Limiet van een functie - FutureProofLearning

Hoofdstuk 1

Limiet van een functie

1.1 Basis

1. Heeft de onderstaande functie een limiet voor x = 0, 1, 2, 3 en zo ja, bepaal deze grafisch.

2. Bepaal de limiet voor x = −4,−2, 1, 4 indien deze bestaat.

1

c©FutureProofLearning.be

3. Bepaal grafisch of de volgende limieten bestaan, en zo ja, wat ze zijn. (Maak dus eerst eengrafiek en lees vervolgens de limiet af.)

(a)

f(x) =

|x− 3|x− 3

x 6= 3

0 x = 3

limx→3

f(x)

(b) limx→0|x|

(c) Gegeven:

f(x) =

1 x > 00 x = 0−1 x < 0

limx→0

f(x)

(d) limx→2dxe

4. Bepaal met behulp van 2 verschillende rijen van originelen de vermoedelijke limiet van f(x) voorx −→ a:

(a) f(x) =x2 + 2

x2 − 9en a = 3

(b) f(x) =x2 + 2

x2 − 9en a = 0

5. Bepaal met behulp van 2 verschillende rijen van originelen de vermoedelijke limiet van f(x) voorx −→ ±∞:

(a) f(x) =x2 + 1

x2 − 9en a = +∞

(b) f(x) =x2 + 1

x− 9en a = −∞

6. Toon aan dat f(x) = sin(2x) geen limiet heeft voor x −→ +∞. Doe dit door 2 verschillenderijen van originelen te creeren waarvan de beeldrij telkens een andere limiet heeft.

7. Gegeven limx−→a f(x) = 3, limx−→a h(x) = −5 en limx−→a g(x) = 9, bepaal indien mogelijkde volgende limieten:

(a)limx→a

(f(x)− h(x) + g(x))

(b)limx→a

f(x) · g(x)

(c)

limx→a

√g(x)

(d)

limx→a

(1

h(x)

)8. Formuleer in ε− δ vorm en maak een grafiek van een mogelijke functie die hier aan voldoet:

HOOFDSTUK 1. LIMIET VAN EEN FUNCTIE Pagina 2


(a)

limx→+∞

f(x) = b

(b)

limx→a

f(x) = −∞

(c)

limx→c

f(x) = d

(d)lim

x→−∞f(x) = −∞

(e)limx↑a

f(x) = −∞

(f)limx↓b

f(x) = c

9. Als limx→a f(x) = b en limx→a g(x) = c, bewijs dat

limx→a

(f(x) + g(x)) = b+ c

10. Bewijs met behulp van ε− δ definitie:

(a)limx→1

(3x+ 2) = 5

(b)

limx→+∞

3x− 1

x+ 2= 3

11. Bewijs door gebruik te maken van de insluitstelling:

(a)

limx→+∞

sinx

x

(b)

limx→+∞

2− cosx

x+ 3

(c)

limx→0

x2 sin

(1

x

)


Hoofdstuk 2

Limiet van een functie: oplossingen

2.1 Basis

1. • 0 : LL = RL = 2

• 1: LL = -1, RL = 0

• 2: LL = RL= 1

• 3: LL = 0, RL = 1

2. • -4 : LL = RL = -2

• -2: LL = RL = 3

• 1: LL = -3,RL= 4

• 4: LL = −∞, RL = +∞

5


3. (a)limx↑3

f(x) = −1 en limx↓3

f(x) = 1

(b)limx→0

f(x) = 0

HOOFDSTUK 2. LIMIET VAN EEN FUNCTIE: OPLOSSINGEN Pagina 6


(c)limx↑0

f(x) = −1 en limx↓0

f(x) = 1

(d)limx↑2

f(x) = 2 en limx↓2

f(x) = 3



4. Beschouw de 2 rijen an en bn die beiden langs links naar 3 gaan:

an = 3− 1

n

bn = 3− 1

n2

We berekenen voor beide rijen de limiet van de beeldrij f(an) en f(bn)

limn→+∞

f(an) = limn→+∞

a2n + 2

a2n − 9

(onbepaaldheid

11

0

)

= limn→+∞

(3− 1

n

)2

+ 2(3− 1

n

)2

− 9

= limn→+∞

9− 6

n+

1

n2+ 2

9− 6

n+

1

n2− 9

= limn→+∞

11n2

n2− 6n

n2+

1

n2

−6n

n2+

1

n2

= limn→+∞

11n2 − 6n+ 1

n2−6n+ 1

n2

= limn→+∞

11n2 − 6n+ 1

−6n+ 1

(onbepaaldheid

+∞−∞

)

