TELLEN IN TAAL:TELLEN IN TAAL:de vorm van rekenen en redenerende vorm van rekenen en redeneren

Johan van Benthem http://staff.science.uva.nl/~johan/

Institute for Logic, Language and Computation ILLC

UvA open college, 1 october 2003

Hoe Wiskunde Werkt

Notatie en TaalNotatie en Taal• Getallen en hun namenGetallen en hun namen 9, 5+4, 32, x+1 = 10, 2, 12

• Getallen zelf niet nodig om te rekenen! 2 • (3+x) = 2•3 + 2•x = 2x + 6

• Nut van notatie: precisie, overzicht: x + y = y + x

• Syntaxis (talige vorm) versus semantiek (het aangeduide object, de betekenis)

Grammatica van de wiskundeGrammatica van de wiskunde

Namen van getallen• eigennamen 0, 1, , …• variabelen x, y, z, …• functiesymbolen: +, *, , …• samengestelde termen: 32, (x+2y), ...

Grammatica zelf wiskundig! • Ambigu: 2+3*4: (2+3)*4?, 2+(3*4)?• Unieke leesbaarheid in Poolse notatie:

*+234 versus +2*34• En die eenduidigheid kun je bewijzen.

Grammatica 2Grammatica 2

• Basisbeweringen

t1 = t2, t1 < t2, x tussen y en z • Vorm: relatie-symbool plus aantal termen

x + 2y < y2 * z

R (t1, ..., tk)

met k het aantal argumenten van de relatie

• Net zo voor verzamelingen en andere objecten:

x AB

Grammatica, 3Grammatica, 3Samengestelde beweringen Boolese operaties• niet negatie• en conjunctie• en/of disjunctie• als.. dan.. implicatie• desda equivalentie• geen oude mannen of poorters:• ((O M) P), (O (M P)),• (O M) P, (O M) P, nog meer?

Grammatica, 4Grammatica, 4Spreken over alle getallen, zelfs al die niet allemaal een

naam (kunnen) hebben!

• Kwantoren uitdrukkingen van hoeveelheidAlle x (x) alle x voldoen aan Sommige x (x) minstens één x heeft Geen x (x) geen enkele x heeft • De kracht: herhaalde kwantoren x y x<y elk getal heeft een groter getal x y y<x er is een kleinste getal

• Dichte ordening: xy(x<y z (x<zz<y))

Leren lezen en schrijvenLeren lezen en schrijven• in rekenkundige taal met vermenigvuldiging:

definieer “x is een priemgetal”• x deelt y z x*z = y• x = 1 z: x*z = z• x is priem u: (u deelt x (u=xu=1))

• In taal van de verzamelingen: lees formule

x y (z(zx z y) x=y) • Extensionaliteit: twee verzamelingen

met dezelfde elementen zijn gelijk

Notatie en AbstractieNotatie en AbstractieVerder nut notatie: graden van abstractie• 3 + 4 = 4 + 3• 3 + y = y + 3• x + y = y + x• fxy = fyx• t1 = t2

• R (fxy, fyx)

• Wiskunde van notatie: ‘term-unifikatie’ bijv. belangrijk in programmeertalen

• Hoe abstracter, hoe meer toepassingen!

Patronen in bewijzenPatronen in bewijzen• Leibniz: Characteristica Universalis, Calculus Ratiocinator Geldige en ongeldige gevolgtrekkingen:• AB, A B • AB, A B • AB, B A• x y Rxy y x Rxy • y x Rxy x y Rxy

• Computers: symbolisch rekenen en redeneren

• Bewijzen mechanisch controleren, ontdekken?

• Eén formeel bewijs, vele interpretaties...

De taal van de wiskundeDe taal van de wiskunde

• Termen, basisbeweringen, Boolese operaties, en kwantoren: uitdrukkingen van hoeveelheid

• Abstracte notatie voor elke wiskundige theorie,

ook voor logische analyse van bewijsstappen

• Praktisch: informatica, automatisch bewijzen,

theoretisch: grondslagen van de wiskunde

• Filosofie van de wiskunde: Platonisme versus Formalisme (wiskunde is symbolenspel...)

