Rationale punten op elliptische krommen

Anne Barten

6 juli 2015

Bachelorscriptie

Begeleiding: dr. S. R. Dahmen

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde

Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Samenvatting

In deze scriptie, geleid door het boek van Silverman en Tate [5], wordt eerst het projec-tieve vlak gedefinieerd en worden krommen in het projectieve vlak bekeken. Ook wordenenkele stellingen over het doorsnijden van krommen in het projectieve vlak geformuleerd.

Vervolgens wordt bewezen dat de verzameling van rationale punten op een elliptischekromme een groep vormen met een meetkundige groepsbewerking.

Daarna volgt het belangrijkste deel van de scriptie; het bewijs van een speciaal gevalvan de stelling van Mordell. We bewijzen de stelling alleen in het geval dat de elliptischekromme een rationaal 2-torsie punt heeft. Het bewijs wordt gegeven door vier lemma’s.Deze vier lemma’s worden bewezen en er wordt bewezen dat de vier lemma’s de stellingvan Mordell bewijzen.

Tot slot bekijken we nog een aantal voorbeelden voor het uitrekenen van de groep vanrationale punten.

Titel: Rationale punten op elliptische krommenAuteur: Anne Barten, anne.barten@student.uva.nl, 10462279Begeleiding: dr. S. R. DahmenTweede beoordelaar: dr. H. B. PosthumaEinddatum: 6 juli 2015

Korteweg-de Vries Instituut voor WiskundeUniversiteit van AmsterdamScience Park 904, 1098 XH Amsterdamhttp://www.science.uva.nl/math

2

Inhoudsopgave

1 Inleiding 4

2 Projectieve meetkunde 52.1 Het projectieve vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 De algebraısche definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 De meetkundige definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Equivalentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Krommen in het projectieve vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Doorsnijding van projectieve krommen . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Rationale punten op elliptische krommen 153.1 Elliptische krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 De groep van rationale punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 De stelling van Mordell 284.1 De hoogte van een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 De vier lemma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 De bewijzen van de vier lemma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1 Bewijs van Lemma 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Bewijs van Lemma 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.3 Bewijs van Lemma 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3.4 Bewijs van Lemma 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Het berekenen van C(Q) 525.1 De rang van C(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Conclusie 61

7 Populaire samenvatting 62

Bibliografie 64

3

1 Inleiding

In deze scriptie wordt, zoals de titel al doet vermoeden, gekeken naar het onderwerp ra-tionale punten op elliptische krommen. Om de rationale punten op elliptische krommente bestuderen hebben we verschillende deelgebieden van de wiskunde nodig, waaronderalgebra, analyse, meetkunde en getaltheorie. De overlap van al deze deelgebieden binnende wiskunde is de reden dat dit onderwerp mij zo aanspreekt. In de bachelorfase hebbenwe een heleboel vakken in de richting van algebra, analyse, stochastiek enzovoort. Alleenbij al deze vakken is het verband tussen de verschillende vakken vaak ver te zoeken. Omnu naar een onderwerp te kijken waarin al deze gebieden worden gecombineerd, leek mijeen mooie afsluiting van de bachelorfase.

Toen ik een onderwerp moest kiezen voor mijn bachelorscriptie wist ik meteen datik een onderwerp uit de algebra wilde. Algebra vakken hebben altijd mijn interessegehad en zo kwam het dat ik het vak getaltheorie had gekozen. Bij getaltheorie vondik Diophantische vergelijkingen, vooral de Diophantische meetkunde, een interessantonderwerp, waarin ik mijzelf verder wilde verdiepen. Met dit idee ben ik afgestapt opSander Dahmen, tevens de docent van het vak getaltheorie, met de vraag of hij mij wildebegeleiden bij mijn bachelorscriptie. Zelf had ik geen idee van alle kanten die ik op zoukunnen met Diophantische meetkunde en na een gesprek met Sander Dahmen kwamenwe uit op het onderwerp rationale punten op elliptische krommen.

Het doel van deze scriptie is om erachter te komen wat de rationale punten op eenelliptische krommen zijn. Hoe kunnen we deze punten beschrijven? Om dit te kunnendoen zullen we ons uiteindelijk beperken tot een speciale vorm van elliptische krommen.Verder worden bij dit onderwerp mooie bewijstechnieken gebruikt en ook de resultatenzijn af en toe verrassend. De bewijstechnieken zijn zo mooi, omdat het geen rechttoerechtaan bewijzen zijn. Deze bewijzen maken gebruik van de verschillende deelgebiedenvan de wiskunde en geven je een hele andere kijk op het bewijzen van stellingen.

Op het gebied van elliptische krommen wordt ook nu nog steeds veel onderzoek ge-daan. Mijn onderwerp houdt verband met het Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden.Dit vermoeden gaat over het vinden van rationale punten op abelse varieteiten, ofwelgegeneraliseerde elliptische krommen. Nu gaan we in deze scriptie niet zo ver. We zullenons beperken tot elliptische krommen.

Rest mij tot slot nog een aantal mensen te bedanken. Allereerst mijn begeleider, San-der Dahmen, die mij rustig mijn eigen gang heeft laten gaan. Mij nooit heeft opgejaagd,waardoor ik mijzelf verder kon ontplooien op het gebied van elliptische krommen. Ookwil ik hem bedanken voor zijn feedback op mijn ingeleverde werk, waaraan ik veel hebgehad. Tot slot wil ik mijn medestudenten bedanken waarmee ik heb gesproken overmijn onderwerp en zo tot nieuwe inzichten ben gekomen.

Veel lees plezier!

4

2 Projectieve meetkunde

Voordat we naar rationale punten op elliptische krommen kunnen gaan kijken, zullen wemoeten beginnen met de basis. Daarom zal in dit hoofdstuk het projectieve vlak wordengedefinieerd en worden krommen in het projectieve vlak beschreven. Ook zullen enkelestellingen worden gedefinieerd die van belang zijn om de rationale punten op elliptischekrommen te kunnen bestuderen.

2.1 Het projectieve vlak

Het projectieve vlak kunnen we op twee manieren definieren. We kunnen het projectievevlak op een meetkundige manier en op een algebraısche manier definieren. Daarna willenwe laten zien dat deze twee definities equivalent zijn.

2.1.1 De algebraısche definitie

Voordat we de precieze algebraısche definitie van het projectieve vlak geven, bekijkenwe eerst een voorbeeld om een idee te krijgen van de opbouw van de definitie.

Laat N ∈ Z>0 en bekijk de volgende vergelijking [5, p.220]

xN + yN = 1. (2.1)

Voor deze vergelijking zoeken we de oplossingen (x, y), waarbij x en y rationale getallenzijn. Stel dat we zo’n oplossing hebben gevonden. Dan weten we dat we x en y kunnenschrijven als x = a/c en y = b/d, waarbij a, b, c en d gehele getallen zijn. We mogenzonder verlies van algemeenheid aannemen dat de breuken zover mogelijk vereenvoudigdzijn en zowel c als d positief zijn. Het substitueren van deze x en y in vergelijking (2.1)geeft

xN + yN = 1

aN

cN+bN

dN= 1

aN +bNcN

dN= cN

aNdN + bNcN = cNdN .

Hieruit volgt dat cN |aNdN . We hadden gezegd dat de breuken zover mogelijk vereenvou-digd waren. Dit houdt in dat de grootste gemeenschappelijke deler van a en c gelijk isaan 1. Dus kunnen we concluderen dat cN |dN en dus c|d. Ook geldt dat dN |bNcN . De

5

grootste gemeenschappelijke deler van b en d is gelijk aan 1. Dus kunnen we concluderendat dN |cN en dus d|c. Hieruit volgt dat c = ±d en omdat we hadden aangenomen datzowel c als d positief is, volgt nu dat c = d. Dus elke oplossing (x, y) is van de vormx = a/c en y = b/c. Dit geeft een oplossing in gehele getallen (a, b, c) voor de homogenevergelijking [5, p.220]

XN + Y N = ZN . (2.2)

Omgedraaid geldt ook dat elke oplossing voor vergelijking (2.2) in gehele getallen(a, b, c), met c ongelijk aan nul, een rationale oplossing (a/c, b/c) geeft voor vergelijking(2.1). Al kunnen verschillende oplossingen in gehele getallen voor vergelijking (2.2)leiden tot dezelfde oplossing in rationale getallen voor vergelijking (2.1). Verondersteldat (a, b, c) een oplossing is in gehele getallen voor vergelijking (2.2) dan geldt voor eengeheel getal t dat (ta, tb, tc) ook een oplossing is voor de vergelijking (2.2). Deze tweedrietallen geven dezelfde rationale oplossing voor vergelijking (2.1).

Voor de algebraısche definitie van het projectieve vlak definieren we de volgende equi-valentierelatie [3, p.12]. Laat k een lichaam [3, p.1] zijn en a, b, c, d ∈ k dan geldtdat

[a, b, c] ∼ [a′, b′, c′] als er een t ∈ k ongelijk nul is zodanig dat a = ta′, b = tb′ en c = tc′,

[5, p.221]. We definieren nu het projectieve vlak als de verzameling van alle equivalen-tieklassen [3, p.12], maar we sluiten [0, 0, 0] uit. We krijgen dan de volgende algebraıschedefinitie voor het projectieve vlak [5, p.221]

P2 = {[a, b, c] : a, b, c ∈ k niet allemaal nul}/ ∼ .

We hebben nu het projectieve vlak gedefinieerd. In het projectieve vlak kunnen weeen lijn als volgt definieren. Een lijn is de oplossingsverzameling van een vergelijkingvan de vorm [5, p.222]

αX + βY + γZ = 0, (2.3)

waarbij α, β, γ ∈ k niet allemaal gelijk zijn aan nul.

2.1.2 De meetkundige definitie

Over het Euclidische vlak, ook wel affiene vlak genoemd, weten we een heleboel. Onderandere weten we dat twee verschillende punten een unieke lijn definieren, namelijk delijn die door deze twee punten gaat. Andersom weten we dat twee verschillende lijneneen uniek punt definieren, namelijk het snijpunt van deze twee lijnen, tenzij deze lijnenparallel zijn. Ook weten we dat elke lijn in het affiene vlak parallel is aan een unieke lijndoor de oorsprong. De lijnen door de oorsprong worden gegeven door de vergelijkingαx = βy, waarbij α, β ∈ k niet beide gelijk zijn aan nul. De richtingscoefficient van dezelijn wordt gegeven door rico = [β, α].

We zagen dat in het affiene vlak onderscheid gemaakt moet worden tussen parallellelijnen en niet-parallelle lijnen als het gaat om het aantal snijpunten van twee lijnen.Vanuit praktisch oogpunt is het handig om dit onderscheid niet te hoeven maken. We

6

willen dus dat parallelle lijnen ook snijden, maar dit gebeurt in het affiene vlak niet.Daarom voegen we aan het affiene vlak de gevraagde punten toe. Dit houdt in dat wevoor elke richtingscoefficient in het affiene vlak een punt toevoegen. We definieren nuhet projectieve vlak als [5, p.222]

P2 = A2 ∪ { de verzameling van alle richtingscoefficienten in A2 },

waarbij A2 het affiene vlak is. De verzameling van alle richtingscoefficienten in A2

noemen we de ‘punten in het oneindige’. We weten dat twee lijnen dezelfde rich-tingscoefficient hebben dan en slechts dan als deze twee lijnen parallel zijn. In hetprojectieve vlak houdt dit in dat twee parallelle lijnen, waarbij de lijnen element zijnvan het affiene vlak, snijden in het ‘punt in het oneindige’ overeenkomstig met de rich-tingscoefficient van de lijnen. Dit gaat tegen onze intuıtie in over parallel, maar wekunnen dit als volgt voor ons zien. Bekijk eens een spoorrails, zoals in Figuur 2.1.

Figuur 2.1: Snijpunt in het ‘oneindige’

De rails loopt parallel, maar als je ver genoeg weg kijkt, lijkt het net of de twee zijdenvan de rails snijden in het ‘oneindige’. Voor het projectieve vlak geldt dus dat tweelijnen elkaar altijd snijden in een punt. We hoeven dus geen onderscheid meer te makentussen parallelle lijnen en niet-parallelle lijnen.

Bekijken we de definitie van de lijn in het projectieve vlak nu nog eens. Een lijn wordtgegeven door een vergelijking van de vorm

αX + βY + γZ = 0,

waarbij α, β, γ ∈ k niet allemaal gelijk zijn aan nul. We willen nu weten welke puntenzich bevinden in het ‘oneindige’, dus wanneer Z = 0. Als Z = 0 dan geldt datαX+βY = 0. Het punt dat aan deze vergelijking voldoet is [−β, α]. Dit punt is precies derichtingscoefficient van de lijn αx = −βy, welke parallel loopt aan de lijn αx+βy+γ = 0.Dus kunnen we concluderen dat [−β, α] de richtingscoefficient is van het affiene gedeeltevan de lijn die gegeven wordt door αX +βY + γZ = 0, waarbij α, β, γ ∈ k niet allemaalgelijk aan nul. Hieruit volgt dat een lijn in het projectieve vlak gegeven wordt door deaffiene lijn verenigd met het punt in het ‘oneindige’. Dit punt in het ‘oneindige’ komtovereen met de richtingscoefficient van de lijn.

7

Tot slot definieren we de lijn op het ‘oneindige’, genoteerd met P1, als de verzamelingvan alle richtingscoefficienten. We kunnen onze definitie van het projectieve vlak nu alsvolgt schrijven

P2 = A2 ∪ { de verzameling van alle richtingscoefficienten in A2 } = A2 ∪ P1.

2.1.3 Equivalentie

We hebben nu een algebraısche defintie en een meetkundige definitie van het projectievevlak. Nu rest ons alleen nog aan te tonen dat deze twee definities equivalent zijn inde zin dat er een bijectie bestaat tussen de twee gedefinieerde projectieve vlakken endat onder deze bijectie lijnen in het projectieve vlak volgens de algebraısche definitieovereenkomen met lijnen in het projectieve vlak volgens de meetkundige definitie.

Laat a, b, c ∈ k dan definieren we de volgende afbeeldingen [5, p.224].

f : P2 → A2 ∪ P1 met [a, b, c] 7→

{(ac, bc

)∈ A2 als c 6= 0,

[a, b] ∈ P1 als c = 0.

eng : A2 ∪ P1 → P2 met A2 3 (x, y) 7→ [x, y, 1] en P1 3 [a, b] 7→ [a, b, 0].

Hierbij is P2 het projectieve vlak volgens de algebraısche definitie en A2 ∪P1 het projec-tieve vlak volgens de meetkundige definitie. We willen nu nagaan dat g een injectieveafbeelding is, g ◦ f = Ida en dat f ◦ g = Idm, waarbij Ida de identiteit is op het pro-jectieve vlak volgens de algebraısche definitie en Idm de identiteit is op het projectievevlak volgens de meetkundige definitie. Om aan te tonen dat g een injectieve afbeeldingis, merken we op dat per definitie van de functie g, we elk punt (x, y) ∈ A2 op een uniekpunt [x, y, 1] afbeelden. Daarnaast merken we op dat we [a, b] ∈ P1 op een uniek punt[a, b, 0] afbeelden. Dus we kunnen direct concluderen dat g een injectieve afbeelding is.

Voor het aantonen van g ◦ f = Ida onderscheiden we twee gevallen.

• Als c 6= 0.

(g ◦ f)([a, b, c]) = g

((a

c,b

c

))=

[a

c,b

c, 1

]= [a, b, c]. (2.4)

• Als c = 0.(g ◦ f)([a, b, c]) = g ([a, b]) = [a, b, 0] = [a, b, c]. (2.5)

Het combineren van vergelijking (2.4) en vergelijking (2.5) geeft dat g ◦ f = Ida.

8

Tot slot tonen we aan dat f ◦ g = Idm. Hiervoor onderscheiden we ook weer tweegevallen.

• Als (x, y) ∈ A2.(f ◦ g)((x, y)) = f([x, y, 1]) = (x, y). (2.6)

• Als [a, b] ∈ P1.(f ◦ g)([a, b]) = f([a, b, 0]) = [a, b]. (2.7)

Het combineren van vergelijking (2.6) en vergelijking (2.7) geeft dat f ◦ g = Idm. Wehebben nu laten zien dat er een bijectie bestaat tussen de algebraısche definitie van hetprojectieve vlak en de meetkundige definitie van het projectieve vlak.

Om de equivalentie van de twee gedefinieerde projectieve vlakken compleet te maken,willen we nog laten zien dat de lijnen in beide projectieve vlakken overeenkomen. LaatL een lijn zijn die gegeven wordt door αX + βY + γZ = 0, waarbij α, β, γ ∈ k. Elkpunt [a, b, c] ∈ L, waarbij c 6= 0, wordt door de afbeelding f afgebeeld op (a/c, b/c) opde lijn αx + βy + γ = 0 in A2. En het punt [−β, α, 0] ∈ L wordt door de afbeeldingf afgebeeld op [−β, α] ∈ P1. We weten nu dat alle lijnen in de algebraısche definitieovereenkomen met de lijnen in de meetkundige definitie, behalve voor de lijn Z = 0 ∈ P2.Per definitie wordt deze lijn gestuurd naar de lijn in A2 ∪ P1 die bestaat uit alle puntenin ‘het oneindige’. En hiermee kunnen we concluderen dat alle lijnen in de algebraıschedefinitie overeenkomen met lijnen in de meetkundige definitie. En dus zijn de tweedefinities van het projectieve vlak equivalent.

