Libro 4TO _algebra

RAZONAMIENTO LGICO MATEMTICO I.E.P. NIO JESUS DE PRAGA

POTENCIACIN:Es aquella operacin de la forma:P = bndonde:

(b( es la base y (n( es el exponente

DEFINICIONES1.Exponente natural (n ( ()

Ejemplos:

24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

(-7)3 = (-7)(-7)(-7) = -343

(-5)4 = (-5)(-5)(-5)(-5) = 625

131 = 13 ; x = x1

Observacin:(-)impar = - (-)par = +

2.Exponente nulo (n = 0)

EQ b\S\up4(0)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()1 ; ( b ( 0

Ejemplos:

70 = 1 ; (-5)0 = 1 ; -40 = -1

3.Exponente negativo ( -n ( Z- )

EQ b\S\up4(-n)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(1,b\S\up4(n)) ; ( b ( 0

Ejemplos:

5-2 = EQ \F(1,5\S\up4(2)) ; (-4)-2 = EQ \F(1,(-4)\S\up4(2))-7-2 = -EQ \F(1,7\S\up4(2)) ; EQ \F(1,2\S\up4(-3)) = 23Observacin:

= an

4.Exponente fraccionario

( b > 0, m, n ( Z+ ( n ( 2

Ejemplos:

Importante :

Observacin:EQ \R(par,+)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()+

Ejemplos:

;

NOTA:

; ( n ( Z+ - {1}

TEOREMAS1.Multiplicacin de bases iguales

Ejemplos:

54 . 56 . 57 = 51723m(4 . 22m+6 = 25m+23m+2 = 3m . 3272a = 7a . 7a2.Divisin de bases iguales

; ( b ( 0

Ejemplos:

- = 73

-

- EQ \F(2\S\up4(m\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()5),2\S\up4(m\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()7))\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()2\S\up4(m\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()5\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()(m\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()7))\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()2\S\up4(2)OPERACIONES1.Potencia de una multiplicacin

SHAPE \* MERGEFORMAT

Ejemplo:

(xy)4 = x4 . y4 ; (mnp)7 = m7 . n7 . p72a+b . xa+b = (2 . x)a+b2.Potencia de una divisin

Ejemplo:

; y ( 0

EQ \F(z\S\up4(m\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()n),5\S\up4(m\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()n))\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\b\lc\(\rc\)(\F(z,5))\S\up4(m\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()n)Nota:

; ab ( 0

Ejemplo:

3.Potencia de una potencia

Ejemplo:

(23)4 = 212 = (24)3(72)m-1 = 72(m-1) = 72m-2

4.Potencias sucesivas

Ejemplo:

5.Raz de una potencia

Ejemplo:

; x > 0

6.Raz de una multiplicacin

Ejemplos:

EQ \R(12)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(4\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()3)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(4)\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()\R(3)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()2\R(3)EQ \R(3,27x)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(3,27)\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()\R(3,x)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()3\d\fo1()\d\fo1()\R(3,x)EQ \R(4,7)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(4,x)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(4,7\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()x)\d\fo1(); x > 0

7.Raz de una divisin

Ejemplo:

EQ \R(3,\F(x,8))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(\R(3,x),\R(3,8))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(\R(3,x),2)EQ \F(\R(5,x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()y),\R(5,7))\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(5,\F(x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()y,7))8.Races sucesivas

Ejemplo:

EQ \R(3,\R(7,x))\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(21,x)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(7,\R(3,x))EQ \R(3,\R(\R(5,x)))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(3.2.5,x)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(30,x); x > 0

Ejemplos:

EQ \R(7,a\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(5,b\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(4,c)))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(7.5.4,a\S\up4(5.4)\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()b\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()c)EQ \R(8,x\S\up4(5)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(7,y\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\R(3,z\S\up4(2))))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(8.7.3,(x\S\up4(5))\S\up4(7.3)\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()(y\S\up4(4))\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()(z\S\up4(2)))

Caso particular

=

=

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Calcular el valor de:

Resolucin:

( E = 2x202. Si: a+b+2c=0, calcular el valor de:

Resolucin:

( F = 52 = 25

03. Si xx = 2, calcular el valor de:

Resolucin

Como xx = 2, reemplazando:

( R = 16

04. Luego de efectuar:

se obtiene

Resolucin:

en el radicando multiplicando al N y D por 5n

( T = 5

05. La siguiente expresin

es equivalente a:

Resolucin:

como en el primer factor el ndice y el exponente son consecutivos

( M = xPROBLEMAS PROPUESTOS

01. Sabiendo que:

El valor de: 3Q + 1, es:

a) 4

b) 7

c) 13

d) 16e) 25

02. Al reducir:

Se obtiene: x55, dar como respuesta el valor de:

a)3

b) 2

c)

d)

e) 1

03. Hallar el valor de:

a) a

b) 1/a

c) abd) a-be) 1

04. La siguiente expresin:

Es equivalente a:

a) 3

b) 7

c) 10

d) 17e) 21

05. Calcular la suma de cifras de:

a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

06. Si: nn = ; adems:

Podemos afirmar que E es igual a:

a) 1

b) 5

c) 25

d) 125e) 625

07. Calcular:

a) 1

b) -1

c) -9

d) 3

e) 9


Es equivalente a:

a)

b) 3

c)

d) 5

e)


a) 1

b) -1

c) 0

d) 22005e) 2-2005010. Luego de efectuar:

Se obtiene: xa.yb; el valor de: a+b; es:

a) 11b) 22

c) 33

d) 44e) 55

011. Sabiendo que: xx = 3. Calcular el valor de:

a) 36b) 37

c) 38d) 39e) 310012. Efectuar:

a) 1

b) a

c) ab

d) a/be) b

013. El exponente final de x en la siguiente expresin:

es:

a)

b)

c)

d)

e)

014. El exponente final de x en:

a) 2/5b) 7/15

c) 11/30

d) 1/30e) 7/60

015. Al efectuar:

Se obtiene:

a) 1

b) 3

c) 3

d) 9

e) 27


Y dar como respuesta el valor:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

017. Si: a + b + c = 3, el valor de:

Es:

a)125b)25

c)5

d)

e)


Es equivalente a:

a)x500b)x250

c)x50d)x

e)1


Sabiendo que n( ( n 2006

a) 5

b) 17

c) 22

d) 85e) 105

020. Simplificar:

a) 7/9b) 14/9

c) 7

d) 14e) 4

TAREA

01. El exponente final de xn, en:

es:

a) 2005b) 2004

c) 2006

d) n2003e) n200401. Hallar el valor de:

a) 1/25b) 1/5

c) 1

d) 5

e) 25

02. Sabiendo que: mx = 2 y xm = 3

Calcule el valor de:

a) 9

b) 8

c) 16

d) 27e) 81

03. Reducir la expresin:

a) 25b) 50

c) -5

d) 10e) 5

04. Sean a, b y c nmeros reales positivos tal que: ab=c; obtenga el valor de:

a) 1

b) a

c) ab

d) a/be) b


El exponente de x es

a) 7/24b) 1/3

c) 3/8

d) 5/12e) 11/24

Son aquellas ecuaciones cuya variable o incgnita aparece como exponente, siendo la base positiva y diferente de uno


( a > 0 ( a ( 1

Ejemplo:

Calcular el valor de (x( en :

25x-3 = 1252-x(52)x-3 = (53)2-x52x-6 = 56-3x( 2x - 6 = 6 - 3x

( 5x = 12

( x = EQ \F(12,5)Ejemplo:

Resolver:

2x . 4x-2 = 81-x2x . (22)x-2 = (23)1-x2x . 22x-4 = 23-3x23x-4 = 23-3x( 3x - 4 = 3 - 3x

6x = 7

( x = EQ \F(7,6)( C.S =

Caso particular


Ejemplo

Calcular (x( en :

(1 - 2x)3 = (x - 5)3(1 - 2x = x - 5 ( 6 = 3x

( x = 2

Si aa = bb ( a = bEjemplo:

Calcular (x( en:

(EQ \F(x,2) - 5 = 3

(EQ \F(x,2) = 8

( x = 16

Ejemplo:

Calcular (x( en:

EQ x\S\up4(x\S\up4(3))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\R(3,4)Elevando al cubo m.a.m

= EQ \R(3,4)\S\up4(\d\fo1()\d\fo1()3)

EQ (x\S\up4(3))\S\up4(x\S\up4(3))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()2\S\up4(2)como la base y el exponente son iguales :

( x3 = 2, extrayendo EQ \R(3,\d\fo1())\d\fo1()\d\fo1()

( x = EQ \R(3,2)PROBLEMAS RESUELTOS

01. El valor de x que verifica la ecuacin:

25x-3 = 1251-x ; es:

Resolucin:

Expresando las bases en funcin a una misma potencia

(52)x-3 = (53)1-x52x-6 = 53-3x( 2x 6 = 3 - 3x

5x = 9

(

02. Calcular el valor de n en:

xa(b-c) xb(c-a) xc(a-b) = xn-6sabiendo que x > 0 ( x ( 1

Resolucin:

xab-ac . xbc-ba . xca-cb = xn-6

x0 = xn-6 ( n 6 = 0

( n = 6

03. Resolver:

4x-3 . 82x-1 = 32x+1Resolucin:

(22)x-3 . (23)2x-1 = (25)x+122x-6 . 26x-3 = 25x+5 28x-9 = 25x+5( 8x - 9 = 5x + 5

3x = 14

( C.S. =

04. Calcular: x en:

(x-3)x-3 = 550Resolucin:

Como en el primer miembro la base y el exponente son iguales, damos forma al segundo miembro

(x-3)x-3 = (52)25(x-3)x-3 = 2525( x - 3 = 25

( x = 28

05. Resolver:

Resolucin

Dando forma al primer y segundo miembro

( x2 = 2

( x (

( C.S. =

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Si: 75-x = 492x-5 el valor de x que verifica dicha ecuacin es:

a) 1

b)2

c) 3

d)4

e)5

02. Calcular x en:

y dar como respuesta el valor de:

a) 1

b)

c)

d)2

e)

03. Calcular el valor de x en: 25x-3 = 1252-xa) 2,1b)2,2

c) 2,3

d)2,4e)2,5

04. Si el exponente de 7 en:

77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77Es: 16n, en valor de n es.

a)4

b)2

c)1

d)172e)1/4

05. Si: (-1, es la solucin de la ecuacin:

5x+1 . 25x-2 = 1253El valor de (+1, es:

a) 2

b)3

c)4

d)5

e)6

06. Calcular el valor de x en:

a)1

b)3/4

c)

d)174e)0

07. Hallar x en: 2001x-3 = 2004x-3Y dar como respuesta el valor de:

a) 2

b)4

c)9

d)16e)25

08. Si: , el valor de x en: ; es:

a)12b)15

c)16

d)18e)21

09. Si: , siendo a > 0 ( a ( 1; la suma de cifras de a3a, es:

a)9

b)8

c)7

d)6

e)4

010. Luego de resolver la ecuacin:

El valor de: x2 + x : es

a)14b)13

c)12

d)11e)10

011. De la siguiente ecuacin exponencial: 4x 4x-1 = 24

El valor de: (2x)x, es:

a)5

b)

c)25

d)125e)

012. Resolver la ecuacin: 5x + 5x+1 + 5x+2 = 775

Y dar como respuesta el valor de: 3x-1

a)5

b)4

c)3

d)2

e)1

013. El valor de x en:

a)

b)

c)

d)

e)

014. El producto de cifras del valor que verifica la ecuacin:

a)8

b)6

c)12

d)24e)36

015. Si: , el valor de es:

a)1

b)2

c)3

d)4

e)5

016. Sabiendo que: 322x-1 = 16x+4El valor de x-1 es:

a) 2

b) 2,5

c) 3

d) 3,5e) 4


2x-1 . 5x-1 = 0,0000001.102x+3a)-2

b)-1

c)1

d)2

e)3

018. Si ( es la solucin de la ecuacin:

El valor de: M = (5 - (4 + (3 - (2 + (-1 -; es:

a)-2

b)-1

c)0

d)1

e)2

019. Resolver la ecuacin: 2x-1 . 4x-2 . 8x+3 = 32x+1Indicando el valor de E=x99 x66 + x-2 + 1

a)5

b)4

c)3

d)2

e)1

020. Calcular el valor de m en:

a)100b)125

c)150

d)175e)200

TAREA


Y dar como respuesta el valor de:

E= x5 + x4 + x3 + x2 + x+1

a) 6

b)5

c)4

d)3

e)0

02. El valor de x que verifica la ecuacin es:

3x + 3x-1 + 3x-2 + 3x-3 + 3x-4 = 363

Es:

a)3

b)4

c)5

d)6

e)7

03. Si se cumple:

Calcular el valor de n

a)1

b)2

c)3

d)4

e)5

04. Luego de resolver:

Calcular el valor de:

a)

b)

c)

d)

e)2

05. Si:

Un valor de: M = (4a)4a; es:

a)174b)1

c)4

d)16e) hay dos correctas

Es una expresin algebraica racional entera, es decir, los exponentes de su(s) variable(s) pertenecen a los enteros no negativos

(0; 1; 2; 3; ....... = EQ Z\S(\S\up4(+),\S\do4(o)))

Notacin MatemticaNos permite diferenciar variables de constantes

Ejemplo:

E(x; y) no es un polinomio porque exp(y) = EQ \F(1,2) ( EQ Z\S(\S\up4(+),\S\do4(o))Ejemplo :

P(x; y) es un polinomio porque los exp. de x e y ( EQ Z\S(\S\up4(+),\S\do4(0))POLINOMIO DE UNA VARIABLE

; ( a0(0 ( n ( Z+Variable : x ; coeficientes(P) : a0, a1; a2; ....; an

Grado de P : Gdo(P) = n

Ejemplo:P(x) = x5 + 4x - 2

Coeficiente (P) : 1; 4; -2; Gdo (P) = 5

(Coeficiente Principal (C.P.): Coeficiente del trmino de mayor grado

(Trmino Independiente (T.I.) : Es aquel trmino que no depende de su(s) variable(s).

