(re)creatieve wiskunde

Jaap Top

JBI-RuG & DIAMANTj.top@rug.nl

10 mei 2014(alumnidag, Groningen)

1

(re)creatief?!

• wiskunde vraagt creativiteit

• “wisconst”

(de kunst van zeker weten. Simon Stevin 1548-1620)

• creeren = scheppen, maken. re -creeren...

• recreatie: ontspanning, vermaak

2

Recreatieve wiskunde is populair

Uit artikel van H.W. Lenstra (2005):

Profinite integers do not enjoy widespread popularity among

mathematicians. They form an important technical tool

in several parts of algebraic number theory and arithmetic

geometry, but their recreational virtues have never been

recognized.

3

Er zijn heel veel boeken over recreatieve wiskunde.

4

Een van de klassiekers is gepubliceerd in 1612:

Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres(aangename en verrukkelijke problemen over getallen)

Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1581–1638)

5

Een Nederlandstalig boek over recreatieve wiskunde verscheen in

1636 (vele malen herdrukt)

Auteur: Wynant van Westen, kerkorganist te Nijmegen

Het boek is een bewerkte vertaling van “Recreations Mathematiques ”

(1624) van de Franse Jezuıet Jean Leurechon (onder het pseudonym

Hendrik van Etten). Grotendeels bestaat het uit minder moeilijke

problemen uit het boek van Bachet.

6

7

Een voorbeeld uit “Mathematische Vermaecklyckheden”

(pp. 16–18):

8

9

10

11

Wynant van Westen legt uit, dat de oplossing verstopt zit in de

(klinkers van de) versregel

populeam virgam, mater regina tenebat

In een Engelse vertaling van Leurechons boek:

from numbers’ aid and art, never will fame depart

[Opgave: bedenk een passend Nederlands analogon!]

12

Nu een eigentijds stukje recreatie: de meest significante decimaal

van een positief getal. Voorbeeld:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

11 12 13 14 15 16 172048 4096 8192 16384 32768 65536 131072

18 19 20 21 22262144 524288 1048576 2097152 4194304

Geen 7 of 9?!

13

14

15

16

Eerst die statistiek. Dalende rij:

1

1>

1

2>

1

3>

1

4>

1

5>

1

6>

1

7>

1

8>

1

9.

Alles met 1 ophogen geeft

2

1>

3

2>

4

3>

5

4>

6

5>

7

6>

8

7>

9

8>

10

9.

Vervolgens 10log nemen:

10log(2) > 10log(3/2) > 10log(4/3) > . . . > 10log(9/8) > 10log(10/9).

Deze negen getallen zijn positief en tellen op tot 1.

17

Definitie. Een rij positieve getallen (an)n≥1 voldoet aan de wet

van Benford als voor elke j ∈ {1,2,3, . . . ,9} geldt

limN→∞

#{n ≤ N : an heeft meest signif. decimaal j}N

= 10log(j + 1

j).

Voorbeeld. Volgens de OEIS voldoet de rij (2n)n≥1 aan de wet

van Benford.

18

Waarom? Schrijf 2 = 10x, dan 2n = 10nx.

Hier is x ∈ R en x 6∈ Q.

Schrijf nx = {nx} + [nx] met 0 < {nx} < 1 en [nx] ∈ Z.

De meest significante decimaal van 2n = 10{nx} · 10[nx] hangt

alleen af van {nx} = nx mod Z ∈ R/Z:

2n heeft eerste cijfer j ⇔ j ≤ 10{nx} < j + 1

⇔ 10log(j) ≤ {nx} < 10log(j + 1).

19

Leopold Kronecker bewees in 1884 dat voor elke a ∈ R \ Q de

getallen ({na})n≥1 dicht liggen in [0,1].

Hermann Weyl gaf hier in 1911 een sterker resultaat over:

Stelling. Voor elke a ∈ R \ Q en elke Riemann-integreerbare

f : [0,1]→ C geldt∫ 1

0f(t) dt = lim

N→∞1

N

n∑n=1

f({na}).

Toepassen op f(t) :=

{1 als 10log(j) ≤ t < 10log(j + 1)0 anders

toont

aan dat (2n)n≥1 aan de wet van Benford voldoet.

20

1823–1891 H. Weyl 1885–1955

21

Een recreatieve vraag over eerste decimale cijfers draagt de naam

van Gel’fand.

