LogicaAntwoorden

Boris Gerretzen

Opgave 1.1 Geef van elk van de volgende beweringen een bewijs of een tegenvoorbeeld:

# in elke groep v an 50 mensen zijn er zes of meer die allemaal in dezelfde maand jarig zijn; Niet waar. Als je de 50 mensen evenredig verdeeld over de 12 maanden zijn er iets meer dan 4 mensen per maand jarig. # in elke groep van 50 mensen zijn er vijf of meer die allemaal in dezelfde maand jarig zijn;Waar, je kan de 4.116..... mensen per maand niet behalen zonder dat een of meerdere maanden meer dan 5 jarigen hebben.

# in elke groep v an 50 mensen zijn er vier of meer die allemaal in dezelfde maand jarig zijnWaar, als je elke maand het minst mogelijke jarigen geeft is dat iets meer dan 4, het kan dus niet zo zijn dat er in een maand minder dan 4 jarigen zijn.

Opgave 2.1 De dokter zegt: “Als je mijn medicijn slikt, dan word je beter.”

a.Welke twee proposities kunnen we in de bovenstaande zin ontdekken? Als je mijn medicijn slikt, dan word je beter.1. Medicijn → beter2. Ja dat was hem wel volgens mij

b.Met welke bewerking hebben we te maken in de zin die de dokter uitspreekt? We hebben te maken met een implicatie

Een week later kom je de dokter tegen bij de supermarkt. De dokter kijkt je aan en concludeert: “Je ziet er goed uit. Je hebt dus mijn medicijn geslikt.” c. Wat vind je van de conclusie van de dokter? Heeft de dokter gelijk?Nee, je kan ook op een andere manier beter zijn geworden.

Opgave 2.2 Geef de waarheidstabellen van de volgende (samengestelde) proposities: a.¬(P → Q)P Q Resultaat0 0 00 1 01 0 11 1 0

b.(P ∆ ¬Q)P Q ¬Q Resultaat0 0 1 10 1 0 01 0 1 01 1 0 1

c.(¬P) ∆ (¬Q)P Q ¬P ¬Q Resultaat0 0 1 1 00 1 1 0 11 0 0 1 11 1 0 0 1

d.(¬P) ∧ (¬Q)P Q ¬P ¬Q Resultaat0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 01 1 0 0 0

e.¬(P ∨ Q)P Q P v Q Resultaat0 0 0 10 1 1 01 0 1 01 1 1 0

Wat valt je op bij de waarheidstabellen van de opgaven d en e?De twee waarheidstabellen zijn hetzelfde.

f.((¬P) ∧ (¬Q)) ↔ RP Q R (¬P) ∧ (¬Q) Resultaat0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 0 11 1 1 0 0

Opgave 2.3Geef de waarheidstabellen van de volgende (samengestelde) proposities:

a.(P ∧ Q) → ¬(P Δ Q)P Q (P ∧ Q) ¬(P Δ Q) Resultaat0 0 0 1 10 1 0 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

b.(P ∧ Q) Δ QP Q (P ∧ Q) Resultaat0 0 0 00 1 0 11 0 0 01 1 1 0

c.(P ↔ Q) ∨ QP Q (P ↔ Q) Resultaat0 0 1 10 1 0 11 0 0 01 1 1 1

d.(P ∧ Q) ∨ ((P Δ R) ∧ ¬Q)P Q R (P ∧ Q) (P Δ R) (PΔR)∧¬Q Resultaat0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 1 10 1 0 0 0 0 00 1 1 0 1 0 01 0 0 0 1 1 11 0 1 0 0 0 01 1 0 1 1 0 11 1 1 1 0 0 1

Opgave 2.4Een moordzaak.Ad, Ben en Cor zijn verdachten in een moordzaak. Ze leggen onder eed de volgende verklaringen af:Ad: Ben is schuldig en Cor is onschuldigBen: Als Ad schudlig is dan is Cor ook schuldigCor: Ik ben onschuldig, maar minstens één van de anderen is schuldig.

