Nederlandse Kinderen Goed in Wiskunde. de PISA-Toets Nader Bekeken.

Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 1

..

Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijsEen kleine analyse van het wiskunde onderwijs binnen twee generaties.

door

Liesbeth van der Plas-Eskes

1 Rekenvaardigheid in verband met wiskunde 31.1 Het belang van breukenvaardigheid voor wiskunde en natuurkunde 31.2 Wat is de oorzaak van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser? 41.3 Rekenen in de brugklas 51.4 Enige neveneffecten van de cito-toets. 6

2 Het algebra probleem 92.1 Moeder’s intensieve wekelijkse algebra training in de brugklas 92.2 Dochter’s twee of drie weekjes algebra in de brugklas 182.3 De noodzaak van algebra in de onderbouw 19

3 Het meetkunde probleem 213.1 Moeder’s brugklas meetkunde boek 213.2 Meetkunde in de brugklas-boeken van dochter 263.3 Het nut van meetkunde in de brugklas 28

4 Nederlandse kinderen goed in wiskunde? De PISA-toets nader bekeken. 294.1 Inleiding 294.2 Feiten 294.3 De PISA wiskunde test nader geanalyseerd 304.4 Conclusie 38

5 Slotopmerkingen en conclusies 395.1 Waarom moest ik dat vroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee. 395.2 Waarom zijn er te weinig wiskunde en natuurkunde studenten? 405.3 Waarom zijn de huidige schoolboeken niet goed voor VWO-leerlingen? 415.4 Met het oog op de toekomst 41

Bronvermelding 43

mailto:[email protected]





1 Rekenvaardigheid in verband met wiskunde

1.1 Het belang van breukenvaardigheid voor wiskunde en natuurkunde

Zonder goede breukenvaardigheid kom je met algebra niet verder dan een beetje optellen, aftrekken en vermenig-vuldigen. Neem als voorbeeld de volgende eenvoudige deelsom:

6ab3a= 2b

Een leerling is hier nog lang niet aan toe als hij het volgende gewone rekensommetje niet uit zijn hoofd kanuitrekenen:

6 × 7 × 103 × 10

= 2 × 7 = 14

Hij begrijpt dan nog niet dat de tienen tegen elkaar wegvallen en dat een breukstreep niets anders is dan eendeelstreep.Nog een voorbeeld:

25a+

37b=

14b35ab

+15a

35ab=

15a + 14b35ab

25+

37=

1435+

1535=

2935

Als een kind niet in staat is om het getalsommetje probleemloos uit te rekenen, is de algebra opgave ook nog veelte hoog gegrepen.

In het basisonderwijs wordt te weinig gerekend en geoefend met breukensommetjes. De belangrijkste oorzaakhiervan is de invoering van het rekenmachientje in het onderwijs en de hierdoor algemeen ontstane misvattingdat het eindeloos oefenen van sommetjes ouderwets en onnodig zou zijn, ja zelfs zou getuigen van een zekereboosaardigheid ten aanzien van de leerling. Een rekenmachientje is immers goed voor automatismen, een kindmoet goed worden in ’inzicht’.Het wrange is echter dat rekenkundig inzicht alleen kan worden verkregen indien er eerst een degelijke basisvaar-digheid bestaat in de automatismen van het optellen en vermenigvuldigen. Deze automatismen zijn een absolutevoorwaarde voor het verwerven van enig rekenkundig begrip.Zoals je geen violist kunt worden zonder dat je eerst uren hebt geoefend in het zuiver en goed aanstrijken van devier snaren, zoals je geen voetballer kunt worden als je niet eerst eindeloos hebt lopen pingelen en schieten, zokun je je geen rekenkundig inzicht verwerven als je je niet eerst de automatismen van het optellen en aftrekkenhebt eigen gemaakt.Voor alle vakken geldt dat men zich eerst een groot aantal ’domme’ automatismen moet eigen maken voordatmen met behulp van deze basisvaardigheden creatief en met inzicht kan gaan werken. Voor die tijd ontbreekteenvoudigweg het gereedschap.

Het idee dat een rekenmachientje het vele oefenen onnodig heeft gemaakt, berust op een groot en fataal misver-stand. Voordat je echt aan algebra kunt beginnen moet je eerst op de basisschool goed hebben leren optellen,aftrekken, vermenigvuldigen en delen, eerst gewoon, daarna met breuken. Zo niet, dan is algebra bij voorbaat alabracadabra.


1.2 Wat is de oorzaak van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser?

De geringe rekenvaardigheid van de startende brugklasser heeft een aantal oorzaken.

1. Het eindeloos opzeggen en herhalen van de tafels wordt gezien als ouderwets.

Het eindeloos opzeggen en herhalen van de tafels wordt gezien als ouderwets en uit de tijd, ja zelfs alseen soort ’plagen’ van de leerling. Deze mag immers later toch een rekenmachientje gebruiken. Door dezealgemeen heersende opvatting beheerst de gemiddelde brugklasser de tafels onvoldoende.

2. Het veelvuldig oefenen van gelijksoortige sommetjes wordt gezien als dom en onnodig.

Het systematisch herhalen en oefenen van gelijksoortige sommetjes maakt dat kinderen op een gegevenmoment iets zonder nadenken kunnen uitrekenen. Dit wordt gezien als dom en ondidactisch en volstrekt uitde tijd. Computers en rekenmachientjes zijn goed voor het platte rekenwerk. Een kind mag zich, als het omrekenen gaat, geen automatismen eigen maken. Deze algemeen heersende opvatting, vaak onuitgesprokenmaar toch zeer duidelijk aanwezig, maakt dat er te weinig wordt geoefend, vooral met breukensommetjes.De nadruk wordt vooral gelegd op inzicht. Men beseft daarbij onvoldoende dat inzicht pas ontstaat na heelveel oefenen. Door het herhaald oefenen van veel sommetjes van dezelfde soort ontstaat langzamerhandinzicht in het hoe en waarom van de berekening.

3. De Cito-toets bevat geen echte breukensommen.

Om alle breukenvragen van de Cito-toets foutloos te kunnen beantwoorden hoeft een kind feitelijk alleen teweten wat 1

5 betekent en dat 15 taartpunt groter is dan 1

10 taartpunt. Gewoon de berekening laten zien vansommetjes zoals: 1 2

5 +2 37 wordt niet gevraagd. Doordat de Cito-toets alleen meerkeuzevragen bevat worden

berekeningen bij voorbaat al nooit verlangd, maar zelfs meerkeuzevragen over dit soort sommen ontbrekengeheel. Zoals dat gaat met proefwerken in het algemeen en al helemaal bij een toets met zoveel impactals de Cito-toets, stelt de gemiddelde school zijn onderwijs hierop af. Bedoeld of onbedoeld, want de meestgebruikte schoolboeken bevatten ook veel te weinig oefenmateriaal.

4. De rekenmethoden van het basisonderwijs bevatten te weinig basis-oefenmateriaal.

We bekijken de meest gebruikte oefenstof voor het tweede semester van groep 8, te weten:

• Alles telt, leerlinlingenboek 8b

• Maatschrift 8A bij ’Alles telt’

• Werkschrift 8 bij ’Alles telt’

• De wereld in getallen, groep 8, Rekenboek b

Als een leerling alle sommen zou maken van het bovenstaande lijstje, dan maakt hij in totaal slechts eenzeer klein aantal sommetjes die echt van belang zijn voor algebra, te weten: ’noemers gelijk maken’ en ’tellerx teller gedeeld door noemer x noemer’. Hieronder de aantallen:

• ’noemers gelijk maken’:

10 sommetjes totaal in alles van ’Alles telt’

30 sommetjes in ’De wereld in getallen’

• ’teller x teller gedeeld door noemer x noemer’:

5 sommetjes in toaal in alles van ’Alles telt’

0 sommetjes in ’De wereld in getallen’

In totaal zijn dit 45 kleine sommetjes (niet 45 rijtjes, maar 45 losse sommetjes) in een half jaar! Het laatstehalf jaar wel te verstaan. Met de opgedane kennis van deze 45 sommetjes stapt het kind onwetend naar debrugklas, volstrekt niet toegerust met de basisvaardigheden die nodig zijn om aan echte wiskunde (algebraen Euclidische meetkunde) te kunnen beginnen.

5. De breukenvaardigheid van de gemiddelde leraar in het basisonderwijs is onvoldoende.


1.3 Rekenen in de brugklas

We bekijken het meest gebruikte boek ’Getal en Ruimte’ om te achterhalen wat er in de brugklas gedaan wordt aanhet voor wiskunde ernstige hiaat in breukenvaardigheid. De twee brugklasboeken bevatten slechts één paragraaf,namelijk §2.2 Breuken, waarin wordt geoefend met elementaire basissommetjes, namelijk in de opgaven 14 t/m 27.Hieronder een paar voorbeelden (onderdelen van respectievelijk de opgaven 19, 22 en 26):

434− 1

23

34× 80

12×

35

Dat was alles over breuken, alleen §2.2. Dit betekent dat de leerlingen slechts ongeveer een weekje oefenen metbreuken. Daarna wordt tot aan het einde van de brugklas niets meer aan dit onderwerp gedaan. Heel af en toeverschijnt er wel tussen andere sommetjes door een opgave waarin een of twee breukgetallen voorkomen, maarvan structureel en herhaald oefenen in geen sprake.In de tweede klas hebben de leerlingen nog steeds onvoldoende basiskennis om echt met algebra te kunnenbeginnen.


