Tangens

In een rechthoekige driehoek kun je met tangens werken.Je kunt met tangens een hoek berekenen als je twee rechthoekszijden weet.

voorbeeldBereken ∠C.Aanpak• tan ∠C =

• tan ∠C =

• Bereken de hoek met TAN–1

Uitwerking

tan ∠C =

∠C = 56°

overstaande rechthoekszijde

aanliggende rechthoekszijdeAB

BC

12

8

voorbeeldBereken LM in één decimaal.

Aanpak• Je weet ∠L.

• tan ∠L =

• tan ∠L =

• Vul in wat je weet.

Uitwerking

tan 63° =

LM = 15 : tan 63° = 7,6 m

overstaande rechthoekszijde

aanliggende rechthoekszijdeKM

LM

15

LM

SOSCASTOA

De tangens van een hoek is de verhouding van de overstaanderechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde.

In een rechthoekige driehoek kun je nog tweeverhoudingen opschrijven.Dat zijn de sinus en de cosinus.Daarbij gebruik je de schuine zijde en een rechthoekszijde.

Met sinus, cosinus en tangens kun je zijden enhoeken in een rechthoekige driehoek berekenen.

O

T

A

overstaande rechthoekszijdetan hoek =

aanliggende rechthoekszijde

overstaande rechthoekszijdesin hoek =

schuine zijde

aanliggende rechthoekszijdecos hoek =

schuine zijdeC

SO

AS

S

Bij de rechthoekige driehoek DEF horen bij ∠D drie verhoudingen.

• sin ∠D =

• cos ∠D =

• tan ∠D =

aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde

overstaande rechthoekszijde

schuine zijde

overstaande rechthoekszijde

aanliggende rechthoekszijde

8

17

DE

DF

15

17

EF

DF

15

8

EF

DE

SOS CAS TOA

voorbeeldBereken ∠A in ∆ABC.

AanpakVan ∠A weet je de overstaande rechthoekszijde (O)en de schuine zijde (S).

Gebruik dus

sin ∠A =

Uitwerking

sin ∠A =

∠A = 25°

BC

AB

5

12

SOS

Zijde berekenen met sinus

Weet je van een rechthoekige driehoek twee zijden,dan kun je de hoeken berekenen.Dat heb je in de vorige opgaven gedaan.Andersom kan ook.Weet je in een rechthoekige driehoek één zijde en een scherpe hoek,dan kun je de andere zijden berekenen.

voorbeeldBereken PQ.

AanpakJe weet• ∠R = 48°• PR = 55 cm.

Je moet berekenen PQ.

Je gebruikt sinus.

55 is een heel getal, PQ rond je dus af op één decimaal.

Uitwerking

sin 48° =

PQ = 55 × sin 48° = 40,9 cm

55

PQ

Schuine zijde

Overstaande rechthoekszijde

SOS

Zijde berekenen met sinus

Zijde berekenen met cosinusvoorbeeldBereken QR.

AanpakJe weet• ∠R = 48°• PR = 55 cm.

Je moet berekenen QR.

Je gebruikt cosinus.

Uitwerking

cos 48° =

QR = 55 × cos 48° = 36,8 cm

Schuine zijde

Aanliggende rechthoekszijde

CAS

55

QR

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens

In rechthoekige driehoeken kun je zijden en hoeken berekenen.Welke methode je daarvoor gebruikt hangt af van de gegevensdie je hebt. Er zijn drie situaties.

voorbeeldVan een ∆KLM is ∠L = 90°, KL = 2 cm en LM is 4 cm.a Bereken ∠K.b Bereken KM.

Aanpak- Maak een schets.

Zet de gegevens en het vraagteken erbij.Vergeet het rechte-hoekteken niet.

- Onderzoek welke situatie het is.- Bij a hoort de situatie:

twee zijden bekend, hoek gevraagd.Gebruik SOS CAS TOA.

- Bij b hoort de situatie:twee zijden bekend, derde zijde gevraagdGebruik de stelling van Pythagoras.

- De gegevens zijn gehele getallen.Het antwoord rond je dus af op één decimaal.

Uitwerking

Uitwerking

a tan ∠K =

∠K = 63°

b

KM =

4

2

20 4,5 cm

KL = 2 4

LM = 4 16

KM = ? 20

kwadraat

wortel

+

Hellingspercentage

Bij hellingen gebruik je niet alleen de hellingshoek,maar ook het hellingspercentage.

hellingspercentage = tan hellingshoek × 100%

Hellingspercentages rond je af op een heel getal.

voorbeeld∠A is de hellingshoek.Bereken het hellingspercentage.

Aanpak• Je hebt de tangens van de

hellingshoek nodig, dus de zijden AB en BC.AB weet je.BC bereken je met de stelling van Pythagoras.

• Bereken het hellingspercentage met

Rond af op een heel getal.

UitwerkingBC2 = 10 900BC =

tan hellingshoek =

hellingspercentage =

hellingspercentage = 100%BC

AB

10 900

10 900

54010 900

100% = 19%540