Op dit lesmateriaal is de Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel-Gelijk delen 3.0 Nederland Licentie van toepassing (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/). CC BY-NC-SA 3.0 NL 2014 De Praktijk i.o.v. Erik Verlinde.

Inhoud .............................................................................................................................................. 1 Gebruik van de lessenserie .............................................................................................................. 2 Gliese 667 - Leerdoelen, aanwijzingen en antwoorden .................................................................. 2 Kepler 22b - Leerdoelen, aanwijzingen en antwoorden ................................................................. 9 Einsteinringen - Leerdoelen, aanwijzingen en antwoorden ........................................................ 16

De Praktijk blz. 2 van 21

Voor u ligt de docentenhandleiding van de lessenserie over relativiteitstheorie die onderdeel is van het outreachprogramma The Quantum Universe. Deze lessenserie is bedoeld voor leerlingen uit 5 of 6 vwo. In deze lessenserie wordt de lesstof behandeld horende bij de eindterm uit de syllabus Natuurkunde VWO 2016 bij subdomein F2: Relativiteitstheorie. Deze eindterm betreft begrip over tijdsdilatatie, lengtecontractie en gelijktijdigheid.

De lessenserie is opgedeeld in drie modules en duurt in totaal 10 lesuur. In de eerste twee modules, Gliese 667 en Kepler 22b, wordt de eerder genoemde eindterm behandeld, terwijl in de laatste module een wetenschappelijke toepassing van de (algemene) relativiteitstheorie wordt behandeld in de vorm van zwaartekrachtslenzen. Voor een goed begrip van de relativiteitstheorie dienen leerlingen alle drie de modules uit te voeren.

Het outreachprogramma The Quantum Universe is opgezet door Prof. Erik Verlinde (Universiteit van Amsterdam), en is gefinancierd uit de aan hem toegekende NWO-Spinozapremie 2011. Meer informatie over het outreachprogramma, alsmede ondersteunend lesmateriaal bij deze modules, kunt u vinden op de website van het outreachprogramma: http://www.quantumuniverse.nl.

Beschrijving

Deze module is de eerste in de serie van 3 modules. Hierin worden de begrippen tijdsdilatatie en ruimtetijd geïntroduceerd. De context bestaat uit een ruimtereis naar een exoplaneet waar eventueel leven aanwezig zou kunnen zijn. Tijdens de ruimtereis komen leerlingen vreemde verschijnselen tegen die te verklaren zijn met behulp van de speciale relativiteitstheorie.

Leerdoelen

De leerling

kan vanuit het idee dat de lichtsnelheid voor alle waarnemers gelijk is, uitleggen hoe tijdsdilatatie ontstaat;

heeft een kwantitatief begrip van tijdsdilatatie;

kan voor eenvoudige eenparige bewegingen een ruimtetijddiagram tekenen.

Lesduur

Leerlingen kunnen in 4 lesuur met bijbehorende huiswerktijd de module maken. Door de tegenintuïtieve aard van het onderwerp zal het uitwerken van de module de leerlingen de nodige energie en concentratie kosten, zelfs als de interesse in het onderwerp aanwezig is. Het verdient daarom de aanbeveling om deze module niet in één keer in zijn geheel uit te voeren, maar om dat in minstens twee aparte lesblokken te doen. Het meest voor de hand liggende punt om de scheiding tussen de twee delen aan te brengen is bij het hoofdstukje “ruimtetijd”.

De Praktijk blz. 3 van 21

Voorbereiding en aanwijzingen

Het is mogelijk dat u als natuurkundedocent vóór de invoering van NiNa weinig in aanraking bent gekomen met de speciale relativiteitstheorie. Het kan in dat geval nuttig zijn om een van de opfriscursussen bij te wonen die door verschillende universiteiten worden aangeboden, of om zelfstandig uw kennis over dit onderwerp op te halen.

Opdracht 1: Bij deze opdracht is het belangrijk dat leerlingen niet te lang blijven hangen bij het opzoeken van de exacte getallen. Het gaat erom dat ze straks een sterk stijgende trend zien in het verloop van de maximaal haalbare snelheid door de mens - een trend die op het eerste gezicht niet gelimiteerd lijkt te zijn door de lichtsnelheid of andere beperkingen. Het verdient daarom de aanbeveling deze opdracht klassikaal te maken, waarbij leerlingen eerst een schatting geven en u vervolgens uit de onderstaande tabel het correcte antwoord geeft. De leerlingen kunnen ook allemaal tegelijk op het internet zoeken en het aangeven als ze een antwoord gevonden hebben. Dit laatste is echter niet altijd aan te raden; als leerlingen de rest van de les internet bij de hand hebben, kan dat nadelige gevolgen hebben. Leerlingen kunnen na het klassikaal uitvoeren van opdracht 1A weer zelfstandig opdracht 1B doen.

Opdracht 8: Deze opdracht kan ook gezamenlijk aan het begin van de eerstvolgende les gedaan worden om de kennis nog een keer op te halen en te consolideren.

Antwoorden

1.

