Niet-lineair gedrag van MDOF impact systeem bijstochastische excitatiesCitation for published version (APA):Verhagen, T. C. P. (1998). Niet-lineair gedrag van MDOF impact systeem bij stochastische excitaties. (DCTrapporten; Vol. 1998.032). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date:Published: 01/01/1998

Document Version:Publisher’s PDF, also known as Version of Record (includes final page, issue and volume numbers)

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 02. Sep. 2020

Niet-lineair gedrag van MDOF impact systeem bij stochastische excitaties

T.C.P Verhagen Stageverslag WFW 98.032 Eindhoven, juli, 1996

Begeleiders: dr. ir. A. de Kraker ir. N. van de Wouw

Inhoudsopgave

Samenvatting 3

1 Inleiding 4 1.1 Indeling van het verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Modellering van het systeem 2.1 2.2 2.3 2.4

Het te modelleren systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Afleiding bewegingsvergeiijking van de eiastische balk met star uiteinde Experiment om eigenfrequenties en dimensieloze dempingsconstantes te bepalen Vergelijking berekende eigenfrequenties en eigenmodes met gemeten eigenfre-

. . .

quenties en eigenmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Invoeren van de demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Modellering elastische stop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 4DOF modellering van het totale systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Modellering naar 2DOF systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

10

12 12 13 15 15

3 Numerieke simulaties 17

17 3.1 Overzicht van de eigenschappen van de responsie op periodieke excitatie . . . 3.2 Bepaling integratieschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Stabiliteit en convergentie van de methode . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Stochastische responsie karakteristieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.5 Lineaire dimensieloze dempingsparameters voor de simulaties . . . . . . . . . 22 3.6 Resultaten numerieke simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6.1 0-200 Hz frequentieband excitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.6.2 23-43 Hz frequentieband excitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.6.3 56-76 Hz frequentieband excitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Experiment voor bepaling responsie van het systeem op een stochastische ex- citatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Conclusies en aanbevelingen 31 4.1 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Aanbevelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Bibliografie 32

1

A Rayleigh-Ritz 34 A.l De methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A.l . l 1DOF model van een balk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 A.1.2 Bepaling aantal benodigde vrijheidsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Samenvatting

In een vorig onderzoek zijn de stochastische niet-lineaire fenomenen van een niet-lineair balk systeem zowel numeriek als experimenteel onderzocht [van den Bosch, 19971 met behulp van een één graden van vrijheid (1DOF) model. In de experimentele resultaten kwam een mo- gelijke invloed van een tweede lineaire eigenfrequentie naar voren. Daarom werd dit model uitgebreid naar een twee graden van vrijheid (2DOF) model.

Dit werd gedaan met behulp van de methode van Rayleigh-Ritz en resulteerde in een viertal eerste orde dimensieloze differentiaalvergelijkingen die gebruikt konden worden bij simulaties. Voor het bepalen van de responsie van het systeem werd gebruik gemaakt van een tweede orde integratieschema waarbij de stabiliteit en convergentie gewaarborgd werden.

In het onderzoek werden drie verschillende stochastische bandexcitaties gebruikt om de systeemresponsie op stochastische excitatie te onderzoeken. Deze zijn: een 0-200 Hz band, een 23-43 Hz band rond de eerste harmonische resonantiepiek en een 56-76 Hz band rond de 1/2 subharmonische resonantie. Om een vergelijk t e kunnen maken tussen de reponsies voorspeld door het 1DOF en 2DOF model zijn de spectrale energiedichtheden vergeleken. Hieruit blijkt dat het 2DOF model de tweede resonantiepiek wel kan voorspellen en dat in het algemeen de voorspellingen voor de responsie van het 2DOF model beter zijn dan die van het 1DOF model.

Een belangrijke eigenschap van een niet-lineair systeem is da t de responsie op een Gaussi- sche excitatie zelf niet Gaussisch is. Een duidelijke manier om de niet-Gaussische eigenschap- pen van de responsie te visualiseren is aan de hand van de kansdichtheidsfunctie. Ook zijn een aantal statistische momenten van de gemeten en berekende (mbv het 1DOF en 2DOF model) responsie bepaald. Deze zijn: S , een schatter voor de standaard deviatie o van z en

een schatter voor het gemiddelde p van 5 en de schatters voor de skewness 7 en de kurtosis li;. Deze zijn weergegeven in dit verslag. Hieruit blijkt dat de responsie op de helft van de balk, w3 een meer Gaussische verdeling bevat dan op het uiteinde van de balk, w1. Dit komt overeen met de bevindingen van Roberts and Spanos [1990] die beschrijven dat wanneer een niet-Gaussisch signaal door een zwak gedempt systeem wordt geleid de responsie van dat signaal een meer Gaussische verdeling bevat.

Ook wordt er een link gelegd tussen de responsie van het systeem op periodieke excitatie en op stochastische excitatie.

3

Hoofdstuk 1

Inleiding

Niet-lineaire systemen die geëxciteerd worden door stochastische processen komen in de prak- tijk erg veel voor. Hierbij kan men denken aan aardbevingen die gebouwen belasten, veran- derende wind die een auto belast, golven van de zee die tegen een boot aan de kant beuken en de excitatie van mechanische apparaten ten gevolge van electrische ruis. Voor zwakke niet- lineaire systemen met een beperkt aantal graden van vrijheid, met een witte ruis excitatie en eenvoudige niet-iineairiteiten, kunnen er in de literatuur efficiënte procedures gevonden worden om de stochastische responsie eigenschappen te schatten. Voor sterke niet-lineaire systemen, met willekeurige ruis excitatie, is het echter alleen mogelijk om de responsie nauw- keurig te berekenen met behulp van numerieke integratie.

In dit verslag wordt een bepaald, sterk niet-lineair systeem onderzocht, zie figuur 1.1. Deze

Figuur 1.1: balk systeem met een elastische stop

figuur Iaat een bij de basis geëxciteerde balk zien met een elastische stop. De excitatie komt tot stand door een opgelegde verplaatsing. Systemen met een elastische stop (typisch voor- beeld van lokale niet-lineairiteit) representeren een groot aantal in de praktijk voorkomende niet-lineaire systemen. Voorbeelden zijn schepen die tegen de kant botsen en het ratelen van tandwielen. Ondanks het feit dat de niet-lineariteit lokaal is wordt het gehele systeem erdoor beïnvloed. Niet-lineaire fenomen van dit soort systemen zijn al uitgebreid onderzocht, zie Heertjes [1995],van den Bosch [1997],van de Wouw et al. [1998]. Wanneer stochastische excitaties dit niet-lineaire balk-systeem exciteren, worden er veel interessante, niet-lineaire responsie fenomenen zichtbaar. Deze fenomenen zijn met name interessant omdat ze inzicht kunnen geven in algemene karakteristieken van periodiek en stochastisch systeemgedrag. In

4

een vorig onderzoek zijn de stochastische niet-lineaire fenomenen van het niet-lineaire balk- systeem zowel numeriek als experimenteel onderzocht [van de Wouw et al., 19981. Hierbij werd slechts een één graad van vrijheid (1DOF) model gebruikt. In de experimentele resultaten kwam echter duidelijk naar voren da t de tweede lineaire eigenfrequentie (S125Hz) belangrijk kan zijn. In dit verslag zal dan ook het model uitgebreid worden naar een meer graden van vrijheid model. Hierna zullen voornamelijk de niet-lineaire fenomenen in de spectrale energie dichtheid besproken worden.

1.1 Indeling van het verslag

In het volgende hoofdstuk zal het dynamische systeem, en het daarvan afgeleide model, geïntroduceerd worden. Ook zullen de experimenten besproken worden die gebruikt zijn om het model te kunnen valideren.

In het derde hoofdstuk zullen de numerieke resultaten gepresenteerd worden en tegelijker- tijd vergeleken worden met die van het al eerder ontwikkelde 1DOF model en met de gemeten responsie van het systeem, bepaald met de experimenten.

In het vierde en laatste hoofdstuk zullen de belangrijkste conclusies besproken worden en aanbevelingen voor verder onderzoek gegeven worden.

