PMA Levensverzekeringswiskunde

(vakcode 370894)

4. Premies en uitkeringen

per jaar en per maand

Periodieke betaling van premies

• Vanwege liquiditeit vaak periodieke betaling van premies (per

maand, per jaar, etc.) in plaats van koopsom

• Premies ≈ prenumerando lijfrente

• Contante waarde premies = koopsom, rekening houdend met

overlijdensrisico

• Vooralsnog alleen nettopremies (dat wil zeggen exclusief de te

maken kosten)

Premies van

verzekeringen op één leven

Contante waarde van n jaarpremies ter grootte van Pj (zie ook de

formule voor een koopsom voor een x-jarige van een n-jarige

prenumerando lijfrente):

Premies van verzekeringen op één leven:

voorbeeld 1

Een 28-jarige vrouw sluit een verzekering, groot €20.000, uit

te keren bij in leven zijn na 32 jaar. Hoe groot is de

jaarpremie?

Koopsom = €20.000 x D60/D

28

P x (N28

– N60)/D

28= €20.000 x D

60/D

28

P = €20.000 x D60/(N

28– N

60)

P = €20.000 x 15.854/(1.172.705 – 273.221)

P = €353

Premies van verzekeringen op één leven:

voorbeeld 2

Een 35-jarige vrouw wil nu €5.000 storten en voorts

gedurende 24 jaar €500 postnumerando. Hoe groot zal de

uitkering zijn indien deze van haar leven afhankelijk is?

Koopsom = U x D60/D

35

€5.000 + €500 x (N36

– N60)/D

35= U x D

60/D

35

U = (€5.000 x D35

+ €500 x (N36

– N60))/D

60

U = (€5.000 x 35.147 + €500 x (859.693 – 273.221))/15.854

U = €29.581

Premies van verzekeringen op twee levens

Twee mogelijkheden:

a. Premiebetaling wordt stopgezet bij het eerste overlijden:

b. Premiebetaling wordt stopgezet bij het tweede overlijden

(verder niet behandeld):

Premies van verzekeringen op twee levens: voorbeeld stopzetting premiebetaling bij eerste overlijden (1)

Een echtpaar, waarvan de man 30 en de vrouw 27 jaar

oud is, sluit een prenumerando lijfrenteverzekering af,

groot €5.000 per jaar, ingaande over 30 jaar. De uitkering

heeft plaats indien en zolang tenminste nog één

verzekerde leeft. Bereken de premie die voor deze

verzekering zal moeten worden betaald, aannemende dat

de premie verschuldigd zal zijn tot het eerste overlijden

en overigens gedurende maximaal 30 jaar.

Premies van verzekeringen op twee levens: voorbeeld stopzetting premiebetaling bij eerste overlijden (2)

Koopsom =

Contante waarde premies =

Koopsom = Contante waarde premies

€5.000 x (Nman60

/D30

+ Nvrouw57

/D27

– N60 57

/D30 27

) = Pj x (N30 27

– N60 57

)/D30 27

€5.000 x (235.762/40.626 + 324.214/44.654 – 2.021.558/402.963)

= Pj x (9.950.078 – 2.021.558)/402.963

€5.000 x (5,80322946 + 7,26058136 – 5,01673355) = Pj x 19,67555334

Pj = €40.235/19,67555334 = €2.045

Maandpremies

In plaats van via jaarpremies of -uitkeringen, vindt betaling ook

vaak plaats via maandpremies of -uitkeringen

(≈ continue rente: ).

De contante waarde van een continue rente is het gemiddelde van

de contante waarden van een pre- en een postnumerando rente:

Zo geldt ook bij de commutatietekens:

Voorbeeld maandpremie

Een 40-jarige man sluit een verzekering op zijn eigen leven af; bij

in leven zijn op 65-jarige leeftijd zal er €40.000 worden

uitgekeerd. De premie is maandelijks gedurende 25 jaar

verschuldigd. Bereken de maandpremie in euro’s nauwkeurig.

Pm = (€40.000 x 12.606)/(12 x (671.509 – 157.990)) =

€504.240.000/6.162.228 = €81,83

Formules:

Premies van verzekeringen op één leven

Jaarpremies van verzekeringen op één leven:

Maandpremies van verzekeringen op één leven:

Formules:

Premies van verzekeringen op twee levens (1)

Jaarpremies van verzekeringen op twee levens:

• Premiebetaling wordt stopgezet bij het eerste overlijden:

• Premiebetaling wordt stopgezet bij het tweede overlijden

(verder niet behandeld):

Formules:

Premies van verzekeringen op twee levens (2)

Maandpremies van verzekeringen op twee levens:

• Premiebetaling wordt stopgezet bij het eerste overlijden: