (-)

<LAI>-- (+)<eL>-- (-)

<n>-- (+)<Vv>-- (+)

<Thp>-- (+)<Tsky>-- (+)

<ω>-- (+)<ρg>-- (-)

<k1>-- (-)<Cpp>-- (+)

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-3

8

7

6

5

4

3

2

1


Ord

re d

écro

issa

nt d

'influ

ence

des

inte

ract

ions

sur

la s

ortie

obs

ervé

e

Comparaison des coefficients de regression des interactions double les plus influents

<Ls>*<Ls> -- (+)

<Ls>*<λs>-- (-)

<Lg>*<Ls> -- (+)

<Tin>*<Ls> -- (+)

<ωtop>*<ωs>-- (-)

<ρsp>*<ρsp>-- (-)

<k1>*<k1> -- (+)

<Tin>*<λs>-- (-)

68

Figure 47 : Comparaison des prédictions du modèle original et du modèle associé au flux nocturne

Figure 48: Précision de la prédiction du flux nocturne par rapport au modèle original

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Prediction du modèle original du Flux de chaleur [W.m-2]

Pre

dict

ion

du m

étam

odèl

e as

soci

é

au

mod

èle

Flu

x de

cha

leur

noc

turn

e [W

.m-2

]

Comparaison de la sortie observée prédite par le métamodèle et le modèle original

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Flux de chaleur [W.m-2]

Err

eur

rela

tive

[%]

Erreur relative de la réponse du métamodèle par rapport au modèle Flux de chaleur nocturne

69

Interprétation des résultats

La figure 45 nous amène à dire que l’épaisseur �� du support, la conductivité

thermique du support P� et l’épaisseur �� du sol sont les paramètres ayant des influences

importantes sur le modèle de flux traversant la toiture en période nocturne tandis que la

température interne C," du bâtiment et l’épaisseur � �" de la canopée caractérisent les facteurs

jugés importants au modèle. Par ailleurs, la constante U pour la culture de tomate, la densité Q� du support, l’indice de surface foliaire�23, la constante ® pour la culture de tomate et la

vitesse Vv du vent sont peu influents sur le modèle. Les autres facteurs ont une contribution

non significative.

Les paramètres �� et ��présentent tous deux un effet négatif sur la sortie de notre

modèle. En effet l’augmentation de l’épaisseur du support et du sol entraîne une diminution

de la valeur du flux thermique qui traverse la couche de support. Ceci est du fait que le flux de

chaleur traversant une couche de matériau diminue au fur et à mesure que l’épaisseur de celui-

ci augmente. Cette constatation est en accord avec la réalité. Il est donc important de bien

choisir des valeurs optimales de ces paramètres afin de vivre dans une condition thermique

agréable. Toutefois il est recommandé de ne pas abuser de l’épaisseur de ces deux paramètres

puisque cela engendrerait une surcharge inutile pour le bâtiment.

La conductivité thermique P� du support, quant à elle, présente un effet positif sur le

modèle de flux de chaleur traversant le support de la toiture. En effet, l’augmentation de la

valeur de P� tend à faire augmenter la valeur de la sortie observée, c’est-à-dire le flux

thermique qui traverse le support de la toiture. Il est d’autant plus valable, d’après les relations

(III.1) et (III.2), que si la conductivité thermique augmente, la résistance thermique diminue et

le flux augmente. En pratique, il est préférable d'avoir une épaisseur raisonnable de support

avec une faible conductivité thermique pour réduire cet effet. En tout, il y a lieu d’opter pour

un support ayant une bonne qualité d’isolation thermique tout en étant suffisamment étanche

et solide pour supporter les charges pondérales apportées par la couche de sol.

L’influence négative apportée par l’augmentation de la température interne du

bâtiment est causée par la diminution de l’écart de température ∆C h C�� \ C," réduisant ainsi

le flux thermique à travers la couche de support de la toiture. On remarque parfois une valeur

négative du flux en période nocturne (figure 22) vu que la température interne est plus élevée

que la température du support.

