Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen

graduaten

Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

}

1 SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof)

1.1 Natuurlijke getallen De eerste getallen waar we als kind kennis mee maken zijn die getallen waarmee je leert tellen: 0, 1, 2, 3, enz… We noemen ze dan ook de “Natuurlijke getallen”. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt voorgesteld door N| . N| = { },.....6,5,4,3,2,1,0

We kunnen hiermee al heel wat berekeningen maken: 1+5=6 ∈ N| 2.5=10 ∈ N| Maar: al vlug ondervind je tekortkomingen, je moet een tekort kunnen uitdrukken, een negatief resultaat bij het kaartspelen, vriesweer,… 5-6∉ N| ⇒ We moeten de natuurlijke getallen uitbreiden met negatieve getallen: 0, 1, 2 maar ook -1, -2…

1.2 Gehele getallen = { },....4,4,3,3,2,2,1,1,0 −−−−

We zien dat we de natuurlijke getallen hier terugvinden, dus de natuurlijke getallen zijn een deel van de gehele getallen. In symbolen: N| ⊂

5-6= -1 ∈ 3.(-2)= -6 ∈ -8 : (-2)= 4 ∈ maar hier verschijnen dan al vlug problemen vb 5: 2 ∉ ! Nochtans moeten we dergelijke verhoudingen kunnen uitdrukken, er is dus weer nood aan een uitbreiding:we hebben breuken nodig.

1.3 Rationale1 getallen

Q| =⎩⎨⎧ ∈a

ba , en b ∈ 0 Q| is dus de verzameling van alle getallen die we kunnen

schrijven als een breuk met in teller en noemer een geheel getal.

Als we dan bemerken dat elk geheel getal x kan geschreven worden als de breuk 1x , en dat bv

0,333333333=31 2 kunnen we ook een poging doen om de rationale getallen op te sommen:

Q| =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−− ;.......666666,0;45;

31;2;2;1;1;0

Je merkt dus weer dat de gehele getallen ook rationale getallen zijn: 1 ratio= rede of verhouding, de Grieken beschouwden breuken als verhoudingen, vandaar de naam. 2 men kan aantonen dat elk decimaal getal met een repeterend decimaal gedeelte kan geschreven worden als een breuk, en dus een rationaal getal is.

N| ⊂ ⊂Q| Weer hebben we een aantal problemen opgelost:

5: 2=25 ∈ Q|

9 =3 ∈ Q|

54

2516

= ∈ Q|

2 ∉ Q| , dit hadden de Grieken reeds ontdekt (zie opmerkingen), dit zou geen probleem zijn als men in de praktijk dit getal nooit tegenkwam, maar diezelfde Grieken hadden al een eenvoudig praktisch probleem waar 2 een oplossing biedt. (zie ook opmerkingen) We moeten dus weer uitbreiden:

1.4 Reële getallen Als we al dit soort getallen toevoegen aan de rationale getallen krijgen we volgende verzameling: R| ={ }.....e;;3;2...;333333,0;2;2;1;1;0 π−− N| ⊂ ⊂Q| ⊂ R|

2 ∈ R| en weer zijn veel problemen opgelost. Blijft echter nog een probleem:

∉−1 R| want stel 1− = x ∈ R| dan zou x²= -1 wat onmogelijk is bij reële getallen. Als we vroeger in de algebra wortels van negatieve getallen tegenkwamen (bv bij oplossen van kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminant) stelden we gewoon “geen oplossing”, in de reële algebra kan men dit lang volhouden. Nu blijkt echter dat om bepaalde problemen in de elektronica wiskundig te kunnen omschrijven, we moeten doen alsof wortels van negatieve getallen wel kunnen. Zoals telkens hierboven moeten we dus de getallen weer gaan uitbreiden. We komen hier met ons voorstellingsvermogen tekort, het is moeilijk om een voorbeeld uit de praktijk te bekijken waar we deze getallen tegenkomen. Men heeft nieuwe getallen “uitgevonden” om aan een praktische nood te voldoen. Men spreekt dan ook over “imaginaire3 getallen”.

1.5 Complexe getallen We voeren een nieuw getal in, in de wiskunde wordt dit getal meestal “i” genoemd, in de elektronica gebruikt men meestal “j”. In deze cursus gebruiken we daarom ook “j”. We stellen j² = -1, en dat is eigenlijk alles wat we van j weten, de rest kunnen we dan puur wiskundig afleiden. We stellen dan dat z = a+bj waarbij a, b ∈ R| en j² = -1; en de verzameling van al deze getallen z vormen de verzameling complexe getallen. C| ={ ∈+= b,abjaz R| }1²jen −=

vb: 2 –3j ∈ C| maar ook 4 = 4 + 0j∈ C| dus we zien: N| ⊂ ⊂Q| ⊂ R| ⊂C| en we hier wel degelijk met een uitbreiding te maken. In het volgend hoofdstuk bestuderen we deze complexe getallen verder.

3 je hoort het Frans woord “imaginer”=inbeelden

1.6 Opmerkingen 1) 2 kan niet geschreven worden als een breuk. 3) 0,735353535….. ∈ Q| ; men kan aantonen dat een decimaal getal met een repeterend

gedeelte altijd kan geschreven worden als een breuk. 4) 2,873608752435….∉ Q| ; zonder repeterend gedeelte kan een decimaal getal niet

geschreven als een breuk. 5) R| \Q| noemt men de verzameling van de IRRATIONALE getallen 6) De Reële as Elk reëel getal kan men voorstellen door een punt op de reële as. Omgekeerd kan men stellen dat elk punt op de reële as een reëel getal voorstelt, zodat we merken dat er geen mogelijkheid is om nog een andere soort getallen zoals complexe getallen op deze as voor te stellen. We zullen dus naar een andere voorstellingsmanier moeten uitkijken.

1.7 Interessante sites http://home.pi.be/ursula/wiskoef/3soortgetal.htm http://nl.wikipedia.org/wiki/Re%EBel_getal

0,5 π

|R0 0

2 BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN

2.1 Inleiding In het eerste hoofdstuk hebben we gezien dat alle getallen van N| , en |Q eigenlijk ook reële getallen zijn. Daarom beperken we ons hier tot de eigenschappen van de reële getallen. Deze eigenschappen zijn dan immers zeker ook geldig voor de getallen van N| , en |Q .

2.2 Hoofdbewerkingen

2.2.1 Terminologie De hoofdbewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het resultaat bij een optelling heet de som. Het resultaat bij een aftrekking heet het verschil. Het resultaat bij een vermenigvuldiging heet het poduct. Het resultaat bij een deling heet het quotiënt. Bij een optelling a + b of aftrekking a – b noemt men a en b de termen. Bij een vermenigvuldiging a . b of deling a : b noemt men a en b de factoren. Bij de deling a : b noemen we a het deeltal en b de deler.