Ejemplo:

Polinomio Mnico P(x) : SHAPE \* MERGEFORMAT

Ejemplo:P(x) = 37x2 + 8x + x4 -1

CP(P) = 1 : P(x) es mnico

POLINOMIO DE DOS O MS VARIABLESEjemplo:

P(x; y) = 5x4y6 - 2x3y2 + EQ \R(3)xy- 6

variables :x e y

Coeficientes (P) : 5; -2; EQ \R(3); -6

Segn el nmero de trminos un polinomio reducido se clasifica en:

Monomio : un slo trmino

Binomio : slo dos trminos

Trinomio : slo tres trminos

Pol. del nmero de trminos : nmero trm. ( 4

Ejemplo:

Luego:

P(x; y) = 3x2y3 + 12xy2( P(x; y) es un binomio

( TRMINOS SEMEJANTES:

Son aquellos trminos que presentan las mismas variables elevadas a los mismos exponentes respectivamente

VALOR NUMRICO (V.N.)Es aquel valor que admite una expresin matemtica cuando se reemplaza su(s) variable(s) por constantes

Ejemplo:

Sea E(x; y) = 5x2

Para x = 3 ( y = 8:

E(3; 8) = 5.32 .

E(3; 8) = 5.9.2 = 90

Ejemplo:

Sea P(x) = 5x2 - 1

Para x = 3: P(3) = 5 . 32 - 1 = 44

Para x = -1: P(-1) = 5 . (-1)2 - 1 = 4

Para x =EQ \F(1,\R(5)) : P

Ejemplo:

Sabiendo que :

P(x - 1) = x5 - 25x3 + 3x + 1

calcular el valor de P(4)

Sea : x - 1 = 4 ( x = 5

en P : P(5 - 1) = 55 - 52 . 53 + 3 . 5 + 1

( P(4) = 16

PROPIEDADESSea el polinomio P(x)



Ejemplo:

Sea : P(x) = (x + 5)(x3 - 2)(x- 3)

I.(Coef. (P) = P(1) = 6(-1)(-2) = 12

II.T.I.(P) = P(0) = 5(-2)(-3) = 30PROBLEMAS RESUELTOS

01. Si el polinomio: P(x)=xn-5 - 3x+n2 es cbico; entonces su T.I. es:

Resolucin:

Como: P(x) = xn-5 - 3x + n2 es cbico, entonces Gdo (P) = 3:

n 5 = 3 ( n = 8, luego:

P(x) = x3 3x + 64

( TI(P) = 64

02. Si la expresin:

E(x) = axb-3 + bxa+2 + abx6se reduce a un monomio (ab ( 0), entonces el valor de 2 + 3b es:

Resolucin:

Para que se reduzca a un monomio los trminos deben ser semejantes

( b 3 = a + 2 = 6

( b = 9 ( a = 4

( 2 `3b = 35

03. Sea P(x) un polinomio lineal y mnico, tal que: P(13) = 20; entonces el valor de P(-2) es:

ResolucinComo P(x) es lineal y mnico,

entonces: P(x) = x + b

adems: P(13) = 20

13 + b = 20 ( b = 7

Luego: P(x) = x + 7

( P(-2) = 5

04. Dada la expresin:

Calcular el valor de E(3)Resolucin

Como piden E(3) , entonces:

Reemplazando en E:

E(3) = 256 224 + 1

( E(3) = 33

05. Sea el polinomio:

P(x) = (ax+1)(a2x+1)(a3x+1).(a19x+1)


Resolucin

Dado el polinomio:

P(x) = (ax+1)(a2x+1)(a3x+1).(a18x+1)(a19x+1)

Reemplazando x por ax

P(ax) = (a.ax+1)(a2-ax+1)(a3.ax+1).(a18.ax+1)(a19.ax+1)

P(ax) = (a2x+1)(a3x+1) (a4x+1).(a19x+1)(a20x+1)

Luego:

(


SESIN A

01. Sean las siguientes expresiones:

P(x,y) ( 13x7y2 + 5xy-5 +12

Q(x;y) ( -4x3 + 5xy7

R(x;y) ( x6 + 2y3 3x2y4 + 2006

S(x;y) ( x3 6y2 + 32x - 1

Cuntas representan a un polinomio?

a)0

b)1c)2

d)3

d)4

02. Si el polinomio:

Q(x) ( mxm-3 + (1-m2)x+7m-1

Es de segundo grado, la suma de sus coeficientes, es:

a)10b)15

c)20

d)25e)30

03. Sea:

P(x) ( (m+6)xn+4 - mx2 + nx - mn

Un polinomio cbico y mnico, el menor coeficiente de P(x) es:

a) -5b)-1

c)0

d)1

e) 5

04. La suma de coeficiencias del siguiente polinomio:

N(x;y) ( x3y4 2yz + 3x(1+z)+5

es:

a)10b)7

c)2

d)9+ze)7+3z

05. Calcular la suma de los valores de n que hace que la expresin:

Nos representa a un polinomio:

a)16b)17

c)18

d)19e)81

06. Si: P(x) ( x2005 x + 2


M = (P(0) + 1(P(-1)+(P(1)a) 1

b)3

c)9

d)27e)81

07. Si el polinomio: P(x) ( 5xn-2 + 2m + 1, es lineal, adems

P(4) = 29; el valor de mn, es:

a)8

b)12

c)10

d)15e)18


P(x) ((a-2)x3 + (b-1)x2 + abx + a2 + b2es de primer grado, calcule usted el valor de:

M = P(1)+P(3)-1

a)13b)14

c)16

d)17e)20

09. Si: P(x) ( x2 1 ( Q(x) = 2x+3

Calcule usted el valor de:

E = P(Q(2)) Q(P(2))

a)41b)37

c)40

d)38e)39

010. Si: H(x-2) ( x10 125x7 + 4x2 + 1

El valor de H(3), es:

a) 100b)101

c)103

d)104e) 106

011. Si: F(x+1) = F(x) + 2x + 4 y F(0) = 2

Entonces: F(1) + F(-1) vale:

a) 0

b)2

c)6

d)-2

e)-6

012. Calcular el trmino independiente de:

P(2x-4) ( x8 8x5 + 7x + 1

Y dar como respuesta la suma de sus cifras

a)3

b)4

c)5

d)6

e)7


P(x-1) ( (2x + 1)(x+a)(x-1)

Si: P(1) + P(0) = 30, el valor de a es:

a)1

b)2

c)3

d)4

e)5

014. Si: F(x) ( 5x 1

adems: F(G(x) -5) ( 10x 1

calcule usted el valor de: M=F(G(F(-1)))

a)36b)16

c)1

d)-16e)-36

015. Sabiendo que J(2x-1) ( 4x+3, el valor de: J(5x+1)es:

a) 7x+1b) 8x+5

c) 9x+6

d) 10x+7e) 11x+8

016. Calcular la suma de los valores de n para que la siguiente expresin:

E = (x;y) ( 7xn-5y12 13x17y20-n+2006nos represente a un polinomio

a)190b)195

c)200

d)205e)210

017. Si el coeficiente principal de:

P(x) ( (m+3)x4 2mx + 5x2 2m2 + 1

Es: 7, su trmino independiente es:

a)-33b)33

c)-31

d)31e)-7

018. Dado el siguiente monomio:


E = 2a1 + 3a2 4a3a)-2

b)-1

c)0

d)1

e)2

019. Si el coeficiente principal y el trmino independiente del siguiente polinomio

P(x) ( (8-n)x3 + nx2 x + (n-4)

Son iguales, calcular: P(-1)

a) 3

b) 5

c) 6

d) 7

e) 9

020. Si el polinomio: P(x) ( (a-2000)x2+a

es mnico, calcule usted el valor de:

E = P(1)+P(2)+ + P(5)

y dar como respuesta la suma de cifras de E

a) 5

b) 6

c) 7

d) 9

e)12TAREA01. De la siguiente expresin:

Calcule usted el valor de: P(5)

a) 37b) 36

c) 38

d) 35e) 39

02. Sabiendo que:

el valor de:

a) 10b) 20

c) 30

d) 40e) 50

03. Si:

adems: F(x) ( ax + 1

indique el valor de:

a) 1

b)-1

c)2

d) -2e) -3

04. Dada la funcin: Fm(x) = mx + b, m ( Z+Sabiendo que: Fm(F m(0)) = Fm+1(b) + b

Calcular: F5 (F3(1)), dando como respuesta la suma de sus cifras:

a) 4

b) 5

c) 7

d) 3

e) 5

05. Sabiendo que:

P(x+5) = 2x-1 ( P(F(x)+1) = 4x+3

Calcule: F(P(7)(a) 10b) 12

c) 15

d) 18e) 22

GRADOS: Es una caracterstica de las expresiones algebraicas relacionada con los exponentes de su(s) variable(s).

Estudiaremos a los grados de polinomios

CLASES DE GRADOS1.Grado Relativo (G.R.)Es el exponente de una determinada variable

2.Grado Absoluto (G.A.)Es la suma de los exponentes de los variables de un trmino

Ejemplos: En un monomio

M(x; y) = 73x4y8

G.R(x) = 4

G.R(y) = 8

G.A(M) = 4 + 8 = 12


Ejemplo:

En un polinomio con ms de un trmino

P(x; y) = 8x3y7 + 5x5y6 + 13x4y8 ((((( ((((( (((((G.A(t) : 10 11 12

G.R(x) = 5 (mayor exponente)

G.R(y) = 8 (mayor exponente)

G.A(P) = 12 (mayor G.A de sus trminos)

POLINOMIOS ESPECIALES1.Polinomio HomogneoEs aquel polinomio en el cual todos sus trminos admiten el mismo G.A.

