PROYECCION CILINDRICA CONFORME DE GAUSS – KRUGER PN …

CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 1

INSTITUTO DE AGRIMENSURA – FACULTAD DE INGENIERIA

PROYECCION CILINDRICA CONFORME DE GAUSS – KRUGER Prof. Ricardo Martínez Morales

La proyección cilíndrica conforme de Gauss – Kruger es una proyección transversa, o sea que el cilindro sobre el que se proyecta el elipsoide de referencia tiene su eje sobre el ecuador de este, y es tangente al mismo según un meridiano denominado meridiano central o de contacto (MC).

La condición de conformidad establece que para pequeñas figuras se mantengas los ángulos, es decir la forma de las mismas. Para demostrar la conformidad es necesario introducir previamente algunos conceptos. Funciones holomorfas Las funciones holomorfas son funciones de variable compleja definidas en el universo complejo.

Dados dos planos y definiendo en ellos los sistemas de referencia (X,Y) y (x,y), surge:

YiX Z(2) y ixz )1(rr

+=+= Si se puede definir una relacion tal que sea: (4) X=X(x,y) Y=Y(x,y) entonces resulta (3) Z=f(z)

PN

PS

O

Ecuador

MC

yr

x

y m(x,y)

rr

ir

xr

Yr

Xr

Y

X

M(X,Y)

ir

rr



O sea que se establece una relacion biunivoca entre ambos planos pues a cada punto “m” del plano (x,y) dado por z(x,y), le corresponde un punto “M” del plano (X,Y) a través de la transformación Z(X,Y)=f(z) y viceversa. Diferenciando la expresión (2) se tiene:

( ) ( )dYidXdY

Y

YiXdX

X

YiXdZ

rrr

+=∂+∂+

∂+∂=

1 ir

Idem diferenciando la expresión (1) se tiene:

( ) ( )dyidxdy

y

yixdx

x

yixdz

rrr

+=∂+∂

+∂+∂

=

1 ir

Por la relación (4) se ve que tanto X como Y son funciones de (x,y) por lo tanto:

( )[ ] ( )[ ]dy

y

Xdx

x

Xdy

y

yxXdx

x

yxXdX

∂∂+

∂∂=

∂∂

+∂

∂=

,,

( )[ ] ( )[ ]

dyy

Ydx

x

Ydy

y

yxYdx

x

yxYdY

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂= ,,

En las expresiones anteriores de dX y de dY no se consideran las derivadas parciales dX.dY pues x e y son variables independientes. Por lo tanto:

)( dyy

Ydx

x

Yidy

y

Xdx

x

XdZ

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

r

Definición “Si en un cierto dominio D podemos expresar

cdzdyidxbiadZ =++= ))(( )6(rr

con c≠0 decimos que la función Z es una función holomorfa de z; D es el dominio de holomorfía y la expresión

dzz

ZdZ

z

Zbia

∂∂=⇒

∂∂=+ )(

r

De igualar (5) y (6) vemos que en este caso la holomorfía se cumple para el dominio D dado por:

x

Y

y

Xb

y

Y

x

Xa

∂∂=

∂∂−=

∂∂=

∂∂= y



Comprobémoslo sustituyendo estas expresiones de a y b en (5):

( )

( ) ( )( )( ) .... )7( dqqldyidxbiadZ

dyabiidxbiadZ

adyibdxibdyadxdZ

adybdxibdyadxdZ

rr

rrr

rr

r

++=

+++=++−=

++−=

Por lo tanto, la función Z antes definida es una función holomorfa de z en el dominio definido por las expresiones de a y b. Admitiremos la siguiente Propiedad : “Si una función holomorfa admite la derivada primera en el entorno de un punto, admite la derivada n-sima” La demostración de esta propiedad se realiza por el método de inducción completa, pero escapa al contenido de esta publicación. Concepto de Isometría Consideremos una familia de curvas u y v pertenecientes a una superficie y tal que se cortan ortogonalmente.

Dado un punto genérico P y un elemento de geodésica ds que pasa por P y pertenece a la

superficie, si se cumple la siguiente relación: ( )222 dvdukds += decimos que las familias de curvas son isométricas , k es el factor de isometría y du y dv son los parámetros isométricos .

u1

u2

u3

v1

v2

v3



Como se observa, en toda superficie donde se puede establecer una relación de isometría (igual medida) a partir de familias de curvas (u,v), la longitud de un elemento de geodésica ds permanece constante, a menos de un factor de escala k, independientemente de la dirección de la misma, por lo tanto podemos decir que la transformación es CONFORME. Apliquemos ahora el concepto de isometría a la función holomorfa: Partiendo de (7) se tiene:

( )( )2222 dyidxbiadZds

dyidxbiadZrr

rr

++==

++=

Pero el modulo de un numero complejo de la forma qipPr

+= es ( )2222 qpqip +=+=r

ρ

Por lo tanto ( )( )222222 dydxbadZds ++==

donde ( )22 ba + es el factor de isometría y (dx,dy) son los parámetros isométricos .

Por lo tanto podemos formular el siguiente COROLARIO MUY IMPORTANTE “Toda función holomorfa representa una transformación isométrica y por lo tanto es conforme ”

Ley de la proyección de GAUSS – KRUGER Consideremos dos funciones a saber:

( ) ( ) λλλϕλϕ iFifrr

+Φ=Φ+= ,y ,

duk

dvk vi

ui

ds

P

ir

rr

q

p

P

ρ



con Φ = Φ(ϕ,λ) y λ = λ(ϕ,λ) = λ Recordemos la expresión del desarrollo de Taylor para una función de una variable

f x f af a

x af a

x aa( ) ( )'( )

!( )

"( )

!( ) ...= + − + − +

1 22

y para una función de dos variables:

[ ] [ ] ...),(),(!2

),("),(),(

!1

),('),(),( 2

00

00

0),( 0+−+−+= vuvu

vufvuvu

vufvufvuf vu

Desarrollemos por Taylor entonces la función F(Φ,λ); dado que el dominio de análisis del desarrollo es en un entorno del punto (Φ,λ)0, donde (Φ,λ)0 = (Φ,λ0) con λ0=cte., las derivadas parciales en el desarrollo lo serán solo respecto de Φ.