70

D’autre part les paramètres caractéristiques de la canopée notamment l’épaisseur � �"

et l’indice de surface foliaire �23 présentent tous deux une faible influence positive sur le flux

thermique observé. En effet, une couche assez épaisse de canopée avec indice de surface

foliaire LAI élevée permet de stabiliser la température au sein de la canopée en période

nocturne ce qui entraîne une faible variation des températures des éléments du toit vert. Le

flux thermique tend ainsi à s’accroître même si l’écart de température est négatif.

Similairement au cas du flux thermique en période diurne, la figure 46 nous montre

que les interactions doubles caractérisées par facteurs les plus influents susmentionnés (��, P� et ��) sont les plus prépondérants.

Les nuages de points de la figure 47 formant une bissectrice et l’erreur relative du

métamodèle par rapport au modèle original inférieure à 5% (figure.48) nous prouvent que

pour un taux de variation de 5% autour de leurs valeurs nominales des facteurs, le

métamodèle présente une très bonne précision qui est ici inférieure à 3%.

71

CONCLUSION

Ce travail vise à évaluer la performance énergétique d’une toiture végétalisée installée

en zone tropicale humide telle que la région de Mahajanga ainsi que l’influence des

paramètres associés sur le flux thermique traversant la couche de support de la toiture. Nous

avons établi un modèle mathématique traduisant les divers transferts thermiques et massique

au sein de la toiture végétalisée et adimensionné les équations obtenues à partir desquelles

nous avons mis au point un code de calcul sous environnement Matlab [23] simulant la

consommation énergétique et l’énergie emmagasinée par les deux types de toiture. Par la

suite, nous avons fait une analyse de sensibilité paramétrique du modèle de flux de chaleur

traversant la toiture en période diurne et en période nocturne en utilisant l’outil GoSAT [43]

qui nous a permis de classer par ordre de prépondérance les effets linéaires et les effets

d'interactions doubles des paramètres les plus influents, et donne automatiquement

l'expression du métamodèle associé au modèle étudié.

Il s’ensuit des résultats de simulation confrontés avec ceux obtenus expérimentalement

au Laboratoire PIMENT de l’Université de La Réunion [46] que les gains de température sont

positifs en période diurne et que le processus inverse se produit en période nocturne.

Nous avons également vu que la toiture végétalisée permet de réduire la

consommation énergétique d’un bâtiment lors du chauffage ou de la climatisation.

Les résultats de l’analyse de sensibilité nous a permis de relever les points essentiels

suivants :

- Les paramètres caractérisés par l’épaisseur�� du support, l’épaisseur ��du sol,

l’indice de surface foliaire �23 et le coefficient d’extinction 01 sont les paramètres les plus

influents et qui ont une influence négative sur le flux traversant la toiture en période diurne.

La conductivité thermique P� du support quant à elle a une influence positive ;

- L’épaisseur �� du support, ��du sol et la température interne C," du bâtiment

ont une importance influence négative pour le flux thermique à travers la couche de support

en période nocturne tandis que l’indice de surface foliaire�23 et l’épaisseur de la couche de

canopée ont une influence négative significative ;

- L’ordre de prépondérance des interactions doubles est caractérisé par les

facteurs les plus influents sur le modèle.

Dans ce travail, l’utilisation de l’outil GoSAT [43] comme outil d’aide à l’analyse de

sensibilité sous Matlab [23] nous a permis d’identifier sans difficulté les paramètres qui

influent sur notre modèle avec leurs ordres de prépondérance et la nature de leurs effets.

72

Ce travail n’est que le début de l’étude de la performance énergétique d’un bâtiment

végétalisé. La suite de ce travail est encore très vaste. On peut parler par exemple de la

comparaison de la performance énergétique du toit vert face aux toits traditionnels couverts de

pailles ou d’herbes séchées (maison tafobozaka), l’utilisation des plantes endémiques

malgaches ou encore l’étude du comportement hydrique des différents végétaux poussant au

niveau du sol.