5

Hoofdstuk 2

Modellering van het systeem

2.1 Het te modelleren systeem

Star frame

YO

Figuur 2.1: Het te modelleren systeem

Het te modelleren systeem bestaat uit een roestvrijstalen balk met aan het uiteinde bevestigt: een halve teflon bol eronder en een versnellingsopnemer erop, zie figuur (2.1). De twee extra onderdelen verhogen de stijfheid van de balk aan het uiteinde en de plaats van contact is op de helft van het starre deel. De balk zal daarom worden opgesplitst in een balk met lengte a , het elastische gedeelte, en een star uiteinde met lengte L - a. Hierbij geldt dat 2" de positie is van het punt van contact, tussen de twee halve bollen. Dit is de plaats waar de niet-lineairiteit wordt geïntroduceerd. De balk heeft een lengte L = 259.9 * 10-3m, waarbij de lengte van het elastische gedeelte a = 229 * 10-3m bedraagt, de oppervlakte van de doorsnede bedraagt A = 59.8 * 10-6m2, met breedte b = 29.9 * 10-3m en hoogte h = 2 * 10-3m. De standaard materiaaleigenschappen van roestvrijstaal zijn: elasticiteitsmodulus E = 2.1 * 1011N/m2 en dichtheid p = 7800kg/m3. De massa van de bovenste halve bol bedraagt: mb = 12.4* 10-3kg, en de straal: Rb = 15.15 * 10-3m. De hoogte en massa van de versnellingsopnemer zijn respectievelijk : ho = 13 * 10-3m en m, = 17.75 * 10-3kg.

6

2.2 Afleiding bewegingsvergelijking van de elastische balk met st ar uit einde

De elastische balk met een star uiteinde is een continu systeem, met een oneindig aantal vrijheidsgraden. Alleen transversale trillingen van de balk zullen worden beschouwd. Er zal gebruik gemaakt worden van een model met een eindig aantal vrijheidsgraden. De Rayleigh- Ritz methode zal worden gebruikt voor de constructie van dit model. Deze methode wordt beschreven in bijiage A.I. Om de laagste 2 eigenfrequenties nauwkeurig genoeg te Kunnen modelleren is het nodig om een 4 graden van vrijheid (4DOF) model op t e stellen. Het bewijs hiervoor wordt geleverd in bijlage A.1. In deze paragraaf zal met behulp van de Rayleigh-Ritz methode een 4DOF model opgesteld worden.

De inklemming van de balk aan de linkerkant zorgt voor een tweetal randvoorwaarden. Als gevolg van het feit dat de balk bestaat uit een elastisch en een s tar gedeelte, hebben de beide componenten extra randvoorwaarden nodig. Deze worden gevonden in hun compatibiliteit. Dit betekent da t de verplaatsing en hoek van beide delen gelijk moeten zijn bij de verbinding. Het starre uiteinde kan dan worden gezien als een discreet deel. Voor de kinetische (T*) van het lineaire gedeelte van de balk geldt dan:

x=o

met:

m2 = mo+mb+m,

J 2 = Jo + J b f J , = m, + mb + pA(L - u)

1 L + a 1 = -m,(_)’ + mo(-hm + -ho + h)’

12 2 83 3 + -mR; + mb(hm +

320 8 1 1 + -pA(L - a)3 + ms(-hm + ~ h ) ’ 12

Waarbij m, de massa van het starre deel balk is, J,,Jb en J , de massatraagheidsmomenten zijn van respectievelijk de versnellingsopnemer, halve bol en starre deel balk, y/(.) is de functie y gedifferentieerd naar II: en hm de hoogte van het massamiddelpunt van het starre deel van de balk , inclusief versnellingsopnemer en de halve bol, ten opzichte van lijn a (fig 2.1). De richting is naar boven toe positief gedefinieerd. Voor de relatieve verplaatsing, ~ ( I I : , t ) , geldt de volgende relatie:

waarbij yo ( t) de opgelegde verplaatsing representeert. Voor de potentiële energie (V*) van

7

het lineaire gedeelte van de balk geldt:

V* = i EI/(x)2dx 2 .

x=o

met I = moet voldoen aan de volgende randvoorwaarden:

* bc h3 het kwadratisch oppervla,,te moment van de balk. De relatieve verplaatsing

Y ( 4 = 0 { Y W = 0

Substitutie van deze randvoorwaarden in een vijfde graads polynoom geeft:

~ ( x , t ) = b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5

en in vectornatie:

waarmee het gewenste 4DOF model op te stellen is voor het elastische deel da t loopt van O 5 x 5 a. Voor het starre deel ( a < x 5 L ) geldt:

Y(X7 t ) = Y (a , t ) + Y ' b 7 t ) * (x - a ) (2.7)

Bovenstaande vergelijkingen worden omgezet naar een formulering in termen van fysische vrijheidsgraden waarbij de volgende vrijheidsgraden zijn gedefinieerd :

/ 112L c

314L >

1/2(L+a) c

/

Figuur 2.2: De fysische vrijheidsgraden

8

Dit levert de inverse van de transformatie matrix P op, waarmee geldt:

b(t) = EE(t) =+ T T

y(g,t) = bT( t ) i = E z met:

p-1 - -

Voor de absolute verplaatsing geldt nu: T T

Y a b s ( x , t ) = Y ( x , t ) + Y o = - E E + Y o ( ~ )

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Vergelijking (2.1) levert, gebruikmakend van (2.11) op:

(2.12) 1 1 1 l T 1 2 2 2- -I- 20 m*W+-WTJW

2- -- T* = -?nbalk$G2 + -m2$O2 + E T g G ? n G + ScT &f& + -

met:

L + a L + a 2 2

' -)g'(->f - J = J2E i(

Vergelijking (2.4) levert, gebruikmakend van (2.11) op:

l T V * = -W K W 2- --

met: L

O

Volgens Lagrange geldt, bij afwezigheid van gegeneraliseerde krachten:

d Ó'T dT dV _ _ _ - - + - = O d t Ó'qs 3% 8%

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Met qs de gegeneraliseerde coördinaten. De onafhankelijke vrijheidsgraden zijn hier: w1, uta, w3, w4. Wanneer (2.15) toegepast wordt, wordt verkregen:

(n/lr+J+m,)% + K w = -&vi;, * gtotG f ~ ~ = - ~ f ) f o (2.16)

9

2.3 Experiment om eigenfrequent ies en dimensieloze dempings- constantes te bepalen

Bij dit experiment werden de laagste 4 eigenfrequenties en de daarbij behorende dimensieloze dempingsconstantes van het systeem bepaald. Hierbij werd gebruik gemaakt van de volgende experimentele opstelling:

IWI - o 1. DIFA 2. Regelaar 3. SeNokiep 4. Hydraulische pomp 5. Hydrauliache service manifold 6. Hydraulische actuator 7. Balk-impact systeem

Figuur 2.3: Schematische weergave van de opstelling van het experiment om eigenfrequenies en dimen- sieloze dempingsconstantes te bepalen

Verschillende soorten excitatie signalen kunnen worden gegenereerd met DIFA (i), een data aquisitie software pakket [DIFA, 19941. Het signaal wordt gestuurd naar een regelaar (2) die een servo gestuurde klep (3) regelt met een terugkoppeling door een interne verplaatsings- meting. De servo klep regelt de beweging van de hydraulische actuator (6) door de oliedruk in de hydraulische actuator t e regelen. De oliedruk wordt geleverd door een hydraulische pomp (4). Tussen de hydraulische pomp en de servo klep zit een hydraulische service manifold (5). Deze manifold heeft de taak om fluctuaties en 'snapping' in de hydraulische leidingen tijdens dynamische programma's te verminderen. Ook bevat het een filter die vervuilingen in de vloeistof opvangt om zo slijtage van de servo klep te voorkomen. Voor specificaties van de verschillende componenten, zie van den Bosch [1997]. Op de balk zelf zijn een aantal meetinstrumenten geplaatst (figuur 2.4) :

A. LVDT B. Versnellingsopnemer C. Rekstrookjes

Figuur 2.4: De op het systeem geplaatste meetapparatuur bij het experiment om de eigenfrequenties en dimensieloze dempingsconstantes te bepalen

Een Linear Variable Differential Transformer (LVDT) is geplaatst aan de linkerkant van het frame (A), om verplaatsingen van het frame te meten. Deze verplaatsing kan gebruikt worden als een input voor de numerieke simulaties. Op de plaats van het Hertz-contact is een versnellingsopnemer (B) geplaatst om de versnellingen van het uiteinde van de balk te meten.

10

Als laatste zijn er rekstrookjes (C) vastgeplakt aan de balk om vervormingen van de balk tijdens excitatie te kunnen meten. Al deze meetinstrumenten hebben een electrische voltage als output, die door hetzelfde DIFA worden verwerkt. De output van de rekstrookjes zijn bij dit experiment niet verzameld. Ze waren er al opgeplakt tijdens eerdere experimenten en om niet de experimentele opstelling t e veranderen, en dus de systeemparameters, werden ze erop gelaten.

