tr.inf.unibe.ch · hnis erzeic Literaturv [1] Barendregt, H. P. The da amb L Calculus, revised ed....

APPLIKATIVE THEORIEN

UND EXPLIZITE MATHEMATIK

Sommersemester 1996

Gerhard J

�

ager

Leitung und Durchf

�

uhrung des

�

Ubungsbetriebs:

Thomas Strahm

Ausarbeitung des Skripts:

Marc Wirz

Literaturverzeichnis

[1] Barendregt, H. P. The Lambda Calculus, revised ed. North

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[8] Feferman, S., and J

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ager, G. Systems of explicit mathematics

with non-constructive �-operator. Part II. Annals of Pure and Applied

Logic 79, 1 (1996).

i

[9] Girard, J.-Y. Une extension de l'interpr�etation fonctionelle de G

�

odel

�a l'analyse et son application �a l'�elimination des coupures dans l'analyse

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[10] Girard, J.-Y. The system F of variables types, �fteen years later.

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[11] Girard, J.-Y., Taylor, P., and Lafont, Y. Proofs and Types.

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�

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[13] J

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[14] J

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Computer Science Logic '87, E. B

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thesis, Mathematisches Institut, Universit

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thesis, Institut f

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ur Informatik und angewandte Mathematik, Univer-

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at Bern, 1992.

[18] Strahm, T. On the Proof Theory of Applicative Theories. PhD thesis,

Institut f

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ur Informatik und angewandte Mathematik, Universit

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at Bern,

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Cambridge Summer School in Mathematical Logic, vol. 337 of Lecture

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[20] Troelstra, A., and van Dalen, D. Constructivism in Mathema-

tics, vol. I. North-Holland, Amsterdam, New York, 1988.

[21] Troelstra, A., and van Dalen, D. Constructivism in Mathema-

tics, vol. II. North Holland, Amsterdam, New York, 1988.

iii

Inhaltsverzeichnis

1 Logik der partiellen Terme 1

1.1 Die Syntax der Logik der partiellen Terme : : : : : : : : : : 1

1.2 Die Semantik der Logik der partiellen Terme : : : : : : : : : 8

2 Applikative Theorien 12

2.1 Die Theorie BON : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12

2.2 Kombinatorische Eigenschaften von BON : : : : : : : : : : : 15

2.3 De�nition by Cases auf dem Universum : : : : : : : : : : : : 20

2.4 Induktionsprinzipien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21

2.5 Das rekursionstheoretische Modell PRF : : : : : : : : : : : 24

2.6 Das Graphmodell G : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

2.7 Die Termmodelle CNT und CT T : : : : : : : : : : : : : : : 28

2.8 Eine allgemeine Modellkonstruktion : : : : : : : : : : : : : : 34

2.9 Mengentheoretische Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38

iv

3 Explizite Mathematik 40

3.1 Die Theorie EET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

3.2 Ontologische

�

Uberlegungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45

3.3 Formen der Induktion in der expliziten Mathematik : : : : : 47

3.4 L

p

-Strukturen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49

3.5 Standardmodelle von EET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51

3.6 Die Hierarchie endlicher Typen : : : : : : : : : : : : : : : : 53

3.7 Die Theorie SET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56

3.8 Standardmodelle von SET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57

3.9 Polymorphismus in expliziter Mathematik : : : : : : : : : : 60

v

Kapitel 1

Logik der partiellen Terme

Die Logik der partiellen Terme in der hier eingef

�

uhrten Form geht auf Bee-

son und Feferman zur

�

uck. Sie ist verwandt zur Logik mit Existenzpr

�

adikat

im Sinne von Scott. F

�

ur weitere Details und Hintergrundinformationen sei

auf folgende Arbeiten und Lehrb

�

ucher verwiesen: [2, 4, 17, 20, 21].

1.1 Die Syntax der Logik der partiellen Terme

1.1.1 De�nition Eine Sprache L der Logik der partiellen Terme umfasst

folgende Grundzeichen:

1. Abz

�

ahlbar unendlich viele Variablen v0; v1; : : : ; vi; : : : (i 2 IIN):

2. Die logischen Symbole : (nicht), _ (oder) und 9 (es gibt).

3. Das 1-stellige Symbol # f

�

ur De�niertheit und das 2-stellige Symbol = f

�

ur

Gleichheit.

4. F

�

ur jede nat

�

urliche Zahl n eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen

Funktionssymbolen.

1

5. F

�

ur jede nat

�

urliche Zahl n eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen

Relationssymbolen.

6. Hilfszeichen.

Die 0-stelligen Funktionssymbole von L nennen wir die Konstanten von L.

Ausserdem setzen wir im folgenden voraus, dass die Grundzeichen verschie-

dener Art voneinander verschieden sind.

1.1.2 De�nition Die L-Terme werden induktiv de�niert durch:

1. Jede Variable und jede Konstante von L ist ein L-Term.

2. Sind a

1

; : : : ; a

n

L-Terme und ist f ein n-stelliges Funktionssymbol von L

mit n � 1, so ist f(a

1

; : : : ; a

n

) ein L-Term.

Sind a; b sowie a

1

; : : : ; a

n

L-Terme und ist R ein n-stelliges Relationssymbol

von L, so bezeichnen wir die Ausdr

�

ucke a#, (a = b) sowie R(a

1

; : : : ; a

n

) als

Atomformeln von L.

1.1.3 De�nition Die L-Formeln werden induktiv de�niert durch:

1. Jede Atomformel von L ist eine L-Formel.

2. Ist A eine L-Formel, so ist :A eine L-Formel.

3. Sind A und B L-Formeln, so ist (A _B) eine L-Formel.

4. Ist A eine L-Formel und x eine Variable von L, so ist 9xA eine L-Formel.

Anstelle von L-Termen und L-Formeln sprechen wir h

�

au�g nur von Termen

und Formeln, sofern der Bezug auf die Sprache L klar oder unwichtig ist.

Bei Formeln lassen wir oft Klammern fort, wenn dadurch keine Unklarheiten

2

entstehen. Wir verwenden die Vektor-Notation zur Bezeichnung endlicher

Folgen von Termen und schreiben z.B. ~a oder

~

b f

�

ur a

1

; : : : ; a

m

oder b

1

; : : : ; b

n

.

Die L

�

ange einer solchen Folge ergibt sich aus dem Kontext.

Mitteilungszeichen (auch mit Indizes)

u; v; w; x; y; z; f; g; h f

�

ur Variablen;

a; b; c; r; s; t f

�

ur Terme;

A;B;C;D;E; F f

�

ur Formeln.

1.1.4 De�nition

1. (A ^B) := :(:A _ :B):

2. (A! B) := (:A _B):

3. (A$ B) := (A! B) ^ (B ! A):

4. 8xA := :9x:A:

5. (a ' b) := (a# _ b# ! a = b):

6. (a 6= b) := a# ^ b# ^ :(a = b):

1.1.5 De�nition F

�

ur jeden L-Term a wird die Menge FV (a) der Variablen

von a induktiv de�niert durch:

1. Ist a eine Variable von L, so ist FV (a) := fag.

2. Ist a eine Konstante von L, so ist FV (a) := ;.

3. Sind a

1

; : : : ; a

n

L-Terme, ist f ein n-stelliges Funktionssymbol mit n � 1

und ist a von der Form f(a

1

; : : : ; a

n

), so ist

FV (a) := FV (a

1

) [ : : : [ FV (a

n

):

3

Ein Term a heisst geschlossen, falls FV (a) = ; ist.

1.1.6 De�nition F

�

ur jede L-Formel A wird die Menge FV (A) der freien

Variablen von A induktiv de�niert durch:

1. Ist A von der Form a#, so ist FV (A) := FV (a).

2. Ist A von der Form (a = b), so ist FV (A) := FV (a) [ FV (b).

3. Ist R ein n-stelliges Relationssymbol von L und ist A von der Form

R(a

1

; : : : ; a

n

), so ist FV (A) := FV (a

1

) [ : : : [ FV (a

n

).

4. Ist A von der Form :B, so ist FV (A) := FV (B).

5. Ist A von der Form (B _ C), so ist FV (A) := FV (B) [ FV (C).

6. Ist A von der Form 9xB, so ist FV (A) := FV (B) n fxg.

Eine Formel A heisst geschlossen (oder Satz), falls FV (A) = ; ist.

1.1.7 De�nition F

�

ur jeden L-Term t sowie alle Variablen ~x = x

1

; : : : ; x

n

von L und alle L-Terme ~a = a

1

; : : : ; a

n

wird der L-Term t[~a=~x] induktiv

de�niert durch:

1. Ist t eine Variable x

i

mit 1 � i � n, so ist t[~a=~x] := a

i

.

2. Ist t eine von x

1

; : : : ; x

n

verschiedene Variable oder eine Konstante von

L, so ist t[~a=~x] := t.

3. Ist f ein ein m-stelliges Funktionssymbol von L mit m � 1 und ist t von

der Form f(s

1

; : : : ; s

m

), so ist

t[~a=~x] := f(s

1

[~a=~x]; : : : ; s

m

[~a=~x]):

4

1.1.8 De�nition F

�

ur jede L-Formel A sowie alle Variablen ~x = x

1

; : : : ; x

n

von L und alle L-Terme ~a = a

1

; : : : ; a

n

wird die L-Formel A[~a=~x] induktiv

de�niert durch:

1. Ist A von der Form t#, so ist A[~a=~x] := t[~a=~x]#.

2. Ist A von der Form (s = t), so ist A[~a=~x] := (s[~a=~x] = t[~a=~x]).

3. Ist R ein m-stelliges Relationssymbol von L und ist A von der Form

R(t

1

; : : : ; t

m

), so ist A[~a=~x] := R(t

1

[~a=~x]; : : : ; t

m

[~a=~x]).

4. Ist A von der Form :B, so ist A[~a=~x] := :B[~a=~x].

5. Ist A von der Form (B _ C), so ist A[~a=~x] := (B[~a=~x] _ C[~a=~x]).

6. Ist A von der Form 9xB und ist x

i

1

; : : : ; x

i

k

die Folge der Variablen aus

fx

1

; : : : ; x

n

g \ FV (A), dann ist

A[~a=~x] := 9yB[a

i

1

; : : : ; a

i

k

; y=x

i

1

; : : : ; x

i

k

; x]:

Dabei sei y die Variable x, falls x in a

i

1

; : : : ; a

i

k

nicht auftritt; andern-

falls sei y die in der Aufz

�

ahlung v0; v1; v2; : : : erste Variable, die nicht in

B; a

i

1

; : : : ; a

i

k

vorkommt.

1.1.9 Bemerkung A[a

1

; : : : ; a

n

=x

1

; : : : ; x

n

] ist diejenige Formel, die da-

durch aus A entsteht, dass die freien Vorkommnisse der Variablen x

1

; : : : ; x

n

simultan durch a

1

; : : : ; a

n

ersetzt werden. Dabei m

�

ussen zur Vermeidung von

Variablenkollisionen manchmal Umbenennungen von (gebundenen) Varia-

blen durchgef

�

uhrt werden.

Wird die Formel A durch B(~x) bezeichnet, so schreiben wir im folgenden

h

�

au�g (etwas unpr

�

azise) B(~a) anstelle von A[~a=~x].

5

Im folgenden stellen wir nun die Axiome und Schlussregeln der Logik der

partiellen Terme zusammen und w

�

ahlen daf

�

ur die Form eines Hilbert-Kal-

k

�

uls. Ausserdem beschr

�

anken wir uns auf den klassischen Fall; es ist o�en-

sichtlich, wie diese Axiome und Schlussregeln modi�ziert werden m

�

ussen,

um die intuitionistische Logik der partiellen Terme zu erhalten.

I. Aussagenlogische Axiome und Regeln. Wie

�

ublich.

II. Quantorenaxiome und Quantorenregeln. F

�

ur alle L-Formeln A

und B, alle L-Terme a und alle Variablen x von L:

A[a=x] ^ a# ! 9xA und

A! B

9xA! B

Dabei wird im Fall der Regel gefordert, dass die Variable x kein Element

von FV (B) ist.

III. De�ninertheitsaxiome. F

�

ur alle n-stelligen Funktionssymbole f und

Relationssymbole R von L sowie alle L-Terme a; b und t

1

; : : : ; t

n

:

(D1) a#, falls a eine Variable oder Konstante von L ist.

(D2) f(t

1

; : : : ; t

n

)# ! t

1

# ^ : : : ^ t

n

#:

(D3) (a = b) ! a# ^ b#:

(D4) R(t

1

; : : : ; t

n

) ! t

1

# ^ : : : ^ t

n

#:

IV. Gleichheitsaxiome. F

�

ur alle n-stelligen Funktionssymbole f und Re-

lationssymbole R von L sowie alle L-Terme a; b; c; s

1

; : : : ; s

n

und t

1

; : : : ; t

n

:

(E1) (a = a), falls a eine Variable oder eine Konstante von L ist.

(E2) (a = b) ! (b = a).

(E3) (a = b) ^ (b = c) ! (a = c).

6

(E4) R(s

1

; : : : ; s

n

) ^ (s

1

= t

1

) ^ : : : ^ (s

n

= t

n

) ! R(t

1

; : : : ; t

n

).

(E5) (s

1

= t

1

) ^ : : : ^ (s

n

= t

n

) ! f(s

1

; : : : ; s

n

) ' f(t

1

; : : : ; t

n

).

Mit der Bezeichnung LPT ` A dr

�

ucken wir aus, dass die Formel A im

Hilbertkalk

�

ul, der durch die Axiome und Schlussregeln I � IV gegeben ist,

hergeleitet werden kann. Daher bedeutet LPT ` A, dass die Formel A in

der Logik der partiellen Terme bewiesen werden kann.

Die Axiome (D2), (D3) und (D4) werden manchmal als Striktheitsaxiome

bezeichnet. In einem gewissen Sinne entspricht (D2) einer Call-by-Value-

Berechnungsstrategie. Ausserdem ist leicht zu sehen, dass sich aus den

aussagenlogischen Axiomen und Regeln sowie den Quantorenaxiomen und

Quantorenregeln folgende beiden Eigenschaften der Logik der partiellen Ter-

me zeigen lassen.

(1) LPT ` 8xA ^ a# ! A[a=x].

(2) Ist x 62 FV (A), so gilt: LPT ` A! B =) LPT ` A! 8xB.

1.1.10 Bemerkung F

�

ur alle L-Terme a und b sowie alle Variablen x von

L gilt:

LPT ` a# und LPT ` b# =) LPT ` a[b=x]#:

Beweis Aus LPT ` a# erhalten wir durch einige Umformungen in der Logik

der partiellen Terme auch LPT ` 8x(a#): Ausserdem gilt ganz allgemein

LPT ` 8x(a#) ^ b# ! a[b=x]#:

Daraus folgt die Behauptung durch zweifache Anwendung des Modus Po-

nens. �

7

1.2 Die Semantik der Logik der partiellen Terme

In diesem Abschnitt sei L weiterhin eine Logik der partiellen Terme. Wir

f

�

uhren nun eine 2-wertige Semantik f

�

ur L ein, die auf den Wahrheitswer-

ten t (wahr) und f (falsch) basiert. Im Gegensatz zur

�

ublichen Semantik

der klassischen Pr

�

adikatenlogik arbeiten wir mit Strukturen, bei denen die

Funktionssymbole als partielle Funktionen interpretiert werden k

�

onnen.

