Technische Informatik -Teil RO · © K. Henke / H.-D. Wuttke, 2020/21 4 Zahlenwert der Dualzahl...

© K. Henke / H.-D. Wuttke, 2020/21 www.tu-ilmenau.de/iks 1

• Digitale Systeme, Zahlensysteme (1)• Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3)• Kombinatorische Schaltungen (4,5)• Automaten (6)• Sequentielle Schaltungen (7)• Informationskodierung (8)

Fortsetzung mit Teil Rechnerarchitektur, Herr Prof. Ziemer im Dezember 2020

Technische Informatik - Teil RO


Wertkontinuierlich

analog

Zeitd

iskr

et

abgetastet digital

Wertdiskret

quantisiert

Zeitk

ontin

uier

lich

Begriff „Digitales Signal“


12:34

Zahlensysteme


Zahlenwert der Dualzahl 0110 1010:

Berechnung im Dezimalsystem:

0*27 + 1*26 + 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21+0*20 = 1060*128 + 1*64 + 1*32 + 0*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = 106

Wandlung in andere Zahlensysteme:

6AH 0110 1010 1528je 4 Bit je 3 Bit

Hexadezimalzahl Dualzahl Oktalzahl

Stellen wert6*16+10*1 1*64+5*8+2*1

106 Dezimalzahl

Zahlensysteme


Funktion digitaler Schaltungen:– Variablen, Belegungen– BMA, Wertetabellen– Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke– Semantik, Wertfunktion, Wertberechnung– Ausdruck => Wertetabelle– Wertetabelle => Ausdruck

• Elementarkonjunktion, KDNF• Elementardisjunktion, KKNF

Technische Informatik (RO) – 2.Vorlesung


BMA … BOOLEsche Mengenalgebra

BAA … BOOLEsche Ausdrucksalgebra

George Boole

2. November 1815 - 8. Dezember 1864

1847: The Mathematical Analysis of Logic

Quelle: Wikipedia.de

BMA, BAA


Variablen, BelegungenDigitale Schaltung


• Binäre Variable x0,y0:

– 2 Werte (Konstanten): 0,1

– Bezeichnung: Kleinbuchstabe + Index

• Vektoren x, y:

– Tupel aus n Variablen x=[xn-1,...,x1,x0], |x|=n

– 2n Wertekombinationen (Belegungen)

Variablen, Belegungen


• Eingangsvektor x=[xn-1,...,x1,x0], |x|=n

• Belegungen: X0,Y0 X2n -1 , Y2m -1

– 2n : von [0,0,0,...,0] bis [1,1,1,...,1]

• Bezeichnung: Großbuchstabe + Index

• Belegungsmengen X: X={X0, X1, X2,... }, |X|= 2n

• Y={Y0, Y1, Y2,... }, |Y|= 2m

Variablen, Belegungen


21 0 2

0 0 0

BMA: : X => Y

BAA: y = h(x)

Wertetabelle Bezeichnung der Elemente


Architektur

Funktion (BMA) Struktur (BAA)Wertetabelle SchaltungY=(X) y = hk(x)Ausgangsbelegung Yt Ausgangsvariable yj

Eingangsbelegung Xi Eingangsvariable xi

Belegungsmengen X1 Ausdrücke hk

bn

anÜn

Ün-1 Sn+

Digitales System


Bisher: formale Beschreibung der Funktion einer digitalen Schaltung über Wertetabellen

: X => Y ... BMA

Für eine schaltungstechnische Realisierung ist eine strukturorientierte Beschreibung von Interesse=> schaltalgebraische Ausdrücke

y = h(x) ... BAA

Schaltalgebraische Ausdrücke


Syntax:



vereinfachte Schreibweise:• ohne äußere Klammern• Priorität• Beispiel


Syntax:


Semantik:

Semantik: Wertfunktion W

E ... Menge syntaktisch korrekter AusdrückeX ... Menge der Eingangsbelegungen

W: E x X => {0,1}

Ausdruck hi Ehat bei bestimmter Belegung Xk Xbestimmten Wert W(hi , Xk) = 1 bzw. = 0


Konjunktion: Reihenschaltung

Disjunktion: Parallelschaltung

J. Borgmeyer: Grundlagen der Digitaltechnik

Wertberechnung (für Konstanten)


Konjunktion: Reihenschaltung

Disjunktion: Parallelschaltung




Wertberechnung (für Ausdrücke)

Wertberechnung für Ausdrücke W(hk , Xi):• schrittweise Berechnung des Wertes

– 1. Belegung der Variablen (Bits) – 2. Verknüpfung der Werte

• Variable xj => Bit der Belegung Xi(xj)


Wertberechnung für Ausdrücke W(hk , Xi):• schrittweise Berechnung des Wertes

– 1. Belegung der Variablen (Bits) – 2. Verknüpfung der Werte

• Variable xj => Bit der Belegung Xi(xj)

Wertberechnung (für Ausdrücke)


• Berechnung der Werte eines Ausdrucks für alle Eingangsbelegungen:=> Notation in Wertetabelle als Wertverlauf

=> Ausdruck repräsentiert Wertetabelle(für eine Ausgangsvariable)

Ausdruck => Wertetabelle


• 0 1 1 = 1 W(k3, Xi) =1 falls i = 3

• X3 = [ 0 ,..., 0, 1, 1] W(k3 , Xi) =0 falls i 3

• k3 = xn-1 ... x1 x0

• hi=y1 = k3 k5 k6 k7 hi in KDNF

• KDNF = Disjunktion von Elementarkonjunktionen

Elementarkonjunktion k3 => KDNF


• 0 1 0 =0

• X2 = [0 ,..., 0, 1, 0] W(d2, Xi) = 0 falls i = 2

• d2 = xn-1 ... x1 x0 W(d2, Xi) = 1 falls i 2

• hi = d0 d1 d2 d4 hi in KKNF• KKNF = Konjunktion von Elementardisjunktionen

Elementardisjunktion d2 => KKNF


Viel Spaß beim Wiederholen!

Kap. 3.1.1, 3.2.1, 3.2.5.1, 3.2.5.2

Bis nächste Woche ...

Das war‘s für heute

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