DUS:Dit geeft schuldigheid aan ¬ betekend onschuldigA: B ∧ ¬CB: A → CC: ¬C ∧ (A ∨ B)

a. Stel dat alle drie de verdachten onschudlig zijn, wie pleegde(n) er dan meideed?Als iedereen onschudlig is plegen Ad en Cor meideed, zei zeggen beiden dat er iemand schuldig is.

b. Stel dat ze alle drie de waarheid spraken, wie is/zijn er dan schuldig?Ad spreekt de waarheid dus Ben is schuldig en Cor is onschuldig, Ben zegt dat Cor schuldig is als Ad schuldig is maar Ad is niet schuldig. Cor zegt dat hij onschuldig is maar minimaal één ander persoon is schuldig, dit kan Cor niet zijn want Cor is onschuldig volgens Ad dus Ben is de enige schuldige.

c. Stel dat de onschuldigen de waarheid spraken en de schuldigen logen, wie is/zijn er dan onschuldig?

Opgave 2.5Een computer kan voor ons allerlei opdrachten uitvoeren. Daartoe tikken we bijvoorbeeld commando’s in via het toetsenbord.De computer verstaat de commando’s alleen als ze aan strikte regels voldoen. Een computertaal zal dan ook gebruik maken van de regels van de logica. Hieronder volgt een stukje programmeercode: IF (X>3) THEN (OPDRACHT 1) ELSE (OPDRACHT 2) Het programma zal OPDRACHT 1 uitvoeren als X>3 waaris, maar als X>3 niet waar is zal OPDRACHT 2 worden uitgevoerd. Hieronder volgt weer een stukje programmeercode: IF (X ≥ 4) AND (Y<3) THEN (ACTIE!)Geef aan wat het programma bij de onderstaande gevallen zal doen:

a. X=2, Y=6X is niet groter dan drie, dus zal opdracht 2 worden uitgevoerd.Er zal niks gedaan worden met het tweede stukje code omdat een getal niet groter dan of gelijk aan 4 kan zijn en tegelijkertijd kleiner dan 3.

b. X=4, Y=21X is groter dan drie, dus zal opdracht 1 worden uitgevoerd.Kijk even iets omhoog voor wat Y doet.

c. X=5, Y=2X is groter dan drie, dus zal opdracht 1 worden uitgevoerd.Je snapt Y nu wel denk ik.

Tot slot van deze opgave bekijken we de volgende programmeercode:IF (X ≥ 6) AND (X<6) THEN (ACTIE!)d. Wat is er aan de hand bij de bovenstaand programmaregel?Die actie wordt nooit uitgevoerd omdat een getal niet groter dan of gelijk aan 6 kan zijn en ook tegelijkertijd kleiner dan 6 kan zijn. Ik weet niet precies wat het nut van deze opgave is omdat het ook al bij die eerste 3 voorkomt, misschien een foutje in het boek ofso.

Opgave 2.6a. Toon aan met een waarheidstabel dat de samengestelde propositie (P ∧ Q) ∧ (¬P ∨ ¬Q) een contradictie is.P Q (P ∧ Q) (¬P ∨ ¬Q) Resultaat0 0 0 1 00 1 0 1 01 0 0 1 01 1 1 0 0

b. Toon aan met een waarheidstabel dat de samengestelde propositie ((P ∧ Q) ∧ (¬P ∨ ¬Q)) → (P ∨ Q) een tautologie is.P Q (P ∧ Q) (¬P∨¬Q) ((

P∧Q)∧(¬P∨¬Q))(P ∨ Q) Resultaat

0 0 0 1 0 0 10 1 0 1 0 1 11 0 0 1 0 1 11 1 1 0 0 1 1

Opgave 2.7Gebruik waarheidstabellen om aan te tonen dat de volgende proposities tautologieën zijn.a. (P ∧ P) ↔ PP (P ∧ P) Resultaat0 0 11 1 1

b. (P ∨ P) ↔ PP (P ∨ P) Resultaat0 0 11 1 1

c. ¬(¬P) ↔ P (wet van de dubbele ontkenning)Wat een nutteloze wet

P ¬P ¬¬P Resultaat0 1 0 11 0 1 1

d. (P ∨ (P ∧ Q)) ↔ PP Q (P ∧ Q) (P ∨ (P ∧ Q)) Resultaat0 0 0 0 10 1 0 1 11 0 0 1 11 1 1 1 1

e. (P ∧ (P ∨ Q)) ↔ PP Q (P ∨ Q) (P ∧ (P ∨ Q)) Resultaat0 0 0 0 10 1 1 0 11 0 1 1 11 1 1 1 1

f. ((P → Q) ∧ (Q → R)) → (P → R)P Q R (P→Q) (Q→R) ((P→Q

)∧(Q→R))(P→R) Resultaat

0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Opgave 2.16Laat met een waarheidstabel zien dat de implicatie (→) niet commutatief is. P Q P → Q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Als we nu P en Q verwisselen.P Q Q → P0 0 10 1 01 0 11 1 1

De twee waarheidstabellen zijn niet hetzelfde, dus de implicatie (→) is niet commutatief.