1.4 Enige neveneffecten van de cito-toets.

We bekijken de cito-toets van 2007, ofwel de ’Eindtoets Basisonderwijs Groep 8’.De toets bestaat, als het om rekenen gaat, in totaal uit 60 vragen verdeeld over de drie toetsdagen.Van deze 60 vragen zijn er 10 die iets met breuken te maken hebben. Als een leerling weet hoe 1

4 taartpunt eruit ziet, en hoe 1

5 taartpunt er ongeveer uitziet, dan kan hij 6 van de 10 breuken-vragen goed beantwoorden. Alshij dan ook nog weet dat 0,031 gelijk is aan 31

1000 , dan levert hem dit weer twee goede breuk-antwoorden op. Bijrekenen 2 vraag 18 moet hij weten dat 500

200 hetzelfde is als 500 : 200. Bij rekenen 3 vraag 3 en vraag 19 moet hijweten dat 4

10 =25 .

Samenvattend moet de leerling bij het verlaten van de basisschool de onderstaande vier feitjes weten over breukenvoor een foutloze toets.

. Wijs 14 taartpunt aan en 1

10 taartpunt.

. Is 14 kleiner of groter dan 1

6 ?

. Is 0,031 gelijk aan 311000 of gelijk aan 31

100 ?

. 500200 betekent 500 : 200 en 4

10 =25

Zelfs zonder deze geringe breukenkennis mist een leerling slechts 10 van de 60 rekenvragen en kan hij nog metgemak naar het VWO.We vergelijken dit voor de grap eens met iets heel anders. In het huis van mijn grootvader, ooit het hoofd van eenlagere school in Noordwijk, vond ik op zolder het volgende boekje uit 1918:’Mijn Examen, opgaven van de toelatings-examens voor hoogere burgerscholen en gymnasia’Ik pik er maar drie sommetjes uit als voorbeeld (bladzijde 52 opgave 9,11 en 15):

. De som van twee getallen is 100,2792. Vermindert men het eene getal met 2,4592 en vermeerdert menhet andere met 4,716, dan krijgt men twee getallen, waarvan het eerste 5/9 x zoo groot is als het tweede.Bereken die getallen.

. Bereken:4 1/4

2 : ( 114 1/2−

2 1/41 2/7

)

13 2/34

− 3 ×3

132/3+ 0, 5 : 0, 875

. Bereken:0, 1875 ha

62500000 cm2 −2187, 5 dg

31/8 hg−

0, 00135 km5, 4 dm

+289250 cl

6, 5 hl

Je gelooft het niet. Dit komt uit een tijd waar we waarschijnlijk echt niet naar terug willen. . . In de huidige tijd vancomputers en rekenmachientjes lijkt het inderdaad iets zinvoller om iets meer te doen aan natuurkunde proefjes enaan denk-reken-puzzeltjes.Maar om even terug te keren naar de moderne eisen voor toelating tot hogere burgerscholen.Het doel van de cito-toets is om de leerling straks op de juiste plek te krijgen. Dit doel zal de toets, neem ik aan,bereiken dus kan gezegd worden dat zij aan haar doel beantwoordt. Maar door de enorme invloed die de cito-toetsin de loop der jaren heeft gekregen komt er een zeer bedenkelijk neveneffect naar voren. De toets bepaalt voor eenbelangrijk deel het soort sommetjes dat op de scholen geoefend wordt.Op dit moment kan een kind dat totaal geen kennis of inzicht in breuken heeft toch goed scoren.Zoals de eisen uit 1918 laten zien, hebben wij de tijden drastisch veranderd. Het lijkt met toch echter duidelijk dateen jong kind een paar dingen wél degelijk en goed moet leren om in het moderne leven verder te kunnen en omzijn denkvermogen te ontwikkelen. Hierbij denk ik onder meer aan:

• Het zeer goed kennen van de tafels.

• Het met gemak kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van twee breuken.


In de cito-toets wordt nooit gevraagd om gewoon twee eenvoudige breuken met ongelijke noemer bij elkaar op tetellen. Geen enkele vraag ziet er bijvoorbeeld uit als:

. Bereken:

125+ 2

37

. Bereken:

514− 1

37

. Bereken:

325× 4

37

. Bereken:

325

: 437

Het zou wellicht een goed idee zijn als het CITO in de toekomst vragen zoals bovenstaande veelvuldig gaat stellenzodat de cito-score duidelijk het verschil laat zien tussen leerlingen die wél en leerlingen die níét in staat zijnom twee breuken bij elkaar op te tellen of met elkaar te vermenigvuldigen. Op die manier kan het onbedoeldeschadelijke neveneffect van de cito-toets worden omgezet in een zeer krachtig en positief middel om het onderwijste verbeteren. Leraren en leerlingen in het basisonderwijs zullen dan namelijk automatisch weer leren omgaan metbreuken.


2 Het algebra probleem

2.1 Moeder’s intensieve wekelijkse algebra training in de brugklas

Rond 1965 werd er een paar keer per week intensief geoefend met algebra.Door de nu volgende bladzijden uit het algebra brugklasboek goed te bekijken (inzoomen met het vergrootglas),zal duidelijk worden dat de moeders van nu aan het einde van de eerste klas al een zeer grote vaardigheid haddenopgebouwd in het rekenen met letters en een goed inzicht hadden verworven in het hoe en waarom van algebra.

P.Wijdenes, beknopte algebra I week 1

Waarom rekenen met letters?


week 2

a = 2, b = 3, c = 5, d = 7substitueren in

4abc − 2d2

week 3

a = 3substitueren in

3 + (a3 − 2a)(a − 3 + 4)

week 4

gelijksoortige termen aanwijzen

week 5

a = 2, b = 1, c = 3, z = 0substitueren in

a2 − b2

a2b2 −(a + b + z)2

(b + c − z)2


week 6

haakjes wegwerken

(6p − 2q − r) − (3p2 − q2 − r2)

week 7

haakjes wegwerken

pq(p3q3 + p2q2 − 4)

week 8

23

p3q ×5

16pq3

week 9

25cd4x3

40c2d3


week 10

x3y+

3yx+

x2 + y2

xy

week 11

schrijven als produkt

5a5 − 10a4b2 − 15a3b3

week 12

haakjes weg

4a2bc(5a + 7b2 + 4c2)

week 13 (2abc

3m2n3

)p


week 14

uit het hoofd

−9p2 + 43p2 − p2

week 15

+4x2 − y + 6z = −()

week 16

−[−{−(a + 2b) + (3c − d)} + 3d]week 17

−3p(2p2 − pq)


week 18

p2(p2 − 3p + 5) − 4p(−p2 + 8p − 9) + 7(3p2 + 11p − 8)week 19

(3p − 2q)2

week 20

Ontbind uit het hoofd:

a(b + c) + (b + c)

week 21

(−a2)2(−b2)2(−c2)4

−a3b4c5


week 22

(6a4 − 17a3b + 17a2b2 − 6ab3 + 6b4) : (3a2 − 4ab − 2b2)week 23

−x5=−15

week 24

x +3x − 9

5= 4 −

5x − 123

week 25

(a + b)x + (a − b)x = a2


week 26

Verdeel het getal 60 in twee delen zo, dat

het achtste deel van het grootste stuk gelijk

is aan het zevende deel van het kleinste.

week 27

Twee even grote vaten zijn geheel met water gevuld.

Wanneer men 34 liter uit het ene vat neemt en 80 liter uit

het andere, blijft er in het eerste juist diremaal zoveel over

als in het tweede. Hoe groot is de inhoud van elk vat?

week 28

(81p4 − 16q4) : (3p + 2q)week 29

Deel 1125 x3 + 1

27 y3 door x5 +

y3


week 30

Ontbind in factoren:

9(x + y)2 − 4(x − y)2

week 31

(m + n)(m − n)(m2 + n2)(−m4 + n4)

week 32

Ontbind in factoren:

16a2 − 25b2 − 30bc − 9c2


2.2 Dochter’s twee of drie weekjes algebra in de brugklas

Rond 2000 wordt er in de brugklas slechts 2 à 3 weken iets gedaan aan algebra. Het is niet meer dan een zeersummiere inleiding die niet kan beklijven door het gebrek aan herhaling.Door de nu volgende bladzijden uit de schoolboeken goed te bekijken (inzoomen met het vergrootglas), zal hetduidelijk worden dat er aan het einde van de brugklas al een achterstand van meer dan een jaar is opgebouwdals het gaat om inzicht en vaardigheid in algebraïsche bewerkingen. Méér dan een jaar, omdat aan het eind vande brugklas de rekenvaardigheid nog steeds onvoldoende is om in de tweede klas een goede start met algebra tekunnen maken.

Getal en Ruimte week 20

6a + 14a + 3b

week 20–21

3(a − 1) − 2a + 8week 32

(−xy6z5)7


2.3 De noodzaak van algebra in de onderbouw

Er is in de afgelopen decennia een aantal omstandigheden en beweegredenen geweest om algebra voor nietwiskundig geïnteresseerde kinderen zoveel mogelijk te vermijden. Zie onder meer §5–1 ’Waarom moest ik datvroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee.’Er bestaat echter een onweerlegbaar belang van goed algebra onderwijs in de onderbouw van het VWO voor alleleerlingen, en wel onder meer om de volgende twee redenen.

1. Door algebra leer je precies werken en goed en logisch nadenken. Dit is voor alle academici van belang, welkvak ze ook uitoefenen.

2. Om onze economie op hoog niveau te houden hebben wij veel goede wiskundigen, natuurkundigen en schei-kundigen nodig. Er zijn momenteel te weinig bèta studenten die in Nederland hun VWO opleiding hebbengevolgd en die dus waarschijnlijk in Nederland zullen blijven werken. Hieronder een tweetal oorzaken.