A. Bij deze opdracht gaat het om het ontdekken van de trend. Het antwoord hoeft dus niet exact te kloppen, als de uiteindelijke trend maar duidelijk stijgt zodat het bereiken van de lichtsnelheid op het eerste gezicht geen probleem lijkt.

Voortbeweging Snelheid (m/s) Wanneer (10x jaar geleden)

Lopen/rennen 10 km/u = 2,8 · 100 m/s

200.000 jaar geleden = 2 · 105 jaar geleden

Paard 45 km/u = 1,3 · 101 m/s

4.000 jaar geleden = 4 · 103 jaar geleden

Trein 160 km/u = 4,5 · 101 m/s

110 jaar geleden = 1,1 · 102 jaar geleden

Raket 8 km/s =8,0 · 103 m/s

45 jaar geleden = 4,5 · 101 jaar geleden

Helios I ruimtesonde 250.000 km/u = 6,9 · 104 m/s

30 jaar geleden = 3,0 · 101 jaar geleden

De antwoorden volledig uitschrijven als macht van tien (bijvoorbeeld 105,3 in plaats van 2 · 105) wordt ook goedgerekend, en maakt het tekenen in de grafiek zelfs makkelijker.

B. De grafiek zou er ongeveer als volgt uit moeten zien. De stippellijn is de extrapolatie vanaf het laatste datapunt. Als deze extrapolatie correct zou zijn, zou ongeveer 7 jaar geleden de lichtsnelheid doorbroken moeten zijn. Dat is natuurlijk niet het geval, maar de schijnbaar onbegrensde trend naar steeds hogere snelheden is duidelijk.

De Praktijk blz. 4 van 21

Opmerking: door de gebruikte log-logschaal in deze grafiek ligt “nu” niet bij de oorsprong, maar oneindig ver naar rechts. De toekomst komt überhaupt in de grafiek niet voor.

C. Bij deze opdracht zijn door de vraagstelling veel goede antwoorden denkbaar. Als de leerlingen het antwoord op basis van een goede grafiek geven zou de lichtsnelheid in de nabije toekomst doorbroken moeten worden.

2. Bijvoorbeeld: volgens de relativiteitstheorie gebeuren er bijzondere dingen als we reizen met een snelheid die de snelheid van het licht nadert. De snelheden in de grafiek zijn allemaal een heel kleine fractie van de lichtsnelheid. De relativiteitstheorie heeft daar waarschijnlijk nog weinig invloed. Het moment waarop we de lichtsnelheid kunnen bereiken zou hierdoor dus wel eens ver uitgesteld kunnen worden, of zelfs nooit kunnen komen.

3. Voor een leerling die is geboren in 1999: Ik leef met deze aanname tot het jaar 2109. Dan heb ik dus 2109-2063= 46 jaar de tijd om heen en weer te gaan. Ik moet dan dus met bijna de lichtsnelheid (0,96 c) heen en weer.

4.

A.

B. De lichtstraal heeft 8 meter afgelegd met 3,0 · 108 m/s. Afstand/snelheid = 8/(3,0 · 108 )= 2,7 · 10-8 s.

De Praktijk blz. 5 van 21

C.

D. De totale afstand is:

E. 11,3/(3,0 · 108) = 3,8 · 10-8 s

F. Deze twee tijden zijn niet hetzelfde. Als de lichtsnelheid inderdaad voor iedere waarnemer hetzelfde is, komen we tot de verrassende conclusie dat in de raket 2,7 · 10-8 seconde verstreken lijkt te zijn, terwijl op de Marskolonie 3,8 · 10-8 s verstreken is.

G. De raket heeft volgens de mensen op de Marskolonie 8 meter afgelegd in 3,8 · 10-8 seconde en gaat dus met een snelheid van 8/(3,8 · 10-8) = 2,1 · 108 m/s. Delen door de lichtsnelheid geeft dat de raket een snelheid van 0,7 c heeft.

H. De raket verplaatst zich nu 16 meter. De tijd die daarvoor nodig is, is:

De snelheid is dus 16/(6,0 · 10-8) = 2,7 · 108 m/s = 0,9c

I. De lichtstraal zou er heel lang over doen om de spiegel te raken, omdat hij bijna even snel gaat als de raket. De tijd in de raket zou voor de mensen op de Marskolonie dus vrijwel stil lijken te staan.

J. Afhankelijk van het inzicht van de leerling. Een voorbeeld: reizen met een snelheid groter dan of gelijk aan de lichtsnelheid lijkt me onmogelijk, want dan zou de tijd in de raket stil lijken te staan of zelfs teruglopen.

5.

A. Voor 0,7 c geldt dat γ = 1,4.

Voor 0,9 c geldt dat γ = 2,3.

B. De verstreken tijd in de raket Δtr is in beide gevallen gelijk aan 2,7 · 10-8 s. Als we dit vermenigvuldigen met beide waarden van γ die we hebben gevonden krijgen we:

Δtm =2,7 · 10-8 · 1,4 = 3,8 · 10-8 s.

Δtm = 2,7 · 10-8 · 2,2 = 6,0 · 10-8 s.

Dit klopt met de waardes die we eerder gevonden hadden.