[ ] [ ]F i FF F

( , ) ( , )' ( , )

!( , ) ( , )

"( , )

!( , ) ( , ) ...Φ Φ Φ

ΦΦ Φ

ΦΦ Φλ λ λ

λλ λ

λλ λ= + = + − + − +

r

00

00

0

2

1 2es decir

[ ] [ ]( ( , ) ( )' ( )

!( , ) ( , )

"( )

!( , ) ( , ) ...8)

1 20 0

2F F

F FΦ Φ

ΦΦ Φ

ΦΦ Φλ λ λ λ λ= + − + − +

donde FF

FF

' ( )( )

; "( )( )

;...ΦΦ

ΦΦ

ΦΦ

= =∂

∂∂

∂

2

2

Consideremos ahora el plano (Φ,λ) con la siguiente orientación:

ir

Φr

Φ

0λ

λ

( )λ,Φ

( ) ( ) λλλ ir

=Φ−Φ 0,,

λr



Por lo tanto es:

[ ]( , ) ( , )Φ Φλ λ λ− =0

ri

[ ]( , ) ( , )Φ Φλ λ λ− =0

2 2 2ri

------------------------------------- En definitiva la expresión (8) queda:

( ) ( , ) ( )( )

!

( )

!...9

1 2

2

2

2 2

F FF i F i

Φ ΦΦ

ΦΦ

Φλ

∂∂

λ ∂∂

λ= + + +

r r

Esto explica porque en la proyección de Gauss el eje de las rY es horizontal, pues en las ediciones

cartográficas, se asocian las longitudes al eje de las abscisas, y el versor ri que esta afectando a

las longitudes, en las representaciones matemáticas se asocia al eje de las rY .

Conclusión En definitiva hemos establecido una transformación holomorfa F(Φ,λ) donde a cada punto de la superficie (ϕ,λ) le hace corresponder otro de la superficie (Φ,λ) a través de las expresiones: Φ = Φ(ϕ,λ) y λ = λ(ϕ,λ) = λ. Para que esta transformación F(Φ,λ) sea la proyección de Gauss, le impondremos tres condiciones: Condiciones de la proyección de Gauss – Kruger 1- El meridiano de contacto (MC) debe ser representado por una recta sin deformaciones. 2- El ecuador debe ser representado por una recta perpendicular a la representación del

meridiano de contacto. 3- La transformación debe ser conforme. Impondremos estas condiciones a la expresión (9) de la ley de la proyección. Condición Nro.1 En el meridiano de contacto (MC) se cumple que λ=0 (estrictamente se trata de diferencias de longitudes respecto de la longitud del MC por lo tanto seria ∆λ=0) La longitud de un arco de meridiano en el elipsoide desde el ecuador hasta un punto de latitud ϕ esta dada por la expresión:

MC

Ecuador

P

Sm

0=λO



OP dms)

= = ∫ ρ ϕϕ

.0

Como λ=0, la expresión (9) se reduce a F i F( ) ( )Φ Φ+ =rλ que es una función real. Para que no

existan deformaciones debe ser (9.1) F s dm( ) .Φ = = ∫ ρ ϕϕ

0

Analicemos en forma genérica la expresión s d= ∫ ρ ϕϕ

ϕ

.1

2

s d= ∫ ρ ϕϕ

ϕ

.1

2

= ∫−

−2

1 2

322

2

)1(

)1(ϕ

ϕ ϕ

ϕ

sene

dea

Desarrollando (1-e2sen2ϕ)-3/2 se tiene:

( ) ...1 13

2

15

8

35

162 2

3

2 2 2 4 4 6 6− = + + + +−

e sen e sen e sen e senϕ ϕ ϕ ϕ

Pero

sen 2 1 2

2ϕ

ϕ=

− cos( )

sen 4 3

8

1

22

1

84ϕ ϕ ϕ= − +cos( ) cos( )

sen 6 5

16

15

322

3

164

1

326ϕ ϕ ϕ ϕ= − + −cos( ) cos( ) cos( )

por lo tanto, sustituyendo es:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos cos cos cos cos cos ...1 13

41 2

15

8

3

8

1

22

1

84

35

16

5

162

3

164

1

3262 2

3

2 2 4 6− = + − + − +

+ + −

+

−e sen e e eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Llamando:

A e e e= + + −13

4

45

64

175

2562 4 6

B e e e= + + 3

42 4 615

16

525

512

C e e= − 15

644 6105

256

D e= 35

5126 resulta:

( )1 2 4 62 23

2− = − + −−

e sen A B C Dϕ ϕ ϕ ϕ.cos( ) .cos( ) .cos( )...



( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]s a e A B C D d= − − + −∫ 1 2 4 62

1

2

. .cos .cos .cosϕ ϕ ϕ ϕϕ

ϕ

( ) ( ) ( ) ( )s a e AB

sen senC

sen senD

sen sen= − − − − + − − −

( ) . . ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( )1

22 2

44 4

66 62

2 1 2 1 2 1 2 1ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

En el caso de la proyección de Gauss – Kruger, la longitud del arco de meridiano se mide desde el ecuador (ϕ=0), hasta la latitud ϕ, por lo tanto es: ϕ1=0 y ϕ2=ϕ, y en consecuencia queda:

s a e AB

senC

senD

senr= − − + −

( ). . . ( ) . ( ) . ( )( )1

22

44

662 ϕ ϕ ϕ ϕ

Con esta expresión se obtiene una precisión en la longitud del arco de 1mm. Condición Nro.3 Impongamos ahora la tercera condición: la transformación holomorfa (9) F(Φ,λ) será isométrica y por lo tanto conforme si se introducen dΦ y dλ como parámetros isométricos para el elipsoide. Para ello analicemos la isometría en el elipsoide. Consideremos un elemento infinitesimal de geodésica ds

QS = ρ.dϕ PS = r.dλ=N.cosϕ.dλ ds2 = PS2+QS2 por lo tanto: ds2 = ρ2.dϕ2+(N.cosϕ)2.dλ2

dsN

d d22

2 22 2= (N.cos )2ϕ

ρϕ

ϕ λ.(.cos

. )+ pero N2.cos2ϕ = r2, por lo tanto

ds rr

d d2 22

22 2= +.( . )

ρϕ λ y haciendo el cambio de variable ( ) .10 d =

rΦ

ρϕd es:

ds r d d2 2 2 2= +.( )Φ λ que es la condición de isometría, donde r2 es el factor de isometría y dΦ y

dλ son los parámetros isométricos. Integrando la expresión (10) se obtiene:

PN

Q

S

P

Ecuador

ρ

ϕ

dϕ

dλ

ds r ρdϕ



Φ = = +

− + +

∫

ρϕ

π ϕϕ ϕ

ϕ

rd L tg e sen

esen. .

!...

4 2 32

43

0

La variable Φ se denomina latitud creciente elipsoídica. Asumiendo entonces como parámetros isométricos dΦ y dλ, la proyección de Gauss – Kruger será isométrica y por lo tanto conforme. De la expresión (9) de F(Φ,λ) ya hemos establecido el valor del primer sumando F(Φ); ahora calcularemos las derivadas parciales: ∂

∂∂

∂ϕ∂ϕ∂

F F( ) ( ).

ΦΦ

ΦΦ

=

De la expresión (10) sabemos que: ∂ρ

∂ϕ∂ϕ∂ ρ

ϕρ

ΦΦ

= ∴ = =r

r N.

.cos

Recordando que F d( ) .ΦΦ

= =∫ ρ ϕ∂

∂ϕρ

ϕ

, es F( )

0

, o sea ( ) ..cos

.cos11 F( )∂∂

ρϕ

ρϕ

ΦΦ

= =N

N

Calculemos ahora la derivada segunda:

( ) ( )∂∂

∂ ϕ∂ϕ

∂ϕ∂

∂ ϕ∂ϕ ρ

2

2

F N N r( ) .cos.

.cos.

ΦΦ Φ

= =

Pero, ( ) ( )∂ ϕ

∂ϕ

∂ϕ

ϕ∂ϕ

N

a

e sen.cos

.cos

.=

−

=1 2 2

1

2

=− − + −

−=

−a sen e sen a e sen e sen

e sen

. .( ) .cos . ( . ) ) . . .cos

.

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

11

21 2

1

2 21

2 21

2 2

2 2

[ ]=−−

− − =−

a e sen

e sene sen sen e sen

( )cos . .( )

1

11

2 21

2

2 22 2 2 2ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

=−

− + =a sen

e sen

e e sen.

( )

( cos )ϕ

ϕϕ ϕ

1

12 2

3

2

2 2 2 2

=−

−= −

a e

e sen

sen sen( )

( )

. .2

2 23

2

1

1 ϕϕ ρ ϕ por lo tanto:

( )( )

. . . .cos12 2 ∂∂

ρ ϕρ

ϕ ϕF

senr

N senΦ

Φ= − = −

Si continuamos derivando será:

( )( )

.cos .( .cos )13 11

3

33 2

2

22

∂∂

ϕ ϕ ϕF

N tge

e

ΦΦ

= − − +−

( )( )

.cos . .( .coscos( )

)14 59

1

4 4

143 2

2

22

2

2 4∂∂

ϕ ϕ ϕ ϕϕF

N sen tge

e

e

e

ΦΦ

= − +−

+−

CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA

10


Recordando que

F i Fi F F i F F

( ) ( )!

.( )

!.

( )

!.

( )

!.

( )Φ Φ

ΦΦ

ΦΦ

ΦΦ

ΦΦ

+ = + − − + + − − −r

r r

λλ ∂

∂λ ∂

∂λ ∂

∂λ ∂

∂1 2 3 4

2 2

2

3 3

3

4 4

4

pues r r r ri i i i2 3 41 1= − = − =; ; ; ...

Descomponiendo la función F i( )Φ +rλ en su parte real e imaginaria y llamándolas X e Y

respectivamente, se tiene F i X i Y( )Φ + = +r rλ con

( ) ( )!

( )

!

( )15

2 4

2 2

2

4 4

4 X FF F

= − + − − −ΦΦ

ΦΦ

Φλ ∂

∂λ ∂

∂

( )( )

!

( )16

3

3 3

3 YF F

= − + − − −λ∂

∂λ ∂

∂Φ

ΦΦ

Φ

Verifiquemos ahora la condición de conformidad de la función F i X i Y( )Φ + = +r rλ aplicando las

condiciones de homomorfismo establecidas en (7), llamadas condiciones de conformidad de Cauchy – Riemann en función de parámetros isométric os. Recordemos que era: ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

λX

x

Y

y

Y

xx y= = = = y ademas -

X

y con , e Φ

Derivando las expresiones (15) y (16) tenemos:

∂∂

∂∂

λ ∂∂

X F F

ΦΦ

ΦΦ

Φ= − +

( )

!

( )...

2 3

32

⇒ son iguales

∂∂λ

∂∂

λ ∂∂

Y F F= − +

( ) .

. !

( )...

