Transferencia de CalorConducao Unidimensional, em Regime Permanente e Sem

Geracao Interna de Calor

Filipe Fernandes de Paulafilipe.paula@engenharia.ufjf.br

Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia

Universidade Federal de Juiz de Fora

Engenharia Mecanica

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Introducao

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Introducao

I Para problemas unidimensinais e em que se pode considerar oregime permanente, a equacao do calor pode ser simplifica daseguinte forma:

d

dx

(k

dT

dx

)+ q = 0 (1)

I Inicialmente vamos assumir que nao ha geracao interna de energia

no sistema e a condutividade termica e constante. Dessa forma, a

equacao do calor toma a seguinte forma:

kd2T

dx2= 0 (2)

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A Parede Plana

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A Equacao do Calor para Parede PlanaI Para conducao unidimensional em uma parede plana, temperatura e

funcao da coordenada x , e calor e transferido apenas nessa direcao;I Calor e transferido por:

I Conveccao de um fluido a temperatura T∞,1 para uma superfıcie daparede;

I Conducao na parte interna da parede;I Conveccao da outra superfıcie da parede para um fluido a

temperatura T∞,2.

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A Equacao do Calor para Parede Plana

I A distribuicao de temperatura na parede pode ser encontradaresolvendo a seguinte EDO de segunda ordem

kd2T

dx2= 0 (3)

I Resolvendo a equacao 3, tem-se

T (x) = (Ts,2 − Ts,1)x

L+ Ts,1 (4)

I Da equacao 4 podemos perceber que para conducao unidimensional,em regime permanente, em uma parede plana, condutividade termicaconstante e sem geracao interna de calor, a temperatura varialinearmente com x .

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A Equacao do Calor para Parede Plana

I Utilizando a Lei de Fourier e a equacao 4, e possıvel obter a taxa detransferencia de calor e o fluxo de calor;

qx = −kAdT

dx=

kA

L(Ts,1 − Ts,2) (5)

qx =qxA

=k

L(Ts,1 − Ts,2) (6)

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A Equacao do Calor para Parede Plana

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Resistencia Termica

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Resistencia Termica

I Para o caso unidimensional, sem geracao interna de calor epropriedades constantes, um importante conceito e sugerido pelaequacao 5, a ideia de resistencia termica;

I Como resistencia eletrica esta associada a conducao de energiaeletrica, a resistencia termica esta associada a transferencia decalor, nos seguintes sentidos,

I Energia fluindo;I Uma forca motriz que mantem o fluxo;I Uma resistencia ao fluxo;

I Utilizando a equacao 5 podemos definir a resistencia termica deconducao como

Rt,cond ≡Ts,1 − Ts,2

qx=

L

kA[K/W ] (7)

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Resistencia Termica

I Utilizando a definicao de taxa de troca de calor dada em funcao daresistencia termica,

q =Ts,1 − Ts,2

Rt(8)

I e possıvel escrever uma relacao para resistencia termica deconveccao.

Rt,Conv =1

hA(9)

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Resistencia Termica

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A Parede Composta

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Parede Composta

I E uma parede formada por camadas de diferentes materiais;

I Pode-se analisar tais estruturas como varias resistencias termicas emparalelo e em serie;

I Assim, a taxar de calor pode ser escrita como

qx =∆T∑

Rt(10)

I Onde ∆T e a diferenca global de temperatura.

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Parede Composta

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Parede Composta

I Em termos de sistemas compositos, e util trabalhar com ocoeficiente global de transferencia de calor U, que e definido emtermos da seguinte equacao,

qx ≡ UA∆T (11)

Rtot =∑

Rt =∆T

q=

1

UA(12)

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Parede CompostaI Utilizando o conceito de parede composta, pode-se tratar problemas

como os da figura abaixo;I Apesar de o fluxo de calor ser bidimensinal, pode-se assumir

unidimensionalidade;I No caso a assumi-se que as superfıcies normais a direcao x , sao

isotermicas;I No caso b assumi-se que as superfıcies paralelas a direcao x , sao

adiabaticas;

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Parede Composta

I Os resultados para Rtot serao diferentes;I Os valores de qa e qb diferem entre si e entre o valor real de

transferencia de calor;I A medida que o valor de |kf − kg | aumenta, essas diferencas

aumentam.

