Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/... · 2017-08-20 · Voorwoord In navolging...

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN

ARCHITECTUUR

VAKGROEP MATERIALEN, TEXTIEL EN CHEMISCHE

PROCESKUNDE (EA11)

Mechanica

van

Materialen

Theoriecursus

Academiejaar 2017-2018

Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM

Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11)

Technologiepark-Zwijnaarde 903

9052 Zwijnaarde

Tel. : 09/331.04.32

Fax : 09/264.58.33

Voorwoord

In navolging van de Europese Sorbonne-Bologna verklaring is de ingenieursopleiding grondig

hervormd. De kandidaturen en de proeven zijn vervangen door de Bachelor en de Master.

De cursus Mechanica van Materialen is een exponent van deze hervorming. De bedoeling van

dit opleidingsonderdeel is de ingenieursstudenten een basiskennis bij te brengen over het

mechanisch gedrag van materialen. Het mechanisch gedrag kan heel algemeen gedefinieerd

worden als de respons van een materiaal op het aanbrengen van een belasting. De aard van

deze belasting kan zeer uiteenlopend zijn: statische belastingen, stootbelastingen, cyclische

belastingen, thermische belastingen,... Het is duidelijk dat de respons van het materiaal ook

afhangt van het materiaal zelf. Staal, beton, kunststoffen, keramieken,... hebben elk hun sterke

en zwakke punten en kunnen dan ook niet voor om het even welke toepassing worden ingezet.

Uiteraard zal deze cursus nog talrijke vervolgcursussen krijgen voor de studenten bouwkunde

en werktuigkunde, maar ook voor de andere toekomstige ingenieurs is het belangrijk dat zij

een overzicht hebben van de beginselen van de mechanica van materialen. Ook in hun domein

is de mechanica soms niet veraf. Zo zijn thermische spanningen in chips (Multilayer Circuit

Boards) een mechanisch probleem, net als de maximale lengte van de elektriciteitskabels

tussen twee pylonen.

De cursus bevat vijf grote hoofdstukken:

hoofdstuk 1 introduceert de basisbegrippen van de mechanica: krachten, momenten,

spanningen en rekken. Dit hoofdstuk is een van de meest theoretische en bevat de meeste

formules. Toch is dit hoofdstuk van zeer groot belang voor alles wat volgt,

hoofdstuk 2 legt de fundamenten uit van de balkentheorie. Deze theorie wordt nog steeds

heel vaak gebruikt voor de berekening en het ontwerp van balken en kolommen uit staal en

beton,

hoofdstuk 3 onderzoekt hoe een belastingsprobleem van een constructie kan worden

opgelost, hetzij langs experimentele, hetzij langs numerieke weg. De numerieke methode

die bijzondere aandacht verdient, is de eindige-elementenmethode. Aan de hand van een

aantal voorbeelden wordt duidelijk gemaakt welke de mogelijkheden (en beperkingen) zijn

van deze numerieke techniek,

hoofdstuk 4 bespreekt een aantal elastische problemen, waarbij de driedimensionale

theorie kan vereenvoudigd worden tot haar tweedimensionale variant, maar die zeer veel

toepassing vinden in de industriële praktijk,

hoofdstuk 5 bespreekt de gangbare beproevingsmethodes voor materialen en hun

belangrijkste mechanische eigenschappen. Daarnaast wordt een overzicht gegeven van de

belangrijkste klassen materiaalmodellen die het mechanisch gedrag van materialen

beschrijven onder uiteenlopende belastingscondities.

Achteraan elk hoofdstuk zijn een aantal referenties opgenomen die gebruikt zijn bij de

samenstelling van deze cursus. Hoewel de cursus vrij lijvig lijkt, zijn er haast evenveel

figuren als pagina’s en zijn sommige paragrafen enkel bedoeld als naslagwerk. Inspiratie voor

de opbouw werd gevonden in de cursus Elasticiteit en Sterkteleer van Prof. Verhegghe en een

aantal standaardwerken uit de internationale literatuur.

Wim Van Paepegem

Gent, september 2017

Mechanica van Materialen Inhoudstafel

i

Hoofdstuk 1

KRACHTEN, MOMENTEN, SPANNINGEN EN REKKEN ............................................. 1

1.1. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES ............................................................. 1 1.1.1. Uitwendige belastingen ...................................................................................... 1

1.1.1.a. Krachten ......................................................................................................... 1 1.1.1.b. Momenten ....................................................................................................... 3

1.1.2. Types ondersteuningen ....................................................................................... 9

1.1.3. Evenwicht van een constructie ......................................................................... 10 1.1.4. Inwendige krachtswerking ............................................................................... 11 1.1.5. Scharnierende verbindingen ............................................................................. 16

1.1.6. Besluit ............................................................................................................... 18 1.2. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN ....................................................... 19 1.3. SPANNINGEN ............................................................................................................. 24

1.3.1. Definitie ............................................................................................................ 24

1.3.2. Verband tussen spanningsvector )n(

en spanningsmatrix [] ........................ 30

1.3.3. Vergelijkingen van het evenwicht .................................................................... 32

1.3.4. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ......................................... 35 1.3.5. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 38

1.3.5.a. Cilindercoördinaten ..................................................................................... 38

1.3.5.b. Bolcoördinaten ............................................................................................. 39 1.4. REKKEN..................................................................................................................... 41

1.4.1. Eendimensionale lengteverandering ................................................................ 41 1.4.2. Veralgemeende vervormingstoestand .............................................................. 42

1.4.3. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ......................................... 43 1.4.4. Compatibiliteitsvoorwaarden ........................................................................... 45

1.4.5. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 46 1.4.5.a. Cilindercoördinaten ..................................................................................... 46 1.4.5.b. Bolcoördinaten ............................................................................................. 47

1.4.6. Eindige vervormingen en rekken ..................................................................... 47

1.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG .................................................................. 49 1.5.1. Wet van Hooke ................................................................................................. 50 1.5.2. Bijzondere belastingsgevallen .......................................................................... 54

1.5.2.a. Zuivere trek .................................................................................................. 54

1.5.2.b. Zuivere afschuiving ...................................................................................... 55 1.5.2.c. Hydrostatische belasting .............................................................................. 56 1.5.2.d. Torsie of wringing ........................................................................................ 56

1.5.3. Relaties tussen de elastische constanten ........................................................... 57

1.5.3.a. Verband tussen E, en G ............................................................................. 57 1.5.3.b. Volumeverandering en compressiemodulus ................................................. 59

1.5.4. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 61 1.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM ................................................ 63

1.6.1. Randvoorwaarden ............................................................................................. 64 1.6.2. Superpositieprincipe ......................................................................................... 65 1.6.3. Statisch onbepaalde systemen .......................................................................... 66

1.7. THERMISCHE SPANNINGEN ........................................................................................ 69

1.7.1. Vergelijkingen .................................................................................................. 69

1.7.2. Statisch onbepaalde problemen ........................................................................ 71


ii

1.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE .............................................................................. 73

1.8.1. Arbeid van een kracht ...................................................................................... 73 1.8.2. Arbeid van een moment ................................................................................... 75 1.8.3. Wet van behoud van mechanische energie....................................................... 76

1.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE MATERIALEN ...................... 79 1.9.1. Orthotrope materialen ...................................................................................... 80 1.9.2. Transversaal isotrope materialen ...................................................................... 83

1.10. REFERENTIES ............................................................................................................. 85


iii

Hoofdstuk 2

STRUCTUREEL GEDRAG ................................................................................................. 86

2.1. INLEIDING ................................................................................................................. 86 2.2. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE .................................. 88

2.2.1. Opstellen vergelijkingen .................................................................................. 88 2.2.2. Praktische berekening ...................................................................................... 90

2.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT ....................................... 95

2.3.1. Globaal evenwicht ............................................................................................ 95 2.3.2. Evenwicht van een deel van de balk – Snedekrachten ..................................... 96 2.3.3. Verband tussen q, V en M ................................................................................ 96

2.3.4. Enkele referentiegevallen ................................................................................. 97 2.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast ....................................................................... 97 2.3.4.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ................................................... 100 2.3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ...................................................... 102 2.3.4.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting .................................... 106

2.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN ............................................. 110 2.4.1. Spanningen t.g.v. normaalkracht N ................................................................ 110 2.4.2. Spanningen t.g.v. buigend moment M ........................................................... 110 2.4.3. Spanningen t.g.v. dwarskracht V ................................................................... 114

2.5. VERPLAATSINGEN ................................................................................................... 119 2.5.1. Verplaatsingen t.g.v. de normaalkracht N ...................................................... 119

2.5.2. Verplaatsingen t.g.v. het buigend moment M ................................................ 119

2.5.2.a. Ingeklemde balk met puntlast ..................................................................... 121

2.5.2.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ................................................... 122 2.5.2.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ...................................................... 122 2.5.2.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting .................................... 124

2.5.3. Verplaatsingen t.g.v. de dwarskracht V ......................................................... 124 2.6. SINGULARITEITSFUNCTIES ....................................................................................... 126

2.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL ................................................... 130 2.8. REFERENTIES ........................................................................................................... 132


iv

Hoofdstuk 3

OPLOSSINGSMETHODES ............................................................................................... 133

3.1. INLEIDING ............................................................................................................... 133 3.2. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN ................................................................................... 135 3.3. EXPERIMENTELE METHODES.................................................................................... 136 3.4. NUMERIEKE METHODES – EINDIGE ELEMENTEN ...................................................... 139

3.4.1. Structuur van het eindige elementenprogramma ............................................ 141

3.4.1.a. Pre-processing ........................................................................................... 141 3.4.1.b. Analyse ....................................................................................................... 144 3.4.1.c. Post-processing .......................................................................................... 145

3.4.2. Praktijkvoorbeelden ....................................................................................... 146 3.4.2.a. Plastische vervorming van een koppeling voor perslucht .......................... 146 3.4.2.b. Inlaat van een composiet drukvat ............................................................... 151 3.4.2.c. Maximale kromming van een connectorblok met optische vezels .............. 155 3.4.2.d. Thermische spanningen in een dikwandige composietbuis ........................ 156

3.5. REFERENTIES ........................................................................................................... 160


v

Hoofdstuk 4

TWEEDIMENSIONALE ELASTISCHE PROBLEMEN ............................................... 161

4.1. VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING .................................................................. 161 4.1.1. Vlakspanning .................................................................................................. 161

4.1.1.a. Algemeen .................................................................................................... 161 4.1.1.b. Cirkel van Mohr ......................................................................................... 164 4.1.1.c. Vlakspanning met thermische effecten ....................................................... 166

4.1.2. Vlakvervorming ............................................................................................. 167 4.1.2.a. Algemeen .................................................................................................... 167 4.1.2.b. Cirkel van Mohr ......................................................................................... 169

4.1.2.c. Vlakvervorming met thermische effecten ................................................... 171 4.1.3. Hoofdrichtingen vlakspanning en vlakvervorming ........................................ 172

4.2. AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN ..................................................... 173 4.2.1. Basisformules voor axiaalsymmetrie ............................................................. 173 4.2.2. Opstellen algemene vergelijkingen voor radiale belastingen ......................... 176

4.2.3. Trek- of drukspanningen op de binnen- en buitenrand .................................. 177 4.2.3.a. Schijf in vlakspanning ................................................................................ 177 4.2.3.b. Schijf in vlakvervorming ............................................................................. 179 4.2.3.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ................................................. 181

4.2.3.d. Lange buis met vrije uiteinden ................................................................... 185 4.2.4. Radiaal temperatuurveld ................................................................................ 186

4.2.4.a. Schijf in vlakspanning ................................................................................ 186

4.2.4.b. Schijf in vlakvervorming ............................................................................. 191

4.2.4.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ................................................. 193 4.2.4.d. Lange buis met vrije uiteinden ................................................................... 194

4.3. SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN ..................................................... 197

4.4. REFERENTIES ........................................................................................................... 201


vi

Hoofdstuk 5

MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN MATERIAALMODELLEN ...................... 202

5.1. MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES ................................. 203 5.1.1. Trek- en drukproeven ......................................................................................... 204

5.1.1.a. Ductiele materialen .................................................................................... 206 5.1.1.b. Brosse materialen ....................................................................................... 211

5.1.1.c. Overgangen van bros naar ductiel gedrag en vice versa ........................... 213 5.1.1.d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen ................. 214

5.1.2. Buigproeven ....................................................................................................... 215

5.1.3. Afschuifproeven ................................................................................................. 215 5.1.4. Hardheidsproeven ............................................................................................... 216

5.1.4.a. Hardheidsmeting volgens Brinell ............................................................... 217 5.1.4.b. Hardheidsmeting volgens Vickers .............................................................. 218 5.1.4.c. Hardheidsmeting volgens Rockwell ........................................................... 218

5.1.5. Kruipproeven ...................................................................................................... 219 5.1.6. Vermoeiingsproeven .......................................................................................... 221

5.1.6.a. Proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven ...................................... 223 5.1.6.b. Proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ... ......... 226

5.1.6.c. Proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen ........ 227 5.1.7. Impactproeven .................................................................................................... 229

5.1.7.a. Valproeven ................................................................................................. 231

5.1.7.b. Pneumatische en mechanische impacttesten .............................................. 232

5.1.7.c. Hopkinson-proeven .................................................................................... 233 5.1.7.d. Impactproeven op volledige constructies ................................................... 235

5.1.8. Kerfslagproeven ................................................................................................. 236

5.2. CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN .............................................. 238 5.2.1. Vloeicriteria voor ductiele materialen ................................................................ 238

5.2.1.a. Criterium van Tresca ................................................................................. 241 5.2.1.b. Criterium van von Mises ............................................................................ 241

5.2.2. Breukcriteria voor brosse materialen ................................................................. 242 5.2.2.a. Isotrope brosse materialen ......................................................................... 242

5.2.2.b. Anisotrope brosse materialen ..................................................................... 244 5.3. INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN ........................................................................ 245

5.3.1. Rekstrookjes ....................................................................................................... 245 5.3.1.a. Technologie van het rekstrookje ................................................................ 245 5.3.1.b. Meervoudige rekstrookjes .......................................................................... 247

5.3.2. Moiré-technieken ............................................................................................... 251 5.3.3. Digitale beeldcorrelatie ...................................................................................... 256

5.3.4. Optische vezelsensoren ...................................................................................... 260 5.4. SCHADEMECHANISMEN ........................................................................................... 263

5.4.1. Schadetypes ........................................................................................................ 264 5.4.1.a. Metalen ....................................................................................................... 264 5.4.1.b. Gewapend beton ......................................................................................... 265

5.4.1.c. Kunststoffen ................................................................................................ 266 5.4.1.d. Composietmaterialen ................................................................................. 266

5.4.2. Schadedetectie en -diagnose ............................................................................... 270 5.4.2.a. Visuele inspectie ......................................................................................... 270


vii

5.4.2.b. Ultrasoon onderzoek .................................................................................. 271

5.4.2.c. Radiografie ................................................................................................. 278 5.4.2.d. Thermografie .............................................................................................. 279

5.5. MATERIAALMODELLEN ........................................................................................... 281

5.5.1. Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag ................................................................... 283 5.5.1.a. Elastisch materiaalgedrag ......................................................................... 283 5.5.1.b. Plastisch materiaalgedrag ......................................................................... 283

5.5.2. Tijdsafhankelijk materiaalgedrag ....................................................................... 285 5.5.3. Scheurgroei ......................................................................................................... 291

5.5.3.a. Elastische breukmechanica ........................................................................ 292 5.5.3.b. Elastisch-plastische breukmechanica ........................................................ 297

5.5.4. Degradatie .......................................................................................................... 298 5.6. BESLUIT .................................................................................................................. 303

5.7. REFERENTIES ........................................................................................................... 305

1

Hoofdstuk 1

Krachten, momenten,

spanningen en rekken

1.1. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES

In het ontwerp van een constructie of machine is het allereerst noodzakelijk met behulp van

de grondbeginselen van de statica vast te stellen, welke krachten op de verschillende

onderdelen werken. Vandaar wordt in deze paragraaf eerst ingegaan op de begrippen kracht,

moment en evenwicht.

Alle grootheden zullen voorgesteld worden in een rechtshandig cartesiaans assenstelsel

(x,y,z). Voor de meeste constructies (balken, platen, schalen, raamwerken,...) wordt daarbij

aangenomen dat de z-richting de hoogte weergeeft, terwijl de x-as de lengte weergeeft. De

ligging van de y-as volgt dan onmiddellijk uit de voorwaarde van een rechtshandig

assenstelsel.

1.1.1. Uitwendige belastingen

De uitwendige belastingen op een constructie kunnen verdeeld worden in twee grote klassen:

(i) de krachten, en (ii) de momenten.

1.1.1.a. Krachten

Opnieuw kan men onderscheid maken tussen twee types krachten: (i) de oppervlaktekrachten,

en (ii) de volumekrachten.

Oppervlaktekrachten

Zoals de naam al aangeeft, worden oppervlaktekrachten veroorzaakt door het directe contact

van een object met het oppervlak van een ander object. In alle gevallen worden deze krachten

verdeeld over de contactoppervlakte tussen de objecten (zie Figuur 1.1(a)). Met name als deze

oppervlakte klein is t.o.v. de totale oppervlakte van het object, kan de oppervlaktekracht

geïdealiseerd worden als één geconcentreerde kracht [Newton], die op een punt van het

lichaam wordt uitgeoefend (zie Figuur 1.1(a)).

Als de oppervlaktebelasting op een smal langwerpig oppervlak wordt uitgeoefend, kan de

belasting worden geïdealiseerd als een lijnbelasting, q(s). Hier wordt de belasting gemeten

per lengte-eenheid langs het oppervlak [Newton/meter] en grafisch weergegeven als een reeks

pijlen over de lijn s (zie Figuur 1.1(a)). De belasting over de lengte van een balk is een typisch

voorbeeld van een structuur waar deze idealisering vaak wordt toegepast (zie Figuur 1.1(b)).

De resulterende kracht FR van q(s) is gelijk aan de oppervlakte onder de kromme van de

verdeelde belasting en deze resultante grijpt aan in het zwaartepunt C van deze oppervlakte.

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken

2

Figuur 1.1 Puntbelasting, lijnbelasting en verdeelde belasting [1].

Volumekrachten

Een volumekracht treedt op wanneer een object een kracht uitoefent op een ander object

zonder dat er van direct fysiek contact tussen de objecten sprake is. Het meest directe

voorbeeld is de zwaartekracht die aangrijpt op elk object hier op aarde. Hoewel

volumekrachten alle deeltjes van het object beïnvloeden, worden deze krachten gewoonlijk

voorgesteld door één enkele geconcentreerde kracht die op het object werkt. In het geval van

de zwaartekracht wordt deze kracht het gewicht van het lichaam genoemd en grijpt ze aan in

het zwaartepunt van het lichaam. De grootte ervan is dan:

gmF (1.1)

waarbij m de massa is van het lichaam en g de valversnelling (g = 9,81 m/s2).

Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle types

krachten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

,

zoals weergegeven in Figuur 1.2.

O

x

y

z

F > 0y

F > 0z

F > 0x

Figuur 1.2 Tekenconventies voor krachten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken

3

1.1.1.b. Momenten

Krachten kunnen niet alleen een translatie-effect uitoefenen op een object, maar ook een

rotatie-effect. Dit laatste wordt veroorzaakt door het moment dat door de kracht op het object

wordt uitgeoefend. Het moment wordt berekend als kracht vermenigvuldigd met lastarm en

heeft dus de dimensie [Newton meter].

Figuur 1.3 geeft een voorbeeld. De drie schetsen (a), (b) en (c) tonen het bovenaanzicht van

een deur, die via een hengsel verbonden is met de muur. Als de werklijn van de kracht

doorheen het scharnier gaat, treedt er geen rotatie op (zie Figuur 1.3(a)). Treedt de kracht F op

op een zekere afstand van het scharnier, dan treedt een rotatie op van de deur (zie Figuur

1.3(b)). Het is evident dat deze rotatie zal vergroten als (i) de kracht F groter is, en/of (ii) de

afstand van F tot het scharnier groter is. In geval (c) treedt geen rotatie op, omdat de werklijn

van de kracht opnieuw door het scharnier gaat.

Figuur 1.3 Moment uitgeoefend door een kracht [2].

Een koppel is een bijzonder geval van een moment, uitgeoefend door twee even grote,

evenwijdige en tegengestelde krachten (zie Figuur 1.4).


4

Figuur 1.4 Voorbeeld van een krachtenkoppel [2].

Als men opnieuw een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle

momenten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen xe

, y

e

en

ze

, zoals weergegeven in Figuur 1.5. De vectoren van de positieve momenten Mx, My en Mz

zijn gericht volgens de positieve zin van de respectieve assen xe

, y

e

en z

e

. Om het

onderscheid te maken met de componenten van de krachtvector, worden de componenten van

de momentvector getekend met een dubbele pijlpunt. De rotatiezin van het moment wordt

bepaald met de rechterhandregel : de duim wijst de richting van de (dubbele) pijlpunt aan en

de vingers van de rechterhand geven de draairichting aan.

O

x

y

z

M > 0y

Mx

> 0

M > 0z

M > 0x

My> 0

Mz

> 0

Figuur 1.5 Tekenconventies voor momenten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).


5

De meest algemene wiskundige uitdrukking voor de momentvector OM (Mx, My, Mz) is:

FrM O (1.2)

In het ingevoerde assenstelsel (x, y, z) kan deze vector als volgt berekend worden:

zzyyxx

zxyyxyxzzxxyzzy

zyx

zyx

zyx

eMeMeM

eFrFreFrFreFrFr

FFF

rrr

eee

OM

(1.3)

Men bekomt dus een momentvector OM met componenten (Mx, My, Mz).

In vele praktijkgevallen zijn sommige componenten van r en/of F gelijk aan nul. Dan is het

vaak eenvoudiger om de momenten Mx, My en Mz om de respectievelijke coördinaatassen

xe

, y

e

en z

e

afzonderlijk uit te schrijven, gebruik makend van de fysische betekenis van de

momentbijdrage van de krachtcomponenten Fx, Fy en Fz om de respectievelijke

coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

. Dit wordt duidelijk geïllustreerd door Figuur 1.6.

x

y

z

60

F = 100 N

5 m

2 m

r

Figuur 1.6 Momenten uitgeoefend op een stuk pijpleiding door de krachtvector F met grootte 100 N en in

een vlak evenwijdig met het x-z vlak.


6

Een kracht met grootte 100 N en in een vlak evenwijdig met het x-z vlak grijpt aan op een

stuk pijpleiding. Als men de momentvector OM wil berekenen, kan men uitgaan van de

algemene definitie en schrijven:

zzyyxx

zyx

zyx

eMeMeM

eNm100eNm1002

35eNm1003

60sinN100060cosN100

025

eee

OM

(1.4)

Men kan ook de kracht F ontbinden in zijn componenten (Fx, Fy, Fz) en nakijken welke

componenten bijdragen tot het moment om een bepaalde coördinaatas.

x

y

z

5 m

2 m

60

rx

ry

Fx

Fz

F = 100 N

Figuur 1.7 Momenten uitschrijven op basis van fysische interpretatie.

Als men de afzonderlijke momenten Mx, My en Mz rechtstreeks opschrijft, kijkt men welke

krachtcomponenten bijdragen tot dat moment en berekent deze bijdragen als

{krachtcomponent} maal {loodrechte hefboomsarm tot de as i

e

}. Het teken van de

momentbijdrage wordt bepaald door de rechterhandregel rond de as i

e

, zoals aangeduid in

Figuur 1.7.


7

yxz

xzy

yzx

rFM

rFM

rFM

(1.5)

Voor vlakke problemen is deze laatste methode nog veel meer aangewezen. Stel dat men

bovenstaand probleem vereenvoudigt tot een tweedimensionaal probleem in het x-z vlak,

zoals aangegeven in Figuur 1.8.

x

z

60

F = 100 N

y

5 m

Figuur 1.8 Tweedimensionaal probleem, waarbij de constructie en belastingen allen in één vlak liggen.

Als men het probleem beschrijft in het x-z vlak, zijn de y-component van r en F gelijk aan

nul, zodat My de enige niet-nul component is van de momentvector OM . Dan is het veel

eenvoudiger om de momentbijdrage van de twee krachtcomponenten Fx en Fz rechtstreeks op

te schrijven. Dit wordt aangetoond in Figuur 1.9.

x

z

60

F = 100 N

y

5 mFx

Fz

Figuur 1.9 Berekenen van momentbijdragen bij vlakke problemen.

De enige momentbijdrage wordt geleverd door Fz:

Nm1002

35

rFM xzy

(1.6)

Bij vlakke problemen kan men zelfs nog een derde berekeningswijze aanwenden. Het

moment kan namelijk ook berekend worden als de volledige kracht maal de loodrechte

hefboomsarm, zoals aangegeven in Figuur 1.10.


8

x

z

60

F = 100 N

y

5 mFx

Fz

rF

rF

Figuur 1.10 Berekenen van momentbijdragen als kracht maal loodrechte hefboomsarm.

Dit kan men eenvoudig aantonen als volgt:

0Fr

FrFr

Frr

FrM

F

//FF

//FF

ye

O

(1.7)

waarbij het teken van het moment nog steeds bepaald wordt door de rechterhandregel, ditmaal

rond de coördinaatas y

e

.

Het moment My wordt dan:

Nm1002

35

N10060sinm5

M y

Fr F

(1.8)

Opmerking Bij vlakke problemen staan alle momentenvectoren loodrecht op het

beschouwde vlak. Immers, alleen momentvectoren loodrecht op dat vlak geven aanleiding tot

rotaties in dat vlak. Omdat de momentvectoren in die 2-D voorstelling moeilijk te tekenen

zijn, tekent men enkel de rotatiezin die ze veroorzaken. Als men bv. een vlak probleem

bestudeert in het x-z vlak, liggen alle momentvectoren volgens de coördinaatas y

e

. De

momentvectoren worden dan voorgesteld door een kromme pijl die de rotatiezin aangeeft: in

uurwijzerzin voor een positief moment My, in tegenuurwijzerzin voor een negatief moment

My. Dit wordt schematisch weergegeven in Figuur 1.11.


9

x

z

y

M < 0yM > 0y

Figuur 1.11 Voorstelling van momentvectoren My in het vlak x-z.

1.1.2. Types ondersteuningen

In vele gevallen zijn constructies ondersteund of bevestigd aan steunpunten. De krachten in

deze ondersteuningen of steunpunten noemt men de reacties. In Figuur 1.12 zijn de meest

voorkomende types ondersteuningen getoond voor belastingen in eenzelfde vlak.

Figuur 1.12 Meest voorkomende types ondersteuningen [1].


10

Als de ondersteuning de translatie in een bepaalde richting verhindert, dan moet er in die

richting een reactiekracht [Newton] op het onderdeel worden uitgeoefend. Evenzo geldt dat,

wanneer rotatie wordt verhinderd, er een reactiemoment [Newton meter] op het onderdeel

wordt uitgeoefend. Zo verhindert bijvoorbeeld een roloplegging (Figuur 1.12(b)) alleen

translatie in de verticale richting. De rol oefent daardoor op het punt van contact een

reactiekracht F uit op het onderdeel. Aangezien het onderdeel vrij om de rol kan roteren, kan

er door de rol op het punt van contact geen moment op het onderdeel worden uitgeoefend.

De reacties worden gewoonlijk aangeduid met het symbool R voor reactiekrachten en RM

voor reactiemomenten.

1.1.3. Evenwicht van een constructie

Evenwicht van een object vereist zowel een evenwicht van krachten als een evenwicht van

momenten. Deze voorwaarden kunnen wiskundig worden uitgedrukt met de volgende twee

vectorvergelijkingen:

0M

0F

O

(1.9)

Hier vertegenwoordigt F de som van alle krachten die op het lichaam werken en is OM

de som van de momenten van alle krachten rond een punt O, waarbij het punt O al dan niet op

het object zelf gelegen is.

Als men het evenwicht uitschrijft van de volledige constructie, worden ook de reacties in de

ondersteuningen meegeteld als uitwendige krachten/momenten op de constructie.

Als er een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) is ingesteld met de oorsprong in het

punt O, kunnen de krachten momentenvectoren worden ontbonden in hun componenten

langs de coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

. De twee bovenstaande vergelijkingen (1.9) kunnen

dan in scalaire vorm worden geschreven als zes vergelijkingen:

0M0M0M

0F0F0F

zyx

zyx

(1.10)

Hierbij is het belangrijk in te zien dat de gekozen positieve rotatierichting voor het

uitschrijven van het momentenevenwicht geen belang heeft. Een omkering van de gekozen

positieve rotatierichting impliceert enkel dat de evenwichtsvergelijkingen worden

vermenigvuldigd met –1, maar dat maakt uiteraard geen enkel verschil:

0M0M0M zyx (1.11)

In vele gevallen werken alle belastingen in één vlak (onderstel het x-y vlak) en kunnen de

evenwichtsvergelijkingen gereduceerd worden tot:

0M

0F0F

z

yx

(1.12)


11

Met behulp van deze evenwichtsvergelijkingen kunnen de reactiekrachten in de

ondersteuningen van een constructie berekend worden.

Voorbeeld 1.1

Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten

in A en B.

1.1.4. Inwendige krachtswerking

Eén van de belangrijkste toepassingen van de statica bij het analyseren en ontwerpen van

constructies, is het kunnen bepalen van de resulterende kracht en het resulterende moment

die in een doorsnede van de constructie werken en die noodzakelijk zijn om de constructie-

onderdelen bij elkaar te houden wanneer er uitwendige krachten (en reactiekrachten) op

worden uitgeoefend.

Deze inwendige krachten noemt men ook wel “snedekrachten”, omdat deze krachten

berekend worden door een “snede” te maken in de constructie en het evenwicht uit te drukken

van een geïsoleerd deel van de constructie.

Figuur 1.13 toont het voorbeeld van een tweedimensionale constructie met een dergelijke

doorsnijding.


12

Figuur 1.13 Doorsnijding van een constructie en bepaling van de inwendige krachtswerking [1].

Voor de berekening van de snedekrachten in

Figuur 1.13 gaat men als volgt te werk:

op de plaats waar men de snedekrachten wil kennen, snijdt men (uiteraard

denkbeeldig) de constructie volledig door. Men heeft nu twee geïsoleerde delen. Het deel

waar de buitennormale van de doorsnijding samenvalt met de positieve coördinaatas, noemt

men de positieve doorsnijding. Het andere deel, waar de positieve buitennormale tegengesteld

gericht is aan de positieve coördinaatas, noemt men de negatieve doorsnijding. In het

voorbeeld van

Figuur 1.13 is het linkerdeel de positieve doorsnijding (buitennormale volgens positieve as

xe

) en het rechterdeel de negatieve doorsnijding (buitennormale volgens negatieve as

xe

),

als men nu enkel het evenwicht van het linkerdeel van de constructie beschouwt, moet men

de krachtswerking van het weggesneden rechterdeel op het linkerdeel herstellen door de

invoering van de snedekrachten. Zoals blijkt uit vergelijking (1.12), zijn er voor een

tweedimensionale doorsnijding drie onbekende snedekrachten: Fx, Fy en Mz (merk op dat

de momentvector Mz hier opnieuw wordt voorgesteld door zijn teweeggebrachte rotatie in

het x-y vlak).

De tekenconventie voor de snedekrachten hangt af van de doorsnijding: voor een positieve

doorsnijding gelden de tekenconventies van Figuur 1.5, voor een negatieve doorsnijding

zijn de tekenconventies net omgekeerd. Dit moet zo zijn, want de krachtswerking van het

rechterdeel op het linkerdeel is gelijk en tegengesteld aan de krachtswerking van het

linkerdeel op het rechterdeel (derde wet van Newton: actie en reactie),


13

tenslotte schrijft men het krachten- en momentenevenwicht uit voor het linkerdeel

afzonderlijk of voor het rechterdeel afzonderlijk. Vermits alle reactiekrachten én de

uitwendige belastingen gekend zijn, kan men voor elk geïsoleerd deel van de constructie de

evenwichtsvergelijkingen (1.12) uitschrijven. Vermits de snedekrachten de krachtswerking

vertegenwoordigen van het rechterdeel van de constructie op het aangrenzende linkerdeel

van de constructie, en vice versa, moet men in beide gevallen dezelfde waarden bekomen

voor de snedekrachten Fx, Fy en Mz. De snedekrachten worden hierbij altijd gerefereerd

t.o.v. het zwaartepunt van de beschouwde dwarsdoorsnede.

De fysische betekenis van de snedekrachten kan best aangetoond worden met een voorbeeld.

Figuur 1.14 toont een links ingeklemde balk met een verdeelde belasting van 270 N/m. De

onbekende reactiekrachten en –momenten zijn Rx, Rz en RMy.

x

z

y

RzRMy

Rx

Figuur 1.14 Vlak probleem van ingeklemde balk met verdeelde belasting.

Allereerst moet men deze uitwendige reactiekrachten en –momenten bepalen voor de

volledige constructie. Uitschrijven van het horizontaal, verticaal en momentenevenwicht

levert de volgende drie vergelijkingen:

Nm3645RM

N1215R

0R

093

1

2

9m/N270RM

02

9m/N270R

0R

y

z

x

y

z

x

(1.13)

Om nu de onbekende snedekrachten in de doorsnede C te berekenen, kan men kiezen voor

een positieve doorsnijding (deel links van C isoleren) of een negatieve doorsnijding (deel

rechts van C isoleren). Figuur 1.15 toont beide opties, met de tekenconventie van de

snedekrachten voor een positieve doorsnijding (boven) en een negatieve doorsnijding (onder).


14

x

z

y

x

z

y

Fz

My

Fx

Fx

MyFz

RzRMy

Rx

Figuur 1.15 Equivalentie van linker- en rechterdoorsnijding van de balk.

Omdat de onbekende snedekrachten Fx, Fz en My een unieke waarde hebben in de doorsnede

C, moeten beide doorsnijdingen hetzelfde resultaat leveren.

Evenwicht van het geïsoleerde linkerdeel geeft:

Nm1080M

N540F

0F

0Mdx)x3(9

x1m/N270m3RRM

0Fdx9

x1m/N270R

0FR

y

z

x

3

0

yzy

3

0

zz

xx

(1.14)

Dit betekent dat het weggesneden rechterdeel van de constructie een neerwaartse kracht van

540 N uitoefent op het linkerdeel, alsook een buigmoment in uurwijzerzin.

Evenwicht van het geïsoleerde rechterdeel geeft:

Nm1080M

N540F

0F

063

1

2

6m/N180M

02

6m/N180F

0F

y

z

x

y

z

x

(1.15)


15

De waarde voor de snedekrachten is inderdaad dezelfde, maar de tekenconventie voor de

snedekrachten is tegengesteld aan deze voor de positieve doorsnijding, precies omwille van

de wet van actie en reactie.

Stappenplan voor de berekening van het evenwicht van constructies en doorsnijdingen:


16

Voorbeeld 1.2

Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt B op de dwarsdoorsnede van de

pijp werken. De pijp heeft een massa van 2 kg/m en wordt aan het uiteinde A belast door een

verticale kracht van 50 N en een koppel van 70 Nm. De pijp is bij C vast aan de muur

bevestigd.

1.1.5. Scharnierende verbindingen

De inwendige krachtswerking wordt aanzienlijk vereenvoudigd als de constructie is

samengebouwd uit scharnierende onderdelen. Dit is vaak het geval bij vakwerkbruggen en

portieken. Figuur 1.16 toont een schematisch voorbeeld van een constructie met

scharnierende verbindingen.

Figuur 1.16 Voorbeeld van constructie met scharnierende verbindingen [13].

Men kan eenvoudig aantonen dat er in deze gevallen enkel een snedekracht in de richting van

de staven bestaat. Door het bestaan van de scharnieren wordt er immers geen moment

overgedragen van de ene staaf naar de andere. Beschouwt men nu het evenwicht van een

geïsoleerde staaf, zoals weergegeven in Figuur 1.17. De overblijvende snedekrachten worden


17

getekend in overeenstemming met de tekenconventies voor een positieve (rechts) en negatieve

(links) doorsnijding.

Fz

Fx

Fx

Fz

L

Figuur 1.17 Evenwicht van een vakwerkstaaf tussen twee scharnieren.

Als men het momentevenwicht uitschrijft om het linkse scharnier (bv. met positieve draaizin

in de tegenuurwijzerzin):

0F0LF0M zzy (1.16)

Dit betekent dat er enkel een langskracht Fx bestaat in de staaf.

Deze conclusie is algemeen geldig voor constructies met scharnierende verbindingen als en

slechts als:

de staaf aan zijn beide uiteinden verbonden is met scharnieren,

er geen belasting aangrijpt tussen de scharnieren.

Dit betekent ook meteen dat de reactiekrachten gericht zijn volgens de richting van de staven,

als en slechts als er maar één staaf aankomt in het steunpunt (zoals het geval is in Figuur

1.16).

Voorbeeld 1.3

Alle staven in onderstaand vakwerk zijn scharnierend met elkaar verbonden. In twee knopen

grijpt een neerwaarts gerichte puntlast aan van respectievelijk 0,75 P en P. Bepaal de positie

van de staaf die de grootste kracht moet dragen.

P0,75 P

1,2 m 1,2 m

0,9 m

(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 35 minuten)


18

1.1.6. Besluit

Bij deze berekening van de inwendige krachtswerking wordt ondersteld dat de snedekrachten

aangrijpen in het zwaartepunt van de doorsnijding, maar het is nogal evident dat deze

snedekrachten in werkelijkheid niet geconcentreerd kunnen zijn in dat ene punt, anders

zouden alle punten van de doorsnede volledig onbelast zijn, uitgezonderd het zwaartepunt.

Deze snedekrachten stellen dus in feite het resulterend effect voor van de feitelijke

krachtenverdeling over het volledige oppervlak van de beschouwde doorsnede.

De berekening van de snedekrachten m.b.v. de vergelijkingen van het evenwicht is dan ook

maar een eerste stap naar het volledig begrip van de inwendige krachtswerking in de

constructie. De volgende stap bestaat er nu in te onderzoeken hoe de snedekrachten in

werkelijkheid worden vertaald naar een verdeelde krachtswerking over de volledige

doorsnijding. Daartoe worden twee nieuwe begrippen ingevoerd: spanning en rek. De

volgende paragraaf tracht een intuïtief begrip van deze grootheden aan te leren. Daarna volgt

een meer rigoureuze bespreking van beide begrippen.


19

1.2. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN

Om de begrippen “spanning” en “rek” te introduceren, beschouwt men een eenvoudige

trekproef op zacht staal. Een typische proefopstelling is getoond in Figuur 1.18. Het stalen

proefstuk is een prismatische staaf met cirkelvormige dwarsdoorsnede en is ingeklemd aan

het boven- en onderuiteinde. Bovenaan wordt een trekkracht F uitgeoefend door de zware

dwarsbalk. Een extensometer (aan de zijkant van het proefstuk) meet de relatieve verplaatsing

tussen twee referentiepunten.

Figuur 1.18 Experimentele opstelling voor trekproeven op metalen [5].

Bij een schematische voorstelling van deze trekproef zijn de evenwichtsvergelijkingen heel

eenvoudig : in elke cirkelvormige dwarsdoorsnede van het proefstuk werkt de kracht F in het

zwaartepunt van de doorsnede. In dat geval is het redelijk te veronderstellen dat de kracht F in

de doorsnede wordt opgenomen door een constante, gelijkmatige trekspanning , die

gelijkmatig verdeeld wordt over de oppervlakte A0 [meter2] van de dwarsdoorsnede. De

grootte van deze trekspanning is dan:

]meter/Newton[A

F 2

0

(1.17)

Het is belangrijk te onthouden dat spanningen steeds als dimensie [Newton/meter2] hebben.

Omdat spanningen echter steeds betrekking hebben op een kleine oppervlakte, worden ze

vaak uitgedrukt in MPa, waarbij:

2266 mm/N1m/N10Pa10MPa1 (1.18)

Figuur 1.19 toont de schematische verdeling van de spanningen en de bijhorende verlenging

L van de stalen staaf.


20

Figuur 1.19 Verdeling van de spanningen en verlenging van de stalen staaf [6].

Inderdaad, het is evident dat onder invloed van de trekkracht F (en de trekspanningen ) ook

een verlenging van de staaf zal optreden. Als men deze verlenging L (zie Figuur 1.19) deelt

door de oorspronkelijke lengte L0, dan bekomt men de rek :

0L

L (1.19)

De rek is dimensieloos [-] en geeft de relatieve verlenging weer van de proefstaaf.

Als men nu voor deze trekproef de experimenteel opgemeten spanning en rek ten opzichte

van elkaar uitzet, bekomt men een typische grafiek zoals afgebeeld in Figuur 1.20.

Figuur 1.20 Typisch spanning-rek diagram voor een trekproef op zacht staal [5].


21

In de abscis staat de rek [-] en in de ordinaat staat de spanning [GPa (= 109 N/m2)].

Vooraleer de trekproef start, ondervindt het materiaal geen enkele spanning of vervorming

( = 0 en = 0). Als de trekkracht op het proefstuk opgevoerd wordt, tekent zich eerst een

zone af waar de spanning en rek proportioneel toenemen. In deze (beperkte) zone vertoont het

materiaal een lineair elastisch gedrag.

Het gedrag wordt elastisch genoemd, omdat in deze zone geen blijvende vervorming optreedt.

Wordt de belasting weggenomen, dan verdwijnt ook de vervorming en bevindt het materiaal

zich in zijn oorspronkelijke, onbelaste toestand. De - curve wordt dan in tegengestelde zin

doorlopen en de vervorming is dus omkeerbaar.

Het gedrag is bovendien lineair omdat spanning en vervorming evenredig toenemen, en de

evenredigheidsconstante noemt men de elasticiteitsmodulus E [N/m2]:

E (1.20)

Deze betrekking tussen spanning en rek is de wet van Hooke. De elasticiteitsmodulus E is dus

een materiaaleigenschap die de stijfheid van het materiaal weergeeft.

Eens de elasticiteitsgrens 0 wordt bereikt, gedraagt het materiaal zich niet langer lineair

elastisch. Inderdaad, de spanning neemt niet langer evenredig toe met de rek en er treedt ook

permanente vervorming op. Bij het ontlasten verdwijnt de elastische rek, maar een deel van de

totale rek blijft over als permanente rek. In deze zone gedraagt het materiaal zich plastisch.

Wanneer men de kracht blijft opvoeren, bereikt men uiteindelijk de treksterkte UTS (Eng:

Ultimate Tensile Strength). Toch treedt breuk pas op bij een nog grotere vervorming, maar bij

een lagere spanning. Hoe komt dit ? De spanning wordt gedefinieerd als de kracht F,

gedeeld door de oorspronkelijke oppervlakte A0. Eens de treksterkte UTS bereikt wordt,

begint het materiaal lokaal in te snoeren (Eng: necking), zodat de werkelijke oppervlakte A

verkleint. De werkelijke spanning F/A blijft dus toenemen, hoewel de spanning F/A0 afneemt.

Een voorbeeld van insnoering is duidelijk te zien in Figuur 1.21.

Figuur 1.21 Lokale insnoering van het stalen proefstuk bij breuk [5].


22

Deze insnoering in het plastisch gebied is met het blote oog waarneembaar, maar ook in het

elastisch gebied zal de diameter van de proefstaaf lichtjes afnemen, wanneer aan de staaf

getrokken wordt. De staaf wordt dus niet alleen langer, maar ook dunner. In het elastisch

gebied gebeurt deze vermindering van de dwarsafmetingen gelijkmatig over de volledige

lengte van de staaf, in tegenstelling tot de zeer lokale insnoering in het plastisch gebied. Deze

gelijkmatige vermindering van de dwarse afmetingen in het elastisch gebied noemt men de

dwarscontractie. Het blijkt uit experimentele metingen dat de relatieve vermindering d/d0

van de oorspronkelijke diameter d0 van de ronde proefstaaf een constante fractie is van de

relatieve lengteverandering L/L0 in het elastisch gebied:

000

0

L

L

d

dconstante

L/L

d/d

(1.21)

Het getal noemt men de dwarscontractiecoëfficiënt of de coëfficiënt van Poisson. Deze

coëfficiënt is dimensieloos en strikt positief. Het min-teken in de vergelijking (1.21) is nodig,

omdat een uitrekking van de staaf (L/L0 > 0) gepaard gaat met een vermindering van de

diameter (d/d0 < 0), terwijl een indrukking van de staaf gepaard gaat met een vermeerdering

van de diameter.

Dit verband is schematisch voorgesteld in Figuur 1.22.

Figuur 1.22 Verband tussen lengteverandering en verandering van dwarse afmetingen [2].

De maximale waarde van de coëfficiënt van Poisson is 0,5 omdat de proefstaaf anders zou

toenemen in volume als men hem indrukt. Dit volgt onmiddellijk uit de berekening van het

volume van de proefstaaf in belaste toestand. De nieuwe lengte L en diameter d zijn

respectievelijk:

ddd

LLL

0

0

(1.22)

Het volume van de belaste proefstaaf wordt dan:


23

)21(1V

)2()21(1V

1d4

1L

L

L1d

4L

L1L

d

d1d

4L

L1L

dd4

LL

d4

LV

0

2322

0

22

00

2

0

2

0

0

0

2

0

2

0

0

0

2

00

2

(1.23)

Als de proefstaaf wordt ingedrukt ( < 0), dan zou, indien groter zou zijn dan 0,5, het

volume van de proefstaaf V in druk groter zijn dan het oorspronkelijk volume V0. Dit is

fysisch niet mogelijk. Een eenvoudig voorbeeld is een alzijdige waterdruk op een lichaam.

Indien groter zou zijn dan 0,5, zou onder deze alzijdige waterdruk het volume van het

lichaam toenemen.

Voor metalen ligt de Poisson-coëfficiënt in de buurt van 1/3. Als vuistregel onthoudt men:

gesteenten, glas: = 1/4

metalen: = 1/3

rubbers: = 1/2

Hoewel het gebied waarin het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, zeer klein is in het

totale spanning-rek diagramma, worden bijna alle constructies zodanig ontworpen dat ze in

de gebruikstoestand een lineair elastisch materiaalgedrag vertonen. In het lineair elastisch

gebied zijn de vervormingen immers klein én omkeerbaar, wat voor de meeste constructies

(bv. bruggen voor wegverkeer, stalen liggers in gebouwen, motoren,...) wel heel wenselijk is.

Het plastisch materiaalgedrag wordt wel vaak doelbewust aangewend tijdens het

productieproces (bv. walsen, draadtrekken), zodat een nieuwe, blijvende vervorming aan het

materiaal kan worden opgelegd.

In de volgende paragrafen worden de begrippen “spanning” en “rek” uitgebreid naar een meer

algemene definitie en wordt verder ingegaan op de wet van Hooke.


24

1.3. SPANNINGEN

1.3.1. Definitie

In Figuur 1.23 is een object voorgesteld dat belast is met een stel uitwendige krachten F1 en

F2. Ter hoogte van de doorsnijding werken een kracht FR en een moment oRM (om het

zwaartepunt O). Beide kunnen berekend worden uit de evenwichtsvergelijkingen (1.10). Deze

twee belastingen FR en oRM stellen het resulterend effect voor van de feitelijke

krachtenverdeling over het oppervlak van de doorsnede.

Figuur 1.23 Evenwicht van een deel van het object [1].

Om de verdeling van deze inwendige snedekrachten over elk punt van de doorsnede te

beschrijven, kan men het oppervlak van de doorsnijding onderverdelen in kleine

oppervlakken A, waarop een eindige, maar toch heel kleine kracht F werkt, zoals afgebeeld

in Figuur 1.24(a). Daarbij wordt ondersteld dat de krachten F zo gekozen zijn, dat hun

resulterende kracht en moment om het zwaartepunt overeenkomen met de snedekrachten FR

en oRM .

Voor de verdere bespreking wordt de kracht F ontbonden in twee componenten: (i) de

component Fn normaal op het oppervlak, en (ii) de component Ft rakend aan het oppervlak

(tangentieel), zoals aangegeven in Figuur 1.24(b).


25

Figuur 1.24 Verdeling van het oppervlak [1].

Als het oppervlak A naar nul nadert, doen de kracht F en zijn componenten Fn en Ft dat

ook. Het quotiënt van de kracht en de oppervlakte zal echter in het algemeen naar een eindige

grens naderen. Dit quotiënt wordt de spanningsvector )n(

genoemd en zoals aangegeven,

beschrijft het de dichtheid van de inwendige kracht op een bepaald vlak door een punt:

A

Flim

0A

)n(

(1.24)

De superscript (n) vestigt de aandacht op het feit dat de definitie van de spanningsvector )n(

onlosmakelijk verbonden is met de keuze van het doorsnijdingsoppervlak in het beschouwde

punt en dus met haar normale ne

.

De dichtheid van kracht, of kracht per oppervlakte-eenheid, die loodrecht op A werkt, wordt

gedefinieerd als de normaalspanning . Wiskundig kan deze als volgt worden uitgedrukt:

A

Flim n

0A

(1.25)

Als de normaalkracht Fn aan het oppervlakte-element A “trekt”, dan is de normaalspanning

een trekspanning, terwijl als Fn op het oppervlakte-element A “drukt”, de

normaalspanning een drukspanning is.

Op analoge manier wordt de dichtheid van kracht die rakend aan A werkt, de

schuifspanning (tau) genoemd. Deze component wordt wiskundig op de volgende manier

geformuleerd:


26

A

Flim t

0A

(1.26)

Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, zoals aangegeven in

Figuur 1.25(a), kan men de normaalspanning en de schuifspanning gaan ontbinden

volgens de loodrecht op elkaar staande assen xe

,

ye

en z

e

, zoals aangegeven in Figuur

1.25(b).

Figuur 1.25 Invoering van een cartesiaans assenstelsel (x,y,z) [1].

In dit cartesiaans assenstelsel worden de normaal- en schuifspanningen aangeduid met een

subscript ij (i, j = x, y, z), waarbij de eerste index staat voor de richting van de

buitennormale van de beschouwde doorsnijding en de tweede index staat voor de

beschouwde richting van de spanning.

Voor het voorbeeld van Figuur 1.25(b) wordt de normaalspanning genoteerd als zz. De

buitennormale van de beschouwde doorsnijding is immers z

e

(eerste index) en de richting

van de normaalspanning is ook volgens z

e

(tweede index).

De beide schuifspanningscomponenten worden genoteerd als zx en zy. De beschouwde

doorsnijding heeft immers in beide gevallen als buitennormale z

e

(eerste index), terwijl de

ene schuifspanningscomponent volgens de xe

richting ligt en de andere volgens de y

e

richting.


27

De spanningen zz, zx en zy hebben dus allen als eerste index z, omdat de buitennormale van

de gekozen doorsnijding volgens z

e

ligt. De spanningen zijn positief als ze respectievelijk

volgens de positieve assen z

e

, xe

en y

e

liggen.

Geheel analoog kan men nu een nieuwe doorsnijding maken volgens het x-z vlak, met

buitennormale volgens de positieve y

e

as. Gebruik makend van de evenwichtsvergelijkingen

(1.10), kunnen opnieuw de resulterende inwendige kracht en het resulterende inwendige

moment bepaald worden, en dus de inwendige kracht F op elk oppervlakje A van deze

nieuwe doorsnijding (zie Figuur 1.26(a)). De normaalspanning yy staat dan loodrecht op de

beschouwde doorsnijding, terwijl yx en yz de schuifspanningscomponenten zijn volgens de

respectieve assen xe

en z

e

(zie Figuur 1.26(b)). Opnieuw hebben de spanningen yy, yx en

yz allen als eerste index y, omdat de buitennormale van de gekozen doorsnijding volgens y

e

ligt.

Figuur 1.26 Doorsnijding volgens de positieve y

e

as [1].


28

Tenslotte kan men een doorsnijding maken volgens het y-z vlak, met buitennormale volgens

de positieve xe

as, zoals aangeduid in Figuur 1.27(a). De normaalspanning is dan xx en de

schuifspanningen xy en xz (Figuur 1.27(b)).

Figuur 1.27 Doorsnijding volgens de positieve x

e

as [1].

De hierboven beschreven doorsnijdingen waren zodanig gekozen dat de buitennormale ervan

telkens samenviel met de positieve zin van de coördinaatas xe

, y

e

of z

e

. Deze worden dan

ook positieve oppervlakken genoemd. In geval van een negatief oppervlak is de

buitennormale tegengesteld gericht aan de positieve zin van de coördinaatas xe

, y

e

of z

e

.

Dit wordt geïllustreerd door Figuur 1.28(a). In dat geval keren ook de tekenconventies voor

de spanningen om. Een spanning op een negatief oppervlak heeft een positief teken als zij

tegengesteld gericht is aan de positieve zin van de coördinaatas xe

, y

e

of z

e

. Dit wordt

geïllustreerd in Figuur 1.28(b).


29

Figuur 1.28 Positieve en negatieve oppervlakken en bijhorende tekenconventies [7].

Samenvattend kan men een infinitesimaal klein kubisch volume-element uitsnijden dat de

spanningen in het gekozen punt van het lichaam voorstelt. Figuur 1.29 stelt deze

spanningstoestand voor, waarbij alle spanningen getekend zijn met een positief teken.

Figuur 1.29 Volledige spanningstoestand in een punt [7].

De spanningstoestand wordt vaak geschreven in matrixvorm:


30

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

][ (1.27)

De normaalspanningen xx, yy en zz bevinden zich op de hoofddiagonaal van de matrix. De

drie rijen stellen de normaal- en schuifspanningen voor op een doorsnede met buitennormale

volgens de positieve zin van de respectieve coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

.

Voorbeeld 1.4

De houten steun in onderstaande figuur hangt aan een stalen staaf van 10 mm diameter, die

aan de muur is bevestigd. De steun draagt een verticale belasting van 5 kN. Bereken de

gemiddelde schuifspanning in de staaf bij de muur en langs de twee gearceerde vlakken van

de steun, waarvan er één met abcd is gemarkeerd.