• Veel kinderen met een exacte aanleg krijgen de kans niet om hun talenten te ontdekken.De twaalfjarige leeftijd is een ontvankelijke leeftijd. Kinderen die een exacte aanleg hebben, moeten de kanskrijgen om op tijd, nog voordat zij de pubertijd bereiken, kennis te maken met de abstracte aard van wiskun-de. Zij kunnen alleen dán hun talenten ontdekken en ontplooien. Het logisch redeneren in de overzichtelijkeen bondige algebrataal is voor deze kinderen een openbaring. Zij ontdekken dat zij door het gebruik vanwiskundige formules en symbolen veel moeilijker dingen kunnen uitrekenen en bewijzen dan met gewoonNederlands mogelijk zou zijn.Zelfs in het tweede en derde leerjaar komt de leerling nog niet echt in aanraking met de korte en krachtigewiskundetaal die voor sommige kinderen juist zo aantrekkelijk is en waar zij de schoonheid van inzien.

• De enkeling die in zijn middelbare schooltijd wel de smaak van wiskunde te pakken krijgt begint aan zijn ofhaar studie zonder de daartoe benodigde wiskundebasisvaardigheden. De universiteiten en hogescholenweten dit maar al te goed en zien zich genoodzaakt om de middelbare schoolstof opnieuw zelf te doceren,voordat ze met hun eigenlijke kennisoverdracht kunnen starten. Wiskunde is namelijk een vak waarvoor je,als primaire eis, eerst de algebra-taal moet beheersen. Van deze algebra-taal moet een beginnend eerste-jaars student de elementaire grammaticaregels kennen en er mee kunnen lezen en schrijven. Zonder diekennis valt er nog geen college ’Analyse’, ’Elementaire Algebra’ of ’Getallentheorie’ te volgen.Vergelijk dit met het in de Franse taal lezen en het in de Franse taal bespreken van een Franse roman als jealleen nog maar être en avoir plus een paar honderd woordjes Frans op school hebt geleerd.In de pers verschijnt zo nu en dan een bericht waaruit zou blijken dat Nederlandse scholieren het juist goeddoen als het gaat om wiskunde. Dit zou dan met name blijken uit de resultaten van de internationale ’Pisa-toets’. Feit is echter dat PISA absoluut niet het wiskundig niveau van onze scholieren onderzoekt. Lees terverduidelijking van dit belangrijke punt hoofdstuk 4 ’Nederlandse kinderen goed in wiskunde?’.Ter vergelijking kun je je het volgende afvragen:Kun je een internationaal gerenommeerd pianist worden als je pas op je veertiende begint met piano spelen?Kun je een groot voetballer worden als je in je jeugd niet een paar keer per week hebt getraind of op straatgevoetbald?Kun je een groot wiskundige of natuurkundige worden als je pas op veertien of vijftienjarige leeftijd bentbegonnen met abstracte algebra en logisch redeneren?Het antwoord op bovenstaande drie vragen luidt: ’Ja, het kan, maar alleen bij wijze van zéér grote uitzon-dering. Wij hebben meer goede beta-mensen nodig dan de enkeling die ondanks een late start toch nogwiskundige wordt.Aan onze twaalfjarigen wordt een stelselmatige oefening en opbouw van vaardigheden geheel onthouden.Zij oefenen slechts twee of drie weken een heel klein beetje algebra waardoor ze niet meer dan een zeersummiere inleiding krijgen die niet kan beklijven door het gebrek aan opbouw en herhaling. De achterstand isaan het eind van de brugklas al groter dan een jaar, omdat ook de rekenvaardigheid nog steeds onvoldoendeis om in de tweede klas een goede start te kunnen maken met algebra.


3 Het meetkunde probleem

3.1 Moeder’s brugklas meetkunde boek

Schoolboek uit 1961, gebruikt door de auteur van dit stukje en haar twee ou-dere zusjes. Alle academici van 55 jaar en ouder gebruikten in hun eerstemiddelbare schooljaar dit of een soortgelijk meetkundeboek.

Het boek begint, net als Euclides in ongeveer 300 voor Chris-tus, met drie zeer eenvoudige axioma’s. Deze drie axioma’sals uitgangspunt nemend, leer je via logisch en precies re-deneren allerlei bijzondere eigenschappen van driehoeken encirkels ontdekken en bewijzen.Het doel van deze lessen is niet zozeer om bijvoorbeeld teweten dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één puntgaan, maar om zeer precies en logisch te leren denken.


Alle stellingen worden bewezen. Daardoor wordt de leerlingniet gevraagd om iets zo maar klakkeloos te geloven! Integen-deel, de leerling moet een bewijs zelf kunnen reproduceren.

Zelf een eigenschap proberen te bewijzen is voor sommigekinderen een fascinerende uitdaging.Er wordt zeer veel geoefend, week in, week uit.Het zelfstandig en kritisch denkvermogen wordt op deze ma-nier ontwikkeld.


Zelf meetkundige figuren leren tekenen is zeer leerzaam ennuttig.Geen dure werkboeken met voorgedrukte figuren, maar pa-pier, potlood, passer en geodriehoek.

Al halverwege de eerste klas wordt hier gevraagd zelf te bewij-zen dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één puntgaan.Het zoeken naar een sluitend bewijs is een grote uitdaging, ofeen leerling er nu meteen in slaagt of niet.Het gevoel echt iets geleerd te hebben is voor een kind veelplezieriger dan louter het gevoel dat de les ’leuk’ was.


Week in, week uit oefenen.Met regelmaat en structuur wordt het bouwwerk van Euclidesopgetrokken.Het gaat voor kinderen die later jurist of arts worden niet omde kennis van de stellingen van de vlakke meetkunde.Het gaat erom dat zij leren om kritisch en exact na te denken.Voor alle hoger opgeleiden, zowel voor bèta’s als voor alfa’s,is dit essentieel.

Door een paar keer per week te oefenen wordt vanzelf hetabstracte denkvermogen ontwikkeld.Formules over het aantal diagonalen van een n-hoek kunnen12-jarigen in het VWO allemaal begrijpen.Hier is geen ’wiskundeknobbel’ voor nodig, maar alleen regel-maat, structuur en begeleiding.


Het denkvermogen is aan het einde van het eerste leerjaaral zo goed ontwikkeld, dat complexe stellingen over twee snij-dende cirkels voor niemand te moeilijk zijn.

Passer, geodriehoek en papier.Dat is het enige dat nodig is om meetkundige figuren te lerentekenen.Door gebruik te maken van een ’werkboek’ met voorgedruktefiguren leer je dat niet!Werkboeken maken juist dat het meetkundig inzicht mindergoed wordt ontwikkeld.


3.2 Meetkunde in de brugklas-boeken van dochter

Rond 2000 wordt er in de brugklas niets gedaan aan de opbouw van het Euclidische meetkunde bouwwerk. Hetmeest creatieve en indrukwekkende onderdeel van de schoolwiskunde wordt geheel overgeslagen.

In de brugklas werkt men met één ’methode’, waarin allerlei onderwerpen door elkaarworden behandeld.

Pas in hoofdstuk 5, Lijnen en hoeken (het is inmiddelsniet ver voor de kerstvakantie), wordt er gesproken overeen punt en een lijn. Een wiskundige definitie wordt nietgegeven. Het woord ’axioma’ wordt niet genoemd. Debegrippen ’punt’ en ’lijn’ uit het normale spraakgebruikwaren de leerling natuurlijk al wel bekend. Hij leert hierdus niets nieuws en zeker geen wiskunde.


In de 37 bladzijden over lijnen en hoeken wordt niet veelnieuws geleerd. Vaak lijkt iets op een bladzijde vol oefe-ningen. Bij nader inzien hebben de ’oefeningen’ meest-al niet veel met wiskunde te maken.

In hoofdstuk 9, Symmetrie en vlakke figuren, verschijntde zo belangrijke stelling uit de vlakke meetkunde overde drie hoeken van een driehoek. Een bewijs is er nietbij. De leerling moet de stelling klakkeloos geloven, om-dat het waar lijkt als je in een driehoek gaat knippen.Dit is een soort karikatuur van wiskunde. Het is juistprecies wat wiskunde niet is.Het doel van meetkunde is niet om te weten dat de driehoeken van een driehoek samen 180 graden zijn. Hetdoel is om een dergelijke stelling te leren bewijzen enzo het kritisch en logisch denkvermogen te ontwikke-len.


3.3 Het nut van meetkunde in de brugklas

De Euclidische meetkunde is vrijwel geruisloos en zonder discussie uit de onderbouw verdwenen. Dit ongemerkteverdwijnen is mogelijk gemaakt doordat leerlingen niet meer werken met een overzichtelijk algebra boek en eenapart meetkunde boek, maar met een ’wiskundemethode’. In het hoofdboek van een dergelijke methode wordenallerlei losse onderwerpen door elkaar behandeld, versierd met veel plaatjes en teksten.Deze manier van werken met losse onderwerpen (nu eens twee weken ’omgaan met informatie’, dan weer drieweken ’plaatsbepalen’ enz.), maakt dat er geen sprake meer is van een systematische opbouw van het indrukwek-kende bouwwerk van Euclides.De meeste kinderen, ook het merendeel van onze toekomstige artsen, economen en juristen, komen nu totaal nietmeer in aanraking met de strakke en onweerlegbare bewijsvoering van Euclides. Dit is des te meer te betreurenomdat de Euclidische meetkunde de meest effectieve manier is om goed en precies te leren denken en werken.De zeer kleine groep kinderen dat na de vierde klas het meest exacte pakket (natuur en techniek) kiest, begint veelte laat, in het vijfde leerjaar, met het meest aantrekkelijke en meest creatieve onderdeel van de school–wiskunde.

De luxe wiskunde boeken hebben mede hun huidige positie kunnen veroveren omdat veel ouders het uiterlijkvan die boeken veel leuker en aantrekkelijker vinden dan hun eigen saaie boeken vol formules waar ze vaak nogmet enig afgrijzen naar omzien. Al die kennis en formules hebben ze in hun huidige werk toch nooit meer nodig.Wat zij echter niet beseffen is dat zij vooral door de voor de Euclidische meetkunde zo karakteristieke strakkebewijsvoering (’Gegeven, Te bewijzen, Bewijs’) precies hebben leren denken en werken. Hun in hun jeugd getrainderedenatievermogen gebruiken ze nu wel degelijk nog elke dag.

Hieronder volgen twee belangrijke overwegingen om herinvoering van de vlakke meetkunde in de onderbouw teoverwegen.

1. Voor kinderen is het niet ’leuk’ als zij niet precies leren denken en werken. Voor de samenleving is het niet’leuk’ is als er te veel fouten en denkfouten worden gemaakt door de deelnemers aan het arbeidsproces.Denk daarbij bijvoorbeeld aan (jonge) notarissen die niet in staat zijn een ondubbelzinnige en logische akte temaken. Of denk aan (jonge) artsen die te weinig getraind zijn in het exact en logisch redeneren en daardooronvoldoende in staat zijn de juiste diagnose te stellen. Of denk aan slordige apothekers en niet-systematischdenkende informatici.

2. Een aantal van de nu iets oudere bètamensen hebben juist door die vlakke meetkunde (waarmee ze syste-matisch oefenden vanaf hun twaalfde jaar) ontdekt dat hun talent en liefde lag bij de exacte vakken. Velenvan hen zouden de bètaweg niet zijn ingeslagen als ze in hun jeugd de huidige ’talige’ wiskundeboekjes had-den moeten doorwerken. Voor kinderen met een exacte aanleg is het niet goed dat hun nu de kans op hetjuiste vak wordt onthouden. Voor de samenleving is het niet goed dat er te weinig kinderen zijn die na hunschoolopleiding kiezen voor een exacte studie.

Het is dan ook bepaald geen overbodige luxe om herinvoering van de vlakke meetkunde in de onderbouw in elkgeval sterk te overwegen. Zoals al eerder gezegd, het doel van de vlakke meetkunde is voor de meeste toekomstigehoger opgeleiden niet de meetkunde zelf. Daar hoeven zij later niets meer over te weten. Echter, het leren omkritisch en exact na te denken, is zowel voor alfa’s als voor bèta’s onmisbaar.


4 Nederlandse kinderen goed in wiskunde? De PISA-toets naderbekeken.

4.1 Inleiding

Eenmaal per drie jaar verschijnt er een wiskunde rapport van de OESO (Organisatie voor Economische Samen-werking en Ontwikkeling) inzake vergelijkend onderzoek naar de onderwijsresultaten van ruim 40 landen. Dezeofficiële ’PISA’ rapporten (’PISA’ staat voor ’Programme for International Student Assessment’) publiceren op hetgebied van wiskunde de pisa-testresultaten van 15-jarige leerlingen uit alle OESO lidstaten en geassocieerde lan-den. De rapporten zijn behoorlijk invloedrijk. Politici en beleidsbepalers halen de rapportcijfers (vooral als dezegoed zijn!) graag aan en maken daar goede sier mee. Zo ook het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap(OCW) dat zich al een reeks van jaren baseert op de uitkomsten van PISA rapporten, wanneer het stelt dat hetNederlandse onderwijs in de top 10 van de wereld scoort. ’Bij wiskunde zelfs als vierde, achter Hongkong, Fin-land en Zuid-Korea’, zo stelt het OCW, daarmee welhaast expliciet de indruk wekkend dat ons wiskundeonderwijsen de prestaties van onze leerlingen tot de mondiale top zouden behoren. Volstrekt ten onrechte, naar ik in hetonderstaande zal illustreren.

4.2 Feiten

De in 2000, 2003 en 2006 uitgebrachte PISA rapporten, die uit duizenden pagina’s bestaan, hebben zeer veel kritiekgeoogst, onder meer van de onderwijspsycholoog Willem Smit, die al jaren bezig is met meet- en regelkunde vanonderwijsonderzoek. De belangrijkste punten van kritiek zijn:

• Onzorgvuldig geconstrueerde of slecht vertaalde opgaven.

• De validiteit van de testopgaven voor de nationale leerplannen. De leerplannen verschillen tussen de landenen zelfs binnen één land (bijvoorbeeld in Duitsland) aanzienlijk van elkaar. Testopgaven van internationaleinspecties en onderzoeksinstituten zullen dus altijd beter aansluiten bij het leerplan van land A dan dat van landB.

• De PISA test staat los van de nationale leerplannen op het gebied van de wiskunde en is geen directe metingvan de resultaten van die nationale leerplannen. De PISA test kan de kwaliteit van de onderwijsstelsels op hetterrein van de wiskunde in de onderzochte landen in dit opzicht dus niet met elkaar vergelijken. Om die redenhebben de posities van de landen op de PISA-ranglijsten dus weinig betekenis.

• In de onderzochte landen is van allerlei verschillende omstandigheden sprake en zijn culturele verschillen vaninvloed op de uitkomsten van het onderzoek, zoals: - het aantal aan het vak wiskunde bestede lesuren verschiltvan land tot land; - invloeden van geëmigreerde leerlingen met een taalachterstand; - invloeden van de klassen-grootte in verschillende landen; - beschikbaarheid van middelen, werkomstandigheden van leraren, opleidingvan leraren, opleidingsniveau en hulp van de ouders, ervaring met meerkeuzevragen.

• Wat meet PISA nu eigenlijk? Het antwoord op deze vraag wordt door de OESO op haar website gegeven,waaraan ik het volgende ontleen:The OESO/PISA mathematical literacy domain is concerned with the capacities of students to analyse, reason,and communicate ideas effectively as they pose, formulate, solve and interpret mathematical problems in avariety of situations. The OESO/PISA assessment focuses on real-world problems, moving beyond the kindsof situations and problems typically encountered in school classrooms. In real-world settings, citizens regularlyface situations when shopping, travelling, cooking, dealing with their personal finances, judging political issues,etc, in which the use of quantitative or spatial reasoning or other mathematical competencies would help clarify,formulate or solve a problem.


Voor een doorwrochte analyse van de vraag of ons onderwijs in het algemeen internationaal bij de wereldtopbehoort, raadplege men de studie van Willem Smit, ’Mythes en waarheden deel 5: maar internationaal doenwe het toch goed?’

4.3 De PISA wiskunde test nader geanalyseerd

Het hierboven geciteerde antwoord op de vraag wat PISA nu eigenlijk meet verdient een nadere bestudering.Gaat het inderdaad slechts om wiskundevaardigheden en -competenties? Betreft het inderdaad slechts wiskundein relatie tot het dagelijkse leven in de echte wereld, wanneer men winkelt, reist, kookt, zijn geldzaken regelt ofpolitieke thema’s beoordeelt? Voor de beantwoording van deze vragen raadplege men: OESO pisa vragenOp dit webadres is een selectie van de PISA wiskunde testvragen van 2003 gepubliceerd. Aan de test deden, zoalsgezegd, 41 voornamelijk westerse landen mee en Nederland eindigde als vierde (zie boven). De volledige tekstis bij mijn weten niet door de OESO gepubliceerd. Men mag er evenwel van uitgaan dat de door de OESO zelfgepubliceerde selectie van de 38 vragen representatief voor de test is. Alle van de selectie deel uitmakende vragenheb ik stuk voor stuk onder de loep genomen en op hun wiskundige inhoud en/of wiskundig gehalte beoordeeld.De vragen waren vrijwel alle ingebed in ’verhaaltjes’ en bijbehorende plaatjes en vergden gemiddeld 1 à 1,5 A-4 tje!De vragen heb ik vervolgens tot hun louter wiskundige inhoud en/of wiskundig gehalte beperkt. De aldus geheelvan hun franje ontdane vragen volgen onderstaand. Bij elke vraag wordt de naam van het PDF-bestand genoemd,opdat de geïnteresseerde lezer desgewenst de oorspronkelijke vraag met de bijbehorende verhaaltjes en plaatjeskan bekijken. Mijn analyse en beoordeling van het wiskundeniveau en/of het wiskundegehalte heb ik steeds achterde vraag vermeld. Het wiskundig of niet-wiskundig niveau van de 38 vragen is voor de duidelijkheid rood gekleurd.

1. M124Walkg–eng3, vraag 1: WALKINGnP = 140 en n = 70.Bereken P.

Dit is wiskunde voor de brugklas.

2. M124Walkg–eng3, vraag 3: WALKINGnP = 140 en P = 0.80.Bereken n (meter per minuut).Reken n om in kilometer per uur.

Dezelfde zeer eenvoudige lineaire vergelijking.Dit is wiskunde voor de brugklas.Het omrekenen in kilometer per uur is basisschool stof. Dit is rekenen voor de basisschool.

3. M145Cubes–Eng4, vraag 1: CUBES

Op de twee tegenovergestelde vlakken van een dobbelsteen staan altijd cijfers die opgeteld 7 zijn. De vraagkomt er op neer dat je invult dat er tegenover een 5 een 2 zit.

Dit is rekenen voor de basisschool.

4. M150GrwUp–Eng4, vraag 1: GROWING UP

Bij de vragen 4, 5 en 6 hoort een grafiek met twee curven, één voor de gemiddelde lengte van meisjes ende ander voor de gemiddelde lengte van jongens als functie van hun leeftijd. Sinds 1980 is de gemiddeldelengte van 20 jarige Nederlandse meisjes met 2.3 cm toegenomen tot de waarde van 170.6 cm. Wat was degemiddelde lengte van een meisje in 1980?

De vraag is niets anders dan: ’bereken 170.6-2.3’. Als een leerling deze vraag fout beantwoord, komt datomdat hij de som niet goed kan lezen (hij beheerst zijn taal niet goed). Dit is geen wiskunde maar eenbasisschoolniveau rekensommetje of een taalvraag. De getekende grafiek is niet nodig voor het beant-woorden van de vraag.

http://www.beteronderwijsnederland.nl/?q=node/1340














http://www.oecd.org/LongAbstract/0,2546,fr_2649_35845621_34993148_119826_1_1_1,00.html





Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Dezelfde grafiek plus de onderstaande bewering. Uit de grafiek blijktdat de gemiddelde groeisnelheid bij meisjes gemiddeld na hun 12e jaar. Leg uit hoe dit uit de grafiek blijkt.

Een kind hoeft alleen op te merken dat een grafiek na een bepaald punt minder steil omhoog loopt dan vóórdat punt. Het antwoord ligt al in de vraag. Het antwoord hoeft ook niet wiskundig onder woorden te wordengebracht. Het is geen echte wiskunde, in die zin, dat je er totaal geen wiskundige kennis of vaardigheidvoor hoeft te hebben. Een brugklasser, ja zelfs een basisschoolleerling, zal deze vraag zeker kunnenbeantwoorden mits hij zich niet laat intimideren (de grafiek bevat ook een curve voor de jongens en lijktdaardoor vrij ingewikkeld).


Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Dezelfde grafiek. De grafiek bevat twee curven, een voor de gemid-delde lengte van meisjes en de ander voor de gemiddelde lengte van jongens als functie van hun leeftijd.Gedurende welke periode zijn meisjes gemiddeld groter dan jongens?

Ook deze vraag is niet echt wiskundig. Dit wordt in de Nederlandse schoolboeken in de brugklas behan-deld.

7. M179Robbr–Eng3.PDF, vraag 1: ROBBERIES

Weer een vrij eenvoudige vraag over een grafiekje. Uit de grafiek lees je direct af dat er in 1998 ongeveer508 inbraken waren en 516 in 1999.De vraag: Als een verslaggever zegt dat deze grafiek een enorme toename laat zien in het aantal inbraken,is dit dan juist?

Ook hier geeft de manier van vragen al een indicatie over het antwoord.Hier hoef je geen wiskunde voorgeleerd te hebben. Een beetje logisch nadenken geeft het antwoord. In de brugklas leer je dit soort vragenbeantwoorden.

8. M266Crntr–Eng3.PDF, vraag 1: CARPENTER

Er zijn vier figuren. Is de omtrek van een figuur groter dan 32 meter? Daar komt de vraag op neer.

Voor drie figuren kun je de omtrek probleemloos uitrekenen, want de figuur bestaat uit horizontale en verti-cale stukjes. Dit leer je op de basisschool. De omtrek van de laatste figuur, een parallellogram, kún je nietuitrekenen (er zijn te weinig gegevens). Als een leerling geen wiskundige formules kent voor het berekenenvan de lengte van een lijnstuk, is hij in het voordeel, want hij probeert niet eens om de omtrek precies teberekenen. Hij begint meteen goed te kijken of de omtrek groter kan zijn dan 32. Doordat de gegeven matendit precies toelaten, kan hij het antwoord zeer snel zien. Dit is geen wiskunde. Het niveau is basisschool,al wordt dit tegenwoordig ook in de brugklas behandeld. Het is een leuk puzzeltje voor een 10 of 11 jarige.

9. M402IRC–Eng3.PDF, vraag 1: INTERNET RELAY CHAT

Je ziet drie klokken (Greenich, Sydney en Berlijn).De vraag: Als het 7 uur is in Sydney, hoe laat is het dan inBerlijn?

Dit is geen wiskunde. Denkvraag niveau basisschool.

10. M402IRC–Eng3.PDF, vraag 2: INTERNET RELAY CHAT

Deze vraag hoort bij de vorige. Het gaat weer over het berekenen van het tijdsverschil.

Dit is geen wiskunde.


11. M412Excha–Eng3.PDF, vraag 1: EXCHANGE RATE

Voor 1 dollar uit Singapore krijg je 4.2 Zuid-Afrikaanse rands (1SGD = 4.2 ZAR). De vraag: Hoeveel Zuid-Afrikaanse rands krijg je voor 3000 Singapore dollars?

Je zou nog kunnen zeggen dat het hier gaat om een lineaire vergelijking, maar elke basisschoolleerling zaldeze vraag kunnen beantwoorden. Hier heb je geen wiskunde voor nodig. Een leerling die wel de ’formule’gebruikt is zelfs in het nadeel, want hij zal bij een foutieve berekening minder snel inzien dat zijn antwoordniet klopt.


Deze vraag hoort bij de vorige vraag; voor 1 dollar uit Singapore krijg je 4.2 Zuid-Afrikaanse rand. De vraag:Hoeveel Singapore dollars krijg je voor 3900 Zuid-Afrikaanse rands?

Nu moet je delen in plaats van vermenigvuldigen. Feitelijk ook basisschool rekenwerk. Je hebt er geenwiskunde voor nodig en je bent zelfs in het nadeel als je de vraag wél wiskundig bekijkt.


Deze vraag hoort bij de vorige vraag; voor 1 dollar uit Singapore krijg je nu niet 4.2, maar 4.0 Zuid-Afrikaanserand.De vraag: Is deze verandering voordelig voor een meisje uit Singapore dat terugkomt uit Zuid-Afrika?

Weer geen wiskunde. Een leerling kan deze vraag zelfs beter met zijn gezonde verstand beantwoordendan met de omrekenformule. Hij ziet dan veel sneller of zijn antwoord klopt.

14. M438Expor–Eng3.PDF, vraag 1: EXPORTS

Je ziet een staafdiagram met 5 staafjes voor 5 jaren.De vraag: Lees de waarde af van het staafje dat hoort bij het jaar 1998.

Dit is wel heel erg simpel. Zelfs een antwoord zonder eenheid wordt goed gerekend. Zonder enige wiskundekennis kun je deze vraag beantwoorden. Het is dus geen wiskunde.

15. M438Expor–Eng3.PDF, vraag 2: EXPORTS

Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Naast het staafdiagram is ook een cirkeldiagram getekend voor het jaar2000, waaruit je kunt aflezen dat 9% van de export in het jaar 2000 uit fruitsap bestond. De vraag (multiplechoice): Voor hoeveel geld werd er aan fruitsap geëxporteerd in 2000?

Het berekenen van 9% van 42.6 behoort tot de basisschool rekenstof en ook het aflezen van de grafiekenvereist geen wiskunde kennis.

16. M467Candy–Eng3.PDF, vraag 1: COLOURED CANDIES

Je ziet een staafdiagrammetje waaruit je kunt aflezen dat er in een snoepzak 6 rode, 5 oranje, 3 gele, 3groene, 2 blauwe, 4 roze, 2 paarse en 5 bruine snoepjes zitten.De (multiple choice) vraag: Hoe groot is de kans dat je (blind) een rood snoepje uit de zak pakt?

Een beetje logisch nadenken geeft het antwoord. Ik denk niet dat een 15 jarig kind hier enige wiskundekennis voor hoeft te hebben. Het is meer een IQ-vraag.

17. M468STest–Eng3.PDF vraag 1: SCIENCE TESTS

Een meisje maakt 5 proefwerken. Voor de eerste vier heeft ze gemiddeld 60 punten van de 100.Voor het 5eproefwerk haalt ze 80 punten. De vraag: Wat is haar gemiddelde score?

Het begrip gemiddelde wordt, denk ik, op de basisschool behandeld en zo niet, dan weet toch elk kind welhoe hij zijn rapportcijfer moet uitrekenen. Het is daarom geen vraag waarvoor je in de wiskundeles iets


geleerd moet hebben. Dat neemt niet weg dat de vraag ietsje lastiger is dan gemiddeld. De enige echtedenkfout die je zou kunnen maken is (60+80)/2 = 70, maar elk kind snapt ook wel dat je met vier zesjes enéén 8 niet gemiddeld een 7 hebt. Het is meer een intelligentie vraag.

18. 18. M471SFair–ENG2, vraag 1: SPRING FAIR

Dit is een echte gokvraag. Je ziet een plaatje van een wijzer die je rond kunt draaien. Als de wijzer stoptbij een even getal mag je blind een knikker uit een zak pakken. Als de knikker zwart is, win je een prijs. Erzijn minder zwarte knikkers dan witte. De vraag: Hoe groot is de kans dat je een prijs wint? (multiple choice;kiezen uit: onmogelijk, niet erg waarschijnlijk, 50%, erg waarschijnlijk of zeker).

Het lijkt een te moeilijke wiskunde vraag, ware het niet dat je alleen maar hoeft hoeft te kiezen uit eencollectie van 5 antwoorden. Met wiskunde kom je er niet snel; het is te moeilijk voor een 15 jarige. Met eenbeetje nadenken zie je het antwoord meteen, want áls je al mag trekken (als de pijl stopt bij een even getal),dan nog is op dat moment de kans om te winnen duidelijk kleiner (er zijn minder zwarte knikkers dan witte).Kortom, een beetje logisch nadenken geeft je het goede antwoord. De vraag vergt geen enkele wiskundigekennis of vaardigheid. Een leerling is zelfs in het voordeel als hij geen enkele formule van de kansrekeningkent, want dan begint hij meteen logisch na te denken.

19. M484Books–Eng3.PDF, vraag 1: BOOKSHELVES

Een timmerman heeft in voorraad: 26 lange planken, 33 korte planken, 200 kleine clips, 20 grote clips en510 schroeven. Voor één boekenkast gebruikt hij: 4 lange planken, 6 korte planken, 12 kleine clips, 2 groteclips en 14 schroeven. De vraag: Hoeveel boekenkasten kan hij maken?

Weer geen wiskunde. Basisschool rekenen.

20. M505Littr–Eng3.PDF, vraag 1: LITTER

In een tabel zie je 6 typen afval en de 6 bijbehorende tijden die het vergt om het afval door de natuur af telaten breken. De vraag: Geef één reden waarom een staafdiagram niet geschikt is voor de weergave vandeze gegevens.

Ik zie hier ook geen echte wiskunde in. Op zich een moeilijke vraag, want een leerling met gezond verstandkomt zelfs niet op het idee om hier een staafdiagram van te maken.

21. M509Quake–Eng3.PDF, vraag 1: EARTHQUAKE

De kans op een aardbeving binnen 20 jaar in een bepaalde stad is 2 op 3.De vraag (multiple choice): Je ziet vier zinnen, waarvan je er één moet kiezen die het meest overeenkomtmet de bovenstaande uitspraak.

Dit lijkt me toch ook niet echt een wiskunde vraag. Het is meer een taalvraag.

22. M510Choic–Eng3.PDF, vraag 1: CHOICES

Een pizza heeft als basis kaas en tomaat. Je kunt op zo’n basispizza ook nog iets extra’s leggen: olijven,ham, paddestoelen en salami. De vraag: Hoeveel keuze mogelijkheden heb je als je een pizza wilt met tweeverschillende extra’s?

Een basisschoolleerling kan dit beredeneren door gewoon een rijtje te maken: 1 en 2, 1 en 3, 1 en 4, 2 en3, 2 en 4, 3 en 4 (1 staat voor olijven enz.)Je hebt hier geen wiskunde voor nodig. Het is zelfs gemakkelijker zonder wiskunde door het te kleine aantalmogelijkheden. Zonder wiskunde maak je minder snel een fout! Daar komt nog bij dat de vraagstelling hangtop het woordje ’en’. Een basispizza heeft kaas en tomaat. Een leerling kan denken dat hij kan kiezen tussenkaas en tomaat en dat er dus twee soorten basispizza’s mogelijk zijn, namelijk óf kaas óf tomaat. In datgeval maakt hij een subtiele taalfout en krijgt daardoor een slecht ’wiskunde’ cijfer.


23. M513Score–Eng3.PDF, vraag 1: TEST SCORES

Weer een grafiek, nu met gele en zwarte staafjes. De zwarte staafjes bevatten de toets scores van groep Aen de gele staafjes de scores van groep B. Kinderen met een score tussen bijvoorbeeld 49 en 60 staan inéén staafje. Verder is gegeven dat de gemiddelde score van groep A gelijk is aan 62.0 en van groep B aan64.5. Geef een argument waarom het heel goed mogelijk is dat groep A beter scoorde dan groep B.

Er is gegeven dat ’de gemiddelde score van groep A gelijk is aan 62.0’. Het eerste wat een leerling diegoed nadenkt zich zou kunnen afvragen is, of dit gemiddelde van 62.0 het échte gemiddelde is óf het groveafgeronde gemiddelde die je uit de grafiek kunt halen. Na enig rekenen ontdekt hij dan, dat het gaat om de’gemiddelde score’ die je uit deze grove grafiek kunt destilleren. Het getal 62.0 is dus geen echt gemiddelde,maar een soort gemiddelde van het gemiddelde. Waarschijnlijk gaat de vraagsteller er vanuit dat de leerlingdit ook meteen zo gelezen had. Een leerling die hier inderdaad klakkeloos en zonder nadenken van uit gaat,denkt minder logisch na en leest ook slechter dan een leerling die de dubbelzinnigheid van de gegeven ’ge-middelden’ inziet. Daar komt nog bij dat dit geen ’real mathematics’ is, want geen enkele leraar berekent eengemiddelde score op deze zo vreemde en inexacte wijze. Bij een toets bereken je gewoon het gemiddeldeen niet één soort (afhankelijk van de keuze van de staafbreedte) gemiddelde van het gemiddelde. De vraagis dus zéér onlogisch en verwarrend en erg nadelig voor kritisch en wiskundig denkende kinderen. Vervol-gens zou een leerling kunnen bedenken dat het theoretisch mogelijk is dat alle leerlingen van groep A aande bovenkant zitten binnen een staafje en dat alle leerlingen van groep B juist aan de onderkant zitten. Alsje daar even mee gaat rekenen, dan zie je dat het theoretisch mogelijk is dat het echte exacte gemiddeldevan groep A gelijk is aan 66.5 (de rechter randwaarde van de staaf van 62.0) en van groep B gelijk is aan60.0 (de linker randwaarde van de staaf van 64.5). In dat geval of in een iets minder extreem geval, is hetdus inderdaad heel goed mogelijk dat groep A in werkelijkheid een hogere gemiddelde score had dan groepB. Het lijkt me dat dit het enige echt goede antwoord is. De vraag was immers om een argument te gevendat het heel goed mogelijk is dat groep A beter scoorde dan groep B. Een leerling die dit antwoord gaf kreeggeen enkele punt! Een leerling die minder goed exact en wiskundig nadacht, had een veel groterekans op een ’goed’ antwoord.

24. M515ShKid–Eng2, vraag 1: SHOES FOR KIDS

In een tabel zie je welke maat schoenen een kind moet hebben als zijn voeglengte tussen twee bepaaldewaarden ligt. De vraag: Marina’s voeten zijn 163 mm lang. Welke maat heeft zij nodig?

Dit is geen wiskunde (en ook geen intelligentie-test-vraag aan 15-jarigen).

25. M520Skate–Eng3.PDF, vraag 1: SKATEBOARD

Eric wil een skateboard kopen. Een kant en klaar board kost 82 of 84 (’zed’). Samenstellen van een boarduit 4 losse onderdelen kan ook. In een tabel zie je de prijzen voor een paar types van de verschillendeonderdelen. De vraag: Wat is de laagst mogelijke prijs voor een uit 4 onderdelen in elkaar gezet board, enwat is de hoogste prijs?

Het is een rekensommetje voor de basisschool en zeker geen wiskunde.


Een vervolg op de vorige vraag. Eric kan bij het samenstellen van een skateboard uit 4 losse onderdelenkiezen uit respectievelijk 3, 2, 2 en 1 keuzemogelijkheden. De vraag (multiple choice): Hoeveel verschillendesoorten skates zou hij kunnen maken?

Deze vraag kan zonder enige wiskunde kennis of scholing worden beantwoord. Je zet gewoon de ver-schillende mogelijkheden op een blaadje. Een basisschool leerling die een beetje slim is kan deze vraagbeantwoorden. Het multiple choice karakter maakt het geheel nog eenvoudiger. Een leerling die de wiskun-dige kansrekening formules kent, zal ze bij deze opgave toch niet snel gebruiken. Het op een rijtje zetten vande mogelijkheden gaat sneller en is minder gevoelig voor vergissingen. Kortom, dit is weer geen wiskundevraag.



Een vervolg op de vorige vraag. Eric wil zelf een skateboard in elkaar knutselen uit 4 losse onderdelen. Hijwil zoveel mogelijk van zijn 120 zeds hieraan opmaken. De vraag: Welke onderdelen gaat hij dan kopen?

Het is nog steeds geen wiskunde.

28. M521Table–ENG2, vraag 1: TABLE TENNIS TOURNAMENT

Vier kinderen hebben twee tafeltennis tafels (ze kunnen dus allevier tegelijk spelen). Ze willen drie rondesspelen. De vraag: Vul een tabel aan, waarbij je ervoor zorgt dat elk kind elk van de drie andere kinderen eenkeer als tegenstander heeft.

Dit is een denkvraagje, maar zeker geen wiskunde.

29. M525Deacr–ENG2, vraag 1: DECREASING CO2 LEVELS

Uit een tabel lees je af: oude waarde is 6049, nieuwe waarde is 6727. Er is een toename van 11%. Rekendit na.

Dit is basisschool rekenwerk, geen wiskunde.

30. M525Deacr–ENG2, vraag 2: DECREASING CO2 LEVELS

Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Een meisje beweert dat er een fout zit in de tabel, omdat de afnamevan Duitsland (16%) niet groter kan zijn dan de afname in de hele EU (4%) omdat Duitsland bij de EU hoort.Heeft zij gelijk? (inclusief argumentatie)

Dit is geen wiskunde.

31. M525Deacr–Eng2, vraag 3: DECREASING CO2 LEVELS

Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Twee kinderen verschillen van mening over de vraag welk land degrootste toename heeft in CO2 uitstoot. Welk twee antwoorden zijn allebei goed en waarom.

In de tabel zie je pijlen getekend met een percentage toename erbij, en de hoogte van de twee staafjes(voor 1990 en 1998) van een land geven de absolute toename visueel weer. Het heeft allemaal weinig metwiskunde te maken. Je leest het antwoord gewoon af van de grafiek. Het niveau is meer voor 12 jarigendan voor 15 jarigen.

32. M525Deacr–Eng2, vraag 3: SPACE FLIGHT

Gegeven wordt: de hoogte waarop de MIR boven de aarde vliegt, de diameter van de aarde, de omtrek vande aarde en dat de MIR 86500 keer een rondje heeft gedraaid. Vraag: schat de afstand die de MIR heeftafgelegd en rond af op 10 miljoen.

De formule voor de omtrek van een cirkel (pi x d) wordt gegeven! Wat dan nog overblijft, is een natuurkundeopgave.

33. M547Stair–Eng3.PDF, vraag 1: STAIRCASE

Je ziet een tekening van een trap. Daarbij wordt nog vermeld dat de trap 14 treden telt en in totaal 252 cmhoog is. Hoe hoog is één trede?

Basisschool rekenwerk.