Het delen wordt ook vaak geschreven met een breukstreep: a : b = ba . a wordt dan de teller

genoemd en b de noemer.

2.2.2 Eigenschappen van breuken • Als je de teller en de noemer van een

rationaal getal door eenzelfde van nul

verschillend getal deelt, dan bekom je

een gelijk rationaal getal.

• Als je de teller en de noemer van een

rationaal getal met eenzelfde van nul

verschillend getal vermenigvuldigt, dan

bekom je een gelijk rationaal getal.

Met symbolen:

∈∀a N| en ∈∀ m,b N| 0: ab

= a : mb : m

∈∀a N| en ∈∀ m,b N| 0: ab

= a . mb . m

Dit doen we: Dit doen we: om breuken te vereenvoudigen om breuken gelijknamig te maken

2.2.3 Rekenen met breuken Optellen van rationale getallen in breukvorm:

◊ je maakt de ongelijknamige breuken eerst gelijknamig !

◊ de som is dan de breuk waarvan:

* de noemer dezelfde noemer is als die van de termen

* de teller gelijk is aan de som van de tellers

vb: 2013

2010815

2010

208

2015

10.210.1

4.54.2

5.45.3

21

52

43

=−+

=−+=−+=−+

Vermenigvuldigen van rationale getallen in breukvorm:

◊ je bepaalt het teken met de tekenregel voor de vermenigvuldiging

◊ je vereenvoudigt voor je vermenigvuldigt

◊ je schrijft het product van de tellers en het product van de noemers

vb: 4

154.13.5

49

35

−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

Delen van rationale getallen in breukvorm:

◊ je bepaalt het teken met de tekenregel van de deling

* zelfde tekens geven +

* verschillende tekens geven -

◊ je vermenigvuldigt de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk

vben: 1) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

−

−

31:

73of

3173

79

13

73

31:

73

=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

2) 2

1523

15

3215

325

=⋅==

3) 283

71

43

1743

743

=⋅==

Machten van rationale getallen in breukvorm

◊ Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.

vb: 23

23

23

23

49

2 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ = =

2.2.4 Wetenschappelijke notatie Voor zeer grote of zeer kleine getallen schakelt een rekentoestel automatisch over op de

wetenschappelijke notatie.

De wetenschappelijke notatie van een rationaal getal is het product van een macht van 10

en een decimaal getal met absolute waarde gelegen tussen 1 en 10

Let op ! 970 000 in de notatie met een macht van 10 97 . 104

in de wetenschappelijke notatie 9,7 . 105

Op het rekenmachientje wordt ook met volgende notatie gewerkt:

5 000 000 = 5 . 106 = 5 E6 106 is een miljoen, dus 5 . 106 kan je onmiddellijk lezen als 5 miljoen. Hetzelfde geldt voor E6. 75 900 000 000 = 75,9 . 109 = 75,9 E9 109 is een miljard, dus 75,9 * 109 kan je onmiddellijk lezen als 75,9 miljard. Hetzelfde geldt voor E9. 0,000 235 = 235 * 10-6 = 235 E-6 10-6 is een miljoenste, 235 * 10-6 kan je onmiddellijk lezen als 235 miljoensten.

2.2.5 Absolute waarde van een getal De functie “absolute waarde”

• maakt elk negatief getal positief en • laat elk positief getal onveranderd.

Voorbeeld 7 is de absolute waarde van +7 en -7 We noteren |+7| = 7 lees: de absolute warde van +7 is 7 |-7| = 7 lees: de absolute waarde van -7 is 7 De absolute waarde van a noteer je |a| a en –a zijn tegengestelde getallen: ze hebben dezelfde absolute waarde maar een verschillend toestandsteken.

2.3 Tekenregels

2.3.1 Tekenregel voor twee tekens na elkaar (altijd gescheiden door een haakje! ):

+ ( - = -

- ( + = -

verschillende tekens vervangen door -

- ( - = +

+ ( + = +

zelfde tekens vervangen door +

2.3.2 Optellen en aftrekken van twee getallen Twee mogelijkheden:

De gehele getallen hebben hetzelfde teken:

• behoud dit teken

• tel de absolute waarden op

De gehele getallen hebben een verschillend teken:

• neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde

• maak het verschil: grootste absolute waarde min kleinste absolute waarde

2.3.3 Opmerkingen: 1. Als er haakjes staan, werk je die altijd eerst weg

voorbeeld: 8 + (-5) = 8 – 5

2. Elke aftrekking wordt beschouwd als een optelling, want een getal aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde van dat getal optellen voorbeeld: -3 -7 = -3 + (-7)

2.3.4 Tekenregel voor vermenigvuldigen (ook altijd haakjes!)

2.3.5 Product van twee getallen • bepaal het teken:

twee dezelfde tekens geven +

twee verschillende tekens geven - • bepaal het product van de absolute waarden van de getallen

• Afspraken

1. Het vermenigvuldigingsteken mag weggelaten

worden als dat niet tot verwarring leidt.

(-5) · (-3) wordt dus (-5)(-3)

in 5 · 3 moet de · blijven, anders staat er 53!

2. Haken rond een factor mag je weglaten als:

• er daardoor geen twee tekens onmiddellijk

na elkaar komen te staan,

• er geen verwarring met een som mogelijk is.

(+5)(-3) = 5.(-3) = 5(-3)

(-5)(-3) = -5(-3)

(-5)(+3) = -5·3

+ · - = -

- · + = -

+ · + = +

- · - = + dezelfde tekens geven +

verschillende tekens geven -

2.3.6 Product van meerdere getallen Om een product met meer dan twee factoren te berekenen (gedurig product):

• bepaal je eerst het teken:

+ als het aantal negatieve factoren even is

- als het aantal negatieve factoren oneven is

• bereken je daarna het product van de absolute waarden van de factoren

2.3.7 Tekenregel voor de deling (ook altijd haakjes!) + : + = + - : - = + zelfde tekens geven + + : - = - - : + = - verschillende tekens geven –

2.3.8 Quotiënt van twee getallen: • bepaal het teken: twee dezelfde tekens geven +

twee verschillende tekens geven -

• bereken het quotiënt van de absolute waarden.