1.3.2. Verband tussen spanningsvector )n(

en spanningsmatrix []

Zoals reeds hoger vermeld, is de spanningsvector )n(

altijd gedefinieerd in relatie tot de

keuze van het doorsnijdingsoppervlak en haar positieve buitennormale ne

. Definieer nu

(nx, ny, nz) als de richtingscosinussen van de normale ne

, zodat geldt:


31

)z,y,xi(een ini

(1.28)

Om het verband aan te tonen tussen de spanningsvector )n(

en de spanningsmatrix [] in een

bepaald punt P(x,y,z), beschouwt men rond dit punt P een infinitesimaal kleine tetraëder,

zoals afgebeeld in Figuur 1.30. Drie vlakken van de tetraëder zijn evenwijdig met de

respectieve coördinaatvlakken x-y, x-z en y-z en hebben respectieve oppervlakken dSxy, dSxz

en dSyz. De drie ribben van de tetraëder, evenwijdig met de coördinaatassen xe

,

ye

en z

e

,

hebben respectieve lengtes dx, dy en dz. Het vierde vlak van de tetraëder heeft een

oppervlakte dS en een positieve buitennormale ne

met richtingscosinussen (nx, ny, nz). Op dit

vierde vlak werkt de spanningsvector )n(

.

ne

yy

xx

zz

yx

yz zxzy

xy

xzP

dx

dy

dzx

y

z

)n(

Figuur 1.30 Infinitesimaal kleine tetraëder in het beschouwde punt P.

Vermits deze infinitesimaal kleine tetraëder in het beschouwde punt P in evenwicht moet zijn,

moet het krachtenevenwicht gelden in de drie richtingen xe

, y

e

en z

e

[8]. Schrijft men

bijvoorbeeld het krachtenevenwicht voor de richting xe

, dan geldt:


32

)n(

xzzxyyxxxx

)n(

xzzxyyxxxx

)n(

xxyzxxzyxyzxx

nnn

dSndSndSndS

dSdSdSdS

(1.29)

Als men ook het krachtenevenwicht uitschrijft in de richtingen y

e

en z

e

, bekomt men

tenslotte de volgende betrekkingen tussen de spanningsvector )n(

en de spanningsmatrix []:

)n(

zzzzyyzxxz

)n(

yzzyyyyxxy

)n(

xzzxyyxxxx

nnn

nnn

nnn

(1.30)

De formules zijn gemakkelijker te onthouden in verkorte notatie:

)z,y,xj,i(n )n(

jiij (1.31)

Deze vergelijkingen gelden voor elk punt van het beschouwde lichaam en voor elke richting

van ne

, zowel in de inwendige punten als in de punten gelegen aan het oppervlak van het

lichaam.

Toegepast in een inwendig punt tonen deze vergelijkingen aan dat het volstaat de negen

componenten van de spanningsmatrix te kennen, om de spanningsvector op om het even welk

vlakje in dit punt te kunnen berekenen. De spanningsmatrix [] bepaalt dus volledig de

spanningstoestand in een punt.

Toegepast in een punt aan het buitenoppervlak met buitennormale ne

, is )n(

de uitwendige

kracht per eenheid van oppervlakte, uitgeoefend in dit punt op dit buitenoppervlak. In veel

gevallen is dit een gegeven grootheid (bv. de luchtdruk).

1.3.3. Vergelijkingen van het evenwicht

Beschouwt men opnieuw de infinitesimaal kleine kubus met lengte van de zijden dx, dy en

dz. Als het volledige lichaam in evenwicht is, dan moet ook dit kleine element in evenwicht

zijn. Figuur 1.31 toont een algemene spanningstoestand op het element.


33

Figuur 1.31 Statisch evenwicht van een infinitesimaal klein volume-element onder een algemene

spanningstoestand [6].

Op het element werken volgende spanningen en krachten:

de lichaamskrachten per eenheid van volume Fx, Fy en Fz

op het oppervlak met buitennormale - xe

:

xzxyxx ,, (1.32)

op het oppervlak met buitennormale + xe

:

dx

x,dx

x,dx

x

xzxz

xy

xyxx

xx (1.33)

op het oppervlak met buitennormale -y

e

:

yzyxyy ,, (1.34)

op het oppervlak met buitennormale +y

e

:

dy

y,dy

y,dy

y

yz

yz

yx

yx

yy

yy (1.35)


34

op het oppervlak met buitennormale -z

e

:

zyzxzz ,, (1.36)

op het oppervlak met buitennormale +z

e

:

dz

z,dz

z,dz

z

zy

zyzx

zxzz

zz (1.37)

Overeenkomstig (1.10) wordt het krachten- en momentenevenwicht uitgedrukt volgens de

drie coördinaatassen.

Beschouwt men eerst het krachtenevenwicht in de x-richting :

0dxdydzFdxdydxdydzz

dxdzdxdzdyy

dydzdydzdxx

xzxzx

zx

yx

yx

yxxxxx

xx

(1.38)

Vereenvoudigd wordt dit:

0Fzyx

xzxyxxx

(1.39)

Volledig analoog, door het evenwicht uit te drukken in de y-richting, komt men tot:

0Fzyx

y

zyyyxy

(1.40)

En tenslotte voor de z-richting:

0Fzyx

zzzyzxz

(1.41)

De vergelijkingen (1.39), (1.40) en (1.41) vormen samen de vergelijkingen van het

evenwicht.

Drukt men nu het momentenevenwicht uit rond de x-, y- en z-as.

Voor het resulterend moment om de z-as geldt:


35

02

dx)dxdy(dz

z2

dy)dxdy(dz

z

dx)dydz(dxx2

dx)dxdz(dy

y

dy)dxdz(dyy2

dy)dydz(dx

x

zy

zy

zyzxzx

zx

xy

xyyy

yy

yy

yx

yxxxxx

xx

(1.42)

Als men deze uitdrukking vereenvoudigt en tweede-orde termen verwaarloost, komt men tot

de eenvoudige uitdrukking:

yxxy (1.43)

Volledig analoog vindt men voor het resulterend moment om de y-as:

zxxz (1.44)

En voor het resulterend moment om de x-as:

zyyz (1.45)

De vergelijkingen (1.43), (1.44) en (1.45) vormen samen de wet van de wederkerigheid der

schuifspanningen. Dit wil zeggen dat de spanningsmatrix [] (zie vgl. (1.27)) symmetrisch is

en dus slechts zes onafhankelijke elementen telt: 3 normaalspanningen en 3 schuifspanningen.

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

][ (1.46)

Een notatie die men ook vaak terugvindt in de internationale literatuur, is de volgende:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

][ (1.47)

1.3.4. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen

De spanningsmatrix in het beschouwde punt wordt bepaald t.o.v. een gekozen cartesiaans

assenstelsel (x,y,z). Als men een ander assenstelsel (x’,y’,z’) kiest, dan transformeert de

spanningsmatrix volgens de volgende wet:

T]a[][]a[]'[ (1.48)


36

Hierbij is [] de spanningsmatrix in het oorspronkelijk assenstelsel (x,y,z), [’] de

spanningsmatrix in het nieuwe assenstelsel (x’,y’,z’) en [a] is de transformatiematrix tussen

beide assenstelsels. Hierbij geldt voor het element ark op rij r en kolom k:

z,y,xk,rmete'eakrrk

(1.49)

Elk element ark is dus de richtingscoëfficiënt van de nieuwe as 'e r

t.o.v. de oude as k

e

.

Het begrip “spanning” hangt dus niet af van de keuze van het assenstelsel. Uiteraard zullen de

componenten van de spanningsmatrix een andere waarde hebben bij keuze van een nieuw

assenstelsel, maar de fysische voorstelling van de spanning blijft dezelfde en bij de overgang

van het ene assenstelsel naar het andere, gelden de vaste transformatieregels (1.48) en (1.49)

voor de spanningsmatrix. Een matrix met deze bijzondere eigenschap noemt men een tensor.

Naargelang de complexiteit van deze transformatieregels krijgt de tensor een bepaalde orde,

in dit geval orde twee. Vandaar wordt [] voortaan altijd aangeduid als de spanningstensor

i.p.v. de spanningsmatrix.

Nu is het bekend uit de algebra dat elke matrix door een transformatie van de vorm (1.48) kan

omgezet worden in een diagonale matrix (met alle niet-diagonaalelementen nul). In dit geval

betekent dit dat er drie onderling orthogonale richtingen kunnen gevonden worden, waarin de

spanningstensor zich herleidt tot een diagonale matrix:

'00

0'0

00'

]'[

zz

yy

xx

(1.50)

De aldus bekomen diagonaalelementen noemt men de eigenwaarden van [], en de rijen van

de transformatiematrix [a] noemt men dan de eigenvectoren van []. Dit betekent hier dat er

voor elke spanningstoestand [] één (of tenminste één) assenstelsel (x’,y’,z’) kan gevonden

worden waarin de zes schuifspanningen nul zijn en dus alleen normaalspanningen bestaan.

Deze normaalspanningen, die de eigenwaarden van [] zijn, noemt men de hoofdspanningen

(Eng: principal stresses). De drie richtingen van de assen 'e x

, 'e y

en 'e z

, waarvan de

richtingscoëfficiënten eigenvectoren van [] zijn, noemt men de hoofdrichtingen.

Steunend op de cursus algebra vindt men de oplossing van dit eigenwaardenprobleem voor

een 3 x 3 matrix als volgt: de eigenwaarden zijn de oplossingen van de seculaire vergelijking:

0

s

s

s

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

(1.51)

Als men deze determinant uitwerkt, vindt men volgende derde-graadsvergelijking:


37

)2(

)(s

)(s

s0

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx

zzyyxx

2

3

(1.52)

Het is bekend dat, als [] symmetrisch is, deze vergelijking drie reële wortels heeft.

Bovendien veranderen deze eigenwaarden niet door een lineaire transformatie zoals (1.48),

zodat de coëfficiënten van de seculaire vergelijking (1.52) niet kunnen afhangen van het

gekozen referentiestelsel (x,y,z). De coëfficiënten van s2, s1 en s0 zijn dan ook invarianten met

betrekking tot de keuze van het assenstelsel:

][ t vandeterminan

2

][ vanenhoofdminor de vansom

][ vanomdiagonaals

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx3

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx2

zzyyxx1

(1.53)

De drie wortels van de vergelijking (1.52) noteert men I, II en III, waarbij I > II > III.

Met aanname van deze conventie kan men aantonen dat I de grootste en III de kleinste

normaalspanning zijn van alle normaalspanningen in het beschouwde punt [9].

De drie bijhorende eigenvectoren zijn de oplossingen van het lineair homogeen stelsel:

III,II,Ii

0

0

0

a

a

a

3i

2i

1i

izzyzxz

yziyyxy

xzxyixx

(1.54)

Elk van de drie eigenvectoren wordt genormeerd, zodat voor elke eigenvector geldt:

III,II,Ii1aaa2

3i

2

2i

2

1i (1.55)


38

1.3.5. Kromlijnige coördinaten

Een behandeling van de spanningstensor in willekeurige coördinaten valt buiten het bestek

van deze cursus. De bespreking wordt hier beperkt tot de twee belangrijkste gevallen voor de

praktijk: (i) de cilindercoördinaten, en (ii) de bolcoördinaten.

1.3.5.a. Cilindercoördinaten

Aangezien de cilindercoördinaten orthogonaal zijn, vormen re

,

e en z

e

een rechtshandig

referentiestelsel, waarin men de spanningstensor als volgt definieert:

zzzrz

zr

rzrrr

][ (1.56)

Een schematische voorstelling van de spanningen is getoond in Figuur 1.32.

Figuur 1.32 Cilindercoördinaten [9].

De symmetrie van de spanningstensor blijft behouden, maar de partiële differentiaal-

vergelijkingen voor het evenwicht kan men niet zomaar overnemen. Men kan aantonen dat

deze vergelijkingen in cilindercoördinaten de volgende gedaante aannemen:


39

0Fzr

1

rr

0Fzr

1

r

2

r

0Fzr

1

rr

zzzzrzrz

zrr

rrzrrrrr

(1.57)

1.3.5.b. Bolcoördinaten

De bolcoördinaten r, en zijn eveneens orthogonaal en het stelsel van eenheidsvectoren re

,

e en

e is rechtshandig. De eenheidsvectoren zijn voorgesteld in Figuur 1.33.

Figuur 1.33 Bolcoördinaten [9].

De spanningstensor wordt dan geschreven als:

r

r

rrrr

][ (1.58)

Een schematische voorstelling van de spanningen is getoond in Figuur 1.34.


40

Figuur 1.34 Spanningstensor in bolcoördinaten [8].

Men kan aantonen dat de vergelijkingen van het evenwicht volgende vorm aannemen:

0Fcotan23r

1

sinr

1

r

1

r

0Fcotancotan3r

1

sinr

1

r

1

r

0Fcotan2r

1

sinr

1

r

1

r

r

r

rr

rrrrrrr

(1.59)


41

1.4. REKKEN

In paragraaf 1.2 werd het voorbeeld van de trekproef op een stalen proefstaaf gebruikt om aan

te tonen dat spanning en vervorming onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn. Voor dit geval

van eenvoudige geometrie en belasting werd de rek gedefinieerd als de verhouding van de

verlenging L tot de oorspronkelijke lengte L0 van de staaf (zie vgl. (1.19)). De rek wordt dus

gedefinieerd in relatie met de onvervormde en vervormde geometrie van het object.

Op dezelfde wijze als voor de spanning, wordt nu het concept van rek uitgebreid tot het

algemeen geval van een vervormbaar lichaam.

1.4.1. Eendimensionale lengteverandering

Voor de eenvoud wordt eerst een eendimensionaal geval beschouwd. Figuur 1.35 toont een

eendimensionale staaf, die aan de linkerzijde is ingeklemd en aan de rechterzijde wordt

uitgerokken.

Figuur 1.35 Definitie van de eendimensionale rek [6].

Twee punten A en B, op een infinitesimale afstand dx van elkaar, zullen bij vervorming de

nieuwe posities A’ en B’ aannemen. Meer algemeen zal de verplaatsing u(x) van elk deeltje

van deze staaf een functie zijn van zijn positie x, waarbij x gemeten wordt vanaf de

ingeklemde zijde waar de verplaatsing nul is. De verplaatsing van het punt B t.o.v. deze van

het punt A kan men definiëren m.b.v. een Taylor-reeks:

...)dx(dx

ud

!3

1)dx(

dx

ud

!2

1dx

dx

duuu 3

A

3

32

A

2

2

A

AB

(1.60)

Voor kleine vervormingen kan men de hogere-orde termen in dx verwaarlozen, zodat:

dxdx

duuu

A

AB

(1.61)

De nieuwe afstand A’B’ na vervorming wordt dus:


42

AA

ABdx

du1dxdx

dx

dudxuudx'B'A (1.62)

Past men opnieuw de definitie (1.19) van de rek toe, rekening houdend met (1.62), dan

bekomt men:

A

A

xxdx

du

dx

dxdx

du1dx

AB

AB'B'A

(1.63)

1.4.2. Veralgemeende vervormingstoestand

De bovenstaande redenering is eenvoudig uit te breiden naar twee- en driedimensionale

vervormingstoestanden. Wel valt op te merken dat bij een algemene vervormingstoestand niet

alleen lengteveranderingen optreden, maar ook hoekveranderingen. Beschouwt men nu een

punt A(x,y,z) en vanuit A een infinitesimaal kubuselement met zijden dx, dy en dz. In Figuur

1.36 is voor de eenvoud enkel het x-y vlak getekend.

Figuur 1.36 Tweedimensionale vervormingstoestand [6].

In overeenstemming met (1.63) wordt de lengteverandering xx opnieuw gedefinieerd als:

A

AABxx

x

u

dx

dxx

u1dx

AB

ABuuAB

(1.64)


43

Analoog wordt de lengteverandering yy gedefinieerd als:

A

AACyy

y

v

dy

dyy

v1dy

AC

ACvvAC

(1.65)

De hoekverandering xy wordt als volgt berekend:

y

u

x

v

dy

uuarctan

dx

vvarctan

22

'C'A'BBAC

ACAB

xy

(1.66)

Past men dezelfde afleidingen toe voor het x-z en het y-z vlak, dan komt men tenslotte tot de

volgende zes vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:

z

v

y

w

z

u

x

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(1.67)

De hoekveranderingen xy, xz en yz worden ook wel de glijdingen genoemd.

1.4.3. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen

Geheel analoog met paragraaf 1.3.4, kan men opnieuw de transformatieregels opstellen voor

de rekmatrix []. Opdat de rekmatrix [] eveneens een tensor van tweede orde zou zijn en zou

voldoen aan de transformatieregels:

krrk

T e'eamet]a[][]a[]'[

(1.68)


44

moet men echter de glijdingen xy, xz en yz vervangen door xy2

1 , xz

2

1 en yz

2

1 , zodat de

rektensor [] er als volgt uitziet:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

][ (1.69)

De oorzaak van deze factor 1/2 volgt uit het feit dat de afgeleiden u/y, v/x, etc. effecten

bevatten van starre rotatie, waarmee geen vervorming gepaard gaat [10]. Historisch werd de

elasticiteitstheorie ontwikkeld op basis van eenvoudige relaties tussen spanning en

vervorming en pas later werd de tensortheorie ingevoerd.

Deze rektensor (1.69) wordt ook vaak genoteerd als:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

][ (1.70)

waarbij:

yzyz

xzxz

xyxy

2

2

2

(1.71)

In analogie met paragraaf 1.3.4 bestaat er voor de rektensor [] één (of tenminste één)

assenstelsel (x’,y’,z’) waarin alle glijdingen nul zijn. Dit betekent dat de rechte hoeken tussen

deze drie richtingen na vervorming onveranderd blijven. De relatieve verlengingen in deze

drie richtingen, die de eigenwaarden van de matrix [] zijn, noemt men de hoofdrekken. Men

noteert ze I, II en III, waarbij I > II > III. Men kan ze, geheel analoog aan (1.52),

berekenen uit de seculaire vergelijking:

)2(

)(s

)(s

s0

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx

zzyyxx

2

3

(1.72)

Ook zijn er opnieuw drie invarianten:


45

][ t vandeterminan

2I

][ vanenhoofdminor de vansom

I

][ vanomdiagonaals

I

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx3

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx2

zzyyxx1

(1.73)

1.4.4. Compatibiliteitsvoorwaarden

De relaties tussen rek en verplaatsing bevatten drie verplaatsingsfuncties u(x,y,z), v(x,y,z) en

w(x,y,z). Als deze functies gekend zijn, kunnen de zes onafhankelijke rekcomponenten

daaruit afgeleid worden, zoals in (1.67) is aangegeven.

In sommige gevallen heeft men echter informatie over de rekken en moet men de

verplaatsingsfuncties bepalen door integratie van de vergelijkingen in (1.67). In dat geval

heeft men zes vergelijkingen voor het bepalen van drie onbekende verplaatsingsfuncties. Het

is duidelijk dat een willekeurige set van rekken geen unieke waarde voor de onbekenden u, v

en w zal opleveren. Er zijn dus compatibiliteitsvoorwaarden nodig waaraan de rekken moeten

voldoen, opdat ze een uniek verplaatsingsveld (u,v,w) zouden opleveren. Figuur 1.37

illustreert een aantal onmogelijke vervormingstoestanden ten gevolge van een stel opgelegde

rekken dat niet aan de compatibiliteitsvoorwaarden voldoet.

Figuur 1.37 Illustratie van de noodzaak van compatibiliteitsvoorwaarden: (a) geen volledige aansluiting van

het materiaal, (b) overlappend materiaal na vervorming, (c) volledig discontinu materiaal.


46

Deze compatibiliteitsvoorwaarden worden afgeleid uit (1.67), maar deze afleiding valt buiten

het bestek van deze cursus. Voor de volledigheid zijn de compatibiliteitsvoorwaarden

hieronder weergegeven:

2

zz

2

2

yy

2

yz

2

2

xx

2

2

zz

2

xz

2

2

yy

2

2

xx

2xy

2

xyxzyzzz

2

xzyzxyyy

2

yzxyxzxx

2

yz2

1

zy

zx2

1

zx

xy2

1

yx

zyxzyx

yxzyzx

xzyxzy

(1.74)

Deze vergelijkingen zijn niet eenvoudig en worden in de praktijk zelden gebruikt. Men zal:

ofwel de verplaatsingsfuncties u(x,y,z), v(x,y,z) en w(x,y,z) als onbekenden nemen en de

rekken daaruit afleiden. Dan is uiteraard aan de compatibiliteitsvoorwaarden voldaan,

ofwel de aansluitingsvoorwaarden op een andere wijze uitdrukken (bv. met behulp van

energiemethodes).


Een behandeling van de rektensor in willekeurige coördinaten valt buiten het bestek van deze

cursus. De bespreking wordt hier beperkt tot het belangrijkste gevallen voor de praktijk: (i) de

cilindercoördinaten, en (ii) de bolcoördinaten.

1.4.5.a. Cilindercoördinaten


,

e en z

e

een rechtshandig

referentiestelsel, waarin men de rektensor als volgt definieert:

z

uu

r

1

z

u

2

1

r

u

z

u

2

1

u

r

1

z

u

2

1u

r

1

r

u

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

z

u

2

1

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

22

22

22

][

zzzr

zrr

zrrr

zzzrz

zr

rzrrr

(1.75)


47

1.4.5.b. Bolcoördinaten

De bolcoördinaten r, en zijn eveneens orthogonaal en het stelsel van eenheidsvectoren re

,

e en

e is rechtshandig. De rektensor wordt dan geschreven als:

cotanr

u

r

uu

sinr

1cotan

r

uu

r

1u

sinr

1

2

1

r

u

r

uu

sinr

1

2

1

cotanr

uu

r

1u

sinr

1

2

1u

r

1

r

u

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

r

uu

sinr

1

2

1

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

22

22

22

][

rr

rr

rrr

r

r

rrrr

(1.76)

1.4.6. Eindige vervormingen en rekken

In de bovenstaande afleidingen werd telkens verondersteld dat de vervormingen zeer klein

zijn, zowel wat de lengteveranderingen betreft (zie vgl. (1.60)) als wat de hoekveranderingen

betreft (zie vgl. (1.66)). In de meeste gevallen die in de praktijk van de bouwkunde en de

werktuigkunde voorkomen, is dat ook zo. De afgeleiden zijn meestal in de grootte-orde van

10-3, zodat de tweede-orde termen reeds van de orde 10-6 zijn en zonder noemenswaardige

fout mogen verwaarloosd worden.

Er zijn echter toepassingen, zoals het elastisch gedrag van rubber, de doorbuiging van dunne

platen en schalen of het uitknikken van slanke kolommen, waar de vervormingen veel groter

zijn. In dat geval is het niet toegelaten de tweede-orde termen te verwaarlozen en rekent men

met de eindige rekken (ook rekken van Green genoemd):


48

z

w

y

w

z

v

y

v

z

u

y

u

z

v

y

w

z

w

x

w

z

v

x

v

z

u

x

u

z

u

x

w

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

y

u

x

v

z

w

z

v

z

u

2

1

z

w

y

w

y

v

y

u

2

1

y

v

x

w

x

v

x

u

2

1

x

u

yz

xz

xy

222

zz

222

yy

222

xx

(1.77)

Voor het vervolg worden echter altijd de infinitesimale rekken (1.67) gebruikt.


49

1.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG

In de voorgaande paragrafen werden de begrippen spanning en rek gedefinieerd,

onafhankelijk van elkaar en zonder enige veronderstelling over de aard van het materiaal. Dit

betekent dat de definities van spanning en rek geldig zijn voor elk materiaal met om het

even welke geometrie en onder elke vorm van belasting.

Zoals reeds aangegeven m.b.v. de trekproef in paragraaf 1.2, bestaat er echter wel degelijk een

verband tussen de belasting waaraan een materiaal onderworpen wordt en de teweeggebrachte

vervorming. Maar dit verband tussen spanning en rek hangt wél af van het soort materiaal en

de belastingscondities. Men noemt dit verband tussen spanning en rek vaak de constitutieve

wet van het materiaal.

In deze paragraaf wordt ingegaan op het verband tussen spanning en rek in het lineair

elastisch gebied. Zoals reeds vermeld in paragraaf 1.2, is dit het gebied waar spanning en rek

recht evenredig zijn en waar bij ontlasting geen permanente vervorming overblijft.

Om dit verband op te stellen, worden twee bijkomende veronderstellingen gemaakt:

het materiaal is isotroop, d.w.z. de materiaaleigenschappen in een bepaald punt zijn

dezelfde in alle richtingen,

het materiaal is homogeen, d.w.z. de materiaaleigenschappen, gemeten in een bepaald

punt, zijn dezelfde als deze, gemeten in een ander punt van het materiaal volgens dezelfde

richting.

Het is belangrijk te vermelden dat deze definities gelden op een voldoend grote schaal. Figuur

1.38 toont een microscopische opname van zuiver roestvast staal. De kristalstructuur van het

staal en de korrelgrenzen zijn duidelijk zichtbaar. Op dit microscopisch niveau (kristallen van

0,1 mm) is het materiaal uiteraard niet homogeen en isotroop, maar deze schaal is

verwaarloosbaar klein t.o.v. de schaal waarop constructies, kolommen en balken uit staal

worden vervaardigd. De kristalgrootte in technische metalen varieert tussen 10 m en 1000

m [11].

Figuur 1.38 Lichtmicroscopische opname van zuiver roestvast staal type 302 (190 vergroting) [12].


50

Deze opmerking geldt ook voor de definitie van de spanning. Aangezien men staal beschouwt

als een isotroop en homogeen materiaal, wordt met “de spanning in het staal” dan ook de

gemiddelde spanning over een voldoend groot oppervlak bedoeld. Zoals aangegeven in

Figuur 1.39, kan de lokale spanning in de kristallen immers aanzienlijk afwijken van de

gemiddelde spanning.

Figuur 1.39 De spanning in een polykristallijn metaal varieert van kristal tot kristal [11].

1.5.1. Wet van Hooke

Beschouwt men nu zo’n homogeen en isotroop materiaal, belast met een constante spanning

xx, zoals aangeduid in Figuur 1.40(i).

Figuur 1.40 Rekken in een tweedimensionale spanningstoestand [13].


51

Zoals reeds aangegeven bij de bespreking van de trekproef in paragraaf 1.2 (zie vergelijking

(1.20)), is de bijhorende vervorming xx in de richting xe

evenredig met de aangelegde

spanning xx en bedraagt:

E

xxxx

(1.78)

De evenredigheidsconstante E is de elasticiteitsmodulus [N/m2] (of Young’s modulus).

Net zoals bij de stalen proefstaaf in de besproken trekproef (zie vergelijking (1.21)), stelt men

vast dat het materiaal tegelijk krimpt in de dwarse richtingen y

e

en z

e

. Wegens het isotroop

karakter van het materiaal is deze dwarscontractie bovendien dezelfde in de richtingen y

e

en

ze

. Het verband tussen deze dwarse rekken yy en zz en de aangelegde spanning xx is:

E

E

xxxxzz

xxxxyy

(1.79)

De constante is de coëfficiënt van Poisson en is dimensieloos [-].

Tenslotte stelt men vast dat de rechte hoek tussen de ribben behouden blijft, zodat alle

glijdingen nul zijn.

Beschouwt men nu het geval van Figuur 1.40(ii), waarbij een spanning yy wordt aangelegd,

dan treden de volgende vervormingen op:

E

E

E

yy

yyzz

yy

yyxx

yy

yy

(1.80)

Beschouwt men tenslotte het geval van een aangelegde spanning zz, dan zijn de bijhorende

vervormingen:

E

E

E

zzzzyy

zzzzxx

zzzz

(1.81)


52

Legt men de normaalspanningen xx, yy en zz simultaan aan, dan bekomt men door

superpositie de volgende vervormingen:

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

E

1

E

1

E

1

(1.82)

Legt men tenslotte een schuifspanning xy aan, zoals weergegeven op Figuur 1.41, dan neemt

men geen lengteveranderingen waar, maar enkel een hoekverandering xy.

Figuur 1.41 Schuifspanning xy en bijhorende vervorming [13].

Het verband tussen de aangelegde schuifspanning xy en de bijhorende glijding xy is als volgt:

G

xy

xy

(1.83)

De evenredigheidsconstante G is de glijdingsmodulus [N/m2].

Voor de andere richtingen vindt men analoog:

G

G

yz

yz

xzxz

(1.84)

Voor een willekeurige spanningstoestand vindt men dan volgende betrekkingen tussen

spanning en rek:


53

G

G

G

E

1E

1E

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(1.85)*

Deze betrekkingen vormen de wet van Hooke voor een homogeen en isotroop materiaal in het

lineair elastisch gebied. Voor numerieke bewerkingen worden de vergelijkingen vaak in

matrixvorm genoteerd:

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

G

100000

0G

10000

00G

1000

000E

1

EE

000EE

1

E

000EEE

1

(1.86)

Men kan narekenen dat de inverse relaties zijn:

* De formules, die met een kader errond zijn gemarkeerd, dient men van buiten te kennen. Deze afspraak geldt

voor de volledige cursus.


54

yzyz

xzxz

xyxy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

G

G

G

)1()21)(1(

E

)1()21)(1(

E

)1()21)(1(

E

(1.87)

Het is zeer belangrijk te vermelden dat in geval van lineair elastisch materiaalgedrag de

hoofdrichtingen voor spanning en rek samenvallen. Dit volgt direct uit de wet van Hooke:

als de schuifspanningen allemaal nul zijn (hoofdrichtingen van de spanningen), dan zijn ook

de glijdingen allemaal nul (hoofdrichtingen van de rekken).

Voorbeeld 1.5

Een koperen staaf ondervindt een constante druk langs de randen, zoals aangegeven in

onderstaande figuur. Als de staaf een lengte a = 300 mm, breedte b = 50 mm en dikte t = 20

mm heeft vóórdat de belasting wordt aangebracht, bepaal dan de nieuwe lengte, breedte en

dikte bij belasting. Neem Ecu = 120 GPa en cu = 0,34.

1.5.2. Bijzondere belastingsgevallen

In deze paragraaf worden kort een aantal bijzondere belastingsgevallen besproken, waarbij de

spanningstensor een zeer eenvoudige gedaante aanneemt. De voor de praktijk interessante

belastingsgevallen zijn: (i) zuivere trek, (ii) zuivere afschuiving, (iii) hydrostatische belasting

en (iv) torsie of wringing.

1.5.2.a. Zuivere trek

Het geval van zuivere trek werd in feite reeds besproken in paragraaf 1.2. In Figuur 1.42

wordt een schematische voorstelling gegeven van zuivere trek.


55

Figuur 1.42 Staaf belast op zuivere trek [1].

In de spanningstensor is slechts één spanningscomponent verschillend van nul, namelijk xx

(als de x-as volgens de trekrichting wordt gekozen):

000

000

00

][

xx

(1.88)

Het is belangrijk te onthouden dat, hoewel er enkel een spanningscomponent xx wordt

aangelegd, er vervormingen zijn in de drie richtingen: xx, yy en zz.

1.5.2.b. Zuivere afschuiving

In geval van zuivere afschuiving zijn alle normaalspanningen nul en treedt er slechts één

schuifspanningscomponent op. Een typisch voorbeeld is de afschuifkracht in de steel van een

boutverbinding tussen twee platen, zoals geïllustreerd door Figuur 1.43.

Figuur 1.43 Zuivere afschuiving in een dwarsdoorsnede van de bout [1].

Als men de x-as kiest in de richting van de trekkracht op de platen en de z-as volgens de

hoogte van de bout, dan wordt de spanningstensor:


56

00

000

00

][

xz

xz

(1.89)

1.5.2.c. Hydrostatische belasting

Het is bekend dat de hydrostatische waterdruk een alzijdige druk is die in het beschouwde

punt dezelfde waarde heeft in alle richtingen. Figuur 1.44 stelt de bijhorende

spanningstoestand op een infinitesimaal klein volume-element voor.

Figuur 1.44 Alzijdige hydrostatische druk op een infinitesimaal klein volume-element [1].

De bijhorende spanningstensor is:

p00

0p0

00p

00

00

00

][

zz

yy

xx

(1.90)

waarbij p de waterdruk is. Aangezien de waterdruk een drukkracht is, zijn de

spanningscomponenten xx, yy en zz strikt negatief.

1.5.2.d. Torsie of wringing

Torsie of wringing is een vaak voorkomend probleem in de werktuigkunde, waar assen van

motoren en turbines belast worden met een wringmoment. Bij wringing worden de

opeenvolgende dwarsdoorsnedes t.o.v. elkaar verdraaid. Er treden geen lengteveranderingen

op, enkel hoekverdraaiingen. Elke dwarsdoorsnede wordt dus belast met zuivere

schuifspanningen. Figuur 1.45 toont een schematische voorstelling van de spanningstoestand.


57

Figuur 1.45 Wringing van een cirkelvormige as en aanduiding van de spanningstoestand [13].

Als men de x-as kiest volgens de langsrichting van de staaf, is de spanningstensor in elke

dwarsdoorsnede van de staaf:

00

00

0

][

xz

xy

xzxy

(1.91)

De spanningstoestand in elke dwarsdoorsnede van de as kan men ook noteren in polaire

coördinaten. De enige bestaande spanning is dan de schuifspanning z:

00

00

000

][

z

z (1.92)

1.5.3. Relaties tussen de elastische constanten

1.5.3.a. Verband tussen E, en G

In de wet van Hooke komen drie elastische constanten voor: (i) de elasticiteitsmodulus of

Young’s modulus E, (ii) de Poisson-coëfficiënt , en (iii) de glijdingsmodulus G. Deze drie

constanten zijn verschillend voor elk materiaal en worden bepaald uit experimentele proeven.

Van deze drie elasticiteitsconstanten E, en G zijn er echter slechts twee onafhankelijk. De

derde kan altijd berekend worden uit de betrekking:

)1(2

EG

(1.93)

Een manier om dit verband af te leiden, is een element van het materiaal te beschouwen dat

wordt belast op zuivere afschuiving xy (alle andere spanningscomponenten gelijk aan nul),

zoals afgebeeld in Figuur 1.46.


58

Figuur 1.46 Element belast op zuivere afschuiving [1].

Als men de vergelijking (1.52) toepast om de hoofdspanningen te verkrijgen, vindt men dat

I = +xy, II = 0 en III = -xy. De drie onderling loodrechte hoofdrichtingen vindt men door

toepassing van vergelijking (1.54). De bijhorende (genormeerde) eigenvectoren, die samen de

drie onderling loodrechte hoofdrichtingen vormen, zijn respectievelijk:

0

2

2

2

2

en

1

0

0

,

0

2

2

2

2

(1.94)

Deze hoofdspanningen en hun richting en zin zijn afgebeeld in Figuur 1.47. Het is belangrijk

te vermelden dat de spanningstoestand nog steeds wordt beschouwd in hetzelfde punt. Alleen

werd in dat punt een bijzonder stel vlakjes geselecteerd waarop enkel de hoofdspanningen

I = +xy en III = -xy werken en alle schuifspanningen nul zijn.

Figuur 1.47 Hoofdspanningen en hoofdrichtingen van het element belast op zuivere afschuiving [1].


59

De bijhorende hoofdrek I is volgens (1.85):

xyxyxyIIIIIIIE

1

E

1

E

1

(1.95)

Anderzijds kan de hoofdrek I berekend worden door de rotatie van de rektensor [] over 45

m.b.v. de vergelijking (1.68):

000

02

0

002

000

0cossin2cos2

02cos2

cossin

100

0cossin

0sincos

000

002

02

0

100

0cossin

0sincos

00

00

00

xy

xy

45

xy

xy

xy

xy

xy

xy

III

II

I

(1.96)

Uit de gelijkstelling van (1.95) en (1.96) voor de hoofdrek I volgt:

)1(2

EG

G22E

1 xyxy

xyI

(1.97)

1.5.3.b. Volumeverandering en compressiemodulus

Een andere betrekking die men uit de wet van Hooke kan afleiden, bekomt men rechtstreeks

door de eerste drie vergelijkingen van de wet van Hooke (1.85) lid aan lid op te tellen:

zzyyxxzzyyxxE

21

(1.98)

Het is belangrijk op te merken dat de vergelijking (1.98) geldig is in elk assenstelsel, omdat

zowel de som van de rekken als de som van de spanningen een invariant is en dus geldt in elk

assenstelsel (zie (1.53) en (1.73)).


60

Men kan eenvoudig aantonen dat de eerste term van de vergelijking (1.98) de relatieve

volumeverandering weergeeft van het materiaal. Beschouwt men daartoe een volume-element

met zijden dx, dy en dz, onderworpen aan de normaalspanningen xx, yy en zz, zoals

afgebeeld in Figuur 1.48.

Figuur 1.48 Volumeverandering van een elastisch materiaal [1].

De volumeverandering van het element is daardoor, met verwaarlozing van de tweede-orde

termen:

dxdydz)(

dxdydzdxdydz)1)(1)(1(V

zzyyxx

zzyyxx

(1.99)

De volumeverandering per volume-eenheid wordt de volumerek of dilatatie vol genoemd en

kan geschreven worden als:

zzyyxxvoldV

V

(1.100)

Onderstel nu dat ditzelfde volume-element wordt onderworpen aan een uniforme druk p, die

in alle richtingen gelijk is en altijd loodrecht werkt op elk oppervlak. Deze toestand van

hydrostatische belasting vereist dat de normaalspanningen in alle mogelijke richtingen gelijk

zijn en dat alle schuifspanningen nul zijn. Het volume-element wordt dus belast door de

hoofdspanningen xx = yy = zz = p , zoals afgebeeld in Figuur 1.49.


61

Figuur 1.49 Hydrostatische spanning op een volume-element [1].

De som van de normaalspanningen is dus p3 , zodat de vergelijking (1.98) kan

herschreven worden als:

213

E

dV

V

pKp3

E

21

dV

Vvol (1.101)

De constante K noemt men de compressiemodulus of volume-elasticiteitsmodulus [N/m2].

Zij drukt de verhouding uit tussen de hydrostatische spanning en de relatieve

volumeverandering.

Hieruit kan men ook onmiddellijk een bovengrens afleiden voor de coëfficiënt van Poisson.

Bij samendrukking (som spanningen < 0) moet ook het volume afnemen (som rekken < 0),

zodat de term (1-2) altijd strikt positief moet zijn, en dus:

2

1 (1.102)

Dit resultaat was reeds op een meer intuïtieve manier afgeleid bij de bespreking van de

trekproef op de stalen proefstaaf in paragraaf 1.2.


De wet van Hooke, in de verschillende gedaanten waarin hij beschreven werd, geldt ook voor

de spanningen en in een kromlijnig referentiestelstel, als deze en dezelfde

fysische betekenis hebben als ij en ij in een cartesiaans assenstelsel waarvan de

eenheidsvectoren ie

samenvallen met e

in het beschouwde punt. Zo kunnen de formules in

cartesiaanse coördinaten eenvoudig toegepast worden in cilindercoördinaten en

bolcoördinaten. Bijvoorbeeld wordt (1.85) in cilindercoördinaten:


62

G

G

G

E

1

E

1

E

1

zz

rzrz

rr

rrzzzz

zzrr

zzrrrr

(1.103)

Voor bepaalde geometrieën (axiaalsymmetrische buizen, bolvormige drukvaten) is het heel

wat eenvoudiger om de wet van Hooke uit te drukken in cilindercoördinaten of

bolcoördinaten dan in cartesische coördinaten.


63

1.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM

In de voorgaande paragrafen zijn in feite alle definities aangereikt om elke lineair elastische

belastingstoestand van een materiaal te berekenen:

de spanningstensor [] definieert de belastingstoestand in elk punt van het lichaam,

de rektensor [] definieert de vervormingstoestand in elk punt van het lichaam,

spanning en rek zijn niet onafhankelijk, maar verbonden door de wet van Hooke. In deze

wet van Hooke komen drie elastische constanten E, en G voor die het isotroop en

homogeen materiaal karakteriseren.

In deze paragraaf wordt algemeen besproken hoe men bovenstaande kennis kan aanwenden

om een lineair elastisch probleem op te lossen.

Voor een algemene belastingstoestand van een lichaam telt men 15 onbekenden in elk punt

van het materiaal:

3 verplaatsingen wvu

6 spanningscomponenten yzxzxyzzyyxx

6 rekcomponenten yzxzxyzzyyxx

Anderzijds beschikt men voor elk punt van het lichaam over 15 vergelijkingen:

3 partiële differentiaalvergelijkingen van het evenwicht:

0Fzyx

0Fzyx

0Fzyx

zzzyzxz

y

zyyyxy

xzxyxxx

(1.104)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:


64

z

v

y

w

z

u

x

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(1.105)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en spanning (wet van Hooke):

G

G

G

E

1E

1E

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(1.106)

Men heeft precies evenveel vergelijkingen als onbekenden en het lineair elastisch probleem is

dus oplosbaar. Aan deze oplossing worden uiteraard een aantal randvoorwaarden opgelegd,

die in de volgende paragraaf besproken worden.

1.6.1. Randvoorwaarden

De oplossing van een stelsel partiële differentiaalvergelijkingen is slechts bepaald indien men

een gepast aantal randvoorwaarden (Eng: boundary conditions) invoert. Men beperkt zich

meestal tot de volgende twee soorten:

op een deel SU van het oppervlak S van het lichaam is de verplaatsing (u,v,w) gegeven,

op een deel ST van het oppervlak S van het lichaam is de spanningsvector )n(

gegeven,

waarbij SSS TU .

In vele gevallen is een exacte beschrijving van de randvoorwaarden haast onmogelijk (bv. de

klemkracht of het koppel van een tang, zie Figuur 1.50).


65

Figuur 1.50 Randvoorwaarden van het lineair elastisch probleem [14].

Vaak neemt men dan ook zijn toevlucht tot een vereenvoudigde beschrijving van de

randvoorwaarden en past dan het principe van Barré de Saint-Venant toe. Dit principe stelt:

“Wanneer men op een behoorlijk klein deel S0 van het oppervlak van een lichaam de

uitwendige belasting )n(

vervangt door een andere, die over S0 dezelfde resultante en

hetzelfde resulterend moment heeft, dan zijn de spanningen voor deze twee belastingsgevallen

nagenoeg gelijk in alle punten die voldoende ver van S0 liggen”.

Hoewel dit principe vaak wordt toegepast, is enige omzichtigheid geboden. De twee

oplossingen verschillen immers niet noemenswaardig van elkaar, behalve in de nabijheid van

de zones waar men )n(

heeft aangepast. Dit is een voordeel omdat men aldus een oplossing

kan vinden die voor 80 % of 90 % van het volume van het lichaam goed is, maar dit voordeel

wordt sterk gerelativeerd door de overweging dat de hoogste spanningen meestal in de

overige 20 % of 10 % van het volume te vinden zijn. Men weet aldus veel over de

ongevaarlijke spanningen, maar bitter weinig over de gevaarlijke.

1.6.2. Superpositieprincipe

Een zeer belangrijk principe bij het oplossen van lineair elastische problemen is het principe

van superpositie. Dit principe stelt dat de resulterende spanning in een lichaam met een

gecompliceerde belasting kan worden berekend door eerst de spanning te vinden die door elke

belastingscomponent afzonderlijk wordt veroorzaakt. Daarna kan de resulterende spanning

worden bepaald door de bijdragen van alle afzonderlijke componenten vectorieel bij elkaar op

te tellen.

Voor toepassing van het superpositieprincipe moeten twee voorwaarden voldaan zijn:

de belasting moet lineair gerelateerd zijn aan de spanning die moet worden bepaald. Zo

betekent de vergelijking A

F dat er inderdaad een lineair verband bestaat tussen kracht

en spanning,

de belasting mag geen belangrijke veranderingen aanbrengen in de oorspronkelijke

geometrie of gedaante van de constructie. Als er bv. belangrijke doorbuigingen optreden

t.g.v. de belasting, dan veranderen de richting, de plaats en de hefboomsarm van de

uitgeoefende krachten en geldt het superpositiebeginsel niet langer.


66

Beschouwt men bijvoorbeeld de dunne staaf in Figuur 1.51(a), waarop de belasting P

wordt uitgeoefend. In Figuur 1.51(b) wordt P vervangen door twee van zijn componenten:

P = P1 + P2. Als P ervoor zorgt dat de staaf aanzienlijk doorbuigt, zoals afgebeeld in Figuur

1.51(a), is het moment van de belasting t.o.v. de ondersteuning, Pd, niet gelijk aan de som

van de momenten P1d1 en P2d2, omdat d d1 d2.

Figuur 1.51 Illustratie van de ongeldigheid van het superpositieprincipe [1].

In de lineair elastische theorie is het superpositieprincipe haast altijd geldig, omdat de

vervormingen klein zijn.

1.6.3. Statisch onbepaalde systemen

Een systeem heet statisch onbepaald als de vergelijkingen van het evenwicht niet volstaan

om de reacties te bepalen. In dat geval moet men bijkomende aansluitingsvoorwaarden of

compatibiliteitsvoorwaarden uitdrukken.

Figuur 1.52 toont het eenvoudige voorbeeld van een staaf die aan beide zijden is ingeklemd

en ter hoogte van het punt C is belast met een axiale kracht P.


67

Figuur 1.52 Voorbeeld van een statisch onbepaald systeem [1].

Er zijn twee onbekende reactiekrachten FA en FB, maar er is maar één vergelijking voor het

evenwicht:

0PFF AB (1.107)

Voor de oplossing moet een extra vergelijking worden opgesteld, en daarvoor is het nodig de

vervorming te bekijken. Een vergelijking die de voorwaarden voor verplaatsing omschrijft,

wordt een compatibiliteitsvoorwaarde genoemd. Een geschikte compatibiliteitseis in dit geval

is dat de verplaatsing van het ene uiteinde van de balk t.o.v. het andere uiteinde gelijk is aan

nul, omdat de balk aan beide zijden is ingeklemd:

0uAB (1.108)

Deze vergelijking kan worden weergegeven in termen van de aangebrachte belastingen door

een kracht-verplaatsing-relatie te gebruiken die afhankelijk is van het materiaalgedrag.

Bepaling van de snedekrachten leert dat in segment AC van de balk de inwendige kracht +FA

heerst, en in het segment CB de inwendige kracht –FB. Als men lineair elastisch

materiaalgedrag onderstelt, wordt vergelijking (1.108) herschreven als:

0EA

LF

EA

LF CBBACA

(1.109)

met A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de staaf en E de elasticiteitsmodulus van de

staaf.

Combinatie van vergelijking (1.107) en (1.109) leidt tot de oplossing:

L

LPF

L

LPF

ACB

CBA

(1.110)


68

Voorbeeld 1.6

Een betonnen kolom met een vierkante dwarsdoorsnede van 50 cm bij 50 cm, is gewapend

met vier stalen staven, elk met een diameter van 2,5 cm. De staven zijn ingebetonneerd bij de

vier hoeken van de kolom. Als de E-modulus van staal 200 GPa bedraagt en deze van beton

14 GPa, bereken dan de drukspanningen in het staal en het beton als de totale drukkracht op

de kolom 1 MN bedraagt.


69

1.7. THERMISCHE SPANNINGEN

1.7.1. Vergelijkingen

Naast de spanningen die ontstaan t.g.v. mechanische belasting, bestaan er ook spanningen die

ontstaan t.g.v. thermische belasting. Deze laatste noemt men de thermische spanningen.

Wanneer een homogeen en isotroop lichaam dat vrij kan vervormen, een gelijkmatige

temperatuursverandering ondergaat van 0 C tot T C, dan is de thermische uitzetting

gelijkmatig:

0

0

0

T

T

T

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(1.111)

waarbij [m/(mC)] de thermische uitzettingscoëfficiënt van het materiaal voorstelt.

Hierbij treedt er in het lichaam geen enkele spanning op !

Aangezien de compatibiliteitsvoorwaarden of aansluitingsvoorwaarden (1.74) moeten voldaan

zijn voor elke vervormingstoestand, moeten deze ook gelden voor de thermische uitzettingen

(1.111). Uit deze voorwaarden kan men de volgende beperking afleiden voor het

temperatuurveld T(x,y,z):

zayaxaa)z,y,x(T 3210 (1.112)

met a0, a1, a2 en a3 constanten. Dit wil zeggen dat het temperatuurveld een lineaire functie

moet zijn van x, y en z, opdat de thermische rekken zouden voldoen aan de

compatibiliteitsvoorwaarden. Is dit niet het geval, dan zullen bijkomende rekken (én dus

spanningen) ontstaan, zodat de totale rekken opnieuw voldoen aan de

compatibiliteitsvoorwaarden. De totale rekken zijn dan de som van de geïnduceerde rekken en

de thermische rekken:

G

G

G

TE

1

TE

1

TE

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(1.113)


70

De thermische spanningen die op die manier geïnduceerd worden, voldoen aan de volgende

vergelijkingen:

yzyz

xzxz

xyxy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

G

G

G

T21

E)1(

)21)(1(

E

T21

E)1(

)21)(1(

E

T21

E)1(

)21)(1(

E

(1.114)

Thermische spanningen kunnen aanzienlijke waarden bereiken en zelfs tot schade leiden. Zo

kan een stuk glas, dat ongelijkmatig wordt opgewarmd, gaan barsten. In ruimtetuigen treden

thermische spanningen op door de ongelijkmatige zonnestraling op één kant van het tuig, en

ook door de wrijving met de atmosfeer, wanneer het tuig terugkeert naar de aarde.

Ook als het temperatuurveld T(x,y,z) wel voldoet aan de voorwaarde (1.112), kunnen

thermische spanningen optreden als het lichaam niet vrij kan vervormen. Dit kan men

gemakkelijk inzien aan de hand van de vergelijkingen (1.114). Als de vervorming totaal

belemmerd wordt (totale rekken = 0), dan zijn de thermische spanningen:

T21

Ezzyyxx

(1.115)

Vaak worden ook spanningen geïnduceerd door het productieproces. Bij lassen bv. worden

vaak hoge en ongelijkmatige temperaturen bereikt. Tijdens de afkoeling zal het materiaal van

de las meer krimpen dan het materiaal dat verder van de las verwijderd ligt. Door de

ongelijkmatige en belemmerde vervorming ontstaan bijkomende rekken en spanningen. Ook

bij de uitharding van dikwandige buizen zal het materiaal aan de binnen- en buitenwand

sneller afkoelen dan het materiaal binnenin. Aldus ontstaat een ongelijkmatige vervorming en

treden bijkomende spanningen op in het materiaal, die ook na de uitharding blijven bestaan.

Deze resulterende spanningen en rekken kan men niet beschouwen als “thermische”

spanningen, omdat zij blijven bestaan in een homogeen materiaal bij een homogene

temperatuur. Zij zijn echter wel vaak het gevolg van thermische behandelingen.

Dergelijke spanningen, die bestaan zonder dat er enige uitwendige (mechanische of

thermische) belasting op het lichaam aangrijpt, noemt men eigenspanningen (Eng: residual

stresses, initial stresses).


71

1.7.2. Statisch onbepaalde problemen

Zoals besproken in paragraaf 1.6.3, is een probleem statisch onbepaald als de

evenwichtsvergelijkingen niet volstaan om de reactiekrachten te bepalen. Ook in geval van

thermische problemen dient men vaak bijkomende compatibiliteitsvoorwaarden te formuleren

voor statisch onbepaalde systemen.

Figuur 1.53 toont dezelfde ingeklemde staaf als in Figuur 1.52, maar ditmaal belast met een

temperatuurstijging T, i.p.v. een axiale kracht P. Ten gevolge van de temperatuurstijging wil

de staaf uitzetten, maar deze uitzetting wordt belemmerd door de inklemming.

Figuur 1.53 Voorbeeld van een statisch onbepaald systeem met thermische belasting [1].

De evenwichtsvoorwaarde levert dat de twee reactiekrachten even groot zijn, en gelijk aan F.

De bijkomende compatibiliteitsvoorwaarde is opnieuw dat de totale lengteverandering moet

nul zijn:

0uuu FTAB (1.116)

waarbij uT de verplaatsing is t.g.v. de opgelegde temperatuurstijging en uF de verplaatsing

t.g.v. de reactiekrachten. Uitwerking van de vergelijking levert dan:

0EA

LFLT

(1.117)

waarbij [m/mC] de thermische uitzettingscoëfficiënt is, E de elasticiteitsmodulus en A de

oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de staaf.

Compatibiliteitsvoorwaarden zijn ook vaak vereist bij de thermische opwarming (of

afkoeling) van heterogene lichamen. Figuur 1.54 toont het voorbeeld van de gelijkmatige


72

opwarming van een stuk dat bestaat uit twee materialen met verschillende thermische

uitzettingscoëfficiënt (1 > 2). Wanneer de twee delen, los van elkaar, vrij zouden kunnen

uitzetten, dan zouden deze delen niet meer in elkaar passen. In de werkelijkheid blijft de

samenhang van het geheel uiteraard behouden, hetgeen vergt dat de twee delen op elkaar

krachten uitoefenen. Die krachten veroorzaken een bijkomende vervorming zodat de som van

de thermische uitzetting en de bijkomende rek voldoet aan de compatibiliteitsvoorwaarden.

Figuur 1.54 Thermische spanningen in heterogene lichamen [9].

Voorbeeld 1.7

Een starre, onvervormbare balk is bevestigd op de bovenzijde van drie kolommen. De

middelste kolom bestaat uit aluminium (Ealu = 70 GPa, alu = 2310-6 m/mC), de twee

buitenste kolommen uit staal (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC). De kolommen hebben elk

een onbelaste lengte van 250 mm en de temperatuur is T1 = 20 C. Bepaal de kracht in elke

kolom als de balk wordt onderworpen aan een constant verdeelde belasting van 150 kN/m en

de temperatuur tot T2 = 80 C wordt verhoogd.


73

1.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE

1.8.1. Arbeid van een kracht

Volgens de mechanica verricht een kracht arbeid wanneer deze kracht een verplaatsing dx

veroorzaakt in dezelfde richting als de kracht. De verrichte arbeid is een scalaire grootheid,

gedefinieerd als:

]mN[dxFdUuitw (1.118)

Als de totale verplaatsing x bedraagt, wordt de arbeid:

x

0

uitw dx)x(FU (1.119)

Het is belangrijk op te merken dat de kracht F niet constant is, maar afhangt van x. Immers,

als men de verplaatsing wil doen toenemen van nul naar x, dan moet ook de kracht F

toenemen.

Als toepassingsvoorbeeld wordt de arbeid berekend, uitgeoefend door een axiale trekkracht P

op een stalen staaf, zoals afgebeeld in Figuur 1.55.

Figuur 1.55 Axiale belasting van een stalen staaf [1].