Ejemplo:

P(x; y) = x7y10 + 13x12y5 + 41x4y13 ((((( ((((( (((((((G.A(t) : 17 17 17

G.A(P) = 17 (Gdo de homogeneidad)

2.Polinomio Idnticamente NuloUn polinomio reducido es idnticamente nulo si y slo si todos sus coeficientes son iguales a cero

Ejemplo:

Sea : P(x) = ax2 + bx + c

si: P(x) ( 0 ( a = 0 ( b = 0 ( c = 0

Ejemplo:

Sea : T(x; y) = mx4y + nx5y3si: T(x; y) ( 0 ( m = 0 ( n = 0

3.Polinomio IdnticosDos o ms polinomios reducidos son idnticos si y solo si los coeficientes de sus trminos semejantes son iguales

Ejemplo:

Sean los polinomios:

P(x) = ax2 + bx + c

Q(x) = mx2 + nx + q

si P(x) ( Q(x) ( a = m ( b = n ( c = q

Ejemplo:

Sean los polinomios:

P(x; y) = ax3y2 + bx2y5Q(x; y) = mx2y5 + nx3y+si P(x; y) ( Q(x; y) ( a = n ( b = m

4.Polinomio CompletoUn polinomio reducido es completo respecto a una variable si aparecen todos los exponentes de dicha variable, desde el exponente cero hasta el mayor

Ejemplo:

P(x) = 7x3 - 5x4 + 4x - 3x2 + 1

exponentes de (x( : 3; 4; 1; 2; 0

entonces P(x) es un polinomio completo

5.Polinomio OrdenadoUn polinomio reducido es ordenado respecto a una determinada variable (variable ordenatriz), si los exponentes de dicha variable aumentan (ordenado ascendentemente) disminuyen (ordenado descendentemente)

Ejemplo:

P(x) = x10 - 4x7 + 13x2 - 15

como los exp.(x) disminuyen

( P(x) es ordenado descendentemente

Ejemplo:

Q(x) = x2 - 4x5 + 7x12 + 3x59como los exp(x) aumentan

( Q(x) es ordenado ascendentemente

6.Polinomio Completo y OrdenadoEs aquel polinomio completo y ordenado a la vez, es decir los exponentes de una determinada variable aumentan desde el cero hasta el mayor o disminuyen de uno en uno desde el mayor hasta el cero.

Ejemplo:

P(x) = 7x3 - 4x2 + 12x + 1

como los exp(x) disminuyen de uno en uno desde 3 hasta 0 (T.I.)

( P(x) es comp. y ord. descendente

Ejemplo:

Q(x) = 5 - 4x + 3x2 - 9x3 + 17x4como los exp(x) aumentan de uno en uno desde 0 (T.I.) hasta 4

( Q(x) es comp. y ord. ascendentemente

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Dado el monomio: M(x;y) = abx2a+byb-aSi: GR(x) = 7 ( GR(y) = 1; entonces el coeficiente de M es:

Resolucin

Sea: M(x;y) = abx2a+byb-a, como:

GR(x) = 7: 2+b=7..(1)

GR(y) = 1: b-a=1(2)

(1)-(2): 3 = 6 ( a=2

en (2): b-2=1 ( b=3

Piden: chef. (M)=ab( Coef.(M) = 23 = 8

02. Dado el siguiente polinomio:

P(x;y)=xa-1yb-3 - 2xayb-4 + 4xa+1yb-6Si: GR(x) = 5 ( GR(y) = 3; entonces el valor de ab es:

Resolucin

Como el grado relativo es el mayor exponente de la variable:

GR(x) = a+1 = 5 ( a=4

GR(y) = b - 3=3 ( b=6

( ab = 24

03. Si el polinomio: P(x) = (a-3)x3 + (b-2)x2 + c-5

es idnticamente nulo; entonces el valor de abc es:

Resolucin

Como: P(x) = (a-3)x3 + (b-2)x2 + c-5 ( 0

( a - 3 = 0 ( b -2 = 0 ( c-5 = 0

( a = 3 ( b = 2 ( c= 0

( abc = 30

04. Sabiendo que el polinomio:

P(x) = x3 - 2xa-1 + 7xb-2 + 13

es completo, entonces la suma de los valores de ab es:

Resolucin

Como: P(x) = x3 - 2xa-1 + 7xb-2 + 13

Es completo, presentamos 2 casos

i) a-1 = 2 ( b 2 = 1

( a = 3 ( b = 3

ii) a = 2 ( b = 4

( (ab = 9 + 8 = 17


P(x) = x4 5xa-1 + 7xb+1 -10xc-2 + abc

es complete y ordenado; entonces su T.I. es:

Resolucin

Como el T.I. est al final, entonces p(x) es completo y ordenado decrecientemente:

Exp(x):

( a = 4 ( b = 1 ( c = 3

( TI(P) = abc = 12


SESIN A

01. Sea el monomio. M(x;y) ( -41xm-2ny2m+n

si GR(x) = 7 ( GA(M) = 15

calcular el valor de: E = mn + nma) 17b) 16

c) 15

d) 14e) 13

02. Calcular el grado de:

P(x,y) ( (x2y+1)4 (xy3+x2)5 (x2+y2)3a) 12b) 13

c) 22

d) 33e) 38

03. Seale el coeficiente del monomio:

M(x;y) = 5, 2m(m+n)xm-n y2m+nSi es de: G.A = 9; G.R.(y) = 8

a) 20b)200

c) 2

d) 40e) 400

04. El polinomio: P(x;y)=35xn+3ym-2z6-n+xn+2ym-3GA(P) = 11; GE(x)-GR(y) = 5

Luego 2m+n es:

a) 5

b) 10

c) 15

d) 25e) 12

05. Si el grado absoluto del siguiente polinomio:

P(x;y) ( 2xaya+1 + 5x2aya+3 - axa-6ya+7 + 7x2aya+2Es igual a 33; el G.R. (x) y G.R. (y) respectivamente, son:

a) 10 y 23 b) 20 y 12

c) 20 y 17

d) 10 y 11 e) 14 y 10

06. Hallar: E = m+n+mn si el G.A. de polinomio

P(x;y) ( 4xm+3yn-2 + 5xm+1yn+1 + 7xmyn+2es 8 y el grado relativo a x supera en una unidad al grado relativo a y

a) 15b) 14

c)16

d) 18e) 13

07. Siendo (Px,y,z) = axayb + bybzc + cxazcUn polinomio homogneo, calcular el valor de:

a) 1

b) 1/2

c) 1/3

d) 3

e) 2

08. Si los polinomios:

P(x;y) = xa-3yb+1 + x3aQ(x;y) = xn+12 + xc-1y2b-5son idnticos, calcular: H = (a-b+c)2a) 0

b) 1

c) 4

d) 9

e) 16

09. Si se cumple la identidad:

ax2 + c ( (10 - a)x2 + (a b + 3)x - 3c + b

calcular el valor de: a b + c

a) 1

b) -1

c) 0

d) 2

e) 7


Q(x) ( x5 - 3x2 + ax2a-1 + (a+1)xa-1 + x4 + a2es completo, la suma de sus coeficientes es:

a) 5

b) 6

c)7

d) 8

e) 10

011. El polinomio: P(x) ( x3n-1 + x3n-2 + x3n-3 + .+ 1

Es completo y ordenado Cuntos trminos tiene?

a) 2n-1b) 3n-1

c) 2n

d) 3ne) n + 1

012. Si el polinomio: P(x) = axn+1 + bxb+1 + cxc+3 + abc

es completo y ordenado, calcular P(2)

a) 13b) 12

c) 10

d) 9

e) 6

013. Cul de los siguientes polinomio:

P(x;y) ( x3 - 3xy2 + 5x2y + y3Q(x) ( x3y3 - 2x2y2 + 7xy + 1

R(x;y) ( x3 - 2x2y + 4xy2 - y3Es completo y ordenado?

a) P

b) Q

c) R

d) P y Qe) Q y R

014. En el monomio:

Su G.A.(M) = 10 G.R.(x)=7; el valor de su coeficiente es:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

015. Dado los polinomios:

P(x;y) = x2m+2 + xm+1ymQ(x;y) = xm+1 + xm+1y + xym+2Calcular el grado relativo a x en Q(x;y) si se sabe que el grado absoluto de P(x;y) es al grado absoluto de Q(x;y) como 4 es a 3

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

016. Si el grado del polinomio:

R(x) ( (5x2 + 7)n (10x3 - 3)n-2 (x5 - 1)

es 49, calcular el valor de:

a)

b)

c) 3

d) 4

e)

017. Dados los polinomios P(x) y Q(x), se sabe que los polinomios:

son de grado 17 y 2 respectivamente. Hallar el grado de P(x) Q(x)

a) 4

b) 6

c) 10

d) 15e) 12

018. En el polinomio homogneo

calcular: a + b + c

a) 5

b) 6

c) 7

d) 9

e) 15

019. Si el polinomio: P(x;y) ( 2xa (xy2)b (xy)4y

es homogneo. Encuentre P(3b; a)

a) 4

b) 0

c) 1

d) -2e) 3

020. Sabiendo que el siguiente polinomio:

P(x) = (a + c - 3abc)x2 + (a + b - 6abc)x + (b + c - 7abc)

es idnticamente nulo, calcular:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 8

e) 1601. Si el polinomio:

P(x) ( (a -3)x2 + (a b + 5)x + c ab + 1

Se anula para ms de dos valores diferentes entre s,

calcular el valor de :

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

02. Si los polinomio: P(x) ( x3 + 4x2 - 3x

Q(x) ( (A-2)x4 + (B-2)x3 + (2C-6)x2 + Dx + E

son idnticos. Calcular el valor de: A+B-C-D-E

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

03. Sean los polinomios:

P(x) ( a(x+1)(x-2) + b(x-2)(x-3) + c(x-3)(x+1)

Q(x) ( 6x2 23x + 7

Si P(x) ( Q(x); el valor de ab + c es.

a) -2b) -1c) 0

d) 1

e) 2

04. Si el polinomio: P(x) ( x3 + 3xm-2 xn-4 + mn

Es completo, un valor de mn, es:

a) 17b) 19

c) 20

d) 21e) 24

05. Si el polinomio: Q(x) ( xa-1 + axb-2 + cxc-4 + abcx3es completo y ordenado, el valor de Q(1) es:

a) 22b) 24

c) 25

d) 26e) 28

Son aquellos productos que se obtienen directamente sin la necesidad de realizar la operacin de multiplicacin debido a su forma


donde: A, B son factores y C el producto

Ejemplos de multiplicacin:

Estudiaremos a los ms importantes:

1.Binomio al Cuadrado


Ejemplos:

(x + 4)2 = x2 + 2.x. 4 + 42 = x2 + 8x + 16

(3z - 1)2 = (3z)2 - 2 . 3z.1 + 12 = 9z2 - 6z + 1

2.Identidad de Legendre


Ejemplos:

EQ (\R(7)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()\R(3))\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()(\R(7)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()\R(3))\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()2(\R(7)\S\up4(\d\fo1()\d\fo1()2)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()\R(3)\S\up4(\d\fo1()\d\fo1()2))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()20(5x + 3y)2 - (5x - 3y)2 = 4(5x)(3y) = 60xy

3.Diferencia de Cuadrados


Ejemplos:

(2x + y)(2x - y) = (2x)2 - y2 = 4x2 - y2(EQ \R(13) + 2)(EQ \R(13) - 2) = EQ \R(13)2 - 22 = 9

(x + y + z)(x + y - z) = (x + y)2 - z2Observacin:(am + bn)(am - bn) ( a2m - b2nEjemplo:

(x3 + y2)(x3 - y2) = x6 - y44.Binomio al cubo SHAPE \* MERGEFORMAT

Identidad de Cauchy


Ejemplos :

(x + 1)3 = x3 + 13 + 3x . 1(x + 1)

(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

(x - 1)3 = x3 - 13 - 3x . 1(x - 1)

(x - 1)3 = x3 - 3x2 + 3x -1

(2m + n)3 = (2m)3 + n3 + 3(2m)n(2m + n)

= 8m3 + 12m2n + 6mn2 + n35.Suma y Diferencia de cubos

Ejemplo::

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Si: x2+y2 = 2xy, calcular el valor de:

ResolucinDel dato: x2 2xy + y2 = 0

(x-y)2 = 0

x y = 0 ( x = y

reemplazando:

( M = 8

02. Si: (x+y)2+(x-y)2 = -4xy, calcular el valor de:

Resolucin

Del dato:

Reemplazando:

( E = -2

03. Sabiendo que:

Entonces el valor de:

Es:

Resolucin

Multiplicando :

( E = 2

04. Si: m3+n3 = 3mn(m+n), calcular

el valor de:

Resolucin

Del dato: m3+n3+3mn(m+n)=0

(m+n)3=0

m+n=0 ( m= -n

Reemplazando:

(H= -3


Resolucin

Dando forma a la expresin:

( T= 3PROBLEMAS PROPUESTOS

SESIN A

01. Si la siguiente expresin:

es equivalente a: , entonces el valor de ab, es:

a) 35b) 36

c) 38

d) 40e) 41

02. Si luego de efectuar: M (x-1)2 + (x-2)2 + (x-3)2

se obtiene: ax2 + bx + c, calcular el valor de:

3a + 2b + c

a) -5b) -3

c) -1

d) 2

e) 4

03. Si: (x+y)2 = 4xy


a) x/2b) x

c) 2x

d) x/3e) 5+x/2

04. Sabiendo que: x + y = ( x.y = 5

el valor de: x2 + y2; es:

a) 19b) 20

c) 24

d) 27e) 39

05. Si:

calcular el valor de:

a)

b)

c)

d)

e) 1

06. Si se cumple: x2 3x + 1 = 0


a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

07. Sabiendo que:

el valor de G + H, es:

a) 51b) 52

c) 53

d) 54e) 55

08. Si:

calcular:

a) 3

b) 2

c) 1

d) 1/2e) 1/3

09. La expresin:

es equivalente a:

010. Sabiendo que a + b = ab = 5, calcular:

a) 1/2b) 1

c) 1/3

d) 2/3e) 1/5

011. Si: x2 6x 2 = 0

el valor de: x3 - , es:

a) 352b) 252

c) 254

d) 542e) 534

012. Si luego de efectuar:

J = (x+z)(x2-xz+z2) - (y-z)(y2+yx+z2)

se obtiene: ax3 + by3 + cz3, calcular el valor de:

a) -2b) -1

c) 0

d) 1

e) 2

013. Sean x e y nmero reales, tal que:

x2 + y2 + 26 = 2(5x+y)

calcular el valor de: xy + yxa) 6

b) 7

c) 10

d) 12e) 15

014. Sabiendo que: a + b + c = , calcular el valor de:

E = (x-a)2 + (x-b)2 + (x-c)2a) a2b) b2

c) c2d) a2+b2+ce) a2b2c2015. Sabiendo que:

Hallar el valor de:

a) 19b) 21

c) 23

d) 25e) 35

016. Sabiendo que:

Se deduce que: ; es:

a)

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


a) b2b) a2

c) c2d) 2b2e) 2c2018. Efectuar:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

019. Si: a2 = b +1, calcular el valor de:

a) (b+1)5b) a4

c) (b+1)3d) a

e) b+1

020. Calcular el valor de: x3 + 3x + 7

Sabiendo que:

a) 9

b) 5

c) 0

d) -1e) -2

TAREA01. Si:

Calcular el valor:

a) 13b) 14

c) 15

d) 16e) 17

02. Si: x y = 7 ( xy = 9, calcular el valor de: x2+y2a) 67b) 68

c) 70

d) 71e) 73

03. Si: , el valor de:

; es:

a) 7

b) 1

c) -1

d) -2e) -7


a) 9/10b) 3/5

c) 10/9

d) 5/3e) 1

05. Si: x y = 6 ( xy = 8, el valor de x3 y3 es:

a) 330b) 350

c) 360

d) 370e) 390

01. Identidad de Stevin:

Ejemplos:

(x+3)(x+7) = x2 + 10x+21

(x+8)(x+5) = x2-3x-40

(2x+1)(2x+7) =(2x)2 +8(2x)+7

= 4x2+16x+702. Trinomio al Cuadrado

Ejemplos:

(x + 2y + 3z)2 =x2 + (2y)2+(3z)2+2(x.2y+2y.3z+3z.x)

=x2+4y2+9z2+2(2xy+6yz+3zx)

(m-5n+2p)2 = m2+(-5n)2+(2p)2+2(m(-5n)+(-5n)(2p)+(2p).m)

= m2+25n2+4p2+2(-5mn - 10np + 2pm)03. Trinomio al Cubo

04. Identidades CondicionalesSi: a + b + c = 0, entonces:

a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)

a3 + b3 + c3 = 3abc

Ejemplo:

Si a + b + c = 6, calcular el valor de:

T = EQ \F((a\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1)\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()(b\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()2)\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()(c\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()3)\S\up4(3),(a\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1)(b\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()2)(c\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()3))Del dato: a + b + c - 6 = 0

descomponiendo (-6( y agrupando

(a - 1) + (b - 2) + (c - 3) = 0

como la suma de estos tres nmeros es cero

( (a - 1)3 + (b - 2)3 + (c - 3)3 = 3(a - 1)(b - 2)(c - 3)

Reemplazando:

T = EQ \F(3(a\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1)(b\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()2)\d\fo1()(c\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()3),(a\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1)(b\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()2)(c\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()3))

( T = 3

TEOREMAS:I.Sean a y b ( (si: a2 + b2 = 0 ( a = 0 ( b = 0

II.Sean a, b y c ( (si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ( a = b = c

PROBLEMAS RESUELTOS01. Calcular el valor de:E = (x2+1) (x2+7)- (x2+3) (x2+5)Resolucin:Aplicando la identidad de stevin

( E = -802. Si: x2+5x-4=0, calcular el valor de:T = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+20

Resolucin:

Del Dato : x2+ 5x = 4

Piden:

Reemplazando

T = (8)(10)+20

( T = 100

03. Sabiendo que: x3+y3+z3 1 = -3(x+y)(y+z) (z+x)calcular el valor de:

Resolucin:

Del dato: x3+y3+z3+3(x+y)(y+z) (z+x) =1

(x+y+z)3 = 13 x+y+z = 1 ( x+y=1-z

reemplazando:

( E = 104. Si: a + b + c = 0, calcular el valor de:

Resolucin:

En J:

como: a+b+c=0 ( a+c=-b

reemplazando:

( J = 105. Sabiendo que: x+2y+3z=0,


Resolucin:

En F:

Como: x+2y+3z=0 ( x3(2y)3+(3z)3 = 3x(2y)(3z)( x3+8y3+27z3 = 18xyzReemplazando:

( F = 18

PROBLEMAS PROPUESTOS01. Calcular el valor de:

a)

b)

c)

d)

e) 102. Calcular la suma de cifras de P.Q., sabiendo que: P = (x+7)(x+1)-(x+9)(x-3)

Q = (x2+5(x2-1)-(x2+7)(x2-3)

a) 4b) 5

c) 6

d) 7e) 8

03. Efectuar: (n+1)(n-2)(n2-n+1)- (n2 n-4) (n2-n+3)a) 12b) 14c) 10

d) -12e) -14

04. Sabiendo que: P=(x2+8+11)2 - (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) calcular el valor de:

a) 0,6b) 0,7c) 0,8

d) 1e) 1,3

05. Calcular el valor de:M = (x+2+3y)2 - 4xy - 12yz - 6zxa) x2 + y2 + z2

b) x2 + 2y2 + 3z2c) x2 + 4y2 + 9z2

d) x2 + 2y2 + 9z2e) x2 + 4y2 + 3z206. Si: a>b>c>0, adems:


a) 1b) 2

c) -1d)

e) 407. Si el polinomio:P(x)=(a2+b2-5)x4 + (b2+c2-13)x2 + (c2+a2-10)se anula para ms de 4 valores diferentes, calcule:

a) 4b) 3

c) 2

d) 1e) -2

08. Sabiendo que: 3(x+y)(y+z)(z+x) = 8-x3+y3+z3Calcular el valor de:

a) 1b) 2

c) 4

d) 5e) 9


se obtiene:

a) -3b) -1c) 0

d) 1e) 3

010. Si: m + n + p = 0, calcular el valor de:

a) -5b) -4c) -3

d) -2e) -1

011. Si: a + b +c = 0, el valor de:

es:

a) b)

c) 1

d) 2e) 3012. Si: la siguiente expresin:

Es equivalente a:

a) (a-2)(b-1)(c-3)

b) (a-2)(b-1)(c-3)

c) (a-2)(b-1)(c-3)

d) (a-2)(b-1)(c-3)

e) (a-2)(b-1)(c-3)

013. Si:


a) -3b) -1c) 0

d) 1e) 3

014. Sean x e y dos nmeros que pertenecen a los reales, tal que: x2+y2+13=2(3x-2y)

a) 2b) 1

c) 0

d) -1e) -2

015. Sabiendo que:

(a+b+c)2 = 3(a2+b2+c2) ( a; b; c (

Hallar el valor de:

a) -32b) 40c) 32

d) -40e) 18

016. Si: a2+3a=8, calcular el valor de:J = (a+6)(a+4)(a-3)(a-1)+50Se obtiene:

a) 15b) 13c) 12

d) 10e) 8


G = (x+1)2(x+2)2 - (x-5)2(x+4)2-36(x2-x)Se obtiene:

a) 196b) 296c) 491

d) -296e) -396


T (m-3)4 m(m-6)(m-4)-10(m-6)-1Se obtiene:

a) 60b) 70c) 80

d) 90e) 100

019. Sabiendo que:

A = (x2 + 5)(x2 2) (x2 + 4) (x2 1)B = (x3 + 7)(x3 +1) (x3 + 10) (x3 2)

El valor de 2A+B es:

a) 11b) 14c) 15

d) 17e) 19


Se obtiene:

a)

b)

c) x+y+z

d) x2 + y2 + z2e)

TAREA01.Sabiendo que: a3+b3+c3-125 = -3(a+b)(b+c)(c+a)Calcular el valor de:

a) 1b) 2

c) 3

d) 5e) 25


a) -3b) -1c) 0d) 1e) 3

03. Sabiendo que: a + b + c = 0


a) 1b) 2

c) 3

d) 4e) 5

04. Sabiendo que:


a) -9b) -8c) -7

d) -6e) -3

05. Sean a y b nmeros reales que verifican la condicin: 4a2 + 9b2 + 5 = 4(a+3b)

El valor de (ab)-1, es:

a) 3b) 2

c) 1

d) 1/2e) 1/3

FACTORIAL DE UN NMERO NATURAL Notacin : n! ,

Definicin:

( n ( ( ( n ( 2

Ejemplo:

2! = 1 . 2 = 2

3! = 1 . 2 . 3 = 6

4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24

5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720

7! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5 040

Definicin:Propiedades:1.Si : a! = b! ( a = b ( Z+ - {1}

2.Si : x! = 1 ( x = 0 ( x = 1

3.n! = n . (n - 1)!

Ejemplo:

5! = 5 . 4! = 5 . 4 . 3!

(x + 2)! = (x + 2) . (x + 1)! = (x + 2)(x + 1)x!

4.n . n! = (n + 1)! - n!

5.EQ \F(n,(n\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1)!)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(1,n!)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()\F(1,(n\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1)!)NMERO COMBINATORIONotacin :

Definicin:

EQ C\S(\S\up4(n),\S\do4(k))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(n!,k!(n\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()k)!) ; ( n, k ( Z+ ( n ( k

Se lee: Combinaciones de (n( elementos tomados de (k( en (k(Ejemplos:

Definicin: SHAPE \* MERGEFORMAT

Propiedades1.EQ C\S(\S\up4(n),\S\do4(1)) = n

2.EQ C\S(\S\up4(n),\S\do4(n)) = 1

3.Nmeros combinatorios complementarios

Ejemplo:

EQ C\S(\S\up4(2\d\fo1()\d\fo1()007),\S\do4(2\d\fo1()\d\fo1()006))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(2\d\fo1()\d\fo1()007),\S\do4(1))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()2\d\fo1()\d\fo1()00074.EQ C\S(\S\up4(n),\S\do4(k))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(k\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1),\S\do4(k\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1))Ejemplo:

E = EQ C\S(\S\up4(12),\S\do4(2))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()2C\S(\S\up4(12),\S\do4(3))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(12),\S\do4(4))E = EQ C\S(\S\up4(12),\S\do4(2))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(12),\S\do4(3))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(12),\S\do4(3))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(12),\S\do4(4)) ((((((((((( ((((((((((( EQ C\S(\S\up4(13),\S\do4(3)) + EQ C\S(\S\up4(13),\S\do4(4)) (((((((((((((((((((((((((((((

E = EQ C\S(\S\up4(14),\S\do4(4))5.Degradacin de ndices

I.

II.

III.

6.Si: EQ C\S(\S\up4(m),\S\do4(p))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(q))\d\fo1()\d\fo1()!\d\fo1()\d\fo1()\b\lc\{(\A(\d\fo1()\d\fo1()m\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()n,\d\fo1()\d\fo1()p\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()q\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()w\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()p\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()q\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()n))Ejemplo:

EQ C\S(\S\up4(x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()11),\S\do4(13))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(15),\S\do4(y\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1))( EQ \b\lc\{(\A(\d\fo1()\d\fo1()x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()11\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()15,\d\fo1()\d\fo1()y\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()13 w y\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()13\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()15))( EQ \b\lc\{(\A(\d\fo1()\d\fo1()x\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()4,\d\fo1()\d\fo1()y\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()14 w y\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()3))PROBLEMAS RESUELTOS01. Calcular el valor de:

Resolucin:

Sabemos que: x! = x(x-1)!, luego:

( E = n + 202. El valor de x que verifica la igualdad:

((x-1)! 1)! = 120; es:Resolucin((x-1)! -1)! = 120 = 5!( (x-1)! -1 = 5

( (x-1)! -1 = 6 = 3!

