Hoofdstuk 15 Golven

In dit hoofstuk:

wiskundige beschrijving en eigenschappen

welke soorten golven zijn er?

•water

•touwtje/ veer

•geluid

•licht

•Schrödingervergelijking (quantum mechanica)

ieder punt in een golf trilt om vast evenwichtspunt

golven in zee verplaatsen geen water, het water gaat alleen maar op en neer.

eigenschappen van golven

De golf verplaatst zich wel door het medium met de golfsnelheid

Golven verplaatsen geen materiaal, wel energie!

eigenschappen van golven

eigenschappen van golven

een golf ontstaat doordat er ergens een kracht op het medium wordt uitgeoefend

als de kracht harmonisch is (een trilling) dan ontstaat er een sinusvormige golf met een snelheid v=f

eigenschappen van golven

Er zij transversale en longitudinale golven

geluid is een longitudinale golf

luchtdichtheid heeft een sinusverloop

wat is de snelheid van een transversale golf.

we bekijken een touw met spankracht Ft en drijvende kracht Fy

golf is aangekomen bij punt A in tijd t beweegt golf vt naar rechts en touw v’t omhoog

Fy/Ft=v’t/vt=v’/v

voor kleine t: p=Fyt

mv’=Ftv’/v t

wat is de snelheid van een transversale golf.

mv’=Ftv’/v t

m=vt met lineaire massadichtheid

vt =Ft/v t

tFv

m

k

vergelijk met

voorbeeld: een golf met golflengte 30 cm beweegt door een kabel met lengte 300 m en totale massa 15 kg. De spankracht in de kabel is 1000N. Bereken golfsnelheid en frequentie van de golf.

tFv

kg/m

=(1000/0.05)1/2 =140 m/s

v=f dus frequentie f= 140/0.3=470 Hz

andere golventFv transversale golf in touw

longitudinale golf

inertie

krachtelastischev

vgeluid =340 m/s

water golven

hoeveel energie transporteert een golf?

trillende deeltjes geven energie aan elkaar door

trillingsenergie=1/2 k D2max

met Dmax maximale uitwijking displacement

m

kf 2

mfk 224

2222 mDfEvib

hoeveel energie transporteert een golf?

2222 mDfEvib

voor een 3-D golf: m=V =l =vt

2222 AvtDfEgolf evenredig met D2

hoeveel energie transporteert een golf?

2222 AvtDfEgolf 2222/vermogen AvDftEPgolf 2222/t intensitei vDfAPI golf

intensiteit van een sferische golf

24// rPAPI brongolf

voorbeeld r2=2r1

wat is de verhouding I2/I1

I2/I1 = (P/4r22) / (P/4r2

1)

= (r1/ r2)2

intensiteit van een sferische golf 2/1 rI golf 2DI golf

amplitude sferische golf

rDgolf /1

wiskundige beschrijving lineaire golf

stel op t=0: D(x)= Dmaxsin(2x)

golf naar rechts met snelheid v na tijd t is de golf dus vt opgeschoven

dus D(xi,0)=D(xi+vt,t)

D(x,t)=Dmaxsin(2x-vt))

D(x,t)=Dmaxsin(2x-vt))

vormen van de golfvergelijking

D(x,t)=Dmaxsin(2(x/– t/T))

D(x,t)=Dmaxsin(kx-t)

golfgetal k=2

hoekfrequentie =2

D(x,t)=Dmaxsin(2x+vt))

beschrijf deze golf

D(x,t)=Dmaxsin(kx-t

fase van de golf is alles na de (co)sinus

fase snelheid v= k)/(k

D(x,t)=Dmaxcos(kx-t)

voorbeeld: een lopende golf

f=250Hz; D=2.6cm; Fspan=140N, kg/m

op t=0: D=1.6 cm en gaat omlaag.

bepaal de golflengte

tFv sm /34

12.0

140

mfv 14.0250/34/

voorbeeld: een lopende golf

f=250Hz; Dmax=2.6cm; Fspan=140N, kg/m

op t=0,x=0: D=1.6 cm en gaat omlaag.

