Ao Vil. Enero-Marzo 1948. Nm. 25.

R E V I S T A D E G E O F S I C A EDITADA POR EL

I N S T I T U T O N A C I O N A L D E G E O F S I C A

SOBRE EL MTODO DE LECTURA DEL GRAVMETRO NRGAARD

por JOS G.a SIERIZ

RESUMEN

O

>" T a *

&IBlA Se estudian diversos dispositivos adecuados para hacer las lecturas

de la tangente del ngulo de inclinacin del gravmetro Norgaard, fundamento de las mediciones de gravedad con el mismo, y se hace la crtica de la solucin adoptada por el constructor.

SUMMARY

In this work we study different adequate dispositives for the reading of the tangent of the inclination angle of Norgaard gravimeter, basis of the gravity measurements with the same, and we give the criticism of the solution adopted by the constructer.

En el artculo anterior sobre el mismo aparato esquematizamos ste exageradamente con el fin de hacer ms fcil la exposicin de su fundamento; pero la realizacin prctica del esquema descrito es particularmente interesante en lo que se refiere al dispositivo de lectura de la tangente del ngulo de inclinacin, del que vamos a ocuparnos a continuacin.

Segn vimos en el mencionado artculo, la gravedad en un lugar la podamos deducir a partir de la de otro que tombamos como base de comparacin en funcin del ngulo de inclinacin del instrumento. Si llamamos g0 a la aceleracin de la gravedad en el lugar en que la coincidencia de las imgenes se consigue con el aparato en posicin vertical; a al ngulo de inclinacin bajo el que se consigue la coincidencia

^ u r

2 A(o VIT. Nmi. 20. Revista de Geofsica. Enero-Marza 1948.

en otro lugar cualquiera, y g a la gravedad en ste, esta ltima se puede deducir segn vimos con la frmula

o bien: =o(i + -7-tg!

Sobre el mtodo de lectura del gravmetro Nrgaard. 3

la figura 2, y en la que puede verse como el desplazamiento que medimos con el tornillo micromtrico es m y en cambio

5- W

esta confusin de m con n es la causa de un pequeo error que vamos a ver la manera de disminuir y de calcular.

De la figura se deduce inmediatamente que

+ / = + [5] y adems que:

/ = -J [6] eos a

y de las [5] y [6] podemos deducir el valor de n en funcin de la lectura micromtrica m.

n = ;// -)- e = m -f- e I 1 I = m tg2 a

esta expresin de n la llevamos a la [4] y obtenemos para tg a la siguiente expresin rigurosa:

* -irnr* m que nos da tg a mediante una ecuacin de 2. grado que tendramos que resolver y que aunque no vamos a hacerlo sera fcil tabular.

La [8] nos pone de manifiesto que al valor que venamos adop

tando para tg a le tenemos que aplicar la correccin

t tg* a 2

pero sta es muy pequea tanto por serlo e frente a D corno por serlo tg2 a que se mantiene inferior a 0,0005; por lo tanto, y siguiendo el mtodo de las aproximaciones sucesivas, podemos aceptar para valor

de tg a en la citada correccin el valor aproximado con lo que ten-

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dremos: m e nfi 2 ! e m

tga = - r = * ^ r ~

y llevando este valor de tg a a la [2] y despreciando frente a D los tr--

minos de segundo orden en nos queda:

A g i m V " ^ = [ e | [10]

expresin que nos da la diferencia de gravedad entre el punto-base y aquel en el que la coincidencia de las imgenes se ha conseguido mediante un desplazamiento m del tornillo micromtrico.

Se comprende lo ventajoso que sera poder prescindir de las frmulas [8] [10] para el clculo de la gravedad, deduciendo esta directamente mediante la [3] de las lecturas del tornillo micromtrico. Dos caminos se nos ofrecen para este fin; el primero consiste en sustituir la forma rectilnea de los costados de la regla en la zona en contacto con los tornillos micromtricos (prcticamente las dos laminillas de vidrio) por la curvilnea conveniente; y el segundo reducir al mnimo el espesor, vamos a ocuparnos a continuacin del primero.

Supongamos que hemos dado a las placas de vidrio la forma deseada para que m = n\ entonces la [5] nos queda reducida a

f=e [ii]

que es la condicin que tendr que cumplir la curva buscada. Tomemos como eje x el de la regla y como y el perpendicular a l

en el puni B (fig. 2); las coordenadas del punto A sern:

-v, = [ - / s e n a ; y.f cosa [12] A cosa A

que teniendo en cuenta la [11] se transforman en:

x.= h e sen a ; v, = e eos ct [13] A cosa ' " A

D + 2 D m+.. [9]

que constituyen las ecuaciones paramtricas del perfil deseado.

