Padintegraalbeschrijving van de FFLO-toestand in een

spin-gepolariseerd Fermi gas

Jeroen Devreese, Serghei Klimin, Michiel Wouters en Jacques Tempère

PadintegraalbeschrijvingFFLO-toestand

spin-gepolariseerd Fermi gas

Overzicht

1. Inleiding: ultrakoude gassen2. Situering van het onderzoek3. Padintegraal beschrijving 4. Resultaten5. Conclusies

1. Inleiding: ultrakoude gassen

• Bose en Fermi gassen• Optische roosters• BEC-BCS crossover• Spin-onevenwicht

1.1 Bose- en Fermi gassen

A) Bose gassen1000 K

100 K

10 K

1 K

0.1 K

0.01 K

1 mK

0.1 mK

0.01 mK

1 K

1 nK

0.1 K

0.01 K

3)

4)

3) Heisenberg: Golffuncties beginnen te overlappen

1) Klassiek: Verzameling botsende deeltjes

2) Deeltje = golfpakket met spreiding dp en dx

4) Macroscopische bezetting van de grondtoestand + fasecoherentie

=> Bose-Einstein condensaat

2)

1)

A) Bose gassen• Bose-Einstein condensaat vertoont superfluïde

eigenschappen

• Superfluïditeit = combinatie van eigenschappen

Vloeistof/gas stroomt wrijvingsloos

Irrotationeel => vortices

Zo ziet een BEC eruit

http://www.colorado.edu/physics/2000/bec/what_it_looks_like.html

B) Fermi gassen• Pauli principe: macroscopische bezetting

grondtoestand onmogelijk

Bose gas Fermi gas

B) Fermi gassen• Pauli principe: macroscopische bezetting

grondtoestand onmogelijk

Bose gas Twee-components Fermi gas

‘spin-op’‘spin-neer’

Andrew G. Truscott, et al. Science 291, 2570 (2001)

B) Fermi gassen• Cooperpaar = spin-op + spin-neer ≈ boson• Condensaat van Cooperparen = superfluïde

Hoe kan er dan een condensaat worden gevormd?

BCS (Bardeen-Cooper-

Schrieffer) superfluïde

toestand

1.2 Koude gassen als kwantumsimulator

A) Voordelen van koude gassen

• Controleerbaar door experimentatoro Temperatuur en dichtheido Dimensie en geometrie (Optische roosters)o Interactiesterkte (Feshbach resonantie)o Spin-onevenwicht

o Geen defecten, onzuiverheden, Coulomb interactie…

=> Quasi-perfecte simulatie van theoretische modellen

B) Optische roosters• Twee laserbundels interfereren en vormen staande golf => periodische potentiaal

• Analogie met kristalrooster

Optisch rooster Echt kristal

Artificiële kristallen gemaakt door laserlicht

B) Optische roosters• Aanpassen van de dimensie van het systeem

I. Bloch, Nature Phys. 1, 23 (2005).

C) Controle interactiesterkte• Feshbach resonantie:• veranderen extern magneetveld => verandert

verstrooiingslengte • verstrooiingslengte karakteriseert het interactieproces

• Atomaire “moleculen”• Ruimtelijk

gelokaliseerd

• Cooper-paren• Gelokaliseerd in

impulsruimte

Positieve verstrooiingslengte

Negatieve verstrooiingslengte

BEC-BCS crossover

M. Zwierlein et. al, Nature 435, 1047 (2005).

D) Spin-onevenwicht

• Meer ‘spin-op’ dan ‘spin-neer’ (of omgekeerd)• Welk effect heeft dit op de superfluïde

toestand?

?• In de limiet Polarisatie = 1 => geen paring mogelijk• Dus: bij zekere Pkritisch superfluïde-> normaal transitie

Overzicht

• Koude gassen Bosonen -> BEC Fermionen -> Cooperparen -> BEC

Enorm instelbaar: • Dimensie en geometrie (1) • Interactiesterkte (2)• Spin-onevenwicht (3)

(1) Optische roosters: lichtkristallen

(2) Feshbach resonantie -> BEC-BCS crossover

(3) Spin-onevenwicht: verstoort superfluïde paringsmechanisme

2. Situering van het onderzoek

• Wat is FFLO?• Doel van het onderzoek

2.1 Wat is de FFLO toestand?

A) BCS vs FFLO

• BCS

• FFLO

k -k

k -k+Q

k↑ + k↓ = 0

k↑ + k↓ = Q > 0

Kan deze toestand de grondtoestand van een Fermi gas met spin-onevenwicht vormen?

B) Waarom FFLO?

kx

ky

kF

∆

Fermi gas

Fermi energie

B) Waarom FFLO?

Superfluïde Fermi gas→ Normaal Fermi gasFFLO-mechanisme

Q

Paarvorming mogelijk

B) Waarom FFLO?

