Logica voor Alfas en Informatici

Jan van Eijck, Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI), Amsterdam,Elias Thijsse, Faculteit Humanistiek, Universiteit Tilburg

Gerard Vreeswijk, Departement Informatica, Universiteit Utrecht

November 2012

ii

Inhoudsopgave

Voorwoord v

1 Inleiding 11.1 Doelstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gebruiken en noemen van uitdrukkingen . . 11.3 Formele en empirische wetenschap . . . . . . 11.4 Jargon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Getalverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Bewijstechnieken . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Foute bewijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Naeve verzamelingenleer 152.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Gelijkheid van verzamelingen . . . . . . . . . 172.5 De lege verzameling . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Vereniging, doorsnede en verschil . . . . . . . 182.7 Deel- en machtsverzamelingen . . . . . . . . 212.8 Geordende paren, rijtjes en producten . . . . 22

3 Relaties en functies 233.1 Relaties en hun eigenschappen . . . . . . . . 233.2 Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Injectie, surjectie, bi-jectie . . . . . . . . . . . 293.4 Variaties op functies . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Bijzondere functies . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Oneindigheid 354.1 Eindig versus oneindig . . . . . . . . . . . . . 354.2 Aftelbaar versus overaftelbaar . . . . . . . . . 364.3 Equivalentieklassen en kardinaalgetallen . . 434.4 Paradoxen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Logica 495.1 Wat is het en heb je eraan? . . . . . . . . . . . 495.2 Redeneringen en redeneerschemas . . . . . . 505.3 Logica en games . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Propositielogica 536.1 Voegwoorden en hun betekenis . . . . . . . . 536.2 Waarheidstafels . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 BNF regels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4 De syntaxis van de propositielogica . . . . . . 57

7 De semantiek van de propositielogica 617.1 Interpretatie van proposities . . . . . . . . . . 617.2 Normaalvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3 Semantische tableaus . . . . . . . . . . . . . . 677.4 Correctheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.5 Functionele volledigheid . . . . . . . . . . . . 73

8 Bewijssystemen voor de propositielogica 758.1 Natuurlijke deductie . . . . . . . . . . . . . . . 758.2 Regels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3 Uitleg van de regels . . . . . . . . . . . . . . . 778.4 Correctheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.5 Hilberts systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.6 Beslisbaarheid, correctheid, volledigheid . . 838.7 Volledigheid van natuurlijke deductie . . . . 868.8 Variaties en uitbreidingen . . . . . . . . . . . 87

9 Berekenbaarheid 899.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.2 Gdel nummering . . . . . . . . . . . . . . . . 909.3 Berekenbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.4 Beslisbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.5 Opsombaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.6 De stelling van Post . . . . . . . . . . . . . . . 969.7 Opsombaarheid en berekenbaarheid . . . . . 969.8 Hyper-berekenbaarheid . . . . . . . . . . . . . 97

10 Predikatenlogica 9910.1 Kwantoren en variabelen . . . . . . . . . . . . 9910.2 De syntaxis van de predikatenlogica . . . . . 100

11 De semantiek van de predikatenlogica 10911.1 Waarheidswaarde . . . . . . . . . . . . . . . . 11111.2 Vervulbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11211.3 Substituties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11311.4 Predikatenlogica met identiteit . . . . . . . . 11411.5 Functie-symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . 11611.6 Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.7 Het substitutielemma . . . . . . . . . . . . . . 119

12 Semantische tableaus voor de predikatenlo-gica 12312.1 Standaard tableaus . . . . . . . . . . . . . . . 12312.2 Terugkrabbelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12712.3 Gelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12912.4 Correctheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13 Normaalvormen voor de predikatenlogica 13313.1 Alfabetische varianten . . . . . . . . . . . . . 13413.2 Prenex-normaalvorm . . . . . . . . . . . . . . 13813.3 Skolemn normaalvorm . . . . . . . . . . . . . 139

14 Bewijssystemen voor de predikatenlogica 14114.1 Natuurlijke deductie . . . . . . . . . . . . . . . 14114.2 Hilberts systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

iii

iv INHOUDSOPGAVE

14.3 Correctheid, volledigheid, onbeslisbaarheid . 14814.4 Volledige en onvolledige theorien . . . . . . . 151

15 Informatica-toepassingen 15315.1 PROLOG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15315.2 PROLOG met gestructureerde data . . . . . . 15515.3 De PROLOG bewijsstrategie . . . . . . . . . . 15815.4 Modellen voor PROLOG programmas . . . . 16015.5 Predikatenlogica en correctheid van pro-

grammas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16315.6 Bewijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16915.7 Terminatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

15.7.1 Onbeslisbaarheid van terminatie . . . 17615.7.2 Het stop-probleem . . . . . . . . . . . . 177

15.8 Dynamische logica . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Literatuurverwijzingen 189

Index 191

VOORWOORD v

Voorwoord (1989)

Dit boek biedt een inleiding in de logica voorgenteresseerden met een niet primair wiskundigeachtergrond. Het boek is gebaseerd op cursusmateriaaldat in de loop van een aantal jaren ontwikkeld is in hetwerkverband Taal en Informatica van de Letterenfaculteitder Katholieke Universiteit Brabant in Tilburg. Daardooris het speciaal geschikt voor mensen met belangstellingvoor taaltheorie, informatica of een combinatie van dietwee disciplines. Hoewel het boek bedoeld is als eeninleiding voor iedereen hebben wij gekozen voor eenpresentatie die de formele aspecten niet schuwt. Wij zijnvan oordeel dat wie zijn aandacht beperkt tot filosofischeachtergronden van de logica of tot toepassingen, slechtseen aftreksel proeft van het vak. Een echte kennismakingkan de formele aanpak niet ontberen: logica zondersymbolen is geen logica.

Lezers die niet vertrouwd zijn met de wiskundigemanier van denken verwachten dat het prozaook hetwetenschappelijk prozadat zij tot zich nemen quataalgebruik nauwelijks geheimen bevat. Bij boeken diegeschreven zijn door auteurs met een -inslag klopt datuitgangspunt niet, en frustratie is vaak het gevolg. Steleven dat je iemand bent die in het verleden op deze maniergefrustreerd is geraakt. Dan volgt hier een simpel receptom dat soort frustratie in de toekomst te voorkomen. Gaeerst na of zeker boek wel voor je bedoeld is. Wanneer jenooit iets aan wiskunde of informatica heeft gedaan vallener op die manier een heleboel boeken af. Jammer, maarwie graag in het diepe wil springen moet nu eenmaal eerstleren zwemmen. Om ervoor te zorgen dat dit boek je nietfrustreert doe je er goed aan te beseffen dat kennismakenmet formele methoden een vorm van mentale yoga is dievraagt om tijd, concentratie en toewijding. Je dient je dekost die je hier krijgt voorgeschoteld bladzijde voorbladzijde eigen te maken, met af en toe herkauwen voor degoede vertering. Wanneer je zich met die geesteshoudingaan het werk zet zullen grote voldoening en blijvendevreugde uw deel zijn, niet in het minst omdat je zultmerken dat allerlei literatuur op het gebied van logica,theoretische informatica en semantiek die eerst te hooggegrepen was nu binnen uw bereik komt.

Als voorbereiding op wat je te wachten staat globaaliets over de inhoud.

Hoofdstuk 1 geeft een algemene inleiding. Je leert nen ander over de achtergronden van vak, en maaktkennis met jargon en bewijstechnieken.

Hoofdstukken 2 tot en met 4 geven een overzicht vanwat je moet weten van verzamelingenleer om logica enberekenbaarheidstheorie te kunnen bedrijven.Hoofdstukken 2 en 3 geven de basisbegrippen enHoofdstuk 4 bespreekt oneindigheid.

Hoofdstuk 9 bespreekt welke problemen computers nogaankunnen en welke niet. Voor Hoofdstuk 9 is het alecht nodig dat je goed vertrouwd bent met het materiaaluit de voorgaande hoofdstukken!

Hoofdstuk 5 legt uit wat logica is, en waar het in datvak om gaat, en vervolgens presenteren de volgendehoofdstukken de twee standaard systemen die de basisvormen van de moderne logica: propositielogica (6, 7, 8)en predikatenlogica (10, 11, 12, 13, 14).

Hoofdstuk 15, tenslotte, is geheel gewijd aantoepassingen van de logica in de informatica. Hiermaak je eerst kennis met de programmeertaal PROLOGen de logische achtergronden ervan, en vervolgens komthet gebruik van logica voor het beschrijven van deoperationele semantiek (de werking) vancomputerprogrammas aan de orde.

Het boek is zowel geschikt voor zelfstudie als voorgroepsonderwijs. Lesmateriaal voor een beginnerscursuskan gevormd worden uit hoofdstukken 1, 2, 4, 6, 7 en 8;voor een meer gevorderde cursus kan daarnaast ook geputworden uit Hoofdstuk 9 en een selectie uit dehoofdstukken over predikatenlogica. Er is gezorgd voorvoldoende oefenstof in de vorm van opdrachten. Deopdrachten variren van gemakkelijk tot behoorlijk pittig.Als je de antwoorden bij alle opdrachten onmiddellijk zietbent je een uitzondering; in dat geval raden wij je aanonverwijld logica te gaan studeren. Maar je zultwaarschijnlijk merken dat je sommigeof wellicht zelfsalleopdrachten moeilijk vindt. In dat geval moet jebedenken dat er is geen koninklijke weg is tot de logica.Ook al leggen we in dit boek de rode loper voor je uit, hetzou onsportief zijn om alle moeilijkheden die je onderwegkunt tegenkomen onder he