Mechanica van Materialen - Universiteit Gentwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/... · 2017. 8. 20. ·...

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN

ARCHITECTUUR

VAKGROEP MATERIALEN, TEXTIEL EN CHEMISCHE

PROCESKUNDE (EA11)

Mechanica

van

Materialen

Theoriecursus partim

Academiejaar 2017-2018

Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM

Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11)

Technologiepark-Zwijnaarde 903

9052 Zwijnaarde

Tel. : 09/331.04.32

Fax : 09/264.58.33

Voorwoord

In navolging van de Europese Sorbonne-Bologna verklaring is de ingenieursopleiding grondig

hervormd. De kandidaturen en de proeven zijn vervangen door de Bachelor en de Master.

De cursus Mechanica van Materialen is een exponent van deze hervorming. De bedoeling van

dit opleidingsonderdeel is de ingenieursstudenten een basiskennis bij te brengen over het

mechanisch gedrag van materialen. Het mechanisch gedrag kan heel algemeen gedefinieerd

worden als de respons van een materiaal op het aanbrengen van een belasting. De aard van

deze belasting kan zeer uiteenlopend zijn: statische belastingen, stootbelastingen, cyclische

belastingen, thermische belastingen,... Het is duidelijk dat de respons van het materiaal ook

afhangt van het materiaal zelf. Staal, beton, kunststoffen, keramieken,... hebben elk hun sterke

en zwakke punten en kunnen dan ook niet voor om het even welke toepassing worden ingezet.

Uiteraard zal deze cursus nog talrijke vervolgcursussen krijgen voor de studenten bouwkunde

en werktuigkunde, maar ook voor de andere toekomstige ingenieurs is het belangrijk dat zij

een overzicht hebben van de beginselen van de mechanica van materialen. Ook in hun domein

is de mechanica soms niet veraf. Zo zijn thermische spanningen in chips (Multilayer Circuit

Boards) een mechanisch probleem, net als de maximale lengte van de elektriciteitskabels

tussen twee pylonen.

De cursus bevat vijf grote hoofdstukken:

hoofdstuk 1 introduceert de basisbegrippen van de mechanica: krachten, momenten,

spanningen en rekken. Dit hoofdstuk is een van de meest theoretische en bevat de meeste

formules. Toch is dit hoofdstuk van zeer groot belang voor alles wat volgt,

hoofdstuk 2 legt de fundamenten uit van de balkentheorie. Deze theorie wordt nog steeds

heel vaak gebruikt voor de berekening en het ontwerp van balken en kolommen uit staal en

beton,

hoofdstuk 3 onderzoekt hoe een belastingsprobleem van een constructie kan worden

opgelost, hetzij langs experimentele, hetzij langs numerieke weg. De numerieke methode

die bijzondere aandacht verdient, is de eindige-elementenmethode. Aan de hand van een

aantal voorbeelden wordt duidelijk gemaakt welke de mogelijkheden (en beperkingen) zijn

van deze numerieke techniek,

hoofdstuk 4 bespreekt een aantal elastische problemen, waarbij de driedimensionale

theorie kan vereenvoudigd worden tot haar tweedimensionale variant, maar die zeer veel

toepassing vinden in de industriële praktijk,

hoofdstuk 5 bespreekt de gangbare beproevingsmethodes voor materialen en hun

belangrijkste mechanische eigenschappen. Daarnaast wordt een overzicht gegeven van de

belangrijkste klassen materiaalmodellen die het mechanisch gedrag van materialen

beschrijven onder uiteenlopende belastingscondities.

Achteraan elk hoofdstuk zijn een aantal referenties opgenomen die gebruikt zijn bij de

samenstelling van deze cursus. Hoewel de cursus vrij lijvig lijkt, zijn er haast evenveel

figuren als pagina’s en zijn sommige paragrafen enkel bedoeld als naslagwerk. Inspiratie voor

de opbouw werd gevonden in de cursus Elasticiteit en Sterkteleer van Prof. Verhegghe en een

aantal standaardwerken uit de internationale literatuur.

Wim Van Paepegem

Gent, september 2017

Mechanica van Materialen Inhoudstafel

i

Hoofdstuk 1

KRACHTEN, MOMENTEN, SPANNINGEN EN REKKEN ............................................. 1

1.1. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES ............................................................. 1 1.1.1. Uitwendige belastingen ...................................................................................... 1

1.1.1.a. Krachten ......................................................................................................... 1 1.1.1.b. Momenten ....................................................................................................... 3

1.1.2. Types ondersteuningen ....................................................................................... 9

1.1.3. Evenwicht van een constructie ......................................................................... 10 1.1.4. Inwendige krachtswerking ............................................................................... 11 1.1.5. Scharnierende verbindingen ............................................................................. 16

1.1.6. Besluit ............................................................................................................... 18 1.2. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN ....................................................... 19 1.3. SPANNINGEN ............................................................................................................. 24

1.3.1. Definitie ............................................................................................................ 24

1.3.2. Verband tussen spanningsvector )n(

en spanningsmatrix [] ........................ 30

1.3.3. Vergelijkingen van het evenwicht .................................................................... 32

1.3.4. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ......................................... 35 1.3.5. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 38

1.3.5.a. Cilindercoördinaten ..................................................................................... 38

1.3.5.b. Bolcoördinaten ............................................................................................. 39 1.4. REKKEN..................................................................................................................... 41

1.4.1. Eendimensionale lengteverandering ................................................................ 41 1.4.2. Veralgemeende vervormingstoestand .............................................................. 42

1.4.3. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ......................................... 43 1.4.4. Compatibiliteitsvoorwaarden ........................................................................... 45

1.4.5. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 46 1.4.5.a. Cilindercoördinaten ..................................................................................... 46 1.4.5.b. Bolcoördinaten ............................................................................................. 47

1.4.6. Eindige vervormingen en rekken ..................................................................... 47

1.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG .................................................................. 49 1.5.1. Wet van Hooke ................................................................................................. 50 1.5.2. Bijzondere belastingsgevallen .......................................................................... 54

1.5.2.a. Zuivere trek .................................................................................................. 54

1.5.2.b. Zuivere afschuiving ...................................................................................... 55 1.5.2.c. Hydrostatische belasting .............................................................................. 56 1.5.2.d. Torsie of wringing ........................................................................................ 56

1.5.3. Relaties tussen de elastische constanten ........................................................... 57

1.5.3.a. Verband tussen E, en G ............................................................................. 57 1.5.3.b. Volumeverandering en compressiemodulus ................................................. 59

1.5.4. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 61 1.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM ................................................ 63

1.6.1. Randvoorwaarden ............................................................................................. 64 1.6.2. Superpositieprincipe ......................................................................................... 65 1.6.3. Statisch onbepaalde systemen .......................................................................... 66

1.7. THERMISCHE SPANNINGEN ........................................................................................ 69

1.7.1. Vergelijkingen .................................................................................................. 69

1.7.2. Statisch onbepaalde problemen ........................................................................ 71


ii

1.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE .............................................................................. 73

1.8.1. Arbeid van een kracht ...................................................................................... 73 1.8.2. Arbeid van een moment ................................................................................... 75 1.8.3. Wet van behoud van mechanische energie....................................................... 76

1.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE MATERIALEN ...................... 79 1.9.1. Orthotrope materialen ...................................................................................... 80 1.9.2. Transversaal isotrope materialen ...................................................................... 83

1.10. REFERENTIES ............................................................................................................. 85


iii

Hoofdstuk 2

STRUCTUREEL GEDRAG ................................................................................................. 86

2.1. INLEIDING ................................................................................................................. 86 2.2. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE .................................. 88

2.2.1. Opstellen vergelijkingen .................................................................................. 88 2.2.2. Praktische berekening ...................................................................................... 90

2.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT ....................................... 95

2.3.1. Globaal evenwicht ............................................................................................ 95 2.3.2. Evenwicht van een deel van de balk – Snedekrachten ..................................... 96 2.3.3. Verband tussen q, V en M ................................................................................ 96

2.3.4. Enkele referentiegevallen ................................................................................. 97 2.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast ....................................................................... 97 2.3.4.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ................................................... 100 2.3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ...................................................... 102 2.3.4.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting .................................... 106

2.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN ............................................. 110 2.4.1. Spanningen t.g.v. normaalkracht N ................................................................ 110 2.4.2. Spanningen t.g.v. buigend moment M ........................................................... 110 2.4.3. Spanningen t.g.v. dwarskracht V ................................................................... 114

2.5. VERPLAATSINGEN ................................................................................................... 119 2.5.1. Verplaatsingen t.g.v. de normaalkracht N ...................................................... 119

2.5.2. Verplaatsingen t.g.v. het buigend moment M ................................................ 119

2.5.2.a. Ingeklemde balk met puntlast ..................................................................... 121

2.5.2.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ................................................... 122 2.5.2.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ...................................................... 122 2.5.2.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting .................................... 124

2.5.3. Verplaatsingen t.g.v. de dwarskracht V ......................................................... 124 2.6. SINGULARITEITSFUNCTIES ....................................................................................... 126

2.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL ................................................... 130 2.8. REFERENTIES ........................................................................................................... 132


iv

Hoofdstuk 3

OPLOSSINGSMETHODES ............................................................................................... 133

3.1. INLEIDING ............................................................................................................... 133 3.2. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN ................................................................................... 135 3.3. EXPERIMENTELE METHODES.................................................................................... 136 3.4. NUMERIEKE METHODES – EINDIGE ELEMENTEN ...................................................... 139

3.4.1. Structuur van het eindige elementenprogramma ............................................ 141

3.4.1.a. Pre-processing ........................................................................................... 141 3.4.1.b. Analyse ....................................................................................................... 144 3.4.1.c. Post-processing .......................................................................................... 145

3.4.2. Praktijkvoorbeelden ....................................................................................... 146 3.4.2.a. Plastische vervorming van een koppeling voor perslucht .......................... 146 3.4.2.b. Inlaat van een composiet drukvat ............................................................... 151 3.4.2.c. Maximale kromming van een connectorblok met optische vezels .............. 155 3.4.2.d. Thermische spanningen in een dikwandige composietbuis ........................ 156

3.5. REFERENTIES ........................................................................................................... 160


v

Hoofdstuk 4

TWEEDIMENSIONALE ELASTISCHE PROBLEMEN ............................................... 161

4.1. VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING .................................................................. 161 4.1.1. Vlakspanning .................................................................................................. 161

4.1.1.a. Algemeen .................................................................................................... 161 4.1.1.b. Cirkel van Mohr ......................................................................................... 164 4.1.1.c. Vlakspanning met thermische effecten ....................................................... 166

4.1.2. Vlakvervorming ............................................................................................. 167 4.1.2.a. Algemeen .................................................................................................... 167 4.1.2.b. Cirkel van Mohr ......................................................................................... 169

4.1.2.c. Vlakvervorming met thermische effecten ................................................... 171 4.1.3. Hoofdrichtingen vlakspanning en vlakvervorming ........................................ 172

4.2. AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN ..................................................... 173 4.2.1. Basisformules voor axiaalsymmetrie ............................................................. 173 4.2.2. Opstellen algemene vergelijkingen voor radiale belastingen ......................... 176

4.2.3. Trek- of drukspanningen op de binnen- en buitenrand .................................. 177 4.2.3.a. Schijf in vlakspanning ................................................................................ 177 4.2.3.b. Schijf in vlakvervorming ............................................................................. 179 4.2.3.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ................................................. 181

4.2.3.d. Lange buis met vrije uiteinden ................................................................... 185 4.2.4. Radiaal temperatuurveld ................................................................................ 186

4.2.4.a. Schijf in vlakspanning ................................................................................ 186

4.2.4.b. Schijf in vlakvervorming ............................................................................. 191

4.2.4.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ................................................. 193 4.2.4.d. Lange buis met vrije uiteinden ................................................................... 194

4.3. SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN ..................................................... 197

4.4. REFERENTIES ........................................................................................................... 201


vi

Hoofdstuk 5

MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN MATERIAALMODELLEN ...................... 202

5.1. MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES ................................. 203 5.1.1. Trek- en drukproeven ......................................................................................... 204

5.1.1.a. Ductiele materialen .................................................................................... 206 5.1.1.b. Brosse materialen ....................................................................................... 211

5.1.1.c. Overgangen van bros naar ductiel gedrag en vice versa ........................... 213 5.1.1.d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen ................. 214

5.1.2. Buigproeven ....................................................................................................... 215

5.1.3. Afschuifproeven ................................................................................................. 215 5.1.4. Hardheidsproeven ............................................................................................... 216

5.1.4.a. Hardheidsmeting volgens Brinell ............................................................... 217 5.1.4.b. Hardheidsmeting volgens Vickers .............................................................. 218 5.1.4.c. Hardheidsmeting volgens Rockwell ........................................................... 218

5.1.5. Kruipproeven ...................................................................................................... 219 5.1.6. Vermoeiingsproeven .......................................................................................... 221

5.1.6.a. Proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven ...................................... 223 5.1.6.b. Proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ... ......... 226

5.1.6.c. Proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen ........ 227 5.1.7. Impactproeven .................................................................................................... 229

5.1.7.a. Valproeven ................................................................................................. 231

5.1.7.b. Pneumatische en mechanische impacttesten .............................................. 232

5.1.7.c. Hopkinson-proeven .................................................................................... 233 5.1.7.d. Impactproeven op volledige constructies ................................................... 235

5.1.8. Kerfslagproeven ................................................................................................. 236

5.2. CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN .............................................. 238 5.2.1. Vloeicriteria voor ductiele materialen ................................................................ 238

5.2.1.a. Criterium van Tresca ................................................................................. 241 5.2.1.b. Criterium van von Mises ............................................................................ 241

5.2.2. Breukcriteria voor brosse materialen ................................................................. 242 5.2.2.a. Isotrope brosse materialen ......................................................................... 242

5.2.2.b. Anisotrope brosse materialen ..................................................................... 244 5.3. INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN ........................................................................ 245

5.3.1. Rekstrookjes ....................................................................................................... 245 5.3.1.a. Technologie van het rekstrookje ................................................................ 245 5.3.1.b. Meervoudige rekstrookjes .......................................................................... 247

5.3.2. Moiré-technieken ............................................................................................... 251 5.3.3. Digitale beeldcorrelatie ...................................................................................... 256

5.3.4. Optische vezelsensoren ...................................................................................... 260 5.4. SCHADEMECHANISMEN ........................................................................................... 263

5.4.1. Schadetypes ........................................................................................................ 264 5.4.1.a. Metalen ....................................................................................................... 264 5.4.1.b. Gewapend beton ......................................................................................... 265

5.4.1.c. Kunststoffen ................................................................................................ 266 5.4.1.d. Composietmaterialen ................................................................................. 266

5.4.2. Schadedetectie en -diagnose ............................................................................... 270 5.4.2.a. Visuele inspectie ......................................................................................... 270


vii

5.4.2.b. Ultrasoon onderzoek .................................................................................. 271

5.4.2.c. Radiografie ................................................................................................. 278 5.4.2.d. Thermografie .............................................................................................. 279

5.5. MATERIAALMODELLEN ........................................................................................... 281

5.5.1. Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag ................................................................... 283 5.5.1.a. Elastisch materiaalgedrag ......................................................................... 283 5.5.1.b. Plastisch materiaalgedrag ......................................................................... 283

5.5.2. Tijdsafhankelijk materiaalgedrag ....................................................................... 285 5.5.3. Scheurgroei ......................................................................................................... 291

5.5.3.a. Elastische breukmechanica ........................................................................ 292 5.5.3.b. Elastisch-plastische breukmechanica ........................................................ 297

5.5.4. Degradatie .......................................................................................................... 298 5.6. BESLUIT .................................................................................................................. 303

5.7. REFERENTIES ........................................................................................................... 305

1

Hoofdstuk 1

Krachten, momenten,

spanningen en rekken

1.1. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES

In het ontwerp van een constructie of machine is het allereerst noodzakelijk met behulp van

de grondbeginselen van de statica vast te stellen, welke krachten op de verschillende

onderdelen werken. Vandaar wordt in deze paragraaf eerst ingegaan op de begrippen kracht,

moment en evenwicht.

Alle grootheden zullen voorgesteld worden in een rechtshandig cartesiaans assenstelsel

(x,y,z). Voor de meeste constructies (balken, platen, schalen, raamwerken,...) wordt daarbij

aangenomen dat de z-richting de hoogte weergeeft, terwijl de x-as de lengte weergeeft. De

ligging van de y-as volgt dan onmiddellijk uit de voorwaarde van een rechtshandig

assenstelsel.

1.1.1. Uitwendige belastingen

De uitwendige belastingen op een constructie kunnen verdeeld worden in twee grote klassen:

(i) de krachten, en (ii) de momenten.

1.1.1.a. Krachten

Opnieuw kan men onderscheid maken tussen twee types krachten: (i) de oppervlaktekrachten,

en (ii) de volumekrachten.

Oppervlaktekrachten

Zoals de naam al aangeeft, worden oppervlaktekrachten veroorzaakt door het directe contact

van een object met het oppervlak van een ander object. In alle gevallen worden deze krachten

verdeeld over de contactoppervlakte tussen de objecten (zie Figuur 1.1(a)). Met name als deze

oppervlakte klein is t.o.v. de totale oppervlakte van het object, kan de oppervlaktekracht

geïdealiseerd worden als één geconcentreerde kracht [Newton], die op een punt van het

lichaam wordt uitgeoefend (zie Figuur 1.1(a)).

Als de oppervlaktebelasting op een smal langwerpig oppervlak wordt uitgeoefend, kan de

belasting worden geïdealiseerd als een lijnbelasting, q(s). Hier wordt de belasting gemeten

per lengte-eenheid langs het oppervlak [Newton/meter] en grafisch weergegeven als een reeks

pijlen over de lijn s (zie Figuur 1.1(a)). De belasting over de lengte van een balk is een typisch

voorbeeld van een structuur waar deze idealisering vaak wordt toegepast (zie Figuur 1.1(b)).

De resulterende kracht FR van q(s) is gelijk aan de oppervlakte onder de kromme van de

verdeelde belasting en deze resultante grijpt aan in het zwaartepunt C van deze oppervlakte.

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken

2

Figuur 1.1 Puntbelasting, lijnbelasting en verdeelde belasting [1].

Volumekrachten

Een volumekracht treedt op wanneer een object een kracht uitoefent op een ander object

zonder dat er van direct fysiek contact tussen de objecten sprake is. Het meest directe

voorbeeld is de zwaartekracht die aangrijpt op elk object hier op aarde. Hoewel

volumekrachten alle deeltjes van het object beïnvloeden, worden deze krachten gewoonlijk

voorgesteld door één enkele geconcentreerde kracht die op het object werkt. In het geval van

de zwaartekracht wordt deze kracht het gewicht van het lichaam genoemd en grijpt ze aan in

het zwaartepunt van het lichaam. De grootte ervan is dan:

gmF (1.1)

waarbij m de massa is van het lichaam en g de valversnelling (g = 9,81 m/s2).

Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle types

krachten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

,

zoals weergegeven in Figuur 1.2.

O

x

y

z

F > 0y

F > 0z

F > 0x

Figuur 1.2 Tekenconventies voor krachten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken

3

1.1.1.b. Momenten

Krachten kunnen niet alleen een translatie-effect uitoefenen op een object, maar ook een

rotatie-effect. Dit laatste wordt veroorzaakt door het moment dat door de kracht op het object

wordt uitgeoefend. Het moment wordt berekend als kracht vermenigvuldigd met lastarm en

heeft dus de dimensie [Newton meter].

Figuur 1.3 geeft een voorbeeld. De drie schetsen (a), (b) en (c) tonen het bovenaanzicht van

een deur, die via een hengsel verbonden is met de muur. Als de werklijn van de kracht

doorheen het scharnier gaat, treedt er geen rotatie op (zie Figuur 1.3(a)). Treedt de kracht F op

op een zekere afstand van het scharnier, dan treedt een rotatie op van de deur (zie Figuur

1.3(b)). Het is evident dat deze rotatie zal vergroten als (i) de kracht F groter is, en/of (ii) de

afstand van F tot het scharnier groter is. In geval (c) treedt geen rotatie op, omdat de werklijn

van de kracht opnieuw door het scharnier gaat.

Figuur 1.3 Moment uitgeoefend door een kracht [2].

Een koppel is een bijzonder geval van een moment, uitgeoefend door twee even grote,

evenwijdige en tegengestelde krachten (zie Figuur 1.4).


4

Figuur 1.4 Voorbeeld van een krachtenkoppel [2].

Als men opnieuw een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle

momenten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen xe

, y

e

en

ze

, zoals weergegeven in Figuur 1.5. De vectoren van de positieve momenten Mx, My en Mz

zijn gericht volgens de positieve zin van de respectieve assen xe

, y

e

en z

e

. Om het

onderscheid te maken met de componenten van de krachtvector, worden de componenten van

de momentvector getekend met een dubbele pijlpunt. De rotatiezin van het moment wordt

bepaald met de rechterhandregel : de duim wijst de richting van de (dubbele) pijlpunt aan en

de vingers van de rechterhand geven de draairichting aan.

O

x

y

z

M > 0y

Mx

> 0

M > 0z

M > 0x

My> 0

Mz

> 0

Figuur 1.5 Tekenconventies voor momenten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).


5

De meest algemene wiskundige uitdrukking voor de momentvector OM (Mx, My, Mz) is:

FrM O (1.2)

In het ingevoerde assenstelsel (x, y, z) kan deze vector als volgt berekend worden:

zzyyxx

zxyyxyxzzxxyzzy

zyx

zyx

zyx

eMeMeM

eFrFreFrFreFrFr

FFF

rrr

eee

OM

(1.3)

Men bekomt dus een momentvector OM met componenten (Mx, My, Mz).

In vele praktijkgevallen zijn sommige componenten van r en/of F gelijk aan nul. Dan is het

vaak eenvoudiger om de momenten Mx, My en Mz om de respectievelijke coördinaatassen

xe

, y

e

en z

e

afzonderlijk uit te schrijven, gebruik makend van de fysische betekenis van de

momentbijdrage van de krachtcomponenten Fx, Fy en Fz om de respectievelijke

coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

. Dit wordt duidelijk geïllustreerd door Figuur 1.6.

x

y

z

60

F = 100 N

5 m

2 m

r

Figuur 1.6 Momenten uitgeoefend op een stuk pijpleiding door de krachtvector F met grootte 100 N en in

een vlak evenwijdig met het x-z vlak.


6

Een kracht met grootte 100 N en in een vlak evenwijdig met het x-z vlak grijpt aan op een

stuk pijpleiding. Als men de momentvector OM wil berekenen, kan men uitgaan van de

algemene definitie en schrijven:

zzyyxx

zyx

zyx

eMeMeM

eNm100eNm1002

35eNm1003

60sinN100060cosN100

025

eee

OM

(1.4)

Men kan ook de kracht F ontbinden in zijn componenten (Fx, Fy, Fz) en nakijken welke

componenten bijdragen tot het moment om een bepaalde coördinaatas.

x

y

z

5 m

2 m

60

rx

ry

Fx

Fz

F = 100 N

Figuur 1.7 Momenten uitschrijven op basis van fysische interpretatie.

Als men de afzonderlijke momenten Mx, My en Mz rechtstreeks opschrijft, kijkt men welke

krachtcomponenten bijdragen tot dat moment en berekent deze bijdragen als

{krachtcomponent} maal {loodrechte hefboomsarm tot de as i

e

}. Het teken van de

momentbijdrage wordt bepaald door de rechterhandregel rond de as i

e

, zoals aangeduid in

Figuur 1.7.


7

yxz

xzy

yzx

rFM

rFM

rFM

(1.5)

Voor vlakke problemen is deze laatste methode nog veel meer aangewezen. Stel dat men

bovenstaand probleem vereenvoudigt tot een tweedimensionaal probleem in het x-z vlak,

zoals aangegeven in Figuur 1.8.

x

z

60

F = 100 N

y

5 m

Figuur 1.8 Tweedimensionaal probleem, waarbij de constructie en belastingen allen in één vlak liggen.

Als men het probleem beschrijft in het x-z vlak, zijn de y-component van r en F gelijk aan

nul, zodat My de enige niet-nul component is van de momentvector OM . Dan is het veel

eenvoudiger om de momentbijdrage van de twee krachtcomponenten Fx en Fz rechtstreeks op

te schrijven. Dit wordt aangetoond in Figuur 1.9.

x

z

60

F = 100 N

y

5 mFx

Fz

Figuur 1.9 Berekenen van momentbijdragen bij vlakke problemen.

De enige momentbijdrage wordt geleverd door Fz:

Nm1002

35

rFM xzy

(1.6)

Bij vlakke problemen kan men zelfs nog een derde berekeningswijze aanwenden. Het

moment kan namelijk ook berekend worden als de volledige kracht maal de loodrechte

hefboomsarm, zoals aangegeven in Figuur 1.10.


8

x

z

60

F = 100 N

y

5 mFx

Fz

rF

rF

Figuur 1.10 Berekenen van momentbijdragen als kracht maal loodrechte hefboomsarm.

Dit kan men eenvoudig aantonen als volgt:

0Fr

FrFr

Frr

FrM

F

//FF

//FF

ye

O

(1.7)

waarbij het teken van het moment nog steeds bepaald wordt door de rechterhandregel, ditmaal

rond de coördinaatas y

e

.

Het moment My wordt dan:

Nm1002

35

N10060sinm5

M y

Fr F

(1.8)

Opmerking Bij vlakke problemen staan alle momentenvectoren loodrecht op het

beschouwde vlak. Immers, alleen momentvectoren loodrecht op dat vlak geven aanleiding tot

rotaties in dat vlak. Omdat de momentvectoren in die 2-D voorstelling moeilijk te tekenen

zijn, tekent men enkel de rotatiezin die ze veroorzaken. Als men bv. een vlak probleem

bestudeert in het x-z vlak, liggen alle momentvectoren volgens de coördinaatas y

e

. De

momentvectoren worden dan voorgesteld door een kromme pijl die de rotatiezin aangeeft: in

uurwijzerzin voor een positief moment My, in tegenuurwijzerzin voor een negatief moment

My. Dit wordt schematisch weergegeven in Figuur 1.11.


9

x

z

y

M < 0yM > 0y

Figuur 1.11 Voorstelling van momentvectoren My in het vlak x-z.

1.1.2. Types ondersteuningen

In vele gevallen zijn constructies ondersteund of bevestigd aan steunpunten. De krachten in

deze ondersteuningen of steunpunten noemt men de reacties. In Figuur 1.12 zijn de meest

voorkomende types ondersteuningen getoond voor belastingen in eenzelfde vlak.

Figuur 1.12 Meest voorkomende types ondersteuningen [1].