ΦΦ

ΦΦ

3

32

2 3

3

− = − − + +

∂∂λ

λ ∂∂

λ ∂∂

X F F2

21

4

43

2

2

3 4

4

.

. !

( ) .

. !

( )...

ΦΦ

ΦΦ

⇒ son iguales

∂∂

λ∂

∂λ ∂

∂Y F F

ΦΦ

ΦΦ

Φ= − +

2

2

3 4

43

( )

!

( )...

Por lo tanto la transformación es conforme . Volviendo a las expresiones (15) y (16) hagamos los siguientes cambios de variable: t tg= ϕ

ne

e=

−

2

21.cosϕ

1 2+ =nN

ρ

t N1 = .cosϕ

t N sen2

1

2=

!. .cosϕ ϕ


11


t N t n33 2 21

31= − +

!.cos ( )ϕ

t N sen t n n43 2 2 41

45 9 4= − + +

!. .cos ( )ϕ ϕ

............................................ Sustituyendo estos cambios de variables en las expresiones (15) y (16) se obtiene la

Ley de la proyección de Gauss – Kruger

X s t t t

Y t t t

= + + + +

= + + +2

24

46

6

1 33

55

λ λ λλ λ λ

...

...

En estas expresiones, considerando X hasta el sexto orden e Y hasta el quinto orden, y ∆λ=±30, da

una precisión en X e Y del orden de 1

106 .

Probemos ahora la segunda condición impuesta a la proyección de Gauss – Kruger, o sea que el

ecuador se represente por una recta. Como ya se ha probado que la proyección es conforme, esta

recta será necesariamente perpendicular a la representación del meridiano de contacto pues los

meridianos son perpendiculares al ecuador en el elipsoide terrestre.

En el ecuador ϕ = 00 y s = 0, por lo tanto:

t2 = t4 = ... = 0

t*1 = t1(ϕ =0)

t*3 = t3(ϕ =0)

...............

Por lo tanto la ecuación paramétrica de la transformada del ecuador queda:

X = 0

Y = t*1λ+t*3λ3+ ...

En definitiva queda: Y=F(λ), que es una función de λ, generalmente ≠0 y que representa una recta

horizontal que pasa por el origen, por lo tanto es el eje OY.

De esta forma queda introducida la Ley de la proyección de Gauss – Kruger y se ha demostrado

que cumple con las tres condiciones impuestas.

Características del canevás o reticulado de Gauss – Kruger

Si bien la proyección de Gauss – Kruger es una transformación exclusivamente analítica que responde a la ley ya vista, es posible asimilarla, dentro de ciertos limites, a una proyección geométrica.


12


Supongamos un cilindro tangente al elipsoide que representa a la Tierra, según un meridiano.

El canevás puede considerarse como la proyección de los paralelos y de los meridianos sobre el cilindro, desarrollándose luego este sobre el plano.

Meridianos Analizando la ley de la proyección establecida en (15) y (16) estudiemos la paridad de los meridianos. Considerando ∆λ y -∆λ, tenemos: X(∆λ) = X(-∆λ) Y(∆λ) = -Y(-∆λ) por lo tanto la función es par respecto de X e impar respecto de Y Por lo tanto los meridianos son simétricos respecto del eje X.

PN

PS

O Ecuador

MC

o90−=∆λ o90+=∆λ

ϕ+

ϕ−

Xr

Yr

Ecuador

PN MC

PS

s


13


Paralelos Considerando ahora ϕ y -ϕ tenemos: X es función de senϕ, cosϕ y tg2ϕ; el signo de senϕ cambia y el de cosϕ y tg2ϕ quedan iguales, por lo tanto: X(ϕ) = -X(-ϕ) Y esta en función de cosϕ y de tg2ϕ por lo tanto Y(ϕ) = Y(-ϕ) Por lo tanto los paralelos son simétricos respecto del eje Y. Corolario Como el eje X y el eje Y son ejes de simetría, existe una simetría central respecto del origen O. Aproximaciones La representación de meridianos y paralelos no corresponde a curvas simples pero se pueden realizar aproximaciones. Desarrollando las expresiones de X e Y solo hasta el primer termino se tiene: Paralelos: ϕ = cte.

X s N sen= +λ

ϕ ϕ2

2!. .cos

Y NY

N= ⇒ =λ ϕ λ

ϕ. .cos

.cos 2

2

2 2 por lo tanto

X sY

NN sen s

Y tg

N= + = +

2

2 2

2

2 2. .cos. . .cos .

ϕϕ ϕ

ϕ y llamando

tg

N p

ϕ=

1 es:

( )172

2

X sY

p= + que es la ecuación de una parábola cuyo eje es el eje X, el vértice se encuentra

a una distancia s de O y la concavidad esta dirigida hacia el polo. Meridianos: λ = cte. Haciendo variar ϕ entre 0o y ± 90º, queda Y=F(cosϕ), es decir que los meridianos responden a una función cosenoidal de ϕ. Cuando ϕ aumenta, Y decrece, y para ϕ=±90º, Y=0. Por lo tanto los meridianos tienen la concavidad dirigida al meridiano de contacto (MC) y pasan por los polos. Los meridianos correspondientes a ∆λ=±90º se representan por rectas horizontales que pasan por los polos.

Convergencia plana de los meridianos Definición: “Se llama convergencia plana de los meridianos al ángulo γ que forma la paralela al meridiano se contacto con la tangente a la transformada del meridiano en el punto considerado” Naturalmente también es el ángulo entre la tangente a la transformada del paralelo que pasa por el punto, y la perpendicular al meridiano de contacto.


14


tg

X

Y

Y

Xγ

∂∂λ∂∂λ

∂∂ϕ∂∂ϕ

= =

Teníamos que:

X s Nsen Nsen t n n= + + − + + +λ

ϕ ϕλ

ϕ ϕ2 4

3 2 2 4

2 45 9 4

!.cos

!.cos ( ) ...

