Tellen van Stemmen …

FEB, Studiedag Leraren Wiskunde, 6 mei 2010

Luc Lauwers

Notatie

• Kiezers : N = {1, 2, …, n}• Alternatieven : A = {a, b, …} (eindig)• Elke kiezer ordent de alternatieven.– Is beter dan : a > b,

– Is even goed : a ~ b,– Volledig en transitief.

Profielen

• Zij P de verzameling van alle volledige en transitieve relaties in A.

• Profiel : p = (>1, >2, …, >n).• Pn is de verzameling van alle profielen.

Stemprocedure

• F : Pn A (>1, …, >n) | F(>1, …, >n)

• Meerderheidsregel : –noteer voor elke kiezer het unieke alternatief

dat bovenaan staat, –het alternatief dat het meest voorkomt, wordt

sociaal gekozen.

Twee alternatieven

• A = {a, b}• P : a > b of b > a of a ~ b• +1 -1 0

• Profiel : p = (+1, 0, +1, -1, 0).

Wenselijke eigenschappen

• Zij F een stemprocedure.

• Anonimiteit,• Neutraliteit,• Monotoniciteit,• …

Anonimiteit

• De naam van de kiezer is niet relevant.

• Voor alle profielen p en q in Pn,• Indien p en q aan elkaar gelijk zijn op de

volgorde na, dan F(p) = F(q).

Neutraliteit

• De naam van het alternatief is niet relevant.

• Voor elke p in Pn, voor alle a en b in A• Zij F(p) = a.• Wissel overal in het profiel a en b om en bekom

profiel p’.• Dan F(p’) = b.

Monotoniciteit

• Zij p een profiel, zij F(p) = a.

• Bekom een profiel p’ vanuit p door meer steun te geven aan a.– bij elke kiezer stijgt (zwak) alternatief a in de ranking.

• Dan F(p’) = a.

Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }.

• Zij F : Pn P een stemprocedure.• Sterke monotoniciteit– Zij p een profiel met F(p) in {0, +1}.

– Zij p’ > p (ongelijkheid in Rn).

– Dan F(p’) = +1.

• Alternatief a krijgt meer steun.

De sociale “ordening” beweegt van {0,+1} naar +1.

Meerderheidsregel, A = {a, b} en P = { +1, -1, 0 }.

• Stelling.

• Zij F : Pn P een anonieme, neutrale, en sterk monotone stemprocedure.

• Dan F(p) = +1 zodra het profiel p méér +eentjes bevat dan –eentjes.

Bewijs

• F is anoniem. Zij p een profiel.

• De uitkomst F(p) wordt volledig bepaald door – p+ = aantal keer +1 in p,

– p- = aantal keer -1 in p,

– p0 = aantal keer 0 in p.• F is neutraal. F(-p) = - F(p).– herinner +1: a > b, -1: b > a, 0: a ~ b.

• Neem een profiel p waarvoor p+ = p-.

• De profielen p en -p zijn op de volgorde na aan elkaar gelijk.

• Anonimiteit: F(p) = F(-p).• Neutraliteit: F(-p) = - F(p).• Dus F(p) = 0.

• Neem een profiel q met q+ > q-.

• Zij p een gepast profiel met p+ = p- = q-.

• Uit de vorige stap: F(p) = 0.

• Vermits q > p (in Rn) geldt F(q) = +1.– Gebruik sterke monotoniciteit.

• Een profiel q met q+ < q-. Op dezelfde wijze.□

Referendum?

• Europese grondwet : vóór of tegen.

• Lange Wapper : vóór of tegen.

• Complexe dossiers herleiden tot vóór of tegen.

• Niet zinvol.

Drie alternatieven, A = {a,b,c}

• Meerderheidsregel ?• Voorbeeld : 21 kiezers

• Alternatief: a a b c Aantal kiezers : 3 5 7 6

• Meerderheidsregel: a heeft 8 kiezers.

Volledige informatie

• # Kiezers : 3 5 7 6, totaal 21. • Alternatief : a a b c b c c b c b a a• a versus b : 8 tegen 13, dus b >sociaal a.• a versus c : 8 tegen 13, dus c >sociaal a. • b versus c : 10 tegen 11, dus c >sociaal b. • c >sociaal b >sociaal a.