1.2.1 De�nition Eine partielle L-Struktur ist ein 5-Tupel

M = (M; I

0

; I

1

; I

2

; `);

das folgende Bedingungen erf

�

ullt:

1. M ist eine nichtleere Menge und ` ein Objekt, das nicht zu M geh

�

ort.

2. I

0

ist eine Abbildung, die jedem n-stelligen Relationssymbol R von L

eine n-stellige Funktion I

0

(R) von M nach ff; tg zuordnet.

3. I

1

ist eine Abbildung, die jeder Konstanten c von L ein Element I

1

(c)

aus M zuordnet.

4. I

2

ist eine Abbildung, die jedem n-stelligen Funktionssymbol f von L mit

n � 1 eine n-stellige partielle Funktion I

2

(f) von M nach M zuordnet.

Ist M = (M; I

0

; I

1

; I

2

; `) eine partielle L-Struktur, so schreiben wir h

�

au�g

jMj f

�

ur das Universum M von M, ./

M

f

�

ur das ausgezeichnete Objekt `,

das nicht zu jMj geh

�

ort sowie R

M

; c

M

und f

M

f

�

ur die Interpretationen

I

0

(R); I

1

(c) und I

2

(f) der Relationssymbole R, Konstanten c und (minde-

stens 1-stelligen) Funktionssymbole f.

8

1.2.2 De�nition

1. Eine Variablenbelegung � in der nichtleeren MengeM ist eine Abbildung,

die jeder Variablen vi mit i 2 IIN einen Wert �(vi) 2M zuordnet.

2. Gegeben seien eine Variablenbelegung � in der nichtleeren Menge M ,

ein Element m aus M und eine Variable u. Dann bezeichnen wir mit

�[u=m] die Variablenbelegung in M , die u auf m abbildet und sonst mit

�

�

ubereinstimmt, d.h.

�[u=m](v) :=

8

<

:

m; falls v = u;

�(v); sonst:

1.2.3 De�nition F

�

ur jede partielle L-StrukturM und jede Variablenbele-

gung � in jMj wird der WertM

�

(t) 2 jMj[f./

M

g eines L-Terms induktiv

de�niert durch:

1. Ist t eine Variable von L, so ist M

�

(t) := �(t).

2. Ist t eine Konstante von L, so ist M

�

(t) := t

M

.

3. Nun sei t von der Form f(t

1

; : : : ; t

n

) f

�

ur ein n-stelliges Funktionssymbol

von L mit n � 1. Sind M

�

(t

1

); : : : ;M

�

(t

n

) Elemente von jMj und ist

f

M

f

�

ur (M

�

(t

1

); : : : ;M

�

(t

n

)) de�niert, so ist

M

�

(t) := f

M

(M

�

(t

1

); : : : ;M

�

(t

n

));

sind andererseits M

�

(t

1

); : : : ;M

�

(t

n

) Elemente von jMj und ist f

M

f

�

ur

(M

�

(t

1

); : : : ;M

�

(t

n

)) nicht de�niert oder ist M

�

(t

i

) = ./

M

f

�

ur eine

nat

�

urliche Zahl i mit 1 � i � n, so ist M

�

(t) := ./

M

.

1.2.4 De�nition F

�

ur jede partielle L-Struktur M und jede Variablenbe-

legung � in jMj wird der Wert M

�

(A) 2 ff; tg einer L-Formel A induktiv

de�niert durch:

9

1. Ist A von der Form a#, so ist

M

�

(A) :=

8

<

:

t; falls M

�

(a) 2 jMj;

f; sonst:

2. Ist A von der Form (a = b), so ist

M

�

(A) :=

8

>

>

>

<

>

>

>

:

t; falls M

�

(a) 2 jMj;M

�

(b) 2 jMj

und M

�

(a) =M

�

(b);

f; sonst:

3. Ist A von der Form R(a

1

; : : : ; a

n

) f

�

ur ein n-stelliges Relationssymbol R

von L, so ist

M

�

(A) :=

8

>

>

>

<

>

>

>

:

t; falls M

�

(a

1

) 2 jMj; : : : ;M

�

(a

n

) 2 jMj

und R

M

(M

�

(a

1

); : : : ;M

�

(a

n

)) = t;

f; sonst:

4. Ist A von der Form :B, so ist

M

�

(A) :=

8

<

:

t; falls M

�

(B) = f;

f; sonst:

5. Ist A von der Form (B _ C), so ist

M

�

(A) :=

8

<

:

t; falls M

�

(B) = t oder M

�

(C) = t;

f; sonst:

6. Ist A von der Form 9xB, so ist

M

�

(A) :=

8

<

:

t; falls M

�[x=m]

(B) = t f

�

ur ein m 2 jMj;

f; sonst:

10

IstM eine partielle L-Struktur und A eine L-Formel, so nennen wir A g

�

ultig

in M und schreiben daf

�

urM j= A, fallsM

�

(A) = t f

�

ur alle Variablenbele-

gungen � in jMj gilt. M heisst Modell einer Menge Th von L-Formeln, in

ZeichenM j= Th, falls alle Formeln aus Th inM g

�

ultig sind. Ist schliesslich

A in allen L-Strukturen g

�

ultig, so bezeichnen wir A als g

�

ultig in der Logik

der partiellen Terme; als Notation daf

�

ur verwenden wir LPT j= A.

Das folgende Theorem besagt, dass der Hilbert-Kalk

�

ul des vorhergehenden

Abschnittes eine korrekte und vollst

�

andige Axiomatisierung der Logik der

partiellen Terme im Sinne der eben eingef

�

uhrten Semantik ist. Auf einen

Beweis dieses Satzes wird verzichtet.

1.2.5 Theorem F

�

ur jede L-Formel A gilt:

LPT ` A () LPT j= A:

11

Kapitel 2

Applikative Theorien

Applikative Theorien bilden den erststu�gen Teil von Systemen expliziter

Mathematik, die im n

�

achsten Kapitel eingef

�

uhrt werden. Bei den hier darge-

stellten Resultaten handelt es sich im wesentlichen um Standardergebnisse,

und wie fr

�

uher wird darauf verzichtet, jeweils die genauen Literaturangaben

anzuf

�

uhren. Zentrale Texte sind etwa [2, 5, 7, 8, 18, 20, 21].

2.1 Die Theorie BON

Als erste applikative Theorie betrachten wir die Basic Theory of Operations

and Numbers BON. Sie umfasst eine Axiomatisierung von partiellen kom-

binatorischen Algebren, Paarbildung und Projektionen sowie einige Grund-

eigenschaften nat

�

urlicher Zahlen.

BON ist formalisiert in der Sprache L

p

der Logik der partiellen Terme, die

die Konstanten k; s (Kombinatoren), p; p

0

; p

1

(pairing, unpairing), 0 (Zero),

s

N

(Numerical Successor), p

N

(Numerical Predecessor), d

N

(De�nition by

Numerical Cases) und r

N

(Recursion) umfasst. Dazu kommen ein 2-stelliges

12

Funktionssymbol � , das in�x geschrieben wird, f

�

ur die Applikation von Ob-

jekten sowie ein 1-stelliges Relationssymbol N f

�

ur die Menge der nat

�

urlichen

Zahlen.

Folglich werden die L

p

-Terme generiert durch:

1. Jede Variable und jede Konstante von L

p

ist ein L

p

-Term.

2. Sind a und b L

p

-Terme, so ist auch (a � b) ein L

p

-Term.

Wir schreiben (a � b) oft nur als (ab) oder ab und vereinbaren Klamme-

rung nach links, so dass ab

1

: : : b

n

f

�

ur (: : : (ab

1

) : : : b

n

) steht. Ausserdem

sei a

0

der Term s

N

a, 1 der Term 0

0

und (a; b) der Term pab. Die n-Tupel

(a

1

; : : : ; a

n

) werden induktiv de�niert durch (a

1

) := a

1

und (a

1

; : : : ; a

n+1

) :=

((a

1

; : : : ; a

n

); a

n+1

). Im Zusammenhang mit dem Relationssymbol N verwen-

den wir folgende Abk

�

urzungen:

a 2 N := N(a);

(9x 2 N)A := 9x(x 2 N ^ A);

(8x 2 N)A := 8x(x 2 N! A);

(a : N! N) := (8x 2 N)(ax 2 N);

(a : N

n+1

! N) := (8x 2 N)(ax : N

n

! N):

Die Theorie BON umfasst die Axiome und Schlussregeln der Logik der par-

tiellen Terme LPT formuliert f

�

ur die Sprache L

p

. Die nichtlogischen Axiome

von BON lassen sich in die folgenden f

�

unf Gruppen unterteilen.

I. Partial Combinatory Algebra

(1) kxy = x.

(2) sxy# ^ sxyz ' (xz)(yz).

13

II. Pairing and Projections

(3) p

0

x# ^ p

1

x#.

(4) p

0

(x; y) = x ^ p

1

(x; y) = y.

III. Natural Numbers

(5) 0 2 N ^ (8x 2 N)(x

0

2 N):

(6) (8x 2 N)(x

0

6= 0 ^ p

N

(x

0

) = x):

(7) (8x 2 N)(x 6= 0 ! p

N

x 2 N ^ (p

N

x)

0

= x):

IV. De�nition by Numerical Cases

(8) u 2 N ^ v 2 N ^ u = v ! d

N

xyuv = x:

(9) u 2 N ^ v 2 N ^ u 6= v ! d

N

xyuv = y:

V. Primitive Recursion on N

(10) (f : N! N) ^ (g : N

3

! N) ! (r

N

fg : N

2

! N):

(11) (f : N! N) ^ (g : N

3

! N) ^ x 2 N ^ y 2 N ^ h = r

N

fg

! hx0 = fx ^ hx(y

0

) = gxy(hxy):

Durch BON ` A dr

�

ucken wir von nun an aus, dass sich die L

p

-Formel A

mit Hilfe der Logik der partiellen Terme LPT aus den nichtlogischen Axio-

men von BON ableiten l

�

asst. Ist K eine Klasse von L

p

-Formeln, so wird

BON+ K ` A analog de�niert.

Manchmal betrachten wir auch applikative Theorien, bei denen die Appli-

kationsoperation total ist. Das entsprechende Totalit

�

atsaxiom lautet:

(Tot) 8x8y(xy#)

14

2.1.1 Bemerkung F

�

ur alle L

p

-Terme t gilt:

BON+ (Tot) ` t#:

2.2 Kombinatorische Eigenschaften von BON

In diesem Abschnitt stellen wir einige kombinatorische Eigenschaften von

BON zusammen. Dabei sind vor allem der Satz

�

uber �-Abstraktion und das

Rekursionstheorem hervorzuheben, die beide bereits aus den Axiomen (1)

und (2) folgen.

2.2.1 De�nition F

�

ur jeden L

p

-Term t und jede Variable x von L

p

de�nie-

ren wir einen L

p

-Term (�x:t) induktiv durch:

1. Ist t die Variable x, so ist (�x:t) := skk:

2. Ist t eine von x verschiedene Variable oder eine Konstante von L

p

, so ist

(�x:t) := kt:

3. Ist t von der Form (ab); so ist (�x:t) := s(�x:a)(�x:b):

Das folgende Theorem, das durch Induktion nach dem Aufbau von t bewie-

sen wird, macht deutlich, dass in BON durch die De�nition von (�x:t) die

�-Abstraktion des

�

ublichen �-Kalk

�

uls weitgehend simuliert werden kann.

Bei dieser De�nition tragen wir der Partialit

�

at Rechnung und stellen sicher,

dass (�x:t) immer einen Wert besitzt.

2.2.2 Theorem (�-Abstraktion) F

�

ur alle L

p

-Terme a und t und alle

Variablen x von L

p

gilt:

15

1. FV (�x:t) = FV (t) n fxg:

2. BON ` (�x:t)#:

3. BON ` (�x:t)x ' t:

4. BON ` a# ! (�x:t)a ' t[a=x]:

2.2.3 Bemerkung Falls x und y verschiedene Variablen sind und x kein

Element von FV (a) ist, gilt im

�

ublichen �-Kalk

�

ul, dass die Terme (�x:t)[a=y]

und (�x:t[a=y]) gleich sind. Eine entsprechende Gleichung kann jedoch in

BON nicht bewiesen werden. Betrachte den Fall t := y und a := zz: Dann

beweist BON

(�x:t)[a=y] = k(zz) und (�x:t[a=y]) = s(kz)(kz):

Es gibt aber auch ein Modell von BON, in dem k(zz) und s(kz)(kz) nicht

gleich sind.

Es folgt nun eine Abschw

�

achung des oben beschriebenen Substitutionsprin-

zips, die in BON bewiesen werden kann und in der Regel f

�

ur alle Anwen-

dungen ausreicht.

2.2.4 Lemma F

�

ur alle L

p

-Terme a und t sowie von einander verschiede-

nen Variablen x und y von L

p

gilt:

BON ` (�x:t)[a=y]x ' t[a=y]:

Beweis:Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach dem Aufbau von

t und arbeiten informell in BON. Wir unterscheiden mehrere F

�

alle.

16

1. t ist die Variable x. Dann gilt in BON:

(�x:t)[a=y]x ' (skk)[a=y]x ' (kx)(kx) ' x ' t[a=y]:

2. t ist die Variable y. Dann gilt in BON:

(�x:t)[a=y]x ' (kt)[a=y]x ' (ka)x ' a ' t[a=y]:

3. t ist eine von x und y verschiedene Variable oder eine Konstante. Dann

gilt in BON:

(�x:t)[a=y]x ' (kt)[a=y]x ' (kt)x ' t ' t[a=y]:

4. t ist von der Form (t

1

t

2

). Dann erhalten wir mit Hilfe der Induktionsvor-

aussetzung in BON:

(�x:t)[a=y]x ' (s(�x:t

1

)(�x:t

2

))[a=y]x

' ((�x:t

1

)[a=y]x)((�x:t

2

)[a=y]x)

' t

1

[a=y] t

2

[a=y] ' t[a=y]: �

Aufgrund von Theorem 2.2.2 folgt aus diesem Lemma, dass f

�

ur alle L

p

-

Terme a und t und von einander verschiedenen Variablen x und y in BON

gezeigt werden kann:

(�x:t)[a=y]x ' (�x:t[a=y])x:

Die Bildung von �-Termen kann kanonisch auf mehrere Argumente erwei-

tert werden. Ausserdem l

�

asst sich das vorhergehende Lemma entsprechend

verallgemeinern.

