Téma 8 - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/ss_tema08.pdf · 8 / 67 Příčinkové čáry na...

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Téma 8Pohyblivé zatížení

• Příčinkové čáry na prostém nosníku, konzole aspojitém nosníku s vloženými klouby

• Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku• Nepřímé pohyblivé zatížení

2 / 67

Pohyblivé zatížení

Úvod do problematiky pohyblivého zatížení

Vzniká pojížděním vozidel (vlaky, automobily, jeřáby) po stavební konstrukci (mosty, jeřábové dráhy, nájezdové rampy, podlahy garáží).

Tlak kola – bodové síly.

Nápravový tlak.

Ideální vlaky (vozidla).

Dynamické účinky zatížení (rázy, otřesy, rozkmitání konstrukce), zjednodušení výpočtu s využitím tzv. dynamického součinitele, po zvětšenípohyblivého zatížení vynásobením lze zkoumat pouze jeho statické účinky.

3 / 67

Průběh zatěžovací zkoušky


4 / 67



5 / 67



6 / 67



7 / 67



8 / 67

Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých konců

Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole

b

Rb

a

Ra

P=1

c l - cl

Řešení s využitím příčinkových čar, které se sestrojí pro jednoduché vozidlo v podobě jediné bezrozměrné jednotkové svislé bodové síly.

x

c

Pro odvození příčinkových čar různých sledovaných veličin – statická a kinematická metoda.

lx ,0∈

.konstc =

9 / 67

( ) ( ) azxa RVV == =0

( ) xRM azLx .=

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků

b

Rbz

a

Raz

F

c d

l

Výpočet reakcí

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑=ldFRaz. ( )↑=

lcFRbz.

( ) ( ) bzazlxb RFRVV −=−== =

( ) ( ) 00 == =xa MM

1

( ) ( ) 0== =lxb MM

( ) ( ) cRMM azcx .1 == =

-+

+

xlx ,0∈

cx ,0∈

lcx ,∈

( ) azLx RV =

( ) FRV azLx −=

cx ,0∈

lcx ,∈ ( ) ( )cxFxRM azLx −−= ..

( ) ( )xlRM bzPx −= .

( ) ( ) dRMM bzcx .1 == =

ldF.

lcF.

−

dRcR bzaz .. =

M

V


Téma 4.konstc =lx ,0∈

10 / 67

( ) ( ) azxa RVV == =0

( ) xRM azLx .=

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků

b

Rbz

a

Raz

F=1

c d

l

Výpočet reakcí

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑=ldRaz ( )↑=

lcRbz

( ) ( ) bzazlxb RRVV −=−== = 1

( ) ( ) 00 == =xa MM

1

( ) ( ) 0== =lxb MM

( ) ( ) cRMM azcx .1 == =

-+

+

x

lx ,0∈

cx ,0∈

lcx ,∈

( ) azLx RV =

( ) 1−= azLx RV

cx ,0∈

lcx ,∈ ( ) ( )cxxRM azLx −−= .

( ) ( )xlRM bzPx −= .

( ) ( ) dRMM bzcx .1 == =

ld

lc

−

ldcdRcR bzaz... ==

M

V

Řešení pro F=1


1

.konstc =

11 / 67

Příčinkové čáry na prostém nosníku, odvození

baRa=1P=1Reakce Ra a Rb

ba

P=1

l

Rb=0

baRa=0 P=1Rb=1

4lx = l.4

34

3=aR 41=bR

ba

P=1

l2

lx =

21=aR 2

1=bR

2l

Jednotkové břemeno P = 1

P mění polohu – různé x

Příčinková čára sleduje proměnlivost statické veličiny Sx, např. Ra nebo Rb která se váže k jedinému průřezu c, např. a nebo b


( )lx

lxlRa −=

−= 1.10=∑ ibM

lx

lxRb ==

.10=∑ iaM

Dle podmínek rovnováhy platí:

0=c

lc =

12 / 67

Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku

Pořadnice η příčinkové čáry jsou bezrozměrná čísla

Ra

1

Rb

1l

xbR =η

lx

aR −=1η

Proměnlivézatížení P = 1

Hodnota Ra v průřezu aod P v průřezu x

Hodnota Rb v průřezu bod P v průřezu x

+

+


b

Rb

a

Ra

P=1

c l - cl

x

c

lx ,0∈

.konstc =Reakce Ra a Rb

0=c

lc =

13 / 67

Definice příčinkové čáry

Ra

1

+

Příčinková čára je grafické znázornění funkce, která vyjadřuje závislost sledované veličiny (např. Ra) na proměnné poloze bezrozměrnéjednotkové síly popsané nezávisle proměnnou vzdáleností x.


b

Rb

a

Ra

P=1

c l - cl

x

c

lx ,0∈

.konstc =

lx

aR −=1η

0=c

14 / 67

Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, příklad

b

Rb

a

P=1

l

Ra

1

Rb

14

1== lx

bRη

+

+

4lx = lxl .4

3=−

43==

aRaR η

41==

bRbR η


Reakce Ra a Rb ?

Ra

431 =−= l

xaRη

0=c

lc =

4lx =

.konstc =

15 / 67

Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, vyhodnocení

η==→= ac RSP 1 pro

η.1 pro PRP a =→≠


b

Rb

a

l

Ra

1

Rb

1l

xbR =η

+

+

x xl −

Reakce Ra a Rb ?

Ra

lx

aR −= 1η

0=c

lc =

.konstc =

lx ,0∈1≠P

16 / 67


b

Rb

a

P=20kN

l=7

Ra

1

Rb

17143,075 ==

bRη

2857,0751 =−=

aRη

+

+

5=x 2=− xl

kN7143,572.20. ===

aRa PR η

kN2857,1475.20. ===

bRb PR η


Ra

Reakce Ra a Rb ?

0=c

lc =

17 / 67

Využití příčinkových čar pro výpočet účinků nehybného zatížení


Výpočet účinků nehybného zatížení pomocí příčinkové čáryObr. 11.5. / str. 175

(a)

(b)

(c)

(d)

∑=

=n

iiic PS

1.η

( ) ( )∫=d

ca xxxqR d.η

pro q(x)=konst.

( ) cd

d

ca AqxxqR .d. == ∫η

Působí-li na nosníku n sil Pi (i=1, 2, ..., n)

Součet příspěvků(příčinků) jednotlivých sil

Působí-li na nosníku q=q(x) v úseku dxc ≤≤

18 / 67

Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, vyhodnocení

b

Rb

a

Ra

x1 l - x1

l

Ra

1

Rb

1l

x11 =η

lx1

1 1−=η

+

+

221121 .. a pro ηη PPRPP a +=→

x2 l - x2

lx2

2 1−=η

lx2

2 =η


0=c

lc =

Reakce Ra a Rb ?12 ≠P11 ≠P

aRη

bRη

Obecně ∑=

=n

iiia PR

1.η

19 / 67


b

Rb

a

P2=10kN

l=7m

Ra

1

Rb

17143,02 =η

2857,02 =η

+

+

m3

kN4284,112857,0.105714,0.15.. 2211

=+==+= ηη PPRa

m2 m2

P1=15kN

4286,073

1 ==η

5714,07311 =−=η

kN5716,137143,0.104286,0.15.. 2211

=+==+= ηη PPRb


Ra

0=c

lc =

bRη

aRη

Reakce Ra a Rb ?

20 / 67

Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku

b

Rb

a

l = 6 m

Ra

1

Rb

1

+

+

2.

2.d..

0

2

0

lqxlqxx

lqR

ll

a =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫

q=5kN/m

kN 15== ab RR

( ) ( )∫=l

a xxxqR0

d.η


lx

bR =η

lx

aR −= 1η

Ra

0=c

lc =

Reakce Ra a Rb ?

pro q(x)=konst.