Y N N t n= + − + +λ ϕλ

ϕcos!

cos ( ) ...3

3 2 2

31

tg

X

Y

Nsen Nsen t n n

N N t n

γ

∂∂λ∂∂λ

λ ϕ ϕ λ ϕ ϕ

ϕλ

ϕ= =

+ − + +

+ − +=

.cos .cos ( )

cos cos ( )

1

65 9 4

21

3 3 2 2 4

23 2 2

( )

( )=

+ − + +

+ − +

⇒

N sen sen t n n

N t n

cos .cos

cos cos

ϕ λ ϕλ

ϕ ϕ

ϕλ

ϕ

32 2 2 4

22 2

65 9 4

12

1

( ) ( )tg sen sen t n n t nγ λ ϕλ

ϕ ϕλ

ϕ= + − + +

+ − +

−32 2 2 4

22 2 2

1

65 9 4 1

21.cos . cos

desarrollando hasta el 1er termino:

ϕ∂∂= X

dX

ϕ∂∂= Y

dY

λ∂∂= X

dX

λ∂∂= Y

dY

Paralelo ϕ=cte.

Meridiano λ=cte. MC

MC´

tg

tg

γ

γ

Xr

Yr


15


( ) ( )tg sen sen t n n t nγ λ ϕλ

ϕ ϕλ

ϕ= + − + +

− − +

=

32 2 2 4

22 2 2

65 9 4 1

21.cos . cos

= − − + + − + + +λ ϕλ

ϕ ϕλ

ϕ ϕsen sen t n sen t n n3

2 2 23

2 2 2 4

21

65 9 4.cos ( ) .cos ( ) ...

desprecio términos > al 3er orden

( ) ( )[ ]tg sen sen t n t n nγ λ ϕλ

ϕ ϕ= + − − + + − + +3

2 2 2 2 2 4

63 1 5 9 4.cos .

tg sen sen t n nγ λ ϕλ

ϕ ϕ= + + + +3

2 2 2 4

31 3 2.cos .( )

Desarrollando el arco (γ) en función de la tangente es:

γ γ γ γ= − + +tg tg tg1

3

1

53 5 ...

desprecio términos > al 3er orden

γ λ ϕλ

ϕ ϕ λ ϕλ

ϕ ϕ= + + + + − + + + +

sen sen t n n sen sen t n n

32 2 2 4

32 2 2 4

3

31 3 2

1

3 31 3 2.cos .( ) .cos ( )

≅ λ ϕ3 3sen

γ λ ϕλ

ϕ ϕ λ ϕ= + + + + −sen sen t n n sen3

2 2 2 4 3 3

31 3 2

1

3.cos .( )

γ λ ϕλ

ϕ ϕλ

ϕ ϕϕϕ

λ ϕ= + + + + −sen sen n n sensen

sen3

2 2 43

22

23 3

31 3 2

3

1

3.cos ( ) .cos

cos

γ λ ϕλ

ϕ ϕλ

ϕλ

ϕ= + + + + −sen sen n n sen sen3

2 2 43

33

3

31 3 2

3 3.cos ( )

γ λ ϕλ

ϕ ϕ λ= + + +sen sen n n3

2 2 4

31 3 2.cos ( ) con en radianes

Coeficiente de deformación lineal k para elementos infinitesimales El coeficiente de deformación lineal “k” se define como la relación entre la longitud de la representación de un elemento de geodésica en el plano de Gauss, sobre la longitud de dicho elemento de geodésica en el elipsoide. Esta definición es válida naturalmente cuando los elementos de geodésica son arcos de paralelo o de meridiano.


16


dpdY

dY'cos

sec .= =γ

γ

kdp

dp

dm

dm= =

' ' k

dY

N d=

sec .

.cos .

γϕ λ

dp N d= .cos .ϕ λ De la expresión de γ, desarrollándola hasta el 1er orden en λ es: γ = λ.senϕ

Desarrollando sec ...γγ

≅ + +12

2

Sustituyendo es: sec.

...γλ ϕ

≅ + +12

2 2sen

Por lo tanto: k

sen

N

dY

d=

+12

2 2λ ϕ

ϕ λcos.

MC MC´

γ

γ

dm ́

dp ́

dX

dY

Xr

Yr

P Elipsoide

dλ

dp

dm

r=N.cosϕ

Plano de Gauss


17


Determinemos la expresión dY

dλ:

Y N N t n= + − +λ ϕλ

ϕcos!

cos ( )3

3 2 2

31 ; diferenciando es

( )dY N N t n d= + − +

cos cosϕ

λϕ λ

23 2 2

21 .

( )dY

dN N t n

λϕ

λϕ= + − +

cos cos

23 2 2

21

( )dY

dN t n

λϕ

λϕ= + − +

cos cos1

21

22 2 2 y sustituyendo en la expresión de k es:

( )k

sen

NN t n=

++ − +

12 1

21

2 2

22 2

λ ϕ

ϕϕ

λϕ

coscos cos por lo tanto

( )k sen t n= +

+ − +

1

21

21

22

22 2 2λ

ϕλ

ϕ. cos

Desarrollando esta expresión:

( )k t n sen= + − + + +12

12

22 2 2

22λ

ϕλ

ϕcos ...

desprecio el 4to orden

( )k nsen

sen= + + − +12

12 2

22 2

22

2

2

22λ

ϕλ

ϕϕϕ

λϕcos cos .

cos

tsen

tg22

22= =

ϕϕ

ϕcos

( )k n= + +12

12

2 2λϕcos con λ en radianes

Como se ve, k≥1 y por lo tanto podemos decir que es un modulo de ampliación. Analicemos la expresión (1+n2 )

1

1

1

1

1

12

2 21

2

2 23

2

2

2 2

2+ = =−

−−

=−

−n

N a

e sen

e sen

a e

e sen

eρϕ

ϕ ϕ

( )

( )

( )


18


ne sen

e

e sen e

e

e sen

e

e

e2

2 2

2

2 2 2 2 2

2

2 2

2

1

11

1 1

1

1

1 1=

−−

− =− − +

−=

−−

=−

⇒ϕ ϕ ϕ ϕ( ) cos

ne

e=

−

2

21.cosϕ que es la expresión de n que ya hemos visto.