2.2.5 De�nition F

�

ur alle L

p

-Terme und alle Variablen x

1

; : : : ; x

n

von L

p

setzen wir (�x

1

: : : x

n

:t) := (�x

1

:(: : : (�x

n

:t) : : :)):

17

2.2.6 Lemma F

�

ur alle L

p

-Terme a und t sowie alle Variablen x

1

; : : : ; x

n

und y von L

p

, so dass alle x

1

; : : : ; x

n

von y verschieden sind, gilt:

BON ` (�x

1

: : : x

n

:t)[a=y]x

1

: : : x

n

' t[a=y]:

2.2.7 Theorem (Rekursionstheorem) Es gibt einen geschlossenen L

p

-

Term rec, so dass gilt:

BON ` rec f# ^ rec fx ' f(rec f)x:

Beweis: Wir de�nieren

t := (�yx:f(yy)x) und rec := (�f:tt)

und arbeiten nun informell in BON. Da t durch �-Abstraktion eingef

�

uhrt

wird, hat t einen Wert. Ausserdem ergibt Theorem 2.2.2, dass

rec f ' tt ' (�yx:f(yy)x)t ' (�x:f(yy)x)[t=y]:

Da (�x:f(yy)x) als �-Term einen Wert besitzt, folgt aufgrund von Bemer-

kung 1.1.10 dass rec f# gilt. Schliesslich erhalten wir mit Hilfe von Lemma

2.2.4 auch

rec fx ' (�x:f(yy)x)[t=y]x ' f(tt)x ' f(rec f)x: �

2.2.8 Lemma Es gibt einen geschlossenen L

p

-Term nn, so dass gilt:

BON ` nn 62 N:

Beweis Wir de�nieren

t := (�xy:d

N

10(xy)0) und nn := rec t0

18

und arbeiten nun informell in BON. Mit Hilfe von Theorem 2.2.2, Theorem

2.2.7 und Lemma 2.2.4 erhalten wir

nn ' rec t0 ' t(rec t)0 ' (�y:d

N

10(xy)0)[rec t=x]0

' d

N

10(rec t0)0 ' d

N

10nn0:

Nun nehmen wir nn 2 N an. Dann gelten die beiden Implikationen

nn = 0! nn ' d

N

10nn0 ' 1 und nn 6= 0! nn ' d

N

10nn0 ' 0;

so dass nn = 0

�

aquivalent zu nn 6= 0 ist. Dies ist ein Widerspruch und daher

muss nn 62 N gelten. �

2.2.9 Bemerkung Wir k

�

onnen in BON weder nn# ^ nn 62 N noch :nn#

beweisen. Es gibt Modelle von BON, in denen nn keinen Wert besitzt, und

Modelle, in denen nn einen Wert besitzt, aber nicht zur Interpretation der

nat

�

urlichen Zahlen geh

�

ort.

Wie bereits fr

�

uher bemerkt, werden die Terme in der Logik der partiel-

len Terme | und damit auch in BON | aufgrund der Striktheitsaxio-

me im Sinne von Call-by-Value evaluiert. Die folgende Behandlung des

if-then-else-Konstrukts deutet an, wie auch Call-by-Name in diesem

Rahmen simuliert werden kann.

Es seien u und v beliebige nat

�

urliche Zahlen sowie a und b beliebige Terme.

Dann kann der Ausdruck

if u=v then a else b

auf zwei verschiedene Arten interpretiert werden:

1. Strikte Interpretation. Dann besitzt er nur einen Wert, falls sowohl a

als auch b einen Wert besitzen. Der Term d

N

abuv ist eine geeignete Re-

pr

�

asentation in BON.

19

2. Liberale Interpretation. Falls u = v ist, so evaluiert er zu a, unabh

�

angig

davon, ob b de�niert ist; ist andererseits u 6= v, so evaluiert er zu b, un-

abh

�

angig davon, ob a de�niert ist. Nun w

�

ahlen wir eine Variable x, die

weder in a noch in b auftritt, und erhalten durch d

N

(�x:a)(�x:b)uvx eine

geeignete Repr

�

asentation in BON.

2.3 De�nition by Cases auf dem Universum

Manchmal ist es vorteilhaft, nicht nur De�nition by Numerical Cases, son-

dern De�nition by Cases auf dem ganzen Universum zur Verf

�

ugung zu ha-

ben. Um dies zu erreichen, kann man etwa zu L

p

eine neue Konstante d

V

hinzunehmen und BON um folgendes Axiom

(d

V

) (u = v ! d

V

xyuv = x) ^ (u 6= v ! d

V

xyuv = y)

erweitern. Sp

�

ater werden wir sehen, dass BON + (d

V

) konsistent ist. Aller-

dings ist De�nition by Cases auf dem Universum nicht unproblematisch, da

Inkonsistenzen im Zusammenhang mit der Extensionalit

�

at von Operationen

und dem Totalit

�

atsaxiom auftreten.

Unter der Extensionalit

�

at von Operationen verstehen wir die Aussage

(Ext) 8f8g[8x(fx ' gx) ! f = g]:

Wir werden sp

�

ater auch Modelle von BON betrachten, in denen (Ext) g

�

ultig

ist; daher ist BON + (Ext) konsistent. Aus dem folgenden Theorem folgt

aber auch, dass die Modelle von BON + (Ext) De�nition by Cases auf dem

Universum verletzen.

2.3.1 Theorem Die Theorie BON+ (d

V

) + (Ext) ist inkonsistent, d.h.

BON + (d

V

) ` :(Ext):

20

BeweisWir arbeiten informell in BON+(d

V

) und betrachten die folgenden

beiden Terme

a := (�f:k(d

V

10f(�y:0))) und b := rec a:

Aufgrund des Theorems

�

uber �-Abstraktion und des Rekursionstheorems

sind a und b de�niert, und es gilt

bx ' abx ' k(d

V

10b(�y:0))x ' d

V

10b(�y:0):

In anderer Form geschrieben bedeutet dies

bx '

8

<

:

1; falls b = (�y:0);

0; falls b 6= (�y:0):

Aus der ersten Klausel folgt b 6= (�y:0): Daraus erhalten wir 8x(bx = 0)

und somit auch 8x(bx = (�y:0)x): Damit ist :(Ext) bewiesen. �

De�nition by Cases auf dem Universum ist auch nicht vertr

�

aglich mit dem

Totalit

�

atsaxiom. F

�

ur den Beweis dieses Theorems sei auf den

�

Ubungsteil

verwiesen.

2.3.2 Theorem BON+ (d

V

) + (Tot) ist inkonsistent, d.h.

BON+ (d

V

) ` :(Tot):

2.4 Induktionsprinzipien

Die Theorie BON umfasst zwar einige elementare Aussagen

�

uber nat

�

urliche

Zahlen, ist jedoch mathematisch sehr schwach, da vollst

�

andige Induktion

�

uber die nat

�

urlichen Zahlen nicht zur Verf

�

ugung steht. Dieses De�zit soll

nun beseitigt werden.

21

Teilmengen der nat

�

urlichen Zahlen wollen wir in unserem Kontext mit ihren

charakteristischen Funktionen identi�zieren. Entsprechend verstehen wir

unter einer Teilmenge von N eine Operation a, so dass f

�

ur jede nat

�

urli-

che Zahl b entweder ab = 0 oder ab = 1 gilt. Im ersten Fall nennen wir b ein

Element von a. In

�

Ubereinstimmung damit f

�

uhren wir folgende De�nitionen

ein:

Set

N

(a) := (8x 2 N)(ax = 0 _ ax = 1);

a 2 Set

N

:= Set

N

(a);

b " a := ab = 0:

Nun betrachten wir zwei Formen von vollst

�

andiger Induktion, n

�

amlich Men-

geninduktion und Formelinduktion. Auf interessante Zwischenformen k

�

on-

nen wir nicht eingehen.

Mengeninduktion auf N (S-I

N

). F

�

ur alle L

p

-Terme a:

a 2 Set

N

^ 0 " a ^ (8x 2 N)(x " a! x

0

" a) ! (8x 2 N)(x " a):

Formelinduktion auf N (F-I

N

). F

�

ur alle L

p

-Formeln A(x):

A(0) ^ (8x 2 N)(A(x)! A(x

0

)) ! (8x 2 N)A(x):

Mengeninduktion auf N ist selbstverst

�

andlich ein Spezialfall von Formelin-

duktion auf N.

Die Axiome (10) und (11) von BON sind

�

uber

�

ussig, falls (F-I

N

) bezie-

hungsweise eine hinreichend starke Form von vollst

�

andiger Induktion zur

Verf

�

ugung steht. Mengeninduktion (S-I

N

) ist allerdings f

�

ur den Beweis von

Theorem 2.4.1 nicht ausreichend.

22

Es sei BON

�

die Untertheorie von BON, die auf die Axiome (10) und (11)

verzichtet. Dann l

�

asst sich folgendes Theorem zeigen.

2.4.1 Theorem Es gibt einen geschlossenen L

p

-Term prim, in dem die

Konstante r

N

nicht auftritt, so dass man in BON

�

+ (F-I

N

) beweisen kann:

1. (f : N! N) ^ (g : N

3

! N) ! (prim fg : N

2

! N):

2. (f : N! N) ^ (g : N

3

! N) ^ x 2 N ^ y 2 N ^ h = prim fg

! hx0 ' fx ^ hx(y

0

) ' gxy(hxy):

Beweis Wir de�nieren

t := (�hxy:d

N

f(�z:gz(p

N

y)(hz(p

N

y)))0yx und prim := (�fg:rec t)

und arbeiten informell in BON

�

+ ((F-I

N

)). Ist dann h ' prim fg, so folgt

hxy ' rec txy ' t(rec t)xy ' thxy ' d

N

f(�z:gz(p

N

y)(hz(p

N

y)))0yx:

Daraus erhalten wir f

�

ur alle y 2 N, dass

hx0 ' fx und hx(y

0

) ' (�z:gzy(hzy))x ' gxy(hxy):

Nun setzen wir zus

�

atzlich (f : N ! N); (g : N

3

! N) und x 2 N voraus.

Dann folgt mit (F-I

N

) sofort, dass

(8y 2 N)(hxy 2 N):

Dies ergibt (h : N

2

! N), und unsere Behauptungen sind bewiesen. Beachte

dabei aber, dass (S-I

N

) nicht ausreicht, um hxy 2 N f

�

ur alle x 2 N und

y 2 N zu zeigen. �

Aus diesem Theorem ergibt sich sofort, dass jede partielle L

p

-Struktur M,

die ein Modell von BON

�

+(F-I

N

) ist, auch als ein Modell von BON aufgefasst

23

werden kann. Man muss lediglich die Konstante r

N

durch den Wert von prim

in M interpretieren.

Ohne im Moment n

�

aher darauf einzugehen, soll hier nur erw

�

ahnt werden,

dass BON + (S-I

N

) von derselben beweistheoretischen St

�

arke ist wie die

primitiv-rekursive Arithmetik PRA. Dagegen ist die Theorie BON + (F-I

N

)

beweistheoretisch

�

aquivalent zur Peano-Arithmetik PA. Diese Beziehungen

machen deutlich, dass es sich bei BON+ (S-I

N

) und BON+ (F-I

N

) um recht

zentrale applikative Theorien handelt.

2.5 Das rekursionstheoretische Modell PRF

Im folgenden nehmen wir an, dass feg f

�

ur e = 0; 1; 2; : : : eine Indizierung der

partiell-rekursiven Funktionen auf den nat

�

urlichen Zahlen ist, und schreiben

�

PRF

f

�

ur die partielle Funktion von IIN� IIN nach IIN, die f

�

ur alle nat

�

urlichen

Zahlen e und n durch

e �

PRF

n :' feg(n)

de�niert ist. Ausserdem sei h�; �i eine der

�

ublichen primitiv-rekursiven Funk-

tionen zur Bildung von Paaren hm;ni nat

�

urlicher Zahlen. Dann existieren

nat

�

urliche Zahlen

^

k;^s;^p;^p

0

;^p

1

;

^

d

N

;^s

N

und^p

N

, so dass f

�

ur alle nat

�

urlichen

Zahlen e;m; n; p und q folgende Bedingungen erf

�

ullt sind:

(1) ff

^

kg(m)g(n) = m:

(2) ff^sg(m)g(n) 2 IIN und fff

^sg(m)g(n)g(p) ' ffmg(p)g(fng(p)):

(3) ff^pg(m)g(n) = hm;ni und f

^p

0

g(m) 2 IIN und f^p

1

g(m) 2 IIN und

f^p

0

g(hm;ni) = m und f^p

1

g(hm;ni) = n:

(4) ffff

^

d

N

g(m)g(n)g(p)g(p) = m und ffff

^

d

N

g(m)g(n)g(p)g(q) = n;

falls p 6= q:

24

(5) f^s

N

g(m) = m+ 1 und f^p

N

g(m) = m

.

� 1:

Mit PRF bezeichnen wir die partielle L

p

-Struktur, deren Universum jPRFj

durch die Menge IIN der nat

�

urlichen Zahlen gegeben ist und bei der das

Relationssymbol N durch die Menge IIN sowie die 2-stellige Applikation �

durch �

PRF

interpretiert werden; die L

p

-Konstanten k; s; p; : : : werden durch

die oben eingef

�

uhrten nat

�

urlichen Zahlen

^

k;^s;^p; : : : interpretiert.

Mit Hilfe der Eigenschaften (1) � (5) kann man sehr leicht nachrechnen,

dass PRF ein Modell von BON

�

ist. Ausserdem ist in diesem Modell of-

fensichtlich jede Instanz von (F-I

N

) erf

�

ullt.

2.5.1 Theorem PRF ist ein Modell von BON

�

+ (F-I

N

) und damit auch

ein Modell von BON + (F-I

N

).

In PRF gilt auch die Aussage 8xN(x). Daher ist PRF auch ein Modell

von De�nition by Cases auf dem Universum, falls die Konstante d

V

wie die

Konstante d

N

interpretiert wird.

2.6 Das Graphmodell G

Plotkin und Scott haben urspr

�

unglich das sogenannte Graphenmodell P(!)

f

�

ur den ungetypten �-Kalk

�

ul entdeckt; eine

�

ahnliche Konstruktion geht auch

auf Engeler zur

�

uck. Das Modell P(!) wird nun zu einem Modell G von

BON

�

+ (F-I

N

) beziehungsweise BON + (F-I

N

) erweitert. Wir geben hier

nur die zentralen De�nitionsschritte an und verweisen auf die Lehrb

�

ucher

von Barendregt [1], Beeson [2] und Troelstra und van Dalen [20, 21] f

�

ur

zus

�

atzliche Informationen.

25

Um G einzuf

�

uhren, betrachten wir zuerst eine Codierung der endlichen Teil-

mengen von IIN als nat

�

urliche Zahlen. Ist n eine nat

�

urliche Zahl gr

�

osser als

0, so sei Bin(n) die Menge fk

0

; : : : ; k

m

g der eindeutig bestimmten nat

�

urli-

chen Zahlen mit n = 2

k

0

+ : : : + 2

k

m

und k

0

< : : : < k

m

. Schliesslich sei

� die Funktion von IIN in die Menge der endlichen Teilmengen von IIN mit

�(0) := ; und �(n) := Bin(n) f

�

ur n > 0. Dann ist � o�ensichtlich eine Bijek-

tion zwischen IIN und der Menge der endlichen Teilmengen von IIN, so dass

n als Code von �(n) verstanden werden kann. Ausserdem ist �(2

n

) = fng.

Nun zur De�nition von G: Als Universum von G w

�

ahlen wir die Potenzmen-

ge P (IIN) der Menge der nat

�

urlichen Zahlen. Die Applikation in G ist die

Funktion � von P (IIN) � P (IIN) nach IIN, die f

�

ur alle Teilmengen P und Q

von IIN durch

P �Q := fn : 9m(�(m) � Q ^ hm;ni 2 P )g

gegeben ist. Als Interpretation des Relationssymbols N w

�

ahlen wir in G die

Menge ffng : n 2 IINg.