( ) AqxxqRl

a .d.0

== ∫η

21 / 67

Příčinkové čáry V(c) na prostém nosníkuPosouvající síla V(c)

( ) 03

== lc

V

( ) 25,03

−== lc

V

( ) 5,03

== lc

V

( ) 03

== lc

V


baRa=1

P=1

ba

P=1

l

Rb=0

baRa=0 P=1Rb=1

4lx = l.4

34

3=aR 41=bR

ba

P=1

l2

lx =

21=aR 2

1=bR

2l

c

c

c

c

3lc =

+75,0

V

25,0−

-

5,0 V

5,0−

-

+

.konstc =

lx ,0∈

22 / 67

Příčinkové čáry V(c) na prostém nosníku

b

Rb

a

Ra

P=1

x l - x

l

V(c)

1

+

c

-1

-

( )6,0

321max, ==−=

lc

cVη

( )3,0

31

min, −=−=−=lc

cVη

3lc = lcl .3

2=−

v průřezu c je jednotkový skok1=δ

Pořadnice η příčinkové čáry jsou bezrozměrná číslaPříčinkové čáry na prostém nosníku a konzole

cx ≤≤0

( ) ( ) lxRV bVc c

−=−==η

lxc ≤≤

( ) ( ) lxRV aVc c

−=== 1η

levá větev

pravá větev

.konstc =

lx ,0∈

3lc =

23 / 67

Příčinkové čáry M(c) na prostém nosníkuOhybový moment M(c)

ba

P=1

l4

l l.43

43=aR 4

1=bR

ba

P=1

3l

32=aR 3

1=bR

l.32

3lc =

( ) llRM bP

lc.

61.

32.

3==

=

( ) llRM aL

lx.

92

3.

3==

=

c

c

ba

P=1

2l

21=aR 2

1=bR

2l

( ) llRM aL

lx.

61

3.

3==

=

c

lcl .32=−


+M

+M

+M

24 / 67

Příčinkové čáry M(c) na prostém nosníku

b

Rb

a

Ra

P=1

x l - x

l

M(c)

c

3lc = ( ) lcld .3

2=−=

v průřezu c je jednotkové zalomení

+

Rozměrem pořadnice η příčinkové čáry je délka

3lc =

lcl .32=−

( )

( ) llll

lclc

cM .92

.3.3.2..

max,2 ==−

==ηη

1=ϕ1=ϕ

llll .

61

.3.4.2.

1 ==η

ll

ll .61

.2.3.

3 ==η


cx ≤≤0

( ) ( )( ) ( )

lclxclRM bMc c

−=−==

..η

lxc ≤≤

( ) ( )

( )l

xlccRM aMc c

−===

..η

levá větev

pravá větev

.konstc =

lx ,0∈

3lc =

25 / 67

Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých konců


Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých koncůObr. 11.1. / str. 171

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(b) Příčinková čára reakce Ra na prostém nosníku

(c) Příčinková čára reakce Rb na prostém nosníku

(d) Příčinková čára ohybového momentu M(c)na prostém nosníku

(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)na prostém nosníku

26 / 67

Příklad 8.1


Zadání a řešení příkladu 8.1Obr. 11.6. / str. 175

(a)

(b)

(c)

(d)

Zadání:

S využitím příčinkových čar určete posouvající sílu Vc a ohybový moment Mcpro oba zatěžovací stavy s využitím příčinkových čar.