Om de vier laagste eigenfrequenties en de daarbij behorende dimensieloze dempingspara- meiers van het systeem te bepalen xerd de Salk geëxciteerd met de fmctie Sine Sweep v m DIFA. Hiermee wordt het systeem geëxciteerd met sinusvormige functies. De frequenties van de sinusvormige functies begint bij een van te voren aangegeven startwaarde en loopt lang- zaam op tot een, van te voren aangegeven, eindwaarde. Er is gekozen voor een Sine Sweep, en niet voor bijvoorbeeld een witte ruis of impuls omdat de coherentie van de bepaalde over- drachtsfunctie, die gebruikt werd om de eigenfrequenties en dimensieloze dempingsconstantes te bepalen, veel dichter bij 1 lag dan bij de andere methoden. Eerst werd de balk 100 keer geëxciteerd van O-$00 Hz en van de hiermee verkregen 100 auto power spectrums van yo-yo en van de 100 cross-power spectra van de I/O-Y&s werden gemiddelden bepaald. Hierbij is yo de ingang en yabs de uitgang van het systeem. Van dit gemiddelde werd met behulp van de F R F functie van DIFA de overdrachtsfunctie tussen de versnelling van het frame met die van de balk bepaald. Door micidei van een circle-fit [Ewins, 19841 werden de vier laagste eigenfrequenties van het systeem gevonden. Rond elk van deze eigenfrequenties werd op- nieuw een Sine Sweep gedaan, waarbij de gekozen frequentiegebieden lagen rond 1 van de vier eigenfrequenties. Er werd in totaal per frequentiegebied 100 keer geëxciteerd en van de hiermee verkregen 100 auto power spectrums van yo-yo en van de 100 cross-power spectra van Yo-Yabs werden weer gemiddelden bepaald. Bij elke van de vier gemiddelden werd weer een FRF functie gemaakt tussen de versnelling van het starre frame en die van de balk. Hieruit werden door middel van een circle fit de laagste vier eigenfrequenties bepaald. De volgende vier laagste eigenfrequenties van het systeem werden gevonden:

o 1" eigenfrequentie: 16.6 Hertz

o 2e eigenfrequentie: 124.4 Hertz

o 3" eigenfrequentie: 365.4 Hertz

o 4e eigenfrequentie: 719.3 Hertz

Uit de FRF's rond de vier eigenfrequenties werden ook de vier dimensieloze dempingsparame- ters, behorende bij de vier laagste eigenfrequenties, bepaald. Dit is gebeurt met de Damping Scalar Function van DIFA, die met behulp van een circle-fit de dimensieloze dempingsfactor van elk van de vier resonantiefrequentie's bepaald. Daarbij werden deze vier dimensieloze dempingsconstantes gevonden:

o behorende bij de le eigenfrequentie: <1=0.0029

o behorende bij de 2" eigenfrequentie: <2=0.0027

o behorende bij de 3" eigenfrequentie: <3=0.0042

o behorende bij de 4e eigenfrequentie: &=0.0025

11

2.4 Vergelijking berekende eigenfrequenties en eigenmodes met gemet en eigenfrequenties en eigenmodes

In deze paragraaf worden de eigenfrequenties en eigenmodes, berekend met het model, ver- geleken met de eigenfrequenties en eigenmodes die zijn bepaald met de experimenten. Met behulp van de volgende vergelijking

eigenfrequentie experimenteel [Hz] 1 16.16 2 124.4 3 365.4 4 719.3

(2.17)

Rayleigh Ritz [Hz] 18.57 109.6 312.9 1666

Tabel 2.1: Vergelijk eigenfrequenties

Wat opvalt is dat de geschatte tweede en derde eigenfrequenties lager zijn dan de gemeten, terwijl de Rayleigh Ritz methode per definitie een bovengrens aangeeft. Het verschil zou kun- nen worden verklaard door een niet volledig systeemmodel. Er is bijvoorbeeld geen rekening gehouden met de meetkabels. Of omdat de gebruikte variabelen in het model niet goed zijn meegenomen, de halve bol was bijvoorbeeld niet perfect rond maar iets afgeplat.

De bij de eigenwaarden behorende eigenvectoren bepalen de eerste vier modes van het systeem. De berekende eigenvectoren u, behorende bij de fysische vrijheidsgraden u zijn:

(2.18) 1 -0.781 -0.267 -0.099 -0.279 -0.552 0.467 -0.415 0.163 -0.279 0.762 0.444 0.605

Ï T T T -0.079 0.361 0.791 -0.728

In figuur 2.5 zijn deze berekende eigenvormen, en die gemeten tijdens een al eerder uitgevoerd experiment, da t wordt besproken in paragraaf 3.3 [van den Bosch, 19971 [van de Wouw et al., 19981 weergegeven. Het is t e zien dat de vormen van berekende en gemeten eigenmodes redelijk goed met elkaar overeen komen.

2.5 Invoeren van de demping

De dimensieloze dempingsparameters zijn dus bepaald aan de hand van een experiment (pa- ragraaf (2.3)). In deze paragraaf worden ze geïmplementeerd in het model. Voor het 4DOF model zonder demping geldt vergelijking (2.17). Omzetting naar een natuurlijke coördinaten formulering levert:

T - UT MtotU5 + U KUJ - = -UT B O Y 0

12

(2.19)

I I I I II II I 1 o 7 61 134 188 269.4[mm]

65 130 195 245 (114 L) (112 L) (314 L) ((L+a)/2)

- Gemeten ~ Berekend

Figuur 2.5: berekende en gemeten eigenmodes

waarbij:

- W = U$,

- U = [ U1 & & ] , d e vier eerste eigenvectoren van het systeem

- UT -tot- Ad U en UT m z i j n diagonaalmatrices.

Er geldt nu voor de dempingsmatrix U T m :

2 * C l * J f ;

U T B U =

O

2 * < 2 * &

O

O

O

O (2.20)

Met: <i de dimensieloze dempingsparameters, m; het ii-de element van de diagonaalmatrix UTìMtotU, k; het ii-de element van de diagonaalmatrix gT17U. Er wordt dus uitgegaan van proportionele demping. Bij simulaties bleek dat de optredende demping hiermee goed beschreven kan worden. Wanneer men de demping toevoegt aan het model in vergelijking (2.19) onstaat:

- U T M -tot, u i ' + U T B u ~ + u T K u ~ = - D T T ~ & - (2.21)

2.6 Modellering elastische stop

De elastische stop kan worden gemodelleerd met behulp van een Hertz contact model [Hertz, 18951. Met de contact-kracht van Hertz kan er een relatie gevonden worden tussen de contact

13

kracht en de relatieve verplaatsing van de twee botsende halve bollen [van den Bosch, 19971:

(2.22)

met de contact kracht F , de gereduceerde Young’s modulus E,, die de materiaal eigenschap- pen van beide botsende lichamen representeert, de indrukking van de halve bollen 6, en de gereduceerde straal van de kromme R,, die de geometrische eigenschappen van de botsende lichamen representeert. De gereduceerde Young’s modulus en straal van de kromme worden respectievelijk gedefinieerd als:

(2.23)

met de principiële straal van de kromme R; van lichaam i, de Young’s modulus Ei van lichaam i en de Poisson’s ratio u; van lichaam i.

Een Hertz contact is een complex fenomeen. Daarom zijn er een aantal aannames waar- onder vergelijking (2.22) geldig is. De belangrijke aannames zijn:

e Het contact oppervlak is klein vergeleken met de geometrie van de botsende lichamen.

e De contact oppervlakken zijn perfect glad, dus er is alleen een verticale druk tussen de twee contact lichamen.

o Er treedt geen plastische deformatie op; het materiaal wordt isotroop en lineair elastisch verondersteld.

o De contact tijd is lang genoeg om een quasi-statische situatie te verkrijgen.

Vergelijking (2.22) geldt overigens ook als er significant afgeweken wordt van deze aannames [Horrowitz, 19951. De derde aanname is bedoeld om lineair elastische deformatie te garan- deren. Met behulp van al eerder genomen experimenten is een N 7 ~ e r t z = 2.2 * 108N/m1” bepaald [van den Bosch, 19971. Wanneer bepaald wordt met behulp van vergelijking (2.22), met RI = Ra = 15mm, El = E2 = 2.5 10gN/m en v1 = u2 = 0.33, wordt er een waarde van 2.6 * 107N/m1.5 voor I < H ~ ~ ~ ~ gevonden. In vorige experimenten met de twee halve bollen zijn de twee halve bollen plastisch gedeformeerd, waardoor de straal van de kromming en de materiaaleigenschappen veranderd zijn. Daarom is in de simulaties de gemeten gebruikt ( K H ~ ~ ~ ~ = 2.2 * 108N/m1.5).

Wanneer dit model de werkelijkheid onvoldoende beschrijft, moet er een extra hysterese dempingsterm aan toegevoegd worden, dat het energieverlies in het contact tijdens de botsing voor zijn rekening neemt. Vergelijking (2.22) verandert daardoor in:

2

(2.24)

met de restitutie coëficient e, een geometrische en materiaal afhankelijke maat voor energie dissipatie, en de initiële snelheid bij de botsing &-. Met behulp van een al eerder uitgevoerd experiment [van den Bosch, 19971 werd de restitutie coëficient e bepaalt (e=0.5). Het blijkt uit van den Bosch [1997] dat het noodzakelijk is om deze extra demping toe te voegen om relevante resultaten uit de simulaties te krijgen. Dit is dan ook voor alle simulaties gedaan.

14

2.7 4DOF modellering van het totale systeem

In de vorige paragrafen werden twee componenten van het systeem gemodelleerd: het lineaire en niet-lineaire deel. In deze paragraaf zullen deze in één bewegingsvergelijking gezet worden. Het stelsel lineaire vergelijkingen in fysieke coördinaten ziet er als volgt uit:

(2.25)

Het Hertz contact vindt alleen plaats op het midden van het starre deel, oftewel bij w1. Wanneer men daarom vergelijking (2.24) voegt bij bovenstaande stelsel onstaat:

(2.26)

met:

O voorw1 > O 1 voorw1 5 O E(W1) =

2.8 Modellering naar 2DOF systeem

Aangezien de berekening van de responsie van de balk met het 4D-model veel tijd in beslag neemt werd besloten om het model te reduceren tot een 2DOF model. Hierbij gaat de infor- matie over de derde en vierde mode wel verloren, maar de nauwkeurigheid, als in het 4DOF model, van de modellering van de eerste twee modes blijft gehandhaafd. Dit is niet het geval wanneer er bij de Rayleigh- Ritz methode meteen zou zijn uitgegaan van een derde in plaats van een vijfde graads polynoom voor y(z). In deze paragraaf zal de omzetting van 4DOF naar een gereduceerd 2DOF model besproken worden. Voor het 4DOF model geldt vergelijking (2.26). Omzetting naar natuurlijke coördinaten levert (zie ook par (2.5)):

(2.27)

met:

O voorw1 > O 1 voorw1 5 O E(W1) =

De gereduceerde matrices komen tot stand door bijvoorbeeld Htot niet te vermenigvuldigen met u maar met de gereduceerde U-matrix, UT. Deze gr bestaat uit de eerste twee kolommen

van U ,U(:,1:2) waardoor gr een 4x2 matrix wordt. Vergelijking (2.27) wordt dan:

- M r t -r + Ori, + Krgr +KHer t z ,E (W1) * ( ~ 1 ) . ( 1 5 1 + T*) = mo,yo

w1

(2.28)

met:

Deze vergelijking is een tweede orde differentiaalvergelijking. Om deze vergelij king te kunnen gebruiken in numerieke simulaties, moet hij omgeschreven worden tot vier eerste orde vergelijkingen. De algemene manier om dit t e doen is om de differentiaalvergelijking om t e schrijven naar een toestandsformulering. Daarvoor wordt de toestand gedefinieerd als:

Er geldt nu:

met 0 een 2x2 nullen-matrix. De eerste orde differentiaalvergelijking wordt:

(2.29)

(2.30)

(2.31)

Vergelijking (2.31) bestaat uit een viertal eerste orde dimensieloze vergelijkingen die zijn gebruikt bij de numerieke simulaties.

16

Hoofdstuk 3

Numerieke simulaties

Aangezien het gereduceerde 2DOF model van de balk nu bekend is, worden de karakteristieken van de responsie op stochastische excitatie onderzocht. De responsie zal worden bepaald door middel van numerieke integratie. De stochastische eigenschappen, zoals de spectrale energiedichtheid en de kansdichtheidsfunctie van deze responsie zullen worden vergeleken met de stochastische eigenschappen van de gemeten responsie en die berekend met een 1DOF model.

3.1 Overzicht van de eigenschappen van de responsie op perio- dieke excitatie

Allereerst zal het dynamisch gedrag van het systeem onder invloed van een harmonische ex- citatie kort worden besproken, zodat het gedrag onder stochastische excitatie beter begrepen kan worden. Een gedetaileerde analyse van de systeemresponsie ten gevolge van een harmo- nische excitatie wordt gegeven in van de Vorst [1996].

O 20 40 60 80 100 120 Excitatie frequentie [Hz]

Figuur 3.1: Maximale absolute verplaatsingen max1x1 van periodieke oplossingen van een 4-DOF model

Figuur 3.1 laat de maximum absolute verplaatsingen maz /IC I van gesimuleerde periodieke oplossingen zien tegen de variërende excitatie frequenties van de harmonische excitatie van de Vorst 119961. Let wel, de gebruikte systeemparameters voor de berekeningen van de harmo-

17

nische responsie waren iets anders dan diegene die gebruikt zijn bij de numerieke simulaties in dit onderzoek. Echter, dit verandert niets voor het illustratieve doel van deze inleiding.

Enkele erg belangrijke eigenschappen van niet-lineaire responsie karakteristieken kunnen uit deze figuur gehaald worden. Allereerst, behalve harmonische resonanties, aangegeven door 1, bestaan er ook subharmonische resonanties, aangegeven door en i. Ook is er een superharmonische resonantie zichtbaar, aangegeven door 2. Ten tweede is er een opmerke- lijk fenomeen zichtbaar; namelijk dat de maximale absolute waardes van het subharmonische oplossingen hoger liggen dan die van de harmonische oplossingen. Ais laatste zijn de resonan- tiepieken opgesplitst in twee afzonderlijke pieken. Dit fenomeen kan gerelateerd worden aan de invloed van hogere modes.

3.2 Bepaling int egratieschema

Voor de bepaling van de responsie van het systeem op een stochastische excitatie is het nodig om numerieke berekeningen uit t e voeren. In het algemeen geldt dat een numeriek model voor een systeem met een elastische stop gelineairiseerd kan worden, maar dat levert geen nauwkeurige schattingen van de responsie eigenschappen op. De enige manier om de respon- sie van het systeem nauwkeurig te bepalen is aan de hand van numerieke simulaties. Voor stochastische simulaties zijn er twee manieren om dit te doen: met stochastische integratie- schema’s voor witte ruis excitaties en met behulp van deterministische integratieschema’s met gelimiteerde band excitaties. Aangezien de experimentele excitaties beperkt in bandbreedte zijn is de tweede methode toegepast bij de simulaties.

Een gelimiteerde band excitatie is differentieerbaar, dus de differentiaal vergelijking kan geïntegreerd worden met behulp van deterministische integratieschema’s, waarvan er verschil- lende zijn. Sommige maken gebruik van een variabele grootte van de integratiestap, andere maken gebruik van informatie van vorige tijdstappen om de efficiëntie te vergroten. Uit van den Bosch [1997] blijkt dat rekenen met een tweede orde Runga-Kutta schema een ef- ficiënt schema is voor deze differentiaalvergelijking (2.31). De meest bekende voorbeelden van Runga-Kutta tweede orde integratie schema’s zijn de gemodificeerde E d e r en Heun methode. De laatste zal worden gebruikt bij de simulaties en ziet er als volgt uit:

waarbij f de functie voor de systeemafgeleide is en At de integratie tijdstap.

3.2.1

Expliciete schema’s kunnen gemakkelijk toegepast worden maar ze zijn wel voorwaardelijk numeriek stabiel. Een oplossing is numeriek stabiel als het convergeert naar de exacte op- lossing voor toenemende t. Voorwaardelijk numeriek stabiel betekent dat het systeem alleen numeriek stabiel is voor bepaalde stapgroottes h. Dit gebied kan analytisch bepaald worden, door middel van een polynoom ‘ r ( z ) , waarbij z = hX; [Butcher, 19871. Een numeriek integratie schema is altijd numeriek stabiel als:

Stabiliteit en convergentie van de methode

Ir(z) I < 1 b’ A; eigenwaarden van het systeem (3.2)

18

Voor een tweede orde Runga-Kutta integratie schema is ~ ( z ) een tweede orde polynoom:

z2 Y(.) = 1 + z + -

2 (3-3)

Het probleem is echter dat de eigenwaarden van een balk met een elastische stop niet bepaald kunnen worden. Als het een lineair elastische stop was kon men van het ergste geval uit- gaan en de eigenwaarden berekenen van een lineair systeem met stijfheid klin + kniet-lin. Echter bij een niet-lineaire stop varieert de stijfheid met de indrukking w1. De nume- rieke stabiliteit voor het niet-lineaire systeem wordt wel gevonden aan de hand van het ergste geval: er wordt veronderstelt dat het niet-lineaire systeem een stijfheid heeft van klin + klokaal = kl;, + 3 * d c * KHertz. Hierbij is aangenomen da t de hystere dempingsterm maximaal 1 bedraagt. Omdat de verschillen tussen de stijfheden klin en klokaal nogal groot zijn, is het efficiënter om de integratie op te delen in een lineair deel met een relatief grote integratie stap en een niet lineair deel (contact) met een relatief kleine integratie stap. Dit komt omdat de kleine integratiestap alleen nodig is tijdens contactperiode, die relatief kort duurt. De stabiliteitsanalyse is daarom opgedeeld in een lineair en niet-lineair deel. Het tijd- stip waarop de botsing begint wordt bepaald door middel van de Hénon methode, die later besproken zal worden.

Stabiliteit van het lineaire deel ziet er als volgt uit:

Het stelsel lineaire vergelijkingen in natuurlijke coördinaten

(3.4) - C - -A-~BE - A - ~ Q Q ~ - - - - -

De eigenwaarden van het lineaire systeem zijn gelijk aan de eigenwaarden van de bovenstaande toestandsafgeleide; [A-lB]. Dit levert vier eigenwaarden op: 2 complexe met elk hun complex geconjugeerde. Wanneer deze complexe eigenwaarden ingevuld worden in vergelijking (3.3) dan levert dat twee voorwaarden voor de stapgroote h op:

le-' < h < 4.404?0e-3 en: le-' < h < 5.06400e-* (3.5)

Een stapgroote die voldoet aan de onderste voorwaarde garandeert stabiliteit van het inte- gratieschema.

Stabiliteit van het niet-lineaire deel coördinaten, waarbij uitgegaan wordt vanhet ergste geval:

Stelsel niet-lineaire vergelijkingen in natuurlijke

2 = A-1@ - 3A-1cWyx - &%y, (3.6) Er kan het volgende afgeleid worden:

Hierdoor kan de niet-lineaire term toegevoegd worden bij de matrix A-la. Op dezelfde manier als bij het lineaire deel kan de maximale stapgrootte h bepaald worden. Deze voorwaarden voor de stapgrootte h werden gevonden:

le-' < h < 1.221e-5en: le-' < h < 6.659e-5 (3.7)

Wanneer voldaan is aan de bovenste voorwaarde, dan is aan de stabiliteitseis voldaan.

19

Convergentie Simulaties hebben bewezen dat het stabiliteitcriterium alleen niet voldoende is om een betrouwbare en nauwkeurige responsie te kunnen berekenen. Om een goed gecon- vergeerde oplossing te verkrijgen zijn de integratiestappen voor het lineaire en niet-lineaire deel gezet op respectievelijk h = 2.5e-5 en h = 2.5e-6.

De Hénon-methode De Hénon methode [Hénon, 19821 is een procedure om het tijdstip van contact te bepalen. In dit geval betekent de Hénonmethode het herschrijven van vergelijking (3.4) zodanig dat w1 de onaÎnankeiijke variabele wordt en t een afliankelijlie. Hei niet- lineaire deel is overbodig immers het tijdsinterval voor impact tót impact wordt bekeken. Dit resulteert in, met S = 4-l~ en T = - ' O :

1

Tijdens de laatste integratiestap voor contact wordt deze vergelijking geïntegreerd totdat geldt: w1 = &(l, i) * + QT(l, 2) * (2 = O. Deze integratiestap resulteert in de bekende variabelen ti+', &(ti+1) ,&(tt+ll en & ( t t + l ) . Verder geldt: (t;+l) = -W*&.(ta.+l). Daarna wordt er weer overgestapt naar vergelijking (2.31) met de kleine integratiestap op ti+'.

3.3 Experiment voor bepaling responsie van het systeem op een stochastische excitatie

Dit experiment is bij een eerder onderzoek al uitgevoerd [van de Wouw et al., 1998],[van den Bosch, 19971 en was onder andere bedoeld om de responsie van het systeem, ten gevolge van bepaalde opgelegde stochastische verplaatsingen, t e bepalen en om de vormen van de eigenmodes van het systeem te bepalen. Bij dit experiment werd gebruik gemaakt van de volgende opstelling (fig (3.2)). Deze opstelling komt nagenoeg overeen met de opstelling besproken in paragraaf (2.3). Het enige verschil is:

o in plaats van met behulp van DIFA werd een Gaussische excitatie signaal gegenereerd met behulp van MATLAB (1) , een hoogwaardig reken- en visualisatie software pro- gramma (zie MATLAB [1995])

1. PC-48WLabview 2. Regelaar 3. Servo klep 4. Hydraulische vermogenstoevoer

7. Balk-impact systeem 8. DIFA

Figuur 3.2: Schematische weergave van de opstelling nodig voor bepaling stochastische responsie

20

A. LVDT B. Versnellingsapnemer C. Krachtopnemer D. Reksiroakjes E. Laser interferometer

Figuur 3.3: De op het systeem geplaatste meetapparatuur nodig voor bepaling stochastische responsie

Echter bij de meetapparatuur waren er meer verschillen, zie figuur(3.3). De verschillen zijn:

o Een laserinferometer (E) wordt gebruikt om de snelheid en verplaatsing van het uiteinde van de balk te meten, zonder mechanisch contact.

o Een krachtopnemer (C) is onder het frame geplaatst om de krachten o p het frame te meten.

In plaats van een LVDT werd een laser interferometer gebruikt omdat het uiteinde van de balk een sterk variërende hoek maakt. Dit introduceert teveel wrijving tussen de kern en het omhulsel van de LVDT. Voor specificaties van de verschillende componenten, zie van den Bosch [1997]. De resultaten van dit experiment zijn te vinden in van den Bosch [1997]. De resultaten van dit experiment worden in dit onderzoek gebruikt. Wanneer dit gebeurt en welke data is gebruikt zal steeds aangegeven worden.

3.4 Stochastische responsie karakt eristieken

Verderop in dit hoofdstuk zullen de stochastische karakteristieken als de spectrale energiedichtheids- functie en de kansdichtheids-functie gebruikt worden. De spectrale energiedichtheids-functie geeft informatie over welke frequenties belangrijk zijn in de responsie en de kansdichtheids- functie visualiseert onder andere in welke mate het signaal Gaussisch of niet Gaussisch is.

Spectrale energiedicht heid (PSD) Een 1-zijdige schatting voor de spectrale energie- dichtheid is berekend met behulp van de Welch-methode [Openheim and Schafer, 19751. Een Hanning window is gebruikt bij de gebruikte Fourier transformatie in verband met de niet- periodieke eigenschappen van het signaal. De hiermee verkregen schatter is geschaald door te eisen:

wat betekent da t het gebied onder de spectrale dichtheidsfunctie gelijk is aan de schatting van de variantie van het signaal [Roberts and Spanos, 19901. Let wel, de simulaties waren te kort om de variantie zeer nauwkeurig te berekenen. Dus een kwantitatief vergelijk van verschillende simulaties is in beperkte mate mogelijk. Echter, een kwalitatief vergelijk is wel mogelijk

21

omdat de spectrale energiedichtheden alleen met een constante factor verschillen. Het is ook mogelijk om de simulaties met experimenten van dezelfde band excitaties zowel kwantitatief als kwalitatief t e vergelijken omdat ze bepaald zijn met dezelfde excitatierealisatie.

Kansdichtheidsfunctie (PDF) en statistische momenten Een belangrijke eigenschap van een niet-lineair systeem is dat de responsie op een Gaussische exciatie zelf niet Gaussisch is. Een duidelijke manier om de niet-Gaussische eigenschappen van de responsie te visualiseren is aan de hand van de kansdichtheicisfunctie.

Deze niet-Gaussische eigenschappen kunnen meer kwantitatief gemaakt worden door mid- del van hogere orde statistische momenten zoals skewness en kurtosis. Voor de schatter ? van de skewness y geldt:

(3.10)

Met S een schatter voor de standaard deviatie o van II: en íì is een schatter voor het gemiddelde p van II:. De skewness is een maat voor de asymmetrie van de kansdichtheidsdistributie. Een waarde van nul komt overeen met een normale (Gaussische) verdeling. Een schatter k voor de kurtosis K wordt berekend met:

(3.11)

Een kurtosis-waarde van drie komt overeen met een normale (Gaussische) distributie. Een grotere waarde duidt meestal op een hoge piek en steile uiteinden vergeleken met de Gaussische distributie. Een waarde kleiner dan drie duidt meestal op een vlakkere distributie.

3.5 Lineaire dimensieloze dempingsparameters voor de simu- lat ies

Tijdens de simulaties bleek dat de gemeten demping, en dus gebruikt in het 2DOF model, veel te laag was. Er is gekozen om de lineaire demping van het model op te voeren zodat de berekende responsie beter overeen komt met de gemeten responsie. In de praktijk bleek dit een relatief goede manier t e zijn. In tabel 3.1 zijn de gemeten dimensieloze dempingsparameters

en de dimensieloze dempingsparameters gebruikt bij de simulaties vermeld. Er

I eigenfrequentie I Cgem I <sim I 0.0029 0.015 0.0027 0.005

T a bel 3.1: Vergelijk dimensieloze dempingparameters

is geen derde en vierde dimensieloze dempingsconstante gebruikt omdat er overgestapt is naar het 2DOF-model. Er valt op dat vooral de eerste veel hoger is dan <gem. Dit komt waarschijnlijk doordat het energie-verlies tijdens de botsing niet voldoende wordt mee- gerekend, ondanks de extra hysterese term (zie par (2.6), verg (2.24)). Bijvoorbeeld het

22

energieverlies door wrijving in het contact is niet meegenomen. Dit zou ook verklaren waarom de tweede Bsim veel dichter bij B,,, ligt, immers de invloed van de elastische stop op de tweede mode is veel kleiner dan op de eerste mode.