2.2 Krommen in het projectieve vlak

Nu we het projectieve vlak hebben gedefinieerd, en het al gehad hebben over lijnenin het projectieve vlak, willen we meer weten over krommen in het algemeen in hetprojectieve vlak. We willen weten hoe krommen gedefinieerd worden in het projectievevlak en wat we kunnen zeggen over het aantal snijpunten van twee of meer krommen.We beperken ons tot de algebraısche krommen en we laten vanaf nu k een algebraıschafgesloten lichaam zijn [4, p.55]. Een voorbeeld van een algebraısch afgesloten lichaamis het lichaam van de complexe getallen C.

Een kromme in het affiene vlak wordt gedefinieerd als de oplossingsverzameling vande vergelijking f(x, y) = 0, waarbij f een niet-constant polynoom. Een voorbeelddaarvan is de kromme die wordt gegeven door de vergelijking x2 + y2 − 1 = 0. De reeleoplossingsverzameling is de eenheidscirkel. Voor een kromme in het projectieve vlakhebben we polynomen in drie variabelen nodig. We gebruiken hiervoor zogenoemdehomogene polynomen van graad d. Dat zijn polynomen die voldoen aan de volgendeeigenschap [5, p.225]

F (tX, tY, tZ) = tdF (X, Y, Z).

We definieren een kromme in het projectieve vlak nu als de oplossingsverzameling van devergelijking F (X, Y, Z) = 0, waarbij F een niet-constant en homogeen polynoom is. Wehebben nu een definitie voor krommen in het projectieve vlak in homogene coordinaten.

9

Deze krommen bevinden zich in het projectieve vlak die we hebben gedefinieerd volgensde algebraısche definitie.

We gaan nu kijken hoe deze definitie van krommen zich verhoudt tot krommen inde meetkundige definitie van het projectieve vlak. Veronderstel dat C een kromme vangraad d is, gegeven door een homogeen polynoom;

C : F (X, Y, Z) = 0.

Een punt [a, b, c] ∈ C, met c 6= 0, wordt door de afbeelding f afgebeeld op(a

c,b

c

)∈ A2 ⊂ A2 ∪ P1. (2.8)

Ook weten we dat F een homogeen polynoom is van graad d en combineren we dat metF (a, b, c) = 0, dan krijgen we de volgende vergelijking

0 = F (a, b, c) = F

(c · a

c, c · b

c, c · 1

)= cdF

(a

c,b

c, 1

). (2.9)

Als we vergelijking (2.8) en vergelijking (2.9) combineren, kunnen we een nieuw poly-noom f(x, y) definieren als f(x, y) = F (x, y, 1). We krijgen dan de volgende afbeelding[5, p.226]

h : {[a, b, c] ∈ C : c 6= 0} → {(x, y) ∈ A2 : f(x, y) = 0} met [a, b, c] 7→(a

c,b

c

).

Tot slot kijken we naar de punten [a, b, 0] ∈ C. Deze punten voldoen aan de vergelijkingF (X, Y, 0) = 0 en worden door de afbeelding f afgebeeld op [a, b] ∈ P1 ⊂ A2 ∪ P1.Zo’n punt is precies de limiet van de raaklijnrichting aan de grafiek van f(x, y) = 0. Wenoemen f(x, y) = 0 het affiene deel van de projectieve kromme C.

Nu we krommen hebben gedefinieerd, gaan we kijken naar de doorsnijding van krom-men in het projectieve vlak. Wat kunnen we zeggen over het aantal snijpunten van tweeof meer krommen?

2.2.1 Doorsnijding van projectieve krommen

Eerst gaan we het aantal snijpunten van twee krommen in het projectieve vlak bekijken.Laat C een projectieve kromme zijn, gegeven door C : F (X, Y, Z) = 0, dan kunnen weF ontbinden in irreducibele polynomen, [4, p.31],

F (X, Y, Z) = P1(X, Y, Z)P2(X, Y, Z) · · ·Pn(X, Y, Z).

Dan bestaan de irreducibele componenten van de kromme C uit de volgende krommen

P1(X, Y, Z) = 0, P2(X, Y, Z) = 0, . . . , Pn(X, Y, Z) = 0,

10

waarbij Pi ∈ k[X, Y, Z], voor i = 1, . . . , n. We zeggen dat twee krommen C1 en C2 geenovereenkomstige componenten hebben als de irreducibele componenten van C1 en C2

verschillend zijn.Veronderstel nu dat we twee projectieve krommen C1 en C2 hebben die geen over-

eenkomstige componenten hebben. We gaan nu kijken naar de punten in C1 ∩ C2. Wekunnen voor elk punt P ∈ C1 ∩ C2 de doorsnijdingsindex [5, p.249] geven. Van dezedoorsnijdingsindex bekijken we een aantal eigenschappen. Voordat we dat kunnen doen,hebben we eerst de volgende definitie nodig [5, p.26].

Definitie 2.1 (Niet-singuliere kromme). Laat C een projectieve kromme zijn gegevendoor F (X, Y, Z) = 0. We noemen een punt P ∈ C singulier als geldt dat

∂F

∂X(P ) = 0,

∂F

∂Y(P ) = 0 en

∂F

∂Z(P ) = 0.

Als de kromme C geen singuliere punten heeft dan noemen we C een niet-singulierekromme.

Nu we weten wat een singulier punt is, en dus ook wat een niet-singulier punt is,kunnen we een aantal eigenschappen van de doorsnijdingsindex bekijken [5, p.237].

Eigenschappen (Doorsnijdingsindex). Laat C1 en C2 projectieve krommen zijn diegeen overeenkomstige componenten hebben. Voor elk punt P ∈ C1 ∩ C2 schrijven weI(C1 ∩ C2, P ) voor de doorsnijdingsindex. De doorsnijdingsindex heeft de volgendeeigenschappen

1. Als P 6∈ C1 ∩ C2 dan geldt dat I(C1 ∩ C2, P ) = 0.

2. Als P ∈ C1 ∩ C2 en P een niet-singulier punt van C1 en C2 en de raaklijnrichtingvan C1 en C2 zijn verschillend dan geldt dat I(C1 ∩ C2, P ) = 1. We zeggen ookwel dat C1 en C2 transversaal doorsnijden in P.

3. Als P ∈ C1 ∩ C2 en C1 en C2 doorsnijden niet-transversaal in P dan geldt datI(C1 ∩ C2, P ) ≥ 2.

Laten we eens een paar voorbeelden bekijken bij deze eigenschappen van de doorsnij-dingsindex.

Voorbeeld 2.2. Bekijken we de volgende twee krommenA : F (X, Y, Z) = Y 2Z + X2Z − Z3 = 0 en B : G(X, Y, Z) = 2XZ − Z2 − Y Z = 0.Voor het gemak bekijken we alleen hun snijpunten in het affiene vlak, dus wanneerZ = 1. We krijgen dan de volgende twee krommen A : f(x, y) = y2 + x2 − 1 = 0 enB : g(x, y) = 2x− 1− y = 0. Tekenen we de grafieken, zie Figuur 2.2a, dan zien we datze elkaar snijden in twee punten.

11

(a) Grafiek van A en B (b) Snijpunten

Figuur 2.2: Doorsnijding van A en B

De krommen A en B snijden elkaar in de punten P1 = (0, −1) en P2 = (4/5, 3/5),zie Figuur 2.2b. We moeten nu eerst nagaan of P1 en P2 niet-singuliere punten zijn vanzowel de kromme A als de kromme B.

Voor het punt P1 geldt dat

∂f

∂x(0,−1) = 2 · 0 = 0 en

∂f

∂y(0,−1) = 2 · −1 = −2

en∂g

∂x(0,−1) = 2 en

∂g

∂y(0,−1) = 1.

Dus P1 is een niet-singulier punt van kromme A en ook van kromme B. Op dezelfdemanier kunnen we nagaan dat P2 een niet-singulier punt is van zowel kromme A alskromme B.

In Figuur 2.2 is duidelijk te zien dat in zowel P1 als P2 de twee krommen elkaar niet-transversaal snijden. Er geldt dat I(A ∩ B, P1) = 1 en I(A ∩ B,P2) = 1. We zien dusdat eigenschap 2 van de doorsnijdingsindex klopt.

We hebben net een voorbeeld bekeken waarbij de krommen elkaar niet-transversaalsnijden. Laten we nog een voorbeeld bekijken, maar nu een waar de krommen elkaartransversaal snijden.

Voorbeeld 2.3. Bekijken we de volgende twee krommenC : F (X, Y, Z) = X2Z+Y 2Z−Z3 = 0 enD : G(X, Y, Z) = Y 2Z+4Y Z2+X2Z+3Z3 = 0.Voor het gemak bekijken we weer alleen de snijpunten in het affiene vlak, dus wanneerZ = 1. We hebben dan de volgende twee krommen C : f(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0 enD : g(x, y) = y2 + 4y + x2 + 3 = 0. Als we de grafieken tekenen, zie Figuur 2.3a, danzien we dat de krommen elkaar snijden in een punt.

12

(a) Grafiek van C en D (b) Snijpunt

Figuur 2.3: Doorsnijding van C en D

Het snijpunt kunnen we aflezen uit de grafiek en is P = (0, −1), zie Figuur 2.3b. InFiguur 2.3 is te zien dat de raaklijn van beide krommen in het punt P de horizontalelijn is, gegeven door de vergelijking y = −1. Er geldt dat I(C ∩D, P ) = 4 > 2. We zienaan dit voorbeeld dat eigenschap 3 van de doorsnijdingsindex inderdaad klopt.

Aan de hand van de eigenschappen van de doorsnijdingsindex kunnen we de volgendestelling geven [5, p.237].

Stelling 2.4 (Bezout’s stelling). Laat C1 en C2 projectieve krommen zijn die geen over-eenkomstige componenten hebben. Dan geldt dat∑

P∈C1∩C2

I(C1 ∩ C2, P ) = (deg(C1))(deg(C2)),

waarbij de som loopt over alle punten in C1 ∩ C2 met complexe coordinaten. In hetbijzonder geldt dat als C1 en C2 krommen zijn met alleen transversale doorsnijdingendan geldt dat #(C1 ∩ C2) = (deg(C1))(deg(C2)). Tot slot hebben we in alle gevallen deongelijkheid #(C1 ∩ C2) ≤ (deg(C1))(deg(C2)).

Voor een bewijs verwijzen we naar [2, p.42].Naast dat we willen weten hoe het zit met het aantal snijpunten van twee projectieve

krommen, willen we ook weten wat er gebeurt als we bijvoorbeeld drie projectieve krom-men elkaar laten snijden. Wat kunnen we zeggen over het aantal snijpunten van dezekrommen? Hiervoor bekijken we een speciaal geval, namelijk we veronderstellen dat eral twee projectieve krommen zijn die elkaar snijden in een bepaald aantal punten en gaandan kijken wat er gebeurt met een projectieve kromme die door bijna alle snijpuntengaat. We hebben hiervoor de volgende stelling [5, p.237].

13

Stelling 2.5 (Cayley-Bacharach). Veronderstel dat C1 en C2 projectieve krommen zijndie geen overeenkomstige componenten hebben en die respectievelijk graad d1 en d2 heb-ben. Veronderstel ook dat C1 en C2 snijden in d1d2 verschillende punten. Laat D eenprojectieve kromme zijn van graad d1 + d2− 3. Als D door alle punten van C1 ∩C2 gaatop een na, dan moet D ook door het laatste punt van C1 ∩ C2 gaan.

Voor een bewijs verwijzen we naar [2, p.47].In het vervolg werken we met derdegraads polynomen en daarvoor is de volgende

stelling, die een speciaal geval is van de vorige, belangrijk.

Stelling 2.6 (Cayley-Bacharach voor derdegraads polynomen). Laat C1 en C2 derde-graads projectieve krommen zijn die geen overeenkomstige componenten hebben en ver-onderstel dat C1 een gladde kromme is. Veronderstel dat D een andere derdegraads pro-jectieve kromme is die door acht van de doosnijdingspunten van C1 en C2 gaat, waarbijmultipliciteit is meegerekend. Dan gaat D ook door het negende doorsnijdingspunt vanC1 en C2.

We hebben nu een projectief vlak gedefinieerd aan de hand van twee definities, eenalgebraısche definitie en een meetkundige definitie, en we hebben laten zien dat deze tweedefinities equivalent zijn. Daarna hebben we gekeken naar krommen in het projectievevlak en hebben we gekeken naar doorsnijdingen van krommen in het projectieve vlak.

14

3 Rationale punten op elliptischekrommen

In het vorige hoofdstuk hebben we het projectieve vlak gedefinieerd en naar krommenin het projectieve vlak gekeken. Vanaf nu gaan we ons beperken tot een bepaalde soortkrommen, namelijk niet-singuliere krommen gegeven doorF (X, Y, Z) = Y 2Z −X3− aX2Z − bXZ2− cZ3 = 0, waarbij a, b, c ∈ Q. Deze krommennoemen we elliptische krommen.

3.1 Elliptische krommen

We definieren het rationale punt O = [0, 1, 0]. We willen laten zien dat O een niet-singulier punt is van de kromme C die gegeven wordt doorF (X, Y, Z) = Y 2Z −X3 − aX2Z − bXZ2 − cZ3 = 0, waarbij a, b, c ∈ Q.

Dat O op de kromme C ligt, volgt door het punt in te vullen. Om te laten zien dathet een niet-singulier punt is leiden we af naar elke variabele. We krijgen dan

∂F

∂XO = 3 · 02 + 2a · 0 · 0 + b · 02 = 0,

∂F

∂YO = 2 · 1 · 0 = 0 en

∂F

∂ZO = a · 02 + 2b · 0 · 0 + 3 · 02 − 12 = −1.

Dus met Definitie 2.1 volgt dat O een niet-singulier punt is van de kromme C. We willennu nog laten zien dat O het enige punt in het ‘oneindige’ is voor elke elliptische kromme.

We bekijken een elliptische kromme C, gegeven door

C : Y 2Z = X3 + aX2Z + bXZ2 + cZ3,

waarbij a, b, c ∈ Q. We willen nu weten in welke punten deze elliptische kromme delijn in het ‘oneindige’, Z = 0, snijdt. Vullen we Z = 0 in dan vinden we meteen datX = 0. Dit betekent dat de elliptische kromme de lijn Z = 0 snijdt in het punt in het‘oneindige’, met multipliciteit drie, waar de verticale lijnen x = constante elkaar snijden.Dit is precies het punt O = [0, 1, 0]. We kunnen dus concluderen dat elke projectievekromme van de vorm C : Y 2Z = X3 + aX2Z + bXZ2 + Z3 bestaat uit het affiene stuky2 = x3 + ax2 + bx+ c verenigd met O.

Nu we weten dat een elliptische kromme bestaat uit het affiene deely2 = x3 + ax2 + bx + c verenigd met O moeten we ook weten wanneer de krommey2 + x3 + ax2 + bx+ c niet-singulier is. Hiervoor hebben we het volgende lemma.

15

Lemma 3.1. Laat C een kromme zijn gegeven door g(x, y) = y2 − f(x) = 0, waarbijf(x) = x3 + ax2 + bx + c en a, b, c ∈ Q. Dan is C een niet-singuliere kromme ⇔ f(x)geen meervoudige nulpunten heeft.

Bewijs. Veronderstel dat f(x) wel een meervoudig nulpunt heeft, namelijk het puntd ∈ C. Dan is er een functie h(x), waarvoor geldt dat h(d) 6= 0, zodanig datf(x) = (x−d)kh(x), waarbij k = 2 of k = 3. De afgeleide functie van f(x) wordt gegevendoor f ′(x) = k(x− d)k−1h(x) + (x− d)kh′(x). Voor het punt (d, 0) ∈ C geldt dat

∂g

∂x(d, 0) = f ′(d) = 0 en

∂g

∂y(d, 0) = 2 · 0 = 0.

Hieruit volgt dat (d, 0) ∈ C een singulier punt is en dus is C een singuliere kromme.Veronderstel nu dat f(x) geen meervoudige nulpunten heeft, dan kunnen we f(x)

schrijven als f(x) = (x−d1)(x−d2)(x−d3), waarbij d1, d2 en d3 enkelvoudige nulpuntenzijn van f(x). De afgeleide van f(x) wordt dan gegeven doorf ′(x) = (x− d1)(x− d2) + (x− d1)(x− d3) + (x− d2)(x− d3). We weten dat

∂g

∂y(u, v) = 0 als v = 0.

Voor de kromme C zijn dit precies de punten (d1, 0), (d2, 0), (d3, 0) ∈ C. Kijken we nunog eens naar de vergelijking van f ′(x) dan zien we direct dat

∂g

∂x(di, 0) 6= 0 voor 1 ≤ i ≤ 3.

Hieruit volgt dat elk punt van C een niet-singulier punt is en dus volgt dat C eenniet-singuliere kromme is.

Opmerking. Als f(x) = x3+ax2+bx+c, waarbij a, b, c ∈ Q geen dubbele nulpunten bevatdan heeft f of drie reele nulpunten of een reeel nulpunt en twee complexe nulpunten.

Opmerking. We kunnen elke elliptische krommen schrijven als de oplossingsverzamelingvan y2 = x3 + ax2 + bx+ c, waarbij a, b, c ∈ Q verenigd met O. Vanaf nu zullen we eenelliptische krommen definieren als de oplossingsverzameling van y2 = x3 + ax2 + bx+ c,waarbij a, b, c ∈ Q en het punt O hier stilzwijgend aan toevoegen.

Nu we weten wanneer y2 = x3 + ax2 + bx + c, waarbij a, b, c ∈ Q, niet-singulier ensingulier is, kunnen we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 3.2. We beginnen met twee krommen die beide singulier zijn. Namelijk dekrommen gegeven door y2 = x3 − 3x2 + 3x − 1 en y2 = x3 + 3x2. De reele punten zijnweergegeven in Figuur 3.1a en 3.1b.

