n even

a > 0

x

y

lijnsymmetrisch met de y-as

O

a < 0

x

y

O

n oneven

a > 0

x

y

puntsymmetrisch met (0, 0)

O

a < 0

x

y

O∙ ∙

f(x) = axn is een machtsfunctie

11.1

Grafieken van machtsfuncties verschuiven

y = x²

top (0, 0)

y = ( x – 4 )²

4 naar rechts

top (4, 0)

y = ( x – 4 )² + 3

3 omhoog

top (4, 3)

y = 2 ( x – 4 )² + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4, 3)

y = a ( x - p )² + q

top (p, q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken.

y = axn y = a(x – p)n + q

grafiek van translatie (p, q) beeldgrafiek

algemeen

x

y

O

11.1

<a href="partrans.html" target = "geoframe">para. trans</a>

Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?

voorbeeld a y = 0,3x4

y = 0,3(x + 5)4 + 6

y = -0,9(x + 5)4 - 18

top (-5, -18)

b y = 0,3x4

y = -0,9x4

y = -0,9(x + 5)4 + 6

top (-5, 6)

translatie (-5, 6)

verm. met -3 tov de x-as

verm. met -3 tov de x-as

translatie (-5, 6)

Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x + 5 en tel je 6 bij de functiewaarde op.

Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met -3, vermenigvuldig

je de functiewaarde met -3.

11.1

y

-1 3

f

g

Los op (exact)

x² < 2x + 3

f(x) = x²

g(x) = 2x + 3

f(x) = g(x)

x² = 2x + 3

x² - 2x – 3 = 0

( x + 1 )( x - 3 ) = 0

x = -1 v x = 3

aflezen uit de schets

-1 < x < 3

0x

Werkschema :het oplossen van de ongelijkheid1) Schets de grafieken van f en g.2) Los de vergelijking f(x) = g(x) op.3) Lees uit de schets de oplossingen af.

Lees het antwoord af op de x-asf(x) < g(x) wanneer ligt de

grafiek van f onder die van g.

11.1

Werkschema: het tekenen van de grafiek van een wortelfunctie1. Bereken het domein en de coördinaten van het beginpunt.2. Maak een tabel.3. Teken de grafiek.

Werkschema: het oplossen van wortelvergelijkingen1. Maak de wortel vrij.2. Kwadrateer het linker- en rechterlid en los de verkregen

vergelijking op.3. Controleer of de oplossingen van de gekwadrateerde

vergelijking oplossingen zijn van de gegeven vergelijking.

11.2

opgave 21e

m(x) = √(x - 1) - 1

beginpunt (1, -1)

Dm = [ 1, >

Bm = [ -1, >

x

y

1

1

-1

-1

∙

opgave 24a

f(x) = √(x + 5) + 3

beginpunt (-5, 3)

Df = [ -5, >

Bf = [ 3, >

x

y

1

1-1-5

3∙

x + 5 ≥ 0x ≥ -5

opgave 26

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x-2

-2∙

∙

a f(x) = -2 + √(2x + 3)

beginpunt ( -1½ , -2)

b Bf = [ -2, >

c f(x) < g(x)

voer in y1 = -2 + √(2x + 3)

en y2 = -0,5x + 2

optie intersect

x ≈ 2,41

-1½ ≤ x < 2,41

2x + 3 ≥ 02x ≥ -3x ≥ -1½Df = [-1½ , >

Wanneer ligt de grafiek van f onder die van g ?

2,41

-1,5

∙

f

g

Wortelvergelijkingen oplossen

voorbeeld

2x + √x = 10

√x = 10 – 2x

x = (10 – 2x)2

x = 100 – 40x + 4x2

-4x2 + 40x + x – 100 = 0

-4x2 + 41x – 100 = 0

D = (41)2 – 4 · -4 · -100

D = 81

x =

x = 6¼ v x = 4

-41 ± √81

-8

Isoleer de wortelvorm.

Kwadrateer het linker- en het

rechterlid.

Los de vergelijking op.

Controleer of de oplossingen kloppen.

voldoet niet voldoet11.2

f (x) = standaardfunctie

De grafiek heet een hyperbool.

f (0) bestaat niet.

Je hebt een horizontale asymptoot

en een verticale asymptoot.

Een asymptoot is een lijn waarmee

de grafiek op den duur vrijwel mee

samenvalt.