27 / 67

Příčinkové čáry na konzoleReakce Rb a Mb

a

P=1

x

l

Rb

1 bRη


+

b

Mb+

bMηl


.konstc =

lx ,0∈

lc =

lc =

1==bRbR η

( )xlMbMb −== .1η

28 / 67

Příčinkové čáry na konzoleVnitřní síly V(c) a M(c)

a

P=1

x

l

V(c)-1

( )cVη


-

bc

c

M(c) -( )cMη( )

ccM −=η


.konstc =

lx ,0∈

( ) ( )1−==

cVcV η

( ) ( )xxM

cMc −=−== .1η

cx ≤≤0

29 / 67

Příčinkové čáry na konzole vlevo vetknuté


Příčinkové čáry na konzole vlevo vetknutéObr. 11.2. / str. 173

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(b) Příčinková čára reakce Ra na konzole

(c) Příčinková čára reakce Ma na konzole

(d) Příčinková čára ohybového momentu M(c)na konzole

(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)na konzole

30 / 67

Příčinkové čáry na konzole vpravo vetknuté


Příčinkové čáry na konzole vpravo vetknutéObr. 11.3. / str. 173

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(b) Příčinková čára reakce Rb na konzole

(c) Příčinková čára reakce Mb na konzole

(d) Příčinková čára ohybového momentu M(c)na konzole

(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)na konzole

31 / 67

Prostý nosník s převislými konci

b

Rb

a

Ra

l lbla

P=1Reakce Ra a Rb

Ra

1

aRη

+

lla

Ra+= 1η

- llb

Ra−=η

Rb

1+-


.konstc =

ba lllx +−∈ ,

x

lla

Rb−=η bRη

llb

Rb+= 1η

lxR

aRa −== 1η

lc =

0=c

lxR

bRb ==η

32 / 67


b

Rb

a

Ra

l

c

lbla

P=1Posouvající síla V(c)

V (c)

1

+

-1

-

lc

−1

-+

lc

−lla l

lb−

( )cVη


x

c

33 / 67


a

cacb

-1

- V(cb)

1+


Posouvající síla V(ca) a V(cb)

b

Rb

a

Ra

l

ca

lbla

P=1

x

ca cb

cb

V(ca)

34 / 67


M(c)

+

-

-

( )

( )l

clccM

−=

.η

c

cl −

( )cMη

lclb .

−( )

lclla −

−.


b

Rb

a

Ra

l

c

lbla

P=1

x

cOhybový moment M(c)

35 / 67


a

- -


Ohybový moment M(ca) a M(cb)

b

Rb

a

Ra

l

ca

lbla

x

ca cb

cb

cacb

M(ca) M(cb)

( )( )aaM cl

ac−−=η

( )( )[ ]lcl bbM bc

−−−=η

36 / 67

Příčinkové čáry na prostém nosníku s převislými konci


Příčinkové čáry na prostém nosníku s převislými konciObr. 11.4. / str. 174

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(b) Příčinková čára reakce Ra

(c) Příčinková čára reakce Rb

(d) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(c) v poli

(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)v poli

(f) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(a) nad podporou a

37 / 67

Příklad 8.2



(a)

(b)

(c)

(d)

Zadání:

S využitím příčinkových čar určete případný extrémní účinek nahodilého zatížení

Řešení:

Největší kladný (záporný) ohybový moment – zatížit pouze část konstrukce s kladnými(zápornými) pořadnicemi příčinkové čáry

38 / 67

Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby


Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženým kloubemObr. 11.8.b. / str. 178

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Část nesená

(c) Příčinková čára reakce Ra

(d) Příčinková čára interakce Rd

(e) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(e)

(f) Příčinková čára posouvajícísíly V(e)

39 / 67



Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženým kloubemObr. 11.8.b. / str. 178

(a)

(b)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

Část nesoucí

(g) Příčinková čára reakce Rb

(h) Příčinková čára reakce Rc

(j) Příčinková čára posouvajícísíly V(g) v poli

(i) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(g) v poli

(l) Příčinková čára posouvajícísíly V(f) na převislém konci

(k) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(f) na převislém konci

40 / 67

Příklad 8.3



(a)

(b)

(c)

Zadání: S využitím příčinkových čar určete případné extrémní účinky nahodilého zatížení Ma a M(s)

41 / 67

Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku - formulace úlohy

Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku

Pohyblivé vozidlo na prostém nosníkuObr. 11.10. / str. 181

Zatížení: Pohyblivé vozidlo ve formě soustavy svislých bodových silP1, …, Pi, …,Pn.