10

Als de ondersteuning de translatie in een bepaalde richting verhindert, dan moet er in die

richting een reactiekracht [Newton] op het onderdeel worden uitgeoefend. Evenzo geldt dat,

wanneer rotatie wordt verhinderd, er een reactiemoment [Newton meter] op het onderdeel

wordt uitgeoefend. Zo verhindert bijvoorbeeld een roloplegging (Figuur 1.12(b)) alleen

translatie in de verticale richting. De rol oefent daardoor op het punt van contact een

reactiekracht F uit op het onderdeel. Aangezien het onderdeel vrij om de rol kan roteren, kan

er door de rol op het punt van contact geen moment op het onderdeel worden uitgeoefend.

De reacties worden gewoonlijk aangeduid met het symbool R voor reactiekrachten en RM

voor reactiemomenten.

1.1.3. Evenwicht van een constructie

Evenwicht van een object vereist zowel een evenwicht van krachten als een evenwicht van

momenten. Deze voorwaarden kunnen wiskundig worden uitgedrukt met de volgende twee

vectorvergelijkingen:

0M

0F

O

(1.9)

Hier vertegenwoordigt F de som van alle krachten die op het lichaam werken en is OM

de som van de momenten van alle krachten rond een punt O, waarbij het punt O al dan niet op

het object zelf gelegen is.

Als men het evenwicht uitschrijft van de volledige constructie, worden ook de reacties in de

ondersteuningen meegeteld als uitwendige krachten/momenten op de constructie.

Als er een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) is ingesteld met de oorsprong in het

punt O, kunnen de krachten momentenvectoren worden ontbonden in hun componenten

langs de coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

. De twee bovenstaande vergelijkingen (1.9) kunnen

dan in scalaire vorm worden geschreven als zes vergelijkingen:

0M0M0M

0F0F0F

zyx

zyx

(1.10)

Hierbij is het belangrijk in te zien dat de gekozen positieve rotatierichting voor het

uitschrijven van het momentenevenwicht geen belang heeft. Een omkering van de gekozen

positieve rotatierichting impliceert enkel dat de evenwichtsvergelijkingen worden

vermenigvuldigd met –1, maar dat maakt uiteraard geen enkel verschil:

0M0M0M zyx (1.11)

In vele gevallen werken alle belastingen in één vlak (onderstel het x-y vlak) en kunnen de

evenwichtsvergelijkingen gereduceerd worden tot:

0M

0F0F

z

yx

(1.12)


11

Met behulp van deze evenwichtsvergelijkingen kunnen de reactiekrachten in de

ondersteuningen van een constructie berekend worden.

Voorbeeld 1.1

Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten

in A en B.

1.1.4. Inwendige krachtswerking

Eén van de belangrijkste toepassingen van de statica bij het analyseren en ontwerpen van

constructies, is het kunnen bepalen van de resulterende kracht en het resulterende moment

die in een doorsnede van de constructie werken en die noodzakelijk zijn om de constructie-

onderdelen bij elkaar te houden wanneer er uitwendige krachten (en reactiekrachten) op

worden uitgeoefend.

Deze inwendige krachten noemt men ook wel “snedekrachten”, omdat deze krachten

berekend worden door een “snede” te maken in de constructie en het evenwicht uit te drukken

van een geïsoleerd deel van de constructie.

Figuur 1.13 toont het voorbeeld van een tweedimensionale constructie met een dergelijke

doorsnijding.


12

Figuur 1.13 Doorsnijding van een constructie en bepaling van de inwendige krachtswerking [1].

Voor de berekening van de snedekrachten in

Figuur 1.13 gaat men als volgt te werk:

op de plaats waar men de snedekrachten wil kennen, snijdt men (uiteraard

denkbeeldig) de constructie volledig door. Men heeft nu twee geïsoleerde delen. Het deel

waar de buitennormale van de doorsnijding samenvalt met de positieve coördinaatas, noemt

men de positieve doorsnijding. Het andere deel, waar de positieve buitennormale tegengesteld

gericht is aan de positieve coördinaatas, noemt men de negatieve doorsnijding. In het

voorbeeld van

Figuur 1.13 is het linkerdeel de positieve doorsnijding (buitennormale volgens positieve as

xe

) en het rechterdeel de negatieve doorsnijding (buitennormale volgens negatieve as

xe

),

als men nu enkel het evenwicht van het linkerdeel van de constructie beschouwt, moet men

de krachtswerking van het weggesneden rechterdeel op het linkerdeel herstellen door de

invoering van de snedekrachten. Zoals blijkt uit vergelijking (1.12), zijn er voor een

tweedimensionale doorsnijding drie onbekende snedekrachten: Fx, Fy en Mz (merk op dat

de momentvector Mz hier opnieuw wordt voorgesteld door zijn teweeggebrachte rotatie in

het x-y vlak).

De tekenconventie voor de snedekrachten hangt af van de doorsnijding: voor een positieve

doorsnijding gelden de tekenconventies van Figuur 1.5, voor een negatieve doorsnijding

zijn de tekenconventies net omgekeerd. Dit moet zo zijn, want de krachtswerking van het

rechterdeel op het linkerdeel is gelijk en tegengesteld aan de krachtswerking van het

linkerdeel op het rechterdeel (derde wet van Newton: actie en reactie),


13

tenslotte schrijft men het krachten- en momentenevenwicht uit voor het linkerdeel

afzonderlijk of voor het rechterdeel afzonderlijk. Vermits alle reactiekrachten én de

uitwendige belastingen gekend zijn, kan men voor elk geïsoleerd deel van de constructie de

evenwichtsvergelijkingen (1.12) uitschrijven. Vermits de snedekrachten de krachtswerking

vertegenwoordigen van het rechterdeel van de constructie op het aangrenzende linkerdeel

van de constructie, en vice versa, moet men in beide gevallen dezelfde waarden bekomen

voor de snedekrachten Fx, Fy en Mz. De snedekrachten worden hierbij altijd gerefereerd

t.o.v. het zwaartepunt van de beschouwde dwarsdoorsnede.

De fysische betekenis van de snedekrachten kan best aangetoond worden met een voorbeeld.

Figuur 1.14 toont een links ingeklemde balk met een verdeelde belasting van 270 N/m. De

onbekende reactiekrachten en –momenten zijn Rx, Rz en RMy.

x

z

y

RzRMy

Rx

Figuur 1.14 Vlak probleem van ingeklemde balk met verdeelde belasting.

Allereerst moet men deze uitwendige reactiekrachten en –momenten bepalen voor de

volledige constructie. Uitschrijven van het horizontaal, verticaal en momentenevenwicht

levert de volgende drie vergelijkingen:

Nm3645RM

N1215R

0R

093

1

2

9m/N270RM

02

9m/N270R

0R

y

z

x

y

z

x

(1.13)

Om nu de onbekende snedekrachten in de doorsnede C te berekenen, kan men kiezen voor

een positieve doorsnijding (deel links van C isoleren) of een negatieve doorsnijding (deel

rechts van C isoleren). Figuur 1.15 toont beide opties, met de tekenconventie van de

snedekrachten voor een positieve doorsnijding (boven) en een negatieve doorsnijding (onder).


14

x

z

y

x

z

y

Fz

My

Fx

Fx

MyFz

RzRMy

Rx

Figuur 1.15 Equivalentie van linker- en rechterdoorsnijding van de balk.

Omdat de onbekende snedekrachten Fx, Fz en My een unieke waarde hebben in de doorsnede

C, moeten beide doorsnijdingen hetzelfde resultaat leveren.

Evenwicht van het geïsoleerde linkerdeel geeft:

Nm1080M

N540F

0F

0Mdx)x3(9

x1m/N270m3RRM

0Fdx9

x1m/N270R

0FR

y

z

x

3

0

yzy

3

0

zz

xx

(1.14)

Dit betekent dat het weggesneden rechterdeel van de constructie een neerwaartse kracht van

540 N uitoefent op het linkerdeel, alsook een buigmoment in uurwijzerzin.

Evenwicht van het geïsoleerde rechterdeel geeft:

Nm1080M

N540F

0F

063

1

2

6m/N180M

02

6m/N180F

0F

y

z

x

y

z

x

(1.15)


15

De waarde voor de snedekrachten is inderdaad dezelfde, maar de tekenconventie voor de

snedekrachten is tegengesteld aan deze voor de positieve doorsnijding, precies omwille van

de wet van actie en reactie.

Stappenplan voor de berekening van het evenwicht van constructies en doorsnijdingen:


16

Voorbeeld 1.2

Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt B op de dwarsdoorsnede van de

pijp werken. De pijp heeft een massa van 2 kg/m en wordt aan het uiteinde A belast door een

verticale kracht van 50 N en een koppel van 70 Nm. De pijp is bij C vast aan de muur

bevestigd.

1.1.5. Scharnierende verbindingen

De inwendige krachtswerking wordt aanzienlijk vereenvoudigd als de constructie is

samengebouwd uit scharnierende onderdelen. Dit is vaak het geval bij vakwerkbruggen en

portieken. Figuur 1.16 toont een schematisch voorbeeld van een constructie met

scharnierende verbindingen.

Figuur 1.16 Voorbeeld van constructie met scharnierende verbindingen [13].

Men kan eenvoudig aantonen dat er in deze gevallen enkel een snedekracht in de richting van

de staven bestaat. Door het bestaan van de scharnieren wordt er immers geen moment

overgedragen van de ene staaf naar de andere. Beschouwt men nu het evenwicht van een

geïsoleerde staaf, zoals weergegeven in Figuur 1.17. De overblijvende snedekrachten worden


17

getekend in overeenstemming met de tekenconventies voor een positieve (rechts) en negatieve

(links) doorsnijding.

Fz

Fx

Fx

Fz

L

Figuur 1.17 Evenwicht van een vakwerkstaaf tussen twee scharnieren.

Als men het momentevenwicht uitschrijft om het linkse scharnier (bv. met positieve draaizin

in de tegenuurwijzerzin):

0F0LF0M zzy (1.16)

Dit betekent dat er enkel een langskracht Fx bestaat in de staaf.

Deze conclusie is algemeen geldig voor constructies met scharnierende verbindingen als en

slechts als:

de staaf aan zijn beide uiteinden verbonden is met scharnieren,

er geen belasting aangrijpt tussen de scharnieren.

Dit betekent ook meteen dat de reactiekrachten gericht zijn volgens de richting van de staven,

als en slechts als er maar één staaf aankomt in het steunpunt (zoals het geval is in Figuur

1.16).

Voorbeeld 1.3

Alle staven in onderstaand vakwerk zijn scharnierend met elkaar verbonden. In twee knopen

grijpt een neerwaarts gerichte puntlast aan van respectievelijk 0,75 P en P. Bepaal de positie

van de staaf die de grootste kracht moet dragen.

P0,75 P

1,2 m 1,2 m

0,9 m

(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 35 minuten)


18

1.1.6. Besluit

Bij deze berekening van de inwendige krachtswerking wordt ondersteld dat de snedekrachten

aangrijpen in het zwaartepunt van de doorsnijding, maar het is nogal evident dat deze

snedekrachten in werkelijkheid niet geconcentreerd kunnen zijn in dat ene punt, anders

zouden alle punten van de doorsnede volledig onbelast zijn, uitgezonderd het zwaartepunt.

Deze snedekrachten stellen dus in feite het resulterend effect voor van de feitelijke

krachtenverdeling over het volledige oppervlak van de beschouwde doorsnede.

De berekening van de snedekrachten m.b.v. de vergelijkingen van het evenwicht is dan ook

maar een eerste stap naar het volledig begrip van de inwendige krachtswerking in de

constructie. De volgende stap bestaat er nu in te onderzoeken hoe de snedekrachten in

werkelijkheid worden vertaald naar een verdeelde krachtswerking over de volledige

doorsnijding. Daartoe worden twee nieuwe begrippen ingevoerd: spanning en rek. De

volgende paragraaf tracht een intuïtief begrip van deze grootheden aan te leren. Daarna volgt

een meer rigoureuze bespreking van beide begrippen.


19

1.2. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN

Om de begrippen “spanning” en “rek” te introduceren, beschouwt men een eenvoudige

trekproef op zacht staal. Een typische proefopstelling is getoond in Figuur 1.18. Het stalen

proefstuk is een prismatische staaf met cirkelvormige dwarsdoorsnede en is ingeklemd aan

het boven- en onderuiteinde. Bovenaan wordt een trekkracht F uitgeoefend door de zware

dwarsbalk. Een extensometer (aan de zijkant van het proefstuk) meet de relatieve verplaatsing

tussen twee referentiepunten.

Figuur 1.18 Experimentele opstelling voor trekproeven op metalen [5].

Bij een schematische voorstelling van deze trekproef zijn de evenwichtsvergelijkingen heel

eenvoudig : in elke cirkelvormige dwarsdoorsnede van het proefstuk werkt de kracht F in het

zwaartepunt van de doorsnede. In dat geval is het redelijk te veronderstellen dat de kracht F in

de doorsnede wordt opgenomen door een constante, gelijkmatige trekspanning , die

gelijkmatig verdeeld wordt over de oppervlakte A0 [meter2] van de dwarsdoorsnede. De

grootte van deze trekspanning is dan:

]meter/Newton[A

F 2

0

(1.17)

Het is belangrijk te onthouden dat spanningen steeds als dimensie [Newton/meter2] hebben.

Omdat spanningen echter steeds betrekking hebben op een kleine oppervlakte, worden ze

vaak uitgedrukt in MPa, waarbij:

2266 mm/N1m/N10Pa10MPa1 (1.18)

Figuur 1.19 toont de schematische verdeling van de spanningen en de bijhorende verlenging

L van de stalen staaf.


20

Figuur 1.19 Verdeling van de spanningen en verlenging van de stalen staaf [6].

Inderdaad, het is evident dat onder invloed van de trekkracht F (en de trekspanningen ) ook

een verlenging van de staaf zal optreden. Als men deze verlenging L (zie Figuur 1.19) deelt

door de oorspronkelijke lengte L0, dan bekomt men de rek :

0L

L (1.19)

De rek is dimensieloos [-] en geeft de relatieve verlenging weer van de proefstaaf.

Als men nu voor deze trekproef de experimenteel opgemeten spanning en rek ten opzichte

van elkaar uitzet, bekomt men een typische grafiek zoals afgebeeld in Figuur 1.20.

Figuur 1.20 Typisch spanning-rek diagram voor een trekproef op zacht staal [5].


21

In de abscis staat de rek [-] en in de ordinaat staat de spanning [GPa (= 109 N/m2)].

Vooraleer de trekproef start, ondervindt het materiaal geen enkele spanning of vervorming

( = 0 en = 0). Als de trekkracht op het proefstuk opgevoerd wordt, tekent zich eerst een

zone af waar de spanning en rek proportioneel toenemen. In deze (beperkte) zone vertoont het

materiaal een lineair elastisch gedrag.

Het gedrag wordt elastisch genoemd, omdat in deze zone geen blijvende vervorming optreedt.

Wordt de belasting weggenomen, dan verdwijnt ook de vervorming en bevindt het materiaal

zich in zijn oorspronkelijke, onbelaste toestand. De - curve wordt dan in tegengestelde zin

doorlopen en de vervorming is dus omkeerbaar.

Het gedrag is bovendien lineair omdat spanning en vervorming evenredig toenemen, en de

evenredigheidsconstante noemt men de elasticiteitsmodulus E [N/m2]:

E (1.20)

Deze betrekking tussen spanning en rek is de wet van Hooke. De elasticiteitsmodulus E is dus

een materiaaleigenschap die de stijfheid van het materiaal weergeeft.

Eens de elasticiteitsgrens 0 wordt bereikt, gedraagt het materiaal zich niet langer lineair

elastisch. Inderdaad, de spanning neemt niet langer evenredig toe met de rek en er treedt ook

permanente vervorming op. Bij het ontlasten verdwijnt de elastische rek, maar een deel van de

totale rek blijft over als permanente rek. In deze zone gedraagt het materiaal zich plastisch.

Wanneer men de kracht blijft opvoeren, bereikt men uiteindelijk de treksterkte UTS (Eng:

Ultimate Tensile Strength). Toch treedt breuk pas op bij een nog grotere vervorming, maar bij

een lagere spanning. Hoe komt dit ? De spanning wordt gedefinieerd als de kracht F,

gedeeld door de oorspronkelijke oppervlakte A0. Eens de treksterkte UTS bereikt wordt,

begint het materiaal lokaal in te snoeren (Eng: necking), zodat de werkelijke oppervlakte A

verkleint. De werkelijke spanning F/A blijft dus toenemen, hoewel de spanning F/A0 afneemt.

Een voorbeeld van insnoering is duidelijk te zien in Figuur 1.21.

Figuur 1.21 Lokale insnoering van het stalen proefstuk bij breuk [5].


22

Deze insnoering in het plastisch gebied is met het blote oog waarneembaar, maar ook in het

elastisch gebied zal de diameter van de proefstaaf lichtjes afnemen, wanneer aan de staaf

getrokken wordt. De staaf wordt dus niet alleen langer, maar ook dunner. In het elastisch

gebied gebeurt deze vermindering van de dwarsafmetingen gelijkmatig over de volledige

lengte van de staaf, in tegenstelling tot de zeer lokale insnoering in het plastisch gebied. Deze

gelijkmatige vermindering van de dwarse afmetingen in het elastisch gebied noemt men de

dwarscontractie. Het blijkt uit experimentele metingen dat de relatieve vermindering d/d0

van de oorspronkelijke diameter d0 van de ronde proefstaaf een constante fractie is van de

relatieve lengteverandering L/L0 in het elastisch gebied:

000

0

L

L

d

dconstante

L/L

d/d

(1.21)

Het getal noemt men de dwarscontractiecoëfficiënt of de coëfficiënt van Poisson. Deze

coëfficiënt is dimensieloos en strikt positief. Het min-teken in de vergelijking (1.21) is nodig,

omdat een uitrekking van de staaf (L/L0 > 0) gepaard gaat met een vermindering van de

diameter (d/d0 < 0), terwijl een indrukking van de staaf gepaard gaat met een vermeerdering

van de diameter.

Dit verband is schematisch voorgesteld in Figuur 1.22.

Figuur 1.22 Verband tussen lengteverandering en verandering van dwarse afmetingen [2].

De maximale waarde van de coëfficiënt van Poisson is 0,5 omdat de proefstaaf anders zou

toenemen in volume als men hem indrukt. Dit volgt onmiddellijk uit de berekening van het

volume van de proefstaaf in belaste toestand. De nieuwe lengte L en diameter d zijn

respectievelijk:

ddd

LLL

0

0

(1.22)

Het volume van de belaste proefstaaf wordt dan:


23

)21(1V

)2()21(1V

1d4

1L

L

L1d

4L

L1L

d

d1d

4L

L1L

dd4

LL

d4

LV

0

2322

0

22

00

2

0

2

0

0

0

2

0

2

0

0

0

2

00

2

(1.23)

Als de proefstaaf wordt ingedrukt ( < 0), dan zou, indien groter zou zijn dan 0,5, het

volume van de proefstaaf V in druk groter zijn dan het oorspronkelijk volume V0. Dit is

fysisch niet mogelijk. Een eenvoudig voorbeeld is een alzijdige waterdruk op een lichaam.

Indien groter zou zijn dan 0,5, zou onder deze alzijdige waterdruk het volume van het

lichaam toenemen.

Voor metalen ligt de Poisson-coëfficiënt in de buurt van 1/3. Als vuistregel onthoudt men:

gesteenten, glas: = 1/4

metalen: = 1/3

rubbers: = 1/2

Hoewel het gebied waarin het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, zeer klein is in het

totale spanning-rek diagramma, worden bijna alle constructies zodanig ontworpen dat ze in

de gebruikstoestand een lineair elastisch materiaalgedrag vertonen. In het lineair elastisch

gebied zijn de vervormingen immers klein én omkeerbaar, wat voor de meeste constructies

(bv. bruggen voor wegverkeer, stalen liggers in gebouwen, motoren,...) wel heel wenselijk is.

Het plastisch materiaalgedrag wordt wel vaak doelbewust aangewend tijdens het

productieproces (bv. walsen, draadtrekken), zodat een nieuwe, blijvende vervorming aan het

materiaal kan worden opgelegd.

In de volgende paragrafen worden de begrippen “spanning” en “rek” uitgebreid naar een meer

algemene definitie en wordt verder ingegaan op de wet van Hooke.


24

1.3. SPANNINGEN

1.3.1. Definitie

In Figuur 1.23 is een object voorgesteld dat belast is met een stel uitwendige krachten F1 en

F2. Ter hoogte van de doorsnijding werken een kracht FR en een moment oRM (om het

zwaartepunt O). Beide kunnen berekend worden uit de evenwichtsvergelijkingen (1.10). Deze

twee belastingen FR en oRM stellen het resulterend effect voor van de feitelijke

krachtenverdeling over het oppervlak van de doorsnede.

Figuur 1.23 Evenwicht van een deel van het object [1].

Om de verdeling van deze inwendige snedekrachten over elk punt van de doorsnede te

beschrijven, kan men het oppervlak van de doorsnijding onderverdelen in kleine

oppervlakken A, waarop een eindige, maar toch heel kleine kracht F werkt, zoals afgebeeld

in Figuur 1.24(a). Daarbij wordt ondersteld dat de krachten F zo gekozen zijn, dat hun

resulterende kracht en moment om het zwaartepunt overeenkomen met de snedekrachten FR

en oRM .

Voor de verdere bespreking wordt de kracht F ontbonden in twee componenten: (i) de

component Fn normaal op het oppervlak, en (ii) de component Ft rakend aan het oppervlak

(tangentieel), zoals aangegeven in Figuur 1.24(b).


25

Figuur 1.24 Verdeling van het oppervlak [1].

Als het oppervlak A naar nul nadert, doen de kracht F en zijn componenten Fn en Ft dat

ook. Het quotiënt van de kracht en de oppervlakte zal echter in het algemeen naar een eindige

grens naderen. Dit quotiënt wordt de spanningsvector )n(

genoemd en zoals aangegeven,

beschrijft het de dichtheid van de inwendige kracht op een bepaald vlak door een punt:

A

Flim

0A

)n(

(1.24)

De superscript (n) vestigt de aandacht op het feit dat de definitie van de spanningsvector )n(

onlosmakelijk verbonden is met de keuze van het doorsnijdingsoppervlak in het beschouwde

punt en dus met haar normale ne

.

De dichtheid van kracht, of kracht per oppervlakte-eenheid, die loodrecht op A werkt, wordt

gedefinieerd als de normaalspanning . Wiskundig kan deze als volgt worden uitgedrukt:

A

Flim n

0A

(1.25)

Als de normaalkracht Fn aan het oppervlakte-element A “trekt”, dan is de normaalspanning

een trekspanning, terwijl als Fn op het oppervlakte-element A “drukt”, de

normaalspanning een drukspanning is.

Op analoge manier wordt de dichtheid van kracht die rakend aan A werkt, de

schuifspanning (tau) genoemd. Deze component wordt wiskundig op de volgende manier

geformuleerd:


26

A

Flim t

0A

(1.26)

Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, zoals aangegeven in

Figuur 1.25(a), kan men de normaalspanning en de schuifspanning gaan ontbinden

volgens de loodrecht op elkaar staande assen xe

,

ye

en z

e

, zoals aangegeven in Figuur

1.25(b).

Figuur 1.25 Invoering van een cartesiaans assenstelsel (x,y,z) [1].

In dit cartesiaans assenstelsel worden de normaal- en schuifspanningen aangeduid met een

subscript ij (i, j = x, y, z), waarbij de eerste index staat voor de richting van de

buitennormale van de beschouwde doorsnijding en de tweede index staat voor de

beschouwde richting van de spanning.

Voor het voorbeeld van Figuur 1.25(b) wordt de normaalspanning genoteerd als zz. De

buitennormale van de beschouwde doorsnijding is immers z

e

(eerste index) en de richting

van de normaalspanning is ook volgens z

e

(tweede index).

De beide schuifspanningscomponenten worden genoteerd als zx en zy. De beschouwde

doorsnijding heeft immers in beide gevallen als buitennormale z

e

(eerste index), terwijl de

ene schuifspanningscomponent volgens de xe

richting ligt en de andere volgens de y

e

richting.


27

De spanningen zz, zx en zy hebben dus allen als eerste index z, omdat de buitennormale van

de gekozen doorsnijding volgens z

e

ligt. De spanningen zijn positief als ze respectievelijk

volgens de positieve assen z

e

, xe

en y

e

liggen.

Geheel analoog kan men nu een nieuwe doorsnijding maken volgens het x-z vlak, met

buitennormale volgens de positieve y

e

as. Gebruik makend van de evenwichtsvergelijkingen

(1.10), kunnen opnieuw de resulterende inwendige kracht en het resulterende inwendige

moment bepaald worden, en dus de inwendige kracht F op elk oppervlakje A van deze

nieuwe doorsnijding (zie Figuur 1.26(a)). De normaalspanning yy staat dan loodrecht op de

beschouwde doorsnijding, terwijl yx en yz de schuifspanningscomponenten zijn volgens de

respectieve assen xe

en z

e

(zie Figuur 1.26(b)). Opnieuw hebben de spanningen yy, yx en

yz allen als eerste index y, omdat de buitennormale van de gekozen doorsnijding volgens y

e

ligt.

Figuur 1.26 Doorsnijding volgens de positieve y

e

as [1].


28

Tenslotte kan men een doorsnijding maken volgens het y-z vlak, met buitennormale volgens

de positieve xe

as, zoals aangeduid in Figuur 1.27(a). De normaalspanning is dan xx en de

schuifspanningen xy en xz (Figuur 1.27(b)).

Figuur 1.27 Doorsnijding volgens de positieve x

e

as [1].

De hierboven beschreven doorsnijdingen waren zodanig gekozen dat de buitennormale ervan

telkens samenviel met de positieve zin van de coördinaatas xe

, y

e

of z

e

. Deze worden dan

ook positieve oppervlakken genoemd. In geval van een negatief oppervlak is de

buitennormale tegengesteld gericht aan de positieve zin van de coördinaatas xe

, y

e

of z

e

.

Dit wordt geïllustreerd door Figuur 1.28(a). In dat geval keren ook de tekenconventies voor

de spanningen om. Een spanning op een negatief oppervlak heeft een positief teken als zij

tegengesteld gericht is aan de positieve zin van de coördinaatas xe

, y

e

of z

e

. Dit wordt

geïllustreerd in Figuur 1.28(b).


29

Figuur 1.28 Positieve en negatieve oppervlakken en bijhorende tekenconventies [7].

Samenvattend kan men een infinitesimaal klein kubisch volume-element uitsnijden dat de

spanningen in het gekozen punt van het lichaam voorstelt. Figuur 1.29 stelt deze

spanningstoestand voor, waarbij alle spanningen getekend zijn met een positief teken.