34. M555NCube–Eng2, vraag 1: NUMBER CUBES

Gegeven is, dat bij een dobbelsteen altijd geldt dat de waarden van twee tegenovergestelde zijden altijdsamen zeven zijn. Je ziet vervolgens een plaatje van drie dobbelstenen op elkaar, waarbij je op het bovenvlakvan de bovenste dobbelsteen 4 stippen ziet. Hoeveel stippen zijn er in totaal op alle horizontale vlakken van


de dobbelstenen die je niet ziet (onderzijde van de bovenste, boven en onderzijde van de middelste enboven en onderzijde van de onderste dobbelsteen).

Een leuk puzzeltje, meer niet; 3x7 - 4. Geen wiskunde.

35. M555NCube–Eng3.PDF, vraag 2: NUMBER CUBES

Weer is gegeven dat bij een dobbelsteen de tegenover elkaar gelegen vlakken samen 7 punten tellen. Jeziet vier uitslagen van een dobbelsteen (een stuk karton waarvan je een dobbelsteen zou kunnen vouwenals je gaat knippen en plakken), inclusief de stippen. De vraag: Kruis aan of een uitslag een dobbelsteenkan worden die voldoet aan de ’7-regel’.

Nederlandse scholieren besteden in de brugklas veel tijd aan het knippen en plakken met dergelijke karton-netjes. Zij zijn dus in het voordeel. Het is een bezigheid die in feite thuis hoort in het basisonderwijs en nietin de brugklas. Het is misschien een aardig puzzeltje, maar het test niet de wiskundige scholing van een15-jarige.

36. M702Presi–Eng3.PDF, vraag 1: SUPPORT FOR THE PRESIDENT

Peilingen in 4 kranten voor de steun aan de president (verkiezingen op 25 januari):krant 1: 36%, 500 willekeuige kiesgerechtigden, 6 januari krant 2: 41.0%, 500 willekeuige kiesgerechtigden,20 januari krant 3: 39.0%, 1000 willekeuige kiesgerechtigden, 20 januari krant 4: 44.5%, 1000 bellendelezers, 20 januariDe vraag: Welke steekproef is het beste? Geef twee redenen.

De vraag kan zonder enige wiskundige scholing worden beantwoord.

37. M704BestC–Eng3.PDF, vraag 1: THE BEST CAR

Je ziet een tabel met 5 automerken en een puntscore voor 4 eigenschappen zoals veiligheid (deze eigen-schappen worden afgekort met S, F, E en T). De totale score van een auto is: (3 x S) + F + E + T. Gevraagdwordt om van een bepaalde auto de totale score uit te rekenen.

Dit is een begin brugklas vraag (dat wil zeggen, vroeger leerde je dit in de eerste twee weken van heteerste leerjaar).

38. M806StepP–Eng3.PDF, vraag 1: STEP PATTERN

Je ziet drie plaatjes. De vraag: Hoeveel blokjes heb je nodig voor een vierde plaatje?

Gewoon tekenen en je ziet het antwoord. Het zoeken van een wiskunde formule bij dit vraagje is foutgevoe-liger en duurt langer. Zonder wiskunde kennis ben je in het voordeel. Het is dus het tegengestelde vaneen wiskunde toets vraag.

Indien U de moeite heeft genomen (was het overigens eigenlijk wel zo’n moeite?) om de vragen, de moeilijkheids-graad en dus het niveau te beoordelen, dan is het evident dat de bewering dat 15-jarige Nederlandse kinderen(zeer) goed zouden zijn in wiskunde niet uit het onderzoek volgt. Laat staan dat het gerechtvaardigd zou zijn onszelf op de borst te kloppen met de bewering dat onze 15-jarigen op de vierde plaats van de internationale ran-king zouden staan. De PISA wiskunde test onderzocht immers niet het wiskundekennisniveau van ons onderwijsbij 15-jarigen. Bij de beantwoording van een aantal vragen is het niet beheersen van wiskundeformules zelfs eenvoordeel!De door mij geanalyseerde 38 toetsvragen kunnen worden verdeeld in de volgende categorieën van moeilijkheids-graad:

• 3 wiskunde brugklas vragen (1, 2, 37)

• 12 vragen die door een brugklasser kunnen worden beantwoord en waarbij wiskundige geschooldheid niet helpten dus niet nodig is (5, 6, 7, 16, 20, 21, 28, 30, 31, 34, 35, 36)


• 1 vraag waarbij het beste antwoord fout wordt gerekend en waarbij exact getrainde kinderen zeer in het nadeelzijn (23)

• 1 natuurkunde vraag; de wiskunde is niet van niveau (32)

• 9 rekenvragen, niveau basisschool (3, 4, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 33)

• 4 gezond verstand vragen niveau basisschool (9, 10, 14, 24)

• 8 vragen waarbij wiskundige geschooldheid nadelig kan werken (8, 11, 12, 13, 18, 22, 26, 38)

Van de 38 vragen (gesteld aan 15 jarige leerlingen) zijn er slechts 3 die enige wiskundige scholing op hetniveau van de brugklas (12 jarige leerlingen) eisen! Bij 8 vragen kan wiskundige scholing zelfs in het nadeelwerken.Het feit dat Nederland goed scoort wordt voor een belangrijk deel verklaard doordat de vragen worden gestelddoor middel van bladvullende teksten. De opgaven lijken op die van de CITO toetsen en zijn sterk gebaseerdop het wiskundeonderwijs zoals dat sinds enige decennia in ons land (middels de ’contextuele methode’) wordtgegeven. De opgaven komen voorts grotendeels overeen met de manier van vraagstelling in de Nederlandsewiskunde schoolboeken. Voor de beantwoording van de Nederlandse contextuele vragen zijn in de onderbouwveelal geen abstracte wiskundige berekeningen met formules nodig.De opvallende gelijkenis met onze Nederlandse onderwijs methodiek wekt overigens geen verbazing indien menweet dat de voorzitter van de PISA Expert Group for Mathematics een Nederlander is (J. de Lange, ex-directeurvan het Freudenthal Instituut) en dat het CITO en met name het Freudenthal Instituut een belangrijk aandeel in detotstandkoming van de PISA wiskundeopgaven hadden.


4.4 Conclusie

Het Ministerie van OCW kent de keiharde feiten inzake ons wiskundeonderwijs niet, althans onvoldoende. HetPISA-onderzoek zegt absoluut niets over het wiskundig inzicht van onze 15 jarigen. Het CITO heeft in 2004 eennationale rapportage over het internationaal vergelijkende PISA onderzoek van de OESO uitgebracht. In haar briefaan de Voorzitter van de Tweede Kamer van 15 december 2004 refereert de toenmalige Minister van OCW, Mariavan der Hoeven, aan die rapportage en stelde zij:

Ik ben trots op de prestaties die onze leerlingen en daarmee ook onze docenten hebben behaald. Bij alle drie de gemeten vaardig-

heidsgebieden scoort Nederland in de toptien van de wereld, bij wiskunde als vierde achter Hongkong, Finland en Zuid Korea.

Even verderop stelt de minister:

De uitkomsten geven vertrouwen in het gevoerde onderwijsbeleid. Het Nederlandse onderwijsbestel presteert goed. Uiteraard is altijd

nog verbetering mogelijk.

Om vervolgens te eindigen met:

Aan het Freudenthal instituut en het CITO is nog subsidie verstrekt voor een verder gaande analyse van de wiskundetoetsen, ook in

vergelijking met Vlaamse en Duitse resultaten. Dit moet leiden tot een rapport dat meer direct bruikbaar is voor wiskunde leraren.

Was dit nog een citaat uit een brief van enige jaren geleden, ook onze kersverse staatssecretaris van OCW,mevrouw Van Bijsterveldt, op 10 maart 2007 geïnterviewd in een uitzending van Eén Vandaag, beweerde metstelligheid dat internationale onderzoeken uitwijzen dat ons wiskundeonderwijs tot de top van de wereld behoort.Wederom een bewering, die niet alleen ongefundeerd is doch volstrekt wordt gelogenstraft door de feiten.

Het is te hopen dat de aan het Freudenthal Instituut en het CITO verstrekte subsidies mogen leiden tot een reëleanalyse van het wiskunde niveau van de Nederlandse leerlingen en van de aard en het niveau van ons hedendaag-se wiskundeonderwijs. Het zou daarbij voorts aanbeveling verdienen verder zichtbaar te maken dat het abstractewiskundeonderwijs (zoals dat tot en met de zeventiger jaren van de vorige eeuw is gedoceerd) in de loop van delaatste decennia steeds meer is afgegleden in de richting van een ’pseudo-wiskunde’.Het is voorts te hopen dat het Ministerie van OCW inziet dat ons wiskundeonderwijs meer abstract moet wordenen de leerlingen ’echte wiskunde’ dient bij te brengen. Een goed centraal examen is voldoende om dit te bewerk-stelligen.


5 Slotopmerkingen en conclusies

5.1 Waarom moest ik dat vroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee.

Veel oudere (alfa-)academici kijken met enig ongenoegen om naar de vele uren die ze in hun middelbare schooltijdmoesten besteden aan gezwoeg met wiskunde sommen en het bewijzen van stellingen. Ze hebben er nu niets meeraan en ze begrepen vroeger de bedoeling van al die x’en en y’en ook niet echt. Deze en soortgelijke gedachtenhebben de weg vrij gemaakt voor het ontstaan van de huidige ’contextuele’ wiskunde. Een begrip overigens dat nietbestaat in de wiskunde, maar is ontstaan bij de didactici en uitgevers van schoolboeken. De taal van de wiskundeis immers kort en symbolisch. Dát geeft wiskunde zijn essentie en zijn kracht. Geen proza, geen context, maaroverzichtelijke formules, waardoor zeer ingewikkelde problemen kunnen worden oplost.