Gewone taal en menselijke cognitieGewone taal en menselijke cognitie

• Ondanks eeuwen van symbolische notatie, gebruiken wij nog onze ‘natuurlijke taal’

• Ontstaan in onze cognitieve evolutie

• Functies: informatie, communicatie, emotie

• Geeft inzicht in ons cognitief functioneren

• Filosofische tegenstelling: formele ‘versus’ natuurlijke taal, ‘misleidende vorm these’

• Tegenwoordig: vele verbanden over en weer

Rekenen in Natuurlijke TaalRekenen in Natuurlijke Taal• Uitdrukkingen van hoeveelheid

Dit meisje kent drie talen,Weinig mensen kennen meer dan twee talen, De meeste mensen zijn rechtshandig, Alle vogels zingen een lied.

• Alledaags redeneren codeert rekenenUit het feit dat alle kinderen van uw buurman lastig zijn

volgt dat alle dochters van uw buurman lastig zijn.Uit het feit dat weinig mensen meer dan twee talen

kennen volgt dat weinig mensen meer dan drie talen kennen.

DeterminatorenDeterminatoren• "twee, alle, weinig, geen, de meeste”

• ZNP G

Det N zingt elke vogel

• Vorm: relatie tussen verzamelingen Q AB

• Ook determinatoren: elke blauwe, Napoleon’s

• Ook: vang elke vogel met twee netten

KwantorenKwantoren• Betekenis Q AB

A B

E

• Sommige A zijn B AB is niet-leeg

• Drie A zijn B |AB| = 3,

• De meeste A zijn B |AB | > |A–B|

• Conservativiteit:

Q AB Q A (BA)

Kwantoren en bijectiesKwantoren en bijecties

• Bijectie tussen verzamelingen A en B• Invariantie

Q AB Q F[A] F[B]

‘tellen’: ongevoelig voor de aard van objecten• Betekenis via a, b paren

a = |A–B|, b = |AB|

bijv. alle A B: a = 0, • de meeste A B: a < b

‘‘Natuurlijke Logica’Natuurlijke Logica’• Monotonie redeneren: kwantoren en inclusie

• Linker daling: MON

Alle buurkinderen zijn lastig Q BLBuurdochters zijn buurkinderen DBDus Alle buurdochters zijn lastig Q DL

• MON:Alle Nederlanders wonen op aarde Q NA

Aardbewoners wonen in de Melkweg AM Dus Alle Nederlanders wonen in de Melkweg Q NM

Theorie van kwantorenTheorie van kwantoren• Vierkant van Oppositie

alle geen

sommige niet alle• FEIT Enige kwantoren met (a) Bijectie-invariantie, (b)

Dubbele monotonie, (c) Conservativiteit, plus (d) ‘Variëteit’

• De meeste: ook een vorm van monotonie?

• Alleen rechts stijgend!

Kwantoren als machinesKwantoren als machines• “Alle” met een eindige automaat:

a b

b a• “Sommige” ‘pool’ “alle” machine ‘om’

• Wat herkent de volgende machine? b b b

a a a

• “Precies één A is B”• De meeste: machine nodig met geheugen

Eigenaardigheden van TaalEigenaardigheden van Taal

Wezenlijke verschillen met wiskunde:

• Ambiguïteit• Vaagheid

• Contextafhankelijkheid: “veel”

• Lastige combinaties: bijv. cumulatief

“10 baronnen bezaten 100 kastelen”

• Telbaar & stoftermen: “Weinig wijn”

Formele versus Natuurlijke TaalFormele versus Natuurlijke Taal

Nogmaals de twee talen van vanavond:

• Tegenstelling? Russell-Wittgenstein:

‘Natuurlijke taal heeft Misleidende Vorm’

Beter: Frege: ‘microscoop versus oog’

• Natuurlijke taalverwerking: ‘vertalen’

• Mengvormen: ‘mathematical vernacular’

• Wiskundige studie van natuurlijke taal heel goed mogelijk, ondanks de verschillen...