G ist also vollst

�

andig bestimmt, wenn wir noch die Interpretationen der

Konstanten angeben. F

�

ur die Konbinatoren k und s setzen wir

k

G

:= fhm; hn; pii : p 2 �(m)g;

s

G

:= fhm; hn; hp; qiii : 9e[9p

0

(�(p

0

) � �(p) ^ hp

0

; he; qii 2 �(m)) ^

8e

0

2 �(e)9p

0

(�(p

0

) � �(p) ^ hp

0

; e

0

i 2 �(n))]g:

Dann kann man (mit einigem Aufwand) nachrechnen, dass f

�

ur alle Teilmen-

gen M;P und Q von IIN gilt:

(1) (k

G

�M) � P =M:

(2) ((s

G

�M) � P ) �Q = (M �Q) � (P �Q):

26

Um Pairing zu behandeln, interpretieren wir p als Teilmenge p

G

von IIN, so

dass

(p

G

� P ) �Q = f2n : n 2 Pg [ f2n+ 1 : n 2 Qg

f

�

ur alle Teilmengen P und Q von IIN gilt. Dies wird erreicht durch

p

G

:= fh2

n

; h0; 2nii : n 2 IINg [ fh0; h2

n

; 2n+ 1ii : n 2 IINg:

Ausserdem sei

p

G

0

:= fh2

2n

; ni : n 2 IINg und p

G

1

:= fh2

2n+1

; ni : n 2 IINg:

Damit gilt f

�

ur alle Teilmengen P und Q von IIN

(3) p

G

0

� ((p

G

� P ) �Q) = P und p

G

1

� ((p

G

� P ) �Q) = Q.

Entsprechend der Interpretation von N setzen wir 0

G

:= f0g sowie

s

G

N

:= fh2

n

; n+ 1i : n 2 IINg und p

G

N

:= �fh2

n

; n

.

� 1i : n 2 IINg:

Daraus folgt f

�

ur alle nat

�

urlichen Zahlen n, dass

(4) s

G

N

� fng = fn+ 1g und p

G

N

� fn+ 1g = fng.

Schliesslich bleibt noch die Konstante d

G

N

f

�

ur De�nition by Numerical Cases,

d

G

N

:= fhp; hq; h2

m

; h2

n

; eiiii : (m = n ^ e 2 �(p)) _ (m 6= n ^ e 2 �(q))g

Durch Nachrechnen erhalten wir dann f

�

ur alle Teilmengen P und Q von IIN

und alle nat

�

urlichen Zahlen m und n:

(5) m = n ! (((d

G

N

� P ) �Q) � fmg) � fng = P .

(6) m 6= n ! (((d

G

N

� P ) �Q) � fmg) � fng = Q.

27

Aus den Eigenschaften (1)� (6) folgt, dass G ein Modell von BON

�

ist. Tri-

vialerweise erf

�

ullt G ausserdem (F-I

N

) und (Tot). Aufgrund fr

�

uherer

�

Uber-

legungen kann G daher durch eine geeignete Interpretation der Konstanten

r

N

zu einem Modell von BON erweitert werden, und wir haben folgendes

Theorem gezeigt.

2.6.1 Theorem G ist ein Modell von BON+ (Tot) + (F-I

N

).

2.7 Die Termmodelle CNT und CT T

Bei der De�nition von Termmodellen spielen Termreduktionen eine zentrale

Rolle. Daher f

�

uhren wir die in diesem Zusammenhang wichtigen Begri�e

kurz ein.

2.7.1 De�nition F

�

ur jede nat

�

urliche Zahl n de�nieren wir das Numeral n

induktiv durch

0 := 0 und n+1 := n

0

:

O�ensichtlich ist jedes Numeral ein L

p

-Term. Die Numerale werden selbst-

verst

�

andlich sp

�

ater daf

�

ur verwendet werden, um die nat

�

urlichen Zahlen zu

codieren.

2.7.2 De�nition

1. conv ist eine 2-stellige Relation zwischen L

p

-Termen. Es gilt s conv t

genau dann, wenn es L

p

-Terme a; b und c sowie voneinander verschiedene

nat

�

urliche Zahlen m und n gibt, so dass einer der folgenden F

�

alle eintritt:

28

(1) s � kab; t � a;

(2) s � sabc; t � (ac)(bc);

(3) s � p

0

(a; b); t � a;

(4) s � p

1

(a; b); t � b;

(5) s � p

N

0; t � 0;

(6) s � p

N

(a

0

); t � a;

(7) s � d

N

abmm; t � a;

(8) s � d

N

abmn; t � b;

(9) s � r

N

abc0; t � a0;

(10) s � r

N

abcn+1; t � bcn(r

N

abcn):

Dann bezeichnen wir s als einen Redex und t als das Kontraktum von s.

2. B ist die 2-stellige Relation zwischen L

p

-Termen, die f

�

ur alle L

p

-Terme

a; b und c induktiv erzeugt wird durch:

(1) a B a;

(2) a conv b =) a B b;

(3) a B b =) ac B bc;

(4) a B b =) ca B cb;

(5) a B b und b B c =) a B c.

Gilt a B b, so sagen wir, dass der Term a auf den Term b reduziert.

3. Wir schreiben a B

1

b, wenn b aus a durch Kontraktion eines einzelnen

Redex entsteht. Das bedeutet, dass B der re exive und transitive Ab-

schluss von B

1

ist.

4. Wir scheiben a � b, wenn es eine endliche Folge von L

p

-Termen c

0

; : : : ; c

n

gibt, so dass c

0

� a und c

n

� b ist und ausserdem f

�

ur alle i mit 0 � i < n

entweder t

i

B

1

t

i+1

oder t

i+1

B

1

t

i

gilt.

5. Eine Reduktionsfolge ist eine endliche oder unendliche Folge von L

p

-

Termen t

0

; t

1

; t

2

; : : :, so dass t

0

B

1

t

1

B

1

t

2

B

1

: : : gilt.

29

6. Ein L

p

-Term heisst normal, falls er keinen Redex enth

�

alt.

7. t heisst Normalform von s, falls t normal ist und s B t gilt.

2.7.3 Theorem (Church-Rosser-Theorem) Sind a; b und c L

p

-Terme

mit a B b und a B c, so existiert ein L

p

-Term t mit b B t und c B t.

Wir verzichten hier auf einen Beweis dieses Theorems und verweisen auf

die einschl

�

agige Literatur. Im folgenden Theorem sind einige wichtige Fol-

gerungen des Church-Rosser-Theorems zusammengefasst, deren Beweis wir

ebenfalls

�

ubergehen.

2.7.4 Theorem

1. Jeder L

p

-Term hat h

�

ochstens eine Normalform.

2. Sind a und b L

p

-Terme mit a � b, so gibt es einen L

p

-Term c mit a B c

und b B c.

3. Sind a und b L

p

-Terme mit a � b und ist b normal, so gilt a B b.

4. Sind a und b L

p

-Terme mit a � b, so besitzen a und b keine Normalform

oder dieselbe Normalform.

2.7.5 Beispiel

1. Jedes Numeral n ist ein normaler L

p

-Term.

2. Der L

p

-Term ! := (�x:xx) ist normal. Dagegen besitzt der L

p

-Term !!

keine Normalform.

3. k!(!!) hat die Normalform !. Es gibt aber auch unendliche Reduk-

tionsfolgen, die mit k!(!!) beginnen.

30

Eine erste Idee zum Aufbau eines Termmodells von BON besteht darin, nur

mit den normalen L

p

-Termen zu arbeiten und darauf eine 2-stellige partielle

Applikation zu de�nieren, indem wir

a � b := Normalform von ab

f

�

ur alle normalen Terme a und b setzen. Dies ergibt jedoch Probleme im

Zusammenhang mit Striktheit. Es gilt ((s � k) � !) � ! = !, so dass wir

aufgrund des Axioms (2) von BON auch (k � !) � (! � !) = ! erhalten

sollten. Mit Striktheit w

�

urde daraus folgen, dass ! � ! einen Wert besitzt.

Da ! � ! keine Normalform hat, ist dies ein Widerspruch.

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, behandeln wir die Applikation etwas

restriktiver. Wir begn

�

ugen uns nicht damit, dass eine Reduktionsfolge zu

einem normalen Term f

�

uhrt, sondern betrachten s

�

amtliche Reduktionsfol-

gen.

2.7.6 De�nition

1. Eine Reduktionsfolge heisst maximal, falls sie unendlich ist oder mit ei-

nem normalen Term endet.

2. Ein L

p

-Term t heisst starke Normalform eines L

p

-Terms s, falls jede

maximale Reduktionsfolge, die mit s beginnt, mit t endet.

Hat ein L

p

-Term eine starke Normalform t, so ist t die Normalform von

s. Es gibt aber L

p

-Terme, die zwar eine Normalform, aber keine starke

Normalform besitzen. Ein Beispiel daf

�

ur ist der Term k!(!!).

Mit snf bezeichnen wir nun die partielle Funktion von den L

p

-Termen in

die L

p

-Terme, die jedem a seine starke Normalform zuordnet, falls a eine

starke Normalform besitzt, und andernfalls unde�niert ist;

snf(a) :' starke Normalform von a:

31

Nun f

�

uhren wir zwei Termmodelle ein: Das Modell CNT , das auf den ge-

schlossenen Termen in Normalform basiert, und das Modell CT T , das auf

allen geschlossenen Termen aufbaut.

2.7.7 De�nition Die partielle L

p

-Struktur CNT ist durch folgende Be-

dingungen bestimmt:

(CNT .1) Das Universum jCNT j von CNT umfasst genau die geschlossenen

L

p

-Terme in Normalform.

(CNT .2) Das Relationssymbol N wird in CNT durch die Menge der Nu-

merale interpretiert, d.h.

N

CNT

:= fn : n 2 IINg:

(CNT .3) Jede Konstante von L

p

wird in CNT durch sich selbst interpre-

tiert.

(CNT .4) Das 2-stellige Funktionssymbol � f

�

ur Termanwendung wird in

CNT durch die partielle Funktion �

CNT

von jCNT j � jCNT j nach

jCNT j interpretiert, die f

�

ur alle a und b aus jCNT j de�niert ist durch

a �

CNT

b :' snf(ab):

Nun l

�

asst sich ohne grosse M

�

uhe nachrechnen, dass CNT ein Modell von

BON ist. Aufgrund der Interpretation des Relationssymbols N durch die

Menge der Numerale ist auch klar, dass Formelinduktion (F-I

N

) in CNT

g

�

ultig ist.

2.7.8 Theorem CNT ist ein Modell von BON+ (F-I

N

).

32

Es ist aber auch leicht zu sehen, dass Totalit

�

at (Tot) in CNT verletzt ist.

Im folgenden betrachten wir nun

�

Aquivalenzklassen von geschlossenen L

p

-

Termen, um ein Modell von BON + (Tot) zu de�nieren. Der Beweis des

folgenden Lemmas ist trivial.

2.7.9 Lemma

1. Die Relation � zwischen L

p

-Termen ist eine

�

Aquivalenzrelation.

2. Sind a; b; s und t L

p

-Terme mit a � b und s � t, so gilt auch as � bt.

Wir schreiben [a]

�

f

�

ur die

�

Aquivalenzklasse des L

p

-Terms a bez

�

uglich der

�

Aquivalenzrelation � und ben

�

utzen diese

�

Aquivalenzklassen als Grundob-

jekte des Modells CT T .

2.7.10 De�nition Die (partielle) L

p

-Struktur CT T ist durch folgende Be-

dingungen bestimmt:

(CT T .1) Das Universum jCT T j von CT T umfasst genau die

�

Aquivalenz-

klassen [a]

�

der geschlossenen L

p

-Terme a.

(CT T .2) Das Relationssymbol N wird in CT T durch die Menge der

�

Aqui-

valenzklassen der Numerale interpretiert, d.h.

N

CT T

:= f[n]

�

: n 2 IINg:

(CT T .3) Jede Konstante von L

p

wird in CT T durch ihre

�

Aquivalenzklasse

bez

�

uglich � interpretiert.

(CT T .4) Das 2-stellige Funktionssymbol � f

�

ur Termanwendung wird in

CT T durch die Funktion �

CT T

von jCT T j � jCT T j nach jCT T j in-

terpretiert, die f

�

ur alle [a]

�

und [b]

�

aus jCT T j de�niert ist durch

[a]

�

�

CT T

[b]

�

:= [ab]

�

:

33

Aufgrund des vorhergehenden Lemmas ist die Funktion �

CT T

wohlde�niert.

Ausserdem folgt sofort, dass jeder geschlossene Term a in CT T den Wert

[a]

�

besitzt.

Die Axiome von BON sowie Formelinduktion (F-I

N

) lassen sich in CT T

leicht veri�zieren. Dazu kommt, dass CT T trivialerweise ein Modell von

(Tot) ist.

2.7.11 Theorem CT T ist ein Modell von BON + (Tot) + (F-I

N

).

2.8 Eine allgemeine Modellkonstruktion

In diesem Abschnitt beschreiben wir eine recht allgemeine Methode, um

Modelle von BON+(d

V

)+ (F-I

N

) zu erzeugen. Zur m

�

oglichst durchsichtigen

Beschreibung dieser Konstruktion arbeiten wir mit monotonen Operatoren.

2.8.1 De�nition Gegeben seien eine nichtleere MengeM und eine nat

�

urli-

che Zahl n > 0.

1. Die Abbildungen von P (M

n

) nach P (M

n

) bezeichnen wir als n-stellige

Operatoren auf M .

2. Einen n-stelligen Operator � aufM bezeichnen wir als monoton, falls f

�

ur

alle Teilmengen X und Y von M

n

gilt:

X � Y =) �(X) � �(Y ):

3. Ist � ein n-stelliger Operator auf M , so heisst eine Teilmenge X von M

n

abgeschlossen unter �, falls �(X) � X gilt.

34


n

Fixpunkt von �, falls �(X) = X gilt.


n

kleinster Fixpunkt von �, falls X ein Fixpunkt von � ist und X � Y f

�

ur

jeden Fixpunkt Y von � gilt.

Monotone Operatoren besitzen die folgende wichtige Fixpunkteigenschaft.

Wir

�

ubergehen aber den Beweis dieses bekannten Theorems und verweisen

auf die einschl

�

agige Literatur.

2.8.2 Theorem Gegeben seien eine nichtleere Menge M und eine nat

�

urli-

che Zahl n > 0. Dann besitzt jeder n-stellige monotone Operator � auf M

einen kleinsten Fixpunkt.

Im folgenden bezeichnen wir den kleinsten Fixpunkt eines monotonen Ope-

rators � mit lfp(�). Diesen kleinsten Fixpunkt kann man auch durch Re-

kursion

�

uber die Ordinalzahlen de�nieren. Ist � ein n-stelliger monotoner

Operator auf der Menge M und � eine Ordinalzahl, so setzen wir

�

�

:= �(

[

�<�

�

�

):

Aufgrund der Monotonie von � erhalten wir sofort �

�

� �

�

f

�

ur alle Ordi-

nalzahlen � und � mit � � �. Ausserdem gilt

lfp(�) =

[

�2On

�

�

=

\

fX � M

n

: �(X) � Xg =

\

fX �M

n

: �(X) = Xg:

Ausgangspunkt f

�

ur eine sehr allgemeine Konstruktion von Modellen der

Theorie BON + (d

V

) + (F-I

N

) bilden 5-Tupel K = (M;�; �

0

; �

1

;F) mit fol-

genden Eigenschaften:

35

(1) M ist eine unendliche Menge.