No obstante, introduzcamos la igualdad 1 2+ =nN

ρ en la expresión de k:

kN

= +12

22λ

ρϕcos

Analicemos ahora el valor de k en función de las coordenadas planas (X,Y) en el entorno de un punto.

Y≅ N.λ.cosϕ ⇒ λ ϕ.cos =Y

N; sustituyendo en la expresión anterior de k es:

kY

N

N Y

N= + = +1

21

2

2

2

2

ρ ρ y definiendo el radio medio del elipsoide como R Nm = ρ. es:

kY

Rm

= +12

2

2

Propiedades del módulo de deformación lineal “ k” 1- Meridiano de contacto Recordemos que Y≅Nλcosϕ, por lo tanto, para λ=0 es Y=0 o sea k=1 pero Y=0 es la ecuación del meridiano de contacto y como k=1 implica que en el meridiano de contacto no existen deformaciones. 2- Meridiano cualquiera λ=cte Si nos movemos sobre un meridiano con λ=cte y analizamos la variación de ϕ es: Si ϕ=0o ⇒ cosϕ=1 ⇒ k es máximo Si ϕ=±90o ⇒ cosϕ=0 ⇒ k =1 por lo tanto es mínimo En definitiva, sobre un meridiano al aumentar ϕ, k disminuye hasta llegar a ϕ=±90º donde k=1. 3- Paralelo cualquiera ϕ=cte En esta proyección nos limitamos a un huso de 3º con centro en el meridiano central Si λ=0 ⇒ k=1 por lo tanto k en mínimo en el meridiano central Si λ>0, k aumenta. En definitiva, si nos alejamos del meridiano central sobre un paralelo, k aumenta. 4- Recta paralela al meridiano central Como vemos k=f(Y) o sea que si considero una recta paralela al meridiano central, su ecuación será de la forma Y=cte por lo tanto el valor de k será el mismo para todos los puntos de dicha recta.


19


Coeficiente de deformación lineal k para elementos finitos Una vez analizado el coeficiente de deformación lineal k para los elementos infinitesimales, corresponde analizar el comportamiento de este coeficiente en el caso de elementos finitos.

l= longitud de la transformada de la geodésica lc= longitud de la cuerda a= acimut plano o anomalía de la cuerda; es el ángulo entre la paralela al meridiano de contacto y la cuerda de la transformada de la geodésica 1-2. Llamemos:

k1

k1

k1

k1

k1

k1

k1

k1

k=1

MC

k<<

k<<

k>> k>>

O Ecuador

Yr

ϕ=0

k>> k>>

k<<

k<<

1

2

dX

dY

l

lc

MC´

a

Xr

Yr

Xr

Paralelo

Mer

idia

no

Y=cte


20


dL al elemento diferencial de la longitud de la geodésica en el elipsoide dl su correspondiente en el plano de Gauss

kdl

dL= y además k

Y

N= +1

2

2

ρ

Calculemos 1

12

2 1

k

Y

N

dL

dl= +

=

−

ρ y desarrollando hasta el primer termino:

dL

dl

Y

NdL dl

dlY

N= − ⇒ = −1

2 2

2 2

ρ ρ

Integrando para obtener valores finitos:

dL dlY

Ndl

llL

= − ∫∫∫2

000 2ρ

Del grafico se observa que senadY

dldl

dY

sena= ⇒ = . Considerando ρ y N constantes en un

entorno del punto y sena que es constante por la conformidad es:

dL dlY

NsenadY

L l

Y

Y

0 0

2

21

2

∫ ∫ ∫= − ⇒ρ

dY

( )L lNsena

Y Y lY Y

Y Y

Y Y

sena N= − − = −

−−

−=

1

6

1

623

13 2

313

2 1

2 1

ρ ρ. .

dY

l

( )= −−−

⇒ = −−−

= − + +

l l

N

Y Y

Y YL l

N

Y Y

Y Yl

NY Y Y Y. . . .

1

61

1

61

1

623

13

2 1

23

13

2 122

12

2 1ρ ρ ρ por lo

tanto ( ) ( )L

l NY Y Y Y

kk

NY Y Y Y= − + + = ⇒ = − + +

−

11

6

11

1

622

12

2 1 22

12

2 1

1

ρ ρ y

desarrollando hasta el primer termino es:

( )kN

Y Y Y Y= + + +11

6 22

12

2 1ρ

Como en geodesia los lados de los triángulos son menores a 100km, los valores de ρ y N pueden asumirse como los promedios de ρ ρ1, N N1 2 2y , . Llamando

2

122

2

+=

YYYM es:

2112

22

2 24 YYYYYM ++= por lo tanto: 122

12

21224 YYYYYYYM ++=−


21


y sustituyendo en la expresión anterior de k es:

( ) ( )1222

122 3

6

114

6

11 YYYY

NYYY

Nk MMM −++=−+=

ρρ

Como ( )

4

2

4

2112

22

2212 YYYYYY

YM

++=

+= es:

=

−

++++= 12

2112

222

4

23

6

11 YY

YYYYY

Nk Mρ

( )221

22 YY − ∆Y

−++++=

4

423

6

11 12

2112

222 YYYYYY

YN Mρ

⇒ ( )

−++=

43

6

11

2122 YY

YN

k Mρ=

⇒

∆++4

36

11

22 Y

YN Mρ

∆++=122

11

22 Y

YN

k Mρ

Transformada de la geodésica en el plano de Gauss

Dada una geodésica 1-2 en el elipsoide, es posible utilizar el plano de Gauss para calcular esa geodésica, tanto en acimut como en distancia.

