Het dynamisch gedrag van een zonne-verwarmingsinstallatie

Citation for published version (APA):Thomassen, A. A. J. (1975). Het dynamisch gedrag van een zonne-verwarmingsinstallatie. (EUT report. WPS,Vakgr. warmte-, proces- en stromingstechniek; Vol. WPS3-75.08.R239), (TU Eindhoven. Fac.Werktuigbouwkunde : afstudeerverslagen). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1975

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 07. Aug. 2020

,

WPS3-75.08.R239

EET DYJ:JAM.ISCH GEDRAG

VAN EEN ZONNE - VERWARMINGSINSTALLATIE

A.A.J. THOMASSEN

Het studeerwerk is verricht in de periode

november 1974 tot september 1'975 ,

onder leidi van Prof. ir. C.W.J. van Koppen,

in de vakgroep W.P.S., afdeli werktuigbouwkunde

van de Technische Hogeschool te Eindhoven.

Als studeerb leider trad op Ir. L.S. Fischer.

Met dank aan de heer van Walde en de heer de ,Jongh

van het rekencentrum, en arm le anderen dlie

hebben bUgedragen tot het tot stand komen

van deze eindstudie.

Eindhoven, september 1975.

- 2 -

In verband met de fluctu~ties in de intensiteit van de

zonnestraling en in de interne warnteproduktie in een won1~~

moet de reeeling van een zonne-verwarmingsinstall;ttie ter­

wille van het komfort a:l_n be:Ja;::üde eisen voldoen.

In de vakgroep WPS is op het ogenblik een zonneverwarmings­

installatie in ontwikkeling.

Tot nu toe waren daarvan alleen een aantal st~ltionaire

karakteristieken beoacüd.

Van de installatie is een wiskundig model oogesteld, a·~ de

hc:md waarvan het dynamisch gedrag kRn worden onder zo eh t,

m.b.v. een analoge rekenmRchine.

Op grond van de verkregen resultaten kunnen d~n beoaalde

eisen m.b.t. de regeling van de z.v.i. worden geformuleerd.

Bovendien wordt de invloed van beoaalde orocesparameters

op het dynamisch gedra,g van het systeem nagc~~rvm.

Inhoud.

Samenvatting

symbolenlijst

1. Inleiding

- 3 -

2. Algemene beschrijving v.d.

3. De kollektor

3.1 Algemene beschrUving

3.2 Ene ebeschouwi en hU

st onair bedrijf

stal la tie

3.2.1 Kollektorerft encyfaktor

3 .. 2. Z Warmtetransportefficiency

3.3 Ene ebeschouwingen bU

ins tionair bedrljf

3.4 De energiebalans van de glaspl

4. Hei;. opslagvat

4.1 Algemene beschrUving

4.2 Modelvorming

4.3 Schakelfunkties

4.4 StBlsel vergelijkingen

5. De luchtverhitter

6. 'H&t huis

7. H~t genormeerde stel v

7.1 Amplitudenormering

7. 2 Tijdno me ring

ijkingen

pag.

5 11

1 3

18

18

21

21

23

28

37 42

42

44

47 49 53 56

61

61

70

8. De regeling van he't zonneverwarmingssysteem 72

8.1 De regeling van de koll tor 72

8. De regel van het verwarmings teem

8.3 Proportionele terugkoppeling

9. Het rekenprogramma

10. Berekeningen

10.1 Invoergegevens

10.1.1 Variabele proces~roo den

10.1.2 Vaste procesgrootheden

10.2 sul trlten

10.?.1 ektorrendement

10.2.2 Opslagvattemperaturen en

aftaphoo e

74 76

79 83

84 89

92

1 î. Conclusies

12. Aanbevelingen

Li t.eratuurlijst

figuren I t/m XXIII

- 4 -

Appendix A: kollektorefficiency.

Appendix B: de warmteoverdracht tussen

absorptieplaat en glasp~aat.

100

102

103

Appendix C: voorverwarming van de ververs slucht.

Appendix D: het normeren van variabelen bU gebruik

van een analoge rekenmachine.

Appendix E: het digitale rekenprogr::1.mna.

Appendix F: r::e-:. analo rekenprograr'l<'n<L

,, ,.

F

c

- 5 -

Benaming

kollektoroppervlak

bui tenmuLtroppervl te tussenmuuro o ;e rvl 'Ik t • v.~l. luc•:LveY'l1i LL"

. :. ; . '·;,,',V

n

•' i i t.

{\ !) tl <c~.l "' n t r : 1l j

=( 1/r'l .~ tn.n11(

,f' t'

huiF; Ytu

'l-!

kolL>'ktoref' i iPncyfrthtor

; E

nk:tie van de 1\J)ll "tor·

Eenh

fP

Pl

-:

Pl , ; 1H -c vï. m

Til t lm ,." :-: c 1·1.~1.k. , •'i I . r· n ,1 oJ l . lnkties v.d. koll t r c·j "'t

f'o t/m F3

p V

nar1r elementen 0 t/r1 4 v.h. o;_1:~1

sch elfunk es voor massastromen

binnen het opsla~vat

sch;:tk(c; funktie voor

vat --

F v1 t/m F'v 4 se es v:u: f~ Fl ii L r;

Gr

H

H

I

L

M

V

d c

schrtke funktie voor t)'.i~,~. "Jh

warmtetrn.nnporteffi r~j

ken tal van .;1~ hcJ ~· C c

hoogte v het oos ~~v:t\, m

Jen;:rte v.d. vinnen in l:1.cht:v•) rwarmer m

~armtebron W

k lektorlengte m

nax i rw, J waarde v.d. massastromen

dimensielo~e massastromen

. s

resp. m,. u, m 1 ;n ,., m .1 n ')

w, L.w, r, { r· M MMM M

Qv R

s T

T0

t/m T 4

T''

T a T

b T'

c Tf

T n

T.s fuit

T g

T k

T11

Tl2 T .

rrnn

Tmax T

u

Tw1

Tw2 T

p rn -'-pb

ÀT T

u

- 6 -

bewolkingsfaktor

ken tal van Nussel t = o(1 ·de

~1 kental van Prandtl J.71

voor lucht b~ ~ 50 °C door de kollektor netto opgenomen

warmtestrooT'l

overgedragen warmte in luchtvoorw.

warmtewee and

geabsorbeerde stralingintensiteit

kamertemjl:îeratuur

temperaturen in het onslagvat

temp. v.d. voorgewarmde lucht

buitenluchttemp.

temn. v.d. tussenmuur

instat. uitgangstemo. v.d. ko ektor

instat. temo. koll torvloeistof

(in aopendix B ) ingangsternp. kollektorvloeistof

w w

W -2 .m

Cr. 1

V

stat. ui tga.YJgs temp. kollektor'rlo ei stof 0 (' J

temp. glasoppervlak kollektor °C

(in appendix B ) K ter1p. b tenmuur

ingaande luchttemp. luchtve tter

uitgaande luchttemp. luchtverhitter

minimale niveau kamertemp.

maximale niveau kame rt eT'lp.

temp. opslagvat

•.:ie vm tertemp. l uch tverhi tter

uitgaande watertemo. luchtverhitter

absorptiepl tema. absorptieplanttemp.

v' oei s tofkana.al t jes

=Tf'-T,O" cL 0

= dT/dt

t.p.v.

warmteoverdr. coeffi ei ent ' c t: . aosorp .,lee (lflt rts Ra. t

On

') 1

W -'- On-' • m • u

u1 u; v3

vl V s V

w w

w1

w2 w g a,b " (" v 1' J2

eb

cl

ck

es

c w

c p

d

g

h

hv l

( m. c ) p g

- 7 -

stralingsdeel van U

benadering van u1 inhoud huis

luchtvolurne in luchtverhitter

materiaalvolune in luchtverhitter

watervolurne in luchtverhitter

warmtecapaciteit kollektorelement

met lengte 1 en breedte h

warmtecapaciteit kollektor

warmtecapaciteit oaslagvat

warmtecapaciteit glasplaRt

constant en

inte~ratieconstnnten

soort. warmte binncmn~ur

soort. warmte lucht

soort. warmte buitenmuur

soort. warmte plaatmateriaal

in luchtverhitter

soort. warmte water

soort. warmte absorptieplaatmat.

uitw. diam. kanaaltjes in koll. ópp.

inw. diam. kanaaltjes in koll. opp.

dikte tussenmuur

spleetbreedte tussen absorptieplaat

en glaslaag

dikte buitenmuur

vinafstand in luchtvoorwarmer

dikte isolatielaag in spauw v.huis

zwaartekrachtversnelling

hartafstand kanaaltjes in

kollektoroppervlak

warmteoverdr. coeff. tussen

p~pwand en vloeistof in kollektor

vinhoogte in luchtvoorwarmer

= (h-d)/2

warmtecanaciteit glaslaa~

~er OiJP· eenheid

r -/ 0 -1 W.m -. C ') 1

W -c oe-• m • m)

m3

f'l '3

m3

J oc-1 -1 • • m J.oc-1

J.oc-1

J.oc-1

-Î 0 J. kg . c

-1 0 -- 1 J. kg . c J.kg-1.oc-1

1 , -1 u.,-1 u • Kg • u

1 '1 J k -, o"-• ('~ • I

IT1

m

m

m

m

m

m -2 m.s

m

m

m

m

It.

m1w

m2w

m1r

m2r

ml

mk

mo t/m m3

mv n

n V

q

l r

t

x,y,z

- 8-

= (U/,.~)~ massastroom water door één

kollektorkanaaltje

massas om door kollektor

massastroom water door

verwarmingssysteem

~m 1 w , retourstroom van mîw

= m2 , ourstroom van m2, _w w massastroom lucht door verwarming

massastroom water door b~stookinst.

onderli massauitwies tussen

elementen 0 t/m 4 van opel

= (2~/~ À )t V V V

aantal elementen .• waarin het

vat schMnbaar is verdeeld

aantal vinnen in de lu.chtvoorwarm(:3r

door de kollektor netto opgenomen

warmtestroomdichtheid

stralingeverlies glasplaat

reflektiecoe . van de glasplaat

voor zonnestraling

tUdsvariab e v.h. fysische proces

lengtecoördinaten

willek ge w.-=nrde van y

dimensi oze temp. = T/Tm

dimensi oze temp. verande

= T p -- Tpb

- T g T' g

convee eve warrrtteoverdr. coe''C.

glas-buitenlucht T - T .

= 1 _ mln T - T . max m1n

convectieve deel van U

convectieve warmteoverdr. coeff.

l ucht-tu s e:r.rmur

convee eve warmtec:vei'dr. coe

buit ucht-buitenmuur

=T/T m

-1 k~,;. s

-1 kg.s

-1 kg. s -1 kg.s -1

kg.s -1 kg. s -1 kg.s

; -1 Kg.s

W.m

s

m

m

'V -2 n ~ • m • \,.;

w -2 o 0 -1 VI • ffi • '

Vl. m-

o(gz

o(l

o(pz

o(r

o<str

o(t

- 9 -

absorptiecoeff. glas a:lt

voor zonnestrali

warmteoverdr. coeff. aan de

ebtzijde van de lu tverh.i.tter

absorptiecoeff. absoyptieplaat

voor zonnestraling

warmtedoorgangscoeff. door ra~en

stralings warmteave r. coeff.

asplaat-buitenlucht

warmtedoorgangscoeff.

a•bsorptieplaat-bui tenlu t

warmteoverdr. coe

vinnen v.d. lu tve r;ter

warmteoverdr. coeff. aan de

waterzUde van de luchtverhitte~

tijdno rmeringsfaktor

lingshoek v.h. kollektoropp.

dikte absorptieplaat

dikte vinnen in de luchtvoorwarmer

1

emis ecoeff. glasplaat voor

warmtestraling

emissiecoeff. absorptieplaat

voor warmtest ing

golflengte van cht

gel dingscoeff. isolatie

in de spauw van het huis

eidingscoe . buitenmuur

gel di coeff. lucht

geleidingscoeff. tussenmuur

gelei ngf3COe 1'f'. absorpti

eidingsco f. vin~utcri

lrn_t

in de luchtvoorwarmer

kinematische viscositeit V[li1. l. Ll

vine ciency

t

-2 oc~-1 W .m • ,

0 -~

W -L o,.,-• • m • v

~N •

grad

m

m

- Î 0 -\\'.n1 • r;

'.!' -1 0 ,-1 H • ill • V

2 -1 m • s

~V ~b ~i ~k ~l ~p ~s

1:g2z

indices: m

g

b

z

l

- 10 -

vinefficiency luchtvoorwarmer

Jichth d tussenmuur

dichtheid isolatiemate aal

dichtheid buitenmuur

dichtheid lucht

dichtheid absorptiepla~t~ate~i

dichtheid aatmateri

in luchtverhitter

dichtheid water

constante van Boltzmann 5,7 x 10-8

- ~-) kg. m .~

-3 kg.m _j

kg.m · 7

k (; m- J h•

··z 7 -j

Kt,.m

-3 kg.m

kg.m-3

W -2 K-4 • m •

tijdvariab e v.h. gesimuleerde proces s

transmissiecos . van enkele

a slaag voor zonnef> trali

transmiss i ecoeff. vrm duo bele

glasplaat voor zonnest ing

maxim e war',rd e

glaslaag kollektor

tussenmuur

zonnestraling

lucht

k buiten!lluur

luchtvoorwari'ler

absorptieplaat

kollektor

V

p

c

f vloeistof in ko ektor

s plaatmateriaal in luchtverhitter

- 11 -

Een nieuw modewoord heeft z~n intrede gedaan:

milieuvriendel~k.

In de ogen van vele wereldhervormers heeft ook de zonne~J ie

zd.ch onder deze categorie gescha<trd.

Ondanks de sympathie voor deze euwe vorm van energie­

voorziening, staat men er in Nederland echter nogal

sceotisch tegenove~. Door z~n vrU noordel~ke ligging

en zijn zeeklimant is Nederland, vooral in de nterperioden,

wanneer de energiebehoefte het grootst is, niet erg royaRl

bedeeld met zonnestraling.

Voor de critici is dit reden om tegen de zonne~nergie een,

overigens ongemotiveerd, nee te zeggen.

Wil de zonneëner e in Nederland als bron voor huisver­

warming enige kans maken, dan z:il de kleine hoeveelh d

zon die we hebben, zo optimaal mogelUk moeten worden benut.

Gepoogd is in deze studie een bijdrage te leveren tot de

optimalisering van een zonneverwarmin installatie.

Van een dergelijke installatie i's een rekenkundip; model

gemaakt, waarbij is uitgegaan van een in Eindhoven te

bouwen zonnehuis.

Het model is zodanig algemeen oogesteld, dat het ook ges Kt

is voor het doo~ekenen van enigs ns afwijkende im3tall i es.

Een aantal nu.rnE~ cke voorbeelden en b eringen z

echter gebaseerd op de specifieke grootheden van de

nog te bouweü, exp erif'len tel e won i n's.

Wanneer het model wordt bruikt om anderssoorti

woningen te beschrijven, moeten deze benaderi en krLtlsch

worden bekeken en zo nodig aan past.

Een moeilijkheid het opstellen van het mod w~s aat

een aantal gevens van de te bouwen installatie nog

onbekend zijn.

Dit houdt in dat het slechts gedeeltelijk in overeen­

stemming is met t werkelijke systeem.

- 12 -

Pas wanneer de installatie is afgebouwd, k[ln door verge­

lijking van berekeningen en experimenteel bepé1.ald e wr1.arden,

de nauwkeurigheid van het model worden vastgesteld.

Op dit moment kan hierover geen enkele garantie worden

gegeven.

Een andere ontbrekende schakel zijn de klimatolo;:sische

gegevens. Deze stochastische grootheden kunnen alleen

door meting worden bepaald. Zolang dit niet is gebeurd,

zal moeten worden volstaan met het hanteren van

gevoelsmatige waarden.

Verder is de warmwatervoorziening niet in de Lerekening

opgenomen. Hoewel hierover geen cUfers bekend z~n, is te

verwachten, dat deze een vrij ged.ng effekt zal hebben.

Globaal gezien bestaat een zonneverwarrningsinstallatie uit

de volgende onderdelen:

De kollektor, wa~rin de door de zon afgegeven stral

wr:.rnte wordt sorbeerd. De~:;e geabsorbeerde ;J craL. "'-

warmte wordt overg ragen aan een door de kollektor stro­

mend medium, wFuu·voor water is :~ekozen.

Het opslagvat. Om over het verloop vqn de dag ootredende

fluktuaties in de stralings ten tei t uit te dempen en C''I

de nacht ijke oeriaden te overbruggen, worrl het van de

kollektor afkorr1sti verwarmde w~üer gebuPferd in ee.:~

cilindrisch vat met een inhoud van 5 m3 . De luchtverhi tter. Het gebufferde wRtE:r wordt, al nan.r

gelang de behoefte, gebruikt ~rn lucht te verhitten, die

op haar beurt weer wordt gebruikt on de ruimtetemoeratuu

in het huis on het gewenste veau te br en en te houden.

In de luchtverhitter nu wordt de warmte van het water

overgedrRgen aan de lucht.

thuis, waarbinnen zich de te conditionet~en lu0htnass'l.

bevindt.

;)e bijstoo nst la tie. ]eze dient voor het toevoer'(;1~ van,

uit convention e brandstof verkregen, warote in t~jden

waarin de stralingswarmte et toereikend is.

Om de loop van de verschillende energiestromen beter te

kunnen volgen, is figuur I de volledige t atie gesche-

matiseerd weerge ven.

- 14 -

De kollektor.

Deze bestaqt uit een van een stralingss ektieve coati

voo ene absorptieoln.nt, die a'm de bovenk;:Plt is afged + \)

met een glaslaag, en a~n de onderzUde is voorzien van een

dikke isolatielaag. Deze isolatie is zodanig, dat de warmte­

stroomweerstand ervan s oneindig kan word~n beschouwd.

t kollektoroppe wordt aan de bovenzUde getroffen door

zonnestraling, die onderverdt'eld kan wo en in een diffuse

en een direkte komponent. De richt van de direkte st i

is gedefiniêerd door de verbindingslijn zon-kollektoroooe

diffuse strali e ter bereikt het kollektororpervlak

vanuit alle boven het kollelttorvlak egen ::nichtingen.

De globale strali

en diffuse strali

wordt ontvangen.

Meestal wordt de

intensiteit is de som van de direkte

e door een vl::J~ oer 0nervlakteêenh

obale stralingsintensiteit gegeven voor

een horizonta~1.l V'lak. De intensiteit op een r:ellend vlak

kan d;:.1n r:.. b.v. een bep de rekenprae e hieruit worden

beo d. Zond er hierop verder in te gaan, zij hi ·:?rV'~"--r vcr'­

wezen naar li t. G 2] .

Indien we verder eken over de stral

dan bedoelen we hiermee de blobale st

intensiteit E.J, ingsintensiteit o

t kollektorvlak dat geplaatst is onder een hoek a t.o.v.

horizontaal en een beoaalde oriênt ie heeft t.o.v. de

Noord - Zuid.

Door de glazen afd

e ekteerd en

rFtt wordt de s

absorbeerd. Na aftr

ing ged eel tel ijk

van deze verlies-

posten resulteert voor het absorotieoo~ervlak een netto

stralingsintensiteit S (W.m~ 2 ). Door het kontakt met de buitenlucht, z zowel de asol t

s absorptieplaat o erhevig aan convectie- en stralings­

iezen.

- 15 -

De kollektor wordt doorstroomd door een massastroom water mlw'

met intredetemperatuurTfin en uittredetemperatuur Tc.

vloeistof in de kollektor wordt beschouwd s een in

één ount geconcentreerde warmtecapaciteit met een ternoer~­

tuur Tf.

De energieve Ukingen voor de kollektor worden afgelei~

in hoofdstuk "3.

Het ooslagvat.

Vanuit de kollektor wo het verwarmde water ~eleid naar ee~

op agvat, waarin temperatuur-g aagde warmteon ag olaatsvi

Daarbij wo t gebrutk gema.rlkt van de , van de tei'lperatuur

afhank ~,jke, dichtheidsverschillen.

Via een van dun plastic folie verv :t.rdi e :;l~m;;, r:w:ndt de

van de ko tor afkon:stige ma:mastroom m1w uit dat niveau

van het opslagvat waar een Uke temperatuur Tc heerst.

De circulatiepomp is alleen ingeschakeld,wanneer het z.g.

aanslagoun t van de koll tor is overschred e:n, d.w.z. eh:; de

uitgangstemoeratuur van de ko ektor ho r is dan de tem-

oeratuur het onderste niveau van t oosl at.

Alleen in dat geval levert de kollektor oositieve ene e.

We voeren wat betreft deze gelaagdheid de volgende benade­

ringen in: --De gelaagdheid is perfekt d.w.z. er treedt

geen temoeratuurnivellering on t.~.v. conve tie

of geleidi vRn warmte.

e massastroom m1w mondt exakt ou dát niveau

uit dat een gel~ke temperatuur hee

Dit betekent dus dat verschillen diehUw d.

van et foliernateri· en het water worden

verwa·crloosd, en tevens dat er geen ving

optreedt, waardoor veranderingen in de temoera­

tuur T traagh dsloos door de slang kunnen c worden geval

Deze benaderingen ziJn gebaseerd op een studie van

van Bruggen L1 7] .

- 16 -

Het opslagvat heeft een aantal aftappunten oo verschillende

(temperatuur)niveau's.

Warm water wordt betrokken van een beoaald niveau.

Dit gewenste niveau wo t gereg d door ee::1 servosysteem,

dat on haar beurt weer wordt gestu~rd door het verschil

gemeten en gewenste waarde van de kamerternneratuur.

Na het nasseren van de luchtverhitter, die door water en

lucht in tegenstroom wordt doo open, wordt t w~ter weer

teruggevoe in het O'lfferva t, echt er on een lager ni ven u.

Voor de verwarmi van de woninB wordt een eveelheid 'Z,

vr:=m 1 m-'/u.ur lngeblne>;en, die Ln del tverhitter zijn

warmte on::teernt.

vendien doet de zonnestral zi in de wonlng rechtst r·e s

gevo en via instraling door de 08 het zuid n gelegen ramen.

Van de ingeblazen luchthoeveelheid bestaat uit retour-

lucht en 20c:l, uit van buitenaf aangezop;en verve "~~~1;_;sl'

Deze verversi ucht wordt aan de onderz;jde van rwt o:Js~

vat voorgewarnd, dat daartoe is voorzien van al i,lm

lamellen ter vergroting vm1 t verwarmend oooervl

Deze voorwarming heeft een tweeledig doel.

Op de eerste olaats wordt water van een la~~ temoera~uur-

niveau nog nuttig ~n.ngewend t.b.v. het verwarmi

Bovendien wordt door het afkoelen van de onderkant v·u1 het

O'JSlRgvrtt het a:nslagonnt van de kollektor ve r:=:tagd, wa·trdoGr

deze ook bU lage stralingsintensiteiten nog oositieve . , l energle Kan ~everen.

Tot slot van deze glob e beschrijvi iets ove de

bUstookinstallatie. Deze bestaat uit een ~aswnndboile~, die

het wA.ter het bove~ste niveau van het oo lagvat op een

konstante mi le temneratuur ho t.

- 17 -

D.m.v. een circ~lntiepomoje wo~d~ het water dit 8Cir-

cui t rondgenomo t. '1Je oomo wo rei. t uit schnk ei wanneer het

gewenste temoerqtu~rniveau is bereikt.

In de nu volgende ofdst~lkken zullen de hier in het ko:!~t

beschreven deelprocessen uitvoeriger worden berlA.nd d.

DaarbU z voor det lleerde afl dingen en berekenings­

metheden steeds worden verwezen nA.ar b~gevoegde anoen ces.

- 18 -

3. De kollektor. ------------

zonnekollektor is dat deel vqn de installatie w~larmee :ie

door de atmosfeer dringende strali wordt ingevangen, in

warmte wordt omgezet en als zodanig wordt ove edrngen aan

een watercircuit.

De eisen die aan een ko

hoge absorntie

tor st d warde~ zjn o.a.:

geringe warmteuitwissel met de amgevin3 uor eidi

en/of convectie en door emissie of re ektie van stralin·

Uit constr:.l.ktief oogpc;nt z'jn de volgende :na.q"';reg en genome

om n.an deze eisen zo ed mo :jk te voldoen:

de absorptieolaat is afgedekt met een enkele transparant

glaslaRg, teneinde convectieve warmteve ezen te benerken.

de achterkant VRn de Rbsorptieolaat is vo0~~ien van n

dikke isolatielaa~; de isolatie beschouwen we Rls ideaaJ,

d.w.z. er z geen WRrmteuitwisseling met de omgeving

ulaats hebben via de achterwand.

de absorotienlaat is voorzien va.:t..,stralingps'el tieve

l , die een hoge absorp eco~ ci~nt hee en een

lage emissieco~ffici~nt.

De ko ektoronuervla.kte is verdeeld in een a;mt::l p.arallelle

sekties, die allen doorstroomd worden met water. Zie r II.

ne parall le luméFtl t jes kon1en boven en onder samen in ee:1

verzaoelleidi

De lengte van de kanu_::ü tjes is , het kollektoropoervlak

is A. We de ni~ren de y-coördinaat evenwijdig aan de kanaal­

tjes en de x-coö inaat loodrecht daaroo.

- 19 -

Een dwarsdoorsn e o~ een willekeurige oln.ats y 1 toont de

volgende constructieve details:

guur 3. 1 =-)warsdoorsnede van het ko ektoro ervlak.

De variabelen die hierb~ voorkomen z \in : rn 'r en 'r . ~~f' p '

resp. de temperatuur van de vloeistof, de absorotie;ü::t',t

en de glasplaat.

In het gemeen kunnen we stellen dat

Omdat we het instationaire

Tf T

T 0

cr t:>

het

Tp(x,y,t), l

== T_ (x,y,t), 0

-= m ( t\ J..cr,x,y, J. c-)

systeem willen

bekijken, t onze in tere ;se vooral uit na:"l.r het v 00:0

van T1 s funk e van de t~jd.

Om de energievergel ijki voor de glasolnat, abso tie aat

en het circ erende water niet in de vorm van parti~le

di fferen ti aD.l ve :.~kingen met x,y en t als onafhank 'jk

variabelen te kr zullen we de verschillende warrtecaoa-

citeiten in één punt oncentreerd denken.

We benaderen de verschijnselen in de kollektor dus

quasi-stationair.

- 20 -

Voor Tf' T8

en T~ die~en we een over het gehele kollektor­

ooDervl~k gemiddelde wn~rde te nemen, resp. Tf- Tf(t),

T - To(t), p

T - T (t). rç g

Omdat er in de quasi-station~ire benacleriru~ een eenduidL"

VBrb~nd best~at tussen Tf en T , p

elimineren.

kunnen we bovendien

Om dit doel te bereiken zullen we in de nu volgende

rp L

;J

par~grafen eerst een kollektor-efficiencyfaktor en een

warmtetransnortefficiency definiëren, met behLÜD wc:tarvan

we de gemjddelde temperaturen in res;. x- en y-richting

r1an een bepaalde ~eferentietemperatuur kunnen relateren.