3.6 Resultaten numerieke simulaties

De numerieke simulaties werden uitgevoerd met drie verschillende beperkte band excitaties.

o Ten eerste werd een 0-200 Hz band excitatie toegepast (paragraaf 3.6.1). Resultaten van deze excitatie zullen de resultaten van een breedbandige excitatie benaderen. In deze band zullen de eerste twee niet-lineaire resonantie frequenties (6 30 Hz en f 121 Hz) gelocaliseerd worden.

o Ten tweede is een excitatie toegepast, die hoofdzakelijk energie bevat in de frequentie- band van 23-43 Hz (paragraaf 3.6.2). Dit is een nauwe 20 Hz band excitatie rond de eerste harmonische resonantiepiek van het niet-lineaire systeem. Dus subharmonische resonanties worden niet geëxciteerd.

o Als laatste is er een excitatie toegepast, die hoofdzakelijk energie bevat in de frequen- tieband van 56-76 Hz excitatie (paragraaf 3.6.3). Dit is een nauwe 20 Hz band excitatie rond de eerste 1/2 subharmonische resonantie.

Aangezien één van de doelen van dit onderzoek is om te achterhalen of een 2-DOF model de resonantiepiek rond 125 Hz wel kan voorspellen, wat een 1-DOF model niet kon, werden de resultaten uit deze simulaties vergeleken met 2 andere responsies:

o De gemeten responsie van het uiteinde van de balk (w1) [van den Bosch, 1997],[van de Wouw et al., 19981, (par (3.3)).

o De resultaten van de simulaties, berekend met een 1 DOF model [van den Bosch, 1997],[van de Wouw et al., 19981.

Om een goed vergelijk tussen de simulaties en de experimenten mogelijk te maken, zijn de realisaties van de excitaties gebruikt bij de simulaties gelijk aan die van de experimenten.

3.6.1 0-200 Hz frequentieband excitatie

De 0-200 Hz frequentieband excitatie representeert een breed bandige excitatie.

Spectrale energie dichtheid (PSD) In figuur (3.4) is de spectrale energiedichtheid van de gemeten excitatie yo t e zien. Dit is de excitatie die daadwerkelijk op het experimentele systeem is uitgeoefend. Hierin is duidelijk te zien dat de in werkelijkheid optredende verplaatsing van het starre frame niet uniform was in het frequentiegebied. Het signaal aangeboden door de regelaar was dat echter wel [van de Wouw et al., 19981. De niet gelijkmatige verdeling wordt veroorzaakt door de hydraulische pomp die zich gedraagt als een eerste orde laag- doorlaatfilter. Daarom is het nodig om de simulaties uit te voeren met dit starre frame excitatie spectrum om vergelijking van simulaties met experimenten mogelijk te maken.

In figuur (3.5) is de spectrale energiedichtheid te zien van zowel de gemeten responsie van het uiteinde van de balk, w1, tijdens het experiment als de berekende responsie met behulp

23

1 O-’

1 o-8

lo-’

1 O-’

z lo-”

10-l2

1 0 - l ~

10-l~

Simulatie 2DOF

N

E

c v

Ir

0 (o a

50 1 O0 150 200 250 300 O Frequentie f [Hz] Frequentie f [Hz]

Figuur 3.4: Spectrale energie dichtheid van Figuur 3.5: Spectrale energiedichtheid van yo, 0-200 HZ 2 ~ 1 , 0-200 HZ

van het 100F mode! en het gereduceerde 2DQF model. belangrijke fenomenen te halen:

Uit deze figuur zijn een aantal

1. De spectrale energie dichtheid Pwlwl (f) bevat meerder resonantiepieken, behorende bij de eerste verschoven eigenfrequentie

2. Het responsiesignaal bevat veel energie bij lage frequenties (0-15 Hz)

3. De resonantie piek, behorende bij de tweede mode, rond 120 Hz wordt wel voorspelt door het 2DOF model en niet door het 1DOF model.

4. De laagste lineaire eigenfrequentie ( f16Hz) wijkt nogal af van de laagste niet-lineaire resonantie frequentie ( f 3 5 H z ) .

5. De tweede niet-lineare resonantiefrequentie (f125Hz) ligt veel minder verschoven ten opzichte van de tweede lineaire eigenfrequentie (f124Hz) dan de eerste niet-lineaire resonantiefrequentie.

6. De met het 2DOF model berekende eerste resonatiepiek rond 30 Hz ligt rechts van de gemeten eerste resonantie piek.

7. De met het 2DOF model berekende tweede resonatiepiek rond 125 Hz ligt links van de gemeten tweede resonantie piek.

8. De berekende pieken rond 31 H z , 58 H z en 96 H z met het 2DOF model liggen lager dan de berekende pieken van het 1DOF model.

9. De 2DOF simulaties en experimentele resultaten komen goed overeen.

‘In geval van een niet-lineair systeem kan men niet spreken van eigenfrequenties van het systeem. Echter, hier wordt de term gebruikt voor een frequentie waarbij het systeem resoneert

24

Het tweede fenomeen kan als volgt worden verklaard. Ten gevolge van de niet-lineairiteit van het systeem beïnvloeden de frequenties van de responsie elkaar. Het is namelijk bekend dat wanneer de excitatie, en daardoor de responsie, 2 frequenties f i en f 2 bevat, de responsie ook de frequentie f 2 - f i bevat als het systeem niet-lineair is. Deze ’verschil’frequentie verschijnt in de responsie ten gevolge van de asymmetrie van de niet-lineaire oplossing. De breed bandige excitatie bevat een groot aantal bij elkaar liggende frequenties. Dus veel interactie kan in dit geval verwacht worden. Wanneer deze excitatiefrequenties in een resonantiepiek van het systeen; liggen dan zdlen de ’veïschi!’-fïeq~enties veel energie bevatten, wat dus gebewt in het gebied tussen 0-15 Hz.

Het derde fenomeen is verklaarbaar doordat die piek een tweede harmonische resonantie- piek is wat natuurlijk met een 1DOF model niet voorspeld kan worden.

Het vierde en vijfde fenomeen kan worden verklaard door het feit dat de eerste eigenmode nogal beïnvloed wordt door het Hertz contact, terwijl dit bij de tweede mode veel minder het geval is.

Het zesde en zevende fenomeen kan worden verklaard met het feit da t al bij de validatie van het lineaire 4DOF model bleek dat de eerste berekende resonantie piek bij een lineair systeem hoger lag dan die van de gemeten, terwijl dat bij de tweede resonantiek precies andersom was, zie paragraaf (2.4). Dit fenomeen komt natuurlijk terug in het model van het totale systeem, wat bestaat uit het lineaire en niet-lineaire deel.

In figuur 3.6 is de spectrale energiedichtheid te zien van zowel de berekende responsie van het uiteinde van de balk, w1, en die van het midden van de balk, w3, berekend met het 2DOF model t e zien. Hierin is duidelijk te zien dat de tweede eigenmode veel energie bevat

IV o 50 1 O0 150 200 250 300 Frequency f [Hz]

Figuur 3.6: Spectrale energie dichtheid van w1 en w3, 0-200 Hz

ten opzichte van de eerste eigenmode rond de tweede niet-lineaire resonantie frequentie en dus een belangrijke bijdrage levert rond dit frequentiegebied. Gezien de vorm van de tweede eigenmode (zie paragraaf 2.4) is da t logisch.

Om erachter te kunnen komen welke frequenties in de excitatie voornamelijk verantwoor- delijk zijn voor bovengenoemde verschijnselen in de responsie, zijn er twee smallere bandex- citaties toegepast: een 23-43 Hz frequentieband, die een groot deel van de eerste harmonische resonantiepiek bevat, en een 56-76 Hz frequentieband, die een groot deel van de subharmo- nische resonantiepiek bevat, zie figuur (3.1). De numerieke uitkomsten en de conclusies van

25

deze twee frequentiebanden zullen in paragraaf

1600

1400

12w

i 1000

s. 8W r

- I - e 600

4w

2w

O -1 .5 -1 4 .5 O 0.5 1

3.6.2 en paragraaf 3.6.3 besproken worden.

$ 5 O 0 5 I 1 5 2 2 5

Figuur 3.7: Kansdichtheidsfunctie van de excitatie y0,0-200 Hz

Figuur 3.8: Kansdichtheidsfunctie van de responsie wl, 0-200 Hz

Kansdichtheidsfunctie (PDF) en statistische momenten In figuur (3.7) is te zien dat de excitatie y,-, een bij benadering Gaussiche verdeling heeft. Een belangrijke eigenschap van een niet-lineair systeem is da t de responsie op een Gaussische excitatie zelf niet Gaussisch is. In figuur (3.8), waarin de kansdichtheidsfunctie van de berekende responsie w1 van het 1DOF en 2DOF model en de gemeten u11 uitgezet is, is deze eigenschap duidelijk te zien. Wat ook opvalt is da t de kansdichtheidsfunstie van de berekende wl met het gereduceerde 2DOF model beter bij de gemeten responsie w1 ligt dan de berekende w1 met het 1DOF model.

