Jongleren met Wiskunde - Universiteit Gentcage.ugent.be/~kn/lezing_jongleren.pdfStel dat een patroon...

Jongleren met Wiskunde

Karsten NaertUGent — Vakgroep Wiskunde

March 21, 2012

Wiskunde is:

I Abstractie maken van de werkelijkheid

I Redeneren met deze abstracte gegevens

(Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)Toegepast op jongleerpatronen:

I abstraheren = achterwege laten van details

I redeneren = meer te weten komen over jongleerpatronen

Gebaseerd op boek: ‘The Mathematics of Juggling’, door BurkardPolster

http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php

Hoe jongleerpatronen communiceren?(Meer algemeen: hoe complexe informatie overdragen?)

I Letterlijke weergave? Foto — video?I Schematische weergave?

I Nadeel: sommige dingen zijn niet te zienI Voordeel: andere dingen worden duidelijker!

Het jongleerdiagram:

I Een metronoom tikt oneindig lang.

I Op de even tikken werpt de linkerhand, op de oneven tikkenwerpt de rechterhand.

I We veronderstellen periodiciteit.

Het aantal tellen dat een bal in de lucht blijft tellen.

Een tweede voorbeeld: [441]

Een zekere essentie van het patroon wordt zichtbaar, andereaspecten worden onzichtbaar:

I Timing van de handen. (Hot patato versus lazy juggling)

I Beweging van de armen. (Bvb. Mill’s Mess)

Enkele vragen:

I Betekenis van een 0-worp?



I Even worpen versus oneven worpen?

I Hoe ziet [i], met i ∈ N eruit? (cascade / fountain)I Hoe noteert men ‘ballen in een cirkel gooien’?

I Bestaat een patroon dat begint met [98 . . . ]?

I Met hoeveel jongleerballen werpt men patroon [0123456]?

I Kunnen we ‘berekenen’ of een patroon jongleerbaar is?

Vraag

Waarin verschillen even worpen van oneven worpen?

I Even worpen gaan naar dezelfde hand.

I Oneven worpen gaan naar de andere hand.

Vraag

Hoe ziet een 1-worp eruit?

I [1] — lage worp

I [31] — 2-ball shower

I [441]

I [531]

Vraag


I [2] — rust

I [42] — twee in één hand met bal in andere hand

I [342]

Vraag


I [0] — leeg patroon

I [20], [40], [60] — één, twee, drie in één hand

I [4440] — twee in één hand, één in de andere

Vraag

Hoe zien de patronen [531] en [513] eruit? Wat is het aantalballen?

Vraag

Hoe ziet het patroon [n] eruit? Wat is het aantal ballen?

Hieronder [3] en [4]:

Hoe ziet [5] eruit? [6]?

I Oneven: n-balwatervalI Even: n-balfontein (n/2 in elke hand, asynchroon)I Bemerk het verschil even versus oneven.

Het patroon [7]

‘Shower’, bijvoorbeeld met 2 ballen:

Vraag

Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower?

I [31]: 2 ballen

I [51]: 3 ballen

I [71]: 4 ballen

I in het algemeen [(2n − 1)1]: n ballen

Vraag

Is het patroon [98 . . . ] jongleerbaar?

Neen, meer algemeen: het patroon [(n + 1)n . . . ] bestaat niet!

Het aantal ballen

[n]→ n[(2n − 1)1]→ n

[(2n)0]→ n[531]→ 3[441]→ 3

[4440]→ 3

Algemene regel?

De gemiddelden-stelling

Stelling

Als [a1, a2, . . . , an] een jongleerpatroon is, dan is het aantal ballengelijk aan het gemiddelde van de cijfers a1 tot an.

Bewijs

De gemiddelden-test

Gegeven is een rij cijfers [a1, a2, . . . , an]. Is dit een geldig(jongleerbaar) patroon?

De test

Als [a1, a2, . . . , an] een jongleerpatroon is, dan moet

a1 + a2 + · · ·+ ann

een geheel getal zijn.

Voorbeeld: [7435] is geen jongleerpatroon want 7+4+3+54 =194 is

geen geheel getal.

Maar: ook [987] zou een patroon zou kunnen zijn:9+8+7

3 =243 = 8; we zagen al dat dit niet het geval is.

Site-swapping en cyclisch permuteren

Doel: jongleerpatronen omzetten in andere jongleerpatronen. Tweemethodes:

I Cyclisch permuteren, bvb. [531]→ [315] (Let op: niet [513],enkel cyclisch.)

I Site-swap uitvoeren: [ab . . . ]→ [(a− 1)(b + 1) . . . ]Idee achter site-swap is: twee worpen van plaats veranderen

Siteswap, illustratie

Site-swapping en cyclisch permuteren

Opmerkingen:

I Siteswap en cyclische permutaties zetten jongleerbarepatronen om in jongleerbare patronen — en niet-jongleerbarepatronen in niet-jongleerbare

I De som van de cijfers en het aantal cijfers blijven hetzelfde naeen cyclische permutatie en na een siteswap

Het verplattingsalgoritme

We krijgen een patroon gegeven en willen bepalen of dit patroonjongleerbaar is. Doorloop volgend algoritme:

1. Zijn alle cijfers gelijk?

ja: het patroon is jongleerbaarnee: ga naar stap 2

2. Voer een cyclische permutatie uit, zodanig dat het eerstecijfer van het patroon zo groot mogelijk wordt en het tweedecijfer verschilt van het eerste. Het patroon begint nu met[ab . . . ]. Is nu a = b + 1?

ja : het patroon is niet jongleerbaarnee: ga naar stap 3

3. Voer een siteswap uit van de eerste twee posities. Als hetpatroon [ab . . . ] was, wordt het [(a− 1)(b + 1) . . . ]. Ga naarstap 1.

Voorbeelden (dubbele pijlen zijn sitewaps, enkele zijn cyclischepermutaties):

642 =⇒ 552 −→ 525 =⇒ 345 −→ 534 =⇒ 444

514 =⇒ 424 =⇒ 334 −→ 433

Waarom werkt dit?

Het aantal ’grootste cijfers’ neemt elke siteswap af; maar de somvan de cijfers blijft hetzelfde. Dus we kunnen maar een eindigaantal stappen doorlopen en moeten vroeg of laat in één van detwee eindpunten (patroon is jongleerbaar of niet) terecht komen.

Opmerking: dit algoritme bewijst de stelling over gemiddelden.

‘Bewijs’

Stel dat een patroon jongleerbaar is. Doorloop dan hetplatslageralgoritme met dit patroon.

I De som van de cijfers verandert niet.

I Het aantal cijfers verandert niet.

I Dus het gemiddelde van de cijfers is hetzelfde voor en na hetdoorlopen van het algoritme

I Het aantal ballen blijft hetzelfde.

Na het doorlopen van het algoritme, is het patroon van de vorm

[aaaa . . . ]

Dus is het gemiddelde van de cijfers gelijk aan het aantal ballen.Dus was dit ook vóór het doorlopen van het algoritme al het geval.

Jongleren met Wiskunde - Universiteit Gentcage.ugent.be/~kn/lezing_jongleren.pdfStel dat een patroon...

Documents

Transcript of Jongleren met Wiskunde - Universiteit Gentcage.ugent.be/~kn/lezing_jongleren.pdfStel dat een patroon...