= limn→+∞

n�2(11− 6

n+

1

n2

)�n

(−6 + 1

n

)

= limn→+∞

n

(11− 6

n+

1

n2

)−6 + 1

n

=+∞(11− 0 + 0)

−6 + 0

=+∞11

−6= −∞



limn→+∞

f(bn) = limn→+∞

b2n + 2

b2n − 9

(onbepaaldheid

11

0

)

= limn→+∞

(3− 1

n2

)2

+ 2(3− 1

n2

)2

− 9

= limn→+∞

9− 6

n2+

1

n4+ 2

9− 6

n2+

1

n4− 9

= limn→+∞

11n4

n4− 6n2

n4+

1

n4

−6n2

n4+

1

n4

= limn→+∞

11n4 − 6n2 + 1

n4

−6n2 + 1

n4

= limn→+∞

11n4 − 6n2 + 1

−6n2 + 1

(onbepaaldheid

+∞−∞

)

= limn→+∞

n4(11− 6

n2+

1

n4

)n2(−6 + 1

n2

)

= limn→+∞

n2(11− 6

n2+

1

n4

)−6 + 1

n2

=+∞(11− 0 + 0)

−6 + 0

=+∞11

−6= −∞

Besluit: We kunnen vermoeden dat:

limx↑3

f(x) = −∞

Beschouwde 2 rijen cn en dn die beiden langs rechts naar 3 gaan:

cn = 3 +1

n

dn = 3 +1

n2




limn→+∞

f(cn) = limn→+∞

c2n + 2

c2n − 9

(onbepaaldheid

11

0

)

= limn→+∞

(3 +

1

n

)2

+ 2(3 +

1

n

)2

− 9

= limn→+∞

9 +6

n+

1

n2+ 2

9 +6

n+

1

n2− 9

= limn→+∞

11n2

n2+

6n

n2+

1

n26n

n2+

1

n2

= limn→+∞

11n2 + 6n+ 1

n26n+ 1

n2

= limn→+∞

11n2 + 6n+ 1

6n+ 1

(onbepaaldheid

+∞−∞

)

= limn→+∞

n�2(11 +

6

n+

1

n2

)�n

(6 +

1

n

)

= limn→+∞

n

(11 +

6

n+

1

n2

)6 +

1

n

=+∞(11 + 0 + 0)

6 + 0

=+∞11

+6= +∞



limn→+∞

f(dn) = limn→+∞

d2n + 2

d2n − 9

(onbepaaldheid

11

0

)

= limn→+∞

(3 +

1

n2

)2

+ 2(3 +

1

n2

)2

− 9

= limn→+∞

9 +6

n2+

1

n4+ 2

9 +6

n2+

1

n4− 9

= limn→+∞

11n4

n4+

6n2

n4+

1

n4

6n2

n4+

1

n4

= limn→+∞

11n4 + 6n2 + 1

n4

6n2 + 1

n4

= limn→+∞

11n4 + 6n2 + 1

6n2 + 1

(onbepaaldheid

+∞−∞

)

= limn→+∞

n4(11 +

6

n2+

1

n4

)n2(6 +

1

n2

)

= limn→+∞

n2(11 +

6

n2+

1

n4

)6 +

1

n2

=+∞(11 + 0 + 0)

6 + 0

=+∞11

6= +∞


limx↓3

f(x) = +∞

5. (a) Beschouw de 2 rijen an en bn die beiden naar +∞ gaan:

an = n

bn = n2




limn→+∞

f(an) = limn→+∞

a2n + 2

a2n − 9

(onbepaaldheid

∞∞

)= lim

n→+∞

n2 + 2

n2 − 9

= limn→+∞

��n2

(1 +

2

n2

)��n

2

(1− 9

n2

)

= limn→+∞

1 +2

n2

1− 9

n2

=1 + 0

1− 0= 1

limn→+∞

f(bn) = limn→+∞

b2n + 2

b2n − 9

(onbepaaldheid

∞∞

)= lim

n→+∞

n4 + 2

n4 − 9

= limn→+∞

��n4

(1 +

2

n4

)��n

4

(1− 9

n4

)