Ook kwantitatief is de asymmetrie duidelijk want de schatters voor de skewness en kur- tosis bedragen hier respectievelijk y = 1.1153 en k = 4.5828, en wijken dus sterk af van de Gaussische waarden y = O en /E = 3. Een afwijking van de skewness ten opzichte van nul duidt op een asymmetrie van de kansdichtheidsfunctie (fig 3.8). Deze asymmetrie van de responsie is een niet-lineaire eigenschap van het systeem die wordt veroorzaakt door de elastische stop, zie figuur (3.9).

- responsie balky(t)

-0.51 I 18.8 18.9 19 19.7 19.2 19.3 19.4 19.5

q4

Figuur 3.9: Een gedeelte van de tijdserie: de responsie van de balk y(t) bij een 200 Hz band excitatie

26

fib4 S2[mm2] +I %-I

In tabel 3.2 zijn van w1, van zowel het gemeten als de berekende van het 1DOF en gereduceerde 2DOF model, en van de berekende w3 van het 2DOF model, de ,li, ô2, k en de

Aan de skewness en kurtosis is t e zien dat het 2DOF model het experiment iets beter benaderd dan het 1DOF model. Echter wanneer men kijkt naar de S2 dan valt op da t het 2DOF model deze significant beter het experiment benaderd dan het 1 DOF model. Helaas is dit niet geval voor f i . Wat ook opvalt is da t w3 dichter bij een niet Gaussische verdeling ligt dan wl. Dit wordt in Roberts and Spanos [1990] al beschreven: wanneer een niet-Gaussisch signaal door een zwak gedempt systeem wordt geleid dan bevat de responsie van da t signaal een meer Gaussische verdeling.

gegeven.

W1 w3 experimenteel 1DOF model 2DOF model 2DOF model

0.450 0.452 0.489 0.171 0.174 0.135 0.160 0.032 3.64 4.00 3.945 3.403 0.856 1.047 1.042 0.507

3.6.2 23-43 Hz frequentieband excitatie

Bij deze frequentieband wordt de eerste harmonische resonantie aangestoten.

Spectrale energiedichtheid (PSD) In figuur (3.10) is de spectrale energiedichtheid van de gemeten excitatie yo weergegeven. Hierin is te zien dat de meeste energie in het 23-43 Hz gebied zit maar dat toch ook andere frequenties aanwezig zijn, vooral in het gebied tussen 0-5 Hz .

In figuur (3.11) is de spectrale energiedichtheid te zien van zowel de gemeten respon- sie tijdens het experiment als de berekende responsies van zowel het 1DOF model als het gereduceerde 2DOF model. Hierbij vallen de volgende dingen op:

1. De meerdere resonantiepieken, een eigenschap van een niet-lineair systeem komen dui- delijk naar voren ('stochastisch harmonisch gedrag').

2. In het 100-140 Hz gebied voor de tweede niet-lineaire resonantie frequentie is de bere- kende responsie van het gereduceerde 2DOF model beter dan van het 1DOF model.

3. De berekende tweede harmonische resonantiepiek, met behulp van het gereduceerde 2DOF model ligt weer een stuk voor de gemeten piek.

4. De pieken rond 31 H z , 58 H z en 96 H z liggen bij het 2DOF model lager dan bij het 1DOF model en dichter bij het experiment.

Kansdicht heidsfunctie (PDF) De kansdichtheidsfunctie van de excitatie yo is nagenoeg Gaussich, zie van den Bosch [1997]. In figuur (3.8), waarin de kansdichtheidsfunctie van de berekende responsie wl van het 1DOF en 2DOF model en de gemeten w1 uitgezet is, is de asymmetrie weer duidelijk zichtbaar. In tabel 3.3 is w1 ,van zowel het gemeten als de

27

1 o-8 4

i 50 1 O0 150 200 250 300

Frequentie f [Hz]

Figuur 3.10: Spectrale energiedichtheid van yo, 23-43 Hz

1 O-’ 1

1 50 100 150 200 250 300

1

Frequentie f [Hz]

Figuur 3.11: Spectrale energiedichtheid van y, 23-43 Hz

1400

1 200

1000 - E 800

s - 5 600 n

400

200

O -1 O 1 2 3 4

w1 [ml x 10

Figuur 3.12: kansdichtheidsfunctie van y

berekende van het 1DOF en gereduceerde 2DOF model, en van de berekende w3 van het 2DOF model, de b, a’, k en de -i/ gegeven. Voor al de karakteristieken geldt da t het 2DOF model het experiment beter benaderd dan het 1DOF model. Hierin komt duidelijk de invloed naar voren van de tweede vrijheidgraad op de responsie van het gehele systeem. Ondanks de extra energiepiek rond de 125Hz benaderd het 2DOF systeem het experiment beter. Door de toevoeging van een extra vrijheidsgraad komt de eigenschap naar voren die al beschreven is in Heertjes [1995] en wat ook te zien is in figuur 3.1: de aanwezige tweede lineaire eigenmode verlaagt het energieniveau van de eerste lineaire resonantiepiek. Wederom benaderd wg een meer Gaussische verdeling dan w1.

28

W l experimenteel 1DOF model 2DOF model

@[mm1 0.489 0.703 0.623 S2[mm2] 0.220 0.335 0.277 .[-I 4.23 5.14 4.869 +I-l 1.11 1.30 1.269

~

Ta bel 3.3: Vergelijk stochastische responsie karakteristieken

w3 2DOF model

0.212 0.050 4.257 0.797

3.6.3 56-76 Hz frequentieband excitatie

Bij deze frequentieband wordt de i subharmonische resonantie piek aangestoten.

Spectrale energiedicht heid (PSD) De spectrale energiedichtheid van de gemeten excita- tiefrequentie staat uit in figuur (3.13). Hierin is te zien da t in het te onderzoeken frequentiege- bied de energie groot is, echter dit is voor het 0-5 Hz gebied ook weer het geval. De spectrale energie dichtheden van de gemeten en de twee berekende responsies zijn weergegeven in figuur (3.14). De volgende fenomenen zijn in deze figuur te ontdekken:

i i O 50 1 O0 150 200 250 300 50 1 O0 150 200 250 300

Frequentie f [Hz] Frequentie f [Hz]

Figuur 3.13: Spectrale energiedichtheid Figuur 3.14: Spectrale energiedichtheid van yo, 56-76 Hz van y, 56-76 Hz

1. Een stochastische

2. De pieken rond 31Hz, 58Hz en 96Hz liggen bij het 2DOF model nu hoger dan het

subharmonisch effect is zichtbaar.

1DOF model.

Kansdichtheidsfunctie (PDF) en stochastische momenten De kansdichtheidsfunctie van de excitatie y is nagenoeg Gaussich, zie van den Bosch [1997] In figuur (3.15) is de kansdichtheidsfunctie van de berekende responsie y t e zien. Hierin komt de asymmetrie weer duidelijk naar voren.

29

Simulatie IOOF

-:.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5

w1 [ml Y I(

iì [mml S2 [mm2] .[-I ?[-I

I

Wl w3 experimenteel 1DOF model 2DOF model 2DOF model

0.340 0.522 0.495 0.017 0.110 0.199 0.250 0.034 4.48 5.39 4.786 4.203 1.135 1.343 1.270 0.714

Figuur 3.15: kansdichtheidsfunctie van y

In tabel 3.2 is w1 ,van zowel het gemeten als de berekende van het 1DOF en gereduceerde 2DOF model, en van de berekende w3 van het 2DOF model, de b7 a2, i? en de y gegeven.

Hierbij valt op dat wederom het 2DOF model het experiment beter voorspeld dan het 1DOF model. Echter dit geldt niet voor de variantie-schatting. Een duidelijke verklaring hiervoor ontbreekt. Wederom geldt voor w3 dat deze meer een Gaussische verdeling nadert.

30

Hoofdstuk 4

Conclusies en aanbevelingen

In dit laatste hoofdstuk worden de belangrijkste conclusies van dit onderzoek samengevat. Daarna zullen er enige aanbevelingen gegeven worden voor verder onderzoek.

4.1 Conclusies

Het doel van dit onderzoek was om de invloed van de tweede lineaire eigenfrequentie op de responsie te onderzoeken door een 1DOF model uit te breiden naar een meer graden model.

