Onmogelijke figuren

Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre

Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde

Vierkant voor WiskundeZomerkamp A 2010

Voorwoord

Je hebt vast wel eens een stripboek gelezen. In een stripboek wordt met getekende plaatjesgeprobeerd een wereld weer te geven die echt lijkt, maar in deze getekende plaatjes kunnendingen die in de echte wereld niet kunnen. Je hebt in stripboeken bijvoorbeeld pratende eendenen vliegende superhelden. In dit kampprogramma krijg je ook veel plaatjes te zien. Van dezeplaatjes wordt in je hoofd een beeld gemaakt dat net zo echt lijkt als beelden van de echte wereld,maar zijn deze wiskundige beelden wel echt? Of zijn ze net zo nep als de vliegende superman?

Oh ja, het is de bedoeling dat je alle antwoorden en mooie tekeningen in je schrift zet. Dan hebje namelijk net zoveel ruimte als je zelf wilt.

Uitleg van de gebruikte symbolen:

In de kantlijn staat een aantal speciale symbolen. Deze hebben de volgende betekenis:

staat voor een praktische opdracht.$

Inhoudsopgave

1 De onmogelijke driebalk 1

1.1 Het kan echt! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Rekenen aan de onmogelijke driebalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Tekenen van onmogelijke driebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 De eerste puzzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Onmogelijke veelbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Kubussen 8

2.1 Gekke lijntjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Gekke hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 De tweede puzzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Trappen 12

4 Vreemde figuren 15

5 De derde puzzel 17

Hoofdstuk 1

De onmogelijke driebalkHier is een boekje vol onmogelijke figuren, onmogelijk en toch kun je ze zien. Als je goed kunttekenen, kun je namelijk op papier dingen maken die net echt lijken. Het lijkt alsof je in detekening kunt stappen en erin rond kunt lopen, terwijl dat natuurlijk niet kan, het is maar eentekening. Als je een onmogelijke figuur tekent is dat heel belangrijk: je kunt niet in een tekeningrondlopen.

Het is de bedoeling dat jij onmogelijke figuren gaat maken. Hoe dat moet kun je ontdekken doorbij de onmogelijke driebalk te beginnen.

Kijk maar eens goed naar deze onmogelijke driebalk. Alle balken maken een rechte hoek metelkaar, dat noemen we loodrecht. Denk maar aan een tafelpoot: die staat ook loodrecht op degrond. Zoals je ziet heb je onderaan de grondbalk. Aan de rechterkant zie je een balk die schuinnaar voren steekt, terwijl aan de linkerkant een balk schuin naar achteren loopt.

Opgave 1.1Kunnen deze balken dan bij elkaar komen?

1

2 De onmogelijke driebalk

Zoals je ziet kan het in het echt niet!

Toch lijkt het te kloppen. Deze puzzelstukjes lijken dan ook precies in elkaar te passen.

Met de drie losse balkjes is niets aan de hand. Elke timmerman of handige doe-het-zelver kanvan die balkjes maken. Ook elke aparte verbinding is in orde. Bedek de rest van het plaatje maarmet het losse blad. Controleer of dit in orde is.

De onmogelijke driebalk 3

1.1 Het kan echt!

Bij een tekening hoef je niet bij de bestaande wereld te blijven, maar een foto is echt, een foto iseen bewijs dat iets bestaat. Hier een foto van een onmogelijke driebalk:

Hoe kan dat nou? Dit is geen trucagefoto. Maar als je van deze “onmogelijke driebalk” een fotomaakt voor de spiegel, zie je hoe het zit.

De getekende onmogelijke driebalk kan toch bestaan. Tenminste, als je er op de juiste maniernaar kijkt. Als je op een bepaalde plek gaat staan, lijken de balkjes elkaar te raken en lijkt hetalsof de onmogelijke driebalk echt bestaat. Kom je echter dichterbij, dan blijkt het allemaal

4 De onmogelijke driebalk

gezichtsbedrog! Net zoals Superman in de film ook niet echt vliegt, maar aan touwtjes hangt. Detouwtjes zie je alleen niet vanuit de plaats waar de filmcamera staat.

Onze hersenen houden ons voor de gek. Onze hersenen doen net alsof je wel in de tekeningkunt rondlopen en maken er een driedimensionaal plaatje van, net zo echt als een boom buitenin de echte wereld. De totale driebalk is onmogelijk te maken en toch kun je je die voorstellen.Vanuit een bepaald punt kun je door een paar balkjes slim neer te zetten zelfs een foto van eenonmogelijke driebalk maken. Maar je kunt nog veel meer raars met de onmogelijke driebalk. Hijkan niet echt bestaan, maar je kunt uitrekenen hoeveel hout je nodig hebt om hem te bouwen enhoeveel verf je nodig hebt om hem te beschilderen.