(2) � ist eine Abbildung vonM

2

nachM und �

0

sowie �

1

sind Abbildungen

von M nach M , so dass �

0

(�(m;n)) = m und �

1

(�(m;n)) = n f

�

ur alle

m;n 2M gilt.

(3) F ist eine Menge partieller Funktionen von M nach M mit card(F) �

card(M).

Nun w

�

ahlen wir zuerst f

�

ur jedes � 2 IIN [ F ein Element �

�

aus M , so dass

dadurch die Menge IIN [ F injektiv in M abgebildet wird. Dann setzen wir

^

k := �(�

0

; �

0

);^s := �(�

0

; �

1

);^p := �(�

0

; �

2

);

^p

0

:= �(�

0

; �

3

);^p

1

:= �(�

0

; �

4

);

^

0 := �

0

;

^s

N

:= �(�

0

; �

5

);^p

N

:= �(�

0

; �

6

);

^

d

N

:= �(�

0

; �

7

);

^

d

V

:= �(�

0

; �

8

); und

^

f := �(�

0

; �

f

) f

�

ur jedes f 2 F :

Im n

�

achsten Schritt f

�

uhren wir den 3-stelligen Operator � auf M ein, der

dadurch de�niert ist, dass �(X) f

�

ur jede Teilmenge X von M

3

aus allen

(e;m; n) 2M

3

besteht, die eine der folgenden Bedingungen erf

�

ullen:

(1) e =

^

k ^ n = �(�

1

; m);

(2) e = �(�

1

; n);

(3) e =^s ^ n = �(�

2

; m);

(4) (9x 2M)[e = �(�

2

; x) ^ n = �(�

3

; �(x;m))];

(5) (9x

0

; x

1

; y

0

; y

1

2 M)[e = �(�

3

; �(x

0

; y

0

)) ^ (x

0

; m; x

1

) 2 X ^

(y

0

; m; y

1

) 2 X ^ (x

1

; y

1

; n) 2 X];

(6) e =^p ^ n = �(�

4

; m);

(7) (9x 2M)[e = �(�

4

; x) ^ n = �(x;m)];

(8a) e =^p

0

^ (9x; y 2M)[m = �(x; y)] ^ n = �

0

m;

36

(8b) e =^p

0

^ (8x; y 2M)[m 6= �(x; y)] ^ n = �

0

;

(9a) e =^p

1

^ (9x; y 2M)[m = �(x; y)] ^ n = �

1

m;

(9b) e =^p

1

^ (8x; y 2M)[m 6= �(x; y)] ^ n = �

0

;

(10) e =^s

N

^ (9i 2 IIN)[m = �

i

^ n = �

i+1

];

(11) e =^p

N

^ (9i 2 IIN)[m = �

i+1

^ n = �

i

];

(12) e =

^

d

N

^ n = �(�

5

; m);

(13) (9x 2M)[e = �(�

5

; x) ^ n = �(�

6

; �(x;m))];

(14) (9x; y 2M)[e = �(�

6

; �(x; y)) ^ n = �(�

7

; �(�(x; y); m))];

(15a) (9x; y 2M)(9i; j 2 IIN)[e = �(�

7

; �(�(x; y); �

i

)) ^m = �

j

^

i = j ^ n = x];

(15b) (9x; y 2M)(9i; j 2 IIN)[e = �(�

7

; �(�(x; y); �

i

)) ^m = �

j

^

i 6= j ^ n = y];

(16) e =

^

d

V

^ n = �(�

8

; m);

(17) (9x 2M)[e = �(�

8

; x) ^ n = �(�

9

; �(x;m))];

(18) (9x; y 2M)[e = �(�

9

; �(x; y)) ^ n = �(�

10

; �(�(x; y); m))];

(19a) (9x; y; z

0

; z

1

2M)[e = �(�

10

; �(�(x; y); z

0

)) ^m = z

1

^

z

0

= z

1

^ n = x];

(19b) (9x; y; z

0

; z

1

2M)[e = �(�

10

; �(�(x; y); z

0

)) ^m = z

1

^

z

0

6= z

1

^ n = y];

(20) (9f 2 F)[e =

^

f ^ n ' f(m)]:

O�ensichtlich ist � ein monotoner Operator auf M und besitzt also einen

kleinsten Fixpunkt lfp(�). Beispielsweise durch Induktion nach � kann man

ausserdem leicht zeigen, dass f

�

ur alle e;m; n

0

und n

1

aus M gilt:

(e;m; n

0

) 2 �

�

und (e;m; n

1

) 2 �

�

=) n

0

= n

1

:

37

Daher ist lfp(�) =

S

�2On

�

�

funktional im dritten Argument. Das bedeutet,

dass wir durch die De�nition

e �

K

m ' n :() (e;m; n) 2 lfp(�)

f

�

ur alle e;m und n aus M eine partielle Funktion �

K

von M �M nach M

erhalten. In der Regel ist �

K

keine totale Funktion von M �M nach M .

Die von unserem 5-Tupel K = (M;�; �

0

; �

1

;F) erzeugte partielle L

p

-Struk-

tur Gen(K) hat als Universum jGen(K)j die Menge M . Die Interpretation

des Relationssymbols N ist die Menge f�

i

: i 2 IINg, und die Konstanten

k; s; p; : : : werden durch die oben eingef

�

uhrten Codes

^

k;^s;^p; : : : interpretiert.

Die Termanwendung � wird in Gen(K) im Sinne der partiellen Funktion �

K

behandelt.

Aufgrund der Bedingungen (1)�(20) in der De�nition des Operators � kann

man zeigen, dass Gen(K) ein Modell von BON

�

+ (d

V

) + (F-I

N

) ist. Durch

geeignete Interpretation der Konstanten r

N

(vgl. Theorem 2.4.1) wird also

Gen(K) auch zu einem Modell von BON.

2.8.3 Theorem Gen(K) ist ein Modell von BON+ (d

V

) + (F-I

N

).

Dazu kommt, dass in Gen(K) jede partielle Funktion f aus F durch das

Element

^

f aus M repr

�

asentiert wird. F

�

ur alle m und n aus M gilt n

�

amlich

f(m) ' n genau dann, wenn

^

f �

K

m ' n.

2.9 Mengentheoretische Modelle

In diesem Abschnitt machen wir von den vorhergehenden

�

Uberlegungen

Gebrauch, um zu zeigen, dass jeder Abschnitt V

�

der kumulativen Hierarchie

38

mit einer Limeszahl � zu einem Modell von BON + (d

V

) + (F-I

N

) gemacht

werden kann. Zur Wiederholung, die kumulative Hierarchie (V

�

: � 2 On)

wird durch trans�nite Induktion

�

uber die Ordinalzahlen de�niert:

V

0

:= ; und V

�

:=

[

�<�

P (V

�

) f

�

ur � > 0:

Nun w

�

ahlen wir eine beliebige Limeszahl � und betrachten die Menge V

�

.

Ausserdem sei Fun(V

�

) die Menge aller Funktionen im mengentheoretischen

Sinn, die Elemente von V

�

sind. Schliesslich sei � die

�

ubliche Paarfunktion

von V

�

� V

�

nach V

�

mit �(m;n) = ffmg; fm;ngg, und �

0

sowie �

1

seien

Funktionen von V

�

nach V

�

mit �

0

(�(m;n)) = m und �

1

(�(m;n)) = n f

�

ur

alle m und n aus V

�

.

Dann kann das 5-Tupel

K = (V

�

; �; �

0

; �

1

;Fun(V

�

))

aufgrund der

�

Uberlegungen des vorhergehenden Abschnittes zu einem Mo-

dell Gen(K) von BON+(d

V

)+(F-I

N

) erweitert werden. Dabei kann man die

Einbettung � von IIN[ Fun(V

�

) in V

�

so w

�

ahlen, dass �

i

f

�

ur jede nat

�

urliche

Zahl i die Ordinalzahl i ist.

39

Kapitel 3

Explizite Mathematik

In diesem Kapitel f

�

ugen wir zu unseren applikativen Theorien eine sehr e-

xible Typenstruktur hinzu und erh

�

ohen dadurch ihre Ausdrucksst

�

arke und

ihren Anwendungsbereich betr

�

achtlich. Die so erhaltenen Systeme werden

h

�

au�g als Systeme expliziter Mathematik bezeichnet.

Explizite Mathematik wurde von Feferman vor allem in den beiden zentralen

Arbeiten [5, 6] eingef

�

uhrt, in denen er auch wesentliche syntaktische und se-

mantische Eigenschaften expliziter Mathematik behandelte. Hier verfolgen

wir einen geringf

�

ugig anderen Ansatz und entwickeln explizite Mathematik

basierend auf Typen und Namen; vgl. dazu [8, 14].

Unser Formalismus unterscheidet zwischen Individuen (Operationen) und

Kollektionen von Individuen, die wir als Typen bezeichnen. Dazu kommt,

dass jeder Typ Individuen als Namen besitzt und Typen mittels ihrer Namen

angesprochen werden k

�

onnen.

40

3.1 Die Theorie EET

Wir beginnen mit der Theorie EET der elementaren expliziten Typen. Sie

wird in der Sprache L

p

zweiter Stufe formuliert, die die Sprache L

p

um

folgende Grundzeichen erweitert:

1. Abz

�

ahlbar unendlich viele Typenvariablen V 0; V 1; : : : ; V i; : : : (i 2 IIN).

2. Die zweistelligen Relationssymbole 2 f

�

ur die Elementbeziehung und <

f

�

ur die Namensbeziehung.

3. F

�

ur jede nat

�

urliche Zahl e eine Individuenkonstante c

e

.

Die Variablen von L

p

bezeichnen wir von nun an als Individuenvariablen.

Die L

p

-Individuenterme werden analog zu den L

p

-Termen de�niert, selbst-

verst

�

andlich unter Einbeziehung der Konstanten c

e

f

�

ur alle nat

�

urlichen Zah-

len e. Die Typenterme von L

p

sind die Typenvariablen.

Die Atomformeln von L

p

sind alle Ausdr

�

ucke der Form a#; (a = b);N(a);

(a 2 X); (X = Y ) und <(a;X), wobei a sowie b Individuenterme und

X sowie Y Typenvariablen von L

p

sind. Davon ausgehend werden die L

p

-

Formeln wie folgt generiert:

1. Jede Atomformel von L

p

ist eine L

p

-Formel.

2. Ist A eine L

p

-Formel, so ist :A eine L

p

-Formel.

3. Sind A und B L

p

-Formeln, so ist (A _B) eine L

p

-Formel.

4. Ist A eine L

p

-Formel und sind x beziehungsweise X Individuen- bezie-

hungsweise Typenvariablen von L

p

, so sind 9xA und 9XA L

p

-Formeln.

Wie fr

�

uher lassen wir h

�

au�g Klammern fort, wenn dadurch keine Unklar-

heiten entstehen. (A ^ B); (A ! B); (A $ B) und 8xA werden de�niert

41

wie vorher; ausserdem sei 8XA := :9X:A; (9x2V )A := 9x(x2V ^ A)

und (8x2V )A := 8x(x2V ! A). Ist schliesslich ~a = a

0

; : : : ; a

n

und

~

X =

X

0

; : : : ; X

n

, so setzen wir <(~a;

~

X) := <(a

0

; X

0

) ^ : : : ^ <(a

n

; X

n

).

Mitteilungszeichen (auch mit Indizes)

u; v; w; x; y; z; f; g; h f

�

ur Individuenvariablen von L

p

;

a; b; c; r; s; t f

�

ur Individuenterme von L

p

;

U; V;W;X; Y; Z f

�

ur Typenvariablen von L

p

;

A;B;C;D;E; F f

�

ur Formeln von L

p

.

Eine L

p

-Formel heisst strati�ziert, falls in ihr das Relationssymbol < nicht

auftritt. Die strati�zierten L

p

-Formeln, in denen keine gebundenen Typen-

variablen vorkommen, bezeichnen wir als elementare L

p

-Formeln.

Die Formel <(a;X) besagt, dass der Individuenterm a den Typ X repr

�

asen-

tiert. H

�

au�g sprechen wir in diesem Falle auch davon, dass a ein Name von

X ist. Die folgenden Axiome

�

uber explizite Repr

�

asentation und Extensio-

nalit

�

at formalisieren, dass jeder Typ einen Namen besitzt und Typen exten-

sional sind. Die Repr

�

asentation von Typen durch ihre Namen ist dagegen

intensional.

Explizite Repr

�

asentation und Extensionalit

�

at

(E.1) 9x<(x;X).

(E.2) <(a;X) ^ <(a; Y ) ! X = Y .

(E.3) 8z(z 2 X $ z 2 Y ) ! X = Y .

In den folgenden Axiomen

�

uber elementare Komprehension spielen die Kon-

stanten c

e

eine ausgezeichnete Rolle. Sie dienen dazu, um die durch ele-

mentare Komprehension gebildeten Typen uniform in ihren Parametern zu

repr

�

asentieren.

42

Im Zusammenhang mit dem Namensgebungsprozess bei elementarer Kom-

prehension ist es bequem, von folgenden Konventionen auszugehen:

1. Es ist eine beliebige aber feste G

�

odelisierung der L

p

-Formeln gegeben.

2. Ausserdem seien beliebige aber feste Aufz

�

ahlungen v0; v1; v2; : : : und

V 0; V 1; V 2; : : : der Individuen- und Typenvariablen von L

p

gegeben. Ist

A eine L

p

-Formel, in der keine anderen Individuenvariablen als v0; : : : ; vm

und keine anderen Typenvariablen als V 0; : : : ; Vn frei auftreten und ist

~a = a

0

; : : : ; a

m

sowie

~

X = X

0

; : : : ; X

n

, so schreiben wir A[~a;

~

X] f

�

ur die

L

p

-Formel, die wir aus A erhalten, indem wir simultan vi durch a

i

und

Vj durch X

j

ersetzen (0 � i � m; 0 � j � n).

Die folgenden Axiome

�

uber elementare Komprehension h

�

angen von der gege-

benen G

�

odelisierung und der Aufz

�

ahlungen der Variablen ab. Dies bedeutet

jedoch keine echte Einschr

�

ankung.

Elementare Komprehension Es sei A[x; ~y;

~

Z] eine elementare L

p

-For-

mel mit G

�

odelnummer e. Dann haben wir als Axiome:

(ECA.1) 9X8x(x 2 X $ A[x; ~u;

~

V ]).

(ECA.2) <(~v;

~

V ) ^ 8x(x 2 X $ A[x; ~u;

~

V ]) ! <(c

e

(~u;~v); X).

Daher werden Namen f

�

ur Typen, die durch elementare Komprehension ge-

bildet werden, mit Hilfe der Konstanten c

e

konstruiert. Diese Namensgebung

ist uniform in den Individuen- und Typenparametern der de�nierenden For-

mel.