De trekkracht F wordt daarbij geleidelijk opgevoerd van nul naar de eindwaarde P. Bij deze

eindwaarde P wordt de uiteindelijke verplaatsing van het uiteinde van de staaf bereikt. Als

het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, is de kracht evenredig met de verlenging x, zodat:

Px

)x(F

(1.120)

M.b.v. vergelijking (1.119) wordt de totale uitwendige arbeid:


74

P2

1dxP

xdx)x(FU

00

uitw (1.121)

Onderstel nu dat P al op de staaf was aangebracht en dat nu een andere, bijkomende kracht P’

wordt uitgeoefend. zodanig dat het uiteinde van de staaf over een bijkomende afstand ’

verder verplaatst wordt. Dit is afgebeeld in Figuur 1.56.

Figuur 1.56 Axiale belasting van een stalen staaf met bijkomende kracht P’ [1].

De arbeid, verricht door de axiale kracht P (niet door P’), is:

'P'U P,uitw (1.122)

De kracht P blijft immers gewoon op de staaf aanwezig en is dus constant. De bijdrage van P’

is dan:

''P2

1'U 'P,uitw (1.123)

De totale arbeid van beide krachten P en P’ voor de totale verlenging +’ is grafisch

weergegeven in Figuur 1.57.


75

Figuur 1.57 Arbeid verricht door axiale belasting van een stalen staaf [1].

De kleine driehoek met hoekpunt in de oorsprong stelt de arbeid P2

1 voor van de kracht P

bij de eerste verlenging van de staaf. De rechthoek stelt de verrichte arbeid 'P voor van

P bij de verlenging ’ en de kleine driehoek erboven de arbeid ''P2

1 van de kracht P’ bij de

verlenging ’.

1.8.2. Arbeid van een moment

Volledig analoog met de arbeid van een kracht, verricht een moment M arbeid wanneer het

een hoekverdraaiing d veroorzaakt langs zijn werklijn. De verrichte arbeid is dan:

]mN[dMdUuitw (1.124)

Als de totale hoekverdraaiing radialen bedraagt, wordt de arbeid:

0

uitw d)(MU (1.125)

Als men opnieuw onderstelt dat het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, en dus de

hoekverdraaiing evenredig toeneemt met het aangelegde moment, dan is de arbeid:

M2

1Uuitw (1.126)


76

Is het moment M echter al op het lichaam aangebracht en draait een bijkomend moment M’

het lichaam verder over een hoek ’, dan is de arbeid verricht door M:

'M'U uitw (1.127)

1.8.3. Wet van behoud van mechanische energie

De arbeid, verricht door een axiale kracht P of een moment M, kan niet zomaar verloren gaan

bij het aanbrengen op de constructie. Wegens de wet van behoud van mechanische energie

moet de energie dus opgeslagen worden in de constructie:

inwuitw UU (1.128)

De uitwendige arbeid, verricht door de uitwendige belastingen op de constructie, wordt dus in

het lichaam omgezet naar een inwendige energie Uinw. Deze energie noemt men de elastische

energie of vormveranderingsenergie. Wanneer de belastingen worden weggenomen, herstelt

de elastische energie het lichaam in zijn oorspronkelijke onvervormde toestand, aangenomen

dat de elasticiteitsgrens van het lichaam niet overschreden werd.

Aangezien deze elastische energie in het lichaam wordt opgeslagen, moet het ook mogelijk

zijn deze energie uit te drukken in functie van de inwendige spanningen en rekken in het

lichaam. Deze uitdrukking wordt hierna afgeleid.

Onderstel een infinitesimaal klein volume-element met zijden dx, dy en dz, belast met een

normaalspanning zz, die werkt op de boven- en onderzijde van het volume-element, zoals


Figuur 1.58 Volume-element belast met een normaalspanning zz [1].

Als nu op dit volume-element de normaalspanning zz werkt, dan is de totale kracht die op de

boven- en onderzijde wordt uitgeoefend:

dydxdAdF zzzzz (1.129)


77

Als deze kracht dFz geleidelijk op het volume-element wordt aangebracht, net als de eerder

besproken kracht P, neemt zijn grootte toe van nul tot dFz. De bijhorende verplaatsing neemt

dan toe van nul tot de eindwaarde dz, die gelijk is aan:

dzd zzz (1.130)

De door dFz verrichte arbeid dUinw is dan:

dV2

1dzdydx

2

1ddF

2

1dU zzzzzzzzzzinw (1.131)

Het is belangrijk op te merken dat deze elastische energie of vormveranderingsenergie dUinw

altijd positief is, want zz en zz hebben altijd hetzelfde teken.

Ook wanneer schuifspanningen werken, kan een vergelijkbare uitdrukking voor de elastische

energie of vormveranderingsenergie worden opgesteld. Beschouw opnieuw het infinitesimaal

volume-element dat is afgebeeld in Figuur 1.59.

Figuur 1.59 Volume-element belast met een schuifspanning [1].

Ditmaal is het volume-element belast met een schuifspanning . De schuifkracht dF is:

dydxdF (1.132)

Deze kracht verricht enkel arbeid in een verplaatsing die dezelfde richting heeft als de

werkingslijn van de kracht. De verplaatsing van het bovenvlak t.o.v. het ondervlak is:

dzd (1.133)

De verrichte arbeid door de schuifkracht wordt dan:

dV2

1dzdydx

2

1ddF

2

1dUinw (1.134)


78

De bovenstaande uiteenzetting kan makkelijk worden uitgebreid om de

vormveranderingsenergie te bepalen in een lichaam wanneer dit verkeert in een algemene

spanningstoestand, zoals afgebeeld in Figuur 1.60.

Figuur 1.60 Volume-element belast met een algemene spanningstoestand [1].

Omdat de elastische energie een scalaire grootheid is, mogen de bijdragen van elke normaal-

en schuifspanning worden opgeteld, zodat de totale elastische energie voor het hele lichaam

wordt:

Vyzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxxinw dV

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1U (1.135)

M.b.v. de wet van Hooke kan men de elastische energie ook herschrijven, enkel in functie van

de spanningen:

V

2

zzyyxx

2

yz

2

xz

2

xy

2

zz

2

yy

2

xxinw dVE2

2E2

1U (1.136)

Of enkel in functie van de vervormingen:

V

2

zzyyxx

2

yz

2

xz

2

xy

2

zz

2

yy

2

xxinw dV212

1

)1(2

EU (1.137)


79

1.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE

MATERIALEN

In alle voorgaande paragrafen werd de discussie beperkt tot homogene en isotrope materialen,

met een elasticiteitsmodulus E, een glijdingsmodulus G en een Poisson-coëfficiënt . Deze

mechanische eigenschappen (E, G, ) zijn dezelfde in elk punt van het materiaal (homogeen)

en zijn in elk punt dezelfde in alle richtingen (isotroop).

Staal wordt vaak gebruikt als het prototype van deze klasse van homogene en isotrope

materialen, maar er zijn ook heel wat materialen die niet homogeen en isotroop zijn en toch

frequent gebruikt worden in de bouwkunde en werktuigkunde. Voor deze laatste materialen

kan men de veralgemeende wet van Hooke voor anisotrope materialen toepassen, op

voorwaarde dat het niet-homogeen karakter speelt op een voldoend kleine schaal. Daarmee

wordt bedoeld dat een voldoend groot volume van dit heterogeen materiaal zich toch als een

homogene massa moet gedragen. Men spreekt dan van een gehomogeniseerd materiaal.

Gewapend beton kan men niet catalogeren onder de gehomogeniseerde materialen, omdat het

heterogeen karakter (door de versterking met wapeningsstaal) zich manifesteert op een te

grote schaal. De veralgemeende wet van Hooke is dan ook niet van toepassing.

Vezelversterkte composieten (Eng: fibre-reinforced composites) zijn daarentegen wel een

goed voorbeeld van gehomogeniseerde materialen en worden in vele domeinen van de

bouwkunde en werktuigkunde toegepast. Hierbij worden versterkingsvezels (van glas,

koolstof, staal, aramide,...) ingebed in een ander materiaal (veelal kunststoffen, maar ook

metaal, keramiek, cement,...). Het materiaal waarin de vezels worden ingebed, noemt men de

matrix. Hoewel het in wezen ook heterogene materialen zijn, speelt de heterogeniteit op

microniveau: de matrix wordt versterkt met vezelbundels van 10 tot 100 m diameter. Voor

mechanische toepassingen gedraagt het composietmateriaal zich dus voldoende homogeen.

De bedoeling van deze kunstmatig vervaardigde composieten is veelal het bekomen van

verbeterde mechanische eigenschappen. In het bijzonder de zeer hoge verhouding tussen

sterkte en stijfheid enerzijds en soortelijk gewicht anderzijds speelt in het voordeel van deze

materialen, zoals geïllustreerd door Figuur 1.61.

Figuur 1.61 Chronologische vooruitgang in de sterkte/dichtheid verhouding van materialen [5].


80

Samenvattend kan men volgende indeling maken voor de toepassing van (i) de (klassieke)

wet van Hooke voor homogene en isotrope materialen, en (ii) de veralgemeende wet van

Hooke voor anisotrope materialen:

homogene materialen gehomogeniseerde materialen

isotroop

anisotroop

isotroop

anisotroop

wet van Hooke

veralgemeende wet van Hooke

(bv. staal, aluminium,...)

(bv. gewalst staal,...) (bv. composieten)

(bv. kunststoffen met random verdeelde verkapte vezeltjes)

Figuur 1.62 Classificatie van homogene en gehomogeniseerde materialen.

Voor een compleet anisotroop materiaal, waarbij de eigenschappen in alle richtingen

verschillend zijn, geldt de veralgemeende wet van Hooke:

xy

xz

yz

zz

yy

xx

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

xy

xz

yz

zz

yy

xx

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

(1.138)

De matrix [C] wordt de stijfheidsmatrix genoemd, naar analogie met het eendimensionaal

verband = E, waarbij E de stijfheid van het materiaal voorstelt. De stijfheidsmatrix [C] telt

21 onafhankelijke constanten, vermits de matrix symmetrisch is.

In vele gevallen zijn er echter één of meerdere symmetrievlakken in de materiaalstructuur,

zodat het aantal elastische constanten kan teruggebracht worden. De belangrijkste gevallen

zijn (i) orthotrope materialen, en (ii) transversaal isotrope materialen. De bespreking wordt

hier beperkt tot vezelversterkte kunststoffen, omdat deze technische composieten veruit de

belangrijkste klasse vormen binnen de anisotrope materialen in de ingenieurswereld.

1.9.1. Orthotrope materialen

Orthotrope materialen zijn materialen waar men drie onderling loodrechte symmetrievlakken

kan vinden in de materiaalstructuur. Naargelang de structuur van de matrix en de

vezelversterking kan men verschillende symmetrievlakken in de structuur van het

composietmateriaal onderscheiden, en wanneer dus drie orthogonale symmetrievlakken

bestaan, noemt men het materiaal orthotroop. Een typisch voorbeeld is getoond in Figuur

1.63. Dit weefsel wordt als vezelversterking gebruikt in het composiet en telt drie onderling

loodrechte symmetrievlakken.


81

Figuur 1.63 Eenheidscel van een weefsel als vezelversterking [16].

De elastische eigenschappen zijn niet langer dezelfde in alle richtingen, maar verschillen

naargelang men beproeft in de richting van de langsvezels, de inslagvezels of in de

dikterichting van de vezels. Om deze verschillende elastische eigenschappen te

onderscheiden, heeft men een nieuw referentie-assenstelsel ingevoerd: de hoofdrichtingen

van orthotropie. Dit is een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (1

e

, 2

e

, 3

e

), waarbij 1

e

de

richting van de langsvezel aanduidt, 2

e

de richting van de inslagvezel en 3

e

de dikterichting.

Het is belangrijk op te merken dat de hoofdrichtingen van orthotropie niet verward mogen

worden met de hoofdrichtingen van de spanningstensor (het assenstelsel waarin alle

schuifspanningen nul zijn), noch met de hoofdrichtingen van de vervormingstensor (het

assenstelsel waarin alle glijdingen nul zijn). De hoofdrichtingen van orthotropie zijn immers

gebonden aan de geometrische opbouw van het composietmateriaal, maar hebben niets te

maken met de werkelijke spanningstoestand van het composiet die in elk belastingsgeval

anders kan zijn. De hoofdrichtingen van orthotropie worden vaak aangeduid als (1

e

, 2

e

, 3

e

)

i.p.v. ( xe

, y

e

, z

e

). Het assenstelsel (1

e

, 2

e

, 3

e

) noemt men het lokaal assenstelsel, terwijl

de notatie ( xe

, y

e

, z

e

) geldt voor het globaal of structureel assenstelsel.

Als men het verband tussen spanning en rek uitdrukt in dit lokaal assenstelsel, dan bekomt

men:

12

13

23

33

22

11

66

55

44

332313

232212

131211

12

13

23

33

22

11

C00000

0C0000

00C000

000CCC

000CCC

000CCC

(1.139)


82

De coëfficiënten Cij worden geschreven in functie van de 9 onafhankelijke elastische

constanten van het orthotroop materiaal: 6 stijfheden E11, E22, E33, G12, G13 en G23 en

3 Poisson-coëfficiënten 12, 13 en 23. De betekenis van de 6 verschillende stijfheden is

weergegeven in Figuur 1.64.

Figuur 1.64 Schematische voorstelling van de stijfheidseigenschappen voor een orthotroop materiaal [16].

Men kan aantonen dat het verband tussen spanning en rek als volgt geschreven wordt:

133221133132232112

12

13

23

33

22

11

12

13

23

211233

31123222

32213111

31123222

311322

23312111

32213111

23312111

322311

12

13

23

33

22

11

21met

G00000

0G0000

00G000

0001

EEE

000E1

EE

000EE1

E

(1.140)

Omdat het invers verband tussen rek en spanning in het lokaal assenstelsel (1

e

, 2

e

, 3

e

) een

veel eenvoudiger gedaante aanneemt, zal men in de literatuur de veralgemeende wet van

Hooke voor orthotrope materialen nagenoeg altijd terugvinden in deze vorm:


83

12

13

23

33

22

11

12

13

23

3333

32

33

31

22

23

2222

21

11

13

11

12

11

12

13

23

33

22

11

G

100000

0G

10000

00G

1000

000E

1

EE

000EE

1

E

000EEE

1

(1.141)

Deze 66 matrix noemt men de compliantiematrix [S].

1.9.2. Transversaal isotrope materialen

Een bijzondere klasse van orthotrope materialen zijn deze waarbij in één symmetrievlak de

materiaaleigenschappen dezelfde zijn in alle richtingen. Een voorbeeld is getoond in Figuur

1.65.

Figuur 1.65 Transversale isotropie in een unidirectioneel vezelversterkt composiet [17]:

(a) definitie van de assen 1

e

,2

e

en 3

e

,

(b) micrografische opname van de pakking van koolstofvezels in een koolstof/epoxy composiet

(vergroting 400 ).

Dit composiet is versterkt met lange vezels die allemaal in dezelfde richting liggen. De

typische diameter van dergelijke versterkingsvezels is 3 tot 20 m, terwijl de laagdikte van

een dergelijk composiet varieert van 0.1 mm tot 0.3 mm. Het aantal vezels binnen zo’n laag is

dus heel groot en de eigenschappen in een vlak loodrecht op de vezels, kunnen dan ook

dezelfde verondersteld worden in alle richtingen.


84

Er blijven slechts vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten over: E11, E22, 12, 23 en G12,

want voor transversaal isotrope materialen zijn de subscripts 2 en 3 (corresponderend met de

richtingen 2

e

en 3

e

) onderling verwisselbaar, en dus:

)1(2

EG

GG

EE

23

2223

3223

1312

1312

3322

(1.142)


85

1.10. REFERENTIES

[1] Hibbeler, R.C. (1997). Mechanics of materials. New Jersey, Prentice Hall

International, Inc., 855 pp.

[2] Megson, T.H.G. (1996). Structural and stress analysis. London, Arnold Publishers,

641 pp.

[3] Sierakowski, R.L. and Chaturvedi,S.K. (1997). Dynamic loading and characterization

of fiber-reinforced composites. New York, John Wiley & Sons, 252 pp.

[4] Verheest, F. (1993). Theoretische mechanica. Gent, Universiteit Gent, Vakgroep

wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, 295 pp.

[5] Ohring, M. (1995). Engineering materials science. San Diego, Academic Press, 827

pp.

[6] Ragab, A.-R. and Bayoumi, S.E. (1999). Engineering solid mechanics. Fundamentals

and applications. Boca Raton, CRC Press, 921 pp.

[7] Baxter Brown, J. McD. (1973). Introductory solid mechanics. London, John Wiley &

Sons Ltd, 434 pp.

[8] Karasudhi, P. (1991). Foundations of solid mechanics. Dordrecht, Kluwer Academic

Publishers, 493 pp.

[9] Verhegghe, B. (2001). Elasticiteit en Sterkteleer. Cursus academiejaar 2001-2002.

Gent, Universiteit Gent.

[10] Ford, H. (1963). Advanced mechanics of materials. London, Longman Group Ltd.,

672 pp.

[11] Zaat, J.H. (1974). Technische metaalkunde. Deel 2: Algemene metaalkunde.

Amsterdam, Elsevier, 272 pp.

[12] Zaat, J.H. (1975). Technische metaalkunde. Deel 3: Staal en gietijzer. Amsterdam,

Elsevier, 226 pp.

[13] Case, J., Chilver, L. and Ross, C.T.F. (1999). Strength of materials and structures.

London, Arnold Publishers, 706 pp.

[14] Filonenko-Borodich, M. (1963). Theory of elasticity. Moscow, Peace Publishers, 394

pp.

[15] Boresi, A.P. and Sidebottom, O.M. (1985). Advanced mechanics of materials. Fourth

edition. New York, John Wiley & Sons, 763 pp.

[16] Mallick, P.K. (1997). Composites Engineering Handbook. New York, Marcel Dekker

Inc.

[17] Degrieck, J. (1997). Mechanica van met vezels versterkte materialen. Cursus, Gent,

Faculteit Toegepaste Wetenschappen, 157 p.

86

Hoofdstuk 2

Structureel gedrag

2.1. INLEIDING

In het vorige hoofdstuk werd het materiaalgedrag bestudeerd als een afzonderlijk gegeven. De

relatie tussen spanning en rek in één enkel punt van het materiaal werd opgesteld voor het

lineair elastisch gedrag van een materiaal. Wanneer men datzelfde materiaal gebruikt voor het

ontwerp van een constructie, blijft het natuurlijk zeer belangrijk om te begrijpen hoe het

materiaal zich gedraagt. Toch zijn bijkomende analysemethodes nodig om het gedrag van de

volledige constructie te berekenen. Deze analysemethodes zijn het voorwerp van dit

hoofdstuk.

In dit hoofdstuk wordt de structurele analyse van materialen vooral beperkt tot de

balkentheorie. Dit is in feite een heel vereenvoudigde eendimensionale theorie die toepasbaar

is in het gebied van lineair elastisch materiaalgedrag met kleine vervormingen.

Bij de studie van de balkentheorie gebruikt men, in overeenstemming met de internationale

conventie, het rechtshandig assenstelsel in Figuur 2.1:

O

x

y

z

F > 0y

M > 0y

Mx

> 0

M > 0z

M > 0x

F > 0z

F > 0x

My> 0

Mz

> 0

Figuur 2.1 Rechtshandig assenstelsel met positieve krachten en momenten.

De z-as duidt de verticale richting aan en ligt volgens de hoogte van de balk. Verder wordt

aangenomen dat de lengte-as van de bestudeerde balk volgens de x-as ligt. Meestal kiest men

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag

87

de oorsprong van de x-as aan het linkeruiteinde van de balk. Het structureel assenstelsel voor

de balkentheorie ziet er dan uit als in Figuur 2.2.

O

z

xx y

z

Figuur 2.2 Structureel assenstelsel voor balkentheorie.

Omdat heel wat formules in de balkentheorie gebruik maken van de geometrische

eigenschappen van de dwarsdoorsnede van de balk, zullen deze eigenschappen eerst

besproken worden.


88

2.2. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE

2.2.1. Opstellen vergelijkingen

Beschouwt men een vlakke dwarsdoorsnede, gerefereerd t.o.v. het willekeurig gelegen

assenstelsel (y’,z’). Het is nu de bedoeling op zoek te gaan naar de ligging van het

zwaartepunt en het daarbijhorende assenstelsel (y,z), zoals aangegeven in Figuur 2.3.

Figuur 2.3 Ligging van het zwaartepunt van een vlakke doorsnede [1].

De oppervlakte A van de dwarsdoorsnede wordt gegeven door:

'dz'dyA (2.1)

Het statisch moment Sy’ om de y’-as [meter3] definieert men als:

'dz'dy'zS 'y (2.2)

Het statisch moment om de y’-as omvat dus voor elk infinitesimaal oppervlak dy’dz’ het

product van het oppervlak dy’dz’ met zijn loodrechte afstand tot de y’-as.

Analoog definieert men het statisch moment Sz’ om de z’-as als:

'dz'dy'yS 'z (2.3)

Het statisch moment om de z’-as [meter3] omvat dus voor elk infinitesimaal oppervlak dy’dz’

het product van het oppervlak dy’dz’ met zijn loodrechte afstand tot de z’-as. De afstand tot

de y'- of z'-as wordt ingevoerd met het teken, dat wil zeggen dat het statisch moment zowel

positief als negatief kan zijn ! De ligging van het zwaartepunt met coördinaten (y0’, z0’) wordt berekend als volgt:

A

S'z

A

S'y

'y

0

'z0

(2.4)


89

Eens de ligging van het zwaartepunt en dus van het assenstelsel (y,z) gekend, berekent men

alle geometrische grootheden in dat assenstelsel. Bemerk dat de statische momenten Sy en Sz

nul zijn, als de assen y en z door het zwaartepunt gaan.

Voor een groot aantal dwarsdoorsneden die in de ingenieurspraktijk worden gebruikt, kan

men de ligging van het zwaartepunt vaak onmiddellijk bepalen. Wanneer de dwarsdoorsnede

een symmetrie-as heeft, ligt het zwaartepunt immers zeker op die symmetrie-as, omdat het

statisch moment van de dwarsdoorsnede om haar symmetrie-as altijd nul is. In gevallen

waarin een oppervlak twee symmetrie-assen heeft, volgt daaruit dat het zwaartepunt op het

snijpunt van deze assen ligt.

De traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz van de doorsnede t.o.v. het assenstelsel (y,z) door het

zwaartepunt worden als volgt gedefinieerd:

dzdyzyI

dzdyyI

dzdyzI

yz

2

zz

2

yy

(2.5)

Het traagheidsmoment Iyy [meter4] is het traagheidsmoment om de y-as, het

traagheidsmoment Izz [meter4] is het traagheidsmoment om de z-as en Iyz [meter4] noemt men

het traagheidsproduct. Deze traagheidsmomenten van een doorsnede mag men niet verwarren

met de traagheidsmomenten van een star lichaam.

Als men het traagheidsmoment wil berekenen om een evenwijdige as die niet door het

zwaartepunt gaat, dan gebruikt men de stelling van Steiner:

00yz'z'y

2

0zz'z'z

2

0yy'y'y

zyAII

yAII

zAII

(2.6)

Als geen van beide assenstelsels (y’,z’) en (y,z) door het zwaartepunt gaat, mag men de

stelling van Steiner niet rechtstreeks toepassen. Men moet dan de stelling twee maal

toepassen, met een tussenstap via een evenwijdig assenstelsel door het zwaartepunt.

Beschouwt men nu het geval waarbij een assenstelsel (y’,z’) over een hoek is verdraaid

t.o.v. het assenstelsel (y,z) door het zwaartepunt O, zoals weergegeven in Figuur 2.4.

Overeenkomstig de rechterhandregel om de x-as, is de hoek van (y,z) naar (y’,z’) positief in

tegenuurwijzerzin.

Figuur 2.4 Rotatie van het assenstelsel van een vlakke doorsnede [1].


90

Dan transformeren de traagheidsmomenten zoals de componenten van een symmetrische

tensor van tweede orde:

yz

22

zzyy'z'y

yzzz

2

yy

2

'z'z

yzzz

2

yy

2

'y'y

IsincosIcossinIcossinI

Icossin2IcosIsinI

Icossin2IsinIcosI

(2.7)

Volledig analoog met de bepaling van de hoofdrichtingen voor spanningen en rekken bij

vlakspanning en vlakvervorming, kan men de hoek zoeken waarvoor Iy’z’ = 0:

zzyy

yz

II

I22tan

(2.8)

Als men de waarde van de hoek invult in de twee eerste vergelijkingen van (2.7), dan

bekomt men de bijhorende traagheidsmomenten IYY en IZZ. Deze noemt men de

hoofdtraagheidsmomenten. De bijhorende richtingen van de Y- en Z-as noemt men de

hoofdtraagheidsassen van de dwarsdoorsnede.

De balkentheorie wordt opgesteld in de veronderstelling dat de dwarsdoorsnede gerefereerd

wordt aan haar hoofdtraagheidsassenstelsel door het zwaartepunt. Het is dus zeer belangrijk

voor elk type dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt en van de hoofdtraagheidsassen

te kennen. Net zoals voor de ligging van het zwaartepunt, kan men voor de ligging van de

hoofdtraagheidsassen gebruik maken van de eventuele symmetrie in de dwarsdoorsnede. Het

traagheidsproduct Iyz is immers altijd nul als óf de y-as óf de z-as een symmetrie-as is voor

het oppervlak.

2.2.2. Praktische berekening

Voor de praktische berekening van oppervlakte, statisch moment en traagheidsmoment kan

men op een van de volgende manieren te werk gaan:

voor een aantal eenvoudige figuren zijn er kant-en-klare formules om A, Si en Iij te

berekenen. Enkele van deze formules vindt men in onderstaande Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Geometrische kenmerken van eenvoudige doorsneden [1].


91


92

voor een aantal producten, waarvan de afmetingen genormaliseerd zijn, zijn er tabellen

gepubliceerd. Dit is het geval voor I-profielen, hoekprofielen, T-profielen, kanaalprofielen,

rechthoekige kokers,... Tabel 2.2 is een voorbeeld hiervan. De weerstandsmomenten Wy en

Wz in deze tabel zijn gedefinieerd als:

b

I2W

h

I2W

zzz

yy

y

(2.9)

Tabel 2.2 Kenmerken van warmgewalste IPE-profielen (Euronorm 19-57) [1].

veel andere profielen kunnen berekend worden door de doorsnede op te delen in

eenvoudige figuren waarvan de grootheden bekend zijn, en gebruik te maken van de

stelling van Steiner,

voor dunwandige profielen kan men de massa geconcentreerd denken op de hartlijn van de

doorsnede. De oppervlakte-integralen herleiden zich dan tot lijnintegralen langs de hartlijn.

Men noemt dit vaak het draadmodel. Wanneer de lengte/dikte-verhoudingen van de

onderdelen van de doorsnede zowat 10 (of meer) bedragen, is het verschil met de juiste

oplossing onbelangrijk klein,

voor de echt moeilijke gevallen kan men een benadering berekenen met numerieke

integratie.


93

Stappenplan voor de bepaling van de geometrische kenmerken van de dwarsdoorsnede:


94

Voorbeeld 2.1

Bepaal de hoofdtraagheidsassen voor het volgend profiel:

Bereken de traagheidsmomenten opnieuw m.b.v. het draadmodel:


95

2.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT

In paragraaf 1.1.3 werden de vergelijkingen van het evenwicht opgesteld voor een willekeurig

lichaam. Het evenwicht van het lichaam is voldaan als zowel het krachtenevenwicht als het

momentenevenwicht voldaan zijn:

0M

0F

O

(2.10)

De x-as is gelegen volgens de lengterichting van de balk en gaat door het zwaartepunt van

elke dwarsdoorsnede. Het assenstelsel (x,y,z) vormt een rechtshandig assenstelsel. In de

balkentheorie wordt vaak ondersteld dat alle belastingen werken in één vlak (onderstel het x-z

vlak, zie Figuur 2.2). Zoals reeds aangetoond in paragraaf 1.1.3, kunnen de

evenwichtsvergelijkingen dan gereduceerd worden tot:

0M

0F0F

y

zx

(2.11)

Deze evenwichtsvergelijkingen blijven dus onverminderd geldig in de balkentheorie. Daarbij

maakt men wel het onderscheid tussen (i) het globaal evenwicht van de balk, en (ii) het

evenwicht van een deel van de balk. Deze evenwichten worden in de volgende paragrafen

besproken.

2.3.1. Globaal evenwicht

Uit het globaal evenwicht van de balk in zijn geheel berekent men de reacties. Aangezien er in

het x-z vlak slechts drie onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen kunnen geschreven worden

(zie vgl. (2.11)), kan men ook maar drie onafhankelijke reactiecomponenten bepalen.

De reactiekrachten en –momenten worden in de balkentheorie als volgt benoemd: de

(horizontale) reactiecomponent volgens de x-as duidt men aan met RH of RX. De (verticale)

reactiecomponent volgens de z-as noteert men als R. Het reactiemoment tenslotte wordt

genoteerd als RM. Vaak voegt men een subscript toe die verwijst naar het punt waar men de

reacties beschouwt (bv. RA, RB, RMC). Reacties moet men beschouwen als uitwendige

krachtswerkingen op de balk. Ze zijn dan ook steeds positief te rekenen in overeenstemming

met het gekozen assenstelsel (x,y,z). Figuur 2.5 toont de positieve richting en zin van de

verticale reactie R, de horizontale reactie RH en het reactiemoment RM voor een ingeklemde

balk, belast met de uitwendige krachten qz(x), Qz en Qx.

xy

zq (x)z

Qz

Qx

RM R

RH

Figuur 2.5 Positieve reactiecomponenten R, RH en RM.


96

2.3.2. Evenwicht van een deel van de balk – Snedekrachten

Uit het evenwicht van een moot van de balk kan men de spanningsresultanten of

snedekrachten in die doorsnede bepalen. Volgens de evenwichtsvergelijkingen (2.11) zijn er

opnieuw drie onafhankelijke snedekrachten Fx, Fz en My. In de balkentheorie krijgen deze

snedekrachten echter ook een andere notatie. De kracht Fx, werkend in de langsrichting van de

balk, noemt men de normaalkracht N. De kracht Fz, werkend in de dwarsdoorsnede van de

balk, noemt men de dwarskracht V. Het moment My tenslotte duidt men aan als het buigend

moment M.

Figuur 2.6 toont de positieve richting en zin van de snedekrachten voor een positieve

dwarsdoorsnede (buitennormale volgens de positieve x-as) en een negatieve dwarsdoorsnede

(buitennormale volgens de negatieve x-as), alsook de positieve richting en zin van de

verdeelde belasting qz(x) en de puntkracht Qz.

xy

z

V (=F )z

M (=M )y

N (=F )x

V

N

M

q (x)z

Qz

Figuur 2.6 Positieve snedekrachten N, M en V.

Als men nu een moot van de balk beschouwt, begrepen tussen één van beide uiteinden van de

balk en de dwarsdoorsnede met abscis x, dan kan men de waarde van de normaalkracht N(x),

de dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen aan de hand van de vergelijkingen

voor het horizontaal evenwicht, het verticaal evenwicht en het momentenevenwicht. Hierna

worden een aantal eenvoudige gevallen behandeld, die niettemin zeer vaak voorkomen in de

praktijk.

2.3.3. Verband tussen q, V en M

Tussen de verdeelde belasting q(x), de dwarskracht V en het buigend moment M bestaat er

bovendien een eenvoudig verband. Om dit verband af te leiden, beschouwt men het evenwicht

van een heel klein mootje van de balk, begrepen tussen de dwarsdoorsneden met abscis x en

abscis x + dx, zoals aangeduid in Figuur 2.7.


97

V + dV

M + dM

V

M

q(x)

xy

z

dx

Figuur 2.7 Evenwichtsvergelijkingen voor een balkmootje begrepen tussen x en x + dx.

De vergelijkingen voor het verticaal evenwicht en momentenevenwicht leiden respectievelijk

tot:

0dxVMdMM

0dx)x(qVdVV

(2.12)

waaruit volgt:

2

2

dx

Mdq

dx

dMV

dx

dVq

(2.13)

2.3.4. Enkele referentiegevallen

2.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast

Het eerste geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een puntlast. Zoals weergegeven

in Figuur 2.8(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich aan de ingeklemde zijde,

terwijl aan het vrije uiteinde een puntlast F aangrijpt. De totale lengte van de balk is L.


98

xy

z F

RMA RA

A B

C

RMA

RA

F

V

M

BA

CB

x

MV

L

(a)

(b)

(c)

Figuur 2.8 Ingeklemde balk met puntlast.

De tot nog toe onbekende reactiekracht RA en het reactiemoment RMA zijn in Figuur 2.8(a)

aangegeven met hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten-

en momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men nu eerst de onbekende reactiekracht

RA en het onbekende reactiemoment RMA berekenen:

LFRM

FR

0LFRM

0FR

A

A

A

A

(2.14)

Om de dwarskracht V en het moment M in elke doorsnede met abscis x te bepalen, kan men

het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel AB van de balk (Figuur 2.8(b)) of van het

rechterdeel BC van de balk (Figuur 2.8(c)).

Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het rechterdeel BC van de balk

(Figuur 2.8(c)), zodat volgende vergelijkingen gelden:


99

xLFM

FV

0xLFM

0FV

(2.15)

Op die manier kan men het evenwicht uitdrukken voor elke dwarsdoorsnede en zo de

dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen voor elke waarde van de abscis x.

Men kan dan de dwarskrachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis x, zoals

afgebeeld in respectievelijk Figuur 2.9(b) en Figuur 2.9(c).

xy

z F

RMA RA

CBA

x

L

(a)

(b)

(c)

x

V

L

x

M

L

V = F

M = -F (L-x)

Figuur 2.9 Dwarskracht- en momentenlijn voor een ingeklemde balk met puntlast.

Uit Figuur 2.9(b) blijkt dat V(x=0) = -RA en uit Figuur 2.9(c) dat M(x=0) = -RMA. Dit is geen

toeval, maar een belangrijke controle op de berekeningen. Inderdaad, beschouwt men het

evenwicht van een infinitesimaal klein deeltje van de balk aan het linkeruiteinde, zoals

aangegeven in Figuur 2.10.


100

A

RMA

RA

M(x=0)

V(x=0)

Figuur 2.10 Verband tussen uitwendige reacties en snedekrachten.

Daaruit volgt onmiddellijk dat:

A

A

RM)0x(M

R)0x(V

(2.16)

2.3.4.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting

Het tweede geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een verdeelde belasting q(x).

Hoewel de verdeelde belasting q(x) best een functie kan zijn van x, heeft ze in dit geval een

constante waarde: q(x) = q. Zoals weergegeven in Figuur 2.11(a), bevindt de oorsprong van

het assenstelsel zich opnieuw aan de ingeklemde zijde, terwijl de balk over zijn volledige

lengte belast is met een gelijkmatig verdeelde belasting q(x). De totale lengte van de balk is L.

xy

z

RMA RA

A B

C

RMARA

V

M

BA

CB

x

MV

L

(a)

(b)

(c)

q(x)

q(x)

q(x)

Figuur 2.11 Ingeklemde balk met verdeelde belasting.


101

De tot nog toe onbekende reactiekracht RA en het reactiemoment RMA zijn in Figuur 2.11(a)

aangegeven met hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten-

en momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende reactiekracht

RA en het onbekende reactiemoment RMA berekenen:

2

LqRM

LqR

0xdx)x(qRM

0dx)x(qR2

A

A

L

0

A

L

0

A

(2.17)




Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het rechterdeel BC van de balk

(Figuur 2.11(c)), zodat volgende vergelijkingen gelden:

2

xLqM

xLqV

0'dxx'x)'x(qM

0'dx)'x(qV2

L

x

L

x

(2.18)






102

xy

z

RMARA

CBA

x

L

(a)

(b)

(c)

q(x)

x

V

L

x

M

L

-q (L-x)2

2M =

V = q (L-x)

Figuur 2.12 Dwarskracht- en momentenlijn voor een ingeklemde balk met verdeelde belasting q(x).

2.3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast

Het derde geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een puntlast F. Zoals

weergegeven in Figuur 2.13(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich opnieuw aan

het linkeruiteinde van de balk. De puntlast F bevindt zich op een afstand a van het

linkeruiteinde van de balk. Het linkeruiteinde van de balk is opgelegd op een vast steunpunt,

terwijl het rechteruiteinde van de balk is opgelegd op een roloplegging. Beide opleggingen

nemen enkel een verticale reactie op.


103

xy

z F

RA

A B

C

F

V

M

BA

CB

x

MV

L

(a)

(b)

(c)

a

D

RD

RA

D

RD

Figuur 2.13 Balk op twee steunpunten met puntlast.

Voor de berekening van de onbekende verticale reacties RA en RD drukt men het verticaal

evenwicht en het momentenevenwicht uit van de volledige balk:

L

aFR

L

aLFR

0aFLR

0FRR

D

A

D

DA

(2.19)


104


het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel van de balk (Figuur 2.13b) of van het rechterdeel

van de balk (Figuur 2.13c).

Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het linkerdeel AB van de balk

(Figuur 2.13b), zodat volgende vergelijkingen gelden:

L

aLxFM

L

aLFV

0xL

aLFM

0L

aLFV

(2.20)

Het is belangrijk op te merken dat de evenwichtsvergelijkingen (2.20) voor de moot AB enkel

gelden voor x < a. Voor x > a moet ook de puntlast F in rekening worden gebracht, zoals

aangeduid in Figuur 2.14(b).

xy

z F

RA

A B

C BA

x

M

V

L

(a)

(b)

a

D

RD

RA

F

C

x

z

y

Figuur 2.14 Evenwicht van moot AB voor x > a voor een balk op twee steunpunten met puntlast.

De evenwichtsvergelijkingen voor het linkerdeel AB van de balk worden dan voor x > a:


105

L

xLaFM

L

aFV

0)ax(FxL

aLFM

0FL

aLFV

(2.21)



Uiteraard was het in dit geval ook mogelijk (en eenvoudiger) voor x > a het evenwicht uit te

drukken van het rechterdeel van de balk.



xy

z F

RA

CBA

x

L

(a)

(b)

(c)

a

D

RD

x

V

L

x

M

L

V =

V =

M =

L-aL

F

aL

-F

x (L-a)

LF

M =a (L-x)

LF

Figuur 2.15 Dwarskracht- en momentenlijn voor een balk op twee steunpunten met puntlast.


106

2.3.4.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting

Het vierde geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een verdeelde belasting

q(x). Zoals weergegeven in Figuur 2.16(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich

opnieuw aan het linkeruiteinde van de balk. Het linkeruiteinde van de balk is opgelegd op een

vast steunpunt, terwijl het rechteruiteinde van de balk is opgelegd op een roloplegging. Beide

opleggingen nemen enkel een verticale reactie op.

xy

z

RA

A B

VM

BA

B

x

M

V

L

(a)

(b)

(c)

C

RC

RA

C

RC

q(x)

q(x)

q(x)

Figuur 2.16 Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting.

De tot nog toe onbekende reactiekrachten RA en RC zijn in Figuur 2.16(a) aangegeven met

hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten- en


107

momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende reactiekrachten

berekenen:

2

LqR

2

LqR

0dxx)x(qLR

0dx)x(qRR

C

A

L

0

C

L

0

CA

(2.22)

Dit resultaat kan men ook gemakkelijk inzien zonder berekeningen. De resultante van de

verdeelde belasting q(x) bedraagt qL en grijpt aan in het midden van de balk. Omwille van

symmetrie moeten beide steunpunten elk de helft van deze resultante opnemen, zodat de

waarde van elke reactie gelijk is aan (-qL)/2.




In dit geval maakt het niet uit of men het linker- of rechterdeel van de balk bekijkt.

Beschouwt men bijvoorbeeld het evenwicht van het linkerdeel AB van de balk (Figuur

2.16(b)), dan gelden volgende vergelijkingen:

2

xLxqM

x2

LqV

0x2

Lq'dx'xx)'x(qM

0'dx)'x(q2

LqV

x

0

x

0

(2.23)






108

xy

z

RA

BA

x

L

(a)

(b)

(c)

C

RC

q(x)

x

V

L

x

M

L

x

2

LqV

q x (L-x)

2M =

Figuur 2.17 Dwarskracht- en momentenlijn voor een balk op twee steunpunten met verdeelde belasting q(x).

Voorbeeld 2.2

Gegeven is de volgende balk:

x

y

z

BA

10 kN15 kN/m

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m


109

Op x = 2 m bevindt zich een neerwaarste puntlast van 10 kN, en tussen x = 4 m en x = 5 m

bevindt zich een gelijkmatig verdeelde belasting van 15 kN/meter. Teken de dwarskracht- en

momentenlijn.



110

2.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN

Met de kennis van de voorgaande paragraaf kan men in elke doorsnede van de balk de

normaalkracht N, het buigend moment M en de dwarskracht V bepalen. Deze snedekrachten

zijn elk de resultante van een bepaalde spanningsverdeling in de dwarsdoorsnede. In deze

paragraaf wordt nagegaan welke spanningen en welke spanningsverdeling overeenkomen met

elk van deze snedekrachten N, M en V.

2.4.1. Spanningen t.g.v. normaalkracht N

De normaalkracht N, die aangrijpt op een dwarsdoorsnede van de balk, wordt door deze

dwarsdoorsnede opgenomen in de vorm van een normaalspanning xx, waarbij:

A

Nxx (2.24)

N is de normaalkracht, A is de oppervlakte van de dwarsdoorsnede en xx is de

normaalspanning. Overeenkomstig de definities van hoofdstuk 1, is xx een spanning die

werkt in de x-richting op een oppervlak met buitennormale + xe

. Deze normaalspanning is

constant over de volledige dwarsdoorsnede.

De normaalkracht N is dan de resultante van deze normaalspanningen:

AdAN xxxx (2.25)

De bijhorende rek van de dwarsdoorsnede is dan:

AE

N

E

xxxx

(2.26)

2.4.2. Spanningen t.g.v. buigend moment M

Om de spanningen in een balk, belast met een buigend moment M, te berekenen, worden eerst

een aantal aannames gedaan i.v.m. de vervorming van de balk. Figuur 2.18 toont een balk

voor en na vervorming t.g.v. een buigend moment M.


111

Figuur 2.18 Balk belast met buigend moment M [2].

Op de balk met vierkante dwarsdoorsnede zijn rasterlijnen aangebracht in de lengte- en

dwarsrichting. Wanneer een buigend moment M wordt aangebracht, vervormen deze lijnen

tot het patroon dat in Figuur 2.18(b) is afgebeeld. Daar is te zien dat de langslijnen gebogen

worden en de verticale lijnen recht blijven, maar wel een rotatie ondergaan.

Ten gevolge van het buigend moment wordt het materiaal in het onderste deel van de balk dus

getrokken, terwijl het materiaal in het bovenste gedeelte van de balk wordt gedrukt.

Natuurlijk moet er tussen deze twee gebieden een vlak zijn, het neutrale vlak genoemd,

waarin het materiaal geen lengteverandering ondergaat.

Op basis van deze waarnemingen worden drie veronderstellingen gemaakt:

de x-as ligt in het neutrale vlak van de balk en ondervindt geen lengte-verandering. Ten

gevolge van het buigend moment M neemt de x-as de vorm aan van een cirkelboog met

constante kromtestraal R,

alle dwarsdoorsneden van de balk blijven tijdens de vervorming (i) vlak, en (ii) loodrecht

op de x-as. Deze hypothese noemt men de hypothese van Bernoulli,

elke vervorming van de dwarsdoorsnede in haar eigen vlak wordt verwaarloosd.

Om nu de vervorming van de balk te berekenen, wordt een segment dx van de balk

geïsoleerd, zoals aangeduid in Figuur 2.19.


112

xy

R d

dx

z

z

z h1

h2

A

A’

B

B’

M (< 0)

Figuur 2.19 Vervorming van een balk onder invloed van een buigend moment M [1].

Beschouwt men nu de vezel AB van de onvervormde balk, parallel met de onvervormde x-as

en op een hoogte z t.o.v. deze x-as. In onvervormde toestand heeft de vezel een lengte dx.

Onder invloed van het buigend moment verkort de vezel AB tot de vezel A’B’, waarbij de

nieuwe lengte is:

R

dxzRdzR'B'A (2.27)

De rek van deze vezel is niets anders dan zijn relatieve lengteverandering, dus de uitdrukking

voor xx wordt:

R

z

dx

dxR

dxzR

AB

AB'B'Axx

(2.28)

Volgens de wet van Hooke volgt daar onmiddellijk uit:

R

zEE xxxx

(2.29)

Vermits de elasticiteitsmodulus E en de kromtestraal R constant zijn, vertonen de

normaalspanningen xx een lineair verloop over de hoogte, recht evenredig met de z-

coördinaat.


113

Anderzijds moet het buigend moment M precies de resultante zijn van de spanningsverdeling

xx over de dwarsdoorsnede:

yy

2

xx IR

EdAz

R

EdAz

R

zEdAzM

(2.30)

Voor de laatste overgang in vergelijking (2.30) werd gebruik gemaakt van de definitie van het

traagheidsmoment, zoals gedefinieerd in paragraaf 2.2.1.

Vergelijking (2.30) wordt vaak herschreven in volgende vorm:

yyIE

M

R

1

(2.31)

Deze vergelijking geeft het verband weer tussen kromming en buigend moment. Het product

van de elasticiteitsmodulus E en het traagheidsmoment Iyy noemt men de buigstijfheid EIyy.

Door eliminatie van de kromtestraal R uit de vergelijkingen (2.29) en (2.31) bekomt men een

rechtstreeks verband tussen het buigend moment M en de normaalspanning xx:

yy

xxI

zM (2.32)

Daarbij is 'z' de afstand (met teken) tot de hoofdtraagheidsas door het zwaartepunt. Dus

deze formule geldt ook weer alleen maar in het hoofdtraagheidsassenstelsel van de

doorsnede, en Iyy is het hoofdtraagheidsmoment om de y-as door het zwaartepunt.

Het spanningsverloop is schematisch voorgesteld in Figuur 2.20.

xy

z

xx

M M

y

z

xx

x

(a) (b)

dx

h2

-h2

-b2

b2

M h2 Iyy

+M h2 Iyy

+

M h2 Iyy

- M h2 Iyy

-

Figuur 2.20 Verdeling van de spanningen over de hoogte van de dwarsdoorsnede [3].


114

In het geval dat er enkel een buigend moment M aangrijpt, hebben de normaalspanningen xx

geen resulterende normaalkracht N, dus:

0SdAz0dAR

zEdAN yxx (2.33)

Uit de noodzakelijke voorwaarde dat de resulterende normaalkracht N moet nul zijn, volgt dat

het statisch moment Sy (zoals gedefinieerd in paragraaf 2.2.1) moet nul zijn. Dit is enkel het

geval als de oorsprong van het assenstelsel door het zwaartepunt van de doorsnede gaat.

Vandaar dat de betrekking (2.32) enkel geldig is als de oorsprong van het assenstelsel (x,y,z)

samenvalt met het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede van de balk.

Voorbeeld 2.3

Een balk heeft het volgende trapeziumvormig profiel in het y-z vlak:

80 mm

30 mm

110 mm

y

z

Als deze doorsnede belast wordt met een moment M = 22,5 kNm, bereken dan de plaats en de

waarde van de maximale normaalspanning.


2.4.3. Spanningen t.g.v. dwarskracht V

De dwarskracht werkt evenwijdig met de dwarsdoorsnede en zal dan ook door de

dwarsdoorsnede worden opgenomen in de vorm van schuifspanningen. Deze

schuifspanningen noteert men als xz, omdat zij werken in de z-richting op een vlak met

buitennormale xe

. Wegens de wederkerigheid der schuifspanningen werkt op een

horizontale doorsnede van de balk dan de schuifspanning zx, in de x-richting op een vlak met

buitennormale ze

.

Dat deze schuifspanningen inderdaad aanwezig zijn in de balk, kan men ook eenvoudig als

volgt inzien. Beschouwt men een balk die opgelegd is op twee steunpunten en in het midden

belast is met een puntlast P, zoals weergegeven in Figuur 2.21.


115

Figuur 2.21 Aantonen van het bestaan van schuifspanningen [2].

Onderstelt men nu dat de balk zou opgebouwd zijn uit drie planken. Als het boven- en

ondervlak van elk van de planken glad is en de planken niet verlijmd zijn, zal de puntlast P de

planken ten opzichte van elkaar doen verschuiven, zoals afgebeeld in Figuur 2.21(a). Zijn de

planken daarentegen wel verlijmd (Figuur 2.21(b)), dan treden schuifspanningen zx op die

voorkomen dat de planken onderling verschuiven en ervoor zorgen dat de balk zich als één

geheel gedraagt. Wegens de wederkerigheid van schuifspanningen bestaan er dan ook

schuifspanningen xz in elke verticale dwarsdoorsnede.

Om de verdeling van deze schuifspanningen te berekenen, wordt het horizontaal evenwicht

van een deel van de balk uitgedrukt. Beschouwt men een balk met rechthoekige doorsnede,

belast met een aantal krachten q(x) en F, zoals afgebeeld in Figuur 2.22.


116

xy

z q(x)F

zx

xx

M M+dM

x y

z

xx+dxx

xzxz

z = z0

y (z)2y (z)1

x

(a) (b)

dx

A’

Figuur 2.22 Bepaling van de schuifspanningen in een balk.

Uit deze balk wordt een infinitesimaal klein mootje geïsoleerd met breedte dx (zie Figuur

2.22(a)). Het verhaal indachtig van de balk met losse en verlijmde planken, werken er dus op

elk horizontaal vlak van dit mootje schuifspanningen zx, en t.g.v. de wederkerigheid van de

schuifspanningen, ook schuifspanningen xz op beide verticale eindvlakken van het mootje.

Verder weet men volgende zaken:

aangezien ondersteld werd dat er schuifspanningen zx en xz bestaan, en dus ook een

resulterende dwarskracht V, kan het buigend moment M niet constant zijn. Immers, uit

vergelijking (2.13) is gebleken dat V = dM/dx, zodat dM/dx verschillend van nul is.

Onderstel daarom op het linker-eindvlak van het mootje een buigend moment M en op het

rechter-eindvlak van het mootje een buigend moment M + dM. Wanneer de momenten M

en M + dM positief worden getekend, is ook de normaalspanningsverdeling over de hoogte

gekend,

op het bovenvlak van het mootje is de schuifspanning zx nul, vermits er geen uitwendige

schuifspanning werkt op de balk. Wegens de wederkerigheid der schuifspanningen moet

xz dus op beide verticale eindvlakken van de moot nul worden aan de bovenzijde. Op de

horizontale doorsnijding onderaan werkt de schuifspanning zx positief naar links, omdat

de buitennormale van de horizontale doorsnijding gericht is volgens - ze

. Verder wordt

ondersteld dat deze schuifspanning zx constant is over de breedte van de balk,

zoals te zien is op Figuur 2.22(b), is het grijs gekleurde deel van de moot begrepen tussen

de coördinaten z = z0 en z = +h/2. De breedte van de balk is in dit geval constant, maar in

geval van veranderlijke breedte van de balk kan deze meer algemeen geschreven worden


117

als y2(z) – y1(z). De oppervlakte van de dwarsdoorsnede, begrepen tussen z = z0 en het

bovenvlak van de moot, is A’.

Drukt men nu het horizontaal evenwicht uit van het grijs gekleurde deel van de balk, dan

vindt men:

)z(y)z(y

dAz

I

V)z(

)z(y)z(yI

dAz

dx

dM)z(

0dx)z(y)z(y)z(dAzI

dM

0dx)z(y)z(y)z(dAI

zdMMdA

I

zM

0dx)z(y)z(y)z(dAddA

0102

'A

yy

0zx

0102yy

'A

0zx

01020zx'A

yy

01020zx'A

yy'A

yy

01020zx'A

xxxx'A

xx

(2.34)

De integraal in de teller van het rechterlid stelt niets anders voor dan het statisch moment van

de dwarsdoorsnede A’, begrepen tussen z = z0 en het bovenvlak van de moot, om de y-as. Dit

statisch moment wordt genoteerd als Sy(z0) en kan voluit geschreven worden als volgt:

2

h

z

12'A

0y

0

dz)z(y)z(yzdAz)z(S (2.35)

Het is zeer belangrijk op te merken dat het statisch moment Sy(z0) het statisch moment

voorstelt van de oppervlakte A’, en niet van de volledige dwarsdoorsnede A, terwijl Iyy het

traagheidsmoment voorstelt van de volledige dwarsdoorsnede A om de y-as.

Door z0 te vervangen door z en de wederkerigheid der schuifspanningen toe te passen, kan de

verdeling van de schuifspanning xz over de hoogte van de dwarsdoorsnede berekend worden:

)z(y)z(y

)z(S

I

V)z(

12

y

yy

xz

(2.36)

Deze formule noemt men de formule van Jourawski en zij berekent de verdeling van de

schuifspanning xz over de hoogte van de balk.

De formule van Jourawski dient met de nodige voorzichtigheid gebruikt, want zij is slechts

geldig voor massieve doorsneden, waarbij de breedte voldoende klein is t.o.v. de hoogte.

Voor platte profielen met een veel grotere breedte dan hoogte en voor dunwandige I-


118

profielen, T-profielen, U-profielen, ... is de formule niet geldig. De voornaamste oorzaak is de

hierboven gemaakte onderstelling dat de schuifspanning zx in een horizontale doorsnijding

constant is over de breedte van de balk. Bij zeer brede doorsnedes is dit niet langer het geval.

Een uitgebreide bespreking van de berekening van schuifspanningen in deze profielen valt

echter buiten het bestek van deze cursus.

Het is belangrijk te onthouden dat een dwarskracht V aanleiding geeft tot schuifspanningen

xz over de hoogte van de balk, en dat deze in geval van massieve doorsneden met kleine

breedte/hoogte-verhouding kunnen berekend worden met de formule van Jourawski.

Voorbeeld 2.4

Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het rechthoekig profiel:

x y

z

h

b


119

2.5. VERPLAATSINGEN

Uiteraard veroorzaken de snedekrachten N, M en V niet alleen spanningen in de balk, maar

ook vervormingen en dus verplaatsingen. In deze paragraaf wordt dieper ingegaan op de aard

van de verplaatsingen die een balk kan ondergaan.

2.5.1. Verplaatsingen t.g.v. de normaalkracht N

De normaalkracht N veroorzaakt een rek xx van de dwarsdoorsnede. Geïntegreerd over de

volledige lengte van de balk vindt men dan de totale verlenging L:

dxEA

NdxL

L

0

L

0

xx (2.37)

2.5.2. Verplaatsingen t.g.v. het buigend moment M

In vergelijking (2.31) werd reeds een verband afgeleid tussen de kromming 1/R en het

buigend moment M. Om nu de verplaatsingen van een verbogen balk te berekenen, wordt een

bijkomend verband gezocht tussen de kromming 1/R en de verticale verplaatsing u(x) van de

balk. Uit beide vergelijkingen kan dan een verband worden afgeleid tussen de verticale

verplaatsing u(x) en het buigend moment M.