16

(a) y2 = x3 − 3x2 + 3x− 1 (b) y2 = x3 + 3x2

Figuur 3.1: Singuliere krommen

We kunnen Lemma 3.1 gebruiken om te laten zien dat deze krommen singulier zijn.We kunnen namelijk schrijven y2 = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3, dus x = 1 is eendrievoudig nulpunt van f(x). Ook kunnen we schrijven y2 = x3 + 3x2 = x2(x + 3), dusx = 0 is een tweevoudig nulpunt van f(x). Nu volgt met Lemma 3.1 dat deze tweekrommen singulier zijn.

We hebben een voorbeeld bekeken met singuliere krommen. Laten we ook nog eenvoorbeeld bekijken van niet-singuliere krommen.

Voorbeeld 3.3. We bekijken de krommen gegeven door y2 = x3−3x en y2 = x3−x+1.De reele punten zijn weergegeven in Figuur 3.2a en 3.2b.

(a) y2 = x3 − 3x (b) y2 = x3 − x + 1

Figuur 3.2: Niet-singuliere krommen

We kunnen nu schrijven y2 = x3 − 3x = x(x −√

3)(x +√

3). We zien dat f(x) geenmeervoudige nulpunten heeft. Ook kunnen we schrijveny2 = x3 − x + 1 = (x − a)(x − b)(x − b), waarbij a ≈ −1, 32 en b ≈ 0, 66 − 0, 56i enb ≈ 0, 66 + 0, 56i. We zien dus dat f(x) geen meervoudige nulpunten heeft. Er volgt danmet Lemma 3.1 dat deze twee krommen niet-singulier zijn.

3.2 De groep van rationale punten

In de vorige paragraaf hebben we laten zien dat we elke elliptische kromme kunnenschrijven als het affiene deel van de kromme verenigd met O. We definieren de volgende

17

groepsbewerking [5, p.18].

Definitie 3.4. Laat P en Q twee rationale punten zijn op een elliptische kromme C.Dan geldt dat P +Q gedefnieerd wordt door de volgende stappen.

1. Als P 6= Q dan trekken we een lijn door P en Q. En als geldt dat P = Q dannemen we de raaklijn aan C in het punt P.

2. Neem het derde snijpunt van de lijn met de kromme C en noem dit punt P ∗ Q.Dit derde snijpunt bestaat vanwege Stelling 2.4.

3. Trek nu een lijn door P ∗Q en door het punt O en neem weer het derde snijpuntvan deze lijn met de kromme C. Dit derde snijpunt bestaat vanwege Stelling 2.4.Dit punt noemen we P +Q.

In de vorige paragraaf hebben we opgemerkt dat O het punt in het oneindige is waar allelijnen van de vorm x = c snijden. Als we de groepsbewerking in het affiene vlak bekijken,dan komt de laatste stap neer op spiegelen in de x- as. We kunnen de groepsbewerkingnu weergeven in Figuur 3.3.

Figuur 3.3: Groepsbewerking

We willen aantonen dat voor een elliptische kromme C : F (X, Y, Z) = 0, in hetprojectieve vlak, geldt dat C(Q) = {[ρ, σ, τ ] ∈ P2 : F (ρ, σ, τ) = 0 en ρ, σ, τ ∈ Q} eencommutatieve groep is. Laten we eerst eens de precieze definitie van een commutatievegroep bekijken [3, p.18].

18

Definitie 3.5 (Commutatieve groep). Een commutatieve groep is een verzameling Gvoorzien van een bewerking ◦ en een e ∈ G zodanig dat

1. (Gesloten) ◦ : G×G→ G.

2. (Associativiteit) Voor iedere x, y, z ∈ G geldt (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).

3. (Eenheidselement) Voor iedere x ∈ G geldt x ◦ e = e ◦ x = x.

4. (Inverse element) Voor iedere x ∈ G is er een element x∗ ∈ G zodatx ◦ x∗ = x∗ ◦ x = e.

5. (Commutatief) Voor iedere x, y ∈ G geldt dat x ◦ y = y ◦ x.

Om aan te kunnen tonen dat C(Q) een commutatieve groep is, schrijven we onze verza-meling eerst eenvoudiger op. Laat C een elliptische kromme zijn die in het projectievevlak gegeven wordt door F (X, Y, Z) = 0 en in het affiene vlak gegeven wordt doory2 = x3 + ax2 + bx+ c, waarbij a, b, c ∈ Q dan geldt dat

C(Q) = {[ρ, σ, τ ] ∈ P2 : F (ρ, σ, τ) = 0 en ρ, σ, τ ∈ Q}= {(x, y) ∈ A2 : y2 = x3 + ax2 + bx+ c en x, y, a, b, c ∈ Q} ∪ {O}.

Voordat we aantonen dat C(Q) een groep is onder de bewerking ‘+’, zoals gedefinieerdin Definitie 3.4, bekijken we eerst het volgende lemma.

Lemma 3.6. De lijn y = λx+ν en de kromme C : y2 = x3 +ax2 +bx+c met a, b, c ∈ Qsnijden in precies drie punten, multipliciteiten meegerekend. Als twee van deze puntenrationaal zijn, hierbij ook de multipliciteit meegerekend, dan is het derde punt ook eenrationaal punt.

Bewijs. Als eerste substitueren we y = λx+ ν in de vergelijking voor de kromme C. Wekrijgen dan de volgende vergelijking

(λx+ ν)2 = x3 + ax2 + bx+ c.

Herschrijven geeft0 = x3 + ax2 + bx+ c− (λx+ ν)2.

Nu is g(x) = x3 + ax2 + bx+ c− (λx+ ν)2 een derdegraadskromme in een variabele endaarom volgt met de hoofdstelling van de algebra dat g(x) drie nulpunten heeft in C,multipliciteiten meegerekend.

Veronderstel dat (x1, y1) = P 6= Q = (x2, y2) ∈ C(Q). Waarvoor geldt dat x1 en x2

twee snijputen zijn van de lijn y = λx+ ν en de kromme C : y2 = x3 + ax2 + bx+ c. Wekunnen nu twee gevallen onderscheiden.

• x1 = x2. De lijn die door P en Q gaat is een verticale lijn. Deze lijn heeft hetderde snijpunt met de kromme C in het punt O. We hebben aangenomen dat diteen rationaal punt is.

19

• x1 6= x2. De lijn door de punten P en Q wordt gegeven door y = λx + ν, waarbijλ = (y2 − y1)/(x2 − x1) en ν = y1 − λx1. Substitueren we dit in de kromme voorC dan vinden we dat g(x) = x3 + ax2 + bx+ c− (λx+ ν)2. We weten dat we g(x)kunnen schrijven als

g(x) = (x− x1)(x− x2)(x− x3),

waarbij x1, x2 en x3 de drie nulpunten zijn van g(x). Als we de haakjes uitwerkenen de coefficienten van x2 met elkaar vergelijken dan vinden we dat

λ2 − a = x1 + x2 + x3. (3.1)

Herschrijven geeft datx3 = a− λ2 − x1 − x2.

We weten dat a, λ, x1, x2 ∈ Q en het verschil tussen rationale getallen is weer eenrationaal getal en dus volgt dat x3 ook rationaal is.

Veronderstel dat (x1, y1) = P = Q ∈ C(Q). We kunnen ook hiervoor twee gevallenondescheiden.

• y = 0. De raaklijn door het punt P = (x, 0) aan de grafiek van C is een verticalelijn. Deze lijn heeft het derde snijpunt met de kromme C in het punt O. Wehebben aangenomen dat dit een rationaal punt is.

• y 6= 0. We moeten eerst de raaklijn opstellen door het punt P = (x, y) aan degrafiek van C. Als we nu de raaklijn aan de kromme C in het P willen opstellendan weten we door middel van impliciet differentieren dat de helling van de raaklijngegeven wordt door

λ =f ′(x)

2y=

3x2 + 2ax+ b

2y.

Aangezien a, b, x, y ∈ Q volgt direct dat λ ∈ Q. De raaklijn in het punt P aan degrafiek van C wordt nu gegeven door y = λx+ν, waarbij λ = (3x2

1 +2ax1 +b)/(2y1)en ν = (2y2

1 − 3x31 − 2ax2

1 − bx1)(2y21).

We weten dat g(x) drie nulpunten heeft, waarvan in dit geval x1 multipliciteit tweeheeft, dus we kunnen schrijven

g(x) = (x− x1)2(x− x2).

Als we de haakjes uitwerken en de coefficienten van x2 met elkaar vergelijken danvinden we dat

λ2 − a = 2x1 + x2. (3.2)

Herschrijven geeft datx2 = a− λ2 − 2x1.

We weten dat a, λ, x1 ∈ Q en het verschil tussen rationale getallen is weer eenrationaal getal en dus volgt dat x2 ook rationaal is.

20

We hebben nu voor alle mogelijke gevallen laten zien dat als twee snijpunten van de lijny = λx + ν en de kromme C : y2 = x3 + ax2 + bx + c rationaal zijn het derde snijpuntook rationaal is.

Met de eenvoudige verzameling voor C(Q) en Lemma 3.6 gaan we laten zien dat C(Q)een commutatieve groep is door de vijf eigenschappen aan te tonen, zoals beschreven inDefinitie 3.5.

1. Gesloten. Laat P en Q willekeurige elementen zijn van C(Q). We gaan nu aantonendat P + Q weer een element is van C(Q). We volgen hiervoor het stappenplan,zoals beschreven in Definitie 3.4. Om aan te tonen dat P +Q weer een element isvan C(Q) onderscheiden we de volgende gevallen.

a) Veronderstel dat P = Q en P 6= O.We nemen nu de raaklijn aan de kromme C in het punt P. Met Lemma 3.6volgt dat het snijpunt van de raaklijn met de kromme C weer een rationaalpunt is. We noemen dit snijpunt P ∗ P. Vervolgens spiegelen we P ∗ P in dex-as en vinden we P +P. Vanwege de symmetrie van C en het feit dat P ∗Prationaal is volgt dat P + P ∈ C(Q).

b) Veronderstel dat P = Q en P = O.We nemen nu de raaklijn aan de kromme C in het punt O. Deze lijn is de lijnin het oneindige. We nemen het snijpunt van deze lijn met de kromme C envinden datO∗O = O. Per definitie geldt datO+O = O∗(O∗O) = O∗O = O.En dus volgt dat P + P ∈ C(Q).

c) Veronderstel dat P 6= Q en beide ongelijk aan O. Dan trekken we de lijndoor P en Q dan volgt met Lemma 3.6 dat het derde snijpunt, P ∗Q, van delijn met de kromme C weer een rationaal punt is. Spiegelen in de x-as geeftdat P + Q ∈ C(Q), aangezien C symmetrisch is in de x-as. Als geldt datP ∗ Q = O dan volgt dat P + Q = O ∗ O = O en dus ook een element vanC(Q).

d) Veronderstel tot slot dat P 6= Q en Q = O. We trekken de lijn door P en Oen nemen het derde snijpunt van de lijn met de kromme C. De lijn door P enO is verticaal en er volgt dat P ∗ O = P. Trekken we nu een lijn door P ∗ Oen O dan zien we met hetzelfde argument als hierboven dat P + O = P enP ∈ C(Q) per aanname.

We hebben nu alle gevallen gecontroleerd en er geldt dat de bewerking ‘+’ op C(Q)gesloten is.

2. Associativiteit. Laat P, Q en R willekeurige elementen zijn van C(Q). We willenaantonen dat (P + Q) + R = P + (Q + R). Hiervoor is het voldoende om aan tetonen dat (P + Q) ∗ R = P ∗ (Q + R), want er geldt dan dat de lijn door O en(P + Q) ∗ R dezelfde is als de lijn door O en P ∗ (Q + R). Hiermee volgt dat hetsnijpunt met de kromme C dan ook gelijk is.

21

Om (P +Q)∗R te krijgen trekken we eerst een lijn door P en Q en hebben dan hetpunt P ∗Q. Vervolgens trekken we een lijn door P ∗Q en O en dan hebben we hetpunt P+Q. Daarna trekken we een lijn door P+Q en R, om zo het punt (P+Q)∗Rte krijgen. Hetzelfde doen we voor P ∗(Q+R). Dit proces is getekend in Figuur 3.4.

Figuur 3.4: Associativiteit

We zien dat elk van de punten O, P, Q, R, P ∗Q, P +Q, Q∗R en Q+R op zoweleen gestreepte lijn ligt als op een doorgetrokken lijn. Bekijken we nu de gestip-pelde lijn door R en P +Q en de doorgetrokken lijn door P en Q+R dan zien wedat deze lijnen elkaar ook snijden. Als dit snijpunt op de kromme C ligt, dan isde groepsbewerking associatief. Elke gestippelde lijn wordt gerepresenteerd dooreen lineaire vergelijking. Als we al deze lineaire vergelijkingen met elkaar verme-nigvuldigen krijgen we een vergelijking voor een derdegraads kromme. Hetzelfdekunnen we doen voor de doorgetrokken lijnen. Dan hebben we twee derdegraadskrommen die beide door negen overeenkomstige punten gaan. De kromme C gaatal door acht van die punten. Nu volgt met Stelling 2.6, de stelling van Cayley-Bacharach, dat de kromme C ook door het negende punt moet gaan. Er volgt nudat P ∗ (Q+R) = (P +Q) ∗R en dus is de groepsbewerking associatief.

3. Eenheidselement. We hadden al verondersteld dat O het eenheidselement zouworden van C(Q). Dus laten we nagaan dat dit inderdaad zo is. We hebbenaangetoond, bij het bewijs dat de groepsbewerking gesloten is, dat P + O = Pen O + O = O. Aangezien de lijn door P en O dezelfde is als de lijn door Oen P volgt dat O + P = O. Er volgt hiermee dat voor alle P ∈ C(Q) geldt datP +O = O + P = P. Dus O is inderdaad het eenheidselement.

22

4. Inverse element. Laat P = (x, y) een element zijn van C(Q). Dan geldt datP ∗ = (x,−y), precies het punt P gespiegeld in de x-as. We gaan nu na dat P ∗

inderdaad het inverse element is. We trekken een lijn door P en P ∗. Per constructievan P en P ∗ is dit een verticale lijn. Het derde snijpunt van de kromme C met delijn is het punt O. Vervolgens trekken we een lijn door O en O. Dit is de lijn inhet oneindige, deze lijn snijdt het punt O met multipliciteit drie en dus volgt datP + P ∗ = O. Aangezien de lijn die we door P en P ∗ tekenen hetzelfde is als delijn die we door P ∗ en P tekenen, geldt dat P + P ∗ = P ∗ + P = O.Bij het bewijs dat de groepsbewerking gesloten is, hebben we gezien datO+O = O.Dus ieder element van C(Q) heeft een inverse element.

5. Commutatief. Voor alle P en Q die een element zijn van C(Q) geldt dat de lijndie we tekenen door P en Q hetzelfde is als de lijn die we tekenen door Q en P.Dus volgt direct dat P +Q = Q+ P voor alle P en Q in C(Q).

We hebben nu laten zien dat C(Q) aan alle vijf de eigenschappen van Definitie 3.5voldoet. En dus is C(Q) een commutatieve groep.

Nu we de groepsbewerking hebben gedefinieerd en hebben laten zien dat C(Q) eencommutatieve groep is, bekijken we een aantal voorbeelden van deze groepsbewerking.

Voorbeeld 3.7. We bekijken de kromme C : y2 = x3 − 2x.

Figuur 3.5: y2 = x3 − 2x

Als we naar Figuur 3.5 kijken dan zien we direct dat de volgende twee punten op dekromme C liggen. Dat zijn de punten P = (−1, 1) en Q = (0, 0), deze zijn aangegevenmet rood in Figuur 3.6.

23

Figuur 3.6: Punten P en Q

We willen nu het punt P + Q berekenen. De eerste stap is om de lijn door P en Qte trekken. De richtingscoefficient van de lijn wordt gegeven door λ = 1/ − 1 = −1.Aangezien de lijn door de oorsprong gaat, wordt de lijn door P en Q gegeven doory = −x, de blauwe lijn in Figuur 3.7.

Figuur 3.7: y=-x

We zijn nu opzoek naar het derde snijpunt van de lijn y = −x en de krommeC : y2 = x3 − 2x. We substitueren de vergelijking y = −x in de vergelijking van dekromme C en dan vinden we dat x2 = x3 − 2x. Herschrijven en ontbinden in factorengeeft

0 = x3 − x2 − 2x

= x(x+ 1)(x− 2) (3.3)

Uit vergelijking (3.3) volgt dat de x-coordinaat van het derde snijpunt gelijk is aan 2.Uit y = −x volgt dat het bijbehorende y-coordinaat gegeven wordt door −2. We vindennu dat P ∗Q = (2, −2), aangegeven met rood in Figuur 3.8.

24

Figuur 3.8: P ∗Q

Vervolgens spiegelen we het punt P ∗ Q in de x-as, zie hiervoor de groene stippellijnin Figuur 3.9a.

(a) Spiegelen (b) P + Q

Figuur 3.9: Laatste stap

En daarmee vinden we dat het punt P + Q gegeven wordt door P + Q = (2, 2). Ditpunt is met paars aangegeven in Figuur 3.9b.

Dit was een voorbeeld waarbij we twee verschillende punten bij elkaar optellen. Latenwe ook nog een voorbeeld bekijken waarin we een punt bij zichzelf optellen.

Voorbeeld 3.8. We bekijken dezelfde kromme C : y2 = x3 − 2x als in het vorigevoorbeeld, zie Figuur 3.10a. We nemen weer het punt P = (−1, 1), aangegeven metrood in Figuur 3.10b.

25

(a) y2 = x3 − 2x (b) het punt P

Figuur 3.10: Eerste stap

We willen nu de raaklijn bepalen aan de kromme C in het punt P. Met impliciet diffe-rentieren volgt dat de helling van de raaklijn gegeven wordt door

λ =3 · (−1)2 − 2

2 · −1=

1

2.

De raaklijn wordt gegeven door y = 0, 5x+ b. We gebruiken het punt P om b te bepalenen vinden dat y = 0, 5x+ 1, 5, de blauwe lijn in Figuur 3.11.

Figuur 3.11: y = 12x+ 3

2

Voor het bepalen van het derde snijpunt maken we gebruiken van de algemene vormvan vergelijking (3.2). We krijgen dan dat

x3 = λ2 − a− x1 − x2

=

(1

2

)2

− 0 + 1 + 1

=9

4.

Met de vergelijking y = 0, 5x+ 1, 5 vinden we dat de bijbehorende y-coordinaat gegevenwordt door 21/8. Het punt P ∗ P = (9/4, 21/8) is aangegeven met rood in Figuur 3.12.

26

Figuur 3.12: P ∗ P

Vervolgens spiegelen we het punt P ∗ P in de x-as, zie hiervoor de groene stippellijn inFiguur 3.13a.

(a) Spiegelen (b) P + P

Figuur 3.13: Laatste stap

We vinden dan dat het punt 2P = P + P gegeven wordt door 2P = (9/4, −21/8),aangegeven met paars in Figuur 3.13b.

We hebben in dit hoofdstuk de verzameling van rationale punten gedefinieerd vooreen elliptische kromme C. Deze verzameling hebben we genoteerd met C(Q). Vervolgenshebben we laten zien dat C(Q) een commutatieve groep is. En tot slot hebben we eenaantal voorbeelden bekeken van de groepsbewerking.

27

4 De stelling van Mordell

In het vorige hoofdstuk hebben we op de verzameling van rationale punten op een ellipti-sche kromme een commutatieve groepsstructuur gedefinieerd. Het doel van deze scriptieis om het bewijs van de stelling van Mordell te bestuderen. Deze zegt het volgende [5,p.22].

Stelling 4.1 (Mordell). Laat C een elliptische kromme zijn die gegeven wordt door devergelijking

C : y2 = x3 + ax2 + bx+ c,

waarbij a, b, c ∈ Q. Dan is de groep van rationale punten C(Q) een eindig voortgebrachtecommutatieve groep [3, p.34].

Het is mogelijk om a, b, c ∈ Z te veronderstellen. Bekijken we namelijk de kromme

C ′ : (y′)2 = (x′)3 + a′(x′)2 + b′x′ + c′,

waarbij a′, b′, c′ ∈ Q en veronderstellen we dat (x′, y′) 7→ (λ2x′, λ3y′) = (x, y), met λ ∈ Z,dan volgt dat

y2

λ6=x3

λ6+a′x2

λ4+b′x

λ2+ c′.

Vermenigvuldigen we zowel links als rechts van de gelijkheid met λ6 dan vinden we dat

y2 = x3 + a′λ2x2 + b′λ4x+ c′λ6.

We kunnen λ ∈ Z altijd groot genoeg kiezen zodanig dat a = a′λ2, b = b′λ4, c = c′λ6 ∈ Z.We krijgen dan de kromme C : y2 = x3 + ax2 + bx+ c, waarbij a, b, c ∈ Z. Dit geeft eenisomorfisme [3, p.35] tussen C(Q) en C ′(Q).

Als een kromme C gegeven wordt door y2 = f(x) = x3 +ax2 + bx+ c, waarbij a, b, c ∈Z een rationaal 2-torsie punt heeft, dan mogen we zonder verlies van algemeenheidaannemen dat het rationale nulpunt van f(x) het punt x = 0 is. Stel namelijk dat x0

het rationale nulpunt is. Dan kunnen we het punt (x0, 0) ∈ C door middel van translatieverschuiven naar (0, 0). Een translatie geeft een isomorfisme van de groepsstructuur. Ditheeft als gevolg dat als C een rationaal 2-torsie punt heeft de kromme C gegeven wordtdoor

C : y2 = x3 + ax2 + bx,

waarbij a, b ∈ Z.Wij zullen het bewijs van een speciaal geval van Stelling 4.1 bestuderen, namelijk het

geval dat de elliptische kromme C een rationaal 2-torsie punt heeft [5, p.88].

28

Stelling 4.2 (2-torsie Mordell). Laat C een elliptische kromme zijn die gegeven wordtdoor de vergelijking

C : y2 = x3 + ax2 + bx,

waarbij a, b ∈ Z. Dan is de groep van rationale punten C(Q) een eindig voortgebrachtecommutatieve groep.

4.1 De hoogte van een punt

Voordat we de stelling van Mordell kunnen bestuderen, hebben we eerst de volgendedefinitie nodig [5, p.63].

Definitie 4.3 (Hoogte). Laat x = m/n een rationaal getal zijn met m,n ∈ Z enggd(m,n) = 1. Dan definieren we de hoogte H(x) als

H(x) = H(mn

)= max{|m|, |n|}.

Laat nu C een ellipitsche kromme zijn gegeven door y2 = x3 + ax2 + bx + c, waarbija, b, c ∈ Z. Als (x, y) = P ∈ C(Q) dan definieren we de hoogte van P als H(P ) = H(x).Voor het eenheidselement van C(Q) definieren we de hoogte als H(O) = 1. Tot slotdefinieren we, voor P ∈ C(Q), h(P ) = log(H(P )), omdat het eenvoudiger is om metoptelling te werken dan met vermenigvuldiging.

4.2 De vier lemma’s

Nu we de hoogte van een punt hebben gedefinieerd, kunnen we Stelling 4.1 bewijzendoor de volgende vier lemma’s te bewijzen [5, p.64-65]. Wij zullen de eerste drie lemma’svolledig bewijzen, maar het vierde lemma alleen voor elliptische krommen met een 2-torsie punt. Hierdoor krijgen we alleen een volledig bewijs voor Stelling 4.2.

Lemma 4.4. Voor elk reeel getal M is de verzameling {P ∈ C(Q) : h(P ) ≤M} eindig.

Dit lemma zullen we illustreren aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld 4.5. We bekijken de kromme C gegeven door de vergelijking y2 = x3 − 5x,zie Figuur 4.1.

29

Figuur 4.1: y2 = x3 − 5x

Veronderstel dat M = log(3). Dan volgt per definitie van de hoogte h dat H(P ) ≤ 3.We gaan nu uitzoeken welke punten P ∈ C(Q) voldoen aan deze hoogte. We kunnende x-coordinaat van P schrijven als x = m/n met m,n ∈ Z en ggd(m,n) = 1. Kijkenwe naar de definitie van de hoogte H dan zien we dat m ∈ {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} enn ∈ {−3,−2,−1, 1, 2, 3}. We kunnen nu alle mogelijkheden voor x bepalen zodanig datH(P ) ≤ 3. De mogelijkheden voor x zijn aangegeven met groen in Figuur 4.2.

Figuur 4.2: Alle mogelijkheden voor x

In Figuur 4.2 is al te zien dat niet voor elke waarde van x er een y is zodanig dat hetpunt (x, y) op de kromme C ligt. Ook zien we dat er voor sommige waarden van xmaar een of twee mogelijke y waarden. Alle rode punten in Figuur 4.3 zijn de punten

Figuur 4.3: Alle punten P met H(P ) ≤ 3

30

P zodanig dat H(P ) ≤ 3. Dit zijn eindig veel punten. Per definitie geldt dat h(O) = 0en dit punt zit dus ook in de verzameling punten met H(P ) ≤ 3. Als we dit ene punttoevoegen aan de eindige verzameling met punten P zodanig dat h(P ) ≤ log(3) dan isdeze verzameling nog steeds eindig.

Lemma 4.6. Laat P0 ∈ C een willekeurig vast gekozen rationaal punt zijn. Dan bestaater een constante κ0, die afhangt van P0, a, b, c, zodanig dat h(P + P0) ≤ 2h(P ) + κ0

voor alle P ∈ C(Q).

Lemma 4.7. Er bestaat een constante κ, die afhangt van a, b, c, zodanig dat h(2P ) ≥4h(P )− κ voor alle P ∈ C(Q).

Om een idee te krijgen bij dit lemma geven we een voorbeeld.

Voorbeeld 4.8. Laten we nog eens naar de kromme C kijken die gegeven wordt doory2 = x3 − 5x.

(a) y2 = x3 − 5x (b) Het punt P

Figuur 4.4: De kromme C

Als we naar Figuur 4.4a kijken dan zien we dat het punt P = (−1, 2) op de kromme Cligt, zie Figuur 4.4b. Voor dit punt P gaan we 2P, 4P, 8P enzovoort berekenen en hunhoogte. Deze gevonden waarden zetten we in de volgende tabel.

k 0 1 2 3 4 52kP (−1 : 2) (9

4; −3

8) (25921

144; 4172959

1728) * * *

h(2kP ) 0 2, 197 10, 163 40, 652 162, 611 650, 521

We schrijven bij k = 3, 4, 5 een ∗, omdat het getal te groot wordt. We zien dat 10,163ongeveer vier keer zo groot is als 2,197 en dat 40,652 ongeveer vier keer zo groot isals 10,163 en dat 162,61 ongeveer vier keer zo groot is als 40,652 en ook dat 650,521ongeveer vier keer zo groot is als 162,611.

Lemma 4.9. De index [C(Q) : 2C(Q)] is eindig.

Hierbij is 2C(Q) de ondergroep van C(Q) die bestaat uit punten die twee keer een anderpunt zijn. We kunnen eenvoudig nagaan dat 2C(Q) inderdaad een ondergroep is.

31

Definieer de afbeelding

f : C(Q)→ C(Q) met P 7→ 2P.

Dan is f een homomorfisme [3, p.35] en met Stelling 5.10 uit [3, p.36] volgt dat hetbeeld van een homomorfisme een ondergroep is. En f(C(Q)) = 2C(Q) en dus volgt dat2C(Q) een ondergroep is van C(Q).

Voordat we deze vier lemma’s gaan bewijzen, gaan we eerst aantonen dat deze vierlemma’s Stelling 4.1 bewijzen.

Bewijs. Neem voor iedere nevenklasse [3, p.48] van 2C(Q) in C(Q) een representant.Met Lemma 4.9 weten we dat er einidig veel van deze nevenklassen zijn. Zeg dat ern nevenklassen zijn, dan kiezen we Q1, Q2, . . . , Qn als de representanten voor de ne-venklassen van 2C(Q) in C(Q). Kies nu een willekeurig P ∈ C(Q). Dan weten we datP bevat zit in een nevenklasse. Er is dus een representant Qi1 , deze hangt af van P,zodanig dat P −Qi1 ∈ 2C(Q). Nu volgt dat er een P1 ∈ C(Q) is zodanig dat

P −Qi1 = 2P1.

Voor P1 ∈ C(Q) kunnen we hetzelfde doen. We vinden dan een representant Qi2 en eenpunt P2 ∈ C(Q) zodanig dat

P1 −Qi2 = 2P2.

We vinden nu dat we P ∈ C(Q) kunnen schrijven als

P = Qi1 + 2Qi2 + 4P2. (4.1)

Herhalen we het proces van het herschrijven van Pi, i = 1, 2, . . . , en substitueren we datin vergelijking (4.1) dan vinden we dat we P kunnen schrijven als

P = Qi1 + 2Qi2 + 4Qi3 + · · ·+ 2m−1Qim + 2mPm.

We bekijken nu de relatie tussen de hoogte van Pj−1 en Pj uit de rij van onze zojuistgeconstrueerde P1, P2, . . . , Pm. Om deze relatie te kunnen bekijken, specificeren we eersttwee constanten. Als we Lemma 4.6 toepassen op P0 = −Qi dan vinden we een constanteκi zodanig dat

h(P −Qi) ≤ 2h(P ) + κi voor alle P ∈ C(Q).

Dit doen we voor elke representant Qi, 1 ≤ i ≤ n. We krijgen dan een rij constantenκ1, κ2, . . . , κn en definieer nu κ′ = max{κ1, κ2, . . . , κn}. Dit maximum kunnen we nemen,omdat het eindig veel elementen zijn. Dan geldt dat

h(P −Qi) ≤ 2h(P ) + κ′ voor alle P ∈ C(Q) en voor alle 1 ≤ i ≤ n.

Laat κ de constante zijn uit Lemma 4.7, dan volgt dat

4h(Pj) ≤ h(2Pj) + κ

= h(Pj−1 −Qij) + κ

≤ 2h(Pj−1) + κ′ + κ.

32

Delen we nu beide kanten door vier, dan vinden we dat

h(Pj) ≤1

2h(Pj−1) +

1

4(κ′ + κ)

=3

4h(Pj−1)− 1

4(h(Pj−1)− (κ′ + κ))

≤ 3

4h(Pj−1),

als h(Pj−1) ≥ κ′ + κ. We kunnen dus een m vinden zodanig dat h(Pm) ≤ κ′ + κ.We hebben nu laten zien dat we elk element P ∈ C(Q) kunnen schrijven in de volgende

vormP = Qi1 + 2Qi2 + 4Qi3 + · · ·+ 2m−1Qim + 2mPm

waarbij {Qi1 , . . . , Qim} ⊆ {Q1, . . . , Qn} en voor een Pm ∈ C(Q) die voldoet aan h(Pm) ≤κ′+κ. Dus we kunnen nu concluderen dat C(Q) wordt voortgebracht door de verzameling

{Q1, Q2, . . . , Qn} ∪ {Pm ∈ C(Q) : h(Pm) ≤ κ′ + κ}.

Met Lemma 4.4 en Lemma 4.9 weten we dat deze verzameling eindig is. Dus C(Q)wordt eindig voortgebracht.

We zien dus dat de vier lemma’s Stelling 4.1 bewijzen. Verder zien we direct, uitbovenstaand bewijs, dat als we Lemma 4.9 alleen bewijzen voor krommen C met eenrationaal 2-torsie punt dat we een bewijs voor Stelling 4.2 krijgen.

4.3 De bewijzen van de vier lemma’s

In alle bewijzen, tenzij anders vermeld, wordt gebruik gemaakt van de elliptische krommeC die gegeven wordt door de vergelijking

C : y2 = x3 + ax2 + bx+ c,

waarbij a, b, c ∈ Z.

4.3.1 Bewijs van Lemma 4.4

We willen bewijzen dat voor elk reeel getal M de verzameling {P ∈ C(Q) : h(P ) ≤M}eindig is. Laat M een willekeurig reeel getal zijn en laat O 6= P ∈ C(Q) een willekeurigpunt zijn. Dan geldt met Definitie 4.3 dat als

h(P ) ≤M ⇒ log(H(P )) ≤M

⇒ H(x) = H(P ) ≤ eM

⇒ max{|m|, |n|} ≤ eM

⇒ −eM ≤ max{m, n} ≤ eM (4.2)

33

Met vergelijking (4.2) volgt dat er eindig veel mogelijkheden zijn voor m en n. Duser zijn eindig veel mogelijkheden voor de x-coordinaat van P. We weten dat voor elkx-coordinaat er geen, een of twee mogelijkheden zijn voor de y-coordinaat. Er zijn duseindig veel punten (x, y) = P ∈ C(Q), die niet in het ‘oneindige’ ligggen, waarvoor geldtdat h(P ) ≤M. Nu rest ons nog te kijken naar de punten in het ‘oneindige’ die in C(Q)bevat zitten. We hebben een punt in het ‘oneindige’, namelijk O ∈ C(Q). Dit is ook eeneindig aantal. Dus voor elk reeel getal M is de verzameling {P ∈ C(Q) : h(P ) ≤ M}eindig.

4.3.2 Bewijs van Lemma 4.6

Voordat we Lemma 4.6 gaan bewijzen, maken we eerst een paar opmerkingen.Als eerste merken we op dat als (x, y) = P ∈ C(Q) dan hebben x en y de volgende

vorm:x =

m

j2en y =

n

j3,

waarbij m, n, j ∈ Z met j > 0 en ggd(m, j) = ggd(n, j) = 1.Veronderstel namelijk dat

x =m

Men y =

n

N,

waarbij ggd(m,M) = ggd(n, N) = 1. Zonder verlies van algemeenheid mogen we aan-nemen dat M > 0 en N > 0. Als we x en y substitueren in de vergelijking voor deelliptische kromme dan krijgen we

n2

N2=m3

M3+am2

M2+bm

M+ c.

Dit kunnen we eenvoudiger schrijven als

M3n2 = N2m3 + aN2Mm2 + bN2M2m+ cN2M3. (4.3)

Als we nu aan de rechterkant van de vergelijking (4.3) kijken dan zien we dat elke term defactor N2 heeft. Dus we zien dat N2 |M2n2. We hadden aangenomen dat ggd(n, N) = 1en hiermee volgt dat N2 |M3.

Bekijken we nogmaals vergelijking (4.3) dan volgt direct dat M |N2m3. We haddenaangenomen dat ggd(m, M) = 1 en hiermee volgt dat M |N2. Gebruiken we dit feit invergelijking (4.3) dan geldt dat M2 |N2m3. We hadden aangenomen dat ggd(m, M) = 1en hiermee volgt dat M2 |N2. Gebruiken we dit feit in vergelijking (4.3) dan geldt datM3 |N2m3. We hadden aangenomen dat ggd(m, M) = 1 en hiermee volgt dat M3 |N2.

We hebben dus dat M3 |N2 en N2 |M3. En dus volgt dat M3 = N2. Verder hebbenwe net laten zien dat M2 |N2. Hiermee volgt dat M |N. Laat nu j = N/M zijn, dangeldt

j2 =N2

M2=M3

M2= M en j3 =

N3

M3=N3

N2= N.

34

Substitueren we nu voor M = j2 en voor N = j3 dan vinden we dat

x =m

M=m

j2en y =

n

N=

n

j3.

