MATEMÁTICASABER 1

PRE - 10

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

ConjuntosNúmeros RealesPotenciaciónProporcionalidadPorcentaje

Geometría

CONJUNTOS

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

INTERSECCIÓN La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes entre A y B.

UNIÓN ULa unión de dos conjuntos (A y B), que se representa como (A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIFERENCIA –

La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A - B que resulta de tomar los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.

COMPLEMENTO 'El complemento de un conjunto A es el conjunto A' que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, y le faltan para igualar a conjunto U (universal o referencial) que lo contiene.

NÚMEROS REALES «R»

RIQ

Z

N

•Es la unión de los conjuntos numéricos Racionales (Q) e Irracionales (I), se denota con la letra R.

Las matemáticas siempre han sido parte importante del desarrollo intelectual del hombre. El número como elemento principal surgió de la necesidad de contar, generando el Conjunto de los Números Naturales. Luego surgen los Números Enteros que entre sus aplicaciones está la de representar temperaturas, deudas, ganancias, entre otras.De la necesidad de representar la relación “parte de un todo” nacen los Números Racionales en su forma fraccionaria y luego se convertirían en decimales. Mas también se necesitó calcular la diagonal de un cuadrado y fue allí donde se establecieron los Números Irracionales.

NÚMEROS RACIONALES «Q»

El conjunto de los números Enteros lo conforman los números Naturales N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,…}, el elemento neutro ‘0’ y los enteros negativos {…-6,-5,-4,-3,-2,-1}

ba

El conjunto de los Racionales (Q) esta conformado por los Enteros Z = {N U -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,…}, los números de la forma (fraccionarios positivos y negativos) y los números decimales finitos e infinitos periódicos.

qZ

N

NÚMEROS RACIONALES «Q»

•Es un conjunto numérico más denso que el de los Enteros ya que al poseer más elementos llena cada vez más la Recta Numérica.

Para los números Racionales no enteros consideramos la unidad como el todo y la segmentamos para tomar sus partes y así se va completando la recta numérica.

NÚMEROS RACIONALES «Q»ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS.

CASO 1Si las fracciones son homogéneas.

Conservamos el denominador y operamos los numeradores.

CASO 1ISi las fracciones son heterogéneas.

Para homogenizar las fracciones debemos calcular el M.C.M de los denominadores.

Con base en el M.C.M encontrado amplificamos los numeradores.

Por último operamos los numeradores y conservamos el denominador.

NÚMEROS RACIONALES «Q»MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS.

Realizamos el producto entre los numeradores para obtener el nuevo numerador e igual operamos con los denominadores.

Ejemplo.En el grado 10-3 hay 40 estudiantes, de los cuales dos quintas partes son mujeres de cabello largo, determina la cantidad real de mujeres de cabello largo que hay en el grado?

Para esto multiplicamos

NÚMEROS RACIONALES «Q»DIVISIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS.

MÉTODO IRealizamos el producto en equis y si al final es posible simplificamos.

MÉTODO IIAplicamos la Ley de los Extremos y al final si es posible simplificamos.

NÚMEROS IRRACIONALES «I»

I El conjunto de los números Irracionales (I) lo conforman los decimales infinitos no periódicos, las raíces cuadradas de los números primos, y números especiales como el número pí (π) y el número de euler (e)

e = 2.718281

POTENCIACIÓN

656138

Ejemplo.En la fusión nuclear un neutrón choca contra el núcleo de un átomo de uranio. Este núcleo absorbe el neutrón y se desintegra emitiendo tres neutrones. Cada neutrón vuelve a chocar con otro núcleo de uranio que a su vez se desintegra emitiendo 3 nuevos neutrones y así sucesivamente. ¿Calcular el número de neutrones que se emiten en el choque numero 8?

Los números Reales como exponentes son estudiados teniendo en cuenta la definición de potencias y sus propiedades: Def: Para n Z y aR, el producto de n veces a lo denotamos

y lo llamamos: Potencia n-esima de a

a x a x a x a x a…; n veces.

Número de choques (exponente) Cantidad de neutrones en el octavo

choque (potencia)Cantidad de neutrones (base)

POTENCIACIÓNPROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.

POTENCIACIÓNOPERACIONES ENTRE POTENCIAS.

POTENCIACIÓNOPERACIONES ENTRE POTENCIAS.

PROPORCIONALIDADRAZÓN.

El cociente entre las magnitudes implicadas en cada enunciado recibe el nombre de razón. Sea “S” y “T” magnitudes, la razón formada por ellas se simboliza como

TS

o S: T y se lee “S” es a “T”.

Ejemplos.

PROPORCIONALIDADPROPORCIÓN.

Ejemplos.

Una proporción representa la igualdad entre dos razones equivalentes. Para verificar esta igualdad aplicamos el

producto en cruz o Ley de los Extremos, esto se conoce como la propiedad fundamental de la proporción.

12 = 12

PROPORCIONALIDAD DIRECTADos magnitudes son directamente proporcionales si cumple: Están directamente correlacionadas La razón entre las dos magnitudes es constante, es decir forman proporción. Al representar gráficamente estas magnitudes obtenemos una línea recta.

Harina kg 5 10 20 25 35

Nº de panes 50 100 200 250 350

Ejemplo.•Un panadero usa 10kg de harina para preparar 100 panes del mismo tamaño y forma. Determina cuantos panes hace con 5, 20, 25 y 35kg de harina respectivamente

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a medida que una aumenta, la otra también lo hace.