De tekenconventie voor de hellingshoek van de vervormde balk hangt opnieuw samen met

de rechterhandregel voor het gekozen assenstelsel. De tekenconventie wordt weergegeven in

Figuur 2.23 voor het voorbeeld van een balk belast met een puntlast in het midden van zijn

overspanning.

xy

z

F

0

0

0

Figuur 2.23 Tekenconventie voor de helling van een doorgebogen balk.

In Figuur 2.24 wordt de verplaatsingslijn van een doorgebogen balk getekend, waarbij u(x) de

verticale verplaatsing voorstelt van elke positie x van de balk. De x-as valt samen met de

onvervormde aslijn van de balk. Beschouwt men nu het gekromde segment A’B’. Het

verband tussen de booglengte ds, de kromtestraal R en de openingshoek van het segment

A’B’ is als volgt:

dRds (2.38)


120

xy

+ dR

u u + du

d

x

x + dx

ds

z

A’

B’

Figuur 2.24 Verband tussen kromming en doorbuiging [4].

Verder zijn de verticale verplaatsingen en hellingen van balken in de praktijk altijd heel klein,

zodat volgende benaderingen gelden:

tandx

du

dscosdsdx

(2.39)

De kromming 1/R kan dan als volgt worden geschreven:

2

2

dx

ud

dx

du

dx

d

ds

d

R

1

(2.40)

Dit verband kan ook rechtstreeks afgeleid worden als volgt: uit de cursus Analyse weet men

dat het verband tussen kromming 1/R en verticale verplaatsing u(x) de volgende is:

2

32

2

2

dx

du1

dx

ud

R

1

(2.41)

Gezien de geringe verticale verplaatsingen van de balken in de praktijk, is de helling du/dx

meestal kleiner dan 0,01 zodat de noemer van de breuk nagenoeg één wordt.


121

Gebruik makend van de vergelijkingen (2.31) en (2.40), komt men dan eenvoudig tot de

betrekking tussen buigend moment M en verticale verplaatsing u(x):

yy

2

2

IE

M

dx

ud

(2.42)

Opgelet: M is in bovenstaande formule geen constante, maar het verloop van het

buigend moment M(x) langs de lengte van de balk ! De doorbuiging in een punt x0 mag

dus ook niet geëvalueerd worden door het invullen van het buigend moment M(x=x0) in

vergelijking (2.42). Eerst moet M(x) ingevuld worden in vergelijking (2.42), deze

vergelijking wordt dan tweemaal geïntegreerd (met integratieconstanten !) en pas op het

einde wordt deze functie u(x) ge geëvalueerd in het punt x=x0.

De helling van de balk was gedefinieerd door de hoek , waarbij = – du/dx. Gebruik

makend van de vergelijkingen (2.13), komt men tenslotte tot de volgende formules:

4

4

yy3

3

yy2

2

dx

udEI

dx

dEI

dx

Md

dx

dVq

(2.43)

Nu kan men terug de vier basisgevallen beschouwen van een ingeklemde en opgelegde balk

met een puntlast F of een verdeelde belasting q(x), en voor deze vier gevallen de verticale

verplaatsingen u(x) berekenen.

2.5.2.a. Ingeklemde balk met puntlast

Het buigend moment M(x) voor een balk, ingeklemd aan het linkereinde en belast met een

puntlast F aan het rechtereinde, was:

xLFM (2.44)

M.b.v. vergelijking (2.43) volgt hieruit:

21

32

yy

1

2

yy

CxC6

x

2

xLF)x(uIE

C2

xxLF)x(IE

(2.45)

De randvoorwaarden voor de ingeklemde balk zijn:

0C0)0x(uIE

0C0)0x(IE

2yy

1yy

(2.46)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de ingeklemde balk:


122

6

x

2

xL

IE

F)x(u

32

yy

(2.47)

2.5.2.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting

Het buigend moment M(x) voor een balk, ingeklemd aan het linkereinde en belast met een

verdeelde belasting q(x), was:

2

xLqM

2

(2.48)


21

4

yy

1

3

yy

CxC24

xLq)x(uIE

C6

xLq)x(IE

(2.49)

De randvoorwaarden voor de ingeklemde balk zijn:

24

LqC0)0x(uIE

6

LqC0)0x(IE

4

2yy

3

1yy

(2.50)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de ingeklemde balk:

24

Lx

6

L

24

xL

IE

q)x(u

434

yy

(2.51)

2.5.2.c. Balk op twee steunpunten met puntlast

Het buigend moment M(x) voor een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een

puntlast F in x = a, was:

axals

L

xLaFM

axalsL

aLxFM

(2.52)

Vermits de momentenlijn M(x) een knik vertoont ter hoogte van de puntlast F, moet men de

integratie opsplitsen voor x < a en voor x > a.


123

x < a

M.b.v. vergelijking (2.43) wordt de momentenlijn M(x) voor x < a geïntegreerd:

21

3

yy

1

2

yy

CxC6

x

L

aLF)x(uIE

C2

x

L

aLF)x(IE

(2.53)

x > a

M.b.v. vergelijking (2.43) wordt de momentenlijn M(x) voor x > a geïntegreerd:

43

3

yy

3

2

yy

CxCL6

xLaF)x(uIE

CL2

xLaF)x(IE

(2.54)

Om de vier integratieconstanten C1, C2, C3 en C4 te bepalen, beschikt men over twee

randvoorwaarden en twee aansluitingsvoorwaarden:

de verplaatsing u(x) moet nul zijn op de twee steunpunten, dus voor x = 0 en voor x = L,

hoewel de momentenlijn een knik vertoont ter hoogte van de puntlast, zal de balk

vervormen als een continu lichaam en dus kan er maar één waarde zijn voor de helling

en de verticale verplaatsing u in het punt x = a.

De vier voorwaarden voor de balk zijn dan:

6

)aL()aL(aFC

L6

)aL()aL(aFC

0C

L6

)aL2()aL(aFC

)ax(uIE)ax(uIE

)ax(IE)ax(IE

0)Lx(uIE

0)0x(uIE

4

3

2

1

yyyy

yyyy

yy

yy

(2.55)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de opgelegde balk:

axals

6

)aL()aL(ax

L6

)aL()aL(a

L6

xLa

IE

F)x(u

axalsxL6

)aL2()aL(a

6

x

L

aL

IE

F)x(u

3

yy

3

yy

(2.56)


124

2.5.2.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting

Het buigend moment M(x) voor een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een

verdeelde belasting q(x), was:

2

xLxqM

(2.57)


21

34

yy

1

23

yy

CxC12

xLq

24

xq)x(uIE

C4

xLq

6

xq)x(IE

(2.58)

De randvoorwaarden voor de opgelegde balk zijn:

24

LqC0)Lx(uIE

0C0)0x(uIE

3

1yy

2yy

(2.59)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de opgelegde balk:

x

24

Lx

12

Lx

24

1

IE

q)x(u

334

yy

(2.60)

2.5.3. Verplaatsingen t.g.v. de dwarskracht V

Als de dwarskracht V aanzienlijk is, kunnen ook de schuifspanningen xz over de hoogte van

de dwarsdoorsnede een bijkomende verticale verplaatsing veroorzaken. De berekening van

deze verplaatsingen valt echter buiten het bestek van deze cursus.

Anderzijds is het zo dat in vele gevallen de doorbuiging t.g.v. de dwarskracht V

verwaarloosbaar is t.o.v. de verplaatsing t.g.v. het buigend moment M.

Voorbeeld 2.5

Een balk is onderaan ingeklemd en op de twee dwarsbalken grijpt links een kracht 2F aan, en

rechts een kracht F. De richting en zin van de krachten is zoals getekend op de figuur. De

dwarsdoorsnede van de balk is een regelmatige zeshoek en is in elke sectie van de verticale en

horizontale balken constant:


125

F

2F

C

L

2a

x

yz

y100 mm

z of x

Als volgende waarden gegeven zijn:

F = 1 kN

L = 1 m

a = 30 cm

E = 200 GPa

bereken dan de totale verticale en horizontale verplaatsing van het punt C.



126

2.6. SINGULARITEITSFUNCTIES

In paragraaf 2.5.2.c werd de doorbuigingslijn berekend voor een balk op twee steunpunten

met een puntlast F in x = a. Daaruit bleek dat de integratie al snel bewerkelijk wordt als de

momentenlijn geen continue functie is, met invoering van randvoorwaarden en

aansluitingsvoorwaarden tot gevolg.

In deze paragraaf wordt de methode van de singulariteitsfuncties besproken, die de

doorbuigingslijn van een meervoudig belaste balk afleidt uit één enkele vergelijking. Deze

methode leent zich uitstekend tot implementatie in numerieke codes. De basisidee is om

zowel verdeelde belastingen q(x) als puntkrachten F en buigende momenten M te schrijven

als een soort continue belastingen, zodat alle belastingen tesamen kunnen geïntegreerd

worden.

Voor de verdeelde belastingen q(x) is deze transformatie zeer eenvoudig. Deze functies

kunnen worden geschreven in de algemene vorm:

n ℕ: axalsax

axals0ax n

n

(2.61)

Zoals weergegeven in Figuur 2.25, vertegenwoordigt x de coördinaatpositie van een punt

langs de balk en is a de plaats op de balk waar de discontinuïteit optreedt, namelijk het punt

waar een verdeelde belasting begint.

Figuur 2.25 Verdeelde belastingen met verschillende exponent n 0.

Dit type beschrijving kan natuurlijk worden uitgebreid naar verdeelde belastingen met een

andere vorm (trapezium, parabool,...) door superpositie van deze basisvormen.

De rekenregels zijn uiteraard zeer eenvoudig:

n ℕ:

C1n

axdxax

axnaxdx

d

1n

n

1nn

(2.62)

Voor de beschrijving van geconcentreerde krachten of koppels die op de balk werken,

gebruikt men de singulariteitsfuncties.

Zo kan men een geconcentreerde puntlast F in het punt x = a beschouwen als een verdeelde

belasting q die alleen in het interval 2/a,2/ax verschilt van nul. De dichtheid van

de belasting is dan q = F/ en de breedte , waarbij 0 . Dit wordt geïllustreerd door Figuur

2.26.


127

Figuur 2.26 Voorstelling van een geconcentreerde puntlast F als een verdeelde belasting [2].

De wiskundige uitdrukking wordt dan:

axvoorF

axvoor0axFq

1

(2.63)

Op analoge manier kan men een uitwendig koppel K definiëren als de limiet van twee

verdeelde belastingen, op een afstand van elkaar, zoals weergegeven in Figuur 2.27.

Figuur 2.27 Voorstelling van een positief moment K als een verdeelde belasting [2].

De wiskundige uitdrukking hiervan is:

axvoorK

axvoor0axKq

2

(2.64)

De rekenregels voor afleiding en integratie van deze singulariteitsfuncties zijn verschillend.

Men kan aantonen dat geldt:


128

n ℕ: 1nn

1nn

axdxax

axaxdx

d

(2.65)

Met behulp van voorgaande functies kan men de belasting op een meervoudig belaste balk

schrijven in één verdeelde belasting q(x).

Figuur 2.28 toont het voorbeeld van een balk op twee steunpunten, belast met een puntkracht

F, een uitwendig koppel K en een verdeelde belasting q0.

Figuur 2.28 Balk met meervoudige belasting [2].

Men kan de totale belasting onmiddellijk schrijven als volgt (met inachtneming van de

tekenconventies voor positieve krachten en momenten):

0

0

211

A cxqbxKaxF0xRq

(2.66)

Tweemaal integreren volgens de formule (2.43) levert de momentenlijn M(x):

20011

A2

2

cx2

qbxKaxF0xR)x(M

dx

Mdq

(2.67)

Men kan dan nog tweemaal integreren om de doorbuigingslijn te bepalen.

Bij de eerste twee integraties van q(x) naar V(x) en van V(x) naar M(x) worden geen

integratieconstanten ingevoerd. Dat komt omdat de reactiekrachten en

reactiemomenten in deze cursus reeds als uitwendige belastingen worden meegenomen

in de uitdrukking voor q(x). De reactiekrachten zijn immers een soort

integratieconstanten voor V(x), en de reactiemomenten een soort integratieconstanten

voor M(x).

Bij de laatste twee integraties van M(x) naar (x) en van (x) naar u(x) dient men wel

rekening te houden met de randvoorwaarden voor hellingen en verplaatsingen, en daar

worden dus wel integratieconstanten ingevoerd bij het integreren.


129

Voorbeeld 2.6

Bepaal de helling en de doorbuiging van de as bij elk van de poelies C, D en E. De as is

gemaakt van staal en heeft een diameter van 30 mm. De lagers bij A en B oefenen slechts

verticale reacties op de as uit. Est = 200 GPa.


130

2.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL

Een belangrijke opmerking betreft de keuze van het assenstelsel. In deze cursus werd de

lengte-richting van de balk volgens de x-as geplaatst en werd de z-as volgens de hoogte van

de balk gelegd.

Helaas is dit niet het enige assenstelsel dat gangbaar is voor de beschrijving van de

balkentheorie. Men kan een ander rechtshandig assenstelsel kiezen met de y-as naar boven en

de z-as naar links. Deze keuze heeft zeer belangrijke implicaties voor de positieve richting en

zin van de momenten en de betrekkingen tussen q, V en M. Dit is samengevat in onderstaande

Figuur 2.29.

Keuze in deze cursus Alternatieve keuze

O

z

xx y

z

O

y

zxx

y

xy

z

V (=F )z

M (=M )y

N (=F )x

V

NM

q (x)zQz

x

y

z

V (=F )y

M (=M )z

N (=F )x

V

NM

q (x)yQy

V + dV

M + dM

V

M

q(x)

xy

z

dx

V + dV

M + dM

V

M

q(x)

x

y

z

dx

2

2

dx

Mdq

dx

dMV

dx

dVq

2

2

dx

Mdq

dx

dMV

dx

dVq

Positief koppel K: 2

axKq

Positief koppel K: 2

axKq

Figuur 2.29 Vergelijking tussen twee verschillende rechtshandige assenstelsels voor de balkentheorie.


131

Ook internationaal is er geen algemeen aanvaarde conventie voor de keuze van het structureel

assenstelsel. In de bouwkunde wordt het assenstelsel met de y-as als verticale as nog vaak

gebruikt. In de werktuigkunde en de mechanica van starre lichamen kiest men daarentegen de

z-as steeds als de verticale as. Ook in numerieke rekenpakketten stelt de z-as doorgaans de

verticale richting voor.

Sommige auteurs gaan zelfs verder en koppelen de tekenconventie voor buigende momenten

los van de keuze van het structureel assenstelsel. Zij definiëren een positief buigend moment

als een moment dat positieve (trek)spanningen veroorzaakt in dat deel van de balk dat een

positieve verticale coördinaat heeft.

Ook al zal men elders andere conventies terugvinden, het is steeds zo dat het fysisch gedrag

van een constructie onafhankelijk is van de keuze van het structureel assenstelsel. Als men

een balk op twee steunpunten in het midden belast met een neerwaarts gerichte puntkracht,

dan zal de doorbuiging u(x) steeds naar beneden zijn, ongeacht of men nu de z-as, dan wel de

y-as als verticale as kiest. Zelfs de positieve zin van de verticale as mag het resultaat niet

beïnvloeden. Dit lijkt triviaal, maar toch wordt vaak gezondigd tegen deze evidentie.


132

2.8. REFERENTIES








Sons Ltd, 434 pp.

133

Hoofdstuk 3

Oplossingsmethodes

3.1. INLEIDING

Zoals besproken in paragraaf 1.6, telt de algemene lineair elastische belastingstoestand van

een lichaam 15 onbekenden in elk punt van dat lichaam:

3 verplaatsingen wvu

6 spanningscomponenten yzxzxyzzyyxx

6 rekcomponenten yzxzxyzzyyxx

Anderzijds beschikt men over 15 vergelijkingen:

3 partiële differentiaalvergelijkingen voor het evenwicht:

0Fzyx

0Fzyx

0Fzyx

zzzyzxz

y

zyyyxy

xzxyxxx

(3.1)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes

134

z

v

y

w

z

u

x

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(3.2)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en spanning (wet van Hooke):

G

G

G

E

1E

1E

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(3.3)

Voor het oplossen van lineair elastische problemen kan men in feite drie wegen bewandelen:

analytische oplossingen, die een gesloten uitdrukking verschaffen voor het probleem en

nog van heel veel nut zijn voor de praktijk,

experimentele methodes, die het lineair elastisch probleem trachten op te lossen m.b.v.

experimenten,

numerieke methodes, die voor complexe belastingstoestanden en geometrieën van het

lichaam een zeer belangrijk instrument vormen.


135

3.2. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN

In hoofdstuk 1 werd het lineair elastisch probleem analytisch opgelost voor een aantal

vereenvoudigde belastingsgevallen (bv. vlakspanning, vlakvervorming).

Dankzij de belangstelling van een groot aantal bekwame wiskundigen en natuurkundigen,

bestaan er heel wat analytische oplossingen voor lineair elastische problemen. Uiteraard zijn

dit problemen waarvan de geometrie en de randvoorwaarden wiskundig handelbaar zijn:

oneindig of half oneindig uitgestrekte gebieden, of gebieden begrensd door rechten,

cirkelbogen of kegelsneden, belast met één kracht, gelijkmatig verdeelde krachten, enz.

Alhoewel het heel moeilijk zou zijn om met deze methodes de spanningen in het onderstel

van een treinwagon of in een turbineschoep exact te berekenen, zijn deze analytische

oplossingen daarom niet waardeloos. Zij bieden ten opzichte van experimentele en numerieke

methodes het voordeel de oplossing in de gedaante van een analytische uitdrukking te

verschaffen, geldig voor alle waarden van de parameters die erin voorkomen. Zij worden

trouwens nog veelvuldig gebruikt als standaard om de nauwkeurigheid van numerieke

methodes te testen.

Tot slot bestaan er heel wat praktische problemen die qua geometrie en randvoorwaarden

weinig afwijken van deze analytische oplossingen, zodat zij als goede benadering voor het

praktische geval kunnen doorgaan.


136

3.3. EXPERIMENTELE METHODES

In paragraaf 5.2 over instrumentatie van de beproevingsmethodes en paragraaf 5.3 over

schadedetectie en –diagnose worden een aantal experimentele methodes besproken die de

vervorming van een constructie kunnen opvolgen: (i) rekstrookjes, (ii) moiré-technieken en

(iii) optische vezelsensoren. Deze technieken meten de vervormingen van de constructie, en

de spanningen worden via de wet van Hooke uit de rekken berekend.

Een experimentele methode die rechtstreekse informatie geeft over de spanningen, is de foto-

elastische methode. Deze methode heeft een grote bloei gekend in het begin van de twintigste

eeuw, maar wordt nu nog maar zelden gebruikt. Ze is in de eerste plaats geschikt voor

onderzoek van vlakspanningstoestanden, omdat de methode steunt op de vaststelling dat

bepaalde doorschijnende materialen onder invloed van spanningen optisch dubbel brekend

worden. De hoofdrichtingen van deze dubbele breking vallen samen met de hoofdrichtingen

van de spanningstensor en de faseverschuiving is evenredig met het verschil I – II tussen de

hoofdspanningen.

De belangrijkste foto-elastische materialen zijn kunstharsen (Columbia hars, epoxyharsen),

polyurethaan en polymethylmetacrylaat (plexiglas). Zij worden gegoten en bewerkt in

dezelfde vorm als de werkelijke constructie. Nadien worden gelijkaardige belastingen

aangebracht en wordt het onder spanning staande foto-elastische materiaal belicht met

gepolariseerd licht. Door het effect van dubbele breking krijgt men twee types krommen:

(i) isoclinen, en (ii) isochromaten. De isoclinen zijn de meetkundige plaats der punten

waarvoor de hoofdrichtingen een constante helling hebben t.o.v. een referentierichting. De

isochromaten zijn de meetkundige plaats der punten waarvoor het verschil tussen de twee

hoofdspanningen een constante waarde bedraagt.

Door een gepaste keuze van de polarisatie van het licht en de experimentele opstelling, kan

men de isoclinen en isochromaten afzonderlijk bestuderen.

Figuur 3.1 toont de isochromaten in een balk op twee steunpunten. De witte franje op halve

hoogte is de neutrale lijn waar I – II = 0. Daarboven en daaronder neemt het verschil toe,

min of meer in overeenkomst met de resultaten van de balkentheorie. Men bemerkt echter

sterke concentraties van franjes nabij de aangrijpingspunten van de kracht en van de reacties.

Dit wijst op spanningsconcentraties die niet in de balkentheorie worden meegerekend.

Figuur 3.1 Isochromaten voor een balk op twee steunpunten [1].


137

Figuur 3.2 toont de isochromaten in een dunne vlakke plaat met een ronde opening, belast met

een gelijkmatig verdeelde trekspanning op voldoende afstand van de ronde opening. Opnieuw

wordt bevestigd dat er spanningsconcentraties optreden rond de opening in de plaat.

Figuur 3.2 Isochromaten in een dunne plaat met een ronde opening [1].

Meer in het algemeen, zoals besproken in paragraaf 1.11, treden spanningsconcentraties altijd

op aan doorsnedeveranderingen en plotse veranderingen van geometrie. Dit wordt bevestigd

door Figuur 3.3 die de isochromaten toont aan een sectieverandering, die belast wordt met

twee tegengestelde koppels.

Figuur 3.3 Spanningsconcentratie bij een doorsnedeverandering [1].


138

Figuur 3.4 geeft een laatste voorbeeld van een balk met twee uitsparingen, die met twee

tegengestelde koppels wordt belast (boven). Een detail van de isochromaten rond de

uitsparingen (onder) toont duidelijk dat het lineair spanningsverloop uit de balkentheorie sterk

wordt verstoord door de aanwezigheid van de uitsparingen.

Figuur 3.4 Isochromaten in een balk met twee uitsparingen [1].


139

3.4. NUMERIEKE METHODES – EINDIGE ELEMENTEN

In de tweede helft van de twintigste eeuw heeft de computer een reeks mogelijkheden

gecreëerd, die in de toepassing van de elasticiteitsleer, zoals in vele andere wetenschappen en

technieken, een ware revolutie hebben toegelaten. De meest gebruikte numerieke techniek is

tegenwoordig deze van de eindige elementen. Men kan de eindige elementenmethode

eenvoudig definiëren als een numerieke techniek die de complexe geometrie van de te

berekenen constructie opdeelt in een groot aantal eenvoudige bouwstenen (bv. driehoeken,

rechthoeken, kubussen,...), eindige elementen genaamd (Eng: finite elements). Figuur 3.5

toont bijvoorbeeld het eindige elementenmodel van een stalen as. Het volume van de as is

opgedeeld in honderden kleine elementen.

Figuur 3.5 Eindige elementenmodel van een stalen as.

De hoekpunten van elk van deze eindige elementen noemt men knopen (Eng: nodes). Aan

elke knoop kent men een aantal vrijheidsgraden toe, bv. de onbekende verplaatsingen (u,v,w)

in x-, y- en z-richting. De belasting wordt eveneens aangebracht in de knopen. De hele

constructie wordt in feite gediscretiseerd in een netwerk van knopen, zoals afgebeeld in

Figuur 3.6.


140

Figuur 3.6 Knopennet van de stalen as.

Door het uitdrukken van het evenwicht van de constructie en het opleggen van een groot

aantal aansluitingsvoorwaarden tussen alle knopen, wordt het lineair elastisch probleem

herleid tot het oplossen van een zeer groot stelsel lineair algebraïsche vergelijkingen.

Met de elementenmethode kan er voor bijna elk probleem van de elasticiteitsleer een

voldoend nauwkeurige oplossing gevonden worden. De programma’s voor de eindige

elementenmethode zijn echter uitgebreid, vergen veel geheugen en soms een lange rekentijd.

Hun toepassing was daarom lange tijd beperkt tot het ontwerp van belangrijke, dure en

technologisch geavanceerde producten (bv. kernreactoren, vliegtuigen, raketten). De

algemene doorbraak van zeer performante werkstations en zelfs PC’s heeft de laatste jaren

geleid tot een ruime verspreiding van de eindige elementenmethode. In alle grote

ontwerpbureaus is de elementenmethode nu een bijna alledaagse rekentechniek geworden.

Zoals elke numerieke methode geeft de eindige elementenmethode het resultaat in numerieke

vorm: men geeft de maten en geometrie op, de materiaaleigenschappen en de

randvoorwaarden, en krijgt getalwaarden voor spanningen, verplaatsingen,... terug.

Bovendien is de toepassing van de eindige elementenmethode niet beperkt tot lineair

elastische problemen. Ze wordt evenzeer aangewend voor niet-lineaire elasticiteit, plasticiteit,

warmtegeleiding, stromingsleer, trillingen en golven, elektromagnetisme,...

Niettegenstaande de grote kracht van deze eindige elementenpakketten, is een degelijke

kennis van elasticiteit en sterkteleer voor de ingenieur nog steeds een noodzaak. De nadruk

wordt echter verlegd: de ingenieur moet een goed inzicht hebben in de kenmerken van de

oplossing die hij verwacht en in de benaderingen en veronderstellingen die zij bevat. Zoniet

kan hij de programma’s niet efficiënt gebruiken en de resultaten niet rationeel beoordelen.

De eigenlijke behandeling van de eindige elementenmethode valt buiten het bestek van deze

cursus. In deze paragraaf wordt de globale structuur van een eindige elementenpakket


141

uiteengezet en worden een aantal berekeningsvoorbeelden uit de praktijk besproken, zodat

men enige voeling krijgt met de sterktes (en zwaktes) van de eindige elementenmethode.

3.4.1. Structuur van het eindige elementenprogramma

Zoals reeds hoger vermeld, is de eindige elementenmethode toepasbaar op een zeer groot

aantal problemen, van lineaire elasticiteit over plasticiteit tot elektromagnetisme. Er zijn in de

loop der jaren dan ook heel wat commerciële eindige elementenpakketten ontwikkeld, elk met

hun eigen sterktes en zwaktes. Voor berekeningen in de klassieke mechanica worden

ABAQUS, Ansys, Nastran, Dyna en SAMCEF heel veel gebruikt.

Ondanks deze verscheidenheid kan men toch in alle commercieel en academisch ontwikkelde

eindige elementenpakketten drie grote delen onderscheiden:

pre-processing: invoer van het eindige elementenmodel

analyse: berekening van de spanningen en rekken in het model

post-processing: verwerking en visualisering van de resultaten

Elk van deze delen wordt nu meer in detail besproken. Het eindige elementenmodel van een

stalen drijfstang wordt gebruikt als leidraad voor de drie delen.

3.4.1.a. Pre-processing

De belangrijkste taak van de pre-processor is het “vertalen” van de reële constructie (inclusief

haar belasting, randvoorwaarden en materiaalkarakteristieken) naar een eindige elementen-

model. Deze “vertaling” gebeurt meestal in twee stappen:

opstellen van het geometrisch model,

opstellen van het daarmee overeenstemmend eindige elementenmodel.

Voor het opstellen van het geometrisch model beschikt de pre-processor over een aantal

typische tekenfuncties: het tekenen van punten, lijnen, oppervlakken, cirkelbogen,... Sommige

eindige elementenpakketten bieden ook de mogelijkheid om geometrische modellen te

importeren uit klassieke tekenpakketten zoals AutoCAD en SolidWorks.

Figuur 3.7 toont het geometrisch model voor een stalen drijfstang van een

vermoeiingsmachine [2]. In de grootste holte (links boven) komt een grote as, die heen en

weer beweegt en d.m.v. de drijfstang dezelfde verplaatsing oplegt aan een tweede, kleinere as.

Omdat de drijfstang in vermoeiing belast wordt, moet de maximale spanning in de drijfstang

voldoende ver beneden de vloeigrens blijven. Het is dan ook de bedoeling de

spanningstoestand in de volledige drijfstang te berekenen voor de meest nadelige belasting

door de twee doorgaande assen in de openingen.


142

Figuur 4-37 3D- beeld van de drijfstang

Figuur 3.7 Geometrisch model van een stalen drijfstang.

Voor het voorbeeld van Figuur 3.7 kan men het geometrisch model eerst nog vereenvoudigen,

aangezien er twee onderling loodrechte symmetrievlakken zijn. Het volstaat dus slechts een

kwart van het geometrisch model om te zetten naar eindige elementen (nadien zal men de

correcte randvoorwaarden aanbrengen op de symmetrievlakken).

In een tweede stap wordt dit geometrisch model omgezet naar het eindige elementenmodel.

Dit proces noemt men “meshing” en gebeurt door de “mesher”. Doorgaans begint de mesher

met een verdeling te maken van de rand(en) van het geometrisch model. Dat gebeurt door

hetzij het aantal verdelingen, hetzij de (gemiddelde) afmeting van de elementen op te geven.

Op basis van de door de gebruiker opgegeven randverdelingen kan de mesher dan een

elementennet opbouwen m.b.v. eenvoudige bouwstenen (kubussen, tetraëders). Het volledige

volume van het model wordt gediscretiseerd in honderden of duizenden van deze eindige

elementen. Het resultaat na meshing is weergegeven in Figuur 3.8.


143

Figuur 3.8 Eindige elementennet voor de stalen drijfstang.

Tot dusver werd geen enkele veronderstelling gemaakt over de materiaalkarakteristieken,

belastingen en randvoorwaarden. De opgave van deze gegevens vormt dan ook de laatste stap

naar het voltooide eindige elementenmodel.

In dit voorbeeld is het materiaal staal en gedraagt het materiaal zich lineair elastisch. De

benodigde gegevens voor het eindige elementenmodel zijn dan de elasticiteitsmodulus E en

de Poisson-coëfficiënt van het staal.

De meest nadelige belasting voor de drijfstang is deze, waarbij de doorgaande assen in de

twee openingen een tegengestelde trekkracht uitoefenen op de drijfstang. Deze belasting

wordt gemodelleerd door een radiale druk op de binnenste cilinderwand van beide

asopeningen (zie Figuur 3.9).

Figuur 4-29 opgelegde belasting voor de drijfstang

60°

Z

Y

60° 12.5 KN 12.5 KN

p1 p2

Figuur 3.9 Schematische voorstelling van de belasting op de drijfstang.


144

Figuur 3.10 toont de belastingsoppervlakken zoals ze in het eindige elementenpakket werden

aangebracht. Hoewel de belasting hier wordt aangebracht op de oppervlakte van de eindige

elementen, zal de pre-processor deze verdeelde belastingen toch omrekenen naar discrete

belastingen in de knopen. Het is echter nogal omslachtig om de gebruiker zelf deze

discretisatie te laten uitvoeren, vandaar dat de gebruiker de belasting ook als een verdeelde

belasting mag ingeven.

Figuur 4-30 opgelegde belasting op de drijfstang in Samcef

Figuur 3.10 Aanbrengen van de belastingen op de twee binnenste cilinderwanden van de drijfstang.

Tenslotte moeten de randvoorwaarden gedefinieerd worden. Wegens de onderstelling van

dubbele symmetrie moet men dus bijkomende randvoorwaarden opleggen aan de

symmetrievlakken, zodat de verplaatsingen daar voldoen aan de aansluitingsvoorwaarden.

3.4.1.b. Analyse

Het tweede deel van het eindige elementenprogramma omvat het eigenlijke rekenwerk. In dit

gedeelte worden voor alle knopen de onbekende verplaatsingen en de (eventuele)

knooppuntskrachten uitgeschreven. Nadien worden de evenwichtsvergelijkingen voor de hele

constructie en de aansluitingsvoorwaarden voor alle knopen opgesteld. Men kan aantonen dat

men uiteindelijk een reusachtig stelsel bekomt van lineaire algebraïsche vergelijkingen,

waaruit men de onbekende verplaatsingen in elke knoop kan oplossen.

Naast analyse-modules voor lineaire elasticiteit bestaan er ook tal van andere analyse-modules

voor plasticiteit, thermische berekeningen, elektromagnetisme, stromingsleer,... Niet alleen

moeten dus tientallen verschillende materiaalmodellen geïmplementeerd worden in de


145

analyse-modules, maar ook zuiver numeriek stellen zich heel wat problemen. Sommige

stelsels bevatten miljoenen vergelijkingen, convergeren traag en moeilijk naar een oplossing

of moeten iteratief opgelost worden. Er zijn dan ook heel wat gespecialiseerde algoritmes

ontwikkeld voor de oplossing van deze stelsels vergelijkingen.

Eens men in elke knoop de verplaatsingen kent, kan men door afleiding de rekken berekenen.

M.b.v. de wet van Hooke kan men tenslotte de spanningen berekenen. Deze oplossing is

natuurlijk, net als het knopennet zelf, discreet en is enkel bekend voor de knopen zelf. Door

middel van een gepaste interpolatie kan men dan de verplaatsingen, rekken en spanningen

berekenen in alle tussenliggende punten.

De voorstelling van deze resultaten gebeurt in de derde stap, de post-processing.

3.4.1.c. Post-processing

De post-processor helpt de gebruiker bij de visualisatie en interpretatie van de bekomen

resultaten. De grootheden die men kan visualiseren, zijn van verschillende aard:

scalairen: temperatuur, energiedichtheid, von Mises spanning

vectoren: verplaatsing

tensoren: spanningen en vervormingen

Door hun geavanceerde grafische mogelijkheden bieden de hedendaagse post-processors heel

wat voordelen t.o.v. hun voorgangers die zich vaak beperkten tot het afdrukken van ellenlange

lijsten met resultaten.

Figuur 3.11 toont een plot van de berekende von Mises spanning in de stalen drijfstang. De

kleuren in de linkerbalk geven het bereik aan van de waarde van de von Mises spanning. De

laagste waarde is 0,86 MPa, terwijl de hoogste waarde 69,94 MPa bedraagt. Vergeleken met

een typische vloeigrens van 210 MPa voor staal, zijn de spanningen dus voldoende laag om

geen problemen in vermoeiing te veroorzaken.

Het is ook interessant te vermelden dat alle veranderingen in doorsnede en geometrie van

deze drijfstang zo geleidelijk mogelijk zijn uitgevoerd, met grote kromtestralen en

overgangsbogen, en dit om de spanningsconcentraties zo laag mogelijk te houden. In

vermoeiing zijn deze spanningsconcentraties immers net de plaatsen waar

vermoeiingsscheurtjes ontstaan.


146

Figuur 3.11 von Mises spanning in de drijfstang.

In de volgende paragraaf worden nog een aantal praktijkvoorbeelden besproken, waarbij het

vooral de bedoeling is de mogelijkheden en beperkingen van de eindige elementenmethode

weer te geven.

3.4.2. Praktijkvoorbeelden

3.4.2.a. Plastische vervorming van een koppeling voor perslucht

Het betreft een schadegeval van een koppeling voor een persluchtleiding bij 320 bar. Een

dwarsdoorsnede van de koppeling is afgebeeld in Figuur 3.12. Het linkergedeelte bevat de

moer waarmee de koppeling op een andere leiding wordt geschroefd. Het rechtergedeelte

bevat de persluchtleiding, waarvan de rubberen dichting ingeregen is met stalen

versterkingsvezels om de grote drukken te weerstaan.


147

Figuur 3.12 Dwarsdoorsnede van de persluchtkoppeling.

Er moest via numerieke simulaties aangetoond worden dat het hoekje, waartegen de moer

wordt aangetrokken, te klein was. Daardoor zou de bovenrand van de moer plastisch

vervormen bij het aanhalen van de moer en zou de persleiding gaan lekken. Dit kon inderdaad

experimenteel worden vastgesteld, zoals getoond in Figuur 3.13. De bovenrand van de moer

(links) is helemaal plastisch vervormd.

Figuur 3.13 Plastische vervorming van de rand van de moer.

Het eerste probleem bij de numerieke simulatie betreft altijd de vertaling van de werkelijke

geometrie en belastingstoestand naar een fysisch model. Het is duidelijk dat de modellering

van de volledige schroefdraad van de moer en het aandraaiproces van de moer te complex is.

Daarom werd de werkelijke situatie vereenvoudigd tot het model in Figuur 3.14.


148

moer

contactvlakken

interne druk

schuifkracht

Figuur 3.14 Tekening van de koppeling van de persluchtleiding.

Het verbindingsstuk onderaan waar de moer wordt opgeschroefd, wordt ingeklemd

verondersteld, zodat dit stuk geen verplaatsing ondergaat. De schroefdraad van de moer is

vervangen door een plat vlak en het aanschroeven van de moer wordt gemodelleerd door een

schuifkracht die de moer naar beneden trekt langs het vaste verbindingsstuk. Verder worden

nog een aantal bijkomende veronderstellingen gemaakt:

het probleem is axiaal-symmetrisch. Het volstaat dus één helft van de dwarsdoorsnede te

modelleren,

gezien het mogelijk optreden van plastische vervorming, werd een materiaalmodel voor

plasticiteit opgelegd met versteviging in de plastische fase,

langs de contactvlakken kan het materiaal glijden zonder wrijving,

de druk op de einddoorsnede bovenaan wordt vervangen door een langskracht op de rand

van de buis.

Figuur 3.15 toont een detail van het definitieve eindige elementenmodel in de zone van de

koppeling.


149

Figuur 3.15 Modellering van het aandraaien van de moer en krachtswerking op de koppeling.

Figuur 3.16 toont de vervormingen van de koppeling na het aandraaien van de moer.


150

Figuur 3.16 Verplaatsingen na aandraaien van de moer.

Zoals blijkt uit Figuur 3.17, is er een grote zone van plastische vervorming in de koppeling.

De von Mises spanning ligt ver boven de vloeigrens van 210 MPa.


151

Figuur 3.17 von Mises spanning in de zone van de koppeling.

3.4.2.b. Inlaat van een composiet drukvat

Het tweede praktijkgeval betreft een gewikkeld drukvat uit glasvezelversterkt epoxyhars.

Figuur 3.18 toont een voorbeeld van een dergelijk drukvat in kleine uitvoering. Bij een

grotere uitvoering van het drukvat werden problemen vastgesteld aan de inlaat van het

drukvat. Dergelijke drukvaten worden cyclisch belast tussen 0 en 10 bar en na een aantal

belastingscycli ontstond telkens een scheur aan de inlaat van het drukvat. De bedoeling van de

numerieke simulatie was na te gaan waar de hoogste spanningen optreden in het drukvat en

eventueel de geometrie van de inlaat te wijzigen.


152

Figuur 3.18 Gewikkeld drukvat uit glas/epoxy composiet.

Figuur 3.19 toont een dwarsdoorsnede van het bovenste gedeelte van het composiet drukvat.

polyethyleen inlaatafdichting

interne druk

glasvezelversterkt epoxy

polyethyleenbeschermingslaag

Figuur 3.19 Dwarsdoorsnede van het bovengedeelte van het composiet drukvat.


153

Binnenin het drukvat is een polyethyleen beschermingslaag aangebracht (tegen aantasting van

het composiet door afvalwater of chemische stoffen in het drukvat). De inlaat is gemaakt van

polyethyleen met 30 % verkapte glasvezels.

De polyethyleen beschermingslaag wordt gemodelleerd als een isotroop materiaal met

E = 0,7 GPa. De polyethyleen inlaat wordt ook gemodelleerd als isotroop, aangezien de

verkapte glasvezeltjes random verdeeld zijn in het materiaal, maar door de

glasvezelversterking bedraagt de elasticiteitsmodulus 4,8 GPa i.p.v. 0,7 GPa.

Het glas/epoxy-materiaal van het drukvat zelf is orthotroop en heeft verschillende

elasticiteitsmoduli volgens de vezels (44 GPa) en loodrecht op de vezels (5 GPa). Bovendien

is de hellingshoek van de vezels op elke hoogte verschillend t.g.v. het wikkelprocédé.

Opnieuw worden een aantal bijkomende veronderstellingen gemaakt voor de modellering van

het eindige elementennet:

het probleem is axiaal-symmetrisch. Het volstaat dus één helft van de dwarsdoorsnede te

modelleren,

de druk op het afdichtingsdeksel wordt vervangen door een stel opwaartse krachten op de

vertanding van de polyethyleen inlaat, zoals afgebeeld in Figuur 3.20. De opsplitsing in

een stel kleine krachtjes op elk van de tanden is noodzakelijk om een gelijkmatige

verdeling van de belasting te krijgen. Als men de totale kracht zou aanbrengen op één

enkele tand, zou men een zeer grote spanningsconcentratie introduceren in het materiaal.

Figuur 3.20 Detail van de verdeling van de belasting over de vertanding van de polyethyleen inlaat.

Tenslotte ziet het eindige elementennet eruit zoals afgebeeld in Figuur 3.21.


154

Figuur 3.21 Volledig eindige elementennet voor het composiet drukvat.

Aangezien de polyethyleen inlaat isotroop werd verondersteld, kan de von Mises spanning

berekend worden voor dit materiaal. Een detail is afgebeeld in Figuur 3.22.

Figuur 3.22 Spanningen in de isotroop veronderstelde polyethyleen inlaat.


155

De von Mises spanning bedraagt 21,76 MPa voor de zeer dunne rechterrand van de inlaat en

deze spanning bleek te hoog, zeker onder cyclische belasting van het drukvat.

3.4.2.c. Maximale kromming van een connectorblok met optische vezels

Het derde praktijkgeval stamt uit het domein van de elektronica. Twee connectorblokken zijn

met elkaar verbonden door een datalijn van acht optische vezels met een diameter van 125

m. De lengte van de optische vezels is 16 mm en de tussenafstand tussen de hartlijn van de

optische vezels is 250 m. Een schematische figuur is getoond in Figuur 3.23. De onderlinge

verhoudingen op de figuur zijn uiteraard niet correct.

= 125 m

d = 250 m

L = 2 mm

verplaatsing ?

(a) (b)

Figuur 3.23 Schematische voorstelling van de connectorblokken.

Deze connectorblokken en hun datalijn moesten ingebouwd worden in een sturing en mochten

zo weinig mogelijk ruimte innemen. Wel moest de ene connector over 90 gedraaid worden

t.o.v. de andere (zie Figuur 3.23(b)). Gevraagd werd de meest compacte configuratie te

bepalen, zonder dat de optische vezels elkaar gaan overlappen of gaan breken door een te

sterke kromming.

Dit is een zeer sterk niet-lineair probleem omdat de verplaatsingen reusachtig zijn in

vergelijking met de afmetingen van het object. Bovendien is de buigstijfheid EIyy van een

dergelijke optische vezel bijzonder klein. Inderdaad de E-modulus van glas is ongeveer 3 GPa

en het traagheidsmoment Iyy van een cirkelvormige doorsnede is 4r4

. De buigstijfheid

bedraagt dus 0,036 Nmm2 (ter vergelijking: een stalen staaf met diameter 20 mm heeft een

buigstijfheid van 1,03108 Nmm2). Dergelijke miniscule waarden zorgen voor een bijzonder

moeilijke convergentie van het numeriek probleem.

De optische vezel werd gemodelleerd als een balk. Het linkeruiteinde werd vastgehouden

terwijl aan het rechteruiteinde een grote verplaatsing naar links en naar beneden werd

opgelegd, om de verplaatsing van het tweede connectorblok te simuleren. De vervorming van

de optische vezel, zoals die werd berekend na de opgelegde verplaatsing, is getoond in Figuur

3.24.


156

Figuur 3.24 Berekende vervorming van de optische vezel na verplaatsing.

De modellering van alle acht optische vezels tegelijk bleek te ingewikkeld, omdat het

probleem tweedimensionaal werd opgevat. Bij de verplaatsing van de acht vezels zou het

eindige elementenpakket een mogelijk contact tussen twee optische vezels moeten controleren

en een glijding toelaten van de ene vezel t.o.v. de andere. Dit vraagt de introductie van

speciale eindige elementen (nl. contactelementen) en bemoeilijkt de convergentie nog meer.

Daarom werd de positie voor één enkele vezel berekend en werd iteratief naar een optimale

oplossing gezocht.

3.4.2.d. Thermische spanningen in een dikwandige composietbuis

Bij de productie van gewikkelde composietbuizen worden de vezels door een harsbad

getrokken en nadien gewikkeld op een matrijs. Dit gebeurt bij verhoogde temperatuur om het

hars voldoende vloeibaar te maken. Nadien gebeurt de uitharding bij kamertemperatuur.

Daarbij koelt de buis in haar geheel af van ongeveer 100 C tot 20 C.

De composietbuis in dit voorbeeld wordt gebruikt voor afvalwaterzuivering. Daarbij wordt

het afvalwater onder hoge druk door een aantal filters gepompt. De composietbuis moet dan

ook bestand zijn tegen drukken van 80 bar en is dus zeer dikwandig.

Figuur 3.25 toont een typisch voorbeeld van een dergelijke composietbuis uit

glasvezelversterkt epoxyhars.


157

Figuur 3.25 Dikwandige glas/epoxy composietbuis voor afvalwaterzuivering.

De stapeling van de buiswand bestaat uit 26 lagen van 54 en twee buitenste lagen onder

90. Figuur 3.26 toont een gepolijste dwarsdoorsnede van de buiswand (dikte 16,55 mm).

Figuur 3.26 Gepolijste dwarsdoorsnede van de wand: 26 lagen van 54 en twee buitenste lagen onder 90.


158

Het is duidelijk dat de thermische uitzettingscoëfficiënt [m/(mC)] van dit orthotroop

materiaal zeker niet dezelfde is in alle richtingen. Uit experimenten werd bepaald dat de

thermische uitzettingscoëfficiënten volgens de richtingen van orthotropie zijn:

]Cm/m[

102,23

102,23

108,5

6

6

6

33

22

11

(3.4)

Hieruit blijkt duidelijk dat de thermische uitzetting in de richtingen dwars op de

versterkingsvezels veel groter is dan in de vezelrichting.

De eindige elementensimulatie bestaat er nu in een thermische afkoeling van 100 C naar

20 C te simuleren. Hoewel de buis tijdens de uitharding volledig vrij kan uitzetten, zullen

toch thermische spanningen ontstaan, en wel om twee redenen:

het materiaal is niet isotroop en de thermische krimp is dus niet dezelfde in alle richtingen,

de buis is zeer dikwandig en de individuele lagen belemmeren elkaar in hun vrije krimp.

Omwille van de symmetrie volstaat het opnieuw de helft van de buis te simuleren. Bovendien

wordt de randvoorwaarde opgelegd dat de buis in de langsrichting vrij kan uitzetten. Figuur

3.27 toont het gebruikte eindige elementennet. Links is de globale mesh getoond, terwijl

rechts een detail van de volledige wanddikte is getoond. Alle lagen van de composietbuis

worden dus afzonderlijk gemodelleerd.

Figuur 3.27 Globale eindige-elementenmesh (links) en detail van de elementennet in de dwarsdoorsnede

(rechts).

Uit de simulaties blijkt dat de spanningen 11 in de vezelrichting zeer klein zijn (de

thermische uitzettingscoëfficiënt is ook kleiner in de vezelrichting). De spanningen 33

blijken bijna onbestaande te zijn. De spanningen 22 loodrecht op de vezelrichting blijken

echter veel groter dan verwacht. Figuur 3.28 toont een detail van de thermische spanningen

22 in elke laag doorheen de buiswand.


159

Figuur 3.28 Thermische spanningen loodrecht op de vezelrichting in elke individuele laag.

De hoogste spanningen 22 bedragen 20,14 MPa en deze zijn zeer hoog vergeleken met de

treksterkte YT loodrecht op de vezelrichting die 35,0 MPa bedraagt. Op dat moment is er

immers nog geen enkele gebruiksbelasting op de buis aangebracht.


160

3.5. REFERENTIES



[2] Berthels, K. and Van Peteghem, J. (2000). Design of an advanced fatigue testing

device for fibre-reinforced composites. Graduate Thesis (in Dutch). Ghent, Ghent

University, 119 pp.

161

Hoofdstuk 4

Tweedimensionale elastische problemen

4.1. VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING

In vele praktijkgevallen in de bouwkunde en de werktuigkunde kan men aannemen dat de

hele belastingstoestand zich afspeelt in één enkel vlak x-y, zodat het probleem zich herleidt

tot een tweedimensionaal probleem. Deze problemen vallen uiteen in twee grote klassen: (i)

vlakspanning, en (ii) vlakvervorming.

4.1.1. Vlakspanning

4.1.1.a. Algemeen

Onderstel een dunne plaat of schijf die belast wordt in haar eigen vlak, zoals aangegeven in

Figuur 4.1. De x- en y-as liggen in het vlak van de plaat, terwijl de z-as gelegen is volgens de

dikterichting van de plaat.

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen

162

Figuur 4.1 Voorbeelden van vlakspanningstoestand [6].

Als de vrije plaatoppervlakken niet belast zijn, is de spanningsvector )n(

in elk punt van

deze vrije plaatoppervlakken nul en dus ook de spanningscomponenten zz, zx en zy die

aangrijpen op deze vrije plaatoppervlakken. Omdat bovendien de dikte van de plaat of schijf

klein is, neemt men aan dat deze spanningscomponenten ook nul zijn binnenin de plaat.

Vandaar onderstelt men in elk punt van de plaat de volgende spanningstoestand:

000

0

0

][ yyxy

xyxx

(4.1)

waarbij men aanneemt dat óók deze spanningen constant zijn doorheen de dikte. Een

dergelijke spanningstoestand noemt men een vlakspanningstoestand (Eng: plane stress).

Het is belangrijk op te merken dat, hoewel de spanning zz nul is, de rek zz niet nul is, en dit

ten gevolge van het Poisson-effect. Dit volgt ook onmiddellijk uit de wet van Hooke (1.87):

yyxxzzyyxxzzzz1

0)1()21)(1(

E

(4.2)

De algemene wet van Hooke (1.85) wordt in geval van vlakspanning (zz = 0) herleid tot:

G

E

E

1E

1

xy

xy

yyxxzz

xxyyyy

yyxxxx

(4.3)

Gebruikmakend van (4.2), wordt het inverse verband tussen spanning en rek (1.87) in geval

van vlakspanning dan herleid tot:


163

xyxy

xxyy2yy

yyxx2xx

G

)1(

E)1(

E

(4.4)

Ook in dit tweedimensionaal belastingsgeval kan men de hoofdspanningen bepalen.

Aangezien de spanningen zz, xz en yz in alle gevallen nul zijn, worden de hoofdspanningen

I en II gevonden door een geschikte rotatie van het assenstelsel (x,y,z) om de z-as.

Definieert men de hoek als de hoek tussen de x-as en de x’-as (positief in tegenwijzerzin

wegens de rechterhandregel om de as z

e

), dan worden de transformatieformules

vereenvoudigd tot:

100

0cossin

0sincos

000

0

0

100

0cossin

0sincos

000

0''

0''

yyxy

xyxx

yyxy

xyxx

(4.5)

Uitgewerkt wordt dit:

22

xyxxyyxy

xy

2

yy

2

xxyy

xy

2

yy

2

xxxx

sincoscossin)('

cossin2cossin'

cossin2sincos'

(4.6)

Om de twee onbekende hoofdrichtingen te vinden, stelt men ’xy = 0, waaruit:

xxyy

xy22tan

(4.7)

Dit geeft twee waarden van , met een verschil van 90. Men vindt dan de twee

hoofdspanningen I en II door één van de twee gevonden waarden voor de hoek in de

eerste twee vergelijkingen van (4.6) te substitueren. Een andere mogelijkheid bestaat erin de

seculaire vergelijking (1.52) uit te schrijven en de twee wortels I en II te bepalen. Deze zijn:

2

4

2

4

2

xy

2

yyxxyyxx

II

2

xy

2

yyxxyyxx

I

(4.8)

Via deze weg kan men echter niet uitmaken of de hoofdspanning I correspondeert met , dan

wel met + 90.


164

4.1.1.b. Cirkel van Mohr

De cirkel van Mohr is een grafische techniek die toelaat om de vlakspanningstoestand op een

eenvoudige wijze te visualiseren. Om dit aan te tonen, herschrijft men de eerste en de derde

vergelijking van (4.6) als volgt:

2cos2sin2

'

2sin2cos22

'

xy

yyxx

xy

xy

yyxxyyxx

xx

(4.9)

Vervolgens kwadrateert men deze vergelijkingen en telt ze op. Dan bekomt men:

2xy

2

yyxx2

xy

2

yyxx

xx2

'2

'

(4.10)

Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt

0,

2

yyxx en straal

2xy

2

yyxx

2

. Legt men nu de coördinaatassen vast, positief naar rechts en

positief omlaag, dan kan men de cirkel van Mohr construeren. Het is belangrijk dat de -as

positief naar beneden gekozen wordt, want dan blijft de hoek positief in tegenuurwijzerzin,

zoals die ook in tegenuurwijzerzin positief is van xe

naar y

e

.

De constructie van de cirkel van Mohr is getoond in Figuur 4.2.


165

Figuur 4.2 Constructie van de cirkel van Mohr [1].

Men zet eerst de gekende spanningstoestand xyyyxx uit in de twee punten (xx, xy)

en (yy, -xy) (de respectieve punten A en G op de cirkel in Figuur 4.2(a)). Deze twee punten

vormen samen een middellijn van de cirkel van Mohr. De straal die het punt (xx, xy) met het

middelpunt van de cirkel verbindt, geeft de richting = 0 aan. Deze richting valt echter niet

noodzakelijk samen met de horizontale middellijn van de cirkel, want de horizontale

middellijn geeft de richting aan van de hoofdspanningen. Voor de horizontale middellijn

zijn de schuifspanningen immers nul.

Als men nu de spanningstoestand xyyyxx ''' wil kennen op een ander vlak, waarbij

de hoek de hoek is tussen het oorspronkelijke vlak en het nieuwe vlak ( positief in

tegenuurwijzerzin), dan zet men op de cirkel van Mohr een middellijn uit die over een hoek

2 gedraaid is t.o.v. de middellijn van de oorspronkelijke spanningstoestand (opnieuw 2

positief in tegenuurwijzerzin). Op de cirkel van Mohr wordt niet de hoek uitgezet, maar wel

de hoek 2. Dit volgt onmiddellijk uit de herwerkte vergelijkingen (4.9).