( x-1 = 3

( x = 4


Es equivalente:

Resolucin

Como: , luego

(

04. Sabiendo que: ;entonces el mximo valor de xy es:

ResolucinComo:

Luego: xy = 40 ( xy = 10

( mx (xy) = 40


Resolucin:

PROBLEMAS PROPUESTOSSESIN A

01. De las siguientes proposiciones:( ) 0! = 1( ) 1! = 1

( ) (-2)! = 4( ) Es posible que: (3!)! = 3!! cuntas son verdaderas?

a) ningunab) 1

c) 2

d) 3

e) 4

02. Si se cumple que: (a-2)! = 6Entonces el valor que toma a es:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

03. Para qu valor de x se verifica:

a) 2006b) 2007

c) 2008

d) 2009e) 2010

04. Sea:

Calcular el valor de:E = 1 + P(98)+P(9998)

a) 109b) 108c) 110

d) 111e) 112


a) 0,7b) 0,71

c) 0,73

d) 0,75e) 0,77


Se obtiene el valor de:

a) 0,2b) 0,5

c) 0,9

d) 1

e) 2


a) 04,b) 0,5

c) 0,6

d) 0,7e) 0,8

08. Calcule usted el valor de:

a)

b)

c)

d)

e) 109. Sabiendo que:

Calcular la suma de los valores de nx

a) 100b) 110

c) 120

d) 140e)160

010. El valor de x que verifica la siguiente igualdad:

((2x-1!) 18)! = 720es:

a) 1

b) 1,5

c) 2

d) 2,5e) 3

011. Si:

encuentre el valor de:

a) 3

b) 8

c) 7

d) 4

e) 9

012. Simplificar:

a) 20b) 21

c) 23

d) 41e) 42013. Si la siguiente expresin:

1.1!+2.2!+3.3!+.+1999.1999!es equivalente a: x! y!

Calcular un valor de: x + y

a) 2000b) 2001

c) 2002

d) 2004e) ms de una es correcta

014. El valor de x que verifica la igualdad:

(2x+2)! = 720a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7


a) 0,25b) 0,5

c) 0,75

d) 1

e) 1,25

016. Calcule usted el valor de:

a)

b)

c)

d) 1

e)

017. Luego de resolver:

sea: E = n + x, calcule usted el valor de:

M = Emx + Emina) 45b) 46

c) 47

d) 49 e) 50018. Calcular:

a) 183b) 188

c) 182

d) 186e) 185

019. El valor de x que verifica la igualdad:

(5x-13)! -40 = 5000

es:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


a) x

b) 1/x

c) -1

d) 1

e) x+1TAREA01. Luego de simplificar:

Calcular la suma de cifras de E

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

02. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones

( )

( )

( )

a) FVVb) FVF

c) VVV

d) VFFe) VVF

03. Calcular el valor de

a) 1-1b) 2-1

c) 3-1d) 4-1e) 5-1

04. De la siguiente igualdad:

calcular el mximo valor de x+y

a) 12b) 15

c) 18

d) 9

e) 21

05. Sabiendo que:

el menor valor de 2m + n es:

a) 53b) 50

c) 47

d) 44e) 41

BINOMIO DE EXPONENTE NATURAL

EQ (x\d\fo1()+\d\fo1()y)\S\up4(n)\d\fo1()=\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(0))x\S\up4(n)\d\fo1()+\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(1))x\S\up4(n-1)y\d\fo1()+\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(2))x\S\up4(n-2)y\S\up4(2)\d\fo1()+\d\fo1()...\d\fo1()+\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(n))y\S\up4(n)

( n ( (, bases (x( e (y(

Ejemplo

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

# trminos = 4+ 1

Ejemplo:

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

# trminos = 5 + 1

Propiedades de (x + y)n1.El nmero de trminos de su desarrollo es (n+1(2.Los coeficientes de sus trminos equidistantes son iguales por ser nmeros combinatorios complementarios3.(x + y)n = +; +; +; +; ........(x - y)n = +; -; +; -; +; ........

Trminos de lugar impar :+

Trminos de lugar par : -

4.La suma de sus coeficientes es 2nEQ C\S(\S\up4(n),\S\do4(0))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(1))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(2))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()....\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(n))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()2\S\up4(n)EQ C\S(\S\up4(n),\S\do4(0))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(2))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(4))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()....\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(1))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(3))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(5))\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()....\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()2\S\up4(n\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1)

5.Tringulo de Tartaglia

Se obtiene trabajando con los coeficientes de la expansin de (x + y)n

Trmino GeneralSea el binomio (x + y)n, n ( (

EQ t\S\do4(k+1)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(n),\S\do4(k))\d\fo1()\d\fo1()x\S\up4(n\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()k)y\S\up4(k)Donde:tk+1 : trmino de lugar (k+1(bases x e y

Ejemplo:

Hallar t8 en (x + y)9

t7+1 = EQ C\S(\S\up4(9),\S\do4(7))\d\fo1()\d\fo1()x\S\up4(9\d\fo1()-\d\fo1()7)y\S\up4(7)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(9),\S\do4(2))x\S\up4(2)y\S\up4(7)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(9\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()8,1\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()2)\d\fo1()\d\fo1()x\S\up4(2)y\S\up4(7)

( t8 = 36x2y7Ejemplo:Hallar t13 en (x2 - y3)15como: (x2 - y3)15 = [x2 + (-y3)]15Las bases son x2 e (-y3), luego :

t12+1 = EQ C\S(\S\up4(15),\S\do4(12))(x\S\up4(2))\S\up4(15-12)\d\fo1()(-y\S\up4(3))\S\up4(12)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(15),\S\do4(3))(x\S\up4(2))\S\up4(3)(-y\S\up4(3))\S\up4(12)t13 =EQ \F(15\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()14\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()13,1\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()2\d\fo1()\d\fo1().\d\fo1()\d\fo1()3) x6y36

( t13 = 455x6y36Trmino CentralSea el binomio (x + y)n, n ( ( ( n es par

tc : trmino de lugar central Ejemplo:

Calcular el grado del trmino central de

(x4 + y5)30lugar del trmino central: luego:

tc = t15+1 = EQ C\S(\S\up4(30),\S\do4(15))\d\fo1()(x\S\up4(4))\S\up4(15)(y\S\up4(5))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()C\S(\S\up4(30),\S\do4(15))x\S\up4(60)y\S\up4(75)

( Gdo(tc) = 60 + 75 = 135

Nota:Sea : P(x; y) = (ax + by)nI.(coef. (P) = (a + b)n(x = y = 1)

II.(exponente de las variables de la expresin = ( + )EQ \F(n(n\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1),2)

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Si las expresiones:P(x;y) = (x+2y)n-13Q(x;y) = (3x+y)27-nadmiten el mismo nmero de trminos; entonces el valor de n es:

ResolucinPor dato: # trm(P) = # trm(Q)

(n-13)+ = (27-n)+

2n = 40

( n = 2002. El grado absoluto del quinto trmino de la expansin: (x2+y3)17, es:ResolucinDado: (x2 + y2)17; bases: x2 e y3

t5 = coef. x26 y 12piden: GA(t5) = 26 + 12 ( GA(t5) = 2803. Calcular el valor de n para que el grado absoluto del sptimo trmino de la expansin de: (x3+y2)n, sea 54

Resolucin

Dado: (x3 + y2)n; bases: x3 e y2

t7 = coef. x3n-18 y 12GA(t7) = 3n-18+12=54(datos)

3n-6=54

3n=60

( n = 2004. El octavo trmino de la expansin: ; es:

Resolucin

Dado: ; bases: x3y -

( t8 = -120x205. Qu lugar ocupa el T.I. en la expansin de: ?ResolucinDado: , como no se conoce el lugar trabajaremos con el trmino de lugar k+1:

para que este trmino sea independiente, el exponente de x debe ser cero:

70 - 7k = 0 ( k = 10

Luego el lugar es k+1

( El T.I. ocupa el lugar 11PROBLEMAS PROPUESTOS01. Si un trmino de la expansin:(x+y)10 es axby7 ,halle a+ba) 109b) 123

C) 350

d) 430e) 150

02. Sabiendo que ax3y7 es un trmino de la expansin de (x+y)n; entonces el valor de a+8n es:

a) 129b) 210

C) 200

d) 190e) 180

03. Si los polinomios:

admiten el mismo nmero de trminos; entonces el valor de n es:a) 5

b) 4

C) 3

d) 2

e) 1

04. El desarrollo del binomio:

seale el coeficiente del trmino que tiene como potencial de x a la unidad

a) 152b) 252

c) 352

d) 452e) 552

05. Determinar la parte literal correspondiente al trmino octavo del desarrollo de:

a) x12y-12 b) x6y-6c) x5y-5

d) x7y-7 e) x-7y706. Al desarrollar:

Hallar el trmino independiente de x

a) 1/8b) 7/8

c) 7/18

d) 5/18e) 1

07. En la expansin de: , x>0; existe un trmino cuyo grado es 38, qu lugar ocupa?a) 7

b) 8

c) 9

d) 10e) 11

08. Si el coeficiente del sexto trmino en el desarrollo de: es igual a 1, hallar n sabiendo que un nmero naturala) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

09. En el desarrollo del binomio: E(x) = (x2 - 3)nEl tercer trmino es. 405xk, calcular el valor de: n+k

a) 18b) 26

c) 32

d) 48e) 59

010. Indicar el valor de p en (x5 + yp)30, si el trmino 16, contiene a x75 y 60a) 18b) 26

c) 32

d) 48e) 59

011. Si la suma de coeficientes de los trminos del desarrollo de (3x+5)n es: 227; el nmero de trminos del desarrollo es:a) 28b) 24

c) 18

d) 14e) 10

012. Hallar n en el desarrollo de (1+x)n; si se sabe que los coeficientes de los trminos: t6 y t7 son igualesa) 2

b) 4

c) 5d) 10e) 11013. Si en el binomio: (5x17 y15)n; la suma de los exponentes de sus variables es n veces la suma de sus coeficientes.Entonces el valor de n es:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

014. Cuntos trminos racionales enteros contiene:

?a) 34b) 32

c) 30

d) 36e) 38

015. Halle el lugar del trmino que contiene como parte literal a x29 en la expansin de:

a) 5

b) 6

c) 8

d) 7

e) 4

016. En la expansin de:

Existe un trmino, cuyo grado es 38, indique el lugar que ocupa

a) 8

b) 7

c) 11

d) 10e) 9

017. El trmino independiente en la expansin de:

a) 712

b) 900

c) 116d) 130e) 495

018. Calcular el nmero de trminos obtenidos al desarrollar: (x3 + 5x-2)10n sabiendo que la suma de todos sus exponentes es 3240

a) 81b) 80

c) 83

d) 78e) 71

019. Si el trmino central del desarrollo del binomio:P(x;y) = (x3+y2)2nEs de la forma. Px21yq, calcular el valor de: p+q

a) 3 432b) 3 342

c) 3 234

d) 3 464e) 3 446

020. Si la suma de coeficientes del desarrollo de:

P(x)=axb(bxa+1)nes 96. Hallar el trmino central. Si: a, b, n(Z+ (a>n>b

a) 18x13b) 21x13

c) 36x13d) 24x14e) 36x14 TAREA

01. En el binomio: (x3y + x2y3)23Calcular:

a) (x-1y2)5b) (xy-2)5

c) x5y10d) x6y15e) x10y-502. Qu lugar ocupa el trmino de grado 48 en el desarrollo del binomio: (x2 + y3)18 ?a) 10b) 11

c) 12

d) 13e) 14

03. Indicar el trmino independiente en la expansin de:

a) 21b) 23

c) 19

d) 22e) 20

04. Encontrar el lugar que ocupa el trmino independiente del siguiente desarrollo:

a) 10b) 11

c) 12

d) 13e) 14

05. Dados los polinomios:

si ambos polinomios admiten la misma suma de coeficientes, calcular el nmero de trminos del desarrollo de.

a) 360b) 361

c) 370

d) 371e) 381

Es una operacin entre dos polinomios de una misma variable denominados dividendo (D(x)( y divisor (d(x)(, en donde Gdo(D) ( Gdo(d); para obtener otros dos polinomios llamados cociente (q(x)( y residuo (R(x)(.