Het idee dat een advocaat, politicus, arts of rechter nu niets meer heeft aan zijn vroegere geploeter met wis-kunde berust op een groot misverstand. Het vak wiskunde heeft namelijk de hieronder gemelde zeer specifiekeeigenschappen:

• Geen vak is beter in staat om het denkvermogen te stimuleren en te ontwikkelen. Ofwel, om met RobbertDijkgraaf (NRC Handelsblad zaterdag 27 oktober 2007) te spreken: ’Wiskunde is helder denken.’

• Geen vak is geschikter om iemand precies en met zo min mogelijk fouten te leren werken. Voor elke academicusis het essentieel dat hij in zijn middelbare schooltijd heeft geleerd om kritisch en zelfstandig na te denken en omprecies en nauwgezet te werken.

• Meer dan ooit is het nodig dat een jurist iets begrijpt van statistiek en van bewijsvoering (denk bijvoorbeeld aanLucia de B.).

• Wij hebben wiskundigen nodig. Ze zijn er nu niet. Alleen als je Havo en VWO-leerlingen op tijd in aanrakingbrengt met wiskunde, kunnen de bèta-kinderen zichzelf ontdekken en vervolgens een exact pakket kiezen.


5.2 Waarom zijn er te weinig wiskunde en natuurkunde studenten?

• Scholieren komen niet op tijd in aanraking met wiskunde.

In de brugklas wordt nauwelijks iets aan algebra gedaan. Pas vlak voor de kerst komen de academici vande toekomst iets tegen als a+b+2a, daarna weer een paar maanden helemaal niets, en dan weer eens eenklein stukje met wat héél elementair rekenen met een paar lettertjes.Euclidische meetkunde is helemaal uit de onderbouw verdwenen. Het bouwwerk van Euclides wordt nietmeer opgetrokken. Voor de ’bollebozen’ wordt er in de bovenbouw slechts her en der een steentje van hetimposante geheel getoond. Lees in dit verband een citaat van Albert Einstein1:

Het oude Griekenland wordt door ons gezien als de bron van de wetenschap van het avondland. Daar werd voor het eerst

het geestelijk wonder van een logisch systeem bedacht, waarvan de uitspraken uit elkaar voortvloeiden, met een scherpte

die iedere twijfel aan de bewezen stellingen wegnam: de geometrie van Euclides. Dit bewonderenswaardige werk van de

ratio heeft de menselijke geest het zelfvertrouwen gegeven dat voor latere prestaties noodzakelijk was. Wie in zijn jeugd niet

in de ban van dit werk raakt is niet voor de theoretische wetenschap in de wieg gelegd.

• Het vak wiskunde is te veel ontdaan van zijn eigen taal.

Moeilijke en langdurige redeneringen en bewijsvoeringen kun je met gewone Nederlandse zinnen niet goedvolgen, laat staan zelf bedenken. Het logisch redeneren in de overzichtelijke en bondige wiskundetaal is veelgemakkelijker. Je kunt in feite stellen dat dát juist wiskunde is, het redeneren in de wiskundetaal. De krachten het succes van wiskunde is dan ook dat je, door het gebruik van wiskundige formules en symbolen,veel moeilijker dingen kunt bewijzen dan met gewone taal mogelijk zou zijn. Zelfs in het tweede en derdeleerjaar komt de leerling nog niet echt in aanraking met de korte en krachtige wiskundetaal die voor sommigekinderen juist zo aantrekkelijk is en waar zij de schoonheid van inzien.

• Veel stellingen en formules worden niet meer bewezen.

Neem als voorbeeld de belangrijke en veelgebruikte abc-formule. Deze komt zomaar uit de lucht vallen inbijna alle moderne schoolboeken. Leerlingen worden geacht om deze formule klakkeloos te geloven en toete passen. Het mooie voor wiskundig ingestelde kinderen is juist dat zij op een gegeven moment de abc-formule zelf kunnen afleiden met de algebra-kennis2die zij op dat moment al onder de knie hebben. Datgeeft ze een gevoel van verwondering en voldoening.

• Formules hoeft men niet meer uit het hoofd te weten.

Als je de belangrijkste formules niet uit je hoofd weet, kunnen je hersens ook geen associaties leggenwaardoor je niet meer in een flits iets kunt inzien en begrijpen. Met rekenmachine en formulekaart is hetdaarom veel moeilijker om de schoonheid van wiskunde te ontdekken. Het creatieve aspect van wiskunde isdan namelijk verdwenen.

Albert Einstein, Mijn kijk op het leven, deel 11

Daar zit nu ook precies het probleem: die algebrakennis is juist niet voldoende om het bewijs van de abc-formule te kunnen volgen en om het2

bewijs vervolgens ook zelf te leren opschrijven.


5.3 Waarom zijn de huidige schoolboeken niet goed voor VWO-leerlingen?

Wiskunde is voor de meeste VWO leerlingen niet een doel op zich. Het gaat niet om de vaardigheid metalgebra en het gaat ook niet om de kennis van de abc-formule. Een notaris doet daar later inderdaad nietsmeer mee. Waar het wel om gaat, is de nauwkeurige en exacte manier van werken die men leert door hetmaken van lange wiskundige berekeningen. Waar het ook om gaat, is om de waterdichte logica onder deknie te krijgen door veel te oefenen in het zoeken naar een sluitend bewijs van een wiskundige stelling. Vanonschatbare waarde is ook dat men via de wiskunde leert denken in abstracties.

Hieronder een aantal punten over de moderne wiskunde schoolboeken:

− De contextuele schoolboeken bevatten te weinig abstracte wiskunde om de unieke voordelen van hetvak tot uiting te laten komen.

− Veel stellingen worden niet bewezen. Zo komt bijvoorbeeld de abc-formule zonder afleiding uit de luchtvallen. Bij wiskunde gaat het juist om het bewijs en niet om het klakkeloos geloven en klakkeloos rekenenmet een formule waarvan een ander zegt dat hij waar is.

− Met algebra wordt veel te laat en veel te weinig geoefend.

− Het overzicht ontbreekt doordat allerlei onderwerpen door elkaar worden behandeld met veel tekst enplaatjes. Daar komt bij dat een kind geen boeken meer heeft van de voorafgaande jaren. Oude vergetenstof breekt ze daardoor vaak op en een totaalplaatje ontbreekt.

− De strakke logica van de Euclidische meetkunde wordt een toekomstig alfa-academicus totaal onthou-den.

− De nadruk ligt te veel op het antwoord en op de rekenmachine. Het gaat niet om het antwoord, maar omde strakke redenatie en berekening.

5.4 Met het oog op de toekomst

Omwille van de rust in onderwijsland wil het ministerie nu niet opnieuw een verandering invoeren die danachteraf weer verkeerd kan uitpakken (behalve dan de ’maatschappelijk stage’ die de organisatie van descholen juist wèl weer zeer drastisch overhoop zal gooien).Voor deze pas-op-de-plaats-houding is het nu echter te laat. De enige effectieve ’verandering’ is: herinvoe-ring van één centraal schriftelijke eindexamen waarin alle wiskundestof van een profiel aan bod komt.Geen multiple choice wel te verstaan. En geen formulekaarten en rekenmachientjes bij het examen (33, 45πis ook een goed antwoord).De leerling moet zonder pardon laten zien dat hij in staat is een berekening of bewijs exact en sluitend onderwoorden te brengen in de daartoe speciaal ontworpen wiskundetaal.De rest gaat dan vanzelf. De leerstof maakt de orde.


Bronvermelding

1. Alles telt, leerlingenboek 8b, eerste druk 4e oplage, Thieme Meulenhof

2. Maatschrift 8A bij ’Alles telt’

3. Werkschrift 8 bij ’Alles telt’

4. De wereld in getallen, groep 8, Rekenboek b

5. Eindtoets Basisonderwijs Groep 8, 2007

6. Mijn Examen, opgaven van de toelatings-examens voor hoogere burgerscholen en gymnasia, gerang-schikt door corn. maars, I, rekenen, dertiende, vermeerderde druk, J. Musses — uitgever — purmerend

7. Getal en Ruimte 1HV1 en Getal en Ruimte 1HV2, Wiskunde voor het eerse leerjaar havo/vwo, Eerstedruk, derde oplage, 2000, EPN, Houten.

8. P.Wijdenes, Beknopte Algebra 1, vijftiende druk, P. Noordhoff N.V. – Groningen

9. Dr.D.N. van der Neut / Drs. A. Holwerda, Meetkunde met de grondbeginselen der goniometrie, eerstedeel, dertiende druk, J.B. Wolters Groningen

10.Albert Einstein, Mijn kijk op het leven, deel 1, Uitgeverij Annex

11.PISA toetsvragen(http://www.oecd.org/LongAbstract/0,2546,fr_2649_35845621_34993148_119826_1_1_1,00.html)

12.brief van Maria van der Hoeven aan de Voorzitter van de Tweede Kamer(http://www.minocw.nl/documenten/brief2k-2004-doc-59789.pdf)

13.Willem Smit, ’Mythes en waarheden deel 5: maar internationaal doen we het toch goed?’(http://www.beteronderwijs.nl)



http://www.minocw.nl/documenten/brief2k-2004-doc-59789.pdf




























Drs. Liesbeth van der Plas-Eskes (1951) studeerde natuurkunde (met als afstudeerrich-ting theoretische astrofysica) aan de Vrije Universiteit te Amsterdam. Zij behaalde tevenshaar eerstegraads lesbevoegdheid in zowel de wiskunde als de natuurkunde. Na haar stu-die was zij werkzaam als lerares wiskunde in het reguliere voortgezet onderwijs en in hetvolwassenenonderwijs. Sinds enige jaren is zij auteur, ontwerpster en programmeur vaneducatieve software.

Nederlandse Kinderen Goed in Wiskunde. de PISA-Toets Nader Bekeken.

Documents

Transcript of Nederlandse Kinderen Goed in Wiskunde. de PISA-Toets Nader Bekeken.