2.4 Volgorde van bewerkingen 1. Eerst bewerkingen tussen haakjes: eerst de binnenste haakjes! 2. Vermenigvuldigen en delen (van links naar rechts) 3. Optellen en aftrekken (gedurige som)

voorbeeld 1

7 + 3 . 15 - 120 : 60

= 7 + 45 - 2

= 50

voorbeeld 2

-5 + 3 . 2 - 4 : (-1 . 2 + 6)

= -5 + 3 . 2 - 4 : (-2 + 6)

= -5 + 3 . 2 - 4 : 4

= -5 + 6 - 1

= 0

voorbeeld 3

= [25 - (2 + 7)] : [(7 - 6) - (2 + 7)]

= [25 - 9] : [1 - 9]

= 16 : (-8)

= -2

2.5 Oefeningen 1. Bereken:

- 5 + (-4) = .............................................. -88 + 132 = .............................................

-8 - (-7) = ................................................ -81 - (-19) = ............................................

7 + (-9) = ................................................ 14 + (-15) = ............................................

zelfde tekens geven +

47 - 58 = ................................................. -120 + (-13) = .........................................

-47 - 58 = ................................................ -100 - (-13) = ..........................................

-47 - (-58) = ............................................ -100 + (-120) = .......................................

2. Bereken volgende lettervormen als:

x = -5 y = 12 z = -11

x + y - z

= ........................................................

= ........................................................

-x + y + z

= ........................................................

= ........................................................

-x - y - z

= ........................................................

= ........................................................

x + y + z

= ........................................................

= ........................................................

x - y + z

= ........................................................

= ........................................................

-x - y + z

= ........................................................

= ........................................................

3. Bereken zonder rekenmachine. Schrijf de uitkomst zo eenvoudig mogelijk.

12 +

15 = ........................................................................................................................................

34 +

23 = .........................................................................................................................................

13 +

518 = ........................................................................................................................................

13

29

− = ........................................................................................................................................

−9

11+ 4

11 = ..................................................................................................................................

− −78

58

= .....................................................................................................................................

79

618

− −( ) = ................................................................................................................................

− −67

32

1+ = ................................................................................................................................

− −35

1 16

1115

+ + = ........................................................................................................................

− − − −1120

45

38

14

= ......................................................................................................................

67

1021

56

23

+ − − = .........................................................................................................................

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

507

53

256 = ..................................................................................................................

910

54

25

+ ( ) + ( )− − = ....................................................................................................................

4. Bereken:

( 23

16

) (1 12

13

)− − − + −

= ..............................................................

= ..............................................................

14

+ ( 78

+ 1) 2 12

( 34

2 38

) − − − − − −

= . .............................................................

= .............................................................. 5. Bereken:

-5 . (-6) = ...............

7.(-3) = ...................

-4 . (-6) = ...............

-12 . 3 = ..................

-8.(-8) = ..................

-12 . 5 = ..................

11.(-7) = .................

-2 . 3 = ...................

-28.(-1) = ................

-16 . 0 = ..................

-9 . 3 = ....................

8.(-7) = ................... 6. Bereken:

6 : 2 = .....................

-100 : (-25) = .........

-45 : 15 = ...............

-81 : (-9 ) = ............

-72 : 8 = .................

64 : (-2) = ...............

-48 : 4 = ..................

-75 : (-3) = ..............

105 : (-21) = ...........

-55 : 5 = ..................

5 : 0 = .....................

0 : 5 = ..................... 7. Bereken:

(4 - 40 + 6) : (-3 . 2)

= .......................................

= .......................................

= .......................................

(25 - 73) : (4 . 5 - 12)

= ......................................

= ......................................

= ......................................

[(-3 - 8) - 2] : [-9 +(5 - 9)] =

..........................................

= .......................................

= .......................................

8. Bereken:

27 : (-3 -6)

= .......................................

= .......................................

= .......................................

-72 : (-12 + 4)

= ......................................

= ......................................

= ......................................

(10 . 5 - 6) : (-11)

= .......................................

= .......................................

= .......................................

9. Bereken de volgende opgaven voor a = -2 b = -3 c = +5

a + bc

= .......................................

= .......................................

= .......................................

= .......................................

5a + 2ab

= ......................................

= ......................................

= ......................................

= ......................................

(b - c) : a

= ......................................

= ......................................

= ......................................

= ......................................

(a + 1)(c - 9)

= .......................................

= .......................................

= .......................................

= .......................................

a : (b + c)

= ......................................

= ......................................

= ......................................

= ......................................

(b - c) : (b - a)

= ......................................

= ......................................

= ......................................

= ......................................

10.Bereken:

5 . 33 + 2 . 43

= .......................................

= .......................................

= .......................................

52 + 34

= ......................................

= ......................................

= ......................................

17 - 112

= ......................................

= ......................................

= ......................................

4 . 32 - 5

= .......................................

= .......................................

= .......................................

-4 - 3 . 22 + (-3) 3

= ......................................

= ......................................

= ......................................

(-4) 2 . 3 : (-8)

= ......................................

= ......................................

= ......................................

-53 - 3 (-4) 2

= .......................................

= .......................................

= .......................................

-23 . 32 + 4 (-5) 2

= ......................................

= ......................................

= ......................................

170 + 2(6 -3) 2 + 5(4 - 5) 5

= ......................................

= ......................................

= ......................................

-3(6 - 4) 3.(32 - 2 . 4)

= .......................................

= .......................................

= .......................................

(62 - 3) : (-11) + (3 - 2.4) 2

= ......................................

= ......................................

= ......................................

6(-1) 3 - 72 . 80 + (7 - 4) 2

= ......................................

= ......................................

= ......................................

2.6 Volgorde van bewerkingen Volgende regels voor de volgorde zijn belangrijk:

1. eerst haakjes uitwerken 2. dan machten (en dus ook wortels) uitwerken 3. daarna de vermenigvuldigingen en delingen uitwerken in de volgorde waarin ze zich

voordoen, van links naar rechts. 4. als laatste: optellen en aftrekken, ook best in de volgorde waarin ze zich voordoen, van

links naar rechts. Opmerkingen: In 6 . 42 hoort de exponent 2 bij het grondtal 4

In (6 . 4)2 hoort de exponent 2 bij het grondtal (6 . 4): dat zie je omdat er haakjes staan!

Op dezelfde manier kan je zien dat: in (-3)² is het grondtal -3

maar: in -3² is het grondtal 3!