Condorcet-regel

• Paarsgewijs aftoetsen van alternatieven.

• Meerderheidsregel : a.

• Condorcet : c >sociaal b >sociaal a,

• Condorcetverliezer : a.• Meerderheidsregel (3 of meer alternatieven)

zet soms een Condorcetverliezer bovenaan.

Condorcet lukt niet altijd

• # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17.• Alternatief : a c b b b a c a c b a c• a versus b : 11 tegen 6, dus a >sociaal b.• a versus c : 8 tegen 9, dus c >sociaal a. • b versus c : 12 tegen 5, dus b >sociaal c. • a >sociaal b >sociaal c >sociaal a.

Condorcet consistentie

• Vorig voorbeeld : Condorcet paradox.• Arrow’s theorema.

• F is Condorcet consistent :• Voor elk profiel p met een Condorcet winnaar,

geldt F(p) = Condorcet winnaar.

• Meerderheidsregel {a, b} is Condorcet consistent.

Meerderheid met runoff

• # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17.• Alternatief : a c b b b a c a c b a c• Eerste ronde : c niet weerhouden.

Meerderheid met runoff

• # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17.• Alternatief : a □ b b b a □ a □ b a □• Tweede ronde : a wint (11 tegen 6).

Meerderheid met runoff ??

• # Kiezers : 6 5 4 2, totaal 17.• Alternatief : a c b a (ipv b)

b a c b (ipv a)

c b a c• Eerste ronde : b niet weerhouden.

• Tweede ronde : c wint (9 tegen 8). (ipv a).

Meerderheid met runoff ??

• Is niet monotoon.

• F(p) = a.

• Alternatief a krijgt meer steun (profiel p’).• F(p’) = c.

Borda regel

• # Kiezers : 7 7 1, totaal 15.• Alternatief : a b c Borda-score 2,

b a a Borda-score 1,

c c b Borda-score 0.

• Score a : 14+7+1 = 22. Score c : 2.

• Score b : 7+14 = 21. Borda-winnaar: a.

Borda regel

• # Kiezers : 7 7 1, totaal 15.• Alternatief : a b c Borda-score 2,

b c a Borda-score 1,

c a b Borda-score 0.

• Score a : 14+1 = 15. Score c : 9.

• Score b : 7+14 = 21. Borda-winnaar: b.

Manipuleerbaarheid

• Groepje van 7 “liegt”.• In plaats van b > a > c (ware voorkeur),

• reveleren ze b > c > a.

• De Borda-winnaar beweegt van a naar b.• Incentief om te liegen.

• Meerderheidsregel {a, b} niet manipuleerbaar.

Simpson-regelmonotoon én Condorcet-consistent

• # Kiezers : 3 3 5 4, totaal 15.• Alternatief : a a d b d d b c c b c a b c a d• Paarsgewijs aftasten: a• a > b: 6, a > c: 6, a > d: 10.

• # Kiezers : 3 3 5 4, totaal 15.• Alternatief : a a d b d d b c c b c a b c a d• a > b: 6, a > c: 6, a > d: 10. • b > a: 9, b > c: 12, b > d: 4.• c > a: 9, c > b: 3, c > d: 4.• d > a: 5, d > b: 11, d > c: 11.• Hoogste “laagste score”: alternatief a.

• # Kiezers : 3 3 5 4 4 totaal 19.• Alternatief : a a d b c d d b c a c b c a b b c a d d• a > b: 10, a > c: 6, a > d: 14. • b > a: 9, b > c: 12, b > d: 8. • c > a: 13, c > b: 7, c > d: 8.• d > a: 5, d > b: 11, d > c: 11.• Hoogste “laagste score”: alternatief b.• Oorspronkelijk profiel: alternatief a.

The no show paradox

• Oorspronkelijk profiel: alternatief a.• Indien deze vier kiezers komen opdagen,• dan alternatief b.

• Deze vier kiezers: c > a > b > d.• Door weg te blijven, steun geven aan a.

• … Kiezen en Verliezen.

Stelling

• Joaquin Pérez (2001)• “The strong no show paradoxes are a common

flaw in Condorcet voting correspondences”• Social choice and welfare 18:601-616.

• Verdere literatuur: Donald Saari.