C. Omdat je deelt door een getal dat steeds dichter bij nul komt, nadert de waarde van γ oneindig.

D. Volgens formule (3) heeft een voorwerp met massa dat met de lichtsnelheid reist oneindig veel energie. Omdat er maar een beperkte hoeveelheid energie is in het universum is reizen met de lichtsnelheid dus niet mogelijk.

De Praktijk blz. 6 van 21

6.

A, B, D, E, H: zie grafiek.

C. Gliese reist door de ruimtetijd. De beweging in de ruimte ten opzichte van de aarde is verwaarloosbaar, maar de "beweging" in de tijddimensie is dat niet. Gliese bevindt zich in de ruimtetijd dus niet op één plek, maar is een lijn.

D. De onderste doorgetrokken lijn in de grafiek.

E. De stippellijn in de grafiek.

F. De raket legt in 1 jaar 0,7 lichtjaar af. De tangens van de hoek die de lijn met de verticale as maakt is dus 0,7. We vinden dat de hoek gelijk is aan ongeveer 35 graden. De leerling mag deze hoek ook meten in plaats van berekenen. Het licht legt in 1 jaar 1 lichtjaar af; de hoek die de lijn met de verticale as maakt is dus exact 45 graden.

G. Om dat te doen zou je sneller moeten reizen dan het licht. Dit is niet mogelijk, zoals we in opdracht 5D gezien hebben. Je kunt dus niet naar dit gebied in de ruimtetijd toe reizen. Om verwarring te voorkomen: dit betekent niet dat bepaalde plaatsen in het heelal niet bereikbaar zijn; het betekent alleen dat we die plaatsen niet vóór een

De Praktijk blz. 7 van 21

bepaald tijdstip kunnen bereiken - met andere woorden, dat bepaalde gebeurtenissen in het heelal niet bereikbaar zijn.

H. De bovenste doorgetrokken lijn in de grafiek. De raket is in het referentiestelsel van de aarde ongeveer 64 jaar onderweg geweest.

I. Bijvoorbeeld: In het referentiestelsel van de bewegende raket ben ik 64 jaar / γ = 64/1,4 = 46 jaar onderweg geweest. Ik ben dus net binnen mijn levensloop weer terug. Ik had dit niet verwacht, omdat ik in het aardse referentiestelsel veel langer onderweg ben geweest.

7.

A, B, C: zie grafiek

D. 5 en 7 lichtjaar. Omrekenen in (kilo)meters mag, maar het gebruik van lichtseconden en lichtjaren in de relativiteitstheorie maakt het rekenwerk en het verkrijgen van inzicht vaak veel eenvoudiger.

E. Voor een snelheid van 0,5 c is γ gelijk aan 1,2 en voor 0,7 c aan 1,4. Dat betekent dus dat er in deze referentiestelsels respectievelijk 10/1,2 = 8,3 jaar en 10/1,4 = 7,1 jaar is verstreken.

F. Het linker assenstelsel hoort bij de reis met 0,7 c en het rechter assenstelsel hoort bij de reis met 0,5 c. Dit kun je zien aan de hoek die de t'-as van de nieuwe assenstelsels maakt met de oude t-as: in 10 jaar is 7 resp. 5 lichtjaar afgelegd. Daarnaast kun je het zien aan de tijdsdilatatie die optreedt, aangezien punten op de t'-as een factor γ hoger liggen dan de overeenkomstige punten op de t-as.

De Praktijk blz. 8 van 21

G. Het onderstaande antwoord geldt voor het linker assenstelsel. Als de leerling in vraag F de assenstelsels heeft verwisseld, moet de lijn parallel lopen aan de t'-as van die ruimtetijd, en door het punt (0,-1/2) gaan.

H. De lichtlijn is ook in het nieuwe coördinatenstelsel "diagonaal" - dat wil zeggen: de lichtlijn gaat ook door de punten (x',t') = (1,1), enzovoort. Ook de bewegende waarnemer meet dus dat de snelheid van het licht c is.

I. De schaal van de assen volgt uit Lorentzfactor γ. De punten op de t'-as met een bepaalde t'-coördinaat moeten vanwege tijdsdilatatie namelijk een factor γ hoger liggen dan de overeenkomstige punten op de t-as. Zoals we in onderdeel H gezien hebben kunnen we vervolgens op de x'-as de coördinaatafstanden even groot maken om te zorgen dat het licht ook in de nieuwe coördinaten "diagonaal" beweegt.

J. De t'-as geeft aan hoe de tijd verloopt, gezien vanuit de raket. Deze as zelf moet dus de reis volgen van de raket. De hoek van de t'-as wordt dus bepaald door de snelheid van de raket; de tangens van die hoek is (zie ook onderdeel 6F) de snelheid van de raket uitgedrukt als fractie van c. Daarnaast moet een lichtstraal in beide stelsels een "diagonale" baan beschrijven. De hoek die de x'-as maakt met de x-as is dus gelijk aan de hoek die de t'-as maakt met de t-as.

De Praktijk blz. 9 van 21

8.

A. Als de voorspelling was dat deze barrière binnenkort gebroken zou worden is de voorspelling niet realistisch geweest. De effecten van de relativiteitstheorie beperken de snelheid die je kunt halen op een veel sterkere manier dan in de klassieke natuurkunde het geval is.