Dus: (-3)² = (-3)(-3) = 9 en -3² = - (3 . 3) = - 9

2.7 Oplossingen van oefeningen oef 1: -9 44 -1 -62 -2 -1 -11 -133 -105 -87 11 -220 oef 2: 18 6 4 -4 -28 -18 oef 3:

107

910

1217

145

−

1811

107

−

91

4079

−

-115

61

−

23

− 5011

−

43

−

oef 4:

212 −−

oef 5: 30 -36 -77 0 -21 64 -6 -27 24 -60 28 -56 oef 6: 3 9 -12 -11 4 -9 25 -3 -32 -5 0 oef 7: 5 -6 1 oef 8: -3 9 -4 oef 9: -17 2 4 4 -1 8 oef 10: 251 86 -95 123 -79 3 -29 -776 157 -432

11169

− -5772

2.8 Interessante sites http://www.amby.com/educate/math/integ_x1.html (engels - rekenen met negatieve getallen) http://users.belgacom.net/annuntiawisk/get2-2a''.htm (hoofdbewerkingen met gehele getallen) http://users.belgacom.net/annuntiawisk/get3-2a.htm (som van rationale getallen of breuken) http://users.belgacom.net/annuntiawisk/get3-2h.htm (bewerkingen met rationale getallen) http://www.math.uu.nl/publications/Theses/Kool/inhoud.html (een beetje geschiedenis) http://users.belgacom.net/annuntiawisk/getinh.htm (overzicht getallenleer) http://home.pi.be/ursula/wiskoef/1volgbew_q.htm (oefeningen op volgorde van bewerkingen) http://proto.thinkquest.nl/~klb045/h5-rrinleiding.html (volgorde van bewerkingen)

3 LINEAIRE VERGELIJKINGEN

3.1 Gelijkheden

3.1.1 Definitie Een gelijkheid bestaat uit drie delen.

voorbeeld 6 + 9 = 15 het eerste lid het gelijkteken het tweede lid (het linkerlid) (het rechterlid)

3.1.2 Werken met gelijkheden ♦ Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal

optelt. En dus ook als je van beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal aftrekt.

A = B A + C = B + C A = B A – C = B – C

♦ Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je de beide leden van een gelijkheid met eenzelfde getal vermenigvuldigt. En dus ook als je beide leden van een gelijkheid door eenzelfde getal (niet nul!) deelt.

A = B A . C = B . C A = B A : C = B : C

3.2 Vergelijking • Een vergelijking is een gelijkheid waarin een letter voorkomt. • De letter noem je de onbekende. Alle letters kunnen gebruikt worden als onbekende.

voorbeeld het eerste lid het gelijkteken het tweede lid 5.a + 4 = 2.a + 10 3.x + 7 = x + 11 • De vergelijking oplossen wil zeggen de oplossing van de vergelijking zoeken. • Je lost een vergelijking op met de weegschaalmethode: je houdt de vergelijking in

evenwicht door in het linkerlid en in het rechterlid dezelfde bewerking met eenzelfde getal uit te voeren. voorbeeld 5.a + 4 = 2.a + 10

-2.a ↓ ↓ -2.a 3.a + 4 = 10 -4 ↓ ↓ -4 3.a = 6 :3 ↓ ↓ :3 a = 2

• Een oplossing van de vergelijking is een getal dat je in de plaats van de onbekende moet zetten om van de vergelijking een gelijkheid te maken.

• De oplossingverzameling is de verzameling V van alle oplossing van een vergelijking.

3.3 Lineaire vergelijking

3.3.1 Definitie Een lineaire vergelijking is een eerstegraadsvergelijking, dwz dat in de vereenvoudigde vorm van de vergelijking de onbekende voorkomt enkel met exponent 1. In dit hoofdstuk werken we enkel met lineaire vergelijkingen.

3.3.2 Werkwijze om een vergelijking op te lossen: ∗ Vergelijkingen met haakjes: Je werkt altijd eerst de haakjes weg! ∗ Komen er breuken voor in de vergelijking, dan kan je best de noemers wegwerken door

beide leden te vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke noemer. ∗ Door bij de beide leden eenzelfde getal op te tellen (of van de beide leden een zelfde getal

af te trekken), komen de termen waarin de onbekende staat in één lid en de termen zonder onbekende in het andere lid. of: Als de onbekende in beide leden van de vergelijking voorkomt, dan moet je eerst de termen met een onbekende in het ene lid plaatsen en de termen zonder onbekende in het andere lid. In de praktijk merk je dat dit er op neerkomt dat je een term van teken verandert als je van lid verandert. (dus alleen bij het optellen of aftrekken!!!)

∗ Je telt de termen met onbekende samen en je telt de termen zonder onbekende samen! ∗ Door de beide leden met eenzelfde getal te vermenigvuldigen (of de beide leden door

eenzelfde getal te delen), vind je de oplossing (en). ∗ Je maakt de proef voor de gevonden oplossing.

3.3.3 Voorbeelden: 1. 7a – 3 = 5a + 1 beide zijden + 3

7a – 3 + 3 = 5a + 1 + 3 beide zijden – 5a 7a – 5a = 5a + 1 + 3 – 5a 7a – 5a = 1 + 3 2a = 4 beide leden door 2

{ }2V2a

24

2a2

==

=

2. 2.(3x – 1) + 4 – 5x = – 4.( – x + 1) – x haakjes uitwerken

6x – 2 + 4 – 5x = 4x – 4 – x beide zijden + 2 – 4 – 4x + x 6x – 5x – 4x + x = – 4 – 4 + 2 termen met x optellen alsook termen zonder x – 2x = – 6 beide leden delen door – 2

vereenvoudigen

{ }3V3x

26

2x2

==

−−

=−−

3. 32)

43x(3 =+

32

49x3 =+

| | | 12 is een gemeenschappelijke noemer

128

1227

12x36

=+

linkerlid: elke term . 12 ↓ ↓ ↓ rechterlid: elke term . 12

36x + 27 = 8 ……↓ ↓…… 36 x = -19 ……↓ ↓……

x = -3619

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

3619V

Proef

L(……) = ……………………………………………

= ……………………………………………

R(……) = 23

3.3.4 Evenredigheden Definitie: De gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid

Symbolen: 0,0 ≠≠= dbmetdc

ba

Je leest: de verhouding van a tot b is gelijk aan de verhouding van c tot d of a staat tot b zoals c tot d Terminologie: a, b, c en d zijn de termen van de evenredigheid: a is de eerste term; b is de tweede term; c is de derde term en d de vierde term a en d zijn de uiterste termen en b en c zijn de middelste termen Hoofdeigenschap van evenredigheden:

0den0bmetcbdadc

ba

≠≠⋅=⋅⇔=

Dit kan je eenvoudig bewijzen:

............ = .............

dc

ba=

bcda

b1cd1a

ddbc

bdba

ddbc

bdba

1d)(b.

dc

1d)(b

ba

⋅=⋅⇔

⋅⋅=⋅⋅⇔

//⋅⋅

=/⋅/⋅

⇔

⋅⋅=

⋅⋅⇔

⋅=

⋅⋅⇔

Een aantal vergelijkingen kunnen eenvoudiger opgelost worden als men de hoofdregel voor evenredigheden toepast. Voorbeeld:

125x

125

12x12

5x12

)1.(54.x341

5x3

−=

−=

−=

−=⇔−

=

3.3.5 Speciale vergelijkingen 1. 2x – 3 = 2(x – 1) + 4

2x – 3 = 2x – 2 + 4 2x – 2x = – 2 + 4 + 3 0x = 5 { } Φ==⇒ V want geen enkel getal voldoet aan deze vergelijking! Men noemt dit een valse vergelijking.

