PR1391.10 Overzichtsdocument Probabilistische Modellen Zoete Wateren Hydra-zoet NL Versie

PR1391.10 juli 2010

Opdrachtgever: Rijkswaterstaat Waterdienst

Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren

Hydra-VIJ, Hydra-B en Hydra-Zoet

Auteur: Chris Geerse

Met medewerking van Robert Slomp en Herbert Berger (Rijkswaterstaat Waterdienst)

juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren

HKV LIJN IN WATER PR1391.10 i

Voorwoord

Nederland is voor de primaire a-keringen in te delen in vijf watersystemen: bovenrivieren,

benedenrivieren, Vecht- en IJsseldelta, het merengebied (IJssel- en Markermeer) en de kust. De

kust is daarbij nog onder te verdelen in de gladde duinen kust en de harde keringen langs de

Hollandse Kust, de Ooster- en Westerschelde en de Waddenzee. In de periode 1996 – 2008 zijn

voor deze gebieden (met uitzondering van de bovenrivieren) voor de toets op hoogte en

bekledingen probabilistische modellen ontwikkeld: de Hydra-modellen. Zo is Hydra-M/Q1

ontwikkeld voor het merengebied, Hydra-B voor de benedenrivieren, Hydra-VIJ voor de Vecht-

en IJsseldelta en Hydra-K voor de kust (met uitzondering van de duinen en de Wadden). De

probabilistische methoden uit deze modellen verschillen van elkaar, al zijn Hydra-B en

Hydra-VIJ nauw met elkaar verwant. In het bovenrivierengebied wordt tot op heden een semi-

probabilistische methode gebruikt, die in de jaren '80 in het kader van de Leidraad rivierdijken

is ontwikkeld. Berekeningen volgens deze methode worden gemaakt met Hydra-R. Het werken

met het probabilistische model Hydra-B in het bovenrivierengebied behoort tot de

mogelijkheden, maar hiervan wordt in het kader van de Hydraulische Randvoorwaarden geen

gebruik gemaakt.

Gaandeweg, en met name na het verschijnen van het Randvoorwaardenboek 2006, is de wens

tot uniformering van de probabilistische methoden gegroeid. Bij Rijkswaterstaat, Deltares,

advies- en ingenieursbureaus en de waterschappen bestaat een duidelijke behoefte aan het

terugdringen van het aantal modellen, omdat de toetsing daarmee overzichtelijker wordt. Voor

de zoete wateren is deze uniformering inmiddels een feit. Er is een nieuw probabilistisch model

opgesteld, Hydra-Zoet genaamd, waarin de vier zoete watersystemen zijn opgenomen. Op dit

moment wordt de laatste hand gelegd aan de implementatie van Hydra-Zoet. Voor de HR2011

kan dit model daarmee de Hydra-modellen M/Q, B, VIJ en R vervangen, met de kanttekening

dat op beleidsmatige gronden is gekozen om op het Markermeer en in het bovenrivierengebied

Hydra-M/Q en Hydra-R te handhaven.

Het voorliggende rapport is bedoeld om de ruim tien jaar modelontwikkeling voor de zoete

Hydra-modellen VIJ, B en Zoet af te sluiten met één overkoepelend document. In dit document

heeft Chris Geerse de Hydra-modellen VIJ en B beschreven, die aan de basis liggen van het

nieuwe, uniforme belastingmodel Hydra-Zoet. Ook het laatstgenoemde model is beschreven.

Om de omvangrijke beschrijving enigszins te beperken, gaat het rapport alleen in op de

hoogtetoets en de toetspeilberekeningen, die de kern van de genoemde Hydra-modellen zijn.

Op de ook in de modellen aanwezige mogelijkheden voor het uitvoeren van de bekledingtoets

wordt niet ingegaan.

De beschrijving bevat voor de zoete watersystemen gedetailleerde probabilistische formules en

statistische invoer voor de belastingmodellen.Daarnaast worden, weliswaar in mindere mate van

detail, de gebruikte waterstandsmodellen en golfmodelleringen besproken. Ook wordt kort

ingegaan op de plaats van de Hydra-modellen in de keten van toetsing, ontwerp en beleid. Het

rapport is geschreven voor een doelgroep die geïnteresseerd is in precieze formules en details

van de modellen, en kan daarmee dienen als naslagwerk.

1 Hydra-M bevat de hoogtetoets en Hydra-Q die voor bekledingen. Beide programma’s worden hier gecombineerd

aangeduid als Hydra-M/Q.

Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010

ii PR1391.10 HKV LIJN IN WATER

Dit rapport heeft gediend als leidraad voor de bouw van het rekenhart van Hydra-Zoet.2 Het kan

verder bijdragen aan een nieuwe uniformeringsslag, waarbij belastingmodellen geïntegreerd

worden met sterktemodellen, voor de zoete én de zoute wateren. Deze uniformering moet

uitmonden in een nieuw model (Hydra-Ring) dat naar verwachting eind 2017 operationeel zal

zijn. Bij het opstellen van dat model wordt de kennis van het project Veiligheid Nederland in

Kaart (VNK) gecombineerd met de kennis van de Hydra-modellen. De ontwikkeling van

Hydra-Ring gebeurt in het kader van het project TOI, waarin een nieuw Toets- en Ontwerp-

instrumentarium wordt ontwikkeld, dat past bij een nieuwe normering op basis van

overstromingskansen. Het voorliggende rapport is één van de bronnen waaruit bij het opstellen

van het nieuwe instrumentarium geput kan worden.

Robert Slomp (Rijkswaterstaat Waterdienst)

Projectleider Toets- en Ontwerpinstrumentarium (TOI)

2 Feitelijk heeft een al tamelijk compleet concept van het rapport uit eind 2009 als leidraad gediend.


HKV LIJN IN WATER PR1391.10 iii

Samenvatting

Volgens de Wet op de Waterkering [Wwk, 1996] moeten de primaire waterkeringen iedere vijf

jaar worden getoetst. Daarbij worden Hydraulische Randvoorwaarden (HR) gebruikt. De meest

recente HR zijn die uit 2006 (HR2006), die gebruikt worden in de derde toetsronde, die de

periode 2006-2011 beslaat. Een groot deel van de HR-onderdelen wordt bepaald met

zogenaamde Hydra-modellen. Dat zijn probabilistische modellen, die zijn geïmplementeerd in

computerprogramma’s. Deze modellen hebben betrekking op de primaire a-keringen. Voor de

benedenrivieren is er het model Hydra-B en voor de Vecht- en IJsseldelta het model Hydra-VIJ.

De modellen Hydra-B en Hydra-VIJ zijn ontwikkeld door Rijkswaterstaat, in samenwerking met

het bureau HKV Lijn in Water, gedurende de jaren 1999 tot heden. De rapportage over Hydra-B

en Hydra-VIJ is zeer uitgebreid, maar gezien de lange ontstaansgeschiedenis en het grote

aantal rapporten, soms wat onsamenhangend en een enkele keer incompleet. Het is daarom

gewenst een samenhangende beschrijving te geven van beide modellen, waarbij statistische

gegevens, fysische modellen en probabilistische formules aan de orde komen. Het geven van

deze beschrijving is één van de hoofddoelen van dit rapport.

De modellen Hydra-VIJ en Hydra-B vertonen de nodige verwantschap. In de afgelopen jaren is

echter duidelijk geworden dat de modellen op nog meer uniforme wijze kunnen worden opgezet,

waarbij de modellering van de zogeheten “trage stochasten”, zoals afvoeren en meerpeilen, op

overeenkomstige wijze kan worden uitgevoerd. Na deze uniformering kunnen de

benedenrivieren en de Vecht- en IJsseldelta deel uitmaken van een nieuw probabilistisch model.

Bovendien is gebleken dat ook het IJssel- en Markermeer en de bovenrivieren kunnen worden

opgenomen in dit nieuwe model. Dat betekent dat alle primaire a-keringen uit de zoete

watersystemen dan deel uitmaken van één nieuw probabilistisch model, Hydra-Zoet genaamd.

Dat laatste biedt grote voordelen qua overzichtelijkheid en voor beheer en onderhoud. Het

tweede hoofddoel van dit rapport is het beschrijven van de formules uit Hydra-Zoet.

Terzijde: de implementatie van het model Hydra-Zoet is enige tijd geleden al gestart, en het

model wordt binnenkort opgeleverd. Voor de implementatie heeft een concept van het

voorliggende rapport uit eind 2009 als leidraad gediend.

De modellen Hydra-VIJ en Hydra-B bevatten een groot aantal rekenopties. In dit rapport is er

omwille van de overzichtelijkheid voor gekozen slechts faalmechanismes te behandelen die tot

de kern van het model kunnen worden gerekend. Dat zijn de mechanismes overloop en

golfoverslag, respectievelijk gebruikt voor de berekening van waterstanden (toetspeilen) en

benodigde kruinhoogtes, terwijl onder andere berekeningen voor bekledingen, die ook mogelijk

zijn met deze modellen, achterwege zijn gelaten.

Wat de doelgroep van lezers betreft: dit rapport is bedoeld voor lezers die bekend zijn met

statistiek en wiskundige formules. De meest gecompliceerde formules en bewijzen zijn

opgenomen in bijlagen.


HKV LIJN IN WATER PR1391.10 v

Abstract

According to the Flood Defences Act [Wwk, 1996], every five years the Dutch primary flood

defenses have to be assessed. To that purpose Hydraulic Boundary Conditions (HBC) are used

(normative water levels and wave conditions). The most recent ones date from 2006

(HBC2006), and are used in the third period of assessments, corresponding to 2006-2011. A

large part of the HBC are determined with so-called Hydra models. These are probabilistic

models, implemented in computer programs. These models are used for the primary flood

defenses of type a, which are located along the larger water systems in the Netherlands, i.e.

along the rivers Rhine and Meuse and their branches and the river (Overijsselse) Vecht, along

the large lakes Lake IJssel and Lake Marken and along the coast.

Two important water systems are the tidal river area and the Vecht and IJssel delta. The tidal

river area is that part of the lower reaches of the Rhine and Meuse where storms on the North

Sea have a significant effect on the water levels during high discharge waves. The Vecht and

IJssel delta consists of the lower reaches of the Vecht and IJssel (a branch of the river Rhine)

where wind set up from Lake IJssel has a significant effect on the water levels during high

discharge waves.

For the tidal river area the model Hydra-B is available, and for the Vecht and IJssel delta the

model Hydra-VIJ. These models have been developed by Rijkswaterstaat, a department of the

Ministry of Transport, Public Works and Water Management, and HKV Consultants from 1999

until the present. There are a lot of reports regarding these models, but due to the long period

over which the models have been developed, the reports are sometimes inarticulate and

incomplete. It is therefore desirable to provide a coherent description of these models, including

statistical data and modelling, physical modelling and probabilistic formulas. Providing this

description is one of the main purposes of this report.

The models Hydra-VIJ and Hydra-B have many similarities. However, in the past years it

became apparent that these models can be constructed in a more uniform way. All the so-called

“slow” stochastic variables such as discharges and lake levels are modelled using the same type

of schematisation. This resulted in a single probabilistic model for the lower reaches of the

Rhine, Meuse, Vecht and IJssel. Even better, the upper reaches of these rivers and Lake IJssel

and Lake Marken fit into the general scheme of this model as well, meaning that all flood

defences of type a of the fresh water systems are part of a single new probabilistic model, called

Hydra-Zoet. The model offers big advantages in terms of clarity, management and

maintenance. The second main purpose of this report is to describe the detailed formulas of

Hydra-Zoet. We note that the implementation of Hydra-Zoet started several months ago, based

on an earlier draft of this report. The model will soon be ready.

The models Hydra-VIJ and Hydra-B contain several calculational options and failure

mechanisms. For transparency, this report only treats the major options and failure mechanisms

of these models and of the model Hydra-Zoet: overflow and wave overtopping, used

respectively in the calculation of normative water levels and required crest heights,

corresponding to exceedance frequencies given by law. These concepts play an important role in

the 5-yearly assessment of the flood defences. Other options and failure mechanisms, such as

the determination of wave conditions to assess dike revetments, are left out of the description.


vi PR1391.10 HKV LIJN IN WATER

The report contains detailed statistical and mathematical formulas for the models Hydra-VIJ,

Hydra-B and Hydra-Zoet. It also discusses (but in less detail) the physical models for waves and

water levels and the way they are used to generate input for the Hydra models. Lastly, the

report briefly describes the role of the Hydra models in “the chain of assessment, design and

policy” regarding flood defences. The mathematical parts of the report require a fair amount of

statistical and mathematical background, whereas the report as a whole can serve as a

reference book.


HKV LIJN IN WATER PR1391.10 vii

Inhoud

1 Inleiding ................................................................................................. 13 1.1 Aanleiding .................................................................................................................... 13 1.2 Doel............................................................................................................................. 13 1.3 Doelgroep en scope van het rapport ................................................................................ 14 1.4 Opzet van het rapport .................................................................................................... 14

DEEL 1

2 Toetsing, ontwerp en beleid ................................................................... 17 2.1 Algemeen ..................................................................................................................... 17 2.2 Veiligheidsbenaderingen................................................................................................. 18 2.3 HR en VTV voor de toetsing ............................................................................................ 20

2.3.1 HR en Hydra’s per watersysteem......................................................................... 20 2.3.2 VTV ................................................................................................................. 21 2.3.3 TMR versus HR ................................................................................................. 22

2.4 Hydra’s voor ontwerpen ................................................................................................. 22 2.5 Hydra’s voor beleidsstudies............................................................................................. 23 2.6 Afbakening rapport ........................................................................................................ 24

3 Zoete watersystemen ............................................................................. 25 3.1 Bovenrivieren................................................................................................................ 25 3.2 IJssel- en Markermeer.................................................................................................... 26 3.3 Vecht- en IJsseldelta...................................................................................................... 26 3.4 Benedenrivieren ............................................................................................................ 27 3.5 Diverse toeslagen .......................................................................................................... 27

4 Voorbeeldberekeningen Vecht- en IJsseldelta ........................................ 29 4.1 Versies voor normale en geavanceerde gebruikers............................................................. 29 4.2 Terugkeertijden van afvoer, meerpeil en wind................................................................... 30 4.3 Faalmechanisme overloop: waterstanden ......................................................................... 31

4.3.1 Elementaire uitvoer waterstandsberekening.......................................................... 31 4.3.2 Uitsplitsingen bij de waterstandsberekening ......................................................... 32 4.3.3 Illustratiepunten bij de waterstandsberekening ..................................................... 34

4.4 Faalmechanisme golfoverslag: benodigde kruinhoogte ....................................................... 37 4.4.1 Effectieve bodemhoogtes, strijklengtes en dijkprofiel ............................................. 37 4.4.2 Elementaire uitvoer berekening benodigde kruinhoogte ......................................... 38 4.4.3 Uitsplitsingen bij berekening benodigde kruinhoogte.............................................. 40 4.4.4 Illustratiepunten bij berekening benodigde kruinhoogte ......................................... 41

4.5 Waar zijn welke stochasten van invloed voor de toetspeilen? .............................................. 42 4.5.1 Uitsplitsingen voor waterstandsberekeningen in de IJsseldelta ................................ 43 4.5.2 Uitsplitsingen voor waterstandsberekeningen in de Vechtdelta ................................ 46

5 Fysische modellen .................................................................................. 49 5.1 Waterstanden ............................................................................................................... 49 5.2 Windgolven................................................................................................................... 49

5.2.1 Formules van Bretschneider ............................................................................... 50


viii PR1391.10 HKV LIJN IN WATER

5.2.2 Effectieve strijklengtes en bodemhoogtes voor Bretschneider ................................. 51 5.2.3 Potentiële wind en open water transformatie ........................................................ 52 5.2.4 Golfgegevens op basis van Hiswa of Swan............................................................ 53

5.3 Transformatie golfgegevens van open water naar de dijkteen ............................................. 53 5.3.1 Dammodule ..................................................................................................... 54 5.3.2 Voorlandmodule................................................................................................ 55

5.4 Hydraulische belasting ................................................................................................... 56

6 Combineren van trage en snelle stochasten ........................................... 59 6.1 Tijdschalen van stochasten............................................................................................. 59 6.2 Trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ........................................................................... 59

6.2.1 Tijdbasis van snelle stochasten ........................................................................... 59 6.2.2 Combineren van trage en snelle stochast voor vereenvoudigde situatie van

meerpeil en windsnelheid................................................................................... 60 6.2.3 Combineren van trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ ....................................... 63

6.3 Trage en snelle stochasten in Hydra-B ............................................................................. 63 6.4 Commentaar op onafhankelijkheid en duur van de windblokken .......................................... 64

7 Correlatiemodellen ................................................................................. 67 7.1 Theorie model CS (constante spreiding) ........................................................................... 67 7.2 Toepassing model CS..................................................................................................... 70 7.3 Theorie model VS (variabele spreiding) ............................................................................ 70

DEEL 2

8 Inleiding model Hydra-VIJ...................................................................... 75 8.1 Vecht- en IJsseldelta ..................................................................................................... 75 8.2 Stochasten Hydra-VIJ .................................................................................................... 78 8.3 Hoofddoel Hydra-VIJ voor dit rapport............................................................................... 78 8.4 Opzet model aan de hand van een schema....................................................................... 79

9 Hydraulische belastingniveaus Hydra-VIJ .............................................. 83 9.1 Waquaberekeningen ...................................................................................................... 83 9.2 Windgolven .................................................................................................................. 85 9.3 Hydraulische belastingniveaus ........................................................................................ 86 9.4 Dataverwerking............................................................................................................. 86

10 Tijdsmodellering trage stochasten Hydra-VIJ......................................... 87 10.1 Onderdelen van een afvoeren meerpeilstatistiek ............................................................. 87 10.2 Tijdsverloop afvoer en meerpeil ...................................................................................... 88 10.3 Correlaties en fases tussen IJsselmeer en de afvoeren ....................................................... 89 10.4 Geknikte trapezia .......................................................................................................... 90

11 Statistische gegevens Hydra-VIJ ............................................................ 91 11.1 Opsomming statistische invoer Hydra-VIJ......................................................................... 91 11.2 Vecht........................................................................................................................... 92

11.2.1 Kansdichtheid piekafvoer trapezia ....................................................................... 92 11.2.2 Trapeziumparameters........................................................................................ 94 11.2.3 Momentane overschrijdingskansen...................................................................... 98

11.3 IJssel ......................................................................................................................... 100


HKV LIJN IN WATER PR1391.10 ix

11.3.1 Kansdichtheid piekafvoer trapezia ..................................................................... 100 11.3.2 Trapeziumparameters ...................................................................................... 101 11.3.3 Momentane overschrijdingskansen .................................................................... 103

11.4 IJsselmeerpeil ............................................................................................................. 104 11.4.1 Kansdichtheid piekafvoer trapezia ..................................................................... 104 11.4.2 Trapeziumparameters ...................................................................................... 105 11.4.3 Momentane overschrijdingskansen .................................................................... 107

11.5 Fase tussen afvoer en meerpeil ..................................................................................... 108 11.5.1 Fase tussen Vecht en IJsselmeer ....................................................................... 108 11.5.2 Fase tussen IJssel en IJsselmeer ....................................................................... 110

11.6 Correlatie tussen afvoer en meerpeil .............................................................................. 112 11.6.1 Correlatie tussen Vecht en IJsselmeerpeil........................................................... 112 11.6.2 Correlatie tussen IJssel en IJsselmeerpeil ........................................................... 116

11.7 Wind.......................................................................................................................... 118

12 Probabilistische formules Hydra-VIJ..................................................... 121 12.1 Kansdichtheid blokduur ................................................................................................ 121 12.2 Overschrijdingskans blokduur ....................................................................................... 123 12.3 De overschrijdingsfrequentie......................................................................................... 124 12.4 Formules voor een dijkring ........................................................................................... 126

13 Uitsplitsingen Hydra-VIJ....................................................................... 129 13.1 Het nut van de uitsplitsingen ........................................................................................ 129 13.2 Continue versie probabilistische formules ....................................................................... 130 13.3 Uitsplitsing naar de afvoer ............................................................................................ 132 13.4 Uitsplitsing naar de afvoer en het meerpeil ..................................................................... 134 13.5 Volledige uitsplitsingen................................................................................................. 136 13.6 Alternatieve formule voor de uitsplitsingen ..................................................................... 137 13.7 Windgedomineerde locaties .......................................................................................... 138

14 Illustratiepunten Hydra-VIJ.................................................................. 141 14.1 Isovlakken en keuze kansdichtheid ................................................................................ 141 14.2 Definitie illustratiepunt ................................................................................................. 142

14.2.1 Illustratiepunt exclusief transformatie ................................................................ 142 14.2.2 Illustratiepunt inclusief Rosenblatt-transformatie................................................. 142

DEEL 3

15 Inleiding model Hydra-B....................................................................... 147 15.1 Benedenrivierengebied................................................................................................. 147 15.2 Stochasten Hydra-B..................................................................................................... 149 15.3 Hoofddoel Hydra-B ...................................................................................................... 149 15.4 Gebiedsindeling........................................................................................................... 150 15.5 Opzet model aan de hand van een schema ..................................................................... 151

16 Hydraulische belastingniveaus Hydra-B................................................ 155 16.1 Sobekberekeningen ..................................................................................................... 155

16.1.1 Zeewaterstanden ............................................................................................ 156 16.1.2 Windsnelheid en windrichting............................................................................ 157 16.1.3 Afvoeren ........................................................................................................ 157


x PR1391.10 HKV LIJN IN WATER

16.1.4 Europoortkering.............................................................................................. 158 16.2 Windgolven ................................................................................................................ 159 16.3 Hydraulisch belastingniveau.......................................................................................... 159

17 Statistische gegevens Hydra-B ............................................................. 161 17.1 Gegevens Lobith ......................................................................................................... 161

17.1.1 Reguliere en uitgebreide afvoerstatistiek............................................................ 161 17.1.2 Reguliere afvoerstatistiek................................................................................. 162 17.1.3 Uitbreiding overschrijdingsfrequentie en golfvormen............................................ 164

17.2 Gegevens Lith............................................................................................................. 165 17.2.1 Reguliere afvoerstatistiek................................................................................. 165 17.2.2 Uitbreiding overschrijdingsfrequentie en golfvormen............................................ 167

17.3 Wind-waterstandstatistiek ............................................................................................ 167 17.4 Beheersituatie keringen en voorspelde waterstanden ....................................................... 168

18 Probabilistische formules Hydra-B........................................................ 171 18.1 Kansdichtheid voor getijperiode .................................................................................... 171 18.2 Overschrijdingskans voor getijperiode............................................................................ 173 18.3 De overschrijdingsfrequentie ........................................................................................ 174 18.4 Formules voor een dijkring ........................................................................................... 175

19 Uitsplitsingen Hydra-B.......................................................................... 179 19.1 Continue versie probabilistische formules ....................................................................... 179 19.2 Uitsplitsingen naar alle stochasten................................................................................. 180 19.3 Alternatieve formule voor de uitsplitsingen ..................................................................... 182 19.4 Door wind en/of zee gedomineerde locaties .................................................................... 183

20 Illustratiepunten Hydra-B..................................................................... 187 20.1 Isovlakken en keuze kansdichtheid................................................................................ 187 20.2 Definitie illustratiepunt................................................................................................. 188

20.2.1 Illustratiepunt exclusief transformatie................................................................ 188 20.2.2 Illustratiepunt inclusief Rosenblatt-transformatie ................................................ 188

DEEL 4

21 Hydra-Zoet ........................................................................................... 193 21.1 Uniformering Hydra-modellen voor de zoete watersystemen............................................. 193 21.2 Hydra-Zoet voor het IJssel- en Markermeer.................................................................... 194 21.3 Hydra-Zoet voor de benedenrivieren.............................................................................. 195

21.3.1 Afvoer gemodelleerd met trapezia..................................................................... 195 21.3.2 Basisformules Hydra-B voor Hydra-Zoet ............................................................ 195 21.3.3 Formules uitsplitsingen Hydra-B voor Hydra-Zoet ............................................... 196 21.3.4 Herformulering wind-waterstandstatistiek .......................................................... 197 21.3.5 Gemeenschappelijke tijdbasis in Hydra-Zoet....................................................... 199

21.4 Hydra-Zoet voor de bovenrivieren ................................................................................. 199 21.4.1 Algemeen ...................................................................................................... 199 21.4.2 Bovenstroomse deel Overijsselse Vecht, van km 52 t/m km 36............................. 200 21.4.3 Bovenstroomse delen van IJssel, Lek en Waal .................................................... 200 21.4.4 Bovenstrooms van Bergsche Maas km 235/km 228. ............................................ 200


HKV LIJN IN WATER PR1391.10 xi

DEEL 5

Bijlage A Formules voor kansen en frequenties ......................................... 203 Bijlage A.1 Setting en gebruikte notatie........................................................................203 Bijlage A.2 Elementaire formules .................................................................................205 Bijlage A.3 Jaarmaximum en overschrijdingsfrequentie ...................................................206 Bijlage A.4 Overschrijdingsfrequentie berekend met de outcrossingsformule ......................207 Bijlage A.5 Diverse bewijzen .......................................................................................208

Bijlage B Alternatieve formules uitsplitsingen Hydra-VIJ .......................... 213

Bijlage C Formules uitbreiding afvoergolven ............................................. 217

Referenties ................................................................................................. 221


HKV LIJN IN WATER PR1391.10 13

1 Inleiding

1.1 Aanleiding

Volgens de Wet op de Waterkering [Wwk, 1996] moeten de primaire waterkeringen iedere vijf

jaar worden getoetst. De meest recente Hydraulische Randvoorwaarden zijn die uit 2006

(HR2006), die gebruikt worden in de derde toetsronde, die de periode 2006-2011 beslaat. Voor

de tweede toetsronde zijn de HR2001 gebruikt (periode 2001-2006). Een groot deel van de HR-

onderdelen voor de primaire a-keringen wordt bepaald met zogenaamde Hydra-modellen. Met

uitzondering van het model voor de bovenrivieren zijn dat probabilistische modellen, die zijn

geïmplementeerd in computerprogramma’s. Voor de benedenrivieren is er het probabilistisch

model Hydra-B, voor de Vecht- en IJsseldelta het probabilistisch model Hydra-VIJ. Met Hydra-B

zijn de HR2001, zie [Slomp et al, 2005], en de HR2006 voor de benedenrivieren bepaald. Met

Hydra-VIJ, relatief recent ontwikkeld, zijn alleen de HR2006 voor de Vechtdelta bepaald [Beijk,

2006]; voor de IJsseldelta is om beleidsmatige redenen teruggevallen op een semi-

probabilistische methode.

De modellen Hydra-B en Hydra-VIJ zijn ontwikkeld door Rijkswaterstaat, in samenwerking met

het bureau HKV Lijn in Water, gedurende de jaren 1999 tot heden. Delen van deze

modellen/computerprogramma’s worden nog steeds verder ontwikkeld. De rapportage over

Hydra-B is zeer uitgebreid maar, gezien de lange ontstaansgeschiedenis en het grote aantal

rapporten, soms wat onsamenhangend. De rapportage over Hydra-VIJ is minder uitgebreid,

maar eveneens soms onsamenhangend, en op een enkel onderdeel niet compleet. Het is

daarom gewenst een samenhangende beschrijving te geven van beide modellen.

De modellen Hydra-VIJ en Hydra-B vertonen de nodige verwantschap. In de afgelopen jaren is

echter duidelijk geworden dat de modellen op nog meer uniforme wijze kunnen worden opgezet,

waarbij de modellering van de zogeheten “trage stochasten”, zoals afvoeren en meerpeilen, op

overeenkomstige wijze kan worden uitgevoerd. Na deze uniformering kunnen de

benedenrivieren en de Vecht- en IJsseldelta deel uitmaken van een nieuw probabilistisch model.

Bovendien is gebleken dat ook het IJssel- en Markermeer en de bovenrivieren kunnen worden

opgenomen in dit nieuwe model. Dat betekent dat de primaire a-keringen uit alle zoete

watersystemen dan deel uitmaken van één nieuw probabilistisch model, Hydra-Zoet genaamd.

Dat laatste biedt grote voordelen qua overzichtelijkheid en voor beheer en onderhoud. De

implementatie van het model Hydra-Zoet is eind 2009 gestart, en het model zal binnenkort

worden opgeleverd. Met uitzondering van het Markermeer en de bovenrivieren, zullen voor de

zoete waterssystemen de HR2011 met Hydra-Zoet worden bepaald.

1.2 Doel

Bij het schrijven van dit rapport hebben de volgende hoofddoelen voor ogen gestaan:

• Het geven van een complete en samenhangende beschrijving van de probabilistische

modellen Hydra-VIJ en Hydra-B. Daarbij worden in elk model statistische gegevens, fysische

modellen en probabilistische formules in samenhang met elkaar beschouwd.


14 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER

• Het beschrijven van de formules voor het nieuwe model Hydra-Zoet. Op basis van deze

formules kan dit model geïmplementeerd worden.

Wat het tweede punt betreft: het afronden van de definitieve versie van het voorliggende

rapport heeft door diverse oorzaken veel tijd in beslag genomen. Een conceptversie, met daarin

de formules voor Hydra-Zoet, was echter december 2008 al gereed. De implementatie van

Hydra-Zoet is (mede) gebeurd op basis van die conceptversie.

Behalve de genoemde twee hoofddoelen wordt in dit rapport ook de plaats van de Hydra-

modellen geschetst in de keten van toetsing, ontwerp en beleid.

1.3 Doelgroep en scope van het rapport

Dit rapport is geschreven voor gebruikers van Hydra-VIJ en Hydra-B met belangstelling voor de

achtergronden van de modellen. Ook is het bedoeld voor degenen die betrokken zijn bij een

verdere ontwikkeling van deze modellen en bij de bouw van Hydra-Zoet. Bij voorkeur dient een

lezer vertrouwd te zijn met statistiek en wiskundige formules. De formules in dit rapport worden

zeer gedetailleerd beschreven, en waar nodig voorzien van wiskundige bewijzen.

In dit rapport beperken we ons tot de kern van de modellen Hydra-VIJ en Hydra-B, zodat niet

alle onderdelen van deze modellen in dit rapport worden behandeld. Zo worden bijvoorbeeld

berekeningen voor dijkbekledingen weggelaten en worden uitsluitend de faalmechanismes

overloop (voor waterstandsberekeningen) en golfoverslag (voor benodigde kruinhoogtes)

beschouwd. Zie voor een verdere afbakening paragraaf 2.6.

1.4 Opzet van het rapport

Het rapport valt uiteen in meerdere delen:

• Deel 1 (hoofdstuk 2 t/m 7)

Een algemeen deel waarin aan de orde komt: de plaats van de Hydra’s in de keten van

toetsen, ontwerp en beleid, alsmede fysische/statistische modellen en ideeën die

gemeenschappelijk zijn voor Hydra-VIJ, Hydra-B en Hydra-Zoet.


Dit deel beschrijft het model Hydra-VIJ, waarin voor de Vecht- en IJsseldelta de statistische

gegevens, fysische modellen en de probabilistische formules worden behandeld.


Dit deel beschrijft het model Hydra-B, waarin voor de benedenrivieren de statistische

gegevens, fysische modellen en de probabilistische formules worden behandeld.

• Deel 4 (hoofdstuk 21)

Dit deel beschrijft het nog te bouwen model Hydra-Zoet, waarin voor alle zoete

watersystemen de statistische gegevens, fysische modellen en de probabilistische formules

worden behandeld.

• Deel 5 (Bijlage A t/m Bijlage C)

In dit deel worden wiskundige details en bewijzen gegeven.

Deel 1



2 Toetsing, ontwerp en beleid

2.1 Algemeen

Het overstroombare deel van Nederland is ingedeeld in dijkringgebieden. Ieder dijkringgebied

wordt omsloten door waterkerende objecten (dijk, duin, hoge gronden,…), die het gebied tegen

overstromen beschermen. Ieder dijkringgebied heeft een eigen waarde voor de veiligheidsnorm,

die in de Wet op de Waterkering [Wwk, 1996] is vastgelegd. Deze norm heeft de vorm van een

overschrijdingsfrequentie (aantal keer per jaar) van de belasting op de waterkering, die deze

waterkering nog veilig moet kunnen weerstaan. Deze normen zijn streng: de keringen moeten

belastingen kunnen weerstaan die aanzienlijk zwaarder zijn dan wat tot nu toe (in de afgelopen

50 tot ca 100 jaar) is gemeten. De dijkringgebieden, met hun normfrequenties, zijn weerge-

geven in Figuur 2-1. De Deltacommissie uit 1960 heeft de basis gelegd voor de huidige manier

van normeren.

In de Wet op de Waterkering staat bovendien dat iedere vijf jaar de primaire waterkeringen, die

een dijkringgebied omsluiten, moeten worden getoetst aan de veiligheidsnorm. Bij deze toetsing

maakt de waterkeringbeheerder gebruik van toetsregels, waarbij een vergelijking wordt

gemaakt tussen enerzijds de sterkte van de waterkering en anderzijds de hydraulische belasting

die deze kering nog veilig moet kunnen weerstaan. Voorbeelden van sterkte-eigenschappen van

de kering zijn de aanwezige kruinhoogte en de bekledingsdikte. De hydraulische belasting op de

kering wordt voornamelijk gevormd door de waterstand en golfaanval vlak voor de waterkering.

De toetsregels zijn gebundeld in het Voorschrift Toetsen op Veiligheid (VTV). De toe te passen

belastingen worden gegeven door de Hydraulische Randvoorwaarden (HR), die deels zijn

gegeven in het Hydraulische Randvoorwaardenboek en deels kunnen worden berekend met

computerprogramma’s uit de zogenaamde Hydra-familie, waarvan het eerder genoemde

Hydra-VIJ en Hydra-B deel uitmaken. Samen vormen de HR en het VTV het wettelijk

toetsinstrumentarium. Dit instrumentarium wordt iedere vijf jaar herzien en waar nodig

bijgesteld op basis van de nieuwste informatie en inzichten.

Zowel de hydraulische belastingen als de sterkte-eigenschappen variëren langs een dijkring. Bij

de toetsing wordt daarom een dijkring onderverdeeld in (een aaneengesloten keten van) dijk- of

duinvakken. Dat zijn stukken van de dijkring die wat betreft belasting en sterkte als uniform

mogen worden beschouwd. In de huidige praktijk wordt ieder dijk- of duinvak afzonderlijk

getoetst.

De hydraulische randvoorwaarden (de HR) op de waterkeringen worden per vak bepaald. Wat

betreft de methodiek achter deze HR bepaling wordt onderscheid gemaakt tussen

watersystemen. Dat is nodig omdat de aard van de dreiging in Nederland varieert per regio:

langs de bovenrivieren bijvoorbeeld vormt een extreme rivierafvoer de belangrijkste bedreiging,

terwijl voor een dijk langs de kust de rivierafvoer helemaal niet relevant is; daar is juist een

extreme stormvloed (extreem hoogwater met extreme wind) de belangrijkste bedreiging.



Figuur 2-1: De dijkringgebieden van Nederland met de bijbehorende normfrequentie volgens [Wwk,

1996].3

2.2 Veiligheidsbenaderingen

Het vakgebied dat zich bezig houdt met de HR-bepaling blijkt relatief complex, onoverzichtelijk

en daardoor ontoegankelijk te zijn. Eén oorzaak is dat het vakgebied behoorlijk specialistisch is

en klein wat betreft aantal experts. Een tweede belangrijke oorzaak is de grote diversiteit aan

3 In een later stadium zijn ook dijkringen langs de Limburgse Maas onder de wet geplaatst, die in de figuur niet zijn

weergegeven.



huidige methodieken en de grote diversiteit aan sporen waarlangs ontwikkelingen plaatsvinden.

Deze paragraaf geeft een nadere toelichting op die tweede oorzaak.

Binnen Nederland zijn er op hoofdlijnen drie sporen van ontwikkelingen te onderscheiden met

betrekking tot waterveiligheid [Stijnen et al, 2008]:

o Spoor 1: dagelijkse veiligheid

Binnen dit spoor moet, gebaseerd op de huidige wetgeving, de dagelijkse veiligheid van

de waterkeringen worden gegarandeerd.

o Spoor 2: waterveiligheidsbeleid

Binnen dit spoor wordt onderzocht of de huidige wetgeving nog de juiste, meest

adequate representatie geeft van onze veiligheid tegen overstromingen, en of hier

verbeteringen of aanpassingen in nodig zijn.

o Spoor 3: lange termijn kennisontwikkeling

Binnen dit spoor vindt in diverse onderzoeksprojecten lange termijn kennisontwikkeling

plaats. Wetenschappelijke onderzoeken op hoog niveau door de Rijkswaterstaat

Waterdienst, Deltares, universiteiten, kennisinstituten en adviesbureaus spelen hierin

een belangrijke rol.

Los van deze sporen kunnen volgens [TAW, 1998] voor de veiligheid tegen overstroming de

volgende vier veiligheidsbenaderingen worden genoemd:

1. Overbelastingskans op dijkvakniveau.

2. Overbelastingskans op dijkringniveau.

3. Overstromingsrisico op dijkvakniveau.

4. Overstromingsrisico op dijkringniveau.

De eerste benadering is het eenvoudigst, maar kent een aantal inhoudelijke beperkingen. De

vierde benadering sluit het meest aan bij de beleidsmatig gewenste evenwichtige

veiligheidsbenadering. Maar de uitwerking hiervan is zeer complex en de benodigde kennis en

rekentechnieken zijn nog onvoldoende uitgekristalliseerd.

De huidige (uitwerking van de) wetgeving is gebaseerd op de eerste benadering, maar er

bestaat breed draagvlak om te zijner tijd over te gaan op de vierde benadering. Veel

beleidsmatig aangestuurde ontwikkelingsrichtingen in het vakgebied van de HR-bepaling hebben

dan ook het karakter van een verkenning in die richting, met als vertrekpunt de eerste

benadering. Eén van de belangrijkste ontwikkelingstrajecten in dit kader is het project Veiligheid

Nederland in Kaart (VNK). Het rekeninstrument PC-Ring speelt hierbij een centrale rol. Deze

verkennende analyse moet ondermeer informatie geven op basis waarvan gediscussieerd kan

worden over de huidige veiligheid tegen overstromingen in Nederland. Ook relevant is het

project Waterveiligheid 21e eeuw (WV21), dat ten doel heeft te onderzoeken of het huidige

beleid tegen overstromingen en de wettelijke verankering hiervan nog adequaat zijn.

In de huidige wetgeving, gebaseerd op de eerste benadering, speelt de zogenaamde “Hydra-

filosofie” een belangrijke rol, die heeft geleid tot een productenlijn voor operationeel gebruik: de

Hydra-familie. De ontwikkeling van methodes die deze benadering verder uitwerken is echter

nog volop gaande. Een belangrijke complicerende factor hierbij is dat in de afgelopen decennia

voor ieder watersysteem afzonderlijk een methode is ontwikkeld, dus langs gescheiden

ontwikkelsporen. Diverse verschillen zijn daarom “historisch zo gegroeid” in plaats van logisch



onderbouwd. Belangrijk doel van het voorliggende rapport is te beschrijven hoe een aantal van

de Hydra’s, die voor de zoete wateren, geuniformeerd kunnen worden opgenomen in een nieuw

model, Hydra-Zoet genaamd.

2.3 HR en VTV voor de toetsing

2.3.1 HR en Hydra’s per watersysteem

Voor de vijfjaarlijkse toetsing zijn de Hydraulische Randvoorwaarden (HR) nodig, die per

watersysteem voornamelijk worden bepaald met een model uit de Hydra-familie (zie

Figuur 2-2):

• Hydra-VIJ voor de Vechtdelta en IJsseldelta.

• Hydra-B voor het benedenrivierengebied.

• Hydra-M en Hydra-Q voor het IJsselmeer en Markermeer.

• Hydra-R voor de bovenrivieren.

• Hydra-K voor de Hollandse en Zeeuwse Kust en de Ooster- en Westerschelde.

Uitgezonderd Hydra-R voor de bovenrivieren zijn dit probabilistische modellen, terwijl Hydra-R

een deterministisch model is. De eerste vier bolletjes betreffen de zoete watersystemen; het

laatste bolletje de zoute wateren. De HR voor de Waddenzee kunnen op dit moment niet met

een Hydra-model worden bepaald (voor de HR2011 zal dat overigens wel het geval zijn). Omdat

de zoute wateren geen onderwerp vormen van dit rapport, worden Hydra-K (en de Waddenzee)

verder niet meer genoemd.

Welke grootheden precies met de zoete Hydra-modellen kunnen worden berekend, verschilt per

model. Met een Hydra-model kan voor elk van de zoete watersystemen in ieder geval bepaald

worden:

• Het toetspeil: de waterstand behorende bij de normfrequentie.

N.B.: de toetspeilen voor locaties langs het IJssel- en Markermeer, alsmede de toetspeilen

in de as van een rivier op de hele kilometerraaien zijn ook gepubliceerd in het zogenaamde

Randvoorwaardenboek, zie voor de meest recente versie [HR, 2006].

• De benodigde kruinhoogte: dit is, behorende bij de normfrequentie, de kruinhoogte die de

dijk minimaal dient te hebben bij een in de toetsing gebruikt toegestaan overslagdebiet,

uitgezonderd toeslagen als bijvoorbeeld die voor zetting en klink.

• Golfcondities voor het toetsen van bekledingen: significante golfhoogte Hs en de piekperiode

Tp. N.B.: voor Hydra-VIJ is hiervoor wel de meest recente versie van het programma

vereist, die eind december 2008 is opgeleverd.

Wat de term toetspeil betreft nog het volgende. Strikt genomen zijn voor de rivieren de

toetspeilen per definitie alleen waterstanden in de as van de rivier, op gehele kilometerraaiien,

behorende bij de normfrequentie. In dit rapport worden de waterstanden bij de normfrequentie

voor oeverlocaties ook aangeduid als toetspeilen.



Figuur 2-2: Indeling in watersystemen.

2.3.2 VTV

De toetspeilen en benodigde kruinhoogtes spelen een belangrijk doel in de toetsing van de

waterkeringen. Uiteraard wordt de benodigde kruinhoogte gebruikt om te toetsen of een dijk de

vereiste hoogte heeft. Behalve de hoogte is de stabiliteit van de waterkering een belangrijk

onderdeel uit de toetsing. Diverse faalmechanismes, zoals piping en heave, stabiliteit binnen- en

buitenwaarts, microstabiliteit, stabiliteit van de bekleding, etcetera, dienen getoetst te worden.

Toetsregels hiervoor worden gegeven in het Voorschrift Toetsen op Veiligheid [VTV, 2007]. Bij

de stabiliteitstoetsing wordt veelvuldig gebruik gemaakt van het toetspeil, berekend met één

van de Hydra’s of afkomstig uit het Randvoorwaardenboek, en van golfcondities die uit de

Hydra’s volgen. Het Randvoorwaardenboek geeft daarnaast nog aanvullende informatie voor het



toepassen van de toetsregels van het VTV (diverse soorten toeslagen, waterstandsverlopen,

etcetera). De HR – afkomstig uit het Randvoorwaardenboek of berekend met de Hydra-modellen

– leveren, tezamen met de toetsregels uit het VTV, alle informatie die nodig is voor het toetsen

van de waterkeringen.

2.3.3 TMR versus HR

De HR worden gebruikt in de vijfjaarlijkse toetsing. In principe dienen de HR iedere vijf jaar

opnieuw te worden bepaald, rekening houdend met de meest actuele inzichten en gegevens

betreffende statistiek, gebiedsschematisaties en modellen. Beleidsmatig is het soms gewenst,

bijvoorbeeld om al te snelle wisselingen te voorkomen, om de gegevens uit een eerdere

toetsronde te handhaven. Zo zijn voor de IJsseldelta, de beneden- en bovenrivieren, het IJssel-

en Markermeer, de gegevens voor de HR2006 (derde toetsronde) voor een belangrijk deel

overgenomen uit die voor de HR2001. Soms zijn al wel nieuwe HR voor de derde toetsronde

berekend en beschikbaar in de Hydra-modellen. De laatste HR – die voor de toetsing dus geen

officiële status hebben – worden aangeduid als de zogenaamde Thermometer Randvoorwaarden

2006 (TMR2006): deze TMR geven, als ware het een thermometer, de actuele toestand weer.

De TMR2006 voor de benedenrivieren worden uitgebreid behandeld in het achtergrondrapport

[De Waal, 2007], en die voor de IJsseldelta in [Beijk, 2006].

In dit rapport worden zowel gegevens uit de HR2006 als de TMR2006 gebruikt. De reden om

naast de HR2006 ook de TMR2006 te behandelen, is dat alleen in de TMR2006 de IJsseldelta

probabilistisch wordt behandeld; in de HR2006 is dat nog deterministisch, waarbij de hele IJssel

als deel van de bovenrivieren wordt gezien. Met het oog op toekomstige ontwikkelingen is het

gewenst voor de IJsseldelta de probabilistische aanpak te behandelen, die deel uitmaakt van

Hydra-VIJ.

2.4 Hydra’s voor ontwerpen

De toetsing van de primaire waterkeringen vindt iedere vijf jaar plaats. Als een waterkering

wordt afgekeurd, of bij een geheel nieuwe gebiedsinrichting, dient een ontwerp te worden

gemaakt voor een nieuw aan te leggen waterkering (of kunstwerk). Op basis van het Technisch

Rapport Ontwerpbelastingen [Van Velzen en Beyer, 2007] en de Leidraad Rivieren [LR, 2007]

kan hierover het volgende worden gezegd.

Situatie (beoogd project) Gebruikelijke planperioderivierverruiming 50 jaaraanpassing / aanleg groene dijk 50 jaaraanpassing / aanleg dijk in stedelijk gebied 100 jaaraanpassing / aanleg kunstwerk 100 jaar Tabel 2-1: Gebruikelijke planperiode voor verschillende maatregelen.

Een ontwerp wordt gemaakt voor een planperiode van 50 of 100 jaar, zie Tabel 2-1. Gedurende

die periode dient het uitgevoerde ontwerp te blijven funtioneren zonder dat ingrijpende en

kostbare aanpassingen noodzakelijk zijn. Bij voorkeur dient een ontwerp uitbreidbaar te zijn,

wat wil zeggen dat het na uitvoering gemakkelijk uit te breiden valt om aan zwaardere

(ontwerp)eisen te voldoen. Het toekomstgericht ontwerpen is onderdeel van het begrip robuust

ontwerpen. In de Leidraad Rivieren worden drie ontwerpeisen geformuleerd die van belang zijn

voor de bepaling van de ontwerpbelastingen:



• In de ontwerpbelastingen wordt rekening gehouden met de verwachte toename van de

rivierafvoer en de verwachte toename van de zee- en meerwaterstanden als gevolg van

klimaatverandering gedurende de planperiode.

• Robuust ontwerpen betekent dat de onzekerheid in de waterstand, in zowel boven- als

benedenrivierengebied, wordt opgenomen als een robuustheidstoeslag van 0.3 m. Deze

toeslag kan ook andere onzekerheden opvangen, zoals onzekerheden in de golfoploop. De

beheerder kan van deze toeslag afwijken als uit een probabilistische analyse, waarin alle

relevante onzekerheden zijn meegenomen, blijkt dat de toeslag niet passend is.

• Indien een ontwerp niet uitbreidbaar is, verdient het aanbeveling het ontwerp op extremere

klimaatscenario’s te baseren dan de gemiddelde scenario’s die gewoonlijk als uitgangspunt

dienen.

De toekomstige ontwikkelingen waarmee in het bepalen van de ontwerpbelasting rekening

wordt gehouden, zijn de verwachte autonome ontwikkeling, de verwachte klimaatverandering

en de wijze waarop hierop wordt geanticipeerd door maatregelen te nemen die de effecten van

klimaatverandering beperken. Denk bij die laatste maatregelen bijvoorbeeld aan rivierver-

ruimende maatregelen.

De Hydra’s voor de HR2006 en TMR2006 hebben als invoer statistische gegevens voor de

toetsperiode 2006-2011 (derde toetsronde, met zichtjaar 2011). Sommige Hydra’s bevatten ook

de statistische invoergegevens om klimaatscenario’s door te rekenen. Met deze Hydra’s kunnen

dan ontwerpbelastingen worden bepaald, als tenminste ook overige invoer is toegesneden op de

ontwerpomstandigheden. Denk bij die overige invoer aan waterstands- en golfgegevens, welke

veranderen bij een andere gebiedsschematisatie.

Klimaatomstandigheden en ontwerpbelastingen komen in dit rapport verder niet meer aan de

orde. Om zo duidelijk mogelijk te zijn, wordt steeds één set van gegevens beschouwd, voor één

gebiedsschematisatie, corresponderend met de HR2006 en TMR2006 (bij de behandeling van

Hydra-VIJ) of de HR2006 (bij de behandeling van Hydra-B).

2.5 Hydra’s voor beleidsstudies

Geregeld worden beleidsstudies verricht, waarin bijvoorbeeld effecten van rivierverruimende

maatregelen of klimaatveranderingen worden doorgerekend. Voor dergelijke studies kunnen de

Hydra-modellen eveneens gebruikt worden, mits tenminste statistische gegevens, en

waterstands- en golfgegevens op de juiste wijze worden aangepast. Bijvoorbeeld het project

Waterveiligheid 21e eeuw (WV21) heeft gebruik gemaakt van de uitkomsten van de Hydra-

modellen om een inschatting te maken van overstromingskansen.

Bij het gebruik van de Hydra-modellen moet wel worden opgemerkt dat het volledig opnieuw

berekenen van met name de waterstandsgegevens – nodig bij een andere gebiedsschematisatie

door bijvoorbeeld aanleg van een nevengeul of een dijkverlegging – vaak een zeer grote

inspanning vergt. Bij relatief eenvoudige maatregelen zal men liever een vereenvoudigde

effectberekening uitvoeren, dan alle benodigde invoer voor een Hydra-model genereren om

volledig probabilistisch het effect te bepalen. De Ruimte voor de Rivier projecten in de

benedenrivieren en de IJsseldelta zijn dan ook beoordeeld met versimpelde Hydra-modellen.

Deze modellen zijn speciaal voor de PKB (Planologische Kernbeslissing) of voor een bepaald

project ontwikkeld.



2.6 Afbakening rapport

Deze paragraaf beschrijft de scope van dit rapport, waarbij ook wordt aangegeven welke

gegevens als uitgangspunt worden genomen.

• Alleen faalmechanismes overloop en golfoverslag worden beschouwd. Het inmiddels wat

verouderde faalmechanisme 2%-golfoploop blijft buiten beschouwing. Ook worden geen

faalmechanismes voor dijkbekleding behandeld.

• De berekening gebeurt in principe voor een dijkvakberekening. In twee aparte paragrafen

wordt daarnaast de berekening voor een dijkring behandeld, maar tenzij anders vermeld, is

sprake van een berekening op vakniveau.

• Alleen zoete watersystemen worden behandeld, waarvan de meren (Hydra-M) en de

bovenrivieren (Hydra-R) slechts summier, inzoverre de behandeling daarvan nodig is voor

een goed begrip van Hydra-Zoet. Hydra-K en de Waddenzee worden niet behandeld.

• Voor Hydra-VIJ wordt voor de Vechtdelta uitgegaan van statistische/fysische gegevens voor

de HR2006, die voor dit gebied overeen stemmen met de TMR2006. Voor de IJsseldelta

wordt in Hydra-VIJ uitgegaan van de TMR2006 gegevens (deze verschillen van de HR2006

gegevens die semi-probabilistisch zijn bepaald).

• Voor Hydra-B wordt uitgegaan van statistische/fysische gegevens voor de HR2006. De

aspecten seiches en deining uit Hydra-B worden niet behandeld.

• Klimaatscenario’s en ontwerprandvoorwaarden worden niet behandeld.



3 Zoete watersystemen

Een groot deel van dit rapport gaat over Hydra-VIJ en Hydra-B, welke modellen gaan over twee

van de zoete watersystemen: de Vecht- en IJsseldelta respectievelijk de benedenrivieren. In

totaal zijn er vier zoete watersystemen (zie Figuur 2-2):

• Bovenrivieren.

• IJssel- en Markermeer.

• Vecht- en IJsseldelta.

• Benedenrivieren.

Het is de bedoeling om op termijn deze vier zoete watersystemen te integreren in één

probabilistisch model, Hydra-Zoet, dat wordt behandeld in hoofdstuk 21. Om alvast een context

te geven worden in dit hoofstuk van elk van de vier watersystemen genoemd: ten eerste, het

(probabilistisch) model waarmee tot nu toe de HR worden bepaald, en ten tweede de

(stochastische) grootheden die per gebied in het HR-model worden gebruikt.

Voor met name de bovenrivieren is het begrip maatgevende afvoer belangrijk. Dat is per

definitie, voor een beschouwde rivier, de afvoer met een overschrijdingsfrequentie van 1/1250

per jaar, of equivalent hiermee, met een terugkeertijd van 1250 jaar. Bijvoorbeeld voor de Rijn

te Lobith is de maatgevende afvoer gelijk aan 16000 m3/s, wat inhoudt dat gemiddeld eens in

de 1250 jaar een afvoergolf voorkomt waarvan de piekwaarde het niveau 16000 m3/s

overschrijdt.4

3.1 Bovenrivieren

Voor de bovenrivieren wordt voor de HR2006/TMR2006 gebruik gemaakt van Hydra-R. Dit is

een deterministisch model. De toetspeilen, voor T = 1250 jaar, volgen door met Waqua (zie

hoofdstuk 5) waterstanden te bepalen door maatgevende afvoergolven voor de Rijn en de Maas

door te rekenen; de piekwaarden van deze golven zijn gelijk aan de maatgevende afvoeren van

deze rivieren (te Lobith respectievelijk te Borgharen). Hierbij wordt ook rekening gehouden met

relevante laterale toestromingen.

Om een benodigde kruinhoogte te bepalen, wordt het toetspeil vermeerderd met een toeslag

voor golven. Deze wordt deterministisch bepaald met behulp van ontwerpwindsnelheden, die

per windrichting andere waarden kunnen hebben. De windrichting die leidt tot de hoogste

toeslag, is daarbij maatgevend. De benodigde kruinhoogte wordt dan, afgezien van toeslagen

voor bochtwerking en locale opstuwing, gelijk genomen aan het toetspeil vermeerderd met deze

(hoogste) toeslag.

4 Impliciet in het gebruik van de terugkeertijd op deze manier, is dat de afvoerstatistiek ieder jaar hetzelfde blijft

(aanzienlijk langer dan 1250 jaar). In werkelijkheid zullen de rivier(schematisatie) en het klimaat in de loop der tijd veranderen, wat één van de redenen is dat de maatgevende afvoeren van Rijn, Maas, Vecht en IJssel om de zoveel jaar worden herzien (ook gewijzigde inzichten van diverse aard spelen een rol). Het gebruik van de terugkeertijd zoals in de tekst kan dus verwarrend zijn. Wanneer gesproken wordt van een terugkeertijd van T = 1250 jaar voor een zeker niveau, wordt feitelijk bedoeld dat onder de vigerende statistiek dit niveau wordt overschreden met een overschrijdingsfrequentie van 1/1250 per jaar.



De (onderliggende) grootheden die centraal staan in de Hydra-R berekeningen voor de

bovenrivieren zijn:

• Rijnafvoer te Lobith voor locaties langs de Rijn of een Rijntak.

• Maasafvoer te Borgharen voor locaties langs de Maas.

• Windsnelheid.

• Windrichting.

Als de bovenrivieren op termijn worden opgenomen in Hydra-Zoet, worden deze grootheden,

die in Hydra-R deterministisch worden meegenomen, als stochasten opgenomen in Hydra-Zoet.

3.2 IJssel- en Markermeer

Voor het IJssel- en Markermeer wordt voor de faalmechanismes overloop en golfoverslag

Hydra-M gebruikt. Stilzwijgend worden tot het IJsselmeer gerekend het Ketel- en Vossemeer,

en tot het Markermeer het IJmeer, Gooi- en Eemmeer, het Nijkerkernauw en de Eem.

Stochasten in Hydra-M zijn:

• IJsselmeerpeil, in m+NAP, voor locaties langs het IJsselmeer.

• Markermeerpeil, in m+NAP, voor locaties langs het Markermeer.

• Windsnelheid, in m/s, (statistiek van potentiële windsnelheid Schiphol).

• Windrichting, in termen van 30°-sectoren, (statistiek van potentiële windsnelheid Schiphol).

Het meerpeil moet hier worden opgevat als een ruimtelijk over het meer gemiddelde waarde;

windopzet maakt dus geen deel uit van de stochast meerpeil. De windsnelheid en windrichting

zijn in Hydra-M gecorreleerd.

3.3 Vecht- en IJsseldelta

Voor de Vecht- en IJsseldelta wordt in dit rapport voor de faalmechanismes overloop en

golfoverslag Hydra-VIJ gebruikt. Een precieze afbakening van beide delta’s wordt verderop in dit

rapport gegeven. Stochasten in Hydra-VIJ zijn:

• Vechtafvoer te Dalfsen, in m3/s, voor locaties in de Vechtdelta.

• IJsselafvoer te Olst, in m3/s, voor locaties in de IJsseldelta.

• IJsselmeerpeil, in m+NAP.


• Windrichting, in termen van 22.5°-sectoren, (statistiek van potentiële windsnelheid

Schiphol).

• Beheertoestand Ramspolkering (rekening wordt gehouden met een correct functionerende

zowel als met een falende kering).

Het meerpeil moet hier worden opgevat als een ruimtelijk over het meer gemiddelde waarde;

windopzet maakt dus geen deel uit van het meerpeil. De afvoeren en het meerpeil zijn in

Hydra-VIJ gecorreleerd. Hetzelfde geldt voor de windsnelheid en de windrichting.

Opmerking: recente versie Hydra-VIJ voor de meren

Omdat de stochasten van de meren ook voorkomen in Hydra-VIJ, kunnen deze meren behalve

met Hydra-M ook worden doorgerekend met Hydra-VIJ. Voorwaarde is dan wel dat de juiste

waterstandsdatabases en statistische gegevens beschikbaar zijn (in het bijzonder dienen nog

gegevens voor het Markermeer aanwezig te zijn). Dat is inmiddels het geval, en er is reeds een

versie van Hydra-VIJ gebouwd, zie [Duits, 2008d], waarbij de uitvoer van het model passend



voor de meren is gemaakt; gegevens voor de afvoer en de balgstuw zijn uit de uitvoer

verwijderd. Zie verder hierover ook hoofdstuk 21 over Hydra-Zoet en in het bijzonder pragraaf

21.2.

3.4 Benedenrivieren

Voor de benedenrivieren wordt in dit rapport voor de faalmechanismes overloop en golfoverslag

Hydra-B gebruikt. Een precieze afbakening van het gebied wordt verderop in dit rapport

gegeven. Stochasten in Hydra-B zijn:

• Rijnafvoer te Lobith, in m3/s, voor locaties die gedomineerd worden door de Rijn.

• Maasafvoer te Lith, in m3/s, voor locaties die gedomineerd worden door de Maas.

• Zeewaterstand te Maasmond, in m+NAP.


• Windrichting, in termen van 22.5°-sectoren, (statistiek van potentiële windsnelheid

Schiphol).

• Beheertoestand Maeslant- en Hartelkering (er wordt rekening gehouden met geopende en

gesloten keringen, alsmede met het falen van de keringen).

De zeewaterstand is in Hydra-B gecorreleerd met de windsnelheid en de windrichting. De afvoer

wordt statistisch onafhankelijk beschouwd van de zeewaterstand, de windsnelheid en de

windrichting. De correlatie tussen de Rijn- en de Maasafvoer wordt in Hydra-B op een

versimpelde manier (semi-probabilistisch) meegenomen.

3.5 Diverse toeslagen

In de genoemde Hydra-modellen en/of in de toetsing met deze modellen worden diverse

toeslagen gebruikt. Er zijn toeslagen voor bochtwerking, locale opstuwing door hindernissen,

seiches, golfdoordringing en slingeringen. Om de rest van dit rapport niet nodeloos complex te

maken, worden dergelijke toeslagen verder in de tekst niet meer genoemd.



4 Voorbeeldberekeningen Vecht- en IJsseldelta

De rest van het rapport gaat uitgebreid in op de modellen Hydra-VIJ en Hydra-B, waarbij het

vooral gaat om een gedetailleerde beschrijving van de invoer en opzet van de modellen, maar

minder om praktische toepassingen. Vooraf is het nuttig om concrete voorbeelden te geven van

de uitvoer van beide Hydra-modellen. De uitvoer van Hydra-VIJ en Hydra-B heeft min of meer

dezelfde structuur, vandaar dat we ons beperken tot slechts één model, in dit geval Hydra-VIJ.

De reden om Hydra-VIJ te nemen is enerzijds dat dit programma iets meer uitvoer levert voor

de zogenaamde uitsplitsingen (verderop uitgelegd), en anderzijds dat in [Geerse, 2004c] al

concrete voorbeelden voor Hydra-B zijn gerapporteerd.

Dit hoofdstuk heeft de volgende indeling. Eerst wordt ingegaan op verschillende

gebruikersversies van beide Hydra’s. Dan volgt, om de voorbeelden uit dit hoofdstuk beter te

kunnen interpreteren, informatie over terugkeertijden van relevante stochasten uit Hydra-VIJ en

Hydra-B. Daarna worden voorbeelden van Hydra-VIJ uitvoer besproken voor de

faalmechanismes overloop en golfoverslag. Tot slot volgt een paragraaf waarin voor een aantal

locaties in de Vecht- en IJsseldelta wordt besproken in welke mate afvoer, meerpeil en wind van

belang zijn als het toetspeil wordt overschreden. Aan de hand daarvan kan bijvoorbeeld worden

gezien of een locatie bedreigd wordt door extreme afvoeren, door extreme stormen, of door

combinaties van verhoogde afvoeren en stormen.

4.1 Versies voor normale en geavanceerde gebruikers

De computerprogramma’s Hydra-VIJ en Hydra-B kennen elk twee ‘verschijningsvormen’:

• Normale gebruikersversie: bedoeld voor standaardgebruik in de toetsing door de

zogenaamde “normale gebruiker”.

• Geavanceerde gebruikersversie: bedoeld voor onderzoeks- en beleidsdoeleinden. Het

gebruik hiervan, door de zogenaamde “geavanceerde gebruiker”, vergt de nodige kennis

van het betreffende Hydra-model. In deze versie kunnen statistische invoergegevens

worden aangepast, en wordt bovendien meer uitvoer gegeven dan in de normale versie.

Behalve voor onderzoeksdoeleinden is tijdens de ontwikkelingsfase van het betreffende Hydra-

model de geavanceerde versie vaak gebruikt om te testen of het model goede antwoorden

levert.

Van beide programmaversies bestaat een gebruikershandleiding, zie voor Hydra-VIJ [Duits,

2008ab] en voor Hydra-B [Duits, 2006a; Duits, 2007]. Wanneer een Hydra-model geïnstalleerd

wordt en vervolgens opgestart, komt de gebruiker terecht in de normale gebruikersversie. Door

middel van een wachtwoord, zie de handleidingen [Duits, 2008b; Duits, 2007], kan de

geavanceerde versie worden geactiveerd. De voorbeelden uit dit hoofdstuk geven steeds uitvoer

afkomstig uit de normale gebruikersversie van Hydra-VIJ.



4.2 Terugkeertijden van afvoer, meerpeil en wind

Als hulp bij de interpretatie van de voorbeelden uit de rest van dit hoofdstuk geeft Tabel 4-1

gegevens over terugkeertijden van Vecht- en IJsselafvoer, IJsselmeerpeil en wind. De

beschouwde terugkeertijden zijn 1, 10, 100, 1250, 2000, 4000 en 10000 jaar; de getallen

1250, 2000 en 4000 jaar komen voor als normterugkeertijden in de Vecht en IJsseldelta.

De tabel laat bijvoorbeeld zien dat de maatgevende afvoeren van de Vecht en de IJssel

respectievelijk gelijk zijn aan 550 en 2720 m3/s. Voor de wind zijn gegevens van station

Schiphol gebruikt, omdat de windstatistiek in Hydra-VIJ en Hydra-B van dit station afkomstig is.

De windsnelheden uit de tabel gelden omnidirectioneel, wat wil zeggen dat ze gelden ongeacht

de beschouwde windrichting, hoewel in Hydra-VIJ windstatistiek per richting wordt gebruikt.

Verder spreken de gegevens voor zichzelf.