De snijpunten (’xx, ’xy) en (’yy, -’xy) van deze nieuwe middellijn met de cirkel geven de

nieuwe spanningstoestand xyyyxx ''' aan. Het is zeer belangrijk op te merken dat de


166

cirkel van Mohr geldt voor de spanningstoestanden op verschillend geöriënteerde vlakjes in

één en hetzelfde punt, zoals geïllustreerd door Figuur 4.2(b).

Voorbeeld 4.1

In het punt P bestaat de volgende spanningstoestand in het assenstelsel (x,y,z):

MPa

000

07648

048105

ij

Op welk vlakje door P zal men de grootste schuifspanning vinden ?

4.1.1.c. Vlakspanning met thermische effecten

Legt men opnieuw de voorwaarde op dat zz nul is, dan volgt ditmaal uit de wet van Hooke

(1.114):

T1

1

1

0T21

E)1(

)21)(1(

E

yyxxzz

yyxxzzzz

(4.11)

De algemene wet van Hooke met inbegrip van thermische effecten (1.113) wordt in geval van

vlakspanning (zz = 0) dan herleid tot:

G

TE

TE

1

TE

1

xy

xy

yyxxzz

xxyyyy

yyxxxx

(4.12)

Het inverse verband tussen spanning en rek met inbegrip van thermische effecten (1.114)

wordt dan voor vlakspanning:

xyxy

xxyy2yy

yyxx2xx

G

T1

E

)1(

E

T1

E

)1(

E

(4.13)


167

4.1.2. Vlakvervorming

4.1.2.a. Algemeen

De tweede vervormingstoestand die als tweedimensionaal kan behandeld worden, is

vlakvervorming (Eng: plane strain). Hierbij neemt men aan dat er geen verplaatsing is in de z-

richting, en er dus ook geen rekken zz, xz en yz zijn. Een typisch voorbeeld is getoond in

Figuur 4.3, waar een buis is ingeklemd aan haar beide uiteinden en dus onmogelijk kan

vervormen in de langsrichting. Een dergelijk probleem kan men dan vereenvoudigen tot een

tweedimensionaal geval, zoals getoond in het rechterdeel van de figuur.

Figuur 4.3 Voorbeeld van vlakvervorming [6].

In geval van vlakvervorming is de rektensor dus:

000

02

1

02

1

][ yyxy

xyxx

(4.14)

Hoewel de rek zz nul is, is de spanning zz niet nul. Precies door de verhindering van vrije

vervorming in de z-richting treden bijkomende spanningen zz op. Dit volgt ook onmiddellijk

uit de wet van Hooke (1.85):

yyxxzzyyxxzzzz 0E

1 (4.15)

Gebruikmakend van (4.15) wordt het verband tussen rek en spanning (1.85) voor

vlakvervorming vereenvoudigd tot:


168

G

)1(E

1

)1(E

1

xy

xy

xxyyyy

yyxxxx

(4.16)

Het inverse verband tussen spanning en rek (1.87) wordt in geval van vlakvervorming (zz =

0):

xyxy

yyxxzz

xxyyyy

yyxxxx

G

)21)(1(

E

)1()21)(1(

E

)1()21)(1(

E

(4.17)

Ook in geval van vlakvervorming kan men de hoofdrekken bepalen. Aangezien de rekken zz,

xz en yz in alle gevallen nul zijn, worden de hoofdrekken I en II gevonden door een

geschikte rotatie van het assenstelsel (x,y,z) om de z-as. Definieert men de hoek opnieuw

als de hoek tussen de x-as en de x’-as (positief in tegenwijzerzin wegens de rechterhandregel

om de as z

e

), dan worden de transformatieformules vereenvoudigd tot:

100

0cossin

0sincos

000

02

02

100

0cossin

0sincos

000

0'2

'

02

''

yy

xy

xy

xx

yy

xy

xy

xx

(4.18)

Uitgewerkt wordt dit:

22xy

xxyy

xy

xy

2

yy

2

xxyy

xy

2

yy

2

xxxx

sincos2

cossin)(2

'

cossincossin'

cossinsincos'

(4.19)

Om de twee onbekende hoofdrichtingen te vinden, stelt men ditmaal ’xy = 0, waaruit:

yyxx

xy2tan

(4.20)


169

Dit geeft twee waarden van , met een verschil van 90. Men vindt dan de twee hoofdrekken

I en II door één van de twee gevonden waarden voor de hoek in de eerste twee

vergelijkingen van (4.19) te substitueren. Een andere mogelijkheid bestaat erin de seculaire

vergelijking (1.72) uit te schrijven en de twee wortels I en II te bepalen. Deze zijn:

2

22

xy

2

yyxxyyxx

II

2

xy

2

yyxxyyxx

I

(4.21)

Via deze weg kan men echter niet uitmaken of de hoofdrek I correspondeert met , dan wel

met + 90.

4.1.2.b. Cirkel van Mohr

Vermits de transformatieformules (4.19) voor vlakvervorming net dezelfde structuur hebben

als de transformatieformules (4.6) voor vlakspanning, kan men ook een cirkel van Mohr

construeren voor vlakvervorming.

Geheel analoog aan (4.9) worden de eerste en derde vergelijking van (4.19) herwerkt als

volgt:

2cos2

2sin22

'

2sin2

2cos22

'

xyyyxxxy

xyyyxxyyxx

xx

(4.22)

Vervolgens kwadrateert men deze vergelijkingen en telt ze op. Dan bekomt men:

2

xy

2

yyxx

2

xy

2

yyxx

xx222

'

2'

(4.23)

Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt

0,

2

yyxx en straal

2

xy

2

yyxx

22

. Legt men nu de coördinaatassen vast, positief naar rechts en /2

positief omlaag, dan kan men de cirkel van Mohr construeren. Het is belangrijk dat de /2-as

opnieuw positief naar beneden gekozen wordt, want dan blijft de hoek positief in

tegenuurwijzerzin, zoals die ook in tegenuurwijzerzin positief is van xe

naar y

e

.

De constructie van de cirkel van Mohr is getoond in Figuur 4.4.


170

Figuur 4.4 Constructie van de cirkel van Mohr [1].

Men zet eerst de gekende rektoestand

2

xy

yyxx uit in de twee punten

2,

xy

xx en

2,

xy

yy . Deze twee punten vormen samen een middellijn van de cirkel van Mohr. De

straal die het punt

2,

xy

xx met het middelpunt van de cirkel verbindt, geeft de richting

= 0 aan. Deze richting valt echter niet noodzakelijk samen met de horizontale middellijn

van de cirkel, want de horizontale middellijn geeft de richting aan van de hoofdrekken.

Voor de horizontale middellijn zijn de glijdingen immers nul.

Als men nu de vervormingstoestand

2

'''

xy

yyxx wil kennen op een ander vlak,

waarbij de hoek de hoek is tussen het oorspronkelijke vlak en het nieuwe vlak ( positief in

tegenuurwijzerzin), dan zet men op de cirkel van Mohr een middellijn uit die over een hoek

2 gedraaid is t.o.v. de middellijn van de oorspronkelijke vervormingstoestand (opnieuw 2

positief in tegenuurwijzerzin). Op de cirkel van Mohr wordt niet de hoek uitgezet, maar wel

de hoek 2. Dit volgt onmiddellijk uit de herwerkte vergelijkingen (4.22).

De snijpunten

2

','

xy

xx en

2

','

xy

yy van deze nieuwe middellijn met de cirkel geven

de nieuwe vervormingstoestand

2

'''

xy

yyxx aan. Het is zeer belangrijk op te merken

dat de cirkel van Mohr geldt voor de vervormingstoestanden op verschillend geöriënteerde

vlakjes in één en hetzelfde punt.


171

Voorbeeld 4.2

Gegeven is de volgende vervormingstoestand:

6

xy

6

yy

6

xx

1080

1050

1090

De overige rekcomponenten zijn nul.

a) welke bijzondere toestand is dit ?

b) bepaal de hoofdrekken m.b.v. de cirkel van Mohr. De berekende waarden moeten exact

zijn.

c) als E = 200 GPa en = 0,3 bepaal dan de hoofdspanningen. Teken twee vierkantjes

waarop u de oriëntatie aanduidt van het oude x-y assenstelsel en van het nieuwe

assenstelsel van de hoofdspanningen. Teken ook de richting en zin van de

hoofdspanningen. De spanningen in het x-y assenstelsel hoeft U niet te berekenen.


4.1.2.c. Vlakvervorming met thermische effecten

Legt men opnieuw de voorwaarde op dat zz nul is, dan volgt ditmaal uit de wet van Hooke

(1.113):

TE0TE

1yyxxzzyyxxzzzz (4.24)

De algemene wet van Hooke met inbegrip van thermische effecten (1.113) wordt in geval van

vlakvervorming (zz = 0) dan herleid tot:

G

T)1()1(E

1

T)1()1(E

1

xy

xy

xxyyyy

yyxxxx

(4.25)

Het inverse verband tussen spanning en rek met inbegrip van thermische effecten (1.114)

wordt dan voor vlakvervorming:


172

xyxy

yyxxzz

xxyyyy

yyxxxx

G

T21

E

)21)(1(

E

T21

E)1(

)21)(1(

E

T21

E)1(

)21)(1(

E

(4.26)

4.1.3. Hoofdrichtingen vlakspanning en vlakvervorming

Voor een isotroop materiaal zijn de hoofdrichtingen voor vlakspanning en vlakvervorming

dezelfde. Dit volgt ook onmiddellijk uit de algemene wet van Hooke (1.85): als de

schuifspanningen xy, xz en yz nul zijn, dan zijn ook de corresponderende glijdingen xy, xz

en yz nul.


173

4.2. AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN

4.2.1. Basisformules voor axiaalsymmetrie

Axiaalsymmetrische belastingen komen heel vaak voor in geval van buizen, staven en

schijven, waarbij bv. een vloeistofdruk aangrijpt in de radiale richting, of een verwarmde

vloeistof/gas doorheen een pijpleiding stroomt en zo een radiale temperatuurgradiënt

veroorzaakt over de wanddikte van de pijp.

Onafhankelijk van de bovenstaande belastingsgevallen, blijven heel wat begrippen en

formules uit de voorgaande hoofdstukken onverminderd geldig. Alleen is het bij een

axiaalsymmetrische geometrie wel aangewezen om eerst over te gaan op cilindercoördinaten

( re

,

e , z

e

). De z-as is altijd de as van axiaalsymmetrie en ligt dus in de lengterichting van

de buis/staaf/schijf.


,

e en z

e

een rechtshandig

referentiestelsel, waarin men de spanningstensor als volgt definieert:

zzzrz

zr

rzrrr

][ (4.27)

Dus de ‘x’-index wordt vervangen door ‘r’ en de ‘y’-index door ‘’. De ‘z’-index blijft

uiteraard dezelfde.

De onderstaande figuur herhaalt nog eens de definitie van de spanningscomponenten in

cylindercoördinaten.

Figuur 4.5 Definitie van de spanningstensor in cylindercoördinaten.


174

Verder, vermits de vorm van de buis/staaf/schijf, net als de belastingen, axiaalsymmetrisch is

en de belasting gelijkmatig ondersteld wordt in de z-richting, is het duidelijk dat de

spanningen, rekken en verplaatsingen alleen van r zullen afhangen, en niet van . Dit brengt

een aanzienlijke vereenvoudiging van de rektensor met zich mee. Inderdaad, aangezien alle

afgeleiden naar nul zijn en ook u nul is, wordt de rektensor in cylindercoördinaten uit

hoofdstuk 1 vereenvoudigd tot:

dz

du00

0r

u0

00dr

du

22

22

22

][

z

r

r

zzzrz

zr

rzrrr

(4.28)

Merk op dat hoewel u = 0 (per definitie voor axiaalsymmetrie), de rek (en ook de

spanning ) helemaal niet nul hoeft te zijn !

Uit bovenstaande vergelijkingen volgt ook onmiddellijk dat de radiale verplaatsing ur

eenvoudig kan berekend worden uit de tangentiële rek als:

ru r (4.29)1

Hoewel het intuïtief logisch lijkt om te schrijven dat ur = rrr, is dit foutief. Als men van

rr wil vertrekken voor de berekening van ur, moet men de functie rr(r) integreren.

In dit rechtshandig cylindrisch assenstelsel blijft ook de wet van Hooke onverminderd geldig,

alleen wordt de ‘x’-index opnieuw vervangen door ‘r’ en de ‘y’-index door ‘’. De ‘z’-index

blijft uiteraard dezelfde:

rrzzzz

zzrr

zzrrrr

E

1E

1E

1

(4.30)

Merk op dat alle glijdingen en schuifspanningen bij definitie nul zijn, als gevolg van de

onderstellingen van axiaalsymmetrie.

Voor het geval van een axiale drukbelasting op de buis (zz < 0), zijn de radiale

verplaatsingen ur van de binnenrand én de buitenrand positief, dus de buis verplaatst globaal

naar buiten in de radiale richting:

E

ru zzr

(4.31)

1 De formules, die met een kader errond zijn gemarkeerd, dient men van buiten te kennen. Deze afspraak geldt

voor de volledige cursus.


175

Net zo goed blijven de uitdrukkingen voor thermische rekken geldig:

0

0

0

T

T

T

z

rz

r

zz

rr

(4.32)

En dus ook de wet van Hooke met thermische belasting:

TE

1

TE

1

TE

1

rrzzzz

zzrr

zzrrrr

(4.33)

Alle bovenstaande vergelijkingen zijn onverminderd geldig, ongeacht of het gaat om een

volle staaf, een holle buis of een dunne schijf.

Een laatste vraag, die men zich in geval van axiaalsymmetrie altijd moet stellen, is of men een

vereenvoudigende veronderstelling kan maken over de spanning of vervorming in de z-

richting (de as van axiaalsymmetrie). Dit is analoog met de onderstellingen van vlakspanning

of vlakvervorming in sectie 4.1. Er zijn drie basisgevallen:

vlakspanning: zz = 0

vlakvervorming: zz = 0

lange buis met vrije uiteinden: de buis kan vrij uitzetten in de z-richting, maar de

spanning in de z-richting is niet noodzakelijk nul, behalve op de eindvlakken (op een

vrij uiteinde is de spanning zz per definitie gelijk aan nul).

Het is duidelijk dat de vereenvoudigende veronderstelling alleen opgaat voor de as van

axiaalsymmetrie. Als bv. verplaatsingen verhinderd worden in het (r,) vlak, is dat zeker geen

vlakvervorming. Zo kan bijvoorbeeld de verplaatsing ur aan de binnen- of buitenrand van een

buis nul zijn, maar de rekken rr of zijn daarom zeker niet nul in het volledige (r,) vlak.

In deze cursus worden vier basisgevallen van axiaalsymmetrische belasting beschouwd:

axiale belastingen (in de z-richting)

een constant temperatuurveld T

inwendige en/of uitwendige radiale trek- of drukspanningen

een radiaal variërend temperatuurveld T(r)

In vele gevallen is de werkelijke belasting een superpositie van twee of meer basisgevallen.

Voor de eerste twee basisgevallen (axiale belasting en constant temperatuurveld) volstaan de

basisformules die hierboven zijn opgelijst.

De laatste twee basisgevallen omvatten een radiale belasting (mechanisch of thermisch). Voor

deze basisgevallen worden de algemene vergelijkingen afgeleid in de volgende paragraaf.


176

4.2.2. Opstellen algemene vergelijkingen voor radiale belastingen

Beschouwt men het evenwicht van een mootje uit een axiaalsymmetrische schijf, zoals


Figuur 4.6 Axiaalsymmetrische schijf [9].

De axiaalsymmetrische schijf is begrepen tussen r = a en r = b. De beschouwde belastingen

zijn:

een gegeven normaalspanning op r = a: rr = a

een gegeven normaalspanning op r = b: rr = b

Zoals eerder gesteld, zijn alle spanningen, rekken en verplaatsingen enkel functie van r.

Bovendien kunnen alle onbekenden afgeleid worden uit het verplaatsingsveld ur(r) in radiale

richting, zodat men slechts één differentiaalvergelijking nodig heeft in functie van de

onbekende ur(r). Deze differentiaalvergelijking kan men bekomen door uitdrukking van het

evenwicht van de beschouwde moot in de richting van re

:

02

ddrh2drhddr)rh(

dr

ddrh rrrrrr

(4.34)

waaruit, na vereenvoudiging:

0h)rh(dr

drr (4.35)


177

In het bijzonder geval dat de dikte van de schijf constant is, komt men tot de

differentiaalvergelijking:

0)r(dr

drr (4.36)

Er worden nu twee belastingsgevallen beschouwd:

op de binnen- en buitenrand wordt de schijf belast met een trek- of drukspanning,

de schijf wordt belast met een radiaal temperatuurveld T(r).

Voor de eenvoud van de vergelijkingen wordt verder ondersteld dat de dikte h van de schijf

inderdaad constant is en dus h(r) = h.

Bij het opstellen van de algemene evenwichtsvergelijkingen voor de schijf werd echter geen

onderstelling gemaakt over de aard van de spanningen in de z-richting. Er werd enkel

verondersteld dat de belasting gelijkmatig is in de z-richting. Daarom moet opnieuw

onderscheid gemaakt worden tussen de drie basisgevallen:

vlakspanning

vlakvervorming

lange buis met vrije uiteinden

4.2.3. Trek- of drukspanningen op de binnen- en buitenrand

4.2.3.a. Schijf in vlakspanning

Zoals hierboven vermeld, blijft de wet van Hooke geldig in een cylindrisch assenstelsel, zodat

in geval van vlakspanning het verband tussen rek en spanning, analoog met (4.3), wordt:

0

E

E

1E

1

r

rrzz

rr

rrrr

(4.37)

Analoog met (4.4) wordt het inverse verband tussen spanning en rek:

0

)1(

E)1(

E

r

rr2

rr2rr

(4.38)

Om nu de algemene evenwichtsvergelijking (4.36) volledig in functie van ur(r) te schrijven,

worden eerst de spanningen geschreven in functie van de rekken m.b.v. vergelijking (4.38).


178

Vervolgens moeten de rekken uitgedrukt worden in functie van de verplaatsing ur(r). Gebruik

makend van vergelijking (4.28), wordt uitdrukking (4.38) voor de spanningen:

dr

du

r

u

)1(

E

r

u

dr

du

)1(

E

2

2rr

(4.39)

Substitueert men deze uitdrukkingen in de evenwichtsvergelijking (4.36), dan bekomt men:

0r

u

dr

du

dr

udr

2

2

(4.40)

Deze vergelijking blijkt een gewone differentiaalvergelijking te zijn met één onbekende ur(r).

Men kan eenvoudig aantonen dat volgende functie ur(r) een oplossing is van deze


r

CrC)r(u 2

1 (4.41)

met C1 en C2 twee constanten.

De spanningen rr en kunnen dan met behulp van (4.39) geschreven worden als:

221

221

221

221rr

r

1'C'C

r

1

1

EC

1

EC

r

1'C'C

r

1

1

EC

1

EC

(4.42)

De twee integratieconstanten kan men nu bepalen aan de hand van de randvoorwaarden:

r = a: rr = a

r = b: rr = b

Daaruit volgt:

22

ba

22

2

22

b

2

a

2

1

ba

ba'C

ba

ba'C

(4.43)

waarmee (4.42) wordt:


179

2

2

22

2

b2

2

22

2

a

2

2

22

2

b2

2

22

2

arr

r

a1

ba

b

r

b1

ba

a

r

a1

ba

b

r

b1

ba

a

(4.44)

Deze formules staan ook bekend als de formules van Lamé.

Met het gekende verband tussen de integratieconstanten (C’1, C’2) en (C1, C2) kan de

verplaatsing ur(r) (4.41) uiteindelijk geschreven worden als:

r

a)1(r)1(

ba

b

Er

b)1(r)1(

ba

a

E)r(u

2

22

2

b

2

22

2

ar (4.45)

Hoewel in vlakspanning zz = 0, is de rek zz niet nul. Deze kan eenvoudig berekend worden

als volgt:

22

b

2

a

2

rrzzba

ba

E

2)(

E

(4.46)

Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = 0), moet de verplaatsing

ur(r = 0) = 0 zijn. Daaruit volgt dat de integratieconstante C2 = 0 en bijgevolg:

brr (4.47)

De verplaatsing ur(r) wordt in dat geval:

rE

1)r(u br

(4.48)

4.2.3.b. Schijf in vlakvervorming

Men vertrekt opnieuw van de algemene differentiaalvergelijking van het evenwicht (4.36).

Ditmaal gelden de uitdrukkingen voor de spanningen rr en in geval van vlakvervorming.

Zoals vermeld in paragraaf 1.5.4., blijft de wet van Hooke geldig in een kromlijnig

assenstelsel, zodat in geval van vlakvervorming het verband tussen rek en spanning, analoog

met (4.16), wordt:

0

)1(E

1

)1(E

1

r

rr

rrrr

(4.49)

Analoog met (4.17) wordt het inverse verband tussen spanning en rek:


180

0)21)(1(

E

)1()21)(1(

E

)1()21)(1(

E

r

rrzz

rr

rrrr

(4.50)

Om opnieuw de algemene evenwichtsvergelijking (4.36) volledig in functie van ur(r) te

schrijven, worden eerst de spanningen geschreven in functie van de rekken m.b.v.

vergelijking (4.50). Vervolgens moeten de rekken uitgedrukt worden in functie van de

verplaatsing ur(r). Dit is opnieuw mogelijk door toepassing van vergelijking (4.28):

r

udr

du

r

rrr

(4.51)

Uitdrukking (4.50) voor de spanningen wordt dan:

0

r

u

dr

du

)21)(1(

E

dr

du

r

u)1(

)21)(1(

E

r

u

dr

du)1(

)21)(1(

E

r

zz

rr

(4.52)

Substitueert men deze uitdrukkingen in de evenwichtsvergelijking (4.36), dan bekomt men:

0r

u

dr

du

dr

udr

2

2

(4.53)

Deze vergelijking is opnieuw een gewone differentiaalvergelijking met één onbekende ur(r).

Het is belangrijk op te merken dat deze oplossing net dezelfde is als voor vlakspanning.

Men kan eenvoudig aantonen dat volgende functie ur(r) een oplossing is van deze


r

CrC)r(u 2

1 (4.54)

met C1 en C2 twee constanten.

De spanningen rr en kunnen dan met behulp van (4.52) geschreven worden als:


181

221

221

221

221rr

r

1'C'C

r

1

1

EC

)21)(1(

EC

r

1'C'C

r

1

1

EC

)21)(1(

EC

(4.55)

Vermits de randvoorwaarden dezelfde zijn als voor vlakspanning, bekomt men voor

vlakvervorming dezelfde waarden voor C’1 en C’2 (zie (4.43)). Bijgevolg zijn de spanningen

rr en ook dezelfde als voor vlakspanning:

2

2

22

2

b2

2

22

2

a

2

2

22

2

b2

2

22

2

arr

r

a1

ba

b

r

b1

ba

a

r

a1

ba

b

r

b1

ba

a

(4.56)

Omdat het verband tussen de integratieconstanten (C’1, C’2) en (C1, C2) echter voor

vlakvervorming anders is dan voor vlakspanning, is de verplaatsing ur(r) niet dezelfde !

r

ar)21(

ba

b)1(

Er

br)21(

ba

a)1(

E)r(u

2

22

2

b

2

22

2

ar (4.57)

Hoewel in vlakvervorming zz = 0, is de spanning zz niet nul. Deze kan eenvoudig berekend

worden als volgt:

22

b

2

a

2

rrzzba

ba2)(

(4.58)


ur(r = 0) = 0 zijn. Daaruit volgt dat de integratieconstante C2 = 0 en bijgevolg:

brr (4.59)

De verplaatsing ur(r) wordt in dit geval:

rE

211)r(u br

(4.60)

4.2.3.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming

Het is niet toevallig dat de spanningen rr en dezelfde waarde hebben in vlakspanning en

vlakvervorming voor de axiaalsymmetrische schijf met constante dikte. Men kan algemeen


182

aantonen dat de spanningen rr en dezelfde waarde hebben voor vlakspanning en

vlakvervorming, als en alleen maar als [6]:

de volumekrachten afleidbaar zijn van een potentiaal V waarvoor de laplaciaan 0V2 .

Aangezien het gaat om een statische schijf en de traagheidskrachten dus nul ondersteld

werden, is de potentiaal constant en is de voorwaarde van de laplaciaan voldaan. Men kan

inderdaad aantonen dat als men de traagheidskrachten wél in rekening brengt, de

differentiaalvergelijking in ur(r) er anders uitziet in vlakspanning dan in vlakvervorming,

zodat ook de spanningen rr en niet dezelfde zullen zijn,

de randvoorwaarden op ST (spanningsvector )n(

) en SU (voorgeschreven verplaatsingen)

dezelfde zijn in beide gevallen.

Het is zeer belangrijk te onthouden dat dit verband tussen vlakspanning en vlakvervorming

enkel geldt onder de hierboven vermelde voorwaarden en bovendien enkel geldt voor de

spanningen. Bij gelijke spanningen zijn de rekken en verplaatsingen in vlakspanning en

vlakvervorming immers niet gelijk !

Men kan nu voor verschillende waarden van de verhouding a/b (verhouding

binnenstraal/buitenstraal) de spanningen rr en grafisch voorstellen als functie van (i) de

straal r, (ii) de trek- of drukspanning a op de binnenrand, en (iii) de trek- of drukspanning b

op de buitenrand. Vermits in dit geval de spanningen rr en precies dezelfde zijn in

vlakspanning en vlakvervorming, hoeft men de grafieken maar één keer op te stellen.

Figuur 4.7 stelt de spanningen rr en voor als er enkel een belasting a op de binnenrand

aangrijpt, terwijl Figuur 4.8 de spanningen rr en voorstelt als er enkel een belasting b op

de buitenrand aangrijpt. Zoals uiteengezet in paragraaf 1.6.2., kan men voor een

gecombineerde belasting van a op de binnenrand en b op de buitenrand het

superpositieprincipe toepassen en de spanningen van beide afzonderlijke belastingsgevallen

optellen.


183

Figuur 4.7 Spanningen rr en voor een schijf met enkel belasting op de binnenrand [9].


184

Figuur 4.8 Spanningen rr en voor een schijf met enkel belasting op de buitenrand [9].


185

4.2.3.d. Lange buis met vrije uiteinden

Tot hier toe werden twee gevallen beschouwd: (i) vlakspanning, en (ii) vlakvervorming. In

geval van een lange buis met vrij beweegbare uiteinden gaat geen van de twee onderstellingen

op. Om in dit laatste geval de spanningen en vervormingen te bepalen, kan men echter een

superpositie toepassen van twee afzonderlijke belastingsgevallen:

vlakvervorming, waarbij zz = 0 en zz wordt gegeven door uitdrukking (4.58). De

spanningen rr en , de vervormingen rr en en de verplaatsing ur(r) worden berekend

met de formules van vlakvervorming,

een axiale belasting van de buis, waarbij de spanning -zz in alle punten van de twee

eindvlakken wordt opgelegd als een uitwendige belasting. De bijhorende vervormingen

van dit belastingsgeval zijn:

E

E

E

zzzz

zz

zzrr

(4.61)

De bijhorende radiale verplaatsing ur(r) kan dan eenvoudig berekend worden:

rba

ba

E

2dr)r(u

22

b

2

a

22

rrr

(4.62)

Superpositie van beide belastingsgevallen leidt dan tot zz = 0 in de langsrichting van de buis,

terwijl de vervormingen van beide belastingsgevallen worden opgeteld.

Het is belangrijk op te merken dat de superpositie van beide belastingsgevallen dezelfde

waarde oplevert voor de spanningen rr en , de verplaatsing ur(r) en de rek zz als in het

geval van vlakspanning. Omdat de rek zz voor vlakspanning constant is in elke

dwarsdoorsnede en dus elke dwarsdoorsnede vlak blijft, kunnen de verschillende

dwarsdoorsnedes van een lange buis inderdaad spanningsloos aan elkaar worden gezet.


186

Voorbeeld 4.3

Gegeven zijn twee dunne schijven met volgende afmetingen:

Aluminium

Staal

70 mm

150 mm

200 mm

De materiaalparameters zijn:

aluminium:

C/100,32

0,3

GPa 72E

6-

1

1

1

staal:

C/1011,0

0,3

GPa 200E

6-

2

2

2

Gevraagd:

a) als men de temperatuur verhoogt van 20 C naar 80 C, wat is dan de contactspanning

tussen de aluminium schijf en de stalen schijf ?

b) als de temperatuur gehandhaafd blijft op 80 C, welke bijkomende radiale drukspanning

moet men opleggen aan de buitenrand van de stalen schijf opdat de contactdruk tussen de

aluminium schijf en de stalen schijf precies -100 MPa zou bedragen ?


4.2.4. Radiaal temperatuurveld

Het tweede beschouwde belastingsgeval voor de axiaalsymmetrische schijf met constante

dikte h is een thermische belasting T(r). Opnieuw kan men onderscheid maken tussen (i)

vlakspanning, en (ii) vlakvervorming.

4.2.4.a. Schijf in vlakspanning

Onderstel opnieuw een schijf met constante dikte. Ditmaal wordt enkel een radiaal variërend

temperatuursveld T(r) opgelegd. Het is duidelijk dat de differentiaalvergelijking (4.36) voor

het evenwicht van een moot van deze schijf geldig blijft, maar het thermisch effect zit nu

vervat in de uitdrukking voor de spanningen.


187

Met behulp van vergelijkingen (4.13) en (4.28) voor vlakspanning vindt men onmiddellijk dat

de spanningen rr en worden:

T1

E

dr

du

r

u

)1(

E

T1

E

r

u

dr

du

)1(

E

2

2rr

(4.63)

De differentiaalvergelijking (4.36) voor het evenwicht van een moot van de schijf kan dan

geschreven worden in functie van de radiale verplaatsing ur(r):

dr

dTr)1(

r

u

dr

du

dr

udr

2

2

(4.64)

Men kan nagaan dat een algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking is:

r

a

21 drrT

r

1)1(

r

CrC)r(u (4.65)

De spanningen rr en kunnen dan geschreven worden als:

TEdrrTr

1E

r

1'C'C

TEdrrTr

1E

r

1

1

EC

1

EC

drrTr

1E

r

1'C'C

drrTr

1E

r

1

1

EC

1

EC

r

a

2221

r

a

2221

r

a

2221

r

a

2221rr

(4.66)

De randvoorwaarden zijn ditmaal dat de binnenrand en de buitenrand vrij zijn van spanning

rr, zodat:

voor r = a: rr = 0

voor r = b: rr = 0

Hiermee berekent men de waarden van de integratieconstanten:

b

a

22

2

2

b

a

221

drrTab

aE'C

drrTab

1E'C

(4.67)

Na enig rekenwerk vindt men voor de spanningen rr en volgende waarden:


188

TEdrrTr

1EdrrT

r

1

ab

arE

drrTr

1EdrrT

r

1

ab

arE

r

a

2

b

a

222

22

r

a

2

b

a

222

22

rr

(4.68)

Voor de radiale verplaatsing vindt men:

r

a

b

a

2

22r drrTr

)1(drrT

r

a)1(r)1(

ab

1)r(u (4.69)

Hoewel in vlakspanning zz = 0, is de rek zz niet nul. Deze kan berekend worden als volgt:

T1drrTab

2T)(

E

b

a

22rrzz

(4.70)


ur(r = 0) = 0 zijn. In de uitdrukkingen voor rr en en ur(r) volstaat het a = 0 te stellen.

Een voor de praktijk belangrijke toepassing van deze theorie is de berekening van de

thermische spanningen in een schijf waarbij de temperatuur van de binnenwand Ta – T0

bedraagt en de temperatuur van de buitenwand Tb – T0. Hierbij is T0 de referentietemperatuur

waarbij de schijf volledig spanningsloos is (kan verschillend zijn van 0 °C, bv.

kamertemperatuur).

Als men deze temperaturen oplegt aan de binnen- en buitenwand, zal zich na enige tijd een

stationaire toestand instellen, waarbij de temperatuur T(r) een bepaalde verdeling volgt

doorheen de dikte van de schijf. Deze verdeling kan men berekenen uit de warmtevergelijking

voor een homogeen en isotroop lichaam [9]:

c

QT

ct

T 2 (4.71)

waarbij T de temperatuur voorstelt, t de tijd, de warmtegeleidingscoëfficiënt, c de

soortelijke warmte, de soortelijke massa en Q de toegevoerde warmte per eenheid van tijd

en per eenheid van volume.

Als de stationaire toestand is bereikt (T/t = 0) en er geen warmte-toevoer of –afvoer gebeurt

(Q = 0), dan moet 0T2 . In cilindercoördinaten wil dit zeggen dat:

0r

T

r

1

r

T

0z

TT

r

1

r

T

r

1

r

T

2

2

2

2

2

2

22

2

(4.72)

De oplossing van deze differentiaalvergelijking is:


189

21 CrlnC)r(T (4.73)

De randvoorwaarden zijn:

r = a: T = Ta – T0

r = b: T = Tb – T0

De oplossing T(r) wordt dan:

a

bln

a

rln

TTTT)r(T ab0a (4.74)

waarbij ondersteld wordt dat de schijf volledig spanningsloos is op de referentietemperatuur

T0. Hiermee is:

22

0a

22

ab

r

a

arTT2

111

a

rln2

a

r

a

bln

aTT

4

1drr)r(T

(4.75)

Uitgewerkt worden de vergelijkingen (4.68) dan:

1a

rln

a

bln

ab

b

r

ar

a

bln2

TTE

a

rln

a

bln

ab

b

r

ar

a

bln2

TTE

22

2

2

22

ab

22

2

2

22

abrr

(4.76)

De term (Ta – T0) komt niet langer voor in de uitdrukking voor de spanningen. Vermits de

axiaalsymmetrische schijf in vlakspanning vrij kan uitzetten in alle richtingen, induceert de

constante term (Ta – T0) immers geen bijkomende thermische spanningen, zodat men voor de

berekening van de spanningen (niet voor de verplaatsingen !) mag rekenen met het

temperatuurveld:

a

bln

a

rln

TT)r(T ab (4.77)

Men kan nu opnieuw voor verschillende waarden van de verhouding a/b (verhouding

binnenstraal/buitenstraal) de spanningen rr en grafisch voorstellen als functie van (i) de

straal r, en (ii) het temperatuurverschil Tb – Ta. Figuur 4.9 stelt de spanningen rr en voor

een axiaalsymmetrische schijf in vlakspanning.

In de volgende paragraaf wordt de thermische belasting van een axiaalsymmetrische schijf in

vlakvervorming behandeld. Daaruit zal blijken dat de spanningen rr en niet langer

dezelfde zijn in vlakspanning en vlakvervorming.


190

Figuur 4.9 Spanningen rr en voor een schijf in vlakspanning met T = Ta aan de binnenwand en T = Tb

aan de buitenwand [9].


191

4.2.4.b. Schijf in vlakvervorming

Onderstel opnieuw een schijf met constante dikte. Opnieuw wordt enkel een radiaal variërend

temperatuurveld T(r) opgelegd. Het is duidelijk dat de differentiaalvergelijking (4.36) voor

het evenwicht van een moot van deze schijf geldig blijft, maar het thermisch effect zit

opnieuw vervat in de uitdrukking voor de spanningen.

Met behulp van vergelijkingen (4.26) en (4.51) voor vlakvervorming vindt men onmiddellijk

dat de spanningen rr en worden:

T21

E

dr

du

r

u)1(

)21)(1(

E

T21

E

r

u

dr

du)1(

)21)(1(

Err

(4.78)

De differentiaalvergelijking (4.36) voor het evenwicht van een moot van de schijf kan dan

geschreven worden in functie van de radiale verplaatsing ur(r):

dr

dTr

1

1

r

u

dr

du

dr

udr

2

2

(4.79)

Men kan nagaan dat een algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking is:

r

a

21 drrT

r

1

1

1

r

CrC)r(u (4.80)

De spanningen rr en kunnen dan m.b.v. (4.78) geschreven worden als:

T1

EdrrT

r

1

1

E

r

1'C'C

T1

EdrrT

r

1

1

E

r

1

1

EC

)21)(1(

EC

drrTr

1

1

E

r

1'C'C

drrTr

1

1

E

r

1

1

EC

)21)(1(

EC

r

a

2221

r

a

2221

r

a

2221

r

a

2221rr

(4.81)

De randvoorwaarden zijn ook hier dat de binnenrand en de buitenrand vrij zijn van spanning

rr, zodat:

voor r = a: rr = 0

voor r = b: rr = 0

Hiermee berekent men de waarden van de integratieconstanten:


192

b

a

22

2

2

b

a

221

drrTab

a

1

E'C

drrTab

1

1

E'C

(4.82)

Na enig rekenwerk vindt men voor de spanningen rr en volgende waarden:

T1

EdrrT

r

1

1

EdrrT

r

1

ab

ar

1

E

drrTr

1

1

EdrrT

r

1

ab

ar

1

E

r

a

2

b

a

222

22

r

a

2

b

a

222

22

rr

(4.83)

Voor de radiale verplaatsing vindt men:

r

a

b

a

2

22r drrTr

1

1

1drrT

r

ar)21(

ab

1

1

1)r(u (4.84)

In geval van vlakvervorming bestaat er ook een normaalspanning zz. Met behulp van

vergelijking (4.24) kan deze spanning berekend worden als:

TErrzz (4.85)

Met de gekende waarden voor rr en wordt deze uitdrukking:

T1

EdrrT

ab

1

1

E2b

a

22zz

(4.86)


ur(r = 0) = 0 zijn. In de uitdrukkingen voor rr en en ur(r) volstaat het a = 0 te stellen.

Een voor de praktijk belangrijke toepassing van deze theorie is de berekening van de

thermische spanningen in een dikwandige schijf waarbij de temperatuur van de binnenwand

Ta – T0 bedraagt en de temperatuur van de buitenwand Tb – T0. Hierbij is T0 opnieuw de

referentietemperatuur waarbij de schijf volledig spanningsloos is (kan verschillend zijn van 0

°C, bv. kamertemperatuur). Zoals berekend in het geval van vlakspanning, beantwoordt de

temperatuursverdeling T(r) in stationaire toestand aan de volgende vergelijking:

a

bln

a

rln

TTTT)r(T ab0a (4.87)


193

Ditmaal moet men de constante temperatuur (Ta – T0) ook in rekening brengen voor de

spanningen, omdat de de thermische uitzetting in de langsrichting van de buis verhinderd

wordt en dus ook een constante temperatuurstijging aanleiding zal geven tot een spanning zz.

De integraal van het temperatuurveld wordt dan opnieuw:

22

0a

22

ab

r

a

arTT2

111

a

rln2

a

r

a

bln

aTT

4

1drr)r(T

(4.88)

Uitgewerkt worden de vergelijkingen (4.83) dan:

1a

rln

a

bln

ab

b

r

ar

a

bln12

TTE

a

rln

a

bln

ab

b

r

ar

a

bln12

TTE

22

2

2

22

ab

22

2

2

22

abrr

(4.89)

Gebruik makend van vergelijking (4.86) wordt de normaalspanning zz:

0a22

2

abzz TTE

2a

rln

a

bln

ab

b

a

bln1

TTE

(4.90)

4.2.4.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming

In het geval van een radiaal temperatuurveld T(r) hebben de spanningen rr en niet

dezelfde waarde in vlakspanning en vlakvervorming voor de stilstaande schijf met constante

dikte. Vergelijk daartoe de uitdrukkingen (4.68) en (4.83). Zoals reeds vermeld in paragraaf

4.2.3.c, moeten twee voorwaarden voldaan zijn opdat de spanningen in vlakvervorming en

vlakspanning dezelfde zouden zijn:

de volumekrachten moeten afleidbaar zijn van een potentiaal V waarvoor de laplaciaan

0V2 ,

de randvoorwaarden op ST (spanningsvector )n(

) en SU (voorgeschreven verplaatsingen)

moeten dezelfde zijn in beide gevallen.

Men kan aantonen dat het beschouwen van een temperatuurveld mathematisch equivalent is

met het in rekening brengen van de potentiaal van de volumekrachten [6,9]. De spanningen

rr en voor vlakspanning en vlakvervorming zouden dus dezelfde zijn als geldt dat:

0z

TT

r

1

r

T

r

1

r

T0T

2

2

2

2

22

22

(4.91)


194

Zoals aangetoond in paragraaf 4.2.4.a, is deze voorwaarde nochtans voldaan voor het speciaal

geval van een stationair temperatuurveld T(r) met T(r = a) = Ta en T(r = b) = Tb. Toch zijn de

spanningen rr en voor vlakspanning en vlakvervorming zelfs in dit speciale geval niet

dezelfde, omdat de tweede voorwaarde (nl. dezelfde randvoorwaarden) niet vervuld is.

Inderdaad, op het eerste zicht lijken de randvoorwaarden dezelfde: T(r = a) = Ta en T(r = b) =

Tb. De randvoorwaarden op ST moeten echter uitgedrukt worden in functie van de

spanningsvector )n(

, zodat geldt: rr(r = a) = 0 en rr(r = b) = 0. Deze randvoorwaarde is

echter niet dezelfde, omdat precies de term die de temperatuur bevat, verschilt voor rr in

vlakspanning (zie vergelijking (4.13)) en vlakvervorming (zie vergelijking (4.26)).

4.2.4.d. Lange buis met vrije uiteinden

In geval van een lange buis met vrije uiteinden moet de axiale kracht Nz verdwijnen op de

uiteinden, zodat dit geval kan beschouwd worden als een superpositie van twee

belastingsgevallen:

vlakvervorming, waarbij zz = 0 en zz wordt gegeven door uitdrukking (4.86). De

spanningen rr en en de vervormingen rr en worden berekend met de formules van

vlakvervorming. De axiale resulterende kracht Nz van de spanningen zz wordt gegeven

door:

b

a

b

a

2

0

b

a

2

0

b

a

22

b

a

zz

2

0

z

drrTE2

drrTd1

EdrrddrrT

ab

1

1

E2

drrdN

(4.92)

een axiale belasting van de buis, waarbij de kracht -Nz in alle punten van de twee

eindvlakken wordt opgelegd als een uitwendige belasting. De bijhorende spanning zz van

dit belastingsgeval is:

b

a

2222

zzz drrT

ab

1E2

ab

N (4.93)

Voor de lange buis met vrije uiteinden is de totale spanning zz dus:

T1

EdrrT

ab

1

1

E2b

a

22zz

(4.94)

Het is belangrijk op te merken dat deze formule enkel geldt op voldoende afstand van de

eindvlakken van de buis, want op de vrije eindvlakken van de buis moet gelden: zz = 0.


195

Ditmaal vindt men bij superpositie van beide belastingsgevallen niet de oplossing van

vlakspanning terug. Bij schijven in vlakspanning, belast met een radiaal temperatuurveld, is

de rek zz immers niet langer constant over de dwarsdoorsnede, maar wel een functie van r.

Bij lange buizen ontstaat dus een spanning zz ten gevolge van de verhinderde welving van de

dwarsdoorsnedes.

Voorbeeld 4.4

Gegeven is een dunne stalen schijf, langs zijn buitenrand geklemd in een starre wand:

100 mm

200 mm

De binnenstraal van de schijf is 100 mm, de buitenstraal 200 mm. De eigenschappen van het

staal zijn:

E = 200 GPa

= 0,3

= 11,0 × 10-6 /°C

Bij een omgevingstemperatuur van 20 °C is de stalen schijf spanningsloos.

Als men aan de binnenrand van de schijf een temperatuur oplegt van 50 °C en aan de

buitenrand een temperatuur van 100 °C, wat is dan de contactspanning tussen de stalen schijf

en de starre wand (die niet vervormt bij de verhoogde temperatuur) ?



196

Stappenplan voor de berekening van axiaalsymmetrische schijven:


197

4.3. SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN

Spanningsconcentraties kunnen velerlei oorzaken hebben:

plotse veranderingen in dwarsdoorsnede, zoals in de draad van een bout, aan de tanden van

een tandwiel, bij gaten in platen en balken...,

contactdrukken op de plaats waar belastingen worden ingeleid in het materiaal, zoals bij de

oplegpunten van een balk, de contactpunten van de treinwielen met de rails, de

contactpunten van tandwielen of kogellagers,

discontinuïteiten in het materiaal zelf, zoals luchtporositeiten in beton, knoesten in houten

planken,...,

initiële, ongelijkmatig verdeelde spanningen in het materiaal t.g.v. koudwalsen,

dieptrekken of warmtebehandeling van metalen, krimp in gietijzer of beton,

lasbewerkingen,...,

Een belangrijk probleem is dit van de spanningsconcentratie rond een opening in een plaat.

Dergelijk geval komt zeer veel voor in de praktijk en is afgebeeld in Figuur 4.10. Een dunne,

vlakke plaat heeft een ronde opening met straal a. Voldoende ver van de opening wordt een

gelijkmatige trekspanning xx aangelegd. In de buurt van de opening wil men nu de

spanningsverdeling kennen. Als het een dunne, vlakke plaat betreft, kan men de plaat

berekenen in vlakspanning. Bovendien kan men overgaan op polaire coördinaten (re

,

e ).

Figuur 4.10 Spanningsconcentratie aan een ronde opening in een plaat [9].

Opnieuw gebruik makend van de elasticiteitsleer, kan men aantonen dat de spanningen rr,

en r in de buurt van de ronde opening volgende waarden aannemen [9]:


198

4

4

2

2

xxr

4

4

2

2

xx

4

4

2

2

2

2

xxrr

r

a3

r

a212sin

2

r

a312cos

r

a1

2

r

a3

r

a412cos

r

a1

2

(4.95)

Het verloop van de spanning in het vlak = 2

is afgebeeld op Figuur 4.11.

Figuur 4.11 Verloop van de spanning in het vlak = 2

[9].

In het punt r = a, = 2

neemt de grootste waarde aan die één van de

spanningscomponenten ergens aanneemt, namelijk xx3 . De aanwezigheid van de opening

leidt dus tot een plaatselijke verhoging van de spanning met een factor drie. De spanning

neemt zeer snel af wanneer men zich van de rand van de opening verwijdert. Voor r = 2a is

nog slechts xx22,1 , en voor r = 3,525a is nog slechts xx05,1 . De verhoging van

de spanning is dus beperkt tot een vrij klein gebied.

Op de rand van de opening (r = a) worden de formules (4.95) herleid tot:

0

2cos21

0

r

xx

rr

(4.96)


199

Het verloop van over de omtrek van de ronde opening is afgebeeld in Figuur 4.12. In

= 0 en = vindt men de drukspanning = -xx, terwijl men in = 2

een

trekspanning = xx3 aantreft.

Figuur 4.12 Spanning op de rand van de ronde opening [9].

Dergelijke spanningsconcentraties treden op bij allerhande dwarsdoorsnedeveranderingen of

plotse veranderingen van geometrie. Voor vele praktijkgevallen zijn deze

spanningsconcentraties berekend en getabelleerd. Figuur 4.13 toont het voorbeeld van een

diagram, waar men voor bepaalde dwarsdoorsnedeveranderingen van een stalen as de

spanningsconcentratiefactor kan aflezen.


200

Figuur 4.13 Voorbeeld van berekende spanningsconcentratiefactoren voor een stalen as met een

dwarsdoorsnedeverandering [15].

Het is belangrijk op te merken dat, hoe kleiner de kromtestraal van de uitsparing in de as,

hoe groter de spanningsconcentratiefactor is.


201

4.4. REFERENTIES




641 pp.

[3] Sierakowski, R.L. and Chaturvedi,S.K. (1997). Dynamic loading and characterization

of fiber-reinforced composites. New York, John Wiley & Sons, 252 pp.

[4] Verheest, F. (1993). Theoretische mechanica. Gent, Universiteit Gent, Vakgroep

wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, 295 pp.


pp.




Sons Ltd, 434 pp.


Publishers, 493 pp.




672 pp.



[12] Zaat, J.H. (1975). Technische metaalkunde. Deel 3: Staal en gietijzer. Amsterdam,

Elsevier, 226 pp.



[14] Filonenko-Borodich, M. (1963). Theory of elasticity. Moscow, Peace Publishers, 394

pp.



[16] Mallick, P.K. (1997). Composites Engineering Handbook. New York, Marcel Dekker

Inc.



202

Hoofdstuk 5

Mechanische eigenschappen en

Materiaalmodellen

In hoofdstuk 1 werd het lineair elastisch gedrag van (i) homogene isotrope en van

(ii) gehomogeniseerde anisotrope materialen besproken. Er werd duidelijk aangetoond dat de

definities van spanning en rek niet afhangen van de materiaaleigenschappen en algemeen

geldig zijn. De wet van Hooke daarentegen stelt een verband voor tussen spanning en rek, en

dit verband is wel degelijk afhankelijk van de materiaaleigenschappen. Voor een homogeen

en isotroop materiaal zijn dit de elasticiteitsmodulus E, de glijdingsmodulus G en de Poisson-

coëfficiënt . Voor anisotrope materialen daarentegen zijn deze elastische eigenschappen

verschillend in diverse richtingen.

Anderzijds werd met behulp van de trekproef op staal in paragraaf 1.2 duidelijk aangetoond

dat het lineair elastisch gebied slechts een zeer beperkte zone voorstelt in het volledige

materiaalgedrag tot aan breuk. Toch is dit beperkt gebied van cruciaal belang voor het

ontwerp van de overgrote meerderheid van de ingenieurstoepassingen, vandaar dat het

volledige eerste hoofdstuk werd gewijd aan het lineair elastisch materiaalgedrag.

In dit hoofdstuk wordt de blik verruimd en wordt ook het mechanisch gedrag van materialen

buiten het lineair elastisch gebied besproken. Er wordt een overzicht geboden van de

verschillende beproevingsmethodes en materiaalmodellen om dit vaak complexe

materiaalgedrag te karakteriseren én te simuleren.

Bovendien zal blijken dat het vaak noodzakelijk is om de strategie inzake beproeving en

modellering aan te passen aan het type materiaal. Ingenieursmaterialen zijn immers méér dan

staal en beton. Structurele materialen worden meestal ingedeeld in zes grote categorieën [1]:

ferro-legeringen (ijzer, en alle legeringen op basis van ijzer: staal, gietijzer,...). De

jaarlijkse tonnage van ijzer die door de industrie wordt verbruikt, bedraagt 90 % van de

tonnage van alle metallische elementen. Bovendien is ijzer het vierde meest voorhanden

zijnde chemisch element op aarde. De energiekost voor de ontginning uit ijzerertsen is vrij

laag en de beschikbare reserves zijn nog aanzienlijk. Ferro-legeringen vormen dan ook de

belangrijkste klasse van industriële materialen. De belangrijkste ferro-legeringen zijn de

legeringen van ijzer met koolstof, waarbij men onderscheid maakt tussen gietijzer (meer

dan 2 % koolstof) en staal (koolstofgehalte tussen 0,02 % en 2 %),

non-ferro-legeringen zijn alle metalen en hun legeringen die niet gebaseerd zijn op ijzer

(koper, zilver, goud, aluminium, magnesium, titanium, nikkel, lood). Aangezien ijzer

goedkoper is dan alle overige metallische elementen, worden non-ferro-legeringen slechts

gebruikt voor eigenschappen die een (goedkopere) ijzerlegering niet kan leveren: hoge

elektrische en thermische conductiviteit, goede weerstand tegen corrosie, hoge

sterkte/gewicht verhouding,...

polymeren bevatten alleen niet-metallische elementen en zijn materialen opgebouwd uit

lange ketens van hoofdzakelijk koolstof en waterstof. Het zijn meestal materialen met een

lage dichtheid en lage smeltpunten. Ze zijn gemakkelijk vervormbaar en hebben een

slechte thermische en elektrische geleidbaarheid,

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen

203

composieten zijn materialen die bestaan uit twee of meerdere afzonderlijke fasen. Voor

ingenieursdoeleinden gaat het meestal om vezelversterkte kunststoffen, maar ook

vezelversterking van metalen en keramieken wordt steeds meer toegepast. Het grootste

voordeel van deze materialen is hun hoge stijfheid en sterkte t.o.v. hun soortelijke massa.

Eén van de natuurlijke composietmaterialen is hout met vezels van cellulose,

keramische materialen worden meestal gedefinieerd als verbindingen van metallische

elementen met niet-metallische elementen, die zich ofwel in een kristallijne of amorfe

toestand bevinden. De belangrijkste keramische materialen zijn de metaaloxides (Al2O3,

SiO2, Na2O) en –carbides (SiC). Het zijn typisch harde en brosse materialen, die een zeer

hoge temperatuurbestendigheid hebben. Het hardste keramische materiaal is diamant, een

monokristallijne toestand van zuivere koolstof.

De belangrijkste klasse van keramische materialen zijn de glassoorten (SiO2). De twee

meest voorhanden zijnde elementen op aarde zijn immers precies zuurstof en silicium. In

kristallijne vorm spreekt men van kwarts, in amorfe vorm van glas.

steen, beton en gewapend beton bestaan uit mineralen. De laatste jaren zijn beton en

gewapend beton de belangrijkste constructiematerialen geworden, met een grotere

jaarlijkse tonnage dan staal en hout. Beton is een mengsel van cement, granulaten en water.

Deze steenachtige materialen hebben een bijzonder hoge druksterkte, maar hebben een

(zeer) lage treksterkte. Vandaar dat beton vaak versterkt wordt met een staalwapening die

de nodige sterkte in trek levert.

Om het mechanisch gedrag van elk van deze materialen te karakteriseren en de nodige

parameters voor bv. de wet van Hooke te bepalen, zijn tal van beproevingsmethodes

ontworpen, die soms heel specifiek zijn voor de gekozen materiaalklasse. De klassieke

trekproef is uiteraard één van de meest verspreide en gebruikte testmethodes, maar er bestaan

nog tal van andere. In de volgende paragraaf worden deze beproevingsmethodes kort

besproken, alsook de materiaalparameters die men uit deze proeven kan afleiden.

5.1. MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES

Het belang van experimentele karakterisering van het materiaal valt niet te onderschatten.