Předpoklad: Celá soustava se vejde na nosník, žádná síla nevyjede za okraj nosníku ani na nosník nevjede další síla.

Požadavek: Stanovení největšího možného ohybového momentu na nosníku.

42 / 67

Maximální ohybový moment v zadaném průřezu


K odvození Winklerova kritériaObr. 11.11. / str. 181

(a)

(b)

(c)

Pevně zadaný průřez c, v němž se zjišťuje maximálnímožný ohybový moment.

∑=

=n

iiia bP

lR

1..1

( )

∑∑

∑∑

∑

==

−

==

=

−=

=−=

=−=

k

iii

n

iii

k

iii

n

iii

k

iiiac

dPbPlc

dPbPlc

dPcRM

11

1

11

1

...

...

..

Reakce

Ohybový moment

0=kd

43 / 67

Maximální ohybový moment v zadaném průřezu


K odvození Winklerova kritériaObr. 11.11. / str. 181

(a)

(b)

(c)

( ) ( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=+−+= ∑∑==

kc

k

iii

n

iiic

RRlcM

dPbPlcM

..

...11

δ

δδs

Soustava popojede o δ doleva

∑=

=n

iiPR

1∑

=

=k

iik PR

1kde

( ) ( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

=−−−=

−

−

==∑∑

1

1

11

..

...

kc

k

iii

n

iiic

RRlcM

dPbPlcM

δ

δδr

Soustava popojede o δ doprava

∑−

=− =

1

11

k

iik PRkde

Rozhoduje znaménko výrazu (nesmí být kladné)

kRRlcD −= .

44 / 67

Winklerovo kritérium

b

Rb

a

Ra

P1

bi

l

c

c cl −

+

PnPk Pi

d1

( )

( )l

clckM c

−==

.ηη

1ηiη nη

kk RRlcR ≤≤− .1

1

1

1−

−

=∑ = k

k

ii RP RP

n

ii∑

=

=1

k

k

ii RP∑

=

=1

( ) ∑=

=n

iiiC PM

1

.max η

M(c)


Musí platit:

kk RRlcRR

lcD ≤⇒≤−= .0.

RlcRRR

lcD kk .0. 11 ≤⇒≥−= −−

Winklerovo kritérium

Pk … kritická síla

Emil Winkler(1835-1888)

45 / 67

Příklad 8.4


Výpočet maximálního ohybového momentuv zadaném průřezu (příklad 8.4)

Obr. 11.12. / str. 184

(a)

(b)

(c)

Zadání:

S využitím Winklerova kritéria určete rozhodující sílu a umístěte soustavu sil do nejúčinnější polohy, při které v průřezu c vznikne maximálníohybový moment. S využitím příčinkové čáry vypočtěte velikost maximálního ohybového momentu.

46 / 67

Obory sil pohyblivé soustavy na prostém nosníku


Obory sil pohyblivé soustavyObr. 11.13. / str. 184

Obor síly – množina všech bodů, pro něž je rozhodující táž síla pohyblivésoustavy

Rl

cR kk .1

1−

− =

Rl

cR kk .=

Levá hranice

Pravá hranice

lR

Rc kk .1

1−

− =

lRRc k

k .=

→

→

47 / 67

Čára maximálních ohybových momentů pod sledovanou silou


K odvození čáry maximálních ohybových momentůpod sledovanou silou a břemenového kritéria

Obr. 11.14. / str. 186

(a)

(b)

(c)

rRdPn

iii ..