De voorbeelden uit de rest van dit hoofdstuk gaan niet over de benedenrivieren, maar toch is

het illustratief om soortgelijke gegevens voor dit gebied te geven, zie Tabel 4-2. Merk op dat de

windgegevens overeenstemmen met de voorgaande tabel. Net als voor de wind zijn de

gegevens voor de zeewaterstand omnidirectioneel, hoewel in Hydra-B voor de wind en de

zeewaterstand statistiek per windrichting wordt gebruikt.

terugkeertijd T afvoer Dalfsen afvoer Olst IJsselmeerpeil

jaar m3/s m3/s m+NAP m/s Beaufort1 180 800 0.05 20.1 ruim 8

10 299 1420 0.40 24.0 grens van 9 en 10100 419 2040 0.62 28.4 grens van 10 en 11

1000 538 2660 0.85 32.4 grens van 11 en 121250 550 2720 0.87 32.8 beginnende 122000 574 2846 0.91 33.6 124000 610 3033 0.98 34.7 1210000 658 3279 1.07 36.1 ruim 12

windsnelheid Schiphol

Tabel 4-1: Terugkeertijden van een aantal stochasten voor de Vecht- en IJsseldelta (HR2006-gegevens

voor de Vechtdelta en TMR2006 voor de IJsseldelta). Bron: afvoeren en meerpeil volgens hoofdstuk 11, windsnelheden volgens het Rijkoort Weibull model.5

terugkeertijd T afvoer Lobith afvoer Lith zeewaterstand

Maasmondjaar m3/s m3/s m+NAP m/s Beaufort1 5893 1315 2.38 20.1 ruim 8

10 9459 2070 2.96 24.0 grens van 9 en 10100 12675 2824 3.60 28.4 grens van 10 en 11

1000 15706 3579 4.29 32.4 grens van 11 en 121250 16000 3652 4.36 32.8 beginnende 122000 16619 3806 4.50 33.6 124000 17531 4033 4.73 34.7 1210000 18737 4333 5.03 36.1 ruim 12

windsnelheid Schiphol

Tabel 4-2: Terugkeertijden van een aantal stochasten voor de benedenrivieren (HR2006-gegevens).

Bron: afvoeren volgens hoofdstuk 17, zeewaterstand volgens [Geerse, 2003b], windsnelheden volgens het Rijkoort Weibull model.6

5 De windsnelheden voor T = 10 jaar en hoger zijn berekend met het Rijkoort Weibull model beschreven in [Rijkoort,

1983]. Met dat model kan geen resultaat voor T = 1 jaar worden berekend, het getal daarvoor is afkomstig uit [Verkaik et al, 2003b].



4.3 Faalmechanisme overloop: waterstanden

4.3.1 Elementaire uitvoer waterstandsberekening

Figuur 4-1 toont het hoofdscherm van Hydra-VIJ. Hier is een database ingeladen met

oeverlocaties voor dijkring 9 (Vollenhove). Voor al de aangegeven oeverlocaties kunnen met

Hydra-VIJ berekeningen worden uitgevoerd. Voor de geselecteerde locatie (geel gemarkeerd),

die hier kortweg wordt aangeduid als Zwarte Water km 14, is een waterstandsberekening

uitgevoerd (faalmechanisme overloop) voor drie terugkeertijden, namelijk T = 1250, 2000 en

4000 jaar. Tabel 4-3 laat een deel van de Hydra-VIJ uitvoer zien. Volgens de normfrequentie

van deze dijkring heeft deze locatie een terugkeertijd van 1250 jaar. Daarvoor resulteert een

waterstand van 1.85 m+NAP. De uitvoer laat zien dat de waterstanden voor T = 2000 en 4000

jaar niet al te zeer verschillen, die blijken respectievelijk (afgerond) 0.06 m en 0.16 m hoger te

zijn dan die voor T = 1250 jaar.

Figuur 4-1: Het hoofdscherm van Hydra-VIJ met locatie Zwarte Water km 14 geel gemarkeerd.

6 De zeewaterstand geldt voor toestandsjaar 2006. Ten opzichte van toestandsjaar 1985 voor Hoek van Holland (de

basispeilen) is een zeespiegelstijging van 0.05 m aangenomen; daarnaast is een verlaging van 0.02 m toegepast om Hoek van Holland te transformeren naar Maasmond. Voor de windsnelheden is de voorgaande voetnoot van toepassing.



HYDRA-VIJ Versienummer: 3.0.2 juli 2008 Berekeningsresultaten Naam gebruiker = geerse Datum berekening = 09-12-2008 17:21:52 Invoerdatabase = Oeverloc_dkr_009_Vecht.mdb Locatie = Dkr 9 Zwarte Water km 14-15 Locatie 1 X-coördinaat = 202428 (m) Y-coördinaat = 515247 (m) Berekeningstype = Waterstand Deze berekening is gemaakt zonder klimaatscenario en met statistische gegevens van de Vecht Berekeningsresultaten Frequentie: Waterstand: 1/ 1250 1.850 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen 1/ 2000 1.911 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen 1/ 4000 2.009 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen Terugkeertijd Waterstand (jaren) (m+NAP) 0.5 0.797 1 0.912 2 1.011 5 1.134 10 1.226 25 1.348 50 1.439 100 1.528 250 1.645 500 1.732 1000 1.821 2000 1.911 4000 2.009 10000 2.164 20000 2.307

Tabel 4-3: Deel Hydra-VIJ uitvoer waterstandsberekening Zwarte Water km 14.

4.3.2 Uitsplitsingen bij de waterstandsberekening

Met Hydra-VIJ kunnen zogenaamde “uitsplitsingen” worden berekend, die informatie geven over

de kansen waarmee afvoeren, meerpeilen en wind voorkomen tijdens falen. Strikt genomen

kleven er wat haken en ogen aan de precieze interpretatie van de uitsplitsingen, wat in

hoofdstuk 13 besproken wordt, tezamen met de relevante formules. Hier worden de

uitsplitsingen uitgelegd aan de hand van een voorbeeld, dat correspondeert met de hiervoor

behandelde waterstandsberekening. Tabel 4-4 geeft, aanvullend op Tabel 4-3, de uitvoer met

uitsplitsingen.

De uitsplitsingen vinden plaats naar de volgende grootheden:

• Keringtoestand.

• Afvoer.

• Meerpeil.

• Windsnelheid.

• Windrichting.

Van de eerste vier grootheden staan de gegevens in Tabel 4-4; voor de windrichting komen ze

aan de orde bij de bespreking van de illustratiepunten in de volgende paragraaf.



Locatie = Dkr 9 Zwarte Water km 14-15 Locatie 1 (202428,515247) Berekeningstype = Waterstand Waterstand = 1.85 (m+NAP) Terugkeertijd = 1250 (jaar) Overschrijdingsfrequentie = 8.00E-04 (per jaar) Geopende Ramspolkering = 31.9% Gesloten Ramspolkering = 68.1% Percentielen van de Vechtafvoer (m³/s) percentiel | open+dicht | open | dicht ------------+------------+-----------+----------- 5% | 40 | 15 | 202 10% | 90 | 30 | 336 25% | 349 | 86 | 397 50% | 447 | 264 | 451 75% | 525 | 601 | 505 90% | 596 | 664 | 550 95% | 640 | 705 | 573 Percentielen van het meerpeil (m+NAP) percentiel | open+dicht | open | dicht ------------+------------+-----------+----------- 5% | -0.27 | -0.34 | 0.08 10% | -0.15 | -0.30 | 0.39 25% | 0.44 | -0.16 | 0.57 50% | 0.70 | 0.36 | 0.73 75% | 0.86 | 0.90 | 0.85 90% | 1.00 | 1.07 | 0.96 95% | 1.06 | 1.17 | 1.02 Percentielen van de windsnelheid (m/s) percentiel | open+dicht | open | dicht ------------+------------+-----------+----------- 5% | 13.2 | 8.9 | 15.4 10% | 14.9 | 12.2 | 16.5 25% | 17.7 | 15.1 | 18.3 50% | 20.9 | 23.1 | 20.7 75% | 25.8 | 27.7 | 24.2 90% | 29.6 | 29.7 | 29.4 95% | 33.4 | 31.0 | 36.1 Tabel 4-4: Hydra-VIJ uitvoer Zwarte Water km 14 voor de uitsplitsingen, voor T = 1250 jaar.

Ruwweg gezegd geven de uitsplitsingen informatie over de kansen waarmee allerlei

omstandigheden voorkomen tijdens falen, waarbij falen hier staat voor het overschrijden van de

voor T = 1250 jaar berekende waterstand (1.85 m+NAP). Zo betekent het getal 31.9%

behorend bij ”Geopende Ramspolkering” bijvoorbeeld dat er tijdens falen 31.9% kans op een

open Ramspolkering is, waarbij open dan staat voor een situatie dat (a) tijdens een storm de

kering niet gesloten hoefde te worden (sluitcriterium niet bereikt) of (b) dat tijdens een storm

de kering wel gesloten moest worden, maar waarbij dat niet lukte. In het laatste geval is sprake

van technisch falen van de kering, omdat opblazen van de balgen faalt of dat de gesloten kering

bezwijkt. In beide gevallen worden in Hydra-VIJ waterstanden gebruikt die horen bij een steeds

geopende kering. Het getal 68.1% behorend bij “Gesloten kering” staat (uiteraard) voor de

situatie dat tijdens een storm de kering daadwerkelijk sluit.

De uitleg voor de uitsplitsing van de (Vecht)afvoer gebeurt aan de hand van een paar getallen

uit Tabel 4-4. Beschouw eerst, voor percentiel 10%, de afvoeren 90, 30 en 336 m3/s,

respectievelijk uit de kolommen “open+dicht”, “open” en “dicht”. Deze getallen betekenen het

volgende:

• Tijdens falen bestaat er 10% kans op een afvoer lager dan 90 m3/s.

• Als tijdens falen sprake is van een geopende kering (sluitcriterium niet gehaald of technisch

falend), is er 10% kans op een afvoer lager dan 30 m3/s. Anders gezegd: conditioneel op de

open keringtoestand is er 10% kans op een afvoer lager dan 30 m3/s.

• Als tijdens falen sprake is van een gesloten kering, is er 10% kans op een afvoer lager dan

336 m3/s. Anders gezegd: conditioneel op de gesloten keringtoestand is er 10% kans op

een afvoer lager dan 336 m3/s.



De overige getallen uit de tabel laten zien dat tijdens falen een zeer grote variatie aan

bedreigende afvoeren bestaat, vergelijk ook Tabel 4-1 met informatie over terugkeertijden.

Bijvoorbeeld voor de situatie “open+dicht” blijkt, omdat de 10%- en 90%-percentielen 90 en

596 m3/s bedragen, dat tijdens falen 80% kans bestaat op een afvoer tussen 90 en 596 m3/s.

De eerste waarde ligt niet ver boven de gemiddelde Vechtafvoer (60 m3/s in het winterhalfjaar),

en de tweede ruim boven de maatgevende Vechtafvoer (550 m3/s).

Misschien is het verhelderend commentaar te leveren op de constatering dat het 90%-percentiel

van 596 m3/s ruim boven de maatgevende afvoer ligt. Wellicht bestaat de indruk dat dit

percentiel, behorend bij een berekening voor T = 1250 jaar, altijd onder de maatgevende afvoer

zou moeten liggen (de afvoer met de genoemde terugkeertijd). Dat hoeft echter niet. De

uitsplitsingen betreffen immers faalgebeurtenissen waarbij het toetspeil wordt overschreden,

zodat ook de maatgevende afvoer kan worden overschreden (zie desgewenst ook de uitleg in

paragraaf 13.1). Voor de geïnteresseerde lezer melden we dat wel een theoretische bovengrens

bestaat voor het 90%-percentiel q90%, die als volgt wordt berekend. Per definitie is er 10% kans

dat tijdens falen q90% wordt overschreden. Omdat T = 1250 jaar wordt beschouwd, en in 1 op

de 10 faalgebeurtenissen q90% wordt overschreden, hebben dergelijke faalgebeurtenissen een

terugkeertijd van 10*1250 = 12500 jaar. Er kan worden afgeleid dat de theoretische

bovengrens van q90% dan gelijk is aan de afvoer die volgens de afvoerstatistiek correspondeert

met T = 12500 jaar. Die afvoer is 670 m3/s, zodat q90% ≤ 670 m3/s.

De uitsplitsingen voor de (IJssel)meerpeilen en de windsnelheden hebben een soortgelijke

interpretatie als die voor de afvoer, en spreken daarom voor zich. Net als voor de afvoer geldt

dat tijdens falen, tenminste voor deze locatie, een zeer grote variatie aan bedreigende

omstandigheden kan optreden: falen kan plaatsvinden bij min of meer dagelijkse meerpeilen en

windsnelheden, maar ook bij extreme meerpeilen en windsnelheden. De gevoeligheidsanalyses

uit paragraaf 4.5.2 laten zien dat voor bijna alle locaties uit de Vechtdelta, de variatie aan

bedreigende omstandigheden uitzonderlijk groot is.

4.3.3 Illustratiepunten bij de waterstandsberekening

Met Hydra-VIJ kunnen naast de uitsplitsingen ook zogenaamde “illustratiepunten”, afgekort IP’s,

worden berekend. Losjes gezegd geven de IP’s de meest waarschijnlijke omstandigheden

tijdens falen. De interpretatie van de IP-uitvoer wordt hier uitgelegd met een concreet

voorbeeld, namelijk de hiervoor behandelde waterstandsberekening. Hoe IP’s precies worden

berekend staat in hoofdstuk 14.

Algemene uitleg IP-uitvoer

Hydra-VIJ uitvoer voor de IP’s staat in Tabel 4-5; deze uitvoer is aanvullend op die uit

Tabel 4-3. Hydra-VIJ berekent een IP voor elke combinatie van keringtoestand en windrichting,

wat in principe 32 IP’s oplevert: 16 voor de open en 16 voor de gesloten toestand. Wel komt

het voor dat een richting/keringtoestand zo’n kleine kans op falen oplevert, of zelfs kans 0 voor

dichte kering bij oostelijke richtingen, dat daarvoor geen IP te berekenen valt. In die gevallen

bevat de uitvoer geen gegevens (de lege posities en nullen in Tabel 4-5).



Locatie = Dkr 9 Zwarte Water km 14-15 Locatie 1 (202428,515247) Berekeningstype = Waterstand Waterstand = 1.85 (m+NAP) Terugkeertijd = 1250 (jaar) Overschrijdingsfrequentie = 8.00E-04 (per jaar) Geopende Ramspolkering r | meerp. | q IJssel| q Vecht | windsn. | waterst.| ov. freq | ov. freq | m+NAP | m³/s | m³/s | m/s | m+NAP | *0.001/whj | % ---------+---------+---------+---------+---------+---------+------------+--------- NNO | 1.16 | 2265 | 688 | 6.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 NO | 1.16 | 2265 | 688 | 7.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 ONO | 1.16 | 2265 | 688 | 7.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 O | 1.16 | 2265 | 688 | 6.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 OZO | 1.16 | 2265 | 688 | 5.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 ZO | 1.16 | 2265 | 688 | 6.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 ZZO | 1.16 | 2265 | 688 | 6.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 Z | 1.16 | 2265 | 688 | 7.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 ZZW | 1.16 | 2265 | 688 | 8.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 ZW | 1.03 | 2034 | 611 | 14.0 | 1.85 | 0.017 | 2.1 WZW | 0.80 | 1760 | 520 | 16.8 | 1.85 | 0.064 | 8.0 W | 0.85 | 1985 | 595 | 13.1 | 1.85 | 0.097 | 12.1 WNW | 0.85 | 1985 | 595 | 13.0 | 1.85 | 0.054 | 6.7 NW | 0.95 | 2025 | 608 | 12.4 | 1.85 | 0.014 | 1.7 NNW | 1.13 | 2168 | 656 | 8.0 | 1.85 | 0.003 | 0.3 N | 1.14 | 2229 | 676 | 6.0 | 1.85 | 0.001 | 0.1 ---------+-------------------------------------------------+------------+--------- som | | 0.255 | 31.9 Gesloten Ramspolkering r | meerp. | q IJssel| q Vecht | windsn. | waterst.| ov. freq | ov. freq | m+NAP | m³/s | m³/s | m/s | m+NAP | *0.001/whj | % ---------+---------+---------+---------+---------+---------+------------+--------- NNO | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 NO | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ONO | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 O | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 OZO | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZO | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZZO | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 Z | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZZW | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZW | 0.75 | 1400 | 400 | 22.6 | 1.85 | 0.050 | 6.2 WZW | 0.74 | 1430 | 410 | 19.8 | 1.85 | 0.138 | 17.3 W | 0.65 | 1550 | 450 | 19.0 | 1.85 | 0.216 | 27.0 WNW | 0.72 | 1595 | 465 | 17.8 | 1.85 | 0.108 | 13.6 NW | 0.77 | 1655 | 485 | 17.8 | 1.85 | 0.030 | 3.8 NNW | 0.85 | 1610 | 470 | 20.4 | 1.85 | 0.002 | 0.3 N | 1.15 | 1730 | 510 | 19.6 | 1.85 | 0.000 | 0.0 ---------+-------------------------------------------------+------------+--------- som | | 0.545 | 68.1 Betekenis van de gegevens: - r = De windrichting - meerp. = De ruimtelijk gemiddelde waterstand van het IJsselmeer in m+NAP - q IJssel = De afvoer op de IJssel bij Olst in m³/s - q Vecht = De afvoer op de Vecht bij Dalfsen in m³/s - windsn. = De potentiële windsnelheid van Schiphol in m/s - waterst. = De waterstand op de doorgerekende locatie in m+NAP - ov.freq = De overschrijdingsfrequentie van de waterstand voor de bijbehorende windrichting in gemiddeld aantal keer per winterhalfjaar en als percentage

Tabel 4-5: Hydra-VIJ uitvoer Zwarte Water km 14 voor de illustratiepunten, voor T = 1250 jaar.

Nu volgt een nadere toelichting op de tabel. Het eerste blokje van vijf regels geeft elementaire

informatie over de berekening waarmee de IP’s corresponderen; deze gegevens spreken voor

zich. De twee volgende blokken bevatten gegevens voor de geopende en gesloten kering. De

laatste twee kolommen van elk blok bevatten de uitsplitsingen naar de combinatie van

windrichting en keringtoestand, zowel absoluut (in keren per winterhalfjaar) als relatief ten

opzichte van de overschrijdingsfrequentie. Bijvoorbeeld de 12.1% voor de open kering in

combinatie met richting W houdt in: tijdens falen – hier overschrijden van niveau 1.85 m+NAP

– is er 12.1% kans dat dat gebeurt bij een geopende kering en tevens windrichting W. Analoog

houdt het getal 27.0% voor de dichte kering/richting W in dat tijdens falen 27.0% kans bestaat

op een dichte kering met tevens richting W. Hieruit blijkt dat “zonder uitsplitsing naar

keringtoestand” er 12.1+27.0 = 39.1% kans bestaat op richting W tijdens falen. De gegevens

uit de tabel maken duidelijk dat voor deze locatie met name richting W, en daarnaast nog



richtingen WZW en WNW, verantwoordelijk zijn voor falen. Merk op dat, per keringtoestand, de

som over de richtingspercentages de uitsplitsing voor de betreffende toestand oplevert; de

respectievelijke sommaties over de richtingen (31.9% en 68.1%) komen ook voor in Tabel 4-4.

Uitleg kolommen 1 t/m 6 van de IP-uitvoer

Nu volgt uitleg over de kolommen 1 t/m 6 voor de twee “keringsblokken” uit de tabel. Kolom 1

geeft, per keringtoestand, de beschouwde windrichting. Kolom 3 wordt hieronder toegelicht. De

kolommen 2, 4 en 5 geven, per keringtoestand/windrichting, het IJsselmeerpeil, de Vechtafvoer

en de windsnelheid. Losjes gezegd kunnen de waarden uit deze kolommen geïnterpreteerd

worden als degenen die “op de grens van juist wel/juist niet falen” de grootste kans van

voorkomen hebben. De frase tussen aanhalingstekens betekent hier dat alleen omstandigheden

worden beschouwd waarbij de waterstand exact de voor T = 1250 jaar berekende waterstand

(1.85 m+NAP) aanneemt. Merk het verschil in “faalwijze” op met de uitsplitsingen: de

uitsplitsingen gaan over omstandigheden waarvoor het niveau 1.85 m+NAP wordt

overschreden, terwijl het IP omstandigheden beschouwt waarvoor dit niveau precies wordt

aangenomen, oftewel waarvoor “juist falen” optreedt. Samengevat: de waarden uit het IP voor

het meerpeil, de Vechtafvoer en de windsnelheid, geven de situatie weer die tijdens “juist falen”

het meest waarschijnlijk zijn.

Het IP geeft ook een waarde voor de IJsselafvoer (kolom 3), die niet te interpreteren valt als

een waarde met de maximale kans van voorkomen tijdens falen, en eigenlijk uit het overzicht

had mogen worden weggelaten. De beschouwde locatie ligt namelijk in de Vechtdelta, waarvoor

de Vecht de zogeheten dominante rivier is, terwijl de IJsselafvoer fysisch gezien vrijwel geen

invloed heeft op de waterstanden bij deze locatie. Feitelijk geldt: voor een locatie in de

Vechtdelta moet aan de IJsselafvoer uit het IP geen waarde worden toegekend; omgekeerd

geldt dat voor een locatie in de IJsseldelta aan de Vechtafvoer uit het IP geen waarde moet

worden toegekend. Oftewel: de niet-dominante rivieren uit het IP geven voor praktisch gebruik

geen zinnige interpretatie.

Tot slot van de uitleg van de tabel: kolom 6 geeft de berekende waterstand, die voor het hier

beschouwde faalmechanisme overloop voor iedere richting/keringtoestand simpelweg gelijk is

aan de berekende waterstand (1.85 m+NAP); de waarden uit het IP voor het meerpeil, de

afvoeren, de windsnelheid en de windrichting zijn daarbij zódanig dat ze de waterstand van

1.85 m+NAP opleveren. Bij faalmechanisme golfoverslag, dat zometeen wordt behandeld, kan

de waterstand uit het IP wél variëren per richting/keringtoestand.

Praktisch gebruik van IP’s en de gevaren daarvan

IP’s worden in de praktijk nogal eens gebruikt als karakterisering van de “maatgevende

omstandigheden” tijdens falen. Met deze omstandigheden worden dan berekeningen uitgevoerd,

bijvoorbeeld om het effect van maatregelen te bepalen (rivierverruiming, zomerbedverdieping

etcetera). De eerder besproken uitsplitsingsgegevens en de informatie uit paragraaf 4.5 tonen

echter dat falen bij een zeer groot bereik van omstandigheden kan optreden: zowel extreme als

dagelijkse (en tussenliggende) waarden voor afvoeren, meerpeilen en wind kunnen dan

voorkomen. Het is dan niet te rechtvaardigen om “effectberekeningen” uit te voeren voor alleen

de omstandigheden uit het IP. Er kleeft dus een gevaar aan het gebruik van de IP’s: ze kunnen

ten onrechte de indruk wekken dat de omstandigheden die ze karakteriseren de enig relevante

omstandigheden voor falen zijn. Eigenlijk zijn IP’s vooral nuttig voor locaties waarbij falen

slechts kan optreden bij een “beperkt bereik” aan bedreigende omstandigheden. Dat laatste is

bijvoorbeeld, zo blijkt uit paragraaf 4.5, alleen het geval (voor toetspeilen) nabij Dalfsen en

bovenstrooms van IJssel km 993, waar alleen extreme afvoeren tot falen leiden, en in de



IJsselmonding waar extreme stormen tot falen leiden. Rondom Kampen en in praktisch de hele

Vechtdelta (uitgezonderd nabij Dalfsen) komt tijdens falen een grote diversiteit aan bedreigende

omstandigheden voor, zodat de IP’s hier een beperkt nut hebben.

4.4 Faalmechanisme golfoverslag: benodigde kruinhoogte

Nu wordt uitvoer besproken voor een berekening met faalmechanisme golfoverslag, waarbij

voor een gespecificeerd dijkprofiel een benodigde kruinhoogte wordt bepaald. Daarbij dient een

toelaatbaar overslagdebiet te worden opgegeven, ook kritiek overslagdebiet genoemd. In de

toetsing wordt dat overslagdebiet bepaald door (onder meer) de kwaliteit van de grasmat van

het binnentalud: hoe beter de grasmat, des te meer overslaand water mag worden toegelaten.

Bij faalmechanisme golfoverslag bestaat het hydraulisch belastingniveau (met eenheid m+NAP)

uit de lokale waterstand vermeerderd met de zogenaamde golfoverslaghoogte (met eenheid m).

Hoe die belasting precies wordt gedefinieerd, staat in paragraaf 5.4. Hier noemen we alleen dat

de golfoverslaghoogte een maat is voor het effect van de golven: hogere golfhoogtes en

golfperiodes leveren een grotere golfoverslaghoogte. Ook het opgegeven toelaatbaar

overslagdebiet is van invloed op de golfoverslaghoogte: een kleiner toelaatbaat debiet dat over

de dijk mag slaan (strengere eis in de toetsing), gaat gepaard met een grotere golfoverslag-

hoogte. Bij gelijkblijvende golfhoogte en golfperiode betekent een kleiner toelaatbaar debiet

namelijk dat het effect van de golven belangrijker wordt, wat tot uitdrukking komt in een

toename van de golfoverslaghoogte. Zie voor een beter begrip van dat laatste desgewenst de

precieze definitie in paragraaf 5.4.

De locatie waarvoor Hydra-VIJ uitvoer wordt gegeven is opnieuw Zwarte Water km 14. In de

berekening worden, intern in Hydra-VIJ, windgolven betrokken, die vereisen dat effectieve

strijklengtes en bodemhoogtes zijn gespecificeerd. Deze gegevens worden in Hydra-VIJ gebruikt

om golfgegevens (significante golfhoogte en piekperiode) te bepalen.7 De volgende paragraaf

gaat over de gebruikte strijklengtes, bodemhoogtes en het (fictief gekozen) dijkprofiel. De

daaropvolgende paragrafen geven eenzelfde soort uitvoer als hiervoor besproken, maar dan

voor IP’s die zijn uitgebreid met golfgegevens.

4.4.1 Effectieve bodemhoogtes, strijklengtes en dijkprofiel

Figuur 4-2 geeft het invoerscherm uit Hydra-VIJ waarmee effectieve strijklengtes en effectieve

bodemhoogtes (ook aangeduid als karakteristieke bodemhoogtes) kunnen worden ingevoerd. In

de linkerhelft van het scherm is te zien hoe, per windrichting, deze grootheden kunnen worden

opgegeven; rechts daarvan zijn de effectieve strijklengtes grafisch weergegeven: de zwarte

lijnen geven de strijklengtes, de blauwe de bandijken. De overige aspecten uit het invoerscherm

blijven hier onbesproken, zie daarvoor de handleiding van Hydra-VIJ.

De oeverdatabases uit Hydra-VIJ bevatten defaultwaarden voor de effectieve strijklengtes en

bodemhoogtes, maar deze mogen, op basis van gebiedskennis, door een gebruiker naar eigen

inzicht worden aangepast. Hoe precies de defaultwaarden worden bepaald, en hoe de

strijklengtes en bodemhoogtes in combinatie met de formules van Bretschneider worden

7 De golfgegevens worden intern in Hydra-VIJ bepaald met de formules van Bretschneider, zie paragraaf 5.2, waarbij dus

effectieve strijklengtes en bodemhoogtes zijn vereist. Denkbaar is dat in de toekomst, buiten Hydra-VIJ om, golfgegevens met het golfmodel Swan bepaald worden, in welk geval geen strijklengtes en bodemhoogtes meer nodig zijn. Het voorliggende hoofdstuk gaat uit van de huidige stand van zaken, waarbij strijklengtes en bodemhoogtes zijn vereist.



gebruikt om golfgegevens te bepalen, staat in paragraaf 5.2.2. Hier wordt slechts opgemerkt

dat langere strijklengtes leiden tot hogere golven, en hogere bodemhoogtes, vanwege geringere

waterdieptes, tot lagere golven.

Figuur 4-2: Invoerscherm Hydra-VIJ voor effectieve bodemhoogtes en strijklengtes.

Voor faalmechanisme golfoverslag is ook nodig dat een dijkprofiel wordt ingevoerd in Hydra-VIJ.

Uiteraard moet dat een zo goed mogelijk geschematiseerd profiel zijn van de werkelijke dijk.

Hiertoe bevat Hydra-VIJ een profieleditor, waarmee de hellingen en ruwheden van de taluddelen

kunnen worden ingevoerd en daarnaast eventueel aanwezige bermen. Ook kunnen eventueel

een dam en/of voorland worden ingevoerd. Voor het gebruik van de profieleditor wordt

verwezen naar de gebruikershandleiding van Hydra-VIJ. In het voorbeeld uit dit hoofdstuk

wordt simpelweg een standaardprofiel gekozen met een helling van 1 op 3, met standaardruw-

heid 1. Als onderdeel van het profiel moet ook de dijknormaal worden opgegeven. In het

voorbeeld wordt daarvoor 260° genomen (de dijknormaal staat loodrecht op de dijk, gericht

naar het water).

4.4.2 Elementaire uitvoer berekening benodigde kruinhoogte

Inmiddels zijn voor locatie Zwarte Water km 14 het dijkprofiel en de effectieve strijklengtes en

bodemhoogtes gespecificeerd. Tot slot dient nog een toelaatbaar overslagdebiet te worden

gekozen. In dit voorbeeld kiezen we 1 liter per seconde per strekkende meter dijk (korter

aangeduid als 1 l/s/m).

Met de genoemde gegevens berekent Hydra-VIJ dan voor T = 1250 jaar een benodigde

kruinhoogte van (op centimeters afgerond) 3.00 m+NAP, zie Tabel 4-6. Oftewel, bij deze

kruinhoogte stroomt gemiddeld eens per 1250 jaar een debiet over de kruin van 1 l/s/m of

meer. De benodigde kruinhoogte ligt in dit voorbeeld ongeveer 1.15 m hoger dan de voor



T = 1250 jaar berekende waterstand, die gelijk is aan het toetspeil (volgens Tabel 4-3 gelijk

aan 1.85 m+NAP).

HYDRA-VIJ Versienummer: 3.0.2 juli 2008 Berekeningsresultaten Naam gebruiker = geerse Datum berekening = 27-02-2009 15:35:57 Invoerdatabase = Oeverloc_dkr_009_Vecht.mdb Locatie = Dkr 9 Zwarte Water km 14-15 Locatie 1 X-coördinaat = 202428 (m) Y-coördinaat = 515247 (m) Riviergeometriegegevens van de locatie: Windrichting Effectieve Effectieve r bodemhoogte strijklengte (m+NAP) (m) NNO 0.06 273.00 NO 0.06 66.00 ONO 0.06 50.00 O 0.06 52.00 OZO 0.06 75.00 ZO 0.06 473.00 ZZO 0.05 931.00 Z -0.35 1294.00 ZZW -0.49 1467.00 ZW -0.61 1280.00 WZW -0.33 1371.00 W -0.37 1730.00 WNW -0.39 2025.00 NW -0.38 2002.00 NNW -0.51 1536.00 N 0.07 741.00 Golfparameters zijn berekend met Bretschneider op basis van de riviergeometriegegevens Profiel = pr 1op3 n260 k6.prfl Aanwezige dijkhoogte = 6.00 (m+NAP) Uitwendige dijknormaal = 260.00 (°) Dijkprofielcoordinaten Taludruwheids- Afstand Hoogte factor (m) (m+NAP) (-) 0.00 0.00 1.00 18.00 6.00 Berekeningstype = Hydraulisch belastingniveau Faalmechanisme = Golfoverslag Kritiek overslagdebiet = 1.00 (l/s/m) Deze berekening is gemaakt zonder klimaatscenario en met statistische gegevens van de Vecht Berekeningsresultaten Frequentie: Hydraulisch belastingniveau: 1/ 1250 2.999 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen 1/ 2000 3.096 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen 1/ 4000 3.253 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen Terugkeertijd Hydraulisch belastingniveau (jaren) (m+NAP) 0.5 1.426 1 1.616 2 1.778 5 1.969 10 2.103 25 2.272 50 2.398 100 2.523 250 2.689 500 2.820 1000 2.954 2000 3.096 4000 3.253 10000 3.488 20000 3.701

Tabel 4-6: Deel Hydra-VIJ uitvoer kruinhoogteberekening Zwarte Water km 14.

We benadrukken dat het getal 1.15 m dat de benodigde kruin boven de waterstand ligt,

informeel gezegd de “toeslag op de waterstand”, berust op een berekening met fictieve

gegevens: de werkelijke dijkgegevens kunnen tot een heel andere toeslag leiden. Daarnaast is



van belang dat de genoemde toeslag sterk afhangt van de beschouwde locatie. Onder meer

andere strijklengtes en bodemhoogtes, en een ander toelaatbaar overslagdebiet, kunnen tot

totaal andere toeslagen leiden. Ook de oriëntatie van de dijk, dus de dijknormaal, is cruciaal.

Bijvoorbeeld locaties aan de westzijde van het Zwarte Water, met oostelijk gerichte

dijknormalen, hebben aanmerkelijk lagere toeslagen (soms kleiner dan 0.2 m). Belangrijkste

reden daarvan is dat voor westelijk gerichte dijknormalen de dijk bedreigd wordt door een

combinatie van hoge waterstanden en wind(golven), terwijl voor oostelijke dijknormalen veel

minder sprake is van verhoogde waterstanden in combinatie met golven. Ook speelt mee, maar

veel minder, dat windsnelheden uit het oosten (gemiddeld) lager zijn dan die uit het westen.

4.4.3 Uitsplitsingen bij berekening benodigde kruinhoogte

Net als voor de waterstandsberekening, kunnen voor de berekening van de benodigde

kruinhoogte uitsplitsingen worden bepaald, zie Tabel 4-7. De interpretatie van deze uitvoer is

analoog aan die uit de eerder behandelde Tabel 4-4, en wordt niet opnieuw gegeven. We

merken alleen op dat falen bij de kruinhoogteberekening optreedt bij een iets lagere range van

afvoeren/meerpeilen dan bij de waterstandsberekening, en bij wat een wat hogere range van

windsnelheden. Waar bijvoorbeeld bij de waterstandsberekening voor “open+dicht” tijdens falen

80% van de windsnelheden ligt in het interval 14.9 - 29.6 m/s, is dat interval voor de kruin-

hoogteberekening opgeschoven naar 23.1 - 37.0 m/s. Dat laatste is plausibel. Bij de

kruinhoogteberekening wordt de wind namelijk, omdat deze windgolven veroorzaakt, een

relatief belangrijkere stochast dan bij de waterstandsberekening, en in het algemeen is het zo

dat tijdens falen de belangrijkste stochasten de extreemste waarden aannemen. Locatie = Dkr 9 Zwarte Water km 14-15 Locatie 1 (202428,515247) Berekeningstype = Hydraulisch belastingniveau, golfoverslag met kritiek overslagdebiet van 1.00 (l/s/m) Hydraulisch belastingniveau = 3.00 (m+NAP) Terugkeertijd = 1250 (jaar) Overschrijdingsfrequentie = 8.00E-04 (per jaar) Geopende Ramspolkering = 23.7% Gesloten Ramspolkering = 76.3% Percentielen van de Vechtafvoer (m³/s) percentiel | open+dicht | open | dicht ------------+------------+-----------+----------- 5% | 14 | 8 | 18 10% | 27 | 14 | 37 25% | 71 | 35 | 101 50% | 175 | 77 | 241 75% | 346 | 139 | 380 90% | 455 | 214 | 476 95% | 524 | 281 | 537 Percentielen van het meerpeil (m+NAP) percentiel | open+dicht | open | dicht ------------+------------+-----------+----------- 5% | -0.35 | -0.38 | -0.34 10% | -0.32 | -0.36 | -0.30 25% | -0.23 | -0.31 | -0.17 50% | 0.02 | -0.21 | 0.17 75% | 0.44 | -0.03 | 0.54 90% | 0.71 | 0.21 | 0.76 95% | 0.85 | 0.39 | 0.88 Percentielen van de windsnelheid (m/s) percentiel | open+dicht | open | dicht ------------+------------+-----------+----------- 5% | 21.3 | 23.1 | 21.0 10% | 23.1 | 24.4 | 22.7 25% | 26.0 | 25.9 | 26.1 50% | 30.0 | 27.3 | 32.0 75% | 34.3 | 29.4 | 35.2 90% | 37.0 | 32.4 | 37.6 95% | 38.3 | 33.1 | 38.7

Tabel 4-7: Hydra-VIJ uitvoer kruinhoogteberekening Zwarte Water km 14, voor T = 1250 jaar.



4.4.4 Illustratiepunten bij berekening benodigde kruinhoogte

Voor de berekening van de benodigde kruinhoogte kunnen naast de uitsplitsingen ook de IP’s

worden bepaald, zie Tabel 4-8. De interpretatie van die uitvoer is analoog aan die uit de eerder

behandelde Tabel 4-5 voor de waterstandsberekening, met dien verstande dat nu het IP ook

golfgevens bevat (aan de teen van de dijk): de significante golfhoogte Hs, de piekperiode Tp en

de golfrichting. In het licht van de eerdere bespreking voor de IP’s uit Tabel 4-5 voor de

waterstandsberekening, spreken de gegevens tamelijk voor zich. Hier volgen slechts enkele

opmerkingen.

De eerste opmerking is dat de gegevens uit een IP zodanig zijn dat ze gezamelijk de

hydraulische belasting opleveren (hier 3.00 m+NAP). Oftewel: de gegevens op iedere rij leveren

gezamelijk de hydraulische belasting.

Als tweede wordt opgemerkt dat de waterstand in Tabel 4-8 (aangeduid als h,teen) nu per

windrichting verschillend kan zijn, terwijl die waterstand in Tabel 4-5 voor alle richtingen 1.85

m+NAP bedraagt. Dat verschil is logisch: in de waterstandsberekening is de belasting gelijk aan

de waterstand, zodat de door Hydra-VIJ uitgerekende belasting bij T = 1250 jaar (één waarde)

voor elke richting deze waarde levert. Bij een berekening met golven is daarentegen de

waterstand slechts onderdeel van de belasting, zodat de voor T = 1250 jaar berekende

belasting van 3.00 m+NAP niet meer eenduidig correspondeert met één waterstand.

De laatste opmerking is dat bij een profiel zonder voorland, zoals hier beschouwd, de

golfrichting steeds gelijk is aan de windrichting. Dat is in de huidige opzet van Hydra-VIJ,

waarbij golven met Bretschneider worden berekend, altijd het geval bij een dergelijk profiel. Bij

een profiel met voorland kan, door golfdraaiing boven het voorland, de golfrichting wel

verschillen van de windrichting. Als in de toekomst golfgegevens met Swan worden bepaald, of

Hiswa-gegevens worden gebruikt, kan ook zonder voorland de golfrichting verschillen van de

windrichting, zie verder paragraaf 5.2.1.

Tot zover de uitleg van de IP’s. We noemen nog het volgende punt voor gebruik van het IP in de

toetsing. In principe wordt de hoogtetoets volgens het VTV uitgevoerd met de Hydra-modellen,

waarbij voor de invoer van het dijkprofiel gebruik wordt gemaakt van de zogeheten

profieleditor. Deze editor stelt echter eisen aan het ingevoerde profiel, dat niet al te

gecompliceerd mag zijn. Als het daadwerkelijke profiel niet precies genoeg is weer te geven in

de profieleditor, stelt het VTV dat de gegevens uit het IP ingevoerd moeten worden in de

(stand-alone) module PC-Overslag; met de resultaten van deze module kan de toetsing dan

worden uitgevoerd. Overigens wordt deze module ook intern in de Hydra’s gebruikt (dan dus

niet als stand-alone versie, en alleen “gevoed” met gegevens uit de profieleditor). Zie voor een

korte bespreking van PC-Overslag het eind van paragraaf 5.4.



Locatie = Dkr 9 Zwarte Water km 14-15 Locatie 1 (202428,515247) Berekeningstype = Hydraulisch belastingniveau, golfoverslag met kritiek overslagdebiet van 1.00 (l/s/m) Hydraulisch belastingniveau = 3.00 (m+NAP) Terugkeertijd = 1250 (jaar) Overschrijdingsfrequentie = 8.00E-04 (per jaar) Geopende Ramspolkering r | meerp. | q IJssel| q Vecht | windsn. | h,teen | Hs,teen | Tp,teen | golfr | ov. freq | ov. freq | m+NAP | m³/s | m³/s | m/s | m+NAP | m | s | graden | *0.001/whj | % ---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+------------+--------- NNO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 NO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ONO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 O | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 OZO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZZO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 Z | 1.43 | 2465 | 755 | 27.4 | 2.03 | 0.70 | 3.1 | 180 | 0.000 | 0.0 ZZW | 1.23 | 2360 | 720 | 26.5 | 1.91 | 0.70 | 3.2 | 203 | 0.000 | 0.0 ZW | -0.25 | 480 | 95 | 31.5 | 1.68 | 0.76 | 3.3 | 225 | 0.021 | 2.6 WZW | -0.19 | 367 | 70 | 27.4 | 1.77 | 0.67 | 3.1 | 248 | 0.025 | 3.1 W | -0.22 | 344 | 65 | 25.5 | 1.74 | 0.66 | 3.2 | 270 | 0.091 | 11.4 WNW | -0.22 | 344 | 65 | 25.8 | 1.76 | 0.69 | 3.3 | 293 | 0.045 | 5.6 NW | -0.19 | 389 | 75 | 27.6 | 1.79 | 0.73 | 3.4 | 315 | 0.008 | 0.9 NNW | 0.35 | 905 | 235 | 27.5 | 1.94 | 0.73 | 3.3 | 338 | 0.000 | 0.0 N | 1.45 | 2371 | 724 | 32.8 | 2.76 | 0.74 | 3.1 | 360 | 0.000 | 0.0 ---------+-------------------------------------------------------------------------------+------------+--------- som | | 0.190 | 23.7 Gesloten Ramspolkering r | meerp. | q IJssel| q Vecht | windsn. | h,teen | Hs,teen | Tp,teen | golfr | ov. freq | ov. freq | m+NAP | m³/s | m³/s | m/s | m+NAP | m | s | graden | *0.001/whj | % ---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+------------+--------- NNO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 NO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ONO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 O | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 OZO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZZO | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 Z | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZZW | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | 0.000 | 0.0 ZW | -0.13 | 344 | 65 | 32.9 | 1.64 | 0.78 | 3.4 | 225 | 0.119 | 14.9 WZW | -0.25 | 380 | 73 | 34.8 | 1.54 | 0.75 | 3.4 | 248 | 0.153 | 19.2 W | -0.10 | 571 | 124 | 34.7 | 1.46 | 0.75 | 3.5 | 270 | 0.260 | 32.5 WNW | 0.55 | 1321 | 374 | 24.0 | 1.82 | 0.66 | 3.2 | 293 | 0.067 | 8.4 NW | 0.55 | 1274 | 358 | 27.0 | 1.80 | 0.72 | 3.3 | 315 | 0.010 | 1.3 NNW | 0.90 | 1850 | 550 | 24.1 | 2.06 | 0.67 | 3.1 | 338 | 0.000 | 0.0 N | 1.39 | 2300 | 700 | 20.8 | 2.86 | 0.49 | 2.5 | 360 | 0.000 | 0.0 ---------+-------------------------------------------------------------------------------+------------+--------- som | | 0.610 | 76.3 Betekenis van de gegevens: - r = De windrichting - meerp. = De ruimtelijk gemiddelde waterstand van het IJsselmeer in m+NAP - q IJssel = De afvoer op de IJssel bij Olst in m³/s - q Vecht = De afvoer op de Vecht bij Dalfsen in m³/s - windsn. = De potentiële windsnelheid van Schiphol in m/s - h,teen = De waterstand op de doorgerekende locatie in m+NAP na eventuele transformatie over een voorland - Hs,teen = De significante golfhoogte in m na eventuele transformatie over een dam en/of voorland - Tp,teen = De golf(piek)periode in s na eventuele transformatie over een voorland - golfr = De golfrichting in graden t.o.v. Noord na eventuele transformatie over een voorland - ov.freq = De overschrijdingsfrequentie van het hydraulisch belastingniveau voor de bijbehorende windrichting in gemiddeld aantal keer per winterhalfjaar en als percentage

Tabel 4-8: Hydra-VIJ uitvoer kruinhoogteberekening Zwarte Water km 14 voor de illustratiepunten, voor T = 1250 jaar.

4.5 Waar zijn welke stochasten van invloed voor de toetspeilen?

De uitsplitsingen kunnen worden gebruikt om voor alle locaties in het gebied zicht te krijgen op

de mate waarin voor de toetspeilen afvoeren, meerpeilen en wind een rol spelen. Bijvoorbeeld:

zijn bij falen, te weten overschrijden van het toetspeil op een bepaalde locatie, vooral extreme

afvoeren van belang, of juist extreme windsnelheden, of combinaties van verhoogde afvoeren



en windsnelheden. Stel dat vooral hoge en extreme afvoeren falen veroorzaken, dan is duidelijk

dat een klimaatverandering met als gevolg een hogere maatgevende afvoer, voor deze locatie

tot hogere toetspeilen leidt; als daarentegen tijdens falen alleen betrekkelijk lage afvoeren

optreden, zal zo’n klimaatverandering geen invloed hebben op het toetspeil. De rol van de

stochasten tijdens falen kan dus helpen om zonder verdere berekeningen gevoel te krijgen voor

de mate waarin per locatie veranderingen in rivierwerken, klimaatscenario’s en dergelijke van

invloed zijn op de toetspeilen.

Voor de Vecht- zowel als voor de IJsseldelta zijn daarom berekeningen gemaakt, voor een

beperkt aantal locaties, waaruit het belang van de verschillende stochasten blijkt. Omdat de

IJsseldelta het eenvoudigste gedrag heeft, wordt eerst dat gebied behandeld. Daarna volgt de

Vechtdelta.

4.5.1 Uitsplitsingen voor waterstandsberekeningen in de IJsseldelta

Gegevens voor acht locaties

Voor acht locaties langs de IJssel zijn met Hydra-VIJ waterstanden bepaald voor terugkeertijd

T = 2000 jaar. Hoewel langs de IJssel behalve 2000 ook 1250 jaar als normterugkeertijd

voorkomt, is gekozen voor slechts één terugkeertijd, om zo zuiver mogelijk te kunnen zien hoe

langs de rivier de rol van de stochasten varieert. De resultaten staan in Tabel 4-9, terwijl

Figuur 4-3 de gekozen locaties toont, met daarnaast wat gegevens die zometeen worden

besproken. De locaties zijn zo gekozen dat ze dicht bij elkaar liggen op het traject waar de rol

van de stochasten sterk blijkt te veranderen en verder uit elkaar waar dat niet zo is. Eerst wordt

aangegeven welke informatie de tabel bevat. Daarna volgt algemeen commentaar.

O+D O D O+D O D O+D O D O+D O Dkans,% 100 97 3 100 96 4 100 93 7 100 78 22q 10% 2857 2863 1403 2850 2862 746 2836 2867 495 638 2909 276q 90% 3228 3232 2925 3226 3234 2862 3228 3241 2817 3241 3286 2538m 10% 0.58 0.58 0.26 0.58 0.60 -0.07 0.57 0.60 -0.20 -0.06 0.62 -0.32m 90% 1.00 1.00 0.92 1.01 1.01 0.88 1.01 1.02 0.83 1.01 1.03 0.67u 10% 3.7 3.7 19.4 3.8 3.7 19.7 3.8 3.7 20.2 4.1 3.7 25.6u 90% 14.3 13.6 37.4 15.0 13.6 40.4 16.5 13.6 40.9 36.8 13.9 39.9

O+D O D O+D O D O+D O D O+D O Dkans,% 100 69 31 100 9 91 100 0.2 99.8 100 0.2 99.8q 10% 274 3131 253 247 3441 244 243 245 243 238 239 238q 90% 3318 3507 1368 1928 3761 1046 998 1135 998 865 901 864m 10% -0.32 0.70 -0.34 -0.34 0.79 -0.34 -0.34 -0.34 -0.34 -0.35 -0.35 -0.35m 90% 0.96 1.12 0.39 0.62 1.19 0.25 0.23 0.30 0.23 0.16 0.18 0.16u 10% 6.1 3.8 31.1 29.4 3.8 32.2 32.1 32.2 32.1 32.6 33.0 32.6u 90% 37.6 14.5 38.2 37.6 15.0 37.8 37.6 38.1 37.6 37.6 38.2 37.6

IJssel km 974 IJssel km 991 IJssel km 993 IJssel km 995nabij Kampen, brug N50 stadsfront Kampen

perc

entie

len

stadsfront Kampen brug N50

perc

entie

len

KeteldiepIJssel km 997 IJssel km 999 IJssel km 1000 IJssel km 1002

ws = 2.96 m+NAP ws = 2.85 m+NAP ws = 2.77 m+NAP ws = 2.75 m+NAP


Tabel 4-9: Uitsplitsingen waterstandsberekening voor T = 2000 jaar voor diverse IJsseldelta-locaties

(TMR2006 gegevens).



2855-3230 m3/s4 - 14 m/s

275-3320 m3/s6 - 38 m/s

245-1000 m3/s32 - 38 m/s

245-1930 m3/s29 - 38 m/s

640-3240 m3/s4 - 37 m/s

2840-3230 m3/s4 - 17 m/s

2850-3230 m3/s4 - 15 m/s

240-870 m3/s32 - 38 m/s

Figuur 4-3: Weergave van de IJsseldelta-locaties waarvoor uitsplitsingen zijn berekend, met daarbij voor

“O+D”, de 10%- en 90% percentielen van afvoer en windsnelheid (afgeronde getallen).

De inhoud van de tabel wordt uitgelegd aan de hand van locatie IJssel km 974. Hiervoor wordt,

voor T = 2000 jaar, een waterstand berekend van 5.51 m+NAP. Verder geeft de tabel een

aantal uitsplitsingen. De bijdragen van de open en dichte keringtoestand tijdens falen zijn

respectievelijk 97% en 3%. De onderste zes rijen bevatten, respectievelijk voor de gevallen

“open+dicht”, “open” en “dicht”, het 10%-percentiel en het 90%-percentiel van

achtereenvolgens de afvoer q, het meerpeil m en de windsnelheid u. Bijvoorbeeld voor

“open+dicht” is het 10%-afvoerpercentiel, aangegeven als “q 10%” gelijk aan 2857 m3/s,

terwijl het 90%-afvoerpercentiel 3228 m3/s bedraagt. De gevallen “open” en “dicht” geven de

percentielen conditioneel op de open en dichte keringtoestand. Hiermee is de aard van de

getallen voldoende toegelicht.

Rol van afvoer en wind

Nu volgt commentaar op de mate waarin langs de IJssel het belang van afvoer en wind

verloopt. Het meerpeil laten we daarbij buiten beschouwing. Er blijkt namelijk een sterk

verband tussen afvoer en meerpeil te bestaan (positieve correlatie): hoge (extreme) afvoeren

gaan veelal samen met hoge (extreme) meerpeilen, en lage afvoeren met lage meerpeilen. Dat

blijkt uit de tabel en ook uit paragraaf 11.6, waar deze correlatie wordt behandeld. Vanwege dit

verband voegt het weinig toe het meerpeil in de uitleg te betrekken. Terzijde: de reden om de

rol van de afvoer te bezien en niet die van het meerpeil, is dat, uitgezonderd de IJsselmonding,

fysisch gezien op de IJssel extreme afvoeren veel meer invloed hebben op de waterstanden dan

extreme meerpeilen.

Beschouw nu de rol van afvoer en wind. Om deze rol duidelijker te laten uitkomen, zijn voor het

geval “O+D”, dus zonder uitsplitsing naar keringtoestand, in Figuur 4-3 de locaties

weergegeven met hun afvoeren windpercentielen. Die percentielen zijn ook nog eens grafisch



uitgezet in Figuur 4-4, waarbij voor een completer beeld gegevens zijn toegevoegd voor extra

locaties nabij Kampen.

De figuren laten zien (vergelijk ook Tabel 4-1 met terugkeertijden van wind en afvoer):8

• Het traject km 974 – km 993 is afvoerdominant: tijdens falen is sprake van een extreme

afvoer met relatief weinig wind.

• De IJsselmonding, traject km 1000 – km 1002, is winddominant: tijdens falen is sprake van

een extreme windsnelheid met relatief lage afvoeren.

• Het traject km 994 – km 999 is een “overgangstraject”: falen kan hier gebeuren bij extreme

afvoer met weinig wind, bij extreme wind met lage afvoer, of bij een combinatie van

verhoogde afvoer en wind. N.B: dit geldt uiteraard iets minder voor de locaties op de

eindpunten, die qua gedrag ook lijken op de omringende trajecten.

Verloop afvoer- windpercentielen langs de IJssel

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

974 976 978 980 982 984 986 988 990 992 994 996 998 1000 1002

Kilometerraai IJssel

afvo

er, m

3/s

0

5

10

15

20

25

30

35

40

win

dsne

lhei

d, m

/s

q 90%q 10%u 90%u 10%

Figuur 4-4: Verloop van afvoeren meerpeilpercentielen langs de IJssel.

Ramspolkering en bijdragen per keringtoestand

De Ramspolkering is bedoeld om de waterstanden in de Vechtdelta te reduceren, maar heeft

een verhogend effect op de benedenloop van de IJssel. Reden daarvan is dat bij gesloten kering

minder water richting het Zwarte Meer gaat en iets meer richting IJssel. Zonder kering zouden

de toetspeilen in de IJsselmonding met bijna 1 decimeter dalen, bij stadsfront Kampen met

enkele centimeters, terwijl ze bovenstrooms van Kampen onveranderd blijven [Geerse, 2007a].

Ook al heeft de kering betrekkelijk weinig effect op de toetspeilen in de IJsseldelta, toch is het

interessant om te zien hoe de bijdragen per keringtoestand langs de IJssel veranderen. In deze

bijdragen komt het karakter terug van de drie hiervoor beschouwde trajecten: afvoerdominant-,

winddominant- en overgangstraject. Bovenstrooms van Kampen, vanaf km 993, komen tijdens

8 Merk op dat q90% benedenstrooms van km 995 iets oploopt t/m km 998. Deze “hobbel” lijkt curieus, maar is

verklaarbaar. In de benedenrivieren komt een dergelijk verschijnsel eveneens voor, bijvoorbeeld op de Beneden Merwede bij Sliedrecht. Zie voor uitleg desgewenst [Geerse, 2004c].



falen extreme afvoeren voor in combinatie met relatief lage windsnelheden. Bij deze lage

windsnelheden bestaat niet zo veel kans dat de kering zal sluiten, volgens Tabel 4-9 is de dichte

bijdrage 7% of minder.9 In de IJsselmonding is falen het gevolg van extreme stormen uit

westelijke richtingen, in combinatie met lage afvoeren en meerpeilen. Tijdens deze stormen is

de kering vrijwel zeker gesloten, volgens Tabel 4-9 met kans 99.8%. Dat deze kans niet 1.0 is,

komt omdat de kering kan falen. Op het overgangstraject km 994 – km 999, tenslotte, neemt

van boven- naar benedenstrooms de open bijdrage af van 93% tot 0.2%, terwijl de dichte

bijdrage dan toeneemt van 7% tot 99.8%. Hier komt dus een diversiteit van open en dichte

bijdragen voor. Hiervoor zijn de afvoeren meerpeilpercentielen besproken voor het geval

“O+D”, Tabel 4-9 geeft de percentielen ook voor de gevallen “O” en “D”, maar dergelijke

resultaten hier onbesproken.

Belangrijkste windrichtingen in het overgangsgebied en de IJsselmonding

Tot slot, ook al geeft Tabel 4-9 daarvoor geen informatie, volgt nog een opmerking over de

bijdragen per windrichting. Die windrichting is vooral relevant voor locaties die bedreigd worden

door (extreme) stormen, dus voor locaties in het overgangsgebied en de IJsselmonding. De

uitsplitsingen naar windrichting geven aan dat de belangrijkste richtingen tijdens falen hier W,

WNW en NW zijn. Bijvoorbeeld voor km 995 dragen deze richtingen voor 41% bij tijdens falen,

voor km 997 dragen ze bij voor 77% en op het traject km 999 – km 1002 voor 91% of meer.

4.5.2 Uitsplitsingen voor waterstandsberekeningen in de Vechtdelta

Op dezelfde manier als hiervoor is een gevoeligheidsanalyse uitgevoerd voor de Vechtdelta. Met

Hydra-VIJ zijn voor negen locaties waterstanden bepaald voor één terugkeertijd, namelijk T =

1250 jaar. De resultaten staan in Tabel 4-10 en Figuur 4-5. De gegevens hebben dezelfde aard

als in de voorgaande paragraaf, met dien verstande dat in de figuur nu ook de bijdragen van de

keringtoestand zijn weergegeven, maar verdere uitleg van wat de getallen voorstellen kan

achterwege blijven.

De rol van de diverse stochasten blijkt in de Vechtdelta veel gecompliceerder dan in de

IJsseldelta. Waar in de IJsseldelta alleen locaties in het overgangsgebied, bij en rondom

Kampen, een grote diversiteit aan omstandigheden tonen, blijkt deze diversiteit in de Vechtdelta

vrijwel overál aanwezig. We beperken ons commentaar voor de Vechtdelta tot een aantal

punten, die het best zijn af te lezen uit Figuur 4-5. Het meerpeil blijft weer buiten beschouwing,

om dezelfde reden als hiervoor (sterk verband tussen afvoer en meerpeil, zodat het meerpeil

niet apart becommentarieerd hoeft te worden).

1. Overal in de Vechtdelta, uitgezonderd nabij Dalfsen, kan tijdens falen een grote diversiteit

aan omstandigheden optreden. Bedreigend kunnen zijn: extreme afvoeren met weinig wind,

lage afvoeren met extreme wind en combinaties van verhoogde afvoer en verhoogde wind.

2. De enige “puur afvoergedomineerde” locaties liggen in de buurt van Dalfsen. De reden dat

locaties bovenstrooms van Dalfsen, bijvoorbeeld km 36 (Ommen), minder sterk door de

afvoer worden gedomineerd dan Dalfsen, is dat bovenstrooms van Dalfsen lokale windopzet

9 Dat deze kans nog duidelijk groter is dan 0%, komt omdat de extreme afvoeren samengaan met sterk verhoogde

meerpeilen, zodat ook zonder wind het sluitpeil van 0.50 m+NAP al bereikt wordt; of de kering wel of niet sluit hangt daarom af van de vraag of wel of geen sprake is van instroming richting het Zwarte Meer. Een extreme IJsselafvoer gaat samen met een extreme Vechtafvoer, zodat bij weinig wind geen instroming zal plaatsvinden en het sluitcriterium niet wordt gehaald. Pas bij flink wat wind zal de stromingsrichting omkeren en het sluitcriterium worden gehaald.



een rol speelt.

3. Er zijn geen “puur windgedomineerde” locaties. De meest extreme windsnelheden komen

voor bij locaties aan de noordoostzijde van het Zwarte Meer, waar de windopzet maximaal

is. Voor deze locaties kan falen echter ook optreden bij extreme afvoeren met weinig wind.

4. Uitgezonderd locaties nabij Dalfsen, kan falen met redelijk grote kans samengaan met zowel

een open als dichte kering. Alleen nabij Dalfsen, waar falen samengaat met relatief weinig

wind, is de dichte bijdrage klein (10% of minder), wat dezelfde verklaring heeft als in de

voorgaande paragraaf uitgelegd voor afvoerdominante locaties langs de IJssel.

5. Los van de gegevens uit Tabel 4-10 en Figuur 4-5 volgt hier informatie over de belangrijkste

windrichtingen tijdens falen. Uitgezonderd locaties nabij Dalfsen zijn de belangrijkste

richtingen WZW t/m NW, waarbij gewoonlijk richting W de hoogste bijdrage heeft, maar

incidenteel ook WNW. Op het Zwarte Water en Zwarte Meer doet zich tijdens falen met

minimaal 75% kans één van de richtingen WZW, W, WNW of NW voor (gezamelijke

kansbijdrage van WZW t/m NW is minimaal 75%). Op de Vecht is de concentratie op deze

vier richtingen minder sterk, vooral nabij Dalfsen.

O+D O D O+D O D O+D O D O+D O D O+D O Dkans,% 100 73 27 100 93 8 100 74 26 100 50 50 100 50 50q 10% 409 560 271 551 555 467 457 557 331 347 177 374 333 194 353q 90% 639 650 554 631 633 566 638 649 554 648 672 550 648 672 549m 10% 0.41 0.54 0.13 0.52 0.53 0.44 0.48 0.55 0.30 0.36 0.08 0.41 0.34 0.13 0.37m 90% 0.95 0.98 0.82 0.96 0.96 0.90 0.98 1.00 0.89 1.02 1.07 0.93 1.01 1.07 0.93u 10% 4.8 4.3 17.6 3.9 3.8 15.8 4.5 4.1 16.2 6.8 4.9 15.7 6.6 4.8 15.8u 90% 27.3 15.8 32.6 15.9 13.9 28.6 23.9 15.3 30.9 27.0 26.7 27.2 27.0 26.1 27.5

O+D O D O+D O D O+D O D O+D O Dkans,% 100 35 65 100 35 66 100 33 67 100 33 67q 10% 130 44 362 84 27 364 49 24 117 199 45 349q 90% 628 688 551 594 659 549 575 637 542 583 643 537m 10% -0.04 -0.27 0.44 -0.15 -0.30 0.54 -0.26 -0.32 -0.12 0.23 -0.24 0.66m 90% 1.03 1.13 0.97 1.04 1.15 0.99 1.04 1.15 1.00 1.08 1.19 0.98u 10% 13.2 8.5 16.0 14.3 12.1 15.6 14.9 12.7 15.9 12.1 7.5 14.5u 90% 28.4 29.2 27.0 28.2 29.4 25.5 33.0 30.3 34.0 26.4 28.9 23.1

ws = 2.13 m+NAP

ws = 1.88 m+NAP ws = 1.64 m+NAP ws = 1.54 m+NAP ws =1.31 m+NAP


ZwolleVecht km 36 Vecht km 45 Vecht km 53 Vecht km 60 Zw.Water km 1

Ommen Dalfsen monding Vecht

perc

entie

len

nabij Hasselt monding Zw.W N-O zijde Zw.M

perc

entie

len

nabij RamspolZw.Water km 12 Zw.Water km 19 WsRW39 Zw.Meer WsZL54

Tabel 4-10: Uitsplitsingen waterstandsberekening voor T = 1250 jaar voor diverse Vechtdelta-locaties (HR2006 gegevens).10

10 De gegevens voor Ommen en Dalfsen zijn afkomstig uit een oeverdatabase, en gelden slechts als benadering voor de

aslocaties km 36 en km 45. Voor deze locaties is namelijk geen asdatabase beschikbaar.



Figuur 4-5: Weergave van de Vechtdelta-locaties waarvoor uitsplitsingen zijn berekend, met daarbij de

kansen op open/dichte kering en, voor “O+D”, de 10%- en 90% percentielen van afvoer en windsnelheid (afgeronde getallen).



5 Fysische modellen

Dit hoofdstuk behandelt een aantal fysische modellen die in Hydra-VIJ en Hydra-B worden

gebruikt. De fysische modellen dienen om bij gegeven randvoorwaarden, zoals afvoer, meerpeil,

windsnelheid etcetera, de hydraulische belasting op de dijk te bepalen. Achtereenvolgens

komen aan de orde: waterbewegingsmodellen (Waqua en Sobek), het Bretschneider-model om

golfgegevens te berekenen, en de transformaties om golven op open water te vertalen naar een

belasting op de dijk. De fysische modellen vormen geen hoofddoel van dit rapport, vandaar dat

de behandeling beknopt blijft.

5.1 Waterstanden

In Hydra-VIJ en Hydra-B worden voor een groot aantal combinaties van randvoorwaarden

waterstanden berekend met een waterbewegingsmodel: Waqua voor Hydra-VIJ en Sobek voor

Hydra-B. De randvoorwaarden bestaan hierbij uit uitkomsten van de stochasten die in het

model zijn opgenomen (per watersysteem zijn deze “modelstochasten” opgesomd in hoofdstuk

3). Voor Hydra-VIJ bijvoorbeeld wordt een combinatie van randvoorwaarden gegeven door

(qV,qIJ,m,u,r,λ), met qV de Vechtafvoer, qIJ de IJsselafvoer, m het IJsselmeerpeil, u de

windsnelheid, r de windrichting en λ de beheertoestand van de Ramspolkering (ofwel correct

functionerend ofwel falend). Meer informatie over de combinaties, en hoe precies de

randvoorwaarden worden opgelegd, komt verderop in dit rapport aan de orde. Hier volgen

alleen wat algemene opmerkingen over Waqua en Sobek zoals gebruikt in beide Hydra’s.