Hoewel het computertijdperk toelaat om steeds meer materiaaleigenschappen theoretisch te

gaan schatten, zijn experimenten onontbeerlijk. Het belang van experimentele testen kan

overigens zeer verscheiden zijn:

als kwalificatie van constructiematerialen. Voor belangrijke constructies (bv.

vliegtuigbouw) wordt er reeds in de ontwerpfase een uitvoerig onderzoek gevoerd naar een

beperkt aantal “kandidaat-bouwmaterialen”, teneinde het materiaal te kiezen dat het meest

geschikt is voor het beoogde doel,

voor het ontwerp heeft men altijd bepaalde materiaaleigenschappen nodig: stijfheid,

sterkte,... en deze worden bepaald uit mechanische proeven,

de kwaliteitscontrole bij de levering van de materialen (bv. van de aluminiumproducent

aan de vliegtuigbouwer) kan een aantal mechanische proeven omvatten. Meestal kent men

in dit geval reeds de eigenschappen van het materiaal, maar wil men deze opnieuw

controleren,

de kwaliteitscontrole van de productie, waarbij men via een aantal mechanische proeven

nagaat of de mechanische eigenschappen van het geproduceerde materiaal voldoen aan de

minimumnormen.


204

Voor mechanische proeven bestaan talrijke normen. De meeste bekende organisaties voor

normalisatie zijn:

- ISO = International Standard Organization

- ASTM = American Society for Testing and Materials

- DIN = Deutsche Industrie Norm

- BS = British Standards

- EN = European Norm

- NBN = Norme Belge / Belgische Norm

- AFNOR = Association Française de NORmalisation

Deze paragraaf geeft nu een overzicht van de meest gebruikte testmethodes en de typische

resultaten die zij opleveren.

5.1.1. Trek- en drukproeven

Eén van de belangrijkste proeven is de trek- of drukproef. Hoewel met deze proef vele

belangrijke mechanische eigenschappen van een materiaal kunnen worden vastgesteld, wordt

hij hoofdzakelijk gebruikt om de relatie tussen de spanning en de rek te bepalen in tal van

constructiematerialen, zoals metalen, keramiek, polymeren en composieten. De meeste

hydraulische trekbanken kunnen een maximale trekkracht opleggen van 100 kN. De klauwen,

waarin de uiteinden van het proefstuk worden gevat, zijn dan ook zeer massief uitgevoerd (zie

Figuur 5.1).

Figuur 5.1 Hydraulische trekbank voor trekproeven.

Op basis van de gelijktijdige meting van kracht en verlenging kan de spanning en haar

bijhorende vervorming in de proefstaaf worden berekend en de resultaten vervolgens grafisch


205

worden weergegeven. Zoals reeds aangegeven in paragraaf 1.2, heet de kromme die hieruit

ontstaat, het spanning-rek diagramma, waarbij:

0

0

L

L

A

F

(5.1)

met A0 en L0 respectievelijk de oorspronkelijke dwarsdoorsnede en lengte van de proefstaaf,

en F en L de opgelegde kracht en daarbij horende verlenging.

Op basis van dit spanning-rek diagramma kan men materialen gaan onderverdelen in twee

grote klassen: (i) ductiele materialen, en (ii) brosse materialen.

Ductiele materialen kunnen zeer grote vervormingen ondergaan voordat breuk optreedt. Deze

zeer grote rekken gaan uiteraard gepaard met een waarneembare vervorming van de

dwarsdoorsnede en geven dus een zichtbare waarschuwing dat breuk kan optreden. Typische

voorbeelden van ductiele materialen zijn zacht staal, aluminium en sommige van zijn

legeringen, koper en vele polymeren.

Brosse materialen daarentegen vertonen slechts kleine vervormingen vóór breuk, met rekken

die typisch kleiner blijven dan 5 %. Deze materialen kunnen vrij plots bezwijken zonder enige

zichtbare vervorming. Enkele voorbeelden zijn beton, gietijzer, hoge-sterkte stalen, hout en

keramieken.

Figuur 5.2 geeft een schematisch voorbeeld van het spanning-rek diagramma voor ductiele

(links) en brosse (rechts) materialen.

Figuur 5.2 Spanning-rek diagramma voor een ductiel (links) en bros (rechts) materiaal [2].

Een mooi voorbeeld van het verschillend gedrag bij breuk is getoond in Figuur 5.3. De foto’s

in de linkerkolom tonen het ductiel breukgedrag van zacht staal, terwijl de foto’s in de

rechterkolom het brosse breukgedrag van hoge-sterkte staal tonen.


206

Figuur 5.3 Breukpatroon voor ductiel zacht staal (links) en bros hoge-sterkte staal (rechts) [3].

Het spanning-rek diagramma van ductiele en brosse materialen wordt nu meer in detail

besproken.

5.1.1.a. Ductiele materialen

Het meest bekende en gebruikte ductiel materiaal voor ingenieursconstructies is uiteraard

staal en de onderstaande bespreking geldt dan ook in de eerste plaats voor dit materiaal.

Voor ductiele materialen gebruikt men haast altijd het conventioneel spanning-rek

diagramma, waarbij de spanning en rek gedefinieerd worden door de vergelijkingen (5.1).

Deze spanning en rek noemt men de nominale spanning en nominale rek.

Precies omwille van het ductiel gedrag treedt er echter een aanzienlijke vervorming op van de

oorspronkelijke dwarsdoorsnede A0 tijdens de proef (zie Figuur 5.3 linkerkolom). Men kan


207

daarom ook de spanning definiëren als de verhouding van de kracht tot de werkelijke

doorsnede A, en de rek als de ogenblikkelijke verlenging dL t.o.v. de ware lengte L op dat

ogenblik:

)1ln(L

LLln

L

Lln

L

dL

A

F

0

0

0

i

L

L

w

w

i

0

(5.2)

Deze spanning en rek noemt men de ware spanning en ware rek, en het spanning-rek

diagramma heet dan het ware spanning-rek diagramma. Zoals blijkt uit de tweede

vergelijking, is er een rechtstreeks verband tussen de ware rek w en de nominale rek .

Het verschil tussen het conventionele en het ware spanning-rek diagramma voor bv. zacht

staal wordt duidelijk geïllustreerd door Figuur 5.4.

Figuur 5.4 Conventioneel en waar spanning-rek diagramma voor zacht staal [4].

De onderste curve is het conventioneel spanning-rek diagramma, zoals reeds besproken in

paragraaf 1.2. De bovenste curve is het ware spanning-rek diagramma. In feite geeft de

bovenste curve op een meer correcte wijze weer hoe de spanning en rek in het materiaal

evolueren. Het is immers niet erg logisch dat, zoals uit het conventionele spanning-rek


208

diagramma blijkt, het materiaal zou breken bij een lagere spanning dan de piekspanning. Dit

is niet het geval voor het ware spanning-rek diagramma, waar de piekspanning inderdaad

samenvalt met de breukspanning.

Hoewel het ware spanning-rek diagramma dus in feite correcter is, wordt het toch zelden

gebruikt in de ingenieurspraktijk. Het conventionele spanning-rek diagramma is algemeen

aanvaard als de standaard-voorstellingswijze voor een trekproef.

Als men nu het conventionele spanning-rek diagramma voor staal van dichterbij bestudeert,

kan men grosso modo vier fasen onderscheiden in het materiaalgedrag: (i) elastisch gedrag,

(ii) vloeien, (iii) versteviging en (iv) insnoering.

Elastisch gedrag

De proefstaaf gedraagt zich elastisch als deze tot zijn oorspronkelijke vorm of lengte

terugkeert wanneer de belasting die erop werkt, wordt weggenomen. In het grootste gedeelte

van het elastisch gebied is de spanning-rek kromme duidelijk een rechte lijn. De spanning is

dus evenredig met de vervorming en het materiaal gedraagt zich lineair elastisch. De bovenste

spanningsgrens voor deze lineaire relatie wordt de evenredigheidsgrens of

proportionaliteitsgrens prop genoemd. Als de spanning de evenredigheidsgrens iets

overschrijdt, gedraagt het materiaal zich nog steeds elastisch, maar de spanning-rek kromme

wordt vlakker. Dit wil zeggen dat bij een toename van de spanning de vervorming relatief

sterker toeneemt. Dit gaat door tot de spanning de elasticiteitsgrens bereikt.

Vloeien

Een lichte toename van de spanning boven de elasticiteitsgrens resulteert in

kwaliteitsvermindering van het materiaal en zorgt voor blijvende vervorming. Dit gedrag

wordt vloeien genoemd en de spanning die vloeien veroorzaakt, wordt de vloeispanning v

genoemd. De blijvende vervorming die optreedt, heet de plastische vervorming. In

tegenstelling tot een elastische belasting zal een belasting die het materiaal doet vloeien, de

eigenschappen van het materiaal permanent veranderen. Het is hierbij belangrijk op te merken

dat Figuur 5.4 niet op ware schaal is getekend. De door het vloeien opgewekte vervormingen

zijn 10 tot 40 keer zo groot als de tot aan de elasticiteitsgrens voorkomende vervormingen.

Tijdens het vloeien wordt het materiaal vaak perfect plastisch genoemd, omdat de vervorming

blijft toenemen onder nagenoeg constante spanning.

Versteviging

Na het vloeien treedt een fase van versteviging op, waarbij de spanning-rek kromme terug

begint te stijgen tot ze uiteindelijk de treksterkte trek bereikt. De stijging in de spanning-rek

kromme wordt versteviging genoemd. Gedurende deze fase neemt de oppervlakte van de

dwarsdoorsnede af bij verlenging van de proefstaaf, máár deze afname van de oppervlakte is

over de hele meetlengte nagenoeg constant !

Insnoering

Bij verdere verhoging van de belasting begint de spanning te dalen en begint de oppervlakte

van de dwarsdoorsnede af te nemen op één plaats in de proefstaaf, niet over de hele lengte.

Hierdoor ontstaat in dit gebied, naarmate de proefstaaf verder wordt verlengd, een

versmalling of insnoering. Omdat de oppervlakte van de dwarsdoorsnede in dit gebied steeds

kleiner wordt, kan de kleinere oppervlakte ook maar een steeds afnemende belasting dragen.

Hierdoor daalt de spanning-rek kromme tot de proefstaaf breekt op het punt van de

breukspanning breuk.


209

Voor zacht staal worden hieronder een paar waarden gegeven ter illustratie:

%00,3838,0MPa324

%00,2020,0MPa434

%00,3030,0MPa248

%12,00012,0MPa241

breukbreuk

trektrek

vv

propprop

(5.3)

Het zacht staal gedraagt zich lineair elastisch tot de evenredigheidsgrens prop wordt bereikt

bij 241 MPa. De bijhorende vervorming prop bedraagt 0,0012 [-]. Daaruit kan de

elasticiteitsmodulus E berekend worden als / = 200 GPa. Na een kleine toename tot de

elasticiteitsgrens begint het vloeien bij een nagenoeg constante spanning v = 248 MPa. De

fase van het vloeien eindigt bij een rek v = 0,030, of 25 maal meer dan de maximale

vervorming in het lineair elastisch gebied. Na het vloeien treedt de fase van versteviging op

tot de treksterkte trek = 434 MPa wordt bereikt. Intussen is de rek opgelopen tot 0,2 of 20 %.

Uiteindelijk bezwijkt het staal aan een breukspanning breuk = 324 MPa en een verlenging van

38 % !

In de ingenieurspraktijk zal men echter bijna altijd aannemen dat de evenredigheidsgrens, de

elasticiteitsgrens en de vloeigrens samenvallen. Men rekent voor het ontwerp dan met twee

belangrijke waarden: (i) de vloeigrens, en (ii) de treksterkte.

Als een proefstaaf van een ductiel materiaal wordt belast in het plastisch gebied en de

belasting daarna wordt opgeheven, wordt de elastische vervorming ongedaan gemaakt. Dit

wordt geïllustreerd door Figuur 5.5. De proefstaaf wordt eerst belast voorbij de vloeigrens A

tot het punt A’. Aangezien er interatomaire krachten moeten overwonnen worden om de

proefstaaf elastisch te verlengen, trekken deze zelfde krachten de atomen weer naar elkaar toe

wanneer de kracht wordt opgeheven. Bijgevolg is de elasticiteitsmodulus E dezelfde en dus is

de helling van de lijn O’A’ bij ontlasten gelijk aan die van de lijn OA.

Figuur 5.5 Belasten en ontlasten in het plastisch gebied [4].


210

Als de belasting opnieuw wordt aangebracht, treedt pas vloeien op voorbij het punt A’. Dit

nieuwe spanning-rek diagramma, gedefinieerd door O’A’B, heeft een hogere vloeigrens als

gevolg van de versteviging. Met andere woorden: het materiaal heeft nu een groter elastisch

gebied, maar is wel minder ductiel dan in zijn oorspronkelijke staat.

Bij sommige metalen, zoals aluminium, kan men geen duidelijke vloeifase en

verstevigingsfase onderscheiden. In dat geval bepaalt men vaak de vloeigrens op een

conventionele manier (zie Figuur 5.6). Meestal wordt een vervorming van 0,2 % ( = 0,002)

gekozen en trekt men vanaf dit punt op de -as een lijn evenwijdig aan het eerste, rechtlijnige

gedeelte van het spanning-rek diagramma. Het punt waar deze lijn de kromme snijdt, geeft bij

conventie de vloeigrens aan. Uit de grafiek in Figuur 5.6 volgt een vloeigrens 0,2 = 352 MPa.

Fysisch betekent dit dat als men het materiaal belast tot 352 MPa en nadien ontlast, er een

permanente rek van 0,2 % overblijft.

Figuur 5.6 Definitie vloeigrens voor aluminiumlegeringen [4].

Bij enkele materialen valt er zelfs geen evenredigheidsgrens te definiëren. Dit is bv. het geval

voor rubber, waar er geen lineair verband bestaat tussen spanning en rek. In plaats hiervan

vertoont het materiaal een niet-lineair elastisch gedrag, zoals de trekproef op rubber in

Figuur 5.7 weergeeft.


211

Figuur 5.7 Spanning-rek diagramma voor rubber [4].

5.1.1.b. Brosse materialen

Brosse materialen vloeien nauwelijks of niet, alvorens ze bezwijken. De breuk begint vaak bij

een onvolkomenheid of microscopisch scheurtje in het materiaal en verspreidt zich dan snel

doorheen het volledige materiaal. Als gevolg van deze vorm van bezwijken hebben brosse

materialen geen goed gedefinieerde breukspanning bij trekbelasting, omdat scheurtjes in een

proefstaaf heel willekeurig optreden. Daarom bepaalt men de gemiddelde breukspanning in

het algemeen uit een grotere reeks trekproeven.

Vergeleken met hun gedrag in trek, hebben brosse materialen vaak een veel hogere weerstand

in druk. De aanwezige scheurtjes worden dichtgedrukt en de vervorming bij breuk is veel

groter.

Een typisch spanning-rek diagramma voor gietijzer is getoond in Figuur 5.8.

Figuur 5.8 Spanning-rek diagramma voor gietijzer [4].


212

Figuur 5.9 toont het spanning-rek diagramma voor beton. Duidelijk is te zien dat de maximale

druksterkte van beton bijna 12,5 keer zo groot is als de treksterkte, druk,max = 34,5 MPa

tegenover trek,max = 2,76 MPa. Om deze reden worden structuren in beton zodanig ontworpen

dat zij vooral in druk belast worden. De zones van het beton die in trek worden belast, worden

vaak verstevigd met stalen wapeningsnetten die de trekspanningen opvangen.

Figuur 5.9 Spanning-rek diagramma voor beton [4].

Het is belangrijk te vermelden dat de beproevingsmethode vaak dient aangepast te worden aan

het type materiaal dat men wenst te beproeven. Zo hebben vezelversterkte composieten vaak

slechts een totale dikte van 1 à 5 millimeter. Door deze kleine dikte en de geringe stijfheid in

de dikterichting, knikt het proefstuk gemakkelijk uit onder drukbelastingen. Vandaar zijn

speciale anti-knikgeleidingen ontworpen voor het bepalen van de druksterkte van

composietmaterialen. Een voorbeeld is weergegeven in Figuur 5.10.

Figuur 5.10 Drukproef voor composietmaterialen [5].


213

Voor anisotrope materialen zoals vezelversterkte composieten moet men trouwens de trek- en

drukproeven uitvoeren in verschillende richtingen, omdat de sterkte-eigenschappen

verschillend zijn in de richting van de vezelversterking en loodrecht erop.

5.1.1.c. Overgangen van bros naar ductiel gedrag en vice versa

De classificatie tussen brosse en ductiele materialen moet met de nodige omzichtigheid

gehanteerd worden. Eénzelfde materiaal kan zich immers ductiel of bros gedragen, naargelang

de samenstelling of omgevingsfactoren. Staal bijvoorbeeld, heeft een bros gedrag wanneer het

een hoog koolstofgehalte heeft en wordt ductiel als het weinig koolstof bevat. De

schematische spanning-rek diagramma voor verschillende koolstofgehaltes zijn weergegeven

in Figuur 5.11.

Figuur 5.11 Spanning-rek diagramma voor staal met verschillende koolstofgehaltes [4].

Verder worden materialen bij lagere temperaturen brosser, terwijl ze ductieler worden

wanneer de temperatuur stijgt. Figuur 5.12 toont dit effect voor een methacrylaat-kunststof.

Figuur 5.12 Spanning-rek diagramma voor een methacrylaat-kunststof bij verschillende temperaturen [4].


214

5.1.1.d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen

Uit de trek- en drukproeven kan men reeds heel wat belangrijke parameters voor het ontwerp

distilleren: de elasticiteitsmodulus, de vloeigrens, de treksterkte, de breukrek,...

In Tabel 3.1 worden de mechanische eigenschappen opgesomd voor een aantal materialen die

vaak voorkomen in ingenieurstoepassingen.

Tabel 3.1 Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen [6].

Hieruit kan men reeds een aantal globale conclusies trekken:

de treksterkte van staal ligt veel hoger dan deze van kunststoffen. Anderzijds kan de

breuksterkte van vezelversterkte kunststoffen enkele malen hoger zijn dan deze van staal.

De breukspanning in trek van beton is zeer laag,

de breukrek van zacht staal is groter dan deze van hoge-sterkte stalen, omdat zacht staal

ductieler is. De verlenging van de meeste kunststoffen bij breuk ligt nog een stuk hoger

dan deze van de ductiele staalsoorten,

de stijfheid van staal en andere metaallegeringen is in dezelfde grootte-orde als deze van

vezelversterkte kunststoffen, maar de stijfheid van beton en kunststoffen is vele malen

lager,

zoals reeds hoger vermeld, zijn vezelversterkte kunststoffen vrij licht. De verhouding van

treksterkte en stijfheid tot soortelijke massa is voor deze materialen dan ook de beste,

kunststoffen vertonen een zeer grote thermische uitzetting t.o.v. de andere

ingenieursmaterialen.


215

5.1.2. Buigproeven

Het testen van brosse materialen (bv. beton) in trek is niet eenvoudig. Zo breekt het proefstuk

soms bij de bevestiging ervan in de klauwen van de proefmachine. Daarom worden brosse

materialen vaak beproefd in buiging, waarbij twee configuraties gebruikt worden: (i) drie-

puntsbuiging, en (ii) vier-puntsbuiging. Figuur 5.13 toont een schematische voorstelling van

beide configuraties.

Figuur 5.13 Drie- en vierpuntsbuiging van brosse materialen [1].

Toch blijft de interpretatie van de resultaten niet altijd eenvoudig. Het materiaal wordt immers

aan de bovenzijde belast in druk en aan de onderzijde belast in trek. Als de

elasticiteitsmodulus E verschillend is in trek en druk, of het materiaal gedraagt zich niet

lineair elastisch, zijn de resultaten van buigproeven moeilijk te interpreteren.

5.1.3. Afschuifproeven

Om het gedrag in afschuiving van het materiaal te onderzoeken en de glijdingsmodulus (of

glijdingsmoduli) te bepalen, worden afschuifproeven uitgevoerd. Figuur 5.14 toont een

schematische voorstelling van een afschuifproef.


216

Figuur 5.14 Afschuifproef [2].

Een tweede type afschuifproeven gebeurt door torsie van een dunwandige cilinder. Zoals

aangetoond in paragraaf 1.5, bestaat er bij torsie of wringing van een staaf in elke

dwarsdoorsnede een zuivere schuifspanningstoestand. Op die manier kan men het gedrag in

afschuiving bestuderen.

Om de afschuifsterkte S van een composietmateriaal te bepalen, gebruikt men vaak de rail

shear test. Figuur 5.15 toont een praktische uitvoering van deze test, waarbij de linker- en

rechterkolom het proefstuk inklemmen en de middenste kolom in de verticale richting kan

verplaatst worden.

Figuur 5.15 Praktische uitvoering van de rail shear test [7].

5.1.4. Hardheidsproeven

De hardheid van een materiaal wordt gedefinieerd als de weerstand van het materiaal tegen

het indringen van een harder materiaal.

Bij alle metalen, maar in het bijzonder bij staallegeringen, kan de hardheid binnen brede

grenzen variëren, afhankelijk van de samenstelling, productiemethode en nabehandelingen.

Hardheidsmetingen worden zeer vaak uitgevoerd en kunnen aan het werkstuk zelf worden

verricht, zonder dat er een apart proefstuk moet worden vervaardigd.


217

In het begin van de twintigste eeuw zijn een drietal methodes voor statische hardheidsmeting

ontwikkeld:

hardheidsmeting volgens Brinell,

hardheidsmeting volgens Vickers,

hardheidsmeting volgens Rockwell.

De drie methodes onderscheiden zich van elkaar door de keuze van het indringlichaam, de

beproevingsbelasting en de gekozen meetwaarde. Omdat elke methode zijn eigen

toepassingsgebied heeft, worden de drie methodes ook nu nog naast elkaar toegepast. Het

principe is echter voor de drie methodes dezelfde: een indringlichaam wordt met een bepaalde

kracht in het werkstuk gedrukt. Van die (blijvende) indrukking wordt een meetwaarde

afgelezen die een maat is voor de hardheid.

Aangezien deze blijvende indrukking in feite een plastische vervorming is, is de hardheid

voornamelijk een maat voor de weerstand tegen plastische vervorming. Men verwacht dan

ook een min of meer lineair verband tussen de hardheid en de vloeigrens van het materiaal:

hoe hoger de vloeigrens van het materiaal, hoe kleiner de permanente vervorming en dus hoe

hoger de hardheid. Dit lineair verband bestaat inderdaad, maar gaat enkel op voor metalen.

Dit verband gaat niet op voor keramische materialen, omdat de vloeigrens van keramische

materialen praktisch samenvalt met de treksterkte: zodra het materiaal begint te vervormen,

breekt het.

5.1.4.a. Hardheidsmeting volgens Brinell

Figuur 5.16 toont schematisch het principe van de hardheidsmeting volgens Brinell. Als

indringlichaam wordt gekozen voor een geslepen kogel van gehard staal. De kogeldiameter

hangt af van de plaatdikte, want het is niet toelaatbaar dat de onderzijde van de plaat vervormt

door de indrukking van de kogel. De grootte van de beproevingsbelasting is gestandaardiseerd

en getabelleerd voor verschillende metalen.

Figuur 5.16 Schematisch principe van de hardheidsmeting volgens Brinell.


218

De meetwaarde, afgeleid uit de hardheidsproef, is de oppervlakte A van de indrukking. Dit is

dus in feite de oppervlakte van een bolsegment. De hardheid HB volgens Brinell wordt dan

gedefinieerd als:

22 dDDD

F204,0

A

F102,0HB

(5.4)

waarbij F wordt uitgedrukt in Newton en A in mm2. De omrekenfactor 0,102 heeft een zuiver

historische reden. Vroeger drukte men de kracht uit in kgf (kilogramforce), terwijl men nu de

internationale eenheid N (Newton) gebruikt (1 kgf = 1 kg 9,81 m/s2 = 9,81 N).

Typische hardheden liggen tussen 100 en 350 HB. De hardheidsmeting volgens Brinell is niet

geschikt voor zeer harde materialen of voor dunne oppervlaktelagen.

5.1.4.b. Hardheidsmeting volgens Vickers

Bij de hardheidsmeting volgens Vickers wordt een stompe, vierzijdige piramide uit diamant

gebruikt als indringlichaam. De diamant is gevoelig voor stoten en daardoor minder geschikt

voor ruwe bedrijfsomstandigheden dan de Brinell kogel. Daarentegen kunnen met de diamant

de hardste materialen worden beproefd.

De definitie van de hardheid volgens Vickers is dezelfde als deze volgens Brinell:

A

F102,0HV

(5.5)

waarbij A ditmaal de manteloppervlakte van de indrukking voorstelt, uitgedrukt in mm2.

De Vickers hardheidsmeting kan worden toegepast op materialen met zeer verschillende

hardheden, ook op zeer harde materialen zoals gesinterde carbiden. Ook zeer dunne en harde

oppervlaktelagen kunnen worden beproefd.

5.1.4.c. Hardheidsmeting volgens Rockwell

De hardheidsmeting volgens Rockwell gebeurt met een diamanten kegel met een stompe

tophoek van 120. In tegenstelling tot de hardheden volgens Brinell en Vickers, wordt de

hardheid volgens Rockwell niet berekend uit het quotiënt van proefbelasting en oppervlakte

van de indrukking, maar wel rechtstreeks uit de gemeten indringdiepte.

De Rockwell hardheid HRC is omgekeerd evenredig met de indringdiepte tb (mm):

bt500100HRC (5.6)

Dit eenvoudig verband is voorgesteld in Figuur 5.17.


219

Figuur 5.17 Verband tussen indringdiepte tb en Rockwell hardheid HRC.

5.1.5. Kruipproeven

Wanneer een materiaal gedurende lange tijd belast wordt met een constante spanning, kan de

vervorming tijdens de belastingstijd gaan toenemen. Dit verschijnsel noemt men kruip. Een

constante spanning treedt bv. op bij belasting van het materiaal met een bepaald gewicht. Ook

bij verhard beton is kruip zeker een niet te verwaarlozen fenomeen. Onder invloed van kruip

neemt de doorbuiging van betonelementen in de loop van de tijd toe, en neemt de

voorspankracht in voorgespannen betonelementen af.

Het complementaire geval bestaat erin dat de spanning in een materiaal gaat afnemen,

wanneer het lange tijd met dezelfde vervorming wordt belast. Dit laatste verschijnsel heet

relaxatie. Relaxatie treedt vaak op bij machineonderdelen, bv. bouten die onder een

voorspanning staan of onderdelen die ingeperst zijn.

Beide verschijnselen worden geïllustreerd in Figuur 5.18. Links staat het verloop in de tijd

van spanning en rek afgebeeld voor kruip, rechts voor relaxatie.

Figuur 5.18 Verloop van spanning en rek voor (a) een kruipproef en (b) een relaxatieproef.

Bij metalen treedt kruip meestal slechts op bij hoge temperaturen. Een voorbeeld is de

Concorde. Door de supersonische snelheid en het enorme vermogen van de motoren wordt het

aluminium frame van het vliegtuig onderworpen aan temperaturen tot 127 C. De combinatie

van deze hoge temperaturen met werkspanningen van 176 MPa leidt tot kruip tijdens het

vliegen. Voor een ontwerplevensduur van 20 000 uren laten de ontwerpers een kruip toe van

0,1 %.

Kunststoffen en composieten daarentegen vertonen reeds kruipgedrag bij kamertemperatuur.


220

Het resultaat van kruipproeven wordt op vele manieren voorgesteld. Een eerste

voorstellingswijze zijn de tijd-rekkrommen, voor verschillende waarden van de constante

spanning. Deze zijn afgebeeld in Figuur 5.19(a).

Figuur 5.19 Het kruipgedrag voorgesteld als (a) tijd-rekkrommen, (b) isometrische krommen, en (c) isochrone

krommen.

Met de gegevens van de grafiek in Figuur 5.19(a) kan men de tijd-spanning-lijnen construeren

in Figuur 5.19(b). Daarin leest men af bij welke spanning in een onderdeel na een bepaalde

tijd t een voorgeschreven rek (in %) niet wordt overschreden. De bovenste lijn in de grafiek

geeft de sterkte weer in de tijd, d.w.z. de spanning die na een tijd t tot breuk leidt. Deze tijd-

spanning-lijnen noemt men isometrische krommen.

Nog een andere weergave voor het kruipgedrag zijn de spanning-rek-krommen, zoals

afgebeeld in Figuur 5.19(c). Zij geven het verband tussen spanning en rek voor verschillende

waarden van de belastingstijd. Deze krommen noemt men de isochrone krommen.

Het uitvoeren van dergelijke proeven vergt heel veel tijd. Dit is duidelijk als men bedenkt dat

een tijd van 103 uren overeenkomt met bijna 42 dagen.

Zoals hoger aangegeven, speelt ook de temperatuur een belangrijke rol in het kruipgedrag.

Figuur 5.20 toont de isochrone spanning-rek-krommen met invloed van de temperatuur voor

de glasvezelversterkte kunststof polyamide PA6.


221

Figuur 5.20 Isochrone spanning-rek-krommen voor PA6 met 30 % glasvezel.

In het rechtergedeelte van de grafiek staan de isochrone spanning-rek-krommen afgebeeld

voor verschillende belastingstijden bij kamertemperatuur. Om de invloed van toenemende

temperatuur weer te geven, worden in het linkergedeelte van de grafiek krommen van

constante spanning voorgesteld in functie van de temperatuur. Bij kamertemperatuur vallen de

eindpunten van deze krommen samen met de ordinaat van de spanning, voor hogere

temperaturen leest men de grafiek als volgt: als het composiet bij 120 C belast wordt met een

constante spanning van 10 MPa, dan zal de rek na 102 uren oplopen tot 0,5 %. Ter

vergelijking: als men diezelfde kruipproef uitvoert bij kamertemperatuur, is de rek na 102 uren

slechts 0,2 %.

5.1.6. Vermoeiingsproeven

Het is een vaststaand feit dat materialen een hogere spanning kunnen verdragen bij een

statische belasting dan bij een cyclische belasting. Onder een periodiek wisselende belasting

kunnen materialen na een langere of kortere tijd breken bij een veel lagere spanning dan de

statische breukspanning. Deze vorm van breuk noemt men een vermoeiingsbreuk.

Cyclische belastingen komen heel vaak voor in de praktijk: windbelasting op wieken van

windmolens, scheepsmasten en hoge staalconstructies, draaiende onderdelen van motoren en

werktuigkundige machines, rotorbladen van helikopters,...

Hoewel tijdens cyclische belasting de spanning in het grootste deel van de constructie ver

beneden de vloeigrens blijft, zijn er vaak lokale spanningsconcentraties aan kerven, scheuren

of defecten in het materiaal. Ook bij lassen worden er vaak fouten geïntroduceerd in het

materiaal. Vaak zijn het deze initiële scheurtjes die onder invloed van de cyclische belasting

langzaam verder aangroeien en uiteindelijk leiden tot breuk van de hele constructie.


222

De keuze van de opgelegde belasting in een vermoeiingsproef is een moeilijk probleem. De

belastingen op de reële constructie kunnen een heel grillig verloop vertonen in de tijd. Figuur

5.21 toont het experimenteel opgemeten spanningsverloop in de vleugel van een vliegtuig

tijdens een grond-lucht-grond manoeuver.

Figuur 5.21 Normaalspanning in de vleugel bij een grond-lucht-grond manoeuver [8].

Een dergelijke beproeving nabootsen in het laboratorium, wordt zelden gedaan en wel om

volgende redenen:

vele servo-hydraulische vermoeiingsmachines zijn niet in staat dergelijke complexe

spanningsverlopen op te leggen,

dergelijke vermoeiingsproeven zijn zeer duur en tijdrovend,

in vele gevallen kent men zelfs het ware verloop van de spanningen in de belaste

constructie niet.

Daarom wordt de werkelijke belasting vaak vereenvoudigd tot een constante-amplitude

belasting met sinusoïdaal verloop. Een typisch spanningsverloop is getoond in Figuur 5.22.

Figuur 5.22 Cyclische belasting op proefstaaf.

Hierbij zijn volgende spanningen van belang:

de maximale spanning h,

de minimale spanning l,


223

de gemiddelde spanning 2

lhm

,

de spanningsamplitude 2

lha

,

de spanningsverhouding h

lR

.

Hierbij kunnen de maximale en minimale spanning hetzelfde teken hebben (trek-trek of druk-

druk), of een verschillend teken (trek-druk).

Men kan een drietal soorten vermoeiingsproeven onderscheiden:

proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven,

proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ...

proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen.

5.1.6.a. Proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven

Tijdens deze proeven wordt een foutvrije proefstaaf onderworpen aan een trek-, druk-, buig-

of torsiebelasting. Hoewel de daarmee gepaard gaande spanningen in een reële constructie een

zeer grillig verloop in de tijd kunnen hebben, legt men in het laboratorium vaak zeer

eenvoudige sinusoïdale signalen aan.

Bij de meeste vermoeiingsproeven is men vooral geïnteresseerd in het aantal cycli tot breuk

Nf bij een zekere spanningsamplitude a. Men voert dan vermoeiingsproeven uit bij

verschillende spanningsamplitudes en meet telkens het aantal cycli tot breuk. Het verband

tussen spanningsamplitude en aantal cycli tot breuk wordt uitgezet in de zogeheten Wöhler-

kromme of S-N curve. Figuur 5.23 toont een typische Wöhler-kromme voor een staallegering.

Figuur 5.23 Voorbeeld van een Wöhler-kromme voor een staallegering [9].


224

De abscis bevat het aantal cycli tot breuk. Deze waarden worden vaak uitgezet in een

logaritmische schaal. De ordinaat bevat de spanningsamplitude (hier genormaliseerd t.o.v. de

statische treksterkte). Voor een voldoend lage spanningsamplitude is de levensduur in

vermoeiing zéér groot. Deze ondergrens voor de spanning noemt men de vermoeiingsgrens

(Eng: fatigue limit, endurance limit). Men onderstelt dat er beneden deze spanningsamplitude

geen schade door vermoeiing optreedt.

Deze ondergrens bestaat echter niet voor alle materialen, zoals geïllustreerd door Figuur 5.24.

Deze figuur toont de S-N curve voor een aluminium legering. Zelfs voor zeer lage

spanningsamplitudes blijft de S-N curve dalen.

Figuur 5.24 S-N curves voor een aluminiumlegering met aanduiding van de overlevingskans [8].

Op deze figuur valt ook een andere belangrijke eigenschap van vermoeiingsproeven af te

lezen, nl. de spreiding op de proefresultaten. Ondanks alle zorg die men bij het uitvoeren van

de proef aan de dag legt, is spreiding een onvermijdelijk fenomeen bij vermoeiingsproeven.

Daarom worden in Figuur 5.24 drie curves uitgezet, waarbij bv. de 10 % curve aangeeft dat

slechts 10 % van de proefstaven een langere levensduur heeft dan deze die op de curve af te

lezen valt. Voor het ontwerp gebruikt men uiteraard de onderste curve die de meest

conservatieve aannames doet.

Zoals reeds hoger vermeld, zijn de cyclische belastingen die aangrijpen op reële constructies,

veel grilliger dan de sinusoïdale spanning met constante amplitude in labotesten. Om

enigszins tegemoet te komen aan dit probleem, worden soms testen uitgevoerd met

blokbelastingen. Zoals getoond in Figuur 5.25, wordt de gemiddelde spanning en de

spanningsamplitude in elk blok aangepast, maar binnen elk blok blijft de spanning sinusoïdaal

met constante amplitude.


225

Figuur 5.25 Blokbelastingen [9].

Toch zal men vaak proberen om de levensduur onder blokbelastingen en meer algemeen,

onder variabele-amplitude belastingen, te voorspellen uitgaande van gekende experimentele

resultaten van constante-amplitude testen.

Een zeer eenvoudige voorspellingsregel werd vooropgesteld door Miner. Hij stelt dat er

tijdens een constante-amplitude vermoeiingstest schade ontwikkelt in het materiaal en dat

deze schade D lineair toeneemt met de levensduur. De schade D is nul aan het begin van de

vermoeiingstest en wordt één bij breuk:

fN

ND (5.7)

waarbij N het aantal opgelegde belastingscycli is en Nf het (experimenteel bepaalde) aantal

cycli tot breuk bij een bepaalde spanningsamplitude.

Wanneer nu sequentieel verschillende spanningsniveaus worden aangelegd, is de schade voor

elk spanningsniveau gelijk aan de verhouding N/Nf voor dat spanningsniveau, zodat:

i,f

i

2,f

2

1,f

1i21

N

N...

N

N

N

ND...DDD (5.8)

Volgens de regel van Miner bezwijkt het materiaal als de totale schade gelijk aan één wordt.

Deze regel wordt nog steeds vaak toegepast, maar men moet er heel omzichtig mee

omspringen. Het is reeds vaak gebleken dat de experimenteel bepaalde levensduur onder


226

blokbelastingen of variabele-amplitude belastingen korter is dan de levensduur, voorspeld

door de Miner-regel. Dit is uiteraard een onveilige situatie.

Deze onveilige schattingen zijn te wijten aan een aantal simplistische veronderstellingen in de

regel van Miner:

Miner onderstelt een lineaire toename van de schade tijdens de levensduur. Vaak groeit de

schade echter zeer langzaam tijdens het grootste deel van de levensduur en versnelt pas aan

het einde van de levensduur,

in de regel van Miner maakt het niet uit in welke volgorde de verschillende

spanningsniveaus worden aangebracht. Voor vele vezelversterkte composietmaterialen is

de levensduur onder een laag-hoog sequentie van de spanning echter verschillend van de

levensduur onder een hoog-laag sequentie van de spanning,

de regel van Miner onderstelt dat er geen interactie is tussen de teweeggebrachte schade

door de verschillende spanningsniveaus. In praktijk wordt de aangroei van de schade

echter vaak beïnvloed door de reeds aanwezige schade van vorige spanningsniveaus.

5.1.6.b. Proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ...

In hoofdstuk 1 werd aangetoond dat er spanningsconcentraties ontstaan rond een opening in

een plaat, en meer algemeen bij doorsnedeveranderingen, boringen, enz. Wanneer de

constructie belast wordt in vermoeiing, zal de spanningsamplitude in de buurt van de gaten,

boringen of doorsnedeveranderingen in de constructie groter zijn dan de spanningsamplitude

in de andere delen van de constructie, precies omwille van het effect van de

spanningsconcentratie. Daarom zal men ook proefstaven maken met gaten, boringen,

doorsnedeveranderingen,... en de invloed daarvan op de levensduur onderzoeken.

Figuur 5.26 toont een aantal mogelijke configuraties voor vermoeiingsproeven met

spanningsconcentraties. Bewust aangebrachte uitboringen of doorsnedeveranderingen zorgen

voor een verhoogde spanning in deze zones, zodat het vermoeiingsgedrag beïnvloed wordt.


227

Figuur 5.26 Verschillende vermoeiingsproeven met spanningsconcentraties [10].

In vele constructies zijn bovendien initiële scheurtjes aanwezig, geïnduceerd door lasfouten,

insluitsels in het materiaal, thermische spanningen, productiefouten,... Als deze initiële

scheurtjes gelegen zijn in zwaar belaste zones van de constructie, kunnen zij de levensduur in

vermoeiing drastisch doen dalen. Daarom worden soms ook proefstaven vervaardigd waarin

met een diamantschijf een zaagsnede wordt ingebracht. Nadien wordt opgevolgd hoe de

opzettelijk aangebrachte kerf groeit in vermoeiing.

5.1.6.c. Proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen

Proeven op constructie-onderdelen zijn duur en tijdrovend, en worden dus slechts uitgevoerd

voor belangrijke, kritieke onderdelen van vliegtuigen, auto’s, vrachtwagens,

windmolenwieken,... Figuur 5.27 toont een voorbeeld van een vermoeiingstest op een

volledige wagen.


228

Figuur 5.27 Schematische voorstelling van een vermoeiingstest van een auto [8].

In metalen constructies zijn de lasverbindingen bijzonder gevoelig aan vermoeiing en daarom

worden vaak gelaste constructie-onderdelen in hun geheel beproefd. Figuur 5.28 en Figuur

5.29 tonen twee voorbeelden van gelaste constructies die in vermoeiing worden belast, alsook

de kritische zones.

Figuur 5.28 Lasverbinding van stalen kokers en probleemzones bij vermoeiing [11].


229

Figuur 5.29 Lasverbinding van stalen I-profiel en koker en probleemzones bij vermoeiing [11].

5.1.7. Impactproeven

Bij impactproeven wordt een zeer kortstondige stootbelasting opgelegd aan het proefstuk. De

impactduur is meestal in de grootte-orde van milliseconden en bijgevolg varieert de rek in het

proefstuk heel snel. De variatie van de rek met de tijd noemt men de vervormingssnelheid

of dt

d. Het gebied van deze vervormingssnelheden dat bij studies van impact kan worden

beschouwd, bestrijkt meerdere ordes van grootte. Figuur 5.30 geeft hiervan een idee en

beschrijft tevens het gedrag van metalen onder impactbelasting.

Figuur 5.30 Overzicht van vervormingssnelheden en impactsnelheden, met een beschrijving van het

materiaalgedrag onder impactbelasting [7].


230

de dagelijkse toepassingen, beneden 100 m/s (360 km/u) komen het meest voor: steenslag

bij voertuigen en vliegtuigen op landingsbanen, vogels en hagel op wieken van

windmolens en op vliegtuigen, botsing van voertuigen, waterslag op de romp van snelle

vaartuigen, veiligheidshelmen voor gebruik op bouwwerven, valhelmen voor motorrijders,

vallende voorwerpen,

het ballistisch gebied gaat van enkele honderden m/s tot enkele km/s,

snelheden van tientallen en honderden km/s treft men aan in de ruimtevaart (stofdeeltjes,

micro-meteorieten, resten van ruimtetuigen). Deeltjes van enkele gram bezitten daar soms

meer kinetische energie dan een automobiel aan normale snelheid.

De vervormingssnelheid is een belangrijke parameter bij impactproeven en numerieke

simulaties van impact, omdat uit experimenten veelvuldig is gebleken dat de meeste

materialen een hogere spanning kunnen bereiken bij hoge vervormingssnelheden dan bij

statische belasting. Figuur 5.31 toont het verloop van de ware spanning vs. ware rek voor

verschillende vervormingssnelheden van de kunststof PMMA (PolyMethylMethAcrylaat). Dit

is een doorzichtige kunststof die i.p.v. glas wordt gebruikt in beglazing, lichtkoepels,

reclameborden, ... en is vooral bekend onder de handelsnaam Plexiglas. Omdat grote

vervormingen worden bereikt en de initiële dwarsdoorsnede aanzienlijk insnoert, zijn hier de

ware spanning en rek gebruikt i.p.v. de nominale spanning en rek.

Figuur 5.31 Invloed van de vervormingssnelheid op de ware spanning in de kunststof PMMA [12].


231

De laagste curve bij een vervormingssnelheid van 210-3 s-1 komt overeen met een statische

trekproef. De hoogste vervormingssnelheid van 760 s-1 komt overeen met een mechanische of

explosieve impact. Zoals duidelijk blijkt uit de grafiek, is de bereikte spanning bij de grootste

vervormingssnelheid vele malen groter dan bij een statische trekproef.

Men kan globaal een viertal types impactproeven onderscheiden:

valproeven (lage ),

pneumatische en mechanische impacttesten (middelgrote ),

Hopkinson-proeven (zeer grote ),

impactproeven op volledige constructies (bv. voertuigen).

5.1.7.a. Valproeven

Figuur 5.32 toont een schematische voorstelling van een valproef (Eng: drop-weight test). Bij

deze proef wordt een massa vanop een zekere hoogte losgelaten en via een geleiding

geïmpacteerd op het proefstuk. Typische valsnelheden zijn 1 tot 10 m/s.

Figuur 5.32 Schematische voorstelling van een valproef [12].


232

Figuur 5.33 toont de opgemeten spanning-rek curve voor een glas/epoxy composiet bij

statische belasting en bij een valproef. Opnieuw is de maximum spanning een stuk hoger dan

bij statische belasting.

Figuur 5.33 Spanning-rek curves voor een glas/epoxy composiet [12].

5.1.7.b. Pneumatische en mechanische impacttesten

Pneumatische en mechanische impacttesten worden gebruikt voor hogere vervormings-

snelheden , in een bereik van 1 tot 50 s-1.

In geval van een pneumatische impacttest wordt een zuiger onder druk gebracht met

perslucht. Zodra voldoende druk is bereikt, wordt de zuiger losgelaten en deze versnelt een

impactor die op het proefstuk wordt afgevuurd.

Figuur 5.34 toont een voorbeeld van een pneumatische versneller met impactor.


233

Figuur 5.34 Voorbeeld van een pneumatische versneller en impactor.

5.1.7.c. Hopkinson-proeven

Eén van de belangrijkste proeven voor zeer hoge vervormingssnelheden is de Hopkinson-

proef. Vervormingssnelheden van 100 s-1 tot 10 000 s-1 zijn haalbaar. Een schematische

voorstelling van een Hopkinson-proef is getoond in Figuur 5.35.

Figuur 5.35 Schematische voorstelling van een Hopkinson-proef [12].

Met behulp van een (meestal pneumatisch) versnellingssysteem wordt een massief blok

geïmpacteerd op twee lange staven. In deze staven wordt een drukgolf opgewekt, die aan de

rechterzijde reflecteert tegen een aambeeld en terugkeert als een trekgolf. Deze trekgolf

doorloopt ook de staven waartussen het proefstuk zit vastgeklemd. Aldus wordt in het

proefstuk een zeer kortstondige trekgolf opgewekt.


234

In de vakgroep Toegepaste Materiaalwetenschappen van de Universiteit Gent staat één van

de grootste Hopkinson-opstellingen van Europa. Figuur 5.36 toont een globaal beeld van de

opstelling, die ongeveer 11 meter lang is.

Figuur 5.36 Globaal beeld van de Hopkinson-opstelling in de vakgroep Toegepaste Materiaalwetenschappen

van de Universiteit Gent.

Het proefstuk daarentegen is bijzonder klein. Een detailopname van een metalen proefstuk en

de twee uiteinden van de aluminium staven waarin het proefstuk wordt vastgeklemd, is

getoond in Figuur 5.37.


235

Figuur 5.37 Detail van het metalen proefstuk en zijn inklemming in de aluminium staven.

De gegevens uit dergelijke proeven met zeer hoge vervormingssnelheden worden o.a.

gebruikt voor het ontwerp van metaallegeringen voor de automobielindustrie. Door een

optimalisatie van hun materiaalgedrag onder impactbelasting (bv. bij botsingen tussen auto’s

of autocrashes tegen bomen en brugpijlers) kan men het meest veilige materiaal selecteren.

Ook voor de simulatie van auto-crashes worden de experimentele gegevens ingebracht in het

numeriek rekenpakket.

5.1.7.d. Impactproeven op volledige constructies

Naast de impactproeven op kleine proefstukken, worden ook impactproeven uitgevoerd op

volledige constructies. Het bekendste voorbeeld is uiteraard de crashtest van voertuigen, zoals


Figuur 5.38 Crashtest van een wagen.


236

Daarnaast worden echter ook impacttesten uitgevoerd met bv. helikopters. De kooi en het

onderstel worden met een reusachtige kraan opgehesen en nadien losgelaten. Bij impact op de

grond onderzoekt men of het onderstel van de helikopter de impactenergie kan absorberen,

zodat de kooi waarin de piloot en de passagiers zitten, min of meer intact blijft.

5.1.8. Kerfslagproeven

Bij de bespreking van de trekproef werd reeds het verschil uiteengezet tussen ductiele en

brosse materialen. In de literatuur zal men vaak de term taaiheid vinden als synoniem voor

ductiliteit, en beiden termen worden vaak door elkaar gebruikt. Dit is echter niet correct.

Ductiliteit wordt gebruikt in de context van een scheurvrij of foutvrij materiaal, terwijl

taaiheid altijd samenhangt met de aanwezigheid van scheuren of defecten in het materiaal.

Een foutvrij materiaal is dus ductiel wanneer het een grote vervorming vertoont vóór breuk.

Een materiaal is taai als het ook in aanwezigheid van scheuren voldoende vervormt vóór

breuk.

Koper is een voorbeeld van een taai materiaal. In dit materiaal zal een scheur zeer moeilijk

groeien, omdat er zeer veel energie verbruikt wordt voor plastische vervorming. Glas

daarentegen is een zeer bros materiaal waarin elke scheur quasi onmiddellijk propageert en

leidt tot volledige breuk.

Om experimenteel na te gaan of een materiaal een taai gedrag vertoont, ontwikkelde men een

specifieke mechanische proef, waarvan de proefomstandigheden brosse breuk bevoordelen:

de proef gebeurt met een hoge vervormingssnelheid (het proefstuk wordt geïmpacteerd),

het proefstuk is gekerfd wat een driedimensionale spanningstoestand veroorzaakt aan de

kerftip,

de proef verloopt soms bij verlaagde temperatuur.

Deze proef noemt men de kerfslagproef. De bekendste uitvoering van deze proef is de

Charpy kerfslagproef. Figuur 5.39 toont het belastingsprincipe (boven) en de opstelling

(onder) van deze proef.

Het proefstuk met een vooraf aangebrachte kerf wordt opgelegd op twee steunpunten. Met

een hamer wordt aan de kerfvrije achterzijde van het proefstuk een impactbelasting

aangebracht. Figuur 5.40 toont het experimenteel opgemeten krachtsverloop bij een Charpy

kerfslagproef.

In deze grafiek is ook de energie van de uitwendige kracht berekend. Deze werd opgesplitst in

een deel voor initiatie van de scheur en een deel voor propagatie van de scheur. De

verhouding tussen de initiatie-energie en propagatie-energie is in feite een maat voor de

breuktaaiheid van het materiaal.


237

Figuur 5.39 Charpy kerfslagproef: principe (boven) en praktische uitvoering (onder) [12].

Figuur 5.40 Opgemeten krachtsverloop bij de Charpy kerfslagproef [12].


238

5.2. CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN

In nagenoeg alle beproevingsmethodes, die in paragraaf 5.1 aan bod kwamen, wordt de

belasting eendimensionaal aangebracht. In de klassieke trekproef wordt er bv. maar in één

richting aan het materiaal getrokken. Ook in de kruipproeven en vermoeiingsproeven wordt

de belasting vaak slechts in één richting aangebracht. Dergelijke proefomstandigheden zijn

vaak een grove simplificatie van de praktijk, waar dikwijls normaalspanningen en

schuifspanningen gelijktijdig optreden in verschillende richtingen. Een experimentele

simulatie van alle mogelijke belastingscombinaties is echter onmogelijk om verschillende

redenen:

de kostprijs van een dergelijk proefprogramma is te hoog,

het opleggen van verschillende combinaties van normaalspanningen en schuifspanningen

in allerlei verhoudingen zou aangepaste en complexe proefmachines vereisen,

het opmeten van de grootte en richting van de opgelegde vervormingsstoestand zou een

omvangrijke instrumentatie vereisen.

Om bovenstaande redenen is men zogenaamde breukcriteria gaan ontwikkelen: criteria die

op basis van een beperkt aantal experimentele gegevens het moment van breuk kunnen

voorspellen voor een meer complexe spanningstoestand. Deze breukcriteria bekommeren zich

niet om het afgelegde pad naar de uiteindelijke breuk, maar enkel om de voorspelling van het

moment van breuk.

Zoals vermeld in paragraaf 5.1.1, hebben ductiele en brosse materialen een zeer verschillend

breukgedrag en bijgevolg werden verschillende breukcriteria ontwikkeld voor ductiele en

brosse materialen.

In geval van ductiele materialen is de term “breukcriterium” niet correct, omdat het criterium

niet het moment van complete breuk aangeeft, maar wel het moment van vloeien. Het

voorspelt dus eigenlijk de limiettoestand waarop het lineair elastisch gebied wordt verlaten en

het vloeien begint. Dit vloeien valt niet noodzakelijk samen met het volledig bezwijken van

de constructie. Daarom wordt in de volgende paragrafen een onderscheid gemaakt tussen

(i) vloeicriteria voor ductiele materialen, en (ii) breukcriteria voor brosse materialen.

5.2.1. Vloeicriteria voor ductiele materialen

Voor de metalen, de grootste klasse van ductiele materialen, werden een aantal vloeicriteria

ontwikkeld op basis van volgende veronderstellingen:

het materiaal wordt homogeen en isotroop ondersteld tot op het moment waarop het

vloeien begint,

de vloeigrens in trek en druk wordt dezelfde ondersteld,

uit experimenten is verder gebleken dat de plastische vervorming gebeurt zonder

volumeverandering en dat de hydrostatische spanning geen invloed heeft op het vloeien.

Op basis van deze vooronderstellingen werden twee vloeicriteria ontwikkeld, die beiden

gebaseerd zijn op de maximaal toelaatbare schuifspanningen. Men had immers experimenteel

reeds heel vroeg vastgesteld dat schuifspanningen een belangrijke rol spelen in het

bezwijkgedrag van ductiele metalen. Inderdaad, wanneer een dunne plaat van zacht staal heel

fijn gepolijst wordt en vervolgens onderworpen aan een trekproef, dan ziet men tijdens het

vloeien een patroon van heel fijne lijnen, allemaal onder een hoek van ongeveer 45 met de


239

trekrichting. Deze lijnen werden voor het eerst geobserveerd door Lüder in 1854 en zijn


Figuur 5.41 Lüder’s lijnen tijdens het vloeien van een dunne stalen proefplaat in trek [6].

Wanneer men de trekproef van deze dunne staalplaat benadert door een

vlakspanningstoestand, dan kan men m.b.v. de cirkel van Mohr eenvoudig aantonen dat de

maximale schuifspanning inderdaad optreedt onder een hoek van 45 met de

belastingsrichting. Figuur 5.42 toont de cirkel van Mohr voor de vlakspanningstoestand in

geval de trekspanning de vloeigrens v heeft bereikt.


240

Figuur 5.42 Cirkel van Mohr voor vlakspanningstoestand in zuivere trek [4].

De waarde van de maximale schuifspanning max is dan de helft van de vloeigrens v. De twee

belangrijkste en meest gebruikte vloeicriteria, die op deze waarnemingen zijn gebaseerd, zijn

(i) het criterium van Tresca, en (ii) het criterium van von Mises.


241

5.2.1.a. Criterium van Tresca

Henri Tresca leidde in 1868 het criterium van maximale schuifspanning (Eng: maximum

shearing stress criterion) af uit de hierboven beschreven experimentele waarnemingen. Het

criterium stelt dat het materiaal onder een willekeurige spanningstoestand plastisch gaat

vervormen wanneer de absolute maximale schuifspanning in het materiaal de schuifspanning

max = v/2 bereikt waarbij dat materiaal gaat vloeien wanneer het uitsluitend axiaal op trek

wordt belast.