REGLA DE TRES DIRECTASe utiliza para hallar el cuarto término de una proporción con magnitudes que se relacionan directamente. La relación entre las magnitudes es lo primero que se debe identificar en problemas de regla de tres simple.

Ejemplo.•La docena de una fruta cuesta $ 300 pesos. ¿Cuánto costarán 50 unidades de la misma fruta?

Como la relación es directa las magnitudes forman proporción: 300 es a 12 equivale x (incógnita) es a 50, donde x es el costo de las frutas

x

x

xx

x

12501215000

12150001250300

5012300

R/ Las 50 frutas cuestan 1250 pesos.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si: Están inversamente correlacionadas El producto entre los valores de las dos magnitudes es constante. Al representar gráficamente estas magnitudes obtenemos una curva con

concavidad hacia arriba.

Horas que permanece

prendido el fogón

1 2 3 4 5 6

Duración del cilindro en días 18 9 6 4,5 3,6

3

Ejemplo.•Con el fin de planificar los gastos domésticos, la familia de Camila contabilizó el tiempo diario que dura prendido el fogón de la estufa y el tiempo que tarda el gas en consumirse. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a medida que

una aumenta, la otra disminuye.

REGLA DE TRES INVERSA

Se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción con magnitudes que se relacionan inversamente. La relación entre las magnitudes es lo primero que se debe identificar en problemas de regla de tres simple.

Ejemplo.

•En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo en 15 horas. Cuanto tiempo demorarán 5 obreros en efectuar el mismo trabajo con la misma rapidez y habilidad.

Como la relación es inversa, ya que al disminuir la cantidad de obreros aumentará el tiempo. El producto entre los valores de las dos magnitudes es constante

x

x

xx

365180

518051512

R/ Los 5 obreros demoraran 36 horas en efectuar el mismo trabajo.

PORCENTAJE %El Porcentaje se representa: como una razón cuyo denominador es 100 o también como un número decimal.

Porcentaje Razón Número Decimal Lectura8% 0,08 8 por ciento

1008

Hay tres tipos de situaciones en las que se aplica el concepto de porcentaje.1. Calcular el tanto por ciento de una cantidad:

Ej: Hallar el 4% de $2000

80$100000.24

2. Hallar el valor de la cantidad total, dada una relación entre porcentaje y una cantidad.

Ej: Calcular la cantidad total si el 18% es 45

x 2501810045

3. Calcular el porcentaje, dada la relación entre dos cantidades.

Ej: Que porcentaje es 21 de 35

%603510021

POLÍGONOSUn polígono es una figura geométrica cerrada formada por la unión de 3 o más segmentos en sus puntos extremos, dichos segmentos deben estar en el mismo plano (coplanares) y se denominan lados del polígono.

•Lado: Es cada uno de los segmentos de recta que forman el polígono. En el polígono ABCDE de la figura, los lados son: AB, BC, CD, DE, EA.•Vértice: Es el punto de intersección de dos lados consecutivos del polígono. En el polígono ABCDE de la figura, los vértices son A, B, C, D, E.•Angulo interior: Es el ángulo del polígono determinado por dos lados consecutivos. En el polígono ABCDE, el ángulo ABC es un ángulo interior. Podemos observar que el número de ángulos interiores es igual al número de lados del polígono.•Angulo exterior: (suplemetario) Es el ángulo del polígono determinado por un lado cualquiera y la prolongación del lado consecutivo. En la figura se ha prolongado el lado AE, formándose el ángulo exterior. DEF.•Diagonal: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. En la figura se ha trazado la diagonal AC.•Perímetro del polígono: Es la suma de las longitudes de sus lados. Se simboliza con la letra P.En el polígono ABCDE el perímetro P es: P = AB + BC + CD + DE +

EA.

Según sus LADOS

ESCALENO

Tiene sus tres lados

desiguales

EQUILÁTERO

Sus tres lados son congruentes

ISÓSCELES

Posee dos lados

congruentes y uno desigual

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.

ACUTÁNGULO

Sus ángulos internos son Agudos

Según sus ÁNGULOS

EQUIÁNGULO

Posee sus tres ángulos congruentes.

OBTUSÁNGULO

Tiene un ángulo Obtuso

RECTÁNGULO

Posee un ángulo Recto (90°)

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS

Medidas de los lados múltiplos de 3-4-5

Ángulos agudos internos 37º y 53º

5

3

437º

53º

X2X

X√3

X

X

X√2

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

ÁREAEl área es la medida de la región o superficie encerrada por el borde de una  figura geométrica. Esta se da en unidades cuadradas y dependiendo del polígono se aplica una fórmula.

TRIÁNGULO

PARALELOGRAMO

RECTÁNGULO

CUADRADO

ROMBO TRAPECIO

CIRCUNFERENCIA

POLÍGONO REGULAR

ÁREA

SÓLIDOS GEOMÉTRICOSEs la porción de espacio limitada por superficies llamadas fronteras, por lo tanto, ocupa un lugar en el espacio, es decir, tiene volumen.

• Un cilindro es una figura geométrica limitada por una superficie cilíndrica cerrada lateral y dos planos que la cortan en sus bases (circunferencias). Como cuerpo de revolución, se obtiene mediante el giro de una superficie rectangular alrededor de uno de sus lados.

CILINDRO

VOLUMEN V = Ab · h

CONO• El cono es un cuerpo geométrico generado por un

triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

VOLUMENV = Ab · h/ 3

ESFERA

• La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

PARA CALCULAR SU ÁREA

24 RVOLUMEN 3

34 R

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