Waqua is een 2d-model (2-dimensionaal model). Voor een groot aantal locaties in de Vecht- en

IJsseldelta levert Waqua, bij iedere beschouwde combinatie (qV,qIJ,m,u,r,λ) van randvoor-

waarden, de lokale waterstand als functie van de tijd. In Hydra-VIJ wordt alleen de maximale

waterstand van de betreffende tijdreeks gebruikt, omdat die het meest bepalend is voor de

belasting op de dijk.

Sobek is een 1d-model. Bij een beschouwde combinatie van randvoorwaarden levert Sobek

tijdreeksen van waterstanden op een groot aantal locaties, waarvan in Hydra-B alleen de

maximale waterstand wordt gebruikt. Een voordeel van Sobek is, vanwege het ééndimensionale

karakter, dat het sneller rekent dan Waqua en toe kan met een eenvoudigere gebiedschema-

tisatie, een nadeel dat het minder nauwkeurig is. Een ander nadeel is dat Sobek, vanwege het

ééndimensionale karakter, geen opwaaiing dwars op de lengte-as van de rivier kan uitrekenen.

Bij de maximale waterstand op een locatie wordt, als een soort van nabewerking op de

Sobekresultaten, de apart berekende dwarsopwaaiing opgeteld.

5.2 Windgolven

Om bij een gegeven combinatie van randvoorwaarden, bijvoorbeeld (qV,qIJ,m,u,r,λ) in

Hydra-VIJ, de hydraulische belasting op de dijk te bepalen, zijn golfgegevens nodig, namelijk de

significante golfhoogte Hs, de piekperiode Tp en de golfrichting θ. De gegevens worden tot nu

toe in Hydra-VIJ en Hydra-B bepaald met de golfgroeikrommes van Bretschneider. Het is echter

ook mogelijk om in beide Hydra’s golfgegevens te gebruiken die zijn berekend met een



geavanceerder golfmodel als Swan of Hiswa. Tot nu toe zijn dergelijke golfgegevens niet

voorhanden, maar in de toekomst komen wellicht Swangegevens beschikbaar.11

De golfgegevens, of ze nu met Bretschneider, Hiswa of Swan zijn berekend, dienen te gelden op

“open water”, dat wil zeggen op enige afstand voor de dijk. Als “tussen” open water en de

dijkteen een dam en/of voorland aanwezig is, dienen de golfgegevens daarna nog

getransformeerd te worden van open water naar de dijkteen.12 Deze transformaties worden

behandeld in paragraaf 5.3. In de volgende subparagrafen worden alleen de golfgegevens op

open water behandeld. Hoe dat gaat in het geval van Bretschneider wordt behandeld in

paragraaf 5.2.1 t/m 5.2.3, en hoe dat gaat voor Hiswa of Swan in paragraaf 5.2.4.

5.2.1 Formules van Bretschneider

De formules van Bretschneider luiden, voor de significante golfhoogte en significante

golfperiode, als volgt [Leidraad rivierdijken deel 2, 1989]:

0.42 0.75210 1

12 21 10 10

0.283 0.0125tanh , tanh 0.530su gF gdH

g u uν

νν

= =

(5.1)

0.25 0.375

10 222 2

2 10 10

2.4 0.077tanh , tanh 0.833su gF gdTg u u

π νν

ν

= =

(5.2)

In Hydra-VIJ en Hydra-B is de piekperiode Tp nodig in plaats van Ts. Daarvoor wordt

aangenomen dat deze uit de significante golfhoogte kan worden berekend als

1.08p sT T= (5.3)

De symbolen in bovenstaande hebben de volgende betekenis:

Hs significante golfhoogte m

Tp piekperiode s

Ts significante golfperiode s

F effectieve strijklengte m

d effectieve waterdiepte m

u10 windsnelheid op 10 m hoogte boven open water m/s

g de valversnelling m/s2

De grootheden F, d en u10 worden in de volgende subparagrafen toegelicht. Hier merken we

alleen op dat de golfrichting θ in Hydra-VIJ en Hydra-B, tenminste bij gebruik van

Bretschneider, gelijk wordt genomen aan de windrichting:

golfrichting windrichting , indien golfparameters uit Bretschneider volgenrθ = (5.4)

Terzijde: indien met Swan of Hiswa berekende golfgegevens beschikbaar zouden zijn, kan θ wel

verschillen van r.

11 Vermoedelijk wordt in de toekomst niet meer met Hiswa gerekend, omdat Swan moderner is. Als echter Hydra-VIJ ook

voor het IJsselmeer gebruikt gaat worden, wat goed denkbaar is (zie hoofdstuk 21), zullen mogelijk reeds beschikbare Hiswagegevens worden gebruikt.

12 Als het voorland al in de Swan- of Hiswa-schematisatie is opgenomen, vervalt de transformatie over het voorland.



5.2.2 Effectieve strijklengtes en bodemhoogtes voor Bretschneider

In Hydra-VIJ en Hydra-B dienen de golfgegevens voor een locatie bij een groot aantal

combinaties van randvoorwaarden te worden berekend. Bijvoorbeeld bij Hydra-VIJ betreft dit

combinaties van de vorm (qV,qIJ,m,u,r,λ). De betreffende combinatie levert daarbij de lokale

waterstand, aangeduid als hws. Deze grootheid is (naast andere) nodig om de waterdiepte te

bepalen. De golven worden bij gebruik van Bretschneider, behalve door de windsnelheid die

verderop wordt behandeld, per richting r bepaald door de waterdiepte d en de effectieve

strijklengte F.

De effectieve strijklengte F wordt, per richting r, bepaald door een weging over de afstand van

de betreffende locatie tot de tegenoverliggende bandijk uit te voeren, waarin naast de

beschouwde richting r ook naburige richtingen voorkomen. De werkwijze, overeenkomstig

[Leidraad rivierdijken deel 1, 1985] is als volgt.

R(φ)cos(φ)

R(φ)

φ

windrichting r

winterbed

bandijk

bandijk

winterbed

A

centrale lijn Figuur 5-1: Situatieschets voor berekenen effectieve strijklengte.

Beschouw een punt A, gelegen aan de bandijk en grenzend aan open water, waarvoor de

effectieve strijklengte moet worden berekend voor windrichting r, zie Figuur 5-1. Beschouw nu

de “centrale lijn”, die ontspringt bij A en evenwijdig loopt aan de beschouwde windrichting r.

Rondom de centrale lijn worden vervolgens meerdere lijnen beschouwd, allen ontspringend bij

A, die hoeken φi maken met de centrale lijn. Daarbij worden, met stapgrootte ∆φ = 6°, waarden

φii=1,...,15 = -42°,-36°,..., 36°, 42° beschouwd, waarbij φ8 = 0° correspondeert met de

centrale lijn. Geef met R(φ) de afstand langs de richting φ aan van A tot de bandijk aan de

overzijde. (Eventuele droogval wordt in de bepaling van R(φ) verwaarloosd.) Merk op dat

R(ϕ)cos(φ) de projectie van deze afstand op de centrale lijn geeft. Deze projecties worden



gewogen met de cosinus van de hoek φ, wat voor de effectieve strijklengte dan leidt tot de

formule

152

115

1

( ) cos ( )

cos( )

ii

i

RF

φ φ

φ

=

=

=∑

∑ (5.5)

Om voor iedere richting r een waterdiepte te kunnen bepalen, wordt per richting een “effectieve

bodemhoogte” hbodem bepaald. Dat gebeurt door het middelen van de bodemhoogtes langs de

centrale lijn uit Figuur 5-1. Merk op dat, in tegenstelling tot het bepalen van de effectieve

strijklengte, bij het bepalen van de effectieve bodemhoogte géén middeling plaatsvindt over een

hele bundel van lijnen. Voor gebruik in Bretschneider wordt nu per richting r de waterdiepte d

bepaald als het verschil tussen de lokale waterstand hws en hbodem:

ws bodemd h h= − (5.6)

In Figuur 4-2 is een voorbeeld gegeven van Hydra-VIJ gegevens voor de effectieve strijklengtes

en bodemhoogtes. We benadrukken dat die gegevens, bepaald zoals zojuist beschreven,

defaultwaarden zijn die echter door een gebruiker, op basis van gebiedskennis, mogen worden

aangepast.

5.2.3 Potentiële wind en open water transformatie

Als invoer voor Bretschneider is de zogenaamde open water windsnelheid u10 nodig. In

Hydra-VIJ en Hydra-B wordt echter statistiek van de potentiële windsnelheid, aangeduid als u,

gebruikt (statistiek van Schiphol). Deze paragraaf behandelt hoe een windsnelheid u in beide

Hydra’s wordt omgerekend naar u10.

De betekenis van de potentiële windsnelheid is als volgt [Wieringa en Rijkoort, 1983]. Stel dat,

op een bepaalde locatie, met een windmeter op een zekere hoogte metingen worden gedaan.

Beschouw nu een uurgemiddelde meting van de windsnelheid. Het is mogelijk deze meting te

herleiden tot een standaardhoogte van 10 m en standaardruwheid 0.03 m van een vlak en open

omringend landschap, wat dan resulteert in een fictieve windsnelheid, die de potentiële

windsnelheid wordt genoemd. Kort gezegd: de potentiële windsnelheid is een fictieve

uurgemiddelde windsnelheid, die zou zijn waargenomen op 10 m hoogte, indien het omgevend

terrein vlak en open zou zijn met een ruwheid van 0.03 m. Door potentiële windsnelheden te

beschouwen, kunnen verschillende windstations, met verschillende lokale omstandigheden,

zinvol vergeleken worden. Voor meer details wordt verwezen naar [Wieringa en Rijkoort, 1983].

Boven (open) water waait het harder dan boven land, omdat de wind boven water minder wordt

geremd dan boven land (de ruwheid van water is lager dan die van land). Daarom moet voor

gebruik in Bretschneider de potentiële windsnelheid worden omgerekend naar de zogeheten

open water wind u10 op 10 m hoogte. Die omrekening gebeurt met de zogenaamde open water

transformatie beschreven in [De Waal, 2003]. Deze transformatie wordt hier niet behandeld;

slechts het resultaat daarvan wordt gegeven, zie Tabel 5-1. Voor tussenliggende waardes in de

tabel wordt in Hydra-VIJ en Hydra-B lineair geïnterpoleerd. Merk op dat voor niet al te hoge

windsnelheden, zeg kleiner dan 20 m/s, u10 circa 10% hoger uitkomt dan de potentiële

windsnelheid, terwijl dat percentage afneemt tot circa 5% bij hogere windsnelheden van



maximaal orde 35 m/s (zie voor informatie over kansen waarmee windsnelheden voorkomen

desgewenst paragraaf 11.7). Bij nog hogere, dat wil zeggen uiterst extreme, windsnelheden

neemt dit percentage nog verder af. De reden voor het afnemen van dit percentage is dat met

toenemende windsnelheid het water steeds ruwer wordt: het verschil tussen de waterruwheid

en de (standaard)ruwheid van het land wordt steeds kleiner, waardoor u10 en u steeds dichter

bij elkaar komen.

pot. wind 10 m wind pot. wind 10 m wind pot. wind 10 m wind

m/s m/s m/s m/s m/s m/s0 0.00 17 18.53 34 35.591 1.12 18 19.56 35 36.562 2.25 19 20.59 36 37.533 3.37 20 21.62 37 38.504 4.49 21 22.64 38 39.475 5.61 22 23.66 39 40.436 6.74 23 24.68 40 41.397 7.86 24 25.69 41 42.348 8.97 25 26.69 42 43.309 10.06 26 27.69 43 44.25

10 11.14 27 28.69 44 45.2011 12.21 28 29.69 45 46.1412 13.28 29 30.68 46 47.0813 14.34 30 31.67 47 48.0314 15.39 31 32.65 48 48.9615 16.44 32 33.64 49 49.9016 17.49 33 34.62 50 50.83

Tabel 5-1: Transformatie van de potentiële windsnelheid u naar windsnelheid u10 op 10 m hoogte boven open water.

5.2.4 Golfgegevens op basis van Hiswa of Swan

Als Hiswa of Swan wordt gebruikt in plaats van Bretschneider zijn geen effectieve strijklengtes

en bodemhoogtes nodig. Deze golfmodellen gaan uit van een 2-dimensionale schematisatie van

het gebied, waar de “gebiedskarakteristieken al inzitten”. Deze golfmodellen worden verder niet

besproken. We merken slechts op dat de gewenste Hs, Tp en θ uitvoer vormen van deze

modellen. N.B.: de golfrichting θ kan in dat geval verschillen van de windrichting.

Zoals gezegd zijn voor Swan en Hiswa geen effectieve strijklengtes en bodemhoogtes nodig.

Wel dient de open water transformatie te worden gebruikt (of een soortgelijke transformatie) bij

berekeningen met deze modellen.

5.3 Transformatie golfgegevens van open water naar de dijkteen

In de vorige paragraaf is behandeld hoe bij een gegeven combinatie van randvoorwaarden

(bijvoorbeeld van de vorm (qV,qIJ,m,u,r,λ) in Hydra-VIJ) de golfgegevens op open water voor de

dijk worden bepaald. Als tussen dit “open water” en de dijk zich een dam en/of voorland

bevinden, moeten de golfgegevens nog vertaald worden naar golfgegevens aan de dijkteen.

Voor deze vertaling bevatten beide Hydra’s een dam- en een voorlandmodule. Deze modules

zijn ontwikkeld ten behoeve van het probabilistisch model Hydra-M, dat gebruikt wordt voor het

IJssel- en Markermeer, zie Deelrapport 9 door De Waal uit [Hydra-M, 1999]. Op basis van deze



referentie volgt hier een beknopte beschrijving van beide modules. Zie ter illustratie van de

werking van de modules Figuur 5-2; de onderdelen uit de figuur worden nog nader uitgelegd.

dijkteen

Figuur 5-2: Overzicht van dam, voorland en dijk; de uitvoerlocatie, met gegevens afkomstig uit

Bretschneider, wordt in de tekst aangeduid als het punt van “open water”.

5.3.1 Dammodule

In de dammodule worden de golfgegevens van buiten de dam getransformeerd naar nieuwe

gegevens direct binnen de dam. Deze transformatie vindt plaats door formules voor

golftransmissie toe te passen. Bij golftransmissie neemt met name de golfhoogte af. De

transformatie van de golfgegevens in de dammodule is gebaseerd op de formules van [Goda,

1969] en [Seelig, 1979]. De transmissie over de dam heeft in de huidige opzet uitsluitend

invloed op de significante golfhoogte. De piekperiode, golfrichting en waterstand voor en na de

dam blijven bij de toegepaste formules gelijk.

De dam moet met twee kenmerken worden gekarakteriseerd. Het eerste kenmerk betreft het

damtype, waarbij gekozen kan worden uit een trapeziumvormige dam, een caisson en een

verticale wand, zie Figuur 5-3. Het tweede kenmerk betreft het kruinniveau in meters ten

opzichte van NAP. De significante golfhoogte direct achter de dam (landzijde) wordt

verondersteld alleen te worden veroorzaakt door golftransmissie over de dam heen – er wordt

geen rekening gehouden met eventuele golfdoordringing door openingen in de dam. Dat laatste

is eigenlijk strijdig met de aanname van een waterstand die voor en na de dam gelijk is indien

sprake is van een afgesloten bassin achter een dam die geen water doorlaat (niet-poreuze

dam). In feite wordt aangenomen dat de dam wat de waterstand betreft gaten bevat (of poreus

is), waardoor voor en na de dam eenzelfde waterstand resulteert, terwijl wat de golven betreft

de dam geen gaten bevat.

Figuur 5-3: Damtypes.

dam caisson wand



5.3.2 Voorlandmodule

Soms ligt voor de dijk een voorland, waarover zich bodemveranderingen voordoen. In de

voorlandmodule worden de lokale waterstand en de golfgegevens aan het begin van het

voorland getransformeerd naar nieuwe gegevens aan de teen van de dijk.

De transformatie van de hydraulische randvoorwaarden in de voorlandmodule gebeurt met het

WL-model ENDEC (een acroniem voor ENERGY DECAY). Het model is als stand-alone 1-dimensi-

onaal PC-programma ontwikkeld. ENDEC berekent de verandering van de golfhoogte en de

golfrichting, maar niet van de golfperiode, als gevolg van:

• Refractie, draaiing van de golven als gevolg van veranderingen in de bodemhoogte.

• Shoaling, veranderingen in de golfhoogte door bodemhoogteveranderingen.

• Energieverlies door golfbreking.

• Energieverlies door bodemwrijving.

• Energiewinst door golfgroei ten gevolge van wind.

Bovendien berekent ENDEC de (doorgaans geringe) verandering van de waterstand als gevolg

van golf-setdown en golf-setup. In ENDEC wordt de verandering van de golfperiode (afname

door breking of toename door wind) verwaarloosd.

ENDEC is een 1-dimensionaal model, wat grenzen stelt aan de nauwkeurigheid van het model.

Zie voor meer informatie hierover [Hydra-M, 1999; Deelrapport 9].

In het originele ENDEC-model wordt geen opwaaiing door de wind berekend. Omdat er situaties

zijn dat de opwaaiing boven het voorland een rol speelt, is die opwaaiing in een later stadium in

de voorlandmodule ingebouwd, zie voor de manier waarop [Ris, 1997]. In de voorlandmodule

wordt voor het bodemprofiel eerst afzonderlijk de opwaaiing berekend; daarna wordt de

ENDEC-berekening uitgevoerd.

Er dient nog op het volgende te worden gewezen: bij gebruik van de voorlandmodule wordt de

effectieve strijklengte over het voorland “dubbel geteld”. De strijklengtes worden volgens

paragraaf 5.2.2 immers bepaald van bandijk tot bandijk, terwijl ze feitelijk zouden moeten

worden bepaald van de tegenover het voorland liggende bandijk tot aan het begin van het

voorland. Bij relatief korte voorlanden, zeg 100 á 200 meter, is dit acceptabel; de effectieve

strijklengte is immers vaak één of meer kilometers. Bij langere voorlanden kunnen desgewenst

de defaultwaarden voor de strijklengtes (en eventueel de bodemhoogtes) door de gebruiker

worden aangepast.



5.4 Hydraulische belasting

Als in Hydra-VIJ of Hydra-B met het faalmechanisme golfoverslag wordt gerekend, moeten de

golfgegevens ter plaatse van de dijkteen worden vertaald naar een hydraulisch belastingniveau

op de dijk. Deze belasting is een niveau in m+NAP, en wordt mede bepaald door het door de

gebruiker opgegeven toelaatbaar (of kritiek) overslagdebiet (zie voor de precieze definitie

hieronder). Hoe beter de kwaliteit van de grasmat van het binnentalud, hoe hoger het

toelaatbaar overslagdebiet mag zijn. Een hoger toelaatbaar overslagdebiet correspondeert met

een lager hydraulische belastingniveau, en daarmee met een lagere benodigde kruinhoogte.

Het is nuttig enkele definities te geven, de eerste afkomstig uit [TAW, 2002] en de twee overige

uit [De Waal, 1999b], zie Figuur 5-4. De stilwaterlijn (SWL) wordt elders in dit rapport meestal

aangeduid als de lokale waterstand.

• De golfoverslag wordt gegeven als een gemiddeld debiet per strekkende meter breedte,

bijvoorbeeld in m3/m per s of in l/m per s. De golfoverslag wordt berekend ten opzichte van

de hoogte van de buitenkruinlijn (zie Figuur 5-4) en er wordt van uitgegaan dat deze

overslag ook de achterkant van de kruin en het binnentalud bereikt.

• De golfoverslaghoogte, in m, is de hoogte ten opzichte van de stilwaterlijn (oftewel de

lokale waterstand) waarbij een bepaald opgegeven debiet optreedt. Iets preciezer gezegd is

de golfoverslaghoogte het verschil tussen het niveau van de buitenkruinlijn en de

stilwaterlijn in de situatie dat de buitenkruinlijn zó hoog ligt dat de overslag daarover

precies gelijk is aan een opgegeven kritiek overslagdebiet.

• Het hydraulische belastingniveau, in m+NAP, is gelijk aan de som van de lokale waterstand

en de golfoverslaghoogte.

teen

NAP

SWL g.o.h.

hydraulisch belastingniveau

buitenkruinlijngolfgegevensdijkteen

Figuur 5-4: Illustratie van de golfoverslagmodule; g.o.h. duidt de “golfoverslaghoogte” aan.



De golfgegevens bij de dijkteen uit Figuur 5-4, eventueel getransformeerd door de dam en/of

voorlandmodule, bestaan uit:13

• De lokale waterstand (oftewel stilwaterlijn).

• De significante golfhoogte Hs.

• De piekperiode Tp.

• De golfrichting θ.

De berekening van de golfoverslaghoogte gebeurt met de module PC-Overslag, die is gebaseerd

op het werk van Van der Meer [TAW, 2002].14 De gebruikte formules worden hier niet

behandeld. Wel benadrukken we nog eens dat het hydraulisch belastingniveau mede afhangt

van het door een gebruiker opgegeven toelaatbaar overslagdebiet. Een kleiner toegestaan

debiet betekent een strenger criterium, dat zoals blijkt uit de definitie van de golfoverslaghoogte

dan correspondeert met een grotere golfoverslaghoogte en dientengevolge een hoger

hydraulisch belastingniveau. Dat laatste vertaalt zich in een hogere benodigde kruinhoogte.

13 Feitelijk wordt in PC-Overslag de periodemaat Tm-1,0 gebruikt, die wordt berekend als Tp/1.1. Vanwege (5.3) geldt in

Hydra-VIJ en Hydra-B dan Tm-1,0 = (1.08/1.1)Ts. 14 Met PC-Overslag kan ook de 2%-oploop worden berekend. Deze oploop maakt ook deel uit van de formules uit de

genoemde referentie, maar komt in dit rapport verder nauwelijks ter sprake.



6 Combineren van trage en snelle stochasten

6.1 Tijdschalen van stochasten

In de modellen Hydra-VIJ en Hydra-B worden zogenaamde trage en snelle stochasten

beschouwd. De trage stochasten variëren aanzienlijk langzamer in de tijd dan de snelle. In

Hydra-VIJ zijn het meerpeil en de afvoer trage stochasten, terwijl de windsnelheid en

windrichting snelle stochasten zijn: tijdens een storm variëren de afvoer en het meerpeil

namelijk relatief weinig. Hydra-B bevat de afvoer als trage stochast en als snelle stochasten de

windsnelheid, windrichting en de zeestand. De keringtoestanden (Ramspolkering in Hydra-VIJ

en de combinatie van Maeslant- en Hartelkering in Hydra-B), of eigenlijk de kansen daarop, zijn

afhankelijk van de trage zowel als de snelle stochasten, en vervullen een aparte rol in de

modellen. Waar hierna van trage en snelle stochasten wordt gesproken, blijven vanwege deze

aparte rol de keringtoestanden buiten beschouwing.

Het hoofddoel van dit hoofdstuk is te demonstreren dat in Hydra-VIJ en Hydra-B geen precieze

tijdsmodellering van de trage stochasten nodig is voor relatief lage uitkomsten van die

stochasten. In Hydra-VIJ is dus voor relatief lage meerpeilen en afvoeren geen precieze

tijdsmodellering nodig; in Hydra-B is voor relatief lage afvoeren geen precieze tijdmodellering

nodig. Wel van belang is dat de zogenaamde momentane kansverdelingen van de trage

stochasten goed in de modellen verwerkt zijn. Een momentane kansverdeling van een grootheid

geeft informatie over de kansen waarmee de grootheid optreedt op een beschouwd tijdstip.

Neem als voorbeeld de momentane overschrijdingskans van het meerpeil M, aangegeven als

P(M>m). Dit is de kans dat op een beschouwd moment het meerpeil niveau m overschrijdt.

Deze kans is ook gelijk aan de fractie van de tijd dat de stochast M het niveau m overschrijdt,

zie voor achtergronden desgewenst Bijlage A.

Samengevat: de tijdsmodellering voor de lagere uitkomsten van de trage stochasten hoeft niet

overeen te stemmen met de werkelijkheid, maar voor de momentane kansverdelingen moet dat

wel zo zijn. De uitleg van bovenstaande bewering wordt nu gegeven, eerst voor Hydra-VIJ, dan

voor Hydra-B.

6.2 Trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ

6.2.1 Tijdbasis van snelle stochasten

Bij het opstellen van het model Hydra-VIJ wordt een karakteristieke tijdsduur b ingevoerd. Die

duur moet min of meer overeenstemmen met de duur van de tijdsfluctuaties van de snelle

stochasten, hier de windsnelheid U en de windrichting R. In Hydra-VIJ is b = 12 uur gekozen

(zie hierover paragraaf 6.4). Verder wordt aangenomen dat de stochasten U en R elke 12 uur

een andere waarde aannemen, waarbij de waarden in opeenvolgende duren statistisch

onafhankelijk van elkaar worden aangenomen. We spreken hier, zoals in de literatuur

gebruikelijk, van statistisch onafhankelijke windblokken, waarbij de tijdsperiode b de blokduur

wordt genoemd. Zie desgewenst voor commentaar op de keuze b = 12 uur en de aanname van

onafhankelijkheid tussen de windblokken paragraaf 6.4.



In Hydra-VIJ wordt slechts het winterhalfjaar beschouwd (oktober t/m maart), vanwege de

aanname dat bedreigende situaties in de zomer verwaarloosbaar zijn. Dit winterhalfjaar,

kortweg aangeduid als whjaar, bestaat in Hydra-VIJ uit 180 dagen. Dat leidt tot in totaal N =

360 windblokken van duur 12 uur per whjaar. Nummer de perioden in het whjaar als i = 1,

2,..., N. Dan leidt de modellering voor afvoer, meerpeil, windsnelheid en windrichting tot de

volgende rijen van stochasten: Q1, Q2,..., QN, M1, M2,..., MN, U1, U2,..., UN en R1, R2,...,

RN. De stochasten zelf worden met hoofdletters aangeduid, terwijl hun waarden (uitkomsten)

met “normale” letters worden aangeduid. Uitkomsten voor blokduur i worden bijvoorbeeld

aangeduid als (qi,mi,ui,ri).

Nu wordt aangegeven wat de precieze betekenis is van de stochasten in Hydra-VIJ. Voor de

trage stochasten afvoer en meerpeil geldt dat ze gedurende een periode van 12 uur relatief

weinig variëren in de tijd. Vandaar dat Qi en Mi respectievelijk gelijk genomen kunnen worden

aan de gemiddelde afvoer en het gemiddelde meerpeil in blok i. In principe kan de windrichting

gedurende de blokduur wat variëren. Als representatieve windrichting wordt de (vectorieel)

gemiddelde windrichting van de 12 uurwaarden in blok i genomen; deze gemiddelde

windrichting is dus de waarde van stochast Ri. De windsnelheid kan zeker variëren gedurende

de 12 uren in blok i. Bij een constante afvoer, constant meerpeil en constante (representatieve)

windrichting in het blok zal de maximale belasting in het blok vooral bepaald worden door de

maximale windsnelheid in het blok. Feitelijk is dat een benadering, maar in ieder geval wordt in

Hydra-VIJ voor Ui het 12-uursmaximum van de windsnelheid genomen (het maximum van de

12 uurwaarden binnen het blok).

Verdere aannames in Hydra-VIJ zijn dat het tweetal afvoer en het meerpeil gecorreleerd zijn,

evenals het tweetal windsnelheid en windrichting. De afvoer en het meerpeil zijn echter

statistisch onafhankelijk van de wind verondersteld.15

6.2.2 Combineren van trage en snelle stochast voor vereenvoudigde situatie van meerpeil en windsnelheid

Hoofddoel van dit hoofdstuk is uit te leggen dat voor lage uitkomsten van de trage stochasten

alleen de momentane kans van belang is, maar niet het precieze tijdsverloop van deze

stochasten. Beschouw als vereenvoudiging eerst slechts twee modelstochasten: de trage

stochast meerpeil M en de snelle stochast windsnelheid U. In Hydra-VIJ is voor uitkomsten van

de stochasten in de blokduur een belasting H gegeven. In het geval van het hier beschouwde

tweetal stochasten, met uitkomsten (ui,mi) in blokduur i, is de belasting in deze blokduur dan te

schrijven als

( , )i i iH H u m= (6.1)

waarbij H een deterministische functie is. Voor bijvoorbeeld faalmechanisme overloop is H(u,m)

gelijk aan de lokale waterstand (meerpeil vermeerderd met de windopzet). Feitelijk is (6.1) een

benadering, omdat in werkelijkheid de belasting, bij aanname van een langzaam veranderend

meerpeil, zal afhangen van het gedetailleerde tijdsverloop van de wind. De benadering die

15 In de geavanceerde versie van Hydra-VIJ kan optioneel gerekend worden met een correlatie tussen meerpeil en wind.

Die optie heeft echter voor locaties waar de afvoer dominant is fouten tot gevolg, zoals beschreven in Bijlage H.2 van [Geerse, 2006]. Vandaar dat deze optie in officiële berekeningen nooit wordt gebruikt. Hier kan aan worden toegevoegd dat het verwaarlozen van de correlatie tussen meerpeil en wind volgens oriënterende berekeningen slechts kleine “fouten” oplevert, niet meer dan enkele centimeters.



wordt gemaakt is dat de belasting voldoende nauwkeurig bepaald kan worden op basis van het

meerpeil in combinatie met het 12-uursmaximum van de wind.

In Hydra-VIJ moet de overschrijdingsfrequentie FH(h) van niveau h worden berekend, namelijk

het gemiddeld aantal keren per whjaar dat de belasting H het niveau h overschrijdt. Een

overschrijding van niveau h kan het gevolg zijn van een (extreem) verhoogd meerpeil, een

(extreem) verhoogde windsnelheid of van een combinatie van een verhoogd meerpeil en

verhoogde windsnelheid. In kwalitatief opzicht kan een en ander gezegd worden over de duren

van overschrijdingen.

om

u(m) U

M

Figuur 6-1: De isolijn van niveau h, met daarop een punt (m, u(m)).

mg

U

M

m0

x xx

x x x

x xx x

x

overschrijdingen met duur één blokduur

overschrijdingen met duur meerdere blokduren

x x

x

Figuur 6-2: Schematische weergave van enkele overschrijdingen van niveau h; m0 geeft het minimale

meerpeil aan, en mg de grens tussen kortdurende en langdurende faalgebeurtenissen.



Beschouw daartoe eerst de zogenaamde isolijn van niveau h, weergegeven in Figuur 6-1,

waarop de punten (u,m) liggen waarvoor H(u,m) = h. Figuur 6-2 toont schematisch drie

overschrijdingen van deze lijn. De kruisjes geven uitkomsten (ui,mi) aan. Punten die zijn

verbonden vormen tezamen één overschrijding, ook faalgebeurtenissen genoemd, waarbij de

pijl de richting van de tijd weergeeft. De overschrijding begint daarbij “direct links van de pijl”

en eindigt aan het eind van de verbonden punten.

De langst durende faalgebeurtenis is degene linksboven. Deze begint bij een zeer hoog

meerpeil, dat daarna langzaam toeneemt en vervolgens langzaam afneemt. De duur van de

overschrijding is in dit voorbeeld 6 blokduren. Tijdens de overschrijding varieert de windsnelheid

flink: blokduren zijn wat de wind betreft immers statistisch onafhankelijk verondersteld, zodat

per blokduur een duidelijk andere windsnelheid (feitelijk 12-uursmaximum) kan voorkomen. De

overige twee faalgebeurtenissen vinden plaats bij een relatief laag meerpeil. Voor dergelijke

meerpeilen is een zeer hoge windsnelheid nodig voor falen: als meerpeil en wind beiden relatief

laag zijn, is immers geen sprake van bedreigende situaties. De twee faalgebeurtenissen duren

slechts één blokduur. Vanwege de zeer hoge windsnelheid, en omdat windblokken onafhankelijk

zijn verondersteld, is de kans zeer klein dat in twee of meer opeenvolgende blokduren zulke

hoge windsnelheden voorkomen.

In principe is geen eenduidige meerpeilgrens aan te geven die kortdurende faalgebeurtenissen

(duur één blokduur) scheidt van faalgebeurtenissen met duur twee of meer blokduren. Ook bij

de laagste meerpeilen bestaat altijd nog de kans op een duur van twee of meer blokduren. In

benadering kan echter worden aangenomen dat een grensniveau mg bestaat dat de

kortstdurende gebeurtenissen (duur één blokduur) scheidt van de langer durende

gebeurtenissen.

De precieze waarde van mg interesseert ons hier niet. Van belang is slechts dat de bijdragen

aan de overschrijdingsfrequentie FH(h) afkomstig van faalgebeurtenissen waarvoor m < mg

eenvoudig zijn uit te rekenen. Geef die bijdragen aan door FH(h,m<mg). Duidt het minimale

meerpeil dat kan optreden aan met m0 en de windsnelheid op de isolijn die correspondeert met

m door u(m), zie Figuur 6-1. De momentane kansdichtheid van het meerpeil wordt aangegeven

met g(m), en de conditionele kans op een overschrijding van h, gegeven meerpeil m, door

P(H>h|m). Merk op dat deze conditionele kans gelijk is aan de kans dat, gegeven m, de

windsnelheid niveau u(m) overschrijdt. Omdat meerpeil en wind onafhankelijk zijn

verondersteld, is die kans dan P(U>u(m)).

De kans dat in een willekeurige blokduur niveau h wordt overschrijden, in combinatie met een

meerpeil m<mg, kan dan worden berekend als

( ) ( )0 0

( , ) ( ) | ( ) ( )g gm m

gm m

P H h M m dm g m P H h m dm g m P U u m> < = > = >∫ ∫ (6.2)

Omdat faalgebeurtenissen waar hier sprake van is slechts één blokduur duren – het betreft dus

geïsoleerde overschrijdingspieken – wordt de bijdrage aan de overschrijdingsfrequentie FH(h)

afkomstig van deze faalgebeurtenissen dan simpelweg verkregen door de kans uit (6.2) te

vermenigvuldigen met het aantal blokduren N in het whjaar:

( )0

( , ) ( ) |gm

H gm

F h m m N dm g m P H h m< = >∫ (6.3)



Gebruik van het rechterlid voor het hele bereik van meerpeilen (mg = ∞) om zo FH(h) te

berekenen zou tot een overschatting van FH(h) leiden. Het rechterlid geeft immers het

gemiddeld aantal blokduren per whjaar waarin falen optreedt, maar faalgebeurtenissen die

langer dan één blokduur duren mogen voor FH(h) slechts als één overschrijding worden geteld.

Formule (6.3) wordt niet gebruikt in Hydra-VIJ. De formule toont echter wel dat voor relatief

lage meerpeilen voor de (trage) stochast M geen gedetailleerde informatie van het tijdsverloop

nodig is. Wel van belang is dat de momentane kansdichtheid g(m) van M goed in Hydra-VIJ is

verwerkt.

6.2.3 Combineren van trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ

Beschouw nu de feitelijke Hydra-VIJ situatie, waarin naast M en U ook de trage en snelle

stochasten Q en R zijn opgenomen. Naast de waarde mg kan ook een waarde qg worden

gekozen, op zo’n manier dat faalgebeurtenissen die plaatsvinden bij m<mg en tévens q<qg

slechts één blokduur duren. De redenering is net als hiervoor dat falen voor dergelijke

meerpeilen en afvoeren alleen kan gebeuren bij zeer hoge windsnelheden, die vanwege de

onafhankelijkheid van de windblokken met verwaarloosbare kans elkaar direct opvolgen in de

tijd. Als analogon van (6.3) kan dan worden geschreven, wanneer g(q,m) de momentane

kansdichtheid van afvoer en meerpeil voorstelt en q0 de minimale afvoer,

( )0 0

( , , ) ( , ) | ,g gq m

H g gq m

F h q q m m N dq dm g q m P H h q m< < = >∫ ∫ (6.4)

In de berekening in Hydra-VIJ van P(H>h|q,m) wordt de gezamelijke kansverdeling van U en R

gebruikt, waarbij ook de kansen op de keringtoestanden van de Ramspolkering een rol spelen.

De kans P(H>h|q,m), waarvan de berekening verderop in dit rapport aan de orde komt, wordt

in Hydra-VIJ gebruikt als onderdeel van de formule om FH(h) te berekenen, maar formule (6.4)

wordt daarbij niet gebruikt. Deze formule is hier alleen geïntroduceerd om duidelijk te maken

dat voor de lagere afvoeren en meerpeilen het tijdsverloop van de stochasten Q en M geen rol

speelt. Wel belangrijk is dat de momentane kansen van deze stochasten op de juiste manier in

Hydra-VIJ verwerkt zijn.

6.3 Trage en snelle stochasten in Hydra-B

Hydra-B bevat de afvoer Q als trage stochast en als snelle stochasten de zeewaterstand M,

windsnelheid U en windrichting R. De tijdbasis voor de snelle stochasten is in Hydra-B een

getijperiode met een duur van 12.42 uur (12 uur en 25 minuten). Als analogon van (6.3) of

(6.4) volgt voor Hydra-B dan, met N’ = 352 getijperioden per whjaar (182 dagen),

( )0

( , ) ' ( ) |gq

H gq

F h q q N dq g q P H h q< = >∫ (6.5)

In de berekening van P(H>h|q) wordt de gezamelijke kansdichtheid van M, U en R gebruikt, en

daarnaast de kansen op de keringtoestanden van de Maeslant- en Hartelkering. Die berekening

komt verderop in dit rapport aan de orde.



Formule (6.5) wordt in dit rapport niet gebruikt in de berekening van FH(h). Deze formule dient

hier slechts om aan te geven dat voor de lagere afvoeren het tijdsverloop van de stochast Q

geen rol speelt. Wel belangrijk is dat de momentane kansen van deze stochast op de juiste

manier in Hydra-B verwerkt zijn.

6.4 Commentaar op onafhankelijkheid en duur van de windblokken

Voor de geïnteresseerde lezer volgt beknopt wat commentaar op de keuze van de blokduur in

Hydra-VIJ en op de aanname van onafhankelijkheid tussen de windblokken. Voor Hydra-B

gelden soortgelijke beweringen.

De keuze b = 12 uur in Hydra-VIJ, in combinatie met de aanname van onafhankelijkheid tussen

blokken, is eerder gebruikt in studies waarin probabilistische modellen voor hydraulische

belastingen zijn onderzocht, bijvoorbeeld [Kok et al, 1998]. Niet gerapporteerde

gevoeligheidsanalyses, uitgevoerd met de geavanceerde gebruikersversie van Hydra-VIJ, laten

zien dat de keuze van de blokduur niet erg nauw steekt: andere keuzes, bijvoorbeeld 6, 24 of

48 uur, leveren vrijwel dezelfde resultaten (slechts centimeters verschil voor toetspeilen en

benodigde kruinhoogtes). Wel moet hier worden opgemerkt dat in Hydra-VIJ de windstatistiek

voor een andere periode dan 12 uur op pragmatische wijze wordt bepaald door herschaling van

de 12-uurs statistiek; die herschaling is wel weer een benadering. De ongevoeligheid van de

resultaten, gegeven dat verschillende windperiodes via een herschaling samenhangen, is

theoretisch overigens goed te begrijpen, zoals voor de stochasten afvoer en windsnelheid is

aangetoond in Bijlage A3 uit [Geerse, 2003c].

De fout ten gevolge van de pragmatische herschaling van de ene naar de andere windperiode is

niet precies bekend, maar zal waarschijnlijk beperkt zijn. Voor de bovenrivieren, waar extreme

afvoeren in combinatie met relatief lage windsnelheden van belang zijn, is dit probleem

onderzocht voor faalmechanisme golfoverslag.16 Als de blokduur van 12 uur wordt veranderd in

36 uur, blijken (benodigde) kruinhoogtes met niet meer dan circa 0.05 m te veranderen als de

herschaalde statistiek wordt vervangen door de correcte statistiek voor 36 uur.

Voor de Vecht- en IJsseldelta (en de benedenrivieren) is geen onderzoek verricht naar de fout

als gevolg van de herschaling. De verwachting is echter dat de fout ook voor deze gebieden

gering zal zijn, of zelfs kleiner. De reden is dat in deze gebieden hogere windsnelheden

belangrijker zijn dan voor het bovenrivierengebied, terwijl uit theoretische beschouwingen blijkt

dat voor dergelijke (hoge) windsnelheden de fout in de herschaling steeds kleiner wordt. In

essentie heeft dat als oorzaak dat de statistiek voor de hoge windsnelheden, voor elke blokduur,

consistent moet zijn met de KNMI-statistiek voor het optreden van stormen: als een andere

blokduur wordt gekozen, met een herschaalde statistiek, correspondeert die situatie nog steeds

met het juiste aantal stormen dat volgens de KNMI-statistiek per jaar optreedt. Een precieze

bespreking valt echter buiten het kader van dit rapport.

De aanname van onafhankelijkheid van de windblokken is eveneens, opnieuw alleen voor de

bovenrivieren, onderzocht in [Geerse en Van Veen, 2007]. Het blijkt dat deze aanname

16 Omdat voor de bovenrivieren geen hoge/extreme windsnelheden van belang zijn, kan de rol van de wind met Monte

Carlo methoden worden onderzocht, waarbij de autocorrelatie zoals die in de windmetingen aanwezig is volledig intact wordt gelaten (tenminste binnen een beschouwde blokduur). Deze Monte Carlo methoden zijn niet mogelijk als voor falen hoge/extreme windsnelheden bepalend zijn, omdat dergelijke snelheden niet of nauwelijks voorkomen in de beschikbare meetreeksen van de wind (langste betrouwbare reeksen hebben lengtes van circa 50 jaar).



kruinhoogtes oplevert die iets aan de conservatieve kant zijn: de overschatting is 0.1 m of

minder. Opnieuw moet verwacht worden dat de overschatting minder wordt naarmate voor

falen hogere windsnelheden belangrijker worden. Voor de Vecht- en IJsseldelta (en de

benedenrivieren) is de verwachting daarom dat de overschatting eveneens circa 0.1 m of

minder zal zijn. Als voor een locatie falen vooral bij hoge/extreme windsnelheden optreedt, zal

de fout nagenoeg nul zijn. Een volledige motivatie van de laatste bewering valt weer buiten het

kader van dit rapport.



7 Correlatiemodellen

In Hydra-VIJ en Hydra-B wordt gebruik gemaakt van correlatiemodellen. In Hydra-VIJ wordt

met zo’n model de correlatie tussen de rivierafvoer (afhankelijk van de toepassing de Vecht- of

de IJsselafvoer) en het IJsselmeerpeil beschreven, en in Hydra-B de correlatie tussen de wind

en de zeewaterstand. Dit hoofdstuk behandelt twee categorieën correlatiemodellen: een model

waarin na een zekere transformatie van de variabelen sprake is van een Constante Spreiding in

de data (model CS) en een model waarin na een zekere transformatie van de variabelen sprake

is van een Variabele Spreiding (model VS). In feite is model CS een speciaal geval van model

VS, maar omdat voor CS enkele eigenschappen gelden die niet voor VS gelden, wordt dat model

apart behandeld.

In dit hoofdstuk worden de stochasten aangeduid als V en W. In het beide modellen is het doel

een bivariate kansdichtheid f(v,w) op te stellen waarvoor geldt:

• De marginale kansdichtheden zijn gelijk aan vooraf gegeven kansdichtheden f(v) en f(w).

• De spreiding volgens de bivariate kansdichtheid is zodanig dat deze overeenstemt met die

in de waarnemingen.

De theorie van beide modellen wordt nu besproken, waarbij de nadruk ligt op wiskundige

preciesie en minder op de motivatie en praktische toepassingen. Voor dergelijke toepassingen

wordt voor de Vecht- en IJsseldelta verwezen naar paragraaf 11.6 van dit rapport en voor meer

uitgebreide toepassingen voor dit gebied naar Hoofdstuk 7 uit [Geerse, 2006]. Daarnaast geeft

het rapport [Geerse en Diermanse, 2006] diverse toepassingen.

7.1 Theorie model CS (constante spreiding)

Deze paragraaf beschrijft het correlatiemodel CS, dat na zekere transformaties van de

variabelen uitgaat van een constante spreiding rond een rechte lijn met helling 45°. Het

correlatiemodel wordt feitelijk vastgelegd in de getransformeerde ruimte, waarna

terugtransformeren de gewenste bivariate kansdichtheid oplevert (zonder dergelijke

transformaties is niet duidelijk hoe een geschikt correlatiemodel kan worden opgesteld). De

beschrijving wordt beknopt gehouden, zie voor een uitgebreidere behandeling [Beijk en Geerse,

2004] en voor de volledige bewijzen [Geerse, 2004a].

Toepassing van het correlatiemodel veronderstelt dat de marginale verdelingen fV(v) en fW(w)

van twee gecorreleerde stochasten V en W gegeven zijn, en dat daarnaast een set van N stuks

gecorreleerde puntenparen beschikbaar zijn, van de vorm (vi, wi), i = 1 t/m N. Geef de

(cumulatieve) marginale verdelingen van V en W aan met FV(v) en FW(w). In het

correlatiemodel worden V en W getransformeerd naar stochasten X en Y, met verdelingen FX(x)

en FY(y). Wat de notatie betreft, indien geen onduidelijkheid kan bestaan, worden indices V, W,

X en Y vaak weggelaten. Zo worden bijvoorbeeld fV(v) en fW(w) ook aangeduid als f(v) en f(w).

In de transformaties, die zometeen expliciet worden beschreven, worden niet alleen de

verdelingen getransformeerd, maar ook de data. Het x-y vlak dat resulteert ná transformatie

wordt de getransformeerde ruimte genoemd, terwijl de niet getransformeerde ruimte wordt

aangeduidt als de fysische ruimte. In de getransformeerde ruimte wordt het model vastgelegd

door de specificatie van (a) de marginale kansdichtheid van X en (b) de conditionele



kansdichtheid van Y gegeven X. Hierbij wordt de marginale kansdichtheid van X gelijk genomen

aan de standaardexponentiële verdeling:

( ) , 0xf x e x−= ≥ (7.1)

De conditionele kansdichtheid van Y gegeven X wordt, op een verschuiving langs een rechte lijn

met helling 45° na, gelijk genomen aan een vaste kansdichtheid λσ. In formule kan dan worden

geschreven, zie Figuur 7-1,

( | ) ( )f y x y xσλ δ= − − (7.2)

In principe mag λσ iedere willekeurige kansdichtheid met gemiddelde 0 zijn, waarbij σ de

standaarddeviatie van de kansdichtheid geeft (de rol van de parameter δ komt aan de orde

zodra de transformaties zijn behandeld). Wel dient aan bepaalde “wiskundig-technische

voorwaarden” te zijn voldaan; zo mogen bijvoorbeeld de staarten van λσ niet al te langzaam

afnemen. De precieze voorwaarden aan λσ worden gegeven in [Geerse, 2004a] en zijn voor de

bespreking hier niet relevant. In toepassingen wordt voor λσ vaak de normale verdeling

genomen; voor deze verdeling is aan de benodigde voorwaarden voldaan.

x [-]

y [-]

Correlatiemodel CS

f(y|x=0)

f(y|x1)

f(y|x2)

Figuur 7-1: Illustratie correlatiemodel in de getransformeerde ruimte, met voor de waarden x = 0, x1 en

x2 de conditionele kansdichtheden f(y|x) aangegeven. Het snijpunt van het assenkruis geeft het punt (x,y) = (0,0), terwijl de lijn met helling 45° als vergelijking heeft y = x+δ. Op deze lijn liggen de verwachtingswaarden E(Y|X=x).

Nu worden de formules voor de transformaties gegeven. Uit (7.1) volgt

( ) 1 exp( )XF x x= − − (7.3)



Voor FY(y) kan worden geverifieerd dat, indien Λσ(t) de cumulatieve verdeling aangeeft van

λσ(t),

0

0

0

( ) ' ( ) ( ' | )

' ( ' )

( )

y

Y

yx

x

F y dy dx f x f y x

dy dx e y x

dx e y x

σ

σ

λ δ

δ

∞

−∞

∞−

−∞

∞−

=

= − −

= Λ − −

∫ ∫

∫ ∫

∫

(7.4)

In de transformaties worden niet alleen de verdelingen maar ook de data getransformeerd. Dat

gebeurt door onderschrijdingskansen aan elkaar gelijk te stellen:

( ) ( )( ) ( )

V X

W Y

F v F xF w F y

==

(7.5)

Om expliciete formules te geven, is het handig om de transformaties die een punt (v,w)

overvoeren in (x,y) aan te geven als

( )( )

x J vy K w

==

(7.6)

Uit (7.3) volgt

( )( ) ln 1 ( )VJ v F v= − − (7.7)

De transformatie K(w) moet in toepassingen gewoonlijk bepaald worden door het numeriek

oplossen van de vergelijking

( )( ) ( )Y WF K w F w= (7.8)

Merk op dat K(w) van de parameters σ en δ afhangt, omdat FY(y) van σ en δ afhangt.

Het kan nu worden aangetoond dat de gezamelijke kansdichtheid fV,W(v,w), kortweg aangeduid

als f(v,w), kan worden geschreven als

( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) dK wf v w f v K w J vdwσλ δ= − − (7.9)

terwijl de marginalen hiervan gegeven worden door de vooraf gegeven f(v) = dFV(v)/dv en

f(w) = dFW(w)/dw.

Uit de constructie van model CS is duidelijk dat X een standaardexponentiële verdeling volgt.

Verder kan worden aangetoond dat Y asymptotisch een exponentiële verdeling volgt (mits de

staart van λσ voldoende snel afneemt, wat zeker het geval is bij een normale verdeling).

Daarnaast blijkt dat de parameter δ zó gekozen kan worden dat Y asymptotisch dan een

standaardexponentiële verdeling volgt. Voor λσ de normale verdeling, met standaarddeviatie σ,

moet dan bijvoorbeeld δ = -σ2/2 worden genomen. De parameter δ speelt overigens geen

belangrijke rol. Deze bepaalt in de getransformeerde ruimte de ligging van de lijn met helling

45°, maar blijkt redundant te zijn in de zin dat de bivariate kansdichtheid f(v,w) uit (7.9) niet



van δ blijkt af te hangen (de transformatie K(w) bevat eveneens een term δ, die wegvalt tegen

de term -δ). Men zou dus gemakshalve altijd δ = 0 kunnen kiezen.

De parameter σ (dimensieloos) heeft in de getransformeerde ruimte een eenduidige

interpretatie: de standaarddeviatie van de conditionele verdeling f(y|x). In de fysische ruimte is

de interpretatie iets minder eenduidig. Nog steeds is het zo dat een kleine σ correspondeert met

een sterke correlatie en een grote met een zwakke correlatie, maar na “terugtransformatie” van

de (x,y)- naar de (v,w)-ruimte is niet langer sprake van een constante spreiding (de

kansdichtheid f(.|v) heeft voor verschillende waarden van v verschillende standaarddeviaties).

Het volgende blijkt het geval te zijn:

• In de limiet σ → 0 is sprake van een zogenaamd 1-1 verband (één op één verband) tussen

V en W: iedere waarde w correspondeert dan met precies één waarde van v, en vice versa.

De punten voldoen aan de vergelijking FV(v) = FW(w). De waarden v en w van het punt

(v,w) uit het 1-1 verband hebben dus dezelfde onderschrijdingskansen.

• De limiet σ → ∞ correspondeert met onafhankelijkheid van V en W. In deze limiet geldt

f(v,w) = f(v)f(w).

7.2 Toepassing model CS

Het is zeker niet gezegd dat model CS in iedere concrete situatie toepasbaar is. Het

veronderstelt immers, in ieder geval ná transformatie, dat de spreiding in de verticale richting

voor iedere waarde van x hetzelfde is. Verder moet de “gehele vorm” van de conditionele

verdeling f(y|x) voor iedere waarde van x ook nog eens gelijk zijn, namelijk op een verschuiving

na weergegeven door λσ. Bij toepassen van model CS moet worden gecontroleerd dat aan deze

eisen is voldaan. Als dat het geval blijkt, kan een geschikte kansdichtheid λσ gekozen worden. In

de praktijk wordt gewoonlijk een specifieke verdeling λ gekozen, veelal de normale verdeling.

Daarna worden een aantal waarden van σ beschouwd. Voor iedere waarde van σ wordt dan

bekeken of na transformatie aan de gestelde eisen is voldaan. Daarbij is dan vooral van belang

of het correlatiemodel een goede beschrijving geeft voor het meest relevante hoogste deel van

de data. Ook is van belang om de modelfit in de fysische ruimte te beoordelen.

In toepassingen zal het zelden zo zijn dat het beschouwde correlatiemodel perfect past bij de

data. Gewoonlijk zal men genoegen nemen met een modelbeschrijving die “een redelijke fit

geeft aan de data”. Wanneer wel of niet van een redelijke fit sprake is, is daarbij een kwestie

van oordeelkundig inzicht.

In paragraaf 11.6 wordt model CS toegepast om de correlatie tussen rivierafvoer (Vecht ofwel

IJssel) en IJsselmeerpeil te beschrijven. Voor die situatie blijkt het model de data niet heel goed

te beschrijven, omdat de spreiding blijkt toe te nemen met x. Model VS, met een variabele

spreiding als functie van x, blijkt dan een betere beschrijving te geven. Dat model wordt nu

behandeld.

7.3 Theorie model VS (variabele spreiding)

Een voor de hand liggende variant van het model CS bestaat eruit de spreiding van de

kansdichtheid λ te laten variëren met x, in welk geval model VS ontstaat. In plaats van een

kansdichtheid λσ(t) wordt dan een kansdichtheid λσ(x)(t) beschouwd (beide kansdichtheden



dienen gemiddelde 0 te hebben). De formules uit de voorgaande paragraaf blijven nagenoeg

ongewijzigd: de vaste parameter σ hoeft slechts vervangen te worden door σ(x). Figuur 7-2

illustreert model VS, waarbij f(y|x) = λσ(x)(y-x-δ), met σ(x) lineair toenemend met x.

x [-]

y [-]

Correlatiemodel VS

f(y|x=0)

f(y|x1)

f(y|x2)

Figuur 7-2: Illustratie correlatiemodel met variabele spreiding in de getransformeerde ruimte, met voor

de waarden x = 0, x1 en x2 de conditionele kansdichtheden f(y|x) aangegeven. Het snijpunt van het assenkruis geeft het punt (x,y) = (0,0).

Voor de volledigheid worden de belangrijkste formules uit model VS gegeven. De stochast X

volgt opnieuw een standaardexponentiële (cumulatieve) verdeling, zie (7.3), terwijl Y nu,

analoog aan (7.4), als verdeling heeft:

( )0

( ) ( )xY xF y dx e y xσ δ

∞−= Λ − −∫ (7.10)

De transformaties, en dus ook de formules (7.7) en (7.8), blijven ongewijzigd, met dien

verstande dat de transformatie y = K(w) nu afhangt van de “gehele functie σ(x)”, en niet van

slechts één parameter σ. Formule (7.9) blijft eveneens ongewijzigd: slechts hoeft de index σ te

worden vervangen door σ(x).

Voor model VS geldt echter niet meer dat Y asymptotisch een exponentiële verdeling volgt,

maar voor toepassingen is dat laatste niet zo bezwaarlijk.

Tot slot nog de volgende opmerking. Hiervoor zijn twee correlatiemodellen behandeld, die in de

praktijk, zo is gebleken, vaak succesvol kunnen worden toegepast (zie bijvoorbeeld paragraaf

11.6 voor toepassing van CS en VS voor de Vecht- en IJsseldelta). In de literatuur komen

echter veel meer correlatiemodellen voor. Zie voor een aantal van die modellen, en voor een

vergelijking daarvan met de modellen CS en VS, referentie [Geerse en Diermanse, 2006].

Deel 2



8 Inleiding model Hydra-VIJ

Dit deel van het rapport (hoofdstuk 8 t/m 14) behandelt het model Hydra-VIJ. Het voorliggende

hoofdstuk geeft daarbij een context voor de daaropvolgende hoofdstukken 9 t/m 14. In het

voorliggende hoofdstuk worden achtereenvolgens behandeld: beschrijving van het gebied, de

stochasten uit het model, de belangrijkste onderdelen van het model die onderwerp vormen van

dit rapport en een schema van de opzet van het model/computerprogramma.

8.1 Vecht- en IJsseldelta

De Vechtdelta, zie Figuur 8-1 en Figuur 8-2, bestaat uit het benedenstroomse deel van de

Overijsselse Vecht (benedenstrooms km 36), het Zwarte Water inclusief het Zwolle-IJsselkanaal

en het Zwarte Meer inclusief het Ganzendiep, de Goot en de Veneriete. In deze delta bevinden

zich (delen van) de dijkringen 7, 9, 10 en 53. In de Vechtdelta bevindt zich de Ramspolkering,

waarvan de faalkans is opgenomen in Hydra-VIJ. Deze kering ligt op de scheidslijn tussen het

Ketelmeer en het Zwarte Meer. Het is een balgstuw, die gesloten wordt zodra de waterstand ter

plaatse van de kering het niveau 0.5 m+NAP overschrijdt, en tevens sprake is van stroming van

het Ketelmeer naar het Zwarte Meer. De balgstuw opent weer als de waterstand aan de

Ketelmeerzijde lager wordt dan die aan de Zwarte Meer zijde. Opgemerkt wordt nog dat het

Kampereiland (het geel gekleurde gebied in Figuur 8-1 gelegen tussen dijkring 10 en het Zwarte

Meer) strikt genomen geen deel uitmaakt van de Vechtdelta, omdat dit gebied buitendijks ligt.

Hydra-VIJ bevat echter ook locaties uit dit gebied.

De IJsseldelta bestaat uit het benedenstroomse deel van de IJssel, begrensd door km 974 (nabij

Hattem) en het Keteldiep, zie Figuur 8-1 en

Figuur 8-3. Hierin bevinden zich (delen van) de dijkringen 10, 11 en 53. Tabel 8-1 geeft enkele

gegevens van de dijkringen uit beide delta’s.



Figuur 8-1: Weergave van de Vecht- en de IJsseldelta.

dijkringgebied normfrequentie naam buitenwater

7 1/4000 Noordoostpolder Zwarte Meer9 1/1250 Vollenhove Vecht, Zwarte Water, Zwarte Meer

10 1/2000 Mastenbroek Zwarte Water, Zwarte Meer, IJssel11 1/2000 IJsseldelta IJssel53 1/1250 Salland Vecht, Zwarte Water, IJssel

Tabel 8-1: De dijkringen uit de Vecht- en de IJsseldelta met hun normfrequenties (in keren per jaar).

Hydra-VIJ kent twee soorten locaties:

• Aslocaties, gelegen om de kilometer in de as van de rivier, zie Figuur 8-2 voor het grootste

deel van de aslocaties uit de Vechtdelta en

• Figuur 8-3 voor de IJsseldelta.

• Oeverlocaties, gelegen aan de oever, waarvoor defaultwaarden voor strijklengtes en

bodemhoogtes beschikbaar zijn (zie ter verduidelijking ook Figuur 4-1 en Figuur 4-2). Deze

locaties zijn, per dijkring en per rivierdelta, opgenomen in aparte databases.

De aslocaties zijn de locaties waarvoor de toetspeilen uit de Hydraulische Randvoorwaarden

(HR) worden berekend. Voor de oeverlocaties kunnen, met faalmechanisme golfoverslag,

benodigde kruinhoogtes worden bepaald.



Figuur 8-2: Aslocaties in de Vechtdelta benedenstrooms van (en inclusief) km 53.17

Figuur 8-3: Aslocaties in de IJsseldelta.

17 De locaties bovenstrooms van km 53 bevinden zich in een aparte database.



8.2 Stochasten Hydra-VIJ

In het probabilistisch model Hydra-VIJ [Geerse, 2003a; Duits, 2008abcd] zijn de volgende

stochasten opgenomen, die verderop in dit rapport nader worden omschreven:

• Rivierafvoer Q. Dat is ofwel de IJsselafvoer te Olst voor een dijkvak in de IJsseldelta, ofwel

de Vechtafvoer te Dalfsen voor een dijkvak in de Vechtdelta. N.B.: In Hydra-VIJ worden

beide afvoeren niet tegelijk als (gecorreleerde) stochasten meegenomen.

• IJsselmeerpeil M.

• Windsnelheid U (statistiek van Schiphol).

• Windrichting R (statistiek van Schiphol). Beschouwd worden de richtingen NNO, NO,..., N,

die genummerd worden als r = 1, 2,..., 16.

• Beheertoestand kering Λ van de balgstuw te Ramspol; de situatie van een juiste

sluitingsprocedure zowel als een falende kering worden beschouwd, waarbij de faalkans van

de kering in het model wordt meegenomen.

De afvoeren en het meerpeil zijn in Hydra-VIJ gecorreleerd. Hetzelfde geldt voor de

windsnelheid en de windrichting.

Uitkomsten van de stochasten worden met de overeenkomstige “kleine letters” aangeduid.

Bijvoorbeeld een IJsselafvoer van 400 m3/s, die uitkomst is van de stochast Q, wordt aangeduid

als q = 400 m3/s. Een juiste sluitingsprocedure van de kering wordt aangeduid als λ = λFN, van

kering faalt niet, terwijl een falende kering wordt aangduid als λ = λFW, van kering faalt wel, in

welk geval de kering te allen tijde geopend blijft.

8.3 Hoofddoel Hydra-VIJ voor dit rapport

Hydra-VIJ is in de afgelopen jaren ontwikkeld. Aanvankelijk kon alleen, voor dijkvakken, met de

faalmechanismes overloop, golfoploop en golfoverslag worden gerekend. Later kwamen meer

mogelijkheden beschikbaar. De belangrijkste zijn: het kunnen rekeningen met dijkringen in

plaats van dijkvakken, het kunnen doorrekenen van het IJssel- en Markermeer en het uitvoeren

van (per dijkvak) bekledingsberekeningen. Om de scope van het voorliggende rapport enigszins

beperkt te houden, worden niet alle mogelijkheden behandeld. Alleen de faalmechanismes

overloop en golfoverslag komen aan de orde, en dan hoofdzakelijk voor de dijkvakberekening.

Voor deze faalmechanismes zijn in hoofdstuk 4 voorbeeldberekeningen gepresenteerd.

De basisformule uit Hydra-VIJ, die in dit rapport centraal staat, heeft betrekking op een dijkvak

en bestaat er uit de overschrijdingsfrequentie F(h) te berekenen, in keren per jaar, van een

gegeven hydraulisch belastingniveau h, corresponderend met één van de twee genoemde

faalmechanismes (zie hoofdstuk 5 voor de precieze definitie van h). Een gebruiker van het

computerprogramma Hydra-VIJ moet overigens (zie hoofdstuk 4) een gewenste

overschrijdingsfrequentie 1/T opgeven, waarbij T de gewenste terugkeertijd voor de betreffende

locatie is. Intern in het programma worden voor een reeks van niveaus h1, h2,..., hn de

overschrijdingsfrequenties F(h1), F(h2),..., F(hn) berekend, waarna door interpolatie het niveau

h wordt gezocht waarvoor geldt F(h) = 1/T. Het niveau h wordt dan in de uitvoer van Hydra-VIJ

vermeld. Voor faalmechanisme overloop is h gelijk aan de waterstand bij terugkeertijd T. Voor

faalmechanisme golfoverslag is h gelijk aan de benodigde kruinhoogte bij terugkeertijd T,

afgezien van toeslagen voor zetting, klink en dergelijke. Deze benodigde kruinhoogte wordt

gebruikt in de hoogtetoets voor de dijk.



Bij de berekening van niveau h geeft Hydra-VIJ optioneel aanvullende uitvoer, illustratiepunten

en uitsplitsingen, waarvan de interpretatie in hoofdstuk 4 is behandeld. De theorie om

dergelijke uitvoer te berekenen is ook onderdeel van dit rapport.

Samenvattend worden in dit rapport voor Hydra-VIJ, op dijkvakniveau, de volgende zaken

gedetailleerd behandeld:

• Berekening van de overschrijdingsfrequentie F(h), in keren per jaar, van hydraulisch

belastingniveau h, voor de faalmechanismes overloop en golfoverslag.

• De berekening van de illustratiepunten behorende bij de berekening van de

overschrijdingsfrequentie F(h).

• De berekening van de uitsplitsingen behorende bij de berekening van de


Naast de berekening voor een dijkvak worden ook de formules voor de berekening van de

overschrijdingsfrequentie van een dijkring gegeven (paragraaf 12.4). Die formules zijn niet

bijzonder ingewikkeld, omdat ze berekeningstechnisch nauw verwant blijken aan de formules

voor een dijkvak. Tenzij anders vermeld, heeft de berekening van F(h) in dit rapport altijd

betrekking op een dijkvak en niet op een dijkring.

8.4 Opzet model aan de hand van een schema

Deze paragraaf behandelt een schema waarin de samenhang tussen de onderdelen van het

probabilistisch model/computerprogramma Hydra-VIJ duidelijk wordt (Figuur 8-4). Deze

onderdelen worden in de latere hoofdstukken nader uitgelegd. Om het schema niet te

ingewikkeld te maken, gaat deze paragraaf alleen over de berekening van het hydraulisch

belastingniveau voor een oeverlocatie, voor faalmechanisme golfoverslag, waarbij de

windgolven met Bretschneider worden berekend (en niet met Swan).

