P Comparación entre Isotérmico y Adiabático ln...Fórmula de Spitzglass para gases a bajas...

FLUIDODINÁMICA 2017 1

Comparación entre

Isotérmico y Adiabático• Del balance de energía mecánica

• Despejando:

(w/A)2 ln (v2/v1) + ∫1 dP/v + 2 f L/D (w/A)2 = 02

(w/A) = - ∫1 dP/v 1/2

ln (v2/v1) + 2 f L/D

2

Comparación entre flujo másico Isotérmico y Adiabático

P1, v1, T1 P2¿wisotérmico ≠ wadiabático?

• Vamos a comparar cada término

Conducción de sección constante1 2

Para isotérmico T2=T1

Para adiabático T2<T1

Comparación entre flujos Isotérmico y Adiabático

Asumiendo Gas ideal: Pv/T= cte = P1v1/T1 = (P2v2/T2)i = (P2v2/T2)a

P2i = P2aT2i > T2a

v2i > v2a

vs-∫1 dP/v2

-∫1 dP/v2

i a

P2 P1

1/v1

1/v2a

1/v2i

1/v

P

<-∫1 dP/v2

-∫1 dP/v2

i a

Comparación entre flujos Isotérmico y Adiabático

v2i > v2a y v1i = v1a

vsln (v2/v1) ln (v2/v1) i a >ln (v2/v1) ln (v2/v1) i a

(w/A) = - ∫1 dP/v 1/2

ln (v2/v1) + 2 f L/D

2

~2fL/D 2fL/Di a

(w/A)isotérmico < (w/A)adiabático


Aproximaciones y

ecuaciones empíricas

Para un mismo ∆P, el flujo másico calculado asumiendo v = v1 constante (incompresible) ¿Será superior o inferior al flujo real (compresible)?

¿La diferencia aumenta o disminuye al aumentar el ∆P?

¿La diferencia aumenta o disminuye al aumentar fL/D?

Aproximación: compresible a incompresible

Mejor aproximación que asumiendo v = v1 se logra considerando v = (v1 + v2)/2.

(w/A)2 ln (v2/v1) + ∫1 dP/v + 2 f L/D (w/A)2 = 02

Error en el flujo másico dentro de ductos (respecto al isotérmico compresible) para un mismo ∆P asumiendo comportamiento incompresible con v = v1

ERRORES por suponer INCOMPRESIBLE en función de 4fL/D y de ∆P/P1

0%

10%

20%

30%

1 10 100

4fL/D

ER

RO

R

5%

10%

15%

20%

50%

-∆P/P1

Ej.:Error menor al 2% si ∆P/P < 5% y 4fL/D > 10

�Si el valor de fL/D es alto, las pérdidas de carga serán grandes y consumirán la mayor parte de la energía de presión disponible. Entonces la incidencia de la variación de energía cinética en el balance será pequeña. En consecuencia, en un proceso adiabático, no será significativa la caída de temperatura asociada a la reducción de entalpía.

Aproximación: Adiabático a Isotérmico

(w/A)2 ln (v2/v1) + ∫1 dP/v + 2 f L/D (w/A)2 = 02

�Si la caída de presión relativa es pequeña (bajo ∆P/P),

también lo será la variación de velocidad y por ende la variación de energía cinética. En consecuencia, en un proceso adiabático, no será significativa la caída de temperatura, que está asociada a la reducción de entalpía.

∆H + ∆u2/2 = Q y si es adiabático ∆H = - ∆u2/2


Error en el flujo másico dentro de ductos al suponer isotérmico cuando es adiabático, para las mismas P1 y P2

ERRORES por suponer ISOTÉRMICOen función de 4fL/D y de ∆P/P1 (γ=1,4)

-12%

-10%

-8%

-6%

-4%

-2%

0%

0,1 1 10 100

4fL/D

ER

RO

R

5%

10%

20%

50%

75%

-∆P/P1

∆P/P < 75% y 4fL/D > 10

∆P/P < 20% y 4fL/D > 1Ej.:Error menor al 2% si:

Si el proceso puede modelarse como Isotérmico:

¿Puede modelarse también como Adiabático? .

Aproximación: Isotérmico a Adiabático

(w/A)2 ln (v2/v1) + ∫1 dP/v + 2 f L/D (w/A)2 = 02

� Si puede modelarse como isotérmico:

Entonces el potencial térmico es aproximadamente constante.

