MATEMATIKA III

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

http://polmansem3.esy.es/

Rangkaian R - L

Untuk rangkaian RL seperti gambar disamping kita dapatkan dari hukum Kirchoff.

L dI/dt + R I = E (t)dimana:L = induktansiR = resistansiI = arusE (t) = tegangan

Contoh 1:

Sebuah rangkaian dengan induktansi L = 4 Henry, resistansi R = 12 ohm dan suatu baterai yang memberikan suatu tegangan konstan sebesar 16 volt. Jika I = 0, pada saat t = 0 ( saat saklar s ditutup). Tentukan I pada saat t.

Jawab:Diketahui :

L = 4 Henry ; R = 12 ohm ; E(t) = 16 volt

Untuk rangkaian diatas persamaan diferensialnya dapat ditulis sebagai berikut: L dI/dt + R I = E (t)

4 dI/dt + 12 I = 16: 4

dI/dt + 3 I = 4

P (t) = 3 Q( t) = 4

cdtee

cdtee

cdttQeeI

tt

dtdt

dtPdtP

4

4

)(

33

33

ttt ecceeI 3343

343 .)(

Untuk I = 0 pada saat t = 0 maka diperoleh

0 = 4/3 + c c = - 4/3

Maka I pada saat t adalah

I = 4/3 – 4/3 e-3t

Dengan menggunakan gambar disamping, tentukanlah:a.I sebagai suatu fungsi t dengan anggapan saklar ditutup dan I = 0 pada saat t = 0b.Arus dalam keadaan mantap sebagai suatu fungsi waktu (anggap t mendekati tak terhingga

Persamaan diferensial untuk rangkaian diatas adalah:

L dI/dt + R I = E (t)5 dI /dt + 40 I = 100 sin 20t

dI/dt + 8 I = 20 sin 20t

P(t) = 8 ; Q(t) = 20 sin 20t

cdttQeeI

dtPdtP)(

t

tt

tt

dtdt

cett

cttee

cdttee

cdtteeI

8

22

88

88

88

)20cos2020sin8(46420

)20cos2020sin8(208.20

20sin20

20sin20

Untuk I = 0 dan saat t = 0 maka persamaan diatas menjadi

0 = 20/464 (8. sin 0 – 20 cos 0) + c e0

diperoleh c = 25/29

a.I = 20/464 (8 sin 20t – 20 cos 20t) + 25/29 e-8t

b.Untuk t menuju tak terhingga ( t besar) maka e-8t dapat diabaikan sehingga:

I = 20/464 ( 8 sin 20t – 20 cos 20t)

Suatu rangkaian listrik dengan sebuah tahanan (R, ohm), sebuah induktor (L, Henry) dan sebuah Kapasitor (C, farad) terangkai seri dengan sumber tegangan E(t) volt seperti gambar berikut:

Rangkaian - RLC

Menurut hukum Kirchoff menyatakan bahwa muatan Q pada kapasitor, yang diukur dalam Coulomb, memenuhi:

L d2Q/dt2 + R dQ/dt + 1/c Q = E(t) …… (1)

Arus I = dQ/dt, diukur dalam ampereDengan mendiferensialkan persamaan (1) terhadap t diperoleh:

L d2I/dt2 + R dI/dt + 1/c I = E’(t) atauL I” + RI’ + 1/C I = E’ (t)

Contoh 1:Tentukan muatan Q dan arus I sebagai fungsi waktu t dalam sebuah rangkaian RLC. Jika R = 40 ohm; L = 10 Henry, C= 0,02 farad dan E = 300 volt, dengan syarat awal; I = 0; Q = 0 di t = 0 pada saat saklar ditutup.