Tot slot merken we op dat als P = (m/j2, n/j3) dan wordt de hoogte van P gegevendoor het maximum van |m| en |j2|. We kunnen dus zowel de teller als de noemer van dex-coordinaat begrenzen door |m| ≤ H(P ) en |j2| ≤ H(P ). Maar we kunnen ook de tellervan de y-coordinaat begrenzen, namelijk er bestaat een constante K > 0, die afhangtvan a, b, c, zodanig dat

|n| ≤ KH(P )32 .

We weten dat P ∈ C(Q) dus we kunnen P invullen in de vergelijking van de elliptischekromme. Dan krijgen we dat

n2

j6=m3

j6+am2

j4+bm

j2+ c

n2 = m3 + am2j2 + bmj4 + cj6. (4.4)

Wanneer we nu de absolute waarde van vergelijking (4.4) nemen en de driehoeksonge-lijkheid en de afschattingen voor |m| en |j2| gebruiken dan volgt dat

|n|2 = |n2| = |m3 + am2j2 + bmj4 + cj6|≤ |m3|+ |am2j2|+ |bmj4|+ |cj6|≤ H(P )3 + |a|H(P )3 + |b|H(P )3 + cH(P )3

= (1 + |a|+ |b|+ |c|)H(P )3.

Trekken we nu aan beide kanten de wortel, dan volgt dat

|n| ≤ KH(P )32 ,

waarbij K =√

1 + |a|+ |b|+ |c|.Nu we deze twee opmerkingen hebben gemaakt, kunnen we Lemma 4.6 bewijzen. Om

het geheugen op te frissen, herhalen we eerst het lemma.

Lemma 4.6. Laat P0 ∈ C een willekeurig vast gekozen rationaal punt zijn. Dan bestaater een constante κ0, die afhangt van P0, a, b, c, zodanig dat h(P + P0) ≤ 2h(P ) + κ0

voor alle P ∈ C(Q).

Bewijs. Eerst merken we op dat het voldoende is om het lemma te bewijzen voor puntenP ∈ C(Q) waarvoor geldt dat P 6∈ {P0, −P0, O}. Aangezien voor P = O en P = −P0

het lemma triviaal is en als P = P0 dan kunnen we het verschil h(2P0)−2h(P0) bekijkenen dan kunnen we κ0 zelf kiezen, aangezien dit een eindig aantal elementen zijn.

Stel nu dus dat (x1, y1) = P 6∈ {P0, −P0, O} en schrijf P0 = (x0, y0). DefinieerP + P0 = (ξ, η). Om de hoogte van P + P0 te berekenen, moeten we de hoogte vanξ berekenen. Om de hoogte van ξ te kunnen berekenen, zullen we ξ eerst moetenuitdrukken in termen van (x0, y0) en (x1, y1). Dit doen we door de groepsbewerking,

35

zoals gedefinieerd in Definitie 3.4, expliciet uit te rekenen. We zijn geınteresseerd in dex-coordinaat van het punt P +P0 en zullen daarom de spiegeling ten opzichte van de x-as niet uitvoeren.

Als eerste trekken we een lijn door de punten P en P0. Deze lijn wordt gegeven doorde vergelijking

y = λx+ z, waarbij λ =y1 − y0

x1 − x0

en z = y1 − λx1. (4.5)

Het punt ξ is de x-coordinaat van het derde snijpunt van de elliptische kromme C en delijn uit vergelijking (4.5). Dit punt berekenen we door vergelijking (4.5) te substituerenin de vergelijking voor de elliptische kromme C. We krijgen dan

(λx+ z)2 = x3 + ax2 + bx+ c.

Het uitwerken van de haakjes en het herordenen van de termen geeft ons dat

x3 + (a− λ2)x2 + (b− 2λz)x+ (c− z2) = 0. (4.6)

Een derdegraadsvergelijking heeft altijd een, twee of drie reele oplossingen. In ons gevalheeft vergelijking (4.6) drie reele oplossingen. Dit zijn namelijk precies x0, x1 en ξ. Wekunnen nu schrijven

x3 + (a− λ2)x2 + (b− 2λz)x+ (c− z2) = (x− x0)(x− x1)(x− ξ). (4.7)

Uit vergelijking (4.7) volgt dat

λ2 − a = x0 + x1 + ξ. (4.8)

Met vergelijking (4.8) en het feit dat y21 − x3

1 = ax21 + bx1 + c kunnen we ξ als volgt

uitdrukken:

ξ = λ2 − a− x0 − x1

=(y1 − y0)2 − (x1 − x0)(a+ x0 + x1)

(x1 − x0)2

=−2y0y1 + x0x

21 + (2ax0 + x2

0 + b)x1 + y20 − ax2

0 − x30 + c

x21 − 2x0x1 + x2

0

=Ay1 +Bx2

1 + Cx1 +D

Ex21 + Fx1 +G

, (4.9)

waarbij A,B, . . . , G uitgedrukt zijn in a, b, c, x0 en y0. Verder vermenigvuldigen wede teller met de kleinste gemeenschappelijke deler van A,B, . . . , G zodat we vanaf nukunnen aannemen dat A,B, . . . , G ∈ Z.

Nu we ξ uitgedrukt hebben in termen van (x0, y0) en (x1, y1) kunnen we de hoogte vanξ bepalen. Voordat we dat gaan doen gebruiken we de eerste opmerking die we gemaakt

36

hebben aan het begin van deze paragraaf. We substitueren x1 = m/j2 en y1 = n/j3 invergelijking (4.9). We krijgen nu dat

ξ =A(nj3

)+B

(m2

j4

)+ C

(mj2

)+D

E(m2

j4

)+ F

(mj2

)+G

=Anj +Bm2 + Cmj2 +Dj4

Em2 + Fmj2 +Gj4. (4.10)

We kunnen niet met zekerheid zeggen datggd(Anj + Bm2 + Cmj2 + Dj4, Em2 + Fmj2 + Gj4) = 1, maar door vereenvoudigingwordt de hoogte alleen maar kleiner. Dus is ξ, zoals uitgedrukt in vergelijking (4.10),voldoende om de hoogte van P + P0 af te schatten. We gebruiken bij het berekenenvan de hoogte van ξ opmerking twee, die we aan het begin van deze paragraaf hebbengemaakt, namelijk dat geldt

j ≤ H(P )12 , n ≤ KH(P ) en m ≤ H(P ). (4.11)

Voor de hoogte van P + P0 geldt nu dat

H(P + P0) = H(ξ)

≤ max{|Anj +Bm2 + Cmj2 +Dj4|, |Em2 + Fmj2 +Gj4|}. (4.12)

Nu geldt met de driehoeksongelijkheid en (4.11) dat

|Anj +Bm2 + Cmj2 +Dj4| ≤ |Anj|+ |Bm2|+ |Cmj2|+ |Dj4|≤ |AK|H(P )2 + |B|H(P )2 + |C|H(P )2 + |D|H(P )2

= (|AK|+ |B|+ |C|+ |D|)H(P )2 (4.13)

en

|Em2 + Fmj2 +Gj4| ≤ |Em2|+ |Fmj2|+ |Gj4|≤ |E|H(P )2 + |F |H(P )2 + |G|H(P )2

= (|E|+ |F |+ |G|)H(P )2. (4.14)

Substitueren we vergelijkingen (4.13) en (4.14) in vergelijking (4.12) dan krijgen we dat

H(P + P0) = H(ξ) ≤ max{|AK|+ |B|+ |C|+ |D|, |E|+ |F |+ |G|}H(P )2.

Nemen we aan beide kanten de logaritme dan volgt dat

h(P + P0) = log(H(P + P0))

≤ log(max{|AK|+ |B|+ |C|+ |D|, |E|+ |F |+ |G|}H(P )2)

= log(max{|AK|+ |B|+ |C|+ |D|, |E|+ |F |+ |G|}) + log(H(P )2)

= log(max{|AK|+ |B|+ |C|+ |D|, |E|+ |F |+ |G|}) + 2 log(H(P ))

= 2h(P ) + log(max{|AK|+ |B|+ |C|+ |D|, |E|+ |F |+ |G|}).Omdat A,B, . . . , G niet afhangen van (x1, y1) geldt voor iedere P ∈ C(Q) dat

h(P + P0) ≤ 2h(P ) + κ0,

waarbij κ0 = log(max{|AK|+ |B|+ |C|+ |D|, |E|+ |F |+ |G|}).

37

4.3.3 Bewijs van Lemma 4.7

We willen bewijzen dat er een constante κ bestaat, zodanig dat h(2P ) ≥ 4h(P )−κ vooralle P ∈ C(Q). Als eerste merken we op dat dit lemma triviaal is voor een willekeurigeeindige verzameling, aangezien we κ altijd groter kunnen kiezen dan 4h(P ) voor alle Pin de eindige verzameling. Wij laten nu de verzameling {P ∈ C(Q) : 2P = O} buitenbeschouwing.

Laat dan P = (x, y) en 2P = (ξ, η). We willen, net als in het vorige bewijs, de hoogtebepalen van ξ. Om dit te kunnen doen, moeten we eerst een expliciete uitdrukkingvinden voor ξ. Om P bij P op te tellen, gebruiken we de raaklijn in het punt P. Doorimpliciet differentieren vinden we dat de helling van de raaklijn gegeven wordt door

λ =f ′(x)

2y. (4.15)

Herinner dat de kromme C gegeven wordt door y2 = f(x) waarbij f(x) een niet-singulierederdegraadskromme is. Gebruiken we nu vergelijking (4.8) met P0 = P en de λ uitvergelijking (4.15) dan volgt dat

ξ + 2x = λ2 − a. (4.16)

Herschrijven we vergelijking (4.16) en gebruiken we daarbij dat y2 = f(x) dan volgt dat

ξ =(f ′(x))2 − f(x)(4a+ 8x)

4f(x). (4.17)

We merken op dat vergelijking (4.17) goed gedefinieerd is, want f(x) 6= 0 omdat 2P 6= O.We hadden aangenomen dat y2 = f(x) niet-singulier is en dus volgt dat f(x) en f ′(x)geen gemeenschappelijke nulpunten hebben. Daarmee volgt dat de teller en de noemervan ξ ook geen gemeenschappelijke nulpunten hebben.

Per defnitie volgt dat h(2P ) = h(ξ) en h(P ) = h(x) en we willen nu bewijzen dat

h(ξ) ≥ 4h(x)− κ. (4.18)

Om vergelijking (4.18) te bewijzen, kunnen we het volgende algemene lemma bewijzen[5, p.72].

Lemma 4.10. Laat φ(X) en ψ(X) polynomen zijn met gehele coefficienten die geengemeenschappelijke nulpunten hebben. Laat d het maximum zijn van de graden van φ enψ.

1. Er is een geheel getal R ≥ 1, dat afhangt van ψ en φ, zodanig dat voor alle rati-onale getallen m/n geldt dat ggd(Ψ(m, n), Φ(m, n)) R deelt, waarbij Ψ(m, n) =ndψ(m/n) en Φ(m, n) = ndφ(m/n).

2. Er bestaat een constante κ1, die afhangt van ψ en φ, zodanig dat voor alle rationalegetallen m/n, die geen nulpunten zijn van ψ, geldt

dh(mn

)− κ1 ≤ h

(φ(m, n)

ψ(m, n)

).

38

Bewijs. 1. Eerst merken we op dat φ en ψ verwisselbaar zijn. We nemen vanaf nuaan dat deg(φ) = d en deg(ψ) = e ≤ d. We kunnen dan schrijven

Φ(m, n) = a0md + a1m

d−1n+ · · ·+ adnd,

Ψ(m, n) = b0mend−e + b1m

e−1nd−e+1 + · · ·+ bend.

Per aanname geldt dat φ(X) en ψ(X) geen gemeenschappelijke nulpunten hebben.In de Euclidische ring Q[X] [4, p.35] geldt dan dat ggd(φ(X), ψ(X)) = 1. Hiermeevolgt dat er F,G ∈ Q[X] zijn zodanig dat

F (X)φ(X) +G(X)ψ(X) = 1. (4.19)

Kies nu A ∈ Z zodanig dat AF (X) en AG(X) functies zijn met gehele coefficienten.Laat verder D het maximum zijn van de graden van F en G.

Evalueren we nu vergelijking (4.19) in het punt X = m/n en vermenigvuldigen webeide kanten met AnD+d dan krijgen we

AnD+dF(mn

)φ(mn

)+ AnD+dG

(mn

)ψ(mn

)= AnD+d. (4.20)

Herschrijven we vergelijking (4.20) dan vinden we

nDAF(mn

)Φ(m, n) + nDAG

(mn

)Ψ(m, n) = AnD+d. (4.21)

Laat nu γ = γ(m, n) de grootste gemeenschappelijke deler zijn van Φ(m, n) enΨ(m, n) dan volgt met vergelijking (4.21) dat AnD+d deelbaar is door γ. Dit isnog niet helemaal waar we naar op zoek zijn. We zoeken namelijk een getal watniet afhangt van m en n. We gaan daarom laten zien dat AaD+d

0 deelbaar is doorγ, waarbij a0 de kopcoefficient is van φ(X). Per definitie is Φ(m, n) deelbaar doorγ dus dan is ook

AnD+d−1Φ(m, n) = Aa0mdnD+d−1 + Aa1m

d−1nD+d + · · ·+ AadnD+2d−1

= Aa0mdnD+d−1 + AnD+d(a1m

d−1 + · · ·+ adnd−1). (4.22)

deelbaar door γ. Met vergelijking (4.22) volgt dat de grootste gemeenschappelijkedeler van Aa0m

dnD+d−1 en AnD+d deelbaar is door γ. En omdat per aanname geldtdat ggd(m, n) = 1 concluderen we dat Aa0n

D+d−1 deelbaar is door γ.

Als we nu gebruiken dat Aa0nD+d−2Φ(m, n) deelbaar is door γ en we volgen de-

zelfde beredenering als hierboven dan vinden we dat Aa20n

D+d−2 deelbaar is doorγ. Dit patroon herhalen we totdat we uiteindelijk vinden dat AaD+d

0 deelbaar isdoor γ.

39

2. We merken eerst op dat voor elk rationaal getal r geldt, per definitie van dehoogte, dat h(r) = h(1/r). Dus φ en ψ zijn verwisselbaar en we nemen weer aandat deg(φ) = d en deg(ψ) = e ≤ d. Ook houden we voor Φ(m, n) en Ψ(m, n)dezelfde schrijfwijze aan als bij onderdeel 1.

We kunnen dan ξ als volgt uitdrukken:

ξ =φ(mn

)ψ(mn

) =ndφ

(mn

)ndψ

(mn

) =Φ(m, n)

Ψ(m, n).

Het is hierbij nog wel mogelijk dat Φ en Ψ een gemeenschappelijke factor hebben.Maar met onderdeel 1 weten we dat er een R ≥ 1 is die de grootste gemeen-schappelijke factor van Φ en Ψ deelt. We kunnen dan de hoogte van ξ als volgtafschatten:

H(ξ) = H

(Φ(m, n)

Ψ(m, n)

)≥ 1

Rmax{|Φ(m, n)| , |Ψ(m, n)|}

=1

Rmax

{∣∣∣ndφ(mn

)∣∣∣ , ∣∣∣ndψ (mn

)∣∣∣}≥ 1

2R

(∣∣∣ndφ(mn

)∣∣∣+∣∣∣ndψ (m

n

)∣∣∣) , (4.23)

waarbij voor de laatste ongelijkheid is gebruikt dat max{a, b} ≥ (a+ b)/2.

Het is de bedoeling dat we H(ξ) en H(m/n)d = max{|m|d, |n|d} met elkaar ver-gelijken. Bekijken we het quotient dan volgt met vergelijking (4.23) dat

H(ξ)

H(mn

)d ≥ 1

2R·∣∣ndφ (m

n

)∣∣+∣∣ndψ (m

n

)∣∣max{|m|d, |n|d}

=1

2R·∣∣φ (m

n

)∣∣+∣∣ψ (m

n

)∣∣max

{∣∣mn

∣∣d , 1} . (4.24)

Dit lijkt nogal op de volgende functie

p(t) =|φ(t)|+ |ψ(t)|max {|t|d, 1}

,

waarbij t een reeel getal is. Er volgt nu dat

limt→∞

p(t) = c,

omdat deg(φ) = d en deg(ψ) ≤ d. Bekijken we nu nog eens de functie p(t) dan zienwe dat als deg(ψ) < d dan geldt dat c = |a0| en wanneer deg(ψ) = d dan geldtdat c = |a0| + |b0|. Hierbij zijn a0 en b0 de kopcoefficienten van respectievelijk φ

40

en ψ. Deze kopcoefficienten zijn per definitie ongelijk aan nul. Wat inhoudt datals we buiten een gesloten interval kijken, de functie p(t) begrensd is en zijn limietongelijk is aan nul.

Bekijken we nu de functie p(t) op een gesloten interval. Er geldt dat p(t) eencontinue functie is en dat deze nooit gelijk is aan nul. Dit komt doordat we hebbenaangenomen dat φ en ψ geen gemeenschappelijke nulpunten hebben. Verder wetenwe dat een continue functie op een gesloten interval zijn minimum of maximumbereikt en omdat p(t) nooit gelijk is aan nul weten we dat het minimum van p(t)groter is dan nul. Hiermee volgt dat er een C1 > 0 is zodanig dat p(t) > C1 vooralle t.

Het combineren van p(t) > C1 en vergelijking (4.24) geeft ons dat

H(ξ)

H(mn

)d ≥ C1

2R.

Herschrijven geeft dat

H(ξ) ≥ C1

2R·H(mn

)d. (4.25)

Nemen we nu aan beide kanten van vergelijking (4.25) de logaritme en herschrijvenwe dit dan volgt dat

h(ξ) ≥ dh(mn

)− κ1,

waarbij κ1 = log(2R/C1). De gevonden κ1 hangt niet af van m en n, omdat zowelR als C1 niet afhangen van m en n.