(+) Er kunnen terug meer Cooper paren worden gevormd(-) Het kost extra energie

2.2 Doel van het onderzoek

• De FFLO toestand werd nog niet experimenteel waargenomen

• Theoretisch: neemt slechts miniem deel van het BCS-BEC fasediagram in

• Idee: voeg een 1D periodische potentiaal toe aan het systeem

→ Experiment: optisch rooster

• Centrale doel: Bestudeer effect van deze potentiaal op FFLO toestand

3. Padintegraal beschrijving

Afleiden van de vrije energie

3.1 Overzicht• Doel: afleiden van de vrije energie Ω

op basis van de toestandssom

Temperatuur Volume Chemische potentialen

Inverse temperatuur

3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm

Som over alle “configuraties” van ψ

“Gewicht” van de configuraties

x

τ

Ψx,τDiscrete versieContinue versie

3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm

Som over alle “configuraties” van ψ

“Gewicht” van de configuraties

Fermionische velden => Grassmann variabelen

3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm

Som over alle “configuraties” van ψ

“Gewicht” van de configuraties

één deeltjes deel

twee deeltjes deel = interactie-term

3.2 De toestandssom• In padintegraal vorm

Som over alle “configuraties” van ψ

“Gewicht” van de configuraties

Kinetische energie

Externe potentiaal

Chemische potentiaal

Contactpotentiaal

Interactiesterkte

3.3 Hubbard-Stratonovich• De vierde orde interactie-term splitsen in tweede

orde termen => bosonisch (hulp)veld

• De partitiesom wordt nu een dubbele padintegraal

3.4 Een dubbele padintegraal

Met als actie

=> Actie diagonaal in positie/tijd representatie

4de orde →2de orde

Fermionen Bosonen

3.5 Fourier transformatie• De partitiesom na Fourier transformatie wordt

Met als actie

Niet-diagonaal

Energie dispersie

3.6 ZadelpuntbenaderingNeem enkel de meest bijdragende term mee uit de bosonische padintegraal

We kiezen het zadelpunt zodat FFLO (Q>0) kan worden beschreven

=> Twee variationele parameters: Δ en Q

3.7 De Vrije energie• Nu is de bosonische padintegraal verwijderd en rest

er enkel nog een Gaussische padintegraal over fermionische velden:

Dit levert dan een uitdrukking voor de partitiesom en dus ook voor de vrije energie:

4. Resultaten

• Fasediagrammen van de grondtoestand• Het BCS en FFLO paringsmechanisme

Vrije energie

minimaliseren naar variationele parameters, voor gegeven waarden van de thermodynamische variabelen

4.1 Grondtoestand bepalen

Enkel BCS (Q=0): 1D probleem

BCS -> Normaal• BCS: Δ>0

• Normaal: Δ=0

Vrije energie

minimaliseren naar variationele parameters, voor gegeven waarden van de thermodynamische variabelen

4.1 Grondtoestand bepalen

BCS/FFLO: 2D probleem BCS -> FFLO -> Normaal

• BCS: Δ>0 Q=0

• FFLO: Δ>0 Q>0

• Normaal: Δ=0

4.1 Grondtoestand bepalen

μ

ζ

BCS

FFLO

Normaal

4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal

• De vorige procedure herhalen voor verschillende waarden van μ en ζ geeft:

4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal

• Nu willen we een 1D periodische potentiaal invoegen=> Dispersie veranderen

3D

3D + 1D potentiaal

bandbreedteGolfvector van de potentiaal

4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal

Vrij deeltjeDeeltje in periodische potentiaal

2δ

QL-QL 0

4.2 Fasediagram bij gekende chemische potentiaal

• De vorige procedure herhalen voor verschillende waarden van μ en ζ geeft:

4.3 Fasediagram bij gekende dichtheid• Transformatie tussen chemische potentialen

en dichtheid/polarisatie

=> Toepassen op elk punt in μ,ζ - fasediagram

4.3 Fasediagram bij gekende dichtheid

ζ

μ n(kFas)-1

P

4.3 Fasediagram bij gekende dichtheidZonder 1D potentiaal

4.3 Fasediagram bij gekende dichtheidMet 1D potentiaal 1 2 3 4

Toenemende dichtheid

BCS

FFLO

4.4 Het paringsmechanismeGebied 1

• Enkel bodem energieband is gevuld• Dispersie met potentiaal is in goede benadering kwadratisch

Grootte van het FFLO gebied is ongeveer gelijk met of zonder potentiaal

4.4 Het paringsmechanismeGebied 2

• Energieband is gevuld maar niet volledig• Dispersie met potentiaal ‘vlakt af’ t.o.v. vrije dispersie

Optimale grootte van het FFLO gebiedAfvlakken dispersie resulteert in kleinere energiekost om

impuls Q te geven

4.4 Het paringsmechanismeGebied 3• Energieband is niet volledig gevuld bij polarisatie nul• Energieband wordt volledig gevuld (door één spinsoort) bij een

bepaalde kritische polarisatieDe maximale polarisatie waarbij FFLO kan voorkomen neemt afEen spin soort vult energieband -> minder beschikbare vrije

toestanden doordat Brillouin zone bereikt is

4.4 Het paringsmechanismeGebied 4

• Energieband is volledig gevuld bij polarisatie nul

Rand van Brillouin zone altijd bereikt-> ook BCS paring ondervindt nadeel door minder beschikbare toestanden

5. Conclusies

• De FFLO toestand kan de grondtoestand zijn van een ongebalanceerd Fermi gas

• In 3D: FFLO = zeer klein gebied in BCS-BEC fasediagram

• 3D+1D potentiaal: dit gebied wordt significant vergroot

• Wanneer de laagste band gevuld geraakt ondervinden zowel FFLO als BCS een verzwakking

Bedankt voor jullie aandacht

Er zijn nog andere mogelijkheden

4.6 FFLO-S• Tot nu toe:

• Bekijken we nu:

FFLO-P

FFLO-S

4.6 FFLO-S• Het (μ,ζ)-fasediagram