Figuur 1.29 Volledige spanningstoestand in een punt [7].

De spanningstoestand wordt vaak geschreven in matrixvorm:


30

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

][ (1.27)

De normaalspanningen xx, yy en zz bevinden zich op de hoofddiagonaal van de matrix. De

drie rijen stellen de normaal- en schuifspanningen voor op een doorsnede met buitennormale

volgens de positieve zin van de respectieve coördinaatassen xe

, y

e

en z

e

.

Voorbeeld 1.4

De houten steun in onderstaande figuur hangt aan een stalen staaf van 10 mm diameter, die

aan de muur is bevestigd. De steun draagt een verticale belasting van 5 kN. Bereken de

gemiddelde schuifspanning in de staaf bij de muur en langs de twee gearceerde vlakken van

de steun, waarvan er één met abcd is gemarkeerd.

1.3.2. Verband tussen spanningsvector )n(

en spanningsmatrix []

Zoals reeds hoger vermeld, is de spanningsvector )n(

altijd gedefinieerd in relatie tot de

keuze van het doorsnijdingsoppervlak en haar positieve buitennormale ne

. Definieer nu

(nx, ny, nz) als de richtingscosinussen van de normale ne

, zodat geldt:


31

)z,y,xi(een ini

(1.28)

Om het verband aan te tonen tussen de spanningsvector )n(

en de spanningsmatrix [] in een

bepaald punt P(x,y,z), beschouwt men rond dit punt P een infinitesimaal kleine tetraëder,

zoals afgebeeld in Figuur 1.30. Drie vlakken van de tetraëder zijn evenwijdig met de

respectieve coördinaatvlakken x-y, x-z en y-z en hebben respectieve oppervlakken dSxy, dSxz

en dSyz. De drie ribben van de tetraëder, evenwijdig met de coördinaatassen xe

,

ye

en z

e

,

hebben respectieve lengtes dx, dy en dz. Het vierde vlak van de tetraëder heeft een

oppervlakte dS en een positieve buitennormale ne

met richtingscosinussen (nx, ny, nz). Op dit

vierde vlak werkt de spanningsvector )n(

.

ne

yy

xx

zz

yx

yz zxzy

xy

xzP

dx

dy

dzx

y

z

)n(

Figuur 1.30 Infinitesimaal kleine tetraëder in het beschouwde punt P.

Vermits deze infinitesimaal kleine tetraëder in het beschouwde punt P in evenwicht moet zijn,

moet het krachtenevenwicht gelden in de drie richtingen xe

, y

e

en z

e

[8]. Schrijft men

bijvoorbeeld het krachtenevenwicht voor de richting xe

, dan geldt:


32

)n(

xzzxyyxxxx

)n(

xzzxyyxxxx

)n(

xxyzxxzyxyzxx

nnn

dSndSndSndS

dSdSdSdS

(1.29)

Als men ook het krachtenevenwicht uitschrijft in de richtingen y

e

en z

e

, bekomt men

tenslotte de volgende betrekkingen tussen de spanningsvector )n(

en de spanningsmatrix []:

)n(

zzzzyyzxxz

)n(

yzzyyyyxxy

)n(

xzzxyyxxxx

nnn

nnn

nnn

(1.30)

De formules zijn gemakkelijker te onthouden in verkorte notatie:

)z,y,xj,i(n )n(

jiij (1.31)

Deze vergelijkingen gelden voor elk punt van het beschouwde lichaam en voor elke richting

van ne

, zowel in de inwendige punten als in de punten gelegen aan het oppervlak van het

lichaam.

Toegepast in een inwendig punt tonen deze vergelijkingen aan dat het volstaat de negen

componenten van de spanningsmatrix te kennen, om de spanningsvector op om het even welk

vlakje in dit punt te kunnen berekenen. De spanningsmatrix [] bepaalt dus volledig de

spanningstoestand in een punt.

Toegepast in een punt aan het buitenoppervlak met buitennormale ne

, is )n(

de uitwendige

kracht per eenheid van oppervlakte, uitgeoefend in dit punt op dit buitenoppervlak. In veel

gevallen is dit een gegeven grootheid (bv. de luchtdruk).

1.3.3. Vergelijkingen van het evenwicht

Beschouwt men opnieuw de infinitesimaal kleine kubus met lengte van de zijden dx, dy en

dz. Als het volledige lichaam in evenwicht is, dan moet ook dit kleine element in evenwicht

zijn. Figuur 1.31 toont een algemene spanningstoestand op het element.


33

Figuur 1.31 Statisch evenwicht van een infinitesimaal klein volume-element onder een algemene

spanningstoestand [6].

Op het element werken volgende spanningen en krachten:

de lichaamskrachten per eenheid van volume Fx, Fy en Fz

op het oppervlak met buitennormale - xe

:

xzxyxx ,, (1.32)

op het oppervlak met buitennormale + xe

:

dx

x,dx

x,dx

x

xzxz

xy

xyxx

xx (1.33)

op het oppervlak met buitennormale -y

e

:

yzyxyy ,, (1.34)

op het oppervlak met buitennormale +y

e

:

dy

y,dy

y,dy

y

yz

yz

yx

yx

yy

yy (1.35)


34

op het oppervlak met buitennormale -z

e

:

zyzxzz ,, (1.36)

op het oppervlak met buitennormale +z

e

:

dz

z,dz

z,dz

z

zy

zyzx

zxzz

zz (1.37)

Overeenkomstig (1.10) wordt het krachten- en momentenevenwicht uitgedrukt volgens de

drie coördinaatassen.

Beschouwt men eerst het krachtenevenwicht in de x-richting :

0dxdydzFdxdydxdydzz

dxdzdxdzdyy

dydzdydzdxx

xzxzx

zx

yx

yx

yxxxxx

xx

(1.38)

Vereenvoudigd wordt dit:

0Fzyx

xzxyxxx

(1.39)

Volledig analoog, door het evenwicht uit te drukken in de y-richting, komt men tot:

0Fzyx

y

zyyyxy

(1.40)

En tenslotte voor de z-richting:

0Fzyx

zzzyzxz

(1.41)

De vergelijkingen (1.39), (1.40) en (1.41) vormen samen de vergelijkingen van het

evenwicht.

Drukt men nu het momentenevenwicht uit rond de x-, y- en z-as.

Voor het resulterend moment om de z-as geldt:


35

02

dx)dxdy(dz

z2

dy)dxdy(dz

z

dx)dydz(dxx2

dx)dxdz(dy

y

dy)dxdz(dyy2

dy)dydz(dx

x

zy

zy

zyzxzx

zx

xy

xyyy

yy

yy

yx

yxxxxx

xx

(1.42)

Als men deze uitdrukking vereenvoudigt en tweede-orde termen verwaarloost, komt men tot

de eenvoudige uitdrukking:

yxxy (1.43)

Volledig analoog vindt men voor het resulterend moment om de y-as:

zxxz (1.44)

En voor het resulterend moment om de x-as:

zyyz (1.45)

De vergelijkingen (1.43), (1.44) en (1.45) vormen samen de wet van de wederkerigheid der

schuifspanningen. Dit wil zeggen dat de spanningsmatrix [] (zie vgl. (1.27)) symmetrisch is

en dus slechts zes onafhankelijke elementen telt: 3 normaalspanningen en 3 schuifspanningen.

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

][ (1.46)

Een notatie die men ook vaak terugvindt in de internationale literatuur, is de volgende:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

][ (1.47)

1.3.4. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen

De spanningsmatrix in het beschouwde punt wordt bepaald t.o.v. een gekozen cartesiaans

assenstelsel (x,y,z). Als men een ander assenstelsel (x’,y’,z’) kiest, dan transformeert de

spanningsmatrix volgens de volgende wet:

T]a[][]a[]'[ (1.48)


36

Hierbij is [] de spanningsmatrix in het oorspronkelijk assenstelsel (x,y,z), [’] de

spanningsmatrix in het nieuwe assenstelsel (x’,y’,z’) en [a] is de transformatiematrix tussen

beide assenstelsels. Hierbij geldt voor het element ark op rij r en kolom k:

z,y,xk,rmete'eakrrk

(1.49)

Elk element ark is dus de richtingscoëfficiënt van de nieuwe as 'e r

t.o.v. de oude as k

e

.

Het begrip “spanning” hangt dus niet af van de keuze van het assenstelsel. Uiteraard zullen de

componenten van de spanningsmatrix een andere waarde hebben bij keuze van een nieuw

assenstelsel, maar de fysische voorstelling van de spanning blijft dezelfde en bij de overgang

van het ene assenstelsel naar het andere, gelden de vaste transformatieregels (1.48) en (1.49)

voor de spanningsmatrix. Een matrix met deze bijzondere eigenschap noemt men een tensor.

Naargelang de complexiteit van deze transformatieregels krijgt de tensor een bepaalde orde,

in dit geval orde twee. Vandaar wordt [] voortaan altijd aangeduid als de spanningstensor

i.p.v. de spanningsmatrix.

Nu is het bekend uit de algebra dat elke matrix door een transformatie van de vorm (1.48) kan

omgezet worden in een diagonale matrix (met alle niet-diagonaalelementen nul). In dit geval

betekent dit dat er drie onderling orthogonale richtingen kunnen gevonden worden, waarin de

spanningstensor zich herleidt tot een diagonale matrix:

'00

0'0

00'

]'[

zz

yy

xx

(1.50)

De aldus bekomen diagonaalelementen noemt men de eigenwaarden van [], en de rijen van

de transformatiematrix [a] noemt men dan de eigenvectoren van []. Dit betekent hier dat er

voor elke spanningstoestand [] één (of tenminste één) assenstelsel (x’,y’,z’) kan gevonden

worden waarin de zes schuifspanningen nul zijn en dus alleen normaalspanningen bestaan.

Deze normaalspanningen, die de eigenwaarden van [] zijn, noemt men de hoofdspanningen

(Eng: principal stresses). De drie richtingen van de assen 'e x

, 'e y

en 'e z

, waarvan de

richtingscoëfficiënten eigenvectoren van [] zijn, noemt men de hoofdrichtingen.

Steunend op de cursus algebra vindt men de oplossing van dit eigenwaardenprobleem voor

een 3 x 3 matrix als volgt: de eigenwaarden zijn de oplossingen van de seculaire vergelijking:

0

s

s

s

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

(1.51)

Als men deze determinant uitwerkt, vindt men volgende derde-graadsvergelijking:


37

)2(

)(s

)(s

s0

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx

zzyyxx

2

3

(1.52)

Het is bekend dat, als [] symmetrisch is, deze vergelijking drie reële wortels heeft.

Bovendien veranderen deze eigenwaarden niet door een lineaire transformatie zoals (1.48),

zodat de coëfficiënten van de seculaire vergelijking (1.52) niet kunnen afhangen van het

gekozen referentiestelsel (x,y,z). De coëfficiënten van s2, s1 en s0 zijn dan ook invarianten met

betrekking tot de keuze van het assenstelsel:

][ t vandeterminan

2

][ vanenhoofdminor de vansom

][ vanomdiagonaals

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx3

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx2

zzyyxx1

(1.53)

De drie wortels van de vergelijking (1.52) noteert men I, II en III, waarbij I > II > III.

Met aanname van deze conventie kan men aantonen dat I de grootste en III de kleinste

normaalspanning zijn van alle normaalspanningen in het beschouwde punt [9].

De drie bijhorende eigenvectoren zijn de oplossingen van het lineair homogeen stelsel:

III,II,Ii

0

0

0

a

a

a

3i

2i

1i

izzyzxz

yziyyxy

xzxyixx

(1.54)

Elk van de drie eigenvectoren wordt genormeerd, zodat voor elke eigenvector geldt:

III,II,Ii1aaa2

3i

2

2i

2

1i (1.55)


38

1.3.5. Kromlijnige coördinaten

Een behandeling van de spanningstensor in willekeurige coördinaten valt buiten het bestek

van deze cursus. De bespreking wordt hier beperkt tot de twee belangrijkste gevallen voor de

praktijk: (i) de cilindercoördinaten, en (ii) de bolcoördinaten.

1.3.5.a. Cilindercoördinaten

Aangezien de cilindercoördinaten orthogonaal zijn, vormen re

,

e en z

e

een rechtshandig

referentiestelsel, waarin men de spanningstensor als volgt definieert:

zzzrz

zr

rzrrr

][ (1.56)

Een schematische voorstelling van de spanningen is getoond in Figuur 1.32.

Figuur 1.32 Cilindercoördinaten [9].

De symmetrie van de spanningstensor blijft behouden, maar de partiële differentiaal-

vergelijkingen voor het evenwicht kan men niet zomaar overnemen. Men kan aantonen dat

deze vergelijkingen in cilindercoördinaten de volgende gedaante aannemen:


39

0Fzr

1

rr

0Fzr

1

r

2

r

0Fzr

1

rr

zzzzrzrz

zrr

rrzrrrrr

(1.57)

1.3.5.b. Bolcoördinaten

De bolcoördinaten r, en zijn eveneens orthogonaal en het stelsel van eenheidsvectoren re

,

e en

e is rechtshandig. De eenheidsvectoren zijn voorgesteld in Figuur 1.33.

Figuur 1.33 Bolcoördinaten [9].

De spanningstensor wordt dan geschreven als:

r

r

rrrr

][ (1.58)

Een schematische voorstelling van de spanningen is getoond in Figuur 1.34.


40

Figuur 1.34 Spanningstensor in bolcoördinaten [8].

Men kan aantonen dat de vergelijkingen van het evenwicht volgende vorm aannemen:

0Fcotan23r

1

sinr

1

r

1

r

0Fcotancotan3r

1

sinr

1

r

1

r

0Fcotan2r

1

sinr

1

r

1

r

r

r

rr

rrrrrrr

(1.59)


41

1.4. REKKEN

In paragraaf 1.2 werd het voorbeeld van de trekproef op een stalen proefstaaf gebruikt om aan

te tonen dat spanning en vervorming onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn. Voor dit geval

van eenvoudige geometrie en belasting werd de rek gedefinieerd als de verhouding van de

verlenging L tot de oorspronkelijke lengte L0 van de staaf (zie vgl. (1.19)). De rek wordt dus

gedefinieerd in relatie met de onvervormde en vervormde geometrie van het object.

Op dezelfde wijze als voor de spanning, wordt nu het concept van rek uitgebreid tot het

algemeen geval van een vervormbaar lichaam.

1.4.1. Eendimensionale lengteverandering

Voor de eenvoud wordt eerst een eendimensionaal geval beschouwd. Figuur 1.35 toont een

eendimensionale staaf, die aan de linkerzijde is ingeklemd en aan de rechterzijde wordt

uitgerokken.

Figuur 1.35 Definitie van de eendimensionale rek [6].

Twee punten A en B, op een infinitesimale afstand dx van elkaar, zullen bij vervorming de

nieuwe posities A’ en B’ aannemen. Meer algemeen zal de verplaatsing u(x) van elk deeltje

van deze staaf een functie zijn van zijn positie x, waarbij x gemeten wordt vanaf de

ingeklemde zijde waar de verplaatsing nul is. De verplaatsing van het punt B t.o.v. deze van

het punt A kan men definiëren m.b.v. een Taylor-reeks:

...)dx(dx

ud

!3

1)dx(

dx

ud

!2

1dx

dx

duuu 3

A

3

32

A

2

2

A

AB

(1.60)

Voor kleine vervormingen kan men de hogere-orde termen in dx verwaarlozen, zodat:

dxdx

duuu

A

AB

(1.61)

De nieuwe afstand A’B’ na vervorming wordt dus:


42

AA

ABdx

du1dxdx

dx

dudxuudx'B'A (1.62)

Past men opnieuw de definitie (1.19) van de rek toe, rekening houdend met (1.62), dan

bekomt men:

A

A

xxdx

du

dx

dxdx

du1dx

AB

AB'B'A

(1.63)

1.4.2. Veralgemeende vervormingstoestand

De bovenstaande redenering is eenvoudig uit te breiden naar twee- en driedimensionale

vervormingstoestanden. Wel valt op te merken dat bij een algemene vervormingstoestand niet

alleen lengteveranderingen optreden, maar ook hoekveranderingen. Beschouwt men nu een

punt A(x,y,z) en vanuit A een infinitesimaal kubuselement met zijden dx, dy en dz. In Figuur

1.36 is voor de eenvoud enkel het x-y vlak getekend.

Figuur 1.36 Tweedimensionale vervormingstoestand [6].

In overeenstemming met (1.63) wordt de lengteverandering xx opnieuw gedefinieerd als:

A

AABxx

x

u

dx

dxx

u1dx

AB

ABuuAB

(1.64)


43

Analoog wordt de lengteverandering yy gedefinieerd als:

A

AACyy

y

v

dy

dyy

v1dy

AC

ACvvAC

(1.65)

De hoekverandering xy wordt als volgt berekend:

y

u

x

v

dy

uuarctan

dx

vvarctan

22

'C'A'BBAC

ACAB

xy

(1.66)

Past men dezelfde afleidingen toe voor het x-z en het y-z vlak, dan komt men tenslotte tot de

volgende zes vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:

z

v

y

w

z

u

x

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(1.67)

De hoekveranderingen xy, xz en yz worden ook wel de glijdingen genoemd.

1.4.3. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen

Geheel analoog met paragraaf 1.3.4, kan men opnieuw de transformatieregels opstellen voor

de rekmatrix []. Opdat de rekmatrix [] eveneens een tensor van tweede orde zou zijn en zou

voldoen aan de transformatieregels:

krrk

T e'eamet]a[][]a[]'[

(1.68)


44

moet men echter de glijdingen xy, xz en yz vervangen door xy2

1 , xz

2

1 en yz

2

1 , zodat de

rektensor [] er als volgt uitziet:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

][ (1.69)

De oorzaak van deze factor 1/2 volgt uit het feit dat de afgeleiden u/y, v/x, etc. effecten

bevatten van starre rotatie, waarmee geen vervorming gepaard gaat [10]. Historisch werd de

elasticiteitstheorie ontwikkeld op basis van eenvoudige relaties tussen spanning en

vervorming en pas later werd de tensortheorie ingevoerd.

Deze rektensor (1.69) wordt ook vaak genoteerd als:

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

][ (1.70)

waarbij:

yzyz

xzxz

xyxy

2

2

2

(1.71)

In analogie met paragraaf 1.3.4 bestaat er voor de rektensor [] één (of tenminste één)

assenstelsel (x’,y’,z’) waarin alle glijdingen nul zijn. Dit betekent dat de rechte hoeken tussen

deze drie richtingen na vervorming onveranderd blijven. De relatieve verlengingen in deze

drie richtingen, die de eigenwaarden van de matrix [] zijn, noemt men de hoofdrekken. Men

noteert ze I, II en III, waarbij I > II > III. Men kan ze, geheel analoog aan (1.52),

berekenen uit de seculaire vergelijking:

)2(

)(s

)(s

s0

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx

zzyyxx

2

3

(1.72)

Ook zijn er opnieuw drie invarianten:


45

][ t vandeterminan

2I

][ vanenhoofdminor de vansom

I

][ vanomdiagonaals

I

yzxzxy

2

xyzz

2

xzyy

2

yzxxzzyyxx3

2

yz

2

xz

2

xyzzyyzzxxyyxx2

zzyyxx1

(1.73)

1.4.4. Compatibiliteitsvoorwaarden

De relaties tussen rek en verplaatsing bevatten drie verplaatsingsfuncties u(x,y,z), v(x,y,z) en

w(x,y,z). Als deze functies gekend zijn, kunnen de zes onafhankelijke rekcomponenten

daaruit afgeleid worden, zoals in (1.67) is aangegeven.

In sommige gevallen heeft men echter informatie over de rekken en moet men de

verplaatsingsfuncties bepalen door integratie van de vergelijkingen in (1.67). In dat geval

heeft men zes vergelijkingen voor het bepalen van drie onbekende verplaatsingsfuncties. Het

is duidelijk dat een willekeurige set van rekken geen unieke waarde voor de onbekenden u, v

en w zal opleveren. Er zijn dus compatibiliteitsvoorwaarden nodig waaraan de rekken moeten

voldoen, opdat ze een uniek verplaatsingsveld (u,v,w) zouden opleveren. Figuur 1.37

illustreert een aantal onmogelijke vervormingstoestanden ten gevolge van een stel opgelegde

rekken dat niet aan de compatibiliteitsvoorwaarden voldoet.

Figuur 1.37 Illustratie van de noodzaak van compatibiliteitsvoorwaarden: (a) geen volledige aansluiting van

het materiaal, (b) overlappend materiaal na vervorming, (c) volledig discontinu materiaal.


46

Deze compatibiliteitsvoorwaarden worden afgeleid uit (1.67), maar deze afleiding valt buiten

het bestek van deze cursus. Voor de volledigheid zijn de compatibiliteitsvoorwaarden

hieronder weergegeven:

2

zz

2

2

yy

2

yz

2

2

xx

2

2

zz

2

xz

2

2

yy

2

2

xx

2xy

2

xyxzyzzz

2

xzyzxyyy

2

yzxyxzxx

2

yz2

1

zy

zx2

1

zx

xy2

1

yx

zyxzyx

yxzyzx

xzyxzy

(1.74)

Deze vergelijkingen zijn niet eenvoudig en worden in de praktijk zelden gebruikt. Men zal:

ofwel de verplaatsingsfuncties u(x,y,z), v(x,y,z) en w(x,y,z) als onbekenden nemen en de

rekken daaruit afleiden. Dan is uiteraard aan de compatibiliteitsvoorwaarden voldaan,

ofwel de aansluitingsvoorwaarden op een andere wijze uitdrukken (bv. met behulp van

energiemethodes).


Een behandeling van de rektensor in willekeurige coördinaten valt buiten het bestek van deze

cursus. De bespreking wordt hier beperkt tot het belangrijkste gevallen voor de praktijk: (i) de

cilindercoördinaten, en (ii) de bolcoördinaten.

1.4.5.a. Cilindercoördinaten

Aangezien de cilindercoördinaten orthogonaal zijn, vormen re

,

e en z

e

een rechtshandig

referentiestelsel, waarin men de rektensor als volgt definieert:

z

uu

r

1

z

u

2

1

r

u

z

u

2

1

u

r

1

z

u

2

1u

r

1

r

u

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

z

u

2

1

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

22

22

22

][

zzzr

zrr

zrrr

zzzrz

zr

rzrrr

(1.75)


47

1.4.5.b. Bolcoördinaten

De bolcoördinaten r, en zijn eveneens orthogonaal en het stelsel van eenheidsvectoren re

,

e en

e is rechtshandig. De rektensor wordt dan geschreven als:

cotanr

u

r

uu

sinr

1cotan

r

uu

r

1u

sinr

1

2

1

r

u

r

uu

sinr

1

2

1

cotanr

uu

r

1u

sinr

1

2

1u

r

1

r

u

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

r

uu

sinr

1

2

1

r

u

r

uu

r

1

2

1

r

u

22

22

22

][

rr

rr

rrr

r

r

rrrr

(1.76)

1.4.6. Eindige vervormingen en rekken

In de bovenstaande afleidingen werd telkens verondersteld dat de vervormingen zeer klein

zijn, zowel wat de lengteveranderingen betreft (zie vgl. (1.60)) als wat de hoekveranderingen

betreft (zie vgl. (1.66)). In de meeste gevallen die in de praktijk van de bouwkunde en de

werktuigkunde voorkomen, is dat ook zo. De afgeleiden zijn meestal in de grootte-orde van

10-3, zodat de tweede-orde termen reeds van de orde 10-6 zijn en zonder noemenswaardige

fout mogen verwaarloosd worden.

Er zijn echter toepassingen, zoals het elastisch gedrag van rubber, de doorbuiging van dunne

platen en schalen of het uitknikken van slanke kolommen, waar de vervormingen veel groter

zijn. In dat geval is het niet toegelaten de tweede-orde termen te verwaarlozen en rekent men

met de eindige rekken (ook rekken van Green genoemd):


48

z

w

y

w

z

v

y

v

z

u

y

u

z

v

y

w

z

w

x

w

z

v

x

v

z

u

x

u

z

u

x

w

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

y

u

x

v

z

w

z

v

z

u

2

1

z

w

y

w

y

v

y

u

2

1

y

v

x

w

x

v

x

u

2

1

x

u

yz

xz

xy

222

zz

222

yy

222

xx

(1.77)

Voor het vervolg worden echter altijd de infinitesimale rekken (1.67) gebruikt.


49

1.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG

In de voorgaande paragrafen werden de begrippen spanning en rek gedefinieerd,

onafhankelijk van elkaar en zonder enige veronderstelling over de aard van het materiaal. Dit

betekent dat de definities van spanning en rek geldig zijn voor elk materiaal met om het

even welke geometrie en onder elke vorm van belasting.

Zoals reeds aangegeven m.b.v. de trekproef in paragraaf 1.2, bestaat er echter wel degelijk een

verband tussen de belasting waaraan een materiaal onderworpen wordt en de teweeggebrachte

vervorming. Maar dit verband tussen spanning en rek hangt wél af van het soort materiaal en

de belastingscondities. Men noemt dit verband tussen spanning en rek vaak de constitutieve

wet van het materiaal.

In deze paragraaf wordt ingegaan op het verband tussen spanning en rek in het lineair

elastisch gebied. Zoals reeds vermeld in paragraaf 1.2, is dit het gebied waar spanning en rek

recht evenredig zijn en waar bij ontlasting geen permanente vervorming overblijft.

Om dit verband op te stellen, worden twee bijkomende veronderstellingen gemaakt:

het materiaal is isotroop, d.w.z. de materiaaleigenschappen in een bepaald punt zijn

dezelfde in alle richtingen,

het materiaal is homogeen, d.w.z. de materiaaleigenschappen, gemeten in een bepaald

punt, zijn dezelfde als deze, gemeten in een ander punt van het materiaal volgens dezelfde

richting.

Het is belangrijk te vermelden dat deze definities gelden op een voldoend grote schaal. Figuur

1.38 toont een microscopische opname van zuiver roestvast staal. De kristalstructuur van het

staal en de korrelgrenzen zijn duidelijk zichtbaar. Op dit microscopisch niveau (kristallen van

0,1 mm) is het materiaal uiteraard niet homogeen en isotroop, maar deze schaal is

verwaarloosbaar klein t.o.v. de schaal waarop constructies, kolommen en balken uit staal

worden vervaardigd. De kristalgrootte in technische metalen varieert tussen 10 m en 1000

m [11].

Figuur 1.38 Lichtmicroscopische opname van zuiver roestvast staal type 302 (190 vergroting) [12].