Allerlei door Rijkswaterstaat en de waterschappen aangeleverde gegevens vormen invoer voor

het model (linker verticale balk in Figuur 8-4). De gebruiker van het model voert ten behoeve

van het toetsen locatiespecifieke gegevens in (rechter verticale balk). De middelste verticale

balk toont hoe de datastroom plaatsvindt en op welk punt in het model de probabilistische

berekening plaatsvindt. Nu volgt een bespreking van het schema.

Het blok midden-boven, getiteld ‘FYSISCHE MODELLEN/GEGEVENS’, betreft

waterstandsberekeningen en locatiegegevens als strijklengtes en bodemhoogtes. Voor in totaal

10170 randvoorwaardencombinaties (kortweg combinaties genoemd) van afvoeren Q,

meerpeilen M, windsnelheden U, windrichtingen R en keringtoestanden Λ zijn met Waqua voor

allerlei locaties in het gebied waterstandsberekeningen uitgevoerd. Voor oeverlocaties zijn

daarnaast effectieve strijklengtes en bodemhoogtes bepaald – nodig ten behoeve van het

golfmodel Bretschneider – die overigens nog door de gebruiker mogen worden gewijzigd (zie

hieronder).

De aldus voor de oeverlocaties bepaalde gegevens worden in een database opgeslagen (het

blok getiteld ‘HYDRA-VIJ DATABASE’). Vanwege de omvang van deze database is die opgeknipt

in ‘deeldatabases’, welke door Rijkswaterstaat aan de gebruikers zijn toegeleverd.



Het blok getiteld ‘HYDRA-VIJ REKENHART’ is het eigenlijke model Hydra-VIJ. De gebruiker dient

voor een hoogtetoets-berekening een oeverlocatie in Hydra-VIJ te selecteren. De default-

waarden voor de effectieve strijklengtes en bodemhoogtes uit de Hydra-B database moeten

worden opgevat als suggesties aan de gebruiker: ze kunnen op basis van gebiedskennis door de

gebruiker worden gewijzigd. Het programma rekent dan voor elk van de 10170 combinaties met

het golfmodel Bretschneider de bijbehorende golfgegevens uit (significante golfhoogte Hs en

piekperiode Tp).

De op dit punt in het programma berekende waterstanden en golven gelden zogezegd op ‘open

water’: de golven zijn nog niet gereduceerd door een eventuele dam en/of voorland. Indien zo’n

dam en/of voorland aanwezig is, worden de golfgegevens met de dam- en/of voorlandmodule

getransformeerd van open water naar de teen van de dijk. De gegevens aan de teen

(golfgegevens en lokale waterstanden) vormen dan invoer van de oploop/overslagmodule

PC-Overslag, ook vaak dijkmodule genoemd. Elk van de 10170 combinaties levert nu een

hydraulisch belastingniveau op de dijk (afgekort HBN). In de berekening van deze HBN’s wordt

dus gebruik gemaakt van door de gebruiker ingevoerde gegevens. Naast de gegevens voor de

dam en het voorland zijn dat de dijknormaal, de taludhellingen en -ruwheden en (alleen voor

faalmechanisme golfoverslag) het toegestane overslagdebiet.

Binnen het programma zijn de HBN’s voor de 10170 combinaties nu bekend. Door op de juiste

manier de kansen op de afvoer, meerpeil, windsnelheid, windrichting en keringtoestand te

verwerken, levert de probabilistische berekening dan de HBN’s als functie van de

overschrijdingsfrequentie.

Het blok getiteld ‘HYDRA-VIJ UITVOER’ toont de belangrijkste uitvoer van Hydra-VIJ. Daartoe

behoren de HBN’s die corresponderen met de door de gebruiker gewenste overschrijdings-

frequenties. Een speciaal geval hiervan is de benodigde kruinhoogte, te weten het HBN bij de

normfrequentie. Daarnaast worden de illustratiepunten gegeven en (optioneel) de uitsplitsingen.



HYDRA-VIJ DATABASEper oeverlocatie: eff. strijklengtes,

eff. bodemhoogtes, 10170 waterstanden

HYDRA-VIJ REKENHART

10170 combinaties metwaterstanden, golven

dammodulevoorlandmodule

dijkmodule

10170 HBN'sop de dijk

probabilistischeberekening

HYDRA-VIJ UITVOERper frequentie: HBN,

illustratiepunten,uitsplitsingen

bepalen golven met Bretschneider

10170 combinaties van

Q, M, U, R, Λ

instellingen,statistische gegevens

gegevens dam, voorland, waterkering

en overslagdebietH

YD

RA

-VIJ

GE

BR

UIK

ER

FYSISCHE MODELLEN/GEGEVENS

bepalen waterstanden met Waqua

per oeverloc. bepalen van:eff. strijklengtes,

eff. bodemhoogtes

benodigde kruinhoogte = HBN bij normfrequentie

selectie locatie +optioneel aanpassen:

eff. strijklengtes,eff. bodemhoogtes

Rijk

swat

erst

aat e

n W

ater

scha

ppen

per oeverlocatie:10170 waterstanden

Waqua-instellingengebiedsgegevens

gebiedsgegevens

gewenstefrequenties

Figuur 8-4: Schema opbouw Hydra-VIJ voor een dijkvakberekening op een oeverlocatie, voor

faalmechanisme overslag. Notatie: afvoer Q, meerpeil M, windsnelheid U, windrichting R en beheertoestand kering Λ ; HBN = hydraulisch belastingniveau.



9 Hydraulische belastingniveaus Hydra-VIJ

Dit hoofdstuk behandelt enkele onderdelen uit het schema in Figuur 8-4: die onderdelen zijn het

blok ‘FYSISCHE MODELLEN/GEGEVENS’, het blok ‘Hydra-VIJ database’ en van het grijze blok

‘HYDRA-VIJ REKENHART’ de onderdelen tot en met ‘10170 HBN’s op de dijk’. Het betreft dan

louter zaken die met fysische modellen/berekeningen te maken hebben, zonder dat kansen

daarin een rol spelen.

9.1 Waquaberekeningen

Ten behoeve van de Hydra-VIJ database is met Waqua een groot aantal combinaties van

afvoeren (Vecht en IJssel één op één aan elkaar gekoppeld), meerpeilen, windsnelheid en

windrichting doorgerekend, zowel voor een correct functionerende als een falende

Ramspolkering. Deze berekeningen zijn beschreven in [Beijk, 2006; Jansen et al, 2005]. Het

resultaat van een Waquaberekening bestaat uit de maximale waterstand op een groot aantal

uitvoerpunten van Waqua (zowel as- als oeverlocaties). Hier worden alleen de voor dit rapport

relevante zaken behandeld. Tabel 9-1 geeft de doorgerekende combinaties, die nu worden

besproken.

meerpeil windsnelheid windrichting kering

Vecht, m3/s IJssel, m3/s m+NAP m/s [-] [-]10 100 -0.4 0 ZW faalt niet100 500 -0.1 10 WZW faalt wel250 950 0.4 16 W400 1400 0.9 22 WNW550 1850 1.3 27 NW700 2300 32 NNW850 2750 37 N925 2975 42

1000 3200

Vecht- en IJsselafvoer 1-1

Tabel 9-1: Combinaties die met Waqua zijn doorgerekend.

Vecht- en IJsselafvoer

De afvoeren van Vecht en IJssel worden “deterministisch” één op één aan elkaar gekoppeld,

resulterend in 9 verschillende combinaties. Daarbij is er voor gezorgd dat bij iedere Vechtafvoer

een representatieve IJsselafvoer hoort [Geerse, 2006]. Omgekeerd geldt voor de tabel niet dat

bij een IJsselafvoer een representatieve Vechtafvoer hoort: het verband uit Tabel 9-1 geeft bij

een hoge IJsselafvoer juist een veel te extreme Vechtafvoer. Dat is echter niet bezwaarlijk,

omdat voor een locatie in de IJsseldelta de Vechtafvoer fysisch gezien vrijwel geen enkele

invloed heeft op de waterstanden op de betreffende locatie. Die invloed verloopt immers via het

“veraf gelegen” Ketelmeer, waarbij de Vechtdebieten veel kleiner zijn dan de IJsseldebieten.

Voor een locatie in de Vechtdelta heeft de IJsselafvoer echter via het Ketelmeer nog wél enige

invloed op de waterstand op de betreffende locatie, omdat de IJsseldebieten veel groter zijn dan

de Vechtdebieten, vandaar dat bij een Vechtafvoer een representatieve IJsselafvoer is bepaald.

De 9 Vechtafvoeren en de 6 laagste IJsselafvoeren zijn stationair doorgerekend (constant in de

tijd). De drie hoogste IJsselafvoeren zijn als (tijdsafhankelijke) afvoergolven doorgerekend, om

te voorkomen dat de dijk die loopt van Ramspol tot aan IJsselmuiden, die een deel van het



Kampereiland begrensd, continu overstroomt. Bij het doorrekenen van afvoergolven kan deze

dijk (eventueel) alleen om en nabij de top van de afvoergolf overstromen.

Naast de afvoeren op Vecht en IJssel zijn ook laterale debieten opgelegd bij Westerveld,

Kloosterzijl, Streukelerzijl, Zedemude en Kostverlorenzijl. Deze debieten zijn direct gekoppeld

aan de beschouwde Vechtafvoer, waarbij rekening is gehouden met maalstops en het

(verwachte) beheer van de keringen onder hoogwateromstandigheden.

Meerpeil

Er zijn 5 verschillende meerpeilen beschouwd, die allen stationair zijn doorgerekend.

Windsnelheid en windrichting

Alleen de richtingen ZW t/m N zijn doorgerekend, en niet de richtingen NNO t/m ZZW. Voor de

laatste richtingen wordt aangenomen dat nergens in het gebied als gevolg van windopzet hoge

waterstanden kunnen ontstaan. In Hydra-VIJ worden voor deze richtingen de (maximale)

waterstanden gebruikt die horen bij windsnelheid 0 m/s (er wordt dus geen afwaaiing

beschouwd). Naast windsnelheid 0 m/s zijn 7 verschillende windsnelheden beschouwd. De

windsnelheden uit Tabel 9-1 betreffen potentiële windsnelheden te Schiphol, omdat in Hydra-VIJ

de statistiek van de potentiële windsnelheden voor station Schiphol wordt gebruikt. De

potentiële windsnelheden die in Waqua worden gebruikt zijn omgerekend naar open-water

windsnelheden, waarbij ook een vertaling is gemaakt van Schiphol naar het gebied in kwestie

(wanneer potentiële windstatistiek van een station bijvoorbeeld nabij Zwolle beschikbaar zou

zijn geweest, had die laatste vertaling achterwege kunnen blijven). De vertaling van de

Schiphol-windsnelheden naar de open-water windsnelheden boven het gebied is richtings-

afhankelijk (zie Tabel 2.2 uit Faserapport 1 van [Jansen et al, 2005]).

De windsnelheid is ruimtelijk gezien homogeen genomen over het gebied, maar er is wel

tijdsafhankelijk gerekend, door middel van een stormverloop. Dat heeft een voorflank van 23

uur, een topduur van 2 uur en een achterflank van 23 uur, resulterend in een stormduur op het

0-niveau van 48 uur. Deze keuze van het stormverloop is gebaseerd op analyses uit [Geerse,

2006]. De enige parameter die het stormverloop dan karakteriseert is de maximale

windsnelheid van het verloop (open-water windsnelheid boven het gebied). Een voorbeeld voor

een maximale windsnelheid van 30 m/s is weergegeven in Figuur 9-1.

stormverloop

0

5

10

15

20

25

30

35

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

tijd [uur]

win

dsne

lhei

d [m

/s]

Figuur 9-1: Tijdsverloop van een storm.



Ramspolkering

Twee keringtoestanden zijn doorgerekend: een juist functionerende kering (faalt niet) en een

falende kering (faalt wel). De toestand “faalt niet” houdt in dat de kering sluit indien in de

Waquaberekening het sluitcriterium van de kering wordt bereikt (waterstand bij de kering

overschrijdt 0.5 m+NAP met stroming van Ketelmeer naar Zwarte Meer), en weer opent indien

de waterstand bij de kering op het Zwarte Meer hoger wordt dan die op het Ketelmeer.

Toestand “faalt wel” houdt in dat in Waqua met een altijd geopende kering wordt gerekend.

Merk op dat de Waquaberekeningen voor beide toestanden dezelfde resultaten geven indien in

de berekening het sluitcriterium niet wordt gehaald. Hiervan wordt verderop in dit rapport

gebruik gemaakt.

Aantal berekeningen

Het aantal Waquaberekeningen is als volgt. Voor windsnelheid 0 m/s zijn 9 afvoeren, 5

meerpeilen en 2 keringtoestanden doorgerekend, resulterend in 9*5*2 = 90 berekeningen. Voor

de 7 positieve windsnelheden is sprake van 7 richtingen (ZW t/m N), 9 afvoeren, 5 meerpeilen

en 2 keringtoestanden, wat leidt tot 7*7*9*5*2 = 4410 berekeningen. Totaal resulteren

4410+90 = 4500 berekeningen. Zoals hierboven uitgelegd worden voor de 9 richtingen NNO

t/m ZZW de waterstanden gebruikt die horen bij windsnelheid 0 m/s. Dat houdt in dat eenzelfde

waterstand (per locatie) dan 7*9*9*5*2 = 5670 maal wordt gedupliceerd in de waterstands-

database van Hydra-VIJ. In totaal bevat de database per locatie dan 5670+4500 = 10170

(maximale) waterstanden. Dat laatste getal wordt genoemd in het schema uit Figuur 8-4.

9.2 Windgolven

De windgolven in het gebied worden in het huidige Hydra-VIJ bepaald met de golfgroeikrommes

van Bretschneider. In principe kan Hydra-VIJ ook rekenen met windgolven berekend met Swan,

maar op dit moment is geen Swan-model voor de Vecht- en IJsseldelta beschikbaar, en zijn dus

ook geen golfgegevens op basis van Swan voorhanden.

Hoe precies de windgolven met Bretschneider zijn bepaald is uitgelegd in paragraaf 5.2. Kort

gezegd komt het hierop neer. Als invoer voor Bretschneider wordt de open-water windsnelheid

gebruikt, die via een omrekeningstabel uit de potentiële windsnelheid is verkregen. Daarnaast

vereist Bretschneider, per windrichting, effectieve strijklengtes (in m) en bodemhoogtes (in

m+NAP), welke grootheden “default” aanwezig zijn in de Hydra-VIJ database (de bodemhoogtes

zijn nodig om bij iedere waterstand de waterdiepte te kunnen bepalen).

De effectieve strijklengtes en bodemhoogtes zijn op een standaardmanier bepaald, namelijk van

bandijk tot bandijk. Ze moeten worden opgevat als handreiking aan de gebruiker, die op grond

van gebiedskennis de gegeven waarden mag aanpassen. In het computerprogramma Hydra-VIJ

worden intern, op basis van de (eventueel gewijzigde) strijklengtes en bodemhoogtes de

golfgegevens uitgerekend. Nadat dat is gebeurd, zijn voor 10170 combinaties (q,m,u,r,λ) de

significante golfhoogte Hs en de piekperiode Tp bekend. Deze worden geldig geacht voor “open

water”, dat wil zeggen op enige afstand vóór de dijk. Als een dam- en/of voorlandmodule

aanwezig is, worden de golfgegevens vervolgens getransformeerd naar de dijkteen, zoals

beschreven in paragraaf 5.3.



9.3 Hydraulische belastingniveaus

Als ter plaatse van de dijkteen, voor elk van de 10170 combinaties (q,m,u,r,λ), de waterstanden

en golfgegevens beschikbaar zijn, kan het hydraulisch belastingniveau H = H(q,m,u,r,λ) op de

dijk worden uitgerekend.

Voor faalmechanisme overloop is het hydraulisch belastingniveau simpelweg gelijk aan de lokale

waterstand. Als deze voor de combinatie (q,m,u,r,λ) wordt aangeduid als hws(q,m,u,r,λ) volgt

dus:

( , , , , ) ( , , , , )wsH q m u r h q m u rλ λ= (9.1)

Voor faalmechanisme golfoverslag is H gelijk aan de lokale waterstand op de betreffende

locatie, vermeerderd met de golfoverslaghoogte. De golfoverslaghoogte is afhankelijk van het

toegestane overslagdebiet en wordt uitgerekend met PC-Overslag, zie paragraaf 5.4 voor meer

uitleg. Als de golfoverslaghoogte in de combinatie (q,m,u,r,λ) wordt aangeduid als

hov(q,m,u,r,λ), krijgt de belasting de vorm

( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , )ws ovH q m u r h q m u r h q m u rλ λ λ= + (9.2)

In Hydra-VIJ is het hydraulisch belastingniveau H(q,m,u,r,λ) niet alleen nodig voor de 10170

combinaties, maar voor willekeurige combinaties (q,m,u,r,λ). Voor dergelijke combinaties wordt

in Hydra-VIJ lineair geïnterpoleerd op basis van de 10170 combinaties.

9.4 Dataverwerking

In het voorgaande is beschreven hoe op basis van de 10170 combinaties uit de Hydra-VIJ

database het hydraulisch belastingniveau H kan worden bepaald. De praktijk heeft geleerd dat

het samenstellen van een dergelijke database zeer veel werk kost. Uiteraard dienen de

Waquaberekeningen zorgvuldig gecontroleerd te worden, alvorens de waterstandsgegevens in

de database opgeslagen kunnen worden. Af en toe, zo is gebleken in [Jansen et al, 2005], geeft

Waqua onfysische resultaten, om uiteenlopende redenen. Denk aan droogval, of aan

ambiguïteiten bij de bepaling van wel of geen instroming voor het sluiten van de

Ramspolkering: zo kunnen zich neren voordoen waarbij ter plaatse van de kering een deel van

de stroming binnenwaarts is gericht en een ander deel buitenwaarts. Verder is gebleken dat het

vullen van de database met de (grote set van) Waquagegevens en de strijklengte- en

bodenhoogtegegevens makkelijk fout kan gaan, met als gevolg een incorrecte database. Mocht

in de toekomst, bijvoorbeeld voor een andere gebiedsschematisatie, het nodig zijn om opnieuw

een database met waterstanden en golven samen te stellen, dan dient dus veel zorg aan allerlei

controles te worden besteed.



10 Tijdsmodellering trage stochasten Hydra-VIJ

Dit hoofdstuk beschrijft de manier waarop in Hydra-VIJ de “trage stochasten” als Vechtafvoer,

IJsselafvoer en het meerpeil gemodelleerd worden in de tijd. Een nadere motivatie van de

parameterkeuzes ten behoeve van de tijdsmodellering komt in het volgende hoofdstuk ter

sprake.

10.1 Onderdelen van een afvoeren meerpeilstatistiek

Alvorens op de tijdsmodellering van de trage stochasten uit Hydra-VIJ in te gaan, volgt eerst

een opsomming van de statistische onderdelen van een afvoerstatistiek behorende bij een

bepaalde locatie. Het gaat dan om drie onderdelen die vaak bij de berekening van de HR

worden gebruikt. Deze onderdelen zijn overigens niet direct invoer voor Hydra-VIJ, maar ze

worden wel gebruikt om de voor het model benodigde invoer te bepalen.

Van een afvoerstatistiek voor een locatie (Olst dan wel Dalfsen in hoofdstuk 10 t/m 14) worden

vaak drie onderdelen beschouwd:

• Overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) van de piekafvoer, in keren/jaar, waarbij de index “whj”

het winterhalfjaar aanduidt. De piekafvoer van een afvoergolf is hierbij gelijk aan het

maximum van de afvoeren binnen de beschouwde golf. Met Fwhj(k) kan eenvoudig worden

berekend welke piekafvoer hoort bij een beschouwde terugkeertijd; die laatste relatie wordt

in rapporten vaak de werklijn genoemd.

• Momentane overschrijdingskans P(Q>q). Dit is de kans dat een dagwaarde van de afvoer

niveau q overschrijdt, welke kans ook geïnterpreteerd kan worden als de fractie van de tijd

dat niveau q door de afvoer wordt overschreden.

• Standaardgolfvormen van de afvoer, die een “representatief” tijdsverloop van de afvoer

geven. Bij iedere piekwaarde k hoort één standaardgolfvorm.

De overschrijdingsfrequentie en de standaardafvoergolven zijn gewoonlijk alleen beschikbaar

voor afvoeren hoger dan de eens per jaar afvoer. Voor lagere afvoeren kan namelijk niet zinvol

meer worden gesproken over golven, omdat voor lage afvoerniveaus het tijdsverloop van de

afvoer te grillig is om daarin nette golven te kunnen onderscheiden. (De momentane

overschrijdingskans, kortweg aangeduid als de “momentane kans”, is wel voor alle

afvoerniveaus zinvol te bepalen.) In Hydra-VIJ wordt de overschrijdingsfrequentie echter

doorgetrokken tot aan de allerlaagste afvoer die kan voorkomen (0 m3/s voor de Vecht en circa

200 m3/s voor de IJssel), waarbij dus aan willekeurig lage golfvormen van de afvoer

terugkeertijden worden toegekend. Het deel van de overschrijdingsfrequentie voor deze lage

afvoeren, met dus afvoeren frequenter dan de eens per jaar afvoer, heeft dan echter geen

fysische betekenis. Ook de bijbehorende lage afvoergolven hebben geen fysische betekenis.

Zoals in hoofdstuk 6 toegelicht, is het ook niet vereist dat de tijdsmodellering en

overschrijdingsfrequenties voor de lagere uitkomsten van een trage stochast realistisch zijn.

Enige vereiste is dat de momentane kans in het lage bereik van een trage stochast realistisch

gemodelleerd is. Dat laatste is wel het geval, zoals zal blijken in hoofdstuk 11.



De statistiek voor het IJsselmeer bestaat uit dezelfde drie onderdelen als die voor een

afvoerstatistiek, waarbij hierboven voor afvoergolf dan meerpeilgolf gelezen moet worden. In

Hydra-VIJ wordt voor het IJsselmeer ook weer de overschrijdingsfrequentie doorgetrokken tot

aan het laagst voorkomende meerpeil, waarbij dan ook weer zeer lage meerpeilgolven worden

gebruikt. Voor meerpeilen frequenter dan het eens per jaar meerpeil hebben de overschrijdings-

frequentie en de golfvormen dan, net als voor de afvoer, geen fysische betekenis. Dat hoeft ook

niet, om dezelfde redenen als voor de afvoer. Wel vereist is dat de momentane kans voor het

meerpeil realistisch is gemodelleerd, wat het geval is in Hydra-VIJ (zie hoofdstuk 11).

10.2 Tijdsverloop afvoer en meerpeil

In Hydra-VIJ wordt voor een locatie in de Vechtdelta de statistiek voor de Vecht gebruikt, maar

niet die van de IJssel. Omgekeerd wordt voor een locatie in de IJsseldelta de statistiek van de

IJssel gebruikt, maar niet die van de Vecht. Neem omwille van de uitleg even aan dat een

locatie in de Vechtdelta wordt beschouwd, in welk geval in Hydra-VIJ golven van de Vecht en

van het IJsselmeerpeil een rol spelen. Figuur 10-1 illustreert, wat deze twee stochasten betreft,

de opzet van het model Hydra-VIJ. Daarin is te zien dat zowel afvoer- als meerpeilgolven

worden gemodelleerd met trapezia, zogezegd “afgeknotte driehoeken”, die allen een basisduur

hebben van 30 dagen, zeg maar de duur van een maand. In Hydra-VIJ wordt alleen het

winterhalfjaar beschouwd, afgekort als whjaar, bestaande uit de zes maanden oktober,

november,..., maart, vandaar dat Figuur 10-1 zes trapezia laat zien.

0 30 60 90 120 150 180

tijd t [dagen]

afvo

er e

n m

eerp

eil

Meerpeil, m+NAP

Vecht, m3/s

Figuur 10-1: Afvoer- en meerpeilverloop door middel van trapezia.

Het idee achter de opzet van het model is dat meerpeilen afvoergolven met piekwaarden

hoger dan het eens per jaar meerpeil en de eens per jaar afvoer, vrij goed kunnen worden

gemodelleerd met dergelijke trapezia, mits tenminste de topduren van de trapezia goed zijn

gekozen. Eigenlijk is de bewering nog iets anders, namelijk dat de verreweg meest relevante

hogere delen van ‘werkelijke’ meerpeilen afvoergolven goed kunnen worden gemodelleerd

door trapezia, zoals in het volgende hoofdstuk ook zal blijken. De lagere delen van werkelijke

meerpeilen afvoergolven worden zeker niet goed beschreven door de trapezia. Dat is echter

ook niet nodig! Zoals hierboven gezegd, en aangetoond in hoofdstuk 6, is voor het lagere bereik

van de trage stochasten alleen nodig dat de momentane overschrijdingskansen op de juiste



manier zijn gemodelleerd. In hoofdstuk 11 wordt gedemonstreerd dat de trapezia in combinatie

met de overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) zo kunnen worden gekozen dat inderdaad de juiste

momentane kansen resulteren. Het “onfysische” lage deel van de overschrijdingsfrequentie,

zowel als de “onfysische” lage golven, vormen als het ware een rekentruc om de juiste

momentane kansen in het model te kunnen verwerken.

10.3 Correlaties en fases tussen IJsselmeer en de afvoeren

Bekend is dat hoge afvoeren vaak samen gaan met verhoogde meerpeilen: afvoer en meerpeil

zijn derhalve (positief) gecorreleerd. De opzet van Hydra-VIJ met trapezia maakt het mogelijk

op een voor de hand liggende wijze de correlatie tussen het IJsselmeer en de Vecht in het

model te verdisconteren (we beschouwen hier nog steeds een locatie in de Vechtdelta). Dat

wordt gedaan door een gezamenlijke kansdichtheid f(k,s) te gebruiken, waarbij k hier de

piekwaarde van het afvoertrapezium voorstelt en s de piekwaarde van het meerpeiltrapezium.

Deze f(k,s) heeft betrekking op de basisduur B = 30 dagen. De f(k,s) zal in dit rapport voor elk

van de zes basisduren hetzelfde worden genomen, maar Hydra-VIJ is zo opgezet dat in pricipe

voor elke basisduur een andere f(k,s) kan worden gekozen.18

De marginale verdelingen van f(k,s), aangeduid als fK(k) en fS(s), of wat korter als f(k) en f(s),

vormen de kansdichtheden voor de piekwaarden van de afvoeren meerpeiltrapezia. De f(k) en

f(s) dienen overeen te stemmen met de overschrijdingsfrequenties voor de Vecht en het

IJsselmeer; het precieze verband tussen de overschrijdingsfrequenties en f(k) en f(s) komt in

hoofdstuk 11 aan de orde. In Hydra-VIJ is een bepaalde formulering gekozen voor de f(k,s),

namelijk het correlatiemodel CS uit hoofdstuk 7, dat in hoofdstuk 11 nader wordt uitgewerkt.

De details van model CS doen er op deze plaats niet toe, maar wel wordt er op gewezen dat het

model, naast de voorgeschreven marginalen f(k) en f(s), slechts één parameter bevat,

aangeduid als σ, die kan worden opgevat als een standaarddeviatie in een soort van

‘getransformeerde ruimte’. Heeft σ een kleine waarde, dan is sprake van een sterke correlatie

tussen k en s; heeft σ een grote waarde, dan is sprake van een zwakke correlatie tussen k en s.

0 30 60 90 120 150 180

tijd t [dagen]

afvo

er e

n m

eerp

eil

Meerpeil, m+NAP

Vecht, m3/s

Figuur 10-2: Afvoer- en meerpeiltrapezia met een faseverschuiving.

18 Die opzet maakt het mogelijk bijvoorbeeld in maart een ander streefpeil voor het meerpeil te hanteren dan in de overige

wintermaanden.



In Figuur 10-1 vallen de toppen van het meerpeil en de afvoer tegelijkertijd. In werkelijkheid

zullen de piekwaarden van afvoeren meerpeilgolven in de regel niet op hetzelfde moment

optreden. De situatie van Figuur 10-1 overschat daarom de mate waarin hoge afvoeren en

meerpeilen samen gaan. Een simpele manier om de in werkelijkheid voorkomende variabiliteit

tussen de tijdstippen van de afvoeren meerpeilpieken te modelleren is door middel van een

faseverschuiving ϕ, zoals geïllustreerd in Figuur 10-2. Hier is aangenomen dat de piek van de

meerpeilgolven later optreedt dan de piek van de afvoergolven. In Hydra-VIJ wordt een vaste

waarde van ϕ gehanteerd, hoewel in werkelijkheid uiteraard allerlei waardes kunnen

voorkomen. Het probabilistisch meenemen van ϕ – wat leidt tot een gecompliceerder model –

wordt niet wenselijk geacht: gevoeligheidsanalyses laten namelijk zien dat de uitkomsten van

Hydra-VIJ niet erg gevoelig zijn voor de gekozen waarde van ϕ [Geerse, 2006].

10.4 Geknikte trapezia

Het model Hydra-VIJ bevat ook de mogelijkheid om de trage stochasten als geknikte trapezia te

modelleren, als in Figuur 10-3. Naast de getoonde “insnoering”, die tot smallere golven dan de

oorspronkelijke trapezia leidt, zijn ook verbrede golven mogelijk. Met dergelijke geknikte

trapezia is een grotere variatie aan tijdsverlopen van afvoeren meerpeilgolven mogelijk dan

met de niet-geknikte trapezia. In het bijzonder kan door het vergelijken van Hydra-VIJ

resultaten voor enerzijds niet-geknikte trapezia en anderzijds geknikte trapezia, eenvoudig

worden onderzocht hoe gevoelig de resultaten zijn voor de precieze vorm van de meerpeilen

afvoergolven.

0 30 60 90 120 150 180tijd t [dagen]

afvo

er o

f mee

rpei

l

Figuur 10-3: Geknikte afvoer- of meerpeiltrapezia.



11 Statistische gegevens Hydra-VIJ

Voor Hydra-VIJ is een grote hoeveelheid statistische invoer nodig, voor de Vecht- en

IJsselafvoer, het IJsselmeerpeil en de wind, die in dit hoofdstuk wordt besproken. Daarbij wordt

zo veel mogelijk geprobeerd inzicht te verschaffen in de aard van de statistische gegevens,

zonder op alle details van de onderliggende analyses in te gaan. Zie voor dergelijke details

desgewenst de achtergrondrapporten: voor afvoeren en meerpeilen [Geerse, 2006]; voor de

wind [Geerse et al, 2002]. In de rest van dit hoofdstuk worden deze referenties niet meer

genoemd, behalve als een expliciete verwijzing erg nuttig is.

De eerstvolgende paragraaf geeft een beknopte opsomming van de benodigde statistische

invoer, waarna de daaropvolgende paragrafen de gegevens beschrijven.

11.1 Opsomming statistische invoer Hydra-VIJ

In hoofdstuk 10 is uitgelegd dat de trage stochasten afvoer en meerpeil worden gemodelleerd

door trapezia met een basisduur van 30 dagen. De aan trapezia gerelateerde gegevens uit de

opsomming corresponderen steeds met deze specifieke basisduur B = 30 dagen.

Vecht (Dalfsen)

• Kansdichtheid f(k) van de piekafvoer, welke gerelateerd is aan de basisduur B.

• Topduur b(k) van de trapezia, als functie van de hoogte k van het trapezium. De

momentane kans P(Q>q) vormt geen invoer van Hydra-VIJ, maar wel dienen f(k) en b(k)

zodanig gekozen te zijn dat ze de juiste P(Q>q) reproduceren.

IJssel (Olst)

• Kansdichtheid f(k) van de piekafvoer, welke gerelateerd is aan de basisduur B.

• Topduur b(k) van de trapezia, als functie van de hoogte k van het trapezium. De

momentane kans P(Q>q) vormt geen invoer van Hydra-VIJ, maar wel dienen f(k) en b(k)

zodanig gekozen te zijn dat ze de juiste P(Q>q) reproduceren.

IJsselmeer

• Kansdichtheid f(s) van het piekmeerpeil, welke gerelateerd is aan de basisduur B.

• Topduur b(s) van de trapezia, als functie van de hoogte s van het trapezium. De

momentane kans P(M>m) vormt geen invoer van Hydra-VIJ, maar wel dienen f(s) en b(s)

zodanig gekozen te zijn dat ze de juiste P(M>m) reproduceren.

Correlaties

• Karakteristieke waarde voor de fase ϕ tussen Vecht- en IJsselmeertrapezia.

• Karakteristieke waarde voor de fase ϕ tussen IJssel- en IJsselmeertrapezia. (Deze waarde

kan verschillen van de fase tussen Vecht en IJsselmeer, maar is in Hydra-VIJ gelijk

gekozen.)

• Parameter σ voor de parametrisatie van de gezamenlijke kansdichtheid f(k,s) voor de

pieken van Vecht- en meerpeiltrapezia.

• Parameter σ voor de parametrisatie van de gezamenlijke kansdichtheid f(k,s) voor de

pieken van IJssel- en meerpeiltrapezia. (Deze waarde kan verschillen van de σ voor de

Vecht en het IJsselmeer, maar is in Hydra-VIJ gelijk gekozen.)



Wind (Schiphol)

• Momentane kansen g(r) op de windrichtingen r, namelijk de richtingen NNO, NO,..., N.

• Conditionele overschrijdingskansen P(U>u|r) van het 12-uursmaximum van de windsnelheid

u, gegeven richting r gedurende de 12-uursperiode (feitelijk betreft het hier de vectorieel

gemiddelde richting in de 12-uursperiode).

11.2 Vecht

De analyses voor de Vecht zijn gebaseerd op dagdebieten te Dalfsen, die slechts voor

deelperioden beschikbaar zijn. Het betreft de perioden:

• 01-01-1960 t/m 31-12-1983.

• 01-10-1993 t/m 31-03-1994.

• 01-10-1998 t/m 31-03-1999.

• 01-10-2000 t/m 31-03-2001.

Strikt genomen zijn veel van de metingen gedaan te Vechterweerd in plaats van Dalfsen. De

afstand tussen Dalfsen en Vechterweerd is echter gering, en omdat geen laterale toestroming

van betekenis plaatsvindt tussen beide plaatsen, mogen de metingen van Vechterweerd ook

geldig worden geacht voor Dalfsen. In de analyses zijn alleen de winterhalfjaren (oktober t/m

maart) van de data gebruikt.

11.2.1 Kansdichtheid piekafvoer trapezia

In Hydra-VIJ is de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer van het Vechttrapezium nodig. Geef met

K de stochast piekafvoer aan, en met P(K>k) de overschrijdingskans van de waarde k. Deze

grootheid geeft dus de kans dat, voor een beschouwd afvoertrapezium met basisduur B = 30

dagen, de piekwaarde van het trapezium het niveau k overschrijdt. Omdat het winterhalfjaar is

gevuld met 6 trapezia, is de overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) per winterhalfjaar dan gelijk aan

6*P(K>k), zodat P(K>k) kan worden gevonden als

( )

( )6

whjF kP K k> = (11.1)

De overschrijdingsfrequentie Fwhj(k), afgeleid in [Geerse, 2006], is weergegeven in Figuur 11-1.

De data betreffen afvoerpieken, die zijn geselecteerd met een zichtduur van 15 dagen bij een

drempelwaarde van 100 m3/s. Een afvoerpiek wordt geselecteerd als aan de volgende drie

voorwaarden is voldaan:

• De piekwaarde vormt het maximum van alle waarden binnen het venster.19

• De piek bevindt zich precies in het midden van het venster.

• De piekwaarde is groter dan de drempelwaarde.

Deze manier van selecteren stemt overeen met die uit onder andere [Verkaik et al, 2003a]. In

Figuur 11-1 zijn plotposities volgens Gringorton gebruikt. De formule daarvoor is overgenomen

uit de genoemde referentie en luidt:20

19 Wanneer zich twee grootste waarden in het venster bevinden, wordt de tweede nooit als piek geselecteerd. 20 Merk op dat in de plotposities voorbij wordt gegaan aan het probleem dat de data hiaten vertonen. Eigenlijk is bekend

dat de afvoerpiek uit 1998, gelijk aan 383 m3/s, de hoogste is sinds in ieder geval 1960. Die zou in het plaatje dus bij een grotere terugkeertijd T moeten staan dan in Figuur 11-1, maar welke T precies is niet te bepalen. Vanwege de hiaten in de data is het niet mogelijk de juiste figuur te maken, vandaar dat de data pragmatisch worden opgevat als een aansluitende periode van 27 whjaren.



( )

( )( 1)

pern c TT i

n i c d+

=+ + −

(11.2)

met

n = aantal pieken

Tper = tijdsduur waarnemingsperiode, hier gelijk aan het aantal meetjaren (27 whjaren)

i = rangnummer piekwaarde (i = 1 geeft de hoogste piek)

c = 0.12 (constante volgens Gringorton)

d = 0.44 (constante volgens Gringorton)

10-1

100

101

102

103

1040

100

200

300

400

500

600

700Overschrijdingsfrequentie en data Dalfsen

terugkeertijd, jaar

afvo

er D

alfs

en, m

3/s

Figuur 11-1: De data tezamen met de overschrijdingsfrequentie voor Dalfsen, voor z = 15 dagen en

drempel 100 m3/s (plotposities Gringorton).

De formule voor Fwhj(k) luidt:

3

3

180( ) exp , 0 180 m /s100.46

180( ) exp , 180 m /s51.89

whj

whj

kF k k

kF k k

− = − ≤ ≤

− = − >

(11.3)

De maatgevende afvoer wordt gevonden door te stellen Fwhj(k) = 1/1250. Deze afvoer is voor

de Vecht gelijk aan 550 m3/s.



Door Fwhj(k) door 6 te delen ontstaat P(K>k). Voor de kansdichtheid f(k) = -dP(K>k)/dk volgt

dan:

3

3

1( ) exp , 0 180 m /s100.46 100.46

1 87.03( ) exp , 180 m /s51.89 51.89

kf k k

kf k k

= − ≤ ≤

− = − >

(11.4)

We merken nog op dat, omdat er 6 trapezia in het winterhalfjaar passen, het lage deel van

Fwhj(k) zo gekozen is dat Fwhj(k=0) = 6. Gevolg hiervan is dat P(K>0) = 1, waaruit blijkt dat f(k)

een “nette” kansdichtheid is, want positief en genormeerd op 1. Zoals eerder gezegd hebben de

grootheden Fwhj(k) en f(k) voor lage waarden van k, zeg k < 180 m3/s, geen fysische betekenis,

omdat voor dergelijke lage waarden niet zinvol nette afvoergolven kunnen worden

onderscheiden. Dat is echter ook niet nodig, zolang de momentane kans P(Q>q) maar goed in

het model verwerkt is, wat verderop inderdaad het geval blijkt te zijn (zie paragraaf 11.2.3).

11.2.2 Trapeziumparameters

De topduur van de trapezia is in Hydra-VIJ een functie van de hoogte k van het trapezium. Deze

topduur, aangegeven als b(k), neemt lineair af van 720 uur bij afvoer 0 m3/s tot 48 uur bij

afvoer 180 m3/s, waarna deze verder constant blijft op 48 uur, zie Figuur 11-2. (N.B.: 720 uur

is gelijk aan de basisduur van 30 dagen). Hoe de trapezia precies zijn bepaald staat in [Geerse,

2006]. Hier volgt alleen wat beknopte informatie.

0 100 200 300 400 500 600 7000

100

200

300

400

500

600

700

800Topduur trapezia Dalfsen

piekafvoer Dalfsen, m3/s

topd

uur,

uur

Figuur 11-2: Topduur van de afvoertrapezia voor de Vechtafvoer.

Zoals eerder gezegd dienen de hogere trapezia, zeg degenen met piekwaarden k > 180 m3/s,

het hogere deel van de Vechtgolven goed te beschrijven (erg lage Vechtgolven, alsmede de

lagere delen van de hogere Vechtgolven, hoeven niet goed beschreven te worden). Om een

goede keuze voor dergelijke trapezia met k > 180 m3/s te maken, is gebruik gemaakt van de

zogenaamde “opschalingsmethode”. Globaal verloopt die methode als volgt:



1. Eerst zijn voor zichtduur 15 dagen en drempel 180 m3/s afvoerpieken geselecteerd. Dat

levert 21 pieken, weergegeven in Figuur 11-3 door de blauwe lijnen.

2. Iedere piek wordt aangepast, waarbij zogenaamde “nevenpieken” tegen de hoofdpiek

worden aangeschoven. Resultaat is dat de voorflank van een geselecteerde golf geen

dalende stukken meer bevat en de achterflank geen stijgende. Ook wordt een soort

continuïteitscorrectie uitgevoerd waardoor de piekwaarde altijd minimaal 1 dag aanhoudt

(de metingen betreffen dagwaarden, zodat de hoogste waarde altijd 1 dag moet beslaan).

3. Iedere afvoer uit een aangepaste piek wordt gedeeld door de piekwaarde van de golf, zodat

een “genormeerde” aangepaste afvoerpiek ontstaat. Deze zijn weergegeven in Figuur 11-4.

4. De aangepaste, genormeerde pieken worden nu, apart voor de voor- en de achterflank, op

een bepaalde manier gemiddeld: de duur van een relatief niveau v (met 0< v< 1) volgt

daarbij als het gemiddelde van de 21 overschrijdingduren binnen de aangepaste,

genormeerde pieken. Hierdoor ontstaat een representatief geacht tijdsverloop met

piekwaarde 1. Dat verloop is weergegeven in Figuur 11-5 (zwarte lijnen).

5. Een (tijdsymmetrisch) genormeerd “standaardtrapezium” met hoogte 1 en topduur 48 uur

wordt gekozen, als fit aan het hogere deel van de gemiddelde genormeerde golf, eveneens

weergegeven in Figuur 11-5. Afvoertrapezia met willekeurige piekwaarde k volgen door

iedere afvoer uit het genormeerde standaardtrapezium te vermenigvuldigen met k.

Figuur 11-3 toont de gemeten afvoergolven tezamen met het trapezium met topduur 48 uur.

Dan blijkt, wat gezien de constructie van het trapezium ook het geval moet zijn, dat gemiddeld

gezien het trapezium het hogere deel van de afvoergolven redelijk benadert. Wel is te zien dat

de top van het trapezium vaak wat breder is dan de gemeten golf. Die bredere top is het geval

omdat in de modellering van de trapezia ook de duren van de nevenpieken zijn verwerkt. De

golf van 3 januari 1967 bevat bijvoorbeeld een nevenpiek voorafgaand aan de hoofdpiek die ligt

bij t = 0. Dergelijke nevenpieken maken dat de trapezia op de top wat breed uitvallen.

De lagere trapezia, met k < 180 m3/s, hoeven geen reële beschrijving te geven van het

afvoerverloop. De topduren van deze trapezia zijn zo gekozen dat ze in combinatie met de

kansdichtheid f(k) van de piekafvoer de juiste momentane kansen opleveren, wat in de

volgende paragraaf wordt gedemonstreerd.



-10 0 100

100

200

300

400piek: 10-Dec-1960

-10 0 100

100

200

300

400piek: 03-Feb-1961

-10 0 100

100

200

300

400piek: 08-Dec-1961

-10 0 100

100

200

300

400piek: 24-Jan-1962

-10 0 100

100

200

300

400piek: 16-Feb-1962

-10 0 100

100

200

300

400piek: 22-Nov-1963

-10 0 100

100

200

300

400piek: 21-Jan-1965

-10 0 100

100

200

300

400piek: 22-Dec-1965

-10 0 100

100

200

300

400piek: 13-Feb-1966

-10 0 100

100

200

300

400piek: 16-Dec-1966

-10 0 100

100

200

300

400piek: 03-Jan-1967

-10 0 100

100

200

300

400piek: 20-Jan-1968

-10 0 100

100

200

300

400piek: 25-Feb-1970

-10 0 100

100

200

300

400piek: 28-Dec-1974

-10 0 100

100

200

300

400piek: 06-Mar-1979

-10 0 100

100

200

300

400piek: 15-Mar-1981

-10 0 100

100

200

300

400piek: 06-Jan-1994

-10 0 100

100

200

300

400piek: 29-Jan-1994

-10 0 100

100

200

300

400piek: 30-Oct-1998

-10 0 100

100

200

300

400piek: 04-Mar-1999

-10 0 100

100

200

300

400piek: 07-Feb-2001

Figuur 11-3: Afvoergolven voor de Vecht te Dalfsen (blauwe lijnen), tezamen met de afvoertrapezia (rode

lijnen).



-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Aangepaste golven Dalfsen na normering op 1

tijd, dagen

rela

tieve

afv

oer D

alfs

en, [

-]

Figuur 11-4: Aangepaste, genormeerde afvoergolven.

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Gemiddelde golf Dalfsen en gekozen trapezium

tijd, dagen

rela

tieve

afv

oer,

[-]

Figuur 11-5: Genormeerd tijdsverloop van de genormeerde afvoergolven (zwarte lijnen), tezamen met een

trapezium met topduur 48 uur (rode lijnen).



11.2.3 Momentane overschrijdingskansen

Door de keuze van de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer en de trapeziumparameters ligt de

momentane overschrijdingskans P(Q>q) vast. Dit is dus de kans dat een dagwaarde van de

afvoer niveau q overschrijdt. Eerst worden de formules gegeven om P(Q>q) te berekenen uit

f(k) en de trapezia. Vervolgens wordt de berekende P(Q>q) vergeleken met de momentane

overschrijdingskansen op basis van de metingen.

tijd

afvoer

k

L(q,k) q

B

b(k)

Figuur 11-6: Notatie voor het trapezium.

Voor de berekening van P(Q>q) is de grootheid L(q,k) nodig, die de overschrijdingsduur

aangeeft, in uren, van niveau q binnen het trapezium met piekhoogte k (zie Figuur 11-6). In

formule is deze duur gelijk aan

( )( , ) ( ) ( ) k qL q k b k B b kk−

= + − (11.5)

Zoals betrekkelijk eenvoudig kan worden afgeleid, wordt P(Q>q) dan gegeven door

( ) ( , )( ) q

f k L q k dkP Q q

B

∞

> =∫

(11.6)

met B = 720 uur en f(k) gegeven door (11.4).

Figuur 11-7 laat P(Q>q) zien, zoals berekend met deze formule. Ter vergelijking wordt ook de

lijn getoond die volgt uit het turven van metingen (tel het aantal dagen waarvoor q wordt

overschreden, en deel dat door het totale aantal meetdagen). De overeenstemming tussen

beide lijnen is vrij goed, hoewel niet perfect. Wel moet bedacht worden dat de lijn volgens de

metingen wordt beïnvloedt door statistische toevalligheden, die er met name voor zorgen dat de

staart van de verdeling niet nauwkeurig bepaald kan worden door turven. Ook is mogelijk dat

de metingen niet helemaal homogeen zijn. Zo is bekend dat de jaren 70 uit de vorige eeuw

tamelijk droog waren in het Vechtgebied. Als gevoeligheidsanalyse is ook de periode 1960-1970

beschouwd. Figuur 11-8 laat zien dat de lijn volgens de metingen dan duidelijk hoger komt te



liggen. De conclusie is dat f(k) volgens formule (11.4) en de trapezia met parameters als

hiervoor beschreven, de P(Q>q) volgens de metingen goed beschrijft. Hieruit blijkt dat P(Q>q)

op de juiste wijze verwerkt is in Hydra-VIJ.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Momentane kansen Dalfsen

Vechtafvoer Dalfsen, m3/s

mom

enta

ne o

vers

chrij

ding

skan

s, [−

]

metingenvolgens formule

Figuur 11-7: Momentane overschrijdingskansen volgens de metingen en volgens formule (11.6).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Momentane kansen Dalfsen

Vechtafvoer Dalfsen, m3/s

mom

enta

ne o

vers

chrij

ding

skan

s, [−

]


Figuur 11-8: Momentane overschrijdingskansen volgens de metingen uit 1960-1970 en volgens formule

(11.6).



11.3 IJssel

Deze paragraaf behandelt dezelfde gegevens als hiervoor, maar dan voor de IJssel. De uitleg

blijft beknopt, omdat de gedachtegang analoog is aan die voor de Vecht. De analyses voor de

IJssel zijn gebaseerd op de periode 01-01-1981 t/m 31-03-2005 (debieten afkomstig van een

Q-h relatie te Olst).


De overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) voor de IJssel te Olst wordt gegeven door

3

3

800( ) exp , 200 800 m /s334.9

800( ) exp , 800 m /s269.2

whj

whj

kF k k

kF k k

− = − ≤ ≤

− = − >

(11.7)

Merk op dat een minimumafvoer van 200 m3/s is aangehouden. De maatgevende afvoer wordt

gevonden door te stellen Fwhj(k) = 1/1250. Deze afvoer is voor Olst gelijk aan 2720 m3/s.

Zoals uitgelegd in paragraaf 11.2.1 kan de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer in de basisduur

worden bepaald als –d[Fwhj(k)/6]/dk, waaruit volgt

3

3

1 200( ) exp , 200 800 m /s334.9 334.9

1 317.6( ) exp , 800 m /s269.2 269.2

kf k k

kf k k

− = − ≤ ≤

− = − >

(11.8)

De overschrijdingsfrequentie is weergegeven in Figuur 11-9, samen met afvoerpieken, die zijn

geselecteerd met zichtduur z = 15 dagen en een drempel van 400 m3/s. De figuur toont ook

Waquaresultaten: 6 standaardafvoergolven te Lobith zijn met Waqua doorgerekend naar Olst,

resulterend in 6 piekwaarden te Olst, waarvan de terugkeertijden corresponderen met die van

de golven bij Lobith.

Volgens experts is de kwaliteit van de metingen bij Olst niet al te hoog: de voor de metingen

gebruikte Q-h relatie is zeker niet perfect. Vandaar dat voor de keuze van Fwhj(k) vooral is

uitgegaan van de Waquaresultaten.



10-1 100 101 102 103 104 1050

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000Overschrijdingsfrequentie en data Olst

terugkeertijd, jaar

IJss

elaf

voer

Ols

t, m

3/s

dataoverschrijdingsfrequentieWaquagolven

Figuur 11-9: De data en Waquaresultaten, tezamen met de overschrijdingsfrequentie voor Olst, voor

z = 15 dagen en drempel 400 m3/s.


De topduur b(k) van de trapezia is, net als voor de Vecht, een functie van de hoogte van het

trapezium. De topduur neemt lineair af van basisduur 720 uur bij afvoer 200 m3/s tot 24 uur bij

afvoer 800 m3/s, waarna deze verder constant blijft op 24 uur. Merk op dat de topduur voor de

hogere trapezia voor de IJssel korter is dan voor de Vecht (voor de Vecht is die 48 uur).

Eerder is uitgelegd dat de hogere trapezia, zeg in dit geval voor piekwaarden k > 800 m3/s, de

afvoergolven goed moeten benaderen (tenminste het hoogste deel van de golven). Voor de

Vecht is de keuze van dergelijke trapezia gebaseerd op de opschalingsmethode. Voor de IJssel

is die methode niet gevolgd, omdat 6 met Waqua berekende afvoergolven beschikbaar waren,

op basis waarvan het goed mogelijk blijkt een topduur van de trapezia te kiezen (24 uur dus).

Voor een vergelijking tussen de Waquagolven en de trapezia wordt verwezen naar [Geerse,

2006]. Figuur 11-10 laat afvoergolven voor de IJssel zien, geselecteerd met zichtduur 15 dagen

en drempel 800 m3/s, samen met de trapezia. Zo op het oog leveren de trapezia een vrij goede

beschrijving van de afvoergolven.

De topduren voor de lagere trapezia zijn weer, net als voor de Vecht, gekozen op zo’n manier

dat ze in combinatie met f(k) de juiste momentane kansen opleveren. Dat laatste wordt

gedemonstreerd in de volgende paragraaf.



-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 13-Feb-1981

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 15-Mar-1981

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 22-Oct-1981

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 14-Dec-1981

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 11-Jan-1982

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 06-Feb-1982

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 25-Dec-1982

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 07-Feb-1983

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 13-Feb-1984

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 24-Jan-1986

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 07-Jan-1987

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 07-Mar-1987

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 15-Feb-1988

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 21-Feb-1990

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 09-Jan-1991

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 27-Dec-1993

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 01-Feb-1994

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 02-Feb-1995

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 04-Mar-1997

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 05-Nov-1998

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 28-Feb-1999

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 01-Jan-2000

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 09-Mar-2000

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 10-Feb-2001

Figuur 11-10: Eerste deel. Afvoergolven voor de IJssel te Olst (blauwe lijnen), tezamen de trapezia (rode

lijnen).



-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 01-Feb-2002

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 03-Mar-2002

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 16-Nov-2002

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 08-Jan-2003

-10 0 100

500

1000

1500

2000piek: 20-Jan-2004

Vervolg van Figuur 11-10.


De momentane overschrijdingskansen op basis van f(k) en de trapezia zijn berekend met

formule (11.6). Figuur 11-11 geeft het resultaat, met daarnaast ook de geturfde lijn volgens de

metingen. De laatste lijn ligt hoger dan die volgens de formule. Reden daarvan is dat de keuze

voor de overschrijdingsfrequentie gebaseerd is op de Waquaresultaten uit Figuur 11-9 en niet

op de metingen, die in Figuur 11-9 hoger blijken te liggen. Omdat de Waquaresultaten

betrouwbaarder worden geacht dan de metingen, wordt geconcludeerd dat de lijn volgens de

formule de beste beschrijving geeft van de “werkelijke” momentane overschrijdingskans.

0 500 1000 1500 2000 2500

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Momentane kansen Olst

IJsselafvoer Olst, m3/s

mom

enta

ne o

vers

chrij

ding

skan

s, [−

]





11.4 IJsselmeerpeil

Deze paragraaf behandelt soortgelijke gegevens als hiervoor, maar dan voor IJsselmeerpeilen in

plaats van voor afvoeren. De uitleg zal beknopt worden gehouden, omdat de gedachtegang

analoog is aan die voor de Vecht en de IJssel. De analyses voor het IJsselmeer, beschreven in

[Geerse, 2006], zijn gebaseerd op metingen uit de periode 01-01-1976 t/m 31-03-2005,

waarvan alleen complete winterhalfjaren worden gebruikt. De genoemde referentie bevat

analyses met en zonder trendgecorrigeerde data. In de volgende paragrafen zullen data worden

beschouwd waarop een trendcorrectie is toegepast, op zo’n manier dat ze representatief zijn

voor het jaar 2011.


De overschrijdingsfrequentie Fwhj(s) voor het IJsselmeer wordt gegeven door

0.05( ) exp , 0.40 0.05 m+NAP0.251

0.05( ) exp , 0.05 0.40 m+NAP0.152

0.177( ) exp , 0.40 m+NAP0.097

whj

whj

whj

sF s s

sF s s

sF s s

− = − − ≤ ≤

− = − ≤ ≤

− = − ≥

(11.9)

De overschrijdingsfrequentie is weergegeven in Figuur 11-12, samen met meerpeilpieken, die

zijn geselecteerd met zichtduur z = 15 dagen en een drempel van –0.20 m+NAP.

10-1

100

101

102

103

104-0.4

-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.1

Overschrijdingsfrequentie en data IJsselmeer

terugkeertijd, jaar

mee

rpei

l, m

+NA

P

Figuur 11-12: De data tezamen met de overschrijdingsfrequentie voor het IJsselmeer, voor z = 15 dagen

en drempel –0.20 m+NAP.

Zoals uitgelegd in paragraaf 11.2.1 kan de kansdichtheid f(s) van de piekwaarde s van het

trapezium worden bepaald als –d[F(s)/6]/ds, waaruit volgt



1 0.40( ) exp , 0.40 0.05 m+NAP0.251 0.251

1 0.222( ) exp , 0.05 0.40 m+NAP0.152 0.152

1 0.003( ) exp , 0.40 m+NAP0.097 0.097

sf s s

sf s s

sf s s

+ = − − ≤ ≤

+ = − ≤ ≤

− = − ≥

(11.10)


De trapeziumparameters zijn op dezelfde manier bepaald als voor de Vecht. Voor de hogere

trapezia, in dit geval voor s > 0.05 m+NAP, is daarbij de opschalingsmethode gebruikt.

De topduur b(s) van de trapezia neemt lineair af van 720 uur bij meerpeil –0.40 m+NAP tot 96

uur bij meerpeil 0.05 m+NAP, waarna deze verder constant blijft op 96 uur. Figuur 11-13 laat

de meerpeilgolven zien, samen met de trapezia. Zo op het oog leveren de trapezia gemiddeld

gezien een redelijke beschrijving van de golven.

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 26-Nov-1977

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 05-Jan-1981

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 09-Dec-1981

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 19-Jan-1983

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 18-Jan-1984

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 09-Feb-1984

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 25-Jan-1986

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 06-Jan-1987

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 08-Jan-1988

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 11-Feb-1988

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 07-Mar-1990

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 12-Jan-1991

Figuur 11-13: Eerste deel. Meerpeilgolven voor het IJsselmeer (blauwe lijnen), tezamen de trapezia (rode

lijnen).



-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 05-Dec-1992

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 27-Jan-1993

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 06-Jan-1994

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 02-Jan-1995

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 08-Feb-1995

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 09-Jan-1998

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 06-Nov-1998

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 04-Mar-1999

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 05-Mar-2000

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 28-Feb-2002

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 16-Jan-2003

-10 0 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

piek: 10-Feb-2004





De momentane overschrijdingskansen kunnen weer worden berekend met formule (11.6),

waarbij L(q,k) dan moet worden vervangen door L(m,s), die staat voor de overschrijdingsduur

van niveau m binnen het trapezium met piekwaarde s. Nu resulteert Figuur 11-14, waarin ook

de geturfde lijn volgens de metingen is weergegeven. De staart van de lijn volgens de metingen

ligt lager dan die volgens de formule. Bekend is echter dat in de tweede helft van de

meetperiode relatief veel hoge meerpeilen voorkomen. De grootheden f(s) en L(m,s) zijn zo

gekozen dat de lijn volgens de formule met name het tweede (en meest relevant geachte) deel

van de meetperiode goed beschrijft.

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Momentane kansen IJsselmeer

meerpeil, m+NAP

mom

enta

ne o

vers

chrij

ding

skan

s, [−

]





11.5 Fase tussen afvoer en meerpeil

In Hydra-VIJ wordt een faseverschil ϕ aangenomen tussen de afvoeren meerpeiltrapezia (zie

Figuur 10-2). Aangenomen wordt dat ϕ = 3.5 dag, waarbij het midden van het

meerpeiltrapezium dan 3.5 dag later valt dan het midden van het afvoertrapezium. Die keuze

wordt zowel voor het geval Vecht-IJsselmeer als voor het geval IJssel–IJsselmeer gemaakt. De

onderliggende analyses zijn beschreven in [Geerse, 2006]. Details van de analyse worden hier

niet gegeven, maar wel volgen nu enkele figuren die tijdsverlopen van gemeten afvoeren

meerpeilgolven tonen.

11.5.1 Fase tussen Vecht en IJsselmeer

Figuur 11-15 laat tijdsverlopen van de Vecht en het IJsselmeer zien, die als volgt tot stand zijn

gekomen. Eerst zijn afvoerpieken van de Vecht geselecteerd, voor drempel 100 m3/s en

zichtduur 15 dagen, voor de winterhalfjaren uit de gehele meetperiode. In het venster dat loopt

van 15 dagen vóór tot 15 dagen ná de afvoerpiek is daar het tijdsverloop van het meerpeil bij

gezocht. Voor sommige afvoerpieken ontbreekt de meerpeilreeks, namelijk van 1960 t/m 1975;

dergelijke afvoerpieken zijn weggelaten. De plaatjes laten een duidelijk verband zien tussen

afvoeren en meerpeilen: hogere afvoeren gaan relatief vaak samen met hogere meerpeilen.

Merk op dat de afvoeren in het kalenderjaar 2000 praktisch constant zijn, op ongeveer niveau

125 m3/s. Dat betreft een fout in de data, reden waarom dit kalenderjaar uit de analyses is

weggelaten.

-15 0 150

100

200

300

400piek: 14-Feb-1976

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 26-Nov-1977

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 13-Jan-1978

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 30-Dec-1978

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 06-Mar-1979

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 20-Dec-1979

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 06-Feb-1980

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 17-Jan-1981

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 15-Mar-1981

-15 0 15-0.5

0

0.5

Figuur 11-15: Eerste deel. Tijdsverlopen van Vechtafvoeren en IJsselmeerpeilen. Selectie op Vechtpieken,

met drempel 100 m3/s en zichtduur 15 dagen. De piek van de afvoer is op tijdstip t = 0 gelegd. De datum van iedere afvoerpiek is boven het subplotje aangegeven.



-15 0 150

100

200

300

400piek: 05-Dec-1981

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 07-Jan-1982

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 01-Feb-1982

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 12-Mar-1982

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 05-Jan-1983

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 02-Feb-1983

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 15-Nov-1993

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 06-Jan-1994

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 29-Jan-1994

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 30-Oct-1998

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 17-Dec-1998

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 17-Jan-1999

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 04-Mar-1999

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 20-Oct-2000

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 08-Nov-2000

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 06-Dec-2000

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 06-Jan-2001

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

100

200

300

400piek: 07-Feb-2001

-15 0 15-0.5

0

0.5




11.5.2 Fase tussen IJssel en IJsselmeer

Voor de IJssel en het IJsselmeer zijn overeenkomstige tijdsverlopen geplot als voor de Vecht en

het IJsselmeer. De afvoerpieken komen uit de periode 01-01-1981 t/m 31-03-2005, (alleen

winterhalfjaren) en zijn geselecteerd met drempel 825 m3/s en zichtduur 15 dagen, waarbij dan

de corresponderende meerpeilverlopen zijn gezocht in het venster van 15 dagen vóór tot 15

dagen ná de afvoerpiek. De plaatjes ogen vergelijkbaar met die voor de Vecht uit Figuur 11-15.

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 15-Mar-1981

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 22-Oct-1981

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 14-Dec-1981

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 11-Jan-1982

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 06-Feb-1982

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 25-Dec-1982

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 07-Feb-1983

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 13-Feb-1984

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 24-Jan-1986

-15 0 15-0.5

0

0.5

Figuur 11-16: Eerste deel. Tijdsverlopen van IJsselafvoeren en IJsselmeerpeilen. Selectie op IJsselpieken,

met drempel 825 m3/s en zichtduur 15 dagen. De piek van de afvoer is op tijdstip t = 0 gelegd. De datum van iedere afvoerpiek is boven het subplotje aangegeven.



-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 07-Jan-1987

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 07-Mar-1987

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 21-Feb-1990

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 09-Jan-1991

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 27-Dec-1993

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 01-Feb-1994

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 02-Feb-1995

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 04-Mar-1997

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 05-Nov-1998

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 28-Feb-1999

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 01-Jan-2000

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 09-Mar-2000

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 10-Feb-2001

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 01-Feb-2002

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 03-Mar-2002

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 16-Nov-2002

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 08-Jan-2003

-15 0 15-0.5

0

0.5

-15 0 150

500

1000

1500

2000piek: 20-Jan-2004

-15 0 15-0.5

0

0.5




11.6 Correlatie tussen afvoer en meerpeil

In deze paragraaf wordt het correlatiemodel uit hoofdstuk 7 toegepast, achtereenvolgens voor

puntenparen van Vecht-IJsselmeer en puntenparen IJssel-IJsselmeer. Zie voor de onderliggende

analyses en diverse gevoeligheidsanalyses [Geerse, 2006].

11.6.1 Correlatie tussen Vecht en IJsselmeerpeil

In Hydra-VIJ wordt het correlatiemodel CS gebruikt, dus het model met, in de getransformeerde

ruimte, een constante spreiding. Doel van het correlatiemodel is het bepalen van de

kansdichtheid f(k,s), met k de piekwaarde van het Vechttrapezium en s de piekwaarde van het

IJsselmeertrapezium (voor basisduur B = 30 dagen).

Het correlatiemodel wordt toegepast op n puntenparen (ki,si), i = 1,2,...,n, die als volgt tot

stand zijn gekomen. Eerst zijn Vechtpieken ki geselecteerd, voor zichtduur 15 dagen en

drempelwaarde 0 m3/s (feitelijk dus geen drempel toegepast). Bij iedere Vechtpiek ki is het

bijbehorende meerpeilmaximum si gelijk genomen aan het maximale meerpeil in een venster

van 15 dagen vóór tot 15 dagen ná het tijdstip van de Vechtpiek. De marginale verdeling f(k) is

in de hier beschouwde context gelijk aan degene uit (11.4) terwijl f(s) gelijk is aan degene uit

(11.10). We vatten hierbij de stochast K op de horizontale as op als het 30-daagse maximum

van de Vechtafvoer, en die op de verticale as S als het 30-daagse maximum van het

IJsselmeerpeil.