Entonces el flujo de calor no puede variar a lo largo del caño,

Entonces el flujo de calor debe ser bajo.

Entonces puede modelarse como adiabático.

Como vimos, lo contrario no siempre es cierto

∆H + ∆u2/2 = Q y si es isotérmico ∆u2/2 = Q

Procesos reales• Los procesos isotérmico y adiabático son ideales, pero permiten acotar los resultados de

muchos procesos reales.

• Si el perfil de temperatura del proceso real “no se corta” con los perfiles de los procesos ideales, podemos establecer si el flujo másico real es mayor o menor que el de los procesos isotérmico y adiabático con iguales condiciones de entrada y presión de salida.

• El perfil de temperatura depende de la variación de energía cinética y del intercambio de calor entre el fluido y el ambiente.¿De que variables depende el intercambio de calor con el ambiente?¿Cómo incide el intercambio de calor en el flujo másico?

Indique cómo será el flujo real en relación a los flujos isotérmico y adiabático en cada caso:

1) En la sección de entrada la temperatura del fluido es igual a la del ambiente.

2) El perfil de temperaturas está por encima de los perfiles isotérmico y adiabático

3) El perfil de temperaturas está por debajo de los perfiles isotérmico y adiabático.

Problemas frecuentes

Le D P1 T1 P2 w

Le D P1 T1 w P2

P1 P2 D T1 w Le

P1 P2 Le T1 w D

P2P1

Le

Dw

T1 T2

� �

¿Cómo incide la transferencia de calor en cada variable de salida?


� Fórmula de Weymouth para gases a alta presión

� Fórmula de Panhandle para gas natural

� Fórmula de Spitzglass para gases a bajas presiones

� Fórmula de Babcock para vapor de agua

� Fórmula de Fritzche para vapor sobrecalentado

� Fórmulas y nomogramas Spirax Sarco para vapor

Existe un gran número de fórmulas empíricas para calcular parámetros de flujo compresible por ductos. Entre ellas figuran:

Fórmulas empíricas

Vapor saturado 1 a 3 atm: 20 a 30 m/s

Vapor saturado a más de 3 atm: 30 a 50 m/s

Vapor sobrecalentado: 35 a 100 m/s

Gases a tiro natural: 2 a 4 m/s

Gases a presión atmosférica o cercana a ésta en conductos de gas y tuberías de ventilación: 5 a 20 m/s

Velocidades típicas

Fuente: “Problemas de Flujo de Fluidos” (Valiente Barderas)

Determinaremos cuál es la velocidad de propagación de una pequeña perturbación de presión.

sección A

Cuando se genera una alteración en la presión en un punto del fluido, la nueva condición tarda un tiempo finito en transmitirse a otro punto del fluido.

Velocidad sónicauw

P

Sea uw la velocidad a la que se propaga la perturbación u onda de presión.


Supongamos que la onda de presión se mantiene inmóvil debido a que el fluido circula en el sentido contrario a igual velocidad y con un flujo másico wu.

wu

uw

Definamos un volumen de control diferencial entre dos secciones de la zona perturbada (1 y 2)

12dl

Del balance de masa...

wentrada = wsalida

wu

uA/v = (u+du)A/(v+dv)

P+dPV+dvuw+du

Pvuw

12dl

Del balance de cantidad de movimiento...

PA - (P+dP)A = wu (u+du) - wuu

-AdP = wudu

� (wu/A)2 = -(dP/dv)

(suponemos que no hay rozamiento)

wu = A u/v � u= (wu/A)v � du = (wu/A)dv

wu

P+dPV+dvuw+du

Pvuw

12dl

(wu/A)2 = -(dP/dv)

wu/A = u/v

dP/dv = - P/v � uw = Pv

Si la onda se pudiera transmitir en condiciones isotérmicas (físicamente imposible)

uw = v -(dP/dv)


Para gas ideal en proceso isentrópico

dP/dv = - γ P/v � uw = γ Pv velocidad del sonido

Las ondas de presión se propagan a altas velocidades, de modo que los procesos de transferencia de calor no las afectan, lo que

hace de este un proceso adiabático.