Om dit criterium toe te passen, drukt men de absolute waarde van de maximale

schuifspanning uit in functie van de hoofdspanningen I, II en III. Men kan aantonen dat

geldt:

22

vIIIImax

(5.9)

5.2.1.b. Criterium van von Mises

Von Mises beperkt zich niet tot het gebruik van de maximale schuifspanning max, maar

definieert drie schuifspanningswaarden voor zijn criterium. In elk punt kan men namelijk de

hoofdspanningen I, II en III en de bijhorende hoofdrichtingen berekenen. Nu is het zo dat

in datzelfde punt drie andere, onderling loodrechte richtingen bestaan, waar de

schuifspanningen maximaal zijn (vergelijk met de cirkel van Mohr in vlakspanning). Deze

drie schuifspanningen noteert men als:

2

2

2

III3

IIII2

IIIII1

(5.10)

Uit beschouwingen over de energie die bij het vervormingsproces betrokken is, stelde von

Mises dan volgend criterium voor vloeien voorop:

2222

2

v

2

III

2

IIII

2

IIIII

(5.11)

Omdat deze uitdrukking invariant is en niet afhangt van het gekozen assenstelsel, kan het von

Mises criterium ook uitgedrukt worden voor elke spanningstoestand:

2v

2

yz

2

xz

2

xy

2

zzyy

2

zzxx

2

yyxx 26 (5.12)


242

5.2.2. Breukcriteria voor brosse materialen

Bij breukcriteria voor brosse materialen moet men vooreerst een duidelijk onderscheid maken

tussen isotrope en anisotrope materialen. Voor isotrope brosse materialen (bv. gietijzer) zien

de breukcriteria er totaal anders uit dan voor anisotrope brosse materialen (bv. composieten).

5.2.2.a. Isotrope brosse materialen

In geval van isotrope materialen verschilt het breukgedrag van brosse materialen grondig van

dat van ductiele materialen. Zo zal het breukvlak bij een eenvoudige trekproef loodrecht staan

op de trekrichting (zie Figuur 5.43).

Figuur 5.43 Bezwijken van een bros materiaal onder trekbelasting [4].

Bij een torsieproef daarentegen maakt het breukvlak van de proefstaaf een hoek van 45 met

de afschuifrichting. Het breukoppervlak is daardoor spiraalvormig, zoals aangegeven in

Figuur 5.44.


243

Figuur 5.44 Bezwijken van een bros materiaal onder torsiebelasting [4].

Dit breukpatroon geeft aan dat de breuk onder torsiebelasting optreedt onder de maximale

trekspanning. Inderdaad, uit de cirkel van Mohr blijkt immers onmiddellijk dat de maximale

trekspanning bij een torsieproef optreedt onder een hoek van 45 met de afschuifrichting,

zoals afgebeeld in Figuur 5.45.

Figuur 5.45 Cirkel van Mohr voor torsiebelasting [4].

Voor een algemene spanningstoestand stelt men dan dat breuk optreedt wanneer de grootste

hoofdspanning I gelijk wordt aan de breukspanning die werd gemeten in een axiale

trekproef. Dit is een veel gebruikt breukcriterium voor isotrope brosse materialen.


244

5.2.2.b. Anisotrope brosse materialen

Voor anisotrope brosse materialen heeft men zich vaak geïnspireerd op breukcriteria voor

isotrope ductiele materialen, en meer in het bijzonder op het von Mises breukcriterium.

Een breukcriterium dat heel vaak wordt toegepast op het breukgedrag van

composietmaterialen, is het Tsai-Wu criterium. Net als het von Mises criterium stelt het een

kwadratische uitdrukking van de spanningen voorop, die breuk voorspelt op het moment dat

de uitdrukking gelijk wordt aan één.

In zijn meest algemene vorm geldt het breukcriterium van Tsai-Wu voor een

driedimensionale spanningstoestand, maar het wordt zelden in die vorm gebruikt.

Vezelversterkte kunststoffen worden immers vaak uitgevoerd als dunne platen of schalen en

dan onderstelt men vaak een tweedimensionale vlakspanningstoestand in elke laag van het

composiet.

Het Tsai-Wu criterium wordt dan toegepast op een afzonderlijke laag van het composiet. Het

breukcriterium wordt geschreven in het assenstelsel van orthotropie, dus volgens de lokale

assen (1

e

, 2

e

, 3

e

) (zie ook paragraaf 1.12.1):

1FFF2FFF 222111221112

2

1266

2

2222

2

1111 (5.13)

De coëfficiënten Fij en Fi zijn functie van de trek- en druksterktes in de verschillende

richtingen van orthotropie. De kwadratische termen in 2

11 , 2

22 en 2

12 zijn ongevoelig voor

het teken van de spanning, terwijl de termen in 11 en 22 wel degelijk afhangen van het teken

van de aangelegde spanning. De koppelterm in 1122 geeft de interactie weer tussen twee

onderling loodrechte spanningen, maar vaak wordt deze term nul ondersteld.

In de onderstelling dat F12 = 0, kan men de waarde van alle constanten Fij en Fi bepalen uit

eenvoudige eendimensionale trek- en drukproeven, zodat het Tsai-Wu criterium uiteindelijk

wordt:

1S

1

YY

1

XX

1

Y

1

Y

1

X

1

X

1 2

122

2

22

CT

2

11

CT

22

CT

11

CT

(5.14)

waarbij XT en XC de trek- en druksterkte voorstellen volgens de richting van de

vezelversterking, YT en YC de trek- en druksterkte loodrecht op de vezelrichting, en S de

afschuifsterkte.

Naast het Tsai-Wu criterium bestaan er nog tal van andere criteria om het breukgedrag van

anisotrope brosse materialen te voorspellen, maar die bespreking valt buiten het bestek van

deze cursus (zie [5]).


245

5.3. INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN

In paragraaf 5.1 werden een hele reeks proeven besproken: trek- en drukproeven,

buigproeven, afschuifproeven, kruipproeven, vermoeiingsproeven, impactproeven,... In vele

gevallen is men bijzonder geïnteresseerd in het verloop van de spanningen en vervormingen,

omdat deze informatie belangrijk is voor het ontwerp van de constructie. Om het mechanisch

gedrag van het materiaal tijdens de proef zo correct mogelijk op te meten, is een goede

instrumentatie van de proef dan ook zeer belangrijk.

Het is heel belangrijk te begrijpen dat men spanningen niet rechtstreeks kan meten.

Spanningen treden op in het inwendige van het materiaal en zodra men het materiaal

doorzaagt, is de spanning verdwenen. Ook in de meest eenvoudige trekproef kan men de

nominale spanning slechts berekenen, als men de kracht F en de dwarsdoorsnede A0 kent. De

instrumentatietechnieken zijn dan ook vooral bedoeld om de vervormingen op te meten. Deze

kan men immers volgen aan het oppervlak van het belaste proefstuk. Als men de elastische

eigenschappen van het materiaal kent, kan men dan uit de vervormingen de spanningen gaan

berekenen.

In deze paragraaf worden de twee belangrijkste instrumentatietechnieken voor het meten van

vervormingen besproken: (i) rekstrookjes, en (ii) moiré-technieken.

5.3.1. Rekstrookjes

5.3.1.a. Technologie van het rekstrookje

In de eerste jaren na de tweede wereldoorlog brachten de rekstrookjes een doorbraak teweeg

in de mogelijkheden om rekken te meten op werkelijke constructies en machines, in

industriële omstandigheden. Een rekstrookje bestaat uit een elektrische weerstand, met een

vorm zoals afgebeeld in Figuur 5.46.

Figuur 5.46 Rekstrookjes [13].

De weerstand heeft een zeer kleine dikte en is thans meestal vervaardigd door het etsen uit

een metaalfolie. Hij is ingebed in een drager van kunststof, die op het oppervlak van de


246

constructie gekleefd wordt. Het kleefmiddel, de drager en de elektrische weerstand zelf zijn

zo dun dat men mag aannemen dat zij vrij nauwkeurig de vervormingen van dit oppervlak

volgen. De belangrijkste eigenschap van het rekstrookje is zijn evenredigheid tussen

weerstandsverandering en rek in de langsrichting:

xxKR

R

(5.15)

waarbij R [Ohm] de weerstand is van het rekstrookje, K een evenredigheidsconstante en xx

de rek waaraan het rekstrookje in de langsrichting wordt onderworpen. Voor de meest

courante rekstrookjes is R = 120 en K = 2.0. De constante K noemt men vaak de

gevoeligheidsfactor (Eng: gauge factor).

De lengte van de drager is meestal enkele millimeter. Als de rek noemenswaardig verandert in

dit interval, meet men uiteraard de gemiddelde rek. Er zijn rekstrookjes te koop met een

meetbasis van minder dan één millimeter. Allerhande uitvoeringsvormen zijn getoond in

Figuur 5.47.

Figuur 5.47 Verschillende uitvoeringsvormen van rekstrookjes [13].

Rekmetingen met rekstrookjes vereisen de meting van zeer kleine weerstandsveranderingen

met grote nauwkeurigheid. Inderdaad, onderstel dat een rek van 50 (1 microstrain = 1 =


247

10-6) moet gemeten worden. Met K = 2.0, volgt daaruit dat R/R = 0,01 %. Voor een typische

weerstandswaarde van 120 bedraagt de weerstandsverandering R dan 12 m.

Om zulke kleine weerstandsvariaties te meten met voldoende nauwkeurigheid, wordt de

brugschakeling van Wheatstone gebruikt. Met behulp van deze schakeling worden

weerstandsvariaties omgezet in elektrische spanningen. Figuur 5.48 toont een typische

schakeling.

Figuur 5.48 Typische Wheatstone-schakeling voor meting van rekstrookjes [14].

De Wheatstone-brug wordt gevoed met wisselstroom en bevat vier weerstanden RA, RB, R1 en

R2. Het “actieve” rekstrookje RA is op de constructie gekleefd en meet de rek aan het

oppervlak van de belaste constructie. Het rekstrookje RB is een zogeheten “passief”

rekstrookje, met dezelfde kenmerken als het actieve, en gekleefd op een onbelast plaatje van

hetzelfde constructiemateriaal en op dezelfde temperatuur gehouden. De bedoeling is de

temperatuursinvloeden te compenseren. In het meettoestel zelf zijn ook twee weerstanden

ingebouwd: een regelbare weerstand R1 en een vaste weerstand R2. Men kan nu de weerstand

R1 zodanig regelen dat de stroom door de galvanometer nul is. Men zegt dan dat de

Wheatstone-brug in evenwicht is en de wijziging van de regelbare weerstand R1 is dan een

maat voor de te meten rek. Immers, bij evenwicht van de Wheatstone-brug kan men aantonen

dat geldt:

B

2

1A1B2A R

R

RRRRRR (5.16)

5.3.1.b. Meervoudige rekstrookjes

Naast het enkelvoudige rekstrookje wordt veelvuldig gebruik gemaakt van meervoudige

rekstrookjes. Deze bevatten twee of drie meetrichtingen om in een punt aan het oppervlak de

spanningstoestand te kunnen bepalen. Een rekstrookje met drie meetrichtingen noemt men

een rekstrookrozet. Figuur 5.49 toont een aantal rekstrookrozetten.


248

Figuur 5.49 Rekstrookrozetten [4].

Figuur 5.50 toont een commerciële uitvoering van een rekstrookrozet, waarbij de hoek tussen

de rekstrookjes 120 bedraagt.

Figuur 5.50 Voorbeeld van een commerciële uitvoering van een rekstrookrozet [13].

Het is belangrijk op te merken dat deze rekstrookrozetten alleen de rekken in het vlak meten.

Omdat er op het oppervlak van de constructie geen uitwendige belasting aangrijpt, meet de

rekstrookrozet dus een vlakspanningstoestand aan het oppervlak van de constructie, maar

geen vlakvervormingstoestand. In dit opzicht is de normale loodrecht op het vrije oppervlak,

een hoofdrichting van de rek en dus wordt de hoofdrek in deze richting niet door de

rekstrookrozet gemeten. De verplaatsing die door deze hoofdrek wordt veroorzaakt, heeft

echter geen invloed op de meting van de rekstrookjes.

Indien de richting van de hoofdspanningen I en II bekend is, volstaan twee meetrichtingen

onder een hoek van 90 om de vlakspanningstoestand te meten. Als de hoofdrichtingen

onbekend zijn, zijn drie meetrichtingen vereist om de spanningstoestand te meten. In een

algemene situatie zijn de assen van de drie rekstrookjes geplaatst onder de hoeken a, b en c,

zoals aangegeven in Figuur 5.49. De gemeten rekwaarden volgens deze drie richtingen noemt

men a, b en c. In hoofdstuk 1 werd aangetoond dat de transformatieformules voor

vlakvervorming de volgende zijn:


249

22xy

xxyy

xy

xy

2

yy

2

xxyy

xy

2

yy

2

xxxx

sincos2

cossin)(2

'

cossincossin'

cossinsincos'

(5.17)

Hoewel het hier gaat om een vlakspanningstoestand, mogen de formules gewoon

overgenomen worden, want het gaat om een rotatie in het vlak, loodrecht op de as z

e

.

Immers, de z-as vormt, zowel in vlakspanning als in vlakvervorming, een hoofdrichting voor

zowel de spanningen als de vervormingen. Men kan dan nagaan dat de transformatieformules

voor de componenten van de rekken in het vlak (xx, yy, xy) dezelfde zijn voor vlakspanning

en vlakvervorming (bij een rotatie rond de z-as weliswaar). Alleen voor zz is het resultaat

verschillend (gelijk aan nul in vlakvervorming, verschillend van nul in vlakspanning). Dus

voor de toepassing van rekstrookjes, waarbij enkel de rekken in het vlak worden gemeten, kan

men de transformatieformules gebruiken die eerder waren opgesteld voor vlakvervorming.

Om nu de twee onderling loodrechte rekken xx en yy en de glijding xy aan het oppervlak van

de constructie te bepalen, past men de eerste transformatieformule voor xx' drie maal toe,

voor respectievelijk a, b en c. Men verkrijgt dan een stelsel van drie vergelijkingen met drie

onbekenden (xx, yy, xy):

ccxyc

2

yyc

2

xxc

bbxyb

2

yyb

2

xxb

aaxya

2

yya

2

xxa

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

(5.18)

Eens de rektoestand (xx, yy, xy) is berekend, kan men de hoofdrichtingen bepalen en ook de

spanningen berekenen m.b.v. de formules voor een vlakspanningstoestand.

Voorbeeld 5.1

In het punt A op het vrij oppervlak van een machine-onderdeel wordt een rekstrookrozet

gekleefd. Voor de drie rekstroken R1, R2 en R3 geldt de volgende tabel:

6

6

6

101509020110R3

10150452056R2

108020R1

rekas-xmet hoek rekstrook


250

a) zoek de componenten (xx, yy, xy) van de rektensor in het punt A. Aanwijzing: zoek eerst

deze rekcomponenten in een gunstig te kiezen assenstelsel (x’, y’),

b) bepaal de rekcomponenten (xz, yz, zz) uit het vlak als de materiaalconstanten E = 210

GPa en = 0,3.


251

5.3.2. Moiré-technieken

Het moiré-effect is een optisch verschijnsel dat waargenomen wordt als twee fijne rasters

gesuperponeerd worden en waargenomen worden in doorgaand of gereflecteerd licht. Elk van

de twee rasters bestaat uit onderling evenwijdige rasterlijnen op regelmatige tussenafstand.

Als de rasterlijnen van de twee rasters verschillen in (i) tussenafstand, of (ii) oriëntatie ten

opzichte van elkaar, dan treedt interferentie op tussen beide rasters en worden zogenaamde

“moiré-franjes” gevormd.

Figuur 5.51 toont een aantal voorbeelden van moiré-franjes bij superpositie van twee moiré-

rasters. In onvervormde toestand zijn de twee moiré-rasters identiek aan elkaar, maar door

vervorming of rotatie van het ene raster t.o.v. het andere treden moiré-franjes op.

Figuur 5.51(a) toont de moiré-franjes bij rotatie van 6,5 van het ene raster t.o.v. het andere.

Figuur 5.51(b) toont de franjes bij 16 % verlenging van het ene raster t.o.v. het andere en

Figuur 5.51(c) toont de franjes als het ene raster zowel 4 rotatie als 16 % verlenging

ondergaat t.o.v. het onderliggende raster.

Figuur 5.51 Moiré-franjes bij (a) rotatie van het ene raster t.o.v. het andere, (b) verlenging van het ene raster,

en (c) rotatie en verlenging van het ene raster [13].


252

Moiré-patronen worden gebruikt voor het meten van verplaatsingen, rotaties, krommingen en

rekken. In de huidige praktijk wordt meestal één raster op het proefstuk aangebracht, terwijl

een identiek raster evenwijdig mét, en in contact met het proefstukraster wordt opgesteld. Als

het proefstuk vervormt, zal het raster dat vast aan het proefstuk bevestigd is, de vervormingen

aan het oppervlak van het proefstuk volgen. Het referentieraster vervormt uiteraard niet. De

interferentie van het vervormde proefstukraster en het onvervormde referentieraster levert

informatie over de vervorming van het proefstuk. De moiré-franjes vormen een soort

uitvergroting van de vervormingen van het onderliggend raster en leveren een visueel beeld

van de vervorming in de beschouwde zone.

Een typisch voorbeeld is de trekproef. Figuur 5.52 toont schematisch de situatie van een

onvervormd referentieraster en een getrokken proefstukraster.

Figuur 5.52 Onvervormd referentieraster en getrokken proefstukraster.

De afstand tussen de rasterlijnen van het onvervormde referentieraster is a. Deze afstand

noemt men de rasterstap of pitch. In geval van het getrokken proefstukraster is deze

rasterafstand vergroot door de vervorming van het onderliggende proefstuk in de trekproef.

De hoeveelheid doorgelaten licht van deze bovenop elkaar liggende rasters is functie van de

relatieve ligging van de rasters. Indien men het registratie-systeem (de camera, het menselijk

oog) zo instelt dat de rasterlijnen zelf niet meer onderscheiden worden, dan blijven de donkere

en heldere franjes nog steeds waar te nemen, met een min of meer continue overgang

ertussen. Bij het opmeten van franjepatronen bekijkt men gewoonlijk slechts het centrum van

de witte of de donkere franje en men noemt dit midden een moiré-lijn.

In geval van de homogene verplaatsingstoestand in Figuur 5.52 (die overeenstemt met het

voorbeeld van Figuur 5.51(b)) is het verband tussen de moiré-franjes en de rek als volgt te

begrijpen:

Uit Figuur 5.52 blijkt dat opeenvolgende heldere (of donkere) moiré franjes (“gemiddelde

intensiteit”) ontstaan, telkens wanneer het raster op het proefstuk (“gerokken raster”) een

bijkomende relatieve verplaatsing krijgt van één rasterlijntje (“rasterstap a”), ten opzichte van

het referentieraster (“oorspronkelijk raster”). Op die plaatsen overlappen de rasterlijnen van

het referentieraster en het proefstukraster elkaar exact en treedt een minimale of maximale

intensiteit op. We meten de afstand tussen twee opeenvolgende heldere (of donkere) moiré-


253

franjes (onderste curve “gemiddelde intensiteit” in Figuur 5.52) en noemen die afstand dy.

Deze afstand dy is de oorspronkelijke lengte L0 van een meetsectie van het proefstuk. De rek

in het gerokken raster wordt alsdus:

y0

0

d

a

L

LL

(5.19)

Als men een bepaalde moiré-franje kiest als referentie-franje, dan is de relatieve verplaatsing

uy t.o.v. deze franje:

aNuy (5.20)

waarbij N de orde van de moiré-franje is. Het is belangrijk op te merken dat uy de verplaatsing

is, loodrecht op de richting van de rasterlijnen.

De moiré-rasters (Eng: gratings) worden geëtst, geprint of gegraveerd. De rasterstap a varieert

tussen 10 m (100 lijnen per millimeter) en 1 mm (1 lijn per millimeter). De grovere rasters

(1 tot 5 lijnen per millimeter) zijn gemakkelijk verkrijgbaar, maar de fijnere rasters (5 tot 10

lijnen per millimeter) worden vervaardigd door de gespecialiseerde grafische industrie en zijn

moeilijker verkrijgbaar.

De nog fijnere rasters (10 lijnen per millimeter en meer) worden slechts gebruikt voor zeer

nauwkeurige spanningsanalyse. Figuur 5.53 toont het voorbeeld van een uni-axiale trekproef

op een glas/epoxy composiet met een centrale opening. Zoals reeds besproken in hoofdstuk 1,

zorgt de aanwezigheid van de ronde opening voor spanningsconcentraties rondom het gat. Dit

is duidelijk merkbaar uit de sequentie van vier moiré-patronen, die genomen zijn net vóór

breuk van het proefstuk, waarbij geldt:

(a) xx = 198 MPa,

(b) xx = 206 MPa,

(c) xx = 206 MPa,

(d) xx = 210 MPa,


254

Figuur 5.53 Sequentie van moiré-patronen bij een uni-axiale trekproef op glas/epoxy composiet [15].

Op het oppervlak van het proefstuk werd een raster aangebracht met 40 lijnen per millimeter.

Deze rasterlijnen lopen horizontaal in Figuur 5.53, terwijl de verplaatsingen van het proefstuk

in de verticale richting optreden. Uit de richting van de moiré-lijnen blijkt de zeer sterke

verstoring van het spanningsbeeld rond de centrale opening.

In dit verband is het belangrijk op te merken dat het moiré-principe steunt op de relatieve

verplaatsing van twee rasters en dus geen veronderstellingen maakt over het al dan niet

elastisch gedrag van het proefstuk.

Indien men de vervormingstoestand volledig wil kennen, moet men twee loodrecht op elkaar

staande rasters, zogenaamde kruisrasters, gebruiken. Wanneer men nu als referentieraster

eveneens een kruisraster gebruikt, dan verschijnen terzelfdertijd beide families franjes en men

kan ze moeilijk van elkaar onderscheiden. Daarom gebruikt men bij voorkeur een lijnenraster

als referentieraster en probeert dit raster in twee onderling loodrechte posities op het

vervormde kruisraster te plaatsen, waardoor men beide stellen moiré-lijnen afzonderlijk

verkrijgt. Figuur 5.54 toont het voorbeeld van een vervormd lichaam, waarop eerst een


255

verticaal referentieraster (links) wordt geplaatst, en nadien een horizontaal referentieraster

(rechts). Als men een welbepaalde franje als referentie kiest, kan men de relatieve

verplaatsing loodrecht op de rasterlijnen bepalen.

Figuur 5.54 Moiré-franjes voor twee onderling loodrechte referentierasters [13].

De procedure voor verwerking is als volgt:

Met een klassiek lijnenraster (zie bijvoorbeeld Figuur 5.51) kan men alleen een verlenging

meten in de richting loodrecht op de rasterlijnen. Indien we de volledige rektensor aan het

oppervlak willen visualiseren, kunnen we gebruik maken van een kruisraster (met lijntjes in

de horizontale én de vertikale richting) dat we aanbrengen op het proefstuk. Vervolgens

gebruiken we als referentieraster wel een klassiek lijnenraster, dat we eerst eens vertikaal

opstellen (zie Figuur 5.54, links boven) waardoor we de verplaatsing in de horizontale (dus de

x-) richting kunnen visualiseren. Uitzetten (Figuur 5.54 links midden) van de horizontale

verplaatsing in functie van de x-as geeft ons (na afleiden) de horizontale rek xx = du/dx.

Daarbij volgt Nx uit het tellen van het aantal moiré-franjes voor deze situatie, en is het

volgens de uitdrukking (5.20) een rechtstreekse maatstaf voor de verplaatsing in de x-richting.

Uitzetten (Figuur 5.54 links onder) van dezelfde horizontale verplaatsing in functie van de y-

as geeft ons (terug na afleiden) een deel van de glijding xy = ½ (du/dy + dv/dx).

Vervolgens doen we eens hetzelfde, maar daarbij plaatsen we het referentieraster nu

horizontaal; er vormt zich een ander stel moiré-franjes waaruit aldus de verplaatsing in de y-

richting kan worden gevisualiseerd (Figuur 5.54 rechterkolom).


256

5.3.3. Digitale beeldcorrelatie

De digitale beeldcorrelatietechniek (Eng.: Digital Image Correlation – DIC) werd ontwikkeld

in de vroege jaren ’80 [16]. Deze techniek maakt het mogelijk om contactloos vervormingen

op te meten. Hiertoe dient op het te beproeven materiaal een onregelmatig en contrastrijk

(spikkel) patroon aangebracht te worden. Dit gebeurt in regel door middel van een

verfpatroon maar kan ook op basis van de natuurlijke textuur van het materiaal (bvb. de

microstructuur in een geëtst proefstuk). Tijdens het beproeven wordt dit patroon op geregelde

tijdstippen geregistreerd door één of meerdere camera’s. Wanneer gebruik gemaakt wordt van

meerdere camera’s is het mogelijk om in de driedimensionele ruimte vervormingen te

bepalen. Hiertoe vergelijkt specifieke software de beelden genomen op verschillende

tijdstippen en probeert overeenkomstige zones te identificeren in de verschillende beelden (zie

Figuur 5.55). Deze identificatie gebeurt op basis van de lokale grijswaardenverdeling. Een

contrastrijk, onregelmatig patroon dat voldoende spikkels bevat is hierbij van essentieel

belang. Door identificatie van gebieden met eenzelfde patroon kunnen vervolgens

verplaatsingen bepaald worden. Op basis van deze verplaatsingen kunnen de lokale rekken

bepaald worden. Aldus wordt het mogelijk om de lokale plastische uitputting van het

materiaal te begroten en falen te voorspellen en/of te begrijpen. De mate van detail in

ruimtelijke resolutie hangt hierbij nauw samen met de resolutie van de gebruikte camera’s en

de grootte van het te onderzoeken gebied.

Het laboratorium Soete maakt voor het toepassen van de DIC techniek gebruik van twee

camera’s met een resolutie van vijf megapixels. Voor het verkrijgen van het spikkelpatroon

wordt steeds een homogene witte verflaag aangebracht waarna zwarte verfspikkels met een

spuitbus of compressor (naargelang de beoogde grootte) worden verneveld.

Tijdstip t0 Tijdstip t1 Tijdstip t2

Figuur 5.55 Het lokaal correleren van vervormde gebieden op verschillende tijdstippen door het opvolgen van

onregelmatige spikkels leidt tot de bepaling van verplaatsingsfuncties [17].

Digitale beeldcorrelatie heeft in vergelijking met meer conventionele vervormings- en

rekmetingen (bijvoorbeeld rekstrookje of extensometer) enkele (evidente) voordelen, die

hieronder kort worden uitgelegd.


257

De vervormingen van een uitgestrekt oppervlak worden in kaart gebracht. Dit

oppervlak kan een groot deel van het proefstuk omvatten, of eerder focussen op een

zeer kleine specifieke zone (bijvoorbeeld de las en de aangrenzende

warmtebeïnvloede zone).

Digitale beeldcorrelatie is een contactloze meettechniek en vereist dus geen montage

van sensoren op het proefstuk.

De vervormingen opgemeten met DIC laten toe om alle rekcomponenten in het

opgemeten vlak te bekomen. Beeldcorrelatie berekent dus simultaan horizontale,

verticale en schuifrekken.

Als het aangebrachte spikkelpatroon hiertegen bestand is, is digitale beeldcorrelatie

in staat om zeer grote rekwaarden op te meten.

Anderzijds heeft het optische meetprincipe enkele onlosmakelijke beperkingen.

Digitale beeldcorrelatie vereist een goede zichtbaarheid van het op te meten

oppervlak. Deze zichtbaarheid kan verhinderd worden door mechanische onderdelen

zoals klemmen van de trekbank en koelpanelen, en door dauw indien beproefd wordt

bij temperaturen onder het vriespunt.

Metingen met digitale beeldcorrelatie zijn in de regel minder nauwkeurig dan met

rekstrookjes of LVDTs. In optimale omstandigheden (belichting, spikkelkwaliteit,

systeemkalibratie) kan hoogstens een nauwkeurigheid van ruwweg 0,01% (of

100.10-6) rek bekomen worden.

Het aanbrengen van een geschikt spikkelpatroon is werkintensief. Dat maakt digitale

beeldcorrelatie minder geschikt voor routine (industriële) toepassingen. Bovendien is

een studie naar de geschikte spikkelgrootte en bijhorende spikkelprocedure vereist

vooraleer nieuwe geometrieën met succes optisch kunnen onderzocht worden.

De digitale beeldcorrelatie techniek kent vele toepassingsgebieden, zoals biomechanica,

grondmechanica, (breuk)mechanica van metalen en composieten, .... In wat volgt, worden

twee specifieke toepassingen uit het gebied van de lasbeproeving verder toegelicht: klassieke

transversale trekproeven op lassen en grootschalige trekproeven op panelen met gekerfde

lassen.

Het uitvoeren van transversale trekproeven is een wezenlijk onderdeel van de kwalificatie van

lasprocessen. Hierbij wordt een genormeerd proefstuk loodrecht op de las uitgenomen en

onderworpen aan een trekbelasting tot falen (Figuur 5.56). De uitkomst bij dergelijke proeven

betreft vaak niet meer dan de kracht bij breuk en/of plaats van falen (binnen of buiten de las).

Echter, het opvolgen van de vervormingen tijdens het beproeven laat toe om heel wat extra

informatie te verwerven over de verbinding.

Bree

dte

(25

mm

)W

andd

ikte

Lengte(150 mm)

Bekeken met DIC

Figuur 5.56 Schematische voorstelling van transversale trekproefstaaf.


258

Als eerste voorbeeld kan de verzachting in een door warmte beïnvloede zone (WBZ)

aangehaald worden. Dikwijls kan op basis van hardheidsmetingen de aanwezigheid van een al

dan niet verzachte WBZ aangetoond worden (zie Figuur 5.57); dit is een specifiek probleem

bij het lassen van hoogsterkte, laaggelegeerde staalsoorten. Echter blijft de vraag in welke

mate deze verzachting het globale vervormingsgedrag van de gelaste verbinding beïnvloedt.

Door het gebruik van digitale beeldcorrelatie tijdens het beproeven, worden in meerdere of

mindere mate lokaal verhoogde vervormingen waargenomen. In dit geval werd een zone van

15 x 60 mm² gevolgd, waarop spikkels met een grootte van ongeveer 0.1 x 0.1 mm² waren

aangebracht. Het is duidelijk dat de vervormingen zich concentreren volgens de fusielijn in de

WBZ (zie Figuur 5.57). Op die manier wordt duidelijk waar het falen initieert, iets wat vaak

moeilijk post-mortem te bepalen valt.

0

100

200

300

400

-20 -10 0 10 20

Vic

kers

Har

dh

eid

10

kg [

MP

a]

Afstand vanaf midden van de las [mm]

WBZ WBZ

Hardheidsmetingen

Re

k in

lan

gsri

chti

ng

(%)

0,0

8,0

4,0

Figuur 5.57 Hardheidsprofiel en rekverdeling in lasverbinding.

Het laboratorium Soete heeft de laatste decennia wereldwijd faam verworven met de

grootschalige beproeving van omtrekslassen van pijpleidingen (proefstuk ca. 300 mm breed

en 1000 mm lang, trekkracht tot 8000 kN). Met deze zogenaamde CWP (Eng.: ‘Curved Wide

Plate’) trekproeven wordt de invloed onderzocht van een lasfout (gesimuleerd door middel

van een aangebrachte kerf, zie Figuur 6) op het faalgedrag en de vervormingscapaciteit van de

lasverbinding.

Aan de Universiteit Gent werd een grootschalig proefstuk (ca. 150 mm breed en 500 mm

lang, trekkracht tot 2500 kN) ontwikkeld om de invloed te onderzoeken van een lasfout op het

faalgedrag en de vervormingscapaciteit van een lasverbinding (in pijpleidingen) onderworpen

aan een trekbelasting. voor uitgebreid met metingen via beeldcorrelatie. Figuur 5.58 illustreert

de optische analyse van twee zulke trekproeven, waarop spikkels van ruwweg 1 x 1 mm²

waren aangebracht. De contourplots tonen rekdistributies in de langsrichting van het

proefstuk. Beide proefstukken werden uit eenzelfde pijpsectie met omtreklas genomen en

bevatten een kerf van identieke grootte (40 mm x 3 mm). De kerflocatie was echter

verschillend: de ene las was gekerfd in het centrum van de las, de andere in de door warmte

beïnvloede zone.


259

0,0

11,1

0,0

5,6

0,0

1,0

Proefstuk met kerf in centrum van las

0,0

28,2

0,0

5,3

0,0

0,9

Proefstuk met kerf in warmtebeïnvloede zone

Rek in langsrichting (%)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

Basismetaal 1 Basismetaal 2 Basismetaal 1 Basismetaal 2

Rek in langsrichting (%)

Las

Kerf

Las

Kerf150 mm

Trekkracht

Discontinu vloeien

Vervorming concentreertin zwakkere basismetaal 2

Las snoert in rondom kerf Basismetaal 2 snoert in

Figuur 5.58 Optisch gemeten rekdistributies in twee grootschalige trekproeven op gekerfde lasverbindingen

(aangelegde kracht neemt toe van (a) tot (c)).

De optische analyses tonen bijvoorbeeld aan dat:

het pijpleidingstaal een discontinu vloeigedrag (propagatie van Lüdersbanden)

vertoont (figuren (a));

het basismateriaal ‘1’ significant sterker is dan basismateriaal ‘2’, aangezien het veel

minder rekt (figuren (b));

de kerflocatie een grote invloed kan hebben op het faalgedrag. In dit geval leidt de

eerste locatie tot falen ter hoogte van de las. Voor de tweede locatie bleek de las een

sterkere schakel dan het rechter basismateriaal ‘2’ dat uiteindelijk insnoerde.


260

5.3.4. Optische vezelsensoren

Optische vezels worden reeds geruime tijd gebruikt in de telecommunicatie als

overdrachtmedium voor snelle dataverbindingen. De laatste jaren vinden deze vezels ook

toepassing in de inspectie van constructies en grote bouwwerken.

Optische vezels zijn glasvezels met een diameter van 125 tot 250 m. Voor het gebruik als

detectietechniek, wordt in de glasvezel een zogeheten Bragg-rooster aangebracht. Dit rooster

heeft een typische lengte van een paar millimeter.

De bijzondere eigenschap van dit Bragg-rooster is geïllustreerd in Figuur 5.59: als men licht

met een breed spectrum inleidt in de optische vezel, dan zal slechts een zeer smal spectrum

gereflecteerd worden door het Bragg-rooster, terwijl de rest van het spectrum verder

propageert door de vezel. De centrale golflengte van dit gereflecteerde spectrum noemt men

de Bragg-golflengte B. Het Bragg-rooster is dus een soort spiegel voor een zeer specifieke

golflengte.

Figuur 5.59 Werkingsprincipe optische vezel met Bragg-rooster [18].

Wanneer nu de optische vezel wordt bevestigd aan het oppervlak van óf binnenin een reële

constructie, dan zal de optische vezel en dus het Bragg-rooster mee vervormen met de

constructie. Bij vervorming van het Bragg-rooster (verlenging, verkorting) verschuift echter

de Bragg-golflengte B van het gereflecteerde spectrum. Deze verschuiving is precies lineair

evenredig met de aangelegde rek in de richting van de vezel.

Bragg-sensoren bieden volgende voordelen t.o.v. andere inspectiemethodes:

door hun zeer kleine afmetingen verstoren zij nauwelijks de constructie waarin ze worden

ingebed,

weerstand tegen hoge temperaturen en drukken,

quasi ongevoeligheid voor corrosie en vermoeiing,

immuniteit voor elektromagnetische interferentie.


261

Bragg-sensoren worden gebruikt om het gedrag van staalwapening in gewapend beton op te

volgen (o.a. in brugdekken), om de krimp van uithardend cement te meten, om de drukcyclus

in drukvaten te volgen,...

Zo werd een betonbrug over de Gentse Ringvaart geïnstrumenteerd met optische vezels (in

een samenwerking van de vakgroep Labo Magnel en de vakgroep Mechanische Constructie

en Productie van de Universiteit Gent en het Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap).

Figuur 5.60 toont de werken aan deze betonbrug (boven) en de ligging van de optische vezels

in een dwarsdoorsnede van het betonnen brugdek (onder).

Figuur 5.60 Werken aan de brug over de ringvaart en ligging van de Bragg-sensoren in een dwarsdoorsnede

van de voorgespannen betonligger [18].

Deze optische vezels werden reeds tijdens het gieten van de betonbalk bevestigd op de

staalwapening. Tijdens de voorspanning van de staalkabels kon men het hele voorspanproces

volgen via het signaal van de optische vezels.

Een andere toepassing van optische vezels loopt in een project van de vakgroepen Labo

Magnel en Mechanische Constructie en Productie van de Universiteit Gent met andere

Belgische universiteiten. In dit project wordt de optische vezel gebruikt als meetsensor in een

dynamische vervormingsmeter bij trillingen van de brug. De idee achter het onderzoek is dat

een beschadigde brug anders zal trillen bij bv. de doorgang van een zware vrachtwagen, dan

een onbeschadigde brug. Daarom heeft men proeven gedaan met gewapende betonbalken,

waarop een valgewicht werd geïmpacteerd. De vrije (gedempte) trilling van de balk na impact

werd opgemeten door de optische vezelsensor.


262

Figuur 5.61 toont de bevestiging van de dynamische vervormingsmeter aan de onderkant van

de gewapende betonbalk (80 cm hoogte), terwijl Figuur 5.62 de opgemeten gedempte trilling

toont voor de intacte betonbalk (boven) en voor de beschadigde balk (onder).

Figuur 5.61 Extensometer met Bragg-sensor bevestig aan de onderkant van een gewapende betonbalk [18].

Figuur 5.62 Gedempte trilling van een onbeschadigde (boven) en beschadigde (onder) betonbalk [18].


263

5.4. SCHADEMECHANISMEN

In de voorgaande bespreking van de verschillende types proeven werd vooral gefocusseerd op

het verloop van spanningen en rekken in trekproeven, kruipproeven, impactproeven,... In vele

gevallen wordt tijdens deze proeven blijvende schade veroorzaakt in het proefstuk: plastische

vervorming, scheuren of kerven,...

Deze schade kan echter zeer sterk verschillend zijn naargelang het type materiaal dat wordt

beproefd. Dat wordt treffend geïllustreerd door Figuur 5.63.

Figuur 5.63 Drie types breukpatronen (a), (b) en (c) in compleet verschillende materialen [3,19].


264

Deze figuur geeft van boven naar onder drie types breukpatronen (a), (b) en (c) weer in

telkens compleet verschillende materialen. Links vindt men de beeldopname met een kleine

vergrotingsfactor, rechts met een zeer grote vergrotingsfactor. De schalen zijn weergegeven in

de rechterbenedenhoek van elke opname.

(a) gelaagd breukpatroon bij een gelaagd SiC/koolstof composiet,

(b) breukoppervlak in laaggelegeerd staal met “chevrons” (V-vormige merktekens waarvan

de punt naar het begin van de breuk wijst),

(c) vezelbreuk in koolstofvezelversterkte kunststof.

In de volgende paragraaf wordt een kort overzicht gegeven van de schadetypes in een aantal

materialen, m.n. (i) metalen, (ii) gewapend beton, (iii) kunststoffen, en

(iv) composietmaterialen. Verder worden een aantal veel gebruikte methodes voor

schadedetectie en -diagnose besproken.

5.4.1. Schadetypes

5.4.1.a. Metalen

In metalen bestaat de schade vooral uit scheuren die de breuk van het materiaal inleiden.

Globaal onderscheidt men twee types breuken: (i) glijdbreuken, en (ii) splijtbreuken.

Glijdbreuken

Bij glijdbreuken wordt de breuk voorafgegaan door een aanzienlijke plastische vervorming.

Deze breukvorm komt dus overeen met het taai gedrag van metalen. Het metallografisch

uitzicht van een dergelijk breukoppervlak is zeer typisch. Een voorbeeld is getoond in Figuur

5.64.

Figuur 5.64 Breukoppervlak van een 0,2 % C, 1,4 % Mn staal na ductiel scheuren [19].


265

Splijtbreuken (Eng: cleavage)

Splijtbreuken treden op zonder noemenswaardige plastische vervorming. Deze brosse breuk is

zeer gevreesd, omdat zij zeer plots optreedt. Figuur 5.65 toont een voorbeeld van een bros

breukoppervlak van een Fe – 1,8 % Si legering. Men herkent nauwelijks enig spoor van

plastische vervorming: de breukvlakjes zijn vlak en bevatten kleine trapjes, die overeenkomen

met sprongen in het breukoppervlak. Metalen die zich onder normale

gebruiksomstandigheden taai gedragen, kunnen toch bros breken bij verlaagde temperaturen

en/of hoge vervormingssnelheden.

Figuur 5.65 Breukoppervlak na brosse breuk [19].

5.4.1.b. Gewapend beton

Zoals reeds bleek uit de trek- en drukproef van beton, is de druksterkte van beton vele malen

groter dan de treksterkte. In de trekzone breekt beton op brosse wijze. Vandaar dat men het

beton in de trekzone vaak versterkt met wapeningsstaal dat de trekspanningen moet opnemen.

In gewapende betonbalken start de schade dan ook meestal met scheuren in het getrokken

beton. Bij zeer zware belasting gaat dan tenslotte het wapeningsstaal vloeien en bezwijkt de

volledige balk. Figuur 5.66 toont een zijaanzicht van een gewapende betonbalk in het midden

van zijn overspanning.

Figuur 5.66 Scheuren in gewapende betonbalk.


266

5.4.1.c. Kunststoffen

Kunststoffen hebben veelal een vrij bros gedrag. De scheuren vertonen dan ook weer vrij

vlakke breukvlakken. Soms kan men op het breukoppervlak een rivierpatroon ontdekken,

zoals weergegeven in het breukoppervlak van een epoxyhars in Figuur 5.67.

Figuur 5.67 Rivierpatroon op het breukoppervlak van een epoxyhars [19].

5.4.1.d. Composietmaterialen

Wanneer men kunststoffen gaat versterken met vezels, dan gedraagt de vezelversterkte

kunststof zich soms heel wat taaier dan de onversterkte kunststof, en dit niettegenstaande het

feit dat de versterkingsvezels op zich ook vaak een bros breukgedrag vertonen.

Anderzijds is het aantal schademechanismen in een dergelijk composietmateriaal zeer divers.

Men kan drie grote schadetypes onderscheiden: (i) matrixscheuren, (ii) verlies aan hechting

tussen vezel en matrix, (iii) delaminaties, en (iv) vezelbreuk.

Matrixscheuren

Deze scheuren komen voor in de kunststofmatrix waarin de versterkingsvezels zijn ingebed.

Figuur 5.68(a) toont de matrixscheuren in een ± 55 glas/polyester composiet. Voor dit

schadetype is de hechting tussen de kunststof en de ingebedde versterkingsvezel van groot

belang. Figuur 5.68(b) en (c) tonen een sterk vergrote opname van het pad van een

matrixscheur. In geval van een zwakke hechting tussen vezel en matrix (Figuur 5.68(b)) loopt

de scheur volledig in de matrix, terwijl in geval van een sterke hechting tussen vezel en

matrix (Figuur 5.68(c)), de scheur soms ook dwars door de versterkingsvezels loopt.


267

Figuur 5.68 Matrixscheuren in een ± 55 glas/polyester composiet [19].

Verlies aan hechting tussen vezel en matrix

In dit geval treedt hechtingsverlies op tussen de matrix en de ingebedde vezelbundels. De

hechting (of het gebrek eraan) wordt sterk beïnvloed door het type coating dat op de vezels

wordt aangebracht (bv. silaancoating op glasvezel).

Delaminaties

Delaminaties zijn een typisch schadefenomeen voor gelaagde vezelversterkte composieten.

Vaak bestaan vezelversterkte composieten immers uit verschillende lagen, waarbij de

oriëntatie van de versterkingsvezels kan verschillen van laag tot laag (om voldoende stijfheid

te bekomen in de verschillende belastingsrichtingen). Tussen deze verschillende lagen kan de

hechting verloren gaan, zodat aanpalende lagen los komen van elkaar. Dit schadefenomeen

noemt men een delaminatie.

Figuur 5.69(a) toont een delaminatie tussen de middenste laag en de laag eronder in een

(25/-25/90/-25/25) stapeling van een koolstof/epoxy composiet. Zoals weergegeven in

Figuur 5.69(b), kan een delaminatie samen voorkomen met matrixscheuren. Afhankelijk van

de weerstand die de scheur op haar pad ondervindt, kan zij verder groeien als een

matrixscheur óf afbuigen tussen twee lagen en verder groeien als een delaminatie tussen twee

lagen.


268

Figuur 5.69 (a) delaminatie tussen de middenste laag en de laag eronder in een (25/-25/90/-25/25)

stapeling van een koolstofvezelversterkt epoxy, (b) combinatie van schade in én tussen de lagen

[20].

Delaminaties zijn zeer geduchte schadefenomeen bij bijvoorbeeld vliegtuigvleugels en wieken

van windmolens. Door impact van vogels of steenslag kan delaminatie ontstaan tussen twee

interne lagen, zonder dat de omvang van de schade zichtbaar is van buitenuit.

Bovendien kunnen delaminaties zich zeer snel voortplanten, omdat zij niet in de laag, maar

tussen de lagen lopen, waar de weerstand tegen scheuruitbreiding meestal veel kleiner is.

Vezelbreuk

Aangezien de versterkingsvezels precies de sterkte leveren van het vezelversterkt composiet,

is vezelbreuk nagenoeg altijd een schadefenomeen dat leidt tot het volledig falen van de

constructie.

Figuur 5.70 toont het bezwijken van een staaf uit koolstofvezelversterkt epoxyhars, waarbij de

volledige versplintering van de vezelbundels een typisch fenomeen is voor koolstofvezels.


269

Figuur 5.70 Vezelbreuk van een staaf uit koolstof/epoxy materiaal [19].

Figuur 5.71 toont het falen van een composietbuis uit glas/polyester onder inwendige druk.

De versterkingsvezels zijn gewikkeld onder een hoek van ± 55 met de lengteas van de buis.

Figuur 5.71 Vezelbreuk van een composietbuis uit glas/polyester [19].


270

5.4.2. Schadedetectie en -diagnose

Detectie en diagnose van schade kan globaal op twee manieren gebeuren: (i) destructief, en

(ii) niet-destructief. Het grote voordeel van niet-destructief onderzoek is dat de

onderzoeksmethode zélf geen bijkomende schade veroorzaakt in de constructie, terwijl i.g.v.

destructief onderzoek het proefstuk bv. moet verzaagd worden om de schade in de

dwarsdoorsnede te bestuderen.

Het is evident dat voor constructies die in gebruik zijn, niet-destructieve methodes moeten

aangewend worden. En de toepassingsvoorbeelden zijn legio: laswerk in booreilanden,

pijpleidingen, scheepssecties en opslagtanks, motoren en landingsgestellen in lucht- en

ruimtevaart, krukassen in voertuigen, stalen bruggen en gewapende betonbruggen,...

In het laboratorium daarentegen kan men destructieve methodes toepassen om de schade-

ontwikkeling in een bepaald materiaal in opeenvolgende stadia te onderzoeken. Ook na het

onverwacht bezwijken van een constructie kan men destructieve technieken aanwenden om de

oorzaak van het falen te achterhalen.

Hieronder worden een aantal destructieve en niet-destructieve technieken voor

schadediagnose en –detectie beschreven.

5.4.2.a. Visuele inspectie

De visuele inspectie is nog altijd van een onschatbare waarde, want heel wat beschadigingen

kan men vaak reeds op het zicht vaststellen: krassen of scheuren aan het oppervlak,

vormfouten,... In doorzichtige materialen zoals glas en sommige kunststoffen kan men zelfs

fouten in het inwendige materiaal detecteren.

Uiteraard wordt het menselijk oog vandaag de dag bijgestaan door heel krachtige

microscopen. Voor een optimale visuele inspectie worden de proefmonsters eerst ingebed in

een hars, dan gepolijst en tenslotte bekeken onder krachtige microscopen. Figuur 5.72 toont

het voorbeeld van een gepolijste dwarsdoorsnede van een met glasweefsel versterkt

epoxyhars. Het monster werd gepolijst tot een oppervlakteruwheid van 3 m en

gefotografeerd met een vergroting van 50 .

Figuur 5.72 Voorbeeld van een gepolijst glas/epoxy composiet [21].


271

De meest geavanceerde en meest gebruikte microscoop is wellicht de Scanning Electron

Microscope (SEM) [3]. Dit toestel stuurt een heel fijn gefocusseerde elektronenbundel uit

naar het te bestuderen materiaaloppervlak en ontleedt de teruggekaatste excitatie-energie van

de elektronen in de oppervlaktelagen van het materiaal. Vergrotingen tot 150 000 zijn

mogelijk. Figuur 5.73 illustreert met een voorbeeldje tot wat de SEM-microscoop in staat is:

op de SEM-opname staat een mier afgebeeld met een IC-chip tussen haar kaken.

Figuur 5.73 Voorbeeld van de mogelijkheden van SEM: opname van een mier met een IC-chip tussen haar

kaken [3].

5.4.2.b. Ultrasoon onderzoek

Mechanische trillingen kunnen zich voortplanten in vaste stoffen, vloeistoffen en gassen. Als

de frequentie van deze mechanische trillingen ligt tussen 10 Hz en 20 000 Hz, is de trilling

hoorbaar en spreekt men van geluid. Frequenties boven 20 000 Hz zijn niet hoorbaar voor het

menselijk oor en dergelijke geluidsgolven noemt men ultrasoon. Precies deze ultrasone

golven gebruikt men om op een niet-destructieve manier kerven, lasfouten en andere defecten

in het materiaal op te sporen. Omdat deze methode zeer belangrijk is voor de praktijk, wordt

zij wat meer in detail besproken.

Het is vooreerst belangrijk op te merken dat ultrasone golven mechanische trillingen zijn, en

géén elektromagnetische golven. Verder hangt hun voortplantingssnelheid af van het soort

materiaal waarin de geluidsgolven zich voortplanten. Tabel 3.2 geeft een overzicht van de

ultrasone snelheden in verschillende isotrope materialen. De voortplantingssnelheden

verschillen voor longitudinale golven (linkerkolom) en transversale golven (rechterkolom).

Longitudinale golven kunnen zich in alle stoffen voortplanten, transversale golven alleen in

vaste stoffen met voldoende stijfheid.


272

Tabel 3.2 Ultrasone snelheden in verschillende materialen [22].

De golflengte van de ultrasone golf kan men dan eenvoudig berekenen uit de formule:

f

V (5.21)

waarbij V [m/s] de voortplantingssnelheid is in het beschouwde materiaal en f [Hz] de

frequentie van de mechanische trilling.

Om het werkingsprincipe van ultrasoon onderzoek te begrijpen, moet men het begrip

akoestische impedantie erbij halen. De akoestische impedantie Z van een materiaal wordt

gedefinieerd als:

VZ (5.22)

waarbij V de voortplantingssnelheid is van de ultrasone golf en de dichtheid van het

materiaal. Als een ultrasone golf invalt op een grensoppervlak tussen twee materialen, dan

bepaalt het verschil in akoestische impedantie van beide materialen of de golf grotendeels

wordt doorgelaten of gereflecteerd. Tabel 3.3 geeft een overzicht van de akoestische

impedantie van verschillende materialen.


273

Tabel 3.3 Akoestische impedantie van verschillende materialen [13].

Zoals duidelijk blijkt uit deze tabel Tabel 3.2, is de akoestische impedantie van bijvoorbeeld

staal en lucht totaal verschillend. Van deze eigenschap maakt men gebruik in het ultrasoon

onderzoek. Op het materiaaloppervlak wordt een ultrasone taster geplaatst die een

mechanische trilling opwekt in het materiaal, zoals geïllustreerd door Figuur 5.74. Vaak

wordt een trilfrequentie tussen 1 en 15 MHz gebruikt.

Figuur 5.74 Basisprincipe van ultrasoon onderzoek [22].


274

Wanneer zich in het materiaal een holte, scheur of vormfout bevindt, zal de voortplanting van

de ultrasone golven verstoord worden. In het bijzonder zal het grensvlak tussen het materiaal

en de holte zorgen voor een gedeeltelijke reflectie en transmissie van de ultrasone golven.

Precies omwille van de sterk verschillende akoestische impedantie van staal en lucht, wordt

een zeer groot gedeelte van de golf gereflecteerd door de holte. Vaak wordt de ultrasone taster

aan het materiaaloppervlak uitgevoerd als een simultane zender (Eng: transmitter) en

ontvanger (Eng: receiver). Een typisch ontvangen signaal is weergegeven in Figuur 5.75. Het

signaal wordt opgepikt door de ultrasone taster en zichtbaar gemaakt op een oscilloscoop. De

horizontale as is de tijdsas en de verticale as bevat de amplitude van de ultrasone golf. Een

dergelijke voorstelling noemt men een A-scan, maar ook andere grafische voorstellingen van

het signaal zijn mogelijk (B-, C- en D-scan). De eerste puls is het gereflecteerde deel van de

ultrasone golf aan het bovenoppervlak van het materiaal, de tweede echo is de reflectie van de

holte en de laatste echo is de reflectie aan de onderkant van de plaat. Het is belangrijk op te

merken dat men uit de tijdsvertraging tussen de reflecties van de golf aan de boven- en

onderkant van de plaat de dikte van de plaat kan berekenen, als men de

voortplantingssnelheid van de ultrasone golf in het materiaal kent.

Figuur 5.75 Standaard A-scan van het materiaal [22].

Ultrasoon onderzoek is dus een niet-destructieve techniek, die fouten in het materiaalvolume

kan ontdekken zonder het materiaal te beschadigen. Deze techniek wordt dan ook zeer vaak

gebruikt voor de controle van lasfouten en kerven in metalen constructies. Figuur 5.76 toont

een voorbeeld van een dergelijke opstelling. Twee platen zijn aan elkaar gelast, maar er zijn

twee lasfouten geïnduceerd: (i) de las loopt niet door over de volledige dikte van de plaat (L),

en (ii) er is een slak-insluitsel aan de bovenkant van de las (S).

Bovenaan in Figuur 5.76 is de klassieke A-scan afgebeeld, die de reflecties in de loop van de

tijd weergeeft. De B-scan toont de grootte en positie van de lasfouten in een dwarsdoorsnede,

loodrecht op de las. De C-scan toont een tweedimensionaal zicht van het plaatoppervlak met

informatie over de lasfouten in het onderliggend materiaal. Deze scan geeft echter geen

informatie over de precieze diepte van de lasfouten t.o.v. het oppervlak. De D-scan tenslotte

toont een dwarsdoorsnede evenwijdig met de las. Uit de combinatie van deze verschillende

scantypes kan men zeer nauwkeurig de positie, de grootte en de ernst van de lasfouten

inschatten.