Om de laagste twee eigenfrequenties nauwkeurig t e kunnen modelleren is het nodig om een 4 graden van vrijheid (4DOF) model op te stellen. Om de rekentijd te verkorten kan dit gereduceerd worden tot een 2DOF model. Dit model blijkt de lineaire eigenfrequenties goed te benaderen echter de tweede en derde eigenfrequenties werden te laag ingeschat. Dit is in tegenspraak met de Rayleigh-Ritz methode, gebruikt bij de opstelling van het model. De berekende en gemeten eigenmodes komen echter goed overeen.

Ondanks een extra hysterese term zijn de dimensieloze dempingstermen van het lineaire model gebruikt in de simulaties hoger dan de gemeten lineaire dimensieloze dempingster- men. Dit geldt met name voor de eerste dimensieloze dempingsterm behorende bij de laagste eigenfrequentie. Dit komt waarschijnlijk doordat het energie-verlies tijdens de botsing niet voldoende wordt meegerekend. Het energieverlies door wrijving in het contact is bijvoorbeeld niet meegenomen.

Uit de spectrale energiedichtheden zijn een aantal belangrijke fenomenen te ontdekken. De resonantie piek rond de 120 Hz, behorende bij de tweede mode, wordt wel voorspeld

door het 2DOF model en niet door het 1DOF model. De tweede niet-lineare resonantiefrequentie (f.125Hz) ligt veel minder verschoven ten

opzichte van de tweede lineaire eigenfrequentie ( H 2 4 H z ) dan de eerste niet-lineaire resonan- tiefrequentie. Dit fenomeen kan worden verklaard door het feit da t de eerste eigenmode nogal beïnvloed wordt door het Hertz contact, terwijl dit bij de tweede mode veel minder het geval is.

Bij zowel een excitatie die ligt in het frequentie gebied van 0-200 Hz en van 23-43 Hz is de simulatie met het 2DOF model beter dan die van het 1DOF model. Echter bij een excitatie frequentie gebied van 56-76 Hz is dit niet het geval. Waarom is nog onduidelijk.

Uit de stochastische responsie karakteristieken zijn nog een aantal belangrijke fenomenen te halen. De responsie op een Gaussische excitatie is sterk niet Gaussisch. De responsie voorspelt door het 2DOF model is beter dan het 1DOF model, met name voor de schatter

31

van de standaarddeviatie. Met name valt op da t de schatting voor de variantie beter is voor het 2DOF model ondanks de extra resonantiepiek. Dit komt overeen met de bevindingen uit het onderzoek met periodieke excitaties. Dit geldt echter wederom niet voor het excitatie frequentie gebied van 56-76 Hz. De responsie op de helft van de balk, w3 bevat een meer Gaussische verdeling dan op het uiteinde van de balk, w1. Dit komt overeen met de bevin- dingen van Roberts and Spanos [1990] die beschrijven dat wanneer een niet-Gaussisch signaal door een zwak gedempt systeem wordt geleid dan bevat de responsie van dat signaal een meer Gaussische veïdehg.

4.2 Aanbevelingen

Uit de resultaten blijkt dat het 2DOF model de tweede resonantiepiek wel kan voorspellen. Echter de fenomen die zijn geconstateerd bij een excitatie die ligt in het frequentiegebied van 56-76 Hz kunnen nog niet verklaard worden. Dit kan misschien wel als het model naar nog meer vrijheidsgraden wordt uitgebreid. Ook kan dan een betere relatie gelegd worden tussen dit onderzoek met stochastische excitatie en het onderzoek waarbij harmonische excitaties werden toegepast [Heertjes, 19951.

32

Bibliografie

Butcher, J. C. (1987). The Numerical Analysis of Ordinary Diflerential Equations. John Wiley 8~ Sons, Brisbane.

DIFA (1994). DSA2Uû Getting Started Manual. Measuring Systems B.V., Breda, The Ne- therlands.

Ewins, D. (1984). Modal Testing: Theory and Practice. John Wiley & Sons.

Heertjes, M. (1995). Niet-lineaire dynamica van botsende systemen. Master’s thesis, Eindho- ven University of Technology.

Hénon, M. (1982). On the numerical computation of pioncare maps. Journal of Applied Mechanics, 47, 931-939.

Hertz, H. (1895). Gesammelte Werke, wol. 1: Schriften Vermischten Inhalts. J. A. Barth, Leipzig, Germany. (Duits).

Horrowitz, A. (1995). Contactverschi~nselen, Deel B. syllabus, Eindhoven University of Technology.

MATLAB (1995). Reference Guide. The Math Works, South,Natick, MA, USA.

Openheim and Schafer (1975). Digital signal processing. Prentice-Hall Inc., New Yersey.

Roberts, J. B. and Spanos, P. D. (1990). Random vibration and statistical linearization. John Wiley 8~ Sons, Chichester.

van de Vorst, E. L. B. (1996). Long term Dynamics and Stabilization of Nonlinear Mechanical Systems. phddissertation, Eindhoven University of Technology.

van de Wouw, N., van den Bosch, H., de Kraker, A., and van Campen, D. (1998). Experimental and numerical analysis of nonlineair phenomena in a stochastically excited beam system with impact. Chaos, Solitonsi and Fractals, accepted.

van den Bosch, H. L. A. (1997). Numerical and experimental analysis of a nonlinear dynamic system with stochastic loading. Master’s thesis, Eindhoven University of Technology.

33

Bijlage A

Rayleigh-Ritz

A. l De methode

De Rayleigh-Ritz methode is een methode om benaderingsmodellen te creëren van continue systemen. Alleen transversale trillingen in Euler balken zullen worden besproken. De oplos- sing wordt opgesplitst in een tijdsafhankelijk deel s(t) en in een plaatsafhankelijk deel y(z) :

4 ( 2 , t ) = s(t)y(z) ( A 4

Deze notatie geldt voor ongedempte systemen, immers dan zullen alle graden van vrijheid in fase vibreren. Voor zwak gedempte systemen is deze methode ook nog geldig, omdat er dan maar kleine fase verschillen zijn tussen het (eindige) aantal vrijheidsgraden. Met behulp van vergelijking (A.l) geldt voor de kinetische (T ) :

T = S(t)2T*, met T* = p A ( x ) y ( ~ ) ~ d z + bijdrage discrete delen. x=o

en potentiele (V) energie:

v = v * = - E I ( z ) / ( ~ ) ~ d z + bijdrage discrete delen, 2 Ii x=o

met a de lengte van de balk zonder star deel, de Young’s modulus E , de dichtheid p, dwars- doorsnede A ( z ) en het oppervlakte traagheidsmoment I ( z ) . Kies een functie y(x) die de exacte oplossing benaderd en die voldoet aan de geometrische randvoorwaarden y(0) = O en y’(0) = o:

Met deze definitie, kunnen vergelijkingen (A.2) en (A.3) geschreven worden als:

1 T* = -bT M b 2- --

34

en:

1 V* = -bT K b

2-

De quotient van Rayleigh is gedefinieerd als:

Het quotient van Rayleigh heeft een stationaire waarde als y(z) een eigenfunctie benadert. De stationaire waarden van R(b) kan worden bepaald door middel van:

-- dR(b) - O ( i=2,3, . . . ,n) db;

Dit kan geschreven worden als het volgende eigenwaarden probleem:

De eigenfrequenties zijn gelijk aan: Ximag/(27r), waarbij Ximag het imaginaire deel van de eigenwaarden representeert. Volgens de theorie van Rayl&gh-Ritz geven de hiermee bere- kende vier eigenfrequenties de bovengrens aan van de laagste vier exacte eigenfrequenties. De eigenkolommen b bezitten de coëfficienten voor de vormfuncties y(.).

A . l . l

Ter illustratie zal in deze paragraaf, met behulp van de Rayleigh-Ritz methode, een eenvoudig 1DOF model van een balk geconstrueerd worden. Dit model heeft niets te maken met het bij dit onderzoek gebruikte model. De bedoeling is om een expressie voor y(z) t e krijgen. Een exacte oplossing voor y(z) krijgen is moeilijk, maar mogelijk. Het voordeel van de Rayleigh- Ritz methode is dat y(z) benaderd kan worden en toch nog relatief goede resultaten kan geven. Omdat we bij een 1DOF model alleen zijn geïntereseerd in de eerste eigenfrequentie, wordt een tweede orde polynoom gekozen om y(x) te benaderen:

1DOF model van een balk

~ ( x ) bo + biz + b2z2 (A.10)

die voldoet aan de randvoorwaarden:

~ ( 0 ) = O en y’(O) = O (A.ll)

Een hogere orde polynoom geeft een beter resultaat voor de eerste vormfunctie en geeft ook resultaten voor hogere orden vormfuncties. Substitutie van de randvoorwaarden in de polynoom geeft:

y(x) = b 2 X 2 (A.12)

De massa’matrix’ M en stijf’heids’matrix’ K worden dus:

pAL5 5

M = - , K = 4 E I L (A.13)

35