B. Gezien de beperking die formule (3) oplegt zou er beter (kinetische) energie op deze as kunnen staan.

Beschrijving

De module Kepler 22b is de tweede module uit de serie van drie. Vanuit het in de vorige module opgebouwde begrip over tijdsdilatatie en ruimtetijd worden in deze module de begrippen lengtecontractie en relativiteit van gelijktijdigheid uitgelegd. Ook hier bestaat de context uit een ruimtereis, alleen gaat deze naar een verder weg gelegen planeet die rond de ster Kepler 22 draait.

Leerdoelen

De leerling

heeft een kwalitatief begrip van de waarnemerafhankelijke rol die gelijktijdigheid speelt binnen de relativiteitstheorie;

heeft een kwantitatief begrip van lengtecontractie voor eenparig rechtlijnig bewegende voorwerpen.

Lesduur

Deze module is door een 5 of 6 vwo-klas in 4 uur uit te voeren. Eventueel kan daar nog huiswerk bij horen.

Voorbereiding en aanwijzingen

Opdracht 1: Het gaat er hierbij vooral om de discussie tussen leerlingen op gang te krijgen. Het is dus niet heel belangrijk dat het resultaat van de discussie juist is, maar wel dat de leerlingen nadenken over wat er zou kunnen gebeuren.

Opdracht 3G: In deze opdracht wordt veel van de leerlingen gevraagd aan inzicht en begrip. De slimmere leerlingen kunnen hier waarschijnlijk goed mee omgaan en kunnen de extra uitdaging waarderen. Het verdient aanbeveling om de zwakkere leerlingen wat te helpen bij het maken van deze opgave. Eventueel kan na enige tijd wat uitleg op het bord gegeven worden over gelijktijdigheid.

Opdracht 5 en 6: In opdrachten 5 en 6 worden geen nieuwe begrippen meer geïntroduceerd. Deze opdrachten dienen ervoor om alle nieuwe begrippen uit deze en de vorige module nog een keer terug te laten komen. Als de leerlingen meer tijd nodig hebben dan verwacht voor de

De Praktijk blz. 10 van 21

eerste 4 opgaven kunt u overwegen om opdracht 5 en/of 6 als huiswerk mee te geven of helemaal over te slaan.

Antwoorden

1.

A. Zoals ook eerder vermeld gaat het vooral om discussie. Enkele mogelijke antwoorden zijn:

Het duurt heel lang voor je een snelheid van 0,99 c bereikt, want het lichaam kan geen extreem grote versnelling aan.

Als je een raket zou willen gebruiken moet je enorm veel brandstof meenemen.

Zelfs kleine stofdeeltjes die tegen je opbotsen hebben bij een snelheid van 0,99 c een enorm grote kinetische energie en kunnen dus erg schadelijk zijn.

B. Kepler 22 ligt op 620 lichtjaar. Als je met 0,99 c reist heeft de Lorentzfactor γ een waarde van 7,1, dus is de verstreken tijd als je heen en weer reist 620 ∙ 2 ∙ 1/0,99 ∙ 1/7,1 jaar = 177 jaar. Je kunt dus niet binnen een mensenleven heen en weer.

2.

A. We berekenen hoe ver een muon reist in 2,2 · 10-6 s met 0,999 c:

0,999 · 3,0 · 105 km/s · 2,2 · 10-6 s = 660 m.

B. Een muon zou, als we geen rekening houden met relativistische effecten, het aardoppervlak niet bereiken als het daarvoor in 2,2 · 10-6 seconde een afstand van 15km moet overbruggen. (Het geven van het relativistische antwoord, "door lengtecontractie/tijdsdilatatie bereikt het muon het aardoppervlak wel" is ook juist, maar niet te verwachten.)

C. Door zijn snelheid lijkt de klok van het muon anders te lopen: vanuit ons gezien loopt deze klok veel langzamer. Het muon zal dus een grotere afstand afleggen dan we in onderdeel A berekend hebben. Bovendien is 2,2 · 10-6 seconden een gemiddelde levensduur: sommige muonen vervallen sneller, anderen minder snel. Daarom zullen sommige van de muonen waarschijnlijk wel de aarde kunnen bereiken.

D. Voor een snelheid van 0,999 c is de waarde van γ gelijk aan 22,4. Door deze waarde en die van Δtr in te vullen in formule (1) vinden we dat de vervaltijd van het muon voor een aardse waarnemer gelijk is aan Δta = 4,9 · 10-5 s.

E. Door tijdsdilatatie heeft het muon een langere levensduur dan in het eigen referentiestelsel. Het gemiddelde muon zal zo'n 15km kunnen reizen voor het vervalt, dus een groot deel van de muonen zal de detector kunnen bereiken.

F. Afhankelijk van het inzicht van de leerlingen. Het juiste antwoord is dat de afstand die het muon moet overbruggen vanuit het eigen stelsel gezien kleiner is dan gezien vanaf de waarnemer op aarde, zodat het in de korte vervaltijd toch de aarde kan bereiken. Dit verschijnsel heet lengtecontractie.