Die Theorie EET der expliziten elementaren Typen ist formuliert in der

Sprache L

p

. Die logischen Axiome von EET umfassen die Axiome der Logik

der partiellen Terme f

�

ur Individuen, wobei die Striktheitsaxiome erg

�

anzt

werden durch

43

(i) a 2 X ! a#,

(ii) <(a;X) ! a#

f

�

ur alle L

p

-Terme a und alle Typenvariablen X. F

�

ur die Typen hat man die

Axiome der klassischen Logik. Ausserdem stehen die Gleichheitsaxiome f

�

ur

Individuen und Typen zur Verf

�

ugung. Die nichtlogischen Axiome von EET

umfassen alle Axiome von BON formuliert f

�

ur die Sprache L

p

, die Axiome

(E.1) � (E.3)

�

uber explizite Repr

�

asentation und Extensionalit

�

at sowie die

Axiome (ECA.1) und (ECA.2)

�

uber elementare Komprehension.

Ist A[x; ~y;

~


p

-Formel, so schreiben wir h

�

au�g etwas in-

formell fx : A[x; ~u;

~

V ]g f

�

ur den durch elementare Komprehension gebildeten

Typ X, der genau die Individuen x mit der Eigenschaft A[x; ~u;

~

V ] enth

�

alt.

In diesem Sinne lassen wir auch Ausdr

�

ucke der Form fx : A[x; ~u;

~

V ]g als

Typenterme zu; b 2 fx : A[x; ~u;

~

V ]g steht dann f

�

ur A[b; ~u;

~

V ].

3.1.1 Bemerkung Auf Grundlage dieser liberalisierten Schreibweise lassen

sich in EET folgende Typen durch elementare Komprehension einf

�

uhren:

; := fx : x 6= xg;

V := fx : x = xg;

fa

1

; : : : ; a

n

g := fx : x = a

1

_ : : : _ x = a

n

g:

Uniform in den Typentermen S und T k

�

onnen in EET ebenfalls folgende

Typenterme durch elementare Komprehension eingef

�

uhrt werden:

S n T := fx : x 2 S ^ x =2 Tg;

S [ T := fx : x 2 S _ x 2 Tg;

S \ T := fx : x 2 S ^ x 2 Tg;

S � T := fx : x = (p

0

x; p

1

x) ^ p

0

x 2 S ^ p

1

x 2 Tg;

44

S + T := fx : (x = (0; p

1

x) ^ p

1

x 2 S) _ (x = (1; p

1

x) ^ p

1

x 2 T )g;

(S ! T ) := ff : (8x 2 S)(fx 2 T )g:

3.2 Ontologische

�

Uberlegungen

In diesem Abschnitt wollen wir einige ontologische Eigenschaften von EET

im Zusammenhang mit Komprehension, Namensgebung und Extensiona-

lit

�

at zusammenstellen. Dadurch soll auf einige Besonderheiten des Namens-

pr

�

adikates hingewiesen werden. F

�

ur neuere Ergebnisse in diesem Zusam-

menhang sei auf [3, 13, 15] verwiesen.

3.2.1 Theorem EET+ volle Komprehension, d.h.

9X8x(x 2 X $ A(x))

f

�

ur beliebige L

p

-Formeln A(x), ist inkonsistent.

Beweis Wir zeigen, dass mit voller Komprehension das

�

ubliche Russel-

Argument

�

ubernommen werden kann. Steht volle Komprehension zur Ver-

f

�

ugung, so gibt es einen Typ S mit

a 2 S $ 9X(<(a;X) ^ a =2 X)

f

�

ur alle Individuenterme a. Aufgrund der Axiome

�

uber explizite Repr

�

asenta-

tion besitzt dieser Typ einen Namen s. Dann gilt <(s; S), und wir erhalten

s 2 S $ 9X(<(s;X) ^ s =2 X) $ s =2 S:

Dies ist ein Widerspruch, so dass damit die Inkonsistenz von EET mit voller

Komprehension gezeigt ist. �

45

3.2.2 Theorem Die Namen eines Typs bilden in EET beweisbar keinen

Typ, d.h.

EET ` :9Y 8x(x 2 Y $ <(x;X)):

Beweis Wir arbeiten informell in EET und w

�

ahlen zuerst zum gegebenen

Typ X einen Namen a. Ausserdem sieht man sofort, dass in Abh

�

angigkeit

von einem Individuum u und Typen V und W mit elementarer Kompre-

hension der Typ

fx : (x =2 V ^ u =2 W ) _ (x 2 V ^ u 2 W )g

gebildet werden kann. Aufgrund der Uniformit

�

at der elementaren Kompre-

hension gibt es sogar einen Individuenterm s mit

<(v; V )^<(w;W )! <(s(v; w); fx : (x =2 V ^w =2 W )_(x 2 V ^w 2 W )g):

F

�

ur t := �y:s(a; y) folgt daraus

<(w;W ) ! <(tw; fx : (x =2 X ^ w =2 W ) _ (x 2 X ^ w 2 W )g): (1)

Nun nehmen wir an, dass die Namen von X einen Typ bilden. Dann gibt

es einen Typ Y mit

x 2 Y $ <(x;X)

f

�

ur alle x. Mit elementarer Komprehension k

�

onnen wir dann einen Typ

R := fx : tx =2 Y g einf

�

uhren. Folglich gilt

x =2 R $ <(tx;X) (2)

f

�

ur alle x. Ausserdem sei r ein Name von R. Aus (1) folgt dann sofort

<(tr; fx : (x =2 X ^ r =2 R) _ (x 2 X ^ r 2 R)g): (3)

Nun verwenden wir (2) spezialisiert auf x = r und (3), um die

�

Aquivalenz

r =2 R $ X = fx : (x =2 X ^ r =2 R) _ (x 2 X ^ r 2 R)g

abzuleiten. Daraus folgt, dass r =2 R zu r 2 R

�

aquivalent ist. Dies ist ein

Widerspruch, und daher muss unsere Annahme falsch sein. �

46

3.2.3 Folgerung Jeder Typ besitzt in EET unendlich viele Namen.

Beweis Wenn es einen Typ X mit nur endlich vielen Namen g

�

abe, so w

�

are

dies ein Widerspruch zum vorhergehenden Theorem, da die Zusammenfas-

sung von endlich vielen Individuen in EET einen Typ bildet. �

3.2.4 De�nition F

�

ur alle L

p

-Individuenterme a und b setzen wir

a

:

2 b := 9X(<(b;X) ^ a 2 X);

a

:

= b := 9X(<(a;X) ^ <(b;X)):

3.2.5 Bemerkung In EET gilt f

�

ur alle L

p

-Individuenterme a und b

a

:

= b () 9X<(a;X) ^ 9Y <(b; Y ) ^ 8x(x

:

2 a$ x

:

2 b):

3.2.6 Theorem Extensionalit

�

at f

�

ur Namen von Typen, d.h. die Aussage

8x8y(x

:

= y ! x = y);

ist inkonsistent mit EET.

BeweisWir arbeiten informell in EET und w

�

ahlen einen beliebigen Typ X.

Aufgrund der vorherigen Folgerung gibt es dann zwei verschiedene Namen

a und b von X. Daher gilt a

:

= b und a 6= b. �

3.3 Formen der Induktion in der expliziten Mathe-

matik

In der expliziten Mathematik unterscheidet man zwischen drei Hauptfor-

men von vollst

�

andiger Induktion: Mengeninduktion, Typeninduktion und

47

Formelinduktion. Daneben gibt es noch weitere Zwischenformen, die wir

hier aber nicht betrachten.

Mengeninduktion (S-I

N

).

a 2 Set

N

^ 0 " a ^ (8x 2 N)(x " a! x

0

" a) ! (8x 2 N)(x " a):

Typeninduktion (T-I

N

).

0 2 X ^ (8x 2 N)(x 2 X ! x

0

2 X) ! (8x 2 N)(x 2 X):

Formelinduktion (F-I

N

). F

�

ur alle L

p

-Formeln A(x):

A(0) ^ (8x 2 N)(A(x)! A(x

0

)) ! (8x 2 N)(A(x)):

Ohne auf die n

�

aheren Einzelheiten einzugehen, soll hier nur festgehalten

werden, dass die Theorien EET+ (S-I

N

);EET+ (T-I

N

) und EET + (F-I

N

) in

engem Zusammenhang zur primitiv-rekursiven Arithmetik PRA, zur Peano-

Arithmetik PA und zum System (�

0

1

-CA) der Arithmetik zweiter Stufe mit

arithmetischer Komprehension stehen.

3.3.1 Theorem

1. Die Theorien EET+(S-I

N

);BON+(S-I

N

) und PRA sind beweistheoretisch

�

aquivalent.

2. Die Theorien EET+ (T-I

N

);BON+ (F-I

N

) und PA sind beweistheoretisch

�

aquivalent.

3. Die Theorien EET+ (F-I

N

) und (�

0

1

-CA) sind beweistheoretisch

�

aquiva-

lent.

Die beweistheoretische

�

Aquivalenz von EET+(S-I

N

) und BON+(S-I

N

) sowie

von EET+(T-I

N

) und BON+(F-I

N

) ergibt sich unmittelbar aus Ergebnissen

von Abschnitt 3.5.

48

3.4 L

p

-Strukturen

3.4.1 De�nition Eine L

p

-Struktur ist ein 5-Tupel

N = (M; T ; E ;R; (m

e

: e 2 IIN));

das folgende Bedingungen erf

�

ullt:

1. M ist eine partielle L

p

-Struktur.

2. T ist eine nichtleere Teilmenge von P (jMj).

3. E und R sind Teilmengen von jMj � T .

4. (m

e

: e 2 IIN) ist eine Familie von Elementen aus jMj.

Eine L

p

-StrukturN = (M; T ; E ;R; (m

e

: e 2 IIN)) wird als Standardstruktur

bezeichnet, falls E die

�

ubliche 2-Relation auf jMj � T ist. Wir schreiben

dann etwas einfacher (M; T ;R; (m

e

: e 2 IIN)) f

�

ur eine solche Standard-

struktur.

Ist N = (M; T ; E ;R; (m

e

: e 2 IIN)) eine L

p

-Struktur, so werden die Men-

gen T ; E sowie R zur Interpretation der Typen, der Elementrelation sowie

der Namensrelation verwendet. F

�

ur alle nat

�

urlichen Zahlen e werden die

Konstanten c

e

in N durch m

e

interpretiert.

3.4.2 De�nition Ist N = (M; T ; E ;R; (m

e

: e 2 IIN)) eine L

p

-Struktur,

so nennen wir eine Abbildung �, die jeder Individuenvariablen v von L

p

ein

Element �(v) aus jMj und jeder Typenvariablen V ein Element �(V ) aus

T zuordnet, eine L

p

-Variablenbelegung in N .

Ist N = (M; T ; E ;R; (m

e

: e 2 IIN)) eine L

p

-Struktur und � eine L

p

-Variab-

lenbelegung in N , so wird der Wert N

�

(a) eines L

p

-Individuenterms a wie

49

fr

�

uher de�niert; dabei ist nur zu beachten, dass f

�

ur alle nat

�

urlichen Zahlen

e die Konstanten c

e

durch m

e

interpretiert werden.

3.4.3 De�nition F

�

ur jede L

p

-Struktur N = (M; T ; E ;R; (m

e

: e 2 IIN))

und jede L

p

-Variablenbelegung � in N wird der Wert N

�

(A) 2 ff; tg einer

L

p

-Formel A induktiv de�niert durch:

1. Ist A eine atomare L

p

-Formel erster Stufe, so wird N

�

(A) analog zu

De�nition 1.2.4 bestimmt.

2. Ist A von der Form (a 2 X), so ist

N

�

(A) :=

8

<

:

t; falls (N

�

(a); �(X)) 2 E ;

f; sonst:

3. Ist A von der Form (X = Y ), so ist

N

�

(A) :=

8

<

:

t; falls �(X) = �(Y );

f; sonst:

4. Ist A von der Form <(a;X), so ist

N

�

(A) :=

8

<

:

t; falls (N

�

(a); �(X)) 2 R;

f; sonst:

5. Ist A von der Form :B; (B _ C) oder 9xB, so wird N

�

(A) analog zu

De�nition 1.2.4 bestimmt.

6. Ist A von der Form 9XB, so ist

N

�

(A) :=

8

<

:

t; falls N

�[X=S]

(B) = t f

�

ur ein S 2 T ;

f; sonst:

Ist N eine L

p

-Struktur und A eine L

p

-Formel, so nennen wir A g

�

ultig in

N und schreiben daf

�

ur N j= A, falls N

�

(A) = t f

�

ur alle L

p

-Variablenbele-

gungen � in N gilt. N heisst Modell einer Menge Th von L

p

-Formeln, in

Zeichen N j= Th, falls alle Formeln aus Th in N g

�

ultig sind.

50

3.5 Standardmodelle von EET

Wir beschreiben nun ein allgemeines Verfahren, das es uns erm

�

oglicht, Mo-

delle von BON zu Standardmodellen von EET zu erweitern.

Sei also M eine partielle L

p

-Struktur, die ein Modell von BON ist. Zuerst

ordnen wir jeder Konstanten c

e

einen Wert c

M

e

aus jMj zu, indem wir f

�

ur

alle nat

�

urlichen Zahlen e

c

M

e

:= Wert des Terms (�x:(0; e; x)) in M

setzen; dabei sei e das Numeral f

�

ur die nat

�

urliche Zahl e. In Ausdr

�

ucken

der Form c

M

e

(~m) sind f

�

ur ~m 2 jMj die (iterierte) Paarbildung und die

Anwendungsoperation im Sinne von M zu verstehen. Damit gilt

c

M

e

(~m) = (0; e; (~m))

f

�

ur alle nat

�

urlichen Zahlen e und alle ~m 2 jMj in M. In einem n

�

achsten

Schritt de�nieren wir durch Induktion

�

uber die nat

�

urliche Zahl k Teilmengen

R

M

k

von jMj. Simultan dazu f

�

uhren wir f

�

ur jedes m aus R

M

k

eine Teilmenge

ext

M

(m) von jMj ein und setzen

T

M

k

:= fext

M

(m) : m 2 R

M

k

g und M

�

k

:= (M; T

M

k

; ;; (c

M

e

: e 2 IIN))

k = 0. F

�

ur jede L

p

-Formel A[x; ~y] mit G

�

odelnummer e und f

�

ur alle ~n 2 jMj

sei c

M

e

(~n) aus R

M

0

, ausserdem gelte

ext

M

(c

M

e

(~n)) := fm 2 jMj :M j= A[m;~n]g:

k > 0. R

M

k

enthalte R

M

k�1

. Ist A[x; ~y;

~


p

-Formel mit

G

�

odelnummer e und sind ~n 2 jMj sowie ~q 2 R

M

k�1

, so sei c

M

e

(~n; ~q) ebenfalls

ein Element aus R

M

k

; ausserdem gelte

ext

M

(c

M

e

(~n; ~q)) := fm 2 jMj :M

�

k�1

j= A[m;~n; ext

M

(~q)]g:

51

Dabei sei ext

M

(~q) eine abk

�

urzende Schreibweise f

�

ur ext

M

(q

1

); : : : ; ext

M

(q

l

),

falls ~q = q

1

; : : : ; q

l

ist.