Geef een vergelijking die de golf beschrijft

cm14

)t(kx-DD(x,t) sinmaxk=2m-1

=2f=1570s-1

)(sin6.26.1

rad66.0360

)tx-(D(x,t) 66.0157045sin026.0

De golfvergelijking

afleiding voor lineaire golf maar resultaat algemeen geldig

bekijk stukje touw dxaannames:

dx beweegt vertikaal

spankracht is overal en op alle tijden even groot

De golfvergelijking

Newton: yy maF 2

2

1sinsint

DxFF TT

partieel want D = D(x,t)

x

D

tansin

121sinsinx

D

x

D

rcx

D

2

2

t

D

x

rcFT

2

2

22

2 1

t

D

vx

D

De golfvergelijking

2

2

22

2 1

t

D

vx

D

2

2

22 1

t

D

vD

eendimensionaal

meerdimensionaal

superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)

superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)

niet sinus golven kun je opgebouwd denken uit allerlei sinusen (Fourier theorie)

bv blokgolf bestaat uit een som van sinussen

Reflectie en transmissie

vast uiteinde:

fase sprong

open uiteinde:

fase sprong

Reflectie en transmissie

golffront en voortplantingsrichting van de golf

sferische golfvlakke golf

Wet voor reflectie (spiegeling):

hoek van inval=hoek van reflectie

interferentievanwege superpositiebeginsel kunnen we golven bij elkaar optellen

golven kunnen ongestoord door elkaar heen lopen

positieve of constructieve interferentie: faseverschil 0, 2

negatieve of destructieve interferentie: faseverschil

in het algemeen partiele interferentie

staande golf

een staande golf is opgebouwd uit interfererende heen en teruggaande golven die resulteren in een “stilstaande” golf

maximale uitwijking: buikpunt

minimale uitwijking = 0 knooppunt

bij vaste uiteinden:

L/n

staande golftFv en v=f

dus in een systeem met F=const. v= const. hoort bij iedere golflengte een eigen frequentie

de frequenties waarbij een staande golf ontstaat zijn de resonantie frequenties.

a fundamentele of eerste harmonische frequentie

b eerste boventoon of tweede harmonische frequentie

c tweede tweede boventoon of derde harmonische frequentie

f1

f2=2f1

f3=3f1

algemeen: fn=nf1

Een staande golf “staat stil. Ook vanuit energetisch standpunt:

een staande golf transporteert geen energie

voorbeeld:

pianosnaar, lengte1.1 m, massa 9 gram

a wat is de spankracht als de fundamentele frequentie 131 Hz is.

b wat zijn de eerste drie harmonische frequenties

a fund. =2L v=f=2.2 131= 288 m/s

tFv F=µv2=0.009/1.1 2882 = 679 N

b f1=131 Hz f2=2f1=262Hz f3=3f1=393Hz

wiskundige vorm van staande golf

staande golf is som van twee lopende golven:

D1(x,t)=Dmsin(kx-t)

D2(x,t)=Dmsin(kx+t)

D(x,t)=D1+D2=Dm(sin(kx-t)+sin(kx+t))

pag A3: sinA+sinB=2sin(1/2(A+B))cos(1/2(A-B))

D(x,t)=2Dmsin(kx)cos(t))

voor vast uiteinde D(L,t)=2Dmsin(kL)cos(t))=0

kL=0, k= L/n zoals eerder gezien

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

a bepaal de vorm van de resulterende staande golf

oplossing

lopende golven zijn van vorm Asin (kx+/-t)

dus A=0.2, k=2 en

staande golf D=2Asin kx cos t = 0.4 sin2x cos 4t

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

b bepaal de maximale amplitude voor x = 0.45

oplossing

substitueer x=0.45

staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t

D(0.45,t) = 0.4 sin(2 0.45) cos 4t = 0.31 cos 4t

dus maximale uitwijking bij 0.45 m is 31 cm

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

c waar bevinden zich knooppunten voor x>0

oplossing

voor knooppunt D(x,t)=0 voor alle t

staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t

dus sin 2x = 0

dus voor een stabiele staande golf met vaste uiteinden zijn dit de mogelijke lengtes van het touw

x = 0, 0, 1.57,3.14, …n 1.57 m

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

c waar bevinden zich buikpunten voor x>0 en wat is de maximale uitwijkingoplossing

buikpunten zitten halverwege de knoop punten

staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t

of sin 2x = +/-1

de maximale uitwijking is de amplitude van de golf 0.4 m

x = n/

breking van golven (refraction)

voor licht:

wet van Snel

nisin nrsin r

algemeen:

1/vi sin vr sin r

buiging van golven (diffraction)

golven buigen om een object heen

als object kleiner is dan golflengte is er nauwelijks schaduw

hoe groter object hoe meer shaduw

buiging van golven (diffraction)

een ruwe schatting voor de buiging is

L

L geen buiging perfecte schaduw

samenvatting

trillingen zijn bron van golven met v=f

harmonische golf is oplossing van

een naar rechts lopende golf is bv

D(x,t)= A sin (kx-t)

met golfgetal k = en hoekfrequentie f

vanwege superpositiebeginsel kunnen golven interfereren en ontstaan staande golven

bij een verandering van medium kunnen golven reflecteren, en breken (refraction).

Aan een rand (of als een golf door een gat gaat) onstaat buiging

2

2

22 1

t

D

vD