= limn→+∞

1 +2

n4

1− 9

n4

=1 + 0

1− 0= 1


limx→+∞

f(x) = 1

(b) Beschouw de 2 rijen an en bn die beiden naar −∞ gaan:

an = −nbn = −n2




limn→+∞

f(an) = limn→+∞

a2n + 2

an − 9

(onbepaaldheid

∞∞

)= lim

n→+∞

n2 + 2

−n− 9

= limn→+∞

n�2(1 +

2

n2

)�n

(−1− 9

n

)

= limn→+∞

n

(1 +

2

n2

)−1− 9

n

=+∞(1 + 0)

−1− 0= −∞

limn→+∞

f(bn) = limn→+∞

b2n + 2

bn − 9

(onbepaaldheid

∞∞

)= lim

n→+∞

n4 + 2

−n2 − 9

= limn→+∞

n4(1 +

2

n4

)n2(−1− 9

n2

)

= limn→+∞

n2(1 +

2

n4

)−1− 9

n2

=+∞(1 + 0)

−1− 0= −∞


limx→−∞

f(x) = −∞

6. Beschouw de 2 rijen an en bn die beiden naar +∞ gaan:

an =π

4+ nπ

bn = nπ




limn→+∞

f(an) = limn→+∞

sin(2an)

= limn→+∞

sin(2(π4+ nπ

))

= limn→+∞

sin(π

2+ n2π)

= limn→+∞

sin(π

2)

= 1

limn→+∞

f(an) = limn→+∞

sin(2an)

= limn→+∞

sin(2nπ)

= 0

Besluit: Aangezien we de beeld rijen 2 verschillende limieten, kunnen we besluiten dat:

limx→+∞

sin(2x)

niet bestaat.

7. Gegeven limx−→a f(x) = 3, limx−→a h(x) = −5 en limx−→a g(x) = 9, bepaal indien mogelijkde volgende limieten:

(a)

limx→a

(f(x)− h(x) + g(x)) = limx→a

f(x)− limx→a

h(x) + limx→a

g(x)

= 3− 5 + 9

= 7

(b)

limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x)

= 3 · 9= 27

(c)

limx→a

√g(x) =

√limx→a

g(x)

=√9

= 3



(d)

limx→a

(1

h(x)

)=

1

limx→a h(x)

=1

−5

8. Formuleer in ε− δ

(a)∀ε > 0,∃g ∈ R : ∀x ∈ dom f : x > g : |f(x)− b| < ε

(b)∀r ∈ R : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f : 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) < r

(c)∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f : 0 < |x− c| < δ =⇒ |f(x)− d| < ε

(d)∀r ∈ R : ∃g ∈ R : ∀x ∈ dom f : x < g =⇒ f(x) < r

(e)∀r ∈ R : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f : a− δ < x < a =⇒ f(x) < r

(f)∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f : b < x < b+ δ =⇒ |f(x)− c| < ε

9. Uit beide gegevens halen we:

Neem ε > 0 :

∃δ1 > 0 : ∀x ∈ dom f : 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |f(x)− b| < ε

2

∃δ2 > 0 : ∀x ∈ dom g : 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |g(x)− c| < ε

2

Noemen we δ = min(δ1, δ2), dan zal

∀x ∈ dom f, g : 0 < |x− a| < δ



|(f(x) + g(x))− (b+ c)| = |(f(x)− b) + (g(x)− c)|≤ |f(x)− b|+ |g(x)− c|

<ε

2+ε

2= ε

Of anders gezegd:

limx→a

(f(x) + g(x)) = b+ c

10. Bewijs met behulp van ε− δ definitie:

(a)

limx→1

(3x+ 2) = 5

We moeten aantonen dat:

∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f ; 0 < |x− 1| < δ =⇒ |f(x)− 5| < ε

Neen een ε > 0 (gegegeven) willekeurig, we moeten nu een δ (gevraagd) bepalen zodat hetbovenstaande geldt:

|(3x+ 2)− 5| < ε

|3x− 3| < ε

3 |x− 1| < ε

|x− 1| <ε

3

Kies δ <ε

3dan geldt voor alle |x−1| < δ −→ |x−1| < ε

3 =⇒ |(3x+ 2)− 5| < ε. Besluit:

∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ dom f ; 0 < |x− 1| < δ =⇒ |f(x)− 5| < ε

(b)

limx→+∞

3x− 1

x+ 2= 3

We moeten aantonen dat:

∀ε > 0 : ∃r ∈ R : ∀x ∈ dom f ;x > r =⇒ |f(x)− 3| < ε

Neen een ε > 0 (gegegeven) willekeurig, we moeten nu een δ (gevraagd) bepalen zodat het



bovenstaande geldt: ∣∣∣∣3x− 1

x+ 2− 3

∣∣∣∣ < ε∣∣∣∣3x− 1

x+ 2− 3(x+ 2)

x+ 2

∣∣∣∣ < ε∣∣∣∣3x− 1− 3x− 6

x+ 2

∣∣∣∣ < ε∣∣∣∣ −7x+ 2

∣∣∣∣ < ε

7

x+ 2< ε

7 < ε(x+ 2)

7− 2ε < εx7− 2ε

ε< x

Kies r >7− 2ε

εdan geldt voor alle x > r −→ x > 7−2ε

ε =⇒∣∣∣ 3x−1x+2 − 3

∣∣∣ < ε. Besluit:

∀ε > 0 : ∃r ∈ R : ∀x ∈ dom f ;x > r =⇒ |f(x)− 3| < ε

11. Bewijs door gebruik te maken van de insluitstelling:

(a)

limx−→+∞

sinx

x

Merk op dat:

−1 ≤ sinx ≤ 1

Aangezien we de limiet bereken voor x −→ +∞ mogen we aannemen dat x > 0:

−1x≤ sinx

x≤ 1

x

Aangezien:

limx−→+∞

−1x

= 0 = limx−→+∞

1

x

kunnen we door gebruik te maken van de insluitstelling besluiten dat:

limx−→+∞

sinx

x= 0

(b)

limx−→+∞

2− cosx

x+ 3

Merk op dat:



−1 ≤ cosx ≤ 1

1 ≥ − cosx ≥ −1−1 ≤ − cosx ≤ 1

−1 + 2 ≤ 2− cosx ≤ 1 + 2

1 ≤ 2− cosx ≤ 3

Aangezien we de limiet bereken voor x −→ +∞ mogen we aannemen dat x+ 3 > 0:

1

x+ 3≤ 2− cosx

x+ 3≤ 3

x+ 3

Aangezien:

limx−→+∞

1

x+ 3= 0 = lim

x−→+∞

3

x+ 3


limx−→+∞

2− cosx

x+ 3= 0

(c)

limx−→0

x2 sin

(1

x

)Merk op dat:

−1 ≤ sin

(1

x

)≤ 1

Aangezien er steeds geldt dat x2 > 0:

−x2 ≤ x2 sin(1

x

)≤ x2

Aangezien:limx−→0

(−x2) = 0 = limx−→0

x2


limx−→0

x2 sin

(1

x

)= 0


Hoofdstuk 3

Continuıteit: oplossingen

3.1 Basis

1. Ga na of de volgende functies continu zijn op hun domein, maak hiervoor eerst een grafiek:

(a) f(x) = bxc

Figuur 3.1: f(x) = bxc

Het domein van de f(x) is R. Kijken we in 1 naar de linkerlimiet dan zien we dat dezegelijk is aan 0 , terwijl de rechterlimiet gelijk is aan 1 (de functiewaarde !).Besluit: deze functie is bijgevolg niet continu op haar domein!

(b) f(x) = |x− 1|

19


Figuur 3.2: f(x) = |x− 1|

Het domein van de f(x) is R. Waar we de limiet ook bereken deze gaat steeds gelijk zijnaan de functiewaarde.Besluit: f(x) is continu op haar domein!

(c) f(x) =

{x2, als x ∈ R \ {2}8, als x = 2

Figuur 3.3: f(x)

Het domein van de f(x) is R.

limx→2

f(x) = limx→2

x2

= 4

6= f(2)

Besluit: f(x) is niet continu op haar domein.

HOOFDSTUK 3. CONTINUITEIT: OPLOSSINGEN Pagina 20


2. Toon aan dat f(x) = x2–3x+ 2 continu is in x = 4.

limx→4

f(x) = limx→4

(x2–3x+ 2)

= 42 − 3.4 + 2

= 16− 12 + 2

= 6

= f(4)

Hieruit kunnen we besluiten dat f(x) continu is in 4.

HOOFDSTUK 3. CONTINUITEIT: OPLOSSINGEN Pagina 21

Limiet van een functie - FutureProofLearning

Documents

Transcript of Limiet van een functie - FutureProofLearning