Ausgehend von diesen De�nitionen f

�

uhren wir nun die Mengen T

M

undR

M

ein, die zur Interpretation der Typen und der Namensrelation verwendet

werden:

T

M

:=

[

k2IIN

T

M

k

und R

M

:=

[

k2IIN

f(m; ext

M

(m)) : m 2 R

M

k

g:

Die gew

�

unschte L

p

-Standardstruktur ist schliesslich gegeben durch

M

�

:= (M; T

M

;R

M

; (c

M

e

: e 2 IIN)):

3.5.1 Theorem Ist M ein Modell von BON, so ist M

�

ein Modell von

EET, das folgende Eigenschaften besitzt:

1. M

�

ist eine konservative Erweiterung von M in dem Sinne, dass f

�

ur

alle geschlossenen L

p

-Formeln A gilt:

M

�

j= A () M j= A:

2. Ist M ein Modell von (F-I

N

) bez

�

uglich L

p

, dann ist M

�

ein Modell von

(T-I

N

) bez

�

uglich L

p

.

Beweis Durch genaues Betrachten der eben beschriebenen Konstruktion

vonM

�

kann man sehr leicht nachpr

�

ufen, dassM

�

ein Modell von EET mit

den angegebenen Eigenschaften ist. �

3.5.2 Folgerung

1. EET+(S-I

N

) ist eine konservative Erweiterung von BON+(S-I

N

) bez

�

uglich

aller geschlossenen L

p

-Formeln.

52

2. EET+(T-I

N

) ist eine konservative Erweiterung von BON+(F-I

N

) bez

�

uglich

aller geschlossenen L

p

-Formeln.

Beweis Beide Behauptungen folgen unmittelbar aus dem vorhergehenden

Theorem. Zum Beweis der ersten Behauptung muss man ausserdem beach-

ten, dass M

�

genau dann ein Modell von (S-I

N

) ist, wenn M ein Modell

von (S-I

N

) ist. �

3.5.3 Theorem PRF

�

und G

�

sind Modelle von EET+ (F-I

N

).

Beweis Aufgrund von Theorem 2.5.1, Theorem 2.6.1 und Theorem 3.5.1

sind PRF

�

und G

�

Modelle von EET. Betrachtet man die Interpretation

der nat

�

urlichen Zahlen in diesen Modellen, so sieht man sofort, dass auch

(F-I

N

) erf

�

ullt ist. �

3.6 Die Hierarchie endlicher Typen

In EET+(F-I

N

) kann ohne grossen Aufwand die

�

ubliche Hierarchie der end-

lichen Typen de�niert werden. Ebenso kann man auch die extensionale Ver-

sion dieser Typenhierarchie einf

�

uhren.

Zuerst f

�

uhren wir dazu Codes f

�

ur die Symbole endlicher Typen (Finite Type

Symbols) ein, und zwar so, dass (0; 0) das Symbol 0 codiert und (1; (a; b))

beziehungsweise (2; (a; b)) f

�

ur (a � b) beziehungsweise (a ! b) stehen. Wir

betrachten nun einige De�nitionen, in denen das Symbol < f

�

ur die

�

ubliche

Kleinerrelation auf den nat

�

urlichen Zahlen verwendet wird, entsprechend

steht x � y f

�

ur (x < y _ x = y). Nun setzen wir

53

A

FTS

(z; z

0

; z

1

; f) :=

z

0

< z ^ z

1

< z ^ [f(z) = (1; (f(z

0

); f(z

1

))) _ f(z) = (2; (f(z

0

); f(z

1

)))];

B

FTS

(y; f) := (8z 2 N)[z � y ! f(z) = (0; 0) _ 9z

0

9z

1

A

FTS

(z; z

0

; z

1

; f)];

C

FTS

(x; y; f) := y 2 N ^ x = f(y) ^ B

FTS

(y; f):

Damit ist C

FTS

(x; y; f) eine elementare L

p

-Formel. Daher kann man in EET

mittels elementarer Komprehension den folgenden Typ FTS einf

�

uhren, der

genau die Codes f

�

ur die Finite Type Symbols enth

�

alt;

FTS := fx : 9y9fC

FTS

(x; y; f)g:

Ehe wir als n

�

achstes die Hierarchie der endlichen Typen einf

�

uhren, bemer-

ken wir, dass es wegen der Uniformit

�

at der elementaren Komprehension

geschlossene L

p

-Individuenterme nat; prod und imp gibt, so dass in EET

die folgenden drei Eigenschaften gelten:

(i) <(nat; fx : N(x)g):

(ii) <(x;X) ^ <(y; Y ) ! <(prod(x; y); X � Y ):

(iii) <(x;X) ^ <(y; Y ) ! <(imp(x; y); (X ! Y )):

Um die folgende De�nition von fth etwas

�

ubersichtlicher zu gestalten, f

�

uhren

wir die geschlossenen L

p

-Individuenterme t

prod

und t

imp

als Abk

�

urzungen

ein. Wir schreiben

t

prod

:= (�fu:prod(f(p

0

(p

1

u)); f(p

1

(p

1

u))));

t

imp

:= (�fu:imp(f(p

0

(p

1

u)); f(p

1

(p

1

u))))

und erhalten in EET f

�

ur alle x; y und z:

(iv) u = (x; (y; z)) ! t

prod

fu ' prod(fy; fz):

(v) u = (x; (y; z)) ! t

imp

fu ' imp(fy; fz):

54

Mit Hilfe des Rekursionstheorems l

�

asst sich nun ein geschlossener L

p

-Term

fth einf

�

uhren, der f

�

ur alle u die Rekursionsgleichung

fthu ' d

N

nat( d

N

(t

prod

fth u)(t

imp

fthu)(p

0

u)1; )(p

0

u)0

erf

�

ullt. Dann gilt in EET:

(vi) u = (0; 0) ! fth u = nat:

(vii) u = (1; (x; y)) ! fthu = prod(fthx; fth y):

(viii) u = (2; (x; y)) ! fth u = imp(fth x; fth y):

In EET + (F-I

N

) wird im n

�

achsten Schritt mit Hilfe von Formelinduktion

gezeigt, dass fth u f

�

ur jedes Finite Type Symbol u Name eines Typs ist;

EET+ (F-I

N

) beweist also

(8u 2 FTS)9X<(fth u;X):

Typeninduktion (T-I

N

) reicht zum Beweis dieser Behauptung nicht aus. Ist

u ein Element von FTS, so bezeichnen wir von nun an den durch fth u

eindeutig bestimmten Typ mit N

u

. Folglich gilt f

�

ur alle u und v aus FTS:

N

0

= N; N

(1;(u;v))

= N

u

� N

v

und N

(2;(u;v))

= (N

u

! N

v

):

Das bedeutet, dass die Familie (N

u

: u 2 FTS) der

�

ublichen Hierarchie der

endlichen Typen entspricht.

Um die extensionale Version der Hierarchie der endlichen Typen aufzubau-

en, gehen wir

�

ahnlich vor. Allerdings de�nieren wir nun f

�

ur jedes u aus

FTS einen Typ M

u

und eine Gleichheitsrelation =

u

auf M

u

, die ein Teiltyp

von M

u

� M

u

ist. Dabei m

�

ussen f

�

ur alle u und v aus FTS die folgenden

Bedingungen (1)� (3) erf

�

ullt sein.

55

(1) M

0

= N und f

�

ur alle x; y 2 M

0

gilt

x =

0

y $ x = y:

(2) M

(1;(u;v))

= M

u

�M

v

und f

�

ur alle x; y 2 M

(1;(u;v))

gilt

x =

(1;(u;v))

y $ p

0

x =

u

p

0

y ^ p

1

x =

v

p

1

y:

(3) M

(2;(u;v))

= ff : f 2 (M

u

! M

v

) ^ (8x; y 2 M

u

)(x =

u

y ! fx =

v

fy)g

und f

�

ur alle f; g 2 M

(2;(u;v))

gilt

f =

(2;(u;v))

g $ (8x 2 M

u

)(fx =

v

gx):

3.7 Die Theorie SET

Ersetzen wir in EET das Schema der elementaren Komprehension durch

das folgende Schema der strati�zierten Komprehension, so erhalten wir die

Theorie SET der strati�zierten expliziten Typen. SET ist bedeutend st

�

arker

als EET und l

�

asst unter anderem die Bildung (stark) impr

�

adikativer Typen

zu.

Strati�zierte Komprehension Es sei A[x; ~y;

~

Z] eine strati�zierte L

p

-

Formel mit G

�

odelnummer e. Dann haben wir als Axiome:

(SCA.1) 9X8x(x 2 X $ A[x; ~u;

~

V ]):

(SCA.2) <(~v;

~

V ) ^ 8x(x 2 X $ A[x; ~u;

~

V ]) ! <(c

e

(~u;~v); X):

Die Konstanten c

e

werden in SET also zur Konstruktion von Namen f

�

ur

Typen, die durch strati�zierte Komprehension gebildet werden, verwendet.

Wie bei EET ist die Namensgebung uniform in den Individuen- und Typen-

parametern der de�nierenden Formel.

56

Es l

�

asst sich leicht zeigen, dass das System PA

2

der Arithmetik zweiter

Stufe mit voller Komprehension in SET + (T-I

N

) eingebettet werden kann.

Aus einem Ergebnis von Glass [12] folgt ausserdem, dass SET + (F-I

N

) zu

PA

2

beweistheoretisch

�

aquivalent ist. Die

�

Uberlegungen des n

�

achsten Ab-

schnittes zeigen schliesslich, dass SET + (S-I

N

) und BON + (S-I

N

) dieselbe

beweistheoretische St

�

arke besitzen.

3.7.1 Theorem

1. Die Theorien SET + (S-I

N

); EET + (S-I

N

); BON + (S-I

N

) und PRA sind

beweistheoretisch

�

aquivalent.

2. Die Theorien SET+(F-I

N

); SET+(T-I

N

) und PA

2

sind beweistheoretisch

�

aquivalent.

3.8 Standardmodelle von SET

Durch eine geeignete Modi�kation kann das Verfahren von Abschnitt 3.5

so erweitert werden, dass wir aus Modellen von BON Modelle von SET

erhalten.

Gegeben sei wiederum eine partielle L

p

-Struktur M, die ein Modell von

BON ist. Als Hilfsausdr

�

ucke f

�

uhren wir zuerst f

�

ur alle nat

�

urlichen Zahlen e

Elemente d

M

e

aus jMj ein, die de�niert sind durch

d

M

e

:= Wert des Terms (�x:(1; e; x)) in M.

Ferner k

�

onnen wir annehmen, dass es eine totale Funktion ' gibt, die der

G

�

odelnummer e einer L

p

-Formel A[x; ~y;

~

Z] die G

�

odelnummer '(e) der L

p

-

Formel

8x(x 2 Vj $ A[x; ~y;

~

Z])

57

zuordnet, wobei j der Eindeutigkeit halber der kleinste Index sei, so dass Vj

in A[x; ~y;

~

Z] nicht vorkommt. Mit Hilfe von (d

M

e

: e 2 IIN) und ' de�nieren

wir die Familie (c

M

e

: e 2 IIN), indem wir f

�

ur alle nat

�

urlichen Zahlen

c

M

e

:= d

M

'(e)

setzen. In Ausdr

�

ucken der Form c

M

e

(~m) und d

M

e

(~m) sind f

�

ur ~m 2 jMj die

(iterierte) Paarbildung und die Anwendungsoperation im Sinne von M zu

verstehen.

Ehe wir unser Modell von SET einf

�

uhren, betrachten wir die L

p

-Struktur

M

(2)

:= (M; P (jMj); ;; (c

M

e

: e 2 IIN)):

Dann w

�

ahlen wir f

�

ur jede strati�zierte L

p

-Formel A[~y;

~

Z;X] mit G

�

odelnum-

mer e eine Skolemfunktion F

e

, so dass

M

(2)

j= 9XA[~m;

~

Q;X]! A[~m;

~

Q;F

e

(~m;

~

Q)] (�)

f

�

ur alle ~m 2 jMj und

~

Q 2 P (jMj) gilt. Analog zu fr

�

uher f

�

uhren wir jetzt

durch Induktion

�

uber die nat

�

urliche Zahl k Teilmengen R

M

k

von jMj und

simultan dazu f

�

ur jedes m 2 R

M

k

eine Teilmenge ext

M

(m) von jMj ein.

k = 0. F

�

ur jede strati�zierte L

p

-Formel A[~y;X] mit G

�

odelnummer e und

f

�

ur alle ~m 2 jMj sei d

M

e

(~m) aus R

M

0

; aussserdem gelte

ext

M

(d

M

e

(~m)) := F

e

(~m):

k > 0. R

M

k

enthalte R

M

k�1

. Ist A[~y;

~

Z;X] eine strati�zierte L

p

-Formel mit

G

�

odelnummer e und sind ~m 2 jMj und ~q 2 R

M

k�1

, so sei d

M

e

(~m; ~q) ebenfalls

ein Element von R

M

k

; ausserdem gelte

ext

M

(d

M

e

(~m; ~q)) := F

e

(~m; ext

M

(~q)):

58

Dabei sei ext

M

(~q) eine abk

�

urzende Schreibweise f

�

ur ext

M

(p

1

); : : : ; ext

M

(q

l

),

falls ~q = q

1

; : : : ; q

l

ist.

Ausgehend von diesen De�nitionen f

�

uhren wir nun die Interpretationen T

M

und R

M

der Typen und Namensrelation ein:

T

M

:=

[

k2IIN

fext

M

(m) : m 2 R

M

k

g;

R

M

:=

[

k2IIN

f(m; ext

M

(m)) : m 2 R

M

k

g:

Damit l

�

asst sich unsere gew

�

unschte L

p

-Struktur M

]

de�nieren als

M

]

:= (M; T

M

;R

M

; (c

M

e

: e 2 IIN)):

3.8.1 Lemma Ist M ein Modell von BON, so gilt f

�

ur alle strati�zierten

L

p

-Formeln A[~x;

~

Y ] sowie alle ~m 2 jMj und

~

Q 2 T

M

:

M

(2)

j= A[~m;

~

Q] () M

]

j= A[~m;

~

Q]:

Beweis Dieses Lemma wird durch Induktion nach dem Aufbau der Formel

A[~x;

~

Y ] gezeigt. Dabei ist der interessante Fall der, dass A[~x;

~

Y ] von der

Form 9ZB[~x;

~

Y ; Z] ist und M

(2)

j= A[~m;

~

Q] gilt.