Om nu het bewijs van Lemma 4.7 te voltooien, merken we op dat wanneer we schrijvendat

φ(x) = (f ′(x))2 − f(x)(4a+ 8x) en ψ(x) = 4f(x)

en vervolgens Lemma 4.10 onderdeel 2 toepassen, volgt dat vergelijking (4.18) klopt.

4.3.4 Bewijs van Lemma 4.9

Tot slot moeten we Lemma 4.9 bewijzen. Om dit lemma te bewijzen veronderstellen wedat C een rationaal 2-torsie punt heeft. Zoals opgemerkt aan begin van dit hoofdstukzal dit rationale 2-torsie punt het punt (0, 0) zijn. Dit doen we omdat we anders metzogenaamde ‘klassengroepen’ moeten werken en dat behandelen we niet in deze scriptie.

De krommen C en C en twee nieuwe afbeeldingen

We veronderstellen vanaf nu dat de kromme C gegeven wordt door

C : y2 = x3 + ax2 + bx, waarbij a, b ∈ Z.

41

Daarnaast definieren we nog twee nieuwe krommen. Namelijk de krommen C en C[5, p.77]. We definieren de kromme C als volgt

C : y2 = x3 + ax2 + bx,

waarbij a = −2a en b = a2 − 4b. Op dezelfde manier definieren we de kromme C alsvolgt

C : y2 = x3 + ¯ax2 + ¯bx,

waarbij ¯a = −2a = 4a en ¯b = a2 − 4b = 16b.

Als we nu nog eens goed kijken naar de krommen C en C dan zien we dat C in essentiegelijk is aan C. Het enige wat we daarvoor moeten doen is (x, y) vervangen door (4x, 8y)

en vervolgens beide kanten delen door 64. Hiermee volgt dat C(Q) ∼= C(Q).We hebben drie krommen en tussen deze krommen kunnnen we een afbeelding de-

finieren. We veronderstellen vanaf nu dat T = (0, 0) en definieren de afbeelding φ :C → C, [5, p.77], als

φ(P ) =

{(y2

x2, y(x2−bx2

))als P ∈ C\{O, T},

O als P ∈ {O, T}.

We kunnen eenvoudig nagaan dat φ een welgedefinieerde afbeelding is van C naar Cdoor te laten zien dat x = y2/x2 en y = y((x2 − b)/x2) voldoen aan de vergelijking voorde kromme C. Invullen en uitschrijven geeft

x3 + ax2 + bx =

(y2

x2

)3

− 2a

(y2

x2

)2

+ (a2 − 4b)

(y2

x2

)=y6 − 2ay4x2 + a2y2x4 − 4by2x4

x6

=y2((y2 − ax2)2 − 4bx4)

x6

=y2((x3 + bx)2 − 4bx4)

x6

=

(y

(x2 − bx2

))= y2.

We zien dat x = y2/x2 en y = y((x2 − b)/x2) voldoen aan de vergelijking voor dekromme C en dus is de afbeelding φ welgedefinieerd. Op dezelfde manier definieren we

de afbeelding φ : C → C als

φ(P ) =

{(y2

x2, y(x2−bx2

))als P ∈ C\{O, T},

O als P ∈ {O, T}.

Weer door middel van invullen en uitschrijven kunnen we nagaan dat φ een welgedefi-nieerde afbeelding is.

42

Tot slot merken we op dat we hiervoor al hadden aangetoond dat C ∼= C door middelvan de afbeelding ϕ(x, y) = (x/4, y/8). We definieren nu ψ : C → C als ψ = ϕ ◦ φ.We weten dat ψ een welgedefinieerde afbeelding is, omdat het een samenstelling is vanwelgedefinieerde afbeeldingen.

We hebben inmiddels twee nieuwe krommen geıntroduceerd en ook twee nieuwe afbeel-dingen gedefinieerd. Met deze nieuwe krommen en afbeeldingen kunnen we de volgendepropositie bekijken [5, p.79].

Propositie 4.11. Laat C en C elliptische krommen zijn die gegeven worden door devolgende vergelijkingen

C : y2 = x3 + ax2 + bx en C : y2 = x3 + ax2 + bx,

waarbij a = −2a en b = a2 − 4b. Laat T = (0, 0) ∈ C.

1. Er is een homomorfisme φ : C → C gegeven door

φ(P ) =

{(y2

x2, y(x2−bx2

))als P ∈ C\{O, T},

O als P ∈ {O, T}.

De kern van φ is {O, T}.

2. Er is een homomorfisme ψ : C → C gegeven door

ψ(P ) =

{(y2

4x2, y(x2−b8x2

))als P ∈ C\{O, T},

O als P ∈ {O, T}.

De samenstelling ψ ◦ φ : C → C is vermenigvuldiging met twee: (ψ ◦ φ)(P ) = 2P. Enook de samenstelling φ ◦ ψ : C → C is vermenigvuldiging met twee: (φ ◦ ψ)(P ) = 2P .

We hebben hiervoor gezien dat φ en ψ welgedefinieerde afbeeldingen zijn. Om nate gaan dat het homomorfismen zijn, moeten we een aantal relatief eenvoudige bereke-ningen uitwerken. Ook om te bewijzen dat de beide samenstellingen vermenigvuldigenmet twee zijn, is het niet meer dan het uitschrijven van de definities. Voor het gehelebewijs verwijzen we naar [5, p.80-82]. In plaats van het hele bewijs uit te schrijven,geven we een voorbeeld van de twee samengestelde afbeeldingen en dat dit inderdaadvermenigvuldigen met twee is.

Voorbeeld 4.12. Laten we de krommen C en C bekijken, zie Figuur 4.5a en 4.5b.

43

(a) C : y2 = x3 − 2x (b) C : y2 = x3 + 8x

Figuur 4.5: De krommen C en C

In Voorbeeld 3.8 hadden we op de kromme C het punt P = (−1, 1) en hebben weberekend dat 2P = (9/4, −21/8), zie Figuur 4.6a. Op dezelfde manier kunnen we voorhet punt P = (1, 3) op de kromme C het punt 2P berekenen en dan vinden we dat2P = (49/36, −791/216), zie Figuur 4.6b. Voor deze punten gaan we laten zien dat

(a) 2P (b) 2P

Figuur 4.6: Optellen

geldt (ψ ◦ φ)(P ) = 2P en (φ ◦ ψ)(P ) = 2P . Met Propositie 4.11 vinden we nu dat

(ψ ◦ φ)(P ) = (ψ ◦ φ)(−1, 1)

= ψ

(12

(−1)2,

1 · ((−1)2 − (−2))

(−1)2

)= ψ(1, 3)

=

(32

4 · 12,

3 · (12 − 8)

8 · 12

)=

(9

4, −21

8

)= 2P (4.26)

44

en

(φ ◦ ψ)(P ) = (φ ◦ ψ)(1, 3)

= φ

(9

4, −21

8

)

=

(−21

8

)2

·(

4

9

)2

,

−218

((94

)2 − 8)

(94

)2

=

(49

36, −791

216

)= 2P . (4.27)

We zien met vergelijking (4.26) en vergelijking (4.27) dat beide samenstellingen inder-daad vermenigvuldiging met twee is.

Nog een nieuwe afbeelding

Om aan te kunnen tonen dat de index [C(Q) : 2C(Q)] eindig is, hebben we nog eenafbeelding nodig. Laat nu Q∗ de multiplicatieve groep van rationale getallen zijn en laatQ∗2 = {u2 : u ∈ Q∗} de ondergroep van kwadraten zijn. We definieren nu de volgendeafbeelding α : C(Q)→ Q∗/Q∗2 als [5, p.85]

α(P ) =

x (mod Q∗2) als P ∈ C(Q)\{O, T},b (mod Q∗2) als P = T,

1 (mod Q∗2) als P = O.

Hierbij is b de coefficient uit de vergelijking voor de kromme C. Deze afbeelding is eenbelangrijke afbeelding en we hebben de volgende propositie met bewijs [5, p.85-86].

Propositie 4.13. 1. De afbeelding α : C(Q) → Q∗/Q∗2, zoals hierboven beschreven,is een homomorfisme.

2. De kern van α is ψ(C(Q)). Dus α induceert een injectief homomorfisme

C(Q)/ψ(C(Q)) ↪→ Q∗/Q∗2.

3. Laat p1, p2, . . . , pt verschillende priemfactoren van b zijn. Dan is de afbeelding αbevat in de ondergroep van Q∗/Q∗2 die bestaat uit de volgende elementen

{±pε11 pε22 · · · pεtt : εi ∈ {0, 1}}.

4. De index [C(Q) : ψ(C(Q))] is op zijn hoogst 2t+1.

Bewijs. 1. We willen aantonen dat de afbeelding α een homomorfisme is. Als eerstegaan we na dat α de inverse stuurt naar de inverse, want

α(−P ) = α(x,−y) = x ≡ 1

x= α(x, y)−1 = α(P )−1 (modQ∗2).

45

Om verder aan te tonen dat α een homomorfisme is, is het genoeg om aan te tonendat als P1 +P2 +P3 = O dan α(P1)α(P2)α(P3) = 1 (modQ∗2). Als we dit namelijkhebben volgt dat

α(P1 + P2) = α(−P3) = α(P3)−1 = α(P1)α(P2).

We bewijzen hiervan de twee niet-triviale gevallen. Dat is het geval dat P1, P2 enP3 alle drie ongelijk zijn aan T en O en het geval dat P1 en P2 beide ongelijk zijnaan T en O en P3 = T.

a) Veronderstel dat P1 +P2 +P3 = O en dat P1, P2, P3 6∈ {O, T}. Uit de definitievan de groepsbewerking volgt dat P1, P2 en P3 op een lijn moeten liggen, willenze voldoen aan P1 + P2 + P3 = O. Veronderstel dat deze lijn gegeven wordtdoor y = λx + ν. De x- coordinaten van P1, P2 en P3 zijn de snijpunten vande lijn y = λx+ ν en de kromme C.

Laat x1, x2 en x3 de nulpunten zijn van respectievelijk P1, P2 en P3. Danvoldoen deze punten aan de vergelijking

(x− x1)(x− x2)(x− x3) = x3 + (a− λ2)x2 + (b− 2λν)x− ν2 = 0. (4.28)

Werken we aan de linkerkant van vergelijking (4.28) de haakjes uit dan zienwe dat geldt x1x2x3 = ν2. Hiermee volgt dat

α(P1)α(P2)α(P3) = x1x2x3 = ν2 ≡ 1(modQ∗2).

En hiermee is geval 1 bewezen.

b) We gaan verder met het tweede geval waarin we veronderstellen dat P1 +P2 +P3 = O en P1, P2 6∈ {O, T} en P3 = T. Net zoals bij onderdeel a) liggen dezedrie punten op een lijn. Deze lijn gaat door T = (0, 0) dus wordt gegeven doory = λx. Als we nu y = λx substitueren in de vergelijking voor de kromme Cdan vinden we dat

x(x− x1)(x− x2) = x3 + (a− λ2)x2 + bx = 0, (4.29)

waarbij x1 en x2 de x-coordinaten zijn van respectievelijk P1 en P2. Werkenwe de haakjes uit aan de linkerkant van vergelijking (4.29) dan zien we datgeldt x1x2 = b. Hiermee volgt dat

α(P1)α(P2)α(T ) = x1x2b = b2 ≡ 1(modQ∗2).

En dit bewijst geval 2. Zoals aan het begin opgemerkt hebben we nu, op een paartriviale gevallen na, bewezen dat α een homomorfisme is.

46

2. We willen bewijzen dat ker(α) = ψ(C(Q)). Wat dit precies inhoudt, is dat devolgende drie punten moeten gelden.

a) O ∈ ψ(C(Q)).

b) T ∈ ψ(C(Q))⇔ b = a2 − 4b een kwadraat is van een geheel getal.

c) (x, y) = P ∈ ψ(C(Q)), waarbij x 6= 0,⇔ x het kwadraat is van een rationaalgetal.

Om dus te bewijzen dat ker(α) = ψ(C(Q)) moeten we de bovenstaande drie puntenbewijzen.

a) Per definitie geldt dat O = ψ(O) en dus volgt direct dat O ∈ ψ(C(Q)).

b) Per definitie geldt dat T ∈ ψ(C(Q)) ⇔ er een rationaal punt (x, y) ∈ C iszodanig dat y2/4x2 = 0. We merken op dat x 6= 0, want anders zou geldendat (x, y) = T . Alleen per definitie van ψ geldt dat ψ(T ) = O en dus niet T.

Hieruit volgt dat T ∈ ψ(C(Q)) ⇔ er een rationaal punt (x, y) ∈ C is metx 6= 0 en y = 0. Als we dit substitueren in de vergelijking voor de kromme Cdan vinden we dat

0 = x3 + ax2 + bx = x(x2 + ax+ b). (4.30)

Er geldt dat vergelijking (4.30) een rationaal nulpunt heeft ongelijk nul danen slechts dan als x2 + ax + b een rationaal nulpunt heeft ongelijk nul. Ergeldt dat x2 + ax + b een rationaal nulpunt heeft ongelijk nul dan en slechtsdan als a2 − 4b het kwadraat is van een geheel getal. En hiermee is punt b)bewezen.

c) (⇒) Veronderstel dat (x, y) = P ∈ ψ(C(Q)), waarbij x 6= 0, dan geldt perdefinitie dat x = y2/4x2 = (y/2x)2. Dus volgt dat x het kwadraat is van eenrationaal getal.(⇐) Veronderstel dat x = w2 en w ∈ Q. Met Propositie 4.11 weten we datψ een homomorfisme is met twee elementen in de kern, namelijk O en T.Hieruit volgt dat als (x, y) ∈ ψ(C(Q)) dan zijn er twee punten van C diedaarop worden afgebeeld.

Laat nu

x1 = 2w2 − 1

2a+

2y

w, y1 = 2wx1 en

x2 = 2w2 − 1

2a− 2y

w, y2 = −2wx2.

We beweren dat de punten P i = (xi, yi) ∈ C(Q), voor i = 1, 2, en dat geldtψ(P i) = (x, y) voor i = 1, 2. Uit de definities van x1, x2, y1 en y2 volgt directdat deze punten rationaal zijn.

47

Om dit te doen bereken we eerst

x1x2 =

(2w2 − 1

2a+

2y

w

)(2w2 − 1

2a− 2y

w

)= 4w4 − 2aw2 +

1

4a2 − 4y2

w2

= 4

(x3 − 1

2ax2 + 1

16a2x− y2

x

)= b. (4.31)

De laatste gelijkheid volgt, omdat y2 = x3 − (1/2)a2x2 + (1/16)(a2 − 4b)x.

Om aan te tonen dat P 1 ∈ C(Q) substitueren we x1 en y1 in de vergelijkingvoor de kromme van C. Nu volgt dat

4x21w

2 = x31 + ax2

1 + bx

4x21w

2 = x21(x1 + a+ x2)

4w2 = x1 + a+ x2.

Bij de tweede gelijkheid is gebruik gemaakt van vergelijking (4.31). En alswe nu kijken naar hoe we x1 en x2 hebben gedefinieerd, volgt direct dat delaatste gelijkheid waar is en dus dat P 1 ∈ C(Q). Op analoge wijze volgt datP 2 ∈ C(Q).

Tot slot moeten we nog aantonen dat

y2i

4x2i

= x voor i = 1, 2 (4.32)

enyi(x

2i − b)

8x2i

= y voor i = 1, 2. (4.33)

Vergelijking (4.32) volgt direct uit yi = ±2xiw en x = w2. Om vergelijking(4.33) aan te tonen gebruiken we vergelijking (4.31) en yi = ±2xiw. Er volgtdan dat

y1(x21 − b)

8x21

=2wx1(x2

1 − x1x2)

8x21

=1

4w(x1 − x2) = y en

y2(x22 − b)

8x22

=2wx2(x2

2 − x1x2)

8x22

=1

4w(x1 − x2) = y.

Als we x1 en x2 invullen dan volgt direct de laatste gelijkheid. Dus als x hetkwadraat is van een rationaal getal dan is (x, y) = P ∈ ψ(C(Q)).

We hebben nu alle drie de punten bewezen en dus volgt dat ker(α) = ψ(C(Q)).

48

3. Het beeld van α wordt bepaald door de x-coordinaten van punten P ∈ C(Q).In Paragraaf 4.3.2 hebben we aangetoond dat zulke punten P geschreven kunnenworden als P = (m/j2, n/j3) met ggd(m, j) = ggd(n, j) = 1. Substitueren we ditpunt in de vergelijking voor de kromme C dan volgt dat

n2

j6=m3

j6+ a

m2

j4+ b

m

j2.

Vermenigvuldigen we nu beide kanten met j6 en zetten we haakjes dan krijgen we

n2 = m3 + am2j2 + bmj4 = m(m2 + amj2 + bj4).

Laat nu d = ggd(m,m2 + amj2 + bj4) dan volgt dat d een deler is van m en ookeen deler van bj4. We hadden aangenomen dat ggd(m, j) = 1 dus dan volgt dat deen deler is van b.

Bekijken we nu nog eens de vergelijking n2 = m(m2 + amj2 + bj4) dan zien wedat elke priemfactor van n2 even orde heeft. Hiermee volgt dat de orde van eenpriemfactor van m plus de orde van een priemfactor van m2 + amj2 + bj4 even is.Als een priemfactor alleen in m voorkomt dan zien we dat deze priemfactor eeneven orde heeft. Maar als die priemfactor ook voorkomt in m2 + amj2 + bj4 dandeelt de priemfactor d en d deelt b. Zo kunnen we nu m schrijven als

m = ±k2 · pε11 pε22 · · · pεtt ,

waarbij εi ∈ {0, 1}, k ∈ Z en p1, . . . , pt verschillende priemfactoren zijn van b. Ditbewijst dat

α(P ) = x =m

j2≡ ±pε11 pε22 · · · pεtt (modQ∗2).