ψγα ±±= a Los signos dependen de la posición de la geodésica respecto de los ejes

cartesianos.

MC MC´ Meridiano

Geodésica

1

2

Cuerda

tg

a

γ

α

ψ


22


α= ángulo entre la tangente a la transformada del meridiano y la tangente a la transformada de la geodésica que por la conformidad es igual al acimut, que se conserva. ψ= ángulo entre la tangente a la transformada de la geodésica y la cuerda, y se denomina deflexión angular. Este valor depende de la curvatura de la geodésica que está dada por la

expresión: N

aYC M

ρcos.

−=

En definitiva, si s es la transformada de una geodésica en el plano de Gauss, las deflexiones angulares ψ vienen dadas por las expresiones:

MM

M

N

YYX

ρψ

2

612

∆−∆= ;

MM

M

N

YYX

ρψ

2

621

∆+∆−=

Cuerda

tg

tg s

1

2

Geodésica 12ψ

21ψ


23


Cálculos geodésicos I- Cálculo de los acimutes y del lado geodésico

Los Datos son las coordenadas de los extremos: 1(ϕ1,λ1) y 2(ϕ2,λ2) y las Incógnitas son: Ac12 = acimut 1-2, Ac21 = acimut 2-1, y L12 = longitud de la geodésica en el elipsoide. Los pasos a seguir son:

1- Hallar las coordenadas cartesianas de los extremos 1 y 2 1.1- (ϕ1,λ1) ⇒ (X1,Y1) aplicando las ecuaciones de la ley de la proyección 1.2- (ϕ2,λ2) ⇒ (X2,Y2) 2- Cálculo del acimut geodésico 2.1- Cálculo del acimut plano a

2.1.1- 12

12

21

2112 X

YArctg

X

YArctga

∆∆

=∆∆

=

2.1.2- π±= 1221 aa

2.2- Cálculo de la deflexión angular ψ

2.2.1- MM

M

N

YYX

ρψ

2

612

∆−∆=

2.2.2- MM

M

N

YYX

ρψ

2

621

∆+∆−=

2.3- Cálculo de la convergencia plana

MC´

12a

12ψ 1γ

1 Meridiano

MC” Meridiano

2

2γ

21a

21ψ

tg

tg

Geodésica

Cuerda


24


2.3.1- ( ) ...231"1cos3

4221

21

31

111 +++∆

+∆= nnsensensen ϕϕλ

ϕλγ

2.3.2- ( ) ...231"1cos3

4222

22

32

222 +++∆

+∆= nnsensensen ϕϕλ

ϕλγ

2.4- Cálculo del acimut geodésico Ac=α

2.4.1- 1211212 ψγα ±±= a

2.4.2- 2122121 ψγα ±±= a

3- Cálculo del lado geodésico L 3.1- Cálculo del coeficiente de deformación lineal k

∆++=122

11

22 Y

YN

k MMMρ

3.2- Cálculo del lado plano l Podemos considerar que l=lc (longitud de la cuerda) pues para Uruguay y para lados menores a 100km., l-lc<2.3mm.

12

21

12

21222112 cosa

X

sena

YYXllll c

∆=

∆=∆+∆=≅==

3.3- Cálculo del lado geodésico L

Por definición es ⇒=L

lk

k

lL =

II- Resolución de un triángulo geodésico en el plan o de Gauss.


25


1

2

3

1

tg

tg

tg

l12

l13

Mer

idia

no

1γ

13ψ

1́β 1β

12ψ

MC´1

Cu

erd

a

Cuerda


26


Los Datos son las coordenadas de los vértices:

( ) ( )1111 ,X , Y⇒λϕ

( ) ( )2222 ,X , Y⇒λϕ aplicando las ecuaciones de la ley de la proyección

( ) ( )3333 ,X , Y⇒λϕ

Las Incógnitas son los ángulos geodésicos: β1, β2, β3, los acimutes geodésicos: Ac12, Ac21, Ac23, Ac32, Ac13, Ac31, los lados geodésicos: L12, L13, L23. Los pasos a seguir son:

1- Cálculo de ángulos y acimutes 1.1- Cálculo de los acimutes planos a

π±=⇒∆∆= 1221

21

2112 aa

X

YArctga

2

MC´2

Mer

idia

no

l23

l21

tg tg

tg

Cuerda

Cuerda

21ψ

2β 2´β

23ψ2γ

3

MC´3

tg

tg

tg

Mer

idia

no

Cu

erd

a Cuerda

l32

l31

3γ

31ψ

3´β

3β 32ψ


27


π±=⇒∆∆= 1331

31

3113 aa

X

YArctga

π±=⇒∆∆= 2332

32

3223 aa

X

YArctga

1.2- Cálculo de las deflexiones angulares ψ

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2612

12

∆−−=

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2621

21

∆+−−=

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2613

13

∆−−=

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2631

31

∆+−−=

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2623

23

∆−−=

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2632

32

∆+−−=

1.3- Cálculo de la convergencia plana de los meridianos

( ) ...231"1cos3

4221

21

31

111 +++∆+∆= nnsensensen ϕϕλϕλγ

( ) ...231"1cos3

4222

22

32

222 +++∆+∆= nnsensensen ϕϕλϕλγ

( ) ...231"1cos3

4223

23

33

333 +++∆

+∆= nnsensensen ϕϕλϕλγ

1.4- Cálculo de los ángulos del triángulo plano β´ β´1=a12-a31±180º=a13-a12 β´2=a23-a12±180º=a21-a23