Si la perturbación es infinitesimal, el proceso es reversible y por ser adiabático es isentrópico.

(wu/A)2 = -(dP/dv)

wu/A = u/v

uw = v -(dP/dv)

Condiciones de velocidad máxima en conducciones horizontales de sección

constante

Manteniendo las restricciones:tubería horizontal, sección constante, estado

estacionario, sin trabajo, altamente turbulento

�� u

Vamos a demostrar que existen condiciones que

limitan la velocidad ( u ) que puede alcanzar el

fluido dentro de la tubería.

Habíamos visto que la ecuación de balance de energía mecánica que aplica para este caso es…

(w/A)2 ln (v2/v1) + ∫1 dP/v + 2 f L/D (w/A)2 = 02

Vamos a estudiar las variaciones de w/A con la presión aguas abajo P2 (dejando fija la presión aguas arriba, P1).

��


… y trataremos de ver qué efecto tiene esa variación de P2 sobre w/A

w/A��

P1 es fija variamos P2

(w/A)2 ln (v2/v1) + ∫1 dP/v + 2 f L/D (w/A)2 = 02

- ∫1 dP/v2

ln (v2(P2)/v1) + 2 f L/Dw/A =

1/2

Intentaremos graficar w/A en función de P2

��

P1

w/A

P2

¿cómo varía w/A con P2 entre 0 y P1?

- ∫1 dP/v2

ln (v2(P2)/v1) + 2 f L/Dw/A =

1/2

� - ∫1 dP/v = 0 � w = 02

Véase que si P2 = P1

w/A

Para analizar la dependencia de w/A con P2 vamos a estudiar la derivada de w/A respecto a P2 ...

Signo [∂(w/A)/∂P2] = - Signo 1 + (∂v/∂P P=P2)(w/A)2

- 1 + (∂v/∂P P=P2)(w/A)2

2 (w/A) v(P2) ln (v(P2)/v1) + 2 f L/D

∂(w/A)=

∂P2


P1

w/A

P2

Caso fluido incompresible

(∂v/∂P P=P2) = 0 � ∂(w/A)/∂P2 < 0

w/A siempre disminuye al aumentar P2


P1

w/A

P2

Caso fluido compresible

(∂v/∂P P=P2) < 0 � ∂(w/A)/∂P2 ?


[∂(w/A)/∂P2] < 0

1 + (∂v/∂P P=P2)(w/A)2 > 0si y sólo si

[∂(w/A)/∂P2] < 0

1 + (∂v/∂P P=P2)(w/A)2 > 0si y sólo si

si y sólo si (w/A)2 < - 1/(∂v/∂P P=P2)

(∂v/∂P P=P2)(w/A)2 > - 1si y sólo si

- (∂v/∂P P=P2)(w/A)2 < + 1si y sólo si

si y sólo si (w/A)2 < - (∂P/∂v P=P2)

(w/A) < - (∂P/∂v P=P2)si y sólo si

(w/A) - - (∂P/∂v P=P2) < 0si y sólo si

P1

w/A

P2

Caso fluido compresible

... entonces la curva pasa por un máximo

Si para alguna P2 se cumple que

(w/A) = -(∂P/∂v P=P2)

= Signo (w/A) - - (∂P/∂v P=P2)Signo [∂(w/A)/∂P2]


- (∂P/∂v)T = P/v = PM P2/RT

Flujo isotérmico de un gas ideal

P1

w/A

P2

Signo [∂(w/A)/∂P2] = Signo (w/A) - - (∂P/∂v P=P2)

Condición de máximo: w/A = - (∂P/∂v)T = PM/RT P

w/A crece

w/A decrece

P1

w/A

P2

Pw

- (∂P/∂v)T = P/v = PM P2/RT


Condición de máximo: w/A = - (∂P/∂v)T = PM/RT P

Signo [∂(w/A)/∂P2] = Signo (w/A) - - (∂P/∂v P=P2)

(w/A)max = PM/RT Pw

P1

w/A

P2

Pw

(w/A)max = (PM/RT)1/2 Pw

- (∂P/∂v)T = P/v = PM P2/RT


¿Qué pasa con w/A para P2 = 0 ?

¿?