En dus volgt dat het beeld van α bevat is in de verzameling {±pε11 pε22 · · · pεtt : εi ∈{0, 1}}.

4. We willen aantonen dat de index [C(Q) : ψ(C(Q))] op zijn hoogst 2t+1 is. Met on-derdeel 3 weten we dat het aantal elementen van {±pε11 pε22 · · · pεtt : εi ∈ {0, 1}} gelijkis aan 2t+1. En met onderdeel 2 weten we dat C(Q)/ψ(C(Q)) ↪→ {±pε11 pε22 · · · pεtt :εi ∈ {0, 1}}. En als we deze twee dingen combineren dan vinden we dat de index[C(Q) : ψ(C(Q))] op zijn hoogst 2t+1 is.

De resultaten

We hebben tot nu toe een aantal afbeeldingen gedefinieerd en laten zien dat bepaaldeindices eindig zijn. Voor het overzicht herhalen we de resultaten die we tot nu toehebben.

49

We hebben twee homomorfismen

φ : C(Q)→ C(Q) en ψ : C(Q)→ C(Q),

waarbij de samenstellingen ψ ◦φ en φ ◦ψ vermenigvuldiging met twee zijn. Ook hebbenwe gezien dat de indices [C(Q) : ψ(C(Q))] en [C(Q) : φ(C(Q))] eindig zijn, want Propo-sitie 4.13 geldt ook voor de index [C(Q) : φ(C(Q))]. Met het volgende lemma [5, p.87]voltooien we het bewijs van Lemma 4.9.

Lemma 4.14. Laat A en B abelse groepen zijn en veronderstel twee homomorfismenφ : A→ B en ψ : B → A, zodanig dat

(ψ ◦ φ)(a) = 2a ∀a ∈ A en (φ ◦ ψ)(b) = 2b ∀b ∈ B.

Veronderstel verder dat de indices [B : φ(A)] en [A : ψ(B)] eindig zijn, dan is de index[A : 2A] eindig.

Bewijs. [5, p.88] We hebben aangenomen dat de index [B : φ(A)] eindig is. Laat nub1, b2, . . . , bm de representanten zijn van de nevenklassen van φ(A) in B. Ook hebben weaangenomen dat de index [A : ψ(B)] eindig is. Dus laat a1, a2, . . . , an de representantenzijn van de nevenklassen van ψ(B) in A. We willen aantonen dat de verzameling

{ai + ψ(bj) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}

een complete verzameling van representanten bevat voor de nevenklassen van 2A in A.We moeten aantonen dat elk element van A te schrijven is als een element uit dezeverzameling plus een element van 2A. Veronderstel nu dat a ∈ A dan is er een ai ∈{a1, a2, . . . , an} zodanig dat a − ai ∈ ψ(B). Veronderstel dat a − ai = ψ(b). Ook is ereen bj ∈ {b1, b2, . . . , bm} zodanig dat b − bj ∈ φ(A). Veronderstel dat b − bj = φ(c). Wekunnen dan a ∈ A als volgt schrijven

a = ai + ψ(b)

= ai + ψ(bj + φ(c))

= ai + ψ(bj) + (ψ ◦ φ)(c)

= ai + ψ(bj) + 2c.

We zien nu dat we elk element uit A kunnen schrijven als de som van een element uitde verzameling

{ai + ψ(bj) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}

en een element uit 2A. Dus de index [A : 2A] is eindig.

Als we nu invullen A = C(Q) en B = C(Q) dan volgt met Lemma 4.14 dat de index[C(Q) : 2C(Q)] eindig is. En hiermee is Lemma 4.9 bewezen.

We hebben nu alle vier de lemma’s bewezen en laten zien dat uit deze vier lemma’svolgt dat C(Q) een eindig voortgebrachte groep is. Dus hiermee is 2-torsie Mordellbewezen.

50

We hebben in dit hoofdstuk de hoogte van P ∈ C(Q) gedefinieerd. Vervolgens hebbenwe de stelling van Mordell geformuleerd en ook het speciale geval van deze stelling,die we 2-torsie Mordell hebben genoemd. Vervolgens hebben we laten zien dat hetbewijs van de stelling van Mordell volgt uit vier lemma’s. Deze vier lemma’s hebben wegeformuleerd en bewezen. Het vierde lemma hebben we alleen bewezen voor krommendie een rationaal 2-torsie punt hebben. Hierdoor kregen we een bewijs voor het specialegeval van de stelling van Mordell.

51

5 Het berekenen van C(Q)

Voordat we de groep van rationale punten op een kromme C kunnen berekenen, moetenwe eerst nog wat werk doen. Wat we wel al weten met de hoofdstelling van abelsegroepen is dat elke eindig voortgebrachte abelse groep A er als volgt uitziet [5, p.89]

A ∼= Zr ⊕ Zpν11 ⊕ Zpν22 ⊕ · · · ⊕ Zpνss . (5.1)

Hierbij zijn de pi verschillende priemgetallen en νi zijn gehele getallen en we schrijvenZpνii voor de cyclische groep Z/pνii Z. Het getal r noemen we de rang van de abelse groep

A. We hebben in hoofdstuk 4 aangetoond dat C(Q) een eindig voortgebrachte abelsegroep is. Dus we weten dat C(Q) eruitziet zoals in vergelijking (5.1).

5.1 De rang van C(Q)

We moeten dus eerst weten wat de rang is van de groep C(Q). Aan de hand van de eigen-schappen van de homomorfismen φ, ψ, α en de groepen C(Q), 2C(Q), C(Q) en Q∗/Q∗2en met gebruik van de isomorfisme stellingen voor groepen kan bewezen worden dat wemet de volgende formule,

2r =#α(C(Q)) ·#α(C(Q))

4, (5.2)

de rang van C(Q) kunnen uitrekenen [5, p.89-91]. We zien nu dat om de rang van C(Q)te kunnen berekenen we moeten weten wat de orde [3, p.25] is van α(C(Q)) en wat deorde is van α(C(Q)). Om deze ordes uit te rekenen moeten we weten welke rationalegetallen modulo kwadraten voor kunnen komen als x-coordinaten.

Om dit te bepalen schrijven we weer

x =m

j2en y =

n

j3,

waarbij ggd(m, j) = ggd(n, j) = 1 en j > 0.Veronderstel nu datm = 0, dan geldt dat (x, y) = T en er volgt dat α(T ) = b(modQ∗2)

altijd bevat zit in het beeld van α. Als a2 − 4b = d2, waarbij d een geheel getal is, danheeft C(Q) nog twee andere punten van orde twee. Met de abc-formule vinden we dat((−a± d)/2) ∈ α(C(Q)).

Vanaf nu veronderstellen we dat we naar punten kijken met m,n 6= 0. Deze puntenvoldoen aan de vergelijking

n2 = m(m2 + amj2 + bj4). (5.3)

52

Laat nu b1 = ± ggd(m, b), waarbij we het teken zo kiezen dat mb1 > 0. Dan kunnenwe schrijven m = b1m1 en b = b1b2, waarbij ggd(m1, b2) = 1 en m1 > 0. Als we ditsubstitueren in vergelijking (5.3) dan krijgen we dat

n2 = b1m1((b1m1)2 + ab1m1j2 + b1b2j

4)

= b21m1(b1m

21 + am1j

2 + b2j4). (5.4)

Hiermee volgt dat b21 deelt n2 dus b1 deelt n. We kunnen dus schrijven n = b1n1. Als we

dit substitueren in vergelijking (5.4) geeft

n21 = m1(b1m

21 + am1j

2 + b2j4).

We hadden aangenomen dat ggd(b2,m1) = ggd(j,m1) = 1 en daarmee volgt datggd(m1, b1m

21 + am1j

2 + b2j4) = 1. Tegelijkertijd is het product van b1m

21 + am1j

2 + b2j4

en m1 gelijk aan een kwadraat en omdat m1 > 0 volgt dat beide een kwadraat moetenzijn. We kunnen nu dus n1 factoriseren als n1 = MN zodanig dat

M2 = m1 en N2 = b1m21 + am1j

2 + b2j4.

Hiermee volgt datN2 = b1M

4 + aM2j2 + b2j4. (5.5)

Dus als we een punt (x, y) ∈ C(Q) hebben met y 6= 0 dan kunnen we schrijven

x =b1M

2

j2en y =

b1MN

j3.

Bekijken we nu x modulo kwadraten, dan is dat altijd een van de waarden van b1.Aangezien b1 een deler is van b, volgt dat er maar eindig veel mogelijkheden zijn voorb1.

Nu we dit allemaal weten, is het vrij eenvoudig om de orde van het beeld van deafbeelding α te bepalen. We nemen het gehele getal b en factoriseren het als het productb = b1b2 op alle mogelijke manieren. Voor elke factorisatie schrijven we vergelijking (5.5)op. Hierbij zijn a, b1, b2 de vaste waarden en M, j,N de variabelen. Dan bestaat α(C(Q))uit b(modQ∗2) en uit alle b1(modQ∗2) waarvoor vergelijking (5.5) een oplossing heeft.

5.2 Voorbeelden

We weten nu hoe we de rang van C(Q) kunnen berekenen. Als de rang groter is dan nul,dan heeft C(Q) oneindig veel elementen. Als de rang gelijk is aan nul dan heeft C(Q)eindig veel elementen. Deze elementen kunnen we bepalen door de volgende stelling [5,p.56].

53

Stelling 5.1 (Nagell-Lutz). Laat

y2 = f(x) = x3 + ax2 + bx+ c

een niet-singuliere kromme zijn met gehele coefficienten a, b en c. Laat D de discriminantzijn van f(x),

D = −4a3c+ a2b2 + 18abc− 4b3 − 27c2.

Laat P = (x, y) een rationaal punt met eindige orde zijn. Dan geldt dat x en y gehelegetallen zijn en y = 0 of y deelt D.

Voor een bewijs van deze stelling verwijzen we naar [5, p.48-56].Nu we alle informatie hebben verzameld over het berekenen van C(Q) wordt het tijd

om naar een voorbeeld te kijken. We beginnen met twee voorbeelden waarvoor de rangvan C(Q) gelijk is aan nul.

Voorbeeld 5.2. We bekijken de kromme C : y2 = x3 − 11x. Voor deze kromme willenwe C(Q) berekenen. We moeten daarvoor eerst de rang uitrekenen van C(Q). Om ditte doen, volgen we het stappenplan uit de vorige paragraaf.

We beginnen met het uitrekenen van de orde van het beeld van α. Als eerste facto-riseren we b = −11. We vinden dan dat b1 de volgende waarden kan aannemen: ±1 en±11. We hebben dat α(T ) = b = −11 en α(O) = 1. We schrijven nu alleen vergelijking(5.5) op voor b1 = −1 en b1 = 11. We krijgen dan de volgende vergelijkingen

N2 = −M4 + 11j4 en N2 = 11M4 − j4.

Na een hele tijd proberen, concluderen we dat er voor deze twee vergelijkingen geenoplossingen zijn. We zien dat

α(C(Q)) = {1,−11}(modQ∗2).

Dus de orde van het beeld van α is twee.Hoe zit het nu met het beeld van α? We hebben dat b = a2−4b = 44. De mogelijkheden

voor b1 zijnb1 = ±1,±2,±4,±11,±22,±44.

Maar er geldt dat ±4 = ±(22) en ±44 = ±(11 · 22). Als we dus b1 modulo kwadratenbekijken, dan zijn de mogelijkheden voor b1 gelijk aan ±1,±2,±11,±22.

Vervolgens merken we op dat geldt b1b2 = b = 44, dus b1 en b2 zijn of beide positief ofbeide negatief. Als ze beide negatief zijn, dan heeft de vergelijking

N2 = b1M4 + b2j

4

geen reele oplossingen ongelijk aan nul. Dus voor het beeld van α geldt nu dat

α(C(Q)) ⊆ {1, 2, 11, 22}(modQ∗2).

54

We weten dat {1, 11}(modQ∗2) ⊆ α(C(Q)), want α(O) = 1 en α(T ) = b = 44 ≡11(modQ∗2). We schrijven nu vergelijking (5.5) op voor b1 = 2 en b1 = 22. We krijgendan de volgende twee vergelijkingen

N2 = 2M4 + 22j4 en N2 = 22M4 + 2j4.

We zien dat deze vergelijkingen hetzelfde zijn, alleen met M en j omgewisseld. Wewillen weten of deze vergelijkingen gehele oplossingen heeft. Als we hierbij de relatiefpriem condities gebruiken voor M,N enj dan is het voldoende om te kijken of er ge-hele oplossingen zijn met ggd(M, 22) = 1. Veronderstel dat er een oplossing is voor devergelijking

N2 = 2M4 + 22j4.

Per aanname weten we dat ggd(M, 11) = 1 en met de kleine stelling van Fermat volgtdan dat M4 ≡ 1(mod 11). Als we de bovenstaande vergelijking reduceren modulo 11 danvinden we dat N moet voldoen aan

N2 ≡ 2(mod 11).

Alleen deze congruentie heeft geen oplossingen. Hiermee concluderen we dat N2 ≡2(mod 11) geen gehele oplossingen heeft met ggd(M, 22) = 1. Dus 2 6∈ α(C(Q)).

Op dezelfde manier kunnen we aantonen dat 22 6∈ α(C(Q)). Dus we weten nu dat

α(C(Q)) = {1, 11}(modQ∗2).

Hieruit volgt dat de orde van het beeld van α gelijk is aan twee.We hebben gevonden dat beide beelden orde twee hebben. Dan volgt met vergelijking

(5.2) dat de rang van C(Q) gelijk is aan nul. Dus de groep van rationale getallen van Cis eindig en daaruit volgt dat alle rationale getallen eindige orde hebben.

Om de rationale punten met eindige orde te vinden gebruiken we Stelling 5.1. AlsP = (x, y) een rationaal punt is op C met eindige orde, dan geldt dat y = 0 of y deeltb2(a2 − 4b) = 5324. Het punt met y = 0 is (0, 0). Als y deelt 5324 dan hebben we devolgende mogelijkheden voor y.

y = ±1,±2,±4,±11,±22,±44,±121,±242,±484,±1331,±2662,±5324.

Het is eenvoudig na te gaan dat y2 = x3 − 11x voor alle bovenstaande y geen rationaleoplossingen heeft.

We hebben nu aangetoond dat de groep van rationale punten van de kromme C : y2 =x3 − 11x gelijk is aan

C(Q) = {O, (0, 0)} ∼= Z/2Z.

Voorbeeld 5.3. We bekijken de kromme C : y2 = x3 +x2−x. Voor deze kromme willenwe C(Q) berekenen. We moeten daarvoor eerst de rang uitrekenen van C(Q).

We beginnen met het uitrekenen van de orde van het beeld van α. Als eerste facto-riseren we b = −1. We vinden dan dat b1 = ±1. We hebben dat α(T ) = b = −1 enα(O) = 1. Dus er volgt

α(C(Q)) = {±1}(modQ∗2).

55

Dus de orde van het beeld van α is twee.Hoe zit het met het beeld van α? We hebben dat b = a2 − 4b = 5. De mogelijkheden

voor b1 zijn dan ±1 en ±5. We merken op dat b1b2 = b = 5, dus b1 en b2 zijn beidepositief of beide negatief. Als ze beide negatief zijn, dan heeft de vergelijking

N2 = b1M4 + b2j

4

geen reele oplossingen ongelijk nul. Dus voor het beeld van α geldt nu dat

α(C(Q)) ⊆ {1, 5}(modQ∗2).

We weten dat {1, 5}(modQ∗2 ⊆ α(C(Q)), want α(O) = 1 en α(T ) = b = 5. Dus

α(C(Q)) = {1, 5}(modQ∗2).

Dus de orde van het beeld van α is twee.We hebben nu gevonden dat beide beelden orde twee hebben. Dan volgt met verge-

lijking (5.2) dat de rang van C(Q) gelijk is aan nul. Dus de groep van rationale getallenvan C is eindig en daaruit volgt dat alle rationale getallen eindige orde hebben.

Om de rationale punten met eindige orde te vinden gebruiken we Stelling 5.1. AlsP = (x, y) een rationaal punt is op C met eindige orde, dan geldt dat y = 0 of y deeltb2(a2−4b) = 5. Het punt met y = 0 is (0, 0). Als y deelt 5 dan hebben we dat y = ±1 eny = ±5. Het is eenvoudig na te gaan dat we dan de volgende punten hebben (−1,−1),(−1, 1), (1,−1) en (1, 1).

We hebben nu aangetoond dat de groep van rationale punten van de kromme C : y2 =x3 + x2 − x gelijk is aan

C(Q) = {O, (0, 0), (−1,−1), (−1, 1), (1,−1), (1, 1)}.

We hebben nu twee specifieke krommen bekeken, waarvoor C(Q) bij beiden rang nulheeft.

Laten we nu eens een voorbeeld bekijken van een kromme C waarvoor C(Q) rang eenheeft.

Voorbeeld 5.4. We bekijken de kromme C : y2 = x3 − 6x Voor deze kromme gaan welaten zien dat C(Q) rang een heeft.

We beginnen met het uitrekenen van de orde van het beeld van α. Als eerste factorise-ren we b = −6. We vinden dan dat b1 = ±1,±2,±3,±6. We hebben dat α(T ) = b = −6en α(O) = 1. We schrijven nu vergelijking (5.5) op voor de overige mogelijkheden vanb1. We krijgen dan de volgende vergelijkingen

1. N2 = −M4 + 6j4,

2. N2 = −2M4 + 3j4,

3. N2 = 2M4 − 3j4,

4. N2 = −3M4 + 2j4,

56

5. N2 = +3M4 − 2j4,

6. N2 = 6M4 − j4.

We zien dat vergelijkingen 4, 5 en 6 gelijk zijn aan vergelijkingen 1, 2 en 3 met M en jomgedraaid. We gaan alleen voor de eerste drie vergelijkingen kijken of er oplossingenzijn. Na een hele tijd proberen komen we erachter dat vergelijkingen 1 en 3 geen oplos-singen hebben. Vergelijking 2, en dus ook vergelijking 5, heeft de duidelijke oplossing(M,N, j) = (1, 1, 1). Hiermee volgt dat

α(C(Q)) = {−6,−2, 1, 3}(modQ∗2).