1.2 Rekenen aan de onmogelijke driebalk

Zoals je ziet is deze onmogelijke driebalk opgebouwd uit kubusjes:

Opgave 1.2De timmerman Arnoud wil een onmogelijke driebalk maken. Hoeveel houten kubusjes moet hijdaarvoor kopen?

De onmogelijke driebalk 5

Opgave 1.3Arnoud wil de onmogelijke driebalk versieren met mooie bloemetjesstickers. Een bloemetjes-sticker past precies op een zijkant van een blokje. Hoeveel bloemetjesstickers heeft hij nodig?

1.3 Tekenen van onmogelijke driebalken

Opgave 1.4Teken een onmogelijke driebalk waarbij de rechterbalk schuin naar voren en omhoog loopt en delinkerbalk schuin naar achteren (zoals het eerste plaatje).

Opgave 1.5Teken het spiegelbeeld van je vorige onmogelijke driebalk. Dus zo dat de linkerbalk schuin naarvoren en omhoog loopt en de rechterbalk schuin naar achteren.

Als je meerdere driebalken combineert, kun je heel mooie tekeningen krijgen. Bijvoorbeeld bijde waterval van Escher (een beroemde kunstenaar die heel veel wiskunde in zijn tekeningenstopte).

Opgave 1.6Geef in deze tekening de onmogelijke driebalken aan:

6 De onmogelijke driebalk

1.4 De eerste puzzel

Je hebt nu een paar voorbeelden gezien van onmogelijke figuren. Met de puzzelstukjes op werk-blad 1 kun je ook zulke onmogelijke figuren maken.

$ Opgave 1.7Knip de puzzelstukjes van werkblad 1 uit. Probeer de onmogelijke driebalk te maken. Op hoeveelverschillende manieren kan dat? Teken deze vondsten ook na, of plak ze in je schrift.

1.5 Onmogelijke veelbalken

In tegenstelling tot mogelijke driebalken bestaan er wel mogelijke vierbalken.

Als je onmogelijke driebalken kunt maken, kun je misschien ook wel onmogelijke vierbalkenmaken. Dit kan bijvoorbeeld door een onmogelijke driebalk uit te rekken.

Net zoals je een onmogelijke vierbalk kunt maken kan dat ook bij figuren met meerdere hoeken,of bij een cirkel.

De onmogelijke driebalk 7

Opgave 1.8Geef in de volgende figuren de verschillende vlakken een verschillende kleur, op dezelfde manierals de driebalk bij opgave 1.1.

Opgave 1.9Wat valt je nu op aan de figuren?

Hoofdstuk 2

Kubussen

2.1 Gekke lijntjes

Hierboven is een kubus getekend, zie je dat? De kubus is getekend met alleen maar lijntjes. Dezelijntjes van de kubus worden ook wel de ribben van de kubus genoemd. De kubus is heel simpelgetekend, en ook niet helemaal duidelijk. Je ziet linksonder een vierkant en rechtsboven ook.Van deze twee vlakken weet je niet welke de voorste is.

Opgave 2.1Probeer de kubus op zo’n manier tekenen dat je wel kunt zien welk vlak het voorste is.

Hebben je buren op dezelfde manier als jij aangegeven welk vlak het voorste is? Het kan dat zijhet anders gedaan hebben. Er zijn namelijk meerdere manieren om aan te geven welk vlak hetvoorste is. Hieronder staat een mogelijkheid.

8

Kubussen 9

Door nu een heel klein verschil hierin te maken, heb je al een onmogelijke kubus:

Kijk maar eens goed.

2.2 Gekke hoeken

En jawel, er zijn nog meer manieren om onmogelijke kubussen te maken. Vanaf hier tekenenwe de ribben van de kubus niet meer als lijntjes, maar op dezelfde manier als bij de onmogelijkedriehoeken.

Eerst nog even een plaatje van een mogelijke kubus. Eigenlijk moeten we dit geen kubus noemen,maar een kratje. Een mogelijk kratje dus.

Door de hoeken anders te tekenen, kun je ook een onmogelijk kratje krijgen. Je zou bijvoorbeeldde bovenste hoek anders kunnen tekenen, namelijk zo:

10 Kubussen

Opgave 2.2Probeer eens of je in het kratje hieronder de hoeken zo kunt tekenen dat hij niet meer klopt.

En er is nog een manier om een kratje onmogelijk te tekenen. Je kunt namelijk ook de ribbenvan achter naar voor laten lopen zoals hieronder:

Kubussen 11

2.3 De tweede puzzel

Met de puzzelstukjes op werkblad 2 kun je nog veel ingewikkeldere onmogelijke figuren maken,bijvoorbeeld de onmogelijke kratjes. Van deze onmogelijke kratjes heb je ook al voorbeeldengezien. Het bekendste voorbeeld is het gekke kratje van Escher (dat hiervoor staat).

