Page 1 sur 6

Sainte- Louise

Examen Blanc 2nde

MATHEMATIQUES

mai 2014

G.Bernet-R.

A.Fahlaoui

Durée de l’épreuve : 2 h

Ce sujet comporte 4 pages de sujet, numérotées de 1/6 à 4/6

et une feuille annexe numérotées de 5/6 à 6/6 pour certains exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la qualité des raisonnements entreront

pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche

même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Tout le matériel est strictement personnel.

L’usage de la calculatrice collège ou graphique est autorisé ainsi que le matériel de géométrie.

Aucune question sur le sujet ne doit être posée aux surveillants.

Documents, notices sont interdits.

n°1 (6 points) Soit les fonctions définies sur IR :

f (x) = 3 x +1( )2 − 4(2x −5) ; g(x) = x +1( )2 − x − 2( )2 ; h(x) = −2 x −1( )2 +5

1) Préciser dans chaque cas s’il s’agit d’une fonction polynôme de degré 2. Justifier.

2) Compléter les tableaux de variation donnés en annexe, pour les fonctions g et h.

3) Donner l’équation de l’axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction h .

n°2 (2 points) Simplifiez les écritures suivantes en notant les étapes intermédiaires :

u= AB

+CA

+ BC

; v= MA

−MB

− AB

Page 2 sur 6

n°3 (2 points) Factoriser les expressions : T = 9x2 +12x + 4 ; Z = x + 4( )2 − 2x − 6( )2

n°4 (4 points) On donne la fonction g définie par l’expression : g(x) = 3xx +1

−1 et dont la courbe

représentative est Cg .

1) Quel est l’ensemble de définition Dg de cette fonction ? Justifier.

2) Cette fonction est-elle une fonction homographique ? Justifier.

3) a) Calculer l’image par g de 0.

b) Calculer l’image par g de – 2.

n°5 (7 points) Ch est la courbe

suivante, représentative de la fonction f dans un repère.

Partie I : A l’aide du graphique :

1) Déterminer l’ensemble de définition Df de cette fonction.

2) Déterminer le maximum et le minimum de la fonction f surDf .

3) a) Quel est l’image par f de −1 ?

b) Quels sont les éventuels antécédents de 2 ?

4) Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) ≥ −3 en expliquant brièvement.

5) Compléter dans l’annexe le tableau de signe de f surDf .

Partie II : La courbe précédente est la représentation graphique de la fonction d’expression f (x) = x2 − 4 .

6) Déterminer algébriquement l’image de 2 .

7) Déterminer algébriquement les éventuels antécédents de −1.

Page 3 sur 6

n°6 (5 points) Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(−4;3) , B(3;2) et C(1;−2) . L’unité graphique est le centimètre.

Partie A :

1) Placer les points A , B et C dans le repère (O, I, J). Conjecturer sur la nature du triangle ABC .

2) a) Calculer la longueur AB .

b) Sachant que AC = 5 2cm et BC = 2 5cm , en déduire la nature du triangle ABC . Justifier.

Partie B :

1) Calculer les coordonnées du vecteur AC

.

2) Le point D est l’image du point B par la translation de vecteur AC

.

a) Placer le point D dans le repère en laissant les traits des constructions.

b) Montrer par le calcul que D a pour coordonnées (8;−3) .

3) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier.

n°7 (4 points) Le Maire d’une commune souhaite installer une éolienne sur son sol afin de produire une partie de l’électricité nécessaire à ses concitoyens. Deux sites lui semblent adapter à ce projet. Afin de choisir celui qui permettra d’obtenir la meilleure production, il décide de comparer la vitesse du vent pendant une année sur chacun des sites. Voici les résultats :

Site A : Vitesse en m/s [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20[ [20;25[ [25;30[ [30;35[ [35;40[

Nombre de jours 19 34 51 60 60 65 56 20

Site B : Vitesse en m/s [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20[ [20;25[ [25;30[ [30;35[ [35;40[

Nombre de jours 21 25 78 75 60 40 36 30

1) Le modèle d’éolienne repéré par le Maire fonctionne avec un rendement maximal lorsque la vitesse du vent est comprise entre 20 et 25 m/s. Cette information permet-elle de choisir le site d’implantation ? Justifier.

2) a) Déterminer la moyenne, l’étendue, l’écart inter-quartile et la médiane pour le site A. Donner les résultats arrondis au dixième.

b) Sachant que pour le site B, x ≈ 19,9 , e = 35 , Q3 −Q1 =15 et Med =17,5 ; ces

informations permettent-elles de choisir le site d’implantation ? Justifier.

Rappel : pour effectuer des calculs quand des valeurs sont regroupées par classes d’intervalles, il faut prendre la valeur centrale de la classe.

Les calculs pourront être faits avec la calculatrice graphique ; ne pas justifier.

Page 4 sur 6

n°8 (5 points) Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J) d’unité de longueur le centimètre.

1) a) Tracer la droite d d’équation : y = 2x +1

b) Démontrer que le point T (−1;−1) appartient à d.

2) Soit P(3;1) et R(−1;−7) . Les droites (PR) et d sont-elles parallèles ? Justifier.

3) Soit la droite d’ d’équation : x = 3 . Déterminer par le calcul, les coordonnées du point S , intersection de d’ et de d.

n°9 (5 points) On souhaite construire une maison de forme rectangulaire dans l’angle droit d’un terrain triangulaire ABC rectangle en B , comme l’indique la figure suivante :

On donne : AB = 20m et BC = 30m ,

N sur AC!" #$ , M sur AB!" #$ , P sur BC!" #$ ,

On pose : MN = x et NP = a .

1) a) Montrer que : a = 2330− x( ) .

b) En déduire que l’aire de la maison, exprimée en fonction de x , est égale à :

23x 30− x( ) m2 .

2) Considérons la fonction g , donnant l’aire de la maison en fonction de la longueur MN :

g : x 23x 30− x( ) .

a) Montrer que : g(x) = − 23x −15( )2 +150 .

b) En déduire l’aire maximale de la construction et la valeur de MN où ce maximum est atteint. Justifier soigneusement.

3) On souhaite construire une maison de 100m2 . En utilisant votre calculatrice graphique, donner une valeur approchée au centimètre près des dimensions MN et NP de la maison.

Le sujet n’est pas à rendre avec la copie

Rendre seulement l’annexe dans la copie.

Page 5 sur 6

Feuille annexe (recto –verso) N° Candidat : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Rendre avec la copie n°1 Question 2) :

x

x

g(x)

h(x)

n°5 Partie I Question 5) :

x

f(x)

n°8 Partie A Question 1) a) :

Papier millimétré à coller

Page 6 sur 6

n°6 Partie A Question 1) et Partie B question 2) a) :

Papier millimétré à coller