L’impact des toits verts sur la performance énergétique et sur l’environnement d’un bâtiment

reste encore un sujet de recherche intéressant et plusieurs travaux de recherche devront être

continués. Evidemment, des mesures expérimentales devront être effectuées dans la région de

notre choix pour valider les résultats ou pour apporter des corrections à ce travail.

73

Bibliographie et Webographie

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TITRE : MODELISATION ET ANALYSE DE SENSIBILITE D’UN TOIT VERT

RESUME : La végétalisation des toits fait partie des techniques visant à atteindre l’objectif du confort thermique et de réduction de la consommation énergétique d’un bâtiment. L’objectif de ce travail est de simuler la performance énergétique d’un toit vert installé en zone tropicale humide et d’analyser les paramètres qui influent sur le flux thermique à travers le support de la toiture. L’auteur a utilisé la méthode d’analogie électrique pour établir un modèle mathématique associé au système étudié puis adimensionnalisé les équations obtenues. Basé sur ce modèle, un code de calcul a été élaboré en utilisant les données météorologiques de la région Mahajanga. D’après les résultats obtenus lors de la simulation, la végétalisation des toitures permet de réduire de manière significative la consommation énergétique d’un bâtiment, le flux thermique traversant une toiture pendant la journée et détient la chaleur accumulée pendant la nuit. Les résultats apportés par des données expérimentales du Laboratoire PIMENT de l’Université de La Réunion ont été comparés aux résultats de simulation pour prouver l’efficacité du toit vert comme système d’isolation thermique en réduisant la température du support d’environ 8°C. En outre, l’auteur a fait une analyse de sensibilité du flux thermique en période diurne et en période nocturne avec l’outil GoSAT et les paramètres les plus influents sur le modèle ont été identifiés à savoir la conductivité thermique λ� du support avec son épaisseurL�, l’épaisseur L) du sol, l’indice de surface foliaire LAI, le coefficient d’extinction k1 et la température interne du bâtiment.

Mots clés : Toit vert, adimensionalisation, GoSAT, analyse de sensibilité globale, flux thermique, énergie consommée

ABSTRACT : Greening the roof is a part of techniques that aims to reach the goal of thermal comfort and the reduction of energy consumption of a building. The objective of this work is to simulate the energy performance of a green roof installed in wet tropical zone and to analyze the parameters which influence the thermal flow through the support of the roof. The author used the method of electric analogy to establish a mathematical model associated with the studied system then he nondimensionalized the obtained equations. Based on this model, a computing code was developed by using the meteorological data of the region of Mahajanga. According to the results obtained from the simulation, the use of green roof allows reducing significantly the energy consumption of a building, the thermal flow crossing the roof during the day and detains the heat accumulated during the night. The results brought by experimental data of the Laboratory PIMENT of the University of La Réunion were compared with the results of simulation to prove the efficiency of the roof green as system of heat insulation by reducing the temperature of the support about 8°C. Furthermore, the author made a sensitivity analysis of the thermal flow in diurnal and night-period with GoSAT and the most influential parameters on the model were identified such as the thermal conductivity P� of the support and its thickness��, the thickness ��of the ground, the Leaf Area Index LAI, the extinction coefficient 01 and the internal temperature of the building.

Keywords: Green roof, nondimensionalization, GoSAT, global sensitivity analysis, thermal flow, energy consumption.

Encadreur : RAKOTONDRAMIARANA Hery Tiana Maître de conférences à l’Université d’Antananarivo

Impétrant : RAJAONAHY Michard Rockson Adresse : IJM 4213 Mangarivotra Itaosy Antananarivo 102, Madagascar Tél +261(0)332806247 E-mail : [email protected]

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