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Resistencia de Contato

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Resistencia de Contato

I Apesar de ignorada ate o momento, a queda de temperatura entreas interfaces das camadas de uma parede composta pode assumirvalores consideraveis;

I Essa queda de temperatura e devido a resistencia de contato, que edefinida como,

R′′t =

TA − TB

q′′x

(13)

I Alguns metodos podem ser utilizados para diminuir a resistencia decontato:

I Para solidos com condutividade termica maior que a do fluidointerfacial, pode-se aumentar a area de contato do solido,aumentando a pessao de contato e/ou diminuindo a rugosidadesuperficial;

I Tambem e possivel utilizar fluidos interfaciais de alta condutividadetermica.

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Resistencia de Contato

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ExemploI Exemplo 1 - Um fino circuito integrado (chip) de silıcio e um

substrato de alumınio de 8 mm de espessura estao separados poruma junta de 0, 02 mm de epoxy. O chip e o substrato possuem10 mm de lado e suas superfıcies expostas sao resfriads a ar, comum coeficiente de conveccao 100 W /m2 · K . Se o chip dissipa104 W /m2 em condicoes normais, ele ira operar abaixo datemperatura maxima permitida de 85 °C?

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Exemplo

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ExemploI Exemplo 2 - Uma casa possui uma parede composita de madeira

(km = 0, 12W /m · K ), isolamento de fibra de vidro(kf = 0, 038W /m · K ) e placa de gesso (kg = 0, 17W /m · K ). Emum inverno gelado, os coeficientes de conveccao saoho = 60W /m2 · K e hi = 30W /m2 · K . A area total da parede e350m2.(a) Determine uma expressao simbolica para a resistencia termica total

do sistema;(b) Determine o perda de calor pela parede;(c) Se o dia esta com ventos fortes, aumentando ho para 300W /m2 · K ,

determine a porcentagem de aumento da perda de calor;

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Sistemas Radiais

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Coordenadas Cilındricas

I Para um sistema em coordenadas cilındricas, a equacao do calorunidimensional, sem geracao interna de calor fica na seguinte forma,

1

r

d

dr

(kr

dT

dr

)= 0 (14)

I Resolvendo a EDO 19 tem-se,

T (r) =Ts,1 − Ts,2

ln(r1/r2)ln

(r

r2

)+ Ts,2 (15)

qr =2πLk(Ts,1 − Ts,2)

ln(r2/r1)(16)

Rt,cond =ln(r2/r1)

2πLk(17)

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Coordenadas Cilındricas

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Coordenadas Cilındricas

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Coordenadas EsfericasI As equacoes para coordenadas esfericas sao,

qr =4πk(Ts,1 − Ts,2)

1

r1− 1

r2

(18)

Rt,cond =1

4πk

(1

r1− 1

r2

)(19)

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ExemploI Exemplo 3 - Uma tubulacao e composta de duas camadas de

meteriais com kA e kB , que sao separados por um fino aquecedoreletrico em que a resistencia de contato e despresıvel. Lıquido ebombeado pelo tubo a uma temperatura T∞,i e com hi . Asuperfıcie externa esta a T∞,o e com ho . Em condicoes de regime

permanente, o aquecedor dissipa q′′h .

(a) Desenhe o circuito termico do sistema e expresse todas as resistenciasem termos das variaveis relevantes;

(b) Obtenha uma expressao que pode ser usada para determinar atemperatura do aquecedor;

(c) Obtenha uma expressao para qo′ /qi

′ .

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Resumo dos Resultados para Conducao Unidimensional

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Resumo dos Resultados

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Raio Crıtico de Isolamento

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Raio Crıtico de IsolamentoI Um cilindro que dissipa calor sujeito a conveccao externa e envolto

por um isolante termico pode apresentar comportamentos diferentedependendo da espessura do isolamento:

I Um isolamento muito com alta espessura pode aumentar a troca decalor por conveccao devido ao aumento da area superficial;

I O aumento do isolamento pode diminuir a transferencia de calor.

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Raio Crıtico de Isolamento

Rtot = Rcond + Rconv (20)

Rtot =ln(r/ri )

2πkL+

1

2πrLh∞(21)

dRtot

dr=

1

2πkrL+

1

2πr 2Lh∞= 0 (22)

rcr =k

h∞(23)

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Raio Crıtico de Isolamento

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