- 21 -

In stationaire toestand hebben we te maken Jllet de

onafhankel1jk variabelen x en y.

Een stationaire temneratuur geven we a~n d~8r een hoog

geplaatste index s, Ts .

Een instationaire temperatuur

symbool zonder index.

Dus : T~ = T~(x,y),

Ts = Ts(x,y), p p

T: = T:(x,y).

Wanneer we nu een doorsnijding

wordt aangegeven door het

r1aken on een willekeurir;e

l t ( . <='. TI) n aa s y 1 z1e Ll~uur ~ en de variabelen ~iddelen over x,

houden we over: T~ = T'~(y 1 ),

De gemiddeld oo

netto opgenomen

waarbij geldt:

T's = p T~(y1)'

= T:(y1).

een bepaalde nlaats y1

warmtestroom-dichtheid

q_ ( y 1 ) = S -U r T; ( y 1 ) -

door de absorotie,la~t

bedraagt q_(y1),

(3 ~ ) \ . '

) Hierin is S de door de absorptieplaat per m- geabsorbeerde

-2 straling in W.m .

U de warmteoverdrachtscoëfficiënt vnn de absorp~~i.e­

plaat na:l.r de gl~UHJlaat, waarin zowel str:lline;

als geleiding en convectie zi.in verNerkl.

In aonendix B wordt on de~e coëfficiënt

nR.der ingegc=um.

- 22 -

We z1jn he t bij zo n d e r tere~'seerci he t v e o o o v :1 n

de vloeistoftenpc.r:ltuur, o:mdn.t deze ci.e eveelheid getrml.s-

porteerde wn.rmte bep t. De absorptieplaattem'Jeratuur 'P D

is een niet interessante otheid.

We zouden daarom vgl.(3.1) liever schrUven in de vorm:

q(y 1)::: F'f S-U (T;(y 1)- T:(y 1 ) )} ( 3. 2)

faktor F' is de kollektoref:ïciencyfaktor, een

dimensieloze grootheid, die bep cl wordt door een tweet

warmtestroomweerstanrlen n.l.

de geleidingsweerstar.d in de a.bsorr1 eo~a:it in x-richtinf

de warmteoverdrachtsweerstand tussen de pijnwand en het

langsstromend medium in de kan tjes.

Voor elke soort konstruktie v~n de absorptieiJla~t kunnen

we een ei koll oref_:'iciencyfaktor beo en.

ze is uitsluitend afhankel'jk vr:tn de geometrie en neerr.t dus

voor een beoac de kollektor een ko:!'lstante wn.ard 1.:

Steeds geldt dat O<E''~ 1.

In aooendix A is voor de in figuur 3.1 geschetste konstruk e

een formule eid voor F'.

We vinden hier dat

F' = h U.h

Tevens z'jn in a:::>pendix A enkele voorbe den uitgewerkt.

- 23 -

In het vooreaande is de x - afhn.nkel ijkheici uit de verschi::_­

lende grootheden ge~lirnineerd. Deze zUn echter ook nog

rrfhankel ijk van y.

We beschouwen nu ~én plrrrrteleruent met breedte h en lengte 1,

(zie fig. 3.2)en nemen aRn dat de temDeratuurprofielen in

x-richting r;elï.ikvorP1ig z:jn voor elke waarde van y, m.rt.w.

F' is konstrtnt over de gehele lengte L .

. I'M

figuur 3.2 princiueschets van een kollektorelement.

Door het kanrtrtltje wo~dt een konstante ~assRstraom ~geleid.

In de station~üre situatie k·.lnnen Ne voor een elem"'nt,je dy

nu de volp;E:'nde ener·giehalrtns ooc;chri,ivel'l:

/ ' \ "' rJ ..)!... d f'l ~3 ( ) CJ.\.f;.h.lly -~ n.Cw"'If\Y.

r:: et q ( y ) c:: F I { ~î - u ( T ~ ( y ) -

kr~jgen we een eerste orde differentia~üverge1-iking:

- 24- -

met als randvoorwa~rde T+-. voor y= 0. 1.1n

Door integratie over L kunnen we hieruit een gemiddelde

temperatuur T~ benalen:

=

Bekijken we nu de kollektor even in zijn è;ehee~.(zie fig.

c~. ~)

(~.l

De massastroor:-t in de toevoerleiding_,naar de kollektor is m1w.

Deze snlitst zich in

een a~tal kleine stro-

men rn, die parallel

door de kollektor lo~en.

Het aantal kana~ü tjes

bedraagt 1 ·: h ,

zodat we vinden A ~

m1 w = L. h ·Ju

L

door de kollektor.

- 25 -

Wanneer we nu aanneBen, dat alle parallelle kanqaltjes volkomen

identiek zijn, voldoet vgl(3.4) voor het gehele onoervlak.

Indien we substitueren m = m1w.LÄh , vinden we als

gemiddelde temperatuur van het doorstronende water:

De door de kollektor netto opgenomen warmtestroom is:

L C{u. ~ t l A. q,L~)·d.~

,..,.~t '\r l ~ Î ~ ~ ' t s - \,\. ( 1' L ~! - T;t s) l ' Hierin (3.3) gesubstitueerd geeft:

~ " t_- t t s -s -u. ( '{ ~ ->;. s - t )-n\' f~ :"~~u '«]} J'<

~ ~ -<:.\ l .:.,._ .Cw r ( "'--p· U,_ .\ ~ % ~ l s- Ul-q·~ - \) r -c 1..\.À. L \ - .. ~\" \.- ".;. c., ~~

_ t S - U(l{;_ -'i'))· ~l~~w ~- '"\' l- ::'.~j] S·bJ. rR :: wt\VJ. Cw r I - GV~tt' (- B ~)- u.)l

R · U.. l ~ /V"ltw .Cw J

~ ~ 'rRt s-U(~~-T;)~ We hebben nu een eenvoudige relatie gevonden, die de energie­

winst van de kollektor oer onoervlakteëenheid (?;eeft als

funktie van bekende grootheden.

- 26 -

FR is de warmtetransportefîiciency, een dimensieloze groot­

id, die aangeeft de verhouding tussen ie werkelUk opge­

nomen hoeveelheid warmte en de warmte j:Jpgenomen zou z;

wanneer de kollektor een uniforme temperatuur zou hebben,

ijk aan de ingangsteropera tuur van het wat er, T +'-i • ~L _..t....n

voor F' g dt dat O<FR"'S:.1.

Me op dat,in te stelling tot F', aîhankel ijk is VCJ.n

één extern opgel e otheid, n.l. m1w.

I

I '3 I

~I ____.- I

~ I

~

.~i;....---" \f(~) I

-- -- J

0

figuur 3. 4 kwal i tc.ltief beeld van de tempera tuurverci r.g

in de stromingsrichting van de kollc~uor.

I 3 4 · · d t t · · t t Ts' ' n g. . z~n e s a 10na1re emper~ uur . rlYJ en de

gemiddelde tempe T~ weergegeverj11s kwalitatief beeld

bU enkele waarden van de massastroom. l 2 en 3 ~

analoog aan de l 1jn 1, naar r<ebben betr ng on kleinere

waarden voor m1w.

- 27 -

In figuur III is in aansluiting op het voorbeeld in

appendix A, het verlooD van FR weergegeven voor een aant·ü

waarden van f!l 1w. Tevens is hierin het effekt van de

kollektorefficiencyfaktor F' op FR weergegeven

Uit figuur III blijkt dy_ideLjk dat grotere waRrden Y'''l

m1w en van F' een gunstig effekt hebben 'lD de faktor FR.

Rest. nog te vermelden dat in de stationaire situatie de

gemiddelde vloeistoftemDeratuur T~ in de kollektor lineair

evenredig is met de intensiteit van de door de absorotieola~-Lt

geabsorbeerde zonnestraling, s en wel Tf = a.S + b, waarin a en b kow"tan~J.n zijn.

Door n.l. vgl.(3.G) in (3.5) te substit~er8n, vind~n we:

Ts f

s +-u +- (Tf. - Ts 1n g

,, ~) ) -u .

Indien Tfin en T ~ konstant z ;jn, t::>

wordt _1_( FH a = U 1 - -p~)

H1

en b = Ts + (T Ts) ~ g fin - g · F'

( 3. 8)

( j. 9)

(3.10)

- 28 -

In de voorafgaande pn,ragrafen hebben we relaties afgeleid

voor de vloeista emperatuur als funktie van de ingevange1:

hoeve heid st ing voor een stationaire oestand.

We zullen nu de3e relaties gebruiken om instati re

vergeLjk en, dus met o~sl ermen, a te leiden.

Daartoe rnaken we weer een doors

pl s y, en beschouwen de ener

met lengte dy en breedte h. ( ie

N ldt ~ = ~ (y tî u ge : ~ f _._ f \ , , ,

q = q(y,t),

T g

ng o~ een willekeuri~e

ebalans v~n een element

''L:. I) .

;" · '\.l 'i ;t Î ~~ - ,;., c"' <ITf h·,~ - ""f ~ :~'i,t) c.l'ê- - v~, J. T1; ,-tJ J'a = o

~. a.ll( ±' - ~ 'w -~\j.(j);.} -'Wl.. 'ê>lj(tt;t)- \J.k 'clTt>(~;t)- o V ~) ') 'cl'} \ 'dt P "dt -

1

met m massastroom vloeistof in één kana' t e (k~~· s-''

W f = warLJ.tecapaci t t vlo eistof in een p;jp je met len_gte

1 en diameter d

Wb = warmtecrmaci tei t pijpje + absorptierla:tt voor ee

paneeltje met lengte 1 en breedte h.

We kunnen nu met een zeer goede benadering stellen t

è)Tf(y,t) ""óT2(y,t)

"'()t 6t

Wanneer dan Wf + Wb = W , en

"'h ,t.) =: t='{ <;,-u (11 h,t) '!- ( t))} ( "'-<'1'\~k M.t (:3.2))

\JO\~t ~

J..~t"- U.(T{h,t) -T,tt))) - ,:" c., ~1~,t\ -vJ. ":Ï~'},tLo ('3.11

- :gg -

Uit deze partiële d.v. de temper~tuur Tf

lossen, is an tisch onmo ijk.

We zullen da~rof'lfoenoegen moeten ner1en met een ben~derde oplossing; we gaan daartoe eerst de partiële d.v. omzetten

in een gewone d.v. door vgl. (3.11) overdele teL te

middelen.

Dus Tf Tf(t) is de gemidd de vloeista em~eratuur b~j

instati%air bedrijf.

Hierin is T de ui tg~nc;stemperHtuu.r van het vr~ter, c . Tc(t) = Tf(y~L,t). Indien ook nu weer de temperatuurfunktie v or e kanaal-

tjes g ijk is, en rh L.h l t m1w·-r- , vo g :

-0

met w1 is de totale warmtecapaciteit van de absoroti laat

plus vloeistof.

Indien c en 0 de soortel~ke w~rmte reso. dichth d v~n p \p het pl~atrnateria~l z~jn en c en n de soortel;.ike warmte

w 'w reso. dichtheid van water, dan geldt:

A Hierin is h de totale lengte van de kanaal tcjes.

In vgl. (3.12) hebben we twee o bekenden n.l. Tf(t) ;:;n 'r' (tî. _" ~ -· ~ c \ I

We zijn geïnteresseerd in het verlooo vRn ';1f als funktie

van de tijd, ~"od we Tc(t) uit deze vergelijking moeten

mineren.

- 30 -

We gaan hierb~ als volgt te werk:

Stel we hebben een sta)vormige veranclering in cle strali.ngs-

intensiteit S, van s 1 naar s2 • ~~t---1 ..,-c In onderstaande guren is het verloop van de koll tor­

temperaturen aangegeven, in zowel stationaire als insta~jo~aire

toestand.

0

figuur 3.6 guur 3.7 verloop van de vlo stof­

tema. bij staovormige veran­

dering van de straling

idem als funktie van cle t'

als funk ti e v n.n de p la r1. t s .

s Ts ( ) T Tf(y=L,t). Tfuit = f c In de stationaire toestand waarin s ,,

vol Tf,(y) de ·-Q ~ '

In de st ionaire toestand wan.rin s s 1 ' volgt rn"" r ) de -- ,L, f\ y

BU een stapvormige verandering S, zn.l de temaeratuur

Tf(y,t) langzaam van toestt:u1d 1 nél.rtr toestand 2 bevvegen,

waarb3j op een ge en tijdstio "C de temoern.tuur Tt,(y,T0

) ' c ' volgens de ges opelde lijn verlooot.

,_, ... . \1·-~

1 ' Î • J_ ~1

l 2.

- 31 -

In de rechter figuur is voor twee punten y = y 1 en y = 1

het verloop van de temperatuur ~üs funktte vr1n de ti,id1 gegeven.

a y We willen nu aantonen dat bU benadering geldt

of m.a.w. dat

s T fui t - T c

We doen dit in twee stappen:

1. toon aan dat b

2~ toon aan dat a

Hieruit vCJlgt dan dat a

Uit vgl. (3.3) volgt:

\)OOï

Door deling volgt:

Indien nu E'' "" 0.95

u - 3.5

d = b =

c

y1 :

c : d

= Y~ I

y 1

1

1

: J.J .

·L

m 1w = ').1G';

1 = g

R = so ~-=42oo

c

hetgeen voor de bietbeschouwde installatie (het zonnehuis)

reële waRrden zijn,kunnen we b/d en y 1/L vergelijken.

(zie tr1bel 3.1)

y1

- 32 -

( m) b/d y1/L

1 0.122 0. 11 1 2 0.244 0.222 3 0. 3 61 0.333 4 0.474 0.444 5 0.587 0.555 6 0.695 0.66?1 7 0.800 0.777 8 (). 900 0.888

tabel 3.1 vergelijking van b/d uit fig. 3.6 en 3.7 me·t y 1/L voor een aantal wRa.rrten van y 1 .

Hieruit blijkt dat voor elke willeke 1lri,;e waarde van y de

benadering b/d = y 1/1 redelUk goed is, althans voor de hier

bedoelde kollektorgeometrie. NRarrnate de exponent in de

e-macht kleiner worrtt, zRl beter aan cieze t;eL'jkheid worde!'l

vold11.~1.n.

Vo6r de tweede stap gaan we uit van fig. 3.7

ne systeempararr~.eters zijn t.n.v. y = y1

exaKt d _

die t.o.v. y = 1.

Dit betekent dPtt de responsies op een veranderend ingangs::Ji ,:;-

naal op beide Plaatsen gel;jk zijn.

De karakteristieke grootheid is daarblj de t~jdconstante Tc'

die voor elke willekeurige waarde van y geldt.

Nu geldt voor twee volkomen identieke systemen, die alleen

verschillende begin- en randcondities hebben, dat de resuon­

sies op een ingangssignaal voor beide systemen gelijkvormig z:jn.

M.a.w. op een bepaald tUdstip ~c geldt a : b ~ c : d.

Hiermee is a;m;>;etuond dat door het invoeren van de benaderin!2:

s T fui t - T c

= ' 0 f'

aRngezien y 1 en re willekeurige waarden zijn,:

= s T fui t

L 1 slechts een gerin~e fout wordt

gE:introduceerd.

- 33 -

Voor de v,e::;:~l:e ~j(te::;~~:)~!~olgt:

0 l

Tt,Jt.) = -t LLT-t-~hJ ol~ - }f~tL; T~~\_ { ~ Jd-

-\ ~ lt~t - \c.~) ::. ~ - ___..___ --=-2.--=-'-----

s Hierin wordt T~ bep d uit val (~ ~) vooy.~ y = 1 i:) ,. \ ,..- • , I

-enT~ uit 1.(3.5). Vgl.(3.13) ingevuld in (~.12) eft :

Door hie n vgl (3.3) en (3.5) te subs tuer

R. -,:'is -l.\ l TW\ -'" ~l)} - 'Wt cA)tlt\

-~Iw cw {T~(t) + t +t{;. -~i~ -~)·u\'~~:·~ j~ -t-v.\,.", Cw ~~ -'- 2. 'WJIW. (w. \ltt)

\ I

+ /_/M1w· Cw{ T'!tll ;-~ -tt~ -T~ - ~) :·~~~t~~>(- ~")~ j~~l ~ o

o\ . \1 l'' l "'- t.t( \\-~ -T ~1)} _ W1 oi:~tl -t- 2 rn.."c{ 1'ÏN , ~

- :l. ""'.w .(w \{\);) + M;. ~~) -t:) l'R {\UA ;- 2. ""~"';Cw) = 0

- 34 -

-A l''lltT'\-~) -Trt\:)- t ~ - 'W\ ~~ -2.1vl,.,.c."(lf~) -t;~~

+ """"FR.lR ~ ;- 'l.'v'\w·(w..\ (-rp. -1:; k~ +( 2.. \tv) c _:I- . Ru -t rR- 2~'•1i_'V.Cw7~ s . :::. c """F 1 )l a-w. ~~-) \ 1-v ~ R T) U

Indien we voortaqn schr~ven Tf,T ,T bedoelen we hiermee c g Tf(t), resD. Tc(t), resp. Tg(t).

Dan vinden we tenslotte:

Naast de gemiddelde kollektortemDeratuur zijn we ook

geïnteresseerd in de ui tgangstempenltuur van de kollektor Tc(t).

Uit (3.13) volgt:

- 35 -

2_T~ i- ( l'K A l.\ + 2.\=R

-~T'Ir o\ ·. \(_ =. \=) W!IW" (W

+~ \"R.A.L\_z \-Rjl9 (h, .R z\"R 'M Cw "F) & '- t- -t- -, L\

IIIY. M(\11 "(.W \-" -~ )s (?,. ts-)

In vgl.(3.14) en (3.15) moeten we no~ een sch~kelfunktie

Fe invoeren, die gelijk is aan 1 indien de circulatieporrm is

ingeschakeld en gelijk aan o, indien de circulati eoomp is

uitgeschakeld. Het criterium voor het inschakele~1 van de

pomp is, dat de uitgangstemoeratuur van het C or de kollekte.

circulerende I'lediun hoeer is déi:l de temp'?n.tt 1mr in de

onderste laag vru1 het buffervat.

Indien de porno is uitgeschakeld, geldt: m1", ·.::: 0 "

FH - ()

T = T 1 . c .

Dit heeft dus als consequentie dat in vgl.(3.14) a.1le tP 'Irlt'n,

waarin de p~rameters I•'R en/ of rn 1vv voorkamen, vermeni gv' 2 c.i gd

moeten worden met de schakelfunktie F . c In (3.15) moet deze funktie zodanig aan de vergelijkinrs

worden toegevoegd, dat voor het geval dat

resteert T = T . c f

F c

Genoemde ver gel ijkingen kr~jgen d:1n de volgende geci:~n.n ten:

~

~~ ~

1 rlf-L I

,,

.j

~~

~ ~

l~lii-)l~ ~

I ç(j

~

' \

'-'l ::::5 ~

-('(

3: ______..,

+

Vl

P-\ 3-ct +

U1 '

(J.-0

~

I

9!~ IL

})-<'-~

+

rt:\~ .

~

lf ~-....__....,

+

- 37 -

Zie figuur IV.

We nemen aRn dat de glasplaat een uniforme temperRtuur

T heeft. fT ()

Indien T ~ omgevingstemperatuur a (me ) - warmtecapacj tE~i. t

p g glasop·J. pc•r

2 m

'"Cez - transmissiecoeff. v~w glas voor

zonnestraling

r - reflektiecoeff. van glas voor gZ'

zonnestraling

o( g z -- cl b s 0 r p t _i e c 0 e r f . i[ an g 1 a 3 '{ 0 cJ ~,

:":;Jnnes traling

= warmteoverJr. coeff. glas-b~~tenlucht

= globale stralingsintensiteit op het

hellende vlak in W.m- 2

Egw = emissiecaeff, van glas voor w:1.rmtestralinF>;,

wordt de energiebalans:

Enkele termen uit bovenstaande vergelijking behoeven nadere

toelichtine.

De warmteoverdr. coeff. U wordt in appendix B nader

uitgewerkt. We vinden:

U. (-r~ -T~') = o(t l~-T,_) + J- ~.J.._ -l é1-w e:,..,

qsl geeft de stralingsuitwisseling tussen de glaslaag

en de atrJOsfeer.

Wanneer vanuit de atmosfeer geen tegenstraling o.! "ats

heeft, geldt:

In werkelijkheid treedt wel teeenstraling oo, voornarnel Uk

afhankelijk van lllchtvochtigheid er1 bewolkingsgra~td.

Voor Nederlandse winteromstandigheden (zie li t. [1 2])

met een gemi cl de ld e waterdarups panning v rm 9 rli lli bar en

een gemiddelde temperatuur van 283 K, bl 'jkt volgens

metingen van de :red. Heidemij., de strr>..lingster;r, qsl

/ ~. . ;\ ( :. 'l bj

- 38 -

vrij goed te voldoen aan de relatie:

9,.'!.\ : E'lw t 13 (i- 0 11C"N) + s; l (Tl-T~)\ De faktor N geeft het effekt vrm de bewolkings a~~d aan.

Deze is van v e tor en ank el ijk , ma:t::-- en, (ook weer

voor Nederlandse omstandigheden) red ~jke sc:hntt

N = 0.6. Dan wordt tenslotte l t f 4 0 + 5 • 1 ( ~~ 1

(T - T ( ) \ gw l " .1. )

--d...g d.i. de convectieve warmteo'.rerdr. coeff. van de

glaslaag naar de buitenlucht.

Deze is voo rname2. ijk é1 fhank el ijk van de windsnelheid .l< Y; ,~[~

het glasopoervlak.

De invloed van eventuele neerslag war1t erbU verwaar­

loosd. Voor de windsnelheid nemen wee. voor Nederland ( - i \ representatieve a)emiddelde waarde v \ms ;.

t w Er is hier spr·ake van gedv1on~~er1 conv8ct_ie 1 wan.rbjj dus

Nu c::: Nu(Re,Pr).

Het zou te ver voeren om ae windsn ei d a.~ 'nrt L.:

in te voeren bU de vaststelling van ~e variabele coeff.~ . g

We nemen daarom genoegen met een elde wa.arde v;/:

o(g 114.3 (W.m .K- 1 ), zoals berekend uit de uurl se

waarnemingen van het KNMI (zie li t. [12]). --Tgz' rgz' ég.v' o(pz' f.pw

De griekse letters l:' y- f. e111 o( staan voor reso. > )

transmissie, reflectie, emissie en absorotie.

Warmtestralen kunnen we globaal onderscheiden n

kortgolvige en langgolvige stralen.

Volgens an is de stralingsintensi teit van een ; ieL<· 1r1

afhank ;jk v~.u1 de temperatuur en de gal eng te volgen~:;

figuur 3.8.

Voor literatuur zie J,:ichejew \:41 en ~own t_.s1 . Zonnestr ing is kortgolvig~ dit wordt nog in de hand

gewerkt, doordat de langgolvi infrarode straling in

de atmosfeer war geabsorbeerd. Zonnest en die het

aardoppervlak bereiken hebben daarom een gal engte

tussen 0 en 3 jJ.rrr.

- 39 -

figuur 3. 8 het golflenet,e-spectrum van wa:':'mtestraling.

Een lichaam met een (t.o.v.

zendt straljng uit over ee:rl 'leel breder :r;;] engte:<~ectrum

(0.8<~<40)Am). Voor een •!,lasplèî::tt moe:;e:" ., daarom onder­

scheid maken tussen een emissiecoeff. voor zonnestraling

(gz en een emissiecoefP. voor warmtestraling E~w·

Het kollek torrender1ent kunnen we a~mrnerk el Uk verbet eren

door de s trali ngsverli ez en nrw.r buit en tot 8\'r1 rr1i 1 i mi

te beperken. Twee maatregelen die we daart0u ~~nnen 1;r~ff~n

z~n: 1. de absorptieplaat voorzien van een soectr8al selec-

tieve laag, waqrdoor de emissiecoeff. voor infrarode

straling wordt verlaagd.

We rekenen hier met een absorptiecoeff. (voor

kortgolvige straling) van 0.94 en een

emissiecoeff. (voor langgolvige strrüing) van U.i.

2. De glaspl;nt aan de binnenzijde voorzien va.n een

infrarood reflekterende laa~. Daardoor wordt de

absorptiecoeff. voor langgolvige straling

terug~ebracht tot 0.2.

In onderstaande tabel z~n alle coefficiênten noc eens

elkaar gezet voor enkel glas. (zie lit. [14J p.4).

b;i ,J

absorp

met spectra~ü

selectieve

laqg

- 40 -

glasplaat

net frarood

refl eeterende

laag benam i

0.06 0. 12 abso - e oeff. voor zonnestr:::tling

Egw=d..gw 0.95 0.2 absorotiecoeff. voor warrr: testraling

""Cgz 0.85 0.79 transmissiecoeff. voor zonnestraling

o(pz 0.94 O.J6 absorptie2 eff. voor zonn s~r ing 1

Epw 0. : () 0.96 ;.3i ,H;ff.voor I

'-----'-------------+---------.-L--w arm t ':; ~:; t ral ing J

S = T -~ .E ~ 0.85 x 0.94 x E .8 gz pz o o I/Iet een infrarood r eeterende l g is . fi'

Omdat in de beschouwde collector een spectrf:lY ~3e PC 2:ve

laag is toegepast, zullen we in het vervolg de in dq

linker kolom gegeven waarden hanteren.

Door substitutie van (B.10) en (B.11) in (3.16), m

(1 - r - r ) ~ ~ = 0.06 gz gz

vinden we de volgende energiebalans voor d 2 per m oopervlak:

OJob Eo + Lt(T{-T~) = ( 'v\11C0, · ::~ + 2l) ~ -l T~ -TOl) Voor het tot.cüe kollektoropoervlqk l\ vw:rd t d~. t:

( -~' \

I ' , me ; n met W g

u 7 0 r; 2 ( rn· + ..) • 'j - \ .L f T ) ( 7 '1 ,. \ ' I, ) • 0 j

en Ta is constant .

Het stelsel ve

geeft nu de ene

vrm de kollek1:or.

. -: 1 __ '1K1 1' nfT __ en ( .z, 14·1) r" 4 c;,., \ e...-

. ', - .... _.• '\ ~~ • ,,- I ' \ ~) • ' _):1. / ;_j

ebalans voor de v rschill

• 1 7)

e delen

- 41' -

Aangezien U nog ste ds temperatuurafhmlkelUk is, vol s

(3.18), z~n t et- lineaire differenti ve elUkin l ..

.Deze kunnen we vvel oplossen, maar aangezien het een ~lanzT<:C,rL­

lijk deel van de (;apaci t t Vf:L"Yl de analoge rekenmachine

opeis:t, z we to genoodzaakt om voor J e gerni ddel ~:;

waarde aan te nemen. We kiezen hiervoor de waarde die U

heeft indien er een temperatu1rversclül is v:ui t10°C

tussen Tf en Tg en komen dan uit op een waarde van 3,5.