50

Deze opmerking geldt ook voor de definitie van de spanning. Aangezien men staal beschouwt

als een isotroop en homogeen materiaal, wordt met “de spanning in het staal” dan ook de

gemiddelde spanning over een voldoend groot oppervlak bedoeld. Zoals aangegeven in

Figuur 1.39, kan de lokale spanning in de kristallen immers aanzienlijk afwijken van de

gemiddelde spanning.

Figuur 1.39 De spanning in een polykristallijn metaal varieert van kristal tot kristal [11].

1.5.1. Wet van Hooke

Beschouwt men nu zo’n homogeen en isotroop materiaal, belast met een constante spanning

xx, zoals aangeduid in Figuur 1.40(i).

Figuur 1.40 Rekken in een tweedimensionale spanningstoestand [13].


51

Zoals reeds aangegeven bij de bespreking van de trekproef in paragraaf 1.2 (zie vergelijking

(1.20)), is de bijhorende vervorming xx in de richting xe

evenredig met de aangelegde

spanning xx en bedraagt:

E

xxxx

(1.78)

De evenredigheidsconstante E is de elasticiteitsmodulus [N/m2] (of Young’s modulus).

Net zoals bij de stalen proefstaaf in de besproken trekproef (zie vergelijking (1.21)), stelt men

vast dat het materiaal tegelijk krimpt in de dwarse richtingen y

e

en z

e

. Wegens het isotroop

karakter van het materiaal is deze dwarscontractie bovendien dezelfde in de richtingen y

e

en

ze

. Het verband tussen deze dwarse rekken yy en zz en de aangelegde spanning xx is:

E

E

xxxxzz

xxxxyy

(1.79)

De constante is de coëfficiënt van Poisson en is dimensieloos [-].

Tenslotte stelt men vast dat de rechte hoek tussen de ribben behouden blijft, zodat alle

glijdingen nul zijn.

Beschouwt men nu het geval van Figuur 1.40(ii), waarbij een spanning yy wordt aangelegd,

dan treden de volgende vervormingen op:

E

E

E

yy

yyzz

yy

yyxx

yy

yy

(1.80)

Beschouwt men tenslotte het geval van een aangelegde spanning zz, dan zijn de bijhorende

vervormingen:

E

E

E

zzzzyy

zzzzxx

zzzz

(1.81)


52

Legt men de normaalspanningen xx, yy en zz simultaan aan, dan bekomt men door

superpositie de volgende vervormingen:

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

E

1

E

1

E

1

(1.82)

Legt men tenslotte een schuifspanning xy aan, zoals weergegeven op Figuur 1.41, dan neemt

men geen lengteveranderingen waar, maar enkel een hoekverandering xy.

Figuur 1.41 Schuifspanning xy en bijhorende vervorming [13].

Het verband tussen de aangelegde schuifspanning xy en de bijhorende glijding xy is als volgt:

G

xy

xy

(1.83)

De evenredigheidsconstante G is de glijdingsmodulus [N/m2].

Voor de andere richtingen vindt men analoog:

G

G

yz

yz

xzxz

(1.84)

Voor een willekeurige spanningstoestand vindt men dan volgende betrekkingen tussen

spanning en rek:


53

G

G

G

E

1E

1E

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(1.85)*

Deze betrekkingen vormen de wet van Hooke voor een homogeen en isotroop materiaal in het

lineair elastisch gebied. Voor numerieke bewerkingen worden de vergelijkingen vaak in

matrixvorm genoteerd:

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

G

100000

0G

10000

00G

1000

000E

1

EE

000EE

1

E

000EEE

1

(1.86)

Men kan narekenen dat de inverse relaties zijn:

* De formules, die met een kader errond zijn gemarkeerd, dient men van buiten te kennen. Deze afspraak geldt

voor de volledige cursus.


54

yzyz

xzxz

xyxy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

G

G

G

)1()21)(1(

E

)1()21)(1(

E

)1()21)(1(

E

(1.87)

Het is zeer belangrijk te vermelden dat in geval van lineair elastisch materiaalgedrag de

hoofdrichtingen voor spanning en rek samenvallen. Dit volgt direct uit de wet van Hooke:

als de schuifspanningen allemaal nul zijn (hoofdrichtingen van de spanningen), dan zijn ook

de glijdingen allemaal nul (hoofdrichtingen van de rekken).

Voorbeeld 1.5

Een koperen staaf ondervindt een constante druk langs de randen, zoals aangegeven in

onderstaande figuur. Als de staaf een lengte a = 300 mm, breedte b = 50 mm en dikte t = 20

mm heeft vóórdat de belasting wordt aangebracht, bepaal dan de nieuwe lengte, breedte en

dikte bij belasting. Neem Ecu = 120 GPa en cu = 0,34.

1.5.2. Bijzondere belastingsgevallen

In deze paragraaf worden kort een aantal bijzondere belastingsgevallen besproken, waarbij de

spanningstensor een zeer eenvoudige gedaante aanneemt. De voor de praktijk interessante

belastingsgevallen zijn: (i) zuivere trek, (ii) zuivere afschuiving, (iii) hydrostatische belasting

en (iv) torsie of wringing.

1.5.2.a. Zuivere trek

Het geval van zuivere trek werd in feite reeds besproken in paragraaf 1.2. In Figuur 1.42

wordt een schematische voorstelling gegeven van zuivere trek.


55

Figuur 1.42 Staaf belast op zuivere trek [1].

In de spanningstensor is slechts één spanningscomponent verschillend van nul, namelijk xx

(als de x-as volgens de trekrichting wordt gekozen):

000

000

00

][

xx

(1.88)

Het is belangrijk te onthouden dat, hoewel er enkel een spanningscomponent xx wordt

aangelegd, er vervormingen zijn in de drie richtingen: xx, yy en zz.

1.5.2.b. Zuivere afschuiving

In geval van zuivere afschuiving zijn alle normaalspanningen nul en treedt er slechts één

schuifspanningscomponent op. Een typisch voorbeeld is de afschuifkracht in de steel van een

boutverbinding tussen twee platen, zoals geïllustreerd door Figuur 1.43.

Figuur 1.43 Zuivere afschuiving in een dwarsdoorsnede van de bout [1].

Als men de x-as kiest in de richting van de trekkracht op de platen en de z-as volgens de

hoogte van de bout, dan wordt de spanningstensor:


56

00

000

00

][

xz

xz

(1.89)

1.5.2.c. Hydrostatische belasting

Het is bekend dat de hydrostatische waterdruk een alzijdige druk is die in het beschouwde

punt dezelfde waarde heeft in alle richtingen. Figuur 1.44 stelt de bijhorende

spanningstoestand op een infinitesimaal klein volume-element voor.

Figuur 1.44 Alzijdige hydrostatische druk op een infinitesimaal klein volume-element [1].

De bijhorende spanningstensor is:

p00

0p0

00p

00

00

00

][

zz

yy

xx

(1.90)

waarbij p de waterdruk is. Aangezien de waterdruk een drukkracht is, zijn de

spanningscomponenten xx, yy en zz strikt negatief.

1.5.2.d. Torsie of wringing

Torsie of wringing is een vaak voorkomend probleem in de werktuigkunde, waar assen van

motoren en turbines belast worden met een wringmoment. Bij wringing worden de

opeenvolgende dwarsdoorsnedes t.o.v. elkaar verdraaid. Er treden geen lengteveranderingen

op, enkel hoekverdraaiingen. Elke dwarsdoorsnede wordt dus belast met zuivere

schuifspanningen. Figuur 1.45 toont een schematische voorstelling van de spanningstoestand.


57

Figuur 1.45 Wringing van een cirkelvormige as en aanduiding van de spanningstoestand [13].

Als men de x-as kiest volgens de langsrichting van de staaf, is de spanningstensor in elke

dwarsdoorsnede van de staaf:

00

00

0

][

xz

xy

xzxy

(1.91)

De spanningstoestand in elke dwarsdoorsnede van de as kan men ook noteren in polaire

coördinaten. De enige bestaande spanning is dan de schuifspanning z:

00

00

000

][

z

z (1.92)

1.5.3. Relaties tussen de elastische constanten

1.5.3.a. Verband tussen E, en G

In de wet van Hooke komen drie elastische constanten voor: (i) de elasticiteitsmodulus of

Young’s modulus E, (ii) de Poisson-coëfficiënt , en (iii) de glijdingsmodulus G. Deze drie

constanten zijn verschillend voor elk materiaal en worden bepaald uit experimentele proeven.

Van deze drie elasticiteitsconstanten E, en G zijn er echter slechts twee onafhankelijk. De

derde kan altijd berekend worden uit de betrekking:

)1(2

EG

(1.93)

Een manier om dit verband af te leiden, is een element van het materiaal te beschouwen dat

wordt belast op zuivere afschuiving xy (alle andere spanningscomponenten gelijk aan nul),

zoals afgebeeld in Figuur 1.46.


58

Figuur 1.46 Element belast op zuivere afschuiving [1].

Als men de vergelijking (1.52) toepast om de hoofdspanningen te verkrijgen, vindt men dat

I = +xy, II = 0 en III = -xy. De drie onderling loodrechte hoofdrichtingen vindt men door

toepassing van vergelijking (1.54). De bijhorende (genormeerde) eigenvectoren, die samen de

drie onderling loodrechte hoofdrichtingen vormen, zijn respectievelijk:

0

2

2

2

2

en

1

0

0

,

0

2

2

2

2

(1.94)

Deze hoofdspanningen en hun richting en zin zijn afgebeeld in Figuur 1.47. Het is belangrijk

te vermelden dat de spanningstoestand nog steeds wordt beschouwd in hetzelfde punt. Alleen

werd in dat punt een bijzonder stel vlakjes geselecteerd waarop enkel de hoofdspanningen

I = +xy en III = -xy werken en alle schuifspanningen nul zijn.

Figuur 1.47 Hoofdspanningen en hoofdrichtingen van het element belast op zuivere afschuiving [1].


59

De bijhorende hoofdrek I is volgens (1.85):

xyxyxyIIIIIIIE

1

E

1

E

1

(1.95)

Anderzijds kan de hoofdrek I berekend worden door de rotatie van de rektensor [] over 45

m.b.v. de vergelijking (1.68):

000

02

0

002

000

0cossin2cos2

02cos2

cossin

100

0cossin

0sincos

000

002

02

0

100

0cossin

0sincos

00

00

00

xy

xy

45

xy

xy

xy

xy

xy

xy

III

II

I

(1.96)

Uit de gelijkstelling van (1.95) en (1.96) voor de hoofdrek I volgt:

)1(2

EG

G22E

1 xyxy

xyI

(1.97)

1.5.3.b. Volumeverandering en compressiemodulus

Een andere betrekking die men uit de wet van Hooke kan afleiden, bekomt men rechtstreeks

door de eerste drie vergelijkingen van de wet van Hooke (1.85) lid aan lid op te tellen:

zzyyxxzzyyxxE

21

(1.98)

Het is belangrijk op te merken dat de vergelijking (1.98) geldig is in elk assenstelsel, omdat

zowel de som van de rekken als de som van de spanningen een invariant is en dus geldt in elk

assenstelsel (zie (1.53) en (1.73)).


60

Men kan eenvoudig aantonen dat de eerste term van de vergelijking (1.98) de relatieve

volumeverandering weergeeft van het materiaal. Beschouwt men daartoe een volume-element

met zijden dx, dy en dz, onderworpen aan de normaalspanningen xx, yy en zz, zoals

afgebeeld in Figuur 1.48.

Figuur 1.48 Volumeverandering van een elastisch materiaal [1].

De volumeverandering van het element is daardoor, met verwaarlozing van de tweede-orde

termen:

dxdydz)(

dxdydzdxdydz)1)(1)(1(V

zzyyxx

zzyyxx

(1.99)

De volumeverandering per volume-eenheid wordt de volumerek of dilatatie vol genoemd en

kan geschreven worden als:

zzyyxxvoldV

V

(1.100)

Onderstel nu dat ditzelfde volume-element wordt onderworpen aan een uniforme druk p, die

in alle richtingen gelijk is en altijd loodrecht werkt op elk oppervlak. Deze toestand van

hydrostatische belasting vereist dat de normaalspanningen in alle mogelijke richtingen gelijk

zijn en dat alle schuifspanningen nul zijn. Het volume-element wordt dus belast door de

hoofdspanningen xx = yy = zz = p , zoals afgebeeld in Figuur 1.49.


61

Figuur 1.49 Hydrostatische spanning op een volume-element [1].

De som van de normaalspanningen is dus p3 , zodat de vergelijking (1.98) kan

herschreven worden als:

213

E

dV

V

pKp3

E

21

dV

Vvol (1.101)

De constante K noemt men de compressiemodulus of volume-elasticiteitsmodulus [N/m2].

Zij drukt de verhouding uit tussen de hydrostatische spanning en de relatieve

volumeverandering.

Hieruit kan men ook onmiddellijk een bovengrens afleiden voor de coëfficiënt van Poisson.

Bij samendrukking (som spanningen < 0) moet ook het volume afnemen (som rekken < 0),

zodat de term (1-2) altijd strikt positief moet zijn, en dus:

2

1 (1.102)

Dit resultaat was reeds op een meer intuïtieve manier afgeleid bij de bespreking van de

trekproef op de stalen proefstaaf in paragraaf 1.2.


De wet van Hooke, in de verschillende gedaanten waarin hij beschreven werd, geldt ook voor

de spanningen en in een kromlijnig referentiestelstel, als deze en dezelfde

fysische betekenis hebben als ij en ij in een cartesiaans assenstelsel waarvan de

eenheidsvectoren ie

samenvallen met e

in het beschouwde punt. Zo kunnen de formules in

cartesiaanse coördinaten eenvoudig toegepast worden in cilindercoördinaten en

bolcoördinaten. Bijvoorbeeld wordt (1.85) in cilindercoördinaten:


62

G

G

G

E

1

E

1

E

1

zz

rzrz

rr

rrzzzz

zzrr

zzrrrr

(1.103)

Voor bepaalde geometrieën (axiaalsymmetrische buizen, bolvormige drukvaten) is het heel

wat eenvoudiger om de wet van Hooke uit te drukken in cilindercoördinaten of

bolcoördinaten dan in cartesische coördinaten.


63

1.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM

In de voorgaande paragrafen zijn in feite alle definities aangereikt om elke lineair elastische

belastingstoestand van een materiaal te berekenen:

de spanningstensor [] definieert de belastingstoestand in elk punt van het lichaam,

de rektensor [] definieert de vervormingstoestand in elk punt van het lichaam,

spanning en rek zijn niet onafhankelijk, maar verbonden door de wet van Hooke. In deze

wet van Hooke komen drie elastische constanten E, en G voor die het isotroop en

homogeen materiaal karakteriseren.

In deze paragraaf wordt algemeen besproken hoe men bovenstaande kennis kan aanwenden

om een lineair elastisch probleem op te lossen.

Voor een algemene belastingstoestand van een lichaam telt men 15 onbekenden in elk punt

van het materiaal:

3 verplaatsingen wvu

6 spanningscomponenten yzxzxyzzyyxx

6 rekcomponenten yzxzxyzzyyxx

Anderzijds beschikt men voor elk punt van het lichaam over 15 vergelijkingen:

3 partiële differentiaalvergelijkingen van het evenwicht:

0Fzyx

0Fzyx

0Fzyx

zzzyzxz

y

zyyyxy

xzxyxxx

(1.104)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:


64

z

v

y

w

z

u

x

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(1.105)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en spanning (wet van Hooke):

G

G

G

E

1E

1E

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(1.106)

Men heeft precies evenveel vergelijkingen als onbekenden en het lineair elastisch probleem is

dus oplosbaar. Aan deze oplossing worden uiteraard een aantal randvoorwaarden opgelegd,

die in de volgende paragraaf besproken worden.

1.6.1. Randvoorwaarden

De oplossing van een stelsel partiële differentiaalvergelijkingen is slechts bepaald indien men

een gepast aantal randvoorwaarden (Eng: boundary conditions) invoert. Men beperkt zich

meestal tot de volgende twee soorten:

op een deel SU van het oppervlak S van het lichaam is de verplaatsing (u,v,w) gegeven,

op een deel ST van het oppervlak S van het lichaam is de spanningsvector )n(

gegeven,

waarbij SSS TU .

In vele gevallen is een exacte beschrijving van de randvoorwaarden haast onmogelijk (bv. de

klemkracht of het koppel van een tang, zie Figuur 1.50).


65

Figuur 1.50 Randvoorwaarden van het lineair elastisch probleem [14].

Vaak neemt men dan ook zijn toevlucht tot een vereenvoudigde beschrijving van de

randvoorwaarden en past dan het principe van Barré de Saint-Venant toe. Dit principe stelt:

“Wanneer men op een behoorlijk klein deel S0 van het oppervlak van een lichaam de

uitwendige belasting )n(

vervangt door een andere, die over S0 dezelfde resultante en

hetzelfde resulterend moment heeft, dan zijn de spanningen voor deze twee belastingsgevallen

nagenoeg gelijk in alle punten die voldoende ver van S0 liggen”.

Hoewel dit principe vaak wordt toegepast, is enige omzichtigheid geboden. De twee

oplossingen verschillen immers niet noemenswaardig van elkaar, behalve in de nabijheid van

de zones waar men )n(

heeft aangepast. Dit is een voordeel omdat men aldus een oplossing

kan vinden die voor 80 % of 90 % van het volume van het lichaam goed is, maar dit voordeel

wordt sterk gerelativeerd door de overweging dat de hoogste spanningen meestal in de

overige 20 % of 10 % van het volume te vinden zijn. Men weet aldus veel over de

ongevaarlijke spanningen, maar bitter weinig over de gevaarlijke.

1.6.2. Superpositieprincipe

Een zeer belangrijk principe bij het oplossen van lineair elastische problemen is het principe

van superpositie. Dit principe stelt dat de resulterende spanning in een lichaam met een

gecompliceerde belasting kan worden berekend door eerst de spanning te vinden die door elke

belastingscomponent afzonderlijk wordt veroorzaakt. Daarna kan de resulterende spanning

worden bepaald door de bijdragen van alle afzonderlijke componenten vectorieel bij elkaar op

te tellen.

Voor toepassing van het superpositieprincipe moeten twee voorwaarden voldaan zijn:

de belasting moet lineair gerelateerd zijn aan de spanning die moet worden bepaald. Zo

betekent de vergelijking A

F dat er inderdaad een lineair verband bestaat tussen kracht

en spanning,

de belasting mag geen belangrijke veranderingen aanbrengen in de oorspronkelijke

geometrie of gedaante van de constructie. Als er bv. belangrijke doorbuigingen optreden

t.g.v. de belasting, dan veranderen de richting, de plaats en de hefboomsarm van de

uitgeoefende krachten en geldt het superpositiebeginsel niet langer.


66

Beschouwt men bijvoorbeeld de dunne staaf in Figuur 1.51(a), waarop de belasting P

wordt uitgeoefend. In Figuur 1.51(b) wordt P vervangen door twee van zijn componenten:

P = P1 + P2. Als P ervoor zorgt dat de staaf aanzienlijk doorbuigt, zoals afgebeeld in Figuur

1.51(a), is het moment van de belasting t.o.v. de ondersteuning, Pd, niet gelijk aan de som

van de momenten P1d1 en P2d2, omdat d d1 d2.

Figuur 1.51 Illustratie van de ongeldigheid van het superpositieprincipe [1].

In de lineair elastische theorie is het superpositieprincipe haast altijd geldig, omdat de

vervormingen klein zijn.

1.6.3. Statisch onbepaalde systemen

Een systeem heet statisch onbepaald als de vergelijkingen van het evenwicht niet volstaan

om de reacties te bepalen. In dat geval moet men bijkomende aansluitingsvoorwaarden of

compatibiliteitsvoorwaarden uitdrukken.

Figuur 1.52 toont het eenvoudige voorbeeld van een staaf die aan beide zijden is ingeklemd

en ter hoogte van het punt C is belast met een axiale kracht P.


67

Figuur 1.52 Voorbeeld van een statisch onbepaald systeem [1].

Er zijn twee onbekende reactiekrachten FA en FB, maar er is maar één vergelijking voor het

evenwicht:

0PFF AB (1.107)

Voor de oplossing moet een extra vergelijking worden opgesteld, en daarvoor is het nodig de

vervorming te bekijken. Een vergelijking die de voorwaarden voor verplaatsing omschrijft,

wordt een compatibiliteitsvoorwaarde genoemd. Een geschikte compatibiliteitseis in dit geval

is dat de verplaatsing van het ene uiteinde van de balk t.o.v. het andere uiteinde gelijk is aan

nul, omdat de balk aan beide zijden is ingeklemd:

0uAB (1.108)

Deze vergelijking kan worden weergegeven in termen van de aangebrachte belastingen door

een kracht-verplaatsing-relatie te gebruiken die afhankelijk is van het materiaalgedrag.

Bepaling van de snedekrachten leert dat in segment AC van de balk de inwendige kracht +FA

heerst, en in het segment CB de inwendige kracht –FB. Als men lineair elastisch

materiaalgedrag onderstelt, wordt vergelijking (1.108) herschreven als:

0EA

LF

EA

LF CBBACA

(1.109)

met A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de staaf en E de elasticiteitsmodulus van de

staaf.

Combinatie van vergelijking (1.107) en (1.109) leidt tot de oplossing:

L

LPF

L

LPF

ACB

CBA

(1.110)


68

Voorbeeld 1.6

Een betonnen kolom met een vierkante dwarsdoorsnede van 50 cm bij 50 cm, is gewapend

met vier stalen staven, elk met een diameter van 2,5 cm. De staven zijn ingebetonneerd bij de

vier hoeken van de kolom. Als de E-modulus van staal 200 GPa bedraagt en deze van beton

14 GPa, bereken dan de drukspanningen in het staal en het beton als de totale drukkracht op

de kolom 1 MN bedraagt.


69

1.7. THERMISCHE SPANNINGEN

1.7.1. Vergelijkingen

Naast de spanningen die ontstaan t.g.v. mechanische belasting, bestaan er ook spanningen die

ontstaan t.g.v. thermische belasting. Deze laatste noemt men de thermische spanningen.

Wanneer een homogeen en isotroop lichaam dat vrij kan vervormen, een gelijkmatige

temperatuursverandering ondergaat van 0 C tot T C, dan is de thermische uitzetting

gelijkmatig:

0

0

0

T

T

T

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(1.111)

waarbij [m/(mC)] de thermische uitzettingscoëfficiënt van het materiaal voorstelt.

Hierbij treedt er in het lichaam geen enkele spanning op !

Aangezien de compatibiliteitsvoorwaarden of aansluitingsvoorwaarden (1.74) moeten voldaan

zijn voor elke vervormingstoestand, moeten deze ook gelden voor de thermische uitzettingen

(1.111). Uit deze voorwaarden kan men de volgende beperking afleiden voor het

temperatuurveld T(x,y,z):

zayaxaa)z,y,x(T 3210 (1.112)

met a0, a1, a2 en a3 constanten. Dit wil zeggen dat het temperatuurveld een lineaire functie

moet zijn van x, y en z, opdat de thermische rekken zouden voldoen aan de

compatibiliteitsvoorwaarden. Is dit niet het geval, dan zullen bijkomende rekken (én dus

spanningen) ontstaan, zodat de totale rekken opnieuw voldoen aan de

compatibiliteitsvoorwaarden. De totale rekken zijn dan de som van de geïnduceerde rekken en

de thermische rekken:

G

G

G

TE

1

TE

1

TE

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(1.113)


70

De thermische spanningen die op die manier geïnduceerd worden, voldoen aan de volgende

vergelijkingen:

yzyz

xzxz

xyxy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

G

G

G

T21

E)1(

)21)(1(

E

T21

E)1(

)21)(1(

E

T21

E)1(

)21)(1(

E

(1.114)

Thermische spanningen kunnen aanzienlijke waarden bereiken en zelfs tot schade leiden. Zo

kan een stuk glas, dat ongelijkmatig wordt opgewarmd, gaan barsten. In ruimtetuigen treden

thermische spanningen op door de ongelijkmatige zonnestraling op één kant van het tuig, en

ook door de wrijving met de atmosfeer, wanneer het tuig terugkeert naar de aarde.

Ook als het temperatuurveld T(x,y,z) wel voldoet aan de voorwaarde (1.112), kunnen

thermische spanningen optreden als het lichaam niet vrij kan vervormen. Dit kan men

gemakkelijk inzien aan de hand van de vergelijkingen (1.114). Als de vervorming totaal

belemmerd wordt (totale rekken = 0), dan zijn de thermische spanningen:

T21

Ezzyyxx

(1.115)

Vaak worden ook spanningen geïnduceerd door het productieproces. Bij lassen bv. worden

vaak hoge en ongelijkmatige temperaturen bereikt. Tijdens de afkoeling zal het materiaal van

de las meer krimpen dan het materiaal dat verder van de las verwijderd ligt. Door de

ongelijkmatige en belemmerde vervorming ontstaan bijkomende rekken en spanningen. Ook

bij de uitharding van dikwandige buizen zal het materiaal aan de binnen- en buitenwand

sneller afkoelen dan het materiaal binnenin. Aldus ontstaat een ongelijkmatige vervorming en

treden bijkomende spanningen op in het materiaal, die ook na de uitharding blijven bestaan.

Deze resulterende spanningen en rekken kan men niet beschouwen als “thermische”

spanningen, omdat zij blijven bestaan in een homogeen materiaal bij een homogene

temperatuur. Zij zijn echter wel vaak het gevolg van thermische behandelingen.

Dergelijke spanningen, die bestaan zonder dat er enige uitwendige (mechanische of

thermische) belasting op het lichaam aangrijpt, noemt men eigenspanningen (Eng: residual

stresses, initial stresses).


71

1.7.2. Statisch onbepaalde problemen

Zoals besproken in paragraaf 1.6.3, is een probleem statisch onbepaald als de

evenwichtsvergelijkingen niet volstaan om de reactiekrachten te bepalen. Ook in geval van

thermische problemen dient men vaak bijkomende compatibiliteitsvoorwaarden te formuleren

voor statisch onbepaalde systemen.

Figuur 1.53 toont dezelfde ingeklemde staaf als in Figuur 1.52, maar ditmaal belast met een

temperatuurstijging T, i.p.v. een axiale kracht P. Ten gevolge van de temperatuurstijging wil

de staaf uitzetten, maar deze uitzetting wordt belemmerd door de inklemming.

Figuur 1.53 Voorbeeld van een statisch onbepaald systeem met thermische belasting [1].

De evenwichtsvoorwaarde levert dat de twee reactiekrachten even groot zijn, en gelijk aan F.