G. We weten dat de waarde van γ altijd groter is dan 1, en we weten dat de lengte geobserveerd vanaf de aarde groter is dan die vanuit het muon. Formule (3) moet dus

De Praktijk blz. 11 van 21

de juiste zijn. Een meer kwantitatieve redenering: om het muon in zijn eigen referentiekader dezelfde plek te laten bereiken als in het aardse referentiekader, moet de afgelegde afstand met dezelfde factor korter worden als de tijd die het muon heeft om die plek te bereiken.

H. In Binas staat de formule:

Die komt na het substitueren van de juiste variabelen inderdaad overeen met formule (3).

3.

A. De raket is door de lengtecontractie een stuk korter gezien vanuit het tolpoortje. Hij zal dus waarschijnlijk in het tolpoortje passen, betalen en gewoon door kunnen vliegen.

B. De raket moet gezien vanuit het tolpoortje korter zijn dan in het eigen stelsel. We gebruiken dus de formule:

en berekenen: lt = 300/1,7 = 170 m.

C.

De Praktijk blz. 12 van 21

D. Door lengtecontractie is de lengte van de raket in het referentiestelsel van het tolpoortje korter en dus past de raket gemakkelijk in het poortje. Je komt er dus zonder schade doorheen.

E. Ook hier is het antwoord afhankelijk van het inzicht van de leerling. Een mogelijk antwoord: vanuit de raket gezien is het tolpoortje veel korter. De raket past niet in het tolpoortje omdat deze in het eigen referentiestelsel wel nog 300 m lang is.

We zullen verderop zien dat dit antwoord, hoewel voor de hand liggend, niet helemaal volledig is: de lengte van de raket is inderdaad groter dan die van het tolpoortje, maar door de verandering in het begrip "gelijktijdigheid" gaan de krachtvelden op verschillende momenten aan en uit, en komt de raket toch ongeschonden door het tolpoortje heen, net als in het andere referentiestelsel.

F. Het tolpoortje moet gezien vanuit de raket korter zijn dan in het eigen stelsel, we gebruiken dus de formule:

lt = 200/1,7 = 120 m. Dit is veel minder dan de lengte van de raket. In dit referentiestelsel past de raket dus niet in zijn geheel in het tolpoortje.

G. Wat we zien in de afbeelding zijn de verdraaide assen van de ruimtetijd zoals waargenomen door de raket. Bij gebeurtenis A komt de achterkant van de raket het tolpoortje binnen. Bij gebeurtenis B, die voor de waarnemer in het tolpoortje gelijktijdig is met A, wordt het voorste krachtveld uitgezet. Vervolgens verlaat de voorkant van de raket het tolpoortje (gebeurtenis C). Voor de waarnemer in de raket is de volgorde van de gebeurtenissen echter heel anders: eerst gebeurt B, dan C, en dan pas A. Niet alleen verschilt de afstand in ruimte van het aan- en uitgaan van de krachtvelden tussen de twee referentiestelsels (A en B), ook in de tijd zit er een andere afstand tussen - de gebeurtenissen zijn dus niet meer gelijktijdig. Wat er dus gebeurt is dat in het referentiestelsel van de raket het voorste krachtveld uit gaat voordat het achterste aan gaat. Op die manier kan de raket toch door het poortje, ondanks dat die te lang is om er op één moment helemaal in te passen.

Zoals de consistentie vereist komt de raket dus in beide referentiekaders ongeschonden door het tolpoortje - al is de interpretatie van de manier waarop dit gebeurt voor de twee waarnemers heel verschillend!

4.

A. Als de eenheid van de verticale as gegeven is in seconden, is de eenheid van de horizontale as de lichtseconde, aangezien het licht een hoek van 45 graden met beide assen maakt.

B. Vermenigvuldigen met de lichtsnelheid in meter per seconde. 1 lichtseconde is dus ongeveer 300.000.000 meter.

C. De assen van het referentiestelsel van de raket zijn gedraaid. De twee events liggen in het referentiestelsel van het tolpoortje op de horizontale d-as, en hebben dus dezelfde tijdcoördinaat, maar door de draaiing van de assen liggen ze in het referentiestelsel

De Praktijk blz. 13 van 21

van de raket niet op een lijn die parallel is aan de d'-as, en hebben dus niet dezelfde t'-coördinaat. Het uitschakelen van het achterste krachtveld heeft dus eerder plaatsgevonden dan het inschakelen van het voorste.

D. De relatieve snelheid is 0,8 c, t =0 en d =2 (x100 m). Dan is de waarde van d’= 3,3 en van t’= -2,7. Het voorste krachtveld wordt, vanuit de raket gezien, dus 2,7 seconden eerder uitgeschakeld dan het achterste krachtveld wordt ingeschakeld.

E. Omdat de tijdsassen in het referentiestelsel van de raket zijn gedraaid ten opzichte van de assen in het stelsel van het tolpoortje zien tijd en ruimte er niet hetzelfde uit voor beide waarnemers. Het tweede krachtveld is dus al op tr=-2,6 s uit het pad van de raket, zodat deze vrije doorgang heeft als hij op de locatie van dat krachtveld aankomt.

F.