- 42 -

4. 1

Het opslagvat is een met water gevuld, cilindri.sch

dat goed geïsol erd is, zorlanir~ dat er gee!_ .varmtev8rJi.e

is nrt'~r de omge',;-5 ng. ( zie fig. 4. 1).

Om redenen, 1ie we ve erop zullen eve~, vc. el en

we het oosl ch1jnba~rr in -rijf gelijke de -jn, t/m 4.

We plaatsen een denkbeeldige sen :tin

verschiller~de ~e;n en.

figuur 4. 1 pr j e u et v a:-1 he J· ,} s ;~ 'l t •

, ~ r ,-•''~''-, L

m1w en t errttu~r

sla.ng ln he-r., cv•:3:"'

, wor·d t v_< \;

e~~ fl x lel rlnsti~

gemaakt; v 1 >:;e::oo era tuur-gel •

met een temperaLuur 1 •

- 43 -

Op de grootte van Tw 1 komen we nog terug in par. 8.3.

Behalve door de massastromen m1w en m2w heeft er ook nog

op de volgende manieren energie- en massauitwiss ing

met de overige delen van de installatie aats.

Uit element 3 wordt een massastroom rnk nanr ae gaswan~­

ketel gevoerd. Hierin wordt aan het water een zodani

hoeveelheid warmte toegevoerd, dat de ~emp ~ur

0 met 20 C toeneemt. De massastroom mk wordt n het

bovenste alesent teruggevoerd.

De massastroom m1 naar de kollektor wordt uit het r onderste element gehaald. Steeds gel

Vanuit de luchtverhitter wordt het dat mir = m 1 w.

de water

met een temp. T 0 in het op één na onder ~e element c WL

teruggevoerd. De massastroom is m2 . ~r

Steeds geldt d m2r m2w·

De verversingelucht wordt via de onderkant van het vat

geleid, en nee~t daar een hoeveelheid warm~P on.

De nadel'n Ti twerking van deze term '·~v c r

in appendix C.

- 44 -

Voor een meer fundament e fysische be;;c:n L:tNJ

We' het O-::Jslagv een vast coördinatiestel el t

nlaatsen (zie fig. 4.2).

We kiezen daarvoor cilinder-

coördinaten. De hoogte van

het vat is H. plaP. ts-

afhankel eid i?l r- en

~- ricl:tir..g va..Yl de diverse

variabelen wordt ver-

waarloosd. De temoera-

tuur van het water in het

vat is Tu

In het algemeen geldt dat:

T = T' ( ~. t). Ut u '

guur 4.

tenstel s v~:::.n r1 ~:>i.'

Het blijkt erg moeilijk om de stromi in het opsL 1~

en het verloop van de temperatuur· wiskundig te b

We hebben te maken met tw?!e afhanku1· 1l8.Y~l

massastroom en temperatuur en twee onafh co·

nl. tijd en plaats. Dit leidt tot een n1et ine

partiäle differentiaalvergelijking, die we zonder

hyb de rekentechnieken niet kunnen oplot3SE.m.

We beschouwen ter vereenvoudiging het systeem

mensionaal, met de hoogte z s en:i ol

Bovendien verwaarlozen we de in van

s ééndi.-

van viskeuse wr\jvlngskrachten, tr!li:;gheidskr:tchten en

veronderst ler. R.Lle :3tofconstrm ten

van de temperatuur.

.. . )

- 45 -

Verder nemen we een constante dichth d aan van het water

in het opslagvat. t lijkt enigszins tegenstrijdig

met het principe waarop de gelaagde opsl is gebaseerd

n.l. dichtheidsverschillen t.g.v. temperatuurgradiënten.

Toch is deze benadering geoorloofd en wel om de volgende

reden: dichtheidsverschi en spelen alleen een rol wanneer

ze de stroming daadwerk ~k beïnvloeden. Uit eerder gedane

exp menten (lit. [17J ) is gebleken dat de nslurf" in

het vat b~na traagheidsloos het gewenste temperatuurniveau

bereikt. De tijdsafhankelijkheid van de dichtheid is dus

verwaarloosbaar. De plaatsafhankelijkheid van de dichtheid

speelt b~ water ten ondergeschikte rol.

De temperatuur Tu van het opslagvat wordt beschreven door

een partiële differentiaalvergelijking • Om deze partiêle

d.v. om te zetten in een gewone d.v. met t als ge

onafhankelijk variabele, gaan we discretiseren.

We d en de hoogte H op in n elementen met hoogte H/n

(zie fig. 4.3).

Vanaf de kollektor komt een ingaande massastroom m1w

met een temperatuur Tc(t). Naar de luchtverhitter gaat

een uitgaande stroom m2 met temperatuurT (t). w . u Omdat we niet weten, op welke plaats m1w binnenkomt en

waar m2w wordt afgetapt, nemen we voorlopig aan dat deze

in- en ui tga;::mde stromingen bij alle enenten optceden,

waarna ~1e later le in- en uitgaande rnasoastromen op

één na nul maken.

De massastromen m1 t/m mn_ 1 geven de massauitwiss ing

aan tussen de verschillende elementen.

De massastronen nk, m1r en m2r worden even buiten

beschouwing gelaten.

- 46 -

... V\ ~ ~ .. •

M -10-(

. -..

..

... +~: ... 1

~ L"tl ·' T~~

... ~1\V

.. . P"'c: T~ L • ""i-1 .

.. .... L-1 r Ti.-1 --.. ... ... ... - ~ w., -.. 1. l T~

.. .. 0

figuur 4.3 verd ing van het opslagvat in een oneindig

A.·mtal elementjes. E ·elementje i met

hoogte H/n is een schijf zoals A.A.ngegeven

in fig. 4. 2.

Voor een willekeurig element i kunnen we de volgende

energieb ans opstellen, waarbU we de volgende 4 gevallen

dienen te ondersch den:

'tl!}n j \M·

L

~+I \1\11 .c Tc. I .

T:· I

L ..

- .. 1\V w .. 1 I. I

l+l:t"" . ("" T

W\-L--1

~-(

1._. IWiL / o ' ,.......,~-~ / 0 ~

~ ~ ;- w...~...., c.;r~ 1- """~ c....; Tt. - Wl~-~ cw. TL--l - Yl-11w cw Tc.. = o

- 47 -

1. W\~'";?0 >W\~_1 <0;

w, . o\T~ - - - -l -; o\t ,... WllW 'w \ ~ t Wl~ c~ I ~ - ~~-1 c..., . \ L -V111W c-... c.. :::. 0 (4.1-b)

~ . "W1 L .L o > Wl i. -1 > o )

~- ~ +M~,wcwTL tM~c~TÎ.-t-1 -Vr1~_1 s,_,.Tt:_1 -IY11 ..,Cw~:::.o (4,-i'-) Y) olt

4 t.v. Wl .c:..o· , Hj~ ..:::: 0 ) i.-1 )

v./1. -\1

erin is w2 de totale warm.tecA.paci tei t van het opslagvat.

Indien het volume is Vv' geldt:

w2

v. o .c (J. 0 c- 1 ). V \.W W

w2jn is dus de w.armtecapaci tei t va.n één element i net

hoogte H/n.

Voor de massabalans van een element i geldt:

(4.2)

4- •. 3 Schakelfunkties.

Het stelsel vergelijkingen (4.1a) t/m (4.1d) geldt voor

elk willekeurig element i. Bij een n-tal elementen moeten

aldus 4n v ~jkingen worden Op[;estelcL

Om nu de vier vergelijkingen in één vergelijking te kunnen

weergeven, voeren v1e de volgende z.g. schakelfunkties

Fi in; deze krijgen de wa:~.rden 1; of 0.

Indien mi ;>0, dan is F1 = 1

mi<::::. 0, dan is F i = 0

m1 _ 1 >0, dan is Fi_ 1 -

m. 1 .,; 0, dan is F. 1 0. l- ~ l-

Het po ti ef of negatief zijn van m1_ en mi_ 1 volgt uit

de massabalans (4.2).

- 48 -

(4.Ja) t/m (4 •. 1d) kan dan worden beschreven met één

vergelijking:

'IJ J.T~ \= \ -; ~ t ·rr\w 'w -T~ T ~ •mL c._, :-r: t- (I- "f~) \11'1.; c._, -r:+l

Een dergelijke vergel1jking kan voor elk willekeurig element

i wo en opgesteld. Nu is het zo dat, zoals re s

opgemerkt, slechts voor één element i een ingaande stroom

m1w en slechts voor één element i' een uitgaande stroom

m2w bestaat (zie fig. 4.3).

Voor elk element definiëren we schrtkelfunkties F ei en Fvi.

Deze benalen in welk element de kollektorvlo stof uitmondt,

resp. van welk ement water voor verwarming wordt afgetapt. )\

Voor dát element dat een ingaande massastroom,~l~lw heeft,

geldt :F ei 1. Alle overigen zijn dan ijk m:\·

Voor dát ement dat een uitgaande massastroom m2w heeft,

g dt: F vi I 0; le overigen zijn dan gelijk nul.

Opm. Indien g dt dat Fvi J 0, betekent dit nmg niet,

dat F . 1 , zo al s b ij F . • Vl ' Cl

Meestal nam ijk wordt m2w samengesteld door menging

van twee <Fmgrenzende elementen, i en i' , zodat

dan geldt: Fvi I 0 én Fvi' =I 0 , maar wel Fvi + Fvi' 1.

Voor een meer uitgebreide behand ing van de schakel­

funkties F . zij verwezen naar paragraaf 8.3. Vl

Vgl. (4.3a) kan nu worden geschreven s:

-- 49 -

In de voorafgaande paragrafen werd het opslRgvat schijn­

baar opged~eld in een oneindig aantal van n elementen.

Om tot een rekenmodel te komen dat geschikt is om met

een analoge re~enmachine te verwerken, dient voor n echter

een geheel, eindig getal te worden gekozen.

Gekozen is voor de waarde n = 5. Bij het maken van deze keuze hebben de volgende overwegingen

een rol gespeeld:

Door Close [20] zijn rendemen tsberekeningen uitgevoerd

bij verdeling in 3 en 6 elementen. De resul·,aten van

beide modellen toonden slechts kleine verschillen.

Close beschouwde dRaL·bij echter niet het effekt van de

gelaRgde opslag op de temperatuurregeling.

In het hier beschouwde systeem is die gelRagdheid

echter een essentieel onderdeel. Daarom :~,,.J rüeT een

groter aantal elementen een gunstig effekt hebben op .c

rekennauwkeurigheid.

Het aantal elementen wordt beperkt door de capaciteit

van de analoge macl:ine.

Een verdeling in 5 elementen is het maximaal haalbare,

omdat daarmee, samen met de overige onderdelen van he~

systeem, de volledige capaciteit is verbruikt.

Om een verdeling in een oneindig aantal elementen zo goed

mogelijk na te bootsen, wordt de uitgaande massastroom

naar het verwarmingssysteem, m2w, samengesteld door menging

van 2 armgrenzende elementen.

De verhouding waarin deze menging plaatsvindt, wordt

bepaald door de schakelfunkties F . , die in paragraaf 8.3 Vl

nader worden beschreven.

In fig. 4.4 is het deelsysteem opslagvat schematisch

weergegeven. Hierin z~n ook de retourstroom naar de kollek­

tor, m1r' de retourstroom van de luchtverhitter, m2r en

de massastroom door de bijstookinstallatie, mk' opgenomen.

~ ko\ \e\d:or

- 50 -

""Fe. I.\· Wi1w. c\y Tc.. Y' 4 •

h~ · WJ,w.Cw~ --- 3> •

V"-V\ ca\<t. b ~ ...,t:o .. 'k 'r\1 C (T3+2o) :rl<: 'k. ""

~r .... rn

T4 -,..

'1111:.;

.. 'WI T:.?. .. -

h-1~

..., t(. \i . cw :-F\1( ""-""«.r h1 <:.t-k) (

T-<-1 · \lt11w- cw ·Tc.. - -- 2. Tz. .. WJ

·~ ~,

rc..1- 'm,w,cw.Tc. _ -- Wl 11 1 4 ...

--~0 ....._

T-c. o · W11w • C.w .Tc.. .._. 0 To

~V - ,. ( ~w.~ ~..--te.

\.v.. ~J...t'\.)()Or......-.r lo\0\~r)

figuur 4.4 schematische weergave van het gediscretiseerde

systeem.

Nu geldt:

Indien To< Tc~ T 1' is F co= 1' Fc1=0, F c3=0' k' ~c

Indien T 1 <Tc~ T2' dan is Fco==O, Fc1=1, Fe k' -0 L c3~ ' F

Indien T2<Tc~T3' dan is F o=O, F c1=0, F 1 ' Fc3=0, F c4 c c

In di en T3<T -E;T,, dan is Ji1 co=O, F F c2=0, ~Î _.., F c ij. c1 L c3- I ' c4

Indien Tc -;>T 4 dan is Fco=O, }' c 1 =Ü' F F c3=0, F c2 c

m1r is gekoppeld JYJet Fe. Hier\Llor geldt:

F = F cO + F c1 +I'' c2 + F c3 + F c4' m,a.w. F :::::1 wanneer de c c

kollektor boven zijn a:tn agpu..n t zit, en de circulatieporno

is ingeschakeld.

1

- 51 -

Dus F c = 0, in di en Tc$: T'o.

Evenzo is m2 r gekoppeld met Fv' waarbij

F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4

• V V V V V

Zodra narnelijk het verwarmingssysteem geheel of gedeeltelijk

wordt stilgelegd, moet ook m2 r daarme parallel lopen.

Tenslotte moet nog vermeld worden de schakelfunktie Fk.

Hiervoor geldt: Fk = 1, indien de bUstookinstallatie is

ingeschakeld. Fk = o, indien dit niet het geval is.

Het systeem zoals geschetst in fiG(4.4) kunnen we volledig

beschrijven m.b.v. de energie- en massabehoudswetten

(4.3b) resp. (4.2).

Energievergelijkingen:

rz..\ e. 'M flV\t 4 ·.

o\\li_ +T,4

,..,. -ç: VI c...,. = W\~. "T; . ~ t=.,. + W\ ~ Cw -,- 1:. d.t . •r•.:z.w. V \.I,. WJ.. ~ ~ wl. ... Iw . W,t . I(.. I C.Lt

e.\~tW\evá. ~:

~ + T?> . Wl .l=v". ~ = W\.%T.2. ~. -"F.2. + ~ \3 ~.~w ( 1- \-2.\ cAt J.'o/ .. w;. w,_ vv,_ -J

e...\!.V\1\ e.. ..... t 2.. :

~ + TJ... . Wl~ .l=v..t . VI cV!- -= h-l ;Tl VIWc.,., ""F, -t WI,""T;" V\ '-w (I-"'F~ ol.t ." wJ.. ..t w"_ ".J

- nc. V\C. - --, ~( -\ +- W\ . T. I-c.l. . ~ -Wl,:T"l. ~ \-l. -'M.:z. :, . ,,, \-\-2..) Iw '- W4 vl"_ VVL

~ \~W\ a."'-\:. 1 ·.

(~- b)

- 52 -

Voor het vijftal elementen kr~jgen we de volgende

massabalansen, ontleend aan Vgl. ( 4 • 2) !

element 4:

m3 = m2w .F v4 - m1w .F

c4 - mk.Fk ( 4. 9)

element 3:

= m3 + m2w"Fv3 - m1w .F c3 + mk.Fk (4.10)

element 2:

m1 = m2 + m2w" - m1w.Fc2 (4.11)

element 1 :

mo = m1 + m2w"Fv1 - m1w"Fc1 - m2 • F r· v (4.12)

element 0:

0 = mo - m1w· J;1

c0 + m1 • F r c (4.13)

Uit bovenstaande 5 vergelijkingenfrolgt automatisch of

m0

, m1

, m2 en m3

positief dan wel ne i zijn.

Hieruit vol dan weer de waarde van de schakelfunkties

F0 , F 1 , F2 en F3 •

- 53 -

5 De luchtverhitter.

Zonder ons al meteen te bekommeren om technische details,

zullen we voor de luchtverhitter enkele algemeen gelder.de

energievergel~kingen afl den.

Als basisgegeven g dt dat de luchtverhitter aan de warme

z~de doorstroomd wordt met water en aan de koude z~de met

lucht, en wel volgens het princioe van tegenstroom.

We nemen een infinitesima~l kl n deeltje~x in de

stramingarichting (fig. 5.1).

De water- en luchtstroom worden gesch den door een metalen

wand, waarvan we de gel ei dingsweerstand vervn:arlo zen.

Bovendien verwa<trlozen we de temperatuurgradiënten in

langsrichting, zodat ook daar geen geleiding optreedt.

De volgende grootheden zijn hi erbtj van belang:

-- m1 , de massastroom lucht in (kg.s-1

)

-- m2w' de massastroom water in (kg.s-1

)

-- o(1 , de warmteoverdr. coeff. tussen wand en

langsstromende lucht, in (w.m- 2 • 0 c- 1 ).

--~w, de warmteoverdr. coeff. tussen wand en

langsstromend water, in (w.m- 2 • 0 c- 1 ).

Ai , het wartewisselend oppervlak aan lu tzijde per

lengteëenheid, in (m 2 ).

A~ , het warmtewiss end oppervlak aan waterzijde per

lengteëenheid, in (m 2 ),

Vi ,V~ , en V~ , de volumina per lengteëenheid voor

resp. lucht, water, en scheidingswand,in (m3). T1 ,Tw en T

8, de temperatuur van resp. lucht, water

en sch dingswand, in ( 0 c). In het algemene geval dt: T 1 ~ T1 (x,t)

Tw Tw( x, t);

Ts = T8(x,t).

- 54 -

figuur 5.1 elementair deeltje x in stromin richting

van de luch tverhi tt~er.

Als energiebalans voor het stukje ~x, genomen over een

infinitesimale tijd fl t, vinden w.:e:

voor de luchtz~de:

~A ct IT;_\ - T~\ \ àt - ~~ .v_t · c~ (~ \\ llt - T~\ ) A-x. \ x ~Tàx) + t

Na deling door 11x .Àt , waarbij A x -.o en Jj t_..... 0,

o\T,t I ~' ~ ... c.t. ~ +- ~ 'V~. c..){. * =cc::~ . ç::~.R (-r;, -\~

Idem voor de waterzijde:

Voor de sch dingswand:

( s .1.)

[ s,~)

Indien we voor de verschillende temperaturen een

verloop aannemen,dus

neair

dT 1 T12 - T11 dT T w1 - T w2 w dx =

Lw dx Lw

T11 + T.12 T T Tl w.1 + w2 2 T' w 2 '

- 55 -

waarin Lw is de lengte v.d. luchtverhitter, T11 en Tw 1 zijn ingangstemperaturen, T12 en Tw 2 zijn ui tgangstempera­

turen, vinden we voor (5.1) t/m (5.3) , indien we bovendien

T11 b~ benadering als bekend en konstant veronderstellen

en Tw2 als constant,

w'.l 'A (TJ.,_ -\~,) .;. ~~ 'JRc~. t ~t :: ~~ .R~ lTs-~; -'3t)

A1 en Aw is het warmtewisselend oppervl aan lucht­

resp. waterz~de.

v1 , V , en V de totale volu~ina lucht resp. water en W: S

plaRtmateriaal tn de warmtewies aar.

- 56 -

6. Het huis.

Zie figuur V. Wanneer we voor een woonhuis een warmtebalans gaan opstellen,

dienen we eerst goed te overwegen, welke invloedsfaktoren

we in de berekening zullen betrekken.

Enkele variabelen die niet in de vergelijkingen zjjn

opgenomen zijn:

--Zoninstraling op de buitenmuren en de ramen op het

oosten, westen en noorden.

Door de grote wn.r:1tecapaci tei t van de buitenmuren, heeft

dit effekt een grote tra:tgheid. De goede isolatie zorgt

er bovendien voor dat de respons va.n de kamertemperatlllur

op dit signaal erg gering is.

Een praktische r:weilijkheid b:j de verwerking van stra­

lingsintensi tei t als ingangssign. aal is het feit dat

het een stochA.si;i sche grootheid is, waarover voor

Nederlandse klimaatomstandigheden onvoldoende bekend is.

De invloed van de windsnelheid. Hiervoor gelden dezelfde

overwegingen als hierboven.

De warmwatervoorziening voor andere dan verwarmings­

doeleinden.

Het effekt van de inboedel, die als vmrmtecapaci tei t

fungeert. Ook hier valt weinig concreets over te zeggen.

De verandering in buitenluchttemperatuur.

We nemen een constante bui tentemperatuur a~m.

De grootte hiervan kan overi s wel gevarieerd worden.

Daar alle temperaturen in het systeem zijn gegeve~ als

verschiltemperaturen t.o.v. de buitenluchttemp.,

kunnen we een verhoging van de omgevingstemperatuur

met een bedrag6T weergeven als een verhoging van alle

systeei'ltemperaturen met eenzelfde bedrag Ó.T.

De thermische invloedsfaktoren die, althans globaal, wel in

de vergelijkingen z1jn opgenomen zijn:

De warmtecapaciteiten van de luchtmassa, de tuB~en­

muren en het hi.nnenblad van de buitenmuren.

Warmteverliezen door:

transmissie via ramen en buitenmuren,

afzuiging van lucht (80% van de ingeblazen luchthoe-

- 57 -

veelheid) en ventilatieverliezen (20% van de inge­

blazen luchthoeveelh d).

Warmtebronnen:

Ingeblazen lucht, interne warmteproduktie en zoninstra­

ling via de r~~en, gelegen op het zuiden.

Wat betreft interne warmteproduktie en zoninstr ing

stuiten we weer op het bezwaar, dat t stochastische

grootheden z~n. We kunnen daarom deze invloeden alleen

introduceren door een gefingeerde grootheid.

We zijn geïnteresseerd in het verloop van de kamertemperrltuu.r

T als funktie van de tijd.

Omdat we in de muren te maken hebben met een partiële

di fferen tian.l vergel~king voor de instationaire

warmtegeleiding •S-: a... cf Tl< ............... -\: a.= !::::tL 'dt 'd~ ~\(.c.~

die we analytisch alleen voor specifieke gev len kunnen

oplossen , gaan we de warmtecapaciteit van de verschi ende

lagen in het middelpunt van de desbetreffende laag

concentreren, terwijl we overal een rechtlljnig tempera­

tuurverloop aannemen. Verder nemen we aan dat zowel voor

de tussen- als voor de buitenmuur de temperaturen over

de oppervlakken uniform z~n.

Er z~n dus geen temperatuurgradiënten in vlakken

evenwijdig aan de wanden. Daardoor kunnen we de warmteca­

paciteiten als in één punt geconcentreerd denken.

Ook de warmtecapacit t van de luchtmassa wordt in é

punt geconcentreerd gedacht. t kan indien we in het

gehele huis een uniforme temperatuur aannemen.

Het is handLe~ om van het h e systeem, zoals geschetst

in g. V een elektrisch analo te maken, aan de hand

waarvan we de energievergelUkingen eenvoudig kunnen

opstellen. (zie g. 6.1).

Daarb~ beschouwen we de buitenlu temperatuur als

(constant) nulniveau.

figuur 6. 1

- 58 -

ektrisch analogon van de warmtehuishouding

in een woning.

De weerstanden H, capaciteiten C en bY'on.nen I hebben

de volgende waaY'den:

R\t, :. Rq. -=-

R\a _L - ol-1..

Rr :: ..L-«X.r

~K -2.~\(

qb -:: ~b· ~· c:Á~. Çlb

qJ. = ~Q.. c:.R . v~.

ql( : ~~. ck . cA\C.. H~

c{i:: ~i.c.~ ot~.R~

s~: ~ b =- ~\b+ ~2.h

R\ =- t?,\ -\-? 1-2

R2. = R\~ + R\4 ~~ :::: R\S + 'Rd,

Ru_:: ~\1 + R,a

- 59 -

Hierin is d de dikte van een bepaalde materiaallaag,

À de geleidingscoefficient,

c de soortel~ke warmte,

~ de dichtheiO..

De indices k,b,i,l duiden op resp. de buitenmuur, tussenmuur,

isolatie en lucht.

Verder is: Ab de oppervlakte van de tussenmuren,

A3

de oppervlakte van de buitenmuur.

Tg2 z de transmissiecoeff. van dubbel as voor

zonnestraling.

v3 het woningvolume

~b O.e w.o. coeff. tussen muur en kamerlucht.

~2 de w.o. coeff. tussen muur en buitenlucht.

lAr de warmtedoorgangscoeff. van O.e ramen.

Az het raamopp. aan de zuidzijde.

Ar het totale raamoppervlak.

Indien nu temperatuur analoog is aan ektrische spanning

en warmteweerstand analoog aan elektrische •veers tand, kun­

nen we volgens de wet van Kirchhoff uit het schema O.e

vergelUkingen aflezen.

Voor de binnenmuur, knoopDunt 1:

qh·~= ~b (T-Tt:.). fik> (t.1.)

Voor de luchtmassa, knooppunt 2:

q~ ·~ = I'W\,(C.~l~z.=r) +Eo .-z:-"_,.~· Rz.~ö' - Ry- :-c - \1~ .tr R T ,Q- R (T-Tt:,)_

'Rr I ~ IR.b ( b •2.)

Voor het binnenblad van de buitenmuur, knooDpunt 3:

Voor de isolati aag, knooppunt 4:

q. 1,..

- 60 -

Voor het bui~L,J van de buitenmuur, knooppunt 5:

( 6-s).

De laatste 2 vergel~kinge1zullen we in het vervolg niet

in de berekeningen betrekken, en wel om de volgende

redenen:

--door de goede isolatie (~i erg klein), is de warmte-

weePstand van de isolatie, R3 , erg groot.

Daarentegen is de warmteweerstand aan de buitenz~de, R4 ,

in vergelijking met andere weerstanjen , vr'j klein.

We concluderen hieruit dat Tk 1 in vgl.(6.5) niet veel

~l afw~ken van de omgevingstemperatuur.

De warmtecapaciteit Ci in vgl. (6.4) is erg klein.

We besparen ruimte op de analoge rekenmachine , die we

elders nuttiger kunnen aanwenden.

In vgl.(6.3) staat nog de term

Deze kunnen we goed benaderen door

R2 + R3 waarin dus R2 + R3 + R4 = 3.dkhÀk + di/,\i·

Uiteind ':jk resulteert dus voor het huis het volgende

stelsel vergel~kitigen

Voor de luchtmassa:

o\T~ ( 1=1, + R~ J~ = R1> T -+- i\ . CfK. o\:t l Rl. ;-R ~ + R~)q' 1<: R, ql'\

Voor de t,ussenmuur:

o\Tt, + qb .Th ~h ·T - -

~t ~'bqb \(:n q' h ( 6 -s)

- 61 -

In de voorafgaande hoofdstukken is een stelsel

differentiartlvergelijkingen afgeleid voor de kollektor

' 3.14a), ( 3.15a) en (3.17), het opslagvat

(4.4) t/m(4.13), de luchtverhitter (5.4) t/m (5.6) en

het huis (6.6) t/m (6.8).