- ∫1 dP/v2

ln (v2(P2)/v1) + 2 f L/Dw/A =

1/2

y entonces w/A � 0Si P2 � 0, entonces v2 � ∞

P1

w/A

P2

Pw

(w/A)max = (PM/RT)1/2 Pw



(w/A)max = (PM/RT)1/2 Pw = (Pw/vw)

Esta es la velocidad máxima a la que podría circular el fluido en condiciones isotérmicas.

Pero w/A = u/v , entonces uw = (Pwvw)

ATENCION:

La condición de velocidad máxima que acabamos de ver no es físicamente alcanzable porque a las grandes velocidades de expansión involucradas no se puede mantener el comportamiento isotérmico.

Las condiciones de velocidad máxima tienen asociado un muy pobre intercambio de calor del fluido con los alrededores. Por esto, en general las condiciones adiabáticas son una aproximación satisfactoria para los casos reales.

En clases pasadas vimos que para mantener flujo isotérmico de un gas ideal la densidad de flujo de calor por unidad de longitud de ducto debería ser :

Véase que si RT/PM = uw2 entonces δQ/δl = ∞

Las condiciones isotérmicas exigirían que la densidad de flujo de calor aumentara a lo largo del tubo conforme aumenta u. Para altos valores de u (próximos a uw) esta condición no se puede cumplir y por eso, escurrimiento isotérmico en ductos sólo puede conseguirse a velocidades relativamente bajas.

δQ 2 (f /D) (w5/A4) v4 2 (f /D) w u4

= =δl (RT/PM) - (w/A)2v2 (RT/PM) - u2

P1

w/A

P2

Flujo adiabático de un gas ideal

Pw

(w/A)max = ( γPw /vw )

y la velocidad máxima uw = (γ Pwvw)

(w/A)max = (γPw/vw) donde γ = Cp/Cv

Para este caso se demuestra que :


Lo que acabamos de ver enseña que...

Para una presión P1 aguas arriba dada hay un flujo másico máximo que se puede alcanzar por el gas (a la presión P2 = Pw).

La velocidad lineal máxima en las condiciones de flujo másico máximo, uw, coincide con la velocidad del sonido.

Una eventual reducción posterior de P2 no daría lugar a un aumento del flujo másico.

P1

w/A

P2

Pw

(w/A)max = ( γPw /vw )

�� u

Pero en un flujo adiabático, si P1 está fija, P2 solo la puedo controlar desde un reservorio de descarga.

?

Descarga en reservorio estanco

u1 u2

P2P1, v1

w

Consideremos la siguiente geometría…


P3

u1 u2

P2P1, v1

w

u3 = 0

En la práctica no podemos conducir procesos en los que fijemos P2 . La presión corriente abajo que podemos controlar y ajustar es P3.

La tubería ahora descarga en un reservorio donde el fluido está quieto.

Supongamos que llevamos a cabo un proceso que reduce paulatinamente la presión P3 mientras P1 se mantiene constante.

¿Cómo varía w?

P3

u1 u2

P2P1, v1

w

u3 = 0

u1 u2

P3 = P1P1, v1

w

Desde luego si P3 = P1, entonces w = 0, u1 = u2 = 0 y P2 = P3

w = 0

El proceso se inicia con P3 = P1.P2

P

��

u3 = 0u1 u2

P1, v1

w

w

P2

P

��

Se reduce P3 (manteniendo P1)P3 < P1

u3 = 0


u1 u2

P1, v1

w

w

P2

P

��

P3 < P1 . Ahora, w > 0 y u2 > u1 > 0 (y cada vez mayores si P3 continúa reduciéndose).

Se reduce P3 (manteniendo P1)

Pero sigue siendo P2 = P3

P3

u3 = 0u1 u2

P1, v1

w

w

P2

P

��


P3

u3 = 0


u1 u2

P1, v1

w

w

P2

P

��


P3

u3 = 0


u1 u2

P1, v1

w

w P

��


P2 P3

u3 = 0



u1

P1, v1

w

w

u2=uw

P2 = Pwv2= vw

P

��

P3

u3 = 0

… hasta que se llega a la condición de

velocidad máxima !! (a la salida)

P1

w/A

P2

Pw

(w/A)max = γ Pw / vw

y la velocidad máxima uw = γ Pwvw

(w/A)max = γPw / vw donde γ = Cp/Cv

Para el caso de flujo adiabático de un gas ideal vimos que ...