Het correlatiemodel CS is toegepast met σ = 1.2, welke waarde in Hydra-VIJ wordt gebruikt. De

resultaten staan in Figuur 11-17 (fysische ruimte) en Figuur 11-18 (getransformeerde ruimte).

In de bespreking beperken we ons tot Figuur 11-17. Hierin worden de data getoond, samen met

drie zogenaamde percentiel-lijnen, voor percentielen 10%, 50% en 90%: de bovenste lijn is de

90%-lijn, de middelste de 50%-lijn en de onderste de 10%-lijn. De interpretatie daarvan wordt

uitgelegd met een voorbeeld. Beschouw de 90%-lijn voor het punt (k=300, s=0.48): dit

betekent dat er 90% kans bestaat op een piekwaarde s < 0.48 m+NAP, gegeven dat een

piekwaarde k = 300 m3/s optreedt. Op de 10%-lijn ligt het punt (300, 0.08), wat betekent dat

er 10% kans bestaat op een piekwaarde s < 0.08 m+NAP, bij gegeven piekwaarde k = 300

m3/s. Er is dus 80% kans op piekwaarden s tussen 0.08 m+NAP en 0.48 m+NAP, gegeven een

piekwaarde k = 300 m3/s. Hiermee is de betekenis van de lijnen voldoende helder.

Voordat de modelfit wordt becommentarieerd, merken we eerst op dat de knikken in de

percentiel-lijnen het gevolg zijn van het fitten van f(k) en f(s) door middel van stuksgewijs

exponentiële trajecten (zie (11.4) en (11.10)): elke trajectgrens levert een knik in de lijnen.

Dergelijke knikken kunnen alleen vermeden worden door een vloeiende fit voor f(k) en f(s),

maar zo’n fit is niet uitgevoerd.

Nu volgt een nadere bespreking van de modelfit. Bij een goede fit van het model aan de data

moet circa 80% van de data tussen de beide lijnen liggen. Figuur 11-17 en Figuur 11-18 laten

echter een slechte fit zien. Dat doet twijfel rijzen of Hydra-VIJ, wanneer dit correlatiemodel

wordt gebruikt, wel goede resultaten geeft. Enkele punten zijn hier van belang. Zoals in

paragraaf 11.2 werd opgemerkt heeft f(k) geen fysische betekenis voor relatief lage afvoeren <

180 m3/s, omdat het afvoerverloop dan te grillig wordt om daarin nette golven te kunnen

onderscheiden. Iets soortgelijks geldt voor de meerpeilgolven: f(s) dient alleen een goede

beschrijving van meerpeilpieken te geven voor s groter dan, zeg eens, 0.05 m+NAP. Het is dus



niet van wezenlijk belang dat data in de linker benedenhoek van Figuur 11-17 goed door het

model worden beschreven. Wel is belangrijk dat het extreme deel van de data (de rechter

bovenhoek) goed beschreven wordt. Zo op het oog geeft het model een redelijke spreiding voor

dit deel van de data.

0 100 200 300 400 500 600-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Puntenparen Vecht en IJsselmeer

afvoer Vecht, m3/s

mee

rpei

l, m

+NA

P

Figuur 11-17: Gecorreleerde data van Vecht en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en

90%) uit correlatiemodel CS in de fysische ruimte (σ = 1.2).



0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7Puntenparen Vecht en IJsselmeer in getransformeerde ruimte

x: getransformeerde afvoer Vecht [-]

y: g

etra

nsfo

rmee

rde

mee

rpei

l [-]


90%) uit correlatiemodel CS in de getransformeerde ruimte (σ = 1.2).

Een tweede punt is wellicht belangrijker: een gevoeligheidsonderzoek laat zien dat de Hydra-VIJ

uitkomsten voor de Vechtdelta tamelijk ongevoelig zijn voor de gekozen waarde van σ. Zo

leveren volgens [Geerse, 2006] de keuzes σ = 0.5 en σ = 2 verschillen in toetspeilen van

maximaal 0.03 m. Een zeer kleine zowel als een vrij grote σ leveren dus nauwelijks andere

toetspeilen. Wel blijkt uit het gevoeligheidsonderzoek dat het volledig weglaten van de correlatie

tussen afvoer en meerpeil op het Zwarte Water en Zwarte Meer tot een onderschatting van de

toetspeilen kan leiden van bijna 0.2 m. De conclusie is dus: het meenemen van de correlatie

tussen afvoer en meerpeil is belangrijk, maar de precieze keuze van σ steekt niet erg nauw. Om

deze reden wordt verondersteld dat model CS met de waarde σ = 1.2 een adequate beschrijving

geeft van de afvoer-meerpeil correlatie.

Als zijstapje voor de geïnteresseerde lezer volgt nu een beschouwing voor model VS, waarbij de

correlatie in de getransformeerde ruimte lineair toenemend met x is genomen. De resultaten,

voor de keuze σ(x)=0.2+0.32x, staan in Figuur 11-19 en Figuur 11-20. Dit model geeft zo op

het oog een veel betere beschrijving van de correlatie in de data. Het is op dit moments niet

geïmplementeerd in Hydra-VIJ, maar misschien dat dat in de toekomst zal gebeuren. Onze

verwachting is overigens, gezien de voorgaande alinea, dat model VS niet tot grote

veranderingen in de Hydra-VIJ resultaten zal leiden.



0 100 200 300 400 500 600-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Puntenparen Vecht en IJsselmeer

afvoer Vecht, m3/s

mee

rpei

l, m

+NA

P


90%) uit correlatiemodel VS in de fysische ruimte,voor σ(x)=0.2+0.32x.

0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7Puntenparen Vecht en IJsselmeer in getransformeerde ruimte

x: getransformeerde afvoer Vecht [-]

y: g

etra

nsfo

rmee

rde

mee

rpei

l [-]


90%) uit correlatiemodel VS in de getransformeerde ruimte,voor σ(x)=0.2+0.32x.



11.6.2 Correlatie tussen IJssel en IJsselmeerpeil

Deze paragraaf geeft eenzelfde soort figuren als hiervoor, maar nu voor de IJssel en het

IJsselmeer. De figuren laten een vergelijkbaar beeld zien als voor de Vecht en het IJsselmeer,

vandaar dat slechts summier commentaar wordt gegeven. In Hydra-VIJ wordt voor de

IJsseldelta model CS gebruikt met dezelfde waarde σ = 1.2 als hiervoor (zie Figuur 11-21 en

Figuur 11-22). Opnieuw blijkt model VS de data beter te beschrijven dan model CS, zoals blijkt

uit Figuur 11-23 en Figuur 11-24 (voor σ(x) is hetzelfde verband gekozen als hiervoor, namelijk

σ(x) = 0.2+0.32x). Omdat de keuze van σ in model CS, zo blijkt uit een gevoeligheids-

onderzoek, weer weinig invloed heeft op de resultaten, is de verwachting dat model VS niet veel

andere resultaten zal geven dan model CS. Vandaar dat, ook voor de IJsseldelta, het gerecht-

vaardigd wordt geacht model CS te gebruiken in Hydra-VIJ.

Verder wordt nog opgemerkt dat volgens [Geerse, 2006] het achterwege laten van de correlatie

tussen IJssel en IJsselmeer tot een onderschatting van de toetspeilen leidt: bij Kampen is die

onderschatting 0.1 m en meer boven- en benedenstrooms daarvan minder.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Puntenparen IJssel en IJsselmeer

afvoer IJssel, m3/s

mee

rpei

l, m

+NA

P

Figuur 11-21: Gecorreleerde data van IJssel en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en

90%) uit correlatiemodel CS in de fysische ruimte (σ = 1.2).



0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7Puntenparen IJssel en IJsselmeer in getransformeerde ruimte

x: getransformeerde afvoer IJssel [-]

y: g

etra

nsfo

rmee

rde

mee

rpei

l [-]


90%) uit correlatiemodel CS in de getransformeerde ruimte (σ = 1.2).

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Puntenparen IJssel en IJsselmeer

afvoer IJssel, m3/s

mee

rpei

l, m

+NA

P


90%) uit correlatiemodel VS in de fysische ruimte, voor σ(x)=0.2+0.32x.



0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7Puntenparen IJssel en IJsselmeer in getransformeerde ruimte

x: getransformeerde afvoer IJssel [-]

y: g

etra

nsfo

rmee

rde

mee

rpei

l [-]


90%) uit correlatiemodel VS in de getransformeerde ruimte, voor σ(x)=0.2+0.32x.

11.7 Wind

Voor de wind worden in Hydra-VIJ gegevens gebruikt die indirect afkomstig zijn van uurlijkse

potentiële windsnelheden te Schiphol (zie paragraaf 5.2.3 voor de betekenis van de potentiële

windsnelheid).

Feitelijk zijn in Hydra-VIJ overschrijdingskansen nodig van het 12-uursmaximum van de

windsnelheid u, conditioneel op de windrichting r. Die kansen worden genoteerd als P(U>u|r),

waarbij r = NNO, NO,..., N. Dergelijke kansen zijn bepaald in [Geerse et al, 2002], zie bijlage G,

tezamen met de richtingskansen P(r). Voor de relatief lage windsnelheden, met terugkeertijden

T < 10 jaar, zijn de P(U>u|r) direct bepaald uit de metingen door het turven van

waarnemingen, waarbij de richting die wordt toegekend aan een 12-uursperiode het vectorieel

gemiddelde over de 12 uurwaarden is. Voor T > 10 jaar zijn de kansen bepaald door herschaling

uit het zogenaamde Rijkoort Weibull model afkomstig van het KNMI [Rijkoort, 1983; Geerse,

1999; Verkaik et al, 2003a]. De herschaling bestaat er uit dat de statistiek voor het

winterhalfjaar wordt omgerekend naar een 12-uursperiode. Het lage en hogere bereik van de

windsnelheden is vloeiend op elkaar aangesloten.

De details van de afleiding zijn hier niet van belang. Wel volgt hier wat informatie over

windsnelheden met terugkeertijden T = 10, 100, 1000, 10000 jaar. Zie Tabel 11-1 en de

grafische weergave daarvan in Figuur 11-25. Neem als voorbeeld windsnelheid 14.3 m/s voor

richting NNO en T = 10 jaar. Dat getal houdt in dat gemiddeld eens per 10 jaar een storm

voorkomt waarin minstens één uur optreedt met windrichting NNO tijdens welk uur de

windsnelheid niveau 14.3 m/s overschrijdt. De tabel en de grafiek laten zien dat de hoogste

windsnelheden voorkomen bij de richtingen ZZW t/m NNW.



Quantielen volgens Rijkoort Weibull model, in m/s

T, jaar NNO NO ONO O OZO ZO ZZO Z ZZW ZW WZW W WNW NW NNW N10 14.3 14.6 14.8 14.3 12.6 13.3 14.7 16.9 20.0 22.7 21.9 22.2 20.8 19.2 17.5 14.8100 17.4 17.6 17.8 17.1 16.4 16.6 18.1 20.1 24.1 25.6 26.6 27.3 26.1 24.5 21.7 18.3

1000 19.9 19.9 20.0 19.4 18.6 18.7 20.8 22.7 27.5 29.5 30.7 31.8 30.6 28.9 25.2 21.310000 22.3 21.9 22.0 21.3 20.4 20.6 23.2 24.8 30.4 33.0 34.4 35.8 34.5 32.9 28.5 23.8

Tabel 11-1: Gegevens volgens het Rijkoort Weibull model.

Quantielen Rijkoort Weibull model

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

22.5 45.0 67.5 90.0 112.5 135.0 157.5 180.0 202.5 225.0 247.5 270.0 292.5 315.0 337.5 360.0

windrichting, graden

pote

ntië

le w

inds

nelh

eid,

m/s

T = 10 jaarT = 100 jaar

T = 1000 jaarT = 10000 jaar

Figuur 11-25: Gegevens uit het Rijkoort Weibull model, uitgezet als functie van de windrichting.



12 Probabilistische formules Hydra-VIJ

Dit hoofdstuk geeft de basisformules uit Hydra-VIJ voor de overschrijdingsfrequentie, zowel

voor een dijkvak als een dijkring. Als voorbereiding daarop worden eerst kansdichtheden en

kansen behandeld die zijn gerelateerd aan de kleinste tijdseenheid in Hydra-VIJ, de blokduur

b = 12 uur (geïntroduceerd in paragraaf 6.2.1). Kansen gerelateerd aan deze periode worden

momentane kansen of kansdichtheden genoemd.

12.1 Kansdichtheid blokduur

Een aanname in het probabilistisch model Hydra-VIJ is dat de wind, zowel qua richting als

snelheid, in iedere blokduur een andere waarde kan aannemen. Hoe de wind precies in het

model wordt verwerkt blijkt in paragraaf 12.3, maar als voorbereiding daarop worden eest twee

stochasten behandeld die met de kering te maken hebben en daarnaast de kansdichtheid voor

de blokduur.

De belasting H is in paragraaf 9.3 als functie beschouwd van (q,m,u,r,λ), waarbij λ = λFN

aanduidt dat in de onderliggende Waquaberekening de kering op de correcte manier

functioneert en λ = λFW aanduidt dat de kering faalt als deze zou moeten sluiten en dus te allen

tijde open blijft. Merk op dat als het sluitcriterium niet gehaald wordt, de kering open blijft,

zodat dan de belastingen voor beide situaties gelijk zijn:

( , , , , ) ( , , , , ), als sluitcriterium niet gehaaldFN FWH q m u r H q m u rλ λ= (12.1)

Voor de probabilistische formules is nodig onderscheid te maken tussen daadwerkelijk sluiten

van de kering tijdens een storm en het open blijven daarvan. Vandaar dat de stochast Ω wordt

gedefinieerd met uitkomsten

0 steeds geopende kering tijdens de storm1 sluiting tijdens de storm

ω

=

(12.2)

Verder is een criteriumstochast C nodig, die 1 is voor omstandigheden waarbij tijdens de storm

het sluitcriterium wordt gehaald, en 0 als dat niet het geval is (“zdd” staat voor “zodanig dat”):

0 als ( , , , ) zdd het sluitcriterium niet wordt gehaald

( , , , )1 als ( , , , ) zdd het sluitcriterium wel wordt gehaald

q m u rC q m u r

q m u r

=

(12.3)

In de probabilistische formules is de kansdichtheid g(q,m,u,r,ω) nodig, die betrekking heeft op

de periode b = 12 uur. Deze kansdichtheid wordt aangeduid als de momentane kansdichtheid

uit Hydra-VIJ. Merk op dat de term “momentaan” hier op zijn plaats is, omdat de blokduur b de

kleinste tijdseenheid in het model is.

De “correlatiestructuur” in Hydra-VIJ is van de vorm

( , , , , ) ( | , , , ) ( , ) ( , )g q m u r g q m u r g q m g u rω ω= (12.4)



waarbij g(ω|q,m,u,r) hier de kans op ω geeft, conditioneel op het optreden van (q,m,u,r). Merk

op dat hier is aangenomen dat g(q,m,u,r) = g(q,m)g(u,r), waaruit blijkt dat de stochastenparen

(Q,M) en (U,R) wederzijds statistisch onafhankelijk zijn genomen. De keringtoestand Ω is

gecorreleerd met de stochasten (Q,M,U,R).

De g(u,r) kan eenvoudig worden afgeleid uit de in paragraaf 11.7 besproken P(U>u|r) en P(r).

De term g(ω|q,m,u,r) kan als volgt berekend worden. Geef met α de faalkans van de kering

aan. Dat is de dus de kans dat de kering niet sluit, of tijdens of na de sluiting bezwijkt, ingeval

C(q,m,u,r) = 1. Als C(q,m,u,r) = 1, is de kans g(ω=0|q,m,u,r) dan gelijk aan α, terwijl

g(ω=1|q,m,u,r) dan 1-α is. Als C(q,m,u,r) = 0 zal de kering altijd geopend zijn. Er geldt dus

voor 0 en ( , , , ) 11 voor 0 en ( , , , ) 0

( | , , , )1 voor 1 en ( , , , ) 1

0 voor 1 en ( , , , ) 0

C q m u rC q m u r

g q m u rC q m u rC q m u r

α ωω

ωα ω

ω

= = = == − = = = =

(12.5)

Nu wordt ingegaan op de berekening van de momentane kansdichtheid g(q,m). Definieer

daartoe eerst L(q,k,m,s) door, zie Figuur 12-1,

L(q,k,m,s) Aantal uren (niet noodzakelijkerwijs aaneengesloten) dat

tegelijkertijd niveau q wordt overschreden in het trapezium met

piekwaarde k en het niveau m wordt overschreden in het

trapezium met piekwaarde s.

uur

B

k

s

L(q,k,m,s)

q

m

Figuur 12-1: Illustratie van de grootheid L(q,k,m,s).



Dan geldt, zoals beredeneerd kan worden, voor de momentane kans dat de afvoer niveau q

overschrijdt en tevens het meerpeil niveau m

1( , ) ( , ) ( , , , )

q m

P Q q M m dk ds f k s L q k m sB

∞ ∞ > > =

∫ ∫ (12.6)

waarbij B = 30*24 = 720 uur.

Door partieel te differentiëren naar (-q) en (-m) volgt dan voor de momentane kansdichtheid

2 ( , )( , ) P Q q M mg q m

q m∂ > >

=∂ ∂

(12.7)

Terzijde: wanneer bedacht wordt dat L(q,k,m = -∞,s) = L(q,k), volgt eenvoudig dat de formule

voor P(Q>q) uit (11.6) een speciaal geval is van (12.6). Voor L(m,s) geldt een analoge

bewering.

Hiermee zijn alle termen in het rechterlid van (12.4) bekend, waarmee g(q,m,u,r,ω) dus

vastligt.

12.2 Overschrijdingskans blokduur

In de formules uit de volgende paragrafen is vaak de kans P(H>h|q,m) nodig, die staat voor de

kans dat de hydraulische belasting niveau h overschrijdt gedurende een 12-uursperiode,

gegeven afvoer q en meerpeil m in deze periode. In de afleiding is de volgende relatie nodig, die

volgt uit (12.4)

( | , , , ) ( , , , )( , , | , ) ( | , , , ) ( , )

( , )g q m u r g q m u rg u r q m g q m u r g u r

g q mωω ω= = (12.8)

Dan kan de volgende herschrijving worden gemaakt

16 1

1 0 016 1

1 0 0: ( , , , ) 1

16 1

1 0 0: ( , , , ) 0

( | , ) ( | , , , , ) ( , , | , )

( | , , , , ) ( | , , , ) ( , )

( | , , , , ) ( | , , , ) ( , )

( | , ,

r u

r u C q m u r

r u C q m u r

P H h q m du P H h q m u r g u r q m

du P H h q m u r g q m u r g u r

du P H h q m u r g q m u r g u r

du P H h q m

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

α

= = ≥

= = ≥ =

= = ≥ =

> = >

= >

+ >

= >

∑∑ ∫

∑∑ ∫

∑∑ ∫16

1 0: ( , , , ) 1

16

1 0: ( , , , ) 1

16

1 0: ( , , , ) 0

, , 0) ( , )

(1 ) ( | , , , , 1) ( , )

( | , , , , 0) ( , )

r u C q m u r

r u C q m u r

r u C q m u r

u r g u r

du P H h q m u r g u r

du P H h q m u r g u r

ω

α ω

ω

= ≥ =

= ≥ =

= ≥ =

=

+ − > =

+ > =

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

(12.9)

Laten we de grootheid P(H>h|q,m,u,r,ω=0) nader bekijken. De conditionering op ω=0, oftewel

op de steeds geopende keringtoestand, houdt in dat H hier wordt afgeleid op basis van de

Waquaberekeningen met λ=λFW. De belasting heeft dus de vorm H = H(q,m,u,r,λFW). In dat



geval zijn er, gegeven de conditionering op (q,m,u,r,ω=0), slechts twee mogelijkheden: ofwel

geldt H(q,m,u,r,λFW)>h, ofwel H(q,m,u,r,λFW) ≤ h. Daaruit blijkt dat P(H>h|q,m,u,r,ω=0) feitelijk

een indicatorfunctie is: deze is gelijk aan 1 als H(q,m,u,r,λFW)>h en anders 0. Analoog volgt dat

P(H>h|q,m,u,r,ω=1) gelijk is aan 1 als H(q,m,u,r,λFN)>h en anders 0. Formule (12.9) kan dan

worden herschreven als

16

1 0: ( , , , ) 1; ( , , , , )

16

1 0: ( , , , ) 1; ( , , , , )

16

1 0: ( , , , ) 0; ( , , , , )

( | , ) ( , )

(1 ) ( , )

( , )

FW

FN

FW

r u C q m u r H q m u r h



P H h q m du g u r

du g u r

du g u r

λ

λ

λ

α

α

= ≥ = >

= ≥ = >

= ≥ = >

> =

+ −

+

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

(12.10)

Door gebruik te maken van (12.1) kan de laatste term in het rechterlid geschreven worden als

16

1 0: ( , , , ) 0; ( , , , , )

16 16

1 10: ( , , , ) 0; ( , , , , ) 0: ( , , , ) 0; ( , , , , )

( , )

( , ) (1 ) ( , )

FW

FW FN


r ru C q m u r H q m u r h u C q m u r H q m u r h

du g u r

du g u r du g u r

λ

λ λ

α α

= ≥ = >

= =≥ = > ≥ = >

= + −

∑ ∫

∑ ∑∫ ∫ (12.11)

Wanneer bedacht wordt dat C(q,m,u,r)=1 en C(q,m,u,r)=0 het “totaal aan omstandigheden

voorstellen”, volgt met (12.10) dan

16 16

1 10: ( , , , , ) 0: ( , , , , )

( | , ) ( , ) (1 ) ( , )FW FN

r ru H q m u r h u H q m u r h

P H h q m du g u r du g u rλ λ

α α= =≥ > ≥ >

> = + −∑ ∑∫ ∫ (12.12)

De uiteindelijke formule voor P(H>h|q,m) blijkt dus vrij simpel. De eerste term in het rechterlid

is, afgezien van α, gelijk aan de kans dat, conditioneel op (q,m), de belasting zoals bepaald op

basis van een falende kering niveau h overschrijdt. De tweede term in het rechterlid is, afgezien

van 1-α, gelijk aan de kans dat, conditioneel op (q,m), de belasting zoals bepaald op basis van

een juist functionerende kering niveau h overschrijdt. Beide kansen dienen blijkbaar te worden

gewogen met de faalkans α van de kering. Dit resultaat oogt plausibel, maar is eigenlijk

helemaal niet zo voor de hand liggend. De integraal uit de eerste term van het rechterlid van

(12.12) bevat namelijk windsnelheden waarvoor de kering niet gesloten hoeft te worden

(situaties waarvoor C(q,m,u,r)=0), terwijl in die term toch de faalkans van de kering voorkomt,

die alleen een rol speelt indien C(q,m,u,r)=1. De reden voor de simpele vorm van formule

(12.12) is de relatie (12.1), die het mogelijk maakt om (12.9) te herschrijven tot (12.12).

12.3 De overschrijdingsfrequentie

Het winterhalfjaar bevat 6 afvoeren meerpeiltrapezia, met elk basisduur B = 30 dagen. Als

PB(H>h) de kans aangeeft dat gedurende een dergelijke basisduur de belasting niveau h

overschrijdt, volgt de overschrijdingsfrequentie F(h) simpelweg als

( ) 6 ( ), keren/jaarBF h P H h= > (12.13)

Bedenk hierbij dat in de zomer (april t/m september) geen voor de veiligheid bedreigende

overschrijdingen geacht worden voor te komen; vandaar dat F(h) in keren per jaar kan worden

gegeven, in plaats van – wat ook mogelijk is – in keren per winterhalfjaar.



Het doel is nu PB(H>h) te berekenen. We brengen in herinnering dat f(k,s) de gezamenlijke

kansdichtheid voor de piekwaarden van de afvoeren meerpeiltrapezia voorstelt. Dan volgt

( ) ( , ) ( | , )B BP H h dk ds f k s P H h k s> = >∫ (12.14)

waarbij de integratie zich uitstrekt over alle mogelijke piekwaarden (k>0 en s>-0.40), en

PB(H>h|k,s) de kans voorstelt dat, conditioneel op trapezia met piekwaarden k en s, gedurende

duur B de belasting niveau h overschrijdt.

Om de laatste kans te berekenen, wordt als volgt te werk gegaan. De basisduur B wordt

gediscretiseerd in tijdsintervallen van b = 12 uur, wat n(B) = 60 opeenvolgende intervallen

oplevert. Beschouw nu een gegeven piekwaarde k van het afvoertrapezium en een gegeven

piekwaarde s van het meerpeiltrapezium. Geef de gemiddelde afvoer in het j-de tijdsinterval

aan met q(j) en het gemiddelde meerpeil in dit interval met m(j), zie Figuur 12-2. Bedenk dat,

hoewel niet in de notatie tot uitdrukking gebracht, q(j) en m(j) respectievelijk afhangen van k

en s.

B

k

s

j

m(j)

q(j)

Figuur 12-2: Illustratie van de tijdsdiscretisatie van de trapezia, met afvoer q(j) en meerpeil m(j) in blok j.

Omwille van de duidelijkheid is de duur b hier groter gekozen dan 12 uur; ook zijn niet alle n(B) blokken aangegeven.

De aanname in Hydra-VIJ is nu dat wat de wind betreft opeenvolgende 12-uursperioden

statistisch onafhankelijk zijn (merk op: afvoeren en meerpeilen zijn via de modellering met

trapezia juist zeer sterk afhankelijk). Dan geldt



[ ]( )( )

1

( | , ) 1 kans dat in elke 12-uursperiode

1 1 | ( ), ( )

Bn B

j

P H h k s H h

P H h q j m j=

> = − <

= − − >∏ (12.15)

Deze kansen kunnen worden berekend met behulp van (12.12), waarna met (12.14) en (12.13)

F(h) volgt.

12.4 Formules voor een dijkring

De voorgaande formules hebben betrekking op een dijkvak. Als dit dijkvak deel uitmaakt van de

Vechtdelta, dan is de afvoer in het model de Vechtafvoer. Maakt het dijkvak deel uit van de

IJsseldelta, dan is de afvoer in het model de IJsselafvoer. Deze paragraaf geeft formules voor

een dijkring. Randvoorwaarde is wel, omdat in het model niet beide afvoeren als gecorreleerde

stochasten zijn opgenomen, dat de ring ófwel uitsluitend bestaat uit vakken in de Vechtdelta,

ófwel uitsluitend bestaat uit vakken in de IJsseldelta. Voor de praktijk betekent dit dat

bijvoorbeeld dijkring 10 (zie Figuur 8-1) niet in zijn geheel kan worden doorgerekend, omdat

deze vakken in beide delta’s heeft. Hoe met dit probleem om te gaan komt verderop aan de

orde.

Beschouw nu een dijkring R met i = 1, 2,..., n dijkvakken met respectievelijke kruinhoogtes h1,

h2,..., hn. Geef de overschrijdingsfrequentie van de ring aan met

1 2( , ,..., ) overschrijdingsfrequentie dijkring (keren/jaar)R R nF F h h h= = (12.16)

Geef het hydraulisch belastingniveau voor dijkvak i aan met

( , , , , ) hydraulische belasting dijkvak i (m+NAP)i iH H q m u r λ= = (12.17)

Voor de ring R wordt een ‘effectief’ hydraulisch belastingniveau H gedefinieerd als het maximum

over de dijkvakken van het verschil tussen de hydraulische belastingniveaus en de kruinhoog-

tes:

( )

1,2,...,( , , , , ) max ( , , , , )

= effectieve hydraulische belasting dijkring (m)

i ii nH H q m u r H q m u r hλ λ

== = −

(12.18)

De dijkring faalt voor een combinatie (q,m,u,r,λ) dan en slechts dan indien H(q,m,u,r,λ) > 0.

Neem als toelichting aan dat H(q,m,u,r,λ) > 0. Dan moet voor tenminste één dijkvak i gelden

dat Hi(q,m,u,r,λ) – hi > 0, oftewel dat Hi(q,m,u,r,λ) > hi. Dat houdt in dat dijkvak i faalt en

eveneens dat de ring als geheel faalt. Dus H > 0 impliceert dat de dijkring faalt. Omgekeerd is

ook eenvoudig in te zien dat het falen van de ring inhoudt dat H > 0.

De overschrijdingsfrequentie FR van de dijkring kan met de “gebruikelijke” formules uit de

voorgaande paragrafen worden bepaald. De belasting H voor de ring kan namelijk

berekeningstechnisch worden behandeld als een belasting voor een dijkvak, indien als (fictieve)

kruinhoogte de waarde h = 0 wordt genomen. In formule kan worden geschreven

1 2( , ,..., ) ( 0)R R nF F h h h F h= = = (12.19)

waarbij het laatste wordt berekend met de formules voor een dijkvak uit paragraaf 12.3.



Merk op dat indien de ring bestaat uit slechts één dijkvak met belasting H1 en kruinhoogte h1, FR

gelijk wordt aan F(h1), omdat H = H1 – h1 > 0 equivalent is met H1 > h1. In dit geval is de

ringberekening dus identiek aan de vakberekening met kruinhoogte h1 voor één locatie.

Rest nog de vraag hoe om te gaan met dijkringen die vakken hebben in beide delta’s. Een

benaderend antwoord voor de overschrijdingsfrequentie van de ring kan als volgt worden

gevonden. Splits de ring R in een deel R1 met locaties in de Vechtdelta en een deel R2 met

locaties in de IJsseldelta. Dat levert twee overschrijdingsfrequenties FR,1 en FR,2. Neem de

overschrijdingsfrequentie FR van de gehele dijkring dan gelijk aan de som van de twee

antwoorden, dus

,1 ,2 R R RF F F= + (12.20)

Dit vormt een bovengrensbenadering voor het werkelijke antwoord, omdat faalgebeurtenissen

dubbel kunnen worden geteld. Stel bijvoorbeeld dat voor dijkring 10 tijdens een extreme storm

zowel een locatie langs de IJssel als een locatie langs het Zwarte water faalt. De ring als geheel

faalt dan maar één keer, terwijl in het rechterlid van (12.20) twee faalgebeurtenissen worden

geteld. De werkelijke overschrijdingsfrequentie van de ring kan dus kleiner zijn dan het

rechterlid van (12.20). Uiteraard vormt het maximum van FR,1 en FR,2 een ondergrens voor de

werkelijke overschrijdingsfrequentie van de ring. Wanneer dit maximum dicht bij FR uit (12.20)

ligt, kan de werkelijke overschrijdingsfrequentie dus nauwkeurig bepaald worden; als dat niet

het geval is, is de onnauwkeurigheid groter.



13 Uitsplitsingen Hydra-VIJ

13.1 Het nut van de uitsplitsingen

Met het probabilistisch model kan de overschrijdingsfrequentie F(h) van het hydraulisch

belastingniveau h worden berekend. Vaak is er behoefte aan extra informatie over de afvoeren,

meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden die tijdens een eventuele

overschrijding van niveau h van belang zijn. Men wil bijvoorbeeld weten in welke mate bij

Kampen afvoeren en in welke mate daar windsnelheden van belang zijn tijdens overschrijden

van het toetspeil. Deze informatie wordt gegeven door de uitsplitsingen. Zoals met voorbeelden

toegelicht in hoofdstuk 4, kan de overschrijdingsfrequentie F(h) worden uitgesplitst naar

afvoeren, meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden. Die uitsplitsingen

geven dan informatie over de kansen waarmee deze grootheden voorkomen tijdens een

faalgebeurtenis voor niveau h. Dit hoofdstuk heeft als doel de precieze berekeningsformules

voor de uitsplitsingen te geven.

Alvorens deze formules te behandelen, moet er op worden gewezen dat strikt genomen tijdens

een faalgebeurtenis helemaal niet kan worden gesproken over (kansen op) dé afvoer, hét

meerpeil, dé windrichting, dé windsnelheid en dé keringtoestand die dan optreden, omdat deze

grootheden tijdens falen kunnen variëren. Dat wordt nu uitgelegd, maar om het simpel te

houden alleen voor de afvoer, en alleen voor faalmechanisme overloop. Om twee redenen is het

niet mogelijk om tijdens een faalgebeurtenis (voor faalmechanisme overloop) voor niveau h te

spreken over dé (ene) afvoer die dan optreedt:

1. Tijdens falen varieert de afvoer, zodat geen unieke afvoer aan het proces van falen kan

worden toegekend. Uitsluitend in de situatie dat een redelijk extreme storm nodig is voor

falen kan redelijkerwijs worden gesproken over één specifieke afvoer tijdens falen.

2. Indien meerdere overschrijdingen van niveau h plaatsvinden tijdens één en hetzelfde

afvoertrapezium, worden deze overschrijdingen gezamenlijk toch gezien als niet meer dan

één maal falen. Tijdens deze verschillende overschrijdingen kunnen (behoorlijk)

verschillende afvoeren optreden.

Beschouw als toelichting op punt 1 eerst sterk afvoergedomineerde locaties, zoals bijvoorbeeld

Olst en Dalfsen. In dat geval treedt falen op, tenminste in goede benadering, als de top van het

afvoertrapezium boven de maatgevende afvoer komt (bij volledig afvoergedomineerde locaties

is uitsluitend de afvoer van invloed op de waterstand). Gedurende enige tijd wordt dan de

maatgevende afvoer overschreden. Volgens berekeningen kan dat al snel met een bedrag van

150 á 300 m3/s zijn voor de IJssel en 30 á 60 m3/s voor de Vecht; in termen van waterstanden

gaat het dan om 1.5 á 3 decimeter. Dus voor afvoergedomineerde locaties kan aan de

faalgebeurtenis geen unieke afvoerwaarde worden toegekend.

Dat geen unieke afvoerwaarde kan worden toegekend tijdens falen, zal ook voor andere dan

afvoergedomineerde locaties gelden. Er zijn echter situaties denkbaar waarin, in ieder geval

benaderenderwijs, tóch gesproken kan worden over een unieke afvoer tijdens falen. Dat is het

geval als falen alleen tijdens een zware of extreme storm kan plaatsvinden. Dat blijkt het geval

in de IJsselmonding, waar falen (kansmatig) uitsluitend het gevolg kan zijn van een extreme



storm, in combinatie met een min of meer dagelijkse waarde van de afvoer en het meerpeil (zie

ook paragraaf 4.5).21 De storm duurt namelijk zo kort dat de meest bedreigende waterstanden,

veroorzaakt door de wind, niet langer dan orde 12 uur duren, gedurende welke periode de

afvoer niet al te veel varieert. Dus hoewel de faalgebeurtenis strikt genomen niet kan worden

toegekend aan een specifieke afvoer, kan benaderenderwijs, als falen het gevolg is van een

zware of extreme storm, toch gesproken worden over een unieke afvoer.

Punt 2 betreft een nog iets fundamenteler probleem dan punt 1. Wanneer tijdens een

afvoertrapezium meerdere overschrijdingen plaatsvinden, kunnen deze bij sterk verschillende

afvoeren optreden. Bijvoorbeeld: tijdens een IJsseltrapezium met piekwaarde 2200 m3/s treedt

een storm op tijdens de top van het trapezium, waardoor het toetspeil wordt overschreden,

terwijl tevens een dag of drie later een storm optreedt op de (neerwaartse) flank van het

trapezium bij een afvoer van 1900 m3/s waarbij opnieuw het toetspeil wordt overschreden.

Deze overschrijdingen worden als één maal falen gezien, terwijl ze bij duidelijk verschillende

afvoeren plaatsvinden.

De voorgaande uitleg betreft faalmechanisme overloop, maar voor faalmechanisme golfoverslag

gelden soortgelijke beschouwingen. Daarnaast geldt niet alleen voor de afvoer, maar eveneens

voor meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden dat ze tijdens een

faalgebeurtenis geen unieke waarde (hoeven te) hebben. De strekking van de uitleg is dat het

principieel gesproken niet mogelijk is een formule te geven die de kansen op de “unieke”

afvoeren, meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden geeft tijdens een

faalgebeurtenis. Maar wel blijkt mogelijk op enigszins pragmatische wijze dergelijke kansen toe

te kennen aan deze grootheden tijdens een faalgebeurtenis. Er is een zogenaamd

uitsplitsingsrecept bedacht om dat te doen, waarbij een bepaalde weging van de

omstandigheden tijdens falen wordt uitgevoerd. Over dat recept gaan de volgende paragrafen.

Als voorbereiding volgt echter een herformulering van formule (12.15) voor de berekening van

PB(H>h|k,s).

13.2 Continue versie probabilistische formules

Formule (12.15) heeft een discreet karakter, vanwege het “discrete” product in het rechterlid

van de formule. Nu volgt een “continue” versie van deze formule, met als belangrijkste doel dat

de formules voor de uitsplitsingen dan veel transparanter worden. De overschrijdingsfrequentie

F(h) wordt in Hydra-VIJ overigens uitgerekend op basis van de discrete versie.

Neem aan dat de trapeziumduur begint bij t = 0 en eindigt bij t = B, met t gerekend in uren, en

definieer de grootheden:

α(t,k) Afvoer op tijdstip t in het trapezium met piekwaarde k. m3/s

β(t,s) Meerpeil op tijdstip t in het trapezium met piekwaarde s. m+NAP

Uit (12.15) volgt dan in benadering, waarbij op een standaardmanier een discrete som wordt

vervangen door een continue integraal,

21 Locaties waarvoor een zware of extreme storm nodig is voor falen blijken in de Vecht- en IJsseldelta nauwelijks voor te

komen. Voor de benedenrivieren komen dergelijke locaties juist veel voor, namelijk benedenstrooms van Dordrecht en op het Haringvliet en Hollandsch Diep, waarbij onder storm dan moet worden verstaan een combinatie van storm en stormvloed.



[ ] [ ]( )

[ ]( )

( )

1

0

ln 1 ( | , ) ln 1 | ( ), ( )

1 ln 1 | ( , ), ( , )

n B

Bj

B

P H h k s P H h q j m j

dt P H h t k t sb

α β

=

− > = − >

≅ − >

∑

∫ (13.1)

In dit geval is b = 12 uur. De waarde b zou echter ook anders gekozen kunnen worden. Om de

formules zo algemeen mogelijk te houden, schrijven we hier b in plaats van 12 (uur). De

grootheid P[H>h|α(t,k),β(t,s)] wordt berekend met (12.12). Voor de duidelijkheid wordt

opgemerkt dat die grootheid afhangt van de waarde van b: een kleinere waarde van b levert

een kleinere overschrijdingskans, omdat de overschrijdingskansen van de wind, die impliciet in

(12.12) voorkomen, dan kleiner worden (de precieze manier waarop de windkansen afhangen

van b valt buiten de scope van dit rapport).

Formule (13.1) laat zien dat

[ ]( )0

1( | , ) 1 exp ln 1 | ( , ), ( , )B

BP H h k s dt P H h t k t sb

α β > ≅ − − >

∫ (13.2)

Deze benadering is met name nauwkeurig als de kans P[H>h|α(t,k),β(t,s)] niet al te snel

varieert als functie van de tijd. Men kan echter ook redeneren dat het rechterlid van (13.2), dus

de continue versie, in feite een beter antwoord voor de grootheid PB(H>h|k,s) oplevert dan de

discrete versie uit (12.15), vanuit de gedachte dat de continue versie nauwkeuriger het

tijdsverloop van afvoer en meerpeil volgt. In de nu volgende formules voor de uitsplitsingen

baseren we ons in ieder geval op de continue versie.22

De continue versie voor de berekening van PB(H>h|k,s) zal worden genoteerd als GB(H>h|k,s).

Dus geldt

[ ]( )0

1( | , ) 1 exp ln 1 | ( , ), ( , )B

BG H h k s dt P H h t k t sb

α β > = − − >

∫ (13.3)

met

( | , ) ( | , )B BG H h k s P H h k s> ≅ > (13.4)

In de continue versie van de Hydra-VIJ formules wordt PB(H>h) als analogon van (12.14) dan

gegeven door

( ) ( , ) ( | , )B BG H h dk ds f k s G H h k s> = >∫ (13.5)

terwijl de overschrijdingsfrequentie, als analogon van (12.13), dan volgt als

( ) 6 ( ), keren/jaarBF h G H h= > (13.6)

22 In de programmatuur wordt een herschaling toegepast om resultaten gebaseerd op de discrete versie van PB(H>h|k,s) in

overeenstemming te brengen met resultaten gebaseerd op de continue versie hiervan.



13.3 Uitsplitsing naar de afvoer

Het idee achter de uitsplitsingen wordt in deze paragraaf uitgelegd voor de versimpelde situatie

waarin ten eerste het meerpeil in het model afwezig is, en ten tweede de overschrijdings-

frequentie alleen wordt uitgesplitst naar de afvoer, maar niet naar windrichting, windsnelheid en

keringtoestand. Omdat de overschrijdingsfrequentie F(h) gelijk is aan 6 maal PB(H>h), dient

een geschikt wegingsproces te worden gevonden om PB(H>h) uit te splitsen naar de diverse

afvoerniveaus.

We zoeken daartoe een “representatieve” bijdrage voor een afvoerinterval [q1,q2] aan de

overschrijdingskans PB(H>h). Noem die afvoerbijdrage A([q1,q2]). De bijdragen dienen zo te zijn

dat indien een partitie van het hele afvoerbereik wordt beschouwd, de som van alle bijdragen

PB(H>h) oplevert. De precieze, zij het enigszins pragmatische interpretatie van A([q1,q2]) luidt:

de grootheid A([q1,q2])/PB(H>h) geeft de kans dat, conditioneel op falen in duur B, een afvoer

optreedt die ligt tussen q1 en q2. Het pragmatische zit hem er in dat, zoals eerder uitgelegd,

geen sprake is van een unieke afvoer tijdens falen, en dat kansen daarom alleen kunnen

worden toegekend door middel van een wegingsrecept.

Omdat het meerpeil in deze paragraaf niet voorkomt, wordt als analogon van P(H>h|q,m) uit

(12.12) nu P(H>h|q) beschouwd en als analogon van GB(H>h|k,s) uit (13.3) nu GB(H>h|k).

Beschouw eerst een afvoertrapezium met gegeven piekwaarde k. De kans dat tijdens dit

trapezium falen optreedt is GB(H>h|k). Het uitsplitsingsrecept bestaat er uit dat een

faalgebeurtenis die tijdens dit trapezium optreedt “naar evenredigheid” wordt verdeeld over de

afvoeren die binnen het trapezium voorkomen. De bijdrage aan een afvoerniveau q wordt losjes

gezegd daarbij evenredig genomen aan de kans P(H>h|q) en aan de duur dat het niveau q

binnen het trapezium aanhoudt.

tijd

afvoer

k

q

B

q+∆q

∆t1 ∆t2

Figuur 13-1: Weergave van ∆t1 en ∆t2 in het trapezium met piekwaarde k.

Om dit preciezer te omschrijven beschouwen we een interval [q, q+∆q] met ∆q niet al te groot,

zodat P(H>h|q) ≅ P(H>h|q+∆q). De tijdsduur dat afvoeren in [q, q+∆q] optreden tijdens de golf

met piekwaarde k is gelijk aan ∆t(q,k) = ∆t1 + ∆t2, waarbij ∆t1 en ∆t2, zie Figuur 13-1, de duren

in de opgaande en dalende tak vormen gedurende welke de afvoer zich in het beschouwde

interval bevindt. We stellen nu dat de bijdrage aan [q, q+∆q] die geleverd wordt door het

trapezium met piekwaarde k gelijk moet zijn aan

( ) ( )[ , ] | ( | ) ( , )J kA q q q k P H h q t q kb

+ ∆ = > ∆ (13.7)



waarbij J(k) een evenredigheidsconstante is die zo bepaald moet worden dat alle bijdragen

samen de faalkans GB(H>h|k) opleveren.

Wat de notatie betreft het volgende zijstapje. De factor b in (13.7) is alleen geïntroduceerd om

er voor te zorgen dat de evenredigheidsconstante J(k) dezelfde waarde heeft als in de eerdere

rapporten [Geerse, 2003a; Geerse, 2005]; de b zou immers ook kunnen worden opgenomen in

de evenredigheidsconstante. In de eerdere rapporten ontbreekt de factor b, omdat daarin de

tijd in eenheden van b wordt gerekend, met als gevolg dat b in de formules niet zichtbaar is. In

het voorliggende rapport wordt de tijd in eenheden van uren gerekend, met als voordeel dat

expliciet aan de formules is te zien hoe een verandering van b doorwerkt in allerlei grootheden.

We gaan nu verder met de berekening van J(k). Discretiseer het afvoerbereik van q=0 tot q=k

door n-1 intervallen van breedte ∆q, met q1=0, q2=∆q, q3=2∆q,..., qn=k. Dan moet J(k) zodanig

zijn dat is voldaan aan

( )1

1

( )| ( | ) ( , )n

B i ii

J kG H h k P H h q t q kb

−

=

> = > ∆∑ (13.8)

De sommatie over afvoeren in het rechterlid kan worden vervangen door een sommatie over de

tijd. In plaats van de afvoer te discretiseren met stapjes ∆q kan evengoed de tijd worden

gediscretiseerd in stapjes ∆t, mits tenminste ∆q en ∆t klein genoeg zijn. Met α(t,k) de afvoer als

functie van de tijd, geldt dan in goede benadering

( )1 1

1 1

( | ) ( , ) | ( , )n m

i i ji j

P H h q t q k P H h t k tα− −

= =

> ∆ = > ∆∑ ∑ (13.9)

waarin het tijdsinterval van 0 tot B gediscretiseerd is in m-1 stapjes ∆t: t1=0, t2=∆t, t3=2∆t,...,

tm=B. De sommatie in het rechterlid van (13.9) kan worden benaderd door een integraal over

de tijd, zodat (13.8) de volgende vorm krijgt

( ) ( )0

( )| | ( , )B

BJ kG H h k dt P H h t k

bα> = >∫ (13.10)

Introduceer nu als afkorting

( ) ( )0

1| | ( , )B

BG H h k dt P H h t kb

α> = >∫ (13.11)

Dan is J(k) dus gelijk aan

( )( | )

( )|

B

B

G H h kJ k

G H h k>

=>

(13.12)

Volgens (13.7) is de bijdrage van het interval [q,q+∆q] aan de faalkans GB(H>h|k) dus gelijk

aan

( )( )( | )( ) 1[ , ] | ( | ) ( , ) ( | ) ( , )

|B

B

G H h kJ kA q q q k P H h q t q k P H h q t q kb b G H h k

>+ ∆ = > ∆ = > ∆

> (13.13)



Tot nu toe is, omdat ∆q klein is genomen, het beschouwde afvoerinterval erg smal. Beschouw

nu een interval [q1,q2] van willekeurige breedte. Dit interval kan worden opgedeeld in kleine

deelintervalletjes, waarvan de bijdragen gesommeerd kunnen worden. Analoog aan (13.9) en

(13.10) volgt dan

( ) ( )1 2

1 2[0, ]: ( , ) [ , ]

( )[ , ] | | ( , )t B t k q q

J kA q q k dt P H h t kb α

α∈ ∈

= >∫ (13.14)

Dit is de formule voor de bijdrage van afvoeren in [q1,q2] aan de faalkans GB(H>h|k). Om de

bijdrage van deze afvoeren aan de faalkans GB(H>h) te krijgen, moet k worden uitgeïntegreerd:

( ) ( )1 2 1 2[ , ] ( ) [ , ] |A q q dk f k A q q k= ∫ (13.15)

Ter controle kan worden geverifieerd dat A([q1=0, q2=∞]) gelijk is aan GB(H>h): de bijdragen

van alle afvoeren tezamen moeten immers gelijk zijn aan deze kans. Inderdaad volgt, met

(13.15), (13.14), (13.11), (13.12), en door gebruik te maken van (13.5) maar dan zonder

meerpeilen,

( ) ( )1 2[0, ]: ( , ) [0, ]

( )[ 0, ] ( ) | ( , )

( ) ( ) ( | )

( ) ( | )

( )

t B t k

B

B

B

J kA q q dk f k dt P H h t kb

dk f k J k G H h k

dk f k G H h k

G H h

α

α∈ ∈ ∞

= = ∞ = >

= >

= >

= >

∫ ∫

∫∫

(13.16)

De uitsplitsing van GB(H>h) naar het interval [q1,q2] levert op simpele wijze de uitsplitsing naar

dit interval van de overschrijdingsfrequentie F(h). De laatste uitsplitsing wordt aangegeven als

F([q1,q2]). Met (13.6) volgt

( ) ( )1 2 1 2[ , ] 6 [ , ]F q q A q q= (13.17)

13.4 Uitsplitsing naar de afvoer en het meerpeil

De theorie wordt nu uitgebreid: naast de afvoer wordt nu ook het meerpeil weer in het model

opgenomen. Dan is een formule nodig voor de bijdrage A([q1,q2], [m1,m2]). Startpunt daarvoor

is een geschikte formule voor de bijdrage A([q1,q2], [m1,m2]|k,s), omdat uitintegreren van k en

s dan A([q1,q2], [m1,m2]) oplevert. Om de bijdragen conditioneel op k en s te vinden,

herschrijven we eerst (13.14). Deze formule kan ook, zie (13.11) en (13.12), geschreven

worden als

( )( )

( )1 2[0, ]: ( , ) [ , ]

1 2

[0, ]

| ( , )[ , ] | ( | )

| ( , )t B t k q q

B

t B

dt P H h t kA q q k G H h k

dt P H h t kα

α

α∈ ∈

∈

>

= >>

∫

∫ (13.18)



B

k

sm2

m1

q1

q2

interval

Figuur 13-2: Weergave van het tijdsinterval bestaande uit tijdstippen waarvoor α(t,k)∈ [q1,q2] en tevens

β(t,s) ∈ [m1,m2].

De uitbreiding naar de situatie inclusief meerpeil is dan vrij evident. Daarvoor moet worden

genomen

( )

( )

( )

1 21 2

[0, ]: ( , ) [ , ],( , ) [ , ]

1 2 1 2

[0, ]

1 | ( , ), ( , )

[ , ],[ , ] | , ( | , )1 | ( , ), ( , )

t B t k q qt s m m

B

t B

dt P H h t k t sb

A q q m m k s G H h k sdt P H h t k t s

b

αβ

α β

α β

∈ ∈∈

∈

>

= >>

∫

∫ (13.19)

Zie als toelichting op het integratie-interval uit de integraal in de teller Figuur 13-2. Om de

formule iets compacter te schrijven definiëren we

( )[0, ]

1( | , ) | ( , ), ( , )B

t B

G H h k s dt P H h t k t sb

α β∈

> = >∫ (13.20)

en

( | , )

( , )( | , )

B

B

G H h k sJ k s

G H h k s>

=>

(13.21)

zodat (13.19) ook kan worden geschreven als

( ) ( )1 21 2

1 2 1 2[0, ]: ( , ) [ , ],

( , ) [ , ]

( , )[ , ],[ , ] | , | ( , ), ( , )t B t k q q

t s m m

J k sA q q m m k s dt P H h t k t sb α

β

α β∈ ∈

∈

= >∫ (13.22)



Door uitintegreren van k en s volgt dan

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ] ( , ) [ , ],[ , ] | ,A q q m m dk ds f k s A q q m m k s= ∫ (13.23)

Het is eenvoudig te verifiëren dat A([q1=0,q2=∞], [m1=-0.4,m2=∞]) = GB(H>h), zoals het geval

moet zijn. De uitsplitsing uit (13.23) impliceert, vanwege (13.6), dat de uitsplitsing van de

overschrijdingsfrequentie dan wordt gegeven door

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ] 6 [ , ],[ , ]F q q m m A q q m m= (13.24)

13.5 Volledige uitsplitsingen

Deze paragraaf behandelt de volledige uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie: naar afvoer

q, meerpeil m, windsnelheid u, windrichting r en keringtoestand ω. Daartoe dient in eerste

instantie een formule te worden gevonden voor A([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r,ω|k,s). Om die te

vinden, moet eerst P(H>h|q,m) uit (12.9) worden herschreven. De basisformule daarvoor is

16 1

1 0 0

( | , ) ( | , , , , ) ( , , | , )r u

P H h q m du P H h q m u r g u r q mω

ω ω= = ≥

> = >∑∑ ∫ (13.25)

De belasting H is een functie van (q,m,u,r,λ), waarbij λ de waarden λFW en λFN aanneemt.

Omdat de kansdichtheid (onder meer) van ω afhangt, en niet van λ, is het soms handig om de

belasting niet als functie van λ maar als functie van ω te beschouwen. Omdat voor ω = 0 de

belasting kan worden berekend uitgaande van λ=λFW en voor ω=1 door uit te gaan van λ=λFN

definiëren we

als 0 (kering hoeft niet te sluiten of faalt)

( )als 1 (kering sluit daadwerkelijk)

FW

FN

λ ωλ ω

λ ω=

= = (13.26)

zodat de belasting kan worden geschreven als H = H(q,m,u,r,λ(ω)).

Zoals uitgelegd na (12.9) is P(H>h|q,m,u,r,ω) een indicatorfunctie, waarvoor geldt dat deze 1 is

als H(q,m,u,r,λ(ω))>h en 0 als H(q,m,u,r, λ(ω)) ≤ h. Daarom kan (13.25) ook worden

geschreven als,

( )

16 1

1 0 0: , , , , ( )

( | , ) ( , , | , )r u H q m u r h

P H h q m du g u r q mω λ ω

ω= = ≥ >

> = ∑∑ ∫ (13.27)

Formule (13.22) maakt dan duidelijk dat, conditioneel op k en s, voor de volledige uitsplitsing

genomen kan worden

( )

( )( )1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

[0, ]: ( , ) [ , ], [ , ]: ( , ), ( , ), , , ( )( , ) [ , ]

[ , ],[ , ],[ , ], , | ,

( , ) , , | ( , ), ( , )t B t k q q u u u H t k t s u r h

t s m m

A q q m m u u r k s

J k s dt du g u r t k t sb α α β λ ω

β

ω

ω α β∈ ∈ ∈ >

∈

=

∫ ∫ (13.28)

Voor de niet conditionele uitsplitsing volgt dan

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , ( , ) [ , ],[ , ],[ , ], , | ,A q q m m u u r dk ds f k s A q q m m u u r k sω ω= ∫ (13.29)



De corresponderende uitsplitsing voor de overschrijdingsfrequentie volgt als

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , 6 [ , ],[ , ],[ , ], ,F q q m m u u r A q q m m u u rω ω= (13.30)

Het is eenvoudig te verifiëren, met q0 gelijk aan 0 m3/s voor de Vecht en 200 m3/s voor de

IJssel, m0=-0.4 m+NAP en u0=0 m/s, dat

( )16 1

0 0 01 0

[ , ],[ , ],[ , ], , ( )r

F q m u r F hω

ω= =

∞ ∞ ∞ =∑∑ (13.31)

wat dus inhoudt dat het “totaal van de uitsplitsingen” de overschrijdingsfrequentie oplevert,

zoals uiteraard het geval moet zijn.

Deeluitsplitsingen kunnen verkregen worden door de grootheden waarnaar niet wordt

uitgesplitst te “aggregeren” als in Tabel 13-1.

aggregeren van berekening uit F([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r,ω) door:

1 afvoer neem [q1,q2] = [q0, ∞)

2 meerpeil neem [m1,m2] = [m0, ∞)

3 windsnelheid neem [u1,u2] = [u0, ∞)

4 windrichting sommeer over r = 1 t/m 16

5 keringtoestand sommeer over ω = 0, 1

Tabel 13-1: Aggregatiehandelingen voor de diverse grootheden, waarbij q0=0, m0=-0.4 en u0=0.

Neem als voorbeeld de uitsplitsing naar u en r. Die wordt verkregen als

( )1

1 2 0 0 1 20

([ , ], ) [ , ),[ , ),[ , ], ,F u u r F q m u u rω

ω=

= ∞ ∞∑ (13.32)

13.6 Alternatieve formule voor de uitsplitsingen

De basisformules voor de uitsplitsingen worden gegeven door (13.28) en (13.29). In de eerste

formule komt een integratie over de tijd voor. Het blijkt mogelijk de tijdintegratie te vervangen

door een integratie over q, m en u. De dan verkregen “alternatieve” formules zijn ten eerste

eenvoudiger en ten tweede geschikter om te implementeren dan de eerdere versies. Hier volgen

de alternatieve formules.

Alleereerst wordt opgemerkt dat de grootheid L(q,k,m,s) uit paragraaf 12.1 kan worden

berekend als

[0, ]: ( , ) , ( , )

( , , , )t B t k q t s m

L q k m s dtα β∈ ≥ ≥

= ∫ (13.33)

Dit is dus het aantal uren waarvoor (niet noodzakelijkerwijs aaneengesloten) tegelijkertijd

niveau q wordt overschreden in het afvoertrapezium met piekwaarde k en niveau m wordt

overschreden in het meerpeiltrapezium met piekwaarde s. Definieer nu de niet-negatieve

grootheid



21( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0

q m

v q m dk ds f k s J k s L q k m sb q m

∞ ∞∂= ≥

∂ ∂ ∫ ∫ (13.34)

en het faalgebied G door

( ) ( , , , , ) | , , , , ( )G q m u r H q m u r hω λ ω= ≥ (13.35)

De karakteristieke functie van G wordt aangegeven met χG(q,m,u,r,ω): deze is gelijk aan 1 voor

punten (q,m,u,r,ω) in G, en 0 voor punten daarbuiten. Het kan worden aangetoond dat de

uitsplitsing uit (13.29) dan ook kan worden berekend als

( )2 2 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , ( , ) ( , , | , ) ( , , , , )q m u

Gq m u

A q q m m u u r dq dm du v q m g u r q m q m u rω ω χ ω= ∫ ∫ ∫ (13.36)

Het bewijs is nogal gecompliceerd, en wordt gegeven in Bijlage B.

We merken nog het volgende op. Als we definiëren

( , , , , ) ( , ) ( , , | , ) ( , , , , )Gv q m u r v q m g u r q m q m u rω ω χ ω= (13.37)

volgt uit (13.36)

( )2 2 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , ( , , , , )q m u

q m u

A q q m m u u r dq dm du v q m u rω ω= ∫ ∫ ∫ (13.38)

De grootheid v(q,m,u,r,ω) is niet-negatief op het faalgebied G en gelijk aan 0 buiten G, en kan

vanwege (13.38) worden opgevat als een soort van frequentiedichtheid: integratie over een

deelgebied van G levert de bijdrage aan de overschrijdingsfrequentie geleverd door dit

deelgebied (die integratie kan ook een (deel)sommatie over r en ω bevatten). Integratie van

v(q,m,u,r,ω) over heel G levert volgens (13.31) de overschrijdingsfrequentie F(h). Merk nog op

dat v(q,m,u,r,ω) van h afhangt. Ten eerste omdat G van h afhangt, en daarnaast via ( , )v q m ,

omdat deze grootheid via J(k,s) van h afhangt.

13.7 Windgedomineerde locaties

Het is interessant om een soort “limietgeval” van de formules te bekijken, namelijk de situatie

waar falen met grote kans het gevolg is van een extreme storm. Het gaat dan om wind-

gedomineerde locaties, die volgens paragraaf 4.5.1 zich in de IJsselmonding bevinden: falen

treedt daar (vrijwel zeker) op door een extreme storm in combinatie met relatief lage afvoeren

en meerpeilen. Fysisch gezien wordt een windgedomineerde locatie gekarakteriseerd door het

feit dat de belasting H gevoelig is voor verandering in de wind (verandering in de wind doet H

duidelijk veranderen) maar veel minder gevoelig is voor veranderingen in de afvoer en het

meerpeil.

De uitleg uit paragraaf 6.2 maakt duidelijk dat faalgebeurtenissen dan met grote kans slechts

één blokduur duren, waardoor het gedetailleerde tijdsverloop van de trage stochasten afvoer en

meerpeil irrelevant wordt. Van deze stochasten doen dan alleen de momentane verdelingen er

toe. Formule (6.4) suggereert dat de overschrijdingsfrequentie F(h) dan wordt gegeven, omdat

kan worden gekozen mg = ∞, qg = ∞, door



( )0 0

( ) ( , ) | , , voor windgedomineerde locatiesq m

F h N dq dm g q m P H h q m∞ ∞

= >∫ ∫ (13.39)

waarbij N = 360 het aantal blokduren in het winterhalfjaar geeft. Nu wordt gedemonstreerd dat

deze formule inderdaad volgt uit de hiervoor gegeven uitsplitsingsformules, door daarin een

voor windgedomineerde locaties geldende benadering toe te passen.

Beschouw eerst GB(H>h|k,s) uit (13.3). Hierin komt de kans P(H>h|α(t,k),β(t,s)) voor. De

aanname van windgedomineerd zijn, betekent dat deze kans voor iedere t, k en s erg klein is:

er is immers een extreme storm nodig voor falen, en de kans daarop is zeer klein. Door gebruik

te maken van de benaderingen ln(1+x) ≅ x en 1-exp(-y) ≅ y, geldig voor kleine x en y, kan voor

(13.3) worden geschreven, met behulp van (13.20),

[ ]

[ ]

0

0

1( | , ) 1 exp | ( , ), ( , )

1 | ( , ), ( , )

( | , )

B

B

B

B

G H h k s dt P H h t k t sb

dt P H h t k t sb

G H h k s

α β

α β

> ≅ − − >

≅ >

= >

∫

∫ (13.40)

Definitie (13.21) laat dan zien

( , ) 1, voor windgedomineerde locatiesJ k s ≅ (13.41)

Uit (13.34), (12.6) en (12.7) volgt dan

( , ) ( , )Bv q m g q mb

≅ (13.42)

zodat (13.30), (13.31) en (13.36) volgt

( )

0 0 0

16 1

0 0 01 0

16 1

1 0

( ) 6 [ , ],[ , ],[ , ], ,

6 ( , ) ( , , | , ) ( , , , , )

r

Gr q m u

F h A q m u r

B dq dm du g q m g u r q m q m u rb

ω

ω

ω

ω χ ω

= =

∞ ∞ ∞

= =

= ∞ ∞ ∞

≅

∑∑

∑∑ ∫ ∫ ∫ (13.43)

De factor 6B/b = 6*720/12 = 360 geeft het aantal 12-uursblokken in het winterhalfjaar,

hiervoor aangeduid als N. Vanwege (13.27) en de definitie van de karakteristieke functie χG

gegeven onder (13.35), volgt dan dat (13.43) inderdaad gelijk is aan (13.39), waarbij de

benadering geldig is voor windgedomineerde locaties.

Merk nog op dat uit (13.39) volgt

( ) ( ), voor windgedomineerde locatiesF h N P H h= > (13.44)

Hier staat dat voor dergelijke locaties de overschrijdingsfrequentie F(h) kan worden berekend

door eerst de faalkans voor de blokduur te berekenen, waarin de momentane verdeling van

(Q,M) een rol speelt, en vervolgens deze faalkans te vermenigvuldigen met het aantal

blokduren in het winterhalfjaar. Dit resultaat maakt nog eens extra duidelijk dat voor



windgedomineerde locaties het gedetailleerde tijdsverloop van afvoeren en meerpeilen geen rol

speelt.



14 Illustratiepunten Hydra-VIJ

Dit hoofdstuk gaat over de berekeningswijze van de illustratiepunten (IP’s). Concrete

voorbeelden van IP’s zijn, voor waterstanden en kruinhoogtes, gegeven in paragraaf 4.3.3 en

4.4.4. Ter herinnering: per combinatie (r,ω) van richting en keringtoestand, geeft het IP de

waarde van de afvoer q, het meerpeil m en de windsnelheid u die het meest waarschijnlijk zijn

temidden van alle situaties waarvoor “juist falen optreedt”. Op basis van de gevonden

combinatie (q,m,u) worden dan aanvullende grootheden berekend, de lokale waterstand en

eventueel golfgegevens, die gemakshalve ook tot het IP worden gerekend.

Voordat de formules voor de berekening van de IP’s kunnen worden gegeven, moet eerst het

begrip isovlak worden uitgelegd, en moet worden aangegeven welke kansdichtheid in de

berekening wordt gebruikt. Deze grootheden zijn onderwerp van de volgende paragraaf. Daarna

volgen de formules voor de berekening van de IP’s.

14.1 Isovlakken en keuze kansdichtheid

Het faalgebied is in (13.35) omschreven als de verzameling van alle punten (q,m,u,r,ω)

waarvoor de belasting niveau h overschrijdt. In de context van een IP wordt steeds een vaste

combinatie (r,ω) beschouwd: het faalgebied voor die combinatie – dat overigens ook uit de lege

verzameling kan bestaan – bestaat dan uit alle punten (q,m,u) waarvoor bij gegeven (r,ω) de

belasting niveau h overschrijdt. De grens van het faalgebied wordt gevormd door de punten

(q,m,u) waarvoor de belasting precies gelijk is aan niveau h. Deze grens wordt aangeduid als

het isovlak van niveau h, zie Figuur 14-1. Het bestaat uit de punten waarvoor “juist falen

optreedt”.

qm

(q,m,u)

Q

M

U

niveau h

Figuur 14-1: Isovlak van niveau h bij gegeven combinatie (r,ω). Het faalgebied bestaat uit de punten die

bóven het isovlak liggen.