1

=− ∑=

⇒ ∑=

−=n

iii dP

Rr

1

..1

0=∑ kPM

lxlRRa

−= .Reakce

Ohybový moment v působišti Pk

( ) ∑−

=

−−−

=1

1max, ...

k

iiik dPrx

lxlRM

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

++−= ∑

−

=

1

1

2max, .....

k

iiik dPrRx

lrlRx

lRM

Poloha největšího možného ohybového momentu Mk,max,max pod Pk

( ) 0..2d

d max, =+

+−=l

rlRxlR

xM k

22rxl

−= … břemenové kritérium

48 / 67

Břemenové kritérium

b

Rb

a

Ra

P1

l

ka raal kk +=−

+

PnPk Pi

d1

1ηiη nη

∑=

−=n

iii dP

Rr

1

..1

∑=

=n

iiik PM

1maxmax,, .η

r

x xl −

s


M(ak)

( )

( )l

ala kkkM ka

−==

.ηη

Pod sledovanou silou Pkpohyblivé soustavy sil na prostém nosníku vznikne maximální ohybový moment tehdy, jestliže střed nosníku s půlívzdálenost r mezi paprskem výslednice Rsoustavy a paprskem sledované síly Pk.

∑=

=n

iiPR

1

22rlak −=

49 / 67

Příklad 8.6



(a)

(b)

(c)

Zadání:S využitím břemenového kritéria určete maximální ohybový moment M2,max,max pod silou P2. Zjistěte, zda pořadnice momentu M2,max,max leží uvnitřoboru sledované síly.

Řešení:

∑=

=n

iiPR

1∑

=

−=n

iii dP

Rr

1

..1

m545,8222 =−=rla

laRR k

a .= 11maxmax,,2 .. dPaRM ka −=

m03,3.11 == l

RPc 2

212 m66,6. al

RPPc <=

+=

50 / 67

Příklad 8.7


Zadání a řešení příkladu 8.7Obr. 11.17.a. / str. 189

(a)

(b)

(c)

Zadání:Sestrojte čáru maximálních ohybových momentů na celém nosníku pohyblivésoustavy tří sil, působících na prostém nosníku. Zjistěte moment Mmax,max.Řešení:

Hranice oborů sil a příčinkové čáry pro vnitřní hranice

1.l

RRc k

k .11

−− = l

RRc k

k .=

1

1

1−

−

=∑ = k

k

ii RP kN200

1

==∑=

RPn

ii k

k

ii RP∑

=

=1

m81 =c m142 =c m203 =cm00 =c

Pořadnice čáry maximálních ohybových momentů v místech vnitřních hranic

2.

( ) ∑=

=n

iiic PM

k1

max, .η

kNm720max,1 =M kNm660max,2 =M

51 / 67

Příklad 8.7


Zadání a řešení příkladu 8.7Obr. 11.17.b. / str. 189

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

Řešení:Výpočet maximálních ohybových momentůpod silami soustavy

3.

∑=

−=n

iii dP

Rr

1

..1 kN2001

== ∑=

n

iiPR

22rlak −= ∑

=

=n

iiik PM

1maxmax,, .η

m5,81 =a kNm5,722maxmax,,1 =M



m31 =r

m12 −=r

m33 −=r

(d,e)

(f,g)

(h,i)

52 / 67

Příklad 8.7


Čára maximálních ohybových momentů (výsledek příkladu 8.7)Obr. 11.18. / str. 190

Řešení:Čára maximálních ohybových momentů na celém nosníku4.

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

++−= ∑

−

=

1

1

2maxmax,, .....

k

iiik dPrRx

lrlRx

lRM

kNm5,782maxmax,maxmax,,2 == MM

Čára maximálních ohybových momentůpředstavuje nejúplnějšíinformaci o ohybu nosníku, často dosti pracné.

Přímý výpočet – pod kterou Pi vznikne Mmax,max?

53 / 67

Přímý výpočet vůbec největšího ohybového momentu


Šolínovo kritériumObr. 11.19. / str. 191

Předpoklad: Mmax,max vznikne ve smyslu Winklerova kritéria pod silou rozhodující pro střed nosníku (c=l/2) – aritmeticky střední síla Ps. Ve smyslu břemenového kritéria (Pk = Ps) pak pod Pk určit Mmax,max.