Wegen

~

Q 2 T

M

gibt es dann eine nat

�

urliche Zahl k und ~q 2 R

M

k

, so dass

ext

M

(~q) =

~

Q ist. Ist e die G

�

odelnummer von B[~x;

~

Y ; Z], so gilt nach (�)

M

(2)

j= B[~m;

~

Q;F

e

(~m;

~

Q)]:

Ferner ist d

M

e

(~m; ~q) 2 R

M

k+1

und F

e

(~m;

~

Q) = ext

M

(d

M

e

(~m; ~q)). Daraus folgt

F

e

(~m;

~

Q) 2 T

M

, so dass wir mit der Induktionsvoraussetzung auch

M

]

j= B[~m;

~

Q;F

e

(~m;

~

Q)]

erhalten. Dies ergibt aber sofort M

]

j= A[~m;

~

Q]. �

59

3.8.2 Theorem Ist M ein Modell von BON, so ist M

]

ein Modell von

SET. Ausserdem gilt f

�

ur alle geschlossenen L

p

-Formeln A:

M

]

j= A () M j= A:

Beweis Aufgrund der fr

�

uheren

�

Uberlegungen m

�

ussen wir nur noch das

Schema der strati�zierten Komprehension betrachten. Sei also A[x; ~y;

~

Z]

eine strati�zierte L

p

-Formel mit G

�

odelnummer e und

B[~y;

~

Z;X] := 8x(x 2 X $ A[x; ~y;

~

Z])

die dazu passende strati�zierte L

p

-Formel mit G

�

odelnummer '(e). Seien

ausserdem ~m 2 jMj; k 2 IIN und ~q 2 R

M

k

. Dann gilt

M

(2)

j= 9XB[~m; ext

M

(~q); X]:

Aufgrund von (�) und den De�nitionen im Zusammenhang mit dem Aufbau

von M

]

erhalten wir

M

(2)

j= B[~m; ext

M

(~q);F

'(e)

(~m; ext

M

(~q))]

sowie d

M

'(e)

(~m; ~q) 2 F

M

k+1

und F

'(e)

(~m; ext

M

(~q)) = ext

M

(d

M

'(e)

(~m; ~q)). Wegen

c

M

e

= d

M

'(e)

und der De�nition von B[~y;

~

Z;X] ergibt sich also

M

(2)

j= 8x(x 2 ext

M

(c

M

e

(~m; ~q))$ A[x; ~m; ext

M

(~q)]):

Nun wenden wir das vorhergehende Lemma an und erhalten daraus, dass

in M

]

f

�

ur A[x; ~y;

~

Z] die Axiome (SCA.1) und (SCA.2) erf

�

ullt sind. �

3.9 Polymorphismus in expliziter Mathematik

In diesem Abschnitt m

�

ochten wir andeuten, wie polymorphe Typenstruktu-

ren, die sich heute in der Informatik grosser Beliebtheit erfreuen, im Rah-

men der expliziten Mathematik behandelt werden k

�

onnen. Der polymorphe

60

Lambdakalk

�

ul geht auf Girard [9] und Reynolds [16] zur

�

uck und l

�

asst im

Gegensatz zum

�

ublichen getypten Lambdakalk

�

ul auch die Abstraktion

�

uber

Typenvariablen zu.

Gegeben seien Basistypen �

1

; �

2

; : : : ; �

k

und abz

�

ahlbar unendlich viele Ty-

penvariablen V 0; V 1; : : : ; V i; : : : (i 2 IIN). Die Kollektion der polymorphen

Typen wird induktiv erzeugt durch:

1. Jeder Basistyp und jede Typenvariable ist ein polymorpher Typ.

2. Sind S und T polymorphe Typen, so ist (S ! T ) ein polymorpher Typ.

3. Ist T ein polymorpher Typ und ist X eine Typenvariable, so ist (�X:T )

ein polymorpher Typ.

Diese m

�

achtige Typenstruktur wird auch bei der Termbildung re ektiert.

Der polymorphe Lambdakalk

�

ul P�C umfasst eine gewisse Menge von Kon-

stanten verschiedener Typen sowie abz

�

ahlbar unendlich viele Variablen zu

jedem polymorphen Typ T . Dabei nehmen wir zur Vereinfachung der Not-

ation an, dass f

�

ur jede Variable x

S

vom Typ S auch x eine Individuen-

variable von L

p

ist. Ausserdem sollen x

S

und y

T

nur dann zur selben L

p

-

Individuenvariablen korrespondieren, falls x und y sowie S und T identisch

sind. Die Kollektion der Terme von P�C wird induktiv erzeugt durch:

1. Jede Konstante und jede Variable vom Typ T ist ein Term vom Typ T .

2. Ist t ein Term vom Typ (S ! T ) und s ein Term vom Typ S, so ist (t�s)

ein Term vom Typ T .

3. Ist t ein Term vom Typ T und x

S

eine Variable vom Typ S, so ist (�x

S

:t)

ein Term vom Typ (S ! T ).

4. Ist t ein Term vom Typ (�X:T ) und S ein Typ, so ist (t � S) ein Term

vom Typ T [S=X].

61

5. Ist t ein Term vom Typ T und X eine Typenvariable, so ist (�X:t) ein

Term vom Typ (�X:T ), falls X nicht im Typ einer freien Variablen von

t frei vorkommt.

Ist s ein Term vom Typ S und t ein Term vom Typ T , so hat P�C wie der

�

ubliche getypte Lambdakalk

�

ul die Reduktionsregel

((�x

S

:t) � s) B t[s=x

S

]:

Dazu kommt aber in P�C noch ein Reduktionsschema, das

((�X:t) � S) B t[S=X]

f

�

ur beliebige (getypte) Terme t und Typen S fordert. Reduktionen, Normal-

formen und

�

ahnliches lassen sich wie

�

ublich de�nieren.

Aufgrund von Ergebnissen von Girard wissen wir, dass die Terme des po-

lymorphen Lambdakalk

�

uls P�C (stark) normalisiert werden k

�

onnen. Aus-

serdem hat er gezeigt, dass die zahlentheoretischen Funktionen, die in P�C

repr

�

asentiert werden k

�

onnen, genau den in PA

2

beweisbar totalen rekursiven

Funktionen entsprechen.

Es ist auch m

�

oglich, basierend auf P�C sogenannte Type Assignment Cal-

culi einzuf

�

uhren. Wir verzichten jedoch darauf, dies hier n

�

aher auszuf

�

uhren.

F

�

ur weitere Einzelheiten

�

uber polymorphe Typensysteme sei auf die Fachli-

teratur verwiesen, z.B. [10, 11].

3.9.1 Beispiel

1. Es sei Id := (�Y:(�x

Y

:x

Y

)). Dann ist Id vom Typ (�Y:(Y ! Y )) und

repr

�

asentiert die uniforme Identit

�

atsfunktion. Ist S ein beliebiger poly-

morpher Typ, so gilt n

�

amlich

(Id � S) B (�x

S

:x

S

);

und (�x

S

:x

S

) ist die Identit

�

at auf S.

62

2. Es sei Ap := (�X:(�Y:(�y

(X!Y )

:(�x

X

:(y

(X!Y )

� x

X

))))). Dann ist Ap

vom Typ (�X:(�Y:((X ! Y ) ! (X ! Y )))) und repr

�

asentiert die

allgemeine Anwendungsoperation. Sind S und T beliebige polymorphe

Typen, so gilt:

(i) ((Ap � S) � T ) ist vom Typ ((S ! T )! (S ! T )).

(ii) ((Ap � S) � T ) B (�y

(S!T )

:(�x

S

:(y

(S!T )

� x

S

))).

Wenden wir nun ((Ap � S) � T ) auf einen Term t vom Typ (S ! T ) und

das Ergebnis auf einen Term s vom Typ S an, so erhalten wir

(((Ap � S) �T ) � t) B (�x

S

(t � x

S

)) und ((((Ap �S) �T ) � t) � s) B (t � s):

Um P�C in SET einzubetten, machen wir von einer Forgetful Interpretation

in der Art von Girard und Troelstra (vgl. z.B. [19]) Gebrauch. Um dies

m

�

oglichst einfach darstellen zu k

�

onnen, nehmen wir an, dass wir in P�C

nur einen Basistyp � f

�

ur die nat

�

urlichen Zahlen haben. Ausserdem sollen in

P�C keine Termkonstanten vorkommen.

Zuerst ordnen wir jedem Typ T (

~

X), in dem h

�

ochstens die Variablen

~

X

frei vorkommen, eine strati�zierte L

p

-Formel F

T

(x;

~

X) mit denselben freien

Typenvariablen und einer zus

�

atzlichen freien L

p

-Individuenvariablen x zu.

Diese Zuweisung wird durch folgende Induktion nach Typenaufbau durch-

gef

�

uhrt:

1. Ist T (

~

X) der Typ �, so ist F

T

(x) := N(x).

2. Ist T (

~

X) eine Typenvariable X, so ist F

T

(x;X) := (x 2 X).

3. Ist T (

~

X) von der Form (S

0

(

~

X)! S

1

(

~

X)), so ist

F

T

(x;

~

X) := 8y(F

S

0

(y;

~

X)! F

S

1

(xy;

~

X)):

4. Ist T (

~

X) von der Form (�Y:S(

~

X; Y )), so ist F

T

(x) := 8Y F

S

(x;

~

X; Y ).

63

3.9.2 Bemerkung Ist T (

~

X) ein polymorpher Typ von P�C, so ist F

T

(x;

~

X)

eine strati�zierte L

p

-Formel. Folglich wird dadurch in SET ein Typ de�niert.

Im n

�

achsten Schritt

�

ubersetzen wir jeden Term t von P�C in einen L

p

-

Individuenterm t

�

, indem wir bei t s

�

amtliche Typeninformationen streichen.

Diese

�

Ubersetzung wird durch folgende Induktion nach Termaufbau durch-

gef

�

uhrt:

1. Ist t die getypte Variable x

T

, so ist t

�

:= x.

2. Ist t von der Form (s

0

� s

1

), so ist t

�

:= (s

�

0

s

�

1

).

3. Ist t von der Form (�x

T

:s), so ist t

�

:= (�x:s

�

).

4. Ist t von der Form (s � T ), so ist t

�

:= s

�

.

5. Ist t von der Form (�X:s), so ist t

�

:= s

�

.

3.9.3 Bemerkung Die

�

Ubersetzung t

�

eines Terms t von P�C enth

�

alt keine

Typenvariablen.

3.9.4 Beispiel

1. Wir betrachten zuerst den Term Id aus Beispiel 3.9.1, der vom Typ

(�Y:(Y ! Y )) ist. Diesem Typ wird die Formel

F

Id

(x) = 8Y 8y(y 2 Y ! xy 2 Y )

zugeordnet. F

Id

bedeutet also, dass x f

�

ur jeden Typ Y eine totale Funk-

tion von Y nach Y ist. Da ausserdem Id

�

= (�x:x) gilt, erhalten wir

F

Id

(Id

�

).

64

2. Nun betrachten wir den Term Ap aus Beispiel 3.9.1, der vom Typ

T

Ap

= (�X:(�Y:((X ! Y )! (X ! Y ))))

ist. Diesem Typ wird die Formel

F

Ap

(x) = 8X8Y 8y[(y : X ! Y )! (xy : X ! Y )]

zugeordnet. Aus F

Ap

(x) folgt also, dass x eine Operation ist, die f

�

ur belie-

bige Typen X und Y jeder totalen Funktion y von X nach Y eine totale

Funktion xy von X nach Y zuordnet. Ausserdem gilt Ap

�

= (�y�x:(yx)).

O�ensichtlich gilt

(y : X ! Y ) ! (Ap

�

y : X ! Y )

f

�

ur beliebige Typen X und Y . Daher erhalten wir F

Ap

(Ap

�

).

Das folgende Theorem besagt, dass P�C in SET eingebettet werden kann.

Die Typenzuordnung von Typen zu Termen in P�C l

�

asst sich in SET relativ

zu den beschriebenen

�

Ubersetzungen von Typen und Termen beweisen.

3.9.5 Theorem Es sei t ein P�C-Term vom Typ T mit den freien getypten

Variablen x

S

1

1

; : : : ; x

S

n

n

und unter Umst

�

anden freien Typenvariablen. Dann

gilt

SET ` F

S

1

(x

1

) ^ : : : ^ F

S

n

(x

n

) ! F

T

(t

�

):

Der Beweis dieses Theorems soll als

�

Ubungsaufgabe durchgef

�

uhrt werden.

Dabei ist es interessant zu sehen, an welcher Stelle von impr

�

adikativer Kom-

prehension Gebrauch gemacht wird.

65

Applikative Theorien und explizite Mathematik Prof. Dr. G. J

�

ager

Sommersemester 1996 Th. Strahm

Serie 1

Gegeben seien die folgenden Prinzipien:

(Tot) (8x; y)(xy#); (Ext) (8x)(fx ' gx) ! (f = g).

(d

V

) (u = v ! d

V

xyuv = x) ^ (u 6= v ! d

V

xyuv = y).

(i

N

) (8x)(i

N

x 2 N) ^ (8x; y)(x 6= y ! i

N

x 6= i

N

y).

(c

N

) (8x)(c

N

x = 0 _ c

N

x = 1) ^ (8x)(c

N

x = 0$ x 2 N).

Aufgabe 1

Finden Sie einen L

p

-Term rec

t

, so dass gilt:

BON + (Tot) ` rec

t

f = f(rec

t

f):

Hinweis: Modi�zieren Sie den Term rec aus dem Rekursionssatz f

�

ur BON.

Aufgabe 2

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

1. BON+ (Tot) + (d

V

) ist inkonsistent.

2. BON+ (Tot) + (8x)N(x) ist inkonsistent.

66

3. BON+ (Tot) + (i

N

) ist inkonsistent.

4. BON+ (Tot) + (c

N

) ist inkonsistent.

Aufgabe 3

Zeigen Sie: BON ` k 6= s.

Hinweis: Beweisen Sie in BON: k = s ! (8x)(x = skk).

Aufgabe 4

Es seien s; t L

p

-Terme, x; y verschiedene Variablen und x 62 FV (s). Zeigen

Sie:

BON+ (Ext) ` s# ! (�x:t)[s=y] = (�x:t[s=y]):

Hinweis: Lemma 2.2.4 aus der Vorlesung.

Aufgabe 5

Finden Sie eine Sprache L der Logik der partiellen Terme sowie L-Terme a

und b, so dass

LPT 6` a# ^ b# ! a[b=x]#:

Hinweis: Theorem 1.2.5 aus der Vorlesung.

Abgabe: 6. Mai 1996

67

Applikative Theorien und explizite Mathematik Prof. Dr. G. J

�

ager

Sommersemester 1996 Th. Strahm

Serie 2

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass es nat

�

urliche Zahlen

^

k und^s gibt, so dass f

�

ur alle nat

�

urlichen

Zahlen m;n und p folgende Bedingungen erf

�

ullt sind:

(1) ff

^

kg(m)g(n) = m:

(2) ff^sg(m)g(n) 2 N und fff

^sg(m)g(n)g(p) ' ffmg(p)g(fng(p)):

Aufgabe 2

Erweitern Sie das normale Termmodell CNT so, dass darin full de�nition

by cases (d

V

) erf

�

ullt ist.

Aufgabe 3

Im folgenden betrachten wir das Join-Axiom (J) in expliziter Mathematik.

Dazu schreiben wir Z = �(U; f) f

�

ur die Aussage

8x(x 2 Z $ x = (p

0

x; p

1

x) ^ p

0

x 2 U ^ 9Y (<(f(p

0

x); Y ) ^ p

1

x 2 Y ));

d.h. Z ist die disjunkte Vereinigung

�

uber alle x 2 U derjenigen Typen, die

durch fx benannt werden. Nun hat das Join-Axiom die Form

(J) <(u; U) ^ (8x 2 U)9Y <(fx; Y ) ! 9Z(<(j(u; f); Z) ^ Z = �(U; f)):

68

Hier ist j eine neue Konstante unserer Sprache. Erweitern Sie die Standard-

modell-Konstruktion f

�

ur EET, so dass das Join-Axiom (J) mitbehandelt

wird.

Aufgabe 4

Ein Typ X heisst berechenbar, falls er eine charakteristische Funktion auf

V besitzt:

f 2 P (V) := 8x(fx = 0 _ fx = 1);

Comp(X) := (9f 2 P (V))8x(x 2 X $ fx = 0):

Zeigen Sie: EET ` 9X:Comp(X).

Abgabe: 17. Juni oder 24. Juni (mit Adresse).

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