275

Figuur 5.76 A-, B-, C- en D-scan van een las in het materiaal [22].

Figuur 5.77 toont een ander voorbeeld van lasinspectie, waarbij de zender en ontvanger van

de ultrasone taster op een verschillende plaats zijn gepositioneerd. Hier bestaat de lasfout uit

een kerf net naast de las.


276

Figuur 5.77 Lasinspectie m.b.v. ultrasoon onderzoek [22].

De basistechniek van het ultrasoon onderzoek, zoals die tot hiertoe werd besproken, maakt

gebruik van een ultrasone taster in direct contact met het materiaaloppervlak. Deze techniek is

echter niet geschikt voor proefstukken met een complexe geometrie. Het is immers zeer

moeilijk om de sturing van de ultrasone taster zodanig te automatiseren dat hij altijd in

contact blijft met het materiaaloppervlak. Dit contact tussen ultrasone taster en

materiaaloppervlak is echter net extreem belangrijk, want als er een luchtspleet ontstaat tussen

de taster en het materiaaloppervlak, dringt de ultrasone golf nauwelijks meer binnen in het

proefstuk, opnieuw omwille van de zeer lage akoestische impedantie van lucht.

Om nu het gevaar van contactverlies tussen de ultrasone taster en het proefstuk te omzeilen,

wordt het volledige proefstuk ondergedompeld in water. Zoals blijkt uit Tabel 3.3, is de

akoestische impedantie van water zowat 3700 maal groter dan deze van lucht, zodat bij de

grensovergang van water naar het proefstuk een veel groter deel van de golf wordt

doorgelaten in het proefstuk.

De twee meest gebruikte technieken bij ultrasoon onderzoek met water als koppelingsmedium

zijn weergegeven in Figuur 5.78.

In de eerste methode ( in Figuur 5.78) bevindt de zender zich boven het proefstuk en de

ontvanger eronder. Dit noemt men de transmissie-methode. In de tweede methode ( in

Figuur 5.78) fungeert de ultrasone taster als zender en eveneens als ontvanger voor het

teruggekaatste signaal. Deze laatste methode noemt men de puls-echo methode.


277

Figuur 5.78 Schematische voorstelling van de twee meest gebruikte technieken voor ultrasoon onderzoek: (1)

transmissie, en (2) weerkaatsing [7].

Deze technieken worden zeer vaak toegepast op vezelversterkte kunststoffen. Vezelversterkte

kunststoffen worden immers toegepast in kritische onderdelen zoals vliegtuigvleugels en

wieken van windmolens. Ultrasoon onderzoek is zeer geschikt voor het detecteren van

delaminaties in composieten, zoals geïllustreerd door Figuur 5.79.

Figuur 5.79 Voorbeeld van C-scan in (a) transmissie, en (b) puls-echo van een gedelamineerde koolstof/epoxy

plaat [7].


278

5.4.2.c. Radiografie

Traditioneel wordt onder radiografie verstaan: de verzameling van niet-destructieve

onderzoekstechnieken, waarbij het te onderzoeken werkstuk wordt doorstraald met

elektromagnetische straling van zeer korte golflengten. Op een radiografische opname

ontstaan de verschillen in zwarting door verschillen in absorptie van Röntgenstralen of X-

stralen door de verschillende zones van het proefstuk. Deze elektromagnetische straling

bevindt zich in het hoogfrequent gebied (frequentie > 31017 Hz en golflengte < 1 nm).

Essentieel ziet men dus hetzij verschillen in dikte, hetzij verschillen in absorptie door het

materiaal. Holtes met voldoende afmeting kunnen herkend worden, omdat lucht de straling

bijna niet absorbeert. Volumetrische fouten worden het best gedetecteerd, terwijl de

detectiekans op het aantonen van vlakke fouten afhangt van de aanstraalrichting. Vandaar dat

bij veel toepassingen, zeker als het detecteren van scheuren van belang is, naast radiografisch

onderzoek de ultrasone techniek als complementaire inspectiemethode wordt voorgeschreven.

Om scheuren duidelijker zichtbaar te maken, laat men vaak ook een vloeistof, een penetrant,

indringen in het te onderzoeken oppervlak. Deze penetrant is zodanig gekozen dat zij de

Röntgenstralen sterk absorbeert, zodat een veel beter contrast bekomen wordt tussen het

foutvrij materiaal en de scheuren. Figuur 5.80 toont een radiografie van een

[+25/-25/90/90/-25/+25] koolstof/epoxy composiet dat in trek wordt belast tot breuk.

De penetrant di-iodobutaan werd gebruikt om het contrast te verbeteren. Figuur 5.80(a) toont

de schade bij een trekkracht die 95 % van de breukbelasting bedraagt (xx = 0,64 %). De

delaminaties aan de vrije randen en de matrixscheuren zijn heel duidelijk zichtbaar. Figuur

5.80(b) toont de schade bij breuk (xx = 0,67 %).

Figuur 5.80 Radiografie van een [+25/-25/90/90/-25/+25] koolstof/epoxy composiet onder trekbelasting

[20].


279

In Hoofdstuk 1 werd aangetoond dat ronde gaten in een plaat spanningsconcentraties

veroorzaken. Hoewel de bespreking toen werd gevoerd voor een homogeen en isotroop

materiaal, geldt dezelfde conclusie voor vezelversterkte kunststoffen. Figuur 5.81 toont het

schadepatroon in een koolstofvezelversterkt epoxyhars met een ronde opening in het midden

van de plaat. De plaat werd in vermoeiing belast met een wisselende trek-druk belasting. Uit

de radiografie blijkt duidelijk dat de schade zich concentreert rond de opening.

Figuur 5.81 Matrixscheuren en delaminaties rond de opening in een koolstof/epoxy plaat [20].

5.4.2.d. Thermografie

Thermische inspectie omvat die onderzoeksmethoden, waarmee, door middel van

energieoverdracht via warmtegeleiding of infrarode straling, temperatuurverdelingen worden

bepaald. Het transport van warmte wordt immers beïnvloed door de aanwezigheid van fouten

in het materiaal. Ook de warmte die ontwikkeld wordt door wrijving en door de groei van een

fout, kan met thermografie zichtbaar gemaakt worden.

In de meest algemene opstelling voor thermografie wordt een laser gebruikt, die warmte-

pulsen uitzendt naar het proefstuk. Deze thermische golven worden deels gereflecteerd en


280

deels doorgelaten door het proefstuk. Met een thermografische camera kan men dan het

patroon van de oppervlaktetemperaturen opmeten.

Met deze techniek is men erin geslaagd om delaminaties en harsrijke zones in

koolstofvezelversterkte kunststoffen te detecteren, alsook fouten in lijmverbindingen tussen

metalen en composietonderdelen. Figuur 5.82 toont de distributie van de

oppervlaktetemperatuur in een glas/epoxy composiet. De plaat werd eerst onderworpen aan

een impact en nadien verder belast in vermoeiing. Hoewel de impactschade met het blote oog

nauwelijks zichtbaar was, blijkt uit de thermografische opnames duidelijk dat er impactschade

aanwezig is en dat deze toeneemt tijdens de vermoeiing.

Figuur 5.82 Distributie van de oppervlaktetemperatuur bij schade-evolutie in een glas/epoxy composiet [23].


281

5.5. MATERIAALMODELLEN

Uit bovenstaand overzicht van de beproevingsmethodes blijkt dat materialen zich heel

verschillend kunnen gedragen naargelang de grootte van de belasting, de duur van de

belasting, de variatie van de belasting, de belastingssnelheid, enz. Het is dan ook duidelijk dat

de wet van Hooke, die het lineair elastisch gedrag van materialen beschrijft, vaak niet voldoet

om het complexe gedrag van materialen te beschrijven.

Daarom zijn heel wat modellen ontwikkeld, die de wet van Hooke vervangen door een meer

gecompliceerde betrekking tussen spanningen en rekken. Aangezien precies dit verband

tussen spanning en rek afhangt van het type materiaal, noemt men deze modellen

materiaalmodellen.

Om deze materiaalmodellen enigszins te classificeren, kan men de verschillende types

materiaalgedrag indelen in vier grote categorieën:

tijdsonafhankelijk materiaalgedrag

in deze categorie brengt men de types materiaalgedrag onder die niet afhangen van de tijd.

Deze materiaalmodellen hebben een zeer breed toepassingsbereik omdat heel wat

constructies onderhevig zijn aan statische belastingen en hun spanningen en rekken onder

deze belasting niet afhangen van de tijd.

De belangrijkste materiaalmodellen in deze klasse beschrijven het elastisch en het plastisch

materiaalgedrag,

tijdsafhankelijk materiaalgedrag

de spanningen en rekken in sommige materialen zijn wel degelijk afhankelijk van de tijd.

Hierbij kan de tijdschaal enorm variëren, afhankelijk van de belasting. Zo zal een impact-

of stootbelasting slechts enkele milliseconden duren, terwijl een cyclische

vermoeiingsbelasting dagen of jaren kan aanhouden. Ook onder een constante, statische

belasting kan de vervorming in de loop van de tijd gaan toenemen (kruip), of de spanning

gaan afnemen (relaxatie),

scheurgroei

in de twee voorgaande materiaalklassen werd verondersteld dat het materiaal foutvrij is en

geen scheuren vertoont. De breukmechanica bestudeert de invloed van scheuren op het

globale gedrag van het materiaal en berekent de scheurgroei onder cyclische belastingen.

Men kan onderscheid maken tussen de elastische breukmechanica en de elastisch-

plastische breukmechanica, naargelang men eventuele plastische vervorming aan de

scheurtip al dan niet in rekening brengt,

degradatie

de schademechanica is een vrij recente tak van de mechanica die een alternatief biedt om

complexe schadepatronen te modelleren. Zo vertonen brosse materialen onder cyclische

belasting vaak duizenden kleine microscheurtjes. Het is onbegonnen werk om de

breukmechanica toe te passen op de groei van elk van die scheurtjes. De schademechanica

tracht de gemiddelde degradatie van het materiaal weer te geven t.g.v. al deze scheurtjes.

Figuur 5.83 geeft een overzicht van de classificatie, die nu meer in detail besproken wordt.


282

Ela

sti

sc

hP

las

tisch

lin

ea

ir e

lasti

sc

h

sta

r

nie

t-li

ne

air

ela

sti

sc

h

ela

sti

sc

h-p

erf

ect

pla

sti

sc

h

sta

r-p

erf

ec

t p

las

tis

ch

sta

r-p

las

tis

ch

met

ve

rste

vig

ing

ela

sti

sc

h-p

las

tis

ch

met

ve

rste

vig

ing

Tijd

so

nafh

an

kelijk

lag

e,

sta

tisch

e b

ela

stin

ge

n in

me

tale

n,

be

ton

, ke

ram

ieke

n,.

..

he

t m

ate

riaa

l ve

rvo

rmt

nie

t,o

na

fha

nke

lijk v

an

de

gro

ott

eva

n d

e s

pa

nn

ing

lag

e,

sta

tisch

e b

ela

stin

ge

n in

rub

be

rs,

po

lym

ere

n,.

..

mo

de

llerin

g v

an

pro

du

ctie-

pro

ce

ssen

vo

or

me

taa

lvo

rm-

ge

vin

g (

wa

lse

n,

die

ptr

ekke

n)

ide

alis

atie

va

n d

uctie

l g

ed

rag

va

nm

eta

len

, w

aa

rbij

ge

en

ve

rste

vig

ing

optr

ee

dt

in d

e p

lastisch

e f

ase

mo

de

llen

vo

or

he

t ve

rvo

rmin

gs-

ge

dra

g v

an

gro

nd

mo

de

llen

vo

or

he

t ve

rvo

rmin

gs-

ge

dra

g v

an

gro

nd

Vis

co

-ela

sti

sc

hV

isc

o-p

lasti

sc

h

kru

ipk

ruip

rela

xati

ere

lax

ati

e

hys

tere

sis

hy

ste

resis

verv

orm

ing

ss

ne

lheid

ve

rvo

rmin

gss

ne

lhe

id

Tijd

safh

an

kelijk

lan

gd

uri

ge

sta

tisch

e b

ela

sting

va

np

oly

me

ren

, b

eto

n,.

..

ge

dra

g v

an

me

tale

n b

ij h

og

eve

rvo

rmin

gssn

elh

ed

en

(im

pa

ct)

ge

dra

g v

an

me

tale

n b

ij h

og

eve

rvo

rmin

gssn

elh

ed

en

en

gro

teve

rvo

rmin

ge

n (

bv.

kre

ukelz

on

e a

uto

)

ge

dra

g v

an

gro

nd

, o

ok v

an

me

tale

n b

ij h

og

e t

em

pe

ratu

ren

bo

utv

erb

ind

ing

en in

pijp

leid

ing

en

en

turb

ine

s b

ij h

og

e t

em

pe

ratu

ren

tijd

tijd

tijd

tijd

lan

gd

uri

ge s

tatisch

e b

ela

stin

g v

an

poly

me

ren

, b

eto

n,.

..

en

erg

ied

issip

atie

bij

me

tale

n e

nku

nsts

toffe

n o

nd

er

cyclische

be

lastin

ge

n

en

erg

ied

issip

atie

bij c

yclis

ch

eb

ela

sting

me

t g

rote

am

plit

ude

va

n m

eta

len

en

po

lym

ere

n

Sc

ha

dem

ech

an

ica

ela

sti

sch

ela

sti

sch

-pla

sti

sc

h

de

gra

da

tie

van

ma

teri

aa

leig

en

-sch

ap

pen

on

de

r kru

ip,

ve

rmo

eiin

g,

imp

act

vo

or

alle

rha

nd

e m

ate

ria

len

de

gra

da

tie

van

ma

teri

aa

leig

en

-sch

ap

pen

on

de

r kru

ip,

ve

rmo

eiin

g,

imp

act

vo

or

alle

rha

nd

e m

ate

ria

len

Deg

rad

ati

e

sch

ad

e

sch

ad

e

Bre

ukm

ech

an

ica

ela

sti

sc

h

ela

sti

sch

-pla

sti

sc

h

sp

an

nin

gsco

nce

ntr

atie

in

de

buu

rt v

an

de

sch

eu

rtip

sch

eu

rgro

ei m

et

pla

stisch

eve

rvo

rmin

g a

an

de

sch

eu

rtip

Sch

eu

rgro

ei

r r

Fo

utv

rij m

ate

riaal

Besc

had

igd

mate

riaal

Figuur 5.83 Overzicht van de verschillende klassen materiaalmodellen.


283

5.5.1. Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag

Zoals blijkt uit Figuur 5.83, zijn er twee grote subklassen binnen de categorie

“Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag”: (i) elastisch materiaalgedrag, en (ii) plastisch

materiaalgedrag.

5.5.1.a. Elastisch materiaalgedrag

Lineair elastisch

Het lineair elastisch materiaalgedrag geldt voor een groot aantal materialen bij lage

belastingen. Staal, beton en keramieken zijn typische voorbeelden. In dit domein van het

materiaalgedrag geldt de wet van Hooke, zoals die werd opgesteld in hoofdstuk 1.

Niet-lineair elastisch

Vele rubbers en polymeren vertonen een niet-lineair elastisch gedrag. De spanning neemt niet

recht evenredig toe met de vervorming, maar bij ontlasten wordt de spanning-rek curve wel in

omgekeerde zin doorlopen en keert het materiaal terug naar zijn oorspronkelijke onvervormde

toestand.

Star

Star materiaalgedrag is eigenlijk een idealisering van een zeer stijf materiaalgedrag, waarbij

de elasticiteitsmodulus E zeer groot is. Als gevolg daarvan is voor een bepaalde spanning

de bijhorende vervorming nagenoeg nul. Een dergelijk materiaalmodel vindt men vaak terug

in numerieke simulaties, waarbij voor de eenvoud het gedrag van zeer stijve materialen als

star wordt gemodelleerd.

5.5.1.b. Plastisch materiaalgedrag

Het plastisch materiaalgedrag onderscheidt zich van het elastisch materiaalgedrag doordat na

ontlasting een permanente rek p overblijft. Globaal kan men vier belangrijke types van

plastisch materiaalgedrag onderscheiden (Figuur 5.83).

Elastisch-perfect plastisch

Als het materiaal geen (of nauwelijks geen) versteviging vertoont in de vloeifase, wordt het

materiaal gemodelleerd als elastisch-perfect plastisch. Eens het materiaal vloeit, kan de rek

sterk toenemen onder constante spanning.

Elastisch-plastisch met versteviging

Als het materiaal wel degelijk verstevigt tijdens het vloeien, dan neemt de spanning toe bij

toenemende rek. De helling van deze curve hangt uiteraard af van de staalsoort en wordt

bepaald uit experimentele trekproeven.

Star-perfect plastisch

Dit is een zeer vereenvoudigd model voor het plastisch gedrag van metalen. Het model gaat

uit van de idee dat de elastische rekken zéér klein zijn t.o.v. de mogelijke rekken in het

plastisch gebied. Daarom onderstelt men dat het materiaal niet vervormt zolang de spanning

beneden de vloeigrens blijft. Eens de vloeigrens is bereikt, vloeit het materiaal onder

nagenoeg constante spanning.


284

Star-plastisch met versteviging

In dit geval neemt men opnieuw aan dat het materiaal niet vervormt in het elastisch gebied. In

het plastisch gebied treedt echter wel versteviging op van het materiaal en stijgt de vloeigrens

bij toenemende rekken.

Er bestaan verschillende modellen voor plasticiteit en een gedetailleerde bespreking valt

buiten het bestek van deze cursus. Hier worden enkel een aantal algemene eigenschappen van

de materiaalmodellen voor plasticiteit samengevat.

De totale rek wordt geschreven als de som van de elastische rek en de permanente rek:

p

ij

e

ijij (5.23)

Voor de elastische rek e

ij geldt nog altijd de wet van Hooke. De permanente rek daarentegen

is onomkeerbaar.

Om te bepalen wanneer er permanente rek ontstaat, gebruikt men een vloeicriterium dat

aangeeft bij welke spanningstoestand het vloeien start. Zoals in paragraaf 5.2.1 uitgelegd, zijn

het criterium van Tresca en von Mises de meest gebruikte criteria. Er zijn echter ook andere

criteria die rekening houden met de versteviging van het materiaal in het plastisch gebied. Dit

wil zeggen dat na ontlasting in het plastisch gebied, het materiaal bij herbelasting pas zal

beginnen vloeien bij een hogere waarde van de spanning dan de oorspronkelijke vloeigrens.

De verzameling van bestaande vloeicriteria kan men schrijven in een algemene vorm:

0),(f:plastisch

0),(f:elastisch

kl

kl

(5.24)

waarbij de verstevigingsparameter voorstelt. Bij de criteria van Tresca en von Mises is de

verstevigingsparameter nul, en wordt geen versteviging ondersteld in het plastisch gebied.

Men vult de waarde van de actuele spanningen in in het vloeicriterium. Zolang de waarde van

het vloeicriterium kleiner is dan nul, bevindt het materiaal zich in het elastisch gebied. Als het

vloeicriterium nul wordt, treedt vloeien op.

Mocht men voor de permanente rekken p

ij betrekkingen opstellen, analoog aan de wetten van

Hooke, dan kan men geen onomkeerbare vervorming modelleren. Inderdaad, als:

)(S klij

p

ij (5.25)

dan zou de permanente rek altijd dezelfde waarde hebben voor een bepaalde spanning. Dat is

hoegenaamd niet het geval, want na elke verdere belasting in het plastisch gebied stijgt de

permanente rek bij ontlasting. Nu blijkt dat men een onomkeerbare vervorming op een veel

eenvoudiger manier kan uitdrukken als volgt:

0),(fals),(S

0),(fals0

klklij

p

ij

kl

p

ij

(5.26)


285

Ditmaal worden niet de permanente rekken p

ij gebruikt, maar wel hun vervormingssnelheden

p

ij . Is het vloeicriterium kleiner dan nul, dan treedt geen aangroei op van de permanente rek.

Is het vloeicriterium nul, dan kan de permanente rek aangroeien.

De bespreking van de precieze uitdrukkingen Sij die het verband aangeven tussen de

spanningen kl en de vervormingssnelheden p

ij , valt buiten het bestek van deze cursus.

5.5.2. Tijdsafhankelijk materiaalgedrag

Analoog met het elastisch en plastisch materiaalgedrag in het tijdsonafhankelijk domein,

onderscheidt men in het tijdsafhankelijk domein visco-elastisch en visco-plastisch gedrag.

Globaal kan men zowel in het visco-elastisch als in het visco-plastisch gebied vier typische

fenomenen onderscheiden bij het tijdsafhankelijk materiaalgedrag: (i) kruip, (ii) relaxatie,

(iii) vervormingssnelheid en (iv) hysteresis.

Het woord “visco-elastisch” is ontstaan uit de observatie dat sommige materialen

eigenschappen vertonen van zowel elastische vaste stoffen als van visceuze vloeistoffen. Een

typisch voorbeeld zijn kunststoffen, zoals bv. polycarbonaat. Bij hoge temperaturen gedraagt

deze kunststof zich als een visceuze vloeistof, terwijl het zich bij kamertemperatuur gedraagt

als een vaste stof.

Een belangrijk verschil is dat ideaal lineair elastische materialen bij ontlasting steeds

terugkeren naar hun onvervormde begintoestand. Visceuze vloeistoffen daarentegen hebben

geen vermogen om aangebrachte vervormingen te niet te doen.

Uiteraard vormen ideaal lineair elastische materialen en ideaal visceuze vloeistoffen de twee

uiteinden van het hele spectrum. Tussenin bevinden zich een heleboel materialen, die zich,

afhankelijk van de temperatuur, de vervormingssnelheid, de materiaalstructuur,... in mindere

of meerdere mate “visceus” of “elastisch” gedragen. Dit gedrag noemt men dan ook visco-

elastisch.

De onderstaande discussie wordt beperkt tot visco-elastisch gedrag. Bij visco-plastisch gedrag

zal na ontlasting een permanente vervorming overblijven die veel moeilijker te modelleren

valt, zoals reeds bleek uit het verhaal over de vervormingssnelheden p

ij bij tijdsonafhankelijk

plastisch gedrag.

Kruip en relaxatie

Zoals reeds beschreven in paragraaf 5.1.5 over de kruipproeven, is kruip een toenemende

vervorming onder constante spanning, terwijl relaxatie een afnemende spanning voorstelt

onder constante vervorming. Omdat deze fenomenen analoog zijn, worden zij tesamen

behandeld.

Een eenvoudige klasse van modellen voor visco-elastische materialen zijn de mechanische

modellen. Deze modellen trachten het gedrag van het visco-elastisch materiaal te beschrijven

m.b.v. lineaire veren en visceuze dempers en gebruiken dus in feite een analogie om het

visco-elastisch gedrag te beschrijven. Figuur 5.84 toont de bouwstenen van deze mechanische

modellen: de lineaire veer (Figuur 5.84(a)) en de visceuze demper (Figuur 5.84(b)).


286

Figuur 5.84 Lineaire veren en visceuze dempers als basiselementen van de mechanische modellen [24].

Voor de veer met veerconstante E, is de spanning verbonden met de rek door de relatie:

vv E (5.27)

Voor de visceuze demper geldt een lineair verband tussen de spanning en de

vervormingssnelheid :

dd (5.28)

waarbij de viscositeitsconstante is van de demper.

Nu zijn er verschillende combinaties mogelijk van dit veer- en dempersysteem.

Het model van Maxwell bestaat uit een serieschakeling van een lineaire veer en een visceuze

demper, zoals weergegeven in Figuur 5.85.

Figuur 5.85 Model van Maxwell [24].

In dit geval is de spanning, op elk tijdstip t, dezelfde in de veer als in de demper. De totale

verlenging is de som van beide delen, zodat:


287

d)(

E

)t()t(

E

t

0

dv

(5.29)

In geval van een kruipproef is de aangelegde spanning (t) = = constante. Invulling in de

bovenstaande vergelijking levert onmiddellijk [25]:

tE

)t(

(5.30)

In geval van een relaxatieproef is de rek constant. Het verband tussen spanning en rek wordt

dan:

tE

exp

0E

0

(5.31)

Figuur 5.86 toont de respons van het veer-demper systeem voor een kruipproef en een

relaxatieproef. De linkercurve is een maat voor de toenemende vervorming onder constante

spanning (kruip), terwijl de rechtercurve een maat is voor de afnemende spanning onder

constante rek (relaxatie).

Figuur 5.86 Maxwell model, met corresponderende kruip- en relaxatiecurves [26].


288

Het model van Kelvin-Voigt plaatst een veer en een demper in parallel, zoals weergegeven in

Figuur 5.87.

Figuur 5.87 Model van Kelvin-Voigt [24].

In dat geval is de rek, op elk tijdstip t, dezelfde in de veer en de demper. Dan volgt

onmiddellijk dat:

E (5.32)

In geval van een kruipproef is de aangelegde spanning (t) = = constante. Invulling in de

bovenstaande vergelijking levert onmiddellijk [25]:

t

Eexp1

E)t( (5.33)

In geval van een relaxatieproef is de rek constant. Het verband tussen spanning en rek wordt

dan eenvoudig:

E (5.34)

Figuur 5.88 toont de respons van het veer-demper systeem voor een kruipproef en een

relaxatieproef. De linkercurve is een maat voor de toenemende vervorming onder constante

spanning (kruip), terwijl de rechtercurve een maat is voor de afnemende spanning onder

constante rek (relaxatie).

Figuur 5.88 Kelvin-Voigt model, met corresponderende kruip- en relaxatiecurves [26].


289

Dit model is minder realistisch, omdat bij het aanleggen van de spanning i.g.v. de kruipproef,

niet onmiddellijk een vervorming optreedt. En ook bij relaxatie is het niet realistisch dat de

spanning niet afneemt in functie van de tijd.

In vele gevallen voldoen deze modellen dan ook niet. Men kan dan overgaan naar een

uitgebreidere combinatie van veren en dempers in serie en parallel, maar vaak neemt men zijn

toevlucht tot empirische modellen. Deze modellen distilleren een eenvoudige wet die zuiver

gebaseerd is op experimentele waarnemingen.

Voor het kruipgedrag (bij constante spanning ) van composietmaterialen en kunststoffen

gebruikt men bijvoorbeeld vaak de wet [27,28]:

nm

0

tKE

)t,(

(5.35)

Daarbij zijn K, m en n constanten, die worden gefit op basis van experimentele resultaten.

Men moet heel voorzichtig zijn met het gebruik van dergelijke empirische modellen, omdat ze

vaak slechts bruikbaar zijn in een beperkt toepassingsgebied (uni-axiale spanning, constante

temperatuur,...).

Vervormingssnelheid

Zoals vermeld in paragraaf 5.1.7, vertonen vele materialen beduidend andere eigenschappen

bij zeer hoge vervormingssnelheden . Zo is het typisch voor metalen dat de vloeigrens

toeneemt bij hogere vervormingssnelheid.

Een diepgaande inleiding over dit soort materiaalmodellen vindt men in [29], hier worden

enkel een paar (semi-)empirische modellen voorgesteld.

Een semi-empirische betrekking die vaak wordt gebruikt, is de volgende [30]:

0,vv lnA (5.36)

waarbij v,0 de vloeigrens is bij quasi-statische belasting, v de vloeigrens bij verhoogde

vervormingssnelheid en A een constante. Deze betrekking geeft aan dat de toename van de

vloeigrens evenredig is met de natuurlijke logaritme van de vervormingssnelheid.

Voor aluminium, koper en zacht staal gebruikt men ook vaak de empirische wet [30]:

n0,vv (5.37)

waarbij v,0 opnieuw de vloeigrens is bij quasi-statische belasting, v de vloeigrens bij

verhoogde vervormingssnelheid en n een constante.

Hysteresis

Hysteresis stamt van het Griekse werkwoord hysterein wat betekent: te laat komen, niet

beantwoorden aan. Deze term wordt gebruikt voor het verschijnsel waarbij het gevolgde pad

langs de spanning-rek curve bij belasting niet hetzelfde is als bij ontlasting.

Figuur 5.89 toont een voorbeeld van hysteresis bij de cyclische belasting van een glas/epoxy

composiet. In de eerste paar duizend cycli is de spanning-rek lus nagenoeg een rechte lijn,

terwijl de lus verbreedt naarmate het aantal cycli toeneemt.


290

Figuur 5.89 Spanning-rek respons van een glas/epoxy composiet onder cyclische belasting [31].

Ook bij vermoeiing van metalen treedt hysteresis op. Hysteresis kan zowel voorkomen in het

elastisch gebied als in het plastisch gebied, zoals geïllustreerd door Figuur 5.90.

Figuur 5.90 Hysteresis van metalen in het elastisch (links) en plastisch (rechts) gebied [32].

Een hysteresislus betekent verbruik van energie. In paragraaf 1.11 werden de arbeid en

elastische energie gedefinieerd. Daarbij werd aangetoond dat de arbeid van de uitwendige

krachten als elastische energie wordt opgeslagen in het materiaal. Bij ontlasting zorgt de

elastische energie ervoor dat het materiaal zich “terugplooit” in zijn oorspronkelijke,

onvervormde toestand.

Wanneer nu het materiaal bij belasten en ontlasten niet dezelfde weg volgt langs de spanning-

rek curve, is de oppervlakte van de lus gelijk aan de hoeveelheid energie die per volume-


291

eenheid werd verbruikt. Deze energie kan worden omgezet in warmte of worden aangewend

voor de uitbreiding van scheuroppervlak.

Hysteresis wordt vaak op analoge wijze gemodelleerd als kruip en relaxatie. Figuur 5.91 toont

een voorbeeld van mogelijke modellering. In Figuur 5.91(a) staat een gecombineerd veer-

dempersysteem voor modellering van hysteresis afgebeeld. Figuur 5.91(b) toont de respons

van de rek (t) voor een blokbelasting (t) voor dit veer-dempersysteem. Figuur 5.91(c) toont

tenslotte het geïdealiseerde (volle lijn) en realistische verloop (streeplijn) van een

hysteresislus. Met het mechanisch model van veren en demper in het achterhoofd kan men de

geïdealiseerde hysteresislus als volgt uitleggen: bij belasting treedt een onmiddellijke

elastische rek op (werking van de veren). Onder constante spanning neemt de rek dan verder

toe t.g.v. de vertraagde demperwerking. Wanneer men nu gaat ontlasten, valt de elastische rek

onmiddellijk weg (ontlasting van de veren). Hoewel het systeem volledig ontlast is, duurt het

nog een tijd vooraleer ook de vervorming volledig op nul is teruggevallen. Bij een

experimentele opmeting van de hysteresislus (zie bv. Figuur 5.89) zal de lus niet zo

rechthoekig zijn als de geïdealiseerde lus in volle lijn in Figuur 5.91(c), maar wel zoals de

realistische hysteresislus in streeplijn.

Figuur 5.91 Mogelijke modellering van hysteresis [32].

5.5.3. Scheurgroei

De derde grote categorie van materiaalmodellering betreft de mechanica van scheuren en

kerven. In tegenstelling tot de beide voorgaande klassen gaat het hier niet om de belasting van

initieel foutvrij materiaal. Door de aanwezigheid van kerven of scheuren is het materiaal

ongelijkmatig belast en treden spanningsconcentraties op rond de scheuren. De berekening

van deze spanningen rond scheuren en de voorspelling van de scheurgroei is het domein van

de breukmechanica.

Het spanningsveld rond een scheur hangt uiteraard af van de wijze waarop de scheur wordt

belast. In de literatuur beschouwt men drie verschillende modes waarop de scheurvlakken

worden belast. Deze drie modes worden weergegeven in Figuur 5.92 en krijgen de romeinse

letters I, II en III toegewezen.


292

Figuur 5.92 Verschillende scheurmodes [11].

In de displicine van de breukmechanica kan men twee grote takken onderscheiden: (i) de

elastische breukmechanica, en (ii) de elastisch-plastische breukmechanica.

5.5.3.a. Elastische breukmechanica

Met behulp van de elasticiteitsleer kan men nu de spanningsverdeling rond zo’n scheurtip

gaan berekenen in een aantal voor de praktijk relevante gevallen. Het eenvoudigste geval is

dat van een oneindige plaat met een inwendige scheur, zoals weergegeven in Figuur 5.93. De

oneindige plaat wordt belast met een trekspanning loodrecht op de scheur, zodat de scheur

belast wordt in mode I. De totale scheurlengte is 2a. Men veronderstelt dat de plaat belast

wordt in vlakspanning en dus zijn de relevante spanningen xx, yy en xy.


293

Figuur 5.93 Inwendige scheur met lengte 2a in een oneindige plaat.

Hecht men aan de scheurtip een polair assenstelsel ( re

,

e ), dan kan men aantonen dat de

spanningen xx, yy en xy rond de scheurtip, berekend volgens de elasticiteitstheorie, de

volgende zijn [14]:

2

3cos

2sin

2cos

r2

a

2

3sin

2sin1

2cos

r2

a

2

3sin

2sin1

2cos

r2

a

xy

yy

xx

(5.38)

Zoals duidelijk blijkt uit de formules, worden deze elastische spanningen oneindig als r 0,

dus aan de scheurtip zelf. Dit is natuurlijk in de praktijk onmogelijk, maar door de

onderstellingen van de elastische theorie worden dergelijke resultaten wel bekomen.

Voor een gegeven uitwendige belasting en scheurlengte 2a is de factor a in de

vergelijkingen (5.38) constant. Deze constante term vormt precies de definitie van de

spanningsintensiteitsfactor KI:

aKI (5.39)

waarbij [MPa] de aangelegde spanning is op de plaat en a [m] de halve scheurlengte. De

spanningsintensiteitsfactor KI heeft dus de dimensie [MPa m ]. De subscript I duidt op de

belasting van de scheurtip in mode I. De spanningscomponenten xx, yy en xy kunnen dus

geschreven worden als het product van KI met een geometrische functie f(r,). Met andere

woorden, KI bepaalt de grootte van de elastische spanningen aan de scheurtip, aangezien KI

alleen functie is van de kerfgeometrie en de aangelegde spanning.


294

Hoewel de configuratie in Figuur 5.93 een oneindige plaat voorstelt, gaat deze berekening

ook op voor platen waarbij de scheurlengte zeer klein is t.o.v. de breedte van de plaat.

Als de lengte van de scheur niet verwaarloosbaar is t.o.v. de plaatbreedte of als de scheur zich

aan de rand van de plaat bevindt (zie Figuur 5.94), zijn andere spanningsintensiteitsfactoren

KI nodig.

Figuur 5.94 Verschillende scheurgeometrieën [33].

Toch worden deze spanningsintensiteitsfactoren KI steeds geschreven als [33]:

aCCFKI (5.40)

waarbij CCF staat voor “Configuration Correction Factor”. Deze dimensieloze factor hangt af

van de scheurgeometrie en de eindige afmetingen van de plaat.

De waarden van CCF voor allerhande geometrieën en scheurtypes kan men terugvinden in de

literatuur. Figuur 5.95 toont het voorbeeld van een eindige plaat met een scheur aan de

linkerzijde. De plaat is belast met een trekspanning en de totale scheurlengte is ditmaal a.


295

Figuur 5.95 Spanningen rond een scheurtip belast in mode I [11].

De correctiefactor CCF bedraagt in dit geval:

432

W

a95,30

W

a72,21

W

a55,10

W

a231,012,1CCF

(5.41)

waarbij a de scheurlengte is en W de breedte van de plaat. Voor een voldoend brede plaat

(a/W << 1) is CCF = 1,12.

Wanneer een spanningsanalyse wordt gedaan van een foutvrij en gelijkmatig belast materiaal,

dan worden de spanningen vergeleken met materiaaleigenschappen zoals de vloeigrens of de

treksterkte van het materiaal om te beoordelen of de component veilig is onder statische

belasting. Als daarentegen defecten of scheuren aanwezig zijn, wordt de

spanningsintensiteitsfactor KI vergeleken met een andere materiaaleigenschap om de reserve

tot breuk te beoordelen. Deze materiaaleigenschap is de breuktaaiheid KIc (Eng: fracture

toughness). Beneden deze kritische waarde van de spanningsintensiteitsfactor KI groeit de

scheur niet verder, boven deze kritische waarde zal de scheur verder uitbreiden. De waarde

van de breuktaaiheid omvat een zeer ruim gebied voor de meest brosse materialen zoals ijs en

keramiek, tot de meest taaie materialen zoals metalen.

Keramische materialen en polymeren hebben steeds lage waarden, in het interval 0.2 – 5

MPa m . Composieten hebben typisch een breuktaaiheid tussen 10 en 100 MPa m . De

metalen bereiken breuktaaiheden van 100 tot 200 MPa m .

De spanningsintensiteitsfactor KI kan ook met succes worden toegepast op vermoeiing van

metalen. Inderdaad, in heel wat metalen constructies zijn reeds initiële scheurtjes aanwezig

(door productieprocessen of lasfouten), en onder cyclische belastingen zullen deze scheurtjes

langzaam groeien, omdat de spanningen daar lokaal heel wat hoger zijn dan de spanningen die

in de rest van de constructie optreden.


296

Om een idee te krijgen van de scheurgroei in metalen onderdelen, heeft men heel wat

vermoeiingsproeven gedaan op metalen proefplaten met een initiële scheur. Een schematische

voorstelling is getekend in Figuur 5.96.

Figuur 5.96 Toepassing van de spanningsintensiteitsfactor voor vermoeiing [11].

Meestal situeert het spanningsbereik zich volledig in de trekzone, omdat de scheuren

hoofdzakelijk groeien onder trekbelasting en bij drukbelasting opnieuw worden dichtgedrukt.

Als men nu de experimenteel opgemeten scheuraangroei per cyclus, da/dN, uitzet t.o.v. het

bereik van de spanningsintensiteitsfactor KI, beiden op een logaritmische schaal, dan blijkt

dat er voor vele metalen een lineair verband bestaat tussen beide, zoals geïllustreerd door

Figuur 5.97.


297

Figuur 5.97 Typische data voor da/dN vs. KI [11].

Men kan het lineair verband als volgt schrijven:

nIKCdN

da (5.42)

waarbij C en n twee constanten zijn. Deze wet is de wet van Paris-Erdogan en wordt nog

steeds heel veel gebruikt in de studie van vermoeiing van metalen onderdelen.

5.5.3.b. Elastisch-plastische breukmechanica

De elastische breukmechanica is zeer waardevol gebleken voor het ontwerp van materialen

met defecten of scheuren. In vele taaie materialen leiden deze spanningsconcentraties niet

onmiddellijk tot breuk, maar treedt rond de scheurtip een zone op van plastische vervorming.

Daardoor worden de hoge spanningen gemilderd en breidt het probleem zich niet uit naar de

rest van de constructie.


298

De elastische breukmechanica kan dergelijke fenomenen niet weergeven, zoals ook reeds

bleek uit de vergelijkingen (5.38). Deze vergelijkingen berekenden dat de spanning aan de

scheurtip (r 0) naar oneindig gaat. Uiteraard is dit fysisch onmogelijk, en zal zodra de

vloeigrens is bereikt, het materiaal rond de scheurtip plastisch gaan vervormen. Deze studie is

het domein van de elastisch-plastische breukmechanica.

Figuur 5.98 illustreert dit met een schematisch voorbeeld. In het materiaal is een uitsparing

aanwezig. Deze doorsnedeverandering zorgt voor een spanningsconcentratie en het ontstaan

van een scheur. Aan de scheurtip vervormt het materiaal plastisch, terwijl verderop het

materiaal zich nog elastisch gedraagt.

Figuur 5.98 Elastisch-plastisch spanningsveld rond een scheur [11].

Ook voor deze plastische zone rond de scheurtip zijn een heel aantal modellen ontwikkeld. De

meeste modellen maken een aantal veronderstellingen omtrent de grootte en de vorm van de

plastische zone rond de scheurtip. Het is belangrijk te vermelden dat de elastisch-plastische

breukmechanica maar relevant is voor taaie materialen. In zeer brosse materialen (bv.

keramische materialen) zal de scheur instabiel gaan groeien, zonder enige plastische

vervorming rond de scheurtip.

5.5.4. Degradatie

Degradatie van het materiaal kan veroorzaakt worden door heel uiteenlopende vormen van

belasting. Vermoeiing, impact en kruip kunnen aan de basis liggen van een toenemende

schade in het materiaal. In sommige materialen zoals composieten en beton is deze schade

heel diffuus en bestaat ze uit tal van microscopische scheurtjes of andere defecten. De

breukmechanica is niet geschikt om dergelijke verspreide schade te modelleren. Vandaar

wordt de continuum schademechanica (Eng: continuum damage mechanics) vaak aangewend

als alternatief.


299

In zijn meest eenvoudige vorm gaat de continuum schademechanica uit van de

basisonderstelling dat een beschadigd materiaal kan vervangen worden door een fictief

schadevrij materiaal dat echter verminderde stijfheids- en sterkte-eigenschappen bezit. Dit

wordt vertaald door het principe van equivalente vervorming (Eng: equivalent strain

principle) dat werd ingevoerd door Lemaitre in 1965 en schematisch is weergegeven in

Figuur 5.99.

Figuur 5.99 Principe van equivalente vervorming.

Het principe van equivalente vervorming stelt dat een beschadigd materiaal met

elasticiteitsmodulus E en schade D, belast met een spanning , dezelfde vervorming

vertoont als een fictief schadevrij materiaal met elasticiteitsmodulus E0, belast met de

effectieve spanning ~

= /(1-D). De vergelijking wordt:

0E

D1

E

(5.43)

Men kan de betrekking ook eenvoudig herschrijven als:

)D1(E0 (5.44)

Dit is de basisvergelijking van de eendimensionale schademechanica. Als men de factor (1-D)

weglaat uit bovenstaande vergelijking, bekomt men onmiddellijk de eendimensionale vorm

van de wet van Hooke. Door de introductie van de term (1-D) geeft men precies aan dat de

stijfheid E0 van het materiaal door de schade is afgenomen tot de stijfheid E0(1-D). De

waarde van de schadevariabele D is begrepen tussen nul (foutvrij materiaal) en één (volledig

bezweken materiaal). In tegenstelling tot de breukmechanica, concentreert de

schademechanica zich niet op het gedrag en de groei van één individuele scheur. De

schadevariabele D vertegenwoordigt het globaal effect van alle miniscule scheurtjes op een

macroscopische grootheid, nl. de stijfheid E.

De continuum schademechanica wordt aangewend in tal van domeinen: impact, vermoeiing,

kruip, en voor tal van materialen: beton, composieten, keramieken,... Een toepassing binnen

de vakgroep Mechanische Constructie en Productie is de modellering van vermoeiingsschade


300

in vezelversterkte kunststoffen m.b.v. continuum schademechanica [21]. Dit voorbeeld wordt

kort besproken om de mogelijkheden van de schademechanica te illustreren.

Metalen en vezelversterkte kunststoffen vertonen een sterk verschillend gedrag in vermoeiing.

In metalen gebeurt de scheurgroei zeer traag. Pas op het einde van de levensduur groeit een

macroscopische scheur die uiteindelijk leidt tot bezwijken van de constructie. De groei van

deze scheur kan gemodelleerd worden met de elastische of elastisch-plastische

breukmechanica. Tijdens het overgrote deel van de levensduur blijft de stijfheid van de

constructie nagenoeg intact.

In vezelversterkte kunststoffen daarentegen kunnen reeds scheurtjes ontstaan na een paar

honderden tot duizenden belastingscycli. Deze scheurtjes hebben ook onmiddellijk hun

impact op de waarde van de stijfheid die behoorlijk kan afnemen. Precies deze

stijfheidsdegradatie kan men modelleren met de continuum schademechanica.

Figuur 5.100 toont de proefopstelling die in het onderzoek werd gebruikt. Links staat de

schematische voorstelling van het experiment. Een proefstuk wordt bovenaan ingeklemd en

onderaan heen en weer verbogen door een kruk-drijfstangmechanisme. De frequentie van de

heen-en-weergaande beweging is 2,2 Hz. Het is dus een verplaatsingsgestuurde

vermoeiingsproef in buiging. Rechts staat een foto van een ingeklemd proefstuk in uitbuiging.

Figuur 5.100 Experimentele opstelling voor vermoeiingstest in buiging: schematische voorstelling van de

proefstand (links) en foto van het proefstuk in buiging (rechts) [21].

Deze proeven werden uitgevoerd op een met glasweefsel versterkt epoxyhars. Zoals reeds

hoger vermeld, kunnen vezelversterkte kunststoffen in vermoeiing reeds vrij vlug scheurtjes

vertonen en dat wordt bevestigd door Figuur 5.101. Deze figuur toont een gepolijste

dwarsdoorsnede van de zone van het glas/epoxy proefstuk rond de inklemming. De

inklemplaten en de richting van buiging zijn schematisch weergegeven. Uit de

microscoopopname blijkt inderdaad een veelheid aan scheurtjes in het materiaal. En precies

deze scheurtjes zorgen voor een afname van de stijfheid E van het materiaal.


301

M(x)

1 mm

Figuur 5.101 Gepolijste dwarsdoorsnede van een met glasweefsel versterkt epoxyhars [21].

Als men onderstelt dat de buiging een eendimensionale belasting is, kan men het verband

(5.44) tussen spanning en rek aanvullen met een materiaalwet die aangeeft hoeveel de schade

D groeit per belastingscyclus N:

...,D,fdN

dD

)D1(E0

(5.45)

Deze materiaalwet voor dD/dN zal uiteraard een functie zijn van de spanning (hoe groter de

spanning, hoe sneller de schade groeit) en van de schade zelf (hoe meer schade er is, hoe

gemakkelijker ze groeit). Figuur 5.102 toont een voorbeeld van experiment en simulatie voor

een aantal proeven op dit glas/epoxy composiet. In de abscis staat het aantal belastingscycli,

terwijl de ordinaat de kracht voorstelt die nodig is om het proefstukje te verbuigen tot zijn

maximale uitbuiging. Precies door de afname van de stijfheid tijdens de levensduur is er

steeds minder kracht nodig om het proefstukje over diezelfde afstand te verbuigen.


302

0 200000 400000 600000 800000

Aantal cycli [-]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Kra

ch

t [N

]

Experimenteel en gesimuleerd krachtsverloop voor [#0]8

proefstukken, enkelzijdige buiging, umax = 30.4, 34.4 en 38.9 mm

Pr05_2, umax = 30.4 mm, experiment

Pr05_2, umax = 30.4 mm, simulatie





Figuur 5.102 Voorbeeld van overeenkomst tussen opgemeten en gesimuleerd krachtsverloop van

vermoeiingsproeven in buiging op glas/epoxy composietmateriaal [21].


303

5.6. BESLUIT

In dit hoofdstuk werden een hele reeks beproevingsmethodes besproken, samen met hun

instrumentatie en schadedetectie-technieken. Verder werden vloeien breukcriteria besproken

voor verschillende klassen van materialen. Tenslotte werd in vrij algemene termen een

overzicht gegeven van de bestaande klassen van materiaalmodellen.

Aan het einde van dit hoofdstuk moet het duidelijk zijn dat één en hetzelfde materiaal zich op

verschillende manieren kan gedragen. Zo kan één en dezelfde staalsoort zich lineair elastisch

gedragen in een statische constructie, plastisch vervormen tijdens het productieproces of zich

visco-plastisch gedragen bij hogere temperatuur. Daarnaast zijn er nog de talloze verschillen

tussen het mechanisch gedrag van verschillende materiaalsoorten onderling die elk hun

typisch mechanisch gedrag hebben. Zo is het visco-plastisch gedrag van staal bij hoge

temperaturen totaal verschillend van het visco-plastisch gedrag van rubbers.

Het is dan ook belangrijk voor de ontwerpingenieur om te onderscheiden welke types

materiaalgedrag in het ontwerp van zijn constructie zullen optreden:

treedt er tijdens het productieproces van de constructie plastische vervorming op ?

kunnen eventuele hoge temperaturen tijdens het productieproces aanleiding geven tot

thermische spanningen in het materiaal die na afkoeling als eigenspanningen aanwezig

blijven ?

is het een statische constructie of wordt ze ook in vermoeiing belast (hysteresis,

vermoeiingsschade) ?

is er kans op verhoogde temperaturen tijdens gebruik van de constructie (thermische

spanningen) ?

is het materiaal gevoelig voor kruip, zodat de vervormingen toenemen in de loop van de

tijd ?

kan de constructie gemakkelijk beschadigd worden door impact van kleine of grotere

voorwerpen ?

als er schade ontstaat, is er gevaar dat die schade verder groeit onder invloed van cyclische

belastingen (breukmechanica) ?

zijn er zones in de constructie waar gevaarlijke spanningsconcentraties te vrezen zijn ?

blijven alle spanningen binnen het lineair elastisch gebied, of is in bepaalde zones van de

constructie plastische vervorming toelaatbaar ?

blijven de vervormingen van de constructie bij normaal gebruik binnen de perken ?

... ?

Bij al deze vragen hangt het antwoord in grote mate af van het gekozen materiaal en zijn

mechanisch gedrag. Hierbij is het belangrijk als ingenieur te beseffen dat niet alle materialen

geschikt zijn voor bepaalde vereisten. Figuur 5.103 illustreert dit met een overzicht van het

bereik van de stijfheid, sterkte, breuktaaiheid en smeltpunt voor keramische materialen,

kunststoffen en metalen. Uit de tabel blijkt dat keramische materialen het sterkst scoren op

stijfheid, sterkte en temperatuurbestendigheid. Toch wordt metaal op veel bredere schaal

gebruikt dan keramiek en één van de redenen is de zeer ondermaatse waarde voor de

breuktaaiheid van keramische materialen. Dit wil zeggen dat scheuren in keramiek zeer

gemakkelijk groeien en het materiaal dus zeer bros breekt. Een dergelijk gedrag is in haast


304

alle constructies uiterst ongewenst en het taai gedrag van metalen levert hen dan ook een

groot competitief voordeel t.o.v. keramieken.

Polymeren hebben dan weer een lage stijfheid en temperatuurbestendigheid. Zoals reeds

eerder vermeld worden deze eigenschappen echter aanzienlijk verbeterd door

vezelversterking.

Figuur 5.103 Bereik van verschillende eigenschappen voor metalen, keramieken en kunststoffen [3].


305

5.7. REFERENTIES

[1] Weidmann, G., Lewis, P. and Reid, N. (1990). Structural materials. London,

Butterworths, 430 pp.


641 pp.


pp.



[5] Sih, G.C. and Skudra, A.M. (eds.) (1985). Handbook of Composites. Volume 3:

Failure mechanics of composites. New York, North Holland, 441 pp.





[8] Bunshah, R.F. (1971). Measurement of mechanical properties. New York,

Interscience Publishers, 474 pp.

[9] Burr, A.H. (1981). Mechanical analysis and design. New York, Elsevier, 640 pp.



[11] Rice, R.C. (ed.) (1988). Fatigue Design Handbook. Second Edition. Warrendale,

Society of Automotive Engineers, 369 pp.

[12] Sierakowski, R.L. and Chaturvedi,S.K. (1997). Dynamic loading and

characterization of fiber-reinforced composites. New York, John Wiley & Sons, 252

pp.

[13] Kobayashi, A.S. (1993). Handbook on experimental mechanics. Bethel, Society for

Experimental Mechanics, 1074 pp.



[15] Whitney, J.M., Daniel, I.M. and Pipes, R.B. (1984). Experimental mechanics of fiber

reinforced composite materials. Connecticut, The Society for Experimental

Mechanics, 264 pp.

[16] M.A. Sutton, J.J. Orteu, H.W. Schreier, Image correlation for shape, motion and

deformation measurements – basic concepts, theory and applications, Springer

Science+Business Media, 2009, ISBN 978-0-387-78746-6.

[17] VIC3D 2007: testing guide – Limess. www.limess.com.

[18] De Waele, W. (2002). Structural monitoring of composite elements using optical

fibres with Bragg-sensors. Ghent, Ghent University, 316 pp.

[19] Hull, D. (1999). Fractography: observing, measuring and interpreting fracture surface

topography. Cambridge, Cambridge University Press, 366 pp.

[20] Reifsnider, K.L. (ed.) (1980). Damage in composite materials. ASTM STP 775.

Philadelphia, American Society for Testing and Materials, 280 pp.

[21] Van Paepegem, W. (2002). Development and finite element implementation of a

damage model for fatigue of fibre-reinforced polymers. Ph.D. thesis. Ghent, Ghent

University Architectural and Engineering Press (ISBN 90-76714-13-4), 403 p.


306

[22] Halmshaw, R. (1991). Non-destructive testing. Second edition. London, Edward

Arnold, 323 pp.

[23] Hansen, U. (1999). Damage development in woven fabric composites during tension-

tension fatigue. Journal of Composite Materials, 33(7), 614-639.


Publishers, 493 pp.

[25] Holmes, M. and Just, D.J. (1983). GRP in structural engineering. Chapter 8: Time

and temperature dependent characteristics of glass-reinforced plastics. England,

Applied Science Publishers Ltd., pp. 213-229.

[26] Gibson, R.F. (1994). Principles of composite material mechanics. New York,

McGraw-Hill, Inc., 425 pp.

[27] Petermann, J. and Schulte, K. (2002). Creep prediction and creep-fatigue interaction

in angle-ply laminates. Proceedings of the Tenth European Conference on Composite

Materials (ECCM-10), Brugge, Belgium, 3-7 June 2002.

[28] Scott, D.W., Lai, J.S. and Zureick, A.-H. (1995). Creep behaviour of fiber-reinforced

polymeric composites: a review of the technical literature. Journal of Reinforced

Plastics and Composites, 14, 588-617.

[29] Harding, J. (1989). Mechanical properties of materials at high rates of strain.

Proceedings of the Fourth International Conference on the Mechanical Properties of

Materials at High Rates of Strain. Oxford, 19-22 March 1989, Institute of Physics,

582 pp.


672 pp.

[31] Kujawski, D. and Ellyin, F. (1995). Rate/frequency-dependent behaviour of

fibreglass/epoxy laminates in tensile and cyclic loading. Composites, 26, 719-723.





Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/... · 2017-08-20 · Voorwoord In navolging...

Documents

Transcript of Mechanica van Materialenwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/... · 2017-08-20 · Voorwoord In navolging...