G. In het referentiestelsel van het tolpoortje is de raket klein genoeg om niet geraakt te worden, en in het referentiestelsel van de raket kruisen de krachtvelden van het tolpoortje niet tegelijk het pad van de raket - het achterste krachtveld wordt uitgezet voor het voorste wordt aangezet, en daarmee ook voordat de voorkant van de raket dit veld bereikt. In beide stelsels is de raket dus veilig.

De Praktijk blz. 14 van 21

5.

A, D, H: zie grafiek

A. Zie 1B: de reis duurde in het ruimteschip 177 jaar; voor de mensen op aarde duurde de reis 1252 jaar. Om de grafiek te tekenen kunnen we dus het beste eenheden langs de assen van 100 jaar en 100 lichtjaar gebruiken.

B. Voor de mensen op aarde was de afgelegde afstand 2 ∙ 620 = 1240 lichtjaar. Voor de mensen in het ruimteschip is deze afstand een factor γ korter, en dus gelijk aan 1240/7,1 = 175 lichtjaar.

C. De tijden worden met een factor γ langer. De berichten vertrekken dus om de 71 (aardse) jaren naar de aarde.

E. De raket legt 0,99 · 71 = 70 lichtjaar af.

F. De berichten die verstuurd zijn, vertrekken iedere tien jaar, dat is dus iedere 71 aardse jaren. In de tussenliggende tien jaar is het ruimteschip echter ook verder weg gereisd.

De Praktijk blz. 15 van 21

We weten uit opdracht E dat er 70 jaar bij de reistijd van een bericht opgeteld moet worden om de reistijd van het volgende bericht te krijgen. De berichten op de heenweg komen dus iedere 141 jaar aan. In die tijd hebben de mensen op aarde het schip 70 lichtjaar zien reizen. De schijnbare snelheid is dus 0,50 c.

Op de terugweg zit er veel minder tijd tussen het ontvangen van twee berichten, omdat het ruimteschip nu met de berichten meereist. Dezelfde berekening als hierboven laat zien dat er op de terugweg maar 0,71 jaar zit tussen de ontvangst van twee berichten - oftewel, maar ongeveer 285 dagen. In deze tijd zien de mensen op aarde je weer 70 lichtjaar reizen. De schijnbare snelheid op de terugreis is dus 70 lichtjaar/0,71 jaar = 99 c.

G. In de tijd dat het licht naar de aarde reist, heeft het ruimteschip zelf ook een flinke afstand afgelegd. Het volgende "plaatje van de film" komt dus vertraagd of versneld aan. Het waargenomen verschil in snelheid is dus niet een echt relativistisch effect, maar een bijkomend schijnbaar effect. Het is van belang dat de leerling het samenspel van deze effecten inziet en de twee verschijnselen niet verwart. Als we de raket direct waarnemen ("naar de film kijken") zien we die enorm versneld of vertraagd bewegen, afhankelijk van of de raket naar ons toe of van ons af beweegt. Als we vervolgens rekening houden met de tijd die de beelden onderweg zijn geweest, en de waargenomen gebeurtenissen terugrekenen naar hun daadwerkelijke locatie en tijd in ons referentiekader, zien we het échte relativistische effect van tijdsdilatatie: ook dan lijkt de tijd in de raket dus langzamer te lopen (met een factor γ, en onafhankelijk van de richting van de raket) dan die op aarde.

I. Vanaf de aarde lijkt het alsof de twee ruimteschepen een onderlinge snelheid hebben van 0,60+0,99=1,59 c. Let op: we hebben het hier over het verschil in de echte snelheden; het schijn-effect uit opgave G is hier dus niet meegerekend. Het feit dat de onderlinge snelheid groter is dan c is niet in tegenspraak met de relativiteitstheorie: die zegt alleen dat een snelheid ten opzichte van een waarnemer niet groter kan zijn dan c. Een onderlinge snelheid tussen twee objecten kan voor een waarnemer dus oplopen tot ten hoogste 2 c.

J. De onderlinge snelheid zoals waargenomen uit de raketten zelf is volgens de formule uit Binas:

In termen van c krijgen we dus de volgende uitkomst: w = (0,99 + 0,60)/(1+0,60 · 0,99)=0,997 c. Deze uitkomst is inderdaad weer kleiner dan c.

6. Deze opgave is bedoeld om de leerling voor zichzelf de geleerde begrippen te laten samenvatten. Let erop dat de punten die in de opgave genoemd worden in het verslag terugkomen.

De Praktijk blz. 16 van 21

Beschrijving

In de laatste module van deze lessenserie zien de leerlingen een wetenschappelijke toepassing van de (algemene) relativiteitstheorie: Einsteinringen. Ze maken kennis met Leon Koopmans, een hoogleraar in Groningen die onderzoek doet naar dit verschijnsel. In navolging van zijn onderzoek leren ze zelf hoe Einsteinringen werken en hoe eraan gerekend kan worden.

Leerdoelen

De leerling

heeft een kwalitatief begrip van de buiging van ruimtetijd door zwaartekracht;

begrijpt hoe buiging van ruimte kan leiden tot gravitatielensvorming.

