Practica 2. Algebra Lineal.

Cambio de Base.Transformaciones Lineales.

Matrices asociadas a una transformacion lineal.

2do ano: Lic. en Matematica y Profesorado.

1. (a) Sean B1 = {(1, 0), (1, 1)} y B2 = {(0, 1), (1,1)} bases de R2.

i. Hallar MB2,B1 la matriz de cambio de base de B1 en B2 (Mes la matriz cuyas columnas son las coordenadas de la baseB1 respecto de la base B2).

ii. Hallar la matriz cambio de base MB1,B2 de B2 en B1.

iii. Comprobar que MB1,B2 = M1

B2,B1.

iv. Verificar que MB2,B1 [(1, 2)]B1 = MB2 .

(b) Sean B1 la base canonica de R3 y B2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}.

i. Hallar MB2,B1 la matriz de cambio de base de B1 en B2.

ii. Hallar la matriz cambio de base MB1,B2 de B2 en B1.

iii. Comprobar que MB1,B2 = M1

B2,B1.

iv. Verificar que MB2,B1 [(1, 2, 0)]B1 = MB2 .

(c) Sean B1 = {1, x, x2, x3} y B2 = {x 1, x(x 1), x

2(x 1), x3}bases del R espacio vectorial de los polinomios de grado menor oigual a 3.

i. Hallar MB2,B1 la matriz de cambio de base de B1 en B2.

ii. Hallar la matriz cambio de base MB1,B2 de B2 en B1.

iii. Comprobar que MB1,B2 = M1

B2,B1.

iv. Verificar que MB2,B1 [1 + x + x2]B1 = MB2 .

2. Determinar cuales de las siguientes aplicaciones son transformacioneslineales:

(a) L : R3 R3 definida por L(x, y, z) = (x y, x2, 2z).

(b) L : R3x1 R3x1 definida por L

xyz

=

2x 3y3y 2z

2z

(c) T : R2x2 R2x2 definida por T

(

x yz w

)

=

(

x + y yz + w w

)

(d) f : C C, f(z) = z (considerando a C como R-espacio vectorialy como C-espacio vectorial).

1

(e) f : R[X] R3, f(p) = (p(0), p(0), p(0)).

(f) tr : Knxn K, definida tr(A) =n

i=1 aii.(Esta aplicacion esconocida con el nombre de traza).

(g) Sea B Knxn {0} fija, f : Knxn Knxn definida:

i. f(A) = BA.

ii. f(A) = BA AB.

iii. f(A) = A + B.

3. (a) i. Sea T (x) = Ax siendo A =

(

0 00 1

)

,

una transformacion lineal de R2 en R2. En un sistema decoordenadas graficar los vectores u, v, T (u), T (v), siendo u =(

24

)

y v =

(

51

)

ii. De una descripcion geometrica de lo que hace T a un vectorx de R2

iii. Encuentre un vector x cuya imagen por T sea

(

015

)

. Es

unico?

(b) Interpretar geometricamente las siguientes aplicaciones linealesf : R2 R2.

i. f(x, y) = (x, 0).

ii. f(x, y) = (0, y).

iii. f(x, y) = (x,y).

iv. f(x, y) = (12(x + y), 12(x + y)).

4. (a) Probar que existe una unica transformacion lineal f : R2 R2

tal que f(1, 1) = (5, 3) y f(1, 1) = (5, 2). Para dicha f , deter-minar f(5, 3) y f(1, 2).

(b) Existira una transformacion lineal f : R2 R2 tal que f(1, 1) =(2, 6); f(1, 1) = (2, 1) y f(2, 7) = (5, 3)?

5. En cada uno de los siguientes casos definir una transformacion linealf : R3 R3 que verifique lo pedido.

(a) (1, 1, 0) Nu(f) y dim(Im(f)) = 1.

(b) Nu(f) Im(f) = {(1, 1, 2)}.

(c) Nu(f) Im(f).

2

(d) f 6= 0 y f f 6= 0.

(e) f 6= Id y f f = Id.

(f) Nu(f) 6= 0, Im(f) 6= 0 y Nu(f) Im(f) = {0}.

6. (a) Sea T la transformacion lineal de V en V , siendo V un espaciode dimension finita y donde se usa la misma base ordenada paraV como dominio y codominio de T . Encuentre la representacionmatricial de T en cada uno de los siguientes casos:

i. T (v) = v siendo V = R2.

ii. T (p) = p siendo V = R2[x].( es la derivada)

(b) Sean V = R2[x], W = R1[x]. Se define F (p) = (p p(0))/x. SeaB = {1 + x, x + x2, x2 + 1} base de V y C = {1 + x, 1 x} basede W. Encuentre la representacion matricial de F en las basesdadas.

(c) Sea M =

(

1 23 4

)

y T la tranformacion lineal T : R2x2 R2x2

definida por T (A) = MA. Hallar la representacion de T en labase usual de R2x2.

(d) Sea A =

(

2 5 31 4 7

)

, L(v) = Av. Encontrar la repre-

sentacion matricial de L relativa a las bases de R3 y R2, B ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, C = {(1, 3), (2, 5)}.

7. Sean T (a, b) = (4ab, b+2a), B = {(1, 0), (0, 1)} y C = {(1, 3), (2, 5)}.

(a) Hallar la matriz camio de base de B a C, la matriz cambio debase de C a B, comprobar que una es la inversa de la otra.

(b) Hallar la matriz que representa T en la base B, la matriz querepresenta T en la base C. Compruebe el teorema de cambio debase.

8. Sean T transformacion lineal de C2 en C2 definida por T (x, y) = (y, 0),B la base standar de C2 y B = {(1, i), (i, 2)}.

(a) Hallar la matriz de T en las bases B, B.

(b) Hallar la matriz de T en las bases B, B.

(c) Hallar la matriz de T en la base B.

(d) Hallar la matriz de T en la base {(i, 2), (1, i)}.

(e) Calcule el determinante de la matriz hallada en a).

3

(f) Puede decir cuanto vale el determinante de las matrices del incisob) al d) sin hacer las cuentas? Si no puede, calcule y concluya.Justifique su conclusion.

9. Sea V un K espacio vectorial sobre, B = {b1, ..., bn} una base ordenadade V y T : V V lineal.

(a) Cual es la matriz de T en la base B si T (bj) = bj+1 para j =1, ..., n 1; y T (bn) = 0?

(b) Demostrar que Tn = 0 y Tn1 6= 0.

(c) Sea f cualquier operador lineal sobre V tal que fn = 0 y fn1 6=0. Demostrar que existe una base ordenada B1 de V tal que lamatriz [f ]B1 coincide con la matriz hallada en (a).

(d) Demostrar que si M y N son matrices de Knn tales que Mn =Nn = 0, con Mn1 6= 0 y Nn1 6= 0, entonces son semejantes.

10. Sea Eij Knxn tal que la entrada (i, j) de la matriz vale 1 y el resto

de las entradas son nulas. Verificar que, si asociamos dicha matriz auna transformacion lineal de la forma usual, entonces:

(a) Eii es idempotente (es decir, E2ii = Eii) para i = 1, ..., n.

(b) EiiEjj = 0 si i 6= j.

(c)n

i=1 Eii = I.

11. Describa explcitamente una transformacion lineal T de R3 en R3 conT (1, 1, 1) = (2, 0, 0), T (1, 1, 0) = (3, 3, 0), T (1, 0, 0) = (4, 4, 4).

(a) Es unica? Justifique.

(b) Encuentre una base B tal que [T ]B =

0 0 40 3 02 0 0

12. Sean g : V V y f : V V transformaciones lineales. Probar:

(a) Nu(g) Nu(f g).

(b) Si Nu(f) Im(g) = {0}, entonces Nu(g) = Nu(f g).

(c) Im(f g) Im(f).

(d) Si Im(g) = V , entonces Im(f g) = Im(f).

4

13. Calcular el nucleo y la imagen de cada una de las tranformacioneslineales de los Ejercicios anteriores. Decidir, en cada caso, si f essuryectiva, inyectiva o biyectiva. En el caso que sea biyectiva, calcularf1.

14. Sea V un K-espacio vectorial de dimension n y sea B = {v1, ..., vn}una base de V . Se define la aplicacion FB : V K

n de la siguientemanera: Si v =

ni=1 xivi, FB(v) = (x1, ..., xn). Probar que FB es

biyectiva. Observar que, teniendo en cuenta que la aplicacion FBes tomar coordenadas en la base B, esto nos permite trabajar concoordenadas en una base en el siguiente sentido:

(a) {w1, ..., ws} es linealmente independiente en V si y solo si {FB(w1),..., FB(ws)} es linealmente independiente en K

n.

(b) {w1, ..., wr} es un sistema de generadores de V si y solo si {FB(w1),..., FB(wr)} es un sistema de generadores de K

n.

(c) {w1, ..., wn} es una base de V si y solo si {FB(w1), ..., FB(wn)}es una base de Kn. Por ejemplo, para decidir si {x2 x +1, x2 3x + 5, 2x2 + 2x 3} es una base de R2[X], bastara ver si{(1,1, 1), (1,3, 5), (2, 2,3)} es una base de R3.

15. Sean B = {v1, v2, v3} una base de R3 y B0 = {w1, w2, w3, w4} una base

de R4. Sea f : R3 R4 la transformacion lineal tal que

|f |BB0 =

1 2 11 1 12 1 43 2 5

(a) Hallar f(3v1 + 2v2 v3). Cuales son sus coordenadas en la baseB0?

(b) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f).

(c) Describir el conjunto f1(w1 3w3 w4).

16. Si A es la matriz de f en la base B. Sin hallar f determinar ladimension de la imagen para cada uno de los siguientes casos y hallaruna base para el nucleo:

(a)

A =

0 0 00 1 00 0 0

5

(b)

A =

1 0 00 1 00 0 0

(c)

A =

1 0 20 0 30 0 4

17. En cada uno de los siguientes casos, hallar una matriz A R3x3 queverifique:

(a) A 6= I y A3 = I.

(b) A 6= 0, A 6= I y A2 = A.

18. Sea f : R3 R3 definida por f(x1, x2, x3) = (x1 +x2x3, 2x13x2 +2x3,x1 x2 + x3).

(a) Determinar bases B y B0 de R3 tales que

|f |BB0 =

1 0 00 1 00 0 0

(b) Si A es la matriz de f en la base canonica, encontrar matricesinversibles C y D tales que

C.A.D =

1 0 00 1 00 0 0

6