Opgave 2.17Toon aan met een waarheidstabel dat de bewerking ∨ associatief is. P ∨ Q ∨ R kan worden gezien als ‘P ∨ (Q ∨ R)’ en als ‘(P ∨ Q) ∨ R’.

P Q R P ∨ Q Q ∨ R P∨(Q∨R) (P∨Q)∨R0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

De twee waarheidstabellen zijn gelijk dus de bewerking ‘∨’ is associatief.

Opgave 2.18Toon aan met een waarheidstabel dat de implicatie (→) niet associatief is.P → Q → R kan worden gezien als ‘P → (Q → R)’ en als ‘(P → Q) →R’.P Q R P → Q Q → R P→(Q→R) (P→Q)→R0 0 0 1 1 1 00 0 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 00 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 11 0 1 0 1 1 11 1 0 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1

De twee waarheidstabellen zijn niet gelijk dus de implicatie (→) is niet associatief.

Opgave 2.19Pas een distributie-eigenschap toe op de volgende zinnen : a. Hij heeft een talenknobbel of hij heeft Duits en Frans in zijn pakket.T ∨ (D ∧ F) ≡ (T ∨ D) ∧ (T ∨ F)T D F (T ∨ D) (T ∨ F) (T∨D)∧(T∨F) T∨(D∧F)0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 0 00 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

b. Zij studeert in Zwolle en komt uit Groningen of Friesland.Z ∧ (G ∨ F) ≡ (Z ∧ G) ∨ (Z ∧ F)Z G F (Z ∧ G) (Z ∧ F) (

Z∧G)∨(Z∧F)

Z∧(G∨F)

0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 01 0 1 0 1 1 11 1 0 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1

Opgave 2.666Geef een disjunctieve normaalvorm van:a. P → (Q → R)P Q R (Q → R) Resultaat0 0 0 1 10 0 1 1 10 1 0 0 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 1 1 1

(¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ R)

b. (P ∨ Q) ∧ RP Q R (P ∨ Q) Resultaat0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 1 01 0 1 1 11 1 0 1 01 1 1 1 1

(¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ R)

c. (P ∨ Q) ∧ (R ∨ Q)P Q R (P ∨ Q) (R ∨ Q) Resultaat0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 00 1 0 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1

(¬P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (P ∧ Q ∧ R)

d. (P ∧ R) → (Q ∧ R)P Q R (P ∧ Q) (Q ∧ R) Resultaat0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 0 0 10 1 1 0 1 11 0 0 0 0 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1

(¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ R)

Opgave 2.9Toon aan, zonder gebruik te maken van waarheidstabellen, dat de ontkenning van (P → Q) luidt: (P ∧ ¬Q). Het moet zonder waarheidstabellen dus met de wetten van Morgan.

Opgave 2.10Pas een wet van de Morgan toe op de onderstaande zin (geef dus een gelijkwaardige zin nadat je de Morgan hebt toegepast):‘Je vooropleiding is niet havo of vwo.’

¬(H ∨ V) ≡ ¬H ∧ ¬V

Je vooropleiding is niet havo en niet vwo.

Opgave 2.12Geef van de onderstaande zinnen de contrapositie:a. Als ik geslaagd ben, geef ik een feest.G → F ≡ ¬F → ¬GAls ik geen feest geef, ben ik niet geslaagd.

b. Als de trein niet rijdt, ga ik lopen.¬T → L ≡ ¬L → ¬¬T ≡ ¬L → T Als ik niet loop rijdt de trein

c. Als x 2 =y 2 dan x=y of x=-y x2=y2 → (x=y) ∨ (x=-y)¬((x=y) ∨ (x=-y)) → x2≠y2

Wet van de Morgan(x≠y) ∧ (x≠-y) → x2≠y2

Als x≠y en x≠-y dan x2≠y2

Opgave 2.20Toon aan dat de propositie ((P → Q) ∧ (Q → R)) ∧ (P ∧ ¬R) een contradictie is.P Q R (P→Q) (Q →

R)((P→Q)∧(Q→R))

(P∧¬R) Resultaat

0 0 0 1 1 1 0 00 0 1 1 1 1 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 0 01 0 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 0 01 1 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 0 0

Opgave 2.21Een uitspraak van Loesje in de rubriek ‘Grootse daden van de kleine burger’: “De conciërge Cees van het Arentheem College heeft een doos vol smoesjes voor als je te laat bent en hij geen zin heeft om streng te zijn.”In bovenstaande uitspraak zijn 3 proposities te onderscheiden.Noteer deze 3 proposities en schrijf de uitspraak in de taal van de logica.

Opgave 2.22Er zijn twee rode en drie zwarte petjes. Drie kinderen kennen de petjes en zitten in een rij achter elkaar. Ieder kind krijgt een petje op. Ze kunnen alleen de petjes zien van degenen die voor ze zitten. Aan het achterste kind wordt gevraagd: “Weet jij welke kleur pet je op hebt?” Hij kijkt naar de twee petjes voor zich, denkt even na en zegt dan: “nee.” Vervolgens wordt dit aan de middelste gevraagd. Die ziet maar één petje voor zich denkt na en antwoordt ook ontkennend De voorste is even stil enzegt: “Dan weet ik de kleur van mijn petje!” Welke kleur is dat?

Opgave 2.23In gebouwen, bijvoorbeeld ziekenhuizen of bibliotheken, wordt bij de ingang wel eens gebruik gemaakt van een luchtsluis om tocht te voorkomen. Er zijn dan twee deuren: een buitendeur en een binnendeur. Het is de bedoeling dat de deuren niet tegelijk open zijn. Soms moet je even wachten op het opengaan van de ene deur totdat de andere deur weer gesloten is. We maken de volgende afkortingen: A: de buitendeur is open B: de binnendeur is open. De deuren mogen dus niet tegelijk open staan., dus ¬ (A ∧ B)

a. Hoe kunnen we volgens de wetten van de Morgan deze samengestelde proposities anders schrijven?¬A ∨ ¬B

b. Is het juist dat we hier gebruik moeten maken van het inclusieve of? Wat zou het betekenen als hier het exclusieve of had gestaan? Ja, als er het exclusieve of zou staan zouden de deuren niet beide tegelijk gesloten mogen zijn.

Het is mogelijk om een samenstelling te maken met ∨, ∧ en ¬ die dezelfde waarheidstabel oplevert als het exclusieve of.c. probeer zo’n samenstelling te maken.A B ¬A Δ ¬B (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 0

Opgave 3.1

a. Welke van de onderstaande getallen zijn element van ℕ ? 4, -3, 16, -789, 1000, 35 ,105 .

4, 16, 1000, 105 .

ℕ Bevat gehele getallen van 0 en hoger. 105 kan vereenvoudigd worden naar 2 dus zit deze

ook in ℕ.

b. Welke van de onderstaande getallen zijn element van ℤ ? -7, 6, −√16,43 ,

−147

-7, 6, −√16,−147ℤ Bevat alle gehele getallen, inclusief wortels en breuken die vereenvoudigd kunnen

worden.

c. Welke van de onderstaande getallen zijn element van ℚ ? -9, 4, , 35 , 84 , √20 14 , -π, 15

-9, 4, , 35 , 84 , √20 14 , 15.

ℚ bevat alle getallen die als breuk geschreven kunnen worden.

d. Welke van de onderstaande getallen zijn wel element van ℝ , maar niet van ℚ ? √4, π, √π, −34 , 2, √24

π, √π ,√24ℝ betvat alle reële getallen, dit zijn alle niet imaginaire getallen.

Opgave 4.1Lees het ondersaande krantenberichtje:

Rookmelder voor alle voevordenarenVrijwilligers van de brandweer delen zaterdag huis-aan-huis in de hele gemeente Coevoorden gratis rookmelders uit. In totaal worden 16.000 adressen aangedaan. De gemeente loopt vooruit op toekomstige regelgeving.Maak met behulp van de ‘Al-kwantor’ bij het bovenstaande artikel een ware propositie.

Opgave 4.2De franse advocaat Pierre de Fermat, was een enthousiast wiskundige, die veel wiskunde in zijn vrije tijd bedreef. Hij kwam omstreeks 1625 met het volgende vermoeden:

Is een priemgetal

Een priemgetal heeft slechts twee delers, het getal 1 en het getal zelf.

a. Bereken welke uitkomst je krijgt voor n=5

De wiskundige Euler ontdekt in 1732 dat voor n=5 het vermoeden niet klopt. Hij ontdekt dat het getal dat ontstaat door n=5 in te vullen deelbaar is door 641.

b. Laat zien dat Euler gelijk had

komt uit op een geheel getal dus is het geen priemgetal.

Dus het vermoeden van Fermat was onjuist.We kunnen nu dus schrijven:

is een priemgetal.

c. Herschrijf de propositie hierboven, m.b.v. het Ǝ-symbool. is geen priemgetal is

Opgave 4.3

Hieronder staat een aantal open beweringen. Voeg één of meer kwantoren toe op de stippeltjes, zodanig dat er een ware propositie ontstaat.

a. √ x2=¿ x∨¿

b. y=2x−1

c. x2+ y2=25

Ik weet niet wat harmen gedaan heeft met die pdf maar er klopt geen ruk meer van de nummering vanaf hier... Opgave 4.4Bewijs dat geldt: ¬(P ∧ Q ∧ R) ↔ (¬P ∨ ¬Q ∨ ¬R).P Q R ¬(P ∧ Q ∧ R) (¬P ∨ ¬Q ∨

¬R)0 0 0 1 10 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 0 0

Opgave 4.5Ga de waarheidswaarde na van de volgende proposities. Als er geen verzameling staat vermeld, werken we in de verzameling ℝ:

a.

Deze propositie is waar, als je y=1x invult wordt de propositie xx=1 en dit klopt.

b. Deze propositie is ook waar. Elk getal (x) is kleiner dan, groter dan, of gelijk aan elk ander getal (y).

c. Deze propositie is niet waar. Omdat er staat dat het voor alle getallen geld is het alleen maar nodig om 1 combinatie van getallen te vinden waarvoor het niet waar is. In dit geval zou dat bijvoorbeeld 5 kunnen zijn.125+125=125→125∗125∗125=0, dit klopt niet dus de propositie is onwaar.

d. Deze propositie is ook niet waar, als y=x staat er 2 x=x, dit klopt natuurlijk niet.

Opdracht tussen 4.5 en 4.2Maak gebruik van de afkortingenM(x) : x is mannelijkV(x) : x is vrouwelijkJ(x,y) : x is jonger dan yK(x,y) : x is een kind van yG(x,y) : x en y zijn getrouwdSchijf gebruik makend van bovenstaande afkortingen, met als universum de verzameling an alle mensen, in predikatentaal:

Negeer de vergrootglaasjes even, dat is mislukt bij het screenshots makena. Iedereen heeft een vader.

b. Iedereen is jonger dan zijn moeder.

c. Er is een man met een schoondochter die ouder is dan hij.

d. x is grootvader van y.

e. x is een zus van y.

f. x is een oom van y van moeders kant.

Opgave 4.2Gebruik de notatie K(x,y) en predicaat logicate voor ‘x heeft precies één kind’.

Opgave 4.3Als universum kiezen we de verzameling der reële getallen.Schijf de volgende proposities op in gewoon nederlands en ga na of ze waar zijn:a.

Voor elke x is er een y waarvoor x en y samen 3 zijn.Dit klopt, als y=3−x.

b.

Er bestaat een x waar voor elke y geldt dat y en x samen 3 zijn.Dit klopt niet, als de stelling klopt met een bepaalde x en y combinatie is de combinatie x en y+1 niet waar.

c.

Er bestaat een x en een y die samen 3 zijn.Deze bewering is juist, er hoeft maar een voorbeeld gegeven worden om de stelling te bewijzen en als x=2∧ y=1 klopt de bewering.

d.

Elke y en elke x zijn samen 3.Dit klopt niet, er hoeft maar 1 voorbeeld gegeven worden die niet klopt om de hele stelling onwaar te verklaren, als x=4∧ y=0 klopt de stelling niet dus is de hele stelling onwaar.

Opgave 4.4Definieer het connectief ↓ door (P ↓ Q) ≡ ¬(P ∨ Q).Dit connectief ↓ heet de Quine Dagger.

a. Laat zien dat elk connectief uit te drukken is in alleen ↓.

b. Druk (P ∨ Q) ∧ R uit met ↓ als enige connectief.

Het is zelfs mogelijk om te volgstaan met één teken, bijvoorbeeld de sheffer stroke (P ↑ Q), die gelijkwaardis is met ¬(P ∨ Q). Immers voor dit connectief geldt¬P ≡ P ↑ P(P ∧ Q) ≡ (P ↑ Q) ↑ (P ↑ Q)

Opgave 4.5a. Druk (P ∨ Q) ∧ R uit met de connectieven → en ¬.

B. Druk (P ∨ Q) ∧ R uit met ↓ als enige connectief

Todo2.4c, 2.9, 2.21, 2.22, 4.2, 4.4, 4.5