Lesduur

Deze module kan door een 5 of 6 vwo-klas in 2 lesuur uitgevoerd worden.

Voorbereiding en aanwijzingen

Bij deze module zijn een aantal eenvoudige hulpmiddelen nodig voor kleine practica:

- een ballon per leerling;

- een aantal wijnglazen met een lange voet (kunnen door meerdere leerlingen gedeeld worden);

- viltstiften.

Als u de module voor de leerlingen afdrukt, verdient het de sterke aanbeveling om de module in kleur af te drukken om de afbeelding van de zwaartekrachtslens goed weer te geven.

Opdracht 1: Dit is de afsluiting van het klassikale gedeelte. Het gaat er niet per se om dat leerlingen tot de goede conclusies komen, maar wel dat ze alvast nadenken over wat er gebeurt. In de volgende opdracht ontdekken de leerlingen wat er precies aan de hand is.

Opdracht 2D: Als leerlingen moeite hebben met deze opdracht, kunt u bijvoorbeeld een animatie gebruiken om wat meer duidelijkheid te scheppen. Een voorbeeld vindt u op http://www.quantumuniverse.nl/snellius. Leerlingen kunnen dan aan de hand van deze animatie uitleggen waardoor licht breekt als het van snelheid verandert.

Opdracht 4D: In deze opdracht zien leerlingen wat de invloed van gekromde ruimtetijd is op het pad van een lichtstraal langs een zware massa. Het is voor het begrip van de leerlingen erg belangrijk dat ze deze opdracht goed uitvoeren. Daarom kunt u het best de leerlingen helpen of eventueel klassikaal voordoen hoe deze opdracht uitgevoerd zou moeten worden.

Antwoorden

1. Zie de opmerkingen hierboven.

De Praktijk blz. 17 van 21

2.

A. Nvt.

B. Ook in figuur 1 ontstaat een vervormd beeld van het achterste sterrenstelsel. In figuur 1 neemt het voorste stelsel de plek in van het wijnglas, omdat dit stelsel zorgt voor de vervorming van ons beeld van het achterste sterrenstelsel.

C. De brekingswet van Snellius luidt:

In deze formule staat i voor de hoek tussen de invallende lichtstraal en de richting loodrecht op de lens (de normaal), terwijl r staat voor de hoek tussen de uitgaande lichtstraal en de normaal. Daarnaast zijn n1 en n2 de brekingsindices van lucht en van het materiaal van de lens, respectievelijk. In een tekening ziet dit er als volgt uit:

D. Als golven onder een hoek afgeremd worden, verandert ook hun voorplantingsrichting. De reden hiervoor is dat de golffronten (toppen van opeenvolgende golven) bij een lagere snelheid dichter bij elkaar komen te liggen. Dit is alleen mogelijk als de golffronten in het medium met de lagere snelheid een kleinere hoek met het grensvlak maken dan in het medium met de hogere snelheid. De voortplantingsrichting van het licht staat loodrecht op de golffronten; dit leidt tot de breking in de voortplantingsrichting.

Opmerking: leerlingen zouden verward kunnen raken over de vraag hoe het licht in verschillende media verschillende snelheden kan hebben, terwijl ze net geleerd hebben dat alle waarnemers dezelfde lichtsnelheid meten. De reden dat dit geen tegenspraak is, is dat het relativiteitsbeginsel zoals dat geformuleerd is alleen geldt in vacuüm: daar meet elke waarnemer dezelfde lichtsnelheid. De aanwezigheid van een medium zoals glas, water of diamant kan de elektromagnetische golven van het licht wel "afremmen" tot snelheden beneden de 300.000 km/s.

De Praktijk blz. 18 van 21

E. De lenzenformule luidt:

Hierin is b de beeldafstand, v de voorwerpsafstand en f de brandpunts- of focusafstand.

F. We weten dat de voor de tangens geldt dat:

en voor de kleine hoeken waar we in de kosmologie mee te maken hebben geldt dus dat:

In het geval van de aangegeven hoeken is de overstaande zijde de verticale afstand die de lichtstraal aflegt voordat deze bij de lens komt, en de aanliggende zijden zijn de variabelen b, v en f in de lenzenformule. Als we dit voor α, β en γ invullen in de bovenstaande uitdrukking vinden we dat:

Als we dit allemaal invullen in de lenzenformule vinden we formule (2).

Overigens zijn in de afbeelding hoek β en γ gelijk. Toch willen we in formule (2) verschillende hoeken schrijven, omdat we de analogie met formule (4) willen maken,

waar α2 en niet noodzakelijk gelijk zijn.

G. Het is bij deze opgave en (met name) de volgende belangrijk dat de leerlingen nauwkeurig meten. Voor de verhouding van brekingsindices vinden we sin(16,5)/sin(45) = 1/2,4, wat klopt met de wet van Snellius.

H. In het eerste geval legt het licht 5 cm door diamant af, en 6,8 cm door lucht, en doet hier 18,8 · 10-2/c seconden over. (Gebruik dat de lichtsnelheid in lucht vrijwel gelijk is aan die in vacuüm, c, en de lichtsnelheid in diamant 2,4 maal zo laag.) In het tweede geval legt het licht 5,75 cm door diamant af en 5,75 cm door lucht en doet hier 19,6 · 10-

2/c seconden over. Het licht "kiest" dus voor de snelste weg! We zullen later zien dat precies hetzelfde geldt voor zwaartekrachtslenzen.