In de aldaar gegeven vorm zijn deze vergel\jkingen

echter ongeschikt voor gebruik op een analoge reken­

r.:tachine. Om dimensieloze en vergelijkbare signalen te

verkr~gen, moeten we deze vergelijkingen nnar de runplitude

normeren. Omdat we het proces gaan versnellen, moeten

we tevens tijdnormering toepassen.

Voor meer informatie over het hoe en waarom van

amplitude- en tijdnormering zij verwezen naar appendix D.

Voor amplitudenormering moeten v1e voor de temperatu:een· T

en massastromen m maximale waarden kiezen.

De maximale waarden van de temperaturen worden aangegev2~1

door het betreffende symbool te voorzien van een index E.

De maximale waarden van de massastromen worden aangegeven

door het SYflbool M. We stellen nu T = dT

(ft .

De maximale waarden van de ter1peratuurveranderingen T

worden aangegeven door ook dit symbool te voorzien van

een index m, b.v. Tm

Op de volgende pagina is in een tabel aangegeven, wat

vroor de verschillende variabelen als maximale waarde is

aangehouden.

\oo

\oo

,, ..... :. \00

-rt~ 'ilool -::. T 0 w.. -= 5'" 0

T~w- =

T~""' = \;~ :.

-r;, ~ =

Twa.w.. =

Tw,""' :::

T~a.~ = T...\,""" =

T~""'

1.ooo

ioo

so

100

S'o

1S"

S"'o

- 62 -

. T~~ - \ ~ 00. "' ... z..

= lC o . VI Gw{WL

\ C 0 , VI Cw(Wz..

S'"O·

. ," ...... -. '~ =

Voor le massastromen m1w, m2w' mk, m0 , m1 , m2 , m3 ,

m1 , en m2 geldt een maximale r r 1 wHarde M van 0, 5 (kg.s- ) .

Nu is : s

- 63 -

E = Eo/ Eo ..... M,w = """•lo!ff M Ma = """~/M .e..tt....

E0 .-r .~ = O,B5x0,95xE0 = O,BxE0 gz pz

We krijgen àan het volgende stelsel genormeerde vergel ijkingen:

84 ~ - 1.f 1'1,.., .rv~ - M~ (, -1\)J e~4 -t--i M, r, e~ +\ 1'\., rut. e"

+\ \iK."""Fk (9!. +OJ2.). (1·U.)

e....\~-.c.""t ~ : ( ~A~t ui- 4-s)

G~ -= - i { jlJ a.w .l=v~ - M~ l I-r0 ;- M\ :r:!. + MK :-F\(J e~ + ~ 112. "F2. e2.

.tt..\~ ~e.""t -i. ·. ( ~-\. "i~ L; ·t)

~l ~ - -k: ~ 1'1 1., TVI - M0 (1-l=o) + M 11', \ E71 - 1'\1 (I-"F,) 9.2.

+ '1: Me~~ ro eo t- M1\o/""Fc.\ ec.. +1:: M:u~l=v. ew,_ (1·1)

- b'S' -

Q\.t ....... e."-1:. o Lv..\.t u~. ~-8 ~-1. Lr~ll'\ C.b ~\::.<:..~\.·h-~..<::Q..oroi.)

êo =. --i~ Plo >=o + M,. >=c 1 t~. -l Mo[l-1'0 e, T M,w . "Fco. e<.

,J.'I ~V ( 0 2 W\~ C.~ ~ g - c.~ ~cl" Rv ;-oJ :t Wit c~ ) o

Vho..s.S.O..~~O.~>~S t,+-"o..."'c. ( v3.1: ~~- 4-~ i/"""'. 4- l~

e..\~-w.rt"'-1:. 4.. ·. M~ : M:tw. "Fv4. - M,w rc.'1 - M~<. != ~<

~\rt ..... ~""-t ~ ·. M,_ : Ml. + M~~ l=v3 - M,w. 'Fe..:~. + MI< .1=\<

e.\t.-w.e.""t 2. •. M, -:: 1"1 ,_ + 1'1:~.~ .t=v-1 - M, \V • r C.;t

t..\t. w..C,"" -t 1..: Me ::: M, 1- M1W .l=y\ - M,w. rq -l'11.tt -""Fv e..ltW\ ....... t 0 : ö .:: ~ 0 -~lw · '"Fc.o + M1r· l=c.

C.u.tl.:lç, '14l r \... ~ \'trt v-1

J. u.. Jt\ ~ ~ olcz. (_ "'-~ t ~oj · s . 4)

e~,. -: t w.g c..~ -1::o<.R R~ ~.( c.~ + lc<:~ R.t

9 + o<:'~ A-t {;).~ ~I ~~ c.~ +t KJ(fl~

\..v..c..l.kr\..\..~~Lr- ....... )a .. :\:~r-z:~ch. ( .... \.t ~- s-.s).

(7 -8)

(1·Cj)

(l· \ o)

(1-\\) C:t. ~. 'l.)

lr · \ ~)

(}-14)

ew., = W) C _l.o( n 2 . :tw w /À w 1,w 'W\t..w C..vv +~cl.."" R~~v

9 + o<.w Hw 19 h .. rsl w, W! c. + ..L. "( R & ~ I )

~...., w .1L ..., ""

L~t-.Jtr\.~\\t.r, 'i.~'-ï.ol~~oo-.J. (~i: voj.. s-.b).

19~ : - e~ ,. ~ <XJ tt~ e + 'io(.t ~~ G o<J R~ -toêwAw ~\ o<i R ~ -te<..., Çlw ~2.

;... .,Jw Rw o(R. R~ +o<w çtw

±otw Rw .t;}w2 t?wl + C>{.t R~ +o<w Aw

( l· t 6)

~

'r+-_) ~------

..4 (/J

~

.(]) ()l

()'

~

LLI r+-

""( ("<(

J\~ _..../

rt-'

;\cJ-.......______,

~

+

ct\a1 )...

...,..

-J .A\-4

J .A

l--

a:~

Qt

...... +

-...,

N

v""" _;

<><' rr

.A

J. IC>(

1" er:

~

+

al

~

,.., +-

'1 ~~-

.. rf'llk ..:r

0:~

"-.!)

{-..3 -;+:"

. \.)

"'"

+

0 '-'>

~

·j

..::J' 1

' ~

. êfo

y. +

1='

(!) -:*:i

.(I) ')

~

w

~ 0

J..l Jo..

.(])Cl>(

1 -J

'1 .Q

:)<:> 0

~

c:rQl

.... 1 >-CP

-.........; '-.)

' a

l.ll .r

j,. >

-....!)

..... +

"

()!. ~

er !o

-....!) ...o}

Jl :S

:r """ J

~ ">

~

.Al A

:J

(): I

0

1 -....o

JIOt

1 ,11

' a:O

C

+ O

t s

.J -Ic-I

.... -r

t ....

"' ~

f' -.

.....

........ _;!

con IA

?~

m

'3 o

.r .)

~

,.. ,jl

(J) j~

\.)<>< v

r 3

.+-~

~ ~-1

""'( ,JI

>

~

....__

)

;\&

f 0

(

..P ..j-

-P

+-""

er: -.sa

o"'

._)

..... ei

OI'

~ ~

+

a(

~ o

[ .,.

"'\

~ s ~(ct

-1 --6

~ 0

t-4 ......

J ~lot

N

~

o-~Lr

~

,. +

>

m

(j)

J.. -+-

+

\.-L-

{ 1c~

\P

X,

:S ~

3 1

('(

:J ">

-~

m

J L-

0

{]) ~

J "'

<Y 11

~

? ...j.>

I,.. "

11 a)

,, ....

Jo.. ~

11 .Jl

~

-i <

)

I 11

J. 1

.l]) L-

(]) J~

-'

x ~

0 ">

0 0

("

~

.,Q)

!--'! ·..(l)

0 ~

c-l (])

>

.::.

=

Y\ + <;: I \l:

"'t ~ :i. / 'o :

Y\+ ~ T~ : 1 ~ :l. 'n

'n Y\(:i_ M. MI

'? l.I.\ --~:j_' \

4-: ~n:L ~ 1 t\. ~-4 e

G-,::L ... , "''w.) ~..; r+ 'rr 'cl . ~~ ~

: ~'(\:i.

c=L '"'J ~~ . """"' z-~:i"l + ::

~ Yl :i. 'n'tf~

M.') . ""'l.M "li 'n . ~:i.. \:i

:::. I :i.. :L

·M.:> ""'~ ~ r:L l::l 9

.::. ..S::L_:i..

(.:i..~ Yl M-;M\"""~ '()

~:L ~-:L s--8 ::.

tj ~-4 8

c=L M"} 1"11\.o\,\ ~~

'i~ :L -+ Yr tj ·~:i. ~ .:::.

~=L

M. ') • "''""' t

n·c:L'l:i :::. 1-:i..:L

- b9-

l= L2. o(R. \1~

- ~~ c J + 1_ o< ..t R ~

\OA (. - t o('a, R...., • "'•:~.w w .,.. l=W1. :: - '2.. • .1.. IN\'-'"' C.w -r 2.. o<w R w .

rw,_ ':.

1=-<.> -i. .::

-,::. s .:2.. -.::

"F s ~ :::

l=- s '-\ '::::

1=- T 1. =

l= T:l. :::.

t=T~ .:::

t=-T'-\ =

t: K =

..(.w Rw

""""l.w Cw + -i o(w R. w.

J._ o(A R..t .!:i

c:.~.-t fl ~ t- ""'~ R w.

~ c<..t R~

o<,R A~ + o(w 11\lir

ol..w Rw

«..t f\j + cl.w Rw .

.1.. o(w Rw 2..

o(~ Fl~ + o("' Rl\f.

Fh j R, ~'h. + ~>:... tiL ;-- 'IN\.( C; -t ~h l~r R\

.:2 V'V'\g (~ ~ 8y-~ +-f\ 11 + """' c. ~ + Rb Rr - ~ K\

Hblli

t9 ~ -T- /\N\J. CR + 8 b -t fit:_ R, ~b Rr

4 0 -r::-1-l. 'Z . f:\2. --;)~ 0 .

fu_ + _,..,_.,Jl (_ .R. + 'R h ;- ';\ Y'

R\ ~~ Rr.

R':L -;- R~ t- R4 'R \ + 1.?2. ;- R'3. +- R'lt.

I R --r:x..y 1/ \ --r=-\ - 2.., Cn ' ft - o, 2.. /'II'V\.Q )t

at I~ -..a p.. 1..~.-l ~

,.t U

J

,, .nr

.f­

u.J J ,..~--

I.Ll

~

j ~ . .f ~

~ t'l ~

r'-1

rr ,~

tl

? ' j..

'8 >

.1-

4

ILI

o ei'

(]) -1-

,,

- 70 -

Daar het werk ~ke proces zich afspeelt in een t~dperiode

die ligt in de ordegrootte van uren, moeten we dit proces

met een bepaalde faktor 1/~ versnellen.

Tevens moet bjj integratie van een genormeerde temperatuur-. . funktie T/T deze funktie worden vermenigvuldigd met

een faktor Tj~m , die de dimensie s-1 heeft.

Dit is noodzakel~k omdat door integratie van T/T' de

funktie T/T ontstaat met dimensie s+ 1 • m m • •

Door vermenigvuldiging van T/T met T /T' ontstaat een m m m dimensieloze temperatuurfunktie T/Tm.

Dus alle ingangssignalen van een integrator ooeten worden

vermenigvuldigd met een faktor T~0m·~). Het zRl duidelijk zijn dat deze extra vermenigvuldiginga­

faktor alleen noodzakelijk is wanneer er sprake is van een

warmtecapaciteit.

Volgens de in appendix D aangegeven methode, kunnen we nu

een aantal coefficiënten B met dimensie s-1 afleiden~

- 71 -

In het in appendix F gegeven schakelschema zfjn de~e

eb~fficiënten aange ven met de hierna volgende symbolen.

--

...L ~·

\ I Q;J. A~ -t- o<..., A-,., ~ \C(~ 'i~<;. +~w V..., Cw-

- 72 -

8. De regeling van het zonneverwarmingssysteem.

Regeltechnisch gezien kunnen we het systeem in twee gedeel­

ten splitsen.

1. een deelsysteem met een rélatief kleine traagheid of

kleine tijdconstante en een snelle respons op een

verandering van inga...YJ.gsgrootheden. Dit deelsysteem

wordt gevormd door de kollektor en het buffervat, voor

zover het functioneert als energieput.

2~ een deelsysteem met een grote traagheid en lrutgzame

resnons. Het buffervat in de funktie van ener ebron,

de luchtverhiLter en het huis behoren hiertoe.

Omdat ze wat betre hun dynamisch ged grote verschillen

vertonen, zullen we ze apart behandeler~.

Om bij de ko ektor de U!.i tgangstem;:>eratu~r bij wiss enclt:;

weersomstandigheden op een vaste wa:1,rde te rei:selen, zouden

we het beste debietvariatie van het doorstromende medium

kunnen toepassen. Dit is echter een verfijning in het systeem,

die in het hier beschouwde proces niet is toegepast.

Er wordt een constante massastroom door de kollektor

gevoerd, waarbij we ons weinig bekcruneren om de grootte

van de uitgangstemperatuur.

He-t enige wat a:=tn de kollektor behoeft te worden egeld

is het funktioneren van de circulatiepomp.

Hierbij kan worden volstaan met een simpele aan-uit r ing.

De circulatiepomp wordt daarbij ingeschak d, zodra de

kollektor positieve ene e gaat leveren, he een we kunnen

meten door de kollektortemperatuur te vergel 'jken met de

temperatuur in t onderste ement van het opslagvat.

Door de bufferende werking van het opslagvat worden

storingen in het ingangs gnaal van de koll tor

(de hoeveelheid geabsorbeerde strali. ) gereducee

Door deze passieve s toringsond errl. ru.kkinrr, nemen de rest rend c:

storingen die het systeem 2 bereiken de tijdconstante van

het buîfervat aan.

- 73 -

Storingsreduktie door buffering kan in dit geval goed

worden toegepast, omdat de uitgangstemperatuur van de

kollektor niet aan een bepaRlde setpoint-waarde is

gebonden.

De versch~nselen in het systeem kollektor-opslagvat

kunnen we beschouwen als een tweede-orde proces, indien

we de loopt~den in het systeem en de warmteverliezen van

de absorptiepla~t naar de omgeving verwaarlozen.

We kunnen nu eenvoudig nagaan of de bufferwerking van het

vat niet op zich Rl voldoende stabilisering geeft en een

aparte regeling overbodig maakt.

Voor een tweede-orde proces wordt de reductie van de

storingsvariantie gegeven door :

(8, 1.)

Hierin is u de variantie van het uitgangssignaal van het y vat en~ de variantie van het (stochastische) ingangs-

x signaal. Tx is de storingst~dconstante, T1 de tijdconstante

van de kollektor en T2 de t~dconstante van één element

van het vat.

Omdat we in elk element van het opslagvat de procesgroot­

heden als uniform beschouwen, kunnen we voor T2 ook de

gemiddelde verblijftijd nemen.

Bij een inhoud van 1 000 kg wat er voor één element en een -1 massastroom van 0,2 kg.s , geldt een gemiddelde

verblijftijd van §000 sec.~ 83 min.

De tijdconstante van de kollektor is van velerlei faktoren

afhankelijk, maar 1 0 min. is een redelijke gerr:i ddelde

schatting.

Indien T = 10 min.,geldt: x

IndienT = 30 min., geldt: x

G::z. ~ cr:z. x,

G::2. :L CJ:'".L ~

j_ -:::::: lo

-:::::: ...1-4

- 74 -

Hoewel dit erg ruwe scha:tingen zfjn, geven z~ toch een

vrij goede indicatie van de zelfregelbaarheid van de

combinatie kollektor-opslagvat.

Indien we als eis zouden st len dat de storingen tot

maximaal 10% moeten worden gereduceerd, wordt voor

een sto ngstijdconstante van minder dan 10 min. goed aan

deze eis voldaan.

Hoewel er ook hierbij sprake is van z fregeling, moeten we

toch externe regeling toepassen. De reden hiervoor is

dat, in tegenstelling tot bij de kollektor, de uitgang

van het proces (d.i. de kamertemperatuur) aan een

setpoint-waarde is bonden.

De keuze van het regelprin pe wordt bepaald door

overwegingen als:

z:ijn de binnenkomende storingen goed meetba:1.r?

z~n er meerdere storingsbronnen?

bestaat er gevaar voor instabiliteit?

is het proces zelfregelend?

Wat betreft de storingen kunnen we stellen dat er slech:s

~én (snelle) storing is n.l. de zoninstraling via de ramen.

Deze, soms stapvormige verstoring is op geen enk e manier

voorspelbaar, ma:îr wel redelijk goed meetba11.r m.b.v. een

solarimeter.

ze goede meetbaarheid van de hoofdstoring zou aanleiding

kunnen z~n om het oroces m.b.v. voorwartrtsko1peling te

regelen. Daar het proces zelfregelend is, zal deze

voorwA.artkopoeling en aanl ding geven tot

instabiliteit.

Behalve de zoninstraling z:ijn er nog een aant niet

voorspelbare en niet meetbare secundaire storingen,

zoals interne b asting door b.v. elektrische apoaraten,

sterke ventilatieverliezen door openen van ramen of

deuren, verandering van het armtal in het h'J.is

verbl:ijvende personen etc.

- 75 -

Om ook deze storingen te compenseren is terugkon~eling

noodzakelUk. DaarbU dienen we ons echter goed te reali­

seren, dat stabiele, zelfregelende processen door

terugkonpeling instabiel kunnen wordeTh.

Indien een storing te sterk wordt gecompenseerd, roept

dit een nog &rotere storing op, hetgeen a nleiding geeft

tot compensatie in omgekeerde richting etc.

Dit komt vooral voor bU trage processen met lange

verblUftUden, wanr aangebrachte correcties pas na enige

tUd doorwerken. De oplossing van dit probleem is:

rustiger en minder corrigeren en voortdurend rekening

houden met eerder aangebrachte en nog niet geheel

uitgewerkte correcties.

Op de mogelijkheid van regeling door voorwaartskoopeling

zal hier niet verder worden ingegaan.

Om na te gaéi.n of er onder bepaalde omstandigheden gevaar

voor instabiliteit bestaat, zullen eerst een aantal vragen

moeten worden beantwoord, o.a.

Hoe ziet de overdrachtsfunktie van het systeem met

als ingangssignaal de hoogte waarop aan het opslagvat

de energie wordt afgetapt en als uitgang de kamertem-

peratuur, eruit, wanneer bovendien een stoorsignaal in

de vorm van zoninstralin& via de ramen optreedt.

Aan de hand hiervan ku:rmen we een uitspraak doen over

tUdconstanten, looptUden en resonantiefrequenties.

Hoe groot zUn, onder voor Nederland ge~iddelde

klimatologische omstandigheden, de frequentie en

amplitude van de stralingsintensiteitsfluctuaties

bU half bewolkt weer.

Om deze en andere vragen op een bevredigende wijze te

kunnen beantwoorden, is nader onderzoek vereist, vooral

op experimenteel terrein. In het kader van deze opdracht

zal hieron dan ook niet nader worden ingegRan.

- 76 -

In het er beschouwde systeem is gebruik gemaakt van

proportionele terugkopDeling.

D~ kamertemperatuur T moet zodanig worden geregeld dat

deze een maximale en minimale wa::rde T resp. T . max mln niet overschr~dt.

T - T . De verhouding mln bepaalt de ingangsgrootheid o<. T - T . max mln van het verwarmingssysteem, d.i. het niveau van het

buffervat waarop het water wordt onttrokken.

T

--floo H \..oo"?r~ ~ · \.... Of!!>~"\:·

H instellen van het juiste niveau geschiedt m.b.v een

servosysteem, dat gestuurd wordt door een grooth d cJ.,

T - --r:_i:n ')t

waarb~ cl. :: - \-\ T'"""';x-T.,_..:;...

e{ o{ T..._v -T "")( 'C -- H

l:_., -'*~ N.B. de servomotor bestrUkt niet de geh e hoo e van

het vat. Het onderste element wordt et bij de

lev v~m enere;ie t.b.v. de verwR.rrnine; betrokken.

Indien we 5 elementen nemen, worden er dus slechts

4 gebruikt. Een door de servomotor bediende regel­

schuif schakelt nu één of twee vrm de vier reservoirs

in.

De temperatuur van het water dat naar het verwarmings­

systeem wordt gevoerd, Tw1 , m0et een continue ,c;rootheid

zijn. Indien van het ene element wordt overr;eschakeld op

het andere, zou Tw 1 stapvornige verande ondergaan;

om dit te voorkomen, worden vloeistofstromen uit twee

aangrenzende elementen t:;emengd, en wel volgens een door

de waarde van ~ bepaalde verhouding.

- 77 -

Indien of..= 1, dan wordt de volledi massastroom m2w

aan element 4 onttrokken, dus dan is Tw 1 = T4 •

Idem voor o(= 3/4 geldt: T' w1 = T' 3

voor o<= 1/2 '

geldt: T w1 T2

voor o( 1/4 geldt: Tw1 = T 1 •

Voor tussenliggende waarden van o<. gelden volgende relaties:

-:1-n J. Ï.t2. V\

,,

ll

l I

Indien

Indien

O~ro(~~ ~ Tw\ -= ~.t Cl( T1

~<o<. ~ -1: ~ Tw1 -= (o<-~)~ T:t+i(l- (o<-~4} T 1...

L ...( o<.. < .1!_ --7 Tw\ : lo{ -t) 4 T~-+ t \ -lo.{ --k-)~} T2. 4 ...,. 1.;

~ <;."o(. ~ 1.. _" T..,1 = (" -")'1 T-. + { l-( "'- - t,-)41 T~

T - Tmin ~ 1 , is de servomotor naar beneden rr ~"" -max - Tmin uit stuurd, en krijgt IK de

waarde 0.

T - T . I!lln

T T . < 0 , is de servomotor naar boven max m1n uit stuurd, en krUgt ~ de

waarde 1.

L6L '2.)

(8 ·!l)

lt?4)

(B·5)

We moeten nu de beperking invoeren dat de waarde van alle

faktoren ltoZ ~ (ci-~)4) \-lol-~)4J~-t)4 etc.

moet liggen tussen 0 en 1.

Bovendien moet gelden: 0 ~ ~ ~ 1.

Een en ander kunnen we ter verduid ijking grafisch

weergeven. (zie fig. 8.1).

We kunnen na deze beperking in (f3.2) de voorwa:trde dat

0 ~ oJ.. ~ 1/4 wel schrappen, omdat de faktor ~alleen

dán vol do et aan de voorwaarde 0 !::: 4o( 6. 1 indien o '!!i:: Co( :!i:.~.

-78 -

4

3

2.

1. W(.rk-~i.~

0

-I

-1

figuur 8.1 grafische voorstelling van de schakelfur:k es

F . van het ouslagvat. Vl ~

Het stels vergel1jkingen (8.2) t/m (8.5) kunnen we dus

ook kortweg schr~ven als:

T..,, = ~ ol Ti +i I -lot·l;Hli + (o(·\:;) 4-T,_ + { 1-(oi.-X)'<~ T ...

t l.i.- i)'-\\~ + \\- (ot- \-)'i\ T~ + ( ot- it) '-\ -~ s\.J .-..... : r-v \ = 4 a(,. + \ l _ l c( _ ~) L'\ ~

l=v 2. : L at -~) 4 + \ \ - ( o<. - ~) Lt ~ .

"Fv!>::. (.o< -~)li +{I -(ol-~4 \ Fv "' : lo(. - \)4 \=V : -ç:.V\ ~ -ç:l/:a. + r V\ + -ç::.'V '1

lB · t)

In hoofdstuk 4 is aangegeven, hoe deze toren Fvi kunnen

worden gebruikt om de menging van verschi ende tempera-

tuurniveaus de energie- en massab ansen van de vers

lende elementen van het buffervat te verwerken.

- 79 -

Bij de keuze tussen analoog of di taal rekenen dienen we

voor- en nadelen van beide goed te overwegen.

Als voordelen van de analoge rekentechniek t.o.v. de

digit e kunnen o.a. worden genoe~d:

grotere manoeuvreerbaarheid tijdens het werk met de

machine. Ingangs otheden en procesparameters kunnen

eenvoudig en snel worden ingest d.

het rekenen met de analo rekeni'lachine geeft meer

r;evo en inzicht in het bestudeerde

effekt van een veranderende

zichtbaar worden gemaakt.

otheid

steem. Het

meteen

een analoog steem kan net een binnen de machine

ge ereerd signaal worden gevoed.

Daarnaast kunne:, we echter ook van bui ten af een

vvillek g signaal invoeren.

Zo kan b.v. in het beschouwde systeem de over een

b de pe ode, experimenteel bepaalde inten t t

van de zonnes ing in de vorm van een ektrisch

signaal ar:tn het systeem worden aangeboden.

het st els vergelijkingen komen veel impliciete

V ijkingen voor. D~ze kunnen alleen met er:n

anR.loge machine zonder iteratie worden opgelost.

De voornaamste nadelen z

bij het bestuderen van tabili tei ten spelen va~~k

looptijden een rol. Deze kunnen met een analoog; steem

zeer mo lijk en leen met tgebreide schakelingen

worden gesimuleerd.

de capaciteit van de machine is beperkt.

Het er beschreven rekenprogramma neemt bijna de volle

capaciteit van twee gekopp de machines in beslag.

Daardoor konden b de invloedsgrooth en niet

worden mee men.

Bij verdere NLtbouw van het progra.mma z:ü daarom van

de di tale techniek gebruik moeten worden gemaakt.

- 80 -

Het analo model van de zonneverwarmingsinstall ie

is opgebouwd op een op de T.H. Eindhoven aanwezi

rekenmachine, de E.A.I. 680.

De voornaamste reken ementen van het analoge gede te ZDn:

integratoren (30 stuks)

ontBllers en inverters (40 stuks)

vermenigvuldigers (18 stuks)

D-A switches (12 stuks)

potentiometers (120 stuks)

camparatoren (12 stuks)

limiters (12 stuks).

Omdat de capaciteit van deze machine et toereikend was,

is een tweede machine b schakeld, de P.~.C.E. 231 R,

waarvan echter alleen de passieve elementen ,zoals

inverters, limiters en potentiometers konden worden

gebruikt. Omdat de EAI 680 werkt op een maximale absolute

spanning van 10 volt en de PACE op 1 volt, moesten le

signalen, komend vanaf de EAI 68() met een faktor 10 word,·n

vermenigvuldigd, en de signrrlen, komend vFtnaf de PACE met

een faktor 0, 1. Dit is noodzakel\jk om b de machines op

een zo hoog mogelUke spanning te laten werken, dit in

verband met de rekennauwkeurigheid.

M.b.v. een klein experiment is nagegaan, of het via een

lange kab ( 8 meter) heen en weer sturen van een

signaal van de ene machine naar de andere en spanni

verlies ten gevolge heeft. t bleek niet het geval te z

De EAI 6 bestaat uit een logisch gedeelte en een analoog

gedeelte. H

voor het an

De uitgangs

worden

oscilloscoop

logisch e;ede te fungeert

og gedeelte.

s stuureenh d

e;na1en kunnen op drie manieren zichtbaar

t n.l. met een digi tnle voltm er, een

en een x-y sch er.