Identidad Fundamental de la Divisin


.... (I)

Propiedades:1.Gdo(q) = Gdo(D) - Gdo(d)

2.Gdo(R) < Gdo(d)

mx. Gdo(R) = Gdo(d) - 1

Ejemplo:

EQ \F(15x\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()2x\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()4x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1,3x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1)D(x) = 15x4 - 2x3 + x2 - 4x + 1 ( Gdo(D) = 4

d(x) = 3x2 - x + 1 ( Gdo(d) = 2

Gdo(q) = 4 - 2 = 2 ( Gdo(R) < 2

es decir el residuo como mximo es de primer grado (lineal) o de grado cero (constante)

Clasificacin1.Divisin exacta: El residuo es un polinomio idnticamente nulo (R(x) ( 0)En (I) : SHAPE \* MERGEFORMAT

D(x) es divisible entre d(x)

d(x) es un factor del D(x)

2.Divisin Inexacta: El residuo no es un polinomio idnticamente nulo (R(x) ( 0)

En (I):

Para realizar la divisin los polinomios D(x) y d(x) debern ser ordenados en forma decreciente y completos, si falta algn trmino se completar con cero.

MTODOS1.CLSICO

Ejemplo:

Dividir:

EQ \F(12x\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()2x\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()12x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()18x\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()5,2x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()3)

Donde los trminos del cociente se obtienen:

EQ 6x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(12x\S\up4(4),2x\S\up4(2)); EQ 4x\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()\F(8x\S\up4(3),2x\S\up4(2)) : -1 = EQ \F(-2x\S\up4(2),2x\S\up4(2))2.HORNERA.Esquema

B.ProcedimientoEjemplo : Dividir:

EQ \F(8x\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()6x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()3\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()24x\S\up4(2),4x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()2x)Ordenado al D(x) y d(x)

EQ \F(8x\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()24x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()6x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()3,4x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()2x\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1)Por Horner :

Como Gdo(q) = Gdo (D) - Gdo(d) = 2

( q(x) = 2x2 - x - 5

Como mx Gdo (R) = Gdo(d) - 1 = 1

( R(x) = 3x - 2

Ejemplo:

Dividir:

EQ \F(10x\S\up4(5)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()5x\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()11x\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()5x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()7x\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()3,5x\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()3x\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()1)

Por Horner:

Como Gdo(q) = Gdo(D) - Gdo(d) = 5 - 3 = 2

(q(x) = 2x2 - x + 1

Como mx Gdo(R) = Gdo(d) - 1 = 2

( R(x) = 0 . x2 + 3x - 2 = 3x - 2

Nota :Si la divisin es exacta, los polinomios D(x) y d(x) pueden ser ordenados en forma creciente

3.RUFFINI


(Lineal y mnico)

A.Esquema:

B.Procedimiento

Ejemplo :

Dividir:

EQ \F(x\S\up4(5)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()3x\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()2x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()7,x\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()2)Por Ruffini:

Como Gdo(q) = Gdo(D) - Gdo(d) = 5 - 1 = 4

( q(x) = x4 + 2x3 + x2 + 4x + 8

R(x) = 9 (cte)

NotaSi el divisor es lineal no mnico de la forma : d(x) = ax+b, se recomienda aplicar Horner.

Ejemplo:

Dividir:

EQ \F(12x\S\up4(4)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()3x\S\up4(3)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()8x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()26x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()2014,4x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()1)Como d(x) = 4x + 1 es lineal no mnico

Por Horner:

Como Gdo(q) = Gdo(D) - Gdo(d) = 3

( q(x) = 3x3 + 0x2 - 2x + 7

( q(x) = 3x3 - 2x + 7

R(x) = 2007 (cte)

PROBLEMAS RESUELTOS

01. El coeficiente y el residuo de la siguiente divisin:

sumar:

ResolucinAplicando el M. de Horner:

26836-1

-2

3

1

1

-42

31231

coef. cociente coef. residuoq(x) = 3x2+x+2 ( R(x) = 3x+1

( q(x) + R(x) = 3x2+4x+3

02. Si la divisin:

es exacta; el valor de b-a es:

Resolucin:

Aplicando el M. de Horner

515294aB

-3

3

1

4

3-1

34-100

div. exactaa+4+3 = 0 ( a = -7

b -1 = 0 ( b =1 ( b a = 8

03. Si el residuo de la divisin:

es: ax + b, entonces el valor de ab es:

Resolucin

Aplicando Horner

13236-2

-1

-6

-2

2

24

3-1-252

Residuos

( dato)R(x) = 5x+2 ( ax + b

( a = 5 ( b = 2

( ab = 10

04. El trmino independiente del cociente y el residuo de la divisin:

Suman:

Resolucin Aplicando el M. de Ruffinix-2=010-1102-3

X=2246142860

1237143057

Coef. cocienteq(x) = x5+2x4+3x3+7x2+14x+30

R(x) = 57

( T.I.(q)+R = 8705. La suma de coeficientes del cociente de la siguiente divisin:

Suman:

Resolucin

# esp. 21x-1=01111.11

x=112320

1234.2021

# esp. = 20(coef.(q) = 1+2+3+4+.+20

( (coef.(q) = 210PROBLEMAS PROPUESTOSSESIN A

01. Indique el cociente de la divisin:

a) x2+2x+3

b) x2+x+1c) x2-x+2

d) x2+7x+6

e) x2+6x+2

02. Luego de dividir:

Se obtiene como cociente a:a) 5x3 3x2 + x - 1 b) 5x3 3x2 - x + 1

c) 5x3 + 3x2 - x + 1 d) 5x3 3x2 + x - 1

e) 5x3 3x2 - x + 103. Luego de dividir:

El cociente y el residuo suman:

a) 10x2 7x + 7b) 10x2 7x 7

c) 10x2 x + 7d) 10x2 + 7x 7

e) 6x2 x 3


Dar como respuesta la suma del cociente con el residuo

a) 2x2 + 6x + 17b) 3x2 -x + 11

c) x2 -7x -13

d) 2x2 + 4x + 19

e) 2x2 - 6x + 19

05. Si la divisin:

Es exacta, el valor de: 2A + 3B, es:

a) 7

b) 7

c) 5d) 4

e) 2

06. Calcular el valor de: a+b+c, si la siguiente divisin:

Es exacta:

a) -8b) -6

c) 0

d) 1

e) 4

07. Si la siguiente divisin:

Deja como residuo a: 13x+3; determinar el valor de: AB-1a) 1

b) 2

c) 3

d) 1/2e) 1/3

08. Calcular A+B+C si la divisin:

Deja como residuo:

5x2 + 11x+7

a) 16b) 20

c) 41

d) 40e) 18


Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

( ) La divisin es exacta

( ) El trmino cbico del cociente es x3( ) El trmino independiente del cociente es -3

( ) El coeficiente del trmino curtico y el residuo

suman 18

y dar como respuesta el nmero de posiciones verdaderas

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4


Dar como respuesta

a)

b)

c) 1

d) 2

e) 4

011. Al dividir:

El residuo que obtiene es 10; calcular la suma del coeficiente del cociente

a) 10b) 20

c) 30

d) 40e) 50

012. Hallar el residuo de la divisin:

Sabiendo que su cociente es: q(x) y q(1) = 2

a) -4b) -2

c) 0

d) 2

e) 4

013. El residuo de la siguiente divisin:

; esa) 17x+10b) 10x+17c) 9x+16

d) 16x+9e) 11x+18

014. Calcular los valores de a y b sabiendo que al efectuar la divisin

; resulta exactaIndicar a.b

a) 20b) 30

c) 35

d) 40e) 50

015. Si el residuo de la siguiente divisin

Es: 3x-1, el valor de: , es:

a) 2

b) 1

c)

d) 3

e)

016. Calcular el resto en la siguiente divisin:

A) -19

B) -10

C) 19

D) 10

E) 12

017. El cociente de la siguiente divisin:

Es:

A) x+ 2x + 3

B) x- 2x + 3

C) x- 3x + 2

D) x+ 3x 2

E) x- 2x 3

018. Indicar el resto en:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) -2

019. Calcular a para que el residuo de la divisin:

Sea 5a + 11A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


2x+ x- 25x- 29x - 92

Cunto hay que aumentarle al coeficiente de x para que (x 4) sea un factor de dicho polinomioA) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

TAREA

01.Si la siguiente divisin es exacta:

Indique n

A) 4

B) 2

C) 1

D) 1/2

E) 302.En la siguiente divisin:

Los coeficientes del cociente aumentan de dos en dos. Calcular:

A) 3

B) 1

C) 4

D) 5

E) 2

03.Determinar el valor de m para que el polinomio:

P(x) = x- 3x+ 5x + m

Sea divisible por (x 2)A) -3

B) 0

C) -6

D) 3

E) 404.Calcular: si la divisin:

Es exacta:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 8

05.Calcule el valor de , sabiendo que la siguiente divisin:

Es exacta:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 1/2

TEOREMA DEL RESTO (T.R.)Este teorema nos permite calcular el residuo o resto de una divisin sin la necesidad de realizar dicha operacin

Ejemplo: Calcular el resto en:

Por el Teorema del Resto

I.x - 2 = 0 ( x = 2

II.R = D(2) = 210 - 24 . 26 + 5 . 22 + 2

R = 210 - 210 + 20 + 2

( R = 22

Procedimiento General (Gdo(d) ( 2)

1.El divisor se iguala a cero y se despeja una expresin adecuada en funcin de su variable

2.Se escribe el dividendo en funcin de lo despejado y se reemplaza por su equivalente, tantas veces hasta que el grado sea menor que el grado del divisor, obteniendo de esta forma el residuo o resto

Ejemplo:

Calcular el resto en:

EQ \F(3x\S\up4(5)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()5x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()2x\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()7,x\S\up4(2)\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()2)Por el Teorema del Resto

I.x2 + 2 = 0 ( x2 = -2

II.D(x) = 3(x2)2 . x + 5 . x2 - 2x + 7

= 3(-2)2x + 5(-2) - 2x + 7

= 12x - 10 - 2x + 7

= 10x - 3 (Gdo < Gdo(d) = 2)

( R(x) = 10x - 3

Ejemplo:

Calcular el resto en:

Si aplicamos el T.R el problema se hace muy operativo, en estos casos vamos a aplicar la identidad de la divisin:

Como no se conoce q(x) el divisor d(x) = (x-2)(x-3)

se iguala a cero (x = 2 ( x = 3)

En la identidad :

( R(x) = 3x + 2

DIVISIBILIDADSe dice que un polinomio D(x) es divisible entre otro polinomio d(x) si y solo si la divisin de D(x) entre d(x) es exacta; es decir:


q(x) es nico

Ejemplo:

Sabemos que: x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4)

entonces (x3 + 8( es divisible entre (x + 2(Nota:Si un polinomio P(x) se anula para x = a (P(a) = 0), entonces P(x) es divisible entre (x - a(, es decir:

P(x) ( (x - a) . q(x)

Ejemplo:

Sea:

P(x) = 2x3 + 5x2 - x - 6

para x = 1: P(1) = 2 + 5 - 1 - 6 = 0

( P(x) es divisible entre (x - 1), es decir:

P(x) ( (x - 1) . q(x)

Propiedades1.Si un polinomio P(x) es divisible separadamente entre (x - a) y (x - b), entonces P(x) es divisible entre el producto (x - a)(x - b)

2.Si al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x - a) y (x - b) se obtiene el mismo residuo R, entonces al dividir P(x) entre el producto (x - a)(x - b) se obtendr el mismo residuo R.

PROBLEMAS RESUELTOS01. Calcular el resto en:

Resolucini) x+2 = 0 ( x = -2

ii) R = D(-2)

R = (-2)10 + 23(-2)7 + 5(-2)2 -1

R = 210 20 + 5.4 - 1

( R = 19

02. Calcular el resto en:

Resolucin

i) x4+1 = 0 ( x4 = -1

ii) D(x) = (x4)5.x2+5(x4)4x-2x4.x+3

reemplazando:

= -x2 + 5x + 2x + 3

( R(x) = x2 + 7x + 303. El resto de la siguiente divisin:

Es:Resolucin

i) (x+3)(x-2) = 0

x2 + x 6 = 0 ( x2 + x = 6

ii) D(x) = (x2 + x + 7)10 + (x2 + x 5)3 2x + 1 reemplazando:

04. Si el residuo de la siguiente divisin:

Es: ax2 + bx + c; entonces el valor de ab-c es:Resolucin

i) x4 2x + 1 = 0 ( x4 = 2x - 1ii) D(x) = x4.x +2x-1; reemplazando:

= (2x-1)x+2x-1

= 2x2-x+2x-1

R(x)=2x2+x-1 ( ax2+bx+c

( a=2, b=1 ( c= -1

( ab c = 2 - (-1) 1 = 305. El residuo de la siguiente divisin:

Es:

Resolucin

Aplicando la identidad de la divisin:

Como no se conoce q(x), el divisor se iguala a cero (d(x) = 0 ( x = 3 ( x = 2)

En la identidad:

PROBLEMAS PROPUESTOSSESIN A01. Hallar el resto en.

a) -8x+20b) x+20

c) 8x-20

d) 8x+20e) x+20


a) 4

b) 9

c) -14

d) 16e) 25

03. Hallar el resto en:

a) 5xb) x2+5x

c) x2-5x

d) x2-6xe) 0

04. Calcular el resto de la siguiente divisin:

a) 14b) -26

c) 9

d) 2x-1e) -21

05. Hallar el resto en:

a) 170b) 1

c) 0

d) -1e) -170


A) -2

B) 0

C) -1

D) 2

E) 1

07. Hallar el resto de dividir:

A) 6x 5B) 5x + 1C) 4x 3

D) 3x + 7E) 0

08. En la divisin:

Calcular el residuo:

A) 7

B) 2

C) 9

D) 11

E) 13

09. Calcular el residuo de la divisin:

a) 2x-5b) 2x+3

c) 2x+1

d) 2x+5e) 2x-3

010. Calcular el residuo de dividir:

a) 1

b) 7

c) 4x-1

d) 2x+1e) 3x+2

011. Determine un polinomio P(x) de tercer grado que sea divisible separadamente entre (x+3) y (x-2); sabiendo adems que la suma de sus coeficientes es -12 y que el trmino independiente es 12

a) 5x3 + x + 2b) 2x3 x + 3c) x3 1

d) 5x3 + 3x2 32x + 12

e) x3 + x2 12

012. Sea P(x) un polinomio de cuarto grado tal que:

P(-2)=P(3)=P(4)=0, adems: el T.I.(P)=120 y la suma de coeficientes de dicho polinomio es 126; calcular: P(-1)

a) 40b) 45

c) 50

d) 55e) 60013. Determinar: n-m, si la divisin:

a) 5

b) 7

c) 9d) 11e) 13

014. Determine el resto de la siguiente divisin:

a) -3b) 3

c) -2d) 5

e) 2

015. La siguiente divisin:

Deja un resto igual a: 5x+2. Calcular: a + b + ca) 2

b) 4

c) 6d) 8

e) 10

016. Hallar m y n si el resto de la divisin:

Es igual a: 8x2 - 5

a) -5 y 4b) 4 y 3

c) 5 y -4d) 4 y -4e) 5 y -5


Es:a) 9

b) 10

c) 11

d) 12e) 13

018. El resto que se obtiene al dividir:

es:

a) 6x+2b) 2x+6

c) 3x+1

d) x+3e) 2x+3

019. Si el resto que se obtiene luego de dividir:

Es: mx + n; e valor de: m.n-1, es:

a) 1,6b) -1,6

c) -2,6

d) -0,6e) 0,6

020. Al dividir P(x) entre (x-4) se obtuvo como cociente Q(x) y como residuo 5. Al dividir Q(x) entre (x+3) se obtuvo como cociente q(x) y un resto igual a 2. Calcular el resto al dividir P(x) entre ((x-4)(x-3)(a) x

b) -x

c) 2x-3

d) 2x+1e) x-5

TAREA01. De la siguiente divisin:


a) 2

b) 5

c) 1

d) 4

e) 3

02. Determinar el resto de:

a) 1

b) -1

c) 2

d) -2e) 3

03. De la siguiente divisin:

El residuo obtenido es:

a) x+1b) x1

c) -2x+1d) 8x+1e) x-3


es:

a) 7x-11b) 5x+10

c) 5x-3

d) -7x+5e) 7x+13

05. Halle un polinomio de cuarto grado que se anula para x=-1; 2; 3, adems su trmino independiente es 48 y la suma de sus coeficientes es 72. Dar como respuesta su trmino cbico.

a) 16x3b) x3

c) 8x3d) -32x3e) x3

Concepto:Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa, sin necesidad de efectuar la operacin de divisin.

La divisin:

nos origina un C.N. si: n ( ( ( n ( 2 ( Div. exactaEjemplos:

{n = 5

R = y5 - y5 = 0( es un C.N.

{n = 4

R = (-y)4 - y4 = 0( es un C.N.

{n = 10

R = (-y)10 + y10 = 2y10( no es un C.N.

CASOS QUE PRESENTAN EN LOS C.N.CASO I:

= xn-1 + xn-2y + xn-3y2 + ... + xyn-2 + yn-1n es un entero positivo

CASO II:

= xn-1 - xn-2y + xn-3y2 - ... - xyn-2 + yn-1n es un entero positivo impar

CASO III:

= xn-1 - xn-2y + xn-3y2 - ... + xyn-2 - yn-1n es un entero positivo par

Ejemplo:

= x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

= x6 - x5y + x4y2 - x3y3 + x2y4 - xy5 + y6

= x7 - x6y + x5y2 - x4y3 + x3y4 - x2y5 + xy6 - y7OBSERVACIONES:1. # de trminos C.N. = n

2. El cociente notable es un polinomio homogneo de grado (n-1"

3.Si el divisor es: x - y

EQ \F(x\S\up4(n)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()y\S\up4(n),x\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()-\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()y) = +; + ; +; +; +; .......

Todos los trminos son positivos.

4.Si el divisor es: x + y

EQ \F(x\S\up4(n)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()"\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()y\S\up4(n),x\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()+\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()y) = +; -; +; -; +; -; .........

Trminos de lugar impar: positivos

Trminos de lugar par: negativos

Ejemplos: a partir de los cocientes notables formar las divisiones que lo originan.

x49 + x48y + x47y2 + ....... + x2y 47 + xy48 + y49 = ??

Los exp(x) disminuyen de 1 en 1

Los exp(y) aumentan de 1 en 1# de trminos C.N. = 50

( la divisin es:

x54 - x53y + x52y2 - ........ + x2y52 - xy53 + y54 =

TERMINO GENERALSi la divisin EQ \F(x\S\up4(n)\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()"\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()y\S\up4(n),x\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()"\d\fo1()\d\fo1()\d\fo1()y) nos origina un C.N.


donde: tk: trmino de lugar (k(bases: (x( e (y(n: nmero de trminos

Ejemplos:I)

, t32 = ??

t32 = +x50-32y32-1

( t32 = x18y31II)

, t53 = ??

el C.N. presenta signos alternados.

t53 = + x73-53y53-1

( t53 = x20y52(lugar impar)III)

, t24 = ??

el C.N. tiene signos alternados

t24 = - x86-24y24-1

( t24 = -x62y23

(lugar par)

PROBLEMAS RESUELTOS01. Si la divisin: nos origina un C.N.; entonces el valor de n es:

ResolucinPara que se origine un C.N. y como se esta en el caso: , se cumple

n 3 = 17 n

2n = 20 ( n = 10

02. Si la divisin: , nos origina un C.N. de 9 trminos, entonces el valor de m+n es:ResolucinPara que nos origine un C.N. se cumple:

03. El quinto trmino del C.N. generado por la divisin , es:ResolucinComo:

T5 = +(x3)25-5(y4)5-1 = (x3)20(y4)4( T5 = x60y16 04. El grado absoluto del dcimo trmino del C.N. generado por: ; es:

ResolucinComo:

t10 = -(x3)20-10(y2)10-1 = -(x3)10(y2)9

lugar part10 = -x30y18 ( GA(t10)=4805. Calcular el valor de:

Resolucin

Formando las divisiones que originan los C.N. del numerador y denominador

Reemplazando:

PROBLEMAS PROPUESTOS01. La siguiente expresin:x49 x48y + x47y2 - .. x2y47 + xy48 y49proviene de la divisin:

a)

b)

c)

d)

e)

02. Indicar el cuarto trmino del C.N. que se origina de la divisin:

a) x5y3b) x3y4

c) x7y

d) x5y3e) x2y403. Hallar el trmino de lugar 18 del desarrollo de:

a) m13n13b) m14n14c) m15n15d) m16n16e) m17n1704. En el C.N.:

El t7=(x+1)m . (x-1)n dar el valor de: mn

a) 15b) 13

d) 18

d) 12e) 11

05. Hallar el valor numrico del quinto trmino del cociente notable:

Para x = y = 1

a) 1

b) 4

c) 9

d) 25e) 81

06. Calcular a+b, si se cumple que:

a) 12b) 13

c) 14

d) 15e) 16

07. Indique el nmero de trminos del cociente notable de: sabiendo que t10t50 = x100

a) 220b) 230

c) 240

d) 250e) 260

08. Si el resultado de la siguiente divisin:

Es un C.N.; calcular:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

09. Sea el cociente notable:

Si posee 5 trminos, indique:

a) 3

b) 5

c) 8

d) 7

e) 2

010. Si la divisin:

Origina un C.N. indicar el valor de m

a) 3

b) -2

c) 4

d) 5

e) A ( B

011. Determine el trmino central en la siguiente divisin notable:

a) a5(x+a)6 b) a7(x+a)7c) a7(x+a)6

d) a7(x+a)6 e) a6(x+a)6012. Si el sexto trmino es x8yb del cociente notable: ; indique el valor de m-ba) 4

b) 7

c) 3

d) 2

e) 5013. Si el cociente notable de: tiene 4 trminos, calcule: n9 + n8 + n7 +.+n+3

a) 210-1b) 211-1

c) 210+1

d) 211+1e) 211014. Luego de simplificar:

Se obtiene:

a) m5+1b) m5-1

c) m15+1

d) m15-1e) m30+1

015. Si el numerador del desarrollo:

x40 x39 + x38 x37 + x36 - ..- x + 1Se iguala a: 1 + 282, se obtiene para x

a) 1

b) 2

c) 9

d) 4

e) 16

016. Si la siguiente divisin: nos origina un C.N., entonces el valor de: , es:a) (3x+y)(3y)-1b) (3x+y)(3y)

c) (3x+y)(3y)-1d) (3x+y)-1(3y)e) (3x+y)2(3y)-2017. En la divisin:

tiene un trmino de la forma: m(9x2-1)n. Hallar m+na) 16b) 14

c) 18d) 20e) 22

018. Calcular n si el cociente

Es notable:a) 1

b) 5

c) 7

d) 8

e) 10

019. Hallar el nmero de trminos del cociente notable que origina la divisin:

a) 12b) 18

c) 9

d) 15e) 14

020. Al dividir:

se genera un C.N. cuyo dcimo sexto trmino es x10y75, calcular:

a) 1

b) 3

c) 8

d) 5

e)

TAREA01. Calcular m sabiendo que el antepenltimo trmino del C.N. de la siguiente divisin:

a) 3

b) 4

c) 6

d) 8

e) 902. Luego de dividir:

se obtiene como cociente:

a) x15 x10 + 1 b) x15 + x10 + x5 + 1

c) x15 x10 + x51 d) x20 + x15 + x10 +x5+ 1

e) x20 x15 + x10 x5+1

03. Hallar el trmino de lugar 21, del desarrollo de:

a) x15y19 b) x16y20c) x20y16d) x14y18 e) -x17y2104. Hallar el coeficiente del cuarto trmino del desarrollo de:

a) -108b) -27

c) -54

d) -81e) -12

05. En el cociente notable: se sabe que el desarrollo tiene 14 trminos, calcular: m + n

a) 56b) 42

c) 84d) 89e) 98

Definicin: Es el proceso que consiste en transportar un polinomio de coeficiente entero en la multiplicacin de dos o ms polinomios, tambin de coeficientes enteros y de grados mayores o iguales a uno llamados factores, si stos factores no se pueden descomponer en ms factores se les denomina factores primos.

Ejemplo:

MULTIPLICANDO SHAPE \* MERGEFORMAT

(2x + 1) (5x + 3) = 10x2 + 11x + 3


FACTORIZANDO

Ejemplo:P(x; y) = (x + 5y) (x2 - y2)

x + 5y: es un factor y tambin es un factor primo.

x2-y2: es un factor pero no es un factor primo.

porque x2 - y2 = (x + y) (x - y)

Luego:

P(x; y) = (x + 5y) (x + y) (x - y)

Los factores primos (F.P.) Son: x + 5y; x + y; x - y

NOTASea el polinomio: P(x; y) = xy3 (x + 2y)2 (x2 - y); los factores primos son: x; y: x + 2y; x2 - y; los factores primos repetidos son: y; x + 2y.

MTODOS DE FACTORIZACINPara factorizar un polinomio se tendr presente los siguientes criterios:

I.AGRUPACIN (Factor Comn)El factor comn es aquel factor que se repite en todos los trminos de una expresin, para factorizar se extrae el factor comn elevado a su menor exponente.

Ejemplo: Factorizar

P(x; y; z) = xyz3 + nxz3 + myz3 + mnz3Se agrupa el factor comn: z3P(x; y; z) = z3(xy + nx + my + mn)

En el segundo factor se agrupa de 2 en 2

P(x; y; z) = z3 [x (y + n) + m (y + n)]

sacando factor comn: y + n

( P(x; y; z) = z3 (y + n) (x + m)

Ejemplo: FactorizarP(x; y; z) = x7 + x6y + x6z + x5yz

Como los trminos admiten algo en comn, se agrupa lo comn elevado al menor exponente: x5P(x; y; z) = x5 (x2 + xy + xz + yz)

en el segundo factor se agrupa de dos en dos.

P(x; y; z) = x5 [x (x + y) + z (x + y)]

Sacando factor comn: x + y

( P(x; y; z) = x5 (x + y) (x + z)

II.IDENTIDADESPara el mtodo de las identidades se debe tener en cuenta los productos notables.

Ejemplo Factorizar

P(x) = x5 - 4x3 - x2 + 4Agrupando convenientemente:

P(x) = x2 (x3 - 1) - 4 (x3 - 1)

Sacando factor comn: (x3 - 1)

P(x) = (x3 - 1)

(x2 - 4)

((( ((( Suma

Diferencia

de Cubos

de Cuadrados

P(x) = (x - 1) (x2 + x + 1) (x + 2) (x - 2)

Ejemplo: factorizar

Q(x; y) = x2 - 25z2 + 6xy + 9y2Agrupando convenientemente

Q(x; y) = x2 + 2x.3y + (3y)2 - 25z2 (((((((((((((((((((((((((((T.C.P.

Q(x; y) = (x + 3y)2 - (5z)2 (((((((((((((((((((((((Diferencia de cuadrados

Q(x; y) = (x + 3y + 5z) (x + 3y - 5z)

III.ASPA SIMPLESe emplea para factorizar trinomios de la forma:


( SHAPE \* MERGEFORMAT

Procedimiento:Se adeca la expresin a una de las formas mencionadas, luego se descomponen convenientemente los extremos incluyendo signos, se efecta el producto en aspa y se suman los resultados obteniendo el trmino central con su respectivo signo; luego los factores sern las sumas horizontales de los trminos resultantes de las descomposiciones.

Ejemplo: Factorizar

P(a; b) = a4 + 3a2b3 - 10b6 a2

+5b3

(+5a2b3 a2

-2a3

(-2a2b3+3a2b3P(a; b) = (a2 + 5b3) (a2 - 2b3)

Ejemplo: Factorizar

P(x) = 2x2 - 7x + 6

2x

-3

(-3x

x

-2

(-4x-7x

P(x) = (2x - 3) (x - 2)

Ejemplo: Factorizar

P(x) = x4 - 29x2 + 100

x2

- 4

(- 4x2x2

-25(

-25x2 -29x2P(x) = (x2 - 4) (x2 - 25)

P(x) = (x2 - 22) (x2 - 52)

P(x) = (x + 2)(x - 2)(x + 5)(x - 5)

PROBLEMAS RESUELTOS01. Cuntos factores primos admite 3 el polinomio:

P(x) = x2y3(x+y)4(x-2y)?ResolucinDel polinomioP(x;y) = x2.y3.(x+y)4.(x-2y)

( # F.P. = 402. La suma de los factores primos del siguiente polinomio:

P(x;y) = (2x+3y)(x2-y2)-(x-2y)(x2-y2)

Es:Resolucin

03. Cuntos factores cuadrticos admite el polinomio:

P(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)?ResolucinComo los F.P.: x+1; x+2; x+3; x+4; x+5 son lineales, para formar factores cuadrticos hay que multiplicar dos lineales; entonces usaremos al Nmero Combinatorio# F. cuadrticos =

( # F. cuadrticos = 10

04. Cuntos factores primos cuadrticos admite el polinomio: P(x) = x5 + x3 x2 1?Resolucin

P(x) = (x2+1)(x-1)(x2+x+1)

F.P.=x2+1 ; x-1 ; x2+x+1)

( # F.P. cuadrticos = 205. Cuntos factores primos lineales admite el polinomio:P(x) = x7 4x5 + 3x3ResolucinP(x) = x3 ( x4 - 4x5 +3Extrayendo el factor comn x3:

P(x) x3(x+1)(x-1)(x2-3)

F.P.: x ; x + 1 ; x - 1 ; x2 - 3 ( # F.P. lineales = 3

PROBLEMAS PROPUESTOSSESION A01. Con respecto al siguiente polinomio: P(x) = xy3(x-y)2(x+y)4 dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

( ) admite 3 factores primos( ) admite 4 factores primos

( ) la suma de los factores primos es 3x + y

a) VVVb) FFF

c) FFv

d) FVVe) FVF02. Indique (V) verdadero o (F) falso segn corresponda en:

( ) P(x; y; z) ( x2y3(x+y)(x-z), tiene 3 factores

primos( ) R(x) ( (x+7)(x2+5x-1); ( coeficientes de un

factor es 5( )T(x) ( (x+1)(x-1)(x2+1)(x2-5), tiene 2 factores

primos lineales

a) FVFb) VVF

c) FFFd) VVVe) FVV

03. Un factor primo repetido del polinomio:

H(a;b) ( ab(a2+1)(b+2)3(ab+1)2es:

a) abb) a2+1

c) b+2

d) ab+1e) hay dos correctas

04. El nmero de factores cuadrticos del siguiente polinomio:

T(x) ( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)Es:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

05. Un factor primo del polinomio:

N(x;y;z) ( 6x4yz + 4x4y + 9x4z + 6x4Es:

a) x2b) y+3

c) z+2

d) 3z+2e) 2y+1

06. Encuentre una diferencia de los factores primos y monicos de:

R(x) ( (x+10)(x+11)(x+12) + (x+10)(x+11)+x+10

a) 2

b) 1

c) 3

d) 4

e) 0

07. Indique el valor de verdad luego de factorizar:

T(a;b;c) ( a(b2+c2) + b(c2+a2)( ) admite un factor primo cuadrtico

( ) la suma de coeficientes de un factor primo es 2

( ) admite 2 factores primos lineales08. Qu alternativa no corresponde a un factor primo de:

P(x;y;z) = x4y2z + x3y3z + x3y2z2 ?a) x

b) y

c) z

d) x+y+ze) xyz

09. Un factor primo del polinomio:

R(a;b;c;d) ( (ab+3cd)2 + 3(ac-bd)2Es:a) a2+b2 b) a2+3b2c) a2 + 3c2d) a2 + 3d2 e) b2 + 3d2010. Luego de factorizar:

P(n) ( n5 + n3 3n2 - 3Calcule el grado de la expresin que se obtiene al sumar los factores primos de P(n)

a) 3

b) 2

c) 4

d) 1

e) 0

011. Factorizar:

P(x) ( x2 + x + y (y-z) (yz)2e indique el trmino independiente de un factor primo

a) 1

b) y+z

c) z+1

d) y-ze) 2

012. Luego de factorizar el polinomio:

P(x;y) = x7y5-x6y6-6x5y7la suma de los factores primos es:

a) 2x-y+xy

b) 2x-y

c) 3x-y

d) 3x+y

e) 3x

013. Factorizar:P(x) ( 3a2b2x2 + (6a3+b3)x + 2ab2e indicar un factor:

a) ax+bb) bx+2a

c) ax2+b2d) 3bx+ae) 2ax+3b

014. Luego de factorizar:

Q(x) ( x4 37x2 + 36indicar un factor

a) x2+36 b) x2+1

c) x2+6+6

d) x2-5x-6 e) x2+x+1

015. Factorizar:

A(x) ( (x+2)2(x-1)2 (x2+x+10)

e indicar un factora) x+2b) x-1

c) x+3

d) x+5e) x2+x-1

016. El nmero de factores primos del siguiente polinomio:

Q(a;b) ( a4b3 7a4b2 + 3a3b3 21a3b2es:a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

017. La suma de los factores primos del siguiente polinomio:

M(a;b;c) ( a2(b+c) + b2(c+a)+c2(a+b)+2abces:

a) a+b+c b) a+2b+2cc) 2a+2b+2c

d) 2a+b+2c e) 2a+2b+c018. Factorizar:

P(x) ( x3 + 3x2 4x 12e indicar lo correcto:

I. Un factor de P(x) es x2 4

II. P(x) posee tres factores primos mnicos

III. La suma de coeficientes de un factor primos es 5

IV. P(x) posee 2 factores primos

a) todasb) I y II

c) III y IV

d) I; II y IIIe) II; III y IV

019. Indicar uno de los factores primos de:

a2 b2 + c2 d2 + 2ac + 2bda) a + b + c + db) a b + c + d

c) a + b c + dd) a b c + d

e) a b + c d 020. Indique el nmero de trminos del nico factor primo cuadrtico que se obtiene al factorizar:4A(x;y) ( 9x3 + 3(xy2 + x2y) + y3a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

TAREA

01. Factorizar:

P(m;n) ( m6 n6Indicando luego un trmino de un factor primos cuadrtico

a) mb) 2n

c) n2d) 4mne) -2mn

02. Factorizar:

P(x;) ( 25x4 109x2y2 + 36y4indique el nmero de factores primos lineales

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 8

03. Luego de factorizar:

a4 50a2 + 49

indicar la suma de sus factores primosa) a

b) 2a

c) 4a+1

d) 2a+3e) 4a

04. La suma de coeficientes de uno de los factores primos de:P(x) ( (x2+x+1)2 + 3(x2+x-5), es:

a) 11b) 10

c) 9

d) 8

e) 4

05. Calcular la suma de los factores primos de:

R(x;y) ( x2(x-y)2 14xy2(x-y) + 24y4a) 2(2x-y)b) 4x-y

c) 4x

d) 4(x-y)e) 4(x+y)

(a . b)n = an . bn

ax = ay ( x = y

Si ax = bx ( EQ \b\lc\{(\A(\d\fo1()\d\fo1()a\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()b\d\fo1() si x es impar,\d\fo1()\d\fo1()a\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()"b\d\fo1(); si x es par (x0)))

CP(P) = 1

(Coef. (P) = P(1)

T.I(P) = P(0)

G.A = (GR

A . B ( C

(a + b)2 ( a2 + 2ab + b2

(a - b)2 ( a2 - 2ab + b2

(a + b)2 + (a - b)2 ( 2(a2 + b2)

(a + b)2 - (a - b)2 ( 4ab

(a + b)(a - b) ( a2 - b2

(a + b)3 ( a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 ( a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

(a + b)3 ( a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a - b)3 ( a3 - b3 - 3ab(a - b)

(a + b + c)2 ( a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

(a + b + c)3 ( a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

(a+b+c)3 ( a3+b3 + c3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc

n! = 1 . 2 . 3. 4 ..... (n - 1) . n

1! = 1

0! = 1

EQ C\S(\S\up4(n),\S\do4(0))\d\fo1()\d\fo1()=\d\fo1()\d\fo1()1

D(x) ( d(x) . q(x) + R(x)

D(x) ( d(x) . q(x)

d(x) = x + b

D(x) ( d(x) . q(x)

tk = signo xn-kyk-1

ax2m + bxmyn + cy2n

ax2m + bxm + c

4 Secundaria - I Trimestre1

44 Secundaria I Trimestre

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Libro 4TO _algebra

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