De Praktijk blz. 19 van 21

I. De formule voor zwaartekracht hangt af van de afstand tussen de twee massa’s. Hoe groter de afstand, hoe kleiner de zwaartekracht. Dit zal dus waarschijnlijk ook gelden voor de lenswerking als functie van de afstand. We zien dit inderdaad terug in de lenswerking van het stelsel, die sterk lijkt op die van het wijnglas. Door deze werking ontstaan de Einsteinringen.

3. Ondanks het feit dat licht geen massa heeft, kan het toch worden afgebogen door de zwaartekracht. Als dit niet zo zou zijn, kon je door de baan van een lichtstraal te bekijken toch het verschil bepalen tussen een versneld systeem en zwaartekracht: als de lichtstraal wel lijkt af te buigen zou het om versnelling van de waarnemer gaan; als deze niet afbuigt om een zwaartekrachtspotentiaal.

4.

A.

B. Door de ballon in te drukken, komt er een kuil in. Dit is vergelijkbaar met wat zware objecten doen met de ruimtetijd.

C. De lichtstraal lijkt geen recht pad meer te volgens, maar gaat met een bocht. Doordat het rechte pad ingedrukt wordt, verandert de vorm van het pad van de lichtstraal.

D. Er is nu het omgekeerde aan de hand als in de vorige opdracht. De lichtstraal lijkt rechtdoor te gaan als de ballon ingedrukt wordt, maar als hij weer uitdeukt, en de invloed van de zwaartekracht dus niet meer geldt, volgt het licht geen recht pad meer. Blijkbaar is het begrip "rechtdoor" dus afhankelijk van de kromming van de ruimtetijd.

E.

F. Het licht zal, zoals we in de proef met de ballon hebben gezien, een langere weg afleggen en dus langer onderweg zijn als de ruimtetijd tussen twee punten sterker gebogen is. Om de snelste weg te nemen, zal het licht dus op een afstand langs het midden van het stelsel moeten gaan, omdat vlak bij het stelsel de uitgerekte ruimtetijd zorgt voor veel vertraging. Dit lijkt sterk op wat gebeurt als je een glazen lens gebruikt om licht af te buigen: ook in het geval van zwaartekrachtlenzen kiest het licht de snelste weg.

De Praktijk blz. 20 van 21

5.

A. Als we de waarde van α2 uit formule (3) invullen in formule (4) vinden we dat

Als we vervolgens delen door Ds en de tweede term naar de andere kant verplaatsen houden we over dat:

B. Als we de waarde voor de impactparameter invullen vinden we dat

C. De hoek β is nu gelijk aan 0. Dit is de hoek tussen de lijn van de aarde naar het voorste stelsel en de lijn van de aarde naar het achterste stelsel. Als de stelsels op een lijn staan, is deze hoek dus 0.

D.

E. Als we β gelijk stellen aan 0 krijgen we:

Beide zijden vermenigvuldigen met levert:

en dus krijgen we een uitdrukking voor 2 door de tweede term naar de andere kant te halen:

6.

A. Volgens Binas is een parsec 3,0857 · 1016 m. Dat wil dus zeggen dat een kiloparsec gelijk is aan 3,0857 ∙ 1019 m. Een zonsmassa is gelijk aan 1,989 ∙ 1030 kg.

B. Een boogseconde kan 60 · 60 keer in een graad. Dat betekent dus dat een boogseconde 1/3600e graad is.

De Praktijk blz. 21 van 21

7. Allereerst moeten we formule (7) omschrijven zodat het een uitdrukking voor M wordt. We kwadrateren beide zijden en lossen we op voor M:

Als we op de afbeelding meten wat de Einsteinstraal van het stelsel is, komen we uit op ~2 bs. Verder kunnen we eenvoudig uitrekenen dat D=1,7 Gpc. Invullen levert: M = (2)2 · 1,7 Gpc/10 kpc · 106 Mzon = 6,8 · 1011 Mzon = 1,4 · 1042 kg. Ter vergelijking: de massa van ons eigen Melkwegstelsel wordt geschat op zo'n 1-1,5 · 1012 zonsmassa.

Opmerking: onderzoekende leerlingen zouden zich kunnen afvragen waarom Dd + Dds niet gelijk is aan Ds. terwijl het lenzende stelsel en het andere stelsel toch vrijwel op een rechte lijn staan. Het antwoord is gecompliceerd, maar heeft te maken met het feit dat het definiëren van een "afstand" tussen twee objecten in een uitdijende ruimtetijd niet eenvoudig is. Kosmologen gebruiken de zogenoemde "hoekafstand", die gedefinieerd is als de afstand in een vlakke ruimte waarop we het betreffende object onder de waargenomen hoek zouden zien. Dit is een handige maat om mee te werken, maar helaas voldoet deze definitie van afstand in een uitdijend heelal niet aan eenvoudige rekenregels zoals de bovenstaande.