2. 3(x – 1) – 1 = 3x – 4 3x – 3 – 1 = 3x – 4 3x – 3x = – 4 + 1 + 3 0x = 0 =⇒ V |R want elk reëel getal voldoet aan deze vergelijking! Men noemt dit een identieke vergelijking.

Stap 1: beide leden . (b.d) of dus 1bd.

Stap 2: vereenvoudigen

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

125V

3.4 Oefeningen 1. Los volgende vergelijkingen op:

x + 6 = 15

...................................

...................................

...................................

x – 4 = – 12

..................................

..................................

..................................

– 8x = – 24

...................................

...................................

...................................

2x = x – 3

...................................

...................................

...................................

31

31x =+

...................................

...................................

...................................

...................................

0,75 + x = 0,5

..................................

..................................

..................................

..................................

0,5 . p . 0,75 = – 3

...................................

...................................

...................................

...................................

65x

41

=+

...................................

...................................

...................................

...................................

21y

53

=+

...................................

...................................

...................................

212x =−

..................................

..................................

..................................

5t23

=

...................................

...................................

...................................

3y3

10−=−

...................................

...................................

...................................

32x

41

−=

………………………..

………………………..

..………………………

..………………………

121x3 −=

………………………..

………………………..

..………………………

..………………………

83x

72

−=−

………………………..

………………………..

..………………………

..………………………

56)

83(t

54 −

=−⋅⋅−

………………………..

………………………..

..………………………

..………………………

x21

47=

...................................

...................................

...................................

...................................

2316

x6,1=

..................................

..................................

..................................

..................................

x2,1

31=

...................................

...................................

...................................

...................................

9b.2=36

...................................

...................................

...................................

...................................

107

31x

52

=⋅⋅

...................................

...................................

...................................

...................................

9084

3014x

207.

103 −

=−⋅⋅

..................................

..................................

..................................

..................................

30 = 1,5 . x

...................................

...................................

...................................

...................................

x – 1,5 = 3(1 – 0,05)

...................................

...................................

...................................

...................................

3.5 Oplossingen van de oefeningen Oef 1

V = {9} V = {- 8} V = {3} V = {- 3}

V = {0} V = {- 0,25} V = {- 8} ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

127V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

101V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

25V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

310V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

31V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

38V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

361V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=1621V V = {- 4}

V = {12} V = {2,3} V = {3,6} V = {2}

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

421V

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

21400V V = {20} V = {4,35}

3.6 Interessante sites http://home.pi.be/ursula/wiskoef/2vglopl.htm (vergelijkingen oplossen)

4 KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN

4.1 Definitie In een vorig hoofdstuk hebben we lineaire vergelijkingen leren oplossen. Daar kwam de onbekende slechts voor in de eerste graad. Een vergelijking waarin de onbekende voorkomt in de tweede graad noemt men een kwadratische of tweedegraads vergelijking of ook een vierkantsvergelijking Algemene vorm: ax² + bx + c = 0 met b, c ∈ |R , a ∈ |R 0 en x de onbekende Voorbeeld: x² – 5x + 6 = 0 Deze vergelijking oplossen wil zeggen dat we waarden voor x zoeken, zodanig dat als we in de vergelijking x vervangen door die waarde, er een gelijkheid staat. vb: vervang x door 4:

4² – 5.4 + 6 = 16 – 20 + 6 = 2 ≠ 0 4 is dus geen oplossing van deze vergelijking

vb: vervang x door 3: 3² – 5.3 + 6 = 9 – 15 +6 = 0 3 is dus oplossing van deze vergelijking

vb: vervang x door 2: 2² – 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 2 is dus ook een oplossing van deze vergelijking

We kunnen dan aantonen dat 2 en 3 de enige oplossingen zijn: V = {2,3} Hoe we deze waarden vinden bespreken we in volgend item.

4.2 Kwadratische vergelijkingen oplossen in |R We kunnen uiteraard de regels van rekenen met gelijkheden toepassen, maar in de meeste gevallen vinden we daar geen oplossing mee: vb: 4x² – 5x + 6 = 0 4x² – 5x = – 6, maar dit levert nog geen oplossing. vb: x² – 1 = 0 x² = 1 V = {1, – 1}, hier mag je uiteraard de tweede oplossing niet

vergeten!

Bepaalde tweedegraadsvergelijkingen kunnen eenvoudig opgelost worden:

4.2.1 Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het product van twee factoren

Hierbij gebruiken we volgende regel: Het product van 2 factoren kan slechts gelijk zijn aan 0 als minstens 1 van de factoren gelijk is aan 0. (rechtstreeks gevolg van een eigenschap van de reële bewerkingen) A.B = 0 A = 0 en/of B = 0 Een tweedegraadsvergelijking wordt zo omgevormd tot het product van twee eerstegraadsvergelijkingen, deze kunnen we reeds oplossen!

vb (x – 2) . (3x + 1) = 0 x – 2 = 0 of 3x + 1 = 0 1. x – 2 = 0 x = 2

2. 3x + 1 = 0 31x1x3 −=⇔−= V =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

31,2

Nu zijn er allerhande truukjes om een tweedegraadsvergelijking om te vormen naar een product van twee factoren, maar dat valt buiten het bereik van deze cursus. Daarom bespreken we vooral de algemene oplossingsmethode.