P1

w/A

P2

Pw

(w/A)max = γ Pw / vw

y la velocidad máxima uw = γ Pwvw

(w/A)max = γPw / vw donde γ = Cp/Cv

Para el caso de flujo adiabático de un gas ideal vimos que ...

Físicamente, la presión P2

no se podrá reducir más abajo de Pw por efecto de reducciones de P3

Para una presión P1 aguas arriba dada hay una velocidad máxima de flujo másico que se puede alcanzar por el gas. La velocidad máxima tiene lugar en el extremo corriente abajo, cuando la presión (P2) en dicho punto es tal que:

w/A = (γ P/v)1/2

La velocidad máxima es la velocidad del sonido.

Una posterior reducción de P2 no podrá lograrse por variaciones aguas abajo (pues los cambios de P no pueden trasmitirse aguas arriba).


u1

P1, v1

w

w

P2 = Pwvw

uw

P

�

Posteriores reducciones de P3 no se “trasmiten” aguas arriba por lo que P2 sigue con su valor igual a Pw

P3

u3 = 0

��

w

u1

P1, v1

w

P2 = Pwvw

uw

P

��

Posteriores reducciones de P3 no se “trasmiten” aguas arriba por lo que P2 sigue con su valor igual a Pw

P3

u3 = 0

(w/A)max2 = γ Pw/vw

γ - 1 P1 A 2 v1 2 γ + 1 v2 4 f L+ 1 - - ln = 2 γ v1 w v2 γ v1 D

1 w 2 γ 1 w 2 γv2 + P v = v1

2 + P1v1 2 A γ − 1 2 A γ − 1

Para el caso de flujo adiabático de un gas idealel flujo máximo verifica :

P1 (γ - 1) vw v1 vw= - +Pw 2 v1 vw v1

γ + 1 vw2 γ + 1 vw 4 f L

- ln = 2 γ v1 γ v1 D

Resulta…

(I)

(II)

Véase que…

de (I): vw = v1 x función de (γ, fL/D)

de (II y de I): Pw = P1 x función de (γ, fL/D)

O sea, Pw/vw = P1/v1 x función de (γ, fL/D)

Y entonces, (w/A)max = (P1/v1)1/2 f (γ, fL/D)


P1 (γ - 1) vw v1 vw= - +Pw 2 v1 vw v1

γ + 1 vw2 γ + 1 vw 4 f L

- ln = 2 γ v1 γ v1 D

Ejemplo: Flujo adiabático de gas ideal con γ = 1,4 por un tubo con 4 f L / D = 10. Determinar (en función de P1 y v1, el valor máximo de P3 para el cual hay flujo sónico, el valor de la velocidad sónica y el valor del flujo máximo por unidad de área.

De (I) resulta: vw/v1 = 3,785. Reemplazando en:

…resulta P1/Pw = 4,490, de donde Pw = 0,223 P1 = P3máx

(I)

(II)

P1Pw = 0,223 P1

Observación:

Para un G.I., dados γ y fL/D, Pw es directamente proporcional a P1

La velocidad sónica (que se alcanza en el extremo 2) es en el ej.:

uw = (γ Pwvw)1/2 = (1,4 x 0,223P1 x 3,785v1)1/2= 1,087 (P1v1)1/2

y el flujo máximo por unidad de área es

(w/A)max = (γ Pw/vw)1/2 = (1,4x0,223P1/3,785v1)1/2 = 0.287 (P1/v1)1/2

w/A

P2

P

��

Pw

P1

Para un gas ideal fluyendo por una tubería con una geometría dada (f L/D), si se fija la presión P1 entonces Pw queda determinada.

El gráfico muestra cualitativamente las variaciones de presión a lo largo de la tubería para distintos valores de P3

u1 u2

P1, v1

w

Supongamos ahora que llevamos a cabo un proceso en el que la presión P3 se mantiene constante mientras P1 va aumentando gradualmente.

¿Cómo varía w?