De bijkomende compatibiliteitsvoorwaarde is opnieuw dat de totale lengteverandering moet

nul zijn:

0uuu FTAB (1.116)

waarbij uT de verplaatsing is t.g.v. de opgelegde temperatuurstijging en uF de verplaatsing

t.g.v. de reactiekrachten. Uitwerking van de vergelijking levert dan:

0EA

LFLT

(1.117)

waarbij [m/mC] de thermische uitzettingscoëfficiënt is, E de elasticiteitsmodulus en A de

oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de staaf.

Compatibiliteitsvoorwaarden zijn ook vaak vereist bij de thermische opwarming (of

afkoeling) van heterogene lichamen. Figuur 1.54 toont het voorbeeld van de gelijkmatige


72

opwarming van een stuk dat bestaat uit twee materialen met verschillende thermische

uitzettingscoëfficiënt (1 > 2). Wanneer de twee delen, los van elkaar, vrij zouden kunnen

uitzetten, dan zouden deze delen niet meer in elkaar passen. In de werkelijkheid blijft de

samenhang van het geheel uiteraard behouden, hetgeen vergt dat de twee delen op elkaar

krachten uitoefenen. Die krachten veroorzaken een bijkomende vervorming zodat de som van

de thermische uitzetting en de bijkomende rek voldoet aan de compatibiliteitsvoorwaarden.

Figuur 1.54 Thermische spanningen in heterogene lichamen [9].

Voorbeeld 1.7

Een starre, onvervormbare balk is bevestigd op de bovenzijde van drie kolommen. De

middelste kolom bestaat uit aluminium (Ealu = 70 GPa, alu = 2310-6 m/mC), de twee

buitenste kolommen uit staal (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC). De kolommen hebben elk

een onbelaste lengte van 250 mm en de temperatuur is T1 = 20 C. Bepaal de kracht in elke

kolom als de balk wordt onderworpen aan een constant verdeelde belasting van 150 kN/m en

de temperatuur tot T2 = 80 C wordt verhoogd.


73

1.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE

1.8.1. Arbeid van een kracht

Volgens de mechanica verricht een kracht arbeid wanneer deze kracht een verplaatsing dx

veroorzaakt in dezelfde richting als de kracht. De verrichte arbeid is een scalaire grootheid,

gedefinieerd als:

]mN[dxFdUuitw (1.118)

Als de totale verplaatsing x bedraagt, wordt de arbeid:

x

0

uitw dx)x(FU (1.119)

Het is belangrijk op te merken dat de kracht F niet constant is, maar afhangt van x. Immers,

als men de verplaatsing wil doen toenemen van nul naar x, dan moet ook de kracht F

toenemen.

Als toepassingsvoorbeeld wordt de arbeid berekend, uitgeoefend door een axiale trekkracht P

op een stalen staaf, zoals afgebeeld in Figuur 1.55.

Figuur 1.55 Axiale belasting van een stalen staaf [1].

De trekkracht F wordt daarbij geleidelijk opgevoerd van nul naar de eindwaarde P. Bij deze

eindwaarde P wordt de uiteindelijke verplaatsing van het uiteinde van de staaf bereikt. Als

het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, is de kracht evenredig met de verlenging x, zodat:

Px

)x(F

(1.120)

M.b.v. vergelijking (1.119) wordt de totale uitwendige arbeid:


74

P2

1dxP

xdx)x(FU

00

uitw (1.121)

Onderstel nu dat P al op de staaf was aangebracht en dat nu een andere, bijkomende kracht P’

wordt uitgeoefend. zodanig dat het uiteinde van de staaf over een bijkomende afstand ’

verder verplaatst wordt. Dit is afgebeeld in Figuur 1.56.

Figuur 1.56 Axiale belasting van een stalen staaf met bijkomende kracht P’ [1].

De arbeid, verricht door de axiale kracht P (niet door P’), is:

'P'U P,uitw (1.122)

De kracht P blijft immers gewoon op de staaf aanwezig en is dus constant. De bijdrage van P’

is dan:

''P2

1'U 'P,uitw (1.123)

De totale arbeid van beide krachten P en P’ voor de totale verlenging +’ is grafisch

weergegeven in Figuur 1.57.


75

Figuur 1.57 Arbeid verricht door axiale belasting van een stalen staaf [1].

De kleine driehoek met hoekpunt in de oorsprong stelt de arbeid P2

1 voor van de kracht P

bij de eerste verlenging van de staaf. De rechthoek stelt de verrichte arbeid 'P voor van

P bij de verlenging ’ en de kleine driehoek erboven de arbeid ''P2

1 van de kracht P’ bij de

verlenging ’.

1.8.2. Arbeid van een moment

Volledig analoog met de arbeid van een kracht, verricht een moment M arbeid wanneer het

een hoekverdraaiing d veroorzaakt langs zijn werklijn. De verrichte arbeid is dan:

]mN[dMdUuitw (1.124)

Als de totale hoekverdraaiing radialen bedraagt, wordt de arbeid:

0

uitw d)(MU (1.125)

Als men opnieuw onderstelt dat het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, en dus de

hoekverdraaiing evenredig toeneemt met het aangelegde moment, dan is de arbeid:

M2

1Uuitw (1.126)


76

Is het moment M echter al op het lichaam aangebracht en draait een bijkomend moment M’

het lichaam verder over een hoek ’, dan is de arbeid verricht door M:

'M'U uitw (1.127)

1.8.3. Wet van behoud van mechanische energie

De arbeid, verricht door een axiale kracht P of een moment M, kan niet zomaar verloren gaan

bij het aanbrengen op de constructie. Wegens de wet van behoud van mechanische energie

moet de energie dus opgeslagen worden in de constructie:

inwuitw UU (1.128)

De uitwendige arbeid, verricht door de uitwendige belastingen op de constructie, wordt dus in

het lichaam omgezet naar een inwendige energie Uinw. Deze energie noemt men de elastische

energie of vormveranderingsenergie. Wanneer de belastingen worden weggenomen, herstelt

de elastische energie het lichaam in zijn oorspronkelijke onvervormde toestand, aangenomen

dat de elasticiteitsgrens van het lichaam niet overschreden werd.

Aangezien deze elastische energie in het lichaam wordt opgeslagen, moet het ook mogelijk

zijn deze energie uit te drukken in functie van de inwendige spanningen en rekken in het

lichaam. Deze uitdrukking wordt hierna afgeleid.

Onderstel een infinitesimaal klein volume-element met zijden dx, dy en dz, belast met een

normaalspanning zz, die werkt op de boven- en onderzijde van het volume-element, zoals

afgebeeld in Figuur 1.58.

Figuur 1.58 Volume-element belast met een normaalspanning zz [1].

Als nu op dit volume-element de normaalspanning zz werkt, dan is de totale kracht die op de

boven- en onderzijde wordt uitgeoefend:

dydxdAdF zzzzz (1.129)


77

Als deze kracht dFz geleidelijk op het volume-element wordt aangebracht, net als de eerder

besproken kracht P, neemt zijn grootte toe van nul tot dFz. De bijhorende verplaatsing neemt

dan toe van nul tot de eindwaarde dz, die gelijk is aan:

dzd zzz (1.130)

De door dFz verrichte arbeid dUinw is dan:

dV2

1dzdydx

2

1ddF

2

1dU zzzzzzzzzzinw (1.131)

Het is belangrijk op te merken dat deze elastische energie of vormveranderingsenergie dUinw

altijd positief is, want zz en zz hebben altijd hetzelfde teken.

Ook wanneer schuifspanningen werken, kan een vergelijkbare uitdrukking voor de elastische

energie of vormveranderingsenergie worden opgesteld. Beschouw opnieuw het infinitesimaal

volume-element dat is afgebeeld in Figuur 1.59.

Figuur 1.59 Volume-element belast met een schuifspanning [1].

Ditmaal is het volume-element belast met een schuifspanning . De schuifkracht dF is:

dydxdF (1.132)

Deze kracht verricht enkel arbeid in een verplaatsing die dezelfde richting heeft als de

werkingslijn van de kracht. De verplaatsing van het bovenvlak t.o.v. het ondervlak is:

dzd (1.133)

De verrichte arbeid door de schuifkracht wordt dan:

dV2

1dzdydx

2

1ddF

2

1dUinw (1.134)


78

De bovenstaande uiteenzetting kan makkelijk worden uitgebreid om de

vormveranderingsenergie te bepalen in een lichaam wanneer dit verkeert in een algemene

spanningstoestand, zoals afgebeeld in Figuur 1.60.

Figuur 1.60 Volume-element belast met een algemene spanningstoestand [1].

Omdat de elastische energie een scalaire grootheid is, mogen de bijdragen van elke normaal-

en schuifspanning worden opgeteld, zodat de totale elastische energie voor het hele lichaam

wordt:

Vyzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxxinw dV

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1U (1.135)

M.b.v. de wet van Hooke kan men de elastische energie ook herschrijven, enkel in functie van

de spanningen:

V

2

zzyyxx

2

yz

2

xz

2

xy

2

zz

2

yy

2

xxinw dVE2

2E2

1U (1.136)

Of enkel in functie van de vervormingen:

V

2

zzyyxx

2

yz

2

xz

2

xy

2

zz

2

yy

2

xxinw dV212

1

)1(2

EU (1.137)


79

1.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE

MATERIALEN

In alle voorgaande paragrafen werd de discussie beperkt tot homogene en isotrope materialen,

met een elasticiteitsmodulus E, een glijdingsmodulus G en een Poisson-coëfficiënt . Deze

mechanische eigenschappen (E, G, ) zijn dezelfde in elk punt van het materiaal (homogeen)

en zijn in elk punt dezelfde in alle richtingen (isotroop).

Staal wordt vaak gebruikt als het prototype van deze klasse van homogene en isotrope

materialen, maar er zijn ook heel wat materialen die niet homogeen en isotroop zijn en toch

frequent gebruikt worden in de bouwkunde en werktuigkunde. Voor deze laatste materialen

kan men de veralgemeende wet van Hooke voor anisotrope materialen toepassen, op

voorwaarde dat het niet-homogeen karakter speelt op een voldoend kleine schaal. Daarmee

wordt bedoeld dat een voldoend groot volume van dit heterogeen materiaal zich toch als een

homogene massa moet gedragen. Men spreekt dan van een gehomogeniseerd materiaal.

Gewapend beton kan men niet catalogeren onder de gehomogeniseerde materialen, omdat het

heterogeen karakter (door de versterking met wapeningsstaal) zich manifesteert op een te

grote schaal. De veralgemeende wet van Hooke is dan ook niet van toepassing.

Vezelversterkte composieten (Eng: fibre-reinforced composites) zijn daarentegen wel een

goed voorbeeld van gehomogeniseerde materialen en worden in vele domeinen van de

bouwkunde en werktuigkunde toegepast. Hierbij worden versterkingsvezels (van glas,

koolstof, staal, aramide,...) ingebed in een ander materiaal (veelal kunststoffen, maar ook

metaal, keramiek, cement,...). Het materiaal waarin de vezels worden ingebed, noemt men de

matrix. Hoewel het in wezen ook heterogene materialen zijn, speelt de heterogeniteit op

microniveau: de matrix wordt versterkt met vezelbundels van 10 tot 100 m diameter. Voor

mechanische toepassingen gedraagt het composietmateriaal zich dus voldoende homogeen.

De bedoeling van deze kunstmatig vervaardigde composieten is veelal het bekomen van

verbeterde mechanische eigenschappen. In het bijzonder de zeer hoge verhouding tussen

sterkte en stijfheid enerzijds en soortelijk gewicht anderzijds speelt in het voordeel van deze

materialen, zoals geïllustreerd door Figuur 1.61.

Figuur 1.61 Chronologische vooruitgang in de sterkte/dichtheid verhouding van materialen [5].


80

Samenvattend kan men volgende indeling maken voor de toepassing van (i) de (klassieke)

wet van Hooke voor homogene en isotrope materialen, en (ii) de veralgemeende wet van

Hooke voor anisotrope materialen:

homogene materialen gehomogeniseerde materialen

isotroop

anisotroop

isotroop

anisotroop

wet van Hooke

veralgemeende wet van Hooke

(bv. staal, aluminium,...)

(bv. gewalst staal,...) (bv. composieten)

(bv. kunststoffen met random verdeelde verkapte vezeltjes)

Figuur 1.62 Classificatie van homogene en gehomogeniseerde materialen.

Voor een compleet anisotroop materiaal, waarbij de eigenschappen in alle richtingen

verschillend zijn, geldt de veralgemeende wet van Hooke:

xy

xz

yz

zz

yy

xx

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

xy

xz

yz

zz

yy

xx

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

(1.138)

De matrix [C] wordt de stijfheidsmatrix genoemd, naar analogie met het eendimensionaal

verband = E, waarbij E de stijfheid van het materiaal voorstelt. De stijfheidsmatrix [C] telt

21 onafhankelijke constanten, vermits de matrix symmetrisch is.

In vele gevallen zijn er echter één of meerdere symmetrievlakken in de materiaalstructuur,

zodat het aantal elastische constanten kan teruggebracht worden. De belangrijkste gevallen

zijn (i) orthotrope materialen, en (ii) transversaal isotrope materialen. De bespreking wordt

hier beperkt tot vezelversterkte kunststoffen, omdat deze technische composieten veruit de

belangrijkste klasse vormen binnen de anisotrope materialen in de ingenieurswereld.

1.9.1. Orthotrope materialen

Orthotrope materialen zijn materialen waar men drie onderling loodrechte symmetrievlakken

kan vinden in de materiaalstructuur. Naargelang de structuur van de matrix en de

vezelversterking kan men verschillende symmetrievlakken in de structuur van het

composietmateriaal onderscheiden, en wanneer dus drie orthogonale symmetrievlakken

bestaan, noemt men het materiaal orthotroop. Een typisch voorbeeld is getoond in Figuur

1.63. Dit weefsel wordt als vezelversterking gebruikt in het composiet en telt drie onderling

loodrechte symmetrievlakken.


81

Figuur 1.63 Eenheidscel van een weefsel als vezelversterking [16].

De elastische eigenschappen zijn niet langer dezelfde in alle richtingen, maar verschillen

naargelang men beproeft in de richting van de langsvezels, de inslagvezels of in de

dikterichting van de vezels. Om deze verschillende elastische eigenschappen te

onderscheiden, heeft men een nieuw referentie-assenstelsel ingevoerd: de hoofdrichtingen

van orthotropie. Dit is een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (1

e

, 2

e

, 3

e

), waarbij 1

e

de

richting van de langsvezel aanduidt, 2

e

de richting van de inslagvezel en 3

e

de dikterichting.

Het is belangrijk op te merken dat de hoofdrichtingen van orthotropie niet verward mogen

worden met de hoofdrichtingen van de spanningstensor (het assenstelsel waarin alle

schuifspanningen nul zijn), noch met de hoofdrichtingen van de vervormingstensor (het

assenstelsel waarin alle glijdingen nul zijn). De hoofdrichtingen van orthotropie zijn immers

gebonden aan de geometrische opbouw van het composietmateriaal, maar hebben niets te

maken met de werkelijke spanningstoestand van het composiet die in elk belastingsgeval

anders kan zijn. De hoofdrichtingen van orthotropie worden vaak aangeduid als (1

e

, 2

e

, 3

e

)

i.p.v. ( xe

, y

e

, z

e

). Het assenstelsel (1

e

, 2

e

, 3

e

) noemt men het lokaal assenstelsel, terwijl

de notatie ( xe

, y

e

, z

e

) geldt voor het globaal of structureel assenstelsel.

Als men het verband tussen spanning en rek uitdrukt in dit lokaal assenstelsel, dan bekomt

men:

12

13

23

33

22

11

66

55

44

332313

232212

131211

12

13

23

33

22

11

C00000

0C0000

00C000

000CCC

000CCC

000CCC

(1.139)


82

De coëfficiënten Cij worden geschreven in functie van de 9 onafhankelijke elastische

constanten van het orthotroop materiaal: 6 stijfheden E11, E22, E33, G12, G13 en G23 en

3 Poisson-coëfficiënten 12, 13 en 23. De betekenis van de 6 verschillende stijfheden is

weergegeven in Figuur 1.64.

Figuur 1.64 Schematische voorstelling van de stijfheidseigenschappen voor een orthotroop materiaal [16].

Men kan aantonen dat het verband tussen spanning en rek als volgt geschreven wordt:

133221133132232112

12

13

23

33

22

11

12

13

23

211233

31123222

32213111

31123222

311322

23312111

32213111

23312111

322311

12

13

23

33

22

11

21met

G00000

0G0000

00G000

0001

EEE

000E1

EE

000EE1

E

(1.140)

Omdat het invers verband tussen rek en spanning in het lokaal assenstelsel (1

e

, 2

e

, 3

e

) een

veel eenvoudiger gedaante aanneemt, zal men in de literatuur de veralgemeende wet van

Hooke voor orthotrope materialen nagenoeg altijd terugvinden in deze vorm:


83

12

13

23

33

22

11

12

13

23

3333

32

33

31

22

23

2222

21

11

13

11

12

11

12

13

23

33

22

11

G

100000

0G

10000

00G

1000

000E

1

EE

000EE

1

E

000EEE

1

(1.141)

Deze 66 matrix noemt men de compliantiematrix [S].

1.9.2. Transversaal isotrope materialen

Een bijzondere klasse van orthotrope materialen zijn deze waarbij in één symmetrievlak de

materiaaleigenschappen dezelfde zijn in alle richtingen. Een voorbeeld is getoond in Figuur

1.65.

Figuur 1.65 Transversale isotropie in een unidirectioneel vezelversterkt composiet [17]:

(a) definitie van de assen 1

e

,2

e

en 3

e

,

(b) micrografische opname van de pakking van koolstofvezels in een koolstof/epoxy composiet

(vergroting 400 ).

Dit composiet is versterkt met lange vezels die allemaal in dezelfde richting liggen. De

typische diameter van dergelijke versterkingsvezels is 3 tot 20 m, terwijl de laagdikte van

een dergelijk composiet varieert van 0.1 mm tot 0.3 mm. Het aantal vezels binnen zo’n laag is

dus heel groot en de eigenschappen in een vlak loodrecht op de vezels, kunnen dan ook

dezelfde verondersteld worden in alle richtingen.


84

Er blijven slechts vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten over: E11, E22, 12, 23 en G12,

want voor transversaal isotrope materialen zijn de subscripts 2 en 3 (corresponderend met de

richtingen 2

e

en 3

e

) onderling verwisselbaar, en dus:

)1(2

EG

GG

EE

23

2223

3223

1312

1312

3322

(1.142)


85

1.10. REFERENTIES

[1] Hibbeler, R.C. (1997). Mechanics of materials. New Jersey, Prentice Hall

International, Inc., 855 pp.

[2] Megson, T.H.G. (1996). Structural and stress analysis. London, Arnold Publishers,

641 pp.

[3] Sierakowski, R.L. and Chaturvedi,S.K. (1997). Dynamic loading and characterization

of fiber-reinforced composites. New York, John Wiley & Sons, 252 pp.

[4] Verheest, F. (1993). Theoretische mechanica. Gent, Universiteit Gent, Vakgroep

wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, 295 pp.

[5] Ohring, M. (1995). Engineering materials science. San Diego, Academic Press, 827

pp.

[6] Ragab, A.-R. and Bayoumi, S.E. (1999). Engineering solid mechanics. Fundamentals

and applications. Boca Raton, CRC Press, 921 pp.

[7] Baxter Brown, J. McD. (1973). Introductory solid mechanics. London, John Wiley &

Sons Ltd, 434 pp.

[8] Karasudhi, P. (1991). Foundations of solid mechanics. Dordrecht, Kluwer Academic

Publishers, 493 pp.

[9] Verhegghe, B. (2001). Elasticiteit en Sterkteleer. Cursus academiejaar 2001-2002.

Gent, Universiteit Gent.

[10] Ford, H. (1963). Advanced mechanics of materials. London, Longman Group Ltd.,

672 pp.

[11] Zaat, J.H. (1974). Technische metaalkunde. Deel 2: Algemene metaalkunde.

Amsterdam, Elsevier, 272 pp.

[12] Zaat, J.H. (1975). Technische metaalkunde. Deel 3: Staal en gietijzer. Amsterdam,

Elsevier, 226 pp.

[13] Case, J., Chilver, L. and Ross, C.T.F. (1999). Strength of materials and structures.

London, Arnold Publishers, 706 pp.

[14] Filonenko-Borodich, M. (1963). Theory of elasticity. Moscow, Peace Publishers, 394

pp.

[15] Boresi, A.P. and Sidebottom, O.M. (1985). Advanced mechanics of materials. Fourth

edition. New York, John Wiley & Sons, 763 pp.

[16] Mallick, P.K. (1997). Composites Engineering Handbook. New York, Marcel Dekker

Inc.

[17] Degrieck, J. (1997). Mechanica van met vezels versterkte materialen. Cursus, Gent,

Faculteit Toegepaste Wetenschappen, 157 p.

86

Hoofdstuk 2

Structureel gedrag

2.1. INLEIDING

In het vorige hoofdstuk werd het materiaalgedrag bestudeerd als een afzonderlijk gegeven. De

relatie tussen spanning en rek in één enkel punt van het materiaal werd opgesteld voor het

lineair elastisch gedrag van een materiaal. Wanneer men datzelfde materiaal gebruikt voor het

ontwerp van een constructie, blijft het natuurlijk zeer belangrijk om te begrijpen hoe het

materiaal zich gedraagt. Toch zijn bijkomende analysemethodes nodig om het gedrag van de

volledige constructie te berekenen. Deze analysemethodes zijn het voorwerp van dit

hoofdstuk.

In dit hoofdstuk wordt de structurele analyse van materialen vooral beperkt tot de

balkentheorie. Dit is in feite een heel vereenvoudigde eendimensionale theorie die toepasbaar

is in het gebied van lineair elastisch materiaalgedrag met kleine vervormingen.

Bij de studie van de balkentheorie gebruikt men, in overeenstemming met de internationale

conventie, het rechtshandig assenstelsel in Figuur 2.1:

O

x

y

z

F > 0y

M > 0y

Mx

> 0

M > 0z

M > 0x

F > 0z

F > 0x

My> 0

Mz

> 0

Figuur 2.1 Rechtshandig assenstelsel met positieve krachten en momenten.

De z-as duidt de verticale richting aan en ligt volgens de hoogte van de balk. Verder wordt

aangenomen dat de lengte-as van de bestudeerde balk volgens de x-as ligt. Meestal kiest men

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag

87

de oorsprong van de x-as aan het linkeruiteinde van de balk. Het structureel assenstelsel voor

de balkentheorie ziet er dan uit als in Figuur 2.2.

O

z

xx y

z

Figuur 2.2 Structureel assenstelsel voor balkentheorie.

Omdat heel wat formules in de balkentheorie gebruik maken van de geometrische

eigenschappen van de dwarsdoorsnede van de balk, zullen deze eigenschappen eerst

besproken worden.


88

2.2. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE

2.2.1. Opstellen vergelijkingen

Beschouwt men een vlakke dwarsdoorsnede, gerefereerd t.o.v. het willekeurig gelegen

assenstelsel (y’,z’). Het is nu de bedoeling op zoek te gaan naar de ligging van het

zwaartepunt en het daarbijhorende assenstelsel (y,z), zoals aangegeven in Figuur 2.3.

Figuur 2.3 Ligging van het zwaartepunt van een vlakke doorsnede [1].

De oppervlakte A van de dwarsdoorsnede wordt gegeven door:

'dz'dyA (2.1)

Het statisch moment Sy’ om de y’-as [meter3] definieert men als:

'dz'dy'zS 'y (2.2)

Het statisch moment om de y’-as omvat dus voor elk infinitesimaal oppervlak dy’dz’ het

product van het oppervlak dy’dz’ met zijn loodrechte afstand tot de y’-as.

Analoog definieert men het statisch moment Sz’ om de z’-as als:

'dz'dy'yS 'z (2.3)

Het statisch moment om de z’-as [meter3] omvat dus voor elk infinitesimaal oppervlak dy’dz’

het product van het oppervlak dy’dz’ met zijn loodrechte afstand tot de z’-as. De afstand tot

de y'- of z'-as wordt ingevoerd met het teken, dat wil zeggen dat het statisch moment zowel

positief als negatief kan zijn ! De ligging van het zwaartepunt met coördinaten (y0’, z0’) wordt berekend als volgt:

A

S'z

A

S'y

'y

0

'z0

(2.4)


89

Eens de ligging van het zwaartepunt en dus van het assenstelsel (y,z) gekend, berekent men

alle geometrische grootheden in dat assenstelsel. Bemerk dat de statische momenten Sy en Sz

nul zijn, als de assen y en z door het zwaartepunt gaan.

Voor een groot aantal dwarsdoorsneden die in de ingenieurspraktijk worden gebruikt, kan

men de ligging van het zwaartepunt vaak onmiddellijk bepalen. Wanneer de dwarsdoorsnede

een symmetrie-as heeft, ligt het zwaartepunt immers zeker op die symmetrie-as, omdat het

statisch moment van de dwarsdoorsnede om haar symmetrie-as altijd nul is. In gevallen

waarin een oppervlak twee symmetrie-assen heeft, volgt daaruit dat het zwaartepunt op het

snijpunt van deze assen ligt.

De traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz van de doorsnede t.o.v. het assenstelsel (y,z) door het

zwaartepunt worden als volgt gedefinieerd:

dzdyzyI

dzdyyI

dzdyzI

yz

2

zz

2

yy

(2.5)

Het traagheidsmoment Iyy [meter4] is het traagheidsmoment om de y-as, het

traagheidsmoment Izz [meter4] is het traagheidsmoment om de z-as en Iyz [meter4] noemt men

het traagheidsproduct. Deze traagheidsmomenten van een doorsnede mag men niet verwarren

met de traagheidsmomenten van een star lichaam.

Als men het traagheidsmoment wil berekenen om een evenwijdige as die niet door het

zwaartepunt gaat, dan gebruikt men de stelling van Steiner:

00yz'z'y

2

0zz'z'z

2

0yy'y'y

zyAII

yAII

zAII

(2.6)

Als geen van beide assenstelsels (y’,z’) en (y,z) door het zwaartepunt gaat, mag men de

stelling van Steiner niet rechtstreeks toepassen. Men moet dan de stelling twee maal

toepassen, met een tussenstap via een evenwijdig assenstelsel door het zwaartepunt.

Beschouwt men nu het geval waarbij een assenstelsel (y’,z’) over een hoek is verdraaid

t.o.v. het assenstelsel (y,z) door het zwaartepunt O, zoals weergegeven in Figuur 2.4.

Overeenkomstig de rechterhandregel om de x-as, is de hoek van (y,z) naar (y’,z’) positief in

tegenuurwijzerzin.

Figuur 2.4 Rotatie van het assenstelsel van een vlakke doorsnede [1].