Dus de orde van het beeld van α is gelijk aan vier.Hoe zit het nu met het beeld van α? We hebben dat b = a2−4b = 24.De mogelijkheden

voor b1 zijnb1 = ±1,±2,±3,±4,±8,±12,±24.

Als we b1 modulo kwadraten bekijken, dan zijn de mogelijkheden voor b1 gelijk aan±1,±2,±3,±6. Vervolgens merken we op, met hetzelfde argument als in het vorigevoorbeeld, dat b1 alleen positief kan zijn. Er geldt ook dat α(O) = 1 en α(T ) = 24 ≡6(modQ∗2). We schrijven vergelijking (5.5) op voor de andere twee mogelijkheden voorb1. We hebben dan de volgende twee vergelijkingen

N2 = 2M4 + 12j4 en N2 = 3M4 + 8j4.

Na enige tijd proberen, kunnen we concluderen dat deze twee vergelijkingen geen oplos-singen hebben. Dus voor het beeld van α geldt dat

α(C(Q)) = {1, 6}(modQ∗2).

Hieruit volgt dat de orde van het beeld van α gelijk is aan twee.We hebben gevonden dat de orde van het beeld van α gelijk is aan vier en van α gelijk

aan twee. Dan volgt met vergelijking (5.2) dat de rang van C(Q) gelijk is aan een.We claimen dat C(Q) wordt voortgebracht door (0, 0) en (−2,−2), maar zullen dat

hier verder niet bewijzen.

We hebben nu twee krommen bekeken waarvoor geldt dat de rang van C(Q) gelijkis aan nul en een kromme bekeken waarvoor geldt dat de rang van C(Q) gelijk is aaneen. We hebben voor deze krommen ook de voortbrengers van C(Q) bepaald. Wekunnen onszelf afvragen of de grootte van de coefficienten iets zegt over de grootte vande voortbrengers.

Wat we precies onder grote of kleine coefficienten verstaan, zullen we hier niet de-finieren. We gaan de kromme C bekijken die gegeven wordt door y2 = x3 + 887x. Ditzijn niet hele grote coefficienten en de vergelijking ziet er vrij eenvoudig uit. En toch isdeze simpel uitziende vergelijking nog helemaal niet zo simpel, zo hebben A. Bremneren J.W.S Cassels gezien. Zij schrijven in [1] dat geldt dat C(Q) rang een heeft en verder

57

laten ze in datzelfde artikel zien dat de C(Q) wordt voortgebracht door (0, 0) en hetpunt P = (x, y), waarbij x de volgende waarde heeft

x =

(612776083187947368101

7884153586063900210

)2

.

Dus we zien aan dit voorbeeld dat we niks kunnen zeggen over de grootte van de voort-brengers als we kijken naar de grootte van de coefficienten van de kromme C gegevendoor y2 = x3 + ax2 + bx, waarbij a, b ∈ Z.

We hebben al specifieke krommen bekeken van rang nul en een, maar wat kunnenwe nu zeggen over een meer algemene kromme? Bijvoorbeeld een kromme van de vormy2 = x3 + px.

Voorbeeld 5.5. Voor dit voorbeeld veronderstellen we dat de kromme Cp gegeven wordtdoor y2 = x3 + px, waarbij p een priemgetal is. We gaan aantonen dat de rang van Cpgelijk is aan 0, 1 of 2.

We beginnen met het berekenen van de orde van het beeld van α. Voor de kromme Cpgeldt dat b = p. Dus als we b factoriseren dan kan b1 de volgende waarden aannemen: ±1en ±p. We hebben dat α(T ) = b = p en α(O) = 1. We schrijven nu alleen vergelijking(5.5) op voor b1 = −1 en b1 = −p. We krijgen dan de volgende vergelijkingen

N2 = −M4 − pj4 en N2 = −pM4 − j4.

Voor beide vergelijkingen geldt dat de rechterkant van de vergelijking kleiner is dan nulen de linkerkant van de vergelijking groter is dan nul. Dus deze twee vergelijkingenhebben geen oplossingen. Er volgt nu dat

α(C(Q)) = {1, p}(modQ∗2).

En hiermee volgt dat de orde van het beeld van α gelijk is aan twee.Hoe zit het nu met het orde van het beeld van α? We hebben dat b = a2 − 4b = −4p.

De mogelijkheden voor b1 zijn dan

b1 = ±1,±2,±4,±p,±2p,±4p.

Als we b1 nu modulo kwadraten bekijken, dan houden we de volgende mogelijkhedenvoor b1 over: ±1, ±2, ±p en ±2p. Als we voor deze mogelijkheden vergelijking (5.5)opschrijven, dan krijgen we acht vergelijkingen. Dus de orde van het beeld van α ismaximaal acht.

Als we dit invullen in vergelijking (5.2) dan volgt dat de rang van Cp gelijk is aan 0,1 of 2.

Tot slot bekijken we nog twee specifiekere gevallen voor de kromme Cp.

58

Voorbeeld 5.6. We nemen weer de kromme Cp : y2 = x3 + px, met p een priemgetal.We bekijken nu het geval dat p ≡ 7(mod 16). We gaan aantonen dat de rang van Cpgelijk is aan nul.

Voor de orde van het beeld van α volgt met Voorbeeld 5.5 dat deze gelijk is aantwee. Dus hoeven we alleen maar de orde van het beeld van α te berekenen. InVoorbeeld 5.5 hadden we gezien dat we de volgende mogelijkheden hebben voor b1,b1 = ±1,±2,±p,±2p. Er geldt dat α(O) = 1 en α(T ) = b = −4p ≡ −p(modQ∗2). Weschrijven vergelijking (5.5) op voor de andere mogelijkheden van b1. We hebben dan devolgende vergelijkingen

1. N2 = −M4 + 4pj4,

2. N2 = −2M4 + 2pj4,

3. N2 = 2M4 − 2pj4,

4. N2 = pM4 − 4j4,

5. N2 = −2pM4 + 2j4,

6. N2 = 2pM4 − 2j4.

We zien dat vergelijkingen 5 en 6 gelijk zijn aan vergelijkingen 2 en 3. Om de ordevan het beeld van α te bepalen, hoeven we dus alleen na te gaan of de eerste viervergelijkingen oplossingen hebben. Om te kijken of deze vier vergelijkingen oplossingenhebben, bekijken we deze modulo 16. Als we vergelijking 1 modulo 16 bekijken dankrijgen we

N2 = −M4 + 12j4 (mod 16). (5.6)

We willen weten of er getallen modulo 16 zijn die aan deze vergelijking voldoen. Vooreen element q ∈ Z/16Z is zijn kwadraat gelijk aan 0 als q ∈ {0, 4, 8, 12}(mod 16), gelijkaan 1 als q ∈ {1, 5, 9, 13}(mod 16), gelijk aan 4 als q ∈ {2, 6, 10, 14}(mod 16) en gelijkaan 9 als q ∈ {3, 7, 11, 15}(mod 16). Voor de vierde macht van q geldt dat deze gelijkis aan 0 als q even is en gelijk aan 1 als q oneven is. Hiermee volgt dat we voor(M4, j4) de volgende mogelijkheden hebben (0, 0), (0, 1), (1, 0) en (1, 1). Als we dezemogelijkheden invullen in vergelijking (5.6) dan vinden we dat we voor N2 de volgendemogelijkheden hebben: 0, 12,−1, 11(mod 16). Hiermee volgt dat de mogelijkheden voorN zijn 0, 4, 8, 12(mod 16). Dus in de oorspronkelijke vergelijking moet N een even getalzijn, maar ook M en j moeten in de oorspronkelijke vergelijking een even getal zijn. DusM,N en j hebben een gemeenschappelijke deler. Dat is in tegenspraak met de aannamedat M,N en j geen gemeenschappelijke delers mochten hebben. Dus heeft vergelijkingN2 = −M4 + 4pj4 geen oplossingen.

Op dezelfde manier kunnen we nagaan dat de andere drie vergelijkingen ook geenoplossingen hebben. Dus de orde van het beeld van α is gelijk aan twee. Als we ditallemaal combineren met vergelijking (5.2) dan volgt dat de rang van Cp gelijk is aannul.

59

Tot slot bekijken we nog een voorbeeld voor de kromme Cp.

Voorbeeld 5.7. We nemen weer de kromme Cp : y2 = x3 + px, met p een priemgetal.We bekijken nu het geval dat p ≡ 3(mod 16). We gaan aantonen dat de rang van Cpgelijk is aan nul of een.

Voor de orde van het beeld van α volgt met Voorbeeld 5.5 dat deze gelijk is aantwee. Dus hoeven we alleen maar de orde van het beeld van α te berekenen. InVoorbeeld 5.5 hadden we gezien dat we de volgende mogelijkheden hebben voor b1,b1 = ±1,±2,±p,±2p. Er geldt dat α(O) = 1 en α(T ) = b = −4p ≡ −p(modQ∗2). Weschrijven vergelijking (5.5) op voor de andere mogelijkheden van b1. We hebben dan devolgende vergelijkingen

1. N2 = −M4 + 4pj4,

2. N2 = −2M4 + 2pj4,

3. N2 = 2M4 − 2pj4,

4. N2 = pM4 − 4j4,

5. N2 = −2pM4 + 2j4,

6. N2 = 2pM4 − 2j4.

We zien dat vergelijkingen 5 en 6 gelijk zijn aan vergelijkingen 2 en 3. Om de ordevan het beeld van α te bepalen, hoeven we dus alleen na te gaan of de eerste viervergelijkingen oplossingen hebben. Om te kijken of deze vier vergelijkingen oplossingenhebben, bekijken we deze modulo 16. We krijgen dan de volgende vier vergelijkingen

1. N2 = −M4 + 12j4 (mod 16),

2. N2 = −2M4 + 6j4 (mod 16),

3. N2 = 2M4 + 10j4 (mod 16),

4. N2 = 3M4 − 4j4 (mod 16).

Voor (M4, j4) hebben we, net als in Voorbeeld 5.6, de volgende mogelijkheden (0, 0),(0, 1), (1, 0) en (1, 1). Met hetzelfde argument als in het vorige voorbeeld volgt datvergelijking 1 geen oplossingen kent. Dus de orde van het beeld van α is maximaal vier.

Als we dit invullen in vergelijking (5.2) dan volgt dat de rang van C(Q) gelijk is aannul of een.

In dit hoofdstuk hebben we een manier afgeleid om de rang van C(Q) te kunnenbepalen. Als we de rang van C(Q) weten, dan weten we ook of de groep C(Q) eindigof oneindig veel elementen bevat. Als C(Q) eindig veel elementen heeft, hebben we eenmanier gegeven om deze te berekenen. Ook hebben we gezien dat de grootte van decoefficienten niks zegt over de grootte van de voortbrenger.

60

6 Conclusie

We hebben een definitie gegeven van het projectieve vlak. Dit hebben we gedaan optwee manieren en laten zien dat deze twee definities equivalent zijn. Ook hebben wegekeken naar krommen in het projectieve vlak en wat we konden zeggen over het aantalsnijpunten van twee krommen.

Daarna zijn we van algemene projectieve krommen over gegaan naar de elliptischekrommen en hebben we een groepsstructuur gedefinieerd op de verzameling van rationalegetallen op een elliptische kromme. We hebben aangetoond dat deze groep eindig isvoortgebracht. Dit hebben we alleen gedaan in het speciale geval dat de elliptischekrommen een 2-torsie punt hebben.

Tot slot hebben we gekeken hoe we de groep van rationale punten van elliptische krom-men expliciet kunnen berekenen. Dit hebben we gedaan door een manier te beschrijvenom de rang te bepalen van de groep van rationale punten op een elliptische kromme.Als de rang nul was, hebben we ook een manier gegeven om de elementen te bepalen.

Een verder vervolg hierop kan zijn om te laten zien dat de groep van rationale puntenop een elliptische kromme eindig is voortgebracht voor elke elliptische kromme. Ditgaat analoog aan het bewijs, zoals nu bestudeerd, maar daar komen klassengroepen bijkijken. Aangezien klassengroepen een heel nieuw onderwerp is, hebben we die nu nogvermeden.

Ook zouden we het laatste hoofdstuk verder kunnen uitbreiden. We hebben nu alleeneen manier gegeven om de groep van rationale punten te berekenen als de rang nul is,dus als deze groep eindig veel elementen bevat. We zouden in het geval dat de ranggroter dan nul is, kunnen kijken of er een manier is om de voortbrengers van de groepte bepalen.

61

7 Populaire samenvatting

We kennen allemaal de volgende krommen in het xy-vlak die gegeven worden door devergelijking y = x2 en y = x2 + x+ 4, zie Figuur 7.1.

(a) y = x2 (b) y = x3 + x + 4

Figuur 7.1: Krommen

Naast de krommen die gegeven worden door de vergelijkingen y = x2 en y = x3 + x+ 4kunnen we in het xy-vlak ook krommen bekijken die geven worden door de vergelijkingeny2 = x3− 6x of y2 = x3 + x2 + x+ 1, zie Figuur 7.2. We noemen dit soort krommen ookwel elliptische krommen.

(a) y2 = x3 − 6x (b) y2 = x3 + x2 + x + 1

Figuur 7.2: Elliptische krommen

Een elliptische kromme is dus een kromme die gegeven wordt door de vergelijkingy2 = x3 + ax2 + bx + c, waarbij a, b en c rationale getallen zijn. Een rationaal getal iseen breuk. Getallen die we dus voor a, b en c kunnen invullen zijn 1/2 of 4/5, maar ook3 en −10. En getallen die we dus niet mogen invullen voor a, b en c zijn bijvoorbeeld πen√

2.Een punt in het xy-vlak noteren we als (x, y). Zo’n punt noemen we rationaal als zowel

x als y rationaal is. Een rationaal punt op een elliptische kromme is dan een punt (x, y)met x en y beide rationaal en zodat deze voldoet aan y2 = x3 + ax2 + bx + c. Bekijkenwe nog eens de elliptische kromme gegeven door y2 = x3 + x2 + x + 1. We zien dat het

62

punt (x, y) = (0, 1) voldoet aan deze vergelijking en zowel x en y zijn rationaal. Dus is(x, y) = (0, 1) een rationaal punt op deze elliptische kromme.

Het doel is om alle rationale punten op een elliptische kromme te vinden. Om ditte doen hebben we groepentheorie nodig. In de wiskunde is een groep een verzamelingmet een bewerking die aan vier eigenschappen voldoen. Om dit te verduidelijken be-kijken we de verzameling van gehele getallen, Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}, metals bewerking optellen. De eerste eigenschap is dat de bewerking ervoor zorgt dat tweeelementen weer een element wordt uit Z, bijvoorbeeld −2 + 6 = 4. De tweede eigen-schap heet associativiteit en dat houdt in dat voor drie elementen uit Z moet gelden dat(x + y) + z = x + (y + z), bijvoorbeeld (2 + 4) + 3 = 6 + 3 = 9 = 2 + 7 = 2 + (4 + 3).Als derde eigenschap hebben we het zogenoemde eenheidselement. Dit is een element e,die bevat zit in de verzameling, zodat x + e = e + x = x. In ons geval geldt dat e = 0,omdat a+0 = 0+a = a voor alle elementen uit Z. Tot slot moet elk element een inverseelement hebben. Een inverse element is een element x−1, die bevat is in de verzameling,zodat x+ x−1 = x−1 + x = e. In ons geval moet er dus gelden dat x+ x−1 = 0. Er geldtdat 2 + (−2) = 0, dus −2 is de inverse van 2. We zien nu dat elk element uit Z eeninverse element heeft. We hebben nu laten zien dat de verzameling van gehele getallenmet de bewerking optellen een groep is.

Om alle rationale punten op een elliptische kromme te bepalen, gaan we laten ziendat de verzameling van rationale punten, met de bewerking zoals in Figuur 7.3, op eenelliptische kromme een eindig voortgebrachte commutatieve groep is.

Figuur 7.3: Bewerking

Als we het in de wiskunde over een commutatieve groep hebben, dan voldoen de ver-zameling en de bewerking aan nog een extra eigenschap. We hebben net aangetoonddat Z met de bewerking optellen een groep is. We kunnen ook laten zien dat het eencommutatieve groep is. Commutativiteit houdt in dat voor elk tweetal elementen vanZ geldt dat x+ y = y + x, bijvoorbeeld 3 + 2 = 5 = 2 + 3. En met eindig voortgebrachtbedoelen we dat we maar eindig veel elementen nodig hebben om uiteindelijk alle an-dere elementen te kunnen ‘maken’. Voor Z met de bewerking optellen zien we dat 1 devoortbrenger is van Z.

In deze scriptie wordt eerst bewezen dat de verzameling van rationale punten, metde bewerking zoals in Figuur 7.3, op een elliptische kromme een eindig voortgebrachtecommutatieve groep is. Tot slot worden daar nog enkele voorbeelden van bekeken.

63

Bibliografie

[1] A. Bremner and J.W.S. Cassels, On the equation Y 2 = X(X2 +p), Math. Comp. 42,p. 257-264, 1984.

[2] E. Kunz, Introduction to plane algebraic curves, Birkhauser, 2005.

[3] G.B.M van der Geer, Syllabus Algebra 1, Amsterdam, 2013.

[4] G.B.M van der Geer, Syllabus Algebra 2, Amsterdam, 2002.

[5] J.H Silverman en J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer, 1992.

64