P3

u3= 0


w

u = 0

P1 = P3

w = 0

P

P2 = P3

��

P3

u3= 0

w

u1

P1 > P3

wu2

P

w > 0 y u > 0

u2 > u1

P2 = P3

��

P3

u3= 0

w

u1

wu2

P

P1 cada vez mayor

w y u cada vez mayores

a su vez, siempre u2 > u1

P2 = P3

��

P3

u3= 0

w

u1

w

P

P1 cada vez mayor

… hasta que P2 = Pw (para esa P1)Recordemos que Pw = P1 x función de (γ, fL/D)

y entonces u2 = uw

P2 = P3

��

P3

u3= 0u2 = uw


w

u1

w

P

��

P1 cada vez mayor

Si P1 aumenta más, entonces P2

aumenta para ser igual a la Pw

correspondiente a la nueva P1

P2 > P3

P3

u3= 0u2 = uw

w

u1

w

P

P1 cada vez mayor

P2 > P3

��

P3

u3= 0u2 = uw

Si P1 aumenta más, entonces P2

aumenta para ser igual a la Pw

correspondiente a la nueva P1

Para el flujo de un gas ideal por ductos horizontales vimos que si se fijan las condiciones termodinámicas en el punto 1, existirá un flujo másico máximo dado por

(w/A)max = (γPw/vw)1/2 (caso adiabático)

y que (w/A)max = (P1/v1)1/2 f (γ, fL/D)

Véase que para P1 y v1 fijas entonces wmáx ∝AY si P1/v1 cambia, también cambia (w/A)max

En la práctica el caudal másico de compresibles puede no estar limitado por las condiciones en la tubería en sí, sino por el desarrollo de velocidad sónica en una válvula u otra constricción de la tubería.

(Tener cuidado en la selección de accesorios de tuberías para el transporte de gases a elevadas velocidades)

La constricción supone un A pequeño y establece un límite para el w.En el caso de incompresibles, la constricción supone una mayor pérdida de carga

pero no introduce la limitación que supone el alcanzar la velocidad sónica.


P3

u1 u2

P2P1, v1

w

u3 = 0

RELACIONES ENTRE LAS PROPIEDADES DE � Y �

Si P3 ≤ Pw entonces la velocidad en � es

sónica, w/A = (w/A)max y P3 ≤ P2= Pw

Si P3 > Pw entonces la velocidad en � es

subsónica, w/A < (w/A)max y P3 = P2 > Pw

Según vimos:

P3

u1 u2

P2P1, v1

w

u3 = 0

La energía cinética que tiene el fluido en � se pierde por fricción al pasar al reservorio donde la velocidad es nula. u2

u3 = 0

Las propiedades termodinámicas en el reservorio (T3, v3) dependerá del estado inicial del mismo y de:

•aporte de energía del fluido entrante (wH2+wu22/2)

•eventual aporte o retiro de calor del reservorio•eventual compresión del fluido del reservorio•eventual salida de fluido del reservorio

P2, v2, T2

P3, v3, T3

w

Descarga desdereservorio estanco


Entrada a la tubería

¿Qué relación existe entre P1, v1, P0 y v0 ?

P3

u1v3u2

P0

v0

u = 0

P2 , v2P1, v1

w

u = 0

bordes rectos

bordes redondeados (sin fricción)

La relación entre P1, v1 y P0 , v0 depende del cambio de energía cinética y de la fricción en la entrada.

Entrada a través de boquilla sin fricción

u1

P0

v0

u = 0

P1, v1

u du/α + g dz + v dP + δF = - δW

u du/α + v dP = 0

u12 /2 + ∫0 v dP = 0

1

½(w/A)2 v12 + ∫0 v dP = 0

1

Necesitamos conocer v = f(P) para integrar

Entrada a través de boquilla sin fricción

Adiabático – Gas Ideal

v0γ P0 = v1

γ P1 entonces:

Isentrópica pues al no haber fricción es reversible

w 2 v1 2 γ P0 (γ−1)/γ

= - 1Α P1 γ – 1 P1

Isotérmico – Gas Ideal

v0 P0 = v1 P1 entonces:

(w/A)2 v1 / P1 = 2 ln (P0/P1)

Físicamenteimprobable


P0

v0

u = 0

P1, v1

Entrada de bordes rectos (con fricción)

u1

P1’, v1

’

P0

v0

u = 0

P1, v1

Longitud equivalente (ej. entrada de bordes rectos)

Entrada de bordes rectos (con fricción)

Se modela como una boquilla sin fricción más una longitud de cañería tal que genera pérdidas equivalentes a las de la boquilla real.

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