De puzzelstukjes waarmee we gaan bouwen, hebben de vorm van een regelmatige zeshoek enbevatten balken met aansluitpunten op twee of meer zijden van deze zeshoek. Hier zie je eenvoorbeeld van een onmogelijk figuur die daarmee kunt maken.

Je kunt die stukjes op een heleboel verschillende manieren aan elkaar vastleggen. Op het werk-blad staan 32 stukjes. Daar kun je heel veel figuren mee maken.

$ Opgave 2.3Knip de puzzelstukjes uit werkblad 2 uit. Probeer onmogelijke en mogelijke figuren te maken.Teken je mooiste vondsten na.

Hoofdstuk 3

Trappen

Dit is een plaatje van monniken die in een bijzonder klooster zitten.

Opgave 3.1Welke monnik staat het hoogst op de trap bovenop het klooster?

12

Trappen 13

Je ziet dat de monniken steeds naar boven of naar beneden kunnen blijven lopen, hoewel hetgebouw er normaal uit ziet. Op het balkon staat een andere monnik daarom erg verbaasd tekijken.

Ook bij trappen wil je hoofd graag dat je een echte trap ziet. Als je een trap ziet, bedenkt je hoofder daarom meteen een richting bij, zoals in het plaatje hieronder staat:

Dan krijg je dus dat je als je de trap in een bepaalde richting volgt, meteen ‘weet’ of hij omhoogof omlaag gaat. Maar af en toe kan dat niet met de werkelijkheid:

Kijk nu nog eens naar de tekening van Escher, het eerste plaatje van dit hoofdstuk.

Opgave 3.2Tel nu eens de traptreden. Is elk van de vier trappen even lang?

14 Trappen

Er is nog een voorbeeld van zo‘n onmogelijke trap, namelijk de volgende:

Opgave 3.3Wat valt je op aan dit plaatje?

Hoofdstuk 4

Vreemde figuren

Opgave 4.1Hoeveel tanden heeft deze vork?

Opgave 4.2Bedek de punten nu eens met je losse vel papier. Hoeveel tanden zou je nu verwachten?

Deze vork is een voorbeeld van verdwijnende materie. Door combinatie van twee onderdelenkrijg je een figuur dat niet echt kan. Kijk maar eens goed naar het volgende plaatje:

15

16 Vreemde figuren

Met het linkerblok A is niets aan de hand. Maar laten we nu eens naar blok B kijken. Beginnenwe onderaan, dan ziet het blok er gewoon uit. Kijken we nu omhoog, dan verdwijnt het blokgewoon in het niets. Blok B lijkt geen bovenkant te hebben. Maar als we langs blok C naarbeneden gaan, dan is er weer geen onderkant! En wat onderaan de voorkant is van blok D, isbovenaan de zijkant van blok C!

Wat is de truc van deze verdwijnende blokken? Doordat de blokken naast elkaar staan, hebbensommige lijnen een dubbelrol. Ze kunnen bij twee blokken tegelijk horen. Je krijgt dan eenprobleem als de lijn onderaan de tekening bij het ene blok hoort, maar bovenaan bij een anderblok. Daardoor ontstaat de onmogelijkheid. Een halve tekening is prima, maar de twee helftenpassen niet bij elkaar. Je hersenen laten zich foppen.

Hier nog een paar voorbeelden van dit soort onmogelijke figuren:

Opgave 4.3Teken nu zelf een onmogelijk figuur van dit type. Als je dit lastig vindt, kun je ook aan jebegeleider een papiertje met lijntjes vragen en samen met iemand anders uit jouw groepje zo’nfiguur tekenen. Dan tekent een van jullie de bovenkant, vouwt dit naar achter, en de andere kandan de onderkant tekenen zonder naar de bovenkant te kijken. Probeer maar eens!

Hoofdstuk 5

De derde puzzelJe hebt nu een heleboel voorbeelden gezien van onmogelijke figuren. De meeste van deze figurenwaren opgebouwd uit hoekpunten. Als je nu puzzelstukjes met verschillende hoekpunten aanelkaar legt, kun je zo een onmogelijk figuur bouwen. Deze laatste puzzel heeft de eenvoudigstestukjes, namelijk driehoekjes. Maar hiermee is het wel veel moeilijker om figuren te maken. Opde puzzelstukjes zie je stukjes balk. In het geval van een los puzzelstukje is dat niet te herkennen.Pas bij een aantal stukjes samen zie je balken ontstaan. De losse stukjes zijn zo slim gemaakt datje er prachtige figuren van kunt leggen. Hieronder zie je twee voorbeelden:

$ Opgave 5.1Knip de puzzelstukjes uit werkblad 3 uit. Maak de figuren van hierboven na. Probeer nu zelfonmogelijke en mogelijke figuren te maken. Teken je mooiste vondsten na.

17