1x

0 1 2 3-1

-1

1

2

3

4

y

x-2

-2

∙

∙

x = 0

y = 0

Asymptoten

11.3

Transformaties en gebroken functies

f(x) = standaardfunctie

g(x) = + 1

translatie 2 naar rechts 1 omhoog

1x

1 x - 2

0 1 2 3-1

-1

1

2

3

4

y

x-2

-2

∙

∙

∙y = 1

∙

x = 0

y = 0

x = 2

11.3

f(x) =

noemer = 0

x + 3 = 0 x = -3

vert.asymptoot : x = -3

voor grote x is

f(x) ≈ 2x/x = 2

horz.asymptoot : y = 2

opgave 40a

0-4 -2-6 2-8

-2

2

4

6

8

y

x4

-4

2x - 4 x + 3

y = 2

vert.asymptoot noemer = 0horz.asymptoot voor grote x

x = -3

f

f

Gebroken vergelijkingen

Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen

= 0 geeft A = 0

= geeft A = C

= geeft A = 0 v B = C

= geeft AD = BC

A B

A B

C B

A B

A C

A B

C D

Controleer of geen noemer nul

wordt.

= 0

= kan niet

= kan niet

= 0

een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet

0 1

1 0

0 0

0 5

11.3

opgave 48

a t = 100 geeft N ≈ 1796

t = 1000 geeft N ≈ 1799,6

horizontale symptoot: N = 1800

Dit betekent dat N niet boven 1800 uitkomt.

b Voer in y1 = 1800 – 1200/(1 + 3x)

en y2 = 1760.

Optie intersect geeft x ≈ 9,67.

Dus op 10 mei zijn er 1760 insecten.

c 4 mei loopt van t = 3 tot t = 4

t = 4 geeft N = 1708

t = 3 geeft N = 1680

1708 – 1680 = 28 insecten

d N = 1680 hoort bij t = 3 (zie vraag c)

N = 1745 hoort bij t = 7 (zie tabel op de GR)

Het duurt dus 7 – 3 = 4 dagen.

1 2

1000

2000

0 t

N

600

N =1800

opgave 50

Formules met twee variabelen

a L =

b

v2 = 1300

v ≈ 36

Dus met een snelheid van 36 km/uur.

c v = 30 geeft

L =

Los op

36 = 12f

f = 3

2

25 6,5

v

2

162,5

v

2

8162,5

v

230

25 f

900

25 f

36

f

3612

f

De grafiek van f(x) = gx

f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie

Ox

y

Ox

yg > 1 0 < g < 1

11

De grafiek is stijgend

bereik 〈 0, 〉

de x-as is asymptoot

De grafiek is dalend

bereik 〈 0, 〉

de x-as is asymptoot

Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt.

11.4

Het effect van transformaties op y = gx

Tel in de formule q op bij de functiewaarde.De asymptoot is y = q.

y = gx

translatie (0, q)y = gx + q

Vervang in de formule x door x – p.De asymptoot is y = 0.

y = gx

translatie (p, 0)y = gx – p

Vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a.De asymptoot is y = 0.

y = gx

verm. t.o.v. de x-as met ay = a · gx

11.4

opgave 60

f: y = 2x

translatie (0, -2)

y = 2x – 2

de asymptoot van f is y = -2

g: y = (½)x

translatie (2, 2)

y = (½)x - 2 + 2

de asymptoot van g is y = 2

a

Ox

1 2 3-1-2-3

y

-1

1

2

3

4

-2

-3

f

y = -2

g

y = 2

b Bf = 〈 -2, 〉

Bg = 〈 2, 〉

c g(4) = 2,25

x ≥ 4

geeft 2 < g(x) ≤ 2,25

d Optie intersect geeft x ≈ 2,27.

f(x) ≤ g(x)

x ≤ 2,27

2,25

42,27

Rekenregels voor machten

11.4

opgave 67a 23x + 5 = 16√2

23x + 5 = 24 · 2½

23x + 5 = 24½

3x + 5 = 4½

3x = 4½ - 5

3x = -½

x = -⅙

Soorten groei

11.4

opgave 69

a

b t = 3 geeft = 52

Dus 52 cm hoog.

t = 11 geeft = 256

Na 11 weken is de zonnebloem 256 cm hoog.

c Voer in y1 = 260/(1 + 32 · 0,5x)

d Voer in y2 = 250.

Optie intersect geeft x ≈ 9,64.Dus vanaf t = 9,7.

3

11

af

af toe

t

h

0

h = 260

9,64

250

opgave 71

N = 1200(1 – 0,7t )a De asymptoot is N = 1200

Er zitten 1200 leerlingen op school.b Voer in y1 = 1200(1 – 0,7x )

c Tabel

De quotiënten zijn niet gelijk, dus er is geen exponentiële groei.d Voer in y2 = 950

Optie intersect geeft x ≈ 4,398.0,398 · 60 ≈ 24Dus om 13.00 uur + 24 minuten = 13.24 uur.

t 0 1 2 3 4

N 0 360 612 788 912

360/0 = k.n. , 612/360 = 1,7, 788/612 ≈ 1,3, 912/788 ≈ 1,2

t

N

0

N = 1200

4,398

950