Jawab:Diketahui : R = 40 ohm; L = 10 Henry; C= 0,02 farad dan E = 300 voltHukum Kirchoff:

LQ” + R Q’ + 1/C Q = E (t)

10 Q” + 40 Q’ + 1/0.02 Q = 300Q” + 4 Q’ + 5 Q = 30

PDL Homogen : Q” + 4 Q’ + 5 Q = 0Persamaan bantu : r2 + 4r + 5 = 0

ir

22

442

201642,1

Penyelesaian umum homogenQh = C1 e-2t cos t+ C2 e-2t sin t

Fungsi percobaan:Q = At2 + Bt + CQ’ = 2 At + BQ” = 2 ADengan mensubsitusi ke persamaan (1) diperoleh:2A + 4(2At + B) + 5(At2 + Bt + C) = 305At2 + (8A + 5B) t + 2A + 4B + 5C = 305A = 0 A =08A + 5B = 0 B = 02A + 4B + 5C=30 C = 30/5 = 6Jadi Qp = 6

Penyelesaian umumQ = Qh + QpQ = C1 e-2t cos t + C2 e-2t sin t + 6 = e-2t (C1 cos t + C2 sin t) + 6Untuk menentukan C1 dan C2 kita gunakan syarat awal Q(0 )= 0 dan I(0) = 0

Q(0) = 0 0 = C1 e0 cos 0 + C2 e0 sin 0 + 6 C1 = - 6I = dQ/dt = -2e-2t(C1 cos t+ C2 sin t) +e-2t (-C1 sin t + C2 cos t)I(0)= 0 0 = -2e0(C1 cos 0+ C2 sin 0) +e0 (- C1 sin 0 + C2 cos 0)C2 = - 12

Jadi Q = e-2t ( -6 cost – 12 sin t) + 6danI = dQ/dt = -2e-2t(-6cost-12sint) + e-2t (6sin t –12 cos t)

I = 12e-2t cost+ 24e-2t sint + 6e-2t sin t – 12 e-2t cos t

I = 30 e-2t sin t

Contoh 2:

= 20 ohm

= 50 sin t volt

= 0.05 farad

=10 Henry

Carilah arus I (t) dalam rangkaian RLC seperti gambar diatas.Bagaimana perilakunya saat t besar ?

Jawab:Diketahui : R = 20 ohm ; L = 10 Henry ; C = 0,05 farad; E = 50 sin t voltHukum Kirchoff:LQ” + R Q’ + 1/C Q = E (t)10 Q” + 20 Q’ + 1/0.05 Q = 50 sin tQ” + 2 Q’ + 2 Q = 5 sin tPDL Homogen : Q” + 2 Q’ + 2 Q = 0Persamaan bantu : r2 + 2r + 2 = 0

ir

12

422

2.422 2

2,1

Penyelesaian umum homogenQh = C1 e-t cos t+ C2 e-t sin t

Fungsi percobaan:Q = A cos t + B sin tQ’ = -A sin t + B cos tQ” = -A cos t - B sin tDengan mensubsitusi ke persamaan (1) diperoleh:- Acos t – B sin t + 2(-A sint + B cos t) + 2 ( A cos t + B sin t) = 5 sin t(A + 2 B ) cos t + -2A + B) sin t =5 sin t

A + 2 B = 0 2 A + 4 B = 0-2A + B = 5 - 2A + B = 5 5 B = 5 B= 1 ; A = -2

Penyelesaiaan khususQp = - 2 cos t + sin tPeneyelesaian umumQ = Qh + QpQ = C1 e-t cos t + C2 e-t sin t - 2 cos t + sin t = e-t (C1 cos t + C2 sin t) - 2 cos t + sin tUntuk menentukan C1 dan C2 kita gunakan syarat awal Q(0 )= 0 dan I(0) = 0Q(0) = 0 0 = C1 -2 C1 = 2I = dQ/dt = -e-t(C1 cos t+ C2 sin t) +e-t (-C1 sin t + C2 cos t) + 2 sin t + cos tI(0)= 0 0 = -C1 + C2 + 1C2 = 1

Jadi Q = e-t (2 cos t + sin t) - 2 cos t + sin tDan kuat arus adalahI = dQ/dt = -e-t(2cost+ sin t) + e-t(-2sin t +cos t)+ 2sint + costI = -e-t cost- 3e-t sin t +2sint + cost

Untuk t besar ( t ∞) maka nilai -e-t cost- 3e-t sin t = 0Sehingga arus I = 2sint + cost ( t besar)

TERIMA KASIHSelamat Belajar