Israel M. Gel’fand (1913–2009)

22

23

De blogger en wiskundige John D. Cook rekende in de zomervan 2013 na:

Voor 1 < n < 1010 geldt: 2,3,4,5,6,7,8,9 en alle m,m,m,m,m,m,m,mkomen niet voor als rij eerste cijfers van 2n,3n,4n, . . . ,9n.

24

De bachelorscriptie van onze alumnus Jaap Eising (2013) bevatde volledige antwoorden op “Gel’fand’s Question”:

Vraag 1 hebben we al beantwoord. Vraag 2 en 3 hebben beideals antwoord: NEE.

Ongeveer tegelijk met het afronden van Eisings scriptie gaf blog-ger/wiskundige David Radcliffe eveneens dit antwoord.

25

Jaap Eising

(en de rest van het bestuur van de Fysisch-Mathematische

Faculteitsvereniging, 2014)

26

Om vraag 2 te beantwoorden: schrijf 2n = αn × 10m voor eenniet negatief geheel getal m, en 1 < αn = 10{nx} < 10.

Het eerste cijfer van 2n krijg je dan door αn naar beneden af teronden.

Hetzelfde doen we met 5n: dus 5n = γn × 10k met k geheel en1 < γn < 10.

Omdat 2n × 5n = 10n, moet wel gelden αn × γn = 10.

Zou voor n > 1 gelden dat [αn] = 2 is en [γn] = 5, dan is αnmeer dan 2 (maar minder dan 3) en γn zit tussen 5 en 6, dusdan zou hun product meer dan 10 (en minder dan 18) zijn!

Conclusie: αn en γn met die afronding bestaan niet.

27

Eenzelfde soort argument werkt voor Vraag 3:

Zou het eerste cijfer van elk van 2n tot en met 9n hetzelfde zijn,

dan weer vanwege αn × γn = 10 plus het gegeven dat αn en γn

afgerond hetzelfde zijn,

volgt 3 < αn, γn < 4, dus datzelfde eerste cijfer is 3.

Maar 4n = 2n × 2n = α2n × 102m heeft dan als eerste cijfer een 9

of een 1, dus geen 3.

Conclusie: allemaal hetzelfde eerste cijfer komt niet voor!

28

Hoeveel verschillende rijtjes eerste cijfers in

2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, 9n?

Hoogstens 98 = 43046721 mogelijkheden.

In werkelijkheid veel minder!

Noteer 2n = 10{nx} × 10m en 3n = 10{ny} × 10k.

Het rijtje eerste cijfers van 2n,3n,4n,5n,6n,8n,9n hangt alleen af

van a = {nx} en b = {ny}.

Immers, 4n = 2n × 2n en 5n = 10n/2n en 6n = 2n × 3n en

8n = 2n × 2n × 2n en 9n = 3n × 3n.

29

Voorbeeld: eerste cijfers van 2n, . . . ,6n,8n,9n gelijk aan 8,9,8,1,8,7,9.

Dan moet

8 ≤ 10a < 9,9 ≤ 10b < 10,

80 ≤ 102a < 90,1 ≤ 101−a < 2,

80 ≤ 10a+b < 90,700 ≤ 103a < 800,90 ≤ 102b < 100.

Oplossing: 0,95154 < a < 0,95424 en 0,9772 < b < 1 voldoen.

30

De mogelijke condities op a = {nx} delen R/Z op in 55 intervallen.

Idem: de condities op b = {ny} delen R/Z op in 24 intervallen.

Voor (a, b) ∈ R/Z× R/Z levert dat 55× 24 = 1320 rechthoekjes.

Dan zijn er de condities die het eerste cijfer van 6n, oftewel van

10{nx+ny} bepalen.

31

32

De getekende grenzen in de (a, b)-torus bij de ongelijkheden voor

10a en 10b en 10a+b verdelen het gebied in 1955 stukjes.

Samen met het speciale geval n = 1 en met de 9 mogelijkheden

voor het eerste cijfer van 7n = 10{nz} · 10`, met z = 10log(7):

volgt dan dat er maximaal 9 × 1955 + 1 = 17596 rijtjes kunnen

voorkomen als eerste cijfers van 2n t/m 9n.

Als toepassing van het 3-dimensionale analogon van de eerder

genoemde resultaten van Kronecker en Weyl, volgt dat behalve

de eerste rij 2,3,4, . . . ,9, die allemaal voor oneindig (4∞) veel

waarden van n voorkomen!

33

De details hierover verschijnen binnenkort in de American Math-

ematical Monthly:

34

Tot slot mag organist Wynant van Westen nog een keer alleregisters opentrekken. . .

(het huidige Konigorgel in “zijn” kerk)

35

36