De voor de hand liggende definitie van het IP, corresponderend met de berekening van F(h), is

te stellen dat het dát punt (q,m,u) op het isovlak is waarvoor de kans op falen bij gegeven (r,ω)

maximaal is. Een probleem hierbij is dat F(h) in Hydra-VIJ niet simpelweg berekend wordt door

een kansdichtheid te integreren over het faalgebied. F(h) wordt immers berekend met de

formules (12.12) t/m (12.15), waarin rekening gehouden wordt met de verschillende tijdschalen

waarop stochasten variëren (afvoer en meerpeil variëren traag ten opzichte van de wind). Dat

verschil in tijdschaal verhindert dat F(h) als integraal van een kansdichtheid over een faalgebied

kan worden berekend.

In Hydra-VIJ is de pragmatische keuze gemaakt om de momentane kansdichtheid g(q,m,u,r,ω)

uit (12.4) te gebruiken als uitgangspunt om het IP te bepalen. Daarbij is wel het faalgebied

eerst getransformeerd met de zogenaamde Rosenblatt-transformatie. Alvorens deze uitleg te

geven, wordt eerst om didactische redenen de definitie van het IP zonder deze transformatie

gegeven.

14.2 Definitie illustratiepunt

14.2.1 Illustratiepunt exclusief transformatie

De procedure om, exclusief transformatie, het IP bij gegeven combinatie (r,ω) te bepalen,

behorend bij de berekening van F(h), is als volgt:

1. Bepaal het isovlak bestaande uit de punten (q,m,u) waarvoor H(q,m,u,r,λ(ω)) = h.

2. Zoek het punt (q,m,u) = (qIP, mIP, uIP) waarvoor g(q,m,u|r,ω) op dit isovlak zijn maximum

aanneemt.

De kansdichtheid uit punt 2 heeft de vorm

( , , , , )( , , | , )

( , )g q m u rg q m u r

g rωω

ω= (14.1)

waarin g(q,m,u,r,ω) volgt uit (12.4) en g(r,ω) volgt door het uitintegreren van (q,m,u) in

g(q,m,u,r,ω).

14.2.2 Illustratiepunt inclusief Rosenblatt-transformatie

Bovenstaande manier om IP’s te bepalen wordt zoals gezegd niet gebruikt in Hydra-VIJ. In

plaats daarvan wordt de kansdichtheid genomen die ontstaat door (14.1) te onderwerpen aan

de Rosenblatt-transformatie. In deze transformatie worden q, m en u getransformeerd naar

onafhankelijke, standaardnormale verdelingen. Een voordeel van het dan gevonden illu-

stratiepunt ingeval de kansdichtheid g(q,m,u,|r,ω) onregelmatigheden of knikken vertoont, is

dat het veel robuuster is dan het illustratiepunt exclusief transformatie. Zulke onregelmatig-

heden kunnen het gevolg zijn van op niet geheel nette wijze afgeleide kansverdelingen.

Daarnaast geeft het illustratiepunt inclusief transformatie een meer natuurlijk zwaartepunt van

de kansverdeling op het isovlak.

Een en ander wordt toegelicht voor een sterk versimpelde situatie, namelijk voor een

kansdichtheid van slechts één variabele, zonder daarbij isovlakken te betrekken. Figuur 14-2

toont een kansdichtheid met een scherpe piek. Omdat ter plaatse van deze piek het maximum



optreedt, wordt het illustratiepunt exclusief transformatie dan gegeven door punt X. Na

transformatie naar een standaardnormale verdeling komt het maximum van de

getransformeerde kansdichtheid bij de waarde 0 te liggen, die na terugtransformeren bij de

mediaan van de oorspronkelijke kansdichtheid komt te liggen. Bij het toepassen van de normale

transformatie komt in dit voorbeeld het illustratiepunt dus bij de mediaan te liggen in plaats van

bij X, wat (gevoelsmatig) een meer natuurlijke waarde vormt dan de piek die ondanks zijn

hoogte weinig kansinhoud heeft. Het voorbeeld is nogal simpel, omdat naast het beschouwen

van maar één variabele ook geen isovlak wordt beschouwd, maar het idee bij het beschouwen

van de getransformeerde g(q,m,u|r,ω) op een isovlak blijft hetzelfde.

Xmediaan

Figuur 14-2 Toelichting van het nut van de Rosenblatt-transformatie om het illustratiepunt te bepalen.

De Rosenblatt-transformatie, zoals in Hydra-VIJ toegepast, heeft de volgende vorm

( )( )

( )

1

1

1

( , , ) ( | , )

( , , , ) ( | , , )

( , , , , ) ( | , , , )

x x q r P Q q r

y y q m r P M m q r

z z q m u r P U u q m r

ω ω

ω ω

ω ω

−

−

−

= = Φ <

= = Φ <

= = Φ <

(14.2)

Hierin is Φ-1 de inverse van de cumulatieve standaardnormale verdelingsfuntie Φ. De variabelen

x, y en z blijken nu onafhankelijke, standaardnormaal verdeelde variabelen te zijn. Onder de

transformatie wordt het isovlak meegetransformeerd, wat een (gekromd) oppervlak oplevert in

de (x,y,z)-ruimte. Voor de duidelijkheid: de onderschrijdingskansen in het rechterlid van (14.2)

worden bepaald door gebruik te maken van g(q,m,u,r,ω). Bijvoorbeeld P(Q<q|r,ω) wordt

verkregen door in g(q,m,u|r,ω) de m en u uit te integreren, en vervolgens de afvoeren te

integreren van -∞ tot q.

Het IP bij gegeven combinatie (r,ω), behorend bij de berekening van F(h), kan nu worden

bepaald met de volgende stappen:

1. Bepaal het isovlak bestaande uit de punten (q,m,u) waarvoor H(q,m,u,r,λ(ω)) = h.

2. Transformeer de variabelen q, m en u naar onafhankelijke standaardnormale variabelen x, y

en z volgens (14.2). Onder deze transformatie gaat het isovlak van niveau h in de (q,m,u)-

ruimte over in een getransformeerd isovlak in de (x,y,z)-ruimte.

3. Zoek op het getransformeerde isovlak het punt (xIP, yIP, zIP) met de kleinste afstand tot de

oorsprong; dat is namelijk het punt waarvoor de getransformeerde kansdichtheid zijn



maximum aanneemt.

4. Transformeer het punt (xIP, yIP, zIP) met de inverse van de Rosenblatt-transformatie terug

naar het punt (qIP, mIP, uIP) dat ligt op het oorspronkelijke isovlak, welk punt dan het

gezochte illustratiepunt vormt.

Berekeningstechnisch blijkt overigens dat stap 4, de terugtransformatie, niet geïmplementeerd

hoeft te worden om het IP te bepalen, zie de systeemdocumentatie [Duits, 2008c], maar

wiskundig verloopt de berekening volgens de stappen 1 t/m 4.

Deel 3



15 Inleiding model Hydra-B

Dit deel van het rapport (hoofdstuk 15 t/m 20) behandelt het model Hydra-B, waarbij het

voorliggende hoofdstuk een context geeft voor de daaropvolgende hoofdstukken 16 t/m 20.

Hieronder komen aan de orde: een beschrijving van het gebied en van de modelstochasten, de

voor dit rapport belangrijkste onderdelen uit het model, een gebiedsindeling van waar welke

stochasten belangrijk zijn en tot besluit een schema van de opzet van het

model/computerprogramma.

15.1 Benedenrivierengebied

Het benedenrivierengebied bestaat uit (delen van) de dijkringgebieden 14 t/m 25, 34, 34a en

35 (zie dijkringenkaart Figuur 2-1). In dit rapport wordt voor het probabilistisch model

Hydra-B uitgegaan van de modelversie en gegevens voor de HR2006. In dat geval is het

model toepasbaar benedenstrooms van (en inclusief) km 967 op de Lek, km 953 op de Boven

Merwede, km 244 op de Afgedamde Maas en km 227 op de Maas (Figuur 15-1). Voor de

locaties Maas km 227 t/m Bergsche Maas km 246 wordt in Hydra-B de statistiek van de Maas te

Lith gebruikt, omdat deze locaties vooral onder invloed van de Maas staan en minder van de

Rijn (hoe precies de Rijnafvoer voor deze locaties in het model verwerkt wordt, zal later

duidelijk worden). De betreffende locaties worden Maasdominant genoemd. Voor de overige

locaties in het benedenrivierengebied, waarvoor de Rijnafvoer belangrijker is dan de

Maasafvoer, de zogenaamde Rijndominante locaties, wordt de statistiek van de Rijn te Lobith

gebruikt.

In het gebied bevinden zich twee keringen die in Hydra-B zijn opgenomen, waarbij rekening

wordt gehouden met hun beheer en faalkans: de Maeslantkering in de Nieuwe Waterweg (nabij

km 1026) en de Hartelkering in het Hartelkanaal (nabij km 1). Overigens zijn in de

benedenrivieren meer keringen/kunstwerken aanwezig, zoals de Haringvlietsluizen, de

stormstuw in de Hollandsche IJssel en de keersluis in het Heusdensch Kanaal. Deze zijn niet

expliciet in de Hydra-B formules opgenomen: hun beheer is deterministisch gemodelleerd

(zonder faalkans) in de Sobek-berekeningen die ten behoeve van Hydra-B zijn gemaakt.23

Tabel 15-1 geeft enkele gegevens over de dijkringen uit het gebied.

Hydra-B heeft twee soorten locaties, waarvan de gegevens zijn opgenomen in meerdere

databases:

• Aslocaties, gelegen om de kilometer in de as van de rivier, weergegeven in Figuur 15-1.

• Oeverlocaties, gelegen aan de oever, waarvoor defaultwaarden voor strijklengtes en

bodemhoogtes beschikbaar zijn (zie ter verduidelijking ook Figuur 4-1 en Figuur 4-2).

De aslocaties zijn de locaties waarvoor de toetspeilen uit de Hydraulische Randvoorwaarden

worden berekend. Voor de oeverlocaties kunnen, met faalmechanisme golfoverslag, benodigde

kruinhoogtes worden bepaald.

23 Er bestaat een versie van het programma, Hydra-BS, waarin deze keringen/kunstwerken wel (met faalkans) zijn

opgenomen, waarbij ook de mogelijkheid is ingebouwd het Volkerak-Zoommeer in te zetten tijdens hoogwatersituaties en de Maeslantkering als extra faalwijze “niet openen” heeft [Geerse, 2007c; Duits, 2008e]. Vanwege ontbrekende invoer voor de waterstanden, is deze versie nog niet operationeel. Hydra-BS bevat wel minder opties voor de uitvoer; zo ontbreken illustratiepunten en uitsplitsingen.



Figuur 15-1: Aslocaties in de benedenrivieren: de locaties westelijk van de stippellijn.

dijkringgebied normfrequentie naam buitenwater

14 1/10000 Zuid-Holland Nieuwe Waterweg, Nieuwe Maas15 1/2000 Lopiker- en Nieuwe Maas, Lek

Krimpenerwaard16 1/2000 Alblasserwaard en de Lek, Boven- en Beneden

Vijfheerenlanden Merwede, Noord17 1/4000 IJsselmonde Nieuwe Maas, Noord, Oude

Maas18 1/10000 Pernis Nieuwe Maas19 1/10000 Rozenburg Nieuwe Waterweg,

Calandkanaal20 1/4000 Voorne-Putten Hartelkanaal, Oude Maas,

Spui, Haringvliet21 1/2000 Hoekse Waard Oude Maas, Dordtsche Kil, Hollandsch

Diep, Spui, Haringvliet22 1/2000 Eiland van Dordrecht Oude Maas, Dordtsche Kil, Wantij

Hollandsch Diep, Nieuwe Merwede23 1/2000 Biesbosch Nieuwe Merwede, Biesbosch24 1/2000 Land van Altena Boven Merwede, Maas, Bergsche

Maas, Steurgat, Biesbosch25 1/4000 Goeree-Overflakkee Haringvliet34 1/2000 West-Brabant Bergsche Maas, Amer,

Hollandsch Diep34a 1/2000 Geertruidenberg Bergsche Maas, Amer35 1/2000 Donge Bergsche Maas

Tabel 15-1: De dijkringen uit de benedenrivieren met hun normfrequenties (in keren per jaar).



15.2 Stochasten Hydra-B

In het probabilistisch model Hydra-B [Geerse, 2003b; Slomp et al, 2005; Duits, 2004b; Duits,

2006a] zijn de volgende stochasten opgenomen, die verderop in dit rapport nader worden

omschreven:

• Rivierafvoer Q. Dat is ofwel de Rijnafvoer te Lobith voor een Rijndominante locatie, ofwel de

Maasafvoer te Lith voor een Maasdominante locatie. N.B.: In Hydra-B worden niet beide

afvoeren tegelijk als (gecorreleerde) stochasten meegenomen.

• Zeewaterstand M te Maasmond.


• Windrichting R (statistiek van Schiphol). Beschouwd worden de richtingen NNO, NO,..., N,

die genummerd worden als r = 1, 2,..., 16.

• Beheertoestand Ω van de Maeslant- en Hartelkering (beide keringen blijven open of beide

sluiten op de juiste wijze).

De zeewaterstand is in Hydra-B gecorreleerd met de windsnelheid en de windrichting. De afvoer

wordt statistisch onafhankelijk beschouwd van de zeewaterstand, de windsnelheid en de

windrichting.

Uitkomsten van de stochasten worden, net als in Deel 2, met de overeenkomstige “kleine

letters” aangeduid. Bijvoorbeeld een Rijnafvoer van 2400 m3/s, die uitkomst is van de stochast

Q, wordt aangeduid als q = 2400 m3/s.

In Hydra-B wordt zogenaamd afhankelijk falen van de keringen aangenomen. De aanname is

dan, tijdens een storm, dat ófwel beide keringen op de juiste manier sluiten, ófwel dat beide

keringen geopend blijven. Berekeningstechnisch houdt dat in dat beide keringen als één

keringscombinatie gezien kunnen worden. Deze combinatie wordt aangeduid als de

Europoortkering. Een juiste sluitingsprocedure van de Europoortkering, waarbij de kering dicht

gaat, wordt aangeduid als ω = ωD, terwijl een kering die open blijft of faalt wordt aangeduid als

ω = ωO. Terzijde: in Hydra-VIJ is in paragraaf 12.1 onderscheid gemaakt tussen de variabelen Ω

en Λ. Dat onderscheid is hier niet nodig, zie voor uitleg paragraaf 16.1.4.

15.3 Hoofddoel Hydra-B

Het computerprogramma Hydra-B kent diverse typen berekeningen. De scope van het

voorliggende rapport wordt omwille van het overzicht enigszins beperkt gehouden. Net als in

Deel 2 over Hydra-VIJ zullen, hoofdzakelijk voor een dijkvak en dus niet voor een dijkring, deze

faalmechanismes worden behandeld:

• Overloop.

• Golfoverslag (bij door gebruiker opgegeven toegestaan overslagdebiet).

Elk van deze twee faalmechanismes levert, bij gegeven waarden (q,m,u,r,ω), een hydraulisch

belastingniveau ter plaatse van het dijkvak. Voor overloop is dat niveau simpelweg gelijk aan de

lokale waterstand aan de dijkteen en voor golfoverslag gelijk aan de lokale waterstand

vermeerderd met de golfoverslaghoogte.



De basisformule uit Hydra-B, die in dit rapport centraal staat, heeft betrekking op een dijkvak

en bestaat er uit de overschrijdingsfrequentie F(h) te berekenen, in keren per jaar, van een

gegeven hydraulisch belastingniveau h, corresponderend met één van de twee genoemde

faalmechanismes. Een gebruiker van het computerprogramma Hydra-B moet overigens een

gewenste overschrijdingsfrequentie 1/T opgeven, waarbij T de gewenste terugkeertijd voor de

betreffende locatie is. Intern in het programma worden voor een reeks van niveaus h1, h2,..., hn

de overschrijdingsfrequenties F(h1), F(h2),..., F(hn) berekend, waarna door interpolatie het

niveau h wordt gezocht waarvoor geldt F(h) = 1/T. Het niveau h wordt dan in de uitvoer van

Hydra-B vermeld. Voor faalmechanisme overloop is h de waterstand bij terugkeertijd T en voor

faalmechanisme golfoverslag, afgezien van toeslagen voor zetting, klink en dergelijke, de

benodigde kruinhoogte bij deze terugkeertijd. Deze benodigde kruinhoogte wordt gebruikt in de

hoogtetoets voor de dijk.

Bij de berekening van niveau h geeft Hydra-B optioneel aanvullende uitvoer: dat zijn de

illustratiepunten en uitsplitsingen die in hoofdstuk 4 van dit rapport al zijn uitgelegd voor

Hydra-VIJ. Relevant is wel dat in Hydra-B, tenminste in de huidige versie, minder uitsplitsingen

mogelijk zijn dan in Hydra-VIJ: alleen die naar afvoeren, windrichtingen en keringtoestanden,

terwijl die naar windsnelheid en zeewaterstand ontbreken.

Samenvattend worden in dit rapport voor Hydra-B, op dijkvakniveau, de volgende zaken

gedetailleerd behandeld:

• De berekening van de overschrijdingsfrequentie F(h), in keren per jaar, van hydraulisch

belastingniveau h, voor de faalmechanismes overloop en golfoverslag.

• De berekening van de illustratiepunten behorende bij de berekening van de


• De berekening van de uitsplitsingen behorende bij de berekening van de


Behalve de formules voor een dijkvak worden ook die voor de berekening van de overschrij-

dingsfrequentie van een dijkring gegeven. De laatste formules zijn sterk verwant aan die voor

een dijkvak, zodat de ringberekening slechts kort behandeld wordt. Tenzij anders vermeld,

heeft de berekening van F(h) betrekking op een dijkvak en niet op een dijkring.

15.4 Gebiedsindeling

Het gebied kan wat bedreigingen door afvoeren, stormvloeden en wind betreft ruwweg in drie

deelgebieden worden ingedeeld: het zeegebied Z waar de invloed van zee groot is, het

overgangsgebied O waar zowel de rivier- als de zee-invloed groot is en het rivierengebied R

waar de invloed van de rivieren groot is (Figuur 15-2). We benadrukken dat de grenzen uit de

figuur alleen een didactisch doel hebben: in werkelijkheid is geen sprake van abrupte

overgangen. De grenzen zijn bepaald op basis van zekere criteria, beschreven in de bijdrage

van Lodder in [Slomp et al, 2004].



Figuur 15-2: Het benedenrivierengebied, onderverdeeld in het zeegebied Z, het overgangsgebied O en het

rivierengebied R. (De rode vlaggen tonen de grenzen van het Sobek-model uit paragraaf 16.1.)

Globaal kan de volgende karakterisatie van de gebieden worden gegeven:

• Zeegebied. De waterstanden worden hier voornamelijk bepaald door stormvloeden die,

mede door falende keringen, vanuit zee het gebied binnenkomen. Deze stormvloeden gaan

samen met veel wind, waardoor ook locaal opgewekte windgolven bedreigend zijn. Aan de

buitenzijde van de keringen zijn seiches (opgewekt bij gesloten keringen) en

deiningsgolfdoordringing vanuit zee voor de dijken van belang.

• Overgangsgebied. Hier worden de waterstanden bepaald door combinaties van hoge

afvoeren en hoge zeewaterstanden. Tot dit gebied behoren ook het Haringvliet en

Hollandsch Diep. De stormvloeden gaan samen met veel wind, waardoor windgolven hier

bedreigend zijn, vooral op het Haringvliet en Hollandsch Diep, waar lange strijklengtes en

diep water voorkomen.

• Rivierengebied. Hoofdzakelijk extreme afvoeren bepalen hier de waterstanden. Omdat

stormvloeden geen rol spelen, komen geen verhoogde windsnelheden voor. Windgolven zijn

wel van belang voor de dijken, maar door de relatief korte strijklengtes en lagere

windsnelheden minder dan in het overgangs- en zeegebied.

15.5 Opzet model aan de hand van een schema

Deze paragraaf behandelt een schema waarin de samenhang tussen de onderdelen van het

probabilistisch model/computerprogramma Hydra-B duidelijk wordt. Deze onderdelen worden in

de latere hoofdstukken nader uitgelegd. Om het schema niet te ingewikkeld te maken, gaat

deze paragraaf alleen over de berekening van het hydraulisch belastingniveau voor een



oeverlocatie, voor faalmechanisme golfoverslag, waarbij golfgegevens afkomstig zijn uit het

golfmodel Bretschneider (niet uit Swan).

Allerlei door Rijkswaterstaat aangeleverde gegevens vormen invoer voor het model (linker

verticale balk in Figuur 15-3). De gebruiker van het model voert voor de toetsing locatie-

specifieke gegevens in (rechter verticale balk). De middelste verticale balk toont hoe de

datastroom verloopt en op welk punt in het model de probabilistische berekening plaatsvindt.

Nu volgt een bespreking van het schema.

Het blok midden-boven, getiteld ‘FYSISCHE MODELLEN/GEGEVENS’, betreft waterstands-

berekeningen en locatiegegevens als strijklengtes en bodemhoogtes. Voor in totaal 6768

randvoorwaardencombinaties (kortweg combinaties genoemd) van afvoeren Q, zeewater-

standen M, windsnelheden U, windrichtingen R en keringtoestanden Ω zijn met SOBEK voor

allerlei locaties in het gebied waterstandsberekeningen uitgevoerd. Voor oeverlocaties bevatten

deze, als een soort nabewerking op de SOBEK-resultaten, ook dwarsopwaaiing door wind. Voor

deze locaties zijn daarnaast effectieve strijklengtes en bodemhoogtes bepaald – nodig voor het

golfmodel Bretschneider – die overigens nog door de gebruiker mogen worden gewijzigd (zie

hieronder).

De aldus voor de oeverlocaties bepaalde gegevens worden in een database opgeslagen (het

blok getiteld ‘HYDRA-B DATABASE’). Vanwege de omvang van deze database is die opgeknipt in

‘deeldatabases’, welke door Rijkswaterstaat aan de gebruikers worden toegeleverd.

Het blok getiteld ‘HYDRA-B REKENHART’ is het eigenlijke model Hydra-B. De gebruiker dient

voor een hoogtetoets-berekening een oeverlocatie in Hydra-B te selecteren. De defaultwaarden

voor de effectieve strijklengtes en bodemhoogtes uit de Hydra-B database moeten worden

opgevat als suggesties aan de gebruiker: ze kunnen op basis van gebiedskennis door de

gebruiker worden gewijzigd. Het programma rekent dan voor elk van de 6768 combinaties met

het golfmodel Bretschneider de bijbehorende golfgegevens uit (significante golfhoogte Hs en

piekperiode Tp).

De waterstanden en golven die op dit punt in het programma bekend zijn, gelden zogezegd op

‘open water’: de golven zijn nog niet gereduceerd door een eventuele dam en/of voorland.

Indien zo’n dam en/of voorland aanwezig is, worden de golfgegevens met de dam- en/of

voorlandmodule getransformeerd van open water naar de teen van de dijk. De gegevens aan de

teen (golfgegevens en lokale waterstanden) vormen dan invoer voor de oploop/overslagmodule,

ook vaak dijkmodule genoemd. Elk van de 6768 combinaties levert nu een hydraulisch

belastingniveau op de dijk (afgekort HBN). In de berekening van deze HBN’s wordt dus gebruik

gemaakt van door de gebruiker ingevoerde gegevens. Naast de gegevens voor de dam en het

voorland zijn dat de dijknormaal, de taludhellingen en -ruwheden en (alleen voor faalmecha-

nisme golfoverslag) het toegestane overslagdebiet.

Binnen het programma zijn de HBN’s voor de 6768 combinaties nu bekend. Door op de juiste

manier de kansen/frequenties op afvoer, zeewaterstand, windsnelheid, windrichting en

keringtoestand te verwerken, levert de probabilistische berekening dan de HBN’s als functie van

de overschrijdingsfrequentie.

Het blok getiteld ‘HYDRA-B UITVOER’ toont de belangrijkste uitvoer van Hydra-B. Daartoe

behoren de HBN’s die corresponderen met de door de gebruiker gewenste overschrijdings-



frequenties. Een speciaal geval hiervan is de benodigde kruinhoogte, te weten het HBN bij de

normfrequentie. Ook levert Hydra-B zogenaamde illustratiepunten en (optioneel) uitsplitsingen.

HYDRA-B DATABASEper oeverlocatie: eff. strijklengtes,

eff. bodemhoogtes, 6768 waterstanden

HYDRA-B REKENHART

6768 combinaties metwaterstanden, golven

dammodulevoorlandmodule

dijkmodule

6768 HBN'sop de dijk

probabilistischeberekening

HYDRA-B UITVOERper frequentie: HBN,

illustratiepunten,uitsplitsingen

bepalen golven met Bretschneider

6768combinaties

Q, M, U, R, Ω

instellingen,statistische gegevens

gegevens dam, voorland, waterkering

en overslagdebiet

HY

DR

A-B

GE

BR

UIK

ER

FYSISCHE MODELLEN/GEGEVENS

bepalen waterstanden met SOBEK + nabewerking

dwarsopwaaiing

per oeverloc. bepalen van:eff. strijklengtes,

eff. bodemhoogtes

benodigde kruinhoogte = HBN bij normfrequentie

selectie locatie +optioneel aanpassen:

eff. strijklengtes,eff. bodemhoogtes

RIJ

KS

WA

TER

STA

AT

per oeverlocatie:6768 waterstanden

SOBEK-instellingengebiedsgegevens

gebiedsgegevens

gewenstefrequenties

Figuur 15-3: Schema opbouw Hydra-B voor een dijkvakberekening op een oeverlocatie, voor faalmechanisme overslag. Notatie: afvoer Q, zeewaterstand M, windsnelheid U, windrichting R en keringtoestand Ω; HBN = hydraulisch belastingniveau.



16 Hydraulische belastingniveaus Hydra-B

Dit hoofdstuk behandelt enkele onderdelen uit het schema in Figuur 15-3: het blok ‘FYSISCHE

MODELLEN/GEGEVENS’, het blok ‘Hydra-B database’ en van het grijze blok ‘HYDRA-B

REKENHART’ de onderdelen t/m ‘6768 HBN’s op de dijk’. Het betreft louter dingen die met

fysische berekeningen te maken hebben, zonder dat kansen/frequenties daarin een rol spelen.

16.1 Sobekberekeningen

Ten behoeve van de Hydra-B database is met Sobek een groot aantal combinaties van afvoeren,

zeewaterstanden, windsnelheden en windrichtingen doorgerekend, zowel voor open als dichte

Europoortkering. Voor de HR2006 zijn de Sobekberekeningen overgenomen van de HR2001. De

berekeningen zijn in detail beschreven in de [De Deugd, 2002]. De voorliggende paragraaf

beschrijft alleen de gebruikte randvoorwaarden uit de Sobekberekeningen, omdat die belangrijk

zijn voor een goed begrip van de Hydra-B formules.

Het uiteindelijke resultaat van een Sobekberekening is de maximale waterstand op de Sobek

rekenlocaties (gelegen op de Sobektakken). Deze locaties verschillen van de oeverlocaties, en

meestal ook van de gewenste aslocaties om de kilometer. Een vertaalslag is dus nodig. De

doorgerekende combinaties (Tabel 16-1), worden in de volgende paragrafen besproken, waarbij

ook de vertaling van de rekenlocaties naar de as- en oeverlocaties aan de orde komt.

Aantal

zeewaterstand m+NAP 1.11 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 6windrichting ZW WZW W WNW NW NNW N 7windsnelheid m/s 0 10 20 30 42 1 + 4tbv Rijn als stochast:Rijnafvoer m3/s 600 2000 4000 6000 8000 10000 13000 16000 18000 950%-Maasafvoer m3/s 55 217 687 1156 1626 2095 2800 3504 3974tbv Maas als stochast:Maasafvoer m3/s 10 327 855 1382 1909 2437 3228 3700 4546 950%-Rijnafvoer m3/s 600 2000 4000 6000 8000 10000 13000 14790 18000keringsituatie open dicht 2Totaal aantal sommen westelijke sector: 6 * (1 + 4*7) * (9 + 9) * 2 = 6264

zeewaterstand m+NAP 1.3 (springtij) 1windrichting NNO NO ONO O OZO ZO ZZO Z ZZW 9windsnelheid m/s 0 10 20 30 1 + 3tbv Rijn als stochast:Rijnafvoer m3/s 600 2000 4000 6000 8000 10000 13000 16000 18000 950%-Maasafvoer m3/s 55 217 687 1156 1626 2095 2800 3504 3974tbv Maas als stochast:Maasafvoer m3/s 10 327 855 1382 1909 2437 3228 3700 4546 950%-Rijnafvoer m3/s 600 2000 4000 6000 8000 10000 13000 14790 18000keringsituatie open 1Totaal aantal sommen oostelijke sector: 1 * (1 + 3*9) * (9 + 9) * 1 = 504

Totaal aantal sommen westelijke + oostelijke sector = 6768

Stochast Gekozen waarden

Westelijke sector

Oostelijke sector

Tabel 16-1: Combinaties die met Sobek zijn doorgerekend.



16.1.1 Zeewaterstanden

Het Sobekmodel heeft aan de westzijde drie zeeranden: één aan de noordrand ter plaatse van

de mond van de Nieuwe Waterweg (locatie Maasmond) en twee aan de zuidrand aan de

buitenzijde van de Haringvlietsluizen. Deze locaties zijn weergegeven door de linker drie

vlaggetjes in Figuur 15-2.

Voor de zeven westelijke richtingen ZW, WZW,..., N worden op het getijverloop stormvloeden

gesuperponeerd. Een stormvloed heeft een trapeziumvormig tijdsverloop, weergegeven in

Figuur 16-1. Het trapezium wordt geparametriseerd door drie parameters: de maximale

stormopzethoogte hs, stormopzetduur ts en de fase Fs tussen astronomisch hoogwater en

maximale stormopzet. De uiteindelijke waterstandsverlopen op de zeeranden ontstaan door de

stormopzet op te tellen bij de getijreeksen van de noord- en zuidranden, zie Figuur 16-2. Voor

de noordrand wordt het gemiddeld getij te Maasmond gebruikt en voor beide zuidranden het

gemiddeld getij bij locatie HA10-paal (gelegen bij het vlaggetje ‘Zuidgeul’ in Figuur 15-2).

Tijd (uren)

hs (m)

0.5 ts - 2 0.5 ts - 22 2

0.10 (m)

Figuur 16-1: Schematisering van de stormopzet (rechte opzet), geparametriseerd door de parameters hs

en ts.

S to rm v lo e d

T ijd

Wat

erho

ogte

Bas is reeks Stormopz e tv er loop Stormv loedv er loop

Fs

Figuur 16-2: Schematisering stormvloedverloop. De basisreeks, dat wil zeggen het getijverloop, is

afhankelijk van de beschouwde zeerand (die te Maasmond of bij locatie HA10-Paal).



De parameters voor de stormopzetduur en de fase hebben vaste waarden: ts = 29 uur en

Fs = 4.5 uur (midden van trapezium 4.5 uur later dan astronomisch hoogwater). Mogelijk wordt

in de toekomst een langere stormopzetduur gebruikt, zie voor commentaar desgewenst Bijlage

2 van [Geerse, 2003b]. De parameter hs wordt in een Sobekberekening gekozen op zo’n manier

dat deze de beschouwde zeewaterstand m uit de berekening oplevert: hs wordt zo gekozen dat

het maximum uit Figuur 16-2 gelijk is aan de waarde m.

Voor de 9 oostelijke richtingen NNO, NO,..., WZW worden geen stormvloeden beschouwd,

omdat voor deze richtingen nauwelijks verhoogde zeewaterstanden kunnen ontstaan. Voor deze

richtingen wordt de zeerand gevormd door de springtijreeks (met hoogwaterstand 1.3 m+NAP).

In Hydra-B is 0.05 m zeespiegelstijging verwerkt ten opzichte van het “zichtjaar” 1985

waarvoor de statistiek van de zeewaterstand beschikbaar is.

16.1.2 Windsnelheid en windrichting

De wind wordt in Sobek qua snelheid en richting ruimtelijk uniform aangenomen. In Sobek vindt

geen omrekening plaats van potentiële naar open-water wind (vergelijk de open water

transformatie uit paragraaf 5.2.3). Wel wordt de wind op de verschillende riviertakken

gereduceerd met bepaalde hidingfactoren. Figuur 16-3 toont het aangenomen tijdsverloop van

de wind: begin- en eindflanken van duur 12 uur, die reiken tot niveau 10 m/s, en vanaf 10 m/s

een trapezium met topduur 5 uur. De basisduur van het trapezium op niveau 10 m/s is gelijk

genomen aan stormopzetduur, oftewel aan ts = 29 uur. De hoogte van het windverloop is de

beschouwde windsnelheid u in de Sobekberekening. Het midden van het trapezium valt samen

met het midden van het trapezium van de stormopzet. Bij gegeven fase Fs (zie Figuur 16-2) en

gegeven u ligt het windverloop dus volledig vast.

5 uur

10 (m/s)

Tijd (uren)12 120.5 ts 0.5 ts

u (m/s)

Figuur 16-3: Schematisering windverloop, geparametriseerd door de parameters u en Ts.

16.1.3 Afvoeren

Aan de oostzijde van het model bevinden zich drie afvoerranden van de bovenrivieren (zie de

vlaggetjes in Figuur 15-2): op de Lek ter plaatse van de stuw bij Hagestein, op de Waal bij Tiel

en op de Maas bij de stuw van Lith. De berekeningen zijn uitgevoerd voor diverse afvoerniveaus

van Rijn en Maas. Voor Hydra-B zijn twee typen berekeningen gemaakt: één set bestaat uit 9

Rijnafvoeren met de bijhorende mediane Maasafvoer en één set bestaat uit 9 Maasafvoeren met

de bijbehorende mediane Rijnafvoer (de afvoeren zijn weergegeven in Tabel 16-1). Ter



verduidelijking: bijvoorbeeld de mediane Maasafvoer bij een gegeven Rijnafvoer is de mediaan

van de Maasafvoeren die bij deze Rijnafvoer kunnen optreden. Berekeningstechnisch is er voor

gekozen de tweede set hoofdzakelijk uit dezelfde Rijnafvoeren te laten bestaan als de eerste,

maar de Maasafvoeren zijn daarbij wel zodanig dat de Rijnafvoeren steeds de mediane afvoeren

zijn bij de gegeven Maasafvoeren.

De eerste set is bedoeld om goede Hydra-B berekeningen te kunnen maken voor Rijndominante

locaties, de tweede om goede berekeningen voor Maasdominante locaties te kunnen maken.

Beide sets berekeningen zijn wel voor alle locaties gemaakt, met als reden dat de grens tussen

Rijn- en Maasdominante locaties pas vastgesteld kan worden als voor beide sets Hydra-B

berekeningen zijn gemaakt: voor de eerste set worden dan statistische gegevens voor de Rijn

gebruikt en voor de tweede statistische gegevens voor de Maas. De grens tussen Rijn- en

Maasdominant is zo gelegd dat in het geval van waterstandsberekeningen een locatie

Rijndominant wordt genoemd als de voor T = 2000 jaar berekende waterstand het hoogste is

voor een berekening op basis van de Rijnstatistiek (de keuze van de terugkeertijd blijkt

nauwelijks van invloed op de grens tussen Rijn- en Maasdominant).

Op de Maas, Bergsche Maas en Amer vinden diverse lozingen (en ontrekkingen) plaats. De

hoeveelheid van de lozingen is direct gerelateerd aan het afvoerniveau van de Maas te Lith.

Deze lozingen zijn in de Sobekberekeningen opgenomen – ze komen niet expliciet voor in de

Hydra-B formules. Op de Rijntakken Lek benedenstrooms van Hagestein en Waal

benedenstrooms van Tiel, en in het benedenstroomse deel van het benedenrivierengebied, zijn

de lozingen gering en daarom verwaarloosd.

16.1.4 Europoortkering

Zoals vermeld in paragraaf 15.2 worden de Maeslant- en Hartelkering probabilistisch verwerkt in

Hydra-B. Hoe precies komt later aan de orde. Hier herhalen we nog eens dat berekenings-

technisch in Hydra-B beide keringen als één keringcombinatie kunnen worden beschouwd, de

Europoortkering genoemd, omdat wordt uitgegaan van afhankelijk falen: óf beide keringen

falen, óf beide functioneren op de juiste wijze. Slechts twee keringsituaties zijn dan relevant,

namelijk beide open of beide dicht (één kering open en de andere dicht wordt kans nul

toegedacht). De Sobekberekeningen worden voor de westelijke richtingen ZW t/m N gemaakt

voor beide keringtoestanden, terwijl voor de oostelijke, waarvoor stormvloeden niet geacht

worden voor te komen, wordt aangenomen dat de kering nooit sluit. Voor die richtingen wordt

daarom alleen de open toestand doorgerekend.

Voor de duidelijkheid wordt nu gewezen op een verschil in behandeling tussen de

Europoortkering en de Ramspolkering uit Hydra-VIJ. Voor de laatste kering is in paragraaf 12.1

onderscheid gemaakt tussen een correct functionerende kering in het waterbewegingsmodel

(Waqua) en het daadwerkelijk sluiten van de kering: zolang het sluitcriterium niet bereikt

wordt, is geen sprake van daadwerkelijk sluiten. Voor de Europoortkering ligt dat anders. Deze

kering wordt bediend op basis van voorspelde waterstanden (later blijkt hoe precies). Die

voorspelling kan leiden tot een onterechte sluiting, waarbij de kering sluit terwijl dat achteraf

gezien niet nodig blijkt te zijn geweest. De Sobekberekening voor de dichte toestand wordt

daarom zo gemaakt dat altijd sprake is van een sluiting. Het is daarom voor de Europoortkering

niet nodig naast de stochast Ω een variabele Λ in te voeren zoals in paragraaf 12.1 voor

Hydra-VIJ: voor de Europoortkering kan in de formules worden volstaan met de stochast Ω.



16.2 Windgolven

De windgolven in het gebied worden in het huidige Hydra-B bepaald met de formules van

Bretschneider. In principe kan Hydra-B ook rekenen met windgolven berekend met Swan, maar

op dit moment is geen Swan-model voor de benedenrivieren beschikbaar, en zijn dus ook geen

golfgegevens op basis van Swan voorhanden.

Hoe de windgolven met Bretschneider zijn bepaald is uitgelegd in paragraaf 5.2. Kort gezegd

komt het hierop neer. Invoer voor Bretschneider is de open-water windsnelheid, die via een

omrekeningstabel uit de potentiële windsnelheid is verkregen. Daarnaast vereist Bretschneider,

per windrichting, effectieve strijklengtes en bodemhoogtes (in m+NAP), welke grootheden

“default” aanwezig zijn in de Hydra-B database (de bodemhoogtes zijn nodig om bij iedere

waterstand de waterdiepte te kunnen bepalen).

De effectieve strijklengtes en bodemhoogtes zijn op een standaardmanier bepaald, van bandijk

tot bandijk. Ze moeten worden opgevat als handreiking aan de gebruiker, die op grond van

gebiedskennis hun waarden mag aanpassen. In het computerprogramma Hydra-B worden

intern, op basis van de (eventueel gewijzigde) strijklengtes en bodemhoogtes de golfgegevens

uitgerekend. Nadat dat is gebeurd, zijn voor 6768 combinaties (q,m,u,r,ω) de significante

golfhoogte Hs en de piekperiode Tp bekend. Deze gelden op “open water”, dat wil zeggen op

enige afstand vóór de dijk. Als een dam- en/of voorlandmodule aanwezig is, worden de

golfgegevens vervolgens getransformeerd naar de dijkteen, zoals beschreven in paragraaf 5.3.

16.3 Hydraulisch belastingniveau

Iedere Sobekberekening geeft een tijdreeks van waterstanden op een groot aantal Sobek-

rekenlocaties. Hydra-B gebruikt echter alleen de maximale waterstand uit de reeks. Probleem is

dat de Sobek-rekenlocaties (gelegen op de Sobektakken) verschillen van de oeverlocaties, en

meestal ook van de gewenste Hydra-B locaties op de rivieras. Een vertaalslag is dus nodig. Voor

oeverlocaties wordt in deze vertaalslag ook de dwarsopwaaiing (de windopwaaiing dwars op de

Sobektak) meegenomen; het 1-dimensionale Sobek berekent namelijk alleen de globale

windopzet over het gebied, maar (uiteraard) geen verhang dwars op de Sobektakken.

Deze vertaalslag is beschreven in [De Deugd, 2002; De Goederen, 2002; De Goederen en

Lodder, 2004]. Voor een punt op de rivieras volgt de tijdreeks van waterstanden door lineaire

interpolatie uit de reeksen van omliggende rekenlocaties. Het maximum van de resulterende

reeks levert dan de maximale waterstand op het uitvoerpunt. Voor een oeverlocatie wordt de

dwarsopwaaiing berekend met een formule uit de TAW-Leidraad [TAW, 1989], waarna het

berekende verhang als het ware wordt ‘gekanteld’ om de rivieras, zie voor details de genoemde

literatuur.

De besproken maximale waterstanden, eventueel inclusief dwarsopwaaiing, worden hierna

aangeduid als lokale waterstanden. Samenvattend: de Sobekberekeningen, inclusief

nabewerking voor dwarsopwaaiing, leveren voor elke Hydra-B locatie een set van 6768 lokale

waterstanden. Zo’n lokale waterstand is voor een locatie op de rivieras de maximale waterstand

en voor een oeverlocatie de maximale waterstand inclusief dwarsopwaaiing.



Als bij de dijkteen, voor elk van de 6768 combinaties (q,m,u,r,ω), de waterstanden en de

golfgegevens beschikbaar zijn, kan het hydraulisch belastingniveau H = H(q,m,u,r,ω) op de dijk

worden uitgerekend.

Voor faalmechanisme overloop is het hydraulisch belastingniveau op een locatie simpelweg

gelijk aan de lokale waterstand. Als die wordt aangeduid als hws, geldt dus:

( , , , , ) ( , , , , )wsH q m u r h q m u rω ω= (16.1)

Voor faalmechanisme golfoverslag is H gelijk aan de lokale waterstand op de betreffende

locatie, vermeerderd met de golfoverslaghoogte, die afhankelijk is van het toegestane

overslagdebiet en wordt uitgerekend met PC-Overslag, zie paragraaf 5.4 voor meer uitleg. Als

de golfoverslaghoogte in de combinatie (q,m,u,r,ω) wordt aangeduid als hov(q,m,u,r,ω), krijgt de

belasting de vorm

( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , )ws ovH q m u r h q m u r h q m u rω ω ω= + (16.2)

In Hydra-B is het hydraulisch belastingniveau H(q,m,u,r,ω) niet alleen nodig voor de 6768

combinaties, maar voor willekeurige combinaties (q,m,u,r,ω). Voor dergelijke combinaties wordt

in Hydra-B lineair geïnterpoleerd op basis van de 6768 combinaties.



17 Statistische gegevens Hydra-B

Voor Hydra-B is allerlei statistische invoer nodig, voor de Rijn- en Maasafvoer, de zeewaterstand

en de wind, die in dit hoofdstuk wordt besproken. Daarbij is het doel zo veel mogelijk inzicht te

verschaffen in de aard van de statistische gegevens, zonder op de details van de onderliggende

analyses in te gaan. Zie voor dergelijke details desgewenst de achtergrondrapporten: voor

afvoeren [Kalk et al, 2001], voor de zeewaterstanden en wind [Geerse et al, 2002]. In de rest

van dit hoofdstuk worden deze referenties niet meer genoemd, behalve als een expliciete

verwijzing erg nuttig is.

17.1 Gegevens Lobith

17.1.1 Reguliere en uitgebreide afvoerstatistiek

In de gebruikelijke Hydra-B formules uit bijvoorbeeld [Geerse, 2003; Slomp et al, 2005] worden

voor de lagere en hogere afvoeren verschillende berekeningsmethoden gebruikt. Voor

Rijndominante locaties, waarvoor de statistiek van Lobith wordt gebruikt, is de grens gelegd bij

de zogenaamde grenswaarde qg = 6000 m3/s, die ruwweg gelijk is aan de eens per jaar afvoer;

voor Maasdominante locaties, met statistiek van Lith, is die grens gelegd bij 1315 m3/s, die

gelijk is aan de eens per jaar afvoer. In de berekeningswijze voor de hoge afvoeren worden

overschrijdingsfrequenties van piekafvoeren en staandaardgolfvormen gebruikt, terwijl in de

berekeningswijze voor de lage afvoeren alleen momentane overschrijdingskansen van de

afvoeren worden gebruikt (zie voor uitleg van die begrippen de volgende paragraaf). Onderzoek

heeft echter duidelijk gemaakt dat lagere grenswaarden dan hier genoemd vrijwel geen invloed

hebben op de Hydra-B resultaten [Geerse, 2002ab; Vrouwenvelder et al, 2002]. In het

bijzonder kan zelfs qg = 0 m3/s worden gekozen, in welk geval alleen de berekeningswijze voor

de hogere afvoeren overblijft.

Voorwaarde daarbij is wel dat de afvoergegevens op een bepaalde manier worden uitgebreid tot

aan afvoer 0 m3/s: na uitbreiding dient, over het gehele bereik van afvoeren, de juiste

momentane overschrijdingskans te resulteren. Op grond van paragraaf 6.3 is die eis ook te

verwachten; daar is immers aangetoond dat voor de lagere afvoeren het precieze tijdsverloop

van de afvoer niet relevant is, maar wel de juiste momentane kans daarvan. Referenties

[Geerse, 2002ab; Vrouwenvelder et al, 2002] geven overigens een veel uitgebreidere motivatie

dan paragraaf 6.3, met gevoeligheidsonderzoeken en theoretische beschouwingen waaruit blijkt

dat lagere keuzes van de grenswaarde dan 6000 m3/s (Lobith) en 1315 m3/s (Lith) inderdaad

nagenoeg dezelfde Hydra-B resultaten geven.24

De eerstvolgende paragraaf beschrijft de reguliere afvoerstatistiek, de daaropvolgende

paragraaf de uitgebreide versie daarvan. In het voorliggende rapport worden alleen de Hydra-B

formules met qg = 0 behandeld, omdat dan een eleganter en simpeler model resulteert, waarbij

alleen de berekeningswijze voor de hogere afvoeren overblijft.

24Het computerprogramma Hydra-B kan in de geavanceerde gebruikersversie rekenen met elke grenswaarde, zodat

eenvoudig de invloed van een andere keuze daarvan kan worden onderzocht.



17.1.2 Reguliere afvoerstatistiek

De reguliere afvoerstatistiek, voor de HR2006 afgeleid in [Kalk et al, 2001], bestaat uit de

volgende onderdelen:

• Overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) van de piekafvoer, in keren/jaar, waarbij het subscript whj

staat voor het winterhalfjaar. Met Fwhj(k) kan eenvoudig worden berekend welke piekafvoer

hoort bij een beschouwde terugkeertijd; die laatste relatie wordt in rapporten vaak de

werklijn genoemd.

• Standaardgolfvormen van de afvoer, die een ‘representatief’ tijdsverloop van de afvoer

geven. Bij iedere piekwaarde k hoort één standaardgolfvorm.

• Momentane overschrijdingskans P(Q>q). Dit is de kans dat een dagwaarde van de afvoer

niveau q overschrijdt, welke kans ook geïnterpreteerd kan worden als de fractie van de tijd

dat niveau q door de afvoer wordt overschreden.

Voor Lobith is de reguliere Fwhj(k) beschikbaar vanaf terugkeertijd T = 1 jaar:

3

3

3

( ) exp ,

1620.7, 5893.3 als 5893.3 7016.7 m /s (1 T 2)1517 78, 5964 63 als 7016.7 10850.2 m /s (2 T 25)1316 43, 6612 61 als 10850.2 m /s ( 25)

whjk bF k

aa b ka . b . ka . b . k T

− = −

= = ≤ > ≤ <

= = ≤ < ≤ <

= = > >

(17.1)

Golfvormen Lobith

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

-20 -10 0 10 20 30

tijd, dagen

afvo

er, m

3/s

Figuur 17-1: Reguliere standaardgolfvormen voor Lobith.



De in [Kalk et al, 2001] afgeleide golfvormen zijn beschikbaar vanaf niveau 6000 m3/s, zie

Figuur 17-1. In Hydra-B wordt om aan tussenliggende golfvormen te komen geïnterpoleerd

tussen deze golven. De momentane overschrijdingskans P(Q>q) kan voor afvoeren groter dan

6000 m3/s worden berekend met de formule

1( ) ( ) ( , )

182*24 q

P Q q dk k L q kψ∞

> = ∫ (17.2)

Hierin is ψ(k) de frequentiedichtheid, die gelijk is aan ψ(k) = –dFwhj(k)/dk, terwijl L(q,k) de

overschrijdingsduur in uren weergeeft van niveau q binnen de golf met piekafvoer k, zoals voor

trapeziumvormige golven weergegeven in Figuur 11-6. De factor 182*24 = 4368 is gelijk aan

het aantal uren in het winterhalfjaar. De afleiding van (17.2) is relatief eenvoudig en wordt hier

niet gegeven.

De formule voor P(Q>q) geeft slechts overschrijdingskansen vanaf 6000 m3/s. Voor de lagere

afvoeren zijn deze kansen in [Kalk et al, 2001] bepaald door het turven van data. Dit turven is

op betrouwbare wijze mogelijk tot afvoeren van orde 8000 m3/s, voor nog hogere afvoeren

worden de metingen te spaarzaam om nog goede resultaten te krijgen. De resultaten volgens

het turven zijn in deze referentie op pragmatische wijze iets aangepast, om een vloeiende

aansluiting te krijgen bij niveau 6000 m3/s op de resultaten volgens formule (17.2). De

resulterende momentane overschrijdingskans is weergegeven in Figuur 17-2. Daarin is ook de

overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) weergegeven.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Gegevens Lobith

afvoer, m3/s

over

schr

ijdin

gska

ns−

of f

requ

entie

overschrijdingsfrequentiemom. overschrijdingskans

Figuur 17-2: Overschrijdingsfrequentie en momentane overschrijdingskans voor Lobith.



17.1.3 Uitbreiding overschrijdingsfrequentie en golfvormen

In deze paragraaf worden de overschrijdingsfrequentie en de golfvormen naar onderen

uitgebreid tot aan afvoer 0 m3/s op zo’n manier dat na uitbreiding de met (17.2) berekende

P(Q>q) overeenstemt met de “voorgeschreven” P(Q>q) uit Figuur 17-2. Dat een dergelijke

uitbreiding van de overschrijdingsfrequentie en de golfvormen inderdaad mogelijk is, is

aangetoond in [Vrouwenvelder et al, 2002]. Daarbij is voor Fwhj(k) genomen

3

3

3

( ) exp ,

1620.7, 5893.3 als 0 7016.7 m /s (1/37.95 2)1517 78, 5964 63 als 7016.7 10850.2 m /s (2 25)1316 43, 6612 61 als 10850.2 m /s ( 25)

whjk bF k

aa b k Ta . b . k Ta . b . k T

− = −

= = ≤ < ≤ <

= = ≤ < ≤ <

= = ≥ >

(17.3)

Merk op dat deze alleen verschilt van (17.1) in de zin dat het laagste traject is doorgetrokken

tot aan afvoer 0 m3/s. De uitgebreide golfvormen staan in Figuur 17-3 (berekeningstechnisch is

het handig dat ook een zeer hoge afvoergolf in Hydra-B aanwezig is; vandaar dat ook een golf

met een onrealistisch hoge piekwaarde 25000 m3/s is toegevoegd).

De uitgebreide golfvormen zijn in [Vrouwenvelder et al, 2002] bepaald onder de aanname dat

de flanken van afvoergolven voor niveaus lager dan 6000 m3/s evenwijdig lopen: wanneer in de

figuur een horizontale lijn wordt getrokken op bijvoorbeeld niveau 5000 m3/s, zijn de

richtingscoëfficiënten van de voorflanken allemaal aan elkaar gelijk; hetzelfde geldt voor de

richtingscoëfficiënten van de achterflanken. Onder die aanname (evenwijdigheid van de flanken)

wordt in [Vrouwenvelder et al, 2002] gedemonstreerd dat het inderdaad mogelijk is de golven

zo uit te breiden dat de voorgeschreven momentane kans resulteert. De uitbreiding van de

golven is daarbij op iteratieve wijze numeriek bepaald.

Het blijkt ook mogelijk, nog steeds onder de aanname van evenwijdige flanken, een analytische

formule af te leiden voor de uitbreiding van de golven, zie daarvoor Bijlage C. Eigenlijk zijn de

golven uit Figuur 17-3, die in Hydra-B gebruikt worden, niet precies die uit [Vrouwenvelder et

al, 2002], maar zijn het golven die met de analytische formule zijn berekend; voor piekwaarden

lager dan 3000 m3/s zijn extra golven berekend, om P(Q>q) voor de lagere afvoerniveaus zeer

nauwkeurig te kunnen reproduceren.

Voor de duidelijkheid nog twee opmerkingen:

1. De lage afvoergolven met piekwaarden k < 6000 m3/s en het lage deel van Fwhj(k) hebben

geen fysische betekenis. Ze dienen slechts om in combinatie met elkaar de juiste

momentane overschrijdingskansen P(Q>q) op te leveren.

2. Het lage deel van Fwhj(k) en de uitbreiding van de afvoergolven zou ook anders kunnen

gebeuren, terwijl dan toch de juiste P(Q>q) zou kunnen resulteren. Anders gezegd: de

manier waarop Fwhj(k) en de golfvormen kunnen worden uitgebreid is niet uniek.



Uitgebreide golfvormen Lobith

0

5000

10000

15000

20000

25000

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

tijd, dagen

afvo

er L

obith

, m3/

s

Figuur 17-3: Uitgebreide golfvormen voor Lobith.

17.2 Gegevens Lith

Voor Lith zijn soortgelijke gegevens beschikbaar als voor Lobith, die op soortgelijke wijze zijn

afgeleid. De volgende paragrafen behandelen deze gegevens, maar zonder uitgebreid

commentaar.

17.2.1 Reguliere afvoerstatistiek

Voor Lith is de reguliere overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) beschikbaar vanaf de eens per jaar

afvoer die 1315.1 m3/s bedraagt:

31315.1( ) exp , als 1315.1 m /s ( 1)327.7whj

kF k k T− = − ≥ ≥

(17.4)

De reguliere golfvormen zijn eveneens beschikbaar vanaf de eens per jaar afvoer, zie

Figuur 17-4. Met formule (17.2) is net als voor Lobith het hogere deel van de momentane kans

P(Q>q) bepaald, terwijl het lagere deel, tot aan 1315 m3/s, door turven is bepaald. P(Q>q) is

uitgezet in Figuur 17-5, waarin ook de overschrijdingsfrequentie is weergegeven.



Golfvormen Lith

1300

1800

2300

2800

3300

3800

4300

4800

5300

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

tijd, dagen

afvo

er, m

3/s

Figuur 17-4: Reguliere standaardgolfvormen voor Lith.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 500010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Gegevens Lith

afvoer, m3/s

over

schr

ijdin

gska

ns−

of f

requ

entie

overschrijdingsfrequentiemom. overschrijdingskans

Figuur 17-5: Overschrijdingsfrequentie en momentane overschrijdingskans voor Lith.



17.2.2 Uitbreiding overschrijdingsfrequentie en golfvormen

Net als voor Lobith zijn de overschrijdingsfrequentie en de golfvormen naar onderen uitgebreid

tot aan afvoer 0 m3/s, op zo’n manier dat na uitbreiding de met (17.2) berekende P(Q>q)

overeenstemt met de “voorgeschreven” P(Q>q) uit Figuur 17-5. Het laagste deel van Fwhj(k) uit

(17.4) is daarbij doorgetrokken tot aan afvoer 0 m3/s:

31315.1( ) exp , als 0 m /s ( 1/ 55.32)327.7whj

kF k k T− = − ≥ ≥

(17.5)

De uitbreiding van de golfvormen, weergegeven in Figuur 17-6, is gedaan met de formules uit

Bijlage C.

Uitgebreide golfvormen Lith

0

1000

2000

3000

4000

5000

-30 -20 -10 0 10 20 30 40

tijd, dagen

afvo

er L

ith, m

3/s

Figuur 17-6: Uitgebreide golfvormen voor Lith.

17.3 Wind-waterstandstatistiek

Voor de westelijke richtingen ZW t/m N komt het drietal stochasten M, U en R (zeewaterstand,

windsnelheid en windrichting) gecorreleerd voor in Hydra-B. Voor de oostelijke richtingen NNO

t/m ZZW worden geen stormvloeden beschouwd, en speelt M in Hydra-B geen rol. Voor deze

richtingen komt het tweetal U en R gecorreleerd voor. In het vervolg worden deze stochasten en

hun correlatie kort behandeld, waarbij voor details wordt verwezen naar [Geerse et al, 2002].

Elk van de stochasten M, U en R heeft betrekking op een getijperiode.

De stochast M geeft de maximale waterstand gedurende een getijperiode, dus de waterstand

tijdens hoogwater. Het tijdstip van dit hoogwater kan verschillen van het tijdstip waarop het

astronomisch hoogwater valt. De stochast U heeft voor de oostelijke en westelijke richtingen



een verschillende interpretatie (zie voor uitleg van de potentiële wind paragraaf 11.7):

• Voor de oostelijke richtingen geeft U de maximale windsnelheid in een getijperiode (de

maximale uurwaarde van de potentiële windsnelheid die voorkomt in de periode).

• Voor de westelijke richtingen geeft U voor terugkeertijden T > 10 jaar de potentiële

windsnelheid tijdens het moment van hoogwater in een getijperiode, voor T < 1 jaar geeft U

de maximale potentiële windsnelheid in een getijperiode, terwijl voor 1 < T < 10 jaar

geleidelijk wordt overgegaan van het ene naar het andere bereik.

De windrichting heeft voor de westelijke en oostelijke richtingen strikt genomen ook een iets

andere interpretatie, die zonder in detail te treden echter lastig is uit te leggen. Voor de

doeleinden van het voorliggende rapport kan simpelweg gedacht worden aan een “represen-

tatieve” windrichting gedurende een getijperiode.

Voor de westelijke richtingen wordt in de Hydra-B formules een gezamenlijke kansdichtheid

g(m,u,r) gebruikt, gerelateerd aan een getijperiode. In de afleiding van de kansdichtheid, hier

niet besproken, zijn in [Geerse et al, 2002] gegevens voor de zeewaterstand te Hoek van

Holland gebruikt voor toestandsjaar 1985. Daarbij is een vertaling gemaakt van Hoek van

Holland naar de in Hydra-B vereiste locatie Maasmond (waterstand Maasmond ligt 0.02 m lager

dan Hoek van Holland). Ook is 0.05 m zeespiegelstijging toegepast sinds 1985. In de Hydra-B

versie uit dit rapport, geldig voor de HR2006, wordt g(m,u,r) dan representatief geacht voor

“zichtjaar” 2011.

Voor de oostelijke richtingen wordt een gezamenlijke kansdichtheid g(u,r) gebruikt, die ook

weer betrekking heeft op een getijperiode. In het afleiden van g(m,u,r) en g(u,r) is voor de

windsnelheid uitgegaan van gegevens voor Schiphol, vanuit de veronderstelling dat de statistiek

van de (potentiële) wind boven de benedenrivieren vergelijkbaar is met de statistiek van

Schiphol.

17.4 Beheersituatie keringen en voorspelde waterstanden

Bij hoge stormvloeden worden de Maeslant- en Hartelkering, gezamelijk aangeduid als

Europoortkering (zie paragraaf 16.1.4) gesloten. Omdat het sluiten van de keringen enkele uren

vergt en de sluitbeslissing in de fase vóór de stormvloed genomen moet worden, is het niet

mogelijk het al of niet sluiten te baseren op actuele waterstanden, vandaar dat met

voorspellingen wordt gewerkt. Zodra de verwachte waterstanden te Dordrecht of Rotterdam

zogenaamde sluitcriteria dreigen te overschrijden, 2.9 m+NAP voor Dordrecht en 3.0 m+NAP

voor Rotterdam, wordt het commando tot het sluiten van de Europoortkering gegeven.

In de dagelijkse praktijk wordt, om de waterstandsvoorspellingen voor Rotterdam en Dordrecht

te bepalen, gebruik gemaakt van een waterstandsvoorspelling voor Hoek van Holland. In

combinatie met de voorspelling voor Hoek van Holland, en daarnaast voorspellingen voor de

Rijn- en Maasafvoer, windsnelheid en windrichting, worden dan met een waterstandsmodel de

voorspellingen voor Rotterdam en Dordrecht bepaald. De voorspellingen voor Hoek van Holland,

Rijn- en Maasafvoer, windsnelheid en windrichting zijn behept met onzekerheden. Hydra-B

houdt rekening met een fout in de voorspelling voor Hoek van Holland (maar niet met een fout

in de voorspelde Rijn- en Maasafvoer, windsnelheid en windrichting). De fout in de waterstands-

voorspelling voor Hoek van Holland wordt gemodelleerd met een normale verdeling, waarbij

wordt aangenomen dat, gegeven de werkelijke waterstand hHVH, de voorspelde waterstand vHVH



te Hoek van Holland een normale verdeling volgt met gemiddelde hHVH + µ, en standaard-

deviatie σ. Voor de HR2006 is genomen µ = -0.09 m (gemiddeld 0.09 m te lage voorspellingen)

en σ = 0.18 m.

Na het afgeven van een sluitcommando is er een kans dat de Europoortkering faalt (bedenk dat

afhankelijk falen is verondersteld: óf tegelijkertijd falen de keringen óf tegelijkertijd

functioneren ze op de juiste wijze). De faalkans voor de Europoortkering is in Hydra-B (versie

HR2006) gelijk aan 0.01 per sluitvraag: wanneer een sluiting is vereist, bestaat een kans van

0.01 op falen of bezwijken van de kering.



18 Probabilistische formules Hydra-B

Dit hoofdstuk geeft de basisformules uit Hydra-B voor de overschrijdingsfrequentie, voor een

dijkvak en een dijkring. Als voorbereiding daarop worden eerst de momentane kansdichtheid

g(q,m,u,r,ω) uit Hydra-B behandeld en, conditioneel op afvoer q, de momentane

overschrijdingskans P(H>h|q) van hydraulisch belastingsniveau h. Beide grootheden hebben

betrekking op een getijperiode.

18.1 Kansdichtheid voor getijperiode

In de Hydra-B formules is voor de oostelijke richtingen de kansdichtheid g(q,u,r) voor een

getijperiode nodig. Omdat de afvoer statistisch onafhankelijk wordt verondersteld van de

overige variabelen, kan deze worden geschreven als

( , , ) ( ) ( , )g q u r g q g u r= (18.1)

De g(q) is gelijk aan –dP(Q>q)/dq, met P(Q>q) besproken in hoofdstuk 17, waarbij q een

Rijnafvoer voorstelt voor een Rijndominante locatie en een Maasafvoer voor een Maasdominante

locatie; g(u,r) is in paragraaf 17.3 besproken.

Voor de westelijke richtingen is de kansdichtheid g(q,m,u,r,ω) voor een getijperiode nodig. Deze

kan worden geschreven, omdat ook nu de afvoer statistisch onafhankelijk wordt verondersteld

van de overige variabelen, als

( , , , , ) ( ) ( , , ) ( | , , , )g q m u r g q g m u r g q m u rω ω= (18.2)

De kansdichtheid g(m,u,r) is in paragraaf 17.3 besproken. Nu wordt uitgelegd hoe g(ω|q,m,u,r),

die conditioneel op q,m,u,r de kansen op keringtoestanden ωO en ωD geeft, wordt berekend.

Zoals hiervoor uitgelegd wordt een sluitcommando voor de Europoortkering gegeven zodra de

verwachte waterstanden te Dordrecht of Rotterdam de sluitcriteria overschrijden, 2.9 m+NAP

voor Dordrecht en 3.0 m+NAP voor Rotterdam. De waterstandsvoorspellingen voor Rotterdam

en Dordrecht worden bepaald door (onder meer) gebruik te maken van een waterstands-

voorspelling voor Hoek van Holland, die echter behept is met een voorspelfout. Deze fout wordt

gemodelleerd door aan te nemen dat, gegeven de werkelijke waterstand hHVH, de voorspelde

waterstand vHVH te Hoek van Holland een normale verdeling volgt met gemiddelde hHVH + µ, en

standaarddeviatie σ. Zie voor de waarden van µ en σ paragraaf 17.4.