Sobre el mtodo de lectura del gravmetro Nrgaard. 5

A ttulo de ejemplo y dando a ^ y a D valores de 10 m/m. y de 263 m/m, hemos calculado los siguientes puntos de la curva [13]:

263,0331 m / m Ot>26 0973 1342 1733 2146 2581 3039 35'9

9,9999 m/m 9,9998

96 93 89 35 79 73 65

cuyo examen nos demuestra que difiere muy poco de la lnea recta-El segundo procedimiento para disminuir la correccin de la frmu

la [3] consiste, segn hemos dicho, en disminuir el espesor en la zona de contacto con los tornillos micromtricos y fcilmente se comprende que ello se puede conseguir con una inclinacin de los vidrios tal que los planos de sus respectivas caras pasen por el eje de giro, como se indica esquemticamente en la (fig. 3), pero si se mantiene el tornillo mi-

cromtrico en la posicin horizontal, tampoco coincide m con n como se ve en la figura, ya que ser:

y como

resulta ser:

/ =

n = m -f- D tg 'o f

D sen 'a

n = m -f- D tg <

eos eos (a -\-

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y por lo tanto:

n m , sen cp tga = Tr = i r + t g ? - cos.-cosV+^T [I7]

y si en el desarrollo de eos (a -(- cp) = eos a eos

Sobre el mtodo de lectura del gravmetro Nrgaard. 7

superficie del vidrio en la posicin vertical del aparato como muestra esquemticamente la fig. 4, podemos conseguir, al menos tericamente, que la lectura del tornillo micromtrico coincida con la tangente del ngulo de inclinacin.

Pero aunque parezca que con ello hemos resuelto completamente el problema, no es cierto debido principalmente a tres causas.

Una de ellas es la dificultad de conseguir que las caras de los vidrios de contacto de los tornillos micromtricos pasen exactamente por el eje de giro o del instrumento; en realidad, lo nico que se puede conseguir es que dichos planos pasen muy cerca de o y con ello estamos

Fig. 4-

en realidad en el caso de la fig. 2, en el que el espesor e (que no es otra cosa que la distancia desde el eje de giro al plano de los vidrios) es muy pequeo, de modo que las frmulas que se dieron para ese caso, en particular la [10], son de aplicacin aqu.

La segunda de las causas consiste en la dificultad de conseguir la perpendicularidad entre el eje del tornillo micromtrico y la superficie de su vidrio de contacto; en realidad, existir un ngulo de inclinacin ms o menos grande, y contando con su existencia vamos a calcular a continuacin el verdadero valor de tg a.

De la fig. 4 se deduce que

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de donde despejamos el valor de n que llevado a tg a = -=r- nos da

n m eos 6 eos a -f- sen 0 sen a m , , tg = _ = _ - = - 5 - (cose + senfltga) [22]

que procediendo de un modo anlogo al efectuado en los casos anteriores, se nos reduce a la forma

mi . , m r \ mi 6 \

tg(z = _ _ j c o s 9 + _ s e n ( ) j / i _ F ( 1 f-D- j [23]

ya que por ser 6 muy pequeo, podemos hacer eos 0 = 1 ; sen 6 = 8 y adems puesto que

1 -f m = D , . ft , / fJ ... \2 . NJ I + _ m- | _ j

despreciando desde el segundo orden en m nos queda

tgC!

D + [25]

y por lo tanto:

A , = ** 2 /n i fl . . \ 2 t2 6] (D+4-*)

frmula del tipo de la [10] de la que slo difiere en que la constante e de aquella viene substituida aqu por la-=-r-

2 D M n r D* La tercera causa de errror estriba en la dificultad de construir el paso

de rosca del tornillo micromtrico, tal que la lectura en el tambor del mismo sea precisamente tg a = - El error que se haya podido cometer

en dicho paso se podr corregir simplemente con un coeficiente A que afectar a m, pero como el segundo trmino del denominador es muy pequeo frente a D, bastar afectar a la m del numerador con dicho factor.

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Como resumen podemos decir que las dos primeras causas de error se pueden corregir usando una frmula del tipo

s 2 \ D + B? /

donde B es una constante propia de cada aparato y D es la distancia del eje de giro a la punta del tornillo micromtrico en la posicin vertical del aparato, y las tres causas de error usando la expresin:

en la que tambin A es otra constante propia de cada aparato. Nos queda, finalmente, dar un procedimiento para el clculo de las

constantes A, B y D de la frmula anterior; pues aunque la constante A se puede medir directamente con los procedimientos de la gravimetra y la D tambin, la B no aparece tan evidente y es conveniente tener un procedimiento gravimtrico para calcularlas.

El ms sencillo consiste en hacer diversas observaciones con el instrumento en los distintos pisos de un edificio muy alto; medidas directamente las altitudes de los diversos puntos de estacin, podemos calcular las diferencias tericas de la gravedad correspondientes a cada uno ^^g A2g kg y por observacin directa en el aparato conocemos las lecturas del tornillo micromtrico correspondientes mm.2 m, lo que nos permite escribir las n ecuaciones

A ^ D S - l - A i ^ ^ B 2 2 WjAj fDB ?- ni\ A = o

\2gW + b2gm22Bi 2miAtgDB l- m\ A = o [28

bjW + AgmlB*-2mAzDB *i_ m\ A = o

o sea, llamando a las incgnitas A, B, D, a,j>, z y a los coeficientes:

^*g>l=$ < Ang='\n ; 2m&g=p ; -^-min=\x

10 -fio VII. Nm. 20. Revista de Geofsica. Enero-Mar.:o 1048.'

las:

?i.ys + Ti *8 Pi > * e-i * = Ps y2 H~ Tss2 P2 >' z n2 -v =

W + T" z 2 P3"* ~~ P -v = o

[29]

ecuaciones que siendo n > 3 nos permiten calcular los coeficientes de la frmula [27] por los medios acostumbrados.