Nevzniká-li Mmax,max pod některou sousednísilou (pokud jsou výrazněvětší než Pk) se lze přesvědčit pomocíŠolínova kritéria:

k

k

k

k

lR

lR

lR

≤≤−

−

1

1

54 / 67

Šolínovo kritérium

b

Rb

a

Ra

P1

l

ka kal −

+

PnPk=Ps Pi

d1

1ηiη nη

∑=

=n

iiiPM

1

.maxmax η

r

rak + ka

s

1. Určení Pk pomocí Winklerova kritéria

2. Určení r pomocí břemenového kritéria

Mx

dk-1


dk+1

( )

( )l

ala kkkM ka

−==

.ηη

k

k

k

k

lR

lR

lR

≤≤−

−

1

1

11 .41

−− −= kkk dal 1.41

++= kkk dal

1

1

1−

−

=∑ = k

k

ii RP RP

n

ii∑

=

=1

k

k

ii RP∑

=

=1

Průměrná hodnota zatíženípřipadající na celou délku nosníku lleží mezi průměrnými hodnotami zatížení připadajícími na pomocnéúseky o délkách lk-1 a lk.

3. Ověření účinnosti dle Šolínova kritéria

Josef Šolín(1841 - 1912)

Postup:

55 / 67

Příklad 8.8


Zadání příkladu 8.8Obr. 11.20. / str. 192

Zadání:Zjistěte přímým výpočtem (s použitím Šolínova kritéria) hodnotu největšího možného ohybového momentu Mmax,max na celém nosníku.

kk RRlcR ≤≤− .1

Zjištění aritmeticky střední síly (Winklerovo kritérium)Řešení:

1.

2lc =

kN330=RkN503 == PPs

Výpočet maximálního ohybového momentu pod aritmeticky střednísilou (břemenové kritérium)

2.

∑=

−=n

iii dP

Rr

1

..1 m630,0−=r

kNm731,552maxmax,,3 =M

m315,63 =a

Použití Šolínova kritéria:3.m715,51 =−kl

m765,6=kl

kN1601 =−kR kN210=kR

k

k

k

k

lR

lR

lR

≤≤−

−

1

1

042,315,27997,27 <>

Není splněno, Mmax,max vznikne pod P2 kNm531,559maxmax, =M

56 / 67

Přibližná konstrukce čáry maximálních ohybových momentů


Přibližná konstrukce čáry maximálních momentůObr. 11.21. / str. 192

Sestrojení s využitím přímého výpočtu dle Šolínova kritéria.

Výhodné pro soustavy s mnoha silami, u nichž se předpokládá symetrie působení (vlaky v obou směrech).

Doporučuje norma ČSN 73 6203 Zatížení mostů.

57 / 67

Výpočet extrémních hodnot posouvající síly v zadaném průřezu


K výpočtu maximální posouvající síly v zadaném průřezuObr. 11.22. / str. 193

(a)

(b)

(c)

( ) ( ) ?, min,max, =cc VV konst.=c

Pozice I. P1 v c zprava

Pozice II. P2 v c zprava

Maximum (minimum) - kladná (záporná) část příčinkové čáry

( ) ∑=

==n

iiica bP

lVR

1I,I, ..1

( )∑=

+=n

iiia dbP

lR

1II, ..1

( ) ( ) 11

II, ..1 PdbPl

Vn

iiic −+= ∑

=

Kritérium pro výběr pozice I nebo II

( ) ( ) II,I, cc VV > ⇒ldRP .1 >

(v případě, že P1 je výrazně menší než P2)

( ) ( ) II,I, cc VV < ⇒ldRPn .>

Obdobně pro minimum(Pn nebo Pn-1 zleva)

58 / 67

Příklad 8.9



(a)

(b)

Zadání:Zjistěte nejúčinnější pozice pohyblivé soustavy 4 sil pro vyvození maximální a minimální posouvající síly v průřezu c. Určete tyto extrémy.

Maximální V(c)

Řešení:1.

kN3,616

8,1.56.kN201 ==>=ldRP

( ) kN6,24..11

max, == ∑=

n

iiic bP

lV

Minimální V(c)2.

kN4,816

4,2.56.kN44 ==<=ldRP

( ) kN8,14..1 1

11min, −=−= ∑∑

−

==

n

ii

n

iiic PbP

lV

Platí, pozice I

Neplatí, pozice II

59 / 67

Nepřímé pohyblivé zatížení


Nepřímé pohyblivé zatíženíObr. 11.24. / str. 195

(a)

(b)

Konstrukce složená z mnoha prutů, hlavní podélný nosník zatížen nepohyblivými akcemi příčných nosníků.

60 / 67Rozpětí 460,8 m, 4 pole, modul příhrady 12,8 m.

Hlavnípodélnénosníky

Příčné nosníky(Příčníky)

Podélné nosníky(Podélníky)


Dálničně - železniční most, Bratislava

61 / 67

Příčinkové čáry za nepřímého pohyblivého zatížení

Účinek břemene P, působícího na podélník, se přenáší na příčníky a na hlavní nosníky

P=1 podélník

hlavní nosníkpříčníky


62 / 67

Příčinkové čáry za nepřímého zatíženíP=1

podélník

hlavní nosníkpříčníky

e x f

eη fηη′η

Sc

S’c

d

z z′

ηηηηη ′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=+=′ ...... F

dz

dzdFFFS feffeec


vždy lineární průběh

63 / 67

Příčinkové čáry reakcí Ra a Rb za nepřímého zatížení

b

Rb

a

Ra

P=1

x l - x

l

R’a

1

R’b

1

+

+

e fc


64 / 67

Příčinkové čáry Vx a Mx za nepřímého zatížení

b

Rb

a

Ra

P=1

x l - xl

1

e fc

V’c+

-1-

fη

efc

eη

M’c

e fc

+

fηeη( )

lclc −.

xη

xη


65 / 67



Příčinkové čáry na prostém nosníku při nepřímém zatíženíObr. 11.25. / str. 195

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Příčinkové čáry při nepřímém zatížení

ReakceOhybový momentPosouvající síla(d)

(c)(a,b)

66 / 67

Metody řešení příčinkových čar, účinků pohyblivého zatížení

a) metoda analytická – odvozené vzorce dle zásad statikyb) metoda kinematická – s užitím kinematické definice příčinkové čáry

Příčinková čára veličiny S v průřezu c konstrukce je kinematickáčára, vyvozená na uvažované konstrukci jednotkovým impulsem v průřezu c.

Numerická metoda zjišťování extrémních účinků pohyblivého vozidla (počítačovásimulace pohyblivého zatížení)

Jednotkový impuls:pro příčinkovou čáru V, N a reakcí - posunutí δ = 1pro ohybový moment M - pootočení ϕ = 1

67 / 67

Okruhy problémů k ústní části zkoušky1. Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých konců2. Příčinkové čáry na konzole3. Příčinkové čáry na prostém nosníku s převislými konci4. Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby5. Využití příčinkových čar pro výpočet (extrémních) účinků

nehybného zatížení6. Maximální ohybový moment v zadaném průřezu

(Winklerovo kritérium)7. Maximální ohybový moment pod sledovanou silou

(břemenové kritérium)8. Vůbec největší ohybový moment na celém nosníku

(Šolínovo kritérium)9. Nepřímé pohyblivé zatížení

Podklady ke zkoušce

Téma 8 - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/ss_tema08.pdf · 8 / 67 Příčinkové čáry na...

Documents

Transcript of Téma 8 - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/ss_tema08.pdf · 8 / 67 Příčinkové čáry na...