Omdat de belasting in Hydra-B niet afhangt van de waterstand te Hoek van Holland maar van

die te Maasmond, is feitelijk een waterstandsvoorspelling voor Maasmond nodig in plaats van

voor Hoek van Holland. In Hydra-B wordt echter aangenomen dat een voorspelling v voor

Maasmond zich verhoudt tot de werkelijke waterstand m te Maasmond op dezelfde manier als

vHVH zich verhoudt tot hHVH. Ook voor Maasmond wordt dus een normale verdeling gebruikt, met

dezelfde µ en σ als voor Hoek van Holland. De normale verdeling voor de voorspelling v te

Maasmond, gegeven de werkelijke waterstand m te Maasmond, wordt aangeduid met ϕ(v|m).

De expliciete formule is dan



21 1 ( )( | ) exp

22v mv m µϕ

σσ π

− + = −

(18.3)

Om de kans op sluiten van de Europoortkering te berekenen wordt een zogenaamde

“criteriumstochast” E ingevoerd:

1, als , , , zodanig dat de Europoortkering gesloten moet worden0, anders

q v u rE

=

(18.4)

Nu wordt uitgelegd hoe P(E=1|q,m,u,r) wordt berekend, dus de kans dat een sluitcommando

voor de Europoortkering wordt gegeven, ingeval dat (q,m,u,r) optreedt. Zie als toelichting

Figuur 18-1. Deze figuur heeft betrekking op een vaste u en r, voor één van de westelijke

richtingen ZW t/m N (r = 10 t/m 16). Op de horizontale as staat de afvoer q en op de verticale

de voorspelling v voor Maasmond. In de figuur zijn drie lijnen getekend:

1. Isolijn voor Rotterdam voor niveau 3.0 m+NAP (het sluitcriterium voor Rotterdam),

uitgaande van de Sobekberekeningen voor de open Europoortkering.

2. Isolijn voor Dordrecht voor niveau 2.9 m+NAP (het sluitcriterium voor Dordrecht) ,

uitgaande van de Sobekberekeningen voor de open Europoortkering.

3. De zogenaamde sluitfunctie vE(q,u,r) voor de Europoortkering, die bij gegeven q het

minimum vormt van de lijnen uit punt 1 en 2.

q

v

Rotterdam 3.0 m+NAP

Dordrecht 2.9 m+NAPDordrecht 2.9 m+NAP

vE(q,u,r)

Figuur 18-1: Illustratie van de sluitfunctie vE(q,u,r) voor de Europoortkering. De figuur geldt voor een

gegeven combinatie van u en r. De isolijnen voor Rotterdam en Dordrecht zijn bepaald op basis van de geopende Europoortkering.



E = 1

gegeven: q,m,u,r

P (E = 1|q,m,u,r)

E = 0

P (E = 0|q,m,u,r)

α 1−α

ωO ωD

1 0

ωO ωD

Figuur 18-2: Kansboom voor de berekening van open en dichte keringtoestand.

Merk op dat in punt 1 en 2 sprake is van de open Europoortkering. Er dient immers bekeken te

worden of zonder het sluiten van de Europoortkering al of niet de sluitcriteria voor Rotterdam

en/of Dordrecht worden overschreden. Bij gegeven q,u,r geldt dat de kering moet sluiten indien

v ≥ vE(q,u,r). In dat geval is v namelijk zodanig dat het sluitcriterium voor Rotterdam en/of

Dordrecht wordt overschreden (of net bereikt). De kansen op v kunnen, bij gegeven q,m,u,r,

worden berekend met ϕ(v|m) uit (18.3). De kans P(E=1|q,m,u,r) wordt dan gegeven door

( , , )

( 1 | , , , ) ( | )Ev q u r

P E q m u r dv v mϕ∞

= = ∫ (18.5)

terwijl P(E=0|q,m,u,r) uiteraard gelijk is aan 1 minus deze kans. De faalkans van de

Europoortkering wordt aangegeven met α (voor HR2006 gelijk aan 0.01 per sluitvraag). Met de

kansboom uit Figuur 18-2 kan dan g(ω|q,m,u,r) worden gevonden:

( , , )

( | , , , ) (1 ) ( | )

( | , , , ) 1 ( | , , , )E

Dv q u r

O D

g q m u r dv v m

g q m u r g q m u r

ω α ϕ

ω ω

∞

= −

= −

∫ (18.6)

Met (18.2) is dan g(q,m,u,r,ω) bekend.

Voor de oostelijke richtingen NNO t/m ZZW (r = 1 t/m 9) geldt uiteraard, omdat bij aanname

daarvoor nooit een sluiting zal plaatsvinden, dat de kans op de dichte situatie 0 is en die op de

open 1.

18.2 Overschrijdingskans voor getijperiode

In de Hydra-B formules is vaak de kans P(H>h|q) nodig, die staat voor de kans dat de

hydraulische belasting niveau h overschrijdt gedurende een getijperiode, bij gegeven afvoer q in

deze periode. Wanneer bedacht wordt dat voor de oostelijke richtingen r = 1 t/m 9 de kering

altijd open blijft en daarnaast geldt g(u,r|q) = g(u,r), is die kans gelijk aan



9

1 0

16

10 , 0

9

1 : ( , , , , )

: ( , , , , ) : ( , , , , )

( | ) ( , | ) ( | , , , )

( , , , | ) ( | , , , , )

( , )

( , , , | ) ( , , , | )

O D

ST O

O D

Or u

r u

r u H q m u r h

O Du H q m u r h u H q m u r

P H h q du g u r q P H h q u r

dm du g m u r q P H h q m u r

du g u r

dm du g m u r q du g m u r q

ω ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

= ≥

∞

= = −∞ ≥

= ≥

≥

> = >

+ >

=

+ +

∑ ∫

∑ ∑ ∫ ∫

∑ ∫

∫16

10r h

∞

= −∞ ≥

∑ ∫ ∫

(18.7)

waarin wegens (18.2) g(m,u,r,ω|q) = g(m,u,r)g(ω|q,m,u,r).

Door de splitsing in oostelijke en westelijke richtingen oogt deze formule ingewikkelder dan

nodig. De formule kan compacter worden geformuleerd als voor de oostelijke richtingen de

volgende kansdichtheid wordt gedefinieerd:

( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( , ), 1 t/m 9O STg q m u r m m g q g u r rωω δ ω δ= − = (18.8)

Hierin is Oω

δ (ω) de Kronecker delta functie, die 1 is voor ω = ωO en 0 voor ω = ωD, terwijl

STδ(m-m ) de Dirac delta functie is. (De laatste functie is 0 voor m ongelijk aan mST, terwijl

uitintegreren van m de waarde 1 oplevert.) Formule (18.7) kan nu ook worden geschreven als

16

, 1 : ( , , , , )

( | ) ( , , , | )O D r u H q m u r h

P H h q dm du g m u r qω ω ω ω

ω∞

= = −∞ ≥

> =

∑ ∑ ∫ ∫ (18.9)

18.3 De overschrijdingsfrequentie

Het belangrijkste doel in Hydra-B is, voor een dijkvak, de berekening van F(h), namelijk de

overschrijdingsfrequentie van belastingniveau h, in keren per jaar. Als voorbereiding daarop

wordt eerst de kans Pgolf(H>h|k) berekend, die staat voor de kans dat gedurende de passage

van een afvoergolf met piekwaarde k de belasting niveau h overschrijdt. Daartoe wordt de golf

eerst gediscretiseerd in n getijperioden (Figuur 18-3). Geef de gemiddelde afvoer in het j-de

interval aan met q(j), met dien verstande dat voor het interval j = jpiek waarin de piek van de

golf valt, wordt genomen q(jpiek) = k. Merk op dat n en q(j) van k afhangen, hoewel dat niet in

de notatie tot uitdrukking komt.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

tijd t [getijden]

afvo

er q

[m3/

s]

Figuur 18-3: Discretisatie van een afvoergolf in getijperioden; de hoogte van blok j is gelijk aan q(j).

In Hydra-B wordt aangenomen dat voor de wind en de zeewaterstand de verschillende

getijperioden statistisch onafhankelijk zijn. Dan volgt

( )

1

( | ) 1 kans dat geen falen optreedt tijdens de golf

1 1 | ( )

golf

n

j

P H h k

P H h q j=

> = −

= − − > ∏ (18.10)

In de formule voor de overschrijdingsfrequentie F(h) is de frequentiedichtheid van de afvoeren

nodig, gegeven door

( )

( ) whjdF kk

dkψ = − (18.11)

Merk op dat ψ(k)dk dan gelijk is aan het gemiddelde aantal afvoergolven per jaar met een

piekwaarde tussen k en k+dk. Van dergelijke golven leidt een fractie Pgolf(H>h|k) tot falen. De

overschrijdingsfrequentie F(h) volgt daarom als

0

( ) ( ) ( | )golfF h dk k P H h kψ∞

= >∫ (18.12)

Hiermee is duidelijk hoe F(h), de belangrijkste grootheid uit de Hydra-B formules, kan worden

berekend.

Voor de duidelijkheid wordt nog benadrukt dat ψ(k) geen kansdichtheid maar een frequentie-

dichtheid is, die niet genormeerd is op 1: uitintegreren van ψ(k) over alle k > 0 levert volgens

(18.11) de waarde Fwhj(k=0), met eenheid keren/jaar, waarbij in de toepassingen uit dit rapport

volgens (17.3) en (17.5) geldt Fwhj(k=0) > 1.

18.4 Formules voor een dijkring

De voorgaande formules hebben betrekking op een dijkvak. Voor Rijndominante locaties (zie

paragraaf 15.1) wordt in het model de afvoerstatistiek van de Rijn gebruikt en voor

Maasdominante die van de Maas. Deze paragraaf geeft formules voor een dijkring.

Randvoorwaarde is wel, omdat in het model niet beide afvoeren als gecorreleerde stochasten

zijn opgenomen, dat de ring ófwel uitsluitend uit Rijndominante vakken bestaat, ófwel



uitsluitend uit Maasdominante. Voor de praktijk betekent dit dat dijkring 24 (Land van Altena)

en dijkring 35 (Donge) niet in hun geheel kunnen worden doorgerekend, omdat deze dijkringen

Rijn- zowel als Maasgedomineerde vakken hebben. Hoe met dit probleem om te gaan komt

verderop aan de orde. De nu volgende behandeling is analoog aan die uit paragraaf 12.4 voor

de Vecht- en IJsseldelta, waar iets meer uitleg kan worden gevonden bij de nu gegeven

afleiding.

Beschouw een dijkring R met i = 1, 2,..., n dijkvakken met respectievelijke kruinhoogtes

h1, h2,..., hn. Geef de overschrijdingsfrequentie van de ring aan met

1 2( , ,..., ) overschrijdingsfrequentie dijkring (keren/jaar)R R nF F h h h= = (18.13)

Geef de belasting voor dijkvak i aan met

( , , , , ) hydraulische belasting dijkvak i (m+NAP)i iH H q m u r ω= = (18.14)

Voor de ring R wordt een ‘effectief’ hydraulisch belastingniveau H gedefinieerd als het maximum

over de dijkvakken van het verschil tussen de hydraulische belastingniveaus en de

kruinhoogtes:

( )

1,2,...,( , , , , ) max ( , , , , )

= effectief hydraulisch belastingniveau dijkring (m)

i ii nH H q m u r H q m u r hω ω

== = −

(18.15)

De dijkring faalt voor een combinatie (q,m,u,r,ω) dan en slechts dan als H(q,m,u,r,ω) > 0.

De overschrijdingsfrequentie FR van de dijkring kan met de “gebruikelijke” formules uit de

voorgaande paragrafen worden bepaald. De belasting H voor de ring kan namelijk

berekeningstechnisch behandeld worden als een belasting voor een dijkvak, indien als (fictieve)

kruinhoogte de waarde h = 0 wordt genomen. In formule kan worden geschreven

1 2( , ,..., ) ( 0)R R nF F h h h F h= = = (18.16)

waarbij de laatste term berekend wordt met de formules voor een dijkvak uit paragraaf 18.3.

Merk op dat indien de ring bestaat uit slechts één dijkvak met belasting H1 en kruinhoogte h1, FR

gelijk wordt aan F(h1), omdat H = H1 – h1 > 0 equivalent is met H1 > h1. In dit geval is de

ringberekening dus identiek aan de vakberekening met kruinhoogte h1 voor één locatie.

Rest nog de vraag hoe om te gaan met dijkringen 24 en 35 die zowel Rijn- als Maasdominante

vakken hebben. Een benaderend antwoord voor de overschrijdingsfrequentie van de ring kan

als volgt worden gevonden. Splits de ring R in een deel R1 met Rijndominante locaties en een

deel R2 met Maasdominate locaties. Dat levert twee overschrijdingsfrequenties FR,1 en FR,2.

Neem de overschrijdingsfrequentie FR van de gehele dijkring dan gelijk aan de som van de twee

antwoorden, dus

,1 ,2 R R RF F F= + (18.17)

Dit vormt een bovengrensbenadering voor het werkelijke antwoord, omdat faalgebeurtenissen

dubbel kunnen worden geteld. Stel bijvoorbeeld dat voor dijkring 24 tijdens extreme Rijn- en

Maasafvoeren zowel een locatie langs de Rijn als de Maas faalt. De ring als geheel faalt dan



maar één keer, terwijl in het rechterlid van (18.17) twee faalgebeurtenissen worden geteld. De

werkelijke overschrijdingsfrequentie van de ring kan dus kleiner zijn dan het rechterlid van

(18.17). Uiteraard vormt het maximum van FR,1 en FR,2 een ondergrens voor de werkelijke

overschrijdingsfrequentie van de ring. Wanneer dit maximum dicht bij FR uit (18.17) ligt, kan de

werkelijke overschrijdingsfrequentie dus nauwkeurig bepaald worden; als dat niet het geval is,

is de onnauwkeurigheid groter.



19 Uitsplitsingen Hydra-B

De uitsplitsingen uit Hydra-VIJ geven de kansen waarmee tijdens falen afvoeren, meerpeilen,

windsnelheden, windrichtingen en keringtoestanden voorkomen. In hoofdstuk 4 zijn concrete

voorbeelden gegeven, voor de Vecht- en IJsseldelta, waarbij veel aandacht is besteed aan de

juiste interpretatie van de uitsplitsingen. Het huidige Hydra-B kent op dit moment alleen

uitsplitsingen naar afvoeren, windrichtingen en keringtoestanden. Concrete voorbeelden,

analoog aan die voor Vecht- en IJsseldelta uit hoofdstuk 4, zijn voor de benedenrivieren

gegeven in [Geerse, 2004c], voor toetspeilen en benodigde kruinhoogtes. Daarnaast geeft

[Duits, 2004a] voor de toetspeilen op de Rijn- en Maastakken (takken eindigen bij Maasmond of

Haringvlietsluizen) resultaten voor uitsplitsingen. In het bijzonder kan daaraan worden gezien

welk bereik van afvoeren belangrijk is tijdens falen. In het zeegebied (vergelijk Figuur 15-2)

blijken dat relatief lage afvoeren te zijn, in het overgangsgebied de “midden-afvoeren” en in het

rivierengebied extreme afvoeren.

In dit hoofdstuk worden de formules voor de uitsplitsingen uit Hydra-B gegeven. De behande-

ling is sterk analoog aan die voor Hydra-VIJ, vandaar dat de motivatie hier beknopter zal zijn

dan die uit hoofdstuk 13 voor Hydra-VIJ. Zoals gezegd kent Hydra-B op dit moment alleen

uitsplitsingen naar afvoeren, windrichtingen en keringtoestanden. Op termijn bestaat wellicht

ook behoefte aan uitsplitsingen naar windsnelheden en zeewaterstanden. De formules uit dit

hoofdstuk zijn algemeen en bevatten ook deze uitsplitsingen.

19.1 Continue versie probabilistische formules

Formule (18.10) heeft een discreet karakter, vanwege het “discrete” product in het rechterlid

van de formule. Nu volgt een “continue” versie van deze formule, met als belangrijkste doel dat

de uitsplitsingsformules dan veel transparanter worden. De overschrijdingsfrequentie F(h) wordt

in Hydra-B overigens uitgerekend op basis van de discrete versie.25

Neem aan dat een beschouwde afvoergolf met piekwaarde k begint (bij afvoerniveau 0 m3/s) op

tijdstip tb en eindigt op tijdstip te en definieer α(t,k) als de afvoer, in m3/s, op tijdstip t binnen

deze golf. Merk op dat tb en te van k afhangen, hoewel dat niet in de notatie tot uitdrukking

komt. De tijd wordt in uren gerekend. Overigens werd in oudere referenties, zoals [Geerse,

2002b; 2003b; 2005] de tijd in eenheden van getijperioden beschouwd. Voor de uniformiteit

wordt in de formules uit het voorliggende rapport de tijd overal in uren gerekend.

Geef met b = 12.42 uur de duur van een getijperiode aan (12 uur en 25 minuten). Dan volgt in

benadering, uit (18.10), waarbij op een standaardmanier een discrete som wordt vervangen

door een continue integraal,

[ ]( )

[ ]( )

1

ln 1 ( | ) ln 1 | ( )

1 ln 1 | ( , )e

b

n

golfj

t

t

P H h k P H h q j

dt P H h t kb

α

=

− > = − >

≅ − >

∑

∫ (19.1)

25 In de programmatuur wordt een herschaling toegepast om resultaten gebaseerd op de discrete versie van Pgolf(H>h|k) in

overeenstemming te brengen met resultaten gebaseerd op de continue versie hiervan.



Hieruit blijkt dat

[ ]( )1( | ) 1 exp ln 1 | ( , )e

b

t

golft

P H h k dt P H h t kb

α > ≅ − − >

∫ (19.2)

Deze benadering is met name nauwkeurig als de kans P[H>h|α(t,k)] niet al te snel varieert als

functie van de tijd. Men kan echter ook redeneren dat het rechterlid van (19.2), dus de continue

versie, in feite een beter antwoord voor de grootheid Pgolf(H>h|k) oplevert dan de discrete

versie uit (18.10), vanuit de gedachte dat de continue versie nauwkeuriger het tijdsverloop van

de afvoer volgt. De continue versie voor de berekening van Pgolf(H>h|k) zal worden genoteerd

als Ggolf(H>h|k). Dus geldt

[ ]( )1( | ) 1 exp ln 1 | ( , )e

b

t

golft

G H h k dt P H h t kb

α > = − − >

∫ (19.3)

met

( | ) ( | )golf golfG H h k P H h k> ≅ > (19.4)

In de continue versie van de Hydra-B formules wordt de overschrijdingsfrequentie F(h) als

analogon van (18.12) dan gegeven door

0

( ) ( ) ( | )golfF h dk k G H h kψ∞

= >∫ (19.5)

19.2 Uitsplitsingen naar alle stochasten

In het huidige Hydra-B zijn alleen de uitsplitsingen naar afvoer, windrichting en keringtoestand

geïmplementeerd. In dit hoofdstuk worden echter ook de formules gegeven om uit te splitsen

naar windsnelheid en zeewaterstand. Wellicht dat op termijn deze extra uitsplitsingen ook

worden geïmplementeerd. De theorie uit deze en de volgende paragraaf is afkomstig uit

[Geerse, 2003; Geerse, 2005]. Hieronder wordt een op zichzelf staande verhandeling gegeven,

waarbij voor de motivatie soms wordt verwezen naar de overeenkomstige theorie voor

Hydra-VIJ uit hoofdstuk 13.

Om didactische redenen is het handig eerst de uitsplitsing naar alleen de afvoer te geven.

Startpunt van de afleiding is de uitsplitsing naar afvoeren van de kans Ggolf(H>h|k). Geef de

bijdrage aan deze kans, geleverd door afvoeren in het interval [q1,q2], aan met F([q1,q2]|k).

Analoog aan de motivatie voor Hydra-VIJ, vergelijk formule (13.18), kan hiervoor worden

genomen

( )( )

( )1 2[ , ]: ( , ) [ , ]

1 2

[ , ]

| ( , )[ , ] | ( | )

| ( , )b e

b e

t t t t k q qgolf

t t t

dt P H h t kF q q k G H h k

dt P H h t kα

α

α∈ ∈

∈

>

= >>

∫

∫ (19.6)

Analoog aan (13.20) en (13.21) is het handig om te definiëren



( )[ , ]

1( | ) | ( , )b e

golf

t t t


α∈

> = >∫ (19.7)

en

( | )

( )( | )

golf

golf

G H h kJ k

G H h k

>=

> (19.8)

waarna (19.6) ook geschreven kan worden als

( ) ( )1 2

1 2[ , ]: ( , ) [ , ]

( )[ , ] | | ( , )b et t t t k q q

J kF q q k dt P H h t kb α

α∈ ∈

= >∫ (19.9)

De bijdrage aan F(h) geleverd door afvoeren in het interval [q1,q2], volgt door deze grootheid te

vermenigvuldigen met de frequentiedichtheid ψ(k) en vervolgens k uit te integreren:

( ) ( )1 2 1 20

[ , ] ( ) [ , ] |F q q dk k F q q kψ∞

= ∫ (19.10)

Tot zover de uitsplitsing naar de afvoer. Om de uitsplitsing naar alle stochasten te krijgen wordt

eerst (19.9) herschreven. Met (18.9) volgt

( )

1 2

1 2

16

, 1[ , ]: ( , ) [ , ] : ( ( , ), , , , )

[ , ] |

( ) ( , , , | ( , ))O Db e

rt t t t k q q u H t k m u r h

F q q k

J k dt dm du g m u r t kb ω ω ωα α ω

ω α∞

= =∈ ∈ −∞ ≥

=

∑ ∑∫ ∫ ∫ (19.11)

Deze vorm maakt duidelijk dat de uitsplitsing naar alle stochasten, conditioneel op k, genomen

kan worden als

( )2

1 2 1 1 2

1 2 1 2 1 2

[ , ]: ( , ) [ , ] [ , ]: ( ( , ), , , , )

[ , ],[ , ],[ , ], , |

( ) ( , , , | ( , ))b e

m

t t t t k q q m u u u H t k m u r h

F q q m m u u r k

J k dt dm du g m u r t kb α α ω

ω

ω α∈ ∈ ∈ ≥

=

∫ ∫ ∫ (19.12)

Analoog aan (19.10) volgt nu voor de uitsplitsingen, onconditioneel op k,

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20

[ , ],[ , ],[ , ], , ( ) [ , ],[ , ],[ , ], , |F q q m m u u r dk k F q q m m u u r kω ψ ω∞

= ∫ (19.13)

Het is eenvoudig te verifiëren dat, met q0=0, m0=0 en u0=0,26

( )16

0 0 01 ,

[ , ],[ , ],[ , ], , ( )O Dr

F q m u r F hω ω ω

ω= =

∞ ∞ ∞ =∑ ∑ (19.14)

wat inhoudt dat het “totaal van de uitsplitsingen” de overschrijdingsfrequentie oplevert, wat

natuurlijk het geval moet zijn.

26 De laagste zeewaterstand die kan voorkomen in Hydra-B is iets hoger dan 0.7 m+NAP, zodat voor m0 ook 0.7 genomen

zou kunnen worden. Gemakshalve wordt in de formules als integratiegrens echter 0 als laagste zeewaterstand genomen.



Voor de duidelijkheid nog het volgende. In deze formule wordt geen onderscheid gemaakt

tussen de oostelijke en westelijke richtingen, wat mogelijk is door definitie (18.8). Voor de

oostelijke richtingen r = 1 t/m 9 is echter geen “reële” uitsplitsing mogelijk naar keringtoestand

en zeewaterstand. Voor de oostelijke richtingen is immers altijd sprake van geopende keringen:

uit (19.12) en (19.13) volgt voor r = 1 t/m 9, met behulp van (18.8), dat voor ω = ωD het

linkerlid van (19.13) gelijk aan 0 wordt. Ook de zeewaterstand speelt geen werkelijke rol voor

deze richtingen: in de Sobekberekeningen is dan altijd sprake van springtij, terwijl in de

probabilistische formules uit Hydra-B de zeewaterstand dan niet voorkomt. Formeel volgt uit

(19.13) dat F([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r, ω=ωO) = 0 als mST niet bevat is in het interval [m1,m2],

terwijl als mST wel bevat is in dit interval volgt F([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r, ω=ωO) =

F([q1,q2],[u1,u2],r, ω=ωO). Voor de oostelijke richtingen kan de situatie als volgt worden

samengevat: er is geen zinvolle uitsplitsing naar m mogelijk, alleen F([q1,q2],[u1,u2],r) kan

zinvol worden berekend, waarbij zich altijd de open keringtoestand voordoet.

Deeluitsplitsingen kunnen verkregen worden door de grootheden waarnaar niet wordt

uitgesplitst te “aggregeren” als in Tabel 19-1.

aggregeren van berekening uit F([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r,ω) door:

1 afvoer neem [q1,q2] = [q0, ∞)

2 zeewaterstand neem [m1,m2] = [m0, ∞)

3 windsnelheid neem [u1,u2] = [u0, ∞)

4 windrichting sommeer over r = 1 t/m 16

5 keringtoestand sommeer over ω = 0, 1

Tabel 19-1: Aggregatiehandelingen voor de diverse grootheden, waarbij q0=0, m0=0 en u0=0.

Neem als voorbeeld de uitsplitsing naar u en r. Die wordt verkregen als

( )1 2 0 0 1 2,

([ , ], ) [ , ),[ , ),[ , ], ,O D

F u u r F q m u u rω ω ω

ω=

= ∞ ∞∑ (19.15)

19.3 Alternatieve formule voor de uitsplitsingen

De basisformules voor de uitsplitsingen worden gegeven door (19.12) en (19.13). In de eerste

formule komt een integratie over de tijd voor. Het blijkt mogelijk, net als in Hydra-VIJ (zie

paragraaf 13.6), de tijdintegratie te vervangen door een integratie over q, m en u. De dan

verkregen “alternatieve” formules zijn ten eerste eenvoudiger en ten tweede geschikter om te

implementeren dan de eerdere versies.27 Hier volgt een alternatieve formule voor (19.13). Het

bewijs daarvan is analoog aan dat voor Hydra-VIJ (zie Bijlage B) en wordt hier niet gegeven.

Eigenlijk is het bewijs voor Hydra-B simpeler, omdat in Hydra-B slechts één trage stochast

voorkomt (de afvoer), terwijl dat er in Hydra-VIJ twee zijn (afvoer en meerpeil); juist die trage

stochasten maken het bewijs gecompliceerd.28

27In het huidige Hydra-B zijn alleen de uitsplitsingen naar afvoer, windrichting en keringtoestand geïmplementeerd, op

basis van de formules uit paragraaf 19.2 (met een integratie over de tijd). Als ook uitsplitsingen naar wind en zeewaterstand geïmplementeerd worden, vormen de formules uit de voorliggende paragraaf echter een veel beter uitgangspunt.

28[Geerse, 2005] geeft een alternatief bewijs voor de formule uit Hydra-B, dat anders van opzet is, en eenvoudiger, dan dat uit Bijlage B. Dat andere bewijs is echter niet te generaliseren naar twee trage stochasten, wat wel nodig is voor Hydra-VIJ. Vandaar dat een nieuw bewijs nodig was voor Hydra-VIJ, dat ook van toepassing is op Hydra-B.



Nu volgt de alternatieve formule voor de uitsplitsingen. We brengen in herinnering dat L(q,k) de

overschrijdingsduur in uren weergeeft van niveau q, binnen de golf met piekwaarde k. Definieer

dan de niet-negatieve grootheid

1( ) ( ) ( ) ( , ) 0

q

v q dk k J k L q kb q

ψ∞∂

= − ≥∂ ∫ (19.16)

en het faalgebied G door

( ) ( , , , , ) | , , , ,G q m u r H q m u r hω ω= ≥ (19.17)

De karakteristieke functie van G wordt aangegeven met χG(q,m,u,r,ω): deze is 1 voor punten

(q,m,u,r,ω) in G, en 0 voor punten daarbuiten. De uitsplitsing uit (19.13) blijkt nu eveneens te

kunnen worden berekend volgens

( )2 2 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , ( ) ( , , , | ) ( , , , , )q m u

Gq m u

F q q m m u u r dq dm du v q g m u r q q m u rω ω χ ω= ∫ ∫ ∫ (19.18)

19.4 Door wind en/of zee gedomineerde locaties

Het is interessant om, net als is gedaan voor Hydra-VIJ in paragraaf 13.7, een soort limietgeval

van de formules te bekijken. Bij Hydra-VIJ ging het om locaties die door wind worden

gedomineerd, in Hydra-B om locaties die door wind en/of zee worden gedomineerd. Een

voorbeeld van zo’n locatie in de benedenrivieren is Rotterdam: falen treedt daar (vrijwel zeker)

op door een extreme storm(vloed) in combinatie met een relatief lage afvoer. Fysisch gezien

wordt een door wind en/of zee gedomineerde locatie gekarakteriseerd door het feit dat de

belasting H gevoelig is voor veranderingen in wind en/of zeewaterstand, maar veel minder

gevoelig voor veranderingen in de afvoer.

De uitleg uit paragraaf 6.3 maakt duidelijk dat faalgebeurtenissen dan met grote kans slechts

één getijperiode duren, waardoor het gedetailleerde tijdsverloop van de trage stochast afvoer

irrelevant wordt. Van deze stochast doet dan alleen de momentane verdeling er toe. Formule

(6.5) suggereert dat de overschrijdingsfrequentie F(h) dan wordt gegeven, omdat kan worden

gekozen qg = ∞, door

( )0

( ) ' ( ) | , voor wind- en/of zeegedomineerde locatiesq

F h N dq g q P H h q∞

= >∫ (19.19)

waarbij N’ = 352 het aantal getijperioden in het winterhalfjaar geeft. Nu wordt gedemonstreerd

dat deze formule inderdaad volgt uit de hiervoor gegeven uitsplitsingsformules, door daarin een

voor dergelijke locaties passende benadering te gebruiken.

Beschouw eerst Ggolf(H>h|k) uit (19.3). Hierin komt de kans P(H>h|α(t,k)) voor. De aanname

van wind- en/of zeegedomineerd zijn van de locatie, betekent dat deze kans voor iedere t en k

erg klein is: er is immers een extreme storm(vloed) nodig voor falen, en de kans daarop is zeer

klein. Door gebruik te maken van de benaderingen ln(1+x) ≅ x en 1-exp(-y) ≅ y, geldig voor x

en y zeer klein, kan voor (19.3) worden geschreven, met behulp van (19.7),



[ ]

[ ]

0

0

1( | ) 1 exp | ( , )

1 | ( , )

( | )

B

golf

B

golf


dt P H h t kb

G H h k

α

α

> ≅ − − >

≅ >

= >

∫

∫ (19.20)

Definitie (19.8) laat dan zien

( ) 1, voor wind- en/of stormvloedgedomineerde locatiesJ k ≅ (19.21)

Uit (19.16) en (17.2) volgt dan, met g(q) = - dP(Q>q)/dq,

182*24( ) ( ) ' ( )v q g q N g q

b≅ = (19.22)

Dan levert (19.14) en (19.18), met q0=0, m0=0 en u0=0,

( )

0 0 0

16

0 0 01 ,

16

1 ,

( ) [ , ],[ , ],[ , ], ,

' ( ) ( , , , | ) ( , , , , )

O D

O D

r

Gr q m u

F h F q m u r

N dq dm du g q g m u r q q m u r

ω ω ω

ω ω ω

ω

ω χ ω

= =

∞ ∞ ∞

= =

= ∞ ∞ ∞

≅

∑ ∑

∑ ∑ ∫ ∫ ∫ (19.23)

Bedenk dat χG de karakteristieke functie is van het faalgebied, volgens (19.17) bestaande uit de

punten (q,m,u,r,ω) waarvoor H(q,m,u,r,ω) ≥ h. Door uitintegreren van m, u, r en ω in (19.23)

ontstaat dan (19.19), waarmee deze formule is aangetoond.

Merk nog op dat uit (19.19) volgt

( ) ' ( ), voor wind- en/of zeegedomineerde locatiesF h N P H h= > (19.24)

Hier staat dat voor dergelijke locaties de overschrijdingsfrequentie F(h) kan worden berekend

door eerst de faalkans voor getijperiode te berekenen, waarin de momentane verdeling van de

afvoer een rol speelt, en vervolgens deze faalkans te vermenigvuldigen met het aantal

getijperioden in het winterhalfjaar. Dit resultaat maakt nog eens extra duidelijk dat voor deze

locaties het gedetailleerde tijdsverloop van de afvoer geen rol speelt.

Een interessante vraag is nog wanneer een locatie dermate wind en/of zeegedomineerd is, dat

voldoende nauwkeurig aan benadering (19.21) is voldaan. Dat blijkt in ieder geval zo, voor

toetspeilen, voor locaties benedenstrooms van Dordrecht, inclusief het Haringvliet en Hollandsch

Diep: de berekening van F(h) volgens (19.24) blijkt minder dan 0.01 m verschil te geven in

toetspeil ten opzichte van de officiële berekening met (18.12). De conclusie mag overigens niet

zijn dat benadering ( ) 1J k ≅ uit (19.21) dan voor iedere k geldt. Vermoedelijk is dat niet zo voor

uiterst extreme waarden van k, maar als dergelijke waarden van k vrijwel geen bijdrage leveren

aan de integratie uit (18.12), hoeft voor deze waarden ook niet voldaan te zijn aan de

genoemde benadering.

De bewering dat (in ieder geval) voor locaties benedenstrooms van Dordrecht, inclusief

Haringvliet en Hollandsch Diep, formule (19.24) uitstekende resultaten geeft, geldt voor

toetspeilen, oftewel voor faalmechanisme overloop. Voor faalmechanisme golfoverslag zal



hetzelfde gelden, omdat in dat geval de wind, vanwege de windgolven, nog belangrijker wordt

ten opzichte van de afvoer.



20 Illustratiepunten Hydra-B

Dit hoofdstuk gaat over de berekeningswijze van de illustratiepunten (IP’s) in Hydra-B. Voor de

Vechtdelta zijn concrete voorbeelden van IP’s, voor waterstanden en kruinhoogtes, behandeld in

de paragrafen 4.3.3 en 4.4.4. De interpretatie voor de benedenrivieren is niet veel anders, met

dien verstande dat het meerpeil nu vervangen wordt door de zeewaterstand: voor de beneden-

rivieren geeft het IP, voor combinatie (r,ω) van richting en keringtoestand, de waarde van de

afvoer q, de zeewaterstand m en de windsnelheid u die het meest waarschijnlijk zijn temidden

van alle situaties waarvoor “juist” falen optreedt. Op basis van de gevonden combinatie (q,m,u)

worden dan aanvullende grootheden berekend, de lokale waterstand en eventueel

golfgegevens, die gemakshalve ook tot het IP worden gerekend.

De inhoud van dit hoofdstuk is sterk analoog aan die uit hoofdstuk 14, waar de IP’s voor

Hydra-VIJ worden behandeld. Voor de volledigheid worden in de volgende paragrafen de

relevante Hydra-B formules gegeven, maar voor de motivatie wordt soms verwezen naar dit

eerdere hoofdstuk.

20.1 Isovlakken en keuze kansdichtheid

Het faalgebied is in (19.17) omschreven als de verzameling van alle punten (q,m,u,r,ω)

waarvoor de belasting niveau h overschrijdt. In de context van een IP wordt steeds een vaste

combinatie (r,ω) beschouwd: het faalgebied voor die combinatie – dat overigens ook uit de lege

verzameling kan bestaan – bestaat dan uit alle punten (q,m,u) waarvoor bij gegeven (r,ω) de

belasting niveau h overschrijdt. De grens van het faalgebied wordt gevormd door de punten

(q,m,u) waarvoor de belasting precies gelijk is aan niveau h. Deze grens wordt aangeduid als

het isovlak van niveau h, zie Figuur 20-1. Het bestaat uit de punten waarvoor “juist falen

optreedt”.

qm

(q,m,u)

Q

M

U

niveau h

Figuur 20-1: Isovlak van niveau h bij gegeven combinatie (r,ω). Het faalgebied bestaat uit de punten die

bóven het isovlak liggen.



De voor de hand liggende definitie van het IP, corresponderend met de berekening van F(h), is

te stellen dat het dát punt (q,m,u) op het isovlak is waarvoor de kans op falen bij gegeven (r,ω)

maximaal is. Een probleem hierbij is dat F(h) in Hydra-B niet simpelweg berekend wordt door

een kansdichtheid te integreren over het faalgebied. F(h) wordt immers berekend met de

formules (18.10) t/m (18.12), waarin rekening gehouden wordt met de verschillende tijdschalen

waarop stochasten variëren (de afvoer varieert traag ten opzichte van de zeewaterstand en de

wind). Dat verschil in tijdschaal verhindert dat F(h) als integraal van een kansdichtheid over een

faalgebied kan worden berekend. In Hydra-B is de pragmatische keuze gemaakt om de

momentane kansdichtheid g(q,m,u,r,ω) uit (18.2) te gebruiken om het IP te bepalen (zelfde

aanpak als in Hydra-VIJ).

Hydra-B kent overigens, tenminste in de geavanceerde gebruikersversie, twee soorten IP’s: één

soort waarbij het faalgebied eerst is getransformeerd met de Rosenblatt-transformatie, en één

waarbij die transformatie achterwege blijft. De reden voor die transformatie is al uitgelegd voor

Hydra-VIJ (hoofdstuk 14), en wordt niet opnieuw gegeven. In de normale gebruikersversie van

Hydra-B, geldig voor de officiële toetsing, worden de IP’s inclusief Rosenblatt-transformatie

gebruikt. Beide soorten IP’s worden nu behandeld.

20.2 Definitie illustratiepunt

20.2.1 Illustratiepunt exclusief transformatie

De procedure om, exclusief transformatie, het IP bij gegeven combinatie (r,ω) te bepalen,

behorend bij de berekening van F(h), is als volgt:

1. Bepaal het isovlak bestaande uit de punten (q,m,u) waarvoor H(q,m,u,r,ω) = h.

2. Zoek het punt (q,m,u) = (qIP, mIP, uIP) waarvoor g(q,m,u|r,ω) op dit isovlak zijn maximum

aanneemt.

De kansdichtheid uit punt 2 heeft de vorm

( , , , , )( , , | , )

( , )g q m u rg q m u r

g rωω

ω= (20.1)

waarin g(q,m,u,r,ω) volgt uit (18.2) en g(r,ω) volgt door het uitintegreren van (q,m,u) in

g(q,m,u,r,ω).

20.2.2 Illustratiepunt inclusief Rosenblatt-transformatie

In de Rosenblatt-transformatie worden q, m en u getransformeerd naar onafhankelijke,

standaardnormale verdelingen. In Hydra-B gebeurt dat volgens:

( )( )

( )

1

1

1

( , , ) ( | , )

( , , , ) ( | , , )

( , , , , ) ( | , , , )

x x q r P Q q r

y y q m r P M m q r

z z q m u r P U u q m r

ω ω

ω ω

ω ω

−

−

−

= = Φ <

= = Φ <

= = Φ <

(20.2)

Hierin is Φ-1 de inverse van de cumulatieve standaardnormale verdelingsfuntie Φ. De variabelen

x, y en z blijken nu onafhankelijke, standaardnormaal verdeelde variabelen te zijn. Onder de



transformatie wordt het isovlak meegetransformeerd, wat een (gekromd) oppervlak oplevert in

de (x,y,z)-ruimte. Voor de duidelijkheid: de onderschrijdingskansen in het rechterlid van (20.2)

worden bepaald door gebruik te maken van g(q,m,u,r,ω).

De procedure om in Hydra-B het IP bij gegeven combinatie (r,ω) te bepalen, behorend bij de

berekening van F(h), is als volgt:

1. Bepaal het isovlak bestaande uit de punten (q,m,u) waarvoor H(q,m,u,r,ω) = h.

2. Transformeer de variabelen q, m en u naar onafhankelijke standaardnormale variabelen x, y

en z volgens (20.2). Onder deze transformatie gaat het isovlak van niveau h in de (q,m,u)-

ruimte over in een getransformeerd isovlak in de (x,y,z)-ruimte.

3. Zoek op het getransformeerde isovlak het punt (xIP, yIP, zIP) met de kleinste afstand tot de

oorsprong; dat is namelijk het punt waarvoor de getransformeerde kansdichtheid zijn

maximum aanneemt.

4. Transformeer het punt (xIP, yIP, zIP) met de inverse van de Rosenblatt-transformatie terug

naar het punt (qIP, mIP, uIP) dat ligt op het oorspronkelijke isovlak, welk punt dan het

gezochte illustratiepunt vormt.

Berekeningstechnisch blijkt overigens dat stap 4, de terugtransformatie, niet geïmplementeerd

hoeft te worden om het IP te bepalen, zie de systeemdocumentatie [Duits, 2004b], maar

wiskundig verloopt de berekening volgens de stappen 1 t/m 4.

Deel 4



21 Hydra-Zoet

Dit hoofdstuk gaat over een nieuw probabilistisch model voor de zoete watersystemen,

Hydra-Zoet genaamd, dat de bestaande modellen Hydra-VIJ, Hydra-B, Hydra-M en Hydra-R kan

vervangen. Daarbij wordt de deterministische aanpak uit Hydra-R vervangen door een

probabilistische aanpak.29 Dit nieuwe model wordt op dit moment geïmplementeerd, en wordt

binnenkort opgeleverd. Een eerste conceptversie van het voorliggende rapport heeft als leidraad

voor de implementatie gediend.

Dit hoofdstuk behandelt diverse aspecten van Hydra-Zoet. Eerst worden de ideeën achter

Hydra-Zoet behandeld, waarbij ook de voordelen van het nieuwe model worden aangegeven.

Daarna wordt per watersysteem ingegaan op relevante formules en gegevens.

21.1 Uniformering Hydra-modellen voor de zoete watersystemen

Hiervoor zijn de modellen Hydra-VIJ en Hydra-B behandeld. Het blijkt mogelijk beide modellen

uniformer op te zetten dan nu het geval is, waarbij Hydra-B losjes gezegd op dezelfde leest

wordt geschoeid als Hydra-VIJ. Daartoe wordt de modellering van de trage stochast afvoer, nu

in Hydra-B door middel van standaardafvoergolven, vervangen door een modellering met

trapezia. Aldus wordt Hydra-B geherformuleerd als een “Hydra-VIJ-achtig” model. Verder blijkt

dat Hydra-M (gebruikt voor IJssel- en Markermeer) en Hydra-R (gebruikt voor de bovenrivieren)

eveneens als Hydra-VIJ-achtig model geherformuleerd kunnen worden. Op deze manier kunnen

de vier zoete watersystemen op een uniforme manier worden beschreven met één nieuw model,

Hydra-Zoet genaamd, dat dus geënt is op Hydra-VIJ. Het kenmerk van Hydra-Zoet is dat de

trage stochasten afvoer en meerpeil worden gemodelleerd met trapezia als in Hydra-VIJ. De

snelle stochasten (zeewaterstand, windsnelheid en windrichting) dienen per watersysteem wel

anders geïmplementeerd te worden. Ook de modellering van de keringen (Ramspolkering voor

de Vecht- en IJsseldelta en de Europoortkering voor de benedenrivieren) dient per watersys-

teem anders te gebeuren.

Het vervangen van de modellen Hydra-VIJ, Hydra-B, Hydra-M en Hydra-R door één nieuw

model Hydra-Zoet heeft diverse voordelen:

1. Voor beheer en onderhoud is het een groot voordeel om één model te hebben in plaats van

vier verschillende zoete Hydra’s: diverse modules kunnen gemeenschappelijk gebruikt

worden.

2. De tijdsmodellering in Hydra-Zoet waarbij voor elk watersysteem de (relevante) trage

stochasten met trapezia worden geschematiseerd in plaats van met standaardgolven levert

een eleganter en uniformer model, waarbij de invoer eenvoudiger wordt. Waar bijvoorbeeld

in Hydra-B de standaardafvoergolven als complete tijdreeksen worden ingevoerd, kunnen

trapezia met slechts enkele parameters gekarakteriseerd worden.

29 In Hydra-Zoet is naast een probabilistische versie voor de bovenrivieren ook de deterministische aanpak uit Hydra-R

ingebouwd, zodat voor de bovenrivieren naar keuze probabilistisch of deterministisch kan worden gerekend.



3. De uitvoer van berekeningen voor de betreffende watersystemen wordt uniform, en analoog

aan de huidige Hydra-VIJ uitvoer: illustratiepunten worden analoog aan die uit Hydra-VIJ30

en uitsplitsingen worden mogelijk naar de trage stochasten en naar de windsnelheid, wind-

richting, keringtoestand en, voor de benedenrivieren, de zeewaterstand.

4. Hydra-Zoet zal, analoog aan wat nu het geval is voor Hydra-VIJ, zo worden opgezet dat

bepaalde gevoeligheidsanalyses veel eenvoudiger kunnen worden uitgevoerd dan nu het

geval is in Hydra-B en Hydra-M. Bijvoorbeeld klimaatscenario’s met andere statistiek voor

wind, meerpeil, afvoer en zeewaterstand kunnen dan eenvoudiger worden doorgerekend.

De ideeën achter Hydra-Zoet zijn al enkele jaren oud. Er zelfs al een prototype gebouwd, dat

bevredigende resultaten geeft (zie [Duits, 2006]), op basis waarvan een rapport is geschreven

met technische adviezen voor de bouw van een definitief Hydra-Zoet, zie [Duits en Hoekstra,

2006]. In het vervolg van dit hoofdstuk worden, aanvullend op de genoemde referenties en

gedeeltelijk overlappend daarmee, aspecten en formules van Hydra-Zoet per watersysteem

toegelicht.

21.2 Hydra-Zoet voor het IJssel- en Markermeer

De Hydraulische randvoorwaarden voor het IJssel- en Markermeer worden op dit moment

bepaald met het probabilistisch model Hydra-M [Hydra-M, 1999]. Tot deze meren worden ook

een aantal kleinere meren gerekend (en de rivier de Eem):

• IJsselmeer, waartoe ook het Ketel- en het Vossemeer worden gerekend.

• Markermeer, waartoe ook IJburg, de Eem, het Gooi- en Eemmeer en het Nijkerkernauw

worden gerekend.

Als stochasten heeft Hydra-M:

• Het meerpeil M (ruimtelijk gemiddelde van de waterstand, afhankelijk van de locatie het

IJsselmeerpeil dan wel het Markermeerpeil).


• Windrichting R (statistiek van Schiphol). Beschouwd worden de 12 richtingssectoren

15°-45°, 45°-75°,..., 345°-15°, die kortweg worden aangeduid als 30°, 60°,..., 360°.

Omdat deze stochasten ook voorkomen in Hydra-VIJ (met nog de extra stochasten beheer-

toestand van de balgstuw en de IJssel of Vechtafvoer) kunnen behalve met Hydra-M de

genoemde meren ook worden door gerekend met Hydra-VIJ. De formules van Hydra-Zoet voor

deze meren zijn daarom gelijk aan die uit Hydra-VIJ.

Een voorwaarde om met Hydra-VIJ (of met het nog te bouwen Hydra-Zoet) deze meren door te

rekenen, is dat de juiste waterstandsdatabases en statistische gegevens beschikbaar zijn. Dat is

inmiddels het geval. Bovendien is reeds een versie van Hydra-VIJ gebouwd, zie [Duits, 2008d],

waarbij de uitvoer van het model passend voor de meren is gemaakt (afvoergegevens en

gegevens voor de balgstuw zijn uit de uitvoer verwijderd).

Deze versie is uitgebreid getest, waarbij ook een eerste vergelijking is gemaakt tussen Hydra-M

en Hydra-VIJ. Hierbij zijn vooral de toetspeilen vergeleken, en voor enkele locaties ook

30 Voor de meren geeft Hydra-M op dit moment ook illustratiepunten, die echter niet altijd betrouwbaar lijken. Zo wordt

voor het IJsselmeer voor zeer veel locaties een meerpeil van –0.35 m+NAP gevonden, terwijl Hydra-VIJ, indien toegepast op de meren zoals verderop besproken, veel meer variatie in de meerpeilen uit de illustratiepunten vindt. Die grotere variatie in meerpeilen lijkt veel plausibeler.



benodigde kruinhoogtes. De verschillen blijken relatief beperkt, zij het niet verwaarloosbaar.

Belangrijkste reden voor de verschillen is niet de andere probabilistische rekenmethode (Van

der Made in Hydra-M versus de Hydra-VIJ methode), maar het feit dat de invoer van beide

Hydra’s verschilt. De twee belangrijkste verschillen zijn dat Hydra-M is gebaseerd op 12

windrichtingssectoren en Hydra-VIJ op 16 stuks, en dat de meerpeilstatistiek in beide modellen

verschilt.31 Gevoeligheidsanalyses suggereren dat als de invoer van beide modellen zoveel

mogelijk hetzelfde wordt gemaakt, de verschillen tussen beide modellen gering worden (minder

dan 0.05 á 0.1 m). Nadere gevoeligheidsanalyses, voor toetspeilen en benodigde kruinhoogtes,

zijn echter nodig om deze bewering te onderbouwen.

Bovenstaande maakt duidelijk dat het huidige Hydra-VIJ, met 16 richtingssectoren, op dit

moment al gebruikt kan worden voor de genoemde meren. Met betrekkelijk geringe

aanpassingen aan de code kan Hydra-VIJ ook gebruikt worden met 12 richtingssectoren.32 Na

deze aanpassing kan Hydra-VIJ deel gaan uitmaken van Hydra-Zoet. Het laatste model kan dan

gebruikt worden voor de Vecht- en IJsseldelta en de genoemde meren, waarbij de keuze

bestaat om voor de meren te rekenen met 12 of met 16 richtingssectoren.

21.3 Hydra-Zoet voor de benedenrivieren

21.3.1 Afvoer gemodelleerd met trapezia

Hydra-B bevat de afvoer als stochast; afhankelijk van de locatie is dat de Rijn- of de

Maasafvoer. De afvoer wordt in Hydra-B gemodelleerd met standaardafvoergolven (zie

paragraaf 17.1 en 17.2). De snelle stochasten in Hydra-B zijn de zeewaterstand, windsnelheid

en windrichting, die variëren op een tijdschaal van een getijperiode. De beheertoestand van de

Europoortkering is in Hydra-B eveneens geassocieerd met een getijperiode, zodat de stochast

keringtoestand ook als een snelle stochast kan worden beschouwd.

Het is eenvoudig om de Hydra-B formules om te zetten naar de opzet van Hydra-VIJ/Hydra-

Zoet. Daartoe dienen de nu in Hydra-B gebruikte standaardafvoergolven te worden vervangen

door trapeziumvormige golven. Het gaat dan, voor Lobith zowel als voor Lith, om het kiezen van

een geschikte basisduur B en topduur b(k). Ook dient de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer,

die gerelateerd is aan de basisduur, te worden bepaald. Oriënterend onderzoek laat zien dat net

als in Hydra-VIJ een basisduur B van 30 dagen kan worden gekozen. De topduur b(k) en de

kansdichtheid f(k) van de piekafvoer blijken geschikt te kunnen worden gekozen, op zo’n

manier dat de (voorgeschreven) momentane overschrijdingskansen P(Q>q) voor relatief lage q

in zeer goede benadering worden gereproduceerd.33 Definitieve analyses voor het vaststellen

van de parameters moeten echter nog worden uitgevoerd.

21.3.2 Basisformules Hydra-B voor Hydra-Zoet

Nu worden de Hydra-B formules gegeven zoals deze in Hydra-Zoet geïmplementeerd moeten

worden. De standaardafvoergolven uit Hydra-B worden daarbij vervangen door trapezia met

basisduur B = 30 dagen. Op die manier passen er, net als voor Hydra-VIJ, 6 trapezia in het

31 De meerpeilstatistiek uit Hydra-M bevat fouten in de momentane kansen en de overschrijdingsduren. De recenter

afgeleide meerpeilstatistiek uit Hydra-VIJ bevat dergelijke fouten niet. Zie voor een toelichting [Geerse, 2006]. 32De formules om Hydra-VIJ met 12 richtingssectoren te gebruiken zijn volstrekt analoog aan die voor 16 sectoren, en

worden in dit rapport niet gegeven. 33 In [Geerse, 2002b; Duits, 2002] is reeds onderzocht of geschikte keuzes van B, b(k) en f(k) mogelijk zijn. Dat bleek in

redelijke benadering het geval te zijn voor B = 27 dagen. Inmiddels is duidelijk dat B = 30 dagen ook een zeer geschikte keuze is. Vanwege de uniformiteit heeft de keuze B = 30 dagen de voorkeur.



winterhalfjaar. De (herziene) formules voor Hydra-B lijken sterk op die uit Hydra-VIJ uit

paragraaf 12.3, maar worden hier voor de volledigheid wel gegeven.

De overschrijdingsfrequentie F(h) wordt net als in Hydra-VIJ gegeven door (12.13):

( ) 6 ( ), keren/jaarBF h P H h= > (21.1)

waarin PB(H>h) de kans op falen gedurende basisduur B weergeeft. Die kans wordt, analoog

aan (12.14), gegeven door

( ) ( ) ( | )B BP H h dk f k P H h k> = >∫ (21.2)

waarin PB(H>h|k) de kans op falen gedurende basisduur B weergeeft, conditioneel op het

optreden van piekafvoer k. Deze conditionele kans kan worden berekend analoog aan (12.15).

De duur B wordt gediscretiseerd in tijdsintervallen met de duur van een getijperiode. Geef met

ntij(B) het aantal getijperioden in duur B aan, dan afgerond tot een geheel getal: voor B = 30

dagen volgt vrijwel exact ntij(B) = 58. Beschouw nu een gegeven piekwaarde k van het

afvoertrapezium en geef de gemiddelde afvoer in het j-de tijdsinterval aan met q(j), met de

kanttekening dat tenminste één van de blokken waar de piekwaarde in valt, de waarde k krijgt

toegekend. Bedenk dat, hoewel niet in de notatie tot uitdrukking gebracht, q(j) afhangt van k.

Omdat bij aanname in Hydra-B opeenvolgende getijperioden statistisch onafhankelijk zijn wat

de wind betreft, geldt dan

[ ]( )

( )

1

( | ) 1 kans dat in elke getijperiode

1 1 | ( )tij

Bn B

j

P H h k H h

P H h q j=

> = − <

= − − >∏ (21.3)

De kans P(H>h|q) wordt gegeven door formule (18.7), die hier opnieuw wordt weergegeven:

9

1 : ( , , , , )

16

10 : ( , , , , ) : ( , , , , )

( | ) ( , )

( , , , | ) ( , , , | )

ST O

O D

r u H q m u r h

O Dr u H q m u r h u H q m u r h

P H h q du g u r

dm du g m u r q du g m u r q

ω

ω ω

ω ω

= ≥

∞

= −∞ ≥ ≥

> =

+ +

∑ ∫

∑ ∫ ∫ ∫ (21.4)

Voor de gebruikte notatie wordt verwezen naar paragraaf 18.2.

21.3.3 Formules uitsplitsingen Hydra-B voor Hydra-Zoet

De formules voor de uitsplitsingen worden in de context van Hydra-Zoet iets anders. De nieuwe

formules verschillen echter weinig van de eerdere Hydra-B formules uit hoofdstuk 19. Ook lijken

ze sterk op de uitsplitsingsformules voor Hydra-VIJ uit hoofdstuk 13, maar dan met de trage

stochast meerpeil verwijderd en de snelle stochast zeewaterstand toegevoegd. Voor de

volledigheid worden de belangrijkste uitsplitsingsformules hieronder gegeven, maar zonder ze

opnieuw te motiveren. Wel wordt verwezen naar de overeenkomstige formules uit Hydra-VIJ.



Voor de (nieuwe) uitsplitsingsformules is de continue versie van PB(H>h|k) nodig. Die luidt,

analoog aan (13.3),

[ ]( )0

1( | ) 1 exp ln 1 | ( , )B


α > = − − >

∫ (21.5)

Hierin is b de duur van een getijperiode, oftewel b = 12.42 uur. De tijd t wordt gerekend in

uren, evenals de basisduur, die gelijk is aan B = 30*24 = 720 uur. De grootheid α(t,k) geeft de

afvoer in m3/s als functie van t, binnen het trapezium met piekwaarde k. Definieer verder,

analoog aan (13.11) en (13.12), de grootheden

( ) ( )0

1| | ( , )B


α> = >∫ (21.6)

( )( | )

( )|

B

B

G H h kJ k

G H h k>

=>

(21.7)

Voor Hydra-VIJ en Hydra-B zijn respectievelijk in hoofdstuk 13 en 19 twee berekeningswijzen

voor de uitsplitsingen gegeven. Hier wordt slechts de versie gegeven die in paragraaf 13.6 en

19.3 werd aangeduid als de “alternatieve” versie. Definieer, analoog aan (13.34) en/of (19.16):

1( ) ( ) ( ) ( , ) 0

q

v q dk f k J k L q kb q

∞∂= − ≥

∂ ∫ (21.8)

waarbij L(q,k) de overschrijdingsduur in uren weergeeft van niveau q, binnen het trapezium met

piekwaarde k. De uitsplitsing van GB(H>h), gerelateerd aan de basisduur wordt, analoog aan

(13.36) en/of (19.18), dan gegeven door

( )2 2 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , ( ) ( , , , | ) ( , , , , )q m u

Gq m u

A q q m m u u r dq dm du v q g m u r q q m u rω ω χ ω= ∫ ∫ ∫ (21.9)

waarbij de conditionele kansdichtheid g(m,u,r,ω|q) dezelfde betekenis heeft als in paragraaf

19.2 en χG(q,m,u,r,ω) de karakteristieke functie van het faalgebied G weergeeft, zoals eveneens

beschreven in de genoemde paragraaf. Het uitintegreren van alle grootheden in (21.9)

resulteert in GB(H>h). De uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie F(h) volgt door (21.9) te

vermenigvuldigen met het aantal trapezia in een winterhalfjaar (6 stuks). Dus geldt

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , 6 [ , ],[ , ],[ , ], ,F q q m m u u r A q q m m u u rω ω= (21.10)

waarbij deeluitsplitsingen worden verkregen zoals aangegeven in Tabel 19-1.

21.3.4 Herformulering wind-waterstandstatistiek

In Hydra-B wordt voor de westelijke richtingen gebruik gemaakt van de kansdichtheidsfunctie

g(m,u,r), in welk verband wordt gesproken van de wind-waterstandstatistiek (zie paragraaf

17.3). De afleiding van g(m,u,r), gebaseerd op het zogenaamde Volkermodel, wordt gegeven in

[Geerse et al, 2002]. De details doen er hier niet toe, maar het volgende is wel van belang.



In de afleiding van g(m,u,r) volgens het Volkermodel komen diverse parameters voor en

bepaalde transformaties Kr(u), voor r = ZW t/m N. Deze parameters en de Kr(u) zijn in de

genoemde referentie bepaald op basis van de statistische gegevens voor de wind en de

zeewaterstand: de windgegevens betreffen de richtingskansen g(r) en de conditionele

verdelingen g(u|r); de zeewaterstandgegevens betreffen de conditionele verdelingen g(m|r),

voor r = ZW t/m N. De g(r), g(u|r) en g(m|r) gelden voor de HR2001, en zijn voor de HR2006

ongewijzigd gebleven. Echter, bij een verandering van deze statistische gegevens, bijvoorbeeld

voor de HR2011 of voor het doorrekenen van klimaatscenario’s, dienen de parameters en

transformaties Kr(u) uit het Volkermodel opnieuw te worden berekend. Die berekening moet

buiten Hydra-B om gebeuren, wat bewerkelijk is en de kans op fouten vergroot.34 Bij het

implementeren van Hydra-Zoet verdient het aanbeveling om de berekening van deze

parameters en transformaties Kr(u) intern in Hydra-Zoet te laten gebeuren.

Daarnaast is het volgende relevant. Om in het Volkermodel parameters geschikt te kunnen

kiezen, blijkt het noodzakelijk de g(m|r) te benaderen door exponentiële verdelingen, die een

locatieparameter Ar en een schaalparameter Br hebben.35 Deze Ar en Br spelen een rol in het

Volkermodel. Inmiddels is bekend dat het Volkermodel nagenoeg equivalent is met (een

geschikte versie van) het correlatiemodel CS uit hoofdstuk 7, waarbij de parameters Ar en Br

niet langer nodig zijn. Model CS is wiskundig eleganter en helderder dan het Volkermodel,

waarbij benaderingen van de g(m|r) door exponentiële verdelingen niet meer nodig zijn. Op

grond van de inzichten uit [Geerse et al, 2002; Geerse, 2004a] is duidelijk dat het gebruik van

model CS tot vrijwel exact dezelfde resultaten voor g(m,u,r) zal leiden als het Volkermodel in

combinatie met exponentiële benaderingen, zodat de Hydra-B resultaten hierdoor vrijwel

ongewijzigd blijven.36 Terzijde: in Hydra-VIJ wordt eveneens model CS gebruikt, in dat geval

om de correlatie tussen afvoer en meerpeil te beschrijven.

Wanneer model CS wordt toegepast in de bepaling van de wind-waterstandstatistiek g(m,u,r),

kan worden volstaan met minder parameters: de volgens [Geerse et al, 2002] nu aanwezige

parameters ρr, Mr, Ar en Br worden dan vervangen door slechts één parameter σr, die een maat

is voor de sterkte van de correlatie voor richting r. Per richting r dient σr zo te worden bepaald

dat de sterkte van de correlatie dezelfde is als die in de wind-waterstandstatistiek uit de

HR2006.37

Op grond van het voorgaande wordt aanbevolen om in Hydra-Zoet model CS te gebruiken in

plaats van het Volkermodel. Bij toepassen van model CS moeten voor elke r = ZW t/m N

bepaalde transformaties worden bepaald, namelijk degenen uit (7.6). Deze kunnen

geautomatiseerd in Hydra-Zoet worden uitgerekend, net als op dit moment in Hydra-VIJ

gebeurt voor model CS. Het is echter ook mogelijk het Volkermodel te blijven gebruiken in

Hydra-Zoet, waarbij dan de bepaling van relevante parameters en de transformaties Kr(u) bij

voorkeur geautomatiseerd dienen te worden uitgevoerd.

34 Bij relatief eenvoudige veranderingen van de statistische gegevens kan beredeneerd worden hoe diverse parameters en

de Kr(u) veranderen. Zie bijvoorbeeld [Geerse, 2007b] voor de situatie waarin de zeewaterstanden met een vaste factor f worden vermenigvuldigd.

35 Deze benaderingen dienen alleen om parameters uit het Volkermodel geschikt te kunnen kiezen, maar de g(m|r) uit Hydra-B worden zeer zeker niet vervangen door deze exponentiële verdelingen.

36 In het geval dat de g(m|r) exponentiële verdelingen zijn, levert model CS exact dezelfde g(m,u,r) als volgens het Volkermodel, zoals aangetoond in hoofdstuk 8 van [Geerse, 2004a]. De g(m|r) uit het huidige Hydra-B zijn echter niet exact exponentieel, maar wel in goede benadering. De lichte afwijking van het exponentiële verband resulteert in een zeer geringe verandering van de correlatiesterkte, die op zijn beurt zeer weinig invloed heeft op de resultaten.

37 De parameter Mr is in het Volkermodel feitelijk redundant: door Kr(u) en ρr op geschikte wijze aan te passen, kan altijd Mr = 1 worden gekozen, zonder daarbij g(m,u,r) te wijzigen. Bij gebruik van model CS spelen daarnaast Ar en Br geen rol meer. Eigenlijk is het zo dat deze parameters uit het Volkermodel slechts marginaal van invloed zijn op de resultaten. De enige echt relevante parameter is ρr, die diect samenhangt met de sterkte van de correlatie. Bij de aanpak met transformaties is ρr te koppelen aan de standaarddeviatie σr uit model CS uit hoofdstuk 7.



Wanneer de genoemde grootheden geautomatiseerd worden uitgerekend, kunnen

klimaatscenario’s veel eenvoudiger worden doorgerekend dan nu het geval is in Hydra-B. Voor

de duidelijkheid: in zo’n klimaatscenario moeten wel g(r), g(u|r) en g(m|r) voorhanden zijn;

verder moet worden aangenomen dat de correlatiesterktes, namelijk de parameters σr in model

CS en ρr in het Volkermodel, in het klimaatscenario ongewijzigd blijven. Wel kunnen de waardes

voor σr en ρr eenvoudig worden gevarieerd, zodat de invloed van andere correlatiesterktes op de

resultaten kan worden onderzocht.