90

Dan transformeren de traagheidsmomenten zoals de componenten van een symmetrische

tensor van tweede orde:

yz

22

zzyy'z'y

yzzz

2

yy

2

'z'z

yzzz

2

yy

2

'y'y

IsincosIcossinIcossinI

Icossin2IcosIsinI

Icossin2IsinIcosI

(2.7)

Volledig analoog met de bepaling van de hoofdrichtingen voor spanningen en rekken bij

vlakspanning en vlakvervorming, kan men de hoek zoeken waarvoor Iy’z’ = 0:

zzyy

yz

II

I22tan

(2.8)

Als men de waarde van de hoek invult in de twee eerste vergelijkingen van (2.7), dan

bekomt men de bijhorende traagheidsmomenten IYY en IZZ. Deze noemt men de

hoofdtraagheidsmomenten. De bijhorende richtingen van de Y- en Z-as noemt men de

hoofdtraagheidsassen van de dwarsdoorsnede.

De balkentheorie wordt opgesteld in de veronderstelling dat de dwarsdoorsnede gerefereerd

wordt aan haar hoofdtraagheidsassenstelsel door het zwaartepunt. Het is dus zeer belangrijk

voor elk type dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt en van de hoofdtraagheidsassen

te kennen. Net zoals voor de ligging van het zwaartepunt, kan men voor de ligging van de

hoofdtraagheidsassen gebruik maken van de eventuele symmetrie in de dwarsdoorsnede. Het

traagheidsproduct Iyz is immers altijd nul als óf de y-as óf de z-as een symmetrie-as is voor

het oppervlak.

2.2.2. Praktische berekening

Voor de praktische berekening van oppervlakte, statisch moment en traagheidsmoment kan

men op een van de volgende manieren te werk gaan:

voor een aantal eenvoudige figuren zijn er kant-en-klare formules om A, Si en Iij te

berekenen. Enkele van deze formules vindt men in onderstaande Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Geometrische kenmerken van eenvoudige doorsneden [1].


91


92

voor een aantal producten, waarvan de afmetingen genormaliseerd zijn, zijn er tabellen

gepubliceerd. Dit is het geval voor I-profielen, hoekprofielen, T-profielen, kanaalprofielen,

rechthoekige kokers,... Tabel 2.2 is een voorbeeld hiervan. De weerstandsmomenten Wy en

Wz in deze tabel zijn gedefinieerd als:

b

I2W

h

I2W

zzz

yy

y

(2.9)

Tabel 2.2 Kenmerken van warmgewalste IPE-profielen (Euronorm 19-57) [1].

veel andere profielen kunnen berekend worden door de doorsnede op te delen in

eenvoudige figuren waarvan de grootheden bekend zijn, en gebruik te maken van de

stelling van Steiner,

voor dunwandige profielen kan men de massa geconcentreerd denken op de hartlijn van de

doorsnede. De oppervlakte-integralen herleiden zich dan tot lijnintegralen langs de hartlijn.

Men noemt dit vaak het draadmodel. Wanneer de lengte/dikte-verhoudingen van de

onderdelen van de doorsnede zowat 10 (of meer) bedragen, is het verschil met de juiste

oplossing onbelangrijk klein,

voor de echt moeilijke gevallen kan men een benadering berekenen met numerieke

integratie.


93

Stappenplan voor de bepaling van de geometrische kenmerken van de dwarsdoorsnede:


94

Voorbeeld 2.1

Bepaal de hoofdtraagheidsassen voor het volgend profiel:

Bereken de traagheidsmomenten opnieuw m.b.v. het draadmodel:


95

2.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT

In paragraaf 1.1.3 werden de vergelijkingen van het evenwicht opgesteld voor een willekeurig

lichaam. Het evenwicht van het lichaam is voldaan als zowel het krachtenevenwicht als het

momentenevenwicht voldaan zijn:

0M

0F

O

(2.10)

De x-as is gelegen volgens de lengterichting van de balk en gaat door het zwaartepunt van

elke dwarsdoorsnede. Het assenstelsel (x,y,z) vormt een rechtshandig assenstelsel. In de

balkentheorie wordt vaak ondersteld dat alle belastingen werken in één vlak (onderstel het x-z

vlak, zie Figuur 2.2). Zoals reeds aangetoond in paragraaf 1.1.3, kunnen de

evenwichtsvergelijkingen dan gereduceerd worden tot:

0M

0F0F

y

zx

(2.11)

Deze evenwichtsvergelijkingen blijven dus onverminderd geldig in de balkentheorie. Daarbij

maakt men wel het onderscheid tussen (i) het globaal evenwicht van de balk, en (ii) het

evenwicht van een deel van de balk. Deze evenwichten worden in de volgende paragrafen

besproken.

2.3.1. Globaal evenwicht

Uit het globaal evenwicht van de balk in zijn geheel berekent men de reacties. Aangezien er in

het x-z vlak slechts drie onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen kunnen geschreven worden

(zie vgl. (2.11)), kan men ook maar drie onafhankelijke reactiecomponenten bepalen.

De reactiekrachten en –momenten worden in de balkentheorie als volgt benoemd: de

(horizontale) reactiecomponent volgens de x-as duidt men aan met RH of RX. De (verticale)

reactiecomponent volgens de z-as noteert men als R. Het reactiemoment tenslotte wordt

genoteerd als RM. Vaak voegt men een subscript toe die verwijst naar het punt waar men de

reacties beschouwt (bv. RA, RB, RMC). Reacties moet men beschouwen als uitwendige

krachtswerkingen op de balk. Ze zijn dan ook steeds positief te rekenen in overeenstemming

met het gekozen assenstelsel (x,y,z). Figuur 2.5 toont de positieve richting en zin van de

verticale reactie R, de horizontale reactie RH en het reactiemoment RM voor een ingeklemde

balk, belast met de uitwendige krachten qz(x), Qz en Qx.

xy

zq (x)z

Qz

Qx

RM R

RH

Figuur 2.5 Positieve reactiecomponenten R, RH en RM.


96

2.3.2. Evenwicht van een deel van de balk – Snedekrachten

Uit het evenwicht van een moot van de balk kan men de spanningsresultanten of

snedekrachten in die doorsnede bepalen. Volgens de evenwichtsvergelijkingen (2.11) zijn er

opnieuw drie onafhankelijke snedekrachten Fx, Fz en My. In de balkentheorie krijgen deze

snedekrachten echter ook een andere notatie. De kracht Fx, werkend in de langsrichting van de

balk, noemt men de normaalkracht N. De kracht Fz, werkend in de dwarsdoorsnede van de

balk, noemt men de dwarskracht V. Het moment My tenslotte duidt men aan als het buigend

moment M.

Figuur 2.6 toont de positieve richting en zin van de snedekrachten voor een positieve

dwarsdoorsnede (buitennormale volgens de positieve x-as) en een negatieve dwarsdoorsnede

(buitennormale volgens de negatieve x-as), alsook de positieve richting en zin van de

verdeelde belasting qz(x) en de puntkracht Qz.

xy

z

V (=F )z

M (=M )y

N (=F )x

V

N

M

q (x)z

Qz

Figuur 2.6 Positieve snedekrachten N, M en V.

Als men nu een moot van de balk beschouwt, begrepen tussen één van beide uiteinden van de

balk en de dwarsdoorsnede met abscis x, dan kan men de waarde van de normaalkracht N(x),

de dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen aan de hand van de vergelijkingen

voor het horizontaal evenwicht, het verticaal evenwicht en het momentenevenwicht. Hierna

worden een aantal eenvoudige gevallen behandeld, die niettemin zeer vaak voorkomen in de

praktijk.

2.3.3. Verband tussen q, V en M

Tussen de verdeelde belasting q(x), de dwarskracht V en het buigend moment M bestaat er

bovendien een eenvoudig verband. Om dit verband af te leiden, beschouwt men het evenwicht

van een heel klein mootje van de balk, begrepen tussen de dwarsdoorsneden met abscis x en

abscis x + dx, zoals aangeduid in Figuur 2.7.


97

V + dV

M + dM

V

M

q(x)

xy

z

dx

Figuur 2.7 Evenwichtsvergelijkingen voor een balkmootje begrepen tussen x en x + dx.

De vergelijkingen voor het verticaal evenwicht en momentenevenwicht leiden respectievelijk

tot:

0dxVMdMM

0dx)x(qVdVV

(2.12)

waaruit volgt:

2

2

dx

Mdq

dx

dMV

dx

dVq

(2.13)

2.3.4. Enkele referentiegevallen

2.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast

Het eerste geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een puntlast. Zoals weergegeven

in Figuur 2.8(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich aan de ingeklemde zijde,

terwijl aan het vrije uiteinde een puntlast F aangrijpt. De totale lengte van de balk is L.


98

xy

z F

RMA RA

A B

C

RMA

RA

F

V

M

BA

CB

x

MV

L

(a)

(b)

(c)

Figuur 2.8 Ingeklemde balk met puntlast.

De tot nog toe onbekende reactiekracht RA en het reactiemoment RMA zijn in Figuur 2.8(a)

aangegeven met hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten-

en momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men nu eerst de onbekende reactiekracht

RA en het onbekende reactiemoment RMA berekenen:

LFRM

FR

0LFRM

0FR

A

A

A

A

(2.14)

Om de dwarskracht V en het moment M in elke doorsnede met abscis x te bepalen, kan men

het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel AB van de balk (Figuur 2.8(b)) of van het

rechterdeel BC van de balk (Figuur 2.8(c)).

Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het rechterdeel BC van de balk

(Figuur 2.8(c)), zodat volgende vergelijkingen gelden:


99

xLFM

FV

0xLFM

0FV

(2.15)

Op die manier kan men het evenwicht uitdrukken voor elke dwarsdoorsnede en zo de

dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen voor elke waarde van de abscis x.

Men kan dan de dwarskrachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis x, zoals

afgebeeld in respectievelijk Figuur 2.9(b) en Figuur 2.9(c).

xy

z F

RMA RA

CBA

x

L

(a)

(b)

(c)

x

V

L

x

M

L

V = F

M = -F (L-x)

Figuur 2.9 Dwarskracht- en momentenlijn voor een ingeklemde balk met puntlast.

Uit Figuur 2.9(b) blijkt dat V(x=0) = -RA en uit Figuur 2.9(c) dat M(x=0) = -RMA. Dit is geen

toeval, maar een belangrijke controle op de berekeningen. Inderdaad, beschouwt men het

evenwicht van een infinitesimaal klein deeltje van de balk aan het linkeruiteinde, zoals

aangegeven in Figuur 2.10.


100

A

RMA

RA

M(x=0)

V(x=0)

Figuur 2.10 Verband tussen uitwendige reacties en snedekrachten.

Daaruit volgt onmiddellijk dat:

A

A

RM)0x(M

R)0x(V

(2.16)

2.3.4.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting

Het tweede geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een verdeelde belasting q(x).

Hoewel de verdeelde belasting q(x) best een functie kan zijn van x, heeft ze in dit geval een

constante waarde: q(x) = q. Zoals weergegeven in Figuur 2.11(a), bevindt de oorsprong van

het assenstelsel zich opnieuw aan de ingeklemde zijde, terwijl de balk over zijn volledige

lengte belast is met een gelijkmatig verdeelde belasting q(x). De totale lengte van de balk is L.

xy

z

RMA RA

A B

C

RMARA

V

M

BA

CB

x

MV

L

(a)

(b)

(c)

q(x)

q(x)

q(x)

Figuur 2.11 Ingeklemde balk met verdeelde belasting.


101

De tot nog toe onbekende reactiekracht RA en het reactiemoment RMA zijn in Figuur 2.11(a)

aangegeven met hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten-

en momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende reactiekracht

RA en het onbekende reactiemoment RMA berekenen:

2

LqRM

LqR

0xdx)x(qRM

0dx)x(qR2

A

A

L

0

A

L

0

A

(2.17)




Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het rechterdeel BC van de balk

(Figuur 2.11(c)), zodat volgende vergelijkingen gelden:

2

xLqM

xLqV

0'dxx'x)'x(qM

0'dx)'x(qV2

L

x

L

x

(2.18)






102

xy

z

RMARA

CBA

x

L

(a)

(b)

(c)

q(x)

x

V

L

x

M

L

-q (L-x)2

2M =

V = q (L-x)

Figuur 2.12 Dwarskracht- en momentenlijn voor een ingeklemde balk met verdeelde belasting q(x).

2.3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast

Het derde geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een puntlast F. Zoals

weergegeven in Figuur 2.13(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich opnieuw aan

het linkeruiteinde van de balk. De puntlast F bevindt zich op een afstand a van het

linkeruiteinde van de balk. Het linkeruiteinde van de balk is opgelegd op een vast steunpunt,

terwijl het rechteruiteinde van de balk is opgelegd op een roloplegging. Beide opleggingen

nemen enkel een verticale reactie op.


103

xy

z F

RA

A B

C

F

V

M

BA

CB

x

MV

L

(a)

(b)

(c)

a

D

RD

RA

D

RD

Figuur 2.13 Balk op twee steunpunten met puntlast.

Voor de berekening van de onbekende verticale reacties RA en RD drukt men het verticaal

evenwicht en het momentenevenwicht uit van de volledige balk:

L

aFR

L

aLFR

0aFLR

0FRR

D

A

D

DA

(2.19)


104


het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel van de balk (Figuur 2.13b) of van het rechterdeel

van de balk (Figuur 2.13c).

Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het linkerdeel AB van de balk

(Figuur 2.13b), zodat volgende vergelijkingen gelden:

L

aLxFM

L

aLFV

0xL

aLFM

0L

aLFV

(2.20)

Het is belangrijk op te merken dat de evenwichtsvergelijkingen (2.20) voor de moot AB enkel

gelden voor x < a. Voor x > a moet ook de puntlast F in rekening worden gebracht, zoals

aangeduid in Figuur 2.14(b).

xy

z F

RA

A B

C BA

x

M

V

L

(a)

(b)

a

D

RD

RA

F

C

x

z

y

Figuur 2.14 Evenwicht van moot AB voor x > a voor een balk op twee steunpunten met puntlast.

De evenwichtsvergelijkingen voor het linkerdeel AB van de balk worden dan voor x > a:


105

L

xLaFM

L

aFV

0)ax(FxL

aLFM

0FL

aLFV

(2.21)



Uiteraard was het in dit geval ook mogelijk (en eenvoudiger) voor x > a het evenwicht uit te

drukken van het rechterdeel van de balk.



xy

z F

RA

CBA

x

L

(a)

(b)

(c)

a

D

RD

x

V

L

x

M

L

V =

V =

M =

L-aL

F

aL

-F

x (L-a)

LF

M =a (L-x)

LF

Figuur 2.15 Dwarskracht- en momentenlijn voor een balk op twee steunpunten met puntlast.


106

2.3.4.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting

Het vierde geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een verdeelde belasting

q(x). Zoals weergegeven in Figuur 2.16(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich

opnieuw aan het linkeruiteinde van de balk. Het linkeruiteinde van de balk is opgelegd op een

vast steunpunt, terwijl het rechteruiteinde van de balk is opgelegd op een roloplegging. Beide

opleggingen nemen enkel een verticale reactie op.

xy

z

RA

A B

VM

BA

B

x

M

V

L

(a)

(b)

(c)

C

RC

RA

C

RC

q(x)

q(x)

q(x)

Figuur 2.16 Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting.

De tot nog toe onbekende reactiekrachten RA en RC zijn in Figuur 2.16(a) aangegeven met

hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten- en


107

momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende reactiekrachten

berekenen:

2

LqR

2

LqR

0dxx)x(qLR

0dx)x(qRR

C

A

L

0

C

L

0

CA

(2.22)

Dit resultaat kan men ook gemakkelijk inzien zonder berekeningen. De resultante van de

verdeelde belasting q(x) bedraagt qL en grijpt aan in het midden van de balk. Omwille van

symmetrie moeten beide steunpunten elk de helft van deze resultante opnemen, zodat de

waarde van elke reactie gelijk is aan (-qL)/2.




In dit geval maakt het niet uit of men het linker- of rechterdeel van de balk bekijkt.

Beschouwt men bijvoorbeeld het evenwicht van het linkerdeel AB van de balk (Figuur

2.16(b)), dan gelden volgende vergelijkingen:

2

xLxqM

x2

LqV

0x2

Lq'dx'xx)'x(qM

0'dx)'x(q2

LqV

x

0

x

0

(2.23)






108

xy

z

RA

BA

x

L

(a)

(b)

(c)

C

RC

q(x)

x

V

L

x

M

L

x

2

LqV

q x (L-x)

2M =

Figuur 2.17 Dwarskracht- en momentenlijn voor een balk op twee steunpunten met verdeelde belasting q(x).

Voorbeeld 2.2

Gegeven is de volgende balk:

x

y

z

BA

10 kN15 kN/m

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m


109

Op x = 2 m bevindt zich een neerwaarste puntlast van 10 kN, en tussen x = 4 m en x = 5 m

bevindt zich een gelijkmatig verdeelde belasting van 15 kN/meter. Teken de dwarskracht- en

momentenlijn.



110

2.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN

Met de kennis van de voorgaande paragraaf kan men in elke doorsnede van de balk de

normaalkracht N, het buigend moment M en de dwarskracht V bepalen. Deze snedekrachten

zijn elk de resultante van een bepaalde spanningsverdeling in de dwarsdoorsnede. In deze

paragraaf wordt nagegaan welke spanningen en welke spanningsverdeling overeenkomen met

elk van deze snedekrachten N, M en V.

2.4.1. Spanningen t.g.v. normaalkracht N

De normaalkracht N, die aangrijpt op een dwarsdoorsnede van de balk, wordt door deze

dwarsdoorsnede opgenomen in de vorm van een normaalspanning xx, waarbij:

A

Nxx (2.24)

N is de normaalkracht, A is de oppervlakte van de dwarsdoorsnede en xx is de

normaalspanning. Overeenkomstig de definities van hoofdstuk 1, is xx een spanning die

werkt in de x-richting op een oppervlak met buitennormale + xe

. Deze normaalspanning is

constant over de volledige dwarsdoorsnede.

De normaalkracht N is dan de resultante van deze normaalspanningen:

AdAN xxxx (2.25)

De bijhorende rek van de dwarsdoorsnede is dan:

AE

N

E

xxxx

(2.26)

2.4.2. Spanningen t.g.v. buigend moment M

Om de spanningen in een balk, belast met een buigend moment M, te berekenen, worden eerst

een aantal aannames gedaan i.v.m. de vervorming van de balk. Figuur 2.18 toont een balk

voor en na vervorming t.g.v. een buigend moment M.


111

Figuur 2.18 Balk belast met buigend moment M [2].

Op de balk met vierkante dwarsdoorsnede zijn rasterlijnen aangebracht in de lengte- en

dwarsrichting. Wanneer een buigend moment M wordt aangebracht, vervormen deze lijnen

tot het patroon dat in Figuur 2.18(b) is afgebeeld. Daar is te zien dat de langslijnen gebogen

worden en de verticale lijnen recht blijven, maar wel een rotatie ondergaan.

Ten gevolge van het buigend moment wordt het materiaal in het onderste deel van de balk dus

getrokken, terwijl het materiaal in het bovenste gedeelte van de balk wordt gedrukt.

Natuurlijk moet er tussen deze twee gebieden een vlak zijn, het neutrale vlak genoemd,

waarin het materiaal geen lengteverandering ondergaat.

Op basis van deze waarnemingen worden drie veronderstellingen gemaakt:

de x-as ligt in het neutrale vlak van de balk en ondervindt geen lengte-verandering. Ten

gevolge van het buigend moment M neemt de x-as de vorm aan van een cirkelboog met

constante kromtestraal R,

alle dwarsdoorsneden van de balk blijven tijdens de vervorming (i) vlak, en (ii) loodrecht

op de x-as. Deze hypothese noemt men de hypothese van Bernoulli,

elke vervorming van de dwarsdoorsnede in haar eigen vlak wordt verwaarloosd.

Om nu de vervorming van de balk te berekenen, wordt een segment dx van de balk

geïsoleerd, zoals aangeduid in Figuur 2.19.


112

xy

R d

dx

z

z

z h1

h2

A

A’

B

B’

M (< 0)

Figuur 2.19 Vervorming van een balk onder invloed van een buigend moment M [1].

Beschouwt men nu de vezel AB van de onvervormde balk, parallel met de onvervormde x-as

en op een hoogte z t.o.v. deze x-as. In onvervormde toestand heeft de vezel een lengte dx.

Onder invloed van het buigend moment verkort de vezel AB tot de vezel A’B’, waarbij de

nieuwe lengte is:

R

dxzRdzR'B'A (2.27)

De rek van deze vezel is niets anders dan zijn relatieve lengteverandering, dus de uitdrukking

voor xx wordt:

R

z

dx

dxR

dxzR

AB

AB'B'Axx

(2.28)

Volgens de wet van Hooke volgt daar onmiddellijk uit:

R

zEE xxxx

(2.29)

Vermits de elasticiteitsmodulus E en de kromtestraal R constant zijn, vertonen de

normaalspanningen xx een lineair verloop over de hoogte, recht evenredig met de z-

coördinaat.


113

Anderzijds moet het buigend moment M precies de resultante zijn van de spanningsverdeling

xx over de dwarsdoorsnede:

yy

2

xx IR

EdAz

R

EdAz

R

zEdAzM

(2.30)

Voor de laatste overgang in vergelijking (2.30) werd gebruik gemaakt van de definitie van het

traagheidsmoment, zoals gedefinieerd in paragraaf 2.2.1.

Vergelijking (2.30) wordt vaak herschreven in volgende vorm:

yyIE

M

R

1

(2.31)

Deze vergelijking geeft het verband weer tussen kromming en buigend moment. Het product

van de elasticiteitsmodulus E en het traagheidsmoment Iyy noemt men de buigstijfheid EIyy.

Door eliminatie van de kromtestraal R uit de vergelijkingen (2.29) en (2.31) bekomt men een

rechtstreeks verband tussen het buigend moment M en de normaalspanning xx:

yy

xxI

zM (2.32)

Daarbij is 'z' de afstand (met teken) tot de hoofdtraagheidsas door het zwaartepunt. Dus

deze formule geldt ook weer alleen maar in het hoofdtraagheidsassenstelsel van de

doorsnede, en Iyy is het hoofdtraagheidsmoment om de y-as door het zwaartepunt.

Het spanningsverloop is schematisch voorgesteld in Figuur 2.20.

xy

z

xx

M M

y

z

xx

x

(a) (b)

dx

h2

-h2

-b2

b2

M h2 Iyy

+M h2 Iyy

+

M h2 Iyy

- M h2 Iyy

-

Figuur 2.20 Verdeling van de spanningen over de hoogte van de dwarsdoorsnede [3].


114

In het geval dat er enkel een buigend moment M aangrijpt, hebben de normaalspanningen xx

geen resulterende normaalkracht N, dus:

0SdAz0dAR

zEdAN yxx (2.33)

Uit de noodzakelijke voorwaarde dat de resulterende normaalkracht N moet nul zijn, volgt dat

het statisch moment Sy (zoals gedefinieerd in paragraaf 2.2.1) moet nul zijn. Dit is enkel het

geval als de oorsprong van het assenstelsel door het zwaartepunt van de doorsnede gaat.

Vandaar dat de betrekking (2.32) enkel geldig is als de oorsprong van het assenstelsel (x,y,z)

samenvalt met het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede van de balk.

Voorbeeld 2.3

Een balk heeft het volgende trapeziumvormig profiel in het y-z vlak:

80 mm

30 mm

110 mm

y

z

Als deze doorsnede belast wordt met een moment M = 22,5 kNm, bereken dan de plaats en de

waarde van de maximale normaalspanning.


2.4.3. Spanningen t.g.v. dwarskracht V

De dwarskracht werkt evenwijdig met de dwarsdoorsnede en zal dan ook door de

dwarsdoorsnede worden opgenomen in de vorm van schuifspanningen. Deze

schuifspanningen noteert men als xz, omdat zij werken in de z-richting op een vlak met

buitennormale xe

. Wegens de wederkerigheid der schuifspanningen werkt op een

horizontale doorsnede van de balk dan de schuifspanning zx, in de x-richting op een vlak met

buitennormale ze

.

Dat deze schuifspanningen inderdaad aanwezig zijn in de balk, kan men ook eenvoudig als

volgt inzien. Beschouwt men een balk die opgelegd is op twee steunpunten en in het midden

belast is met een puntlast P, zoals weergegeven in Figuur 2.21.


115

Figuur 2.21 Aantonen van het bestaan van schuifspanningen [2].

Onderstelt men nu dat de balk zou opgebouwd zijn uit drie planken. Als het boven- en

ondervlak van elk van de planken glad is en de planken niet verlijmd zijn, zal de puntlast P de

planken ten opzichte van elkaar doen verschuiven, zoals afgebeeld in Figuur 2.21(a). Zijn de

planken daarentegen wel verlijmd (Figuur 2.21(b)), dan treden schuifspanningen zx op die

voorkomen dat de planken onderling verschuiven en ervoor zorgen dat de balk zich als één

geheel gedraagt. Wegens de wederkerigheid van schuifspanningen bestaan er dan ook

schuifspanningen xz in elke verticale dwarsdoorsnede.

Om de verdeling van deze schuifspanningen te berekenen, wordt het horizontaal evenwicht

van een deel van de balk uitgedrukt. Beschouwt men een balk met rechthoekige doorsnede,

belast met een aantal krachten q(x) en F, zoals afgebeeld in Figuur 2.22.


116

xy

z q(x)F

zx

xx

M M+dM

x y

z

xx+dxx

xzxz

z = z0

y (z)2y (z)1

x

(a) (b)

dx

A’

Figuur 2.22 Bepaling van de schuifspanningen in een balk.

Uit deze balk wordt een infinitesimaal klein mootje geïsoleerd met breedte dx (zie Figuur

2.22(a)). Het verhaal indachtig van de balk met losse en verlijmde planken, werken er dus op

elk horizontaal vlak van dit mootje schuifspanningen zx, en t.g.v. de wederkerigheid van de

schuifspanningen, ook schuifspanningen xz op beide verticale eindvlakken van het mootje.

Verder weet men volgende zaken:

aangezien ondersteld werd dat er schuifspanningen zx en xz bestaan, en dus ook een

resulterende dwarskracht V, kan het buigend moment M niet constant zijn. Immers, uit

vergelijking (2.13) is gebleken dat V = dM/dx, zodat dM/dx verschillend van nul is.