- 81 -

In g. 3.1 is het blokschema van de rekeneenh d we

figuur 9.1 blo chema van de rekeneenheid.

In apn x F is de schakeli voor het analoge

programma weergegeven.

H re~enprograP'lma is opgebouwd t en a~mtrü met

gekoop de eenheden. Deze kunnen we weer onderverdelen

in lo sche en an o eenheden.

analo eenheden zun gede t Uk OD de EAI 6 en

g eltelUk op de PACE tgevoerd.

I bes ijft de energieb a:r1s van de kollektor volgen:3

vgl. (7.22) t/m ( 7.24).

II bepaalt de waarden van de schakelfunk es

Fe, ~·cO' Fc1' Fc2' F en Fc4· III hepar:il t de wan.rde van de schak funktie ]•1 k.

IV beschrijft de massabalans van het opslagvat

vol vgl. (7,9) t/m (7.15).

V bepaalt de waarden van de schakelfunkties Hl

F 1 ' en Fy ·o' VI bep + de waarden v.d. schakelfunkties F volgens l< vi VII bes ft de en ebalans van het opslagvat

volgens • (7.4) t/m (7.8).

VI beschrij de ener ans van de luchtverhitter

en het huis, volgens . (7.25) t/rn (7.3 ).

even.

• 7) •

- 82 -

IX geeft dat gedeelte van I t/m VIII dat op de PACE

is uitgevoerd.

erin zijn IV en V volledig opgenomen en een

gede te van VII.

De e eden II en III bestaan uit logische elementen,

terwijl VI uit zowel logische s analoge elementen

bes tac;.t.

Voor h berekenen van de diverse potentiometer-

instellingen is een digitaal programma geschreven.

De symbolen die in de uitvoerlijst hiervan voorkomen

corresponderen met die in het analoge circuit.

Dit programma, met een uit erkt voorbeeld, is

weergegeven in appen x E.

- 83 -

He-t: aantal procesgrootheden dat variabel kan worden

gemaakt is zeer tR.lrijk. We zullen echter een keuze moeten

maken om de o~vang van de rekenprocedure beperkt te houden.

We kiezen daarbij die grootheden die op de uit te voeren

berekeningen de grootste invloed hebben.

Dit z~n: --De kollektorefficiency tor F'

Deze kr~gt de waarden 0.88, 0.90, 0.92, J.94,

0.96, 0.98 en 1.0

de massastroom door de kollektor m1w.

Deze krijgt de waarden 0.05 t/m 0.5 kg.s- 1

met tel s ophoging met 0.05

de warmtecapaciteit w1 van de kollektor.

Deze kr~gt de waarden 2, 4, 5, 6, 7, 9 x 10 5 (J. 0 c- 1 )

Verder worden de berekeningen uitgevoerd voor een aantal

verschillende funkties voor de st ingsintensiteit E0

. De berekeningen waarbU leen de kollektor is inges eld,

dus losgekoppeld van de rest VéiD de install e, worden

uitgevoerd over een tijdsperiode vRn 2, 5 uur.

Indien ~ = 0.01, komt dit overeen met een machinetljd

van 90 seconden.

De berekeningen die de gehele installatie betre en,

worden uitgevoerd over een p ode van 24 uur.

Bij een t~jdnormeringsfaktor van 0. 2 moeten we hi 1j

een machinetijd inst len van 172.8 seconden.

N.B. De faktor F' wordt bepaald door de relatie:

1..

- 84 -

de warmtecapaciteit van de kollektor door

erin z~n U, A, ~wen c~ vaste grootheden.

( z i e par • 1 0 • 1 • 2 )

Vrij te kiezen zJj::J. dan nog zes grootheden die samen

de ~ollektorgeometrie bepalen, en wel h,d,d', h 0 ,

en de materiaalsoort voor de absorp eplaat

(deze bepaalt ~~' c? en Àp). Door nu F' en w1 vast te leggen, hebben we bij de

keuze van de zes genoemde grootheden vier

vrijheidsgraden.

De meeste grootheden hebben een vastgestelde waarde.

Deze ~~n gedeeltel bij de bouwconstructie vas elegd.

Enk en ervan vereisen een korte toelichting.

1. De luchtverhitter.

Deze best , volgens een voorlopig ontwerp, t een

pakket aluminium lamellen, dat doorstroomd wordt met

lucht. Via een (nog onbekend) aantal passages wordt deze

luchtstroom doorkruist door een waterstroom.

(zie fig. 10.1).

~t) ""'CII.'it~"-':>ltoGM Wj

tt."" f,

figuur 10.1 Prin peschets van de: luchtverhi tter.

- 85 -

De afstand tu.ssen de lamellen bedraagt 2mm.,

de dikte van de lar.1ellen is 0. mm.,

de vinef ciency van de lamellen wordt geschat op 0.8.

De luchtverhitter heeft de afmetingen 600 x 500 x 360 mm.

Het warmtewisselend oppervlak aan luchtzijde is dan:

A1 = 0.36 x 0.6 x 2 x 500/2.2 x 0.8 - 2 78.6 m •

Het warmtewisselend oppervlak aan waterzijde wordt 2 geschat op 0.5 m .

Het materiaalvolume van de luchtverhitter is:

V = 0.36 x 0.6 x 0.0002 x 500/2.2 = 0.0098 s

Het watervolume wordt geschat op 0.

3 m •

De warmteoverdr. coeff. aan waterz1jdeo(w wordt geschat -1 oc-1 op 2000 J. m . s . .

Voor de bepaling van de warmteoverdr. coeff. aan

luchtzijde, oZ1 , gaan we als volgt te werk:

het doorstroomoppervlak is: x 0.5 x 0.36

de stroomsnelheid is dan: 1 5UO 1 2.5 3600 x 0.164

4 x 0.36 x 0.002

0.164

(m.s-

de hydraulische diameter is: 2 0.36 2 0.002 x + x

het kental van Reynolds is: 2.5 x 0.004

17 x 10-6 590

We hebben dus te maken met laminaire stroming.

Volgens li t. f22] pag. 11 5 geldt dan: Nu 3. 66

m

o.

dus o<.1 3.66 x 0.004

0.026 ( -2 -1 0 - '1) 24 J.m -.s • C •

2. de massastroom mk door de b~stookinstallatie.

Deze heeft een netto vermogen v~u1 1 k'v'i.

Dit vermogen is zodanig gekozen, dat de bijstookinstal-

1 ie de maximale capaciteit voor de luchtverhitter kan

leveren, indien er lange tijd en zonnes;, int; is.

4 m

- 86 -

Daarbij wordt het doorstromende water 20 °C in temp t.lr

verhoogd. 12.000 -1

Dus dan is mk = 20 x 4200 = 0.143 .s

On Zodra T 4 gedaald is tot 55 °C wordt deze b~stook

sc:hak d, totdat T4 een waarde bereikt heeft van 65 u.

3. de massastroom m1 door de luchtverhitter.

De volumestroom is 1500 m3/uur.

een dichtheid van 1.18 kg.m- 3 komt dit overe,~n Bij

0.4916 -1 kg.s •

met

4. de massastroom m2w door de luchtverhi tt.::;r is 0. ;os kg.:·

de zuidgevel is 13.5 ') L

m • 5. het raamoppervlak in

He-t raamoppervlak in de

1 5 • 3 m 2

• ( z i e l i t . [1 3]

oost- en westgevels is in totaal

) . Nu worden bU berekeningen van zoninst ing meest

glob e schatting de op het oosten en westen gele

voor de helft verrekend. In de hier er~ b e J:~

omtrent de invloed van plotseling veranderende

st intensit ten, wordt een momentane situatie

ramer1

bekeken. Daar de zon et tegelijk op oost- en west vels

kan sch1jnen, moeten we noé~maals met een faktor ~

verm gvuldigen. Een schatting voor het ra:tmoppervlak

dat door straling word~getroffen, is nu:

A 13.5 + 1/4 x 15.3 ".:::::.17.5 m2

• z

In de nu volgende tab z~n de waarden voor de

verschillende vaste procesgrootheden geven.

In het in appendix E geven algol - programma komen

eni s afwijkende symbolen voor, omdat hierin niet met

Griekse letters en indices kan worden gewerkt.

Deze zijn in de tab

gebruikte symbolen.

aangegeven naast de in dit rapport

sym­

bool

A

L

n

symbool

in algol

A

1

DG

ROG

CG HV

HV1

DV

DELTA V

LAMDAV

DV1

vv u

N

A3 AB AZ

AR

V3 DK DB

DI

LAJ:IIDAK

LAMDAI

ROK

ROB

- 87 -

benaming

kollektoroppervlak

kollektorlengte

dikt\! glaslaag

dichtheid van glas

soort. warmte van as

vinhoogte in luchtvoorwarmer

vinlengte " "

rinafstand " " vindikte " 11

eid. coeff. vinnen

in luchtvoorwarmer (mat.Al)

diameter opslagvat

volume opslagvat

w.o. coeff. absorptieplaat­

glasplaat (zie a0pendix B)

aantal elementen in opslagvat

oppervlak buitenmuur

oppervlak tussenmuur

raé1.Illopp. aan zuidzijde

raamoppervlak

inhoud huis

dikte binnenblad buitenmuur

dikte tussenmuren

dikte isolatielaag in huis

gel d. coeff. buQtenmuur

(mat. baksteen)

geleid. coeff. tussenmuur

(mat. kalkzandsteen)

gel d. coeff. i sol a ti. e

(mat. polyurethaan)

dichtheid buitenmuur 11 tussenmuur

wan.rde

50

9 0.004

2710

840

0.04

0.5

0.01

0. OOOé~

206

1. 25

5

3.5

5 313 400

1 7. 5

36 600

0.115

0.115

0.08

0.583

0.933

0.025

1 &oo 1900

eenheid

2 m

m

m ·:, K] rr m-/ .t:__..,. ,i

-1 0,"'1-1 J.kg . 'v

m

m

m

m

J -1 -.m s -1

2 -1 ~

J - -' o,....-! m_ • s • v

') m '"-

2 m

m

m

m

m

J -1 -1 0 ."- 1 m s • l"

"

" kg.m- 3

-3 kg.m

o{r

oZg2z sine

0\1

ol...w Al A

w V w V s m 2w mk

ml

cl

t'l cw

~w

E>s cs T. mln T max

CK

CB ALPHA 1

ALPHAR

TGZ

GAMMA ALPHAL ALPHAW AL AW vw VS

M2W MK ML CL ROL CW

ROW ROS es

- 88 -

soort. warmte buitenmuur

soort. warmte tussenmuur

w.o. coeff. lucht-buitenmuur

reso. lucht-tussenmuur warmtedoo • coeff.

dubbel as

840

840

7

2.7 t.ransmissiecoeff. dub1J ~:.s OJ~

sinus h lingshoek koll tor 0.85

w.o.c. luchtverh. luchtzij 24

w.o.c. luchtverh. waterz~de

V.O. luchtverh. luchtzijde

V.O. luchtverh. water?. e

volume water in luchtverh.

volume mat. in luchtverh.

massastr. water luchtv

massastr. water bijstook

massastr. lucht luchtverh.

soort. warmte lucht

dichtheid van lucht

soort. warmte water

dichtheid van water

dichtheid • luchtverh.

s.w. mat. luchtverh.

minimale veau kamert

maximale veau kamertemp.

0

78.6

0.5

0. 0')3

0. 0()98

0.1')5

0.143

0.4916

1000

1. H~

4200

1 O:JO

2710

878

1 9 21

1 ' J k cr-· OC-1

• f::, •

H

J -2 -1 0 -1 m s . C

11

J -2 -1 n-' m s • v

11

- 89 -

10.2 Resultaten.

10.2.1 Kollektorrendement.

Het kollektorrendement wordt voornamelijk bepR'Üd door

een drietal grootheden:

--de kollektorefficiencyfRktor

--de warmtetransportefficiency

--de ti.jdconstant.e van de kollektor; deze speelt alleen

een rol bij instatienair bedrijf.

De invloed van de kollektorefficiency op het rendement

bij stationair bedrijf.

Nagegaan Ls het effekt van F' op het rendement,

dat gedefinieerd is als de verhouding van de door de

kollektor geleverde hoeveelheid warmte en de hoeveelheid

geabsorbeerde straling3

~< ~ trL -\{:..) · ""•w· C.w

s. t:l.

Om de invloed van de traagheid van de kollektor en van

een variabele ingangsternperatuur te elimineren, is de

berekening uitgevoerd voor een stationaire situatie met

een constante ingane;sterr1peratuur, Tfin' van 10 °C. -1 Verder geldt: m1w = 0.15 kg.s .

In figuur VI is 'l_t.. gegeven als funktie van Ji"'' bij een

aantal constante waarden van de stralingsintensiteit E0 .

Invloed van de massastroom door de kollektor oo het

rendement bij stationair bedrWf.

Indien F' een bep2.alde constante vmn.rde heeft, vvordt

het diuensieloze kental FR eenduidig bepaald door de

massastroom door de kollektor, m1w.

(zie hiervoor par. 3.2.2 en fig. III)

Nagegaan is het effekt van FR op 'lc bij een stationaire

situatie.

- 90 -

Gekozen is: een constante ingangstemp. van 10 °C,

F' = 0.96 In figuur VII is 'lc uitgezet als funktie van FR bij

een aantal constante waarden van E0 .

Figuur VIII geeft voor dezelfde situatie het verloop

van de uitgangstemperatuur Tc. Om duidel~k het effekt

van de mH.ssastroom te illustreren is deze h:ierbij als

onafhankelijk variabele gekozen i.p.v. FR.

Invloed van de traagheid van de kollektor oo het rendement

b~ instationair bedrijf.

We beschouwen het homogene deel van de instationaire

energievergelijking van de kollektor (zie vgl. 3.14)

o{\ i ( 1.~w Cw + ~ ."1=' ·U \ -o\.t -t w, ) I~

sw We dienen nu 2 gevallen te onderscheiden ~.1.

de kollektor werkt onder zijn aanslagpunt

de tijdconstante is dan T) -::::: -=-'W~l~-t. B -p 1.-l

de kollektor werkt boven zijn aanslagpunt, met tijdconstr:m te ,.. v./1. (...c. = 0. ) 11

~ WIIW Cw + n """F "\.

Het l:jkt voor de hand liggend dat deze tijdconstante

met dimensie tUd een goede maat is voor de traagheid.

Omdat echter bij sterk wisselende stralingsintensiteit

de kollektor soms boven en soms onder zijn Flanslagpunt

werkt, zouden we met 2 verschillende tijdconstanten

moeten rekenen. Deze enigszins verwarrende situatie

kan worden voorkomen door de waTI'ltecapaciteit van de

kollektor, w1 , als maat voor de traagheid te kiezen.

In figuur IX is het kollektorrendement gegeven als

funktie van w1 , bij een intermitterende stralingsintensite1t.

De ingangsternperatuur is hierbij gelijk aan T0 •

- 91 -

De stralingsintensiteit wordt gegeven door de funktie

c: i= ~ (!I: . t- ~ -t ~"" ~C..(..o"'ok"" . 1:.. 0 -::. ,_ 0'""'~ . "' ~ 000 )

met E0 = 400 reso. 800 (w.m- 2 ). max Het proces loopt over een periode van 2.5 uur,de straling

is intermitterend met een periode van 33 1/3 minuut.

Het kollektorrendement wordt gedefinieerd als:

igooo

0 (~-To) ~lW • C.w· ol.t

f'jOOO

s.R. cM:. 0

waarbij moet zijn voldaan aan de voorwaarde

Verder is gegeven: beginwaarde van T is 0 c de beginwaarden voor T0 , T1 , T2 , T

3 en T4

zijn r e s p . 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 ° C •

F' = 0.96 m1w = 0.20 kg.s- 1 .

In figuur IX is door de verschillende punten zo p,oed mogelUk

een rechte lUn getrokken. De vraag is echter af dit

geoorloofd is. De werkelUke lUn die door alle nunten

gaat vertoont een nogal grillig verloop, doordat E0 steeds stapvormig verandert en de kollektor alleen boven

zijn aanslagpunt positieve er.ergie kan leveren.

- 92 -

Om na te ga~n of het rendement inderdaad lineair afneemt

met Wr , zouden we voor een aantal stralingsfunkties voo~

elke waarde van w1 een gemiddelde waarde van het ren­

dement moeten bepalen.

Om het verloop van de temperaturen in de verschillende

l~gen van het opslagvat te bepalen als funktie van de

t~d is een periode van 24 uur gesimuleerd.

Zonnestraling treedt op gedurende een periode van 8 uur,

hetgeen representatief is voor een gemiddelr;.? winterse dag.

De funktie die het verloop van de stralinG over het

verloop van een dag weergeeft, heeft de vorm:

1:.0 \!:) ~ c1. ,.. J.....t "\'.,..\tw .! .. \ ~ ~ "_;_(!F.. t) - ç'~ 1 met t is de t~d in uren.

0 :2.'1 \,. I

I

Indien straling optreedt tussen 8 en 16 uur, geldt: ~t -=- ~ ~ -= t. K .

B~ een maximale stralingsintensiteit EOmax = 800 W.m- 2 ,

geldt: 8oo

1-ih

- 93 -

Aangezien E0 is genormeerd op een maximale waarde van

1000 W.m- 2 , komt dit, uitgedrukt in machinegrootheid,

overeen met een waarde C 0.8 5 97 1 = 1 - iVJ = •

In het Nederlandse klimaat is wat betreft het verlooo

van de stralingsintensiteit gedurende één winterse dag,

globaal onderscheid te maken in 6 geïdealiseerde gevallen,

waarbij E0 , b]j gebrek aan meetgegevens, benaderd kan

worden door de volgende funkties:

1. volledig zonnig weer.

De straling heeft een

continu verloop, met een

maximale intensiteit

van 800 W.m- 2 .

2. heiig weer.

De straling heeft een

continu verloop, met een

maximale intensiteit

van 400 W.n

3. zonnig weer, afgewisseld

door bewolking.

De straling heeft een

intermitterend verloop,

met een maximale intensiteit -2 van 800 W.m en een

wisöelingsperiode van 2 uur.

0

I

0

4. heiïg weer, afgewisseld door

bewolking. De straling heeft

een intermitterend verloop, met

een maximale intensiteit van

400 W -2 . l . • m - en een w1sse lngs-

periode van 2 uur. 0

, ' . '

I I

I

-

\ \ \

\ I I I I

~

- 94 -

5. zonnig weer met stap

wolken. De straling heeft

een intermitterend verloop,

met een maximale intensi-

t 2 t van 800 W. en een

wi ss elingsp

40 minuten.

ode van

I

0

6. heiig weer, met wiss ende bewolking.

8

I

I I

/ ' \

r- ,,

' \ \ I

'

\ \ ·,

De straling heeft een

intermitterend verloop,

met een maximale inten­

siteit van 400 W.m- 2 en

een wisselingsperiade , / ' ' E "I(=- 4· " o""" van 40 minuten.

I

0

I I

8

' I

'" ~, ........ Voor deze 6 gevallen z1jn in de guren X t/m XXIII een aant karakteristieke grootheden gegeven, die het

verloop van het proces beschrijven.

Voordat, we tot een bespreking van deze figuren overgaan,

dienen we echter eerst enige punten nader toe te lichten.

1. Hoewel deze het voorgaande reeds zijn genoemd,

2.~

zullen we de betekenis van enige symbolen even herhalen.

Tc is de uitgangstemperatuur van de kollektor.

T is de kamertemperatuur.

Tb is de temperatuur van de tussenmuur.

Tk is de temperatuur van het binnenblad van de

buitenmuur.

oZ. is de faktor die de hoogte bepaalt, v,raarop mi t

het opslagvat het water t.b.v. de verwarming

wordt afgetapt.

2. Wat betreft de manier w:;,arop de waarde van o< wordt

bepaald, kunnen we twee gevallen onderscheiden:

-- o( wordt bepaald door de waarde van T, rn

o<.= "T-T~w.

~~ --\._;...... Wanneer het maximale niveau van T is gest d op 21 On

V

}.

- 95 -

en het minimale niveau op 19 °e,

geldt: ol...: \-2\ 2.

~wordt bepaald door

-1 __ \b -Tn,;_ met ~

T ~1: - \.1'.;,_

de waarde van 'Tb'

Tb-2\

In het laatste geval is bD het bepalen van de waarde

van o<.. een extra traagheid ingebouwd, omdat

Tb naijlt op T.

Op tijdstip t = 0 zijn de volgende beginwaarden ingesteld:

T = 0 oe c

oe T = 1 5 0 o~'"'

T1 23.5 v

T2 = 24 oe

T'3 = 36 oe

T4 = 50 oe

T = 19.6 oe

Tb = 19.75 oe

Tk = 18.5 oe.

Deze waarden zijn bepaald door, uitgaande van

beginwaarden 0 voor alle temperaturen, een vijftal

volledig zonnige dagen door te rekenen, waarbij de

eindwaarden aan het eind van een dag werden gebruikt

als beginwaarden voor de volgende dag. Dit werd

net zo lang herhaald totdat de eindwaarden van

T, Tb en Tk zich op 'een bepaalde waarde stabiliseerden.

De eindwaarden van T0 t/m T4 stabiliseren zich niet

op een bepaalde waarde, omdat bij een maximale

stralingsintensiteit van 800 W.m- 2 de warmtetoevoer

groter is rJan clc afvoer. Inrl:j ,:;n de s~;::'tprocedure tot

in het oneindige zou worden doorgevoPrd, zouden

T0 t/m T4 een erg hoge wa0.rde krjjgen, hetgeen niet

meer representatief is voor een gemiddelde bedr~fs­

situatie. De genoemde beginwaarden geldenvoor alle

te behandelen processen.

- 96 -

4. In een aantal geva.llen is de bljstookinst latie niet

in het systeem opgenomen, dit om na te gaan of het

systeem ook zonder deze hulpbron voldoende energie

kan leveren en hoe in dat geval de temperaturen als

funktie van de tijd verlopen.

5. De buitenluchttemperatuur heeft een constante

waarde van 0 °C.

Om de veelheid van situaties wat overzi eh telijker te maken

is in onderstaande tabel aangegeven onder welke condities

de guren X t/m XXIII zijn opgenomen en welke grootheden

e~ in worden afgebeeld.

~i~r o.~"'~.u.\cA~ cyre~ot.'h~c:te~'~ koh-~'!:. Lov..d.~\\C2S. 1'\t'J,

ol... To , 1 0 0 ~ ! r- ~

ol" T\

1~ o;s 0 0 ~~ 1rl 1.. 1..

~ .r T li rl Q) :f t~~-i

T 11 11 l•J ~ • _. tJ

H~~1 Tb T3 lil

j -;j :..."'"6 0 , ..............

-5~ ~ 1 ,ft ~ 0 ~ ~ T~ 1/1' ..A,_, :;j

TK ; > 0 0 .... "" " ... ij ~~ S-til Tc. ;:los LLl UJ 3~ ·;~ :,a o.j .A j

I x )( )( ~ I

i... I x XL x x. x x I )( x. X1I. x I x. x I x x xm. x l

'/._, x'x I

><I x I

xoc i-. x x· I x I x Z5[_ '/-.. '

i X. x I x x XYL x. I I

! t i... )( x i x xw. 'Á x )(I)(

I x I x I I

XYT1L "' x ~x I x I I I x. i '

X1X.. "' I i I x x x! i I x I i

XX:.. I )( I '/... j '/..,x. I i x. I

m i. I x I xj x i x I I I ! X~i[ x. x x !x /x XX\[ x x x x x x

--·-

I I I i

i

i I i i I

I ! i

- 97 -

In het: nu volgende zullen we de verschillende grafieken

afzonderlijk bespr en, WA.arbij zal w.orden aangegeven

welke conclu es uit het verloop van de verschillende

grootheden kunnen wnrden getrokken.

Opm. in sommige guren,met name g. XVI, zijn korte

pieken te zien. Deze zijn ontstaan door opslin

van de pen en hebben verder geen enkeLe betekenis.

figuur X : Deze eft het verloop van de opslagvatten:-

peraturen, indien de bijstookinst latie is

uit schakeld. Door ~e temperatuur aan het begin en eind

te veTgel1jken, valt te concluderen dat bij een max.

stralingsintensiteit van 800 W.m- 2 de hoeveelheid warmte

e in het vat is opgeslagen is toegenomen met 71.000 kJ,

het en over een oeriade van 24 uur overeenkomt met

8'25 Watt. Duidelijk is te zien d<ü bij het st1jgen van de

temperatuur Tc ook in de hoger

wordt toegevoerd.

eg en ementen warmte

figuur XI Voor dezelfde omstandigheden als wa trb1j g. X

is o ogenomen, is hier het verloop van c\ gegeven.

De maxi e snelheid w.aarmee deze verandert is 1/4 per uur.

Daarbij blij de schommeling in T beperkt tot 1°8.

Opvallend is dat bij het wegvallen van de straling de

verandering van ~veel minder snel is t.g.v. de s

warmtebuffers fungerende muren.

figuur XII en XIII : Hierin is een identieke situatie

weergegeven als in X en XI, met dit

verschil dR.t hi U de bUstoo~installatie is ingeschakeld.

ze levert een vermogen van 12 kW gedurende 5 uur en 40 min.

hetgeen overeenkomt met 245.10 6 J.

De temperat:lu.rtoename aan het eind van de periode is (""

zodanig dat de warmteinhoud van het vat met 216.10° J

is toegenomen. In tegenst ing tot het voorgaande gevrü

is· er dus een netto tekort va'î 29. i0 6J.

-98-

t houdt in dat door het inschakelen van de bijsta

door de kollektor over een periode van 24 uur

(29 + 71).10 6 J minder aan warmte wordt geproduceerd,

dan zonder deze hulpbron, al~hans onder deze omstan­

digheden. Dit komt overeen met een gemidd de waarde van

1150 Watt. De oorzaak hiervan is de hogere kollektor­

temperatuur, waardoor meer stralings- en convectieverliezen

optreden. Uit guur XIII bl~kt verde~ dat door de

grotere temperatuurgradiënt in de hoogterichting van het

vat de veranderingen vanfA minder groot zijn.

flguur XIV en XV Deze tonen een situatie met een lage

stralingsintensiteit. Volgens XIV i&

de warmteinhoud van het vat na afloop van de periode

gedaald met 120.106 J. Deze warmte is verbrutkt voor

verwarming. Volgens XV is deze toegenomen met 30.106 J.

Hierbij is echter gedurende ~txUJr en 49 min. 12 kW via

de b~stook toegevoerd, dit is 245.10° J.

Er is dus 215.10 6 J verbruikt voor verwarming, dus b~jnr::. het dubbele van de situatie van fig. XIV. Het verschil

r

bedraagt 95.10° J, dit is over een periode van 24 uur

gemiddeld 11.1 kW.

figuur XVI en XVII : Deze geven een situatie bij een

wisselende stralingsinten teit.

In/tegenstelling tot voorga.ande gevallen, wordt d.._ niet

direkt bepaald door T, maar met een extra traagheid

door Tb. Da;J.rdoor wordt weliswaar de waarde van o1.... minder

drastisch gew.ij gd, maar dit heeft tot gevolg d er in

de kamertemperatuur fluctuaties optreden van ongeveer

2 °C, wanneer de straling stapvormig met een waarde van

8DO WmT 2 verandert.

fjLguur XVIII en XIX Deze geven dezelfde bedrij toestand

weer als XVII, m.et. t verschil,

dat ~ direkt bepaald wordt door met van T.

Weliswaar z~n de fluktuaties T daardoor tot ongeveer

d~ hel gereduceerd, maar de snelle, sprongsgewijze

- 99 -

veranderingen in~ zijn praktisch onuitvoerbaar.

fi.guur XX : Deze figuur illustreert duidelijk enkele eisen

waaraan de installatie moet voldoen.

T0 moet een zo la~1.g rnagelijke waarde hebben om bij

intermitterende straling met een lage intensiteit de

kollektor boven zijn aanslagpunt te laten komen.

Daarbij moet de warmtecapaciteit van de kollektor zo

klein mogelijk zijn. Indien deze te groot is, wordt het

aanslagpunt bij een stralingspiek niet bereikt.

DueLdelijk zichtbaar is het knikpunt in de lijn T op het c punt waar deze de lijn T0 snijdt. Op dit punt wordt, bij

afkoeling, m1w = 0 , zodat de afkoeling veel

langzamer gaat. (zie ook pag.90 )

figuur XXI , XXII en XXIII : Deze 3 figuren zijn analoog

aan resp. XIX~ XVIII en XVII,

met dit verschil dat de frequentie van de stralingsfluk­

tuatie lager is. Behalve de overeenkomstig lagere

frequenties in de fluktuaties in ol.... en T zijn er

nauwelijks verschillen.

- 100 -

11. Conclusies.

1. Het kollektorrende!!lent is bij stationair bc<l"i.Jf "uc,:·

elke ot1·alingsintensi tei t lineair afhankelijk van de

kollektorefficiency. Een toename van F' met. 0.01 heeft

een relatieve rendementsverbetering van 1~ tot gevolg.

2. Het kollektorrendement is bU stationair bedrUf voor

elke stralingsintensi tei t lineair afhankelijk van de

warmtetransportefficiency. Een toename van FR met 0.01

heeft een relatieve rendemen tsverbeterin,s van l'. 5 % tot gevolg.

3. Bij steTk wisselende stralingsintensiteit, waarb1j de

kollektor regelmatig onder zun aanslagpunt komt, is

het kollektorrendement vrU sterk afhankelijk van de

warmtecapaciteit van de kollektor. In het hier

beschouwde geval heeft een vermindering van de warmte­

capaciteit met 100 kJ.°C- 1 een relatieve rendements­

verbetering van + 6 % tot gevolg.

4. BU niet al te snelle stralingsfluktuaties geeft die

tempera tuurregeling wa:trb1j de kamert e!Tlpera tuu.r als

t.erugkoppelsignaál wordt gebruikt de beste resultaten.

Wanneer o( verandert met + 1/3 per uur, bl1jft de

verstoring in de kamertemperatuur beperkt tot + 1 °C.

5. Om bij een stapvormige verandering van 800 W .m- 2 in de

stralingsintensiteit stapvormige veranderingen in ~

te voorkomen, dienen we in het terugkoppelsignaal een

extra vertraging in te bouwen b.v. door i.p.v. de

kamertemperatuur de temperatuur van de tussenmw_lr

hiervoor te gebruiken.

De maximale snelheid waarmee ~ dan verandert bedraagt

± 1/8 per uur. Dit heeft echter wel tot gevolg d~t de

fluktuaties in de karnertempera.tuu:r + 2 °C bedragen.

- 101 -

In dergelijke situaties moet daarom de waarde van t><

bepaald worden door meting van de temperatuur van een

warmtecapaciteit, waRrvan de traagheid tussen die van

de luchtmassa en de tussenmuur inligt.

Daarbjj is een maximale verandering van o( van 1/3 per

uur voldoende groot.

6. De tussenmuur fungeert als energiebuffer en dempt

daardoor fluktuaties in T. Deze bufferende en dus

stabiliserende werking van de muren kan worden vergroot

door de warmteoverdr. coeff. zo groot Plogelijk te maken.

Ruwe, k1=tle muren verdienen hierbij de Vlorkeur boven

geverfde of behangen muren.

7. Een te hoge temperatuur in de verschillende elementen

van het opslagvat vermindert het kollektorrendement.

DaaroPl moet het kunstmatig verhogen van de temperaturen

door de bUstookinstallatie tot een minimum worden

beperkt. Veelal wordt het bovenste element niet in de

levering van warmte betrokken.(dit is het 8eval indien

o1.. <::::._ 0. 75) Het is daarom raadzaam om alleen hulp­

energie toe te voeren indien behalve aan è voorwaarde

dat T4 beneden een bepaald niveau is gedaald, ook is

voldaan aan de voorwRarde dat ~7 0. 75.

- 102 -

Deze opdracht is een eerste aanzet. geweest tot het

bepalen van het dynamisch gedrag van de installatie.

Het hier gepresenteerde programma dient verder te worden

uitgebouwd m.b.v. de digitale rekenmethode.

Alvorens echter hiertoe over te gaan is het raadzaam om

met dit analoge programma nog een aantal karakteristieken

op te nemen, die voor verdere uitbouw v.h. programma

nuttig kunnen z]jn; de mogelijkheden r1et dit analoge

programma z1jn n.l. zeer talrijk en nog lang niet uitgeput.

Enkele suggesties in die richting zijn:

bepaal het verloop van de kamertemperatu~r, voor

een aantal stralingsvormen, wanneer o( arm een maximum

is gebonden.

nagegaan kan worden wat onder bepaalde weersomstan­

digheden de warmtebehoefte van een huis is over het

verloop van de dag.

tevens kan dan worden nagega~:m hoeveel warmte er vi3

de bUstookinstallatie moet worden toegevoerd.

alle mogelijke grootheden kunnen worden gevr~.rieerd om

na te gaan wat het effekt is van een verandering.

- 103 -

1 • Kay s W. M. ,

Convective heat and mass transfer.

McGraw- Hill Book company, 1966.

2. Eckert E.R.G.,

Introduetion to heat and mass transfer.

McGraw - Hill Book company, 1963.

'· Arpact V.S., Conduction heat transfer.

Addison - Wesley, 1966.

4. Michejew M.A.,

Grundlagen der wärmeübertragung,

VEB Verlag Technik, Berl~n, 1961.

5. Down P. G. ,

Heating and cooling load calculations.

Pergamon Press, 1969.

6. Bekey G.A. & Ka~plus W.J.,

Hybrid computation.

John Wiley & Sons, Inc., 1968.

7. Klein S.A., Cooper P.I. e.a.,

A method of simulation of solar processes

and its application.

Solar Energy, vol. 17, 1975, pp. 29 - 37.

8. Oonk R.L., Beekman W.A. & Tiuffie J .A.,

Modeling of the CSU heating/cooling system.

Solar Energy, vol 17, 1975, pp. 2i - 28.

- 104 -

9. Gu errez G., Hincapie F., Duffie J.A., & Beekman W.A.,

Simulation of forced circulation water heaters.

Solar Energy, vol. 15, 1974, pp. 287 - 298.

10. Klein S.A., Duffie J.A., & Beekman W.A.,

Transient considerations of flat-plate solar collectors.

Journalof engineering for power, april 1974, pp. 109-113.

11. Gei er K.W.,

Regelung geschlossener systeme.

Wärme, band 80, heft 6, pp. 1 09 - 11 5.

12. den Ouden c. e.a.,

De mogel~kheden in Nederland voor het gebruik van

znnneëne e voor ruimteverwarming en

warmwatervoorziening.

Rapport T.P.D. (T.N.O.) no. 40.3.231 (1975).

13. van Kopoen C.W.J. e.a.,

Zonneënergie voor huisverwarming en

w.armwa.tervoorzi ening.

Rapport WPS 3- 74.11.R222. T.H. Eindhoven, 1975.

14. Hoogandoorn C.J. & den Ouden c., Het rendeiTJ.ent van zonnewarmtecollectoren blj

Nederlandse meteörolo sche condities.

Rapport T.P.D. (T.N.O.) no. 336 , 1974.

15. V.D.I. Wärmeatlas.

2. auflage, - Verlag Jmbh, 1974.

116. de Jongh A.C.P.,

Handleiding EAI 680, hybride analo

T.H. Eindhoven,1969.

17. van Bruggen P.A.,

rekenmachine.

T. E. ft, afd ing W, vakgroep energi evoo rzi ening.

Stageverslag, 1974.

- 105 -

18. Whi ier A. & Saluja G.,

ct of materials and construc on details on e

thermal performance of solar water heaters.

Solar Energy, vol.9, no. 1, 1965, pp. 21 - 26.

19. Sh dan N.R.,Bullock K.J. & Tiuffie J.A.,

Study of solar processes by analog computer.

Solar Energy, vol. 11, no.2:, 1967, pp. 69- 77.

20. Close D.J.,

A design approach r solar processes.

Solar Energy, vo1.11, no.2, 1967, pp. 112- 122.

21. van der Grinten P.M.E.M.,

techniek en automatiserinG

sma - Technica 9.

22. Smulders P.T.,

de procesindust e.

Fysische transportverschUnselen.

college diktaat no. 3.322 T.H.E. 1971.

i------

! " J ' ....

_s

j l "'

"' ,

•->

t! -;

('>

1-~

~

" ~

~ .1 .11

111 t""' ~

ïS ...

1-l.

t.1 \.

• 1 ,ll

.J

...p 1

-

' tJ

' }.

\

-----

---' v

"" _

$

S'

" s

"'

0 ~til

-----, r

---

•. : I

0 .. H

I

.t~ t1 o

--

'J\oct~~1:~­~\'\o..:J..-\ ~

Ot>~·"~k R

x..

I .I) a~

.r

0 N

. co

~

\J)

-0

~

Ç)~

I;)~ ,,

o""'

\I C

l'"' 0~

'r ,, ~

\)--(<

Î

0~

c-.1 0"""' ~

'oll

f ~

~

f-

i ~ 0

J .11 rf /1 .". (')

{ >

c! > rY

. -'

---t> ~ ~

3 c.->

0

"' ~ 6 _s'o J ~

.., •-> .j

. ..) ..._

_.<

.)

~·

i f s: ~ ,J

j

ll -c,_:z · E. o ::. I' Q- r~,~ilo

C\.bSOI''f>t ~{. y>\o..o..t ~----------------~~~--------~--------~-----------------11

-I

Û.c.. <!>'I\ c:Át.r \ ~v..G e e. \1 (. r,. \ e. u... i-t"" t S':> d ~ \)C\_ V\ C\..bs.o 'lt ~~ p t~.)

Ö'.\t:t<:.~\o..A.t <t-V\ o"""'~e. v \,V\'1-.

\.i.."h'v,c:. .V:> ~Y\Óe..~tV"e."' dte. \oo\=> VC\.V\ J..a.. J'1.,.ol'\vte~trt>..\~~J lt<.c....\,,:\:~ vo_.,., ...-.....J""--'"""~1:.1-r""-\~ ~ LoY\ v~<. c.. .• :t V<... Voor R...e.'Y\ .J'1....1L~ \Jocr <::.t~LH~

o\.1..(.\"\t "'w\<?..V\ .x_-.__Y\.~1 - ~ r~c..-\.-..-t(_v-'-'.e.l~t Of d\--~r -te olv ..... ke.V\.

Jl .J

j ~

.~ ~

o·

Jt " ~

... ,j

> 'J

cl t

·~ .rf'

s: t P' -..)~ ~

~

3 5

oJ d

... t

..J tJ

~ 3

' ~

~

-& 0

~

-5

-~.-<><r-~

-1P IJ. I

~

;i'<'

~~I

~ ::B

l--s:

i-ro rJ

·~?

4 ·~

~o' N

E

0

~

0 N

5

0

~

-> ~ ~

:>

<:!) ~

~

fSO N

s::

(....

"' r:J

~ aJ -1)

\.. o

l ,., ,jl

,J

--P

~ rJ ~

\-~

~ _.>

~

J \11 .,

~ ~

.:,.~ .s:

~">

oJ s;

'"i!lf~OZ+<;.lo<-v r

.-J

.!' 5-ê .... ... ~~

t :5

('I ..)

~ ... !"""{(!

f)~

>

>

0 -.:-1 .. ..,. __ _

~

s::--

0 c 0

0' ~

0 9 :r

0 0 <:-1

0 0 ~

11 0 IJ,.J

•

0

+~

<Y'

\ 0 ~ H

0 <

t) 0 ~

0 ..r

0 )...

-y. \... i ~ ~

:10

-i~ ol

g ~ f....

.~

~

~ ,_,

>

~

'~ ~

-4-J ~~

(,:t:t) _,a\ Vt lf\

8 t 9 s

. q.":l'l"=\-~~"'-~~+~~ \~\--.,~;e, ")'f' VI~~<", c,;,..... l<\1}!~ a:.\~'W11~ er, \0 t~....,~ f'-''d..l-1~ x-~\\.,~

C _s ~>\ J"t r o -==-M1""'

9 ~ ·o ~ < .::L

0

1b

~b a

0

!-------·-

·-----'-

-=

=:-

-----+

..,--.:_

__

-----------------n

----------'-

---------:r

-c

~

--

·-----·----------------.:;--, -

-~ ;:-

"'! 'r.l-"'\) ... l" ... ~'\··r-~'\

--<t

........ , .... ~ .. ~ ....... \~ ... ~ """

... "'~ "r\-~

,.,. .. _ 10

-...... -

"'tl

~ .. ,.,.. ---~" ... ..., --

r\-y ~~\"'.l\"'> ·~ . ""'"' .o, -

... t-:-a:ft':'\~~~t:~ .... .._.

... ......, ~'\

"''U'"'\ ... ~--' ..... ,t t--

\ ~4t> .. (1

. -:x ..lTI"A'~r

j j j j j j j j j j j j

j j j j j j j j j j j j

j j j j j j

j j j

j j

j j j

.__ (~"'.~,.,)

1>~1

-'J'~J,.-"""f''lQ"\f'"":.'",oor~'a

. c\-~.la""'-...~ ~

.l-O<I'f ~à~

tY' lr<

"'

'fl ........,"

à'f-"">0""'

""!>(\._

· èlooÎ ~<V """''. ~ W

I'J

""Jl-h ~";\"'~\-., ... Q

( ...,., ·"'-Î o

o>

, -cl.....-v

\'l-/ ..

>.

' '

...... , ............ ,..., \-'7f"'o) oog

~

·--T·

' ·

-~Y .. Jt<> -

~

"W

~'\

Y'

------

--

Cjl

='""""":~~--~-M~\~1 ~o=o.s~-=-·~-:::::::::=o~j~====<=\=_L======~--=

0

0

i 1'0 i i ~·o

I

S'o

l'o

Ï s·o

i ~b-

~~ L:

h 6 0

~ <:j

I 8

0

r-----------------~~ ~~~----------~------------------------------------~~-----------------L------------------+0

------\

..... _.........,"" a

1

"""' 3

\ :l'\ I

-\

. . ~

...,__

-

--~ ----------------

--~---

"\•pr~ ... "'r .._t.~ "7

~ r-rr-i~""':'~oo'"!. ~~ ~

... """""r·......l-.-\ ."._ ... l\ ~

'"'00)0 l'r-J,cy

t ..,...y...,..... ,.

__

., ...,.. ----~

~ar--·~·····w· ... •') _". k

~'~ ~~

7~ "."-\•11\

oo

s

_,..

~~\-=-""~-. ~\ ... "'\'

... .._. -ra-

~, ..... ~.,.,~ .. "'~--

... ~ ... (\~,,~.

~

OI

ot,

oG

OO

I

~~

•o:m

p.:::ra

tuu

r -~_

21 i

'20

19

. 18

i ,0

o.b

0

0

o{ ~;

""""'· '>~a..\~.:....-t.._";.k-1: """"'

8o

o

N->t·

4o

o Lw.w.-

1).

i:::lt c,\1'.._\;,..~ J..4\

u-

c.,, •• ,-~~"""-"'-1-loot'.

1:) (. ................... .

.

"""-"' o(..

..,..,.".,J,~ ~.....JJ.

~

J.~ ko.. ... ~.-î: .. ""~e. ...... :\"'-"'1'·

I --------------~------------~=--------------====

ïb

8 lb

01, 91

---

8

-----~ ----------~-

-------.......__--~

'l'M ... T~+~

: "!t-.._,,...,. ... ~"1\··,-.~,

~I

p.

..~

·~•llll.A,.t. """''W

'"'') ........, h

~, ..... ,...

~

,,""~·ft\ oo"'

-.-

\~,~~-;c.P.~\.,.,.t" . ...........,

-.. ~ ""'N"'\,,.~ """\\-.,.._ '-'" c\o

"'ct

0

(] 1.:

nZ o

t

---·

·m-r..,\~ ~

~·~+~~"l'\~Y ~

•c\.al ..... ,., """""'\~~

.......... il-r

~, .... ;'..

--<3.

• """"•M,

•oO

"'ft -

1-':'..,':"'""""' -:'~\"t\'lo • "

-,_

~ ~~

~"""+-.J-,4--;~ ... ~~t.v,~· ~

:K!

~~"1\t~~

0

Ol

ot,

----

-------

• .l"f\"ff""' "''U""~ 'l'f'D -"

'\l_ . ~-

~

")-.l-y>

~ -~)'r

t'fJD......... ...,.

-.... ...,.~""""

~

·~-Q'"J-~·~~~~'"'''!.""" -... ~+"'-

~~

'tD"""'a.l~~lo4~"t""! -.. ~\..;;

~~\'llût<; .. Cl

·,.:"' •tr.. o

oa

... ...,.. t~"r'+1'"""'\"""1~~, ... ,Jtt' ·-r--

~ ~~ ...... """-~-... -\~-"'"i ... ~.

•(l

·]ài~~t

0

OI

0 t.

0 6

OO

I

• _.........,_ "'1>'>'"•w-t

·r'"' ·Ó-.-t

11f' .~nerf

'l"r"~ w~

'fJ """""'

11'(".......,..." .. ~

·u:~ Ory """""'

1!f~S"'""."" -

\.....-~"''f<"

~~11w;""l~...,. w

n M

~""'\...,~">

"Cl O

t

~-~·Mî oo~

~~

("'f ..... l o

os

.......... rf.,~""!

_J"""'.\"'J 'fS l<""""'

wn

i>,'l

')4

I', I 0

0

t,'o

'!;'o

h'o

ç 'o

t'o

8'

~I

t Ir,

J0

.Jr. n 1

" .t ;;. d ~a J_

U•

..... · '·

0

co

-r

I

~~ I

0 ,_,. 0 - 0 ..._:)

- _o V.' ..r:-

_o Vl

_o er- ~ _o ____ _L_ a:> ___ _L

- I ..• ~ _ï_L .. - -L ( ---

I

tt ~ ~ R- --><::,

~i ft 1 oP. i I ( _.,.. .

~ t·t ~ ~ f ~ ~ { ~ ~ f '

rL á f } ~ 1 ,. I . t "" 0

0

~ ? r.

-v ~

~·-·--·-___} -~------- _______ 0]'

z==---- ---·-· ·------=:1

T- ---- - ________]

~---~----·---·- - ___ __ __J

---c:_----- _________ :::1

,------ ··- .---____ ==:1

\""------------ ~ ~---··----~

....:::::------~

---- \ \

\ \

' \

'

\"i\\ 0 '

! "

\

_o -..n

....... - ...

~~~ 91 •

~--------------~~---------------~-----

i

(L~ l """ . ]

"\

0 0~ ; """'~

---------

t-------

---. ----·--·--·-

--1...,....,"...,.....\--.+~ ~

..1.<'()1" 1-'f-"'.......

7" ""'""""'

~ Jr<

N>

,...... "(i

-.. ~-

o-,.., ......,..,

~f'o~J. ""n

i----' o\Q

OQ

Y"

l" ....... _,~.,_-... ,1-...,_ '""h" "tn

~:r·-'-t'"' ~Cl.

\~-"'"'"·M) o

o'"'

.......,." t.._..~~ .......... ~_,_Ji.""!.I .... Jf',

. .,.""""" ~~

'f'

-------~~

J_ Ann1D.A~d~~l_

0

0

~·o

(.'o

·ç•o

9'0

t_'o

ls'o

[,'o

O'f

SI.

bi

ot

• " H

0 6

<jl

--. .... --

' --------

:t_--

-----·-----··--.,

-" ...yoo;......J.~, ''S"~~ h

Dl'-

~~"""" ,. .... .

l~\~.J~~

"""n-... ~

, .. ~'\

'-<1

,_-·(tl ··~ -" ~

~~~~-'-~ .. ,,

·~

""

'ft ~~ "''a-l""\ ... .l .. c\ -"" ~-.c\ ~

' c\.

w(l

"')(')( ~ "n .... »o~~

0 O<i:

os

Q 1:.

OO

I

'l'r ar

91 •

"tl B

0

L---------------~----------------~----------------L---------------_j----------------~----------------~ro

'J...,.,i-~'~""">t -ry"

-><>Of' 'ff""'à.'"'(

\ 'f .>o.-.v

-,o """'"

" 'f -""""c-Y

... <::S.

•..lY1

Y\

-z; ;

"ll'fo;.la~<;'t"t~\ -.o;<

; ~ ........-

---··-_, ___ _ ..l'\"1'1'\t-"".1')4 ... ,1-.l, ...... '>\

I

11o

I 'to

~I t~'

I I

I ~

-----

I, \

J ~

---------

J;a l----·

--------: _______ -t.b

bb

)'~ T

BI.

bi Q

J

(79

) ..~ .... + ... .l~ ... l\-~ I~

"t"Z

~\

9 1

-----._

_-----L

_ .. ------·-··-----L--------_j---~----L--------.;_ _

__

__

__

~o~·o 0~

(IA-..l-n/ F~

. <\-~.Na'-'"c"l\ -wy> ~ ~

ll"-""'""" (0

""""'

"I" Y>

:ror"" "<3..

. .YYYYl ~ <;

""(""'~Jo_,,~..,,,,.~ ........

'--

N

I !

I I ~

I

! I

L)

1\ I

I G

:Q

I

:~1 2

0

1.9 . !8 A

t~ J..

qg

~8

==========~,~~~~~~

""" ... ~,.. ... ~ <;,-\r...l\."1

"" 9

o o

""'f 1.1.0 o

~

~·•··-r·,_-

EC) ....... = 4

ot>

rJ... b~ ~

. <;,*r"'\1.-.'K:-.:....~-

">;.:\;..:...~ """"'

So

o l-~l

"'

-l. """'f·

4.0

0

w

"""

.....,\.-,~~t;,.."rf..;.o~ ~

::L w

..,.r,

~

.-........-ok ~"""'

d-,....,orJ.t

~-là

en-ç}....

'lla-."u-•. :t. ....... .-. I\,)~ ok..

,.. jvr..t,.~lt\1'\ """"'"""'v..("'.

04-------------------,-----------------~-------------------r-----------------~-------------------r----------------~

0 8

ll.

-M-

De kollektorefficiencyfaktor is, zoals we in vgl. (3.î)

en (3.2) kunnen zien, een dimensieloze grootheid, die het

verband aangeeft tussen de temperatuur van de

absorptieplaat, Tp' en de temperatuur van de vloeistof

in de circulatiekanaaltjes, Tf.

Op een willekeurige plaats y 1 (zie figuur II) geldt:

""f) ::::

Hierin zijn T~(y 1 ), T:(y1) en T~(y 1 ) de over de coördinaat

x gemiddelde temperaturen voor resp. absorptieplaat,

glasplaat en vloeistof, in stationaire toestand.

Grafisch weergegeven krijgen we het volgende beeld.

figuur A.1 het verloop van de temperaturen in een

kollektorelement.

Voor de berekening van het temperat,_mrverloop i_n het vlakke

gedeelte van de absorptiepla~t tussen twee kanaaltjes,

beschouwen we dit deel van de plaat als een vin,

- A2 -

waarbij we aannemen dat de temperatuur van de gekromde

stukken constant is over de omtrek, T;b(y 1 ).

We nemen nu hieruit een klein segment met dikte

lengte dx en breedte 1: ( in y-richting).

De' onderkant nemen we aan

als goed geïsoleerd.

Àp is de geleidingscoeff.

van het plaatmateriaal.

De energiebalans van het segmentje dx wordt nu:

~) -r ~ \ T?~t 'lj ~0-,~se~) '01-) ~a\ x = ~ +- e>\")(. s. .

tWVt.-t q_ l :::: q + ol. tSL ol 'X.

Q\;x.

OIT, s. ~ ({ -:: - s {\'r ~

Dan resulteert een 2e orde lineaire differentiaalvergelijking.

Opm. i.p.v. Ts(x,y1

) schrijven we voortaan g

s T , d.w.z. we e;

verwaarlozen de afhankelijkh d van x en y en nemen

een geconcentreerde waarde Ts. g

0 11

~ ~ 1

~

,, ---- 0

' \..)

I/

~

I

'11 '~

(Cl)

+-+

~0

,,

...... -1 1 IIY

1tV

I +

C

O("

.l~ !C

l

~

I

Jl\:f I

.,...-:::)a< :re

' -A

{

"'{b 11

+

11

- A4 -

We definiëren nu een vinefficiecyfaktor 7 als:

1 ::: ""F + s ( \-""F) e;b L~~,u .-..i l= = ~ t~1)

~-\ ~, c~-1.) ""'~-t ~:

<th0 "" 'f, - Lt. e;" l 'I!~ i ? . l1 + -1-1 ~~r\- lR -4) ~~c;;.-\;_~ :

irC~,'J - s +{~=-~~1 +:;}H-u.~L'!9\+ ._5 (1-~'X'\-1.1(-t..t,As(~~ Jl e'th L'à9·Lt J "?h ')

Hiermee hebben we de x-afhankei~jkheid in de absorptie­

plaqttemperatuur geëlimineerd .

. We beschouwen nu een kollektorelement met lengte 1 en

breedte h.

figuur A.2 doorsnede vRn een vloeistofkanaaltje.

- A5 -

Indien h0 is de warmteoverdr. coeff. van de p~pwand naar

het doorstromende medium en d' is de inwendirr,e diameter

van het vloeistofkanaaltje, vinden we voor het

warmtetransport naRr het water in het kanaRltje de

volgende energievergel~king:

'\-h,) · ,t = 1l ot'. 1-.l Tt>t l ~[)-I{ l ~I)~ .