4.2.2 Algemene oplossingsmethode Een willekeurige tweedegraadsvergelijking kunnen we herleiden tot de standaardvorm ax² + bx + c = 0 We gaan nu deze vergelijking omvormen tot een product van twee factoren. Dit is een omslachtige berekening die we nadien niet herhalen, maar we zullen slechts het eindresultaat gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+−−−−

=a2

ac4bb,a2

ac4bbV22

Dit lijkt dus hopeloos moeilijk, maar we stellen nu:

Discriminant: D = ac4²b − dan wordt de oplossing al veel eenvoudiger: ax² + bx + c = 0

a2Dbx

a2Dbx

2

1

−−=

+−=

Er zijn nu 3 mogelijkheden: D > 0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−+−

=a2

Db,a2

DbV

D < 0

D heeft dan geen reële betekenis, zodat we geen reële oplossing voor x hebben! V = ∅ D = 0

a2bx

a2bx

2

1

−=

−=

V = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

a2b

Samengevat hebben we volgende mogelijkheden:

D > 0 2 verschillende oplossingen: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−+−

=a2

Db,a2

DbV

D < 0 0 oplossingen V = ∅

D = 0 1 oplossing (of 2 = oplossingen) V = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

a2b

4.2.3 Voorbeelden 1. x² – 5x + 6 = 0

D = 124256.1.4)5(ac4²b 2 =−=−−=− 11D ==

a2Dbx1

+−= = 3

26

1.21)5(

==+−−

=−−

=a2

Dbx 2 224

1.21)5(

==−−−

V={2, 3}

2. – 2x² + 3x – 1 = 0 D = 189)1).(2.(43ac4²b 2 =−=−−−=−

11D ==

a2Dbx1

+−= =

21

42

)2.(213

=−−

=−+−

=−−

=a2

Dbx 2 144

)2.(213

=−−

=−−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= 1,

21V

We voeren hier de controle uit voor x = 21 , maar opgelet! Vaak is de controle moeilijker

dan de berekening zelf!

044

46

42

0123

412

01213

212

?

?2

=−+−

=−+⋅−

=−⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

3. x² + x + 1 = 0

D = b² – 4ac = 1² – 4.1.1 = 1 – 4 = – 3 geen reële oplossing!! V = ∅

4. x² – 6x + 9 = 0 D = 036369.1.4)6(ac4²b 2 =−=−−=−

00D ==

=+−

=a2

Dbx1 326

1.20)6(

==+−−

=−−

=a2

Dbx 2 326

1.20)6(

==−−−

{ }3V =

5. – 2x² – 3x + 1 = 0 D = 17891).2.(4)3(ac4²b 2 =+=−−−=−

17D =

=+−

=a2

Dbx1⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

−+

=−≈−+

=−+−−

4173,

4173V75,1

4173

)2.(217)3(

=−−

=a2

Dbx 2 25,04173

)2.(217)3(

≈−−

=−−−−

4.3 Speciale gevallen Met speciale gevallen bedoelen we hier kwadratische vergelijkingen van de vorm ax² + bx + c = 0 waarbij b = 0 en/of c = 0.

1. b = 0 ax² + c = 0 ax² = – c ac²x −

=

gsinoplosreëlegeen0ac

ac,

acV

acxen

acx0

ac

21

⇒<−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−−

=−

−=−

=⇒≥−

2. c = 0 ax² + bx = 0 x.(ax + b) = 0

1) x = 0

2) ax + b = 0 ax = – b abx −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

ab,0V

3. b = 0 en c = 0 ax² = 0 x² = 0 x = 0 V = {0}

4.4 Oefeningen 1. Los op in |R

a. x² – 6x + 5 = 0 b. x² – 4x – 5 = 0 c. 9t² + 15t + 4 = 0 d. (p – 3).(p – 4) = 42 e. 14(x – 4) – (x + 2) = (x + 2) . (x – 4) f. 11x² – 55x = 0

g. x² + 1 = 0 h. x² – 1 = 0 i. t(2t + 9) = – 7 j. 3x² + 7x = 20

25

4.5 Oplossingen van de oefeningen 1.a. V = {5, 1} 1.b. V = {5, – 1}

1.c. V = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

31,

34

1.d. V = {10, – 3} 1.e. V = {10, 5} 1.f. V = {0, 5} 1.g. V = ∅ 1.h. V = { – 1, 1}

1.i. V = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −− 1,

27

1.j. V = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −4,

35

4.6 Interessante sites http://users.pandora.be/ka1/oefening/Vergelijkingen%20&%20ongelijkheden/niet%20openen/Vierkantsvergelijkingen%20(%205u%20).html (oplossen van vierkantsvergelijkingen)

26

5 STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN

5.1 Stelsels van 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden (2 x 2 –stelsels)

5.1.1 Voorbeeld: Dit lineair stelsel oplossen in |R 2 wil zeggen dat we alle koppels (x1,y1) zoeken waarvoor beide vergelijkingen in een gelijkheid resulteren. (-1,-6) is zo een oplossing voor de eerste vergelijking, maar de tweede

vergelijking geeft: - 1 - 3.(- 6) = 17 ≠ 0, en is dus geen oplossing voor de tweede vergelijking. Het koppel (3,2) is een oplossing van beide vergelijking en dus een oplossing van het stelsel 2 . 3 – 2 = 6 – 2 = 4 en 3 – 3 . 2 = 3 – 6 = – 3 In een vorig hoofdstuk hebben we al aangehaald dat we een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 grafisch kunnen voorstellen door een rechte. Als we dit toepassen op een stelsel vergelijkingen kunnen we puur grafisch al een belangrijk besluit trekken: Er zijn 3 mogelijkheden:

1. Het stelsel kan voorgesteld worden door 2 snijdende rechten, er is dan één snijpunt dat de oplossing van het stelsel voorstelt.

2. Het stelsel kan voorgesteld worden door 2 evenwijdige rechten, er is dan geen snijpunt en dus ook geen oplossing voor het stelsel.

3. Het stelsel kan voorgesteld worden door 2 samenvallende rechten en dan zijn er oneindig veel oplossingen, nl elk punt van die rechte.

Ter illustratie geven we hier de grafische voorstelling van het voorbeeldstelsel:

We merken dus dat (3,2) inderdaad het snijpunt van de 2 rechten is, en dus de enige oplossing van het stelsel.

⎩⎨⎧

−=−=−

3y3x4yx2

27

5.1.2 Algemeen Elk stelsel dat herleid kan worden tot de volgende standaardvorm:

⎩⎨⎧

=+=+

feydxcbyax

waarbij x en y de onbekenden zijn, en a, b, c, d, e en f ∈ |R

noemt men een lineair stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden. Om stelsels te kunnen oplossen moeten we rekening houden met een aantal rekenregels voor vergelijkingen.