Onderstel daarom op het linker-eindvlak van het mootje een buigend moment M en op het

rechter-eindvlak van het mootje een buigend moment M + dM. Wanneer de momenten M

en M + dM positief worden getekend, is ook de normaalspanningsverdeling over de hoogte

gekend,

op het bovenvlak van het mootje is de schuifspanning zx nul, vermits er geen uitwendige

schuifspanning werkt op de balk. Wegens de wederkerigheid der schuifspanningen moet

xz dus op beide verticale eindvlakken van de moot nul worden aan de bovenzijde. Op de

horizontale doorsnijding onderaan werkt de schuifspanning zx positief naar links, omdat

de buitennormale van de horizontale doorsnijding gericht is volgens - ze

. Verder wordt

ondersteld dat deze schuifspanning zx constant is over de breedte van de balk,

zoals te zien is op Figuur 2.22(b), is het grijs gekleurde deel van de moot begrepen tussen

de coördinaten z = z0 en z = +h/2. De breedte van de balk is in dit geval constant, maar in

geval van veranderlijke breedte van de balk kan deze meer algemeen geschreven worden


117

als y2(z) – y1(z). De oppervlakte van de dwarsdoorsnede, begrepen tussen z = z0 en het

bovenvlak van de moot, is A’.

Drukt men nu het horizontaal evenwicht uit van het grijs gekleurde deel van de balk, dan

vindt men:

)z(y)z(y

dAz

I

V)z(

)z(y)z(yI

dAz

dx

dM)z(

0dx)z(y)z(y)z(dAzI

dM

0dx)z(y)z(y)z(dAI

zdMMdA

I

zM

0dx)z(y)z(y)z(dAddA

0102

'A

yy

0zx

0102yy

'A

0zx

01020zx'A

yy

01020zx'A

yy'A

yy

01020zx'A

xxxx'A

xx

(2.34)

De integraal in de teller van het rechterlid stelt niets anders voor dan het statisch moment van

de dwarsdoorsnede A’, begrepen tussen z = z0 en het bovenvlak van de moot, om de y-as. Dit

statisch moment wordt genoteerd als Sy(z0) en kan voluit geschreven worden als volgt:

2

h

z

12'A

0y

0

dz)z(y)z(yzdAz)z(S (2.35)

Het is zeer belangrijk op te merken dat het statisch moment Sy(z0) het statisch moment

voorstelt van de oppervlakte A’, en niet van de volledige dwarsdoorsnede A, terwijl Iyy het

traagheidsmoment voorstelt van de volledige dwarsdoorsnede A om de y-as.

Door z0 te vervangen door z en de wederkerigheid der schuifspanningen toe te passen, kan de

verdeling van de schuifspanning xz over de hoogte van de dwarsdoorsnede berekend worden:

)z(y)z(y

)z(S

I

V)z(

12

y

yy

xz

(2.36)

Deze formule noemt men de formule van Jourawski en zij berekent de verdeling van de

schuifspanning xz over de hoogte van de balk.

De formule van Jourawski dient met de nodige voorzichtigheid gebruikt, want zij is slechts

geldig voor massieve doorsneden, waarbij de breedte voldoende klein is t.o.v. de hoogte.

Voor platte profielen met een veel grotere breedte dan hoogte en voor dunwandige I-


118

profielen, T-profielen, U-profielen, ... is de formule niet geldig. De voornaamste oorzaak is de

hierboven gemaakte onderstelling dat de schuifspanning zx in een horizontale doorsnijding

constant is over de breedte van de balk. Bij zeer brede doorsnedes is dit niet langer het geval.

Een uitgebreide bespreking van de berekening van schuifspanningen in deze profielen valt

echter buiten het bestek van deze cursus.

Het is belangrijk te onthouden dat een dwarskracht V aanleiding geeft tot schuifspanningen

xz over de hoogte van de balk, en dat deze in geval van massieve doorsneden met kleine

breedte/hoogte-verhouding kunnen berekend worden met de formule van Jourawski.

Voorbeeld 2.4

Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het rechthoekig profiel:

x y

z

h

b


119

2.5. VERPLAATSINGEN

Uiteraard veroorzaken de snedekrachten N, M en V niet alleen spanningen in de balk, maar

ook vervormingen en dus verplaatsingen. In deze paragraaf wordt dieper ingegaan op de aard

van de verplaatsingen die een balk kan ondergaan.

2.5.1. Verplaatsingen t.g.v. de normaalkracht N

De normaalkracht N veroorzaakt een rek xx van de dwarsdoorsnede. Geïntegreerd over de

volledige lengte van de balk vindt men dan de totale verlenging L:

dxEA

NdxL

L

0

L

0

xx (2.37)

2.5.2. Verplaatsingen t.g.v. het buigend moment M

In vergelijking (2.31) werd reeds een verband afgeleid tussen de kromming 1/R en het

buigend moment M. Om nu de verplaatsingen van een verbogen balk te berekenen, wordt een

bijkomend verband gezocht tussen de kromming 1/R en de verticale verplaatsing u(x) van de

balk. Uit beide vergelijkingen kan dan een verband worden afgeleid tussen de verticale

verplaatsing u(x) en het buigend moment M.

De tekenconventie voor de hellingshoek van de vervormde balk hangt opnieuw samen met

de rechterhandregel voor het gekozen assenstelsel. De tekenconventie wordt weergegeven in

Figuur 2.23 voor het voorbeeld van een balk belast met een puntlast in het midden van zijn

overspanning.

xy

z

F

0

0

0

Figuur 2.23 Tekenconventie voor de helling van een doorgebogen balk.

In Figuur 2.24 wordt de verplaatsingslijn van een doorgebogen balk getekend, waarbij u(x) de

verticale verplaatsing voorstelt van elke positie x van de balk. De x-as valt samen met de

onvervormde aslijn van de balk. Beschouwt men nu het gekromde segment A’B’. Het

verband tussen de booglengte ds, de kromtestraal R en de openingshoek van het segment

A’B’ is als volgt:

dRds (2.38)


120

xy

+ dR

u u + du

d

x

x + dx

ds

z

A’

B’

Figuur 2.24 Verband tussen kromming en doorbuiging [4].

Verder zijn de verticale verplaatsingen en hellingen van balken in de praktijk altijd heel klein,

zodat volgende benaderingen gelden:

tandx

du

dscosdsdx

(2.39)

De kromming 1/R kan dan als volgt worden geschreven:

2

2

dx

ud

dx

du

dx

d

ds

d

R

1

(2.40)

Dit verband kan ook rechtstreeks afgeleid worden als volgt: uit de cursus Analyse weet men

dat het verband tussen kromming 1/R en verticale verplaatsing u(x) de volgende is:

2

32

2

2

dx

du1

dx

ud

R

1

(2.41)

Gezien de geringe verticale verplaatsingen van de balken in de praktijk, is de helling du/dx

meestal kleiner dan 0,01 zodat de noemer van de breuk nagenoeg één wordt.


121

Gebruik makend van de vergelijkingen (2.31) en (2.40), komt men dan eenvoudig tot de

betrekking tussen buigend moment M en verticale verplaatsing u(x):

yy

2

2

IE

M

dx

ud

(2.42)

Opgelet: M is in bovenstaande formule geen constante, maar het verloop van het

buigend moment M(x) langs de lengte van de balk ! De doorbuiging in een punt x0 mag

dus ook niet geëvalueerd worden door het invullen van het buigend moment M(x=x0) in

vergelijking (2.42). Eerst moet M(x) ingevuld worden in vergelijking (2.42), deze

vergelijking wordt dan tweemaal geïntegreerd (met integratieconstanten !) en pas op het

einde wordt deze functie u(x) ge geëvalueerd in het punt x=x0.

De helling van de balk was gedefinieerd door de hoek , waarbij = – du/dx. Gebruik

makend van de vergelijkingen (2.13), komt men tenslotte tot de volgende formules:

4

4

yy3

3

yy2

2

dx

udEI

dx

dEI

dx

Md

dx

dVq

(2.43)

Nu kan men terug de vier basisgevallen beschouwen van een ingeklemde en opgelegde balk

met een puntlast F of een verdeelde belasting q(x), en voor deze vier gevallen de verticale

verplaatsingen u(x) berekenen.

2.5.2.a. Ingeklemde balk met puntlast

Het buigend moment M(x) voor een balk, ingeklemd aan het linkereinde en belast met een

puntlast F aan het rechtereinde, was:

xLFM (2.44)

M.b.v. vergelijking (2.43) volgt hieruit:

21

32

yy

1

2

yy

CxC6

x

2

xLF)x(uIE

C2

xxLF)x(IE

(2.45)

De randvoorwaarden voor de ingeklemde balk zijn:

0C0)0x(uIE

0C0)0x(IE

2yy

1yy

(2.46)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de ingeklemde balk:


122

6

x

2

xL

IE

F)x(u

32

yy

(2.47)

2.5.2.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting

Het buigend moment M(x) voor een balk, ingeklemd aan het linkereinde en belast met een

verdeelde belasting q(x), was:

2

xLqM

2

(2.48)


21

4

yy

1

3

yy

CxC24

xLq)x(uIE

C6

xLq)x(IE

(2.49)

De randvoorwaarden voor de ingeklemde balk zijn:

24

LqC0)0x(uIE

6

LqC0)0x(IE

4

2yy

3

1yy

(2.50)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de ingeklemde balk:

24

Lx

6

L

24

xL

IE

q)x(u

434

yy

(2.51)

2.5.2.c. Balk op twee steunpunten met puntlast

Het buigend moment M(x) voor een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een

puntlast F in x = a, was:

axals

L

xLaFM

axalsL

aLxFM

(2.52)

Vermits de momentenlijn M(x) een knik vertoont ter hoogte van de puntlast F, moet men de

integratie opsplitsen voor x < a en voor x > a.


123

x < a

M.b.v. vergelijking (2.43) wordt de momentenlijn M(x) voor x < a geïntegreerd:

21

3

yy

1

2

yy

CxC6

x

L

aLF)x(uIE

C2

x

L

aLF)x(IE

(2.53)

x > a

M.b.v. vergelijking (2.43) wordt de momentenlijn M(x) voor x > a geïntegreerd:

43

3

yy

3

2

yy

CxCL6

xLaF)x(uIE

CL2

xLaF)x(IE

(2.54)

Om de vier integratieconstanten C1, C2, C3 en C4 te bepalen, beschikt men over twee

randvoorwaarden en twee aansluitingsvoorwaarden:

de verplaatsing u(x) moet nul zijn op de twee steunpunten, dus voor x = 0 en voor x = L,

hoewel de momentenlijn een knik vertoont ter hoogte van de puntlast, zal de balk

vervormen als een continu lichaam en dus kan er maar één waarde zijn voor de helling

en de verticale verplaatsing u in het punt x = a.

De vier voorwaarden voor de balk zijn dan:

6

)aL()aL(aFC

L6

)aL()aL(aFC

0C

L6

)aL2()aL(aFC

)ax(uIE)ax(uIE

)ax(IE)ax(IE

0)Lx(uIE

0)0x(uIE

4

3

2

1

yyyy

yyyy

yy

yy

(2.55)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de opgelegde balk:

axals

6

)aL()aL(ax

L6

)aL()aL(a

L6

xLa

IE

F)x(u

axalsxL6

)aL2()aL(a

6

x

L

aL

IE

F)x(u

3

yy

3

yy

(2.56)


124

2.5.2.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting

Het buigend moment M(x) voor een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een

verdeelde belasting q(x), was:

2

xLxqM

(2.57)


21

34

yy

1

23

yy

CxC12

xLq

24

xq)x(uIE

C4

xLq

6

xq)x(IE

(2.58)

De randvoorwaarden voor de opgelegde balk zijn:

24

LqC0)Lx(uIE

0C0)0x(uIE

3

1yy

2yy

(2.59)

Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de opgelegde balk:

x

24

Lx

12

Lx

24

1

IE

q)x(u

334

yy

(2.60)

2.5.3. Verplaatsingen t.g.v. de dwarskracht V

Als de dwarskracht V aanzienlijk is, kunnen ook de schuifspanningen xz over de hoogte van

de dwarsdoorsnede een bijkomende verticale verplaatsing veroorzaken. De berekening van

deze verplaatsingen valt echter buiten het bestek van deze cursus.

Anderzijds is het zo dat in vele gevallen de doorbuiging t.g.v. de dwarskracht V

verwaarloosbaar is t.o.v. de verplaatsing t.g.v. het buigend moment M.

Voorbeeld 2.5

Een balk is onderaan ingeklemd en op de twee dwarsbalken grijpt links een kracht 2F aan, en

rechts een kracht F. De richting en zin van de krachten is zoals getekend op de figuur. De

dwarsdoorsnede van de balk is een regelmatige zeshoek en is in elke sectie van de verticale en

horizontale balken constant:


125

F

2F

C

L

2a

x

yz

y100 mm

z of x

Als volgende waarden gegeven zijn:

F = 1 kN

L = 1 m

a = 30 cm

E = 200 GPa

bereken dan de totale verticale en horizontale verplaatsing van het punt C.



126

2.6. SINGULARITEITSFUNCTIES

In paragraaf 2.5.2.c werd de doorbuigingslijn berekend voor een balk op twee steunpunten

met een puntlast F in x = a. Daaruit bleek dat de integratie al snel bewerkelijk wordt als de

momentenlijn geen continue functie is, met invoering van randvoorwaarden en

aansluitingsvoorwaarden tot gevolg.

In deze paragraaf wordt de methode van de singulariteitsfuncties besproken, die de

doorbuigingslijn van een meervoudig belaste balk afleidt uit één enkele vergelijking. Deze

methode leent zich uitstekend tot implementatie in numerieke codes. De basisidee is om

zowel verdeelde belastingen q(x) als puntkrachten F en buigende momenten M te schrijven

als een soort continue belastingen, zodat alle belastingen tesamen kunnen geïntegreerd

worden.

Voor de verdeelde belastingen q(x) is deze transformatie zeer eenvoudig. Deze functies

kunnen worden geschreven in de algemene vorm:

n ℕ: axalsax

axals0ax n

n

(2.61)

Zoals weergegeven in Figuur 2.25, vertegenwoordigt x de coördinaatpositie van een punt

langs de balk en is a de plaats op de balk waar de discontinuïteit optreedt, namelijk het punt

waar een verdeelde belasting begint.

Figuur 2.25 Verdeelde belastingen met verschillende exponent n 0.

Dit type beschrijving kan natuurlijk worden uitgebreid naar verdeelde belastingen met een

andere vorm (trapezium, parabool,...) door superpositie van deze basisvormen.

De rekenregels zijn uiteraard zeer eenvoudig:

n ℕ:

C1n

axdxax

axnaxdx

d

1n

n

1nn

(2.62)

Voor de beschrijving van geconcentreerde krachten of koppels die op de balk werken,

gebruikt men de singulariteitsfuncties.

Zo kan men een geconcentreerde puntlast F in het punt x = a beschouwen als een verdeelde

belasting q die alleen in het interval 2/a,2/ax verschilt van nul. De dichtheid van

de belasting is dan q = F/ en de breedte , waarbij 0 . Dit wordt geïllustreerd door Figuur

2.26.


127

Figuur 2.26 Voorstelling van een geconcentreerde puntlast F als een verdeelde belasting [2].

De wiskundige uitdrukking wordt dan:

axvoorF

axvoor0axFq

1

(2.63)

Op analoge manier kan men een uitwendig koppel K definiëren als de limiet van twee

verdeelde belastingen, op een afstand van elkaar, zoals weergegeven in Figuur 2.27.

Figuur 2.27 Voorstelling van een positief moment K als een verdeelde belasting [2].

De wiskundige uitdrukking hiervan is:

axvoorK

axvoor0axKq

2

(2.64)

De rekenregels voor afleiding en integratie van deze singulariteitsfuncties zijn verschillend.

Men kan aantonen dat geldt:


128

n ℕ: 1nn

1nn

axdxax

axaxdx

d

(2.65)

Met behulp van voorgaande functies kan men de belasting op een meervoudig belaste balk

schrijven in één verdeelde belasting q(x).

Figuur 2.28 toont het voorbeeld van een balk op twee steunpunten, belast met een puntkracht

F, een uitwendig koppel K en een verdeelde belasting q0.

Figuur 2.28 Balk met meervoudige belasting [2].

Men kan de totale belasting onmiddellijk schrijven als volgt (met inachtneming van de

tekenconventies voor positieve krachten en momenten):

0

0

211

A cxqbxKaxF0xRq

(2.66)

Tweemaal integreren volgens de formule (2.43) levert de momentenlijn M(x):

20011

A2

2

cx2

qbxKaxF0xR)x(M

dx

Mdq

(2.67)

Men kan dan nog tweemaal integreren om de doorbuigingslijn te bepalen.

Bij de eerste twee integraties van q(x) naar V(x) en van V(x) naar M(x) worden geen

integratieconstanten ingevoerd. Dat komt omdat de reactiekrachten en

reactiemomenten in deze cursus reeds als uitwendige belastingen worden meegenomen

in de uitdrukking voor q(x). De reactiekrachten zijn immers een soort

integratieconstanten voor V(x), en de reactiemomenten een soort integratieconstanten

voor M(x).

Bij de laatste twee integraties van M(x) naar (x) en van (x) naar u(x) dient men wel

rekening te houden met de randvoorwaarden voor hellingen en verplaatsingen, en daar

worden dus wel integratieconstanten ingevoerd bij het integreren.


129

Voorbeeld 2.6

Bepaal de helling en de doorbuiging van de as bij elk van de poelies C, D en E. De as is

gemaakt van staal en heeft een diameter van 30 mm. De lagers bij A en B oefenen slechts

verticale reacties op de as uit. Est = 200 GPa.


130

2.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL

Een belangrijke opmerking betreft de keuze van het assenstelsel. In deze cursus werd de

lengte-richting van de balk volgens de x-as geplaatst en werd de z-as volgens de hoogte van

de balk gelegd.

Helaas is dit niet het enige assenstelsel dat gangbaar is voor de beschrijving van de

balkentheorie. Men kan een ander rechtshandig assenstelsel kiezen met de y-as naar boven en

de z-as naar links. Deze keuze heeft zeer belangrijke implicaties voor de positieve richting en

zin van de momenten en de betrekkingen tussen q, V en M. Dit is samengevat in onderstaande

Figuur 2.29.

Keuze in deze cursus Alternatieve keuze

O

z

xx y

z

O

y

zxx

y

xy

z

V (=F )z

M (=M )y

N (=F )x

V

NM

q (x)zQz

x

y

z

V (=F )y

M (=M )z

N (=F )x

V

NM

q (x)yQy

V + dV

M + dM

V

M

q(x)

xy

z

dx

V + dV

M + dM

V

M

q(x)

x

y

z

dx

2

2

dx

Mdq

dx

dMV

dx

dVq

2

2

dx

Mdq

dx

dMV

dx

dVq

Positief koppel K: 2

axKq

Positief koppel K: 2

axKq

Figuur 2.29 Vergelijking tussen twee verschillende rechtshandige assenstelsels voor de balkentheorie.


131

Ook internationaal is er geen algemeen aanvaarde conventie voor de keuze van het structureel

assenstelsel. In de bouwkunde wordt het assenstelsel met de y-as als verticale as nog vaak

gebruikt. In de werktuigkunde en de mechanica van starre lichamen kiest men daarentegen de

z-as steeds als de verticale as. Ook in numerieke rekenpakketten stelt de z-as doorgaans de

verticale richting voor.

Sommige auteurs gaan zelfs verder en koppelen de tekenconventie voor buigende momenten

los van de keuze van het structureel assenstelsel. Zij definiëren een positief buigend moment

als een moment dat positieve (trek)spanningen veroorzaakt in dat deel van de balk dat een

positieve verticale coördinaat heeft.

Ook al zal men elders andere conventies terugvinden, het is steeds zo dat het fysisch gedrag

van een constructie onafhankelijk is van de keuze van het structureel assenstelsel. Als men

een balk op twee steunpunten in het midden belast met een neerwaarts gerichte puntkracht,

dan zal de doorbuiging u(x) steeds naar beneden zijn, ongeacht of men nu de z-as, dan wel de

y-as als verticale as kiest. Zelfs de positieve zin van de verticale as mag het resultaat niet

beïnvloeden. Dit lijkt triviaal, maar toch wordt vaak gezondigd tegen deze evidentie.


132

2.8. REFERENTIES



[2] Hibbeler, R.C. (1997). Mechanics of materials. New Jersey, Prentice Hall

International, Inc., 855 pp.

[3] Case, J., Chilver, L. and Ross, C.T.F. (1999). Strength of materials and structures.

London, Arnold Publishers, 706 pp.

[4] Baxter Brown, J. McD. (1973). Introductory solid mechanics. London, John Wiley &

Sons Ltd, 434 pp.

133

Hoofdstuk 3

Oplossingsmethodes

3.1. INLEIDING

Zoals besproken in paragraaf 1.6, telt de algemene lineair elastische belastingstoestand van

een lichaam 15 onbekenden in elk punt van dat lichaam:

3 verplaatsingen wvu

6 spanningscomponenten yzxzxyzzyyxx

6 rekcomponenten yzxzxyzzyyxx

Anderzijds beschikt men over 15 vergelijkingen:

3 partiële differentiaalvergelijkingen voor het evenwicht:

0Fzyx

0Fzyx

0Fzyx

zzzyzxz

y

zyyyxy

xzxyxxx

(3.1)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:

Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes

134

z

v

y

w

z

u

x

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(3.2)

6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en spanning (wet van Hooke):

G

G

G

E

1E

1E

1

yz

yz

xzxz

xy

xy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

(3.3)

Voor het oplossen van lineair elastische problemen kan men in feite drie wegen bewandelen:

analytische oplossingen, die een gesloten uitdrukking verschaffen voor het probleem en

nog van heel veel nut zijn voor de praktijk,

experimentele methodes, die het lineair elastisch probleem trachten op te lossen m.b.v.

experimenten,

numerieke methodes, die voor complexe belastingstoestanden en geometrieën van het

lichaam een zeer belangrijk instrument vormen.


135

3.2. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN

In hoofdstuk 1 werd het lineair elastisch probleem analytisch opgelost voor een aantal

vereenvoudigde belastingsgevallen (bv. vlakspanning, vlakvervorming).

Dankzij de belangstelling van een groot aantal bekwame wiskundigen en natuurkundigen,

bestaan er heel wat analytische oplossingen voor lineair elastische problemen. Uiteraard zijn

dit problemen waarvan de geometrie en de randvoorwaarden wiskundig handelbaar zijn:

oneindig of half oneindig uitgestrekte gebieden, of gebieden begrensd door rechten,

cirkelbogen of kegelsneden, belast met één kracht, gelijkmatig verdeelde krachten, enz.

Alhoewel het heel moeilijk zou zijn om met deze methodes de spanningen in het onderstel

van een treinwagon of in een turbineschoep exact te berekenen, zijn deze analytische

oplossingen daarom niet waardeloos. Zij bieden ten opzichte van experimentele en numerieke

methodes het voordeel de oplossing in de gedaante van een analytische uitdrukking te

verschaffen, geldig voor alle waarden van de parameters die erin voorkomen. Zij worden

trouwens nog veelvuldig gebruikt als standaard om de nauwkeurigheid van numerieke

methodes te testen.

Tot slot bestaan er heel wat praktische problemen die qua geometrie en randvoorwaarden

weinig afwijken van deze analytische oplossingen, zodat zij als goede benadering voor het

praktische geval kunnen doorgaan.


136

3.3. EXPERIMENTELE METHODES

In paragraaf 5.2 over instrumentatie van de beproevingsmethodes en paragraaf 5.3 over

schadedetectie en –diagnose worden een aantal experimentele methodes besproken die de

vervorming van een constructie kunnen opvolgen: (i) rekstrookjes, (ii) moiré-technieken en

(iii) optische vezelsensoren. Deze technieken meten de vervormingen van de constructie, en

de spanningen worden via de wet van Hooke uit de rekken berekend.

Een experimentele methode die rechtstreekse informatie geeft over de spanningen, is de foto-

elastische methode. Deze methode heeft een grote bloei gekend in het begin van de twintigste

eeuw, maar wordt nu nog maar zelden gebruikt. Ze is in de eerste plaats geschikt voor

onderzoek van vlakspanningstoestanden, omdat de methode steunt op de vaststelling dat

bepaalde doorschijnende materialen onder invloed van spanningen optisch dubbel brekend

worden. De hoofdrichtingen van deze dubbele breking vallen samen met de hoofdrichtingen

van de spanningstensor en de faseverschuiving is evenredig met het verschil I – II tussen de

hoofdspanningen.

De belangrijkste foto-elastische materialen zijn kunstharsen (Columbia hars, epoxyharsen),

polyurethaan en polymethylmetacrylaat (plexiglas). Zij worden gegoten en bewerkt in

dezelfde vorm als de werkelijke constructie. Nadien worden gelijkaardige belastingen

aangebracht en wordt het onder spanning staande foto-elastische materiaal belicht met

gepolariseerd licht. Door het effect van dubbele breking krijgt men twee types krommen:

(i) isoclinen, en (ii) isochromaten. De isoclinen zijn de meetkundige plaats der punten

waarvoor de hoofdrichtingen een constante helling hebben t.o.v. een referentierichting. De

isochromaten zijn de meetkundige plaats der punten waarvoor het verschil tussen de twee

hoofdspanningen een constante waarde bedraagt.

Door een gepaste keuze van de polarisatie van het licht en de experimentele opstelling, kan

men de isoclinen en isochromaten afzonderlijk bestuderen.

Figuur 3.1 toont de isochromaten in een balk op twee steunpunten. De witte franje op halve

hoogte is de neutrale lijn waar I – II = 0. Daarboven en daaronder neemt het verschil toe,

min of meer in overeenkomst met de resultaten van de balkentheorie. Men bemerkt echter

sterke concentraties van franjes nabij de aangrijpingspunten van de kracht en van de reacties.

Dit wijst op spanningsconcentraties die niet in de balkentheorie worden meegerekend.

Figuur 3.1 Isochromaten voor een balk op twee steunpunten [1].


137

Figuur 3.2 toont de isochromaten in een dunne vlakke plaat met een ronde opening, belast met

een gelijkmatig verdeelde trekspanning op voldoende afstand van de ronde opening. Opnieuw

wordt bevestigd dat er spanningsconcentraties optreden rond de opening in de plaat.

Figuur 3.2 Isochromaten in een dunne plaat met een ronde opening [1].

Meer in het algemeen, zoals besproken in paragraaf 1.11, treden spanningsconcentraties altijd

op aan doorsnedeveranderingen en plotse veranderingen van geometrie. Dit wordt bevestigd

door Figuur 3.3 die de isochromaten toont aan een sectieverandering, die belast wordt met

twee tegengestelde koppels.

Figuur 3.3 Spanningsconcentratie bij een doorsnedeverandering [1].