21.3.5 Gemeenschappelijke tijdbasis in Hydra-Zoet

Op dit moment wordt in Hydra-VIJ als tijdbasis 12 uur gebruikt, terwijl in Hydra-B daarvoor een

getijperiode wordt genomen. De keuze van een getijperiode voor de benedenrivieren is

plausibel, omdat de zeewaterstand immers op deze tijdschaal fluctueert. Bekend is echter, zie

ook paragraaf 6.4, dat een iets andere keuze dan een getijperiode vrijwel geen enkele invloed

heeft op de Hydra-B resultaten. Vanwege uniformiteit is het aan te bevelen in Hydra-Zoet een

gemeenschappelijke tijdbasis te gebruiken, waarbij de keuze van 12 uur dan het meest voor de

hand ligt. Het afleiden van windstatistiek is namelijk alleen mogelijk voor een periode van een

geheel aantal uren (de basisgegevens voor de wind zijn immers uurgegevens). De wind-

statistiek voor Hydra-B is feitelijk afkomstig uit die van een 12-uurs statistiek die daarna

herschaald is naar een getijperiode. Bij een uniforme keuze voor 12 uur als tijdbasis is zo’n

herschaling niet meer nodig.

21.4 Hydra-Zoet voor de bovenrivieren

21.4.1 Algemeen

Voor de bovenrivieren worden de dijken in het kader van de HR2006 getoetst met het

computerprogramma Hydra-R. Dit programma rekent deterministisch, waarbij het toetspeil

wordt gecombineerd met ontwerpwindsnelheden. De verwachting is dat op termijn de toetsing

voor de bovenrivieren ook probabilistisch zal gaan gebeuren, wat dan een probabilistisch model

vereist. Qua opzet kan hiervoor Hydra-B zowel als Hydra-VIJ worden gekozen. Omdat Hydra-VIJ

de basis vormt voor Hydra-Zoet wanneer toegepast voor de meren, benedenrivieren en de

Vecht- en IJsseldelta, ligt het dan voor de hand om ook voor de bovenrivieren Hydra-VIJ als

uitgangspunt te nemen.

Voor de bovenrivieren zijn de stochasten meerpeil en beheertoestand van de Ramspolkering uit

Hydra-VIJ overbodig. Deze stochasten moeten voor dit watersysteem uit Hydra-Zoet worden

verwijderd. De windsnelheid en windrichting blijven onderdeel van Hydra-Zoet; desgewenst kan

echter statistiek van een ander windstation dan Schiphol worden gebruikt. De afvoeren van de

Rijn, Maas, Vecht en IJssel dienen als trapezia te worden gemodelleerd. Daarover gaan de

volgende paragrafen. Als voorbereiding hierop geven we eerst de precieze afbakening van de

bovenrivieren.

Onder de bovenrivieren worden in dit rapport de riviertakken verstaan die een normterug-

keertijd hebben van 1250 jaar of lager.38 De linker- en rechteroever van een riviertak kunnen

behoren bij verschillende normterugkeertijden. Volgens de HR2006 hebben de volgende

38 Het is niet altijd duidelijk welke riviertakken door verschillende mensen precies tot de bovenrivieren worden gerekend. In

dit rapport rekenen we alles tot de bovenrivieren dat een normterugkeertijd T = 1250 jaar heeft.



riviertakken normterugkeertijd 1250 jaar. Wanneer in de opsomming twee kilometerraaien zijn

genoemd, betreft het eerste getal de linkeroever (gerekend ten opzichte van de

stroomafwaartse richting) en het tweede de rechteroever:39

1. Bovenstroomse deel Overijsselse Vecht, van km 52 t/m km 36 (verder landinwaarts geen

primaire keringen meer).

2. Bovenstrooms van IJssel km 972/km 981.

3. Bovenstrooms van Lek km 943/km 949.

4. Bovenstrooms van Waal km 951/Boven Merwede km 955.

5. Bovenstrooms van Bergsche Maas km 235/km 228; hieronder vallen ook de dijkringen 54

t/m 95 langs de Limburgse Maas, met normterugkeertijden 250 jaar.

Nu volgen voor deze trajecten opmerkingen over de voor Hydra-Zoet benodigde

afvoerstatistiek. Op implementatietechnische zaken wordt niet ingegaan; ook de benodigde

waterstandsdatabases (met Waqua- of Sobekberekeningen) blijven buiten beschouwing.

Dergelijke zaken vallen buiten de scope van dit rapport.

21.4.2 Bovenstroomse deel Overijsselse Vecht, van km 52 t/m km 36

Dit traject kan nu al met Hydra-VIJ, en straks dus met Hydra-Zoet, doorgerekend worden. De

(afvoer)statistiek voor Dalfsen wordt namelijk representatief geacht voor het hele traject km 52

t/m km 36. De overige stochasten kunnen ongewijzigd aanwezig blijven in Hydra-VIJ/Hydra-

Zoet.

21.4.3 Bovenstroomse delen van IJssel, Lek en Waal

De bovenstroomse delen van IJssel, Lek en Waal betreffen de trajecten:

• IJssel km 972/km 981.

• Lek km 943/km 949.

• Waal km 951/Boven Merwede km 955.

Om deze trajecten met Hydra-Zoet door te rekenen is afvoerstatistiek van Lobith nodig. Dat

betekent dat voor deze locatie trapeziumvormige afvoergolven moeten worden bepaald, met

een constante basisduur B en een topduur b(k) en kansdichtheid f(k) die afhankelijk zijn van de

piekwaarde k. Zoals in paragraaf 21.3.1 opgemerkt zijn geschikte keuzes mogelijk voor

basisduur B = 30 dagen.

21.4.4 Bovenstrooms van Bergsche Maas km 235/km 228.

Voor dit traject is statistiek van Borgharen nodig. Daarvoor moeten trapezia worden bepaald

met een constante basisduur B, en een topduur b(k) en kansdichtheid f(k) die afhankelijk zijn

van de piekwaarde k, op zo’n manier dat het hogere deel van de standaardafvoergolven op een

goede manier door de trapezia worden weergegeven. Ook moeten de momentane overschrij-

dingskansen P(Q>q) voor relatief lage q in goede benadering worden gereproduceerd.

Oriënterend onderzoek laat zien dat geschikte keuzes mogelijk zijn, maar alleen met een veel

kortere basisduur dan hiervoor. Voor Borgharen lijkt een keuze van circa 15 dagen het meest

geschikt. Definieve analyses moeten echter nog gedaan worden.

39 Omwille van het overzicht is een enkel klein riviertakje weggelaten.

Deel 5



Bijlage A Formules voor kansen en frequenties

In dit, en andere rapporten waarin statistische modellen worden beschreven, wordt gebruik

gemaakt van diverse verbanden tussen kansen, overschrijdingsfrequenties en

overschrijdingsduren. Het doel van deze bijlage is om een aantal van deze formules netjes op

een rij te zetten, zodat elders in dit rapport daarnaar verwezen kan worden. De formules zijn

geformuleerd voor continue stochasten, waarin de uitkomst van de stochast dus een willekeurig

reëel getal kan zijn. De formules hebben ook een analogon voor de veelal eenvoudigere situatie

van discrete stochasten, maar de formuleringen daarvoor zijn hier achterwege gelaten en

worden aan de lezer zelf overgelaten.

Bijlage A.1 Setting en gebruikte notatie

Beschouw een willekeurige continue stochast Xt die een functie is van de tijd t. Deze X stelt

bijvoorbeeld een belasting, windsnelheid of rivierafvoer voor. Hier wordt om concreet te zijn als

tijdbasis een dag gekozen: er worden dus dagwaarden beschouwd. De formules in dit hoofdstuk

gelden echter voor een willekeurige tijdbasis, zoals bijvoorbeeld uurwaarden of 12-

uurswaarden. In dit hoofdstuk worden alleen continue stochasten beschouwd, die een “nette”

kansdichtheid bezitten. Als gevolg daarvan is de uitkomst op een “geïsoleerde” uitkomst a gelijk

aan 0, dus P(Xt = a) = 0.

We zullen de gebruikte notatie uiteenzetten. Beschouw de (continue) stochast Xt op de dag-

tijdstippen t = 1, 2, 3,.... Er worden in dit rapport voornamelijk stationaire stochasten

beschouwd, wat inhoudt dat de kansverdeling van Xt op ieder moment dezelfde is (meer in het

bijzonder geldt eveneens dat de verdeling van Xt, Xt+1,.., Xt+n niet van n afhangt). Af en toe

worden ook (meer algemene) niet-stationaire stochasten beschouwd, maar tenzij expliciet

anders wordt vermeld, zijn de beschouwde stochasten altijd stationair. Het gedrag van een

stationaire grootheid blijft zoals gezegd gelijk in de tijd: als Xt bijvoorbeeld een afvoer betreft,

dan wordt dus aangenomen dat gedurende het winterhalfjaar (oktober t/m maart) de

afvoerverdeling niet verandert. Omdat op elk tijdstip de kansverdeling van Xt dezelfde is, mogen

we voor de kans P(Xt > x) dat Xt op moment t niveau x overschrijdt evengoed schrijven

P(X > x); het preciese tijdstip speelt immers geen rol voor de kans.

Een kans van het hier beschouwde type wordt aangeduid als een momentane kans. Een

dergelijke kans zegt iets over de kans op een bepaald tijdstip t. Daarentegen is een kans in de

trant van “de kans dat gedurende een maand de afvoer minimaal één maal het niveau 6000

m3/s overschrijdt” geen momentane kans, omdat deze kans betrekking heeft op een periode in

plaats van op een tijdstip.

Nu volgt de definitie van het begrip top, ook aangeduid als piek. De uitkomsten van de

stochasten Xt, t = 1, 2, 3, ... hebben een bepaald tijdsverloop. Men spreekt dan van een top, of

piek, wanneer gedurende enige tijd een gegeven niveau wordt overschreden. De top begint dus

op het moment dat de betreffende stochast het gegeven niveau overschrijdt en eindigt op het

moment dat de stochast weer onder dat niveau komt. Figuur A-1 geeft een voorbeeld voor het

geval dat Xt een afvoer voorstelt in een periode van 20 dagen; daarin zijn drie toppen te zien



die het niveau x = 10000 m3/s overschrijden. Zogenaamde “halve” toppen aan het begin of eind

van de waarnemingsperiode worden eveneens als een top beschouwd: zo vormen bijvoorbeeld

de eerste twee dagen in Figuur A-1 in de gebruikte terminologie eveneens een top.

In toepassingen wordt bij het onderscheiden van toppen vaak een zichtduur gehanteerd,

waarbij een “volgende top” die binnen de zichtduur valt niet wordt meegeteld als top, zie

bijvoorbeeld de manier van selectie in paragraaf 11.2.1. In deze bijlage wordt een zichtduur

achterwege gelaten.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 5 10 15 20

tijd t [dagen]

daga

fvoe

r x [m

3/s]

Figuur A-1: Drie afvoertoppen die het niveau x = 10000 m3/s overschrijden, in een periode van 20 dagen

(zonder gebruik van een zichtduur).

Stochasten worden vaak aangeduid met hoofdletters, terwijl uitkomsten daarvan worden

aangeduid met de overeenkomstige kleine letter. (N.B.: niet iédere hoofdletter stelt een

stochast voor.) Hier volgt een overzicht van de belangrijkste in dit hoofdstuk gebruikte

grootheden. Waar in het vervolg over een jaarmaximum wordt gesproken, heeft het betreffende

jaar 365 dagen. In toepassingen wordt veelal aangenomen dat bedreigingen in de

zomermaanden (april t/m september) verwaarloosbaar zijn, zodat men zich mag beperken tot

het winterhalfjaar (oktober t/m maart), in welk geval sprake is van 182 dagen.40 In het laatste

geval dient het maximum in de formules te worden beperkt tot dagen in het winterhalfjaar.

N Het aantal dagen per jaar. dagen/jaar

Xt De continue stochast Xt, gegeven op de dagtijdstippen t = 1, 2,

3,.... Aangenomen wordt dat Xt een “nette” kansdichtheids-

functie heeft, zodat geldt P(Xt < x) = P(Xt ≤ x).

afhankelijk

van toepas-

sing

Xjaar Het jaarmaximum van de stochast Xt, dus:

Xjaar = maxX1, X2, ..., XN.

afhankelijk

van toepas-

sing

P(X > x) De momentane kans dat X het niveau x overschrijdt. [-]

P(Xjaar > x) De kans dat Xjaar het niveau x overschrijdt. Deze kans is gelijk

aan de kans dat in een jaar tijd tenminste één maal het niveau x

door X wordt overschreden.

[-]

F(x) Het gemiddeld aantal toppen per jaar van overschrijdingsniveau

x dat door X wordt overschreden.

1/jaar

40 Soms wordt een winterhalfjaar van 180 dagen beschouwd.



F (x|≥1) Het gemiddeld aantal toppen per jaar van overschrijdingsniveau

x dat door X wordt overschreden, gegeven dat in het

beschouwde jaar tenminste één top voorkomt.

1/jaar

D(x) Het gemiddeld aantal dagen per jaar dat X het niveau x

overschrijdt. Deze overschrijdingen kunnen verdeeld zijn over

meerdere toppen; ze hoeven dus niet aansluitend in de tijd voor

te komen.

dagen/jaar

d(x) De gemiddelde overschrijdingsduur van een top die niveau x

overschrijdt.

dagen

Bijlage A.2 Elementaire formules

Zojuist zijn diverse kansen en overschrijdingsfrequentie ingevoerd. Hier volgen een aantal

elementaire formules daarvoor (voor het geval dat Xt stationair is).

Voorafgaand aan deze formules de volgende opmerking. In deze bijlage, en zeer incidenteel

elders in dit rapport, komen formules voor die schijnbaar dimensioneel incorrect zijn. Er wordt

bijvoorbeeld een gelijkheid gegeven met in het linkerlid een kans (dimensieloos), terwijl in het

rechterlid een frequentie staat (dimensie 1/jaar). Om dimensioneel correcte formules te

verkrijgen zou een constante C moeten worden ingevoerd met dimensie 1/jaar, die numeriek

gelijk is aan de waarde 1. Het invoeren van deze constante wordt achterwege, ten koste van

het presenteren van (ogenschijnlijk) dimensioneel incorrecte formules.

De eerste elementaire formule stelt dat het gemiddelde aantal overschrijdingsdagen per jaar

gelijk is aan het aantal overschrijdingstoppen per jaar maal de gemiddelde duur van een

overschrijdingstop:

( ) ( ) ( ), dagen/jaarD x F x d x= (A.1)

Deze formule volgt direct uit de definities van de onderdelen hieruit, en behoeft derhalve geen

bewijs. De volgende formule stelt dat de momentane kans P(X>x) gelijk is aan het gemiddeld

aantal dagen per jaar dat x wordt overschreden gedeeld door het totaal aantal dagen per jaar:

( )( ) , [-]D xP X xN

> = (A.2)

Dit resultaat is zeer plausibel: in feite staat hier dat de momentane kans dat x wordt

overschreden, dus de kans dat op een gegeven moment x wordt overschreden, gelijk is aan de

fractie van de tijd dat x wordt overschreden. Een precies bewijs volgt verderop in deze bijlage.

Formules (A.1) en (A.2) impliceren het volgende verband tussen overschrijdingsfrequentie en

kans:

( )( ) , 1/jaar

( )NP X xF x

d x>

= (A.3)



Bijlage A.3 Jaarmaximum en overschrijdingsfrequentie

In toepassingen wordt in het geval van een voldoend kleine overschrijdingsfrequentie F(x) deze

vaak benaderd door de kans P(Xjaar > x), dat tenminste één maal in een jaar tijd het niveau x

wordt overschreden. De standaard afleiding hiervoor gaat er van uit dat het optreden van de

toppen wordt beschreven door een Poissonproces, met Poissonparameter F(x), gerelateerd aan

een periode van een jaar. De kans dat P(Xjaar < x), oftewel de kans dat geen enkele

overschrijdingstop van niveau x optreedt, wordt dan gegeven door exp(-F(x)), zodat volgt

( )( ) 1 F xjaarP X x e−> = − (A.4)

Omdat voor kleine y geldt dat 1-exp(-y) ≅ y, volgt hieruit dat voor kleine waarden van F(x) de

jaarkans in benadering gelijk is aan de overschrijdingsfrequentie:41

( ) ( ), voor ( ) 0jaarP X x F x F x> ≅ ≅ (A.5)

In de praktijk wordt vaak gesteld dat deze benadering bruikbaar is als F(x) < 0.10, in welk geval

de relatieve fout kleiner is dan 5%.

Formule (A.4) geldt exact onder de aanname dat het aantal toppen per jaar een Poisson-

verdeling volgt. Er bestaat echter een verband tussen de jaarkans en de overschrijdings-

frequentie dat geldig is zonder de aanname van een Poissonverdeling, en zonder dat Xt

stationair hoeft te zijn. Dat verband luidt:

( )( ) ( )

( | 1)jaarF xP X x F x

F x> = ≤

≥ (A.6)

Hierin geeft F(x|≥1), met dimensie 1/jaar, het gemiddeld aantal toppen per jaar van

overschrijdingsniveau x dat door X wordt overschreden, gegeven dat in het beschouwde jaar

sowieso al tenminste één top voorkomt. Dat F(x) een bovengrens vormt voor de kans is

duidelijk, omdat F(x|≥1) altijd minstens 1 is. Merk op dat in de eerste twee leden van (A.6) een

dimensieloos getal staat, terwijl het laatste lid schijnbaar de dimensie 1/jaar heeft. In het

laatste lid wordt echter in feite gedeeld door het getal 1 met dimensie 1/jaar, zodat ook het

rechterlid dimensieloos is.

jaar

aantal toppen groter dan x0

1 0

2 3

3 0

4 0

5 2

6 0

7 0

8 0

9 0

10 3

totaal 10 jaren totaal 8 toppen

Tabel A-1: Voorbeeld als toelichting op verband tussen jaarkans en overschrijdingsfrequentie.

41 De F(x) in de exponent van (A.4) is een dimensieloos getal, omdat in de exponent in feite de F(x) vermenigvuldigd met

1 jaar voorkomt, zijnde het gemiddelde aantal toppen in één jaar tijd, met dimensie 1/jaar * jaar = 1.



Formule (A.6) wordt volledig bewezen in Bijlage A.5, maar spreekt eigenlijk voor zich, zoals nu

met de getallen uit Tabel A-1 wordt gedemonstreerd. In dit voorbeeld worden in 10 jaar tijd 8

toppen geteld die een gegeven niveau x0 overschrijden, die verspreid zijn over (slechts) drie

jaren. De grootheid F(x0|≥1) moet worden berekend door alleen de drie jaren te beschouwen

waarin overschrijdingen voorkomen. Dan volgt

F(x0) = 8/10 = 0.8 toppen/ jaar

F(x0|≥1) = 8/3 = 2.67 toppen/ jaar

F(x0) / F(x0|≥1) = 0.8/2.67 = 0.3 [-]

Volgens formule (A.6) moet nu dus gelden P(Xjaar>x0) = 0.3. De betreffende kans kan ook

direct, dus zonder gebruik van (A.6), worden berekend: er zijn 3 jaren waarin het jaarmaximum

het niveau x0 overschrijdt, op een totaal van 10 jaren; dat levert eveneens een kans van 0.3

op. Formule (A.6) is dus zeer plausibel.

De benadering van de jaarkans door de overschrijdingsfrequentie blijkt te kunnen worden

gemaakt wanneer geldt dat F(x|≥1) ≅ 1. Dat zal zeker het geval zijn als (a) de kans op het

optreden van een top gedurende een jaar zeer klein is en (b) toppen (min of meer)

onafhankelijk van elkaar zijn. Merk op dat aan deze voorwaarden ook voor niet-stationaire

stochasten voldaan kan zijn. Dus ook in het geval dat de kansverdeling van X per seizoen

verschillend is, kan aan (a) en (b) voldaan zijn. De gebruikelijke benadering van de kans door

de frequentie kan derhalve soms ook voor niet-stationaire stochasten worden gemaakt.

Bijlage A.4 Overschrijdingsfrequentie berekend met de outcrossingsformule

Beschouw een stochast X die stationair is, in de zin dat iedere Xt, t = 1, 2, 3, ... dezelfde

kansverdeling heeft. Wanneer deze aanname van stationariteit gerechtvaardigd is, is het

plausibel om te veronderstellen dat de kansverdeling voor twee opeenvolgende dagen eveneens

steeds dezelfde is. Iets precieser, stel dat gt,t+1(xt, xt+1) de simultane kansdichtheid weergeeft

van Xt en Xt+1. Dan wordt aangenomen dat de functies gt,t+1(.,.) voor t = 1, 2, 3, ..., gelijk zijn

aan een vaste functie g(.,.).

Onder deze voorwaarden wordt de gemiddelde overschrijdingsfrequentie gegeven door de

outcrossingsformule, die wordt bewezen in Bijlage A.5:42

1 2( ) ( ) ( 1) ( , )F x P X x N P X x X x= > + − ≤ > (A.7)

Hierin stelt P(X1≤x, X2>x) de kans voor dat op dag t = 1 stochast X zich onder het gegeven

niveau x bevindt, terwijl X zich op dag t = 2 daarboven bevindt. Het is dus de kans dat op dag 1

een overschrijding begint. Deze kans is eveneens gelijk aan de kans dat op dag t een

overschrijding begint, vanwege de aanname dat de kansdichtheden gt,t+1(.,.) alle aan elkaar

gelijk zijn. Voor grote waarden van N, wat hier redelijkerwijs het geval is, is (A.7) ongeveer

gelijk aan F(x) ≅ N P(X1≤x, X2>x). Blijkbaar is het gemiddelde aantal overschrijdingen per jaar

gelijk aan het aantal dagen in een jaar, vermenigvuldigd met de kans dat op een gegeven dag

een overschrijding begint. Dat is een plausibel resultaat. De reden dat de relatie

F(x) ≅ N P(X1≤x, X2>x) niet exact geldt, is dat aan het begin en eind van de periode “halve

42 Voor de hier beschouwde stochast geldt P(X1 ≤ x, X2 > x) = P(X1 < x, X2 > x).



toppen” kunnen voorkomen. Deze halve toppen verhinderen als het ware dat de F(x) niet exact

door N P(X1≤x, X2>x) wordt gegeven.

Het rechterlid van formule (A.7) staat zoals gezegd bekend als de outcrossingsformule. Vaak

wordt het rechterlid alleen gebruikt als bovengrens voor de kans P(Xjaar>x), zie bijvoorbeeld

[Vrouwenvelder et al, 1997]. Het rechterlid is echter exact gelijk aan de frequentie F(x), die op

zijn beurt volgens (A.6) weer een bovengrens vormt voor de kans P(Xjaar>x).

De zojuist gegeven formule heeft een analogon in de situatie dat aan de stationariteit van X niet

is voldaan. Meer algemeen geldt

1

1 11

( ) ( ) ( , )N

t tt

F x P X x P X x X x−

+=

= > + ≤ >∑ (A.8)

Het is duidelijk dat deze formule ingeval van stationariteit reduceert tot (A.7).

Bijlage A.5 Diverse bewijzen

Hieronder volgen de bewijzen van de formules (A.2), (A.6) en (A.8), waarmee alle beweringen

(A.1) t/m (A.8) uit voldoende zijn bewezen. Bedenk daarbij het volgende. Formule (A.1) is in

feite de definitie van d(x), zodat geen bewijs nodig is. Formule (A.3) volgt meteen uit (A.1) en

(A.2). Formules (A.4) en (A.5) zijn reeds toegelicht, terwijl (A.7) een speciaal geval van (A.8)

vormt. De bewijzen van (A.2) en (A.8) zijn aan elkaar verwant, vandaar deze samen worden

beschouwd; daarna volgt het bewijs van (A.6). Eerst volgt wat algemene notatie.

We willen de (continue) stochasten X1, X2, ...., XN bestuderen in een zeer algemene formulering,

waarbij wordt aangenomen dat de stochasten worden beschreven door een simultane

kansdichtheid g(x1,x2,...,xN). Hierin is (x1,x2,...,xN) een mogelijke uitkomst, ook realisatie

genoemd, van de beschouwde stochasten; de verzameling van alle mogelijke punten

(x1,x2,...,xN) die als uitkomst kunnen optreden wordt de uitkomstenruimte Ω genoemd. (Hier is

Ω gelijk aan (-∞,∞)N of aan een deelverzameling daarvan.) De marginale verdeling van Xt wordt

aangegeven door gt(xt). De marginale verdeling van twee opeenvolgende stochasten Xt, Xt+1

wordt aangegeven door gt,t+1(xt,xt+1).

Beschouw nu een vaste waarde a (die een gegeven overschrijdingsniveau voorstelt) en definieer

voor elke t = 1, 2,..., N een functie χt op Ω door

1 2

1 als ( , ,..., )

0 anderszinst

t N

x ax x xχ

>=

(A.9)

Er zijn dus evenveel functies χt als er dagen in een jaar zijn, één voor elke dag in het jaar. De

functie χt kan slechts twee waarden aannemen. Ingeval deze waarde 1 is volgt dat op tijdstip t

(dag t) het niveau a wordt overschreden; ingeval deze waarde 0 is volgt dat op tijdstip t het

niveau a niet wordt overschreden. We zullen dat nader illustreren. Een gegeven realisatie

(x1,x2,...,xN) stelt een gegeven tijdsverloop voor van X over een heel jaar. Een voorbeeld

daarvan wordt gegeven in Figuur A-1, maar dan omwille van de uitleg voor een korter afvoer-

verloop voor t = 1, 2,..., 20. Beschouw nu de waarde a = 10000 m3/s. Dat niveau wordt in de

figuur 7 maal overschreden, namelijk op de tijdstippen t = 1, 2, 7, 8, 14, 15 en 16. Voor deze



tijdstippen nemen de functies χt (in de beschouwde realisatie) de waarde 1 aan; voor de overige

tijdstippen nemen ze de waarde 0 aan.

Voor elke t = 1, 2,..., N-1 definiëren we verder de functie χt,t+1 op Ω door

1, 1 1 2

1 als en ( , ,..., )

0 anderszins t t

t t N

x a x ax x xχ +

+

≤ >=

(A.10)

Voor elke dag in het jaar, met uitzondering van de laatste dag van het jaar, is er dus een

functie χt,t+1 gegeven. De interpretatie hiervan luidt: als χt,t+1 gelijk is aan 1, dan is tijdstip t het

begin van een overschrijding van niveau a. In Figuur A-1 is dat het geval voor t = 6 en t = 13.

Als χt,t+1 gelijk is aan 0, dan is duidelijk dat t niet het begin van een overschrijding vormt: in dat

geval liggen xt en xt+1 ofwel beiden boven niveau a, ofwel beiden onder niveau a, ofwel xt ligt

boven a en xt+1 ligt daaronder. Wil men het aantal toppen in een jaar tijd weten dat de realisatie

(x1,x2,...,xN) vertoont, dan hoeft alleen maar geteld te worden op hoeveel tijdstippen er een top

begint, afgezien dan van een eventuele halve top aan het begin van de periode. Men hoeft dus

alleen maar het aantal tijdstippen te weten waarvoor χt,t+1 gelijk is aan 1. Daarnaast dient een

eventuele halve top aan het begin apart te worden beschouwd.

Definieer nu twee stochasten Wa en Ya (functies op Ω) die respectievelijk het aantal

overschrijdingsdagen en het aantal overschrijdingstoppen van niveau a in de beschouwde

periode voorstellen. Dus

Wa = het totale aantal dagen in de beschouwde periode dat niveau a overschrijdt

Ya = het totale aantal toppen in de beschouwde periode dat niveau a overschrijdt

Aan de hand van bovenstaande uitleg is direct te verifiëren dat deze stochasten kunnen worden

geschreven als

1 2 1 21

( , ,..., ) ( , ,..., )N

a N t Nt

W x x x x x xχ=

= ∑ (A.11)

1

1 2 1 1 , 1 1 21

( , ,..., ) ( ) ( , ,..., )N

a N t t Nt

Y x x x x x x xχ χ−

+=

= + ∑ (A.12)

De grootheid D(a) uit (A.1) wordt dan gegeven door de verwachtingswaarde van Wa, aangeduid

als E(Wa), terwijl de overschrijdingsfrequentie F(a) wordt gegeven door de verwachtingswaarde

E(Ya).

Merk op dat χt(x1,x2,...,xN) in (A.11) uitsluitend afhangt van xt en niet van de overige

coördinaten. Daarom kunnen we χt ook beschouwen als zijnde een functie van alleen xt; deze

functie zullen we (hoewel formeel gezien een andere notatie dient te worden genomen)

eveneens aanduiden met χt(xt) De χt,t+1 in (A.12) hangt alleen af van xt en xt+1. Deze functie

van xt en xt+1 zullen we analoog aanduiden met χt,t+1(xt,xt+1).

Bewijs van (A.2)

Het bewijs van (A.2) verloopt als volgt. Zoals zojuist uiteengezet noemen we χt(xt) =

χt(x1,x2,...,xN). Met (A.11) volgt dan



1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 21

1

1

1

( ) ( )

... ( , ,..., ) ( , ,..., )

... ( , ,..., ) ( , ,..., )

( ) ( )

( )

( )

a

N N a N

N

N N t Nt

N

t t t t ttN

t t tat

N

tt

D a E W

dx dx dx g x x x W x x x

dx dx dx g x x x x x x

dx g x x

dx g x

P X a

χ

χ

=

=

∞

=

=

=

=

=

=

=

= >

∫

∑∫

∑∫

∑∫

∑

(A.13)

Wanneer nu wordt aangenomen dat X stationair is, volgt D(a) = NP(X>a), waarmee (A.2) is

bewezen. Merk op dat (A.13) een algemener resultaat geeft dat ook bruikbaar is ingeval X niet

stationair is.

Bewijs van (A.8)

Uit (A.12) volgt

1 2 1 2 1 2

1

1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 1 11

1 1 1 1 , 1 1

1 11

( ) ( )

... ( , ,..., ) Y ( , ,..., )

( ) ( ) ( , ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

a

N N a N

N

t t t t t t t t t tt

a

t t t t t taa

N

t tt

F a E Y

dx dx dx g x x x x x x

dx g x x dx dx g x x x x

dx g x dx dx g x x

P X a P X a X a

χ χ−

+ + + + +=

∞∞

+ + +−∞

−

+=

=

=

= +

= +

= > + ≤ >

∫

∑∫ ∫

∫ ∫ ∫1

∑

(A.14)

waarmee (A.8) is bewezen.

Bewijs van (A.6)

Het volgende deel van (A.6) dient te worden bewezen

( )( )

( 1)jaarF xP X > x

F x |=

≥ (A.15)

Er geldt, omdat het optreden van een top equivalent is met het overschrijden door Xjaar van x,

( ) ( 1)

( ) ( )( | 1) ( | 1)

jaar x

x

x x

P X x P Y

F x E YF x E Y Y

> = ≥

=≥ = ≥

(A.16)

Nu kan worden geschreven

( ) ( 0) ( | 0) ( 1) ( | 1)x x x x x x xE Y P Y = E Y Y P Y E Y Y= = + ≥ ≥ (A.17)

Het echter duidelijk dat onder de voorwaarde Yx = 0 de conditionele verwachting van Yx gelijk is

aan 0, zodat

( ) ( 1) ( | 1)x x x xE Y P Y E Y Y= ≥ ≥ (A.18)



waaruit met (A.16) blijkt dat (A.15) inderdaad het geval is.



Bijlage B Alternatieve formules uitsplitsingen Hydra-VIJ

Deze bijlage geeft het bewijs van (13.36). Beschouw eerst fase 0 tussen afvoer en meerpeil,

zodat het midden van de trapezia ligt bij B/2, en neem vooreerst aan q2 = ∞ en m2 = ∞. Neem

verder aan dat beide trapezia een stijgende voorflank en een dalende achterflank hebben

(stijgend betekent hier strikt stijgend en dalend betekent strikt dalend). In principe kunnen

trapezia een horizontaal topniveau hebben. Voor die trapezia wordt hier geen bewijs gegeven.

Door willekeurig kleine aanpassingen kan het horizontale topniveau (met midden ter plaatse van

B/2) echter worden vervangen door een stijgend deel tot B/2 en een dalend deel vanaf B/2.

Voor de praktijk levert zo’n (mimiem) aangepast topniveau dezelfde resultaten, terwijl

wiskundig is bereikt dat ieder niveau in de voorflank van een trapezium dan slechts door één

tijdstip wordt aangenomen, terwijl hetzelfde geldt voor de achterflank. Nadat het bewijs voor de

voorgaande situatie is gegeven, worden de gevallen van fase ongelijk 0 en algemene keuzes

voor q2 en m2 behandeld. In het onderstaande bewijs wordt bekendheid verondersteld met de

Dirac δ-functie.

Definieer de verzamelingen

( , ) [0, ] | ( , )

( , ) [0, ] | ( , )

A q k t B t k q

B m s t B t s m

α

β

= ∈ ≥

= ∈ ≥ (B.1)

Verder wordt top(q,k) gedefinieerd als het (unieke) tijdstip in de voorflank van het

afvoertrapezium met piekwaarde k waarvoor geldt dat op dit tijdstip de waarde q wordt

aangenomen. Er geldt dus α(top(q,k),k) = q. Voor de achterflank wordt een analoge definitie

gebruikt: tneer(q,k) is zodanig dat α(tneer(q,k),k) = q. Voor het meerpeiltrapezium worden

analoge difinities gebruikt: top(m,s) is zodanig dat β(top(m,s),s) = m, en tneer(m,s) is zodanig dat

β(tneer(m,s),s) = m.

Beschouw nu als voorbereiding op het eigenlijke bewijs, voor een willekeurige functie W(q,m),

de volgende integraal over de voorflank van 0 tot B/2:

( )

( )

( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1

1

[0, / 2] : ( , ) , ( , )

/ 2

( , ) ( , )0/ 2 / 2

( , ) ( , )0 0

( , )0

( , ), ( , )

( ) ( ) ( , ), ( , )

( ) ( ) ( ) ( , ), ( , )

( , )( , ) ( ) ( , ),

t B t k q t s m

B

A q k B m s

B B

A q k B m s

B s opop

A q km

dt W t k t s

dt t t W t k t s

dt d t t W t k s

t m sdt dm t t m s t W t k mm

α β

α β

χ χ α β

τ δ τ χ χ τ α β τ

δ χ α

∈ ≥ ≥

=

= −

∂= −

∂

∫

∫

∫ ∫

∫

( ) ( )1 1

/ 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ,k s op op

op op

q m

t m s t q kdq dm t q k t m s W q mm q

δ ∂ ∂= −

∂ ∂

∫

∫ ∫

(B.2)

waarbij in de laatste twee stappen respectievelijk de substituties β(τ,s) = m en α(t,k) = q zijn

gedaan. Voor het interval [B/2, B] kan een soortgelijke herschrijving worden gedaan. Voor het

hele interval [0, B] volgt dan



( )

( ) ( )

( )

1 1

1 1

[0, ]: ( , ) , ( , )

( , ), ( , )

( , ) ( , ), ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t B t k q t s m

k s op opop op

q m

neer neerneer neer

dt W t k t s

t m s t q kdq dm W q m t q k t m sm q

t m s t q kt q k t m sm q

α β

α β

δ

δ

∈ ≥ ≥

∂ ∂= −

∂ ∂

∂ ∂+ −

∂ ∂

∫

∫ ∫ (B.3)

Definieer nu de hulpgrootheid AW door

( )

( )1 1 1 1

1 1

[0, ]: ( , ) , ( , )

[ , ],[ , ]

( , )( , ) ( , ), ( , )

W

q m t B t k q t s m

A q m

J k sdk ds f k s dt W t k t sb α β

α β∞ ∞

∈ ≥ ≥

∞ ∞

= ∫ ∫ ∫ (B.4)

Beschouw verder de specifieke functie W = Wuitspl gegeven door

2

1

( , ) ( , , | , ) ( , , , , )u

uitspl Gu

W q m du g u r q m q m u rω χ ω= ∫ (B.5)

In feite hangt deze functie naast q en m ook af van u1, u2, r, d en ω, maar dat wordt hier niet

expliciet aangegeven. Uitgaande van (13.28) en (13.29) kan nu eenvoudig geverifieerd worden

( ) ( )1 1 1 1 1 2[ , ],[ , ] [ , ],[ , ],[ , ], ,uitsplWA q m A q m u u r ω∞ ∞ = ∞ ∞ (B.6)

waarbij bedacht moet worden dat de integrand in het tweede lid van (B.4) gelijk aan nul wordt

voor k < q1 en voor s < m1, zodat de integraties over k en s daarin ook mogen beginnen bij 0.

De specifieke functie Wuitspl levert in AW dus de uitsplitsing volgens (13.29).

Voor willekeurige functies W volgt, met behulp van (B.3) en (B.4),

( )

( ) ( )

( )

( )

1 1 1 1

1

1 1[ , ],[ , ]

( , ) ( , ) ( , )( , ) , ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

, ( ,

W

k s op opop op

q m q m

neer neerneer neer

m q m

A q m

J k s t m s t q kdk ds f k s dq dm W q m t q k t m sb m q


dq dm W q m dk ds f k

δ

δ

∞ ∞

∞ ∞ ∞

∞ ∞

∂ ∂= −

∂ ∂

∂ ∂+ − ∂ ∂

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ( )

( )1

( , ) ( , ) ( , )) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

op opop op

q

neer neerneer neer

J k s t m s t q ks t q k t m sb m q


δ

δ

∞ ∂ ∂−

∂ ∂

∂ ∂+ −

∂ ∂

∫

(B.7)

Verder is eenvoudig te bewijzen dat (voor begrensde functies W)

( ) ( )1 1

2

1 1[ , ],[ , ] [ , ],[ , ]W Wq m

A q m dq dm A q mq m

∞ ∞ ∂∞ ∞ = ∞ ∞ ∂ ∂

∫ ∫ (B.8)

Dit volgt meteen uit het uitintegreren van het rechterlid, tezamen met het feit dat

( )1 1[ , ],[ , ]WA q m∞ ∞ naar nul gaat als q1 of m1 naar ∞ gaat. Omdat (B.7) en (B.8) gelden voor



willekeurige q1 en m1, moet voor strikt positieve (begrensde) functies W dan volgen, zie ook

(B.4),

( )

( )

( )2

[0, ]: ( , ) , ( , )

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

1 ( , )( , ) ( , ), ( , )( , )

op opop op

q m

neer neerneer neer

q m t B t k q t s m

J k s t m s t q kdk ds f k s t q k t m sb m q


J k sdk ds f k s dt W t k t sW q m q m b α β

δ

δ

α β

∞ ∞

∞ ∞

∈ ≥ ≥

∂ ∂− ∂ ∂

∂ ∂+ −

∂ ∂ ∂ =

∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫ ∫

(B.9)

Het linkerlid hangt niet van W af: blijkbaar is er sprake van een ‘schijnbare’ afhankelijkheid van

W in het rechterlid. Een simpele keuze voor W is W(q,m) = 1. Dan volgt, door in de laatste stap

gebruik te maken van (13.33) en (13.34),

( )

( )2

[0, ]: ( , ) , ( , )

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , )

( , )

op opop op

q m

neer neerneer neer

q m t B t k q t s m

J k s t m s t q kdk ds f k s t q k t m sb m q


J k sdk ds f k s dtq m b

v q mα β

δ

δ

∞ ∞

∞ ∞

∈ ≥ ≥

∂ ∂− ∂ ∂

∂ ∂+ −

∂ ∂ ∂ =

∂ ∂ =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

(B.10)

Uit (B.7) volgt nu

( ) ( )1 1

1 1[ , ],[ , ] , ( , )Wq m

A q m dq dm W q m v q m∞ ∞

∞ ∞ = ∫ ∫ (B.11)

Voor de specifieke keuze van Wuitspl uit (B.5) volgt dan vanwege (B.6)

( ) ( )2

1 1 1

1 1 1 2 1 1[ , ],[ , ],[ , ], , [ , ],[ , ]

( , , | , ) ( , , , , ) ( , )

uitsplW

u

Gq m u

A q m u u r A q m

dq dm du g u r q m q m u r v q m

ω

ω χ ω∞ ∞

∞ ∞ = ∞ ∞

= ∫ ∫ ∫ (B.12)

hetgeen bewezen moest worden.

Beschouw nu een fase ϕ ( / 2, / 2)B B∈ − tussen afvoeren meerpeiltrapezia die ongelijk aan nul

is. Het bewijs loopt voor positieve en negatieve fases hetzelfde.43 Neem hier ϕ > 0 aan. In

plaats van de twee trajecten [0, B/2] en [B/2, B] van hiervoor (namelijk de voor- en

achterflank), beschouwen we nu de vier trajecten:

• Traject [0, ϕ] waarop de afvoer stijgend is en het meerpeil dalend.

• Traject [ϕ, B/2] waarop de afvoer stijgend is en het meerpeil stijgend.

• Traject [B/2, B/2+ϕ] waarop de afvoer dalend is en het meerpeil stijgend.

• Traject [B/2+ϕ, B] waarop de afvoer dalend is en het meerpeil dalend.

43 De gevallen ϕ = -B/2 en ϕ = B/2 vormen eenvoudige varianten van het onderstaande bewijs, en worden hier niet

gegeven.



In bovenstaande bewijs voor ϕ = 0 komt in diverse formules een uitdrukking voor, gerelateerd

aan de voor- en achterflank, van de vorm

( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )op op neer neer

op op neer neert m s t q k t m s t q kt q k t m s t q k t m sm q m q

δ δ∂ ∂ ∂ ∂− + −

∂ ∂ ∂ ∂ (B.13)

Bij beschouwen van ϕ > 0 wordt dit een uitdrukking bestaande uit vier groepen van termen,

dan in plaats van gerelateerd aan de voor- en achterflank gerelateerd aan de zojuist genoemde

vier trajecten. Nalopen van het bewijs laat zien dat er in wezen weinig verandert aan het bewijs

en dat ook voor ϕ > 0 opnieuw (B.12) volgt.

Beschouw nu willekeurige q2 en m2, met q2 > q1 en m2 > m1. Met (13.28) en (13.29) is te

verifiëren dat

( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 2 2 1 2

[ , ],[ , ],[ , ], , [ , ],[ , ],[ , ], , [ , ],[ , ],[ , ], ,

[ , ],[ , ],[ , ], , [ , ],[ , ],[ , ], ,

A q q m m u u r A q m u u r A q m u u r

A q m u u r A q m u u r

ω ω ω

ω ω

= ∞ ∞ − ∞ ∞

− ∞ ∞ + ∞ ∞(B.14)

Op grond hiervan is het niet moeilijk om met (B.12) aan te tonen dat (13.36) dan het geval

moet zijn. Hiermee is het bewijs van (13.36) gegeven.



Bijlage C Formules uitbreiding afvoergolven

Deze bijlage geeft de formules voor de uitbreiding van de afvoergolven tot aan afvoer 0 m3/s.

Ze zijn afkomstig, op kleine veranderingen in notatie na, uit Bijlage 2 van [Geerse, 2004b].

Aanname is dat voor piekafvoeren en afvoerniveaus de “reguliere” golven reeds beschikbaar zijn

boven een zekere grenswaarde qg, die voor Lobith 6000 m3/s bedraagt en voor Lith 1315 m3/s.

De aanname voor de naar beneden uit te breiden golven is

( , ) ( ) , ,g

L q k s q q q k qq

∂= − ≤ >

∂ (C.1)

Ofwel, de partiële afgeleide van de overschrijdingsduur naar de drempel q hangt slechts van de

beschouwde drempel af en niet van de topwaarde k. Feitelijk is dat een iets minder strenge

voorwaarde dan de in paragraaf 17.1.3 genoemde voorwaarde van evenwijdige golfflanken.

Voordat de formule voor L(q,k) wordt gegeven dienen enkele zaken te worden behandeld.

Beschouw de functie b(q) = L(q,q) welke de topduur van een afvoergolf geeft. Voor q > qg volgt

deze uit de reguliere golfvormen. Strikt genomen zou moeten gelden b(q) = 0 omdat de

maximale waarde slechts gedurende een tijdsduur 0 optreedt. Omdat de top van de golf echter

tamelijk stomp is, en omdat in berekeningen de afvoer meestal vrij ruw wordt gediscretiseerd,

zou ook bijvoorbeeld b(q) = 12 uur genomen kunnen worden (of een getijperiode). Voor q < qg

bestaat er zekere een zekere vrijheid in de keuze van b(q). Er dient echter voldaan te zijn aan

de volgende eisen, met N = 24*182 gelijk aan het aantal uren in een winterhalfjaar,

( ) is continu voor 0b q q > (C.2)

( )

( )( ) , 0 g

Ng qb q q q

qψ≤ ≤ ≤ (C.3)

waarbij g(q) = -dP(Q>q)/dq en ψ(q) = -dFwhj(q)/dq respectievelijk de momentane kansdichtheid

en de frequentiedichtheid van de afvoer aangeven. Terzijde: uit [Geerse, 2002a] blijkt dat voor

alle q > 0 de keuze b(q) gelijk aan een getijperiode genomen kan worden, zowel voor Lobith als

voor Lith. In de resultaten uit hoofdstuk 17 is echter b(q) = 0 genomen.

Definieer vervolgens, onder de aanname van (C.2) en (C.3), s(q) en S(q) door

( ) ( ) ( )( ) 0, 0

( ) gwhj

Ng q q b qs q q qF q

ψ−= ≥ ≤ ≤ (C.4)

0

( ) ( ) 0, 0q

gS q dk s k q q= ≥ ≤ ≤∫ (C.5)

Merk op dat S(q) stijgend is in q. We definiëren nu (de duren binnen) de golfvormen als volgt.



Geval k > qg

: ( , ) reeds gegeven op basis van de reguliere golvengq q k L q k≤ ≤ (C.6)

0 : ( , ) ( ) ( ) ( , )g g gq q L q k S q S q L q k≤ ≤ = − + (C.7)

Geval 0 < k < qg

0 : ( , ) ( ) ( ) ( )q k L q k S k S q b k≤ ≤ = − + (C.8)

Er wordt dus in deze definities onderscheid gemaakt tussen het deel van de golfvormen boven

en onder de grenswaarde. De volgende, eenvoudig te verifiëren continuïteitseigenschappen

geven aan dat de overgang ter plaatse van qg wel “vloeiend” is.

Continuïteitseigenschappen

lim ( , ) ( )g

g gk qL q k b q

↓= (C.9)

lim ( , ) lim ( , ) ( ) ( ) ( ) , 0g g

g g gk q k qL q k L q k S q S q b q q q

↓ ↑= = − + ≤ < (C.10)

lim ( , ) lim ( , ) ( , ) ,g g

g gq q q qL q k L q k L q k k q

↑ ↓= = > (C.11)

Eigenschap (C.10) stelt dat indien een drempel q < qg wordt beschouwd, de golven iets hoger

zowel als iets lager dan qg eenzelfde overschrijdingsduur hebben van drempel q. Eigenschap

(C.11) stelt dat indien een golf met k > qg wordt beschouwd, de drempels iets hoger zowel als

iets lager dan qg eenzelfde overschrijdingsduur hebben.

Nu volgt het bewijs dat de hier beschouwde golfvormen in overeenstemming zijn met de vooraf

gegeven P(Q>q). Beschouw daartoe de hulpfunctie A(q) gegeven door

1( ) ( ) ( , ) , 0

q

A q dk k L q k qN

ψ∞

= ≥∫ (C.12)

We dienen nu te bewijzen dat P(Q>q) = A(q). Voor q > qg is dat zeker het geval omdat de

L(q,k) dan de reguliere golfvormen voorstellen, waarvoor geldt dat het rechterlid in (C.12)

precies P(Q>q) oplevert.

Beschouw nu 0 < q < qg. Uit (C.7) en (C.8) volgt dan



( ) ( )

( ) ( )

( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g

g

g

g

g

q

g gq q

q

g gq q q

q

whj g whj gq

A q dk k S k S q b k dk k S q S q L q kN

dk k S q dk k S k b k dk k S q L q kN

S q F q dk k S k b k S q F qN

ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ

∞

∞ ∞

= − + + − + = − + + + + = − + + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ( )gP Q q+ >

(C.13)

Het is eenvoudig te verifiëren dat

lim ( ) lim ( ) ( )g g

gq q q qA q A q P Q q

↑ ↓= = > (C.14)

waaruit blijkt dat A(q) continu is in q = qg en gelijk is aan P(Q>qg). De afgeleide van A(q) naar

q, voor 0 < q < qg, is vanwege (C.4) te schrijven als

( )

1'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

( )

whj

whj

A q s q F q S q q q S q b qN

s q F q q b qNg q

ψ ψ

ψ

= − + − +

= − +

= −

(C.15)

Hieruit volgt dat A(q) en P(Q>q) slechts op een constante na aan elkaar gelijk zijn. Uit (C.14)

volgt echter dat deze constante gelijk is aan 0, zodat A(q) = P(Q>q). Dit is wat bewezen moest

worden.

De conclusie is dat de keuze voor L(q,k) uit (C.6) t/m (C.8) de juiste momentane kans P(Q>q)

oplevert. De grootheid L(q,k) legt echter alleen de totale overschrijdingsduur van niveau q vast,

maar niet de verdeling over de voor en achterflanken van de golf. In de resultaten uit hoofdstuk

17 is gekozen de duur voor 40% aan de voorflank en voor 60% aan de achterflank toe te

kennen. Bedenk hierbij dat de golven geen fysische betekenis hebben, zodat een arbitraire

toedeling aan voor- en achterflank is toegestaan.



Referenties

[Beijk en Geerse, 2004]

Bivariate correlatiemodellen gebaseerd op exponentiële marginale verdelingen. Beschrijving en

werking MATLAB-programmatuur. V.A.W. Beijk en C.P.M. Geerse. RIZA-Werkdocument

2004.109x. Rijkswaterstaat-RIZA. Lelystad, mei 2004.

[Beijk, 2006]

De veiligheid van de primaire waterkeringen in Nederland. Voorstel voor het achtergrondrapport

TMR2006 voor de Vecht en IJsseldelta. V.A.W. Beijk. Met medewerking van H. Berger en D.

Vlag. Rijkswaterstaat-RIZA, december 2006.

[De Deugd, 2002]

Waterloopkundige berekeningen in het Benedenrivierengebied voor het Randvoorwaardenboek

2001. H. de Deugd. RIZA-Werkdocument 2002.203x. RIZA Dordrecht.

[Duits, 2002]

Trapeziumvormige afvoergolven – Vooronderzoek. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER, november 2002.

[Duits, 2004a]

Testrapport – Nieuw recept uitsplitsingen Hydra-B, Versie 3.1. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER,

oktober 2004.

[Duits, 2004b]

Hydra-B – Systeemdocumentatie, Versie 3.1 (versnelde versie). M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER,

november 2004.

[Duits, 2006a]

Gebruikershandleiding Hydra-B, Versie 3.4. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER, december 2006.

[Duits, 2006b]

Prototype Hydra-Zoet – Testrapport, Versie 0.1. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER, maart 2006.

[Duits en Hoekstra, 2006]

Advies technische aspecten Hydra-Zoet. M.T. Duits en A. Hoekstra. HKV LIJN IN WATER, maart 2006.

[Duits, 2007]

Hydra-B. Handleiding geavanceerde gebruikers, Versie 3.5. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER, augustus

2007.

[Duits, 2008a]

Hydra-VIJ. Gebruikershandleiding, Versie 3.1. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER, december 2008.

[Duits, 2008b]

Hydra-VIJ. Handleiding geavanceerde gebruikers, Versie 3.1. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER,

december 2008.

[Duits, 2008c]



Hydra-VIJ – Systeemdocumentatie, Versie 3.1. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER, december 2008.

[Duits, 2008d]

Hydra-VIJ – Testrapport. Bekledingentoets en rekenen in merengebied, Versie 3.1. M.T. Duits.

HKV LIJN IN WATER, december 2008.

[Duits, 2008e]

Hydra-BS. Gebruikershandleiding, Versie 1.0. M.T. Duits. HKV LIJN IN WATER, augustus 2008.

[Geerse, 1999]

De interpretatie van het Rijkoort Weibull model. C.P.M. Geerse. RIZA-rapport 99.048. RIZA

Lelystad, 20 juli 1999.

[Geerse, 2002a]

De grenswaarde in Hydra-B in relatie tot FBC-modellen.

RIZA-Werkdocument 2002.053x. RIZA, Lelystad, februari 2002.

[Geerse, 2002b]

Invloed van de grenswaarde in het model Hydra-B voor het Benedenrivierengebied. C.P.M.

Geerse. RIZA-Werkdocument 2002.054x. RIZA, Lelystad, februari 2002.

[Geerse, 2003a]

Probabilistisch model hydraulische randvoorwaarden IJssel- en Vechtdelta. C.P.M. Geerse. RIZA-

werkdocument 2003.129x. RIZA Lelystad, 29 september 2003.

[Geerse, 2003b]

Probabilistisch model hydraulische randvoorwaarden Benedenrivierengebied. C.P.M. Geerse.

RIZA-werkdocument 2003.128x. RIZA Lelystad, december 2003.

[Geerse, 2003c]

Probabilistisch model voor de IJsseldelta. C.P.M. Geerse. RIZA-werkdocument 2003.091x.

Rijkswaterstaat-RIZA. Lelystad, mei 2003. (Het betreft een nauwelijks gewijzigde definitieve

versie van het gelijknamige concept van 27 juni 2000.)

[Geerse, 2004a]

Bivariate correlatiemodellen met exponentiële en asymptotisch exponentiële marginale

verdelingen. C.P.M. Geerse. RIZA-werkdocument 2002.104x. RIZA Lelystad, mei 2004.

[Geerse, 2004b]

Hydraulische randvoorwaarden Benedenrivierengebied – Methodiek dijkbekledingen. C.P.M.

Geerse. RIZA-werkdocument 2004.140x. RIZA Lelystad, september 2004.

[Geerse, 2004c]

Uitsplitsingen en illustratiepunten Hydra-B – Toelichting op de gebruikershandleiding Hydra-B.

RIZA-werkdocument 2004.209x. Rijkswaterstaat-RIZA. Lelystad, december 2004.



[Geerse, 2005]

Aanvulling probabilistische modellen Hydra-B en Hydra-VIJ – Invloedrijkste dijkvakken van een

dijkring en uitbreiding theorie uitsplitsingen. C.P.M. Geerse. RIZA-werkdocument 2005.088x.

RIZA Lelystad, juni 2005.

[Geerse, 2006]

Hydraulische Randvoorwaarden 2006 Vecht- en IJsseldelta - Statistiek IJsselmeerpeil, afvoeren

en stormverlopen voor Hydra-VIJ. C.P.M. Geerse. RIZA-werkdocument 2006.036x.

Rijkswaterstaat-RIZA. Lelystad, januari 2006.

[Geerse en Diermanse, 2006]

Correlaties en meerdimensionale statistiek. C.P.M. Geerse en F.L.M. Diermanse. HKV LIJN IN WATER

en WL|Delft Hydraulics, rapport PR1175, Lelystad, november 2006.

[Geerse, 2007a]

Methode bepalen waterstandsverlopen Vecht- en IJsseldelta. C.P.M. Geerse. HKV LIJN IN WATER,

Lelystad, december 2007.

[Geerse, 2007b]

Handleiding instellingen Hydra-B voor Systeemanalyse Rijn-Maasmonding. C.P.M. Geerse. HKV

LIJN IN WATER, Lelystad, mei 2007.

[Geerse, 2007c]

Hydra-BS. Formules voor de inbouw van keringen. C.P.M. Geerse. HKV LIJN IN WATER, Lelystad,

september 2007.

[Geerse en Van Veen, 2007]

Statistische afhankelijkheid wind voor de bovenrivieren. Chris Geerse en Nelle van Veen.

HKV LIJN IN WATER, Lelystad, november 2007.

[Goda, 1969]

Reanalysis of laboratory data on wave transmission over breakwaters. Y. Goda. Report of the

Port and Harbour Research Institute, Vol. 18, No 3, September 1969.

[De Goederen, 2002]

Werkwijze waterloopkundige berekeningen in het Benedenrivierengebied voor het

Randvoorwaardenboek 2001. RIZA-Werkdocument 2002.204x. RIZA Dordrecht, december

2002.

[De Goederen en Lodder, 2004]

Toetspunten voor Randvoorwaardenboek 2001. S. de Goederen en Q. Lodder. RIZA-

werkdocument 2004.037x. RIZA januari 2004.

[HR, 2006]

Hydraulische Randvoorwaarden 2006 voor het toetsen van primaire waterkeringen. Ministerie

van Verkeer en Waterstaat. Delft, september 2007.



[Hydra-M, 1999]

Achtergronden Hydraulische Belastingen Dijken IJsselmeergebied. RIZA Lelystad, maart 1999.

Een ontwerpmethodiek, RIZA rapport 99.037. R. Westphal, J. Hartman.

• Deelrapport 1: Gebruikershandleiding Hydra-M, RIZA rapport 99.038. E.J. Blaakman, R.

Lisman.

• Deelrapport 2: Meerpeilstatistiek. RIZA rapport 99.039. E.J. Blaakman, H. Buiteveld, H.C.

van Twuiver, A. Van Agthoven.

• Deelrapport 3: Windstatistiek. RIZA rapport 99.040. H.C. van Twuiver, C.P.M. Geerse.

• Deelrapport 4: Probabilistische rekenmethode. RIZA rapport 99.041. E.J. Blaakman.

• Deelrapport 5: Modellering waterbeweging (WAQUA). RIZA rapport 99.042. C.I. Bak, D.P.

Vlag.

• Deelrapport 6: Modellering windgolven. RIZA rapport 99.043. D. Beyer, Q. Gao, D.P. Vlag.

• Deelrapport 7: Productiesommen waterbeweging en windgolven. RIZA rapport 99.044. D.P.

Vlag, C.I. Bak, R. Westphal.

• Deelrapport 8: Reproductiefuncties. RIZA rapport 99.045. D. Beyer, E.J. Blaakman.

• Deelrapport 9: Modellering dammen, voorlanden en golfoploop. RIZA rapport 99.046. J.P.

de Waal.

• Deelrapport 10: Beoordeling betrouwbaarheid Hydra-M. RIZA rapport 99.047. R. Westphal,

J. Hartman.

[Jansen et al, 2005]

• WAQUA en HYDRA-VIJ voor de IJssel- en de Vechtdelta – Rapportage fase 1. M. Jansen, B.

van Prooijen, E. Arnold, M. van Ledden. Royal Haskoning en Svasek Hydraulics, Nijmegen,

juli 2005.

• WAQUA en HYDRA-VIJ voor de IJssel- en de Vechtdelta – Rapportage fase 2. M. Jansen, M.

van Ledden. Royal Haskoning en Svasek Hydraulics, Nijmegen, juli 2005.

• WAQUA en HYDRA-VIJ voor de IJssel- en de Vechtdelta – Rapportage fase 3 en 4. E. Arnold,

M. van Ledden. Royal Haskoning en Svasek Hydraulics, Nijmegen, december 2005.

[Kalk et al, 2001]

Uitbreiding afvoerstatistiek − Borgharen, Lith, Lobith, Olst. H.J. Kalk, I.B.M. Lammers, C.P.M.

Geerse. HKV Lijn in Water, Lelystad, december 2001.

[Kok et al, 1998]

Gevoeligheidsanalyse Probabilistische Belastingsmodellen en Rekentechnieken. Hoofdrapport. M.

Kok, J.M. van Noortwijk, M.T. Duits, A.C.W.M. Vrouwenvelder, C.F. de Valk. TNO, Argoss, HKV,

1998. (Opdrachtgever Rijkswaterstaat: RIZA, RIKZ, DWW.)

[Leidraad rivierdijken deel 1, 1985]

Leidraad voor het ontwerpen van rivierdijken. Deel 1 – Bovenrivierengebied. Technische

Adviescommissie voor de Waterkeringen. Staatsuitgeverij ’s Gravenhage, september 1985.

[Leidraad rivierdijken deel 2, 1989]

Leidraad voor het ontwerpen van rivierdijken. Deel 2 – Benedenrivierengebied. Technische

Adviescommissie voor de Waterkeringen. Staatsuitgeverij ’s Gravenhage, 1989.

[LR, 2007]

Leidraad Rivieren. Directoraat-Generaal Rijkswaterstaat, Expertise Netwerk Waterkeren,

Leidraad teksten door Rijkswaterstaat, HKV Lijn in Water, Arcadis, Met Andere Woorden. Den

Haag, juli 2007.



[Rijkoort, 1983]

A compound Weibull model for the description of surface wind velocity distribution. Rijkoort P.J.

Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut (KNMI). De Bilt, 1983.

[Ris, 1997]

Implementatie windopzet ENDEC. R.C. Ris. Notitie.

[Seelig, 1979]

Effect of breakwaters on waves: laboratory tests of wave transmission by overtopping. W.N.

Seelig. Proc. Coastal Structures 1979, p. 941 – 961.

[Slomp et al, 2004]

Bundeling memo’s Hydraulische Randvoorwaarden Benedenrivieren 2001. R.M. Slomp, Q.

Lodder, 2004, E.J. Claessens, J.P. de Waal en H.E.J. Berger. RIZA-werkdocument 2004.150x.

[Slomp et al, 2005]

Onderbouwing Hydraulische Randvoorwaarden 2001 voor het Benedenrivierengebied. R.M.

Slomp, C.P.M. Geerse en H. de Deugd. RIZA-rapport 2002.017. RIZA Lelystad, 19 mei 2005.

[Stijnen et al, 2008]

Overzichtsdocument statistiek en probabilistische modellering. Jan Stijnen (HKV), Nadine

Slootjes (HKV), Chris Geerse (HKV), Ferdinand Diermanse (WL|Delft Hydraulics), Henri

Steenbergen (TNO B&O). Opdrachtgever Rijkswaterstaat Waterdienst, HKV-rapport PR1403.10,

Lelystad, april 2008.

[Van Velzen en Beyer, 2007]

Technisch Rapport Ontwerpbelastingen voor het rivierengebied (Behorend bij Leidraad

Rivieren). E.H. van Velzen en D. Beyer. Ministerie van Verkeer en Waterstaat, mei 2007.

[Verkaik et al, 2003a]

Wind Climate Assessment of the Netherlands 2003: Extreme value analysis and spatial

interpolation methods for the determination of extreme return levels of wind speed. Phase

report 9 of KNMI-Hydra project. J.W. Verkaik, A. Smits, J. Ettema. KNMI De Bilt, the

Netherlands, may 2003.

[Verkaik et al, 2003b]

Return levels of wind speed at station locations. Phase report 14 of KNMI-Hydra project. J.W.

Verkaik, A. Smits, J. Ettema. KNMI De Bilt, the Netherlands, may 2003.

[Vrouwenvelder et al, 1997]

Gevoeligheidsanalyse Probabilistische Belastingmodellen en Rekentechnieken. Deelrapport 1:

locatie Rotterdamsche Hoek, faalmechanisme overloop en golfoverslag. PRO89, A.C.W.M.

Vrouwenvelder, J.M. van Noortwijk, C.F. de Valk, M.T. Duits, M. Kok. TNO Bouw, ARGOSS, HKV,

1997.

[Vrouwenvelder et al, 2002]

Belastingmodellen Benedenrivierengebied - fase 2/Concept met aanvullende berekeningen.

A.C.W.M. Vrouwenvelder, H.M.G.M. Steenbergen, F.L.M. Diermanse. TNO-rapport 2001-CON-

DYN-R8014. TNO-Bouw, september 2002.



[VTV, 2007]

De veiligheid van de primaire waterkeringen in Nederland. Voorschrift Toetsen op Veiligheid

voor de derde toetsronde 2006-2011 (VTV). Ministerie van Verkeer en Waterstaat, september

2007.

[De Waal, 2003]

Windmodellering voor bepaling waterstanden en golven. Een analyse van de bouwstenen. J.P.

de Waal. RIZA-werkdocument 2003.118x. Rijkswaterstaat-RIZA. Lelystad, 2003.

[De Waal, 2007]

Achtergrondrapport HR2006 voor de Benedenrivieren. Thermometerrandvoorwaarden 2006.

RWS-RIZA rapport 2007.023. J.P. de Waal.

[Wieringa en Rijkoort, 1983]

Windklimaat van Nederland. J. Wieringa en P.J. Rijkoort. Koninklijk Nederlands Meteorologisch

Instituut (KNMI), De Bilt. Staatsuitgeverij Den Haag, 1983.

[Wwk, 1996]

Wet op de Waterkeringen. Wet, houdende algemene regels ter verzekering van de beveiliging

door waterkeringen tegen overstromingen door het buitenwater en regeling van enkele daarmee

verband houdende aangelegenheden. Staatsblad 304.

PR1391.10 Overzichtsdocument Probabilistische Modellen Zoete Wateren Hydra-zoet NL Versie

Documents

Transcript of PR1391.10 Overzichtsdocument Probabilistische Modellen Zoete Wateren Hydra-zoet NL Versie