~ ~ti.t' 1.\.~-t "X) \~1 ; ,~ ~ L '1>0 -= CU~ 1). h + -rr a~(. ktl .l{sL ~0 \\ o{', ~0

o~ Ël;t.h\l ::: '}h~ · \, T 1r ol'.l.{itl '<!\) -1-a') ïl ot, A

\_A.') -~1)-Jd W. (R-~) ~-\:

C:tlu.,\ r-I--lA\ ~) f ( <}L'i,). ~ -tlTci~o ( \{.s.h!) y olj ~1 \-l k)+ ~)1 ~-LA 1\o\\Ào

ot Dvl'\•) - i 1= · ~-~-~H <;- u(~'h~ -T;)~ k. ~-~ .ol. ) l.{.~ -\ + \- k ,r~ . "1t ot>.J..o

We. ~f\'\~f'll.V~ ~ cÁL ko\\ fl.~~ore..~d·'"~~t--~tor ~)) ~

~) -

( F/. 6)

( R :r-_).

LA ,a)

- A6 -

DeZ'B faktor F' is uitsluitend afhankelijk van de kollektor­

geo~trie en neemt dus voor een bepaalde kollektor een

constante waarde aan. In de noemer herkennen we de eerder

genoemde warmteweerstanden:

h F(h-d) + d

U.h

geeft de warmteweerstand in de vinnen

tussen de kanaaltjes.

geeft de warmteweerstand in de overdracht

pijpwand-wat er.

Tot slot van deze appendix een uitgewerkt voorbeeld.

We kiezen daarvoor een stalen absorptieplaat met een

dikte van 1,5 mm. De hartafstand tussen de vloeistofkana~ütjes bedraagt

10 cm, de uitwendige diameter van de kanaaltJes is 10 mm.,

de inwendige diameter is 8 mm.

( -2 -1 0 -1) De warmteoverdr. coeff. U is 3,5 J.m .s . C . ( -2 -1 0 -1 ) De warmteoverdr. coeff. h 0 is 478 J.m .s • C •

D · ff l · 52 2 (J - 1 - 1 0 c- 1 ) e geleldingscoe • van staa lS , .m .s • •

Dan wordt (~\1 12

S,f,f}

~ = o.~tS

\

-:::: 0. 3>'

Indien we i.p.v. een stalen absorptie:plaat aluminium

als materiaal kiezen, met een geleidingscoeff. van

6 ( -1 -1 o 0 -1) 20 J. m • s • ,> , onder overigens gelijke omstandig-

heden, vinden we voor F' de waarde 0,97.

- A7 -

Ter illustratie hoe de faktor .B" afhankelijk is van de

hartafstand van de kanaaltjes, de w.o. coeffl. U en de

materiaalsoort, zijn in onderstaande tabel enkele waarden

gegeven. Daarbij zijn de ove ge grootheden zoals

aangegeven op pag. A6.

~ 3,0 3, s L\1

0 I 5,o

·-

o, 0 ~ Cl, i]~ o, <:} 6 3 3 o, c;;l8 67 o, c:iS 3 ~

I

I o, 0 l o,:n b t I

o, ~ 1 3 0 o, 9 b 3 J o,~b\'J

o, \ 0 cl<) 5 ~ 7 o, s 5 1 ~ o, 9 ~ 57 o, '33 3 ~

0 I I::, o, :n b't o, 9l 6 7 I

Ij~ o, B~ aa

_, -\ . -I OOt" o-. IA. """" ""'\..v.. ........ ~ '? - . ~ - , I V \

~I ),o 3.5 4, 0 ,o

~ I

o, 0 '-1 o, ~ :l o I

0, 0 l I o .~s ''

I o, 10 l ________ o, Cjj o7 o, '3 o, ~ 5 'd ..

tabel A.1 de kollektorefficiencyfaktor voor stalen en

aluminium absorptieplaten.

I

- B1 -

Appendix B. ~~-~~~~!- erdE~~e!_!~~~~~-~~~~~E!~~E~~~!

~~-~~§:~E~§:~!·

In het voorgaande hebben we steeds rkt met een constante

warmteoverdrachtscoefficiënt (absorptieplaat-glasplaat) U.

In werk el jjkhei d is U afhankeljjk van de tempera. tuurni veau.s.

vooral doordat in U ook het effekt van stralinr, is

opgenomen.

Wanneer U temperatuurafhankelijk :is, worden de en e­

balansen van kollektor en glasplaat, (3.14), (3.15) en

(3.17),beschreven door niet- line re differentiaal­

vergelUki en. In het volgende zullen we aantonen dat

deze temperatuurafhank Ukheid erg gering is en een

gemiddelde constante waarde bepalen voor U.

Opmerking:

Het warmteverlies absorptiepl~at asplqat is vgl.(3.12)

aange en door de term U(Tf(t) - T~(t)). ,)

Dit is eigenlijk ni helemaal ee ijk, wanneer we de

ener ebalans voor de glasplaat opstellen.

We zouden dan moeten nemen: U(T (t) - T (t)), waarin p g

T de p

ddelde temperatuur is van de abso tieplar:1.t.

Ook voor de bepaling van een gemiddelde wn!l,rde van U

rekenen we met een plaattemperatuur van Tv. J.

Omdat we echter de temperatuurafhankelijkheid U

zullen uitmiddelen, is de laatste fout verwaarloosbaar.

De fout in de energiebalans van de glasplaat bli,jft

echter bestaan.

W~ zijn echter niet geïnteresse,~rd in het verloop van

T (t) op zich, maar wel in de invloed die T (t) heeft g g op het verloop van Tf(t).

We kunnen nu stellen dat :

doordat de

met kafl.r

afwijking in

duceert van

De ootte

T ( t). g

w~arden van Tf en T ongeveer 10% p

verschillen, de bovengenoemde fout een

de temperatuur van de glaspl intro-

+ 1 o%. van Tf(t) voor + 1 bepatl..ld wordt door

- B2 -

Dan veroorzaakt het nemen van de term U(Tf(t)- T (t)) g voor de bepaling van de energiebalans van de elasplaat

een fout van ± 1% in de temperatuur Tf.

Dit lijkt a~leszins aanvaardbaar.

Voor de warmteafgifte van de absorptieplaat naar de

glasplaat geldt:

U l T~ - \ ~ -= o(\ (T{ -T ~ + E . ~ ( T 1-'i - -c21, Lt) Hierin is ~1 de convectieve warmteoverdr. coeff.

tussen absorptieplaat en glasplaat.

- ..J..- ;- ...,l_ - \

~w (~w

[ is de emissiecoeff. van de glasplaat voor gw warmtestraling.

Lpw is de emissiecoe~f. van de absorptieplaat

voor war~testraling.

~ is de constante van Boltzmann.

Tf en Tg in Kelvin.

u _..l._t:~Cl ,s :: 0(\ I ) 0 0 • 0

u -= ei, + ( .C\J. \o' I ( ~\3 T~\l.r~!~i.J+ti-'r ~Y+( ~~) l \o~) \. ~o) l Loo J \loo}ltoo} looJ j

sW u\~(~\-~ ,_!~\Lr~ -rtr"ut1ij2 +/~_\3 lOo-) \._ \o;,) l ~oo) \..~) \. looJ ltoo)

""b u..~ u -= ()(I + [.Cl~\ 0'. u l ( B, 2)

We zoeken nu naar een vereenvoudigde vorm voor u1 •

Wanneer de gemiddelde temperatuur (Tf + Tg)/2 groot is

t.o.v. de verschiltemperatuur Tf _ Tg , kunnen we u1 vrij

goed benaderen door: (met ook hier Tf en Tg in Kelvin)

u.~ "' ~ ('!:'1)'

- B3 -

Dit bljjkt uit onderst8.and rekenvoorbeeld, waarbij U 1 en U 1 met elkaar worden vergeleken.

T rc1 n U' -~...,

',) 1 1 0

+90 +80 +183.567 +163.531 +90 +70 +176.089 +175.948 +90 +60 +168.890 +168. 577 +90 +50 +161.963 +161.414 +90 +40 +155.303 +154.458 +90 +30 +148.903 +147.704 +90 +20 +142·757 +141.150 +90 +10 +136.860 +134.793

+80 +70 +168.612 + 16[5. 577 +SC +60 +161.552 + 161.-41L• +80 +50 + }5Lio 762 +154.458 +80 +1-10 +148.237 +147.704 +!30 +30 +141.970 +141.150 +80 +20 +135.956 +134.793 +80 +10 +138.188 +123.630

+70 +68 + 15'<·1192 +154.458 +70 +50 +147. 837 +147.704 +70 +40 +1111.445 + 1 Lllo 150 +70 +30 +135.310 +134.793 +7CJ +20 +129·425 +128. 630 +70 +10 +123.784 +122.657

+60 +50 +141.183 +141.150 +60 +40 +134.922 +134.793 +60 +30 +128.916 +128.630 +60 +2C +123.153 +122.657 +60 +10 +117.642 +116. 872

+50 +40 +128.662 +128. 630 +50 +30 +122.732 +122.657 +50 +20 +117.150 +116. 372 +50 +10 +111.757 + 111.273

+t.;O +3':.': + 11 .<;. 903 +116.872 +40 +20 +i 11 • 391~ +111.273 +40 +10 +11JS.l23 +105.854

+30 +20 +105.384 + 1 os. 851~ +30 +10 +100.732 +100.615

- B4 -

Warmteverlies t.g.v. geleiding en convectie.

In de luchtspleet tussen absorptieplaat en glasplaat wordt

behalve door straling (weerlegd in de term u1 ) ook warmte

overgedragen door geleiding en convectie.

Omdat we te maken hebben met natuurlijke convectie, is de

hellingshoek van het kollektoroppervlak t.o.v. de

horizontaal van invloed op de warmteoverdracht.

In het algemeen kunnen we

stellen dat Nud = Nud (Grd ,Pr,(). c c c

In li t. D ~ pag. Fc2, fig. 2 is

Nud gegeven als funktie van c

Grd .Pr en y bij opwa'l,rts c

warmtetransport.

In het gebied 1 o4 <. Grd .Pr <.. 3.10 5 kunnen we uit deze c

in formulevorm afleiden , van de vorm grafiek een relatie

Nud = a(Grd .Pr)b (B.3) c c

Indien '( == 45° lezen we af Nu== 1 '4 en Gr.Pr

Nu - 4,3 en .Pr

Door in deze logarithmische grafiek nu tussen deze twee

punten te lin seren, kunnen we a en b oplossen.

Door de waarden de twee punten in te vullen in (B.3)

vinden we 1,4 a(104)b

en 4,3 , dus a 0,067 en b 0,33 = a(3.î0 5 )b

.Pr)0.33 = 0,067(Grd ( B. 5)

o( d c 1 • c

Àl = (B.6)

Hierin is

Äl = gelei ngscoe . - 27,5.10

3,2.10-1 voor lucht

~ = kubieke uitzettingscoeff. = bij een

-.r kinematische viscositeit = 17. 1 6 temp.v. 50°C

g = zwaartekrachtversnelling :::; 10

de = spleetafstand

b.T = Tf - T . g

- B5 -

~

::Jus Grd = 111./)..T. ( 100<\_) (B. 7) c

Wanneer we bovendien voor lucht een waarde van 0,71 voor

het getal van Prandtl aanhouden, kunnen we m.b.v.

( B. 5) t/m ( B. 7) de waarde van o(. 1 ui trekenen bij gegeven

~T en d . In onderstaande tabel is dit voor een aantal c waarden van Ö.T en d gedaan. c

ó.T ol.c. ct'~,~\ N\..\.olc.. -= o(\=

ct'o\ o.'!l3 \ ~c.) lW\) t>r = o-11 o.o6=t(C1"~~ N\ld.c. H-

I otc...

.3o <J.,b. b YO \1 8 Lj

'· 1 b ').I 4 '5 01 Q 'l . 10

3o 0. 0 3 &<3 • <) l 0 b, ~ . L; '),. b 1 Lt~ lo ~I

~ 0 0 0 L; I s '!,_5)_ Lt 6 21.3· IOO l, 5 \0 'l.

~0 3 5. 5 '). 0 4 \, ~ 6 "2.1J 0, Ol 'l,5 . 10

I

~ 0 0, 0 3 1\l<j.Soo I

als I o I; i 'l ' <:l 5 (I 1 4 0 0, 04 l181.t.ooo '4 lo

5 3 _<j_ '2 '1.11

I Lt 4 .Lt oo 3,1 4 I

<J., ~ 5 0 o, 0 ,_ \0 'Z . I I I

5 0 0' 0?. l ~ '3. 000 \0 5

3,' ' '2. ~ ,86

5 0 3.55-ooo ~.s s

~ 13_ 'L3._ 0 ' 0---':L.__ \D

bo 0 ,0"2. 5 3. 00 0 1.1- 4 '2.'l4 3 o8 \0 I

b 0 OI 0 3 lt9.ooo I, 3> lo s

~. 4 3 I l I '

bo OI 0 ~ ~ ~ b 3 5

~~ 5 I

3,o<j oo 0 \0

L

Hieruit bl~kt dat de afstand de geen invloed heeft op de

warmteoverdr. coeff., althans zolang aan de voorwaarde

is voldaan dat 10 4 <Grd .Pr < 3.10 5

c

Dit was ook wel van tevoren te zien, omdat

o~., -= c, ~ ctr otS1 ~" ~ c:. t <\.T\· ;t .{i, •1, =

~ 0\'\.~\--..ke.\~'K \)~ o\c..

I

I I

I

- B6 -

We kunnen de afhankelijkheid van T benaderen m.b.v.

de formule

= \ . ~ + o , o .<. ( T ~ -T ~) ) - -+s ~ o < ~ .:r-'ä 4(,. 6 o

"'b ~t cy-~u.'t>~\i.\~~ol c..,. ~-?..) ri' ""~ L-t :

In de formules voor U en qsl , (B.B) en (3.17) komen

afhankel~kheden voor van de verschillende temperaturen

T f' Tg en Tb. B~ een stationaire situatie is het verlies aqn energie

van de absorptieplaat naar de omgeving gedefinieerd

door

\. _\_ \ + /'WIA..-t -::: - t>( ..l + ~.".{-,.. t>(.t \À

o\ ...L- +-'::::. ' ) ~t ~\ + (.G"'.lo -~ ~..t +- olt..-k-. \

_Cir~~..;...~ __ '=' E:2rw t4o +~I (T,_ =\ ~)l ~ 4 0 +~.1. T,_ -T~ T~ -T~ ~-Ta

( :.

_(}

G"""" = !;J T * \c

Ll: = 4 (Ti : 11:y o() -:\4)'1

a(\ -=- \. ~ t- o, oz LTÎ -T ~J·

("B.1o)

-b~ -:,~~11-~ ~\wl ~ve ~ O'f oÁa_ 0.. 'b Slot"~1\a..~~ .

- B7 -

We willen eens nagaan welke fout we maken in~ indien

we de volgende benaderingen toepassen:

U1; = 140 (gemiddelde waarde uit de tabel op pag. B3) ~ II

~ t = 7 (de waarde van~ t indienT - T = 20 °C) ~ s r s r g a

Daartoe vergel~ken we voor een aantal temperatuurniveaus

de met behulp van de formules I bepaalde waarden van~t

met de benaderde waarden berekend met de benaderingen II,

waélrbij alleen o<. 1 temperatuurafhankel~k is.

Daarbij stellen we Ta constant .op 0°C.

Zie tabel op de volgende pagina.

Hieruit kunnen we concluderen dat de benaderingen

u; = 140 eno<_str = 7 geoorloofd zijn en slechts een geringe

afwijking veroorzaken in o(t.

Voor hoge plaattemperaturen vinden we iets lagere en voor

lage plaattemperaturen iets hogere wa,rden.

('B.1i)

-

o( 1. > U. 1.. l ol... c;.h- V o \",.,...co. {ar \'\1\v..\-t '=' :S:.. ~1.. ) \A '1. ~ ol. <e-1-r. vo \1e."'-.;. .{or ~u.\(.<::,. JI:

T{ ~c.) T~ l_oc.) ol\ & >

tt./. <6.tr o(t o<, r,c. u> ~<jO\,.

ol..) E.û. \o .U\ \oo \ t

I 0, <j ~ ~.o t 1,1 t 90 So 'î,l I 51 ':! o,e 3,01

I

i I I I 1 9o 35 310 OI &5 I b, ~ 5 3,'2<t 310 D, 'ij 3.. '2 "),

i I 9 0 ',lO 3,3

I

o, 8 f, I 3, ~ 4 31 3 I I 'a 1 3 ~ '-r -- --

8o So 1,5 0,&8

I S,'j 2, e j l '2,5 c,& 1 2,&6

i I 8o 35 7,'8 I o, 8~ b, "Z 5 3, 01 'Z '8 I o,8 f 3,o8 I

tl1 So 20 3.J o, tb t 1 J ?.,27 l i c.,e l 3 < '1 Qj

I

'fo ~5 21 Lj o~~t b,O ~. 7 s t~ ol8 t i ?,,tB i

i i i

tD 30 ~.l 0, lb b,Lf (,'Jb <I 1 ö,'B l 3,o

I to 15 31 0 o~11 1'& 3 \8 ! 3 0 D'8 7- 3 <J. 'l I I I

bo I ~0 ~ ,3 o, n I b,J 'l. \ bl ~. 3 o,8 1 11l I

I I

bo 2.5 tb 0, f I b,f ~~8~ ?_,6 o.e I 7 ~.:J3

bo \0 ~.) o.b b c_, 'l ~ 0 '3 ~.9 o,e 1 3 I 5

I

o.l 1

J I

6,4 '1., b t ~. l o,e z ,j So :So ~. 3 I I

I I I I OI 6:-:, o 1B _l__j_ I

<;o \0 <.t 9 I 'l_ I 3J ~.l I '3,o

- c 1 -

Van de tot e massastroom lucht m1 die per seconde in de

woning wordt ingeblazen, bestaat 80% uit retourlucht, die

opnieuw wordt opgewarmd.

Daarnaast wordt 20% verse lucht van bui tenn.f aangezogen.

Deze verversingelucht wordt langs de onderz~èe van het

opslagvat geleid, om aldaar te worden voorgewarmd.

(zie fig. C.1). Dit geeft als extra voo eel, dat daardoor

het aanslagpunt vanre kollektor wordt ve aagd, omdat de

ingangstemperatuur van de ko ektor lager wordt:

Dit komt dan weer het kollektorrendement ten goede.

Om een extra groot V.O. te krijgen, is om de voet van de

tank een geribde met en plaat gedacht, die met een

bepaald soort kit, met een ho warmt eidingscoefficiënt,

is bevestigd. (fig. C.2).

____ ...... ___..

figuur C.1 schem sche

weergave van de lucht­

voorwarmer.

T'

diameter van het vat is Dv.

figuur C.2 bevestiging

van de geribde plarlt.

De vinnen z~jn aangebracht over een hoogte Hv, met een

spleetafstand dv.

- C2' -

We veronderstellen dat er in de vinnen in de richting van

de luchtstroming geen warmtetransport plaats heeft en dat

de wand van het vat over de hoogte Hv en aan de bodem een

uniforme temperatuur T'o heeft.

Bovendien veronderstellen we een constante warmteoverdr.coeff.

~ tussen de lucht en het plaatmateriaal. V

Hierb~ moeten we dan wel een efficiencyfaktor voor de

vinnen in rekening brengen.

Voor het bepalen van de vinefficiency nemen we een element

met hoogte 1, dat omringd wordt door lucht met een uniforme

temperatuur, T1 .

Indien b is de dikte V

van de vin en À de V

geleidingscoeff.,

kunnen we voor een

element met hoogte

en lengte Ó. x de vol­

gende energiebalans

opschrijven:

We delen deze vergelUking door x en nemen de limiet

voor ~x-+0 : ~'2.~ - ~ +2. \"'!. ~ =0 Dvl\v

met als oplossing:

Tv~Y

"""""' = V

Indien de randvoorwa;irden zijn:

vinden we

T0 voor x :=: 0,

= 0 voor x = h , V

- C3 -

De gemiddelde temperatuur is dan:

-r _L_ J.Áv 'VW\ -= ~ Ty tx.) cÁx

V 0 h- \ -\<'~<'\\'~V

T \_\ o -'T~J e -::. Ä + wt., kv - \lll'lv h.v

12. + l2.

+- (To - TJz) { I - ~:·1,• _..,• );~ I I, (I - e.- Wlv hv \ \. e v v T- e. ) n11v ., }

Omdat de voorverwarming aan de onderkant van het vat dient

om tijdens de nacht jjke uren de koude bui tenlucht v:)Qr

te verwarmen en om tevens overdag het kollektorrendement

te verhogen, st len we als eis dat de afkoeling van het

onderste element met een tjjdconstante van ~ 10 uur moet

plaatsvinden. Uit deze voorwaarde kunnen we dan afleiden,

hoe groot het produkt~ .A moet zjjn, waarbjj A is het V V V

tot e warmtewisselend oppervlak.

Indien n is het aantal lamellen dat aan de onderkant van V

het vat is bevest , is het warmtewisselend oppervlak:

ft y -= ~ ~ 2 T \\ . ""by . \-\ \1 T 2 1 v . hy . tty . nv

We hebben reeds zien dat we een hoeveelheid lucht van

0,2xm1

(kg.s- 1 ) moeten opwarmen vanaf de buitentemperatuur

(die constant en nul gesteld is), tot een temperatuurT'.

(d .1.)

- C4 -

Aangezien de afkoel tijd van het vat vele malen groter is

dan de opwarmtijd van de langsstromende lucht, mogen we

aannemen, dat de temperatuur T0 niet plaatsafhank ijk is

en uniform over het onderste element.

0

Indien we een lineair temperatuurverloop veronderstellen

van de langsstromende lucht als funktie vaè1 de plaats, en

deze dus een gemiddelde temperatuur T'/2 heeft, geldt voor

de energiebalans van het water in het vat:

(C.-2).

met w2 is de totale warmtecapaciteit van het water in

het vat, (_ >j { ·c.)

Voor de luchtmassa geldt:

o. liW\A c.~-r) =e.i., R.., lTo--ç) \Ài.t Ie.. ~\ -."ol,.""-\. ~ \' = oi.v ~v, +.!. ~ ~{ .-ç

'\ •J IJ !12. W'l,t ~ l. "

""t) \. t ~"':;) I.A..~ Cj, ·h: 1:. \.\..4(- ol '- ( c. . 2.j ·.

w,.,. t-ltv_. olT!a..:: -o<" Rv (\-\-\ ~t

Onder de gegeven condities heeft het systeem warmtebuffer

dus een tijdconstante 'w'2 .. Hv o.l,.W\gC.A+'1:b(..,Rv T:v =- rJ.v Rv \"\- o.:t ~..t c..{

De eis is nu dat "'C <::::::10 uur. V

- C5 -

Rekenvoorbeeld.

Gegeven: D = 1 '2 5 m. V

H = 4,20 m.

H = 0,5 m V

m3/uur = 0,4916 -1 ml = 1500 kg.s

-1 0 -1 cl = 1000 J. kg . ,c c = 4200 J.kg-1.o 0-1

w kg.m-3

C?w = 100

Dan is w2 = 21,65 x 1 o 6 J. oe -1 .

"blA~. Lo. ~ boo 2Lb.ç ~ \0'11:- o.S' ( o.:z ~ 0.4'Jib*'J -t-±;v Rv) --tX.y Rv * 4 . .2 o. ;(. * 0. l; c:\ \ 6 1t- l 0

ot o(v R v = 112..6'""

In vgl. (4.8) op pag. 52 komt voor de terB ' d.i.

de hoeveelheid warmte die per seconde door de verversings­

lucht aan het buffervat wordt onttrokken, gedeeld door

de warmtecapaciteit van het onderste element.

Nu geldt dat n = H/H . V

I (0 -1) ~e dimensie van Qv.n W2 is C.s •

Nu moet gelden:

~ 'f • "'- • rro~ :( o<..,, . R.~. ~ (o .., """"- c

Bepaling van de vinafstand dv.

Het probleem doet zich voor dat de vinafstand d zowel de V

waarde van ~v als v~n Av beïnvloedt.

We zullen daarom de waarde van d iteratief moeten bepalen, V

totdat we voor~ en A waarden cevonden hebben, die V V

voldoen aA.n de voorw~arde o<. .A ~ 112,5. V V

Heet doorstroomoppervlak is: lf { ( "J:)" t-l '..v)' _ :b/}

- C6 -

de volumestroom:

de stroomsnelheid: o . .2/WI~

~~ ·~ { ("!:\, Î 2. h\' y·-J~/ 1 de hydraulische diameter: ~~v : 4 ~ atv"* .-tv

2. ~V+ 2.x ... Volgens lit. l1] is de Nu-waarde voor laminaire stroming

in rechthoekige kanalen afhankelijk van de verhouding b/a.

b N""ol. -~ ~ b~'u~ 0~ ol~~

2 ~·1>'3

4 4·44

a S". '35""

Uitgezet in grafiek bl~kt er een ongeveer line~ir verband

te bestaan tussen b/a en Nud

n.l. Nud = 2,556 + 0,424 x b/a.

N \.\4 · ,\ \""\..t. Ergeldt: ol..v-= a~v

\ - 3 ( J1 -1 -1 0 _,,

metl\lucht = 26.1:0 • J·""'·'il C.j Het rekenvoorbeeld op pag. CS verder uitgewerkt, met

( \ 6 -1 -1 0 -1 ( ) d = 7 mrn, c = 0,2 mm, 1\ = 20 J.m .s • C aluminium V V V

en hv = 4 0 mrn ,

ft cÀo :: 4 1r-o.oo't ~o.o4 ge e : ""''~ c:>.

0 ~ 4 = 0 . 0 ll '3 \N"I .

I -3 __. "'"'-~ -:: 4-~q _.o( -: 4,'3~ . 2..b.(O -= IO·IJ

J 1/ 0-bll~

'b - 4o ---1-

\-\ ~.:t o..o......-'\, j '-'~"'""'c.... ·~ VI V -=: ï\. \.J .Z .Ç" = S" b 3. o)oor

l2~10 q ) 1'2 = ) 6 -= 2. ?, ~ 'w!i \..( == 0/:J 2 0Jooo2 -,e- lo

- 07 -

\-\V :. l\ ~ \l.S'" * oJS" +-~ ~ \,;ZS"'Z -t- o) Tc:) -,)1,-5 b~;t-2. *oJ o 4 ~ oJ s- = 1. oJ~ """-z.

-:b\A ~ cl..v . R v = 2 2.. a Deze waarde ligt te hoog.

In onderstaande tabel is o/....v.Av aan en voor een arm tal

waarden van dv. Aan de hand hiervan concluderen we dat

een vinafstand van 10 mm het best aan de gestelde s voldoet.

~V +4.., c:4. hy N~r!. ol.v "'v W\v Y]., R~ tX.v Rv I l"W\w.} lw.J l"o//o'\J

IO o, 5 O,O)b 4, 3 '5 j,o 5 3c:33 I'B,b o, BS '3 ·.b, b lil I I o. 5 o,oq lj,l bi 15 3 57 ll,S o, 'Ob l'S i s '31 I ~ 0,5 0, 0 IBS! 3,13 5.3~ 3,~8 \bI I 0' 88 lilt, 8 19

I

_g 0,5 o,0\411 Lj,4s },ij ~?:. ~ I <::l, b o,8lt I \1,9 ' ~ l

- D1 -

Appendix D. ~~~-~~~~!~~-~!-~~E~~E~~-~~~-~~E~~~~!~~-~~ ~~~E~~~-~~-~~~-~~!~§~-E~~~~~~~~~~·

D 1. ~~~-~~~~!~~-~~~-~~-~f~~~~!~~-~~E~~~~!~~ l~~E!~~~~~-=-~~E~~E~~~l·

Om het rekenwerk met de analo rekenmachine goed te kunnen

uitvoeren, moeten we ons er rekenschap van geven dat alle

voorkomendeoperaties (optellen, tegreren etc.) met

elektrische spanningen worden uitgevoerd. In principe

moet da~rom elke fysische grootheid worden omgezet in

een elektrische grootheid.

We :naken daartoe alle fysische grootheden dimensieloos.

In het rekencircuit komen spanningen voor die evenredig

zijn met de afhankelijk variabelen, temperatuur en

massastroom. De absolute waarde van die spanningen mag

bij de EAI 680 niet groter zijn dan 10 volt.

Voor de PACE geldt een maximum van 100 volt.

Deze maximale spanning wordt de machine-eenheid,

M.E. genoemd.

Voor alle spanningen u moet dus gelden:

- M • E • ~ u ~ +M • E •

erin is u ME

u of : -1 '!Ei. ME ~ + 1

een dimensieloze grooth d.

De spanningen die evenredig zijn met een tempera tuur, uT,

een massastroom, um' of een temperatuurverandering, uT, moeten eveneens voldoen aan de voorwaarden:

en \ j\ ~ 1.

We moeten nu een schatting maken voor de te verwachten

maximal.e waarden voor de verschillende temperaturen,

massastromen en temperatuurverande ngen.

Deze geven we aan door de index m ( bjj t,emperaturen) of

door het symbool M (bij rnassastromen).

Dus nu moet gelden: -1 ~ T/T ~ +1, • • m -1 ~ T/Tm ~+1.

en -1 ~ m/M $_ + 1 •

- D2 -

We kunnen nu een eenduidig verband leggen tussen

spanningen in de machine ~, urn en u.rr en de ~fhankelijk

variabelen van het fysische systeem, T, m enT , door de

overeenkomstige dimensi oze grootheden in beide relaties

aan elkaar gel1jk te st len.

dus ~ ::: TW\ ME

W\ = Lt""' M ME )

u· -- \ . -\W\ -ME.

Hiermee hebben we nu, binnen de beperkingen van de machine

een relatie gegeven tussen machinegrootheden en fysische

grootheden.

De vraag ~oet zich voor, hoe we de maximale waarden

T , M en T moeten kiezen. m m \ \ \ .J Nemen we deze te klein, dan zullen T/Trn\ , m/1v1\ en/of

\T!TJ groter dan 1 worden en raakt de machine uitgestuurd,

d.w.z. de maximale spanning wordt groter dan de

machineëenh d. Bij een te grote schatting worden de span­

ningen te laag, hetgeen ten koste gaat van de rekennauw­

keurigheid.

Wat betreft de keuze van M doen zich weinig problemen

voor, daar we te maken hebben met vaste waarden voor de

massastromeE door kollektor en verwarmingssysteem.

De keuze van Tm berust gedeeltelijk op intuïtie.

Mocht deze keuze bij de eerste run van het programma te hoog

of te laag blijken te zijn, dan is aanpassing achteraf tijd

mogelijk. Ov gens hoeft de keuze van de maximaal te

verwachten waarden niet voor le temperaturen geljjk te •

mjn. De keuze van de maximale temperatuurverandering Tm

wordt zodanig gedaan dat de coefficiënten van het homogene

deel van de genormeerde di erentiaal vergelijking

gelijk zijn aan 1.

- D3 -

Hoe de amplitudenormering verder moet worden uitgevoerd,

zal aan de hand van een voorbeeld worden aangegeven.

We kiezen daarvoor de energievergelijking van het onderste

element van het opslagvat, zoals gegeven in (4.8) op pag. 52.

Voor de eenvoud stellen we even dat Fe = FcO = 0 en F0 = 1 •

Indien we hierin substitueren

wordt deze

S-k\

De verschillende stappen die leiden tot een voor de machine

geschikte genormeerde vergel~king zUn: . dT

1. St:el T0 = __Q en deel beide leden van de vergelijking dt

door de coefficiënt in het linkerlid.

2~ Maak linker- en rechterlid dimensieloos door te delen

door de maximale waarde T6m· . To -0

To\N\ . \ ,W\-\

• eo 0

lo""" - !L- _L_ .-r;:. V.-\

• 0

W.1 \olM

3. In het rechterlid schrUven we een dimensieloze

temperatuur T0 /T0

m . .

To

Tow. :::

4. Idem een dimensieloze massastroom m0

/M .

• lo -. lo""'

. _L_ . 1-.4 -\ . ,.l. o ........

ToWI

- D4 -

5·. S eh at de maximale w::mrden voor T0 en T0 . 0

m m Voor TOm kiezen we de w.a'lrde 50 C omdat we verwachten

dat de temperatuur onderin het vat deze waarde niet zal overschrijden. Door te kiezen

5. Kies een maximale waarde voor m0 , M = 0,5.

c._.l D NI vno b - T_o g = To -\-V ':: -ç::cv ~\ll\ '·1 0 -= - ) v 0 - J o - > o "W

M To\M t~ Tenslotte vinden we dan de genormeerde vergel}jking

Hierin herkennen we vgl. (7.8), indien Fe= F =0 co en F0 1.

De rekenschakeling ziet er dan als volgt uit:

De betekenis, van potentiometer 5 met ingestelde

J-. -T OW.

~ moeten we als volgt zien:

Er geldt dat 11:: lt> ---\olM 0

!o · ot-t + eo Lt=o) IO~

Uit de genormeerde vgl. 6 volgt dan :

-; -t OM_ f-r (:90 ol.-c -t- eO t_t;.:o) ~o~ 0

waarde

- D5 -

Anders gezegd: in potentiometer 6 hebben we vermenigvuldigd •

met een faktor T0m/Tom· Deze moeten we in een later

stadium weer wegwerken. Voor de betekenis van ~ zie onder

tjjdnormering.

De- machine is niet alleen beperkt in de grootte van de

spanningen, maar ook in de tjjdschaal. Bjj zeer snelle

processen moeten we in het rekenmodel een vertraging

inbouwen, bjj trage systemen, zoals het hier behandelde,

is een versnelde procedure vereist. In de praktjjk is het

gewenst om, vooral bjj registratie door een x-y schrjjver

de rekent~d te begrenzen tussen 0,5 en 2 minuten.

Om de onafhankelijk variabele van het fysisch probleem

aan te passen aan de mogelijkheden van de reken- en

hulpapparatuur, voeren we de volgende relatie in:

1:-::~.t waarin t de tijdsvariabele van het fysische proces is,

~ de tijdsvariab e van de machine en

~ de tijdschaalfaktor.

Alle rekenelementen behalve integratoren werken momentaan,

d.w.z. all een de ingangsspanning en niet de tijd bepan.l t

de uitgangsspanning.

Bij integratoren speelt echter ook de tjjd een rol •

• Hiermee is de faktor ..1-.\.""' in potmeter 5 verklaard.

(l -To~

0() I -j 'RE :)I 'J ' 'r:;E>'~L ' , ~I, ti, L, Ut), nET t\, i ;~L;, c:;, f~:J '.", C':J, l-<':1 c;, Gl:i"~!'·J, U'J,LI\''!DflJ_,L/\"ll)f\\1, DEL'(f\IJ, l!\11, .. p.;, -!'il,: i, ·h tl:';,

003'.; :<OL, [J_, \)~3, i·JL, r~: .. ,' l'.., L r\'î' Y\r,, DI, lt\Vj[_p·u,; (,):'(,Cr{, i fJ: :, C• \, .é\LFHt:t., ,élj_;" ; · .. , Qf)L,C) 'l_, .'1'::, :,12':', V':!, v:), '. il, ;'-11',.;, ft..PriAIJ, .IJ. V, \;V, ET(l\}, AUJHf'\l, l:.: \,:-: {, F 1., 0050 LfY1'.Ai<,,; 1,. :r:, !<~~ .. f.\)<.. t:t.PHAi<, TC~;:, (j(\v1~·1l\, IV:':; 0060 '1\JTEGF;• I,J; 0070 01)3 Cl 00')0 oton :11 l 'J

';E('L' 'l\~~rJY(' A;,~;( 1: 5, 1: li2J; 'i<~:;JCEDU:::iF:' :EGr~ U·:.. l); 'F>JTECr·: .. ' U '!:. T. J . ,, 'il.:Ci! \)'. • J;

~Ju.::::H'hl'lTTEXTC ;); 'F\'J:~' J:=l 'S1FtH l '!J\JTIL '5 'I.JJ' FI:<TC 2, /,, Al<,:;[,J, IJ)

o 1 :~o • F~JD • ; Er'J<J_; 1)}30 'PF:3c:;;:!1'l!·~E' ï'HCC); •:;Tr<I.\JC)' :~;

Ol·::jO 'SEGl\J' ·~U:>~; Pt,J\lTIE\TCU; 'E.::w• F·;·,; n 15:1 '. r:q_' 'P~JCED' ::..E' T 1\\li·l CO; 'I;E 1'L •:;;

']920 0'130 ')91;0 0950 Oq90 1000 !OIO 11)2\J to:::<) lOL() 105!) 1060 1Cl70 trv;o 1J90 11 !JO 1110 1120 1 131) l l /!() 1150 1 1 ')!) 1 l 7ll 1 L~') 1190 1200 1 ?10 1 12JC: 12c:iO l25(J 1 ~?60 127'J 1mo 1290 130.

1310

• F'J,; ' F l : 0. S ~~, C. 9 G, (). 'J 2, 0. ) lu !.l. r,, J. X::, 1 • 'i 'r (! '

• 'l!~~(j!>l. 1: =();

':.11: =500000; •p:;:\• \·11"!: u.os,o.to,o.t~),ç;.;>._;,c;.?.s 'DJ'

tr .l:: GI '; ' I : = I + 1 ; '\i\m I, 1 J: =>1]! i; A:. :U,~:: l: =CC >11 ':N~C' '}/UV!=!J)) ::( l-E;~PC- C '\•:F HL:)/C·1l'iJ1'C',D)) ; 1\;;f<(I, JJ: = C 1'\:~Fl:!:U)/C?:=:H' ';:(;'. 1);

A, ,..,[I, !;J: = 1-f\,~;:[I, ?J/Fl; (I i;;<( I, SJ::::: O. 05•!, CC r\.:;;~[ I, 2J ·: y,,;) / C .::;,;,C' 1'.)+'\.i [l,i:!J/Fl); 1'\l :i:[ I, 6]: = :vu-Cg 1< <~;;:<[I, :?J 1:(\) /( :2>::r1J l':..tf:C.·)- C :: ''.: < • . CI, <~J)

/( Li":f 1); P\l·:i:[l, 7J := Cd:!:A·:=Fl )/C:,:;::'•i 1' . .'-J::C':');

.II;?J<(l, J: = U\ J.;[!, '2) f:f..\o;dj) / C<l H·f!:Ct·}) + ( 8>:: Ai.;,[ I, ?J) /F 1-2; (l;j;[l,')):= o.nS.·i:({.);\l([!,'î)~rl);

A:: <U, IUJ: r,;.:i.:U,•3 l:l<VU; ~;;;<[!, 11 J:= IJ/C21.3+U); ~;<;([!, 12): o. 6/ ( 21 • 3+1J); f\T<. ;[ T, 13 J : C 2:::1'-11 ·,.;~c \·.') / C 1. 'l * ~E:Ti'\) ; .~F:l\CI, !Ll): o. 1l<~r;J;[l, 13 J,; !\;,;\[I, 15): = c::t. :.:J::<f)+'.J::l'.)/{f\:<DG·!::f:JG!<CG::f"E, /1).;

'\i\i-.. c!,.1f,J:= <'J::<C';!)/(\_1\I:l:, . .fJL':~c· -5E:Tt:'\); l\hi<[I, 1 7 J : = :). Si: Al ;F:[l, 16]; :'\;-~[!, t.: J: :). ;?5:!:.'4l,F;ll, 16 J; Ak;[I, l9J:= 0. gA;-;! [l, 16]; t'.i:i.[I,:'•J1:= u.O:J·!=0F:REI, 16]; .r.IL.;::>:-L'"·./: = < < :·2. s::Jr.+u. LQ4'~'1 '·J/, ;'.l):::L t . .;,\JD(t_) /cc,·,:, IHJ'=' lJ) / c ;::i' U iJ+ JIJ) >; :I) IJ:= ( (. ~:: ''L:'ll'.!\}) / ( Ul·LT,.~\1':=1. 'I<:JOIJ)) t ,-,. 5; E:ï AV: = ( l / U' 1f~H'J)) :': j,'l\J; l Ct-î'v'::: ~ VH P·\J: =fP: !Y·il l:i-('.Jl +( I)I / '~):;: ( [1\j 1) 1' 2+2f:F:Tf1\f'!:~ \{.{:HIJ l '<l.JI ·::l)lj 1 /J\/J

1 : = u r~YH .·\.t + o~·u c ~:J:U\/ !Y:'l< > ; : .G: = I/ C 2':: 1't... ':-!A 1) + Df!/ C 'i:<U\\~~H\t'); .·.2: C J:;:!Jlü /( 2>~Lf't'1D"~0 +UI/U\:U~I; t\~~RE I, .IJ: <>H f't...J-'Hf-1.,;;:1~ t:O. ~i:i'1L*O ... >/U}.).;: U. ::.':\~L*Cl.. +

C'.-! :: O. S:t< '1. ;+!A'/+: f\\ .. H (.>r{;~[ I, <~~~]: -0. 5:;.( C·ili:C.L -[J. S :.ft_[Yr(f~.:l: ~) / (l"lL*Cl +

D. SVLdift.:<rt.)); l J20 fl <i,[ I,; :~ J: =0. 1 H ~'lY'-1 ''Li: ''L) / C 1'1l i<Q. + D. 5:t l'lY-!Il.'i'·L) ; 1 J30 ~'\ Y;[ I, ~~LJJ::::: - .:;'~:: C c:~~'vJ,J .:~<~'>i- :'Ll'df\'.•f!::t\\·,') / C2·:~, l :', "l<:· '+ft.hiil':.'i: 1,11. ) ) ;

1350 1 :560 1370 1 ~;:.:;ct

1390 140•l l·'t1 u 1 L::~o 1430 1 ~~LIG } LilJS

11: SU 1 iJ60 1 L;7r)

1 /cl:'),)

1/00

-t'2.-

A: dI, ;.~6]: = ( O. OëS!:~P.-Jf'l.;l<f~- UC C: .il:!Of: 1J~) i:C-;+, n ':J.!~ 'J1:.tf:Ch') f'BET!U; 1\i :;, .(I,: '7]: = (IJ. S . .:.:,~t"H.f.t.J:fL) / C ;'Li1-11'L'' 1 L + 'Lt:' i 1" '* ''\'·') ; "::.er, <J:= cn.:n "'-•''·! 1' :<r'·)lcc;(; .. !:\r,·,c ·+ .T:'::IJ' :::C':') :,· L_:.'l):

Ah:.[ I, cO'! J: = ~~~, :! ~[I,?::; J; ALf"( I, JO]:= 0. 01 * C f'l., ;1-l!'l.*t:t.., +,~PH ''':l:.:A'. ) /( C i !L•~'JS':i_::. +

RJ 1·,'i;\l'\ii:C':') ::fETt\); .~JT::C I, J 1] :== C A3/i·n )/( 'lETI\;l:l,f!L•!<QjdJ3); A!;i~[l, 3~)]: = C ~!:\1L::=CL) /C r>t:Tr.~-;:; ~~JU:l~oJ<iJ3); (-l:<i·;u,xn:= u.1,:=C'"'b/I~r·n;cnt::T.''ff:;·,;JL::a_;,·,<n;

!):-;;;~[I, Jtl]: = O. 1 H (A3/; ;I) +>ll_•:Q +( f'rf. ') + C. ': Ll+i 1\J \)) /

( r·:t·:J():!<:; Lé:Q';'1:.1J;

<:1;;';[ I, 35 J: = 1'13/ CF~ H: ft: TA:;< i Dt\l:G{i: I)\O<fi3);

f\: :;:c r .. :l6 J: == cc f\:V.<' ;) +e trJ:-;1)) /CIE1 N:; ;J;;l:U\•!=ï~Ki:f\3); Al !dI, ~37); = ( (IFF<F:) /( q,: t{'\:;:r:m~!:Ct~~!Jl :::L\});

t'). :[I,::;.: J: = CO. 4i< 'Ll;·i '''.i :::>•J) /(u. ;,~::CL ;:(.1.. +'J. S*:L H-lfl'·/* 61)) ;

Ai\i<[ I, 39 J: = ~~i/ 1 t·:; 15()rJ (\;; J I, /i(.\J: = u. ;~Mi-0 I 510 t\: .;.(I, .!.J 1 J : = ?:?f:i'J2':J; 1 51 5 ."~1 ~. [ I , L1~c J ~ = C /J(}i: Tr,t: ~, r:,z :: Cl)'1i'-FU / ( r~;E l '·''': ~JL :: tl. :, \/3) ; 1 s:)o • F~JD ·; lS~U

151..0 155U 1 :,r.;:J 157!1 1 :) :;: !

!5JC, 16):

1610 1 /)2!)

1630 1t~LU

165U 1·.60 1 '70 1 &_; 1 0)0 170(.1 1711} 17:20 1 7:'>'.'1 I 7 !J;)

1 'i SD 17(,0 177C 1 T>J 17'JO 1 ;._n p !Cl 1:;: ~c L:; ';:) 1 :: L'j()

13•:., 1

e:.c•cn1 = ' ) ' ) ; FI.< T ( IJ.. • "." 1 ) > 'L C. ; J": .. c•c~FI :<EGELC 'C '>11 1

,;

= • > • H rT<TC i,, "'l.t :·- 1); Ju,.;.·;

: .!:.:GELC 'C •r:; , :,C 'C 'f>lT•1Ei't~:: ·JJ:. , . .F:G::LC '< ':J;~ , ;EGEL C 'C ':~;(.

'.E:Cii:L ( 1 (

1 :ifl

i;EGELC 'C 'J7 , .. F:c~a c • c • ct; +>:ïtL c • c ' 3~3

.EGELC'('JU . ~~EGEL< 'C '11

:ü::GELC 'C '35 ; :E:GEL C 'C '..31 . .EGELC 'C 'CS 1~:

! :EGEL c • c ~ .n . EGEL c 1 c • :.:hJ J:.~ ~n

!E:GELC'C'95 65 ~~:' ( 1

( I 1 5 20 ~:~;?. ;l,7 t) 1) ;

i;.('( '39 i.J7 5:~ 57 ') '); .;ê.:GELC'C'(,7 7U :s: .Et~Q..C'C'51'

.. ~: 'Ji:L ( ' ( • 63 , :J·:c;;n .. c • c '1 !i i'J ·,;11 ') 1 d:=\if-1_ ( I ( I /j.·';

EC:'?)_ ( • ( ·~-) 7

. :r:GEL c' C 'l U :.~--.f)_( 1 ( '1')1 : .r::G~ C ' ( '11 0 ::~r:~GFL ( I ( ': :')

' ) ' .. I ) ; ~LC' I: •) •, ::!); •JLC. :; Pb l:LLI c I) I); \)LCl ;;

Fi·-1 ') ', 3 >; >Y:c:: •) •, Ll) .:

• l:!:i•'F3 1 ) 1 , 5); FF/t') •,t,); r: ') ' ) •, n ; F'u l •) ', ::) ;

i). 1 r) 1, ~~) ; j;• 13 r ) r, l i)) .:

!' i_i 1 ' ) ', 1 1 ) ; VG2') •, 1:2);

j 1 )',13).~

0.1 :t ')',1.q); ~.:. ; t ) I_, 1 ;) ) _; [:.3 • ) ... 16);

u • 5·:: : ·J I ) I, J j) :

(') • :5 · :: L';.j I ) I .J 1 ;"' ) ; u. 1 : '3J • ) ... 19); .J:~~::'i ') •,:~ ;) ;

··>:: f.'\}i) • ) ' ... 'l ) ; FLJ') •,:';:);

·J. 1 : ~ 1_ ~::. ) • , ) ; 1 ') • , ,';.':) _;

.1·:::;·,:::•) •,;~')); i) • 1 -7:': :;' } } I ) I, :- 6) ;

•. -::,~~.) ... ::7); IE:Gl.C '( ,-~1 .L GfL ( ' ( I(,::

J::GFLC 'C 'LJ=} EGEL<'C'111 .~~CTLC 'C '107

.EGFLC'(' 7

u. 01 ·i~r 7';::F,'J3 •) •, :J.l ::r 7'ó<fS·-'l') •, :2·:));

) . ·'

. '::cac •c 'i 11 YCfl_C'(• ·.

1:;: :"L') •,::::<:); r:·T 1 ·) •.. . 1 ) ;

... :FT2.) I .. 2.: :) ;

' '

. ., . .,

'" ~

,... Q

,... '"

' ' "'"

t": '

·.-~-

'I ':-;'

'I 'I

'I "'

'I 'I

'I ,... -

""' ,..,.

,... -~

--'

' ' l-

tn ,, ·,

,:; c:

r~. lL

-:-:-

/: . ~~

. v .

~ ;_· ....,

!'}-..

en Ç

j',

uJ '0

',F

"l

. ' ' ~

'"' !n

-~

\.{I ,...

c r-;

:q r,

0 -<:]'

~:; ö

'-'

V

V

V

V

V

'-'

'-'

Lt-l C

l c

'-' V

V

"~

'-'

'-'

V

'-' ...... '"

ffi 1 :,! Q

1 ~ g ffi

,..,. ~

-~ C

r w

C

) C

,, 6

' 7. '"

~t.J c; . '

l:., r.:: é.)

•. l~

. J~: r--~ .....

u.,..; .~,"'

r-~~

. -~"

,_

0 ~ n

0 ._

J c C

) :_) .-.

( .-,-

tr ,~ :-

I',"' ';""

... (),

C'

c. r:. G

'\ r;,

')' ? ~-

'·'

- E l1-

TIJ !.Y·Ji;: w::: .1 'J l)_. ~ f\;-\ U. . =

:11!} I:J

0 ··.· ,_ Jó on 07' og· JJ' 10 I 1 35 31 os 12 03

=

JU :32 37 95 65 15 20 ~)2 27 39 /17 ':>2 57 67 7t) '33 l-33

50 63 l 4 23 :-;u ~) 1 44 37 113 101 110 ;~5

;:; 1

62 I 0:1 1 11 107 97 11 7 9?.. 10? 100 112 103 1 15 Lt2

D9

+5000UU

+. ()5.JO + • 1 CJU•J

+.6236 +.7367

I;J::.,TELLI\JG

Fi;-1

'• 1 !: 7 f3 FT IJ

FFS Fi i1

+. J,);'j 7 +.:'91J

+o ()Lf: L.;

+.0719 +.:_n31

.-l. H<r·-u? +. 0Lt69 -.I IÜ'i

+.1.!111 +. 02.ti2 +. /;200 +. 04~~0

F'J3 F'Gl FG~! [;}

o.l·~ PI

o. Sc+: F!J 0.25*R3 r). }:!: :::~'

J. 05t:f'3 :2'-i<f\F)

FL1 u. l:t:~l..2

f!.~il

o. 1*'-~7*F:; 1 r:.~ ;;:

o.ot *D?-J<F::;J 0. 1*R7!"rSli

0.01* 27 ru;:;.: FT 1

,-·-'+!<FT~~

F'<*r:l) ns H6

0. ;?~:FT 1'

+1.3613 +.SOO:J

+.2500 +. 1·250 +.0500. + • .:)250 +.0345 +. 157(1

+.}315 +. 125.1!

+.1063 +.6565

+. 1392 +. 6960

+. 401.:~; +.915<'1

+. 691!4 +. ~~763 +. 4()9/J

+.()IJLt +.Ot4:J +. o::::6f, +.?916

+. }:J,JJ

+. 1 (,;;';:) +. OL,9S

+.0:}/j +.417CJ -.ut.-::7 +. t]/19}

-.U LlT~ +o1LI1 +ol)?-24~_;;

+. s .-:,();] +.0)1;0

+1.J61S +.500()

+.2500 +. 1 ;~so +.0500 +.!J250 +.()3/:5 +.1:17./l

+. 1315 +. 1 ::~:_)/.j +. 1063 +.ó565 +.::Q6'-) +. 139;~

+. (,9 (,!J

+.40H +.915LJ

+. 69 -<V;

+. ?.763 +. LJ;)9 /j

+.01:-lLI +. (j) /;:\ +.02()6 +. :>) .:,')

+. 11 +.IJ Ir).·;

+.0}:)1 +. ?T}.q

- .lYJ~.3

+. :!-·:o -. n~:.:o:~ +. }/i} 1

+ 1. 2.:)oo +.1260

+1.3618 +.5000

+. ~~500 +. 125{') +. 05[1:) +. Oi~S!J +.031!5 +. 1571~

+.LJt:-. +. 1 ;54 +. l06J +.656:) +.3263 +.139~)

+. 6960 +. 4012:

+.915i: +. 6944 +.2763 + 0 /~()S"I /j

+.0!:3/1 +.0143 +.0<66 +.?.9.!15

+.2UUU

+.U ?I 7 +. 1]:: (<j

+. !,Jlr/9

+. ~)(J') 5 -.~)051

+. 0107 -.:)117 +.1lll1 +.0242

+ 1 • (x:) 00 +. 1630

+1.3(,}.) +.5000

+.?500 +.125U +.0500 +. 0~~50 +.03t6. +.1571j

+. t:n::.; +.I i54

+. tf.J63 +.6:)65 +.];:6E; +. 1392

+. b9 6CJ

+. LJOH +.915/i

+.2763 +. 409/t

+. C) 13-<, +.u 1/13 +. o:~(,c, +. 29/i:'"l

+.OtJ')!J +. i).it99

+. 003~; +.1676 -. ou:l.) +. 0/!9'~

-. 0Ct7t. +. 1411

+;~. 1000 +.210U

+ 1. 36 F; +.5000

+. CbC}î

+. ();250 +. 034') +. 15 7 .!;

+.1:n:') + • l :~5L• +. 1 [')6:) + o 656L) +. 3~:6:.: +. t::El;:

+ • .',) 60

+. s11 s.·~ +o 69<L;

+. ~:76~;

+. 4094 +.u }31!

+. 01 /j3

+. ?:-J.:;S i"11'·.1 +.lOOD +.~)OJU +.3000 +.LlOj +.5000

r.:.1::\1\<' +.0:-Y:\6 +.n~;:;,-, +.02:-;6 +.0:3.:>6 +.oa.,:r: I 06 7S ::S6 :J:1 9J, 116

'·1~~1:' +.2100 +. l'JO +.210() +.2100 +.:~100

r-;4r.FTI, +. 3::-l62 +. TJ6;·,: +.3362 +. ~3:J62 +. ::'.36?

\