β´3=a31-a23±180º=a32-a31

1.5- Cálculo de los ángulos geodésicos β β1=β’1±ψ12±ψ13 β2=β’2±ψ21±ψ23

β3=β’3±ψ31±ψ32 1.6- Cálculo de los acimutes Ac Ac12=a12±γ1±ψ12 Ac21=a21±γ2±ψ21

Ac13=a13±γ1±ψ13 Ac31=a31±γ3±ψ31

Ac23=a23±γ2±ψ23 Ac32=a32±γ3±ψ32


28


2- Cálculo de los lados geodésicos L 2.1- Cálculo de los lados planos l

( ) ( ) 212

122

1212

21

12

2112 cos

lYYXXa

X

sena

Yl =−+−=

∆=

∆=

( ) ( ) 312

132

1313

31

13

3113 cos

lYYXXa

X

sena

Yl =−+−=

∆=

∆=

( ) ( ) 322

232

2323

32

23

3223 cos

lYYXXa

X

sena

Yl =−+−=

∆=

∆=

2.2- Cálculo de los coeficientes de deformación lineal k

21

22

12 122

11 k

YY

Nk M

MM

=

∆++=ρ

31

22

13 122

11 k

YY

Nk M

MM

=

∆++=ρ

32

22

23 122

11 k

YY

Nk M

MM

=

∆++=ρ

2.3- Cálculo de los lados geodésicos

2112

1212 L

k

lL ==

3113

1313 L

k

lL ==

3223

2323 L

k

lL ==

Transporte de coordenadas Dado un triángulo geodésico 1 – 2 – 3, los Datos son las coordenadas de los vértices:

1 ( ) ( )1111 ,X , Y⇒λϕ y 2 ( ) ( )2222 ,X , Y⇒λϕ y los ángulos geodésicos: β1, β2, β3

Las Incógnitas son las coordenadas del tercer vértice ( )33,X Y y por integración numérica, las

coordenadas geodésicas 3 ( )33,λϕ

Los pasos a seguir son:

1- Cálculo de a12, l12, ψ

1.1- 21

2112 X

YArctga

∆∆

=


29


1.1.1- 12

21

12

212112 cosa

X

sena

Yll

∆=

∆==

1.2- Cálculo de ψ

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2612

12

∆−−=

( )

MM

M

N

YYXX

ρψ

2621

21

∆+−−=

2- Cálculo de las coordenadas aproximadas del vértice 3: 3´(X´3,Y´3) 2.1- Como primera aproximación de los β′ se define β″ por: β″1=β1±ψ12

β″2=β2±ψ21 β″3=β3 (como no se conoce la deflexión angular no se suma nada)

Por el teorema del seno es:

1

23

2

13

3

12

"

´

"sen

´

βββ sen

ll

sen

l== por lo tanto,

3

21213 "

"´

ββ

sen

senll = ;

3

11223 "

"´

ββ

sen

senll = , son valores aproximados de las

cuerdas del triángulo plano 2.2- Cálculo de las coordenadas cartesianas aproximadas del vértice 3 partiendo de los vértices 1 y 2

En general es:

1

2

3 ́

l´13

l12

l´23

β3

β” 1

β” 2


30


XB=XA+l*cosAcAB

YB=YA+l*senAcAB

AcAB=Ac1+α±π En este caso es:

131313

131313

´´´

´cos´X´

senalYY

alX

+=+=

con a´13=a21+β″1±π

232323

232323

´´"

´cos´X"

senalYY

alX

+=+=

con a´23=a12+β″2±π

y promediando, las coordenadas aproximadas del vértice 3 serán:

2

"´2

"´

333

333

YYY

XXX

AP

AP

+=

+=

Xr

Yr

A

B

AcAB

l

Xr

´Xr

Ac1 AcAB

A

B

α


31


3- Cálculo de las deflexiones angulares ψ Ahora si se pueden calcular las deflexiones con las coordenadas aproximadas del vértice 3

( )

MM

MAP

N

YYXX

ρψ

2

613

13

∆−−=

( )

MM

MAP

N

YYXX

ρψ

2

631

31

∆+−−=

( )

MM

MAP

N

YYXX

ρψ

2

623

23

∆−−=

( )

MM

MAP

N

YYXX

ρψ

2

632

32

∆+−−=

4- Cálculo de los ángulos planos: β′1=β1±ψ12±ψ13 β′2=β2±ψ23±ψ21 verificación: β′1+β′2+β′3=π β′3=β3±ψ31±ψ32 5- Cálculo de los acimutes planos y de los lados planos 5.1- a12 ya fue calculado en el paso 1.1 a13=a12+β′1±π a23=a12+β′2±π 5.2- Por el teorema del seno es:

⇒==1

23

2

13

3

12

´´´ βββ sen

l

sen

l

sen

l

3

11223

3

21213 ´

´ ;

´

´

ββ

ββ

sen

senll

sen

senll ==

6- Cálculo de las coordenadas definitivas del vértice 3 por dos caminos distintos: partiendo del vértice 1 y partiendo del vértice 2

6.1- X´3=X1+l13 .cosa13 Y´3=Y1+l13 .sena13 6.2- X”3=X2+l23 .cosa23

Y”3=Y2+l23 .cosa23

6.3- Coordenadas definitivas del vértice 3

2

"´ 333

XXX

+=

2

"´ 333

YYY

+=

7- Cálculo de las coordenadas geodésicas del vértice 3 Por regresión numérica, a partir de las ecuaciones de X y de Y, se calculan ϕ3 y λ3 (ver Anexo 1)

( ) ( )3333 ,, λϕ⇒YX

PROYECCION CILINDRICA CONFORME DE GAUSS – KRUGER PN …

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