138

Figuur 3.4 geeft een laatste voorbeeld van een balk met twee uitsparingen, die met twee

tegengestelde koppels wordt belast (boven). Een detail van de isochromaten rond de

uitsparingen (onder) toont duidelijk dat het lineair spanningsverloop uit de balkentheorie sterk

wordt verstoord door de aanwezigheid van de uitsparingen.

Figuur 3.4 Isochromaten in een balk met twee uitsparingen [1].


139

3.4. NUMERIEKE METHODES – EINDIGE ELEMENTEN

In de tweede helft van de twintigste eeuw heeft de computer een reeks mogelijkheden

gecreëerd, die in de toepassing van de elasticiteitsleer, zoals in vele andere wetenschappen en

technieken, een ware revolutie hebben toegelaten. De meest gebruikte numerieke techniek is

tegenwoordig deze van de eindige elementen. Men kan de eindige elementenmethode

eenvoudig definiëren als een numerieke techniek die de complexe geometrie van de te

berekenen constructie opdeelt in een groot aantal eenvoudige bouwstenen (bv. driehoeken,

rechthoeken, kubussen,...), eindige elementen genaamd (Eng: finite elements). Figuur 3.5

toont bijvoorbeeld het eindige elementenmodel van een stalen as. Het volume van de as is

opgedeeld in honderden kleine elementen.

Figuur 3.5 Eindige elementenmodel van een stalen as.

De hoekpunten van elk van deze eindige elementen noemt men knopen (Eng: nodes). Aan

elke knoop kent men een aantal vrijheidsgraden toe, bv. de onbekende verplaatsingen (u,v,w)

in x-, y- en z-richting. De belasting wordt eveneens aangebracht in de knopen. De hele

constructie wordt in feite gediscretiseerd in een netwerk van knopen, zoals afgebeeld in

Figuur 3.6.


140

Figuur 3.6 Knopennet van de stalen as.

Door het uitdrukken van het evenwicht van de constructie en het opleggen van een groot

aantal aansluitingsvoorwaarden tussen alle knopen, wordt het lineair elastisch probleem

herleid tot het oplossen van een zeer groot stelsel lineair algebraïsche vergelijkingen.

Met de elementenmethode kan er voor bijna elk probleem van de elasticiteitsleer een

voldoend nauwkeurige oplossing gevonden worden. De programma’s voor de eindige

elementenmethode zijn echter uitgebreid, vergen veel geheugen en soms een lange rekentijd.

Hun toepassing was daarom lange tijd beperkt tot het ontwerp van belangrijke, dure en

technologisch geavanceerde producten (bv. kernreactoren, vliegtuigen, raketten). De

algemene doorbraak van zeer performante werkstations en zelfs PC’s heeft de laatste jaren

geleid tot een ruime verspreiding van de eindige elementenmethode. In alle grote

ontwerpbureaus is de elementenmethode nu een bijna alledaagse rekentechniek geworden.

Zoals elke numerieke methode geeft de eindige elementenmethode het resultaat in numerieke

vorm: men geeft de maten en geometrie op, de materiaaleigenschappen en de

randvoorwaarden, en krijgt getalwaarden voor spanningen, verplaatsingen,... terug.

Bovendien is de toepassing van de eindige elementenmethode niet beperkt tot lineair

elastische problemen. Ze wordt evenzeer aangewend voor niet-lineaire elasticiteit, plasticiteit,

warmtegeleiding, stromingsleer, trillingen en golven, elektromagnetisme,...

Niettegenstaande de grote kracht van deze eindige elementenpakketten, is een degelijke

kennis van elasticiteit en sterkteleer voor de ingenieur nog steeds een noodzaak. De nadruk

wordt echter verlegd: de ingenieur moet een goed inzicht hebben in de kenmerken van de

oplossing die hij verwacht en in de benaderingen en veronderstellingen die zij bevat. Zoniet

kan hij de programma’s niet efficiënt gebruiken en de resultaten niet rationeel beoordelen.

De eigenlijke behandeling van de eindige elementenmethode valt buiten het bestek van deze

cursus. In deze paragraaf wordt de globale structuur van een eindige elementenpakket


141

uiteengezet en worden een aantal berekeningsvoorbeelden uit de praktijk besproken, zodat

men enige voeling krijgt met de sterktes (en zwaktes) van de eindige elementenmethode.

3.4.1. Structuur van het eindige elementenprogramma

Zoals reeds hoger vermeld, is de eindige elementenmethode toepasbaar op een zeer groot

aantal problemen, van lineaire elasticiteit over plasticiteit tot elektromagnetisme. Er zijn in de

loop der jaren dan ook heel wat commerciële eindige elementenpakketten ontwikkeld, elk met

hun eigen sterktes en zwaktes. Voor berekeningen in de klassieke mechanica worden

ABAQUS, Ansys, Nastran, Dyna en SAMCEF heel veel gebruikt.

Ondanks deze verscheidenheid kan men toch in alle commercieel en academisch ontwikkelde

eindige elementenpakketten drie grote delen onderscheiden:

pre-processing: invoer van het eindige elementenmodel

analyse: berekening van de spanningen en rekken in het model

post-processing: verwerking en visualisering van de resultaten

Elk van deze delen wordt nu meer in detail besproken. Het eindige elementenmodel van een

stalen drijfstang wordt gebruikt als leidraad voor de drie delen.

3.4.1.a. Pre-processing

De belangrijkste taak van de pre-processor is het “vertalen” van de reële constructie (inclusief

haar belasting, randvoorwaarden en materiaalkarakteristieken) naar een eindige elementen-

model. Deze “vertaling” gebeurt meestal in twee stappen:

opstellen van het geometrisch model,

opstellen van het daarmee overeenstemmend eindige elementenmodel.

Voor het opstellen van het geometrisch model beschikt de pre-processor over een aantal

typische tekenfuncties: het tekenen van punten, lijnen, oppervlakken, cirkelbogen,... Sommige

eindige elementenpakketten bieden ook de mogelijkheid om geometrische modellen te

importeren uit klassieke tekenpakketten zoals AutoCAD en SolidWorks.

Figuur 3.7 toont het geometrisch model voor een stalen drijfstang van een

vermoeiingsmachine [2]. In de grootste holte (links boven) komt een grote as, die heen en

weer beweegt en d.m.v. de drijfstang dezelfde verplaatsing oplegt aan een tweede, kleinere as.

Omdat de drijfstang in vermoeiing belast wordt, moet de maximale spanning in de drijfstang

voldoende ver beneden de vloeigrens blijven. Het is dan ook de bedoeling de

spanningstoestand in de volledige drijfstang te berekenen voor de meest nadelige belasting

door de twee doorgaande assen in de openingen.


142

Figuur 4-37 3D- beeld van de drijfstang

Figuur 3.7 Geometrisch model van een stalen drijfstang.

Voor het voorbeeld van Figuur 3.7 kan men het geometrisch model eerst nog vereenvoudigen,

aangezien er twee onderling loodrechte symmetrievlakken zijn. Het volstaat dus slechts een

kwart van het geometrisch model om te zetten naar eindige elementen (nadien zal men de

correcte randvoorwaarden aanbrengen op de symmetrievlakken).

In een tweede stap wordt dit geometrisch model omgezet naar het eindige elementenmodel.

Dit proces noemt men “meshing” en gebeurt door de “mesher”. Doorgaans begint de mesher

met een verdeling te maken van de rand(en) van het geometrisch model. Dat gebeurt door

hetzij het aantal verdelingen, hetzij de (gemiddelde) afmeting van de elementen op te geven.

Op basis van de door de gebruiker opgegeven randverdelingen kan de mesher dan een

elementennet opbouwen m.b.v. eenvoudige bouwstenen (kubussen, tetraëders). Het volledige

volume van het model wordt gediscretiseerd in honderden of duizenden van deze eindige

elementen. Het resultaat na meshing is weergegeven in Figuur 3.8.


143

Figuur 3.8 Eindige elementennet voor de stalen drijfstang.

Tot dusver werd geen enkele veronderstelling gemaakt over de materiaalkarakteristieken,

belastingen en randvoorwaarden. De opgave van deze gegevens vormt dan ook de laatste stap

naar het voltooide eindige elementenmodel.

In dit voorbeeld is het materiaal staal en gedraagt het materiaal zich lineair elastisch. De

benodigde gegevens voor het eindige elementenmodel zijn dan de elasticiteitsmodulus E en

de Poisson-coëfficiënt van het staal.

De meest nadelige belasting voor de drijfstang is deze, waarbij de doorgaande assen in de

twee openingen een tegengestelde trekkracht uitoefenen op de drijfstang. Deze belasting

wordt gemodelleerd door een radiale druk op de binnenste cilinderwand van beide

asopeningen (zie Figuur 3.9).

Figuur 4-29 opgelegde belasting voor de drijfstang

60°

Z

Y

60° 12.5 KN 12.5 KN

p1 p2

Figuur 3.9 Schematische voorstelling van de belasting op de drijfstang.


144

Figuur 3.10 toont de belastingsoppervlakken zoals ze in het eindige elementenpakket werden

aangebracht. Hoewel de belasting hier wordt aangebracht op de oppervlakte van de eindige

elementen, zal de pre-processor deze verdeelde belastingen toch omrekenen naar discrete

belastingen in de knopen. Het is echter nogal omslachtig om de gebruiker zelf deze

discretisatie te laten uitvoeren, vandaar dat de gebruiker de belasting ook als een verdeelde

belasting mag ingeven.

Figuur 4-30 opgelegde belasting op de drijfstang in Samcef

Figuur 3.10 Aanbrengen van de belastingen op de twee binnenste cilinderwanden van de drijfstang.

Tenslotte moeten de randvoorwaarden gedefinieerd worden. Wegens de onderstelling van

dubbele symmetrie moet men dus bijkomende randvoorwaarden opleggen aan de

symmetrievlakken, zodat de verplaatsingen daar voldoen aan de aansluitingsvoorwaarden.

3.4.1.b. Analyse

Het tweede deel van het eindige elementenprogramma omvat het eigenlijke rekenwerk. In dit

gedeelte worden voor alle knopen de onbekende verplaatsingen en de (eventuele)

knooppuntskrachten uitgeschreven. Nadien worden de evenwichtsvergelijkingen voor de hele

constructie en de aansluitingsvoorwaarden voor alle knopen opgesteld. Men kan aantonen dat

men uiteindelijk een reusachtig stelsel bekomt van lineaire algebraïsche vergelijkingen,

waaruit men de onbekende verplaatsingen in elke knoop kan oplossen.

Naast analyse-modules voor lineaire elasticiteit bestaan er ook tal van andere analyse-modules

voor plasticiteit, thermische berekeningen, elektromagnetisme, stromingsleer,... Niet alleen

moeten dus tientallen verschillende materiaalmodellen geïmplementeerd worden in de


145

analyse-modules, maar ook zuiver numeriek stellen zich heel wat problemen. Sommige

stelsels bevatten miljoenen vergelijkingen, convergeren traag en moeilijk naar een oplossing

of moeten iteratief opgelost worden. Er zijn dan ook heel wat gespecialiseerde algoritmes

ontwikkeld voor de oplossing van deze stelsels vergelijkingen.

Eens men in elke knoop de verplaatsingen kent, kan men door afleiding de rekken berekenen.

M.b.v. de wet van Hooke kan men tenslotte de spanningen berekenen. Deze oplossing is

natuurlijk, net als het knopennet zelf, discreet en is enkel bekend voor de knopen zelf. Door

middel van een gepaste interpolatie kan men dan de verplaatsingen, rekken en spanningen

berekenen in alle tussenliggende punten.

De voorstelling van deze resultaten gebeurt in de derde stap, de post-processing.

3.4.1.c. Post-processing

De post-processor helpt de gebruiker bij de visualisatie en interpretatie van de bekomen

resultaten. De grootheden die men kan visualiseren, zijn van verschillende aard:

scalairen: temperatuur, energiedichtheid, von Mises spanning

vectoren: verplaatsing

tensoren: spanningen en vervormingen

Door hun geavanceerde grafische mogelijkheden bieden de hedendaagse post-processors heel

wat voordelen t.o.v. hun voorgangers die zich vaak beperkten tot het afdrukken van ellenlange

lijsten met resultaten.

Figuur 3.11 toont een plot van de berekende von Mises spanning in de stalen drijfstang. De

kleuren in de linkerbalk geven het bereik aan van de waarde van de von Mises spanning. De

laagste waarde is 0,86 MPa, terwijl de hoogste waarde 69,94 MPa bedraagt. Vergeleken met

een typische vloeigrens van 210 MPa voor staal, zijn de spanningen dus voldoende laag om

geen problemen in vermoeiing te veroorzaken.

Het is ook interessant te vermelden dat alle veranderingen in doorsnede en geometrie van

deze drijfstang zo geleidelijk mogelijk zijn uitgevoerd, met grote kromtestralen en

overgangsbogen, en dit om de spanningsconcentraties zo laag mogelijk te houden. In

vermoeiing zijn deze spanningsconcentraties immers net de plaatsen waar

vermoeiingsscheurtjes ontstaan.


146

Figuur 3.11 von Mises spanning in de drijfstang.

In de volgende paragraaf worden nog een aantal praktijkvoorbeelden besproken, waarbij het

vooral de bedoeling is de mogelijkheden en beperkingen van de eindige elementenmethode

weer te geven.

3.4.2. Praktijkvoorbeelden

3.4.2.a. Plastische vervorming van een koppeling voor perslucht

Het betreft een schadegeval van een koppeling voor een persluchtleiding bij 320 bar. Een

dwarsdoorsnede van de koppeling is afgebeeld in Figuur 3.12. Het linkergedeelte bevat de

moer waarmee de koppeling op een andere leiding wordt geschroefd. Het rechtergedeelte

bevat de persluchtleiding, waarvan de rubberen dichting ingeregen is met stalen

versterkingsvezels om de grote drukken te weerstaan.


147

Figuur 3.12 Dwarsdoorsnede van de persluchtkoppeling.

Er moest via numerieke simulaties aangetoond worden dat het hoekje, waartegen de moer

wordt aangetrokken, te klein was. Daardoor zou de bovenrand van de moer plastisch

vervormen bij het aanhalen van de moer en zou de persleiding gaan lekken. Dit kon inderdaad

experimenteel worden vastgesteld, zoals getoond in Figuur 3.13. De bovenrand van de moer

(links) is helemaal plastisch vervormd.

Figuur 3.13 Plastische vervorming van de rand van de moer.

Het eerste probleem bij de numerieke simulatie betreft altijd de vertaling van de werkelijke

geometrie en belastingstoestand naar een fysisch model. Het is duidelijk dat de modellering

van de volledige schroefdraad van de moer en het aandraaiproces van de moer te complex is.

Daarom werd de werkelijke situatie vereenvoudigd tot het model in Figuur 3.14.


148

moer

contactvlakken

interne druk

schuifkracht

Figuur 3.14 Tekening van de koppeling van de persluchtleiding.

Het verbindingsstuk onderaan waar de moer wordt opgeschroefd, wordt ingeklemd

verondersteld, zodat dit stuk geen verplaatsing ondergaat. De schroefdraad van de moer is

vervangen door een plat vlak en het aanschroeven van de moer wordt gemodelleerd door een

schuifkracht die de moer naar beneden trekt langs het vaste verbindingsstuk. Verder worden

nog een aantal bijkomende veronderstellingen gemaakt:

het probleem is axiaal-symmetrisch. Het volstaat dus één helft van de dwarsdoorsnede te

modelleren,

gezien het mogelijk optreden van plastische vervorming, werd een materiaalmodel voor

plasticiteit opgelegd met versteviging in de plastische fase,

langs de contactvlakken kan het materiaal glijden zonder wrijving,

de druk op de einddoorsnede bovenaan wordt vervangen door een langskracht op de rand

van de buis.

Figuur 3.15 toont een detail van het definitieve eindige elementenmodel in de zone van de

koppeling.


149

Figuur 3.15 Modellering van het aandraaien van de moer en krachtswerking op de koppeling.

Figuur 3.16 toont de vervormingen van de koppeling na het aandraaien van de moer.


150

Figuur 3.16 Verplaatsingen na aandraaien van de moer.

Zoals blijkt uit Figuur 3.17, is er een grote zone van plastische vervorming in de koppeling.

De von Mises spanning ligt ver boven de vloeigrens van 210 MPa.


151

Figuur 3.17 von Mises spanning in de zone van de koppeling.

3.4.2.b. Inlaat van een composiet drukvat

Het tweede praktijkgeval betreft een gewikkeld drukvat uit glasvezelversterkt epoxyhars.

Figuur 3.18 toont een voorbeeld van een dergelijk drukvat in kleine uitvoering. Bij een

grotere uitvoering van het drukvat werden problemen vastgesteld aan de inlaat van het

drukvat. Dergelijke drukvaten worden cyclisch belast tussen 0 en 10 bar en na een aantal

belastingscycli ontstond telkens een scheur aan de inlaat van het drukvat. De bedoeling van de

numerieke simulatie was na te gaan waar de hoogste spanningen optreden in het drukvat en

eventueel de geometrie van de inlaat te wijzigen.


152

Figuur 3.18 Gewikkeld drukvat uit glas/epoxy composiet.

Figuur 3.19 toont een dwarsdoorsnede van het bovenste gedeelte van het composiet drukvat.

polyethyleen inlaatafdichting

interne druk

glasvezelversterkt epoxy

polyethyleenbeschermingslaag

Figuur 3.19 Dwarsdoorsnede van het bovengedeelte van het composiet drukvat.


153

Binnenin het drukvat is een polyethyleen beschermingslaag aangebracht (tegen aantasting van

het composiet door afvalwater of chemische stoffen in het drukvat). De inlaat is gemaakt van

polyethyleen met 30 % verkapte glasvezels.

De polyethyleen beschermingslaag wordt gemodelleerd als een isotroop materiaal met

E = 0,7 GPa. De polyethyleen inlaat wordt ook gemodelleerd als isotroop, aangezien de

verkapte glasvezeltjes random verdeeld zijn in het materiaal, maar door de

glasvezelversterking bedraagt de elasticiteitsmodulus 4,8 GPa i.p.v. 0,7 GPa.

Het glas/epoxy-materiaal van het drukvat zelf is orthotroop en heeft verschillende

elasticiteitsmoduli volgens de vezels (44 GPa) en loodrecht op de vezels (5 GPa). Bovendien

is de hellingshoek van de vezels op elke hoogte verschillend t.g.v. het wikkelprocédé.

Opnieuw worden een aantal bijkomende veronderstellingen gemaakt voor de modellering van

het eindige elementennet:

het probleem is axiaal-symmetrisch. Het volstaat dus één helft van de dwarsdoorsnede te

modelleren,

de druk op het afdichtingsdeksel wordt vervangen door een stel opwaartse krachten op de

vertanding van de polyethyleen inlaat, zoals afgebeeld in Figuur 3.20. De opsplitsing in

een stel kleine krachtjes op elk van de tanden is noodzakelijk om een gelijkmatige

verdeling van de belasting te krijgen. Als men de totale kracht zou aanbrengen op één

enkele tand, zou men een zeer grote spanningsconcentratie introduceren in het materiaal.

Figuur 3.20 Detail van de verdeling van de belasting over de vertanding van de polyethyleen inlaat.

Tenslotte ziet het eindige elementennet eruit zoals afgebeeld in Figuur 3.21.


154

Figuur 3.21 Volledig eindige elementennet voor het composiet drukvat.

Aangezien de polyethyleen inlaat isotroop werd verondersteld, kan de von Mises spanning

berekend worden voor dit materiaal. Een detail is afgebeeld in Figuur 3.22.

Figuur 3.22 Spanningen in de isotroop veronderstelde polyethyleen inlaat.


155

De von Mises spanning bedraagt 21,76 MPa voor de zeer dunne rechterrand van de inlaat en

deze spanning bleek te hoog, zeker onder cyclische belasting van het drukvat.

3.4.2.c. Maximale kromming van een connectorblok met optische vezels

Het derde praktijkgeval stamt uit het domein van de elektronica. Twee connectorblokken zijn

met elkaar verbonden door een datalijn van acht optische vezels met een diameter van 125

m. De lengte van de optische vezels is 16 mm en de tussenafstand tussen de hartlijn van de

optische vezels is 250 m. Een schematische figuur is getoond in Figuur 3.23. De onderlinge

verhoudingen op de figuur zijn uiteraard niet correct.

= 125 m

d = 250 m

L = 2 mm

verplaatsing ?

(a) (b)

Figuur 3.23 Schematische voorstelling van de connectorblokken.

Deze connectorblokken en hun datalijn moesten ingebouwd worden in een sturing en mochten

zo weinig mogelijk ruimte innemen. Wel moest de ene connector over 90 gedraaid worden

t.o.v. de andere (zie Figuur 3.23(b)). Gevraagd werd de meest compacte configuratie te

bepalen, zonder dat de optische vezels elkaar gaan overlappen of gaan breken door een te

sterke kromming.

Dit is een zeer sterk niet-lineair probleem omdat de verplaatsingen reusachtig zijn in

vergelijking met de afmetingen van het object. Bovendien is de buigstijfheid EIyy van een

dergelijke optische vezel bijzonder klein. Inderdaad de E-modulus van glas is ongeveer 3 GPa

en het traagheidsmoment Iyy van een cirkelvormige doorsnede is 4r4

. De buigstijfheid

bedraagt dus 0,036 Nmm2 (ter vergelijking: een stalen staaf met diameter 20 mm heeft een

buigstijfheid van 1,03108 Nmm2). Dergelijke miniscule waarden zorgen voor een bijzonder

moeilijke convergentie van het numeriek probleem.

De optische vezel werd gemodelleerd als een balk. Het linkeruiteinde werd vastgehouden

terwijl aan het rechteruiteinde een grote verplaatsing naar links en naar beneden werd

opgelegd, om de verplaatsing van het tweede connectorblok te simuleren. De vervorming van

de optische vezel, zoals die werd berekend na de opgelegde verplaatsing, is getoond in Figuur

3.24.


156

Figuur 3.24 Berekende vervorming van de optische vezel na verplaatsing.

De modellering van alle acht optische vezels tegelijk bleek te ingewikkeld, omdat het

probleem tweedimensionaal werd opgevat. Bij de verplaatsing van de acht vezels zou het

eindige elementenpakket een mogelijk contact tussen twee optische vezels moeten controleren

en een glijding toelaten van de ene vezel t.o.v. de andere. Dit vraagt de introductie van

speciale eindige elementen (nl. contactelementen) en bemoeilijkt de convergentie nog meer.

Daarom werd de positie voor één enkele vezel berekend en werd iteratief naar een optimale

oplossing gezocht.

3.4.2.d. Thermische spanningen in een dikwandige composietbuis

Bij de productie van gewikkelde composietbuizen worden de vezels door een harsbad

getrokken en nadien gewikkeld op een matrijs. Dit gebeurt bij verhoogde temperatuur om het

hars voldoende vloeibaar te maken. Nadien gebeurt de uitharding bij kamertemperatuur.

Daarbij koelt de buis in haar geheel af van ongeveer 100 C tot 20 C.

De composietbuis in dit voorbeeld wordt gebruikt voor afvalwaterzuivering. Daarbij wordt

het afvalwater onder hoge druk door een aantal filters gepompt. De composietbuis moet dan

ook bestand zijn tegen drukken van 80 bar en is dus zeer dikwandig.

Figuur 3.25 toont een typisch voorbeeld van een dergelijke composietbuis uit

glasvezelversterkt epoxyhars.


157

Figuur 3.25 Dikwandige glas/epoxy composietbuis voor afvalwaterzuivering.

De stapeling van de buiswand bestaat uit 26 lagen van 54 en twee buitenste lagen onder

90. Figuur 3.26 toont een gepolijste dwarsdoorsnede van de buiswand (dikte 16,55 mm).

Figuur 3.26 Gepolijste dwarsdoorsnede van de wand: 26 lagen van 54 en twee buitenste lagen onder 90.


158

Het is duidelijk dat de thermische uitzettingscoëfficiënt [m/(mC)] van dit orthotroop

materiaal zeker niet dezelfde is in alle richtingen. Uit experimenten werd bepaald dat de

thermische uitzettingscoëfficiënten volgens de richtingen van orthotropie zijn:

]Cm/m[

102,23

102,23

108,5

6

6

6

33

22

11

(3.4)

Hieruit blijkt duidelijk dat de thermische uitzetting in de richtingen dwars op de

versterkingsvezels veel groter is dan in de vezelrichting.

De eindige elementensimulatie bestaat er nu in een thermische afkoeling van 100 C naar

20 C te simuleren. Hoewel de buis tijdens de uitharding volledig vrij kan uitzetten, zullen

toch thermische spanningen ontstaan, en wel om twee redenen:

het materiaal is niet isotroop en de thermische krimp is dus niet dezelfde in alle richtingen,

de buis is zeer dikwandig en de individuele lagen belemmeren elkaar in hun vrije krimp.

Omwille van de symmetrie volstaat het opnieuw de helft van de buis te simuleren. Bovendien

wordt de randvoorwaarde opgelegd dat de buis in de langsrichting vrij kan uitzetten. Figuur

3.27 toont het gebruikte eindige elementennet. Links is de globale mesh getoond, terwijl

rechts een detail van de volledige wanddikte is getoond. Alle lagen van de composietbuis

worden dus afzonderlijk gemodelleerd.

Figuur 3.27 Globale eindige-elementenmesh (links) en detail van de elementennet in de dwarsdoorsnede

(rechts).

Uit de simulaties blijkt dat de spanningen 11 in de vezelrichting zeer klein zijn (de

thermische uitzettingscoëfficiënt is ook kleiner in de vezelrichting). De spanningen 33

blijken bijna onbestaande te zijn. De spanningen 22 loodrecht op de vezelrichting blijken

echter veel groter dan verwacht. Figuur 3.28 toont een detail van de thermische spanningen

22 in elke laag doorheen de buiswand.


159

Figuur 3.28 Thermische spanningen loodrecht op de vezelrichting in elke individuele laag.

De hoogste spanningen 22 bedragen 20,14 MPa en deze zijn zeer hoog vergeleken met de

treksterkte YT loodrecht op de vezelrichting die 35,0 MPa bedraagt. Op dat moment is er

immers nog geen enkele gebruiksbelasting op de buis aangebracht.


160

3.5. REFERENTIES



[2] Berthels, K. and Van Peteghem, J. (2000). Design of an advanced fatigue testing

device for fibre-reinforced composites. Graduate Thesis (in Dutch). Ghent, Ghent

University, 119 pp.

Mechanica van Materialen - Universiteit Gentwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/... · 2017. 8. 20. ·...

Documents

Transcript of Mechanica van Materialen - Universiteit Gentwvpaepeg/ftp/VTK_Cursusdienst/... · 2017. 8. 20. ·...