1. A = B A + k = B + k met k ∈ |R 2. A = B k . A = k . B met k ∈ |R 3. A = B k . A = k . B

+ C = D + l . C = l . D A + C = B + D en k . A + l . C = k . B + l . D met k en l ∈ |R

4. A = B en B = C A = C Of samengevat: elke lineaire combinatie van 2 gelijkheden resulteert in een nieuwe gelijkheid. Voorbeeld: 1ste gelijkheid: 1 kg appels = 1 € 2de gelijkheid: 1 kg kiwi’s = 2 € lineaire combinatie 2 kg appels + 3 kg kiwi’s = 2 . 1 + 3 . 2 ( = 8 €)

5.2 Oplossingsmethoden

5.2.1 Combinatiemethode = rechtstreekse toepassing van regel 3, waarbij wel telkens het stelsel eventueel herleid wordt naar de standaardvorm. Voorbeeld 1

1y4y4

4y4x0

3yx21y3x2

==

=+⎩⎨⎧

=+=+−

We werken nu verder met een gelijkwaardig stelsel van 1 van de 2 gegeven vergelijkingen samen met de gelijkheid y = 1:

( ){ }

⎩⎨⎧

=+=+=+−=+−

=⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎩⎨⎧

==+

31211.21321.31.2

:controle1,1V

1x1y

2x21y

31x21y

1y3yx2

We merken hier dat eenvoudig optellen van de 2 vergelijkingen de termen in x laat wegvallen en we houden een vergelijking in y over. Deze is dan eenvoudig op te lossen.

28

Dit voorbeeld was nu zeer eenvoudig omdat de termen in x wegvielen bij optellen van de vergelijkingen, in andere gevallen hebben we ook een toepassing van regel 2 nodig: Voorbeeld 2

De termen in x of in y moeten worden weggewerkt, je kiest die met het minste rekenwerk! Hiervoor gaan we de vergelijkingen vermenigvuldigen met een geschikte factor.

2x26x13

26y0x13

1y3x427y3x9

13

1y3x49yx3

−=−=

−=+⎩⎨⎧

=+−=−

−

⎩⎨⎧

=+=+−

We krijgen nu weer volgend stelsel:

( ){ }3,2V369y

2x9y6

2x9y)2.(3

2x2x

9yx3

−=⎩⎨⎧

=−=−=

⇔⎩⎨⎧

=+−=

⇔⎩⎨⎧

=+−−−=

⇔⎩⎨⎧

−==+−

Voorbeeld 3

( ){ }2y

2,1V46y2346y23x0

1x2y

1210x22y

122.5x22y

12y5x22y

10y8x636y15x6

23

5y4x312y5x2

=−=−=−

−=−⎩⎨⎧

−==

⇔⎩⎨⎧

−=−=

⇔⎩⎨⎧

−=−=

⇔⎩⎨⎧

−=−=

⇔⎩⎨⎧

−=−−−=−

⎩⎨⎧

−=−−−=−

5.2.2 Substitutiemethode Deze methode is alleen interessant als één van twee onbekenden vlug berekend kan worden. Voorbeeld 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅−

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=⇔

⎩⎨⎧

=−=

21,3V

3x21y

9x321y

72x321y

7214x3

21y

7y4x321y

7y4x31y2

Voorbeeld 2

⎩⎨⎧

=−−−=

⇔⎩⎨⎧

=−=+

(*)7)x516(5x4x516y

7y5x416yx5

⎩⎨⎧

=+=+−1y3x49yx3

de factoren waarmee vermenigvuldigd wordt, worden tussen rechte lijnen naast het stelsel geplaatst

29

(*) 4x – 5.(16 – 5x) = 7

29x – 80 = 7 29x = 7 + 80

2987

29x29=

x = 3 In het stelsel kunnen we nu vergelijking (*) vervangen door x = 3:

( ){ }1,3V1y3x

3.516y3x

=⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

−==

5.2.3 Gelijkstellingsmethode Hierbij zullen we gebruik maken van eigenschap 4 in stelsels van volgende vorm: Voorbeeld 1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

−

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

25yx

(*)4

y352

5y

25yx

4y35x

(*) 4

y352

5y −=

−

4 . (y – 5) = 2 . (5 – 3y) 4y – 20 = 10 – 6y 4y + 6y = 10 + 20 10y = 30 y = 3

( ){ }3,1V1x

3y

253x

3y

25yx

3y−=

⎩⎨⎧

−==

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

Voorbeeld 2

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

=−−

−−=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

=

−−=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

−−=

(*)13

5x41x2

1x2y

13

5x4y

1x2y

35x41y

1x2y

30

(*)

21x of

105

10x10

5x10335x4x6

35x43x6

333

35x4

33

3x63

33

35x4

33

3x6

=−−

=−−

−=−+−−=−−

−−=−−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⋅

−−

=−−

Het nieuwe stelsel wordt dan:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⋅−=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

=2,

21V

2y21x

11y21x

1212y

21x

1x2y21x

Uiteraard zal een stelsel vaak niet onmiddellijk in een geschikte vorm voor één van de drie methodes staan, maar dan herleid je het stelsel eerst mbv de eigenschappen.

5.2.4 Speciale gevallen Identiek stelsel:

0y0x0

2y2x42y2x4

12

2y2x41yx2

=+⎩⎨⎧

=−−=+−

−

⎩⎨⎧

=−=−

Je vindt dus geen nieuwe vergelijking want we hebben eigenlijk twee keer dezelfde vergelijkingen, of we hebben een lineaire vergelijking met 2 onbekenden. De oplossing wordt: y = 2x – 1 of

( ){ }Rt1t2,tV ∈−= Vals stelsel:

3y0x0

5y2x42y2x4

12

5y2x41yx2

=+⎩⎨⎧

=−−=+−

−

⎩⎨⎧

=−=−

Geen enkele oplossing kan hier aan voldoen, de 2 vergelijkingen zijn tegenstrijdig! V = ∅

31

5.3 Oefeningen 1. Werk volgende 2 x 2 – stelsels uit:

⎩⎨⎧

+−=−+=

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

−=+=+

⎩⎨⎧

=−=−

8)xy(3yx34y2x3

4y9x35y6x2

46yx7)4y(3)6x(2

2y6x55y3x

20y6x19y5x2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−

=−

⎩⎨⎧

+−=−−−=+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

−

94

3yx

33y

2x

)yx(26yx2yx2yx

3yx11yx

1y4x

42

yx1

5.4 Oplossingen van de oefeningen oef 1 V = {( 2, -3)} V = {( -4, 2)} V = {( - 4, 3)} V = {( 4, 7)} V = {( 6, 4)} V = {( 2, 0)} V = ∅ V = {( 12, 9)} V = |R

5.5 Interessante sites http://home.pi.be/ursula/wisk3.htm#stelsel (2 x 2 - stelsels)

32

6 Veeltermfuncties

6.1 Eerstegraadsfuncties Definitie: Een lineaire of eerstegraadsfunctie in |R is een functie bepaald door het voorschrift:

|R → |R bax)x(fx +=a met a,b ∈ |R

f(x) noemt men het functievoorschrift. Voor elke x vindt men een bijbehorende f(x) = y. Men noemt deze functie een lineaire of eerstegraadsfunctie omdat in ax + b, x hoogstens in de eerste graad voorkomt. Nulpunt: Belangrijke punten voor elke functie zijn die punten waarvoor de functie nul wordt.

Voor een lineaire functie, die punten waarvoor f(x) = ax + b = 0 of x = ab

− , dit is

hier duidelijk maar 1 punt: het nulpunt genaamd. Vb: f(x) = 2x + 3 met f(2) = 2.2 + 3 = 7; f(-1) = 2.(-1) + 3 = 1 en

033323.2

23f =+−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− (nulpunt!)

Grafiek: Bekijkt men { }baxy)y,x()x(f +== als de verzameling coördinaten van punten in

|R , en tekent men deze punten, verkrijgt men de grafiek van deze functie. In module 1 hebben we al gevonden dat y = ax + b de vergelijking van een rechte voorstelt. De grafiek zal dan ook een rechte zijn. Voor een rechte heeft men met 2punten genoeg, maar ter controle berekent men 3 punten

Voorbeelden: f(x) = 2x + 3

We merken op dat het nulpunt het snijpunt van de rechte met de grafiek is!

f(x) = x – 2

33

f(x) = x

een rechte door de oorsprong!

f(x) = - 2x + 1

f(x) = - x – 2

f(x) = - x

34

We merken op dat bij f(x) = ax + b de rechte stijgend is als a > 0 en de rechte is dalend als a < 0. Speciaal geval: a = 0 f(x) = b men noemt dit een constante functie.

vb: f(x) = 2 Grafiek:

Deze functie heeft geen nulpunt! Tekenverloop: Als je naar de voorbeeldfuncties kijkt kunnen we daar een algemeen

tekenverloop uit afleiden: a > 0 stijgende rechte:

a < 0 dalende rechte:

6.1.1 Oefeningen 1. Maak de grafiek van volgende functies, bereken ook telkens de nulpunten.

a. f(x) = 1x21

−

b. f(x) = -2 c. f(x) = 3x . (-x + 1) + 2x + 2 (2 - 3x) + 1

x ab

−

f(x) - 0 +

x ab

−

f(x) + 0 - ab

−

ab

−

35

7 Inhoudsopgave

1 SOORTEN GETALLEN ................................................................................................... 2 1.1 Natuurlijke getallen ............................................................................................................. 2 1.2 Gehele getallen ..................................................................................................................... 2 1.3 Rationale getallen................................................................................................................. 2 1.4 Reële getallen........................................................................................................................ 3 1.5 Complexe getallen ................................................................................................................ 3 1.6 Opmerkingen........................................................................................................................ 4 1.7 Interessante sites .................................................................................................................. 4

2 BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN ................................................................ 5 2.1 Inleiding ................................................................................................................................ 5 2.2 Hoofdbewerkingen............................................................................................................... 5

2.2.1 Terminologie ................................................................................................................................... 5 2.2.2 Eigenschappen van breuken ............................................................................................................ 5 2.2.3 Rekenen met breuken ...................................................................................................................... 5 2.2.4 Wetenschappelijke notatie............................................................................................................... 6 2.2.5 Absolute waarde van een getal ........................................................................................................ 7

2.3 Tekenregels........................................................................................................................... 7 2.3.1 Tekenregel voor twee tekens na elkaar ........................................................................................... 7 2.3.2 Optellen en aftrekken van twee getallen ......................................................................................... 8 2.3.3 Opmerkingen:.................................................................................................................................. 8 2.3.4 Tekenregel voor vermenigvuldigen................................................................................................. 8 2.3.5 Product van twee getallen ............................................................................................................... 8 2.3.6 Product van meerdere getallen ........................................................................................................ 9 2.3.7 Tekenregel voor de deling............................................................................................................... 9 2.3.8 Quotiënt van twee getallen:............................................................................................................. 9

2.4 Volgorde van bewerkingen.................................................................................................. 9 2.5 Oefeningen ............................................................................................................................ 9 2.6 Volgorde van bewerkingen................................................................................................ 12 2.7 Oplossingen van oefeningen .............................................................................................. 13 2.8 Interessante sites ................................................................................................................ 14

3 LINEAIRE VERGELIJKINGEN................................................................................... 15 3.1 Gelijkheden......................................................................................................................... 15

3.1.1 Definitie ........................................................................................................................................ 15 3.1.2 Werken met gelijkheden................................................................................................................ 15

3.2 Vergelijking ........................................................................................................................ 15 3.3 Lineaire vergelijking.......................................................................................................... 16

3.3.1 Definitie ........................................................................................................................................ 16 3.3.2 Werkwijze om een vergelijking op te lossen:................................................................................ 16 3.3.3 Voorbeelden: ................................................................................................................................. 16 3.3.4 Evenredigheden............................................................................................................................. 17 3.3.5 Speciale vergelijkingen ................................................................................................................. 18

3.4 Oefeningen .......................................................................................................................... 19

36

3.5 Oplossingen van de oefeningen ......................................................................................... 20 3.6 Interessante sites ................................................................................................................ 20

4 KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN...................................................................... 21 4.1 Definitie............................................................................................................................... 21

4.2 Kwadratische vergelijkingen oplossen in |R ................................................................... 21 4.2.1 Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het product van twee factoren.............. 21 4.2.2 Algemene oplossingsmethode....................................................................................................... 22 4.2.3 Voorbeelden .................................................................................................................................. 23

4.3 Speciale gevallen................................................................................................................. 24 4.4 Oefeningen .......................................................................................................................... 24 4.5 Oplossingen van de oefeningen ......................................................................................... 25 4.6 Interessante sites ................................................................................................................ 25

5 STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN .............................................................. 26 5.1 Stelsels van 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden (2 x 2 –stelsels) .................... 26

5.1.1 Voorbeeld:..................................................................................................................................... 26 5.1.2 Algemeen ...................................................................................................................................... 27

5.2 Oplossingsmethoden .......................................................................................................... 27 5.2.1 Combinatiemethode ...................................................................................................................... 27 5.2.2 Substitutiemethode........................................................................................................................ 28 5.2.3 Gelijkstellingsmethode.................................................................................................................. 29 5.2.4 Speciale gevallen........................................................................................................................... 30

5.3 Oefeningen .......................................................................................................................... 31 5.4 Oplossingen van de oefeningen ......................................................................................... 31 5.5 Interessante sites ................................................................................................................ 31

6 Veeltermfuncties.............................................................................................................. 32 6.1 Eerstegraadsfuncties.......................................................................................................... 32

6.1.1 Oefeningen .................................